黑龙江省哈尔滨市第九中学2021届高三上学期期末考试理科数学试题 Word版含答案

哈九中2021届高三上学期期末考试(数学理科）试卷 时间:120分钟 满分:150分第Ⅰ卷 （选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合()(){}210M x x x =+-<，{}10N x x =+<，则M N ⋂=（ ） A ．()1,1- B ．()2,1- C ．()2,1-- D ．()1,2 2. 若复数z 满足1zi i =+，则复数z 是（ ）A ．1i --B ．1i +C ．1i -+D ．1i -3. 点Р到直线3y =的距离比到点1(0,)F -的距离大2，则点Р的轨迹方程为（ ） A ．22y x = B ．24y x =- C ．24x y = D ．24x y =- 4.已知袋中装有2个红球和2个白球，随机抽取2个球，则2球都是红球的概率为（ ） A ．23 B ．16 C ．13 D ．8215. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是:设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和()*,,,a b c d N ∈，则b cda ++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道 3.14159π=…，若令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得x 的近似分数为（ ） A ．227 B ．7825C ．6320D ．10935 6. 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．807. 已知三个不同的平面,,αβγ，三条不重合的直线,,m n l ，有下列四个命题中正确的是（ ） A ．若,m l n l ⊥⊥，则//m n ； B ．若,y αγβ⊥⊥，则//αβ C ．若,//,m a m n n β⊥⊂，则αβ⊥ D ．若//,m a n αβ⋂=，则//m n .8.泰山有“五岳之首”“天下第一关”之称.登泰山的路线有四条:红门盘道徒步路线，桃花峪登山路线，天外村汽车登山路线，天烛峰登山路线.甲、乙、内三人在聊起自己登泰山的路线时，发现三人走的路线均不同，且均没走天外村汽车登山路线，三人向其他旅友进行如下陈述: 甲:我走红门盘道徒步路线，乙走桃花峪登山路线； 乙:甲走桃花峪登山路线，丙走红门盘道徒步路线: 丙:甲走天烛峰登山路线，乙走红门盘道徒步路线.事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半.根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A ．甲走桃花峪登山路线 B ．乙走红门盘道徒步路线 C ．丙走桃花峪登山路线 D ．甲走天烛峰登山路线9. 已知,02πθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且3202cos cos πθθ⎛⎫++=⎪⎝⎭，则4sin πθ⎛+⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．4 B ．24-C ．4 D ．24+10. 已知12,F F 是双曲线22221(0,0x y a b a b -=>>）的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．(1,1C ．(D ．(1+ 11. 等差数列{}n a 中，28a =，前6项和666S =，设()21n nb n a =+，12n n T b b b =++⋅⋅⋅+，则n T =（ ）A ．111n -+ B ．112n -+ C ．1121n -+ D ．1122n -+12. 设函数()f x a =，若存在唯一的整数0x 使得()00f x <，则实数a 的取值范围为（ ）A ．34⎛⎝⎦B ．34⎛⎝⎦C ．⎛⎝⎦D ．⎛⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设x R ∈，向量()()1,2,,1a x b ==-，且a b ⊥，则a b += ．14.若实数,x y 满足10,0,0,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最大值是_ ．15.已知三棱柱111ABC A B C -，2,1AB AC ==，60BAC ∠=︒，则此球的表面积为 ．16.若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()2()f x x x R =∈， ()()10g x x x=<，()2h x elnx =，则有下列命题: ()y g x =-①与()h x 有“隔离直线”()f x ②和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-； ()f x ③和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,0-； ()f x ④和()h x之间存在唯一的“隔离直线”y e =-.其中真命题的序号为 ．（请填上所有正确命题的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数()2f x sin x =+()1求0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时函数的值域: ()2在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()3,2,42f A a b C ==+=，求,b c . 18. 惠州市某学校高三年级模拟考试的数学试题是全国I 卷的题型结构，其中第22，23题为选做题，考生只需从中任选一题作答．已知文科数学和理科数学的选做题题目无任何差异，该校参加模拟考试学生共1050人，其中文科学生150人，理科学生900人．在测试结束后，数学老师对该学校全体高三学生选做的22题和23题得分情况进行了统计，22，23题统计结果如下表参考公式:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++()1在答卷中完成如下22⨯列联表，并判断能否至少有99.9%的把握认为“选做22题或23题”与“学生的科类（文理）”有关系；()2在第23题得分为0的学生中，按分层抽样的方法随机抽取6人进行答疑辅导，并在辅导后从这6人中随机抽取2人进行测试，求被抽中进行测试的2名学生均为理科生的概率．19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11,AB AC AC BB ⊥⊥，112,AB A B AC BB ====()1求证:1A B ⊥面ABC ；()2若点Р为11B C 的中点，求直线1B B 与平面PAB 所成角的正弦值.20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为4，直线1:bl y x a =与椭圆相交于,A B 两点，2F 关于直线1l 的对称点为(0,)E b 斜率为1-的直线2l 与线段AB 相交于点P ，与椭圆相交于,C D 两点.()1求椭圆的标准方程；()2求四边形ACBD 面积的取值范围.21. 已知()246f x x x lnx =--()1求()f x 的单调区间；()2令()()(6)4g x f x x a lnx =--+，若()g x 有两个零点分别为()1212,x x x x <且0x 为()g x 的唯一的极值点，求证:12034x x x +>请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分（本小题满分10分) 22.