三角函数恒等变换测试题

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高中数学三角函数的恒等变换及化简求值精选题

三角函数的恒等变换及化简求值精选题一．选择题（共7小题） 1．若3ta n 4α=，则2c o s 2s in 2(αα+=)A ．6425B ．4825C ．1D ．16252．若3c o s ()45πα-=，则sin 2(α=)A ．725B ．15C ．15-D ．725-3．已知向量(sin ,2),(1,c o s )ab θθ=-=，且ab⊥，则2sin 2c o s θθ+的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．34．若1ta n 3θ=，则c o s 2(θ=)A ．45-B ．15- C ．15D ．455．已知角α的终边经过点(2,1)P -，则sin c o s (sin c o s αααα-=+ )A ．3B ．13C ．13-D ．3- 6．已知函数()s in (2)6f x x π=-，若方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，则12sin ()(x x -=)A ．45-B ．35-C ．3-D ．3-7．已知1ta n 4ta n θθ+=，则2c o s ()(4πθ+=)A ．12B ．13C ．14D ．15二．填空题（共15小题）9．设当x θ=时，函数()s in o s f x x x=+取得最大值，则ta n ()4πθ+=．10．求值：s in 50(1n 10)︒+︒=．11．1s in 10c o s 10-=︒︒．12．已知s in 10c o s 102c o s 140m ︒+︒=︒，则m=．13．4c o s 50ta n 40︒-︒=．14．2c o s 10s in 20s in 70︒-︒=︒．15．已知1ta n 31ta n αα+=-，则2sin 2sin co s 1ααα-+=．16．若1s in ()43πα-=，则c o s ()4πα+=．17．若o s 2in 2c o s ()4θθπθ=+，则s in 2θ=．18．若ta n 3α=，则s in 2ta n ()4απα+的值为．19．若ta n 3,(0,)2παα=∈，则c o s ()4πα-=．20．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2s in 18m =︒，若24m n +=，si n 63=︒．21．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为2s in 18a=︒，若24a b +=，则2=．22．函数2()ta n 60s in 2inf x x x=︒+在[,]2ππ上的值域为．三．解答题（共3小题） 23．设函数()s in ()s in ()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()yf x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[4π-，3]4π上的最小值．24．已知α，β为锐角，4ta n 3α=，c o s ()5αβ+=-（1）求c o s 2α的值；（2）求tan ()αβ-的值．25．已知函数22()s inc o s in f x x x x =--co s ()x x R ∈．（Ⅰ）求2()3f π的值．（Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．三角函数的恒等变换及化简求值精选题25道参考答案与试题解析一．选择题（共7小题） 1．若3ta n 4α=，则2c o s 2s in 2(αα+=)A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【分析】将所求的关系式的分母“1”化为22(c o s sin )αα+，再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：3ta n 4α=，22222314c o s 4s in c o s 14ta n 644c o s 2s in 29s in c o s ta n 125116ααααααααα+⨯++∴+====+++．故选：A ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题． 2．若3c o s ()45πα-=，则sin 2(α=)A ．725B ．15C ．15-D ．725-【分析】法1︒：利用诱导公式化s in 2c o s (2)2παα=-，再利用二倍角的余弦可得答案．法︒：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得s in c o s αα+的值，再平方，即得s in2α的值【解答】解：法31:c o s ()45πα︒-=，297s in 2c o s (2)c o s 2()2c o s ()1212442525πππαααα∴=-=-=--=⨯-=-，法32:c o s ()in c o s )425πααα︒-=+=，∴19(1s in 2)225α+=，97s in 2212525α∴=⨯-=-，故选：D ．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题．3．已知向量(sin ,2),(1,c o s )ab θθ=-=，且ab⊥，则2sin 2c o s θθ+的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．3【分析】由题意可得a b ⋅=，即解得ta n 2θ=，再由222222s in c o s c o s 2ta n 1s in 2c o s c o s s in 1ta n θθθθθθθθθ+++==++，运算求得结果．【解答】解：由题意可得sin 2co s 0ab θθ⋅=-=，即ta n 2θ=．222222s in c o s c o s 2ta n 1s in 2c o s 1c o s s in 1ta n θθθθθθθθθ++∴+===++，故选：A ．【点评】本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题． 4．若1ta n 3θ=，则c o s 2(θ=)A ．45-B ．15- C ．15D ．45【分析】原式利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将ta n θ的值代入计算即可求出值．【解答】解：1ta n 3θ=，22224c o s 22c o s 11111519ta n θθθ∴=-=-=-=++．故选：D ．【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．5．已知角α的终边经过点(2,1)P -，则sin c o s (sin c o s αααα-=+ )A ．3B ．13C ．13-D ．3-【分析】先根据已知条件得到ta n α，再化简s in c o s s in c o s αααα-+代入即可得到结果．【解答】解：因为角α的终边经过点(2,1)P -，所以1ta n 2α=-，则11s in c o s ta n 1231s in c o s ta n 112αααααα----===-++-+，故选：D ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，着重考查同角三角函数的基本关系式，考查任意角的三角函数的定义，属于中档题． 6．已知函数()s in (2)6f x x π=-，若方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，则12sin ()(x x -=)A ．45- B ．35-C．3-D．3-【分析】由已知可得2123x x π=-，结合12x x <求出1x 的范围，再由12112s i n ()s i n (2)c o s (2)36x xx x ππ-=-=--求解即可．【解答】解：因为0x π<<，∴112(,)666x πππ-∈-，又因为方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，∴1223x x π+=，∴2123x x π=-，∴12112s in ()s in (2)c o s (2)36x x x x ππ-=-=--，因为12212,3x x x x π<=-，103x π∴<<，∴12(,)662x πππ-∈-，∴由113()s in (2)65f x x π=-=，得14c o s (2)65x π-=，∴124s in ()5x x -=-，故选：A ．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题． 7．已知1ta n 4ta n θθ+=，则2c o s ()(4πθ+=)A ．12B ．13C ．14D ．15【分析】由已知求得s in c o s θθ的值，再由二倍角的余弦及诱导公式求解2c o s ()4πθ+的值．【解答】解：由1ta n 4ta n θθ+=，得s in c o s 4c o s s in θθθθ+=，即224s in c o s s in c o s θθθθ+=，1s in c o s 4θθ∴=，∴21c o s (2)1s in 22c o s ()422πθπθθ++-+==11212s in c o s 14224θθ-⨯-===．故选：C ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．二．填空题（共15小题） 9．设当xθ=时，函数()s in o s f x x x=+取得最大值，则ta n ()4πθ+=2+【分析】()f x 解析式提取，利用两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，由x θ=时函数()f x 取得最大值，得到θ的取值，后代入正切公式中计算求值．【解答】解：()sin o s 2sin ()3f x x x x π=+=+；当xθ=时，函数()f x 取得最大值2,32k k zππθπ∴+=+∈；26k πθπ∴=+，kz∈；∴1ta n ()ta n (2)ta n ()2464463k πππππθπ++=++=+==+故答案为：2+．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．10．求值：s in 50(1n 10)︒+︒=1 ．【分析】先把原式中切转化成弦，利用两角和公式和整理后，运用诱导公式和二倍角公式化简整理求得答案．【解答】解：原式2s in 40s in 80c o s 10s in 50c o s 401c o s 10c o s 10c o s 10c o s 10︒︒︒=︒⋅=︒===︒︒︒︒故答案为：1【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换及其化简求值，以及两角和公式，诱导公式和二倍角公式的化简求值．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用． 11．1s in 10c o s 10-=︒︒4 ．【分析】s in 10c o s 10得结果．【解答】解：12(c o s 10in 10)1221s in 10c o s 10s in 10c o s 10s in 202︒-︒-==︒︒︒︒︒4s in 20420S in ==故答案为：4【点评】本题主要基础知识的考查，考查了在三角函数的化简与求值中，综合运用二倍角正弦公式、两角和的正弦公式，要求考生熟练运用公式对三角函数化简． 12．已知s in 10c o s 102c o s 140m ︒+︒=︒，则m=【分析】由题意可得2c o s 140s in 10c o s 10m ︒-︒=︒，再利用三角恒等变换求得它的值．【解答】解：由题意可得2c o s 140s in 102c o s 40s in 102c o s (3010)s in 10c o s 10c o s 10c o s 10m ︒-︒-︒-︒-︒+︒-︒===︒︒︒2c o s 10s in 10s in 102c o s 10-︒+︒-︒==︒故答案为：【点评】本题主要考查三角恒等变换，属于中档题． 13．4c o s 50ta n 40︒-︒=【分析】表达式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．【解答】解：4c o s 50ta n 404s in 40ta n 40︒-︒=︒-︒4s in 40c o s 40s in 40c o s 40︒︒-︒=︒2s in 80s in (3010)c o s 40︒-︒+︒=︒12c o s 10c o s 10in 1022c o s 40︒-︒-︒=︒3c o s 10in 1022c o s 40︒-︒=︒==．【点评】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键． 14．2c o s 10s in 20s in 70︒-︒=︒【分析】利用两角和差的余弦公式，进行化简即可．【解答】解：原式12o s 20s in 20)s in 202c o s (3020)s in 2022c o s 20c o s 20︒+︒-︒︒-︒-︒==︒︒o s 20s in 20s in 20o s 20c o s 20c o s 20︒+︒-︒︒===︒︒【点评】本题主要考查三角函数值的化简，利用两角和差的余弦公式是解决本题的关键． 15．已知1ta n 31ta n αα+=-，则2sin 2sin co s 1ααα-+=25．【分析】由1ta n 31ta n αα+=-，我们可计算出ta n α的值，由于2sin α2c o s +α1=，所以将所求的代收式变形为222222s in c o s s in s in c o s s in c o s ααααααα-+++，然后化弦为切，代入求值．【解答】解：1ta n 31ta n αα+=-，1ta n 2α∴=．22222222222112()212s in c o s 2ta n 1222s in 2s in c o s 1115()12s in s in c o s ta n ta n s in c o s ta n αααααααααααααα⨯-⨯+-++-++∴-+====+++．故答案是：25．【点评】本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数间的基本关系，解题的关键是将角的弦化切，属于中档题． 16．若1s in ()43πα-=，则c o s ()4πα+=13．【分析】由已知利用诱导公式化简所求即可得解．【解答】解：1sin ()43πα-=，∴1c o s ()s in (())s in ()42443a ππππαα+=--=-=．故答案为：13．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 17．若o s 2in 2c o s ()4θθπθ=+，则s in 2θ=23-．【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可得：2(c o s s in )in 2θθθ+=，平方后整理可得：23sin 24sin 240θθ--=，进而解得s in 2θ的值．【解答】解：o s 22c o s()4θθπθ=+，∴2(c o s s in )in 22θθθ=+=，∴平方可得：24(1sin 2)3sin 2θθ+=，整理可得：23sin 24sin 240θθ--=，∴解得：2s in 23θ=-，或2（舍去）．故答案为：23-．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18．若ta n 3α=，则s in 2ta n ()4απα+的值为310-．【分析】直接利用三角函数关系式的变换和倍角公式的应用求出结果．【解答】解：由于ta n 3α=，所以22ta n 3s in 21ta n 5ααα==+，1ta n 4ta n ()241ta n 2πααα++===---所以3s in 235210ta n ()4απα==--+．故答案为：310-【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 19．若ta n 3,(0,)2παα=∈，则c o s ()4πα-=5．【分析】由已知结合同角三角函数基本关系式求解s in α、c o s α的值，然后展开两角差的余弦求解．【解答】解：由ta n 3α=，得s in 3c o s αα=，即s in 3c o s αα=．又22sin c o s 1αα+=，且(0,)2πα∈，解得：s in 10α=，c o s 10α=．∴c o s ()c o s c o s s in s in4441021025πππααα-=+=+=．故答案为：5．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及两角差的余弦，是基础题．20．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2s in 18m=︒，若24m n +=，则s i n 63m +=︒【分析】根据三角函数同角三角函数关系表示n ，利用辅助角公式结合两角和差的正弦公式进行化简即可．【解答】解：2s in 18m =︒，∴由24m n +=，得222444sin 184co s 18nm =-=-︒=︒，则2s in 182c o s 18in (4518)in 63s in 63s in 63s in 63s in 63m +︒+︒︒+︒︒====︒︒︒︒故答案为：【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求解，利用辅助角公式以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键．21．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为2s in 18a=︒，若24a b +=，则2=12-．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求24co s 18b =︒，然后利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简得答案．【解答】解：2s in 18a =︒，若24a b +=，2222444sin 184(1sin 18)4c o s 18b a∴=-=-︒=-︒=︒，∴22c o s 54sin 3614sin 18c o s 182sin 362-︒-︒====-︒︒︒，故答案为：12-．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．22．函数2()ta n 60s in 2inf x x x=︒+在[,]2ππ上的值域为．【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可求()in (2)4f x x π=-+[,]2x ππ∈，可得：32[44x ππ-∈，7]4π，进而利用正弦函数的性质即可得解．【解答】解：2()tan 60sin 22f x x x=︒+1c o s 2in 22xx -=+2o s 2x x=+-in (2)4x π=-+又[,]2x ππ∈，可得：32[44xππ-∈，7]4π，s in (2)[14x π∴-∈-，2，可得()in (2)4f x x π=-+-，．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．三．解答题（共3小题） 23．设函数()s in ()s in ()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()yf x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[4π-，3]4π上的最小值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数()f x 为正弦型函数，根据()06f π=求出ω的值；（Ⅱ）写出()f x 解析式，利用平移法则写出()g x 的解析式，求出[4x π∈-，3]4π时()g x 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数()s in ()s in ()62f x x x ππωω=-+-s in c o sc o s s ins in ()662x x x πππωωω=---3in c o s 22x xωω=-in ()3x πω=-，又()in ()0663f πππω=-=，∴63k ππωπ-=，k Z∈，解得62k ω=+，又03ω<<，2ω∴=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()in (2)3f x x π=-，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数in ()3y x π=-的图象；再将得到的图象向左平移4π个单位，得到in ()43yx ππ=+-的图象，∴函数()in ()12yg x x π==-；当[4x π∈-，3]4π时，[123xππ-∈-，2]3π，s in ()[122x π∴-∈-，1]，∴当4xπ=-时，()g x取得最小值是322-=-．【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题． 24．已知α，β为锐角，4ta n 3α=，c o s ()5αβ+=-（1）求c o s 2α的值；（2）求tan ()αβ-的值．【分析】（1）由已知结合平方关系求得s in α，c o s α的值，再由倍角公式得c o s 2α的值；（2）由（1）求得t a n 2α，再由c o s ()5αβ+=-求得t a n (αβ+，利用tan ()tan [2()]αβααβ-=-+，展开两角差的正切求解．【解答】解：（1）由22431s in c o s s in c o s ααααα⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为锐角，解得4s in 53c o s 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，227c o s 225c o s s in ααα∴=-=-；（2）由（1）得，24s in 22s in c o s 25ααα==，则s in 224ta n 2c o s 27ααα==-．α，(0,)2πβ∈，(0,)αβπ∴+∈，s in ()5αβ∴+==．则s in ()ta n ()2c o s ()αβαβαβ++==-+．ta n 2ta n ()2ta n ()ta n [2()]1ta n 2ta n ()11ααβαβααβααβ-+∴-=-+==-++．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题． 25．已知函数22()s inc o s in f x x x x =--co s ()x x R ∈．（Ⅰ）求2()3f π的值．（Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，（Ⅰ）代入可得：2()3f π的值．（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得()f x 的最小正周期及单调递增区间【解答】解：函数22()s inc o s in f x x x x =--7c o s in 2c o s 22s in (2)6x x x x π=-=+（Ⅰ）2275()2s in (2)2s in 23362f ππππ=⨯+==，（Ⅱ）2ω=，故Tπ=，即()f x 的最小正周期为π，由72[262xk πππ+∈-+，2]2k ππ+，k Z∈得：5[6x k ππ∈-+，]3k ππ-+，kZ∈，故()f x 的单调递增区间为5[6k ππ-+，]3k ππ-+或写成[6k ππ+，2]3k ππ+，kZ∈．【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档。

