【南方凤凰台】(江苏版)高考数学二轮复习专题三第1讲基本不等式与线性规划理

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【南方凤凰台】(江苏版)高考数学二轮复习第一部分微专题训练第8练基本初等函数理

【南方凤凰台】2014届高考数学（理，江苏版）二轮复习第一部分微专题训练-第8练基本初等函数【回归训练】一、填空题1. 函数的定义域为.2. 若函数f(x)=21,x1,lg10,1,xx⎧+≤⎨>⎩则f(f(10))= .3. 若x=log43,则(2x-2-x)2= .4. 设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是.5. 函数y=13x-log2(x+2)在[-1,1]上的最大值为.6. 设函数f(x)=1-7,x0,20,x⎧⎛⎫<⎪⎪⎝⎭⎨≥若f(a)<1,则实数a的取值范围是.7. 设0<a<1,函数f(x)=log a(a2x-2a x-2),则使f(x)<0的x的取值范围是.8. 给出下列命题:①在区间(0,+∞)上,函数y=x-1,y=12x,y=(x-1)2,y=x3中有三个是增函数;②若log m3<log n3<0,则0<n<m<1;③若函数f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点A(1,0)对称;④已知函数f(x)=-233,x2,log(x-1),x2,x⎧≤⎨>⎩则方程 f(x)=12有2个实数根.其中正确的是.(填序号)二、解答题9. 已知函数f(x)=log a (1-x)+log a (x+3)(a>0,且a ≠1).(1) 求函数f(x)的定义域和值域;(2) 若函数f(x)有最小值-2,求实数a 的值.10. 设函数f(x)=424xx +.(1) 用定义证明:函数f(x)是R 上的增函数;(2) 证明:对任意的实数t,都有f(t) +f(1-t)=1;(3) 求值:f 12012+f 22012+f 32012+…+f 20112012.11. 已知函数g(x)=ax 2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上的最大值为4,最小值为1,记f(x)=g(|x|).(1) 求实数a,b 的值;(2) 若不等式f(log 2k)>f(2)成立,求实数k 的取值范围;(3) 定义在[p,q]上的一个函数m(x),用二分法T:p=x 0<x 1<…<x i-1<x i <…<x n =q 将区间[p,q]任意划分成n 个小区间,如果存在一个常数M>0,使得和式1n i ∑=|m(x i )-m(x i-1)|≤M 恒成立,则称函数m(x)为在[p,q]上的有界变差函数. 试判断函数f(x)是否为在[1,3]上的有界变差函数?若是,求M 的最小值;若不是,请说明理由.(参考公式:1ni ∑=f(x i )=f(x 1)+f(x 2)+…+f(x n ))第8练基本初等函数【方法引领】:,:,::,:::,:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩求解析式二次函数一般用待定系数法幂函数注意形式图象性质二次函数图象考虑开口方向、对称轴幂函数类比五个常见函数二次函数与幂函数幂函数的单调性主要利用单调性、奇偶性以及函数图象解题二次函数的最值注意确定对称轴与给定区间关系注意单调性指数、对数运算注意运算性质函数图象利用注意关键点和底数的区域指数与对数函数单调性及其应用注意化为同底并注意底数所在的区域复合函数注意定,⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩义域的限制同则增异则减的单调性的判断第8练基本初等函数1. (-2,8]2. 23. 4 34. [0,2]5. 36. (-3,1)7. (-∞,log a3)8. ②③④9. (1)由1-0,30,xx>⎧⎨+>⎩得-3<x<1,所以函数的定义域为{x|-3<x<1},f(x)=log a(1-x)(x+3),设t=(1-x)(x+3)=4-(x+1)2,所以t≤4,又t>0,则0<t≤4.当a>1时,y≤log a4,值域为{y|y≤log a4}.当0<a<1时,y≥log a4,值域为{y|y≥log a4}. (2) 由题意及(1)知:当0<a<1时,函数有最小值,所以log a 4=-2,解得a=12.10. (1) 设对任意x 1,x 2∈R,都有x 1<x 2,f(x 1)-f(x 2)=11424x x +-22424x x +=12122(4-4)(24)(24)x x x x ++, 因为x 1<x 2,所以14x <24x ,所以14x -24x <0,又2+14x >0,2+24x >0.所以f(x 1)-f(x 2)<0, f(x 1)<f(x 2),所以f(x)在R 上是增函数. (2) 对任意t,f(t)+f(1-t)=424t t ++1-1-424t t +=424t t ++42?44t +=2424t t ++=1, 所以对于任意t,f(t)+f(1-t)=1.(3) 由(2)可知f 12012+f 20112012=1, f 22012+f 20102012=1,…,所以f 12012+f 22012+…+f 20112012=1 005+f 10062012=1 005+12=20112.11. (1) g(x)=a(x-1)2+1+b-a,因为a>0, 所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,故(2)1,(3)4,g g =⎧⎨=⎩解得1,0.a b =⎧⎨=⎩(2) 由已知可得f(x)=g(|x|)=x 2-2|x|+1为偶函数,所以不等式f(log 2k)>f(2)可化为|log 2k|>2,解得k>4或0<k<14,故实数k的取值范围是0,14∪(4,+∞).(3) 函数f(x)为[1,3]上的有界变差函数.因为函数f(x)为[1,3]上的单调递增函数,且对任意划分T:1=x 0<x 1<…<x i-1<x i <…<x n =3,有 f (1)=f(x 0)<f(x 1)<…<f(x n-1)<f(x n )=f(3),所以 1n i ∑=|f(x i )-f(x i-1)|=f(x 1)-f(x 0)+f(x 2)-f(x 1)+…+f(x n )-f(x n-1)=f(x n )-f(x 0)=f(3)-f(1)=4,所以存在常数M ≥4,使得1ni ∑=|m(x i )-m(x i-1)|≤M 恒成立, 所以M 的最小值为4.。

【南方凤凰台】(江苏专用)高考数学大一轮复习第一章第1课集合的概念与运算检测评估

第一章集合与常用逻辑用语第1课集合的概念与运算一、填空题1. (2014·全国卷)设集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩B= .2. (2014·山东卷)设集合A={x|x2-2x<0},B={x|1≤x≤4},则A∩B= .3. (2014·成都模拟)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A={1,2},B={0,2,5},那么集合(∁U A)∩B= .4. 设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中的元素个数为.5. (2014·三明模拟)若集合2+2},则A∩B= .6. 已知全集为R,集合A=x1x12⎧⎫⎪⎪⎛⎫≤⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,B={x|x2-6x+8≤0},那么A∩(∁R B)= .7. (2014·九江联考)设集合M={-1,0,1},N={a,a2},若M∩N=N,则a的值是.8. (2014·南昌模拟)已知集合A={x|x<a},B={x|x2-3x+2<0},且A∪(∁R B)=R,那么实数a的取值范围是.二、解答题9. 已知集合A={1,2},B={x|0<x<5,x∈N},若A C B,求满足条件的集合C的个数.10. (2014·杭州模拟)已知集合A={x|x2-px+15=0},B={x|x2-ax-b=0},A∪B={2,3,5},A∩B={3},求p,a,b的值.11. (2014·三明模拟)已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|2m<x<1-m}.(1) 当m=-1时,求A∪B;(2) 若A B,求实数m的取值范围;(3) 若A∩B=,求实数m的取值范围.高考总复习一轮课后限时作业配套检测与评估数学文理通用详解详析第一章集合与常用逻辑用语第1课集合的概念与运算1. {2} 解析:由已知得B={2,-1},则A∩B={2}.2. [1,2) 解析:由已知得A={x|0<x<2},又因为B={x|1≤x≤4},所以A∩B=[1,2).3. {0,5} 解析:∁U A={0,3,4,5,6},所以(∁U A)∩B={0,5}.4. 4 解析:由题意知M={5,6,7,8},显然M中有4个元素.5. [2,+∞) 解析:因为}={x|x-1≥0}={x|x≥1},B={y|y=x2+2}={y|y≥2},所以A=[1,+∞),B=[2,+∞),故A∩B=[2,+∞).6. {x|0≤x<2或x>4} 解析:由题意得A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4},所以∁R B={x|x>4或x<2},所以A∩∁R B={x|0≤x<2或x>4}.7. -1 解析:因为M∩N=N,所以N M.当a=0时,N={0,0},与集合的互异性相矛盾,舍去;当a=1时,N={1,1},与集合的互异性相矛盾,舍去;当a=-1时,N={-1,1},符合题意.8. [2,+∞) 解析:由题意知B={x|1<x<2},则∁R B={x|x≥2或x≤1},因为A∪(∁R B)=R,所以a≥2.9. 依题意得B={1,2,3,4},因为A C B,所以C集合中一定有元素1,2,最多有4个元素,即{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},故满足题意的集合C有4个.10. 因为A={x|x2-px+15=0},B={x|x2-ax-b=0},A∩B={3},所以3∈A,3∈B.所以32-p×3+15=0,所以p=8,所以A={x|x2-8x+15=0}={3,5}.又因为A∪B={2,3,5},A∩B={3},所以B={2,3},所以2,3是方程x2-ax-b=0的两根,所以a=5,b=-6.11. (1) 当m=-1时,B={x|-2<x<2},则A∪B={x|-2<x<3}.(2) 由A B知1-m2m,2m1,1-m3,>⎧⎪≤⎨⎪≥⎩解得m≤-2,即实数m的取值范围为(-∞,-2].(3) ①若B=,则有2m≥1-m,即m≥13,经检验符合题意;②若B ≠,则有2m<1-m,即m<13,所以1m,31-m1⎧<⎪⎨⎪≤⎩或1m,32m3,⎧<⎪⎨⎪≥⎩解得0≤m<1 3.综上,m≥0,即实数m的取值范围为[0,+∞).。

苏州市高三数学二轮复习示范课教案--3高考中的不等式问题.doc

高考中的不等式问题——基本不等式及其应用一、填空题1．已知函数)0(21)(>-+=x xx x f ，则)(x f 值域为 2．已知b a ,是正数，且1=+b a ，求b a 11+的最小值3．任意[]2,1∈x ，都有不等式0232>+-ax x 成立，则a 的范围是 4．（2011，浙江文，16）若实数x,y 满足122=++xy y x ，则y x +的最大值为二、例题精选例1 (必修5，p90,改编)的最小值求且已知y x yx y x +=+>>,291,0,0 变式1．的最小值求已知y x xy y x y x +=+>>,29,0,0变式2．若A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，则CB A ++14的最小值为变式3．（2012,徐州考前信息卷）已知正数x,y 满足：1231=++y x 的最小值是例2 若正数b a ,满足条件：3++=b a ab ，则ab 的最小值是_________变式1．若正数b a ,满足条件：3++=b a ab ，则b a +的最小值是_________变式2．若正数b a ,满足条件：62++=b a ab ，则b a +2的最小值是_________变式3．已知0≥a ，0≥b ，且13=+b a ，则2121+++b a 的最大值是_________例3 （南通市2013届高三期末，17）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，)(CD AB ABCD >为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB 交DC 于点P ．当ADP ∆的面积最大时最节能.（1）设AB=x 米，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围；（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？巩固练习： 1．若已知0,,>c b a ，则bcab c b a 2222+++的最小值为 . 2．设x 、y 均为正实数，且12323=+++yx ，则xy 的最小值为__________。

