3 粉体静力学 (3) mohr圆
粉体静力学 粉体压力计算
第三讲 粉体静力学
☻ 3.1 莫尔应力圆
☻ 3.2 粉体的摩擦性 ☻ 3.3 Molerus 粉体分类 ☻ 3.4 粉体的流动性 ☻ 3.5 莫尔-库仑定律
☻ 3.6 壁面最大主应力方向
☻ 3.7 朗肯应力状态 ☻ 3.8 粉体压力计算 ☻ 3.9 粉体应力精确分析方法
粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞
19
3.8.1 筒体应力分析
被动态时达到 应力渐近值的 距离远小于主 动时达到应力 渐近值的距离
粉体力学
大连理工大学流体与粉体工程研究设计所
刘凤霞
20
3.8.2 锥体应力分析
a
zz [(H z) tan a ] B g[(H z) tan a ] dz ( zz d zz )[( H z) tan a]
2 2 2
dz dz 2 ( H z ) tan a cos a 2 ( H z ) tan a rr sin a cos a cos a
粉体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘凤霞
22
3.8.2 锥体应力分析
d zz 2 K (tan a tan ) zz B g dz ( H z ) tan a
刘凤霞
10
大连理工大学流体与粉体工程研究设计所
三轴试验莫尔应力圆画法
三轴试验莫尔应力圆画法
三轴试验莫尔应力圆画法是由奥地利地质学家莫尔爵士于1862年
首先提出的一种经典的力学分析方法。它是研究岩石和土壤力学性质
的基础。三轴试验是通过向试样施加不同的压力来研究材料的力学性质。这种试验通常是在实验室环境下进行的。试验装置包括一个气压
或水压马达，用于施加垂直于试样顶部的压力。通过对试验数据的分析，可以将应力状态转换为一个圆形轴载状态，称为莫尔应力圆。
在三轴试验中，试样被置于一个保持恒定应力状态的装置中。然
后通过改变施加在试样上的应力大小和方向来对试样施加压力。试样
最多可以承受三个压力：垂直于样品顶部的主压力，垂直于样品底部
的副压力以及在两个侧面施加的轴向压力。
根据三轴试验的结果，可以得出应力状态的三个参数：主应力
（或最大应力）、次应力（或中等应力）和剪应力（或最小应力）。
这三个参数确定了材料所处的应力状态。莫尔应力圆是通过将主应力
和剪切应力绘制在平面上，并使其形成一个圆的方式来表示这种状态。
莫尔应力圆的画法起始于选择一个坐标系，通常是水平的x和y
坐标轴。然后主应力和剪应力被绘制在这些坐标轴上：
在这个图中，应力的最高点表示主应力σ1，最低点表示剪应力τ。试样周围的其他三个顶点代表主剪应力状态。通过连接这些顶点，画出一个正方形，其边界代表试样所处的力学状态。
为了得到与试样状态更接近的圆形图案，需要作出如下改进：
尤奇然圆心
沿尤圆心各个方向绘制刻度线
连接刻度线上相同切效态下τ的点，可以得到莫尔圆的形状。
莫尔应力圆具有很高的实用价值。它不仅可以提供岩土工程方面
的理论基础，还可以用于解释和分析地质灾害和矿产资源开发等方面
莫尔圆
在应力（或应变）坐标图上表示受力（或变形）物体内一点中各截面上应力（或应变）分量之间关系的圆。表示应力的称为应力莫尔圆；表示应变的称为应变莫尔圆。
以平面应力为例说明二维应力莫尔圆的性质：
机械设计Fig3-8 (P80)
机械设计Fig3-10（P83）
1.应力元素旋转 角得 ， ，
2.在主应力面上
（莫尔圆圆心位置）
NOTE
莫尔圆圆周上每一点的坐标：（正向应力，剪应力）
由于x面和y面在应力元素上相差90°，而在莫尔圆上相差180°，所以应力元素旋转 角，则莫尔圆上朝相同方向转 角。
主应力平面有正向应力最大值，剪应力为零。
最大剪应力发生在与主平面成45°的斜截面上。
三轴试验莫尔应力圆画法
三轴试验莫尔应力圆画法