完整版简单三角恒等变换典型例题

简单三角恒等变换复习、公式体系(1) sin( ) sin cos cos sin sin cos cos sin sin( ) (2) cos()cos cossin sincoscossin sincos()(3) tan(tan tan去分母得tan tan i tan()(1 tantan )1 tan tantantantan()(1 tantan 、倍角公式的推导及其变形：(1) sin 2sin( ) sin coscos sin2 sin cossin1 .cos— sin 2221 sin 2(sincos(2) cos 2cos() cos cos sin sin cos 2 sin 2cos 2cos 2 sin 2 (cossin )(cossin )cos 22• 2 cos 厶 sin2 2COS (1 cos )把1移项得 1 cos22 cos 2或 -4- GQS -2-c2 cos 212【因为是-的两倍，所以公式也可以写成2cos2 cos 2一 1 或 1 cos 2 cos 2或 - 1 cos —cos 22222因为4 是2的两倍，所以公式也可以写成cos 42 cos 221 或 1 2Once 厶或nee? O12cos 2 22 cossin(1 sin 2) sin 2把1移项得1cos 22s in 2或 -4-1 2sin 22【因为是—的两倍，所以公式也可以写成2cos1 2 sin 2—或1 cos2 sin 2或 4 ---- eos-sin 22222因为4 是2 的两倍，所以公式也可以写成21、和差公式及其变形: 2) )2sin 2、基本题型1、已知某个三角函数，求其他的三角函数:注意角的关系，如(),(4 (1)已知，都是锐角，sin -，cos(5) ， (-4)_5 ，求sin的值13)(—)等等4 5(2)已知COS(—) 1,—，sin( )U,0 —,求sin( )的值4 5 4 4 4 13 4. 3(提不：(——)(—) ,只要求出sin( )即可)2、已知某个三角函数值，求相应的角：只要计算所求角的某个三角函数，再由三角函数值求角，注意选择合适的三角函数(1)已知，都是锐角，sin —，cos5,求角的弧度103、T()公式的应用(2) A ABC 中，角A、B 满足(1 tan A)(l tan B) 2 ,求A+B 的弧度4、弦化切,即已知tan ,求与sin, cos相关的式子的值：化为分式,分子分母同时除以cos 或cos? 等(1)已知tansin2 ,求SmQ 1Q in 9 rnQ 7,3sin 2cos2 的值3sin cos 1 sin 2 cos 25、切化弦，再通分，再弦合一(1)、化简：① sin 50° (13 t#TiO°)sin 35°sin 2x x(2)、证明： ________ (1 tan x tan _) tan x2 cos x 26、综合应用，注意公式的灵活应用与因式分解结合②(tan 10 01) cos-100...化简(2 sin2 2 cos4cos 20° sin 40° 的值等于（）3cos cos2 的值等于（ )——5 511A .C. 2D ・ 4424、已知0AiL cos A 3 那么卡in 2A 等于（）2547-_ 12 24A.B .C ・D ・25252525215已知tan （)——,tan( )，则）的值等升（ : )544413313 3A •B.—c.-一D.182222186、sinl65o= ()——1A •B.3C. 62 D. 62 22，4J广 47sinl4ocos 16o+sin76ocos74o 的值是 ()1、sin 20°cos40°A. 1B. 3c.1 D. 342r 244 72、若 tan3 , tan,则 tan(）等于（)31 1 A. 3B. 3-c.D.33A・3 B . 18、已知2x ( ,0),£,COS X24 一,则tan 2x (A . 7 2B —579、化简242s in (JI—x) —• sin (24n:+x), 其结果是4 4A. sin2x cos2x —10 、sin —3 cos 的值是( )12 12A . 0 £-211 、1 tan 2 75 的值为（)ji V tan 753 1c. D.2 J 2)24 24C・ D .7 7( )C .—cos2x D. —sin2x5c. 2 D . 2 sin12A. 2 3。