2020年江苏省高中数学一轮复习南方凤凰台基础版课件参考答案part3

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【南方凤凰台】2022届高考数学(江苏专用)二轮复习专题五解析几何第2讲圆锥曲线 (理科)

第2讲圆锥曲线【自主学习】第2讲圆锥曲线(本讲对应同学用书第47~50页)自主学习回归教材1. (选修2-1 P32练习3改编)已知椭圆的焦点分别为F 1(-2，0)，F 2(2，0)，且经过点P 53-22⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则椭圆的标准方程为 .【答案】210x +26y=1【解析】设椭圆方程为22x a +22yb =1，由题意得2222259144-4⎧+=⎪⎨⎪=⎩a b a b ，，解得a 2=10，b 2=6，所以所求方程为210x +26y =1.2. (选修2-1 P47练习2改编)若双曲线的虚轴长为12，离心率为54，则双曲线的标准方程为 .【答案】264x -236y =1或264y -236x =1【解析】由b =6，c a =54，结合a 2+b 2=c 2，解得a =8，c =10，由于对称轴不确定，所以双曲线标准方程为264x -236y =1或264y -236x =1.3. (选修2-1 P51例2改编)经过点P(-2，-4)的抛物线标准方程为 . 【答案】y 2=-8x 或x 2=-y【解析】由于点P(-2，-4)在第三象限，所以满足条件的抛物线方程有两种情形.y 2=-2p 1x 或x 2=-2p 2y ，分别代入点P 的坐标，解得p 1=4，p 2=12，所以抛物线的标准方程为y 2=-8x 或x 2=-y .4. (选修2-1 P57练习5改编)已知抛物线y 2=4x 上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到y 轴的距离为 . 【答案】2【解析】抛物线y 2=4x 的准线方程为x =-1，点M 到焦点的距离为3，说明到准线的距离为3，所以点M 到y 轴的距离为2.5. (选修2-1 P58练习8改编)设P(x ，y )是椭圆22x a +22y b =1(a >b >0)上一点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，则PF 1·PF 2的最大值为 . 【答案】a 2【解析】由于PF 1·PF 2=PF 1·(2a -PF 1)=-P 21F +2a PF 1=-(PF 1-a )2+a 2，由于a -c ≤PF 1≤a +c ，所以当PF 1=a时，PF 1·PF 2有最大值a 2.【要点导学】要点导学各个击破求圆锥曲线的标准方程例1 (2021·扬州中学)在平面直角坐标系x O y 中，已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a >b >0)的离心率为32，以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x -y +2=0相切.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知点P(0，1)，Q(0，2)，设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T ，求证：点T 在椭圆C 上.【分析】(1) 利用直线与圆相切求出b 的值，然后利用离心率可求出a 的值，从而求出椭圆方程.(2) 解出两直线的交点，验证满足椭圆方程即可.【解答】(1) 由题意知椭圆C 的短半轴长为圆心到切线的距离，即b =22=2.由于离心率e =ca =32，所以b a =21-⎛⎫ ⎪⎝⎭c a =12，所以a =22，所以椭圆C 的标准方程为28x +22y =1.(2) 由题意可设M ，N 两点的坐标分别为(x 0，y 0)，(-x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y =00-1y x x +1， ① 直线QN 的方程为y =00-2-y x x +2. ②设点T 的坐标为(x ，y ).联立①②解得x 0=2-3x y ，y 0=3-42-3y y .由于208x +202y =1，所以2182-3⎛⎫ ⎪⎝⎭x y +213-422-3⎛⎫ ⎪⎝⎭y y =1，整理得28x +2(3-4)2y =(2y -3)2，所以28x +292y -12y +8=4y 2-12y +9，即28x +22y =1，所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上.【点评】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再依据条件建立关于a ，b 的方程组.假如焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题便利，也可把椭圆方程设为mx 2+ny 2=1(m >0，n >0，m ≠n )的形式.变式已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知动点P 到定点2，0)的距离与点P 到定直线l ：x 222，求动点P 的轨迹C'的方程.【分析】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础学问，以及利用直接法和待定系数法求椭圆方程的基本方法.【解答】(1) 依题意，可设椭圆C 的方程为22x a +22y b =1(a >b >0)，且可知左焦点为F'(-2，0)，从而有22'358=⎧⎨=+=+=⎩c a AF AF ，，解得24.=⎧⎨=⎩c a ，又a 2=b 2+c 2，所以b 2=12，故椭圆C 的方程为216x +212y =1.(2) 设点P(x ，y )22(-2)|-22|+x y x 22，整理，得24x +22y =1，所以动点P 的轨迹C'的方程为24x +22y =1.【点评】本题第一问已知焦点即知道了c，再利用椭圆定义先求得2a的值，从而利用椭圆中a，b，c的关系，求得b的值，从而得椭圆方程.本题还可以利用待定系数法设椭圆方程为22xa+22-4ya=1，代入已知点求解，明显没有利用定义来得简洁.求离心率的值或范围例2 (2021·苏州调研)如图，A，B是椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线l是椭圆C的右准线. (例2)(1) 若椭圆C的离心率为12，直线l：x=4，求椭圆C的方程；(2) 设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交MB于点Q，若直线PQ恰好经过原点，求椭圆C的离心率.【分析】(1) 依据离心率和准线公式列出方程组进行求解.(2) 若用斜率参数，设直线AM的方程为y=k(x+a)，然后解得M，P的坐标求解，则运算量较大；若用点参数，设点M的坐标，然后通过求得点P的坐标求解，则运算量较小，然后，通过A，M，P三点共线，求出点P的坐标，再利用相互垂直的直线的斜率之积为-1建立a，b，c的方程进行求解.【解答】(1) 由题意得2222124⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩caaca b c，，，23=⎧⎪⎨=⎪⎩ab，解得，所以椭圆C的方程为24x+23y=1.(2) 设M(x，y)，P2⎛⎫⎪⎝⎭ayc，.由A，M，P三点共线得+yx a=2+yaac，所以y0=2⎛⎫+⎪⎝⎭+ay acx a.由于点M在椭圆上，所以y2=2222(-)b a xa.又MP为直径，所以OP⊥BM，所以kOP·kBM=22()⎛⎫+⎪⎝⎭+acy aca x a·-yx a=222()(-)+y a ca x a=23()-+b a ca=223(-)()-+a c a ca=-1，所以c2+ac-a2=0.所以e2+e-1=0，又0<e<1，解得e=5-1.【点评】本题有两个地方值得留意.一是第(2)问简洁错误利用第(1)问得到的椭圆方程，第(2)问没有了第(1)问的条件，所以不行用第(1)问的结论.二是没有合理选择参数，造成运算错误.如“以MP为直径的圆交MB于点Q，若直线PQ恰好过原点”反映的数量关系即为kOP·kBM=-1，若写出圆的方程求解就繁琐了.变式1 (2021·苏北四市期末)已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为.【答案】1 2(变式1)【解答】如图，A(-a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)，F(c，0)，设点M2⎛⎫⎪⎝⎭Mayc，.由2ABk=kAM，得b a=2+Myaac，所以yM=b1⎛⎫+⎪⎝⎭ac.由1FBk=kFM，得bc=2-Myacc，所以yM=2-⎛⎫⎪⎝⎭b acc c.从而b1⎛⎫+⎪⎝⎭ac=2-⎛⎫⎪⎝⎭b acc c，整理得2e2+e-1=0，解得e=12.变式2 (2021·泰州期末)若双曲线22xa-22yb=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e= .【答案】53【解答】由双曲线的性质“焦点到渐近线的距离等于b”，得b=2+a c，所以a2+22+⎛⎫⎪⎝⎭a c=c2，整理得3c2-2ac-5a2=0，所以3e2-2e-5=0，解得e=53.直线与圆锥曲线问题例3 (2021·南京调研)给定椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)，称圆C1：x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”.已知椭圆C的离心率为32，且经过点(0，1).(1) 求实数a，b的值；(2) 若过点P(0，m)(m>0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值.【分析】(1) 由两个条件可得出两个方程，进而可求出实数a，b的值.(2) 由题意设出直线l 的方程为y=kx+m，由直线与椭圆只有一个公共点可得关于k，m的一个方程，再由直线被圆所截得的弦长，又可得到关于k，m的一个方程，这样可以解出k，m的值.【解答】(1) 记椭圆C的半焦距为c.由题意得b=1，ca=3，a2=c2+b2，解得a=2，b=1.(2) 由(1)知，椭圆C的方程为24x+y2=1，圆C1的方程为x2+y2=5.明显直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，即kx-y+m=0.由于直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以方程组2214=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx mxy，(*)有且只有一组解.由(*)得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-4=0，从而Δ=(8km )2-4(1+4k 2)(4m 2-4)=0，化简，得m 2=1+4k 2. ①由于直线l 被圆x 2+y 2=5所截得的弦长为22，所以圆心到直线l 的距离d =5-2=3.即2||1+m k =3. ② 由①②解得k 2=2，m 2=9. 由于m >0，所以m =3.变式 (2021·泰州二模)如图，在平面直角坐标系x O y 中，椭圆E ：22x a +22y b =1(a >b >0)的左顶点为A ，与x 轴平行的直线与椭圆E 交于B ，C 两点，过B ，C 两点且分别与直线AB ，AC 垂直的直线相交于点D.已知椭圆E 的离心率为53，右焦点到右准线的距离为455.(变式)(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 求证：点D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程； (3) 求△BCD面积的最大值.【解答】(1) 由题意得ca =253a c ，-c =55，解得a =3，c 5b 22-a c ，所以椭圆E 的标准方程为29x +24y =1.(2) 设B(x 0，y 0)，C(-x 0，y 0).明显直线AB ，AC ，BD ，CD 的斜率都存在，设为k 1，k 2，k 3，k 4，则k 1=003+y x ，k 2=00-3+y x ，k 3=-003+x y ，k 4=00-3x y ，所以直线BD ，CD 的方程为y =-003+x y ·(x -x 0)+y 0，y =00-3x y (x +x 0)+y 0，消去y ，得-003+x y (x -x 0)+y 0=00-3x y ·(x +x 0)+y 0，化简得x =3，所以点D 在定直线x =3上运动.(3) 由(2)得点D 的纵坐标为y D =00-3x y ·(3+x 0)+y 0=200-9x y +y 0. 又209x +204y =1，所以20x -9=-2094y ，则y D =2009-4y y +y 0=-54y 0，所以点D 到直线BC 的距离h =|y D -y 0|=005--4y y =94|y 0|.将y =y 0代入29x +24y =1，得x 201-4y 所以S △BCD =12BC·h=12201-4y 94|y 0| 20271-24y ·12|y 0|≤272·22001-442+y y =274，当且仅当1-204y =204y ，即y 02y 02时，△BCD面积取最大值为274.1. (2021·苏锡常镇宿一调)双曲线x2-22y=1的离心率为.【答案】3【解析】由标准方程可得a2=1，b2=2，所以c2=3，所以e=ca =3.2. (2021·苏锡常镇二调)已知双曲线22xa-22yb=1(a，b>0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为. 【答案】3x2-y2=1【解析】由题意得，双曲线的渐近线方程为y=±ba x，故焦点到渐近线的距离为d=22||+bca b=|b|=1，即b2=1.又由于ca=2，故c2=a2+b2=4a2，所以a2=13，故所求双曲线的方程为3x2-y2=1.3. (2021·南京、盐城、徐州二模)在平面直角坐标系x O y中，已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，定点A(22，0)，若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM∶MN=.【答案】13【解析】方法一：由题意得F(0，1)，所以直线AF的方程为22x+1y=1，将它与抛物线的方程联立，解得2-2212.2⎧=⎧=⎪⎪⎨⎨==⎪⎩⎪⎩xxyy，，或依题意知交点在第一象限，故取M122⎛⎫⎪⎝⎭，.准线方程为y=-1，故易求得点N(42，-1)，所以由三角形相像性质得FMMN=11-21-(-1)2=13.(第3题)方法二：如图，设点M到准线的距离为MB，则依据条件得FMMB=1.又由于F(0，1)，所以直线FA的斜率为k=1-22=-24，从而sin∠ANB=218=13，即MBMN=13，所以FMMN=13.4. (2021·扬州期末)如图，A，B，C是椭圆M：22xa+22yb=1(a>b>0)上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，BC过椭圆M的中心，且满足AC⊥BC，BC=2AC.(第4题)(1) 求椭圆M的离心率；(2) 若y轴被△ABC的外接圆所截得的弦长为9，求椭圆M的方程.【解答】(1) 由于BC过椭圆M的中心，所以BC=2OC=2OB.又由于AC⊥BC，BC=2AC，所以△OAC是以角C 为直角的等腰直角三角形，则A(a ，0)，C -22⎛⎫ ⎪⎝⎭a a ，，B -22⎛⎫ ⎪⎝⎭a a ，，所以222⎛⎫ ⎪⎝⎭a a +22-2⎛⎫⎪⎝⎭a b =1，则a 2=3b 2，所以c 2=2b 2，e =63，所以椭圆M 的离心率为63.(2) △ABC的外接圆圆心为AB 的中点P 44⎛⎫ ⎪⎝⎭a a ，，半径为104a ，则△ABC的外接圆为2-4⎛⎫ ⎪⎝⎭a x +2-4⎛⎫ ⎪⎝⎭a y =58a 2.令x =0，得y =a 或y =-2a，所以a --2⎛⎫ ⎪⎝⎭a =9，解得a =6.所以所求椭圆M 的方程为236x +212y =1.【融会贯穿】完善提高融会贯穿典例如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知A ，B ，C 是椭圆22x a +22y b =1(a >b >0)上不同的三点，且A32322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，B(-3，-3)，点C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上.(典例)(1) 求椭圆的标准方程； (2) 求点C 的坐标；(3) 设动点P(异于点A ，B ，C)在椭圆上，且直线PB ，PC 分别交直线OA 于点M ，N ，求证：OM ·ON 为定值，并求该定值.【思维引导】【规范解答】(1) 由已知，得222218912991⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩a b a b ，，解得2227272⎧=⎪⎨=⎪⎩a b ，，…………………………………………………………………………2分所以椭圆的标准方程为227x+2272y=1……………………………………………………3分(2) 设点C(m，n)(m<0，n<0)，则BC的中点为-3-322⎛⎫ ⎪⎝⎭m n，.由已知可得直线OA的方程为x-2y=0，从而m=2n-3. ①又由于点C在椭圆上，所以m2+2n2=27. ②由①②，解得n=3(舍去)或n=-1，从而m=-5 ……………………………………5分所以点C的坐标为(-5，-1)…………………………………………………………6分(3) 设P(x0，y0)，M(2y1，y1)，N(2y2，y2).由于P，B，M三点共线，所以11323++yy=33++yx，整理得y1=00003(-)-2-3y xx y………………8分由于P，C，N三点共线，所以22125++yy=15++yx，整理得y2=00005--23+y xx y……………10分由于点P在椭圆上，所以2x+22y=27，即2x=27-22y，从而y1y2=2200002200003(5-6)4-4-9++x y x yx y x y=200020003(3-627)2-418++y x yy x y=3×32=92，……………………………………………………………14分所以OM·ON=5y1y2=452，…………………………………………………………15分所以OM·ON为定值，且定值为452………………………………………………16分【精要点评】此题考查了椭圆的一些性质，结合了动点问题和向量，运用解析法可以解决这道题目，本身难度并不高，计算量也不是很大.论证椭圆性质问题往往接受如下的命题思路：由于椭圆可以由圆经过仿射变换得到，依据仿射变换前后长度比值不变原理，所以圆中的结论在椭圆中同样成立.如图，在圆O中，B，C为圆上的两个定点，BC中点为Q，直线QO交圆O于点A，且P(异于A，B，C)为圆O上的动点，BP，CP分别交直线QO于N，M两点. 依据△ONP∽△OPM，明显有OM·ON=OA2为定值.变式如图，已知P(x1，y1)，Q(x2，y2)为椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)上的任意两点，直线PQ 与x轴交于点M，点R与点P关于x轴对称，直线QR与x轴交于点N.(变式)(1) 试用x1，x2，y1，y2表示点M和点N的横坐标；(2) 求证：OM·ON为定值.【解答】(1) 由题知直线PQ：(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0，即(y2-y1)x-(x2-x1)y-(x1y2-x2y1)=0.令y=0，则xM=122121--x y x yy y.又R(x1，-y1)，所以直线QR：(y2+y1)(x-x1)-(x2-x1)(y+y1)=0，即(y2+y1)x-(x2-x1)y-(x1y2+x2y1)=0，令y=0，则xN=122121++x y x yy y.(2) 由(1)可得OM ·ON=122121--x y x yy y·122121++x y x yy y=222212212221--x y x yy y=22222212212222211--1--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y ya y a yb by y=a2，为定值.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第29-30页.【课后检测】第2讲圆锥曲线一、填空题1. (2021·常州期末)已知双曲线ax2-4y2=1的离心率为3，那么实数a的值为.2. (2021·苏州调查)已知双曲线2xm-25y=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.3. (2022·苏中三市、连云港、淮安二调)若在平面直角坐标系x O y中，双曲线C的离心率为2，且过点(1，2)，则双曲线C的标准方程为.4. 若抛物线x=1m y2的准线与双曲线212x-24y=1的右准线重合，则实数m的值是.5. (2022·辽宁卷)已知椭圆C：29x+24y=1，点M与椭圆C的焦点不重合.若点M关于椭圆C的焦点的对称点分别为点A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则AN+BN= .6. 如图，已知A，B，C是椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)上的三点，其中点A的坐标为(23，0)，BC过椭圆的中心，且AC·BC=0，|BC|=2|AC|，那么椭圆的标准方程为.(第6题)7. (2021·盐城中学)设椭圆22xm+22yn=1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的短轴长为.8. (2021·丹阳中学)设A，B分别是椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点，点P是椭圆C上且异于A，B的一点，若直线AP与BP的斜率之积为-13，则椭圆C的离心率为.二、解答题9. (2022·南京、淮安三模)已知椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)过点P(-1，-1)，c为椭圆的半焦距，且c2b.过点P作两条相互垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N.(1) 求椭圆C的方程；(2) 若直线l1的斜率为-1，求△PMN的面积.10. (2021·赣榆中学)如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF ·FB=1，|OF|=1.(1) 求椭圆的标准方程.(2) 记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使得点F恰为△PQM的垂心?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.(第10题)11. 如图，椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的一个焦点为F(1，0)，且过点622⎛⎫⎪⎪⎝⎭，.(1) 求椭圆C的方程；(2) 已知A，B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M，求证：点M恒在椭圆C上.(第11题) 【课后检测答案】第2讲圆锥曲线1. 8 【解析】将双曲线方程ax2-4y2=1化成标准式可得21xa-214y=1，所以c2=1a+14.又由于e2=1141+aa=1+4a=3，所以a=8.2. y=±5x【解析】5+m，所以m=4.而双曲线的渐近线方程为y=5m x，即y=±52x.3. y2-x2=1 【解析】由于双曲线的离心率e2.设双曲线方程为x2-y2=m，则由点(12)在双曲线上得1-2=m=-1，故所求的双曲线方程为y2-x2=1.4. -12 【解析】212x-24y=1的右准线为x=2ac=124=3，所以抛物线y2=mx的开口向左，-4m=3，解得m=-12.5. 12 【解析】取MN的中点为G，点G在椭圆C上.设点M关于椭圆C的焦点F1的对称点为A，点M关于椭圆C的焦点F2的对称点为B，则有GF1=12AN，GF2=12BN，所以AN+BN=2(GF1+GF2)=4a=12.6. 212x +24y =1 【解析】由于|BC |=2|AC |，直线BC 过点(0，0)，则|OC |=|AC |.又由于AC ·BC =0，所以∠OCA=90°，即又由于a，所以椭圆方程为212x +22y b =1，把点C 的坐标代入上式，得b 2=4，所以椭圆的方程为212x +24y =1.7.【解析】由题意可知，抛物线y 2=8x 的焦点为(2，0)，所以c =2，由于离心率为12，所以a =4，所以b8. 3 【解析】由题意知A(-a ，0)，B(a ，0)，取P(0，b )，则k AP ·k BP =b a ×-⎛⎫ ⎪⎝⎭b a =-13，故a 2=3b 2，所以e 2=222-a b a =23，即e=.9. (1) 由条件得21a +21b =1，且c 2=2b 2，所以a 2=3b 2，解得b 2=43，a 2=4，所以椭圆的方程为24x +234y =1. (2) 设直线l 1的方程为y +1=k (x +1)，联立22-134=+⎧⎨+=⎩y kx k x y ，，消去y ，得(1+3k 2)x 2+6k (k -1)x +3(k -1)2-4=0. 由于点P 的坐标为(-1，-1)，解得M 2222-36132-11313⎛⎫+++ ⎪++⎝⎭k k k k k k ，. 当k ≠0时，用-1k 代替k ，得N 2222-6-3--2333⎛⎫+ ⎪++⎝⎭k k k k k k ，.将k =-1代入，得M(-2，0)，N(1，1). 由于P(-1，-1)，所以，，所以△PMN的面积为12=2.10. (1) 设椭圆方程为22x a +22y b =1(a >b >0)，则c =1. 又由于AF ·FB =1，即(a +c )(a -c )=1=a 2-c 2，所以a 2=2，故椭圆方程为22x +y 2=1.(2) 假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM的垂心，则设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由于M(0，1)，F(1，0)，故k PQ =1，于是可设直线l 的方程为y =x +m ，联立2222=+⎧⎨+=⎩y x m x y ，，得3x 2+4mx +2m 2-2=0. 由于MP ·FQ =0=x 1(x 2-1)+y 2(y 1-1)，又y i =x i +m (i =1，2)，得x 1(x 2-1)+(x 2+m )(x 1+m -1)=0，即2x 1x 2+(x 1+x 2)(m -1)+m 2-m =0.由韦达定理得2·22-23m -43m(m -1)+m 2-m =0，解得m =-43或m =1(舍去). 经检验m =-43符合条件，所以直线l 的方程为y =x -43.11. (1) 由题意得2222212312-=⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩c a b a b c ，，，解得a 2=4，b 2=3，故椭圆C 的方程为24x +23y =1.(2) 由于F(1，0)，N(4，0).设A(m ，n )，M(x 0，y 0)，则B(m ，-n )，n ≠0，则直线AF 的方程为y =-1nm (x -1)，直线BN 的方程为y =4-nm (x -4)，解得点M 的坐标为5-832-52-5⎛⎫⎪⎝⎭m n m m ，. 代入椭圆方程中，得204x +203y =25-82-54⎛⎫ ⎪⎝⎭m m +232-53⎛⎫⎪⎝⎭n m =222(5-8)124(2-5)+m n m . 由24m +23n =1，得n 2=321-4⎛⎫ ⎪⎝⎭m ，代入上式得204x +23y =1.所以点M 恒在椭圆C 上.。