三轴试验莫尔应力圆画法是一种常见的土体力学试验方法，可用于测量土壤在不同应力条件下的应变变形特性。其基本原理是通过在三个不同方向施加垂直力来模拟土壤中存在的应力状态，并记录不同条件下土壤的应变数据，根据这些数据可以绘制出莫尔应力圆。具体方法如下：
1. 在试验设备中放置一个单轴压力机，该压力机可以在垂直方向施加均匀的压力，同时可以记录土壤的应变数据。
2. 在压力机的下方放置一个固定的荷重板，上方放置一个可移动的荷重板，将试样放置在两个荷重板之间。
3. 在试样的三个不同方向分别施加均匀的压力，分别测量不同方向的应变数据。一般情况下，这三个方向应当垂直于试样的三个主轴，也可以在不同方向上进行斜向压缩。
4. 将测得的应变数据绘制在应力平面上，在平面上绘制三个主轴的应力状态图，然后根据莫尔应力圆的计算公式计算出莫尔圆的圆心坐标和半径。
5. 将莫尔应力圆绘制在应力平面上，用不同颜色的线表示不同应力状态下的莫尔圆，并进行比较和分析。
需要注意的是，安全操作三轴试验设备十分重要，应遵循相关的试验标准和安全规范。
莫尔应力圆(课堂PPT)
滑移面与最小主应力面
夹角45 -φi/2，与最
大主应力面夹角45 +φi/2
莫尔圆半径：p*sinφ
3.2 莫尔-库仑定律
最大主应力
1p (1 sin i) cc oBiblioteka Baiduti
最小主应力
3p (1 sini) cc o ti
x x p R c o s 2 c c o s i p ( 1 s i n i c o s 2 ) c c o ti
x 0 sin ds cos ds 3 sin ds 0
y 0 cos ds sin ds 1 cos ds 0
1 3 1 3 cos 2
2
2
1 3 sin 2
2
◇用摩尔应力圆表示斜面上的应力 由前两式平方并相加，整理得
( 1 3 )2 2 (1 3 )2
根据这一准则，当粉体 处于极限平衡状态即应理 解为破坏状态，此时的莫 尔应力圆即称为极限应力 圆或破坏应力圆，相应的 一对平面即称为剪切破坏 面（简称剪破面）。
莫尔圆与抗剪强度线间的位置关系： 1.莫尔圆位于抗剪强度线的下方； 2.抗剪强度线与莫尔圆在S点相切； 3.抗剪强度线与莫尔圆相割。
τ-σ线为直线a： 处于静止状态
3 粉体静力学
3.1 莫尔应力圆 3.2 莫尔库仑定律 3.3 壁面最大主应力方向 3.4 朗肯应力状态 3.5 粉体应力计算
莫尔圆
莫尔圆-莫尔圆
莫尔圆-正文
在应力（或应变）坐标图上表示受力（或变形）物体内一点中各截面上应力（或应变）分量之间关系的圆。表示应力的称为应力莫尔圆；表示应变的称为应变莫尔圆。
以平面应力为例说明二维应力莫尔圆的性质：受力物体内某一截面上的正应力σ和剪应力τ都是该截面法线与最大主应力σ
1
夹角θ的函数，可以分别用公式表示为
式中σ
1和σ
2
为两个主应力。这两个关系式也可以用莫尔圆上N点的坐标值（见图）来表
示，N点与σ
1夹圆心角为2θ。当(σ
1
和σ
2
为已知时, 用公式法或莫尔圆法都可获得通过
该点的任一截面上的正应力和剪应力值。莫尔圆法的操作是：取σ为横坐标，τ为纵坐标，
在横坐标上分别取量值为σ
1和σ
2
的两点,取两点间的中点为圆心作圆，则此圆的圆心坐标
为，圆半径值为。如果欲知道法线与σ
1
夹角为θ的截面上的正应
力和剪应力，可从σ
1
开始，量得圆心角为2θ而获得N点,则N点的横坐标恰好为该截面上的正应力值，N点的纵坐标恰好为该截面的剪应力值。N点的横坐标值等于圆心的横坐标
值加上半径值与cos2θ之积，即，与公式的结果一样；N点的纵坐标值等于半径值与sin2θ之积，即，与公式的结果也一样。改变θ角就可以获得任意截面上的正应力与剪应力值。当 2θ=90°或270°时，其最大的纵坐标值即
，它表示法线与最大主应力分别夹45°和135°的截面上剪应力最大,但两者有相
