3 粉体静力学 (3) mohr圆
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莫尔应力圆
τ
f c tg
D A O
τ＝τf 极限平衡条件 莫尔－库仑破坏准
则
B σ
剪切破坏面
极限应力圆 破坏应力圆
3.2 莫尔-库仑定律
临界流动状态或流动状 态时，两个滑移面：S 和S’
滑移面夹角90-φi
滑移面与最小主应力面
夹角45 -φi/2，与最
大主应力面夹角45 +φi/2
莫尔圆半径：p*sinφ
库仑
（C. A. Coulomb）
(1736-1806)
▪ 法国军事工程师
▪ 在摩擦、电磁方面 奠基性的贡献
▪ 1773年发表土压力 方面论文，成为经 典理论。
3.2 莫尔-库仑定律
一、粉体的抗剪强度规律
库仑定律
tani c
对于非粘性粉体 τ=σtgφi 对于粘性粉体 τ= c +σtgφi
3.5.1 詹森（Janssen)公式
4
D2 zz
4
D2B gz
4
D2 ( zz
yy pP* (1 sini ) cБайду номын сангаасcoti
P
1 sin i 1 sin i
yy
2c cosi 1 sin i
P
1 sini 1 sin i
yy
1 sini 1 sin i
B gy
KP B gy
c=0
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
2 w w
3.3 壁面最大主应力方向
若壁面应力状态对应D点：
2 w 180o ( w ) Rsin psin R p sini sin sin
f c tg
D A O
τ＝τf 极限平衡条件 莫尔－库仑破坏准
则
B σ
剪切破坏面
极限应力圆 破坏应力圆
3.2 莫尔-库仑定律
临界流动状态或流动状 态时，两个滑移面：S 和S’
滑移面夹角90-φi
滑移面与最小主应力面
夹角45 -φi/2，与最
大主应力面夹角45 +φi/2
莫尔圆半径：p*sinφ
库仑
（C. A. Coulomb）
(1736-1806)
▪ 法国军事工程师
▪ 在摩擦、电磁方面 奠基性的贡献
▪ 1773年发表土压力 方面论文，成为经 典理论。
3.2 莫尔-库仑定律
一、粉体的抗剪强度规律
库仑定律
tani c
对于非粘性粉体 τ=σtgφi 对于粘性粉体 τ= c +σtgφi
3.5.1 詹森（Janssen)公式
4
D2 zz
4
D2B gz
4
D2 ( zz
yy pP* (1 sini ) cБайду номын сангаасcoti
P
1 sin i 1 sin i
yy
2c cosi 1 sin i
P
1 sini 1 sin i
yy
1 sini 1 sin i
B gy
KP B gy
c=0
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
2 w w
3.3 壁面最大主应力方向
若壁面应力状态对应D点：
2 w 180o ( w ) Rsin psin R p sini sin sin
粉体工程与设备-第三章
特点: 球形颗粒而言,粉体的安息角一般为 23~28° 规则颗粒而言,粉体的安息角一般为30° 不规则颗粒而言,粉体的安息角一般为35° 极不规则颗粒而言,粉体的安息角一般为 40°
5.1.3 壁摩擦角
壁摩擦角：将剪切盒试验中的下箱换作 壁面材料，拉动上箱，粉体与壁面之间 的摩擦角。 滑动摩擦角：在某材料的斜面上放上粉 体，慢慢使斜面倾斜，当粉体滑动时， 板面与水平面之间的夹角。 壁摩擦角和滑动摩擦角同属于粉体的外 摩擦属性。
– 莫尔（mohr）圆
– 破坏包络线
微元体上的应力张量
• 考虑如图所示的微元体，作 用在x面上的力Fx分解为 x,y,z方向的力Fxx,Fxy,Fxz，其 中第一个下标代表作用面, 第二个下标代表力的方向, 除以x面的面积A得x面上的 法向应力σxx及切应力τxy和 τxz 。同样在y和z面上各有 三个应力σyy, τyx ,τyz和 σzz, τzx ,τzy 。这样作用在微元体 上的应力张量为
水平压力σ3（pa） 13.7
27.5
41.2
垂直压力σ1（pa） 63.7
129
192
三轴压缩试验粉体层破坏面的角度 滑移面与最小主应力面的夹角为π /4-Φ i/2
直剪试验
试验原理：把圆形或方形盒子重叠，将粉 体试样填充其中，在铅重压力σ 作用下， 再向上盒或中盒施加逐步增大的剪切力τ ， 当τ 到极限时，盒子错动，测量此时的瞬 间剪切力τ 。
F w arctg WSWWWO
式中 F——水平力 Ww——砝码的重力 Ws——粉料的重力 Wo——容器的重力
5.1.4 运动摩擦角
粉体在流动时空隙率增大，这种空隙率 在颗粒静止时可形成疏填充状态、颗粒 相斥等，并对粉体的弹性率产生影响。 目前尚难分析这种状态下的摩擦机理， 通常是通过是通过测定运动内摩擦角来 描述粉体流动时的这一特性。
莫尔应力圆(课堂PPT)
滑移面夹角90-φi
滑移面与最小主应力面
夹角45 -φi/2，与最
大主应力面夹角45 +φi/2
莫尔圆半径：p*sinφ
3.2 莫尔-库仑定律
最大主应力
1p (1 sin i) cc o ti
最小主应力
3p (1 sini) cc o ti
x x p R c o s 2 c c o s i p ( 1 s i n i c o s 2 ) c c o ti
切破坏，在破坏面上τf=f(σ)，由此函数关系所
定的曲线，称为莫尔破坏包络线。1776年，库仑 总结出粉体（土）的抗剪强度规律。
库仑定律是莫尔强度理论的特 例。此时莫尔破坏包线为一直 线。以库仑定律表示莫尔破坏包络 线的理论称莫尔—库仑破坏定律。
库仑
（C. A. Coulomb）
(1736-1806)
▪ 法国军事工程师
▪ 在摩擦、电磁方面 奠基性的贡献
▪ 1773年发表土压力 方面论文，成为经 典理论。
3.2 莫尔-库仑定律
一、粉体的抗剪强度规律
库仑定律
tani c
对于非粘性粉体 τ=σtgφi 对于粘性粉体 τ= c +σtgφi
库仑粉体：符合库Biblioteka 定律的粉体 CC粉体流动和临界流动的充要条件，临界流动条件在 （σ，τ）坐标中是直线：IYF
③破坏包络线IYF是摩尔圆Ⅲ的一条割线，这种情况是不存在的，因为该 点任何方向上的剪应力都不可能超过极限剪切应力 。
粉体的极限平衡条件
τ
f c tg
D A O
τ＝τf 极限平衡条件 莫尔－库仑破坏准
则
B σ
剪切破坏面
极限应力圆 破坏应力圆
3.2 莫尔-库仑定律