【南方凤凰台】(江苏专用)高考数学大一轮复习第一章第1课集合的概念与运算自主学习

第1课集合的概念与运算(本课对应学生用书第1-3页)自主学习回归教材1. 集合的概念(1) 集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.(2) 集合的表示法:列举法、描述法、Venn图法等.(3) 集合按所含元素个数可分为:有限集、无限集、空集;按元素特征可分为:数集、点集.(4) 常用数集符号:N表示自然数集;N*或N+表示正整数集;Z表示整数集;Q表示有理数集;R表示实数集.2. 两类关系(1) 元素与集合的关系,用∈或∉()表示.(2) 集合与集合的关系,用“”、“”或“=”表示.当A B时,称A是B的子集;当A B 时,称A是B的真子集;当A=B时,称A是与B相等的集合,两集合的元素完全相同.3. 集合的运算(1) 全集:如果集合S含有我们所研究的各个集合的全部元素,那么这个集合就可以看做一个全集,通常用U来表示.一切所研究的集合都是这个集合的子集.(2) 交集:由属于A且属于B的所有元素组成的集合,叫作集合A与B的交集,记作A∩B,即A∩B={x|x∈A且x∈B}.(3) 并集:由属于A或属于B的所有元素组成的集合,叫作集合A与B的并集,记作A∪B,即A∪B={x|x∈A或x∈B}.(4) 补集:集合A是集合S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合叫作A的补集(或余集),记作∁S A,即∁S A={x|x∈S且x∉A}.4. 常见结论与等价关系(1) 若集合A中有n(n∈N*)个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.(2) A∩B=A A B;A∪B=A A B.(3) ∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B),∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B).1. (必修1P12例1改编)已知集合A={1},B={1,9},那么A∪B=.[答案]{1,9}2. (必修1P7练习3改编)设集合P={x|x>1},Q={x|2x-1>0},则P Q.(填“”或“”) [答案][解析]Q=1x x2⎧⎫⎨⎬⎩⎭,P Q.3. (必修1P18复习题9改编)设集合A={1,2,3},B={1,x},若A∪B=A,则实数x的值为. [答案]2或3[解析]若A∪B=A,则B A,所以x=2或x=3.4. (必修1P12练习4改编)已知集合A={-1,a},B={2a,b}.若A∩B={1},则A∪B=.[答案]{-1,1,2}5. (必修1P19本章测试14改编)已知集合A={x|-2<x<1},B={x|x-a<0}.若A B,则实数a的取值范围是.[答案][1,+∞)[解析]B={x|x<a},由A B,得a≥1.。

【南方凤凰台】2022届高考数学(江苏专用)二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆 (文科)

第1讲直线与圆【自主学习】第1讲直线与圆(本讲对应同学用书第43~46页)自主学习回归教材1. (必修2 P83练习4改编)已知一条直线经过点P(1，2)，且斜率与直线y =-2x +3 的斜率相等，则该直线的方程为 . 【答案】y =-2x +4【解析】设直线方程为y =-2x +b ，代入点P(1，2)，得b =4，所以所求直线的方程为y =-2x +4.2. (必修2 P111练习8改编)若方程x 2+y 2+4mx -2y +4m 2-m =0 表示圆，则实数m 的取值范围为 . 【答案】(-1，+∞)【解析】由方程x 2+y 2+4mx -2y +4m 2-m =0，可得(x +2m )2+(y -1)2=m +1，所以方程要表示圆，即有m +1>0，所以m >-1.3. (必修2 P114练习2改编)自点A(-1，4)作圆(x -2)2+(y -3)2=1 的切线l ，则切线l 的方程为 .【答案】y =4或3x +4y -13=0【解析】当直线l 垂直于x 轴时，直线l ：x =-1与圆相离，不满足条件.当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y -4=k (x +1)，由于直线与圆相切，所以21+k =1，解得k =0，k =-34，因此，所求的方程为y =4或3x +4y -13=0.4. (必修2 P117习题10改编)圆x 2+y 2=9与圆x 2+y 2-4x +2y -3=0的公共弦的长为 .【答案】125【解析】两圆的圆心分别为(0，0)，(2，-1)，公共弦的方程为2x -y -3=0，原点到公共弦的距离d =5，所以公共弦长为2239-5⎛⎫ ⎪⎝⎭=125.5. (必修2 P117习题11改编)已知圆C 的方程为x 2+y 2=r 2，若圆C 上存在一点M(x 0，y 0)，则经过点M(x 0，y 0)的切线方程为 . 【答案】x 0x +y 0y =r 2【解析】当点M(x 0，y 0)不在坐标轴上时，过点M 的切线的斜率存在且不为0.由于圆的切线垂直于过切点的半径，故所求切线的斜率为-00x y ，从而过点M 的切线方程为y -y 0=-00x y (x -x 0)，整理得x 0x +y 0y =20x +20y ，又由于点M(x 0，y 0)在圆上，所以所求的切线方程为x 0x +y 0y =r 2.【要点导学】要点导学各个击破直线、圆的方程例1 如图，在R t △ABC中，∠A为直角，AB 边所在直线的方程为x -3y -6=0，点T(-1，1)在直线AC 上，斜边中点为M(2，0).(例1)(1) 求BC边所在直线的方程；(2) 若动圆P过点N(-2，0)，且与R t△ABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P中半径最小的圆的方程.【分析】第一小问中先依据直线lAB 表示出直线lAC，再利用直线方程设出B，C两点的坐标，利用中点M，求出B，C两点的坐标，从而确定直线BC的方程.其次问先设出点P的坐标，并用其表示圆P的方程，再利用公共弦长为4，求出横纵坐标之间的关系，最终求出半径的最小值，即可得到所求圆的方程.【解答】(1) 由于AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，AC与AB垂直，所以直线AC的斜率为-3.故AC边所在直线的方程为y-1=-3(x+1)，即3x+y+2=0.设C为(x0，-3x0-2)，由于M为BC中点，所以B(4-x0，3x0+2).将点B代入x-3y-6=0，解得x0=-45，所以C42-55⎛⎫⎪⎝⎭，.所以BC边所在直线方程为x+7y-2=0.(2) 由于R t△ABC斜边中点为M(2，0)，所以M为R t△ABC外接圆的圆心.又AM=22，从而R t△ABC 外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.设P(a，b)，由于动圆P过点N，所以该圆的半径r=22(2)++a b，圆P的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由于圆P与圆M相交，则公共弦所在直线的方程m为(4-2a)x-2by+a2+b2-r2+4=0.由于公共弦长为4，r=22，所以M(2，0)到直线m的距离d=2，即22222|2(4-2)-4|(4-2)(2)++++a ab ra b=2，化简得b2=3a2-4a，所以r=22(2)++a b=244+a.当a=0时，r取最小值为2，此时b=0，圆的方程为x2+y2=4.【点评】对于直线和圆的方程的求解问题，一般都接受待定系数法，即依据所给条件特征恰当的选择方程，将几何性质转化为代数的方程，解方程即可.变式已知以点P为圆心的圆经过点A(-1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C 和D，且CD=410.(1) 求直线CD的方程；(2) 求圆P的方程.【解答】(1) 由于直线AB的斜率k=1，AB的中点坐标为(1，2).所以直线CD的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.(2) 设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a+b-3=0. ①又由于直径CD=410，所以PA=210.所以(a+1)2+b2=40. ②由①②解得-356-2.==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩a ab b，，或所以圆心P(-3，6)或P(5，-2)，所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.直线与圆、圆与圆的位置关系例2 (2021·曲塘中学)已知圆心为C的圆满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为3C的面积小于13.(1) 求圆C的标准方程.(2) 设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行?若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【分析】(1) 依据圆心C位于x轴正半轴上，可设出圆的标准方程，然后利用直线与圆的位置关系列出方程组求解；(2) 假设存在这样的直线方程，则斜率必需满足相应的条件，依据平行四边形法则，可得出D点坐标与A，B两点坐标间的关系，从而通过OD与MC平行建立起关于斜率k的方程，从而求出斜率k的值.【解答】(1) 设圆C：(x-a)2+y2=r2(a>0)，由题意知222|37|343+⎧=⎪+⎨⎪+=⎩ara r，，解得a=1或a=138，又由于S=πr2<13，所以a=1.所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.(2) 当斜率不存在时，直线l为x=0，不满足题意.当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又由于l与圆C相交于不同的两点，联立223(-1)4=+⎧⎨+=⎩y kxx y，，消去y，得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0，所以Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20>0，解得k<1-263或k>1+263，且x1+x2=-26-21+kk，y1+y2=k(x1+x2)+6=2261++kk，又OD=OA+OB=(x1+x2，y1+y2)，MC=(1，-3)，假设OD∥MC，则-3(x1+x2)=y1+y2，解得k=34，由于34∉2613⎛⎫-∞-⎪⎪⎝⎭，∪2613⎛⎫++∞⎪⎪⎝⎭，，所以假设不成立，所以不存在这样的直线l.【点评】推断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法.能用几何法，尽量不用代数法.变式(2021·天一中学)已知A(-2，0)，B(2，0)，C(m，n).(1) 若m=1，n=3，求△ABC的外接圆的方程；(2) 若以线段AB为直径的圆O过点C(异于点A，B)，直线x=2交直线AC于点R，线段BR的中点为D，试推断直线CD与圆O的位置关系，并证明你的结论.【分析】第(1)问已知三点在圆上，可设一般式利用待定系数法来求外接圆的方程；第(2)问要推断直线与圆的位置关系，可通过圆心到直线的距离和半径的关系进行推断.【解答】(1) 设所求圆的方程为x2+y2+D x+E y+F=0，由题意可得4-204201330⎧+=⎪++=⎨⎪++++=⎩D FD FD E F，，，解得D=E=0，F=-4，所以△ABC的外接圆方程为x2+y2-4=0，即x2+y2=4.(2) 由题意可知以线段AB为直径的圆的方程为x2+y2=4，设点R的坐标为(2，t)，由于A，C，R三点共线，所以AC∥AR.而AC=(m+2，n)，AR=(4，t)，则4n=t(m+2)，所以t=42+nm，所以点R的坐标为422⎛⎫⎪+⎝⎭nm，，点D的坐标为222⎛⎫⎪+⎝⎭nm，，所以直线CD的斜率为k=2-2-2+nnmm=2(2)-2-4+m n nm=2-4mnm.而m2+n2=4，所以m2-4=-n2，所以k=2-mnn=-mn，所以直线CD的方程为y-n=-mn(x-m)，化简得mx+ny-4=0，所以圆心O到直线CD的距离d=22+m n=4=2=r，所以直线CD与圆O相切.与圆相关的定点、定值问题例3 在平面直角坐标系x O y中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=4(其中r为常数，且0<r<4)，M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为点P，Q.(1) 若r=2，点M的坐标为(4，2)，求直线PQ的方程；(2) 求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标.【分析】第(1)小问只需要依据M，A1，A2这三点的坐标，求出P，Q两点的坐标即可.第(2)小问先设点M的坐标，再依据M，A1，A2这三点的坐标，求出P，Q两点的坐标得到直线PQ，再证明该直线过定点.【解答】(1) 当r =2，M(4，2)时，则A 1(-2，0)，A 2(2，0). 直线MA 1的方程为x -3y +2=0，联立224-320⎧+=⎨+=⎩x y x y ，，解得P 8655⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 直线MA 2的方程为x -y -2=0，联立224--20⎧+=⎨=⎩x y x y ，，解得Q(0，-2). 由两点坐标得直线PQ 的方程为2x -y -2=0.(2) 由题设得A 1(-r ，0)，A 2(r ，0).设M(4，t )，则直线MA 1的方程为y =4+tr (x +r )，直线MA 2的方程为y =4-tr (x -r )，联立222()4⎧+=⎪⎨=+⎪+⎩x y r t y x r r ，，解得P 222222(4)-2(4)(4)(4)⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭r r rt tr r r t r t ，.联立222(-)4-⎧+=⎪⎨=⎪⎩x y r t y x r r ，，解得Q ()22222224(4)(4)(4)⎡⎤----⎢⎥-+-+⎣⎦tr r rt r r r t r t ，. 于是直线PQ 的斜率k PQ =22816--tt r ，直线PQ 的方程为y -222(4)(4)+++tr r r t =2222228(4)16--(4)⎡⎤+--⎢⎥++⎣⎦t r r rt x t r r t .由对称性可得，定点肯定在x 轴上.令y =0，得x =24r ，是一个与t 无关的常数，故直线PQ 过定点204⎛⎫ ⎪⎝⎭r ，. 【点评】直线过定点问题的处理方法有两种：一是先求出直线的方程，然后再推断定点的位置，最终依据点的位置求出定点坐标，难度在于依据点的坐标表示直线方程时，带了较多的参数，对含字母的等式的化简有较高要求.二是先特殊，即依据特殊的直线，求出定点的坐标，再用三点共线证明两个动点的直线也过该点，其次种方法运算量较小.变式 (2021·苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点A(-3，4)，B(9，0)，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC=BD.(变式)(1) 若AC=4，求直线CD 的方程；(2) 求证：△OCD的外接圆恒过定点(异于原点O). 【解答】(1) 由于A(-3，4)，所以22(-3)4+=5.又由于AC=4，所以OC=1，所以C 34-55⎛⎫⎪⎝⎭，.由BD=4，得D(5，0)，所以直线CD 的斜率k =40-535--5⎛⎫ ⎪⎝⎭=-17，所以直线CD 的方程为y =-17(x -5)，即x +7y -5=0.(2) 方法一：设C(-3m ，4m )(0<m ≤1)，则OC=5m ，所以AC=OA-OC=5-5m . 由于AC=BD ，所以OD=OB-BD=5m +4，所以点D 的坐标为(5m +4，0).又设△OCD的外接圆的方程为x 2+y 2+D x +E y +F=0，则有2220916-340(54)(54)0=⎧⎪+++=⎨⎪++++=⎩F m m mD mE F m m D F ，，，解得D=-(5m +4)，F=0，E=-10m -3，所以△OCD的外接圆的方程为x 2+y 2-(5m +4)x -(10m +3)y =0，整理得x 2+y 2-4x -3y -5m (x +2y )=0，令22-4-3020⎧+=⎨+=⎩x y x y x y ，，所以=⎧⎨=⎩xy，(舍去)或2-1.=⎧⎨=⎩xy，所以△OCD的外接圆恒过定点(2，-1).方法二：设C(-3m，4m)(0<m≤1)，则OC=5m，所以AC=OA-OC=5-5m. 由于AC=BD，所以OD=OB-BD=5m+4，所以点D的坐标为(5m+4，0).由于OC的中点为3-22⎛⎫⎪⎝⎭m m，，直线OC的斜率kOC=-43，所以线段OC的垂直平分线方程为y-2m=3342⎛⎫+⎪⎝⎭x m，即y=34x+258m.又由于线段OD的垂直平分线的方程为x=542+m，联立325544821035422+⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎪⎨⎨++⎪⎪==⎪⎪⎩⎩my x m xmmyx，，得，，所以△OCD的外接圆的圆心坐标为5410322++⎛⎫⎪⎝⎭m m，，则半径r=225410322++⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m m，从而△OCD外接圆的标准方程为542+⎛⎫-⎪⎝⎭mx2+2103-2+⎛⎫⎪⎝⎭my=2542+⎛⎫⎪⎝⎭m+21032+⎛⎫⎪⎝⎭m，整理得x2+y2-(5m+4)x-(10m+3)y=0，即x2+y2-4x-3y-5m(x+2y)=0.令22-4-3020⎧+=⎨+=⎩x y x yx y，，所以=⎧⎨=⎩xy，(舍去)或2-1=⎧⎨=⎩xy，，所以△OCD的外接圆恒过定点(2，-1).1. (2021·宿迁一模)已知光线通过点M(-3，4)，被直线l：x-y+3=0反射，反射光线通过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程是.【答案】y=6x-6【解析】由题意得反射光线经过点M(-3，4)关于直线l的对称点Q(x，y)与点N(2，6)，由-4-113-34-3022⎧=⎪=⎧⎪+⎨⎨=+⎩⎪+=⎪⎩yxxyx y，，解得，，所以Q(1，0)，所以反射光线所在直线的方程为-0-1yx=6-02-1，即y=6x-6.2. (2021·无锡期末)已知点A(0，2)为圆M：x2+y2-2ax-2ay=0(a>0)外一点，圆M上存在点T使得∠MAT=45°，则实数a的取值范围是.【答案】3，1)【解析】圆M的方程可化为(x-a)2+(y-a)2=2a2，圆心为M(a，a)2a.当A，M，T三点共线时，∠MAT=0°最小，当AT与圆M相切时，∠MAT最大.圆M上存在点T，使得∠MAT=45°，只需要当∠MAT最大时，满足45°≤∠MAT<90°即可22(-0)(-2)+a a22-44+a a AT与圆M相切，所以sin∠MAT=MTMA222-44+aa a.