反的符号。当2θ=0或者180°，恰好是σ
1和σ
2
两点,这两点的纵坐标值为零, 表示主应
力作用面上没有剪应力，而且σ
1与σ
2
之间夹角θ=90°，即彼此永远垂直。
第三章粉体力学
③倾斜法－－在圆筒内加粉体，慢慢移动容器，此时粉体开始 从料层表面滑落下来，测定此时倾斜角
②、③不适合粘附性较强的粉体
一般注入法比排出法或倾斜法的安息角要小些。
安息角的测定
常用的方法是固定圆锥法（亦 称残留圆锥法）。固定圆锥法 将粉体注入到某一有限直径的 圆盘中心上，直到粉体堆积层 斜边的物料沿圆盘边缘自动流 出为止，停止注入，测定休止 角 θ。
若不考虑颗粒间内聚力（粘性力）的非线性影响 ，那么就有： ① 摩擦力不取决于接触的表观面积，而仅仅正比于表面上的正荷载; ② 动摩擦系数不取决于相对滑动速度，而且它比静摩擦系数小（但实 验中发现当速度降低时，动摩擦系数值逐渐增加直至达到静摩擦系数 值）。
3.3 粉体的摩擦角特性
由于颗粒间的摩擦力和内聚力而形成的角统称为摩 擦角。摩擦角分为四类：内摩擦角、安息角、壁面摩擦 角、滑动摩擦角和运动摩擦角. 几种摩擦角的区别：
27.5 129
41.2 192
以 i
1 3
2
为圆心
以
i
1 3
2
半径
该圆称为莫尔圆 （破坏圆） 。这些圆的切线称为破坏 包络线。它与 的夹角 i 称为内摩擦角。
3.4.2 粉体层应力的莫尔圆分析法 1、粉体层应力平衡关系 用二元应力系分析粉体层中某一点的应力状态，在粉 体层中取坐标轴，并设有一小直角三角形包围着这一点， 该三角形的厚度为单位长度，两直角边与斜边上的应力平 衡。 剪应力 xy ， yx 注脚的前一个字母表示受力面的垂 直方向，后一个字母表示剪应力方向。 ， ， 分别垂 直于受力面，朝三角形内侧的取正值，即为压缩应力。
第三章 粉体层静力学
库仑
（C. A. Coulomb）
(1736-1806)
法国军事工程师 在摩擦、电磁方面 奠基性的贡献
1773年发表土压力 方面论文，成为经 典理论。
莫尔-库仑定律
一、粉体的抗剪强度规律 库仑定律
对于非粘性粉体 τ =σ tgυ i 对于粘性粉体 τ = c +σ tgυ i
tani c
2.安息角/休止角
• 安息角/休止角 Angle of Repose
– 安息角/休止角，是指物料堆积层的自由表面在 静平衡状态下，与水平面形成的最大角度。它 是通过特定方式使物料自然下落到特定平台上 形成的，是由自重运动形成的角。往往将该角 度视作粉体的“粘度”。 – 安息角对物体的流动性影响最大： 安息角越小，粉体的流动性越好。 - 安息角也称自然坡度角，是由物料间相互摩擦
系数决定的，它会影响到料堆的形状。
实 验 观 察
Water
Vessels
Rice
Powder flow Fluid flow
保持静止 的最大角 度
安息角/休止角
Fluid
ω
Powder
Cylinder
安息角/休止角
• 安息角的测定方法
– – – – – 排出角法 注入角法 滑动角法 剪切盒法 ……
消去l
x cos yx sin cos sin y cos xy sin sin cos
粉体力学3-7 静力学 molerus粉体分类
POWDER MECHANICS
化工机械学院 刘志军
2013.4-7
1
3 基础静力学
3.7 Molerus 粉体分类
2
3 基础静力学
3.7 Molerus 粉体分类
3
wenku.baidu.com
3 基础静力学
3.7 Molerus 粉体分类
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3 基础静力学
3.7 Molerus 粉体分类
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3 基础静力学
3.7 Molerus 粉体分类
6
7