滑移面与最小主应力面
夹角45 -φi/2，与最
大主应力面夹角45 +φi/2
莫尔圆半径：p*sinφ
3.2 莫尔-库仑定律
最大主应力
1p (1 sin i) cc o ti
最小主应力
3p (1 sini) cc o ti
x x p R c o s 2 c c o s i p ( 1 s i n i c o s 2 ) c c o ti
切破坏，在破坏面上τf=f(σ)，由此函数关系所
定的曲线，称为莫尔破坏包络线。1776年，库仑 总结出粉体（土）的抗剪强度规律。
库仑定律是莫尔强度理论的特 例。此时莫尔破坏包线为一直 线。以库仑定律表示莫尔破坏包络 线的理论称莫尔—库仑破坏定律。
库仑
（C. A. Coulomb）
(1736-1806)
▪ 法国军事工程师
▪ 在摩擦、电磁方面 奠基性的贡献
▪ 1773年发表土压力 方面论文，成为经 典理论。
3.2 莫尔-库仑定律
一、粉体的抗剪强度规律
库仑定律
tani c
对于非粘性粉体 τ=σtgφi 对于粘性粉体 τ= c +σtgφi
库仑粉体：符合库Biblioteka 定律的粉体 CC粉体流动和临界流动的充要条件，临界流动条件在 （σ，τ）坐标中是直线：IYF
③破坏包络线IYF是摩尔圆Ⅲ的一条割线，这种情况是不存在的，因为该 点任何方向上的剪应力都不可能超过极限剪切应力 。
粉体的极限平衡条件
τ
f c tg
D A O
τ＝τf 极限平衡条件 莫尔－库仑破坏准
则
B σ
剪切破坏面
极限应力圆 破坏应力圆
3.2 莫尔-库仑定律
第三章粉体力学
2 n
图8-1 不同尺寸分离球间液体桥联的粘聚模型
3.2 固体表面间的摩擦力 摩擦力等价于由一个固体对抗与其接触的另一个固体运动的 阻力。这个力正切于接触面。 静摩擦系数是物体即将运动时的最大摩擦力与相应的正压力 之比值。 动摩擦系数是两个相对运动的表面间摩擦力与接触面上的正 压力之比值
eyl粉体密实的最大主应力和最小主应力与有效内摩擦角的关系粉体流动性随着的增大而降低粉体的有效屈服轨迹及开放屈服强度eyl353粉体的开放屈服强度在一个筒壁无摩擦的理想的圆柱形筒内即无剪应力a使粉体在一定的预密实应力作用下压实然后除去圆筒在不加任何侧向支承的情况下即0如果被预压实的粉体试块不坍塌b则说明其具有一定的固结强度换言之如果单纯施加垂直压力使试块破坏则发生破坏时的压应力即为相当于条件下的固结强度亦即开放屈服强度
f ( )
当粉体开始滑移时，若滑移面上的切应力τ与正应力σ成正 比 c c 库仑定律 这样的粉体称为为库仑粉体，
c
粉体的摩擦系数，又称内摩擦系数，
初抗剪强度，C=0的粉体称为简单库仑粉体。
c
库仑定律是粉体流动和临界流动的充要条件：
①当粉体内任一平面上的应力 c c 时，粉体处
3、最大主应力和最小主应力 值
由（3.8）可知，σ 随θ 角变化，故其最大和最小值可通过
对式（3.8）取极值
式3-8取微分
d ( x y ) sin 2 2 xy cos 2 0 d
令此时的θ 为Ψ ，则
xy tan 2 ( x y ) / 2
3.1.2 颗粒间的内聚力
粉体颗粒间最基本和最常见的内聚力有范德华力、 静电吸引力、液体桥联力和固体桥联力。此外，还有颗 粒表面断键形成的活性点之间的作用力和颗粒表面吸附 活性基团之间的作用力，以及颗粒粗糙表面之间凹凸部 分的机械啮合力等。
图8-1 不同尺寸分离球间液体桥联的粘聚模型
3.2 固体表面间的摩擦力 摩擦力等价于由一个固体对抗与其接触的另一个固体运动的 阻力。这个力正切于接触面。 静摩擦系数是物体即将运动时的最大摩擦力与相应的正压力 之比值。 动摩擦系数是两个相对运动的表面间摩擦力与接触面上的正 压力之比值
eyl粉体密实的最大主应力和最小主应力与有效内摩擦角的关系粉体流动性随着的增大而降低粉体的有效屈服轨迹及开放屈服强度eyl353粉体的开放屈服强度在一个筒壁无摩擦的理想的圆柱形筒内即无剪应力a使粉体在一定的预密实应力作用下压实然后除去圆筒在不加任何侧向支承的情况下即0如果被预压实的粉体试块不坍塌b则说明其具有一定的固结强度换言之如果单纯施加垂直压力使试块破坏则发生破坏时的压应力即为相当于条件下的固结强度亦即开放屈服强度
f ( )
当粉体开始滑移时，若滑移面上的切应力τ与正应力σ成正 比 c c 库仑定律 这样的粉体称为为库仑粉体，
c
粉体的摩擦系数，又称内摩擦系数，
初抗剪强度，C=0的粉体称为简单库仑粉体。
c
库仑定律是粉体流动和临界流动的充要条件：
①当粉体内任一平面上的应力 c c 时，粉体处
3、最大主应力和最小主应力 值
由（3.8）可知，σ 随θ 角变化，故其最大和最小值可通过
对式（3.8）取极值
式3-8取微分
d ( x y ) sin 2 2 xy cos 2 0 d
令此时的θ 为Ψ ，则
xy tan 2 ( x y ) / 2
3.1.2 颗粒间的内聚力
粉体颗粒间最基本和最常见的内聚力有范德华力、 静电吸引力、液体桥联力和固体桥联力。此外，还有颗 粒表面断键形成的活性点之间的作用力和颗粒表面吸附 活性基团之间的作用力，以及颗粒粗糙表面之间凹凸部 分的机械啮合力等。
第三章 粉体层静力学
• 7.内摩擦角的测定方法
– 剪切盒法
– 三轴压缩试验
– 流出法
– 抽棒法 – 活塞法
– 慢流法
– 压力法
8.内摩擦角的确定
• 粉体层受力小，粉体层外观上不产生变化 – 摩擦力的相对性 • 作用力达到极限应力，粉体层突然崩坏 – 极限应力状态，由一对正压力和剪应力组成 – 在粉体层任意面上加一垂直应力，并逐渐增加该层面的剪
在粉体层加压不大时，因粉体层的强度足以抵御外界压力，此时粉 体层外观不起变化，当压力达到某一极性状态时，此时的应力称极限 应力。分体层就会突然崩坏，这与金属脆性材料的断裂是一致的。 如三轴压缩试验时，其破坏大都在与主应力方向成 附近，直接剪切 试验也表明了这一点，无论采用什么方法试验，我们只要做出实验过 程中应力圆（Mohr）找出其各Mohr圆的包络线与轴的夹角即为该粉体 层的内摩擦角。如果该粉体的包络线呈一条直线，我们称该粉体为库 伦粉体，否则称作粗轮分体，在现行工业中（硅酸盐行业）大部分粉 体属于库伦粉体，且有下式 tan C C
库仑
（C. A. Coulomb）
(1736-1806)
法国军事工程师 在摩擦、电磁方面 奠基性的贡献
1773年发表土压力 方面论文，成为经 典理论。
莫尔-库仑定律
一、粉体的抗剪强度规律 库仑定律
对于非粘性粉体 τ =σ tgυ i 对于粘性粉体 τ = c +σ tgυ i
tani c
在θ =0的面上, σ
yx相当于作用于
θ =π /2的面上.