由于45°≤∠MAT<90°，所以2≤sin∠MAT<1，所以22222-44+aa a<131≤a<1.3. (2021·南京三模)在平面直角坐标系x O y中，圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=9，直线l：y=kx+3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，若以M为圆心、2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为.【答案】3-4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，【解析】由题意得MC≥1对于任意的点M恒成立，由图形的对称性可知，只需点M位于AB的中点时存在即可.由点C(1，1)到直线l的距离得d21+k≥1，解得k≥-34.4. 如图，已知圆O ：x 2+y 2=1与x 轴交于A ，B 两点，直线l ：x =2，C 是圆O 上异于A ，B 的任意一点，直线AC 交l 于点D ，直线CB 交l 于点E ，摸索究以DE 为直径的圆M 是否经过某定点(与点C 的位置无关)?请证明你的结论.(第4题)【解答】由已知得A(-1，0)，B(1，0)，由于AB 为圆O 的直径，所以AC⊥CB. 设直线AC 的斜率为k (k ≠0)，则直线CB 的斜率为-1k ，于是直线AC 的方程为y =k (x +1)，直线CB 的方程为y =-1k (x -1)，分别与直线l ：x =2联立方程组，解得D(2，3k )，E 12-⎛⎫ ⎪⎝⎭k ，.设圆M 上任意一点P(x ，y )，则DP =(x -2，y -3k )，EP =1-2⎛⎫+ ⎪⎝⎭x y k ，，由DP ·EP =0，得圆M 的方程为(x -2)2+(y -3k )1⎛⎫+ ⎪⎝⎭y k =0，即x 2-4x +1+y 2+1-3⎛⎫ ⎪⎝⎭k k y =0，由于取任意不为0的实数k ，上式恒成立，所以2023-4100⎧=⎧=±⎪⎨⎨+==⎪⎩⎩y x x x y ，，解得，，即无论点C 如何变化，圆M 始终过定点(2+3，0)和(2-3，0).【融会贯穿】完善提高融会贯穿典例已知点O(0，0)，点M 是圆(x +1)2+y 2=4上任意一点，问：x 轴上是否存在点A ，使得MO MA =12?若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由.【思维引导】【规范解答】假设存在符合题意的点A(x 0，0)，设M(x ，y )，则(x +1)2+y 2=4，所以x 2+y 2=3-2x .由MO MA =12，得MA 2=4MO 2，所以(x -x 0)2+y 2=4(x 2+y 2)，………………………………4分即3(x 2+y 2)+2x 0x -2x =0，所以3(3-2x )+2x 0x -20x =0，即(2x 0-6)x -(20x -9)=0……………………………………6分由于点M(x ，y )是圆上任意一点，所以0202-60-90.=⎧⎨=⎩x x ，…………8分所以x 0=3，………………………………………………………………………………9分所以存在点A(3，0)，使得MO MA =12.………………………………………………10分变式1 如图，已知点M(x，y)与两定点O(0，0)，A(3，0)的距离之比为12，那么点M的坐标应满足什么关系?(变式1)【解答】由题意得，MOMA=12，所以MA2=4MO2，所以(x-3)2+y2=4(x2+y2)，即(x+1)2+y2=4.变式2 已知点O(0，0)，A(3，0)，点M是圆(x+1)2+y2=4上任意一点，问：是否存在这样的常数λ，使得MOMA=λ?若存在，求出常数λ的值；若不存在，请说明理由.【解答】假设存在符合题意的常数λ，设M(x，y)，22MOMA=2222(-3)++x yx y=2222-69+++x yx y x，又(x+1)2+y2=4，所以x2+y2=3-2x.所以22MOMA=3-2(3-2)-69+xx x=3-212-8xx=14，所以MOMA=12，即λ=12.所以存在常数λ=12，使得MOMA=12.变式3 已知点M是圆(x+1)2+y2=4上任意一点，问：在x轴上是否存在两个定点P，Q，使得MP MQ=12?若存在，求出两个定点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】假设存在符合题意的定点P(x1，0)，Q(x2，0)，设M(x，y)，则(x+1)2+y2=4，所以x2+y2=3-2x.由MPMQ=12，得MQ2=4MP2，所以(x-x2)2+y2=4[(x-x1)2+y2]，即3(x2+y2)+(2x2-8x1)x+421x-22x=0，所以3(3-2x)+(2x2-8x1)x+421x-22x=0，即(2x2-8x1-6)x+421x-22x+9=0.由于点M(x，y)是圆上任意一点，所以21112212222-8-600-24-903-5.===⎧⎧⎧⎨⎨⎨+===⎩⎩⎩x x x xx x x x，，，解得或，所以存在点P(0，0)，Q(3，0)或P(-2，0)，Q(-5，0) ，使得MPMQ=12.变式4 已知点O(0，0)，点M是圆(x+1)2+y2=4上任意一点，问：在x轴上是否存在不同于点O的定点A，使得MOMA为常数λ?若存在，求出点A的坐标及常数λ的值；若不存在，请说明理由.【解答】假设存在定点A(x0，0)，使得MOMA=λ，设M(x，y)，则(x+1)2+y2=4，所以x2+y2=3-2x.由MOMA=λ，得MO2=λ2MA2，所以x2+y2=λ2[(x-x0)2+y2]，即(λ2-1)(x2+y2)-2λ2x0x+λ22x=0，所以(λ2-1)(3-2x)-2λ2x0x+λ22x=0，即2(λ2-1+λ2x0)x-3(λ2-1)-λ22x=0.由于点M(x，y)是圆上任意一点，所以222222(-1)0-3(-1)-0λλλλ⎧+=⎨=⎩xx，，由于x0≠0，所以31.2λ=⎧⎪⎨=⎪⎩x，所以存在点A(3，0)，使得MOMA=12(常数).【点评】在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上，且满足PAPB=λ.当λ>0且λ≠1时，点P的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”.(λ=1时，点P的轨迹是线段AB的垂直平分线)温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第27-28页.【课后检测】专题五解析几何第1讲直线与圆一、填空题1. (2022·镇江期末)“a=1”是“直线ax-y+2a=0与直线(2a-1)x+ay+a=0相互垂直”的条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)2. (2022·淮安、宿迁摸底)已知过点(2，5)的直线l被圆C：x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为4，则直线l的方程为.3. (2021·苏州调研)已知圆C：(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)与直线y=3x相交于P，Q两点，则当△CPQ的面积最大时，实数a的值为.4. (2021·苏州期末)已知圆M：(x-1)2+(y-1)2=4，直线l：x+y-6=0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC=60°，则点A的横坐标的取值范围是.5. (2022·安徽模拟)已知圆C1：(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2：(x+b)2+(y+2)2=1相外切，则ab的最大值为.6. (2021·盐城三模)已知动直线y=k(x)与曲线yA，B两点，O为坐标原点，则当△AOB的面积取得最大值时，k的值为. 7. (2021·南通、扬州、泰州三调)在平面直角坐标系x O y中，过点P(-5，a)作圆x2+y2-2ax+2y-1=0的两条切线，切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，且2121--y yx x+1212-2++x xy y=0，则实数a的值为.8. 在平面直角坐标系x O y中，已知点P(3，0)在圆C：x2+y2-2mx-4y+m2-28=0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为.二、解答题9. (2022·扬州期中)在平面直角坐标系x O y中，已知圆M：x2+y2-8x+6=0，过点P(0，2)且斜率为k 的直线与圆M相交于不同的两点A，B，线段AB的中点为N.(1) 求斜率k的取值范围；(2) 若ON∥MP，求k的值.10. 在平面直角坐标系中，已知圆C1：x2+y2-2mxmy+3m2=0，圆C2：x2+y2+4m x-3m=0，其中m∈R，m≠0.(1) 当两圆的圆心距最小时，试推断两圆的位置关系.(2) 是否存在定直线与圆C1总相切?若存在，求出全部定直线的方程；若不存在，请说明理由. 11. 在平面直角坐标系x O y中，直线x-y+1=0截以原点O.(1) 求圆O的方程.(2) 若直线l与圆O相切于第一象限，且与坐标轴交于点D，E，当DE长最小时，求直线l的方程.(3) 设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP，NP分别交x轴于点(m，0)和(n，0)，问：mn是否为定值?若是，恳求出该定值；若不是，请说明理由.【课后检测答案】专题五解析几何第1讲直线与圆1. 充分不必要【解析】由于两直线相互垂直，所以a·(2a-1)+(-1)·a=0，所以2a2-2a=0，所以a=0或1.2. x-2=0或4x-3y+7=0 【解析】x2+y2-2x-4y=0化成标准式为(x-1)2+(y-2)2=5.由于截得弦长为4小于直径，故该直线必有两条且圆心到直线的距离为d当斜率不存在时，l：x=2，明显符合要求；当斜率存在时，l：y-5=k(x-2)，d，解得k=43，故直线l的方程为4x-3y+7=0.3. 【解析】由于△CPQ的面积等于12sin∠PCQ，所以当∠PCQ=90°时，△CPQ的面积最大，此时圆心到直线y=3x的距离为，因此a=.4. [1，5] 【解析】首先，直线l与圆M相离，所以点A在圆M外.设AP，AQ分别与圆M相切于点P，Q，则∠PAQ≥∠BAC=60°，从而∠MAQ≥30°.由于MQ=2，所以MA≤4.设A(x0，6-x0)，则MA2=(x0-1)2+(6-x0-1)2≤16，解得1≤x0≤5.5. 94【解析】由两圆外切时圆心距等于半径之和，得|a+b|=3，所以ab≤22+⎛⎫⎪⎝⎭a b=2||4+a b=94.6. -【解析】由于yx2+y2=1(y≥0)，而S△AOB=12×12×sin∠AOB≤12，所以(S△AOB)max=12，此时△AOB为等腰直角三角形，从而点O到直线AB的距离为k=±(正值不合题意，舍去).7. 3或-2 【解析】方法一：由2121--y yx x+1212-2++x xy y=0，得2121--y yx x·12122-12++y yx x=-1，所以点(1，0)在直线PC上，其中C是圆心，所以2-2a+2×51++aa=0，可解得a=3或-2.经检验：当a=3或-2时，点P在圆外，符合条件.方法二：221111222222-22-10-22-10⎧++=⎨++=⎩x y ax yx y ax y，，两式相减，得(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)-2a(x1-x2)+2(y1-y2)=0，x1+x2+1212--y yx x(y1+y2)-2a+2×1212--y yx x=0，由2121--y yx x+1212-2++x xy y=0得2121--y yx x(y1+y2)=-(x1+x2-2)，代入上式得2-2a+2×1212--y yx x=0.又1212--y yx x=51++aa，代入上式，得2-2a+2×51++aa=0，可解得a=3或-2.经检验：当a=3或-2时，点P在圆外，符合条件.，)【解析】圆C的标准方程为(x-m)2+(y-2)2=32，圆心为C(m，2)，半径为当△ABC的面积的最大值为16时，∠ACB=90°，此时点C到AB的距离为4，，即16≤(m-3)2+(0-2)2<32，解得m，即m∈(3，9. (1) 方法一：圆的方程可化为(x-4)2+y2=10，直线可设为y=kx+2，即kx-y+2=0.圆心M到直线的距离d，依题意得d，即(4k+2)2<10(k2+1)，解得-3<k<1 3，所以斜率k的取值范围是1-33⎛⎫ ⎪⎝⎭，.方法二：由22-8602⎧++=⎨=+⎩x y xy kx，，得(k2+1)x2+4(k-2)x+10=0，依题意Δ=[4(k-2)]2-40(k2+1)>0，解得-3<k<1 3，所以斜率k的取值范围是1-33⎛⎫ ⎪⎝⎭，.(2) 方法一：由于ON∥MP，且直线MP的斜率为-12，故直线ON：y=-12x.由1-22⎧=⎪⎨⎪=+⎩y xy kx，，得N42-2121⎛⎫⎪++⎝⎭k k，.又N是AB中点，所以MN⊥AB，即2214--421++kk=-1k，解得k=-4 3.方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则N121222++⎛⎫⎪⎝⎭x x y y，.由22-8602⎧++=⎨=+⎩x y xy kx，，得(k2+1)x2+4(k-2)x+10=0，所以x1+x2=-24(-2)1+kk.又ON∥MP，且直线MP的斜率为-12，所以121222++y yx x=-12，即1212++y yx x=-12，即1212()4+++k x xx x=-12，所以224(-2)-414(-2)-1⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦+kkkkk=-12，解得k=-43.方法三：点N的坐标同时满足21-21--4⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩y kxy xyx k，，，解此方程组，消去x，y，得k=-43.10. (1) 由题意知，C1(mm)，C22-0⎛⎫⎪⎝⎭m，.圆心距d由于4m2+24m，当且仅当4m2=24m，即m=±1时，取等号.所以当m=±1时，圆心距d的最小值为当m=1时，此时圆C1的半径r1=1，圆C2的半径r2，所以圆心距|r 1-r 2|<d <r 1+r 2，两圆相交；当m =-1时，此时圆C 1的半径r 1=1，圆C 2的半径r 2=1，所以圆心距d >r 1+r 2，两圆相离.(2) ①当直线的斜率不存在时，所求定直线方程为x =0； ②当直线的斜率存在时，设该定直线的方程为y =kx +b ，由题意得，圆心C 1(m)到直线kx -y +b =0的距离等于|m |，=|m |恒成立，整理得(km +b =0恒成立，所以k，且b =0，解得k=，所求定直线方程为y=x . 综上，存在直线x =0和y=3x 与动圆C 1总相切.11. (1) 由于点O 到直线x -y +1=0的距离dO故圆O 的方程为x 2+y 2=2.(2) 设直线l 的方程为x a +yb =1(a >0，b >0)，即bx +ay -ab =0. 由直线l 与圆O21a +21b =12.DE 2=a 2+b 2=2(a 2+b 2)2211⎛⎫+ ⎪⎝⎭a b ≥8，当且仅当a =b =2时取等号，此时直线l 的方程为x +y -2=0. 所以当DE 长最小时，直线l 的方程为x +y -2=0.(3) 设点M(x 1，y 1)，P(x 2，y 2)，则N(x 1，-y 1)，21x +21y =2，22x +22y =2，直线MP 与x 轴交点为122121-,0-⎛⎫ ⎪⎝⎭x y x y y y ，则m =122121--x y x y y y ，直线NP 与x 轴交点为122121,0⎛⎫+ ⎪+⎝⎭x y x y y y ，则n =122121++x y x y y y ，所以mn =122121--x y x y y y ·122121++x y x y y y=222212212221--x y x y y y=222212212221(2-)-(2-)-y y y y y y =2，故mn 为定值2.。