高中数学三角函数——三角恒等变换

高中数学三角函数——三角恒等变换一、单选题1．已知cos(π6−α)=35，则sin(α−2π3)=（）A ．35B ．45C ．−35D ．−452．若tanθ=2，则cos2θ=（）A ．−35B ．−13C ．35D ．133．设 sin20°=m ， cos20°=n ，化简 tan10°+11−tan10°−11−2sin 210°= （） A ．m nB ．−m nC ．n mD ．−n m4．函数y=2cos （ π3 ﹣x ）﹣cos （ π6+x ）的最小值为（）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．﹣ √55．已知角α的终边在射线y =34x(x <0)上，则tan α2=（） A ．−3或13B ．−13C ．-3D ．136．cos 215°−sin 215°+sin15°cos15° 的值等于（）A ．34B ．54C ．1+2√34D ．4+√347．cos165°的值为（）A ．√6+√24B ．√6−√24C ．−√6+√24D ．−√6−√248．已知 cos(π4−x)=35，则sin2x 的值是（）A ．1825B ．725C ．−725D ．−16259．在 ΔABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 2ccosC =bcosA +acosB ，则 ∠C 的值为（） A ．2π3B ．5π6C ．π6D ．π310．方程 ρ=sinθ+cosθ+k 的曲线不经过极点，则 k 的取值范围是（）A ．k ≠0B ．k ∈RC ．|k|>√2D ．|k|⩽√211．将函数f （x ）=2 √3 cos 2x ﹣2sinxcosx ﹣ √3 的图象向左平移t （t ＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（）A．2π3B．π3C．π2D．π612．已知sina=35，则cos(π−2a)=()A．45B．725C．−725D．−4 513．函数f(x)=sin2x+√3cos2x在区间[0，π]上的零点之和是（）A．2π3B．7π12C．7π6D．4π314．已知sin(−α)=√53，则cos(π2+α)的值为（）A．23B．−23C．√53D．−√5315．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若1tanA+1tanB=asinA，cosC=14，a2+b2=68，则△ABC的面积为（）A．2√3B．√15C．4D．2√516．在自然界中，存在着大量的周期函数，比如声波，若两个声波随时间的变化规律分别为：y1= 3sin(100πt)，y2=3cos(100πt)，则这两个声波合成后即y=y1+y2的振幅为（）A．3B．6C．3√2D．6√217．将函数f（x）=sin2xcos2x+ √3cos22x−√32的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平行移动π3个单位长度得函数g（x）图象，则以下说法正确的是（）A．函数g（x）在区间[0，π2]上单调递增B．函数f（x）与g（x）的最小正周期均为πC．函数g（x）在区间[0，π2]上的最大值为√32D．函数g（x）的对称中心为(Kπ2+π6，0)（K∈Z）二、填空题18．已知α是锐角，sinα=35，则cos(α−π4)的值是．19．若tana=5tan π7，则cos(a−5π14)sin(a−π7)=.20．已知tan(α−β2)=12，tan(β−α2)=−13，则tanα+β2=.21．函数f(x)=1−cosxsinx的图象在点(π2，1)处的切线方程为.22．已知 2sinα=1+cosα ，则 tan α2= . (α2≠π2+kπ，k ∈Z)23．在 △ABC 中，若 tanAtanB =tanA +tanB +1 ，则 cosC = . 24．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B =2A ，a =1，b =√3则边c = .25．函数 f(x)=sin 2x +√3cosx −34（ x ∈[0,π2] ）的最大值是．26．若 sin(θ+π3)=4√313， θ∈(0，π) ，则 cosθ= .27．已知 a >0 且 a ≠1 ，函数 f(x)=a x−2+2 的图像恒经过的点 P 的坐标为；若角 θ 的终边经过点 P ，则 sin 2θ−sin2θ= .28．若cos （ π4−θ ）cos （ π4+θ ）= √26（0＜θ＜ π2 ），则sin2θ= ．29．若tanα=﹣2，tan （α+β）= 13 ，则tanβ的值是．30．tan39°+tan6°+tan39°tan6°= . 31．已知 |sin2α|=2425，且 3π4<α<π ，则tanα= ．32．已知 sin(α+π3)+sinα=−4√35，−π2<α<0 ，则cosα= ．33．在锐角 ΔABC 中， B >π6 ， sin(A +π6)=35 ， cos(B −π6)=45，则 sin(A +B)= ．34．以下四个结论，正确结论的序号是 . ①存在 α∈( 0 ， π2 ) ，使 sinα+cosα=13；②y =tanx 在其定义域内为增函数；③y =|sin(x +π6)| 最小正周期为 π ；④y =cos 2x −sin 2x +sin ( π2−x ) 既有最大､最小值，又是偶函数.三、解答题35．在四边形 ABCD 中， ∠BAD =2π3，∠BCD =π3，cosD =−17，AD =DC =2 .（1）求 cos∠DAC 及 AC 的长；（2）求 BC 的长．36．已知函数 f(x)=2√3sinxcosx −cos2x(x ∈R) .（1）求 f(x) 的单调递增区间；（2）设 α∈(0，π3) ，且 f(α)=65 ，求 sin2α 的值.37．已知 tanα=12 ，且 α 为第三象限角.（∈）求 sinα+2cosαsinα−cosα的值；（∈）求 cos(α−π4) 的值.38．∈ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a ＝2bcosC+csinB ．（∈）求tanB ；（∈）若C =π4 ，∈ABC 的面积为6，求BC ．39．已知 0<α<π2<β<π ， tan(α+π4)=−2 ， sinβ=√22 .（1）求 sinα+3cosα2sinα−cosα的值；（2）求 sin(α+2β) 的值.40．已知任意角 α 的终边经过点 P(−3，m) ，且 tanα=−43（1）求m 的值：（2）求 sin2α+cos(2021π+α) 的值.41．已知函数 f(x)=√3sin2x −2cos 2x +1 .（1）求函数 f(x) 的最小正周期及单调递增区间；（2）当 x ∈[0，π2] 时，求函数 f(x) 的最大值和最小值.42．在 △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，且满 cos2A −cos2B =2sin(π3+A)sin(π3−A) .（1）求角B 的值；（2）若b=√3≤a，求a−12c的取值范围.43．已知函数f（x）=cosx•sin（x+ π3）﹣√3cos2x+√34，x∈R．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在锐角∈ABC中，角A，B，C的对边分别a，b，c，若f（A）= √34，a= √3，求∈ABC 面积的最大值．44．已知函数f(x)=sin4x+cos4x−√32sin2xcos2x.（1）求f(x)的最小正周期；（2）当x∈[0,π4]时，求f(x)的最大值和最小值.45．吴淞口灯塔AE采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度H （单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆BC的高度ℎ=3m，使A，B，D在同一直线上，也在同一水平面上，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.（本题的距离精确到0.1m)（1）该小组测得α､β的一组值为α=51.83°，β=47.33°，请据此计算H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离d（单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度.若灯塔的实际高度为20.1m，试问d为多少时，α−β最大？46．已知向量α⃗=（{cosx，﹣√3cosx），b⃗=（cosx，sinx），函数f（x）= α⃗• b⃗+1．（∈）求函数f（x）的单调递增区间；（∈）若f（θ）= 56，θ∈(π3，2π3)，求sin2θ的值．47．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为2√55、√210．（1）求tan2α的值；（2）求2α+β的值．48．设函数f(x)=asin(x+π6)cosx (x∈R)的最大值为1．（1）求实数a的值；（2）若函数g(x)=f(x+m) (m∈(−π2,π2))为偶函数，求sinm的值．49．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2=b2+bc．（1）求证：A=2B；（2）若B=π6，b=2，点P为△ABC所在平面内一动点，且满足AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =0，当线段BP的长度取得最小值时，求△APC的面积．50．设函数f(x)=2√2sinx,g(x)=sin2x+cos2x，g′(x)是g(x)的导函数.（1）当x∈[0,2π]时，解方程f(x)=g′(x)；（2）求函数F（x）=f(x)+g(x)的最小值.答案解析部分1．【答案】C【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值【解析】【解答】因为sin(α−2π3)=sin[(α−π6)−π2]=−cos(α−π6)=−cos(π6−α)=−35，故答案为：C.【分析】根据题意由诱导公式以及两角和的余弦公式，代入数值计算出结果即可。