在莫尔圆中,
以σ ,τ 为坐标,他 们是处于圆心的对 称位置,仅差π .
因此,可以写出关系式:
2 2 1 3 1 3 y cos 2 2 2 1 3 xy si n2 2
(粉体力学)3粉体静力学5流动性
粉体的流动模型
剪切流动模型
描述粉体在剪切力作用下 的流动行为，如料仓中物 料在压力差作用下的流动。
压缩流动模型
描述粉体在压缩状态下流 动的行为，如管道中粉体 的流动。
膨胀流动模型
描述粉体在膨胀状态下流 动的行为，如气体在粉体 中的扩散。
粉体的流动参数
流动函数
描述粉体流动性的参数，与休止角、安息角、滑角等 参数相关。
较大。
孔隙率
03
粉体中的孔隙率是指颗粒间的空隙占整个粉体体积的百分比，
孔隙率对粉体的力学性能和流动性有重要影响。
粉体的应力分析
压力
在粉体力学中，压力是指垂直作 用在粉体表面单位面积上的力， 其大小取决于粉体的粒径、密度 和外力的大小。
剪切力
当粉体受到剪切力作用时，颗粒 之间会发生相对位移，剪切力的 大小与颗粒间的摩擦系数、外力 和接触面积有关。
粉体力学之粉体静力学与 流动性
• 粉体静力学概述 • 粉体的流动性 • 粉体静力学与流动性的关系 • 粉体静力学与流动性的实验研究 • 粉体静力学与流动性的工程应用
01
粉体静力学概述
粉体的基本性质
粒径分布
01
粉体由大量固体颗粒组成，颗粒的粒径大小和分布情况是粉体
的基本性质之一。
密度
02
粉体的密度是指单位体积内粉体的质量，不同粉体的密度差异
煤粉燃烧中的粉体静力学 与流动性应用
煤粉燃烧是火力发电厂的重要环节之一，涉 及到煤粉的储存、输送和喷射等过程。在这 些过程中，粉体的静力学和流动性同样发挥 着关键作用。通过优化煤粉的静力学和流动 性特性，可以提高煤粉燃烧的效率和经济性
，降低环境污染。
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[物理]3 粉体静力学及粉体流动
![[物理]3 粉体静力学及粉体流动](https://img.taocdn.com/s3/m/494a06a783d049649b66587b.png)
2018年11月28日星期 三
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3.1 粉体的压力计算
3.1.1 圆筒形容器粉体层压力分布 (詹森Janssen公式)
了解堆积状态下的粉体层压力分布是仓料设计的基础。 (1) 容器内的粉体层处于极限应力状态；（受力最大状态） (2) 同一水平面的铅垂压力相等；(水平和垂直方向的应力是主应力) (3) 粉体物性和堆积结构均一，（内摩擦系数为常数 φi=常数）。
2 2 化简后得： y tan d Pv B g d y 2W Pvdysin Ka cos
3 粉体静力学及粉体流动
3.1 粉体的压力计算
3.2 粉体贮仓的容积计算
3.3 粉体的压缩 3.4 粉体流动
2018年11月28日星期
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3.1 粉体的压力计算
粉体力学 分体在输送、储存中。粒子与粒子之间、粒子与器壁之间由于相 对运动产生摩擦，构成粉体力学。 静力学：研究外力与粉体粒子本身的相互作用力(重力、摩擦力压 力等)之间的平衡关系，如粉体内的压力分布、休止角、内摩擦角、 壁摩擦角等。 动力学：研究粉体在重力沉降、旋转运动、输送、混合、储存、 粒化、颗粒与流体的相互作用等过程中的粒子相互之间的摩擦力、 重力离心力、压力、流体阻力以及运动状态如粉体流动性、颗粒 流体力学性质等。
Pv
Ph
y H
沿壁面的摩擦力为：
2 π rpv d yKa cos tan si n w
2
垂直方向上的力平衡：
π y tan
Pv d Pv B g d y
2018年11月28日星期
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3.1 粉体的压力计算
3.1.1 圆筒形容器粉体层压力分布 (詹森Janssen公式)
了解堆积状态下的粉体层压力分布是仓料设计的基础。 (1) 容器内的粉体层处于极限应力状态；（受力最大状态） (2) 同一水平面的铅垂压力相等；(水平和垂直方向的应力是主应力) (3) 粉体物性和堆积结构均一，（内摩擦系数为常数 φi=常数）。
2 2 化简后得： y tan d Pv B g d y 2W Pvdysin Ka cos
3 粉体静力学及粉体流动
3.1 粉体的压力计算
3.2 粉体贮仓的容积计算
3.3 粉体的压缩 3.4 粉体流动
2018年11月28日星期
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3.1 粉体的压力计算
粉体力学 分体在输送、储存中。粒子与粒子之间、粒子与器壁之间由于相 对运动产生摩擦，构成粉体力学。 静力学：研究外力与粉体粒子本身的相互作用力(重力、摩擦力压 力等)之间的平衡关系，如粉体内的压力分布、休止角、内摩擦角、 壁摩擦角等。 动力学：研究粉体在重力沉降、旋转运动、输送、混合、储存、 粒化、颗粒与流体的相互作用等过程中的粒子相互之间的摩擦力、 重力离心力、压力、流体阻力以及运动状态如粉体流动性、颗粒 流体力学性质等。
Pv
Ph
y H
沿壁面的摩擦力为：
2 π rpv d yKa cos tan si n w
2
垂直方向上的力平衡：
π y tan
Pv d Pv B g d y
2018年11月28日星期
粉体工程 第三章
3.4.1.3 粉体流动函数
粉体的固结强度在很大程度上取决于预密实状态，即开放 屈服强度fc与固结主应力σ 1之间存在着一定的函数关系， 詹尼克将其定义为粉体的流动函数FF。 FF＝σ 1/fc FF表征着仓内粉体的流动性，FF越大，粉体流动性越好。 fc＝0，FF＝∞，粉体完全自由流动。