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9
3 基础静力学
3.7 Molerus 粉体分类
10
第三章_粉体力学
圆筒形容器里粉体压力
精品课件
• 取柱坐标（r,z)，柱体上表面中心点为坐标原 点，z轴沿柱体中轴线垂直向下。
• 建立铅垂方向的力平衡方程：
4
D2P
4
D2B
gdh
C
D
4wk
ln(B
g)
将C值代人上式得：
h
D
4wk
ln{
B
Bg 4wk
D 精品课件
} p
• 进而得到：
铅锤压力
p4Bg WD k[1exp(4D wkh)]
水平压力 当h→时
ph = Kp
Pw
P
Hale Waihona Puke Baidu
BgD 4wk
• 粉体的压力饱和现象：粉体中的压力与深度 呈指数关系。当深度达一定值时，趋于饱和。 当 4wk=0.5 ， h=6D 时 ， p/p=1-e-3= 0.9502，粉体层压力达到最大压力的95%。
• 根据莫尔理论，在粉体层中某点的压应力， 剪应力，可用最大主应力1、最小主应力 3以及、的作用面和1的作用面之间的 夹角来表示。
精品课件
它们之间的数学关系式如下：
1 3 1 3 cos2
2
第三章粉体力学
③倾斜法－－在圆筒内加粉体，慢慢移动容器，此时粉体开始 从料层表面滑落下来，测定此时倾斜角
②、③不适合粘附性较强的粉体
一般注入法比排出法或倾斜法的安息角要小些。
安息角的测定
常用的方法是固定圆锥法（亦 称残留圆锥法）。固定圆锥法 将粉体注入到某一有限直径的 圆盘中心上，直到粉体堆积层 斜边的物料沿圆盘边缘自动流 出为止，停止注入，测定休止 角 θ。
c tani
粉体内摩擦角的测定常采用剪切实验确定。
3.3.2
安息角（休止角）
1.安息角定义：粉体（不是太细的）在自重作用下运动所
形成的角，即粉体层的自由表面与水平面的夹角。
在无内聚力或忽略内聚力的情况下，安息角与内摩擦角在数 值上几近相等。或者说对理想库仑粉体，可以认为安息角与 内摩擦角是相等的，（但安息角和内摩擦角的物理意义是不 同的）
x
y
设斜边长度为 l ，压应力 和X轴的夹角为 ，力的平衡如下（式中消 去 l）
X方向 Y方向
x cos yx sin cos sin
y sin xy cos sin cos
（3.1） （3.2）
由上两式分别求得
和
:
x cos2 y sin2 ( yx xy )sin cos
Mohr应力圆假说
Mohr应力圆假说
1900年， Mohr在发展他的强度理论时，运用了应力圆方法，称为莫尔圆。Mohr对材料的强度理论进行过比较系统的研究，认为破坏是广义的，它可以是材料的屈服或断裂。 Mohr破坏准则认为某平面上的极限剪应力是该截面上正应力的函数。
对于二向应力状态，若已知如图la所示的单元体（实际代表物体中一个点）在两相互垂直的截面上的应力σx、τxy和σy、τyx。则在以σ正应力为横坐标、剪应力为纵坐标的坐标系中，可按下述步骤画出莫尔圆：根据已知应力分量在坐标系中画出A（σx，τxy）和B（σy，τyx）两点，以AB连线与轴的交点C为圆心，以CA（或CB）为半径画图，即得莫尔圆。
莫尔圆的方程是：
σx′−σx+σy
22
+τx′y′2=σx−σy
2
2
+τxy2（公式）
Mohr仅仅考虑了最大的应力圆。他将该应力圆称为主应力圆，并且认为当从实验中得到破坏时的每个应力状态时，这样的主应力圆就可得到。材料在复杂应力状态下的强度可由相应的极限主应力圆确定。
图莫尔圆示意图
莫尔应力圆
②将粉体层内任意点的正应力和剪应力的公式整理后 可得一圆的方程。该圆即为莫尔应力圆。
的函数关系？