三角恒等变换(测试题及答案)

三角恒等变换(测试题及答案)三角恒等变换测试题第I卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.求cos24cos36-cos66cos54的值。

A。

0.B。

1/2.C。

1/4.D。

1/82.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan(2α)的值为：A。

1/2.B。

2/3.C。

3/4.D。

4/53.函数y=sin(x)+cos(x)的最小正周期为：A。

π。

B。

2π。

C。

4π。

D。

π/24.已知等腰三角形顶角的余弦值等于4/5，则这个三角形底角的正弦值为：A。

3/5.B。

4/5.C。

5/6.D。

5/45.α,β都是锐角，且sin(α)=1/3，cos(α+β)=-1/2，则sin(β)的值是：A。

-2/3.B。

-1/3.C。

1/3.D。

2/36.已知-x<π/3且cos(-x)=-√3/2，则cos(2x)的值是：A。

-7/24.B。

-1/8.C。

1/8.D。

7/247.函数y=sin(x)+cos(x)的值域是：A。

[0,1]。

B。

[-1,1]。

C。

[-1/2,1/2]。

D。

[1/2,√2]8.将y=2sin(2x)的图像向左平移π/4个单位，得到y=3sin(2x)-cos(2x)的图像，只需将y=2sin(2x)的图像：A。

向右平移π/4个单位。

B。

向左平移π/4个单位C。

向右平移π/2个单位。

D。

向左平移π/2个单位9.已知等腰三角形顶角的正弦值等于4/5，则这个三角形底角的余弦值为：A。

3/5.B。

4/5.C。

5/6.D。

5/410.函数y=sin(x)+3cos(2x)的图像的一条对称轴方程是：A。

x=π/4.B。

x=π/6.C。

x=π/2.D。

x=π/3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上）11.已知α,β为锐角，cosα=1/10，cosβ=1/5，则α+β的值为__ π/6 __。

12.在△ABC中，已知tanA,tanB是方程3x^2-7x+2=0的两个实根，则tanC=__ 1/2 __。

三角恒等变换含答案

三角恒等变换一、单选题1．已知α是第二象限角，tan()74πα-=-，则sin()3πα+=（）A B C D 2．已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（）A ．19-B C ．19D ． 3．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形。

如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于（）A ．45B ．725C ．725-D ．354．已知锐角α满足3cos()65πα+=，则sin(2)3πα+=（） A ．1225B ．1225±C ．2425D ．2425±5．sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（）A B C D6．已知22ππαβ--＜＜，sin 2cos 1αβ-=，2cos sin αβ+=则3s i n πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （）A ．3B ．3C ．3±D ．3±7．若,αβ都是锐角，且cos 5α=，3sin()5αβ+=，则cos β= （）A B C D 8．已知方程x 2+3ax +3a +1=0（a ＞1）的两根分别为tanα，tanβ，且22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，，则α+β=（）. A ．34π或34π-B ．4π-或4πC ．4π D ．34π-9．已知角,αβ均为锐角，且cos αβ==αβ-的值为（） A ．3πB ．4π C ．4π-D ．4π或4π-10．已知 πsin()4α+=，则 3πsin()4α-的值为 ( )．A ．B ．2C ．－12D ．1211．已知函数()212cos 2f x x x =+-，若其图象是由sin 2y x =图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位得到，则ϕ的最小值为（） A ．6πB ．56π C ．12πD ．512π 12．已知函数()sin sin 3f x x x =-，[0,2]x πÎ，则()f x 的所有零点之和等于（） A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π13．若函数()sin cos f x a x b x =+在3x π=处取得最大值4，则ab=（）A ．1B C ．2D ．314．已知函数()sin f x a x x =-图象的一条对称轴为6x π=-，若()()124f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为（）A ．3π B ．πC ．23π D ．43π二、填空题15．计算：tan 20tan 40tan120tan 20tan 40++=_______________.16．cos102cos20cos10-⋅=____________． 17．已知()2sin 3αβ+=，()2sin 5αβ-=，则tan tan αβ的值为__________；18．已知αβ，均为锐角，1sin())663ππαβ-=+=，cos()αβ+=________. 19．函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________. 20．若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的R x ∈，不等式()()cos2sin sin 0f x x f x a ++-≤恒成立，则a 的最大值是_____．21．已知等腰三角形顶角的余弦值为725-，则这个三角形底角的正切值．．．为______ 22．o o oosin58+cos60sin2cos2=____________.23．已知π1sin cos 63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．24．设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则sin 2θ=______．25．若函数2()4sin sin cos 2(0)42x f x x x πωωωω⎛⎫=⋅++>⎪⎝⎭在2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围是____________.26．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若BC a =，ABC θ∠=，设ABC ∆的面积为1S ，正方形PQRS 的面积为2S ，当a 固定，θ变化时，则12S S 的最小值是__________．27．已知函数()()()cos sin sin cos f x a x b x =-没有零点，则22a b +的取值范围是_______三、解答题 28．（1cos103sin10-；（2）求值tan 70tan 503tan 70tan 50+-= 29．已知()222x x x f x sincos sin a ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭ （1）求实数a 的值；（2）若443f f ππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2141tan παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+的值． 30．（1）已知51sin π123α⎛⎫+=⎪⎝⎭，求πsin 12α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．（2）已知角α的终边过点()43P ,-，β为第三象限角，且4tan 3β=，求()c o s αβ-的值.31．（1）求值: sin 7cos15sin8cos7sin15sin8︒+︒︒︒-︒︒；（2）已知10sin cos ,25x x x π-<<+=，，求sin cos x x -的值. 32．已知1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，且,(0,)αβπ∈，求2αβ-的值 33．已知32ππα<<，32ππβ<<，sin α=，cos β=αβ-的值. 34．已知α，β为锐角，且17cos α=，()1114cos αβ+=-．求sinβ的值． 35．计算（1）已知2sin cos 0αα-=，求sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα-+++-的值；（2）求()214cos 102sin10︒+︒-︒的值. 36．已知2sin cos 3αα+=，且2παπ<<，求下列各式的值（1）sin cos αα-（2）cos()24sin()4πααπα+++37．已知sin(2)7αβ-=11cos(2)14αβ-=-， 042ππβα<<<<，(1)求tan(2)αβ-的值； (2)求cos()αβ+以及αβ+的值38．计算（1）23sin12(4cos 122)--；（240sin 50(13tan10).701cos 40+++39．已知函数2()2cos cos cos .22x xf x x x =+ (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.40．已知函数2()sinsin 1(02f x x x x πωωωω⎫⎛⎫=+⋅+-> ⎪⎪⎝⎭⎭的相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）求ω的值；（2）当,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 41．如图，OPQ 是半径为2，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的一动点，记COP θ∠=，四边形OPCQ 的面积为S ．（1）找出S 与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S 最大，并求出这个最大值．42．已知函数2()sin cos (0)f x x x x =>ωωωω的最小正周期为2π，（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若函数()()g x =f x +m 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上有两个零点，求实数m 的取值范围. 43．为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，内部有一“杠铃形图案”（如图阴影部分），圆的半径为1米，AC ，BD 是圆的直径，E ，F 在弦AB 上，H ，G 在弦CD 上，圆心O 是矩形EFGH 的中心，若23EF =米，2AOB θ∠=，5412ππθ≤≤.（1）当3πθ=时，求“杠铃形图案”的面积；（2）求“杠铃形图案”的面积的最小值.参考答案1．C 【解析】由tan 74πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得171tan tan αα-=-+，解得34tan α=-. 又α是第二象限角，可得34sin ,cos 55αα==-.则314sin 333525sin cos cos sin πππααα⎛⎫+=+=⨯-= ⎪⎝⎭. 故选C. 2．D 【解析】分析：由二倍角公式得cos 3πθ⎛⎫+⎪⎝⎭，再由5cos ?cos sin 6323ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合同角三角函数关系可得解.详解：由2sin 263θπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，得28112sin 12699θπ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭，即1cos 39πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由θ为锐角，且1cos 039πθ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，所以3πθ+因为锐角，所以sin 03πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭.5cos cos sin 6323ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选D.点睛：解决三角变换中的给值求值问题时，一定要注意先化简再求值，同时要注意所给条件在解题中的整体作用． 3．B 【解析】【分析】根据两个正方形的面积求出两个正方形的边长,进而用三角函数表示边长求出三角函数值,再利用二倍角公式求解即可. 【详解】由大正方形面积为25,小正方形面积为1.易得大正方形边长为5,小正方形边长为1.由图有15cos 5sin 1cos sin 5θθθθ-=⇒-=,故221cos sin 5cos sin 1θθθθ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ ,因为较小的锐角为θ,故4cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故2247cos 22cos 121525θθ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭ 故选：B 【点睛】本题主要考查了由图像求解三角函数值的问题,需要根据图像到三角函数的关系式再求解,属于中等题型. 4．C 【解析】【分析】利用诱导公式，求得sin()6πα+的值，再利用倍角公式，即可求解.【详解】因为锐角α满足3cos()65πα+=，所以6πα+也是锐角，由三角函数的基本关系式可得4sin()65πα+==，则24sin(2)2sin()cos()36625πππααα+=++=，故选C. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．B 【解析】【分析】根据sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭和0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得到sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭和cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，将所求的cos α转化为cos 33ππα⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和的余弦公式，得到答案.【详解】因为sin 33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以sin 33πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 33πα⎛⎫-==⎪⎝⎭，所以cos cos 33ππαα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 3333ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12⎛=- ⎝⎭36+=. 故选：B. 【点睛】本题考查同角三角函数关系，两角和的余弦公式，属于简单题. 6．B 【解析】【分析】两式平方相加利用两角和与差的公式可化为()54sin 3αβ--=，再根据22ππαβ-<-<得出6παβ=+，代入2cos sin αβ+=.【详解】将两个等式两边平方可得2222sin 4sin cos 4cos 1cos 4cos sin 4sin 2ααββααββ⎧-⋅+=⎨+⋅+=⎩，两式相加可得()54sin 3αβ--=，所以()1sin 2αβ-=， 22ππαβ-<-<，6παβ∴-=，即6παβ=+，代入2cos sin αβ+=3sin 2ββ+=，所以sin 63πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，需熟记两角和与差的公式以及常见的三角函数值，属于中档题. 7．A 【解析】【分析】先计算出()cos αβ+，再利用余弦的和与差公式，即可. 【详解】因为,αβ都是锐角，且1cos 2α=<，所以,32ππα<<又()31sin 52αβ+=>，所以2παβπ<+<，所以()4cos 5αβ+==-sin α==，cos β=()()()cos cos cos sin sin αβααβααβα+-=+++ 25=，故选A.【点睛】本道题考查了同名三角函数关系和余弦的和与差公式，难度较大。