3.4.2 有效屈服轨迹和有效内摩擦角 p77图4.13。与通过屈服轨迹终点的莫尔圆相切的 直线称为有效屈服轨迹EYL。EYL的斜率角就称为 有效内摩擦角δ。由图4.13可得： 预压应力σ和固结主应力σ1的关系：σ1＝σ（1＋ sinδ）
2
1 i i
2
σa≠0时：
3 a 1 a
1 s in i 1 s in i
3.1.2 安息角 又称休止角、堆积角、是指粉体自然堆积时，自由平面 在静止平衡状态下与水平面所形成的最大角度。 常用来衡量和评价粉体的流动性。对于球形颗粒，粉体 的安息角较小，一般为23～28度之间，粉体的流动性好。 规则颗粒的约为30度，不规则颗粒约为35度，极不规则 颗粒的安息角大于40度，粉体具有较差的流动性。 安息角的测定方法有排出角法、注入角法、滑动角法、 剪切盒法等多种。 排出角法时去掉堆积粉体的方箱某一侧壁，残留在箱内 的粉体斜面的倾角即为安息角。 对于无附着性粉体，安息角与内摩擦角在数值上几近相 等，但实质不同，内摩擦角是指粉体在外力作用下达到 规定的密实状态，在此状态下受强制剪切时所形成的角。
3.4.4 料仓卸料口径的确定 根据Jenike理论，质量流料仓的卸料口径取决于粉体流动 函数与料斗流动因数的比值，即质量流的条件为： FF＞ff fc＜σ1 结拱的临界条件：FF＝ff 若以fc，crit表示结拱时临界开放屈服强度，则可写成： σ1＝fc，crit 代入σ1＝γB/H(θ)可得料斗最小卸料口径： 注意（1）上公式中的σ1应以静态压力为准
粉体的固结强度在很大程度上取决于预密实状态，即开放 屈服强度fc与固结主应力σ 1之间存在着一定的函数关系， 詹尼克将其定义为粉体的流动函数FF。 FF＝σ 1/fc FF表征着仓内粉体的流动性，FF越大，粉体流动性越好。 fc＝0，FF＝∞，粉体完全自由流动。
3.4.2 有效屈服轨迹和有效内摩擦角 p77图4.13。与通过屈服轨迹终点的莫尔圆相切的 直线称为有效屈服轨迹EYL。EYL的斜率角就称为 有效内摩擦角δ。由图4.13可得： 预压应力σ和固结主应力σ1的关系：σ1＝σ（1＋ sinδ）
2
1 i i
2
σa≠0时：
3 a 1 a
1 s in i 1 s in i
3.1.2 安息角 又称休止角、堆积角、是指粉体自然堆积时，自由平面 在静止平衡状态下与水平面所形成的最大角度。 常用来衡量和评价粉体的流动性。对于球形颗粒，粉体 的安息角较小，一般为23～28度之间，粉体的流动性好。 规则颗粒的约为30度，不规则颗粒约为35度，极不规则 颗粒的安息角大于40度，粉体具有较差的流动性。 安息角的测定方法有排出角法、注入角法、滑动角法、 剪切盒法等多种。 排出角法时去掉堆积粉体的方箱某一侧壁，残留在箱内 的粉体斜面的倾角即为安息角。 对于无附着性粉体，安息角与内摩擦角在数值上几近相 等，但实质不同，内摩擦角是指粉体在外力作用下达到 规定的密实状态，在此状态下受强制剪切时所形成的角。
3.4.4 料仓卸料口径的确定 根据Jenike理论，质量流料仓的卸料口径取决于粉体流动 函数与料斗流动因数的比值，即质量流的条件为： FF＞ff fc＜σ1 结拱的临界条件：FF＝ff 若以fc，crit表示结拱时临界开放屈服强度，则可写成： σ1＝fc，crit 代入σ1＝γB/H(θ)可得料斗最小卸料口径： 注意（1）上公式中的σ1应以静态压力为准
莫尔应力圆
2
2 这表明：在σ 3=30kPa的条件下，该点如处
于极限平衡，则最大主应力为90kPa。 故可判断该点已破坏。
3.3 壁面最大主应力方向
库仑粉体：
C C
t
IYE
粉体在壁面处的滑移
WYF
B
条件在（σ，τ）坐标中
也是直线：WYF；壁
A
Φ D C WYE IYF
s
面粗糙时， WYF与
Christian Otto Mohr (1835-1918)
2、研究内容 研究粉体体内任一微小单元体的应力状态。
1）主应力与主应力面
2）主应力相互正交 3）任意一面上：正应力和剪应力 一点应力状态的表示方法：？？？
◇任意斜面上的应力
在微元体上取任一截面，与大主应力面即水平面成角，斜 面上作用法向应力和剪应力。现在求、与1、3之间的关 系。 取厚度为1，按平面问题计算。根据静力平衡条件与竖向合 力为零。
3.2 莫尔-库仑定律
莫尔最初提出的强度理论，认为材料破坏是剪
切破坏，在破坏面上τ f=f(σ )，由此函数关系所
定的曲线，称为莫尔破坏包络线。1776年，库仑 总结出粉体（土）的抗剪强度规律。 库仑定律是莫尔强度理论的特
例。此时莫尔破坏包线为一直
线。以库仑定律表示莫尔破坏包络 线的理论称莫尔—库仑破坏定律。
1 sin i 1 sin i P yy B gy K P B gy 1 sin i 1 sin i
c=0
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
1 sin i KP 1 sin i
Kp－朗肯被动应力系数，简称被动态系数
Molerus I 类粉体:KP是临界流动状态时， 最大主应力与最小主应力之比。被动态应 力σP与主动态应力σA之比等于
2 这表明：在σ 3=30kPa的条件下，该点如处
于极限平衡，则最大主应力为90kPa。 故可判断该点已破坏。
3.3 壁面最大主应力方向
库仑粉体：
C C
t
IYE
粉体在壁面处的滑移
WYF
B
条件在（σ，τ）坐标中
也是直线：WYF；壁
A
Φ D C WYE IYF
s
面粗糙时， WYF与
Christian Otto Mohr (1835-1918)
2、研究内容 研究粉体体内任一微小单元体的应力状态。
1）主应力与主应力面
2）主应力相互正交 3）任意一面上：正应力和剪应力 一点应力状态的表示方法：？？？
◇任意斜面上的应力
在微元体上取任一截面，与大主应力面即水平面成角，斜 面上作用法向应力和剪应力。现在求、与1、3之间的关 系。 取厚度为1，按平面问题计算。根据静力平衡条件与竖向合 力为零。
3.2 莫尔-库仑定律
莫尔最初提出的强度理论，认为材料破坏是剪
切破坏，在破坏面上τ f=f(σ )，由此函数关系所