Mohr 1835 年生于德国， 16 岁入 Hannover 技术学院学习。毕业后，在铁路工作，作为结构工 程师，曾设计了不少一流的钢桁架结构和德国一些 最著名的桥梁。他是 19 世纪欧洲最杰出的土木工 程师之一。与此同时， Mohr也一直在进行力学和 材料强度方面的理论研究工作。 1873 年 , Mohr 到德累斯顿 (Dresden) 技术学院任教，直到1900 年他 65 岁时。退休后 , Mohr留在德累斯顿继续 从事科学研究工作直至 1918 年去世。 Mohr 提出了用应力圆表示一点应力的方法 （所以应力圆也被成为 Mohr 圆），并将其扩展到 三维问题。应用应力圆，他提出了第一强度理论。 Mohr 对结构理论也有重要的贡献，如计算梁挠度 的图乘法、应用虚位移原理计算超静定结构的位移 等。
体单元)所处状态的最常用或
最基本的准则。
莫尔圆与抗剪强度线间的位置关系：
1.莫尔圆位于抗剪强度线的下方； 2.抗剪强度线与莫尔圆在S点相切； 3.抗剪强度线与莫尔圆相割。
τ-σ线为直线a： 处于静止状态 τ-σ线为直线b： 临界流动状态/流 动状态 τ-σ线为直线c： 不会出现的状态
3.2 莫尔-库仑定律
1 3
◇用摩尔应力圆表示斜面上的应力 由前两式平方并相加，整理得
莫尔圆推导
莫尔圆推导
莫尔圆推导(Mohr's circle)是一种用于分析材料的应力和应变状态
的图解方法。它可以将三维空间中的应力状态简化为二维平面上的一个圆形，从而便于进行分析。以下是莫尔圆推导的步骤：
1.将三维空间中的应力状态表示为一个应力矩阵，其中行和列表示不
同的应力分量，如x方向和y方向的正应力和剪应力。
2.将应力矩阵中的正应力和剪应力分为两个对称应力矩阵，一个表示
平面上的正应力和另一个表示平面上的剪应力。
3.根据对称应力矩阵计算出平面上的最大和最小应力值，以及最大应
力值对应的法向应力和剪应力。
4.将最大和最小应力值在平面上标出，以最小应力值为圆心，最大应
力值到最小应力值的距离为圆的半径画出一个圆。
5.将法向应力和剪应力在圆上标出，其中法向应力在圆周上，剪应力
在圆心与应力点之间的直线上。
6.根据圆周上两个点之间的连线，可以推导出应力和应变的相关系数，从而进行材料的强度分析。
总之，莫尔圆推导是一种非常实用的材料力学分析方法，它可以通过
图解的方式将复杂的应力状态简化为简单的二维图形，使分析更为直观和
准确。
粉体工程 第三章
3.3 粉体的重力流动
3.3.1 粉体从孔口流出
P42，图5－17
3.3.2 质量流与漏斗流
粉体在重力作用下自料仓流出的形式有质量流和漏斗流 两种。如果料仓内整个粉体层能够大致均匀地下降流出， 这种流动型式称为质量流（或整体流）。如图p70 图 4.3(a)。特点是“先进先出”。流动性良好或细粒散体可 实现质量流。如果料仓内粉体层的区域呈漏斗形，使料 流顺序紊乱，甚至有部分粉体滞留不动，造成先加入的 物料后流出，即“后进先出”的后果，这种流动型式有 两种: 漏斗流Ⅰ：θ＞（φw为壁摩擦角）时，形成死角区域或 相似管流的流型。图4.3(c)，粉体自料仓卸出后还残留一 部分于仓内。
3.1.3 壁摩擦角和滑动摩擦角
壁摩擦角是粉体与壁面之间的摩擦角。 滑动摩擦角是指置粉体于某材料制成的斜面上，当斜面 倾斜至粉体开始滑动时，斜面与水平面间所形成的角。
3.1.4 运动摩擦角 粉体在流动时空隙率增大，在颗粒静止时可形成疏填 充状态，颗粒间相斥等，并对粉体的弹性率产生影响。 目前难以分析这种状态下的摩擦机理，通常通过测定 运动内摩擦角来描述粉体流动时的这一摩擦特性。 在测量内摩擦角的直剪法中，随着剪切盒的移动，剪 切力逐渐增加，当剪切力达到几乎不变时的状态即所 谓动摩擦状态，这时所测得的摩擦角即可规类于运动 角，亦称动内摩擦角。
(4) 在料仓中设置中央孔管，即使落料点固定不变，但由于管壁 上不规则地开有若干窗孔，粉料有不同的窗孔进入料仓不同的位置， 实际上就是在不断地改变落料点，收到多点装料的效果。 (5) 采用侧孔卸料，粉料从料仓侧面的垂直孔内卸出，以获得比 较均一的料流。 (6)在卸料口加设改流体以改变流型的方法，减轻漏斗流对偏析的