三角恒等变换测试题

三角恒等变换测试题一、选择题1. 下列哪个表达式是正确的三角恒等式？A. sin²x + cos²x = 1B. tan²x + sin²x = sec²xC. 1 + tan²x = sec²xD. sinx/cosx = tanx2. 已知 sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB，那么 sin(A -B) 等于什么？A. sinA * cosB - cosA * sinBB. sinA * sinB + cosA * cosBC. cosA * sinB - sinA * cosBD. cosA * cosB - sinA * sinB3. 根据三角恒等式，下列哪个表达式是错误的？A. cot²x - 1 = csc²x - 1B. 1 + cot²x = csc²xC. 1 + tan²x = sec²xD. 1 - cos²x = sin²x二、填空题4. 利用三角恒等式，将下列表达式化简：\[ \frac{1 - cos(2x)}{1 + cos(2x)} \] 化简后的结果为 ________。

5. 已知 $ \sin(\theta) = \frac{3}{5} $，且 $ \theta $ 在第一象限，求 $ \cos(\theta) $ 的值。

根据恒等式$ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 $，$ \cos(\theta) $的值为 ________。

三、计算题6. 计算下列表达式的值：\[ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \] 已知 $ \sin(\alpha) = 0.6 $ 和 $ \cos(\alpha) = 0.8 $，求 $ \tan(\alpha) $ 的值。

三角函数、三角恒等变换、解三角形(含答案)