定的曲线，称为莫尔破坏包络线。1776年，库仑 总结出粉体（土）的抗剪强度规律。 库仑定律是莫尔强度理论的特
例。此时莫尔破坏包线为一直
线。以库仑定律表示莫尔破坏包络 线的理论称莫尔—库仑破坏定律。
1 sin i 1 sin i P yy B gy K P B gy 1 sin i 1 sin i
c=0
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
1 sin i KP 1 sin i
Kp－朗肯被动应力系数，简称被动态系数
Molerus I 类粉体:KP是临界流动状态时， 最大主应力与最小主应力之比。被动态应 力σP与主动态应力σA之比等于
粉体静力学
1 sin i KA 1 sin i
KA－朗肯主动应力系数，简称主动态系数 Molerus I 类粉体: KA是临界流动状态时， 最小主应力与最大主应力之比
21
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
朗肯被动应力状态，根据莫尔－库仑定律为
P p (1 sin i ) c cot i
rr p(1 sin i cos 2 ) p(1 sin i cos 2 ) r r p sin i sin 2
13
3.3 壁面最大主应力方向
库仑粉体：
C C
t
IYE
粉体在壁面处的滑移
WYF
B
条件在（σ，τ）坐标中
也是直线：WYF；壁 面粗糙时， WYF与 IYF接近重合。
* A * A
yy p (1 sin i ) c cot i
* A
P49(3-17) P49(3-16)
19
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
A p RA c cot i p (1 sin i ) c cot i
* A * A
yy p (1 sin i ) c cot i
* P
yy p (1 sini ) c cot i
* P
1 sin i cos i P yy 2c 1 sin i 1 sin i
1 sin i 1 sin i P yy B gy K P B gy 1 sin i 1 sin i
4A De 4rH Π
31
3.5.1 筒体应力分析
当z→∞时，应力趋于常数值
B gD 4 K tan
KA－朗肯主动应力系数，简称主动态系数 Molerus I 类粉体: KA是临界流动状态时， 最小主应力与最大主应力之比
21
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
朗肯被动应力状态，根据莫尔－库仑定律为
P p (1 sin i ) c cot i
rr p(1 sin i cos 2 ) p(1 sin i cos 2 ) r r p sin i sin 2
13
3.3 壁面最大主应力方向
库仑粉体：
C C
t
IYE
粉体在壁面处的滑移
WYF
B
条件在（σ，τ）坐标中
也是直线：WYF；壁 面粗糙时， WYF与 IYF接近重合。
* A * A
yy p (1 sin i ) c cot i
* A
P49(3-17) P49(3-16)
19
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
A p RA c cot i p (1 sin i ) c cot i
* A * A
yy p (1 sin i ) c cot i
* P
yy p (1 sini ) c cot i
* P
1 sin i cos i P yy 2c 1 sin i 1 sin i
1 sin i 1 sin i P yy B gy K P B gy 1 sin i 1 sin i
4A De 4rH Π
31
3.5.1 筒体应力分析
当z→∞时，应力趋于常数值
B gD 4 K tan
培训学习资料-粉体静力学_2023年学习资料
最大主应力-IYF-o=p*1+sing-ccot-S-45°-φ i/2-最小主应力-2e=90-4-B3=p*1-sim功-ccot中-c cot-3.2莫尔-库伦定律
IYF-R-c-Yoy.to-2ψ -ccotφ -X《C知，）-图3-7-粉体处于临界流动时应力关系的莫尔应 圆-=p+Rcos 2w-ccos=p*1+sin,cos 2u-ccot-3.2莫尔-库伦定律
第三章-粉体静力学31b816f7f424ccbff121dd36a32d7375a417c6a0_--_ 体静力学(精)
第三章粉体静力学-3.1莫尔应力圆-粉体的应力规定-一微元体上的应力张量-一切应力互补定理--粉体上的应力 量-■莫尔应力圆-粉体力学与工程
微元体上的应力张量-考虑如图3-1所示的微元体，作用在x面上的力解-为x、y、z方向的力-Fa、Fw、Fx 个下标代表作用面-第二个下标代表力的方向。-除以xw、F、Fx寻x面上的-法向应A及切应力和。同红在y和z 坚有和个应-这样作用在微元可g、a、t张0a,a、w-工y-少面-图31粉体激元体应力示意图-3.1.1粉 的应力规定
t-o线为直线a:-处于静止状态-S-T-o线为直线b:-临界流动状态/流-T-o线为直线c:-不会出现的 态-3.2莫尔-库伦定律
临界流动状态或流动状-IYF-态时，两个滑移面：S-和S-45°-φ i/2-滑移面夹角90°-少-g-2e 90-:-6-滑移面与最小主应力面-夹角45°-中i/2-c cot-莫尔圆半径：p*sin中-3.2莫尔 库伦定律
切应力互补定理-由于粉体在操作单元中主要承受压缩作用，粉体的正-应力规定为压应力为正，拉应力为负。切应力规 为逆时-针为正，顺时针为负。图3-2表示了粉体正应力的方向。-对图3-2的微元取力矩得切应力互补定理为-T y =-Tyr-3-1-同样可得-T台一Tr-兰一t-3-3-〔-图32粉体应力规定示意图-〔6-到-这样 体的应力张量变为-3-4-粉体的应力张量矩阵是反对称的。-3.1.1粉体的应力规定