南方凤凰台·2022全国二轮数学(提高版)第1讲等差数列、等比数列

解得a1＝236， d＝－43，
所以 S8＝8a1＋8×2 7d＝32.
故选 B.
2. 在等比数列{an}中，若 a3＝7，前三项的和 S3＝21，则公比 q 的值是( C )
A. 1
B. －12
C. 1 或－12
D. －1 或12
a1q2＝7，【解析】当 q＝1 时，an＝7，S3＝21，符合题意；当 q≠1 时，由a111－－qq3＝21，
选条件②：方法一：当 n≥2 时，由 Sn＝12an＋1＋m 得 Sn－1＝12an＋m，两式相减得 an＝12an＋1－12an，即 an＋1＝3an. 因为数列{an}是等比数列，且 a1＝1，所以数列{an}的通项公式为 an＝1×3n－1＝3n－1，n∈N*. 又当 n＝1 时，a1＝12a2＋m＝32＋m＝1，解得 m＝－12. 方法二：当 n＝1 时，a1＝S1＝12a2＋m，当 n＝2 时，a2＝S2－S1＝12a3＋m－12a2＋m，所以 a3＝3a2，所以等比数列{an}的公比为 q＝aa32＝3，且 a1＝1，所以 an＝1×3n－1＝3n－1. 所以 a1＝12a2＋m＝32＋m＝1，解得 m＝－12.
b2＝3，则a1＋b2 a2＝130. 4. 若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，首项 a1<0，公差 d>0，Sa1200<0，则当 Sn 最小时，
n＝____1_0___. 【解析】由Sa1200＝10a1a01＋0 a11<0，得 a10(a10＋a11)<0，所以 a10<0，a11>0，故前 10 项
(2021·黄冈一模)请在下列条件：①Sn＝－an＋t(t 为常数)；②an＝bnbn＋1，其中数列{bn}满足 b1＝1，(n＋1)bn＋1＝nbn；③3a2n＝3a2n＋1＋an＋1＋an 中任选一个，补充在下面问题的横线上并解答．