粉体静力学
rr tan =
B gD
4
4 K tan 4K tan [1 exp( z )] K tan 0 exp( z) D D
29
3.5.1 筒体应力分析
如果z=0的面为自由表面
B gD 4 w K zz 1 exp 4 w K D rr K zz w K w zz
力分布，也用于筒仓的设计中。
35
3.5.2 锥体应力分析
a
zz [(H z) tan a ] B g[(H z) tan a ] dz ( zz d zz )[( H z) tan a ]
2 2 2
dz dz 2 ( H z ) tan a cos a 2 ( H z ) tan a rr sin a cos a cos a
朗肯主动应力状态，根据莫尔－库仑定律为
A p RA c cot i p (1 sin i ) c cot i
* A * A
18
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
A p RA c cot i p (1 sin i ) c cot i
xx p (1 sin 2i cos 2 ) yy p (1 sin 2i cos 2 ) yx xy p sin i sin 2 1 p (1 sin i ) 3 p (1 sin i )
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xoy坐标中q，相当于莫尔圆中的2q q0角为粉体层的x轴与最大主应力作用方向的夹角
六、莫尔圆与粉体层的对应关系
七、莫尔圆的图解法
??
s
2
y ）2
t
2 xy
O
s2
2q1
A(sx ,txy)
C
s3
2q0 s1 sq
B(sy ,-txy)
t max t min
R半径
t min
（s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
五、平面应力状态的分析方法
1、解析法 精确、公式不好记 —— 7个 一般公式2个（正、切应力），极值应力5个 （极大与极小正应力，极大与极小切应力， 主单元体方位角）
2
cos 2q
t xy
sin
2q
sq
三、单元体与应力圆的对应关系
（1）单元体的右侧立面 ——
sy
n
应力圆的 A 点（2q 0 ） （2）斜截面和应力(sq ,tq
—— 应力圆上一点 D 点
sq
q
sx
tq txy
y
和坐标(sq ,tq) （3）单元体上夹角q ——
Ox
应力圆上 CA 与 CD 夹角
2q
C O
B(sy ,-txy)
x
A(sx ,txy) sq
第二种画法 （1）坐标系内画出点
A(s x，txy) B (sy，-tyx) （2） AB与sq 轴的
交点C是圆心 （3） 以 C 为圆心
以AC为半径 画 圆 ——
应力圆 或 莫尔圆
以上由单元体公式
应力圆（原变换）
? 由应力圆
单元体公式（逆变换）
为什么叫莫尔圆 ( Mohr’s Circle ) ？
首先由Otto Mohr（1835-1918）提出 ( 又是一位工程师)
来由: 一点无穷多个微元上的应力能否在一
张图上表示？
或者说，
把q 看成参数，能否找到sq 与tq 的函数关系？
一、斜截面应力 二、应力圆的画法 三、单元体与应力圆的对应关系 四、应力极值 五、平面应力状态的分析方法 六、莫尔圆与粉体层的对应关系 七、莫尔圆的图解法
2q 且转向一致 （4）主单元体上s 1所在面法向
tq n D( sq , tq
x
2q
C
A(sx ,txy) sq
是由x 轴逆时针转 q 0 —— O sq 轴上应力圆最右端
2q0 B(sy ,-txy)
t 0 四、应力极值
sq
sx
sy
2
sx
s y
2
cos 2q
t xy
sin 2q