(粉体力学)3粉体静力学6莫尔-库仑定律
要点二
材料
不同粒径和密度的粉体材料，如滑石粉、硅石粉等。
实验步骤与结果分析
步骤 1. 将粉体样品装入压力试验机，调整侧压力大小和方向。
2. 在粉体表面施加一定压力，观察粉体的变形情况，记录剪切角的变化。
实验步骤与结果分析
3. 使用测量尺和角度计测量剪切角，并记录数据。
4. 分析实验数据，绘制剪切应力与剪切角之间的关系曲线。
结果分析：根据实验数据，分析剪切应力与剪切角之间的关系，判断莫尔-库仑定律的正确 性。如果实验结果与莫尔-库仑定律一致，则说明该定律适用于该粉体材料；如果实验结果 与定律不一致，则说明该定律不适用于该粉体材料，需要进一步研究其力学特性。
THANKS
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剪切变形
当粉体受到剪切力作用时，其内部粒子之间的排列和堆叠方式会发生改变，导致粉体发生剪切变形。
剪切强度
剪切力的大小会影响粉体的剪切强度，即粉体抵抗剪切变形的力。不同种类的粉体具有不同的剪切强 度，与粒子的粒径、形状和粒度分布等因素有关。
剪切力与摩擦力的关系
相互影响
剪切力和摩擦力在粉体的力学行为中是 相互影响的。在某些情况下，剪切力的 增加会导致摩擦力的减小；而在另一些 情况下，摩擦力的增加会导致剪切力的 减小。
结力等因素有关。
通过实验和数值模拟方法，可 以研究粉体的应力分布规律， 为粉体的加工和应用提供指导。
粉体的应力平衡
01
粉体的应力平衡是指在外力作用下，粉体内部各部 分之间的相互作用力达到平衡状态。
02
粉体的应力平衡可以通过力的平衡方程和本构方程 来描述。
03
了解粉体的应力平衡规律有助于优化粉体的加工工 艺和应用性能。
粉体静力学的基本概念
3 第三章-粉体静力学-3[1].30
![3 第三章-粉体静力学-3[1].30](https://img.taocdn.com/s3/m/c8782610a21614791711284d.png)
（4）料斗的应力分析
柱体部分：郎肯主动态， 式（3-80）-（3-82） 锥体部分：朗肯被动态， （3.5.2锥体应力分析） 式（3-89）-（3-91） 交接处：转换面， Walters转换应力
本章小结—粉体静力学
物理意义 方程，圆心，半径
莫尔应力圆
莫尔-库仑定律
朗肯应力状态 Janssen应力分析 料仓的应力分析
(2)料仓的使用要求
a) 粉体物料不发生偏析和分离现象； b) 无附着，死区物料少，很高卸空率和连续稳 定的卸料性能 粉体颗粒在运动、堆积及从料仓中排料时，由 c) 装料容易、排料畅通，利用重力，不添加特 于粒径、颗粒密度等差异，粉体层的组成呈现 殊给料装置； 不均质的现象。 粒度分布宽的自由流动粉体中常发生；粒度小 d) 当储存大量物料时，单位面积的存储量要大 于70微米的物料少发生，粘性粉料一般不会发 生，但包括粘性/非粘性两种成分时可能发生。 f) 要保持一定温度，可长时间保持储存物料的 影响因素；粒度、密度、形状、弹性变形、安 息角、黏度 原有质量； g) 装填系数要高，可方便容易对存储量进行检 测和显示；
最大主应力：垂直方向， 1 va p (1 sin i ) 最小主应力：水平方向， 3 ha p (1 sin i )
（2）朗肯被动应力状态
粉体在两无限大平板间，平板向内移动，粉体 将向内移动或有此倾向，粉体受水平方向压缩， 粉体将沿斜上方被推开，此时的极限应力状 态—朗肯被动应力状态（被动态passive）
＝C c tani c
粉体力学与工程
第三章
莫尔-库仑定律
粉体内某一点的莫尔应力
圆与IYF线相切，粉体处
于临界流动或流动状态，
这一流动条件称为莫尔库仑定律 （用莫尔应力
莫尔应力圆
KA－朗肯主动应力系数,简称主动态系数
Molerus I 类粉体: KA是临界流动状态时, 最小主应力与最大主应力之比
3.4 朗肯(Rankine,1957)应力状态
朗肯被动应力状态,根据莫尔－库仑定律为
PpP *(1sini)ccoti
yypP *(1sini)ccoti
P1 1 ssiin niiyy2c1 cossin ii
③破坏包络线IYF是摩尔圆Ⅲ的一条割线,这种情况是不存在的，因为该点 任何方向上的剪应力都不可能超过极限剪切应力 。
粉体的极限平衡条件
τ
f c tg
D A O
τ＝τf 极限平衡条件 莫尔－库仑破坏准
则
B σ
剪切破坏面
极限应力圆 破坏应力圆
3.2 莫尔-库仑定律
临界流动状态或流动状 态时,两个滑移面:S和S’
⑸根据莫尔—库仑强度理论可建立粉体体极限平衡条件。
【例题】某砂土地基的ф=30°,C=0，若在均布条形 荷载p作用下，计算土中某点σ1=100kPa，σ3=30kPa ，问该点是否破坏（你可以用几种方法来判断？）
【解】用四种方法计算。
⑴σ3、Φ、c→σ1：
1 3 ta n 2 ( 4 5 2 ) 3 0 ta n 2 6 0 9 0 k P a 1 0 0 k P a
3 粉体静力学
3.1 莫尔应力圆 3.2 莫尔库仑定律 3.3 壁面最大主应力方向 3.4 朗肯应力状态 3.5 粉体应力计算
3.1 莫尔应力圆
一、粉体的应力规定
粉体内部的滑动可沿任何一个面发生,只要该面上的 剪应力达到其抗剪强度。
xx xy xz
yx yy yz zx zy
莫尔-库仑定律：粉体内任一点的莫尔应力圆在 IYF的下方时，粉体将处于静止状态;粉体内某一点 的莫尔应力圆与IYF相切时，粉体处于临界流动或 流动状态
第三章_粉体力学
• 直剪试验 • 方法：把圆形盒或方形盒重叠起来，将粉
体填充其中，在铅垂压力的作用下，再在 上盒或中盒上施加剪切力，逐渐加大剪切 力，使重叠得盒子错动。通过测定错动瞬 间的剪力，得到与的关系。
精品课件
垂直应力 /9.8104Pa 剪切应力 /9.8104Pa
0.253 0.505 0.755 1.010 0.450 0.537 0.629 0.718
ppp0p 精 品课件exp4D wkh
• 料斗的压力分布（锥 体）