2018届高考数学理二轮复习江苏专用课件：专题三数列第1讲精品

(2)解由题设可求 a2＝λ－1，∴a3＝λ＋1，令 2a2＝a1＋a3，解得 λ＝4，故 an＋2－an＝4. 由此可得{a2n－1}是首项为 1，公差为 4 的等差数列， a2n－1＝4n－3； {a2n}是首项为 3，公差为 4 的等差数列，a2n＝4n－1. 所以 an＝2n－1，an＋1－an＝2. 因此存在 λ＝4，使得数列{an}为等差数通项公式：an＝a1＋(n－1)d， (2)求和公式：Sn＝n（a12＋an）＝na1＋n（n－2 1）d， (3)性质：①若 m，n，p，q∈N*，且 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq； ②an＝am＋(n－m)d； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，成等差数列.
热点二等差、等比数列的判定与证明【例 2】 (2016·南师附中月考)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，
a1＝14，且 Sn＝Sn－1＋an－1＋12(n∈N*，且 n≥2)，数列{bn}满足：b1＝－1149，且 3bn－bn－1＝n(n≥2，且 n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{bn－an}为等比数列. (1)解由 Sn＝Sn－1＋an－1＋12，得 Sn－Sn－1＝an－1＋12，即 an－an－1＝12(n∈N*，n≥2)，则数列{an}是以12为公差的等差数列，又 a1＝14，∴an＝a1＋(n－1)d＝12n－14.
4.(2013·江苏卷)在正项等比数列{an}中，a5＝12，a6＋a7＝ 3.则满足 a1＋a2＋…＋an>a1a2…an 的最大正整数 n 的值为________.
解析设数列{an}的公比为 q(q＞0)，由已知条件得12q＋12q2＝3，即 q2＋q－6＝0，解得 q＝2，或 q＝－3(舍去)，an＝a5qn－5＝12×2n－5＝ 2n－6，a1＋a2＋…＋an＝312(2n－1)，a1a2…an＝2－52－42－3…2n－6＝ 2n2－211n，由 a1＋a2＋…＋an>a1a2…an，可知 2n－5－2－5>2n（n－2 11），由 2n－5－2－5>2n（n－2 11），可求得 n 的最大值为 12，而当 n＝13 时， 28－2－5<213，所以 n 的最大值为 12. 答案 12

高考数学理苏教版二轮复习-63省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件

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注意：当 C≠0 时，常把原点作为特殊点 P；当 C＝0 时，直线过原点，经常取坐标轴上一点作为 P 点，如(1,0)或(0,1)．
2．线性规划的有关概念
名称
意义
约束条件 • 由变量x，y组成不等式组
线性约束条件
• 由x，y 一次不等式(或方程)组成不等式组
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目标函数线性目标函数
所表示的平面区域的面积等于
________．
解析：不等式组所表示的平面区域是一个三角形，三个顶点的
坐标分别是(0，43)，(0,4)，(1,1)，所以三角形的面积 S＝12×(4－43)×1
＝43.
答Hale Waihona Puke ：4310/45x＋2y－5≤0， 3．(2011 年山东)设变量 x，y 满足约束条件x－y－2≤0，则
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【点评】利润分析图解法解决线性规划实际问题．要注意合理利用表格，帮助条理繁杂的数据；另一方面约束条件要注意实际问题的要求．如果要求整点，则用逐步平移法验证．
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3．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物，42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.
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(2)设只生产书橱 y 个，可获利润 z 元，则01.·y2≤y≤60900 ⇒yy≤ ≤465000 ⇒y≤450.
z＝120y，所以当 y＝450 时，zmax＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产 450 个书橱，获得利润 54 000 元．

【免费下载】南方凤凰台届高考数学理二轮复习专题检测评估专题三第1讲基本不等式与线性规划

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目标函数为z=3 000x+2 000y.
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

【南方凤凰台】(江苏版)2014届高考数学二轮复习专题三第2讲不等式的解法与“三个二次关系”

第2讲不等式的解法与“三个二次关系”一、填空题1.(2013·某某卷)不等式x 2+x-2<0的解集为. 2.(2012·某某二模)已知集合A={x|x 2-2x≤0},B={}|x x a ≥,若A ∪B=B,则实数a 的取值X 围是.3.(2013·某某卷改编)不等式x<1x <x 2的解集为.4.(2013·某某卷改编)若关于x 的不等式x 2-2ax-8a 2<0(a>0)的解集为(x 1,x 2),且x 2-x 1=15,则a=.5.(2013·某某卷)已知f(x)是定义在R 上的奇函数.当x>0时,f(x)=x 2-4x,则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为.6.已知函数f(x)=23-4x-10,x 2,log (x-1)-6,x 2,x ⎧+≤⎨>⎩若f(6-a 2)>f(5a),则实数a 的取值X 围是.7.对于问题“已知关于x 的不等式ax 2+bx+c>0的解集为(-1,2),求解关于x 的不等式ax 2-bx+c>0”,现给出如下一种方法:解:由ax 2+bx+c>0的解集为(-1,2),得a(-x)2+b(-x)+c>0的解集为(-2,1),即关于x 的不等式ax 2-bx+c>0的解集为(-2,1). 参考上述方法,若关于x 的不等式k x a ++x b x c ++<0的解集为1-1,-3⎛⎫ ⎪⎝⎭∪1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭,则关于x 的不等式1kx ax ++11bx cx ++<0的解集为.8.已知函数f(x)=2(1),x-1,2(1),-11,1-1,x1,xx xx⎧⎪+≤⎪+<<⎨⎪⎪≥⎩若f(a)>1,则实数a的取值X围是.二、解答题9.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,试确定实数a的取值X围.10.某校心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分;当t∈[14,40]时,曲线是函数y=log a(x-5)+83(a>0且a≠1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p≥80时,听课效果最佳.(1)试求p=f(t)的函数关系式;(2)教师在什么时段内安排核心内容,能使得学生听课效果最佳?请说明理由.(第10题)11.(2013·某某期末)定义函数φ(x)=1,0,-1,0,xx≥⎧⎨<⎩f(x)=x2-2x(x2-a)φ(x2-a).(1)解关于a的不等式f(1)≤f(0);(2)已知函数f(x)在x∈[0,1]的最小值为f(1),求正实数a的取值X围.第2讲不等式的解法与“三个二次关系”1. (-2,1)2. (-∞,0]3. (-∞,-1)4. 5 25. (-5,0)∪(5,+∞)6. {a|-6<a<1}7. (-3,-1)∪(1,2)8. (-∞,-2)∪1 -,1 2⎛⎫ ⎪⎝⎭9. 当a=2时,原不等式变形为-4<0,恒成立,即a=2满足条件;当a≠2时,要使不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则2-20,4(-2)44(a-2)0, aa<⎧⎨∆=+⨯<⎩化简得2,(2)(-2)0, aa a<⎧⎨+<⎩解得-2<a<2.综上所述,实数a的取值X围是{a|-2<a≤2}.10. (1) 当t∈(0,14]时,设p=f(t)=λ(t-12)2+82,将(14,81)代入,得λ=-1 4,此时,p=-14(t-12)2+82.当t∈[14,40]时,将(14,81)代入y=loga(x-5)+83,得a=13.综上p=f(t)=2131-(t-12)82,0t14, 4log(t-5)83,14t40.⎧+<≤⎪⎨+<≤⎪⎩(2) 当t∈(0,14]时,由-14(t-12)2+82≥80,解得t≤此时t∈当t∈(14,40]时,由lo13g(t-5)+83≥80,解得14<t≤32,此时t∈(14,32].综上所得,当p≥80时,t∈即在t∈时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳.11. (1) f(1)≤f(0),即1-2(1-a)φ(1-a)≤0.当a>1时,φ(1-a)=-1,所以1+2(1-a)≤0,解得a≥3 2.当a≤1时,φ(1-a)=1,所以1-2(1-a)≤0,解得a≤1 2.综上,a的解集为{a|≤12或a≥32}.(2) 由题意,∀x∈[0,1],f(x)≥f(1)恒成立. 1°当a≥1时,由f(x)≥f(1),得x2+2x(x2-a)≥3-2a, 即2a(x-1)≤2x3+x2-3.①因为x∈[0,1],①式即2a≥322-3-1x xx+,即2a≥2x2+3x+3,上式对一切x∈[0,1]恒成立,所以2a≥2+3+3, 则a≥4.2°当0<a≤1时,由f(x)≥f(1),得x2-2x(x2-a)φ(x2-a)≥2a-1.(ⅰ)x≤1时,x2-2x(x2-a)≥2a-1,即2a(x-1)≥2x3-x2-1.②因为x∈[0,1],②式即2a≤322--1-1x xx,即2a≤2x2+x+1,上式对一切x∈[0,1]恒成立,所以2a≤此式恒成立.(ⅱ) 当0≤,x2+2x(x2-a)≥2a-1,即2a(x+1)≤2x3+x2+1.③因为x∈[0,1],③式即2a≤32211x xx+++,即2a≤2x2-x+1.1)14,即0<a≤116时,2a≤2所以a≤1.结合条件得0<a≤1 16.2)14,即116<a≤1时,2a≤1-18,所以a≤716.结合条件得116<a≤716,由1),2)得0<a≤7 16.由1°,2°,得0<a≤716或a≥4,即a的取值X围为7a416a a⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或.。