三角函数、三角恒等变换、解三角形学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知1sin 2α=，则cos()2πα-=（）A. 2-B. 12-C. 12D. 2 2．200︒是（）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3．已知()1cos 03ϕϕπ=-<<，则sin 2ϕ=（）A.9B.9-C.9D.9-4．函数 )321sin(π+=x y 的图像可由函数x y 21sin =的图像（） A ．向左平移32π个单位得到 B ．向右平移3π个单位得到C ．向左平移6π个单位得到 D ．向左平移3π个单位得到5．函数5sin(2)2y x π=+图像的一条对称轴方程是（） A ．2π-=x B ． 4π-=x C ． 8π=x D ．45π=x6．函数())24x f x π=-,x R ∈的最小正周期为（）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π7．给出以下命题：①若α、β均为第一象限角，且βα>，且βαsin sin >；②若函数⎪⎭⎫⎝⎛-=3cos 2πax y 的最小正周期是π4，则21=a ； ③函数1sin sin sin 2--=x xx y 是奇函数；④函数1|sin |2y x =-的周期是π； ⑤函数||sin sin x x y +=的值域是]2,0[. 其中正确命题的个数为（）A ． 3B ． 2C ． 1D ． 0 8．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图示，则将()y f x =的图像向右平移6π个单位后，得到的图像解析式为（）A ．x y 2sin = B.x y 2cos = C.)322sin(π+=x y D.)62sin(π-=x y 9．函数()sin 2f x x =的最小正周期是．10．300tan 480sin +的值为________.11．在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =，则ABC ∆的面积S 的最大值为．12．比较大小：sin1 cos1(用“>”,“<”或“=”连接).13．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴，终边经过点(1,,则cos ____.α=14．已知3cos()(,)41024x x πππ-=∈. （Ⅰ）求sin x 的值；（Ⅱ）求sin(2)3x π+的值.15．已知x x x x x f 424cos 3)cos (sin sin 3)(-++=.（1）求()f x 的最小值及取最小值时x 的集合；（2）求()f x 在[0,]2x π∈时的值域；（3）在给出的直角坐标系中，请画出()f x 在区间[,]22ππ-上的图像（要求列表，描点）．16．已知3cos()(,)424x x πππ-=∈. （1）求sin x 的值；（2）求sin(2)3x π+的值.17．（1）化简：︒--︒︒︒-20sin 1160sin 20cos 20sin 212；（2）已知α为第二象限角，化简ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-.18．函数（其中）的图象如图所示，把函数)(x f 的图像向右平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数)(x g y =的图像.（1）若直线m y =与函数)(x g 图像在]2,0[π∈x 时有两个公共点，其横坐标分别为21,x x ，求)(21x x g +的值；（2）已知ABC ∆内角AB C 、、的对边分别为a b c 、、，且0)(,3==C g c .若向量(1,sin )m A = 与(2,sin )n B =共线，求a b 、的值．19．已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值与最小值.参考答案1．C 【解析】试题分析：由1cos()sin 22παα-==，故选C. 考点：诱导公式. 2．C 【解析】试题分析：因为第一象限角α的范围为36036090,k k k z α⋅<<⋅+∈ ; 第二象限角α的范围为36090360180,k k k z α⋅+<<⋅+∈ ; 第三象限角α的范围为360180360270,k k k z α⋅+<<⋅+∈ ; 第四象限角α的范围为360270360360,k k k z α⋅+<<⋅+∈ ；200∴︒是第三象限角，故选C.考点：象限角的概念. 3．D 【解析】试题分析：0ϕπ<< ，sin 0ϕ∴>，故sin ϕ===，因此sin 2ϕ=12sin cos 2339ϕϕ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选D. 考点：1.同角三角函数的基本关系；2.二倍角公式4．A 【解析】试题分析：因为1sin()23y x π=+可化为12sin ()23y x π=+.所以将x y 21sin =向左平移32π.可得到12sin ()23y x π=+.故选 A.本小题关键是考查1ω≠的三角函数的平移，将0x ωϕ+=时的x 的值，与0x =是对比.即可知道是向左还是向右，同时也可以知道移了多少单位.考点：1.三角函数的平移.2.类比的思想. 5．A 【解析】试题分析：5sin(2)sin(22)sin(2)cos 2222y x x x x ππππ=+=++=+= ，由c o s y x =的对称轴()x k k Z π=∈可知，所求函数图像的对称轴满足2()x k k Z π=∈即()2k x k Z π=∈，当1k =-时，2x π=-，故选A. 考点：1.三角函数图像与性质中的余弦函数的对称性；2.诱导公式. 6．C 【解析】试题分析：这是三角函数图像与性质中的最小正周期问题，只要熟悉三角函数的最小正周期的计算公式即可求出，如sin(),cos()y A x k y A x k ωϕωϕ=++=++的最小正周期为2||T πω=，而t a n ()y A x k ωϕ=++的最小正周期为||T πω=，故函数()tan()24x f x π=-的最小正周期为212T ππ==，故选C.考点：三角函数的图像与性质. 7．D 【解析】试题分析：对于①来说，取390,60αβ=︒=︒，均为第一象限，而1sin 60390sin 3022=︒=︒=，故s i n s i n αβ<；对于②，由三角函数的最小正周期公式214||2T a a ππ==⇒=±；对于③，该函数的定义域为{}|s i n 10|2,2x x x x k k Zππ⎧⎫-≠=≠+∈⎨⎬⎩⎭，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；对于④，记1()|sin |2f x x =-，若T π=，则有()()22f f ππ-=，而1()|1| 1.522f π-=--=，1()|1|0.522f π=-=，显然不相等；对于⑤，0sin sin ||2sin y x x x ⎧=+=⎨⎩(0)(0)x x <≥，而当()2sin (0)f x x x =≥时，22sin 2x -≤≤，故函数sin sin ||y x x =+的值域为[2,2]-；综上可知①②③④⑤均错误，故选D.考点：1.命题真假的判断；2.三角函数的单调性与最小正周期；3.函数的奇偶性；4.函数的值域. 8．D 【解析】试题分析：通过观察图像可得1A =，311341264T πππ=-=，所以T π=，所以222T ππωπ===，又因为函数()f x 过点(,1)6π，所以s i n ()12()332k k Z πππϕϕπ+=⇒+=+∈，而||2πϕ<，所以当0k =时，6πϕ=满足要求，所以函数()sin(2)6f x x π=+，将函数向右平移6π个单位，可得()s i n [2()]s i n (2)666f x x x πππ=-+=-，故选D.考点：1.正弦函数图像的性质.2.正弦函数图像的平移.3.待定系数确定函数的解析式. 9．π 【解析】试题分析：直接利用求周期公式2T πω=求得.考点：周期公式.10．【解析】试题分析：sin 480tan 300sin(120360)tan(36060)sin120tan 60sin 60tan 60+=︒+︒+︒-︒=︒-︒=︒-︒，故sin 480tan 300+==考点：1.诱导公式；2.三角恒等变换.11．【解析】试题分析：∵2222cos a b c bc A =+-，∴2212b c bc =+-，∵222b c bc +≥，∴122b c b c +≥，∴12bc ≤，∴1sin 2S bc A ∆==≤ 考点：1.余弦定理；2.基本不等式；3.三角形面积.12．＞. 【解析】试题分析：在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0. 考点：三角函数线．13．-12. 【解析】试题分析：由题意可得 x=-1，r 2=x 2+y 2=4,r=2,故cos =x r =-12. 考点：任意角的三角函数的定义．14．（1）45；（2）2450+-.【解析】试题分析：（1）先判断4x π-的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出sin()4x π-，将所求进行变形sin sin[()]44x x ππ=-+，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出sin 2x 、cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可.试题解析：（1）因为3(,)24x ππ∈，所以(,)442x πππ-∈，于是sin()410x π-==sin sin[()]sin()cos cos()sin444444x x x x ππππππ=-+=-+-41021025=⨯+=（2）因为3(,)24x ππ∈，故3cos 5x ===-2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x ==-=⨯-=-所以中24sin(2)sin 2coscos 2sin33350x x x πππ++=+=-. 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换.15．（1）当1-，},12|{Z k k x x ∈-=ππ；（2）[1,3]；（3）详见解析. 【解析】试题分析：先根据平方差公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式化简所给的函数()2sin(2)13f x x π=-+.（1）将23x π-看成整体，然后由正弦函数sin y x =的最值可确定函数()f x 的最小值，并明确此时x 的值的集合；（2）先求出23x π-的范围为2[,]33ππ-，从而sin(2)13x π≤-≤，然后可求出]2,0[π∈x 时，函数()f x 的值域；（3）根据正弦函数的五点作图法进行列表、描点、连线完成作图.试题解析：化简424()(sin cos )f x x x x x =++222222cos )(sin cos )sin 2sin cos cos x x x x x x x =-++++22cos )2sin cos 1x x x x =-++sin 221x x =+2sin(2)13x π=-+ 4分（1）当sin(2)13x π-=-时，()f x 取得最小值211-+=-，此时22,32x k k Z πππ-=-+∈即,12x k k Zππ=-∈，故此时x 的集合为},12|{Z k k x x ∈-=ππ 6分（2）当]2,0[π∈x 时，所以]32,3[32πππ-∈-x ，所以sin(2)13x π≤-≤，从而12sin(2)133x π+≤-+≤即]3,13[)(+-∈x f 9分（3）由()2sin(2)1f x x π=-+知故()f x 在区间[,]22ππ-上的图象如图所示：13分.考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图像与性质.16．（1）45；（2）.【解析】试题分析：（1）先判断4x π-的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出sin()4x π-，将所求进行变形sin sin[()]44x x ππ=-+，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出sin 2x 、cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可.试题解析：（1）因为3(,)24x ππ∈，所以(,)442x πππ-∈，于是sin()410x π-==sin sin[()]sin()cos cos()sin444444x x x x ππππππ=-+=-+-41021025=⨯+=（2）因为3(,)24x ππ∈，故3cos 5x ===-2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x ==-=⨯-=-所以中24sin(2)sin 2coscos 2sin33350x x x πππ++=+=-. 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换. 17．（1）1-；（2）0. 【解析】试题分析：本题主要考查同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.（1）将分子中的1变形为22sin 20cos 20︒+︒，从而分子进一步化简为cos20sin 20︒-︒，分母s i n 16n 20︒︒利用诱导公式与同角三角函数的基本关系式转化为s i n 20c o s 2︒-︒，最后不难得到答案；（2）1sin |cos |αα-=，1cos |sin |αα-=，然后根据三角函数在第二象限的符号去绝对值进行运算即可.试题解析：（1）原式=cos 20sin 201sin 20cos 20sin 20cos 20︒-︒==-︒-︒︒-︒6分（2）解：原式cos sin 1sin 1cos cos |sin |cos |sin |αααααα--=⨯+⨯ 1cos 1cos cos sin 0cos sin αααααα--=⨯+⨯=- 6分. 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.三角恒等变换；3.诱导公式.18．（1）123()2g x x +=-；（2）a b ⎧=⎨=⎩【解析】试题分析：本题主要考查三角函数的图像和性质，向量共线的充要条件以及解三角形中正弦定理余弦定理的应用，考查分析问题解决问题的能力和计算能力，考查数形结合思想和化归与转化思想.第一问，先由函数图像确定函数解析式，再通过函数图像的平移变换得到()g x 的解析式，由于y m =与()g x 在[0,]2π上有2个公共点，根据函数图像的对称性得到2个交点的横坐标的中点为3π，所以122()()3g x x g π+=得出函数值；第二问，先用()0g c =在ABC ∆中解出角C 的值，再利用两向量共线的充要条件得到sin 2sin B A =，从而利用正弦定理得出2b a =，最后利用余弦定理列出方程解出边,a b 的长.试题解析：（1）由函数)(x f 的图象，ωπππ2)3127(4=-=T ，得2=ω，又3,32πϕπϕπ=∴=+⨯，所以)32sin()(π+=x x f 2分由图像变换，得1)62sin(1)4()(--=--=ππx x f x g 4分由函数图像的对称性，有23)32()(21-==+πg x x g 6分（Ⅱ）∵ ()sin(2)106f C C π=--=，即sin(2)16C π-= ∵ 0C π<<，112666C πππ-<-<， ∴ 262C ππ-=，∴ 3C π=． 7分 ∵ m n 与共线，∴ sin 2sin 0B A -=．由正弦定理 sin sin a b A B=，得2,b a = ① 9分 ∵ 3c =，由余弦定理，得2292cos 3a b ab π=+-， ② 11分解方程组①②，得a b ⎧=⎨=⎩ 12分考点：1.函数图像的平移变换；2.函数图像的对称性；3.正弦定理和余弦定理；4.函数的周期性；5.两向量共线的充要条件.19．（1）T =π；（2）最大值2；最小值-1.【解析】试题分析：（1）本小题首先需要对函数的解析式进行化简()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2πx x f ，然后根据周期公式可求得函数的周期T =π；（2）本小题首先根据.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以，然后结合正弦曲线的图像分别求得函数的最大值和最小值.试题解析：（1）因为1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x 1cos 22sin 32-+=x xx x 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x所以)(x f 的最小正周期为π（2）因为.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以于是，当6,262πππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2；当)(,6,662x f x x 时即πππ-=-=+取得最小值—1．考点：三角函数的图像与性质.。

三角恒等变换常考题(含答案)

三角恒等变换基础题型一．选择题（共20小题，每小题5分）时间60分钟4．已知sin2α=，则cos2（）=（）A．﹣B．C．﹣ D．5．若，则cos（π﹣2α）=（）A．B．C．D．6．已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．7．若，则=（）A． B．C．D．8．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，那么β=（）A．B．C．D．9．若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．10．若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A．B．C．D．12．已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣13．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．715．已知，则sin2α的值为（）A．B．C．D．16．cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（）A．﹣ B．C．D．﹣17．若tanα=，则sin2α+cos2α的值是（）A．﹣B．C．5 D．﹣519．cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是（）A． B．C．D．21．已知sinα+cosα=，则sin2α=（）A．﹣B．﹣ C．D．23．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．24．已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．325．已知tan（α﹣）=，则的值为（）A．B．2 C．2 D．﹣226．已知，则tanα=（）A．﹣1 B．0 C．D．1三角恒等变换基础题型组卷参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）4．（2017•泉州模拟）已知sin2α=，则cos2（）=（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：==，由于：，所以：=，故选：D．5．（2017•焦作二模）若，则cos（π﹣2α）=（）A．B．C．D．【解答】解：由，可得：sinα=．∵cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=．故选D6．（2017•衡水一模）已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵sin（α+）+sinα=﹣，∴，∴，∴cos（α﹣）=，∴cos（α+）=cos[π+（α﹣）]=﹣cos（α﹣）=．故选C．7．（2017•商丘三模）若，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵=cos（α+），∴=cos[2（α+）]=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=﹣．故选：D．8．（2017•德州二模）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，那么β=（）A．B．C．D．【解答】解：由0＜α＜β＜，得到0＜β﹣α＜，又cosα=，cos（α﹣β）=cos（β﹣α）=，所以sinα==，sin（β﹣α）=﹣sin（α﹣β）=﹣=﹣，则cosβ=cos[（β﹣α）+α]=cos（β﹣α）cosα﹣sin（β﹣α）sinα=×﹣（﹣）×=，所以β=．故选：C．9．（2017•青海模拟）若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∵3cos2α=sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），∴co sα+sinα=，∴两边平方，可得：1+2sinαcosα=，∴sin2α=2sinαcosα=﹣．故选：D．10．（2017•大武口区校级四模）若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：α，β为锐角，且满足cosα=，∴sinα==，sin（α+β）==，则sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×=，故选：C．12．（2017•腾冲县校级二模）已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵sin（﹣α）﹣cosα=cosα﹣sinα﹣cosα=﹣sin（α+）=，∴sin（α+）=﹣，则cos（2α+）=1﹣2sin2（α+）=，故选：C．13．（2017•榆林一模）已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣ B．﹣7 C．D．7【解答】解析：由cosα=﹣且α∈（）得tanα=﹣，∴tan（α+）==，故选C．15．（2017•全国三模）已知，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知，则平方可得1﹣sin2α=，∴sin2α=，故选：C．16．（2017•山西一模）cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（）A．﹣ B．C．D．﹣【解答】解：cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°=cos15°•cos105°﹣sin15°•sin105°=cos（15°+105°）=cos120°=﹣．故选：A．17．（2017春•陆川县校级月考）若tanα=，则sin2α+cos2α的值是（）A．﹣ B．C．5 D．﹣5【解答】解：原式=．故选B．19．（2017春•福州期末）cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是（）A．B．C．D．【解答】解：cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43°cos77°+sin43°cos（90°+77°）=cos43°cos77°﹣sin43°sin77°=cos（43°+77°）=cos120°=﹣cos60°=﹣．故选D．21．（2017春•荔城区校级期中）已知sinα+cosα=，则sin2α=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵sina+cosa=，∴（sina+cosa）2=，∴1+2sinacosa=，∴sin2a=﹣．故选：A．23．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．24．（2016•肃南裕县校级模拟）已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．3【解答】解：由题意可得=sinθ﹣2cosθ=0，即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ===1，故选A．25．（2016•河南模拟）已知tan（α﹣）=，则的值为（）A．B．2 C．2 D．﹣2【解答】解：由tan（α﹣）==，得tanα=3．则=．故选：B．26．（2016•全国二模）已知，则tanα=（）A．﹣1 B．0 C．D．1【解答】解：∵，∴cosα﹣sinα=cosα﹣sinα，∴cosα=sinα，∴tanα===﹣1．故选：A．29．（2017•玉林一模）若3sinα+cosα=0，则的值为（）A．B．C．D．﹣2【解答】解：∵3sinα+cosα=0，∴tanα=﹣，∴===，故选：A．30．（2017•成都模拟）已知函数f（x）=cos（x+）sinx，则函数f（x）的图象（）A．最小正周期为T=2πB．关于点（，﹣）对称C．在区间（0，）上为减函数D．关于直线x=对称【解答】解：∵函数f（x）=cos（x+）sinx=（cosx﹣sinx）•sinx=sin2x﹣•=（sin2x+cos2x）﹣=sin（2x+）+，故它的最小正周期为=π，故A不正确；令x=，求得f（x）=+=，为函数f（x）的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x=对称，且f（x）的图象不关于点（，）对称，故B不正确、D正确；在区间（0，）上，2x+∈（，），f（x）=sin（2x+）+为增函数，故C不正确，故选：D．。