与壁面垂直方向单位面积上的压力为
kpcos2psin2
精品课件
沿壁面单位长度上的摩擦力为：
p k c o s 2 s in 2 w d y /c o s
•采用Janssen假设，对微元体沿铅垂方向作力 平衡得：
(ytg)2{(Pv dPv)Bgdy} (ytg)2Pv 2ytg(codsy)w(Ka cos2sin2)Pv cos
被推开时的极限应力状态,最大主应力为水 平方向。 • 主动状态：粉体层受重力作用、出现崩坏 时的极限应力状态。最小主应力为水平方 向。
精品课件
精品课件
• 最大主应力和最小主应力的关系式：
被动状态： hp a 1sini vp a 1sini
主动状态： ha a 1sini va a 1sini
粉体侧压力系数：
精品课件
• 变形后得：
ytandpytanBgdy
2w
kcos2sin2
dy pdp dy
•两边同除以ytandy得：
d d p y B gp yt2 a n wkc o s2 sin 2 d yp d d p y
精品课件
令 2w(kcos2sin2) tan
3粉体的摩擦特性
3.6.1.1 三轴压缩试验（土壤强度的标准试验法）
粉体试料（试料必需要选择自重下不至于崩坏的试料）填充在圆筒状橡胶薄膜 内，然后放在压力机的底座上。从橡胶薄膜的周围均匀地施加流体压力，并由上方 用活塞加压。当铅垂压力达最大值时，粉体层产生崩坏。记录水平压力变化时，铅 垂压力相应的极限值。
破坏面和第一主平面的 夹角为 l ； 42
被动状态：粉体层受水平方向压缩，粉体将沿着斜上方
被推开时的应力状态。
主动状态：粉体层受重力作用，将要出现崩坏时的极限
应力状态。
3 a 1 a
1 sin i 1 sin i
h h
a a a
1 sin i 1 sin i
1 sin i
— 被动状态 — 主动状态
a 1 sin i
K
h
3.1.9.1 主动应力态
A p*A 1 sin i c • coti
yy
p
* A
1
sin
i
c • coti
A
1 1
sin i sin i
yy
2c
• cosi 1 sin i
A
1 1
sin i sin i
yy
A K AB gy
c0
式中：K A
1 sin i 1 sin i
—朗肯主动应力系数（又
C
常数 0
—
简单库伦粉体
注：库伦定律是粉体流动 和临界流动的充要条件。
对于库伦粉体
1
3
2
a
s
in
i
1
3
2
3 a 1 sin i 1 a 1 sin i
简单库伦粉体
a 0
3 1 sin i 1 1 sin i
粉体工程与设备-第三章
p
θ m
2θ q n σ——σ3的作 用方向
莫尔园图解法
已知最大主应力和 最小主应力，最小 主应力面和σ 轴的 夹角为υ 时，可由 作图求得任意方向 面A-B上所作用的应 力。
由已知的σ3，即C点,作 与σ轴成υ角的直线和莫 尔圆相交,交点处为 P(极点)。由P点作A-B 的平行线和莫尔圆相交 于Q，Q点的坐标即为 作用于A-B的应力σ,τ。 在上述求极点P时，如通过D点作最大主应力 面的平行线亦可得到相同的结果。
粉体工程学
第三章:粉体力学
3.1 粉体摩擦性
粉体的摩擦角定义：颗粒群从运动状态变为 静止状态，由于颗粒间的摩擦力和内聚力而 形成的角统称为摩擦角。 内摩擦角* 根据运动状态分类： 安息角* 壁摩擦角 运动摩擦角
3.1.1内摩擦角
定义：粉体在外力作用下达到规定的密 实状态，在此状态下受强制剪切时所形 成的角。 表征：在极限应力状态下剪应力与垂直 应力的关系。
2
1 3
2
cos 2
1 3
2
sin 2
对应莫尔园： 半径：r 1 3 2 圆心坐标： (
1 3
2
), 0
当cos2θ=1,θ=0时的σ为最大值σ1；当cos2θ=1,θ=90°时σ为最小值σ3；而此时sin2θ=0, τ=0为最小值。 当 θ=45°，sin2 θ=1, τ =（ σ1 - σ3 ）/2为最 大值。
莫尔圆的画法
以最大主应力σ 1和最小主应力σ 3的方向 为坐标 y轴和x轴， 以om=（ σ 1 + σ 3 ）/2为圆心、 km= （ σ 1 - σ 3 ）/2为半径作圆即成。 取on= σ 1 ,ok= σ 3
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➢ 杆件的拉伸和压缩：3个主应力中有2个为零 （单向应力状态）（简单应力状态）
➢ 3个主应力中有2个不等于零：二向应力状态 （平面应力状态） ➢ 3个主应力中有3个不等于零：三向应力状态 （空间应力状态） ➢ 二向、三向应力状态：复杂应力状态
强度理论
➢ 塑性材料：屈服极限 （流动破坏）
流动现象、塑性变形
s
2
y ）2
t
2 xy
O
s2
2q1
A(sx ,txy)
C
s3
2q0 s1 sq
B(sy ,-txy)
t max t min
R半径
t min
（s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
五、平面应力状态的分析方法
1、解析法 精确、公式不好记 —— 7个 一般公式2个（正、切应力），极值应力5个 （极大与极小正应力，极大与极小切应力， 主单元体方位角）
为什么叫莫尔圆 ( Mohr’s Circle ) ？
首先由Otto Mohr（1835-1918）提出 ( 又是一位工程师)
来由: 一点无穷多个微元上的应力能否在一
张图上表示？
或者说，
把q 看成参数，能否找到sq 与tq 的函数关系？
一、斜截面应力 二、应力圆的画法 三、单元体与应力圆的对应关系 四、应力极值 五、平面应力状态的分析方法 六、莫尔圆与粉体层的对应关系 七、莫尔圆的图解法
sx ,txv——作用在q=0面上，sy ,tvx ——作用在q=p /2面上 莫尔圆中，处在圆心的对称位置上，即仅相差p
xoy坐标中q，相当于莫尔圆中的2q q0角为粉体层的x轴与最大主应力作用方向的夹角
六、莫尔圆与粉体层的对应关系
七、莫尔圆的图解法
??