已知()11f x x ax a =++-+.()1当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集:()2若1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围.23.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数）﹒以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()20acos a ρθ=>，且曲线C 与直线l 有且仅有一个公共点.()1求a ；()2设,A B 为曲线C 上的两点，且3AOB π∠=，求OA OB +的最大值.期末考试数学（理）答案一、选择题1-5:CDDBC 6-10:CCDAB 11、12:DA二、填空题14.2 15.8π16. ②④三、解答题17.()310,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()22b c ==18.由表中数据，计算()22105011010080040910140150900K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯35026.92313=≈ 26.92310.828>所以有99.9%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；()2由分层抽样的方法可知在被选取的6名学生中理科生有4名，文科生有2名.记4名理科生为,,,a b c d .2名文科生为E F 、，从这6名学生中随机抽取2名，全部可能的基本事件共15种分别是:,,,,ab ac ad aE aF bc bd bE bF cd cE cF dE dF EF 、、、、、、、、、、 被抽中的2名学生均为理科生的基本事件是:ab ac ad bc bd cd 、、、、、，有6种，故所求的概率为62155P == 所以被抽中进行测试的2名学生均为理科生的概率为25； 19.解析()1在三棱柱111ABC A B C -中，1,AB AC AC BB ⊥⊥，1AB BB B ⋂=，AC ∴⊥平面11ABB A ，又1A B ⊂平面11ABB A ，1AC A B ∴⊥.12BB =，1AA ∴=，12AB A B ==. 22211AB A E AA ∴+=，1A B AB ∴⊥，又AC AB A ⋂=，1A B ∴⊥平面ABC .()2解法一由()1知，直线11111,,AC A B BA ，两两互相垂直，如图，以1A 为坐标原点，分别以11111,,AC A B BA 所在直线为,,x y z 轴，简历空间直角坐标系1Axyz -则()()()()110,0,01,1,00,0,2,,,0,2,0A P B B -， ()()110,2,0,1,1,2AB A B PB ===---.设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =.则00n AB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020y x y z =⎧⎨---=⎩取1z =，则()2,0,1n =-为平面PAB 的--个法向量.()10,2,2BB =，设直线1BB 与平面PAB 所成的角为θ，则111cos ,105n BB sin n BBn BB θ⋅====⨯⋅，∴直线1BB 与平面PAB 20. 解:()1由题意得2,2,c b ==28a ∴=∴椭圆方程为22184x y +=. ()2设直线2l 的方程为()()1122,,,,y x m C x y D x y =-+.由22184x y y x m +==-+⎧⎪⎨⎪⎩得2234280x mx m -+-=， 所以1221243283x x m m xx ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩由()1知直线1:l y x =代入椭圆得A ⎛ ⎝，B得3AB =由直线2l 与线段AB 相交于点P ，得m⎛ ⎝∈.满足0∆>.12CD x=-===而21l k=-与11l k =，知21l l ⊥12ACBD S AB CD ∴=⋅=四边形.由m ⎛ ⎝∈. 得232,03m ⎛⎤-∈-⎥⎝⎦3232,93⎛⎤ ⎥⎝⎦∴四边形ACBD 面积的取值范围3232,93⎛⎤ ⎥⎝⎦21.()()'13)2(f x x x x=+-， 所以()f x 的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞.()()2,20ag x x aln x g x x xx'=-=-==得0x =当()(),00,x g x x g x ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝''∈⎭∈<>、 所以()g x在⎛ ⎝上单调递减，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增 而要使()g x 有两个零点，要满足()00g x <，即202=a g a e -<⇔>因为10x <<2x > 令()211x t t x =>， 由()()22121122 f x f x x alnx x alnx =→-=-. 即222211111121alntx alnx t x alntx x t -=-⇒=- 而()()21201213431318x x x t x t x a +>⇔+>⇔+>即()223181alntr a t +>-由0,1a t >>， 只需证:()2231880t lnt t +-+>， 令()()223188h t lnt t t =+-+，则()()118676h t t nt t t l '=+-++令()()1186ln 76n t t t t t=+-++，则()()261181101t n t lnt t t-'=++>>故()n t 在()1,+∞上递增，()()10n t n >=； 故()h t 在()1,+∞上递增，()()10,h t h >=12034x x x ∴+>22. 解()1当1a =时，不等式()3f x ≥化为13x x ++≥ 若1x <-，则13x x ---≥，即2x ≤-； 若10x -≤≤，则13x x +-≥，无解﹔ 若0x >，则13x x ++≥，即1x ≥.所以不等式()3f x ≥的解集为(][),21,-∞-⋃+∞()2当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+化为112x ax a x ++-+≥+即11ax a -+≥所以当1x ≥时，不等式11ax a -+≥恒成立. 由11ax a -+≥，得11ax a -+≤-或11ax a -+≥ 即()12a x -≤-或()10a x -≥当1x ≥时，不等式()12a x -≤-不恒成立； 当1x ≥时，若不等式()10a x -≥恒成立，则0a ≥. 所以a 的取值范围为[0)+∞，.23.解:()1直线l 的普通方程是30x -=，曲线C 的直角坐标方程是()22x a y -+=依题意直线l 与圆相切，则32a d a -==， 解得3a =-或1a =， 因为0a >，所以1a =. ()2如图，不妨设()12,,3,A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则122,23cos cos πρθρθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭1222336OA OB cos cos cos ππρρθθθθθ⎛⎫+=+=++==+ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以26k πθπ+=，即2,6k k Z πθπ=-∈时，OA OB +最大值是。