三角函数及三角恒等变换测试题及答案

三角函数及恒等变换考试试卷一、选择题（共12 小题，满分60 分，每小题 5 分）1、（ 5 分）（ 2018?陕西）方程 |x|=cosx 在（﹣∞， +∞）内（）A 、没有根B 、有且仅有一个根C、有且仅有两个根 D 、有无穷多个根2、（ 5 分）（ 2018?天津）已知函数f（x）=2sin（ω x+ φ），x∈ R，其中ω＞ 0，﹣π＜φ≤π．若函数 f（ x）的最小正周期为6π，且当 x=时，f（x）取得最大值，则（）A 、 f（ x）在区间 [ ﹣ 2π， 0]上是增函数B、f （ x）在区间 [﹣ 3π，﹣π]上是增函数C、f （x）在区间 [3 π， 5π]上是减函数D、f （x）在区间 [4 π， 6π]上是减函数3、（ 5 分）（ 2018?山东）若函数f（ x）=sin ωx（ω＞ 0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（）A、B、C、2D、34、（5分）（2018?辽宁）已知函数，y=f（x）的部分图象如图，则=（）A、B、C、D、5、（ 5 分）（ 2018?重庆）已知函数y=sin（ω x+ φ）（ω＞ 0， | φ|＜）的部分图象如图所示，则（）A 、ω=1，φ=B、ω =1，φ=﹣C、ω =2，φ=D、ω =2，φ=﹣6、（ 5 分）（ 2018?重庆）下列关系式中正确的是（）A 、 sin11 ＜°cos10 °＜ sin168 °B 、 sin168 ＜°sin11 ＜° cos10 °C、sin11 ＜°sin168 ＜°cos10 ° D 、sin168 ＜°cos10 °＜ sin11 °7、（ 5 分）（ 2018?山东）将函数y=sin2x 的图象向左平移个单位，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式是（）22A 、 y=2cos xB 、 y=2sin xC、D、 y=cos2x8、（ 5 分）（ 2018?辽宁）设ω＞0，函数y=sin（ω x+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A 、B、C、D、 39、（5 分）（2018?江西）已知函数图象如图所示， f （） =﹣，则f （ x） =Acos （ω x+ φ）的f（0） =（）A 、﹣B、﹣C、D、10、（ 5 分）（ 2018?广东）函数y=2cos2（x﹣）﹣1 是（）A 、最小正周期为C、最小正周期为π的奇函数的奇函数B 、最小正周期为D 、最小正周期为π的偶函数的偶函数11、（ 5 分）（ 2018?天津）设，，，则（）A 、 a＜ b＜ cB 、 a＜ c＜ bC、b＜ c＜ a D 、b＜ a＜ c12、（ 5 分）已知函数f（ x）=sin（ 2x﹣），若存在a∈（ 0，π），使得f（ x+a）=f（x+3a）恒成立，则a=（）A、B、C、D、二、填空题（共 4 小题，满分 16 分，每小题 4 分）13、（ 4 分）（ 2018?辽宁）已知 f（ x） =sin（ω＞0）， f （） =f （），且f （ x）在区间上有最小值，无最大值，则ω= _________．14、（ 4 分）（ 2018?四川）已知函数（ω＞ 0）在单调增加，在单调减少，则ω= _________．15、（ 4 分）（ 2007?四川）下面有 5 个命题：44①函数 y=sin x﹣ cos x 的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是；③在同一坐标系中，函数y=sinx 的图象和函数y=x 的图象有 3 个公共点；④把函数的图象向右平移得到 y=3sin2x 的图象；试卷教案⑤角θ为第一象限角的充要条件是sin θ＞ 0其中，真命题的编号是_________（写出所有真命题的编号）16、（4分）若=_________ ．三、解答题（共7 小题，满分 74 分）17、（ 10 分）（ 2018?四川）求函数24y=7 ﹣ 4sinxcosx+4cos x﹣ 4cos x 的最大值与最小值．18、（ 10 分）（2018?北京）已知函数．（Ⅰ）求（Ⅱ）求f （ x）的最小正周期：f （ x）在区间上的最大值和最小值．19、（ 10 分）（ 2018?陕西）如图， A ， B 是海面上位于东西方向相距5（ 3+）海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东45°， B 点北偏西60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与 B 点相距 20海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里 /小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？20 、（ 10 分）（ 2018?浙江）已知函数，x∈ R，A＞0，．y=f （ x）的部分图象，如图所示，P、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为（ 1， A ）．（Ⅰ）求 f （ x）的最小正周期及φ的值；（Ⅱ）若点R 的坐标为（ 1， 0），，求A的值．21、（ 10 分）（ 2018?江苏）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度 H （单位： m），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度 h=4m ，仰角∠ ABE=α，∠ ADE=β ．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位： m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问 d 为多少时，α﹣β最大？22、（ 10 分）（ 2018?广东）已知函数 f （ x）=Asin （ x+ φ）（ A＞ 0，0＜φ＜π）， x∈ R 的最大值是 1，其图象经过点．（1）求 f（ x）的解析式；（2）已知，且，，求f（α﹣β）的值．23、（ 14 分）已知函数，（1）求函数 f（ x）的最小正周期；（2）求函数 f（ x）的单调减区间；（3）画出函数的图象，由图象研究并写出g（ x）的对称轴和对称中心．答案与评分标准一、选择题（共12 小题，满分60 分，每小题 5 分）1、（ 5 分）（ 2018?陕西）方程 |x|=cosx 在（﹣∞， +∞）内（A 、没有根B 、有且仅有一个根C、有且仅有两个根 D 、有无穷多个根）考点：余弦函数的图象。

三角恒等变换测验题

《三角恒等变换》测试题一、选择题：（每题5分，共12小题）1.已知3sin()cos cos()sin 5αββαββ+-+=，且α在第二象限，则tan 2α=（）A.1-33或B.3C.13D.13-3或 2.已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于（）A.17 B.7 C.17- D.7- 3、函数22()cos ()sin ()11212f x x x ππ=-++-是（）A.周期为2π的奇函数B.周期为2π的偶函数C.周期为π的奇函数D.周期为π的偶函数4.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（） A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，325、已知,41)4tan(,52)tan(=-=+πββα则)4tan(πα+的值等于（） A.1813 B.223 C.2213 D.183 6、已知,31cos cos ,21sin sin =+=+βαβα则)cos(βα-值等于（）A.127- B.1817- C. 7259- D.72109-7、2cos 12cos 1--+等于（）A.)1sin 1(cos 2-B.)1sin 1(cos 2-C.2cos1D.)1sin 1(cos 2+ 8、已知,21cos sin 1cos sin 1=-+++θθθθ则cos θ的值等于（）A.53 B.53-C.55-D.54 9、若),24(16960cos sin ππ<<=⋅A A A 则A tan 的值等于( ） A.43 B.34 C.125 D.51210、已知βαβα,,3tan ,2tan ==为锐角，则βα+值是（）A.4π B.43π C.32π D.65π11、设α，β，γ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，且sin sin sin βγα+=，cos cos cos αγβ+=，则βα-等于（）A.3π-B.6πC.3π或3π-D.3π 12、设0cos50cos127cos 40cos37a =+，()002sin 56cos562b =-，20201tan 391tan 39c -=+，()0201cos802cos 5012d =-+，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（） A.a b d c >>> B.b a d c >>> C.a c b d >>> D.c a b d >>> 二、填空题：（每题5分，共20分） 13、函数sin()cos 6y x x π=-的最小值________。