2
cos 2q
t xy
sin
2q
sq
三、单元体与应力圆的对应关系
（1）单元体的右侧立面 ——
sy
n
应力圆的 A 点（2q 0 ） （2）斜截面和应力(sq ,tq
—— 应力圆上一点 D 点
sq
q
sx
tq txy
y
和坐标(sq ,tq) （3）单元体上夹角q ——
Ox
应力圆上 CA 与 CD 夹角
1 2
s
y
cos2
q
1 2
sx sy
cos2 q sin2 q
sq
sx
sy
2
s x s y cos 2q
2
t xy sin 2q
sq
sx
sy
2
sx
sy
2
cos 2q
t xy sin 2q
一、斜截面应力
sy
Ft 0 :
sx
y
txy
Ox
sq
q
sx
tq t
y
sy txy
n
0x
abc
tq lc s xla sinq s ylb cosq
2、图解法 不必记公式、数值不精确
有没有 集二者优点、避二者缺点 的方法 ？
3、图算法 前半部 —— 画莫尔圆 后半部 —— 看图精确计算
例 单元体上应力如图，求出主应力，画出主单元体
20
s x 80, s y 20, t 30
80
80
1、取s x ,s y的中点C为圆心
以 AC 为半径画莫尔圆
2q 且转向一致 （4）主单元体上s 1所在面法向
tq n D( sq , tq
x
2q
C
A(sx ,txy) sq
是由x 轴逆时针转 q 0 —— O sq 轴上应力圆最右端
2q0 B(sy ,-txy)
t 0 四、应力极值
sq
sx
sy
2
sx
s y
2
cos 2q
t xy
sin 2q
tq
sx
s y
单元操作 装置设计 储存 给料 输送 混合 造粒 分级
力学行为
流动特性
应力状态 分析一点处的应力状态，研究粉粒体受力后， 通过该点的各个截面上的应力变化情况，用以判 断粉粒体颗粒群在什么地方、什么方向容易混合 或者崩坏
➢ 主平面：微元体中剪应力等于零的面（3个互 相垂直的主平面）
➢ 主应力：主平面上的正应力 （每点3个）
➢ 脆性材料：强度极限
断裂破坏
➢ 最大拉应力理论（第一强度理论）：最大拉应力 是引起材料断裂破坏的主要因素。没考虑其他两个应 力主应力的影响，对于没有拉应力的应力状态也不能 应用。
➢ 最大伸长线应变理论（第二强度理论）：最大伸 长线应变是引起材料断裂破坏的主要因素。双向 压缩似乎与单向压缩时应力状态不同，但混凝土 等材料的强度在双向压缩时并无明显差别。
cos 2q
一、斜截面应力
sy
sx
y
txy
Ox
sq
q
sx
tq t
y
sy txy
n
0x
sq
sx
sy
2
sx
s y
2
cos 2q
t xy sin 2q
tq
sx
s y
2
sin 2q
t xy
cos 2q
sq
sx
s
2
y
sx
s
2
y
cos 2q
t xy
sin 2q
tq
sx
s y
2
sin 2q
t xy
cos 2q
一、斜截面应力 Fn 0 :
sq ssxx cos22q s yy sin22q 22ttxxyyssiinnqqccoossqq
1 2
s
x
1 2
s
x
cos2
q
1 2
s
x
sin 2
q
1 2
s
x
cos2
q
1 2
s
x
sin
2
q
1s
2
y
sin2 q
1s
2
y
cos2
q
1s
2
y
1 2
s
y
sin 2
q
一、斜截面应力
sy
Fn 0 :
y
sx
txy
sq lc s xla cosq s ylb sinq t xyla sinq t xylb cosq
s xlc cos2 q s ylc sin2 q
Ox
sq
q
sx
tq t
y
sy txy
n
0x
abc
+2t xylc sinq cosq
sq s x cos2 q s y sin2 q 2t xy sinq cosq
sy
sx
A
A0 sq
二、应力圆的画法
第一种画法
（1）在sq轴上作出A0(sx,0), B0(sy,0)
（2） A0, B0的中点为圆心C
（3）过A0垂直向上取txy 得A， tq
CA为半径
（4）以C 为圆心、CA为半径 画圆
B0 C
0
B
sy
sx
A
A0 sq
sy
n
sq
q
sx
tq txy
y
Ox
tq n D( sq , tq
只有这样，应力圆才能与公式等价
换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
为什么说有这种对应关系？
DE R sin[180o (2q 2q0 )] R sin(2q 2q0 )
(R cos 2q0 )sin 2q (Rsin 2q0 ) cos 2q
sx
s
2
y
sin 2q
t xy
cos 2q
➢ 最大剪应力理论（第三强度理论）：最大剪应力 是引起流动破坏的主要因素。机械工程中应用广 泛，很好地解释了塑性材料出现塑性变形的现象。 忽略了中间主应力的影响。
➢ 形状改变比能理论（第四强度理论）：形状改 变比能是引起材料流动破坏的主要原因。存储 在微元体内的变形能称为应变能，单位体积中 积蓄的应变能称为应变比能。纯剪切情况下， 比第三强度理论的结果大15%
平方和相加---关键的一步
sq
sx
s
2
y
2
t
2 q
s
x
s
2
y
2
t
2 xy
一、斜截面应力
圆心？—
s
(
x
s
y
,0)
2
s
q
sx
sy
2
2
t
2 q
sx
s y
2
2
t
2 xy
在sq tq 坐标系中，sq
落在一个圆上
与tq
应力圆 或 莫尔圆
tq
半径？—
R
s
x
s
2
y
2
t
2 xy
B0 C
0 B
➢ 莫尔强度理论：有些材料的抗拉和抗压强度并 不相等，说明材料的强度与拉伸正应力或者压 缩正应力有关，而不仅仅取决于最大剪应力。 极限应力圆
➢ 粉体层的抗拉和抗压能力明显不同，粉体力学 中引入莫尔圆的概念。
➢ 粉体层受力小时，外观基本无变化，这是由于 颗粒间的摩擦力相对于作用力的大小产生了克 服它的应力，二力保持平衡。当作用力达到某 一极限时，粉体层将突然崩坏，崩坏前后的状 态称为极限应力状态，这一状态由一对压应力 和剪应力组成。
t xyla cosq t xylb sinq
s xlc sinq cosq s ylc sinq cosq