tq
sx
s y
平方和相加---关键的一步
sq
sx
s
2
y
2
t
2 q
s
x
s
2
y
2
t
2 xy
一、斜截面应力
圆心？—
s
(
x
s
y
,0)
2
s
q
sx
sy
2
2
t
2 q
sx
s y
2
2
t
2 xy
在sq tq 坐标系中，sq
落在一个圆上
与tq
应力圆 或 莫尔圆
tq
半径？—
R
s
x
s
2
y
2
t
2 xy
B0 C
0 B
2
sin 2q
t xy
cos 2q
s s
1 3
sq
q q0
q q q0
dsq
dq
sx sy
sin 2q 2t xy cos 2q 0
令此时的q 为q0
tan 2q0
t xy sx sy
2
无剪切力时的垂直应力为主应力
四、应力极值
图解
s s
1 3
OC
R半径
tq
t max
x
sx
s
2
y
（
sx
只有这样，应力圆才能与公式等价
换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
为什么说有这种对应关系？
DE R sin[180o (2q 2q0 )] R sin(2q 2q0 )
(R cos 2q0 )sin 2q (Rsin 2q0 ) cos 2q
sx
s
2
y
sin 2q
t xy
cos 2q
➢ 莫尔强度理论：有些材料的抗拉和抗压强度并 不相等，说明材料的强度与拉伸正应力或者压 缩正应力有关，而不仅仅取决于最大剪应力。 极限应力圆
➢ 粉体层的抗拉和抗压能力明显不同，粉体力学 中引入莫尔圆的概念。
➢ 粉体层受力小时，外观基本无变化，这是由于 颗粒间的摩擦力相对于作用力的大小产生了克 服它的应力，二力保持平衡。当作用力达到某 一极限时，粉体层将突然崩坏，崩坏前后的状 态称为极限应力状态，这一状态由一对压应力 和剪应力组成。
➢ 粉体层任意面上施加垂直压应力，并逐 渐增加该层面的剪应力，结果会怎样？
➢ 剪应力达到某值时，粉体层将沿此面滑 移，内摩擦角可以表示极限应力状态下剪 应力与垂直应力的关系，用莫尔圆及其包 络线来描述。
Mohr 应力圆
Mohr’s Stresses Circle
应力圆 （ Stresses Circle ）
30
单位：MPa
2、算出心标 OC = 50，半径
R AC AD2 DC2 30 2
A(80,30) 3、算出主应力、切应力极值
OE
s3 s y
C
sx s1
Ds
s s
1 3
OC R 50 30
2MPa
tmax -tmin R 30 2MPa
4、算出方位角
B
六、莫尔圆与粉体层的对应关系
t xyla cosq t xylb sinq
s xlc sinq cosq s ylc sinq cosq
t xylc cos2 q sin2 q
tq
sx
sy
2
sin 2q
t xy
cos 2q
sq
sx
sy
2
sx
s y
2
cos 2q
t xy sin 2q
tq
sx
s y
2
sin 2q
t xy
sy
sx
A
A0 sq
二、应力圆的画法
第一种画法
（1）在sq轴上作出A0(sx,0), B0(sy,0)
（2） A0, B0的中点为圆心C
（3）过A0垂直向上取txy 得A， tq
CA为半径
（4）以C 为圆心、CA为半径 画圆
B0 C
0
B
sy
sx
A
A0 sq
sy
n
sq
q
sx
tq txy
y
Ox
tq n D( sq , tq
一、斜截面应力 Fn 0 :
sq ssxx cos22q s yy sin22q 22ttxxyyssiinnqqccoossqq
1 2
s
x
1 2
s
x
cos2
q
1 2
s
x
sin 2
q
1 2
s
x
cos2
q
1 2
s
x
sin
2
q
1s
2
y
sin2 q
1s
2
y
cos2
q
1s
2
y
1 2
s
y