【南方凤凰台】(江苏版)高考数学二轮复习专题五第3讲数学归纳法理

第3讲数学归纳法1. 求证:n3+5n(n∈N*)能被6整除.2. (2013·南通三模)设n∈N*且n≥2,证明:(a1+a2+…+a n)2=21a+22a+…+2na+2[a1(a2+a3+…+a n)+a2(a3+a4+…+a n)+…+a n-1a n].3. 在数列{a n}中,a1=52,an+1=22(-1)nnaa(n∈N*),用数学归纳法证明:a n>2(n∈N*).4. 试比较2n+2与n2的大小(n∈N*),并用数学归纳法证明你的结论.5. 如图,P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,P n(x n,y n)(0<y1<y2<…<y n)是曲线C:y2=3x(y≥0)上的n个点,点A i(a i,0)(i=1,2,3,…,n)在x轴的正半轴上,且△A i-1A i P i是正三角形(A0是坐标原点).(1) 写出a1,a2,a3;(2) 求出点A n(a n,0)(n∈N+)的横坐标a n关于n的表达式并用数学归纳法证明.(第5题)6. 设f(x)=22xx ,x1=1,x n=f(-1nx)(n≥2,n∈N+).(1) 求x2,x3,x4的值;(2) 归纳并猜想{x n}的通项公式;(3) 用数学归纳法证明你的猜想.7. 已知正项数列{a n }满足S n =112n n a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.(1) 求a 1,a 2,a 3并推测a n ;(2) 用数学归纳法证明你的结论.8. 如图,一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为13,刚开始时,棋子在上底面点A 处,若移了n 次后,棋子落在上底面顶点的概率记为p n . (1) 求p 1,p 2的值;(2) 求证:114-1ni i p ∑=>21n n +.(第8题)第3讲数学归纳法1. (1) 当n=1时,n3+5n=6能被6整除.(2) 假设当n=k(k≥1,且k∈N*)时,k3+5k能被6整除;则当n=k+1时,(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=k3+5k+3k(k+1)+6.由假设知k3+5k能被6整除,而3k(k+1),6也能被6整除,所以(k+1)3+5(k+1)能被6整除.由(1)(2)可知, 命题对任意n∈N*都成立.2. (1) 当n=2时,有(a1+a2)2=21a+22a+2a1a2,命题成立.(2) 假设当n=k(k≥2)时,命题成立,即(a1+a2+…+a k)2=21a+22a+…+2ka+2[a1(a2+a3+…+a k)+a2(a3+a4+…+a k)+…+a k-1a k]成立;那么,当n=k+1时,有(a1+a2+…+a k+a k+1)2=(a1+a2+…+a k)2+2(a1+a2+…+a k)a k+1+21ka+=21a+22a+…+2ka+2[a1(a2+a3+…+a k)+a2(a3+a4+…+a k)+…+a k-1a k]+2(a1+a2+…+a k)a k+1+21ka+=21a+22a+…+2ka+21ka++2[a1(a2+a3+…+a k+a k+1)+a2(a3+a4+…+a k+a k+1)+…+a k a k+1],所以当n=k+1时,命题也成立.根据(1)和(2),可知命题对任意的n∈N*且n≥2都成立.3. (1) 当n=1时,a1=52>2,不等式成立.(2) 假设当n=k时等式成立,即a k>2(k∈N*),则a k+1-2=22(-1)kkaa-2=2(-2)2(-1)kkaa>0,所以a k+1>2,所以当n=k+1时,不等式也成立.综合(1)(2),不等式对所有正整数都成立.4. 当n=1时,21+2=4>n2=1;当n=2时,22+2=6>n2=4;当n=3时,23+2=10>n2=9;当n=4时,24+2=18>n2=16.由此可以猜想,2n+2>n2(n∈N*)成立.下面用数学归纳法证明:(1) 当n=1时,左边=21+2=4,右边=1,左边>右边,所以原不等式成立; 当n=2时,左边=22+2=6,右边=22=4,左边>右边;当n=3时,左边=23+2=10,右边=32=9,左边>右边.(2) 假设n=k(k≥3且k∈N*)时,不等式成立,即2k+2>k2.那么当n=k+1时,2k+1+2=2·2k +2=2(2k +2)-2>2·k 2-2.又因为2k 2-2-(k+1)2=k 2-2k-3=(k-3)(k+1)≥0, 即2k 2-2≥(k+1)2,故2k+1+2>(k+1)2成立.根据(1)和(2),可知原不等式对于任何n ∈N *都成立. 5. (1) a 1=2,a 2=6,a 3=12.(2) 依题意,得x n =-12n n a a +,y n-1-2n n a a ,而2n y =3·x n ,所以2-1-3?2n n a a ⎫⎪⎭=32(a n +-1n a ),即(a n --1n a )2=2(-1n a +a n ). 由(1)可猜想:a n =n(n+1)(n ∈N +). 下面用数学归纳法予以证明: ①当n=1时,命题显然成立.②假设当n=k(k ∈N +)时,命题成立,即有a k =k(k+1),则当n=k+1时,由归纳假设及(1k a +-a k)2=2(a k+1k a +),即21k a +-2(k 2+k+1)1k a ++[k(k-1)]·[(k+1)(k+2)]=0,解得1k a +=(k+1)(k+2)或a k+1=k(k-1).因为1k a +=k(k-1)<a k不合题意,所以舍去,即当n=k+1时,命题成立.由①,②可知,命题a n =n(n+1)(n ∈N +)成立.6. (1) x 2=f(x 1)=23,x 3=f(x 2)=223223⨯+=12=24,x 4=f(x 3)=122122⨯+=25. (2) 根据计算结果,可以归纳猜想出x n =21n +.(3) ①当n=1时,x 1=211+=1,与已知相符,归纳出的公式成立.②假设当n=k(k ∈N +)时,公式成立,即x k =21k +;那么,当n=k+1时,有1k x +=f(x k)=22k k x x +=22121k k ⨯+++=424k +=211k ++, 所以,当n=k+1时公式也成立.由①②知,对任意n ∈N +,有x n =21n +成立.7. (1) 由S n =112n n a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭知当n≥2时,-1n S =-1-1112n n a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,所以a n =112n n a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭--1-1112n n a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,整理得a n -1n a =--1-11n n a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 由S 1=11112a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,即a 1=11a ,又a 1>0,所以a 1=1.a 2-21a =-111a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-(1+1)=-2,即22a +2a 2+1=2.所以a 23-31a =-221a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-即23a3+2=3,所以a 3可推测a n(2) ①由(1)知a 1=1,满足a 1故当n=1时,a n.②假设n=k 时,a k.当n=k+1时,1k a +-11k a +=-1k k a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭即21k a +1k ++k=k+1,所以1k a +即当n=k+1时,a n由①②知数列{a n }的通项公式为a n∈N *.8. (1) p 1=23,p 2=23×23+13×21-3⎛⎫ ⎪⎝⎭=59. (2) 因为移了n 次后棋子落在上底面顶点的概率为p n ,故落在下底面顶点的概率为1-p n .于是移了(n+1)次后棋子落在上底面顶点的概率为1n p +=23p n +13(1-p n )=13p n +13.从而1n p +-12=11-32n p ⎛⎫⎪⎝⎭. 所以数列1-2n p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列,其首项为16,公比为13. 所以p n -12=16×-113n ⎛⎫ ⎪⎝⎭,即p n =12+12×13n.用数学归纳法证明:①当n=1时,左式=124-13⨯=35,右式=12,因为35>12,所以不等式成立. 当n=2时,左式=124-13⨯+154-19⨯=7855,右式=43,因为7855>43,所以不等式成立. ②假设n=k(k≥2)时,不等式成立,即114-1ki i p ∑=>21k k +.则n=k+1时,左式=114-1k i i p ∑=+114-1k p +>21k k ++111114-1223k +⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=21k k ++11332k k +++.要证21k k ++11332k k +++≥2(1)2k k ++,只要证11332k k +++≥2(1)2k k ++-21k k +,只要证11332k k +++≥223k 13k 2k k ++++,只要证123k +≤213k 1k ++,只要证3k+1≥2k 2+6k+2. 因为k≥2,所以3k+1=3(1+2)k≥3(1+2k+42C k )=6k 2+3=2k 2+6k+2+2k(2k-3)+1>2k 2+6k+2,所以21k k ++11332k k +++≥2(1)2k k ++.即n=k+1时,不等式也成立.由①②可知,不等式114-1ni i p ∑=>21n n +对任意的n ∈N *都成立.。

2021届高考数学(理,江苏专用)二轮复习专题三第1讲基本不等式与线性规划 11_【要点导学】

要点导学各个击破运用基本不等式求最值例1 (2022·苏州期末)已知正实数x,y 满足xy+2x+y=4,则x+y 的最小值为 . 【分析】要求x+y 的最小值,一种方式是转化为一个变量的代数式,然后变形成积为定值的形式,二是将已知式中变形成积的定值,然后将所求式进行构造,利用基本不等式求解.【答案】 26-3【解析】方法一:由xy+2x+y=4,得y=4-21+xx =-2+61+x ,所以x+y=x+1+61+x -3≥26(1)1+⋅+x x -3=26-3,即x+y 的最小值为26-3. 方法二:由xy+2x+y=4,得(x+1)(y+2)=6,由基本不等式得(x+1)+(y+2)≥2(1)(2)++x y =26,所以x+y ≥26-3,即x+y 的最小值为26-3.【点评】 (1) 一般地,分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数,特殊适合用基本不等式求最值.(2) 在利用基本不等式求最值时,要特殊留意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件中要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必需为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件.变式1 已知x>0,y>0,2x+8y-xy=0,那么x+y 的最小值为 . 【答案】 18【解析】方法一:由于2x+8y-xy=0,所以y=2-8x x .由于y>0,所以2-8xx >0,又x>0,所以x-8>0,所以x+y=x+2-8x x =x-8+16-8x +10≥216(-8)-8⋅x x +10=18,当x-8=16-8x 时取等号. 方法二:由题知8x +2y =1,则x+y=(x+y)（8x +2y ）=10+8y x +2x y ≥10+282·y x x y =18.变式2 已知函数f(x)=log 2(x-2),若实数m,n 满足f(m)+f(2n)=3,则m+n 的最小值是 .【答案】 7【解析】方法一:由log 2(m-2)+log 2(2n-2)=3,得(m-2)(n-1)=4,则m=4-1n +2,所以m+n=4-1n +2+n=4-1n +(n-1)+3≥24+3=7(当且仅当n=3时,取等号),故m+n 的最小值为7.方法二:m-2>0,n-1>0,m+n=m-2+n-1+3≥2(-2)(-1)m n +3=3+24=7,当且仅当m-2=n-1时取等号.线性规划中的最值问题例2 (2022·常州期末)已知实数x,y 满足约束条件3,3,3,+≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩x y y x 则z=5-x 2-y 2的最大值为 .【分析】要求z=5-x 2-y 2的最大值,即求x 2+y 2的最小值,而x 2+y 2的几何意义为区域内的点到原点距离的平方,所以利用点到直线的距离即可.【答案】 12【解析】方法一:在坐标系中画出约束条件所对应的可行域如图所示,又x 2+y 2的几何意义为在如图所示的阴影区域中任一点P 到原点距离的平方,所以由几何特征可得:x 2+y 2的最小值为原点到直线AC 的距离的平方.故z=5-x 2-y 2≤5-22=5-92=12,即z max =12.(例2)方法二:由基本不等式x2+y2≥2xy,得2(x2+y2)≥(x+y)2.又x+y≥3,故x2+y2≥9 2,当且仅当x=y=32≤3时取等号,所以zmax=5-92=12.【点评】线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要留意的是:一,精确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要留意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避开出错;三,一般状况下,目标函数的最大值或最小值均在可行域的端点或边界上取得.本题利用线性规划求解时要留意:一是x2+y2是距离平方,不是距离;二是可行域中的点到原点的距离的最小值不是在三个端点处取得,而是点到直线的距离.变式(2022·福建卷)已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域Ω=-70,-30,0,+≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩x yx yy若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为.【答案】37【解析】a2+b2表示圆心到原点距离的平方,画出可行域如图阴影部分所示.由于圆C与x 轴相切,所以圆心在直线y=1上,可知,当圆心为A(6,1)时,OA最大,此时(a2+b2)max=37.(变式)基本不等式模型应用题例3 (2022·南京学情调研)如图,某小区拟在空地上建一个占地面积为2400m2的矩形休闲广场,依据设计要求,休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域,周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分),道路的宽度均为2m.怎样设计矩形休闲广场的长和宽,才能使绿化区域的总面积最大?并求其最大面积.(例3)【分析】引入变量,可设休闲广场的长为xm,然后求出宽,可以将绿化区域的总面积表示成x的函数,然后利用基本不等式求最大面积,从长、宽的取值可求得x的范围,留意基本不等式等号成立的条件.【解答】设休闲广场的长为xm,则宽为2400x m,绿化区域的总面积为Sm2,则S=(x-6)2400-4⎛⎫⎪⎝⎭x=2424-240046⎛⎫+⨯⎪⎝⎭xx=2424-43600⎛⎫+⎪⎝⎭xx,x∈(6,600).由于x∈(6,600),所以x+3600x≥23600·xx=120,当且仅当x=3600x,即x=60时取等号.此时S取得最大值,且最大值为1944.答:当休闲广场的长为60m,宽为40m时,绿化区域总面积最大,最大面积为1 944m2.【点评】在利用基本不等式求函数的最值时,确定要留意验证基本不等式成立的三个条件,即一正二定三相等.假如等号成立的条件不具备,就应当争辩函数的单调性来求函数的最值.在实际问题中,由实际意义得出的变量取值范围格外重要.变式某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼,规划要求写字楼每层建筑面积为2 000m2.已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元,从其次层开头,每一层。

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