sin 2
q
2、图解法 不必记公式、数值不精确
有没有 集二者优点、避二者缺点 的方法 ？
3、图算法 前半部 —— 画莫尔圆 后半部 —— 看图精确计算
例 单元体上应力如图，求出主应力，画出主单元体
20
s x 80, s y 20, t 30
80
80
1、取s x ,s y的中点C为圆心
以 AC 为半径画莫尔圆
➢ 最大剪应力理论（第三强度理论）：最大剪应力 是引起流动破坏的主要因素。机械工程中应用广 泛，很好地解释了塑性材料出现塑性变形的现象。 忽略了中间主应力的影响。
➢ 形状改变比能理论（第四强度理论）：形状改 变比能是引起材料流动破坏的主要原因。存储 在微元体内的变形能称为应变能，单位体积中 积蓄的应变能称为应变比能。纯剪切情况下， 比第三强度理论的结果大15%
cos 2q
一、斜截面应力
sy
sx
y
txy
Ox
sq
q
sx
tq t
y
sy txy
n
0x
sq
sx
sy
2
sx
s y
2
cos 2q
t xy sin 2q
tq
sx
s y
2
sin 2q
t xy
cos 2q
sq
sx
s
2
y
sx
s
2
y
cos 2q
t xy
sin 2q
tq
sx
s y
2Biblioteka Baidu
sin 2q
t xy
cos 2q
单元操作 装置设计 储存 给料 输送 混合 造粒 分级
力学行为
流动特性
应力状态 分析一点处的应力状态，研究粉粒体受力后， 通过该点的各个截面上的应力变化情况，用以判 断粉粒体颗粒群在什么地方、什么方向容易混合 或者崩坏
➢ 主平面：微元体中剪应力等于零的面（3个互 相垂直的主平面）
➢ 主应力：主平面上的正应力 （每点3个）
➢ 杆件的拉伸和压缩：3个主应力中有2个为零 （单向应力状态）（简单应力状态）
➢ 3个主应力中有2个不等于零：二向应力状态 （平面应力状态） ➢ 3个主应力中有3个不等于零：三向应力状态 （空间应力状态） ➢ 二向、三向应力状态：复杂应力状态
强度理论
➢ 塑性材料：屈服极限 （流动破坏）
流动现象、塑性变形
1 2
s
y
cos2
q
1 2
sx sy
cos2 q sin2 q
sq
sx
sy
2
s x s y cos 2q
2
t xy sin 2q
sq
sx
sy
2
sx
sy
2
cos 2q
t xy sin 2q
一、斜截面应力
sy
Ft 0 :
sx
y
txy
Ox
sq
q
sx
tq t
y
sy txy
n
0x
abc
tq lc s xla sinq s ylb cosq
一、斜截面应力
sy
Fn 0 :
y
sx
txy
sq lc s xla cosq s ylb sinq t xyla sinq t xylb cosq
s xlc cos2 q s ylc sin2 q
Ox
sq
q
sx
tq t
y
sy txy
n
0x
abc
+2t xylc sinq cosq
sq s x cos2 q s y sin2 q 2t xy sinq cosq
➢ 脆性材料：强度极限
断裂破坏
➢ 最大拉应力理论（第一强度理论）：最大拉应力 是引起材料断裂破坏的主要因素。没考虑其他两个应 力主应力的影响，对于没有拉应力的应力状态也不能 应用。
➢ 最大伸长线应变理论（第二强度理论）：最大伸 长线应变是引起材料断裂破坏的主要因素。双向 压缩似乎与单向压缩时应力状态不同，但混凝土 等材料的强度在双向压缩时并无明显差别。
t
OE OC EC
tq
n D( sq , tq
x
sx
sy
2
R cos[180o
(2q
2q0 )]
sx
sy
2
R cos(2q
2q0 )
0
2q
EC
B(sy ,-txy)
2q0 A(sx ,txy) sq
sx
sy
2
R(cos 2q
cos 2q0
sin 2q
sin 2q0 )
sx
sy
2
sx
s y