三角函数与三角恒等变换专项习题及经典测试题附答案

三角恒等变换专项习题，典型试题及答案三角函数与三角恒等变换(A)一、填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上) 1. 半径是r ，圆心角是α(弧度)的扇形的面积为________. 2. 若31sin(3)lg10απ+=，则tan(π＋α)＝________.3. 若α是第四象限的角，则π－α是第________象限的角.4. 适合52sin 23m xm-=-的实数m 的取值范围是_________.5. 若tan α＝3，则cos2α＋3sin 2α＝__________.6. 函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一个对称轴方程是___________.(答案不唯一)7. 把函数4cos 13y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个单位，所得的图象对应的函数为偶函数，则ϕ的最小正值为___________.8. 若方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则常数k 的取值范围是__________. 9. 1－sin10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝__________.10. 角α的终边过点(4，3)，角β的终边过点(－7，1)，则si n (α＋β)＝__________.11. 函数2cos 152sin 5x y x ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭的递减区间是___________. 12. 已知函数f (x )是以4为周期的奇函数，且f (－1)＝1，那么sin(5)2f ππ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦__________. 13. 若函数y ＝sin(x ＋ϕ)＋cos(x ＋ϕ)是偶函数，则满足条件的ϕ为_______. 14. tan3、tan4、tan5的大小顺序是________.二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分14分)已知3tan 4θ=-，求22sin cos cos θθθ+-的值.16. (本小题满分14分)已知函数f (x )＝2si nx (si nx ＋c os x ). (1) 求函数f (x )的最小正周期和最大值；(2) 在给出的直角坐标系中，画出函数y ＝f (x )在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象.17. (本小题满分14分)求函数y ＝4si n 2x ＋6c os x －6(233x ππ-≤≤)的值域.18. (本小题满分16分)已知函数()sin()(0,0)y f x A x ωϕωϕπ==+><<的图象如图所示.(1) 求该函数的解析式； (2) 求该函数的单调递增区间.19. (本小题满分16分)设函数2()4sin sin cos 242x f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(x ∈R ).(1) 求函数f (x )的值域； (2) 若对任意x ∈2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，都有|f (x )－m |＜2成立，求实数m 的取值范围.20. (本小题满分16分)已知奇函数f (x )的定义域为实数集，且f (x )在［0，＋∞)上是增函数.当02πθ≤≤时，是否存在这样的实数m ，使2(42cos )(2sin 2)(0)f m m f f θθ--+>对所有的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦均成立?若存在，求出所有适合条件的实数m ；若不存在，请说明理由.第五章三角函数与三角恒等变换(B)一、填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上) 1.cos 225+tan240+sin(-300)=︒︒︒______. 2.tan 20tan 403tan 20tan 40︒+︒+︒︒=_______.3. 已知tan 2x =-，则2222sin 3cos 3sin cos x xx x+-的值为_________. 4. 已知34παβ+=，则(1tan )(1tan )αβ--=________.5. 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________. 6. 已知函数)0)(2sin(παα≤≤+=x y 是R 上的偶函数，则ϕ=__________.7. 函数12log sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为________.8. 已知函数sin 3cos y x x =+，且,6x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数的值域是_________.9. 若3sin cos 0θθ-=，则21cos sin 22θθ+的值是___________.10. 已知,αβ都是锐角，且54sin ,cos()135ααβ=+=-，则sin β的值是_________.11. 给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是_______. ① 若cos cos αβ=，则2k αβπ-=，k ∈Z ；② 函数2cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于12x π=对称；③ 函数cos(sin )y x = (x ∈R )为偶函数；④ 函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π. 12. 已知函数()cos()f x A x ωϕ=+的图象如图所示，223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则f (0)＝_________.13. 若0,,(0,)4παβπ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，且11tan(),tan 27αββ-==-，则2αβ-=______.14. 已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π.将y ＝f (x )的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是______.二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分14分)如图是表示电流强度I与时间t的关系sin()(0,0)I A t ωϕωϕπ=+><<在一个周期内的图象.(1) 写出sin()IA t ωϕ=+的解析式；(2) 指出它的图象是由I ＝si nt 的图象经过怎样的变换而得到的.16. (本小题满分14分)化简sin6sin 42sin66sin78︒︒︒︒.17. (本小题满分14分)已知函数y ＝sin x ·cos x ＋sin x ＋cos x ，求y 的最大值、最小值及取得最大值、最小值时x 的值.18. (本小题满分16分)设02πθ<<，曲线22sin sin 1xy θθ+=和22cos sin 1x y θθ-=有4个不同的交点. (1) 求θ的取值范围；(2) 证明这4个交点共圆，并求圆的半径的取值范围.19. (本小题满分16分)函数f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g (a )，a ∈R . (1) 求g (a )的表达式； (2) 若g (a )＝12，求a 及此时f (x )的最大值.20. (本小题满分16分)已知定义在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的函数y ＝f (x )的图象关于直线4x π=对称，当x ≥4π时，函数f (x )＝sin x . (1) 求,24f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； (2) 求y ＝f (x )的函数表达式；(3) 如果关于x 的方程f (x )＝a 有解，那么在a 取某一确定值时，将方程所求得的所有解的和记为M a ，求M a 的所有可能取值及相对应的a 的取值范围.第五章三角函数与三角恒等变换（A ）1.212r α 2. ±24 3. 三 4.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.19106. x ＝8π【解析】对称轴方程满足2x ＋4π＝k π＋2π，所以x ＝28k ππ+（k ∈Z ）.7.23π8.5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.1516【解析】∵ sin10°·sin30°·sin50°·sin70°＝sin 20sin 30sin 50cos 202cos10︒︒︒︒︒g g g ＝sin 40sin 30cos 40sin80sin 301,4cos108cos1016︒︒︒︒︒==︒︒g g g∴ 原式＝1－115.1616=10. －1725011.732,2,55k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 12. －1 【解析】f （5）＝－f （－5）＝－f （－1）＝－1，∴ 原式＝sin 2π⎛⎫-⎪⎝⎭＝－1. 13.ϕ＝k π＋4π（k ∈Z ） 14. tan5＜tan3＜tan4 15. 2＋sin θcos θ－cos 2θ＝2＋2222sin cos cos tan 12sin cos tan 1θθθθθθθ--=+++＝312242.925116--+=+ 16. （1） f （x ）＝2sin 2x ＋2sin xc os x ＝1－c os2x ＋sin2x ＝1＋2(sin2x cos 4π－cos2x sin 4π)＝1＋2sin(2x －4π).所以函数f （x ）的最小正周期为π，最大值为1＋2.（2）列表.x38π-8π- 8π 38π 58π 24x π-π-2π- 0 2π πy112-112+1故函数y ＝f （x ）在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象是17. y ＝4sin 2x ＋6cos x －6＝4（1－cos 2x ）＋6cos x －6 ＝－4cos 2x ＋6cos x －2＝－4231cos .44x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ∵ －3π≤x ≤23π，∴ －12≤cos x ≤1， ∴ y ∈16,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 18. （1）由图象可知：T ＝2388ππ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝π⇒ω＝2T π＝2.A ＝2(2)2--＝2，∴ y ＝2sin （2x ＋ϕ）. 又∵,28π⎛⎫-⎪⎝⎭为“五点画法”中的第二点，∴ 2×8π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋ϕ＝2π⇒ϕ＝34π.∴ 所求函数的解析式为y ＝2sin 32.4x π⎛⎫+⎪⎝⎭（2） ∵ 当2x ＋34π∈2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）时，f （x ）单调递增， ∴ 2x ∈52,244k k ππππ⎡⎤-+-+⇒⎢⎥⎣⎦x ∈5,88k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 19. （1） f （x ）＝4sin x ·1cos 22x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＋cos2x ＝2sin x （1＋sin x ）＋1－2sin 2x ＝2sin x ＋1.∵ x ∈R ，∴ sin x ∈［－１，1］，故f （x ）的值域是［－1，3］. （2）当x ∈2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，sin x ∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴ f （x ）∈［2，3］. 由|f （x ）－m |＜2⇒－2＜f （x ）－m ＜2，∴ f （x ）－2＜m ＜f （x ）＋2恒成立. ∴ m ＜［f （x ）＋2］min ＝4，且m ＞［f （x ）－2］max ＝1. 故m 的取值范围是（1，4）.20. 因为f （x ）为奇函数，所以f （－x ）＝－f （x ）（x ∈R ），所以f （0）＝0.所以f （4m －2m cos θ）－f （2sin 2θ＋2）＞0，所以f （4m －2m cos θ）＞f （2sin 2θ＋2）. 又因为f （x ）在［０，＋∞）上是增函数，且f （x ）是奇函数，所以f （x ）是R 上的增函数，所以4m －2m cos θ＞2sin 2θ＋2. 所以cos 2θ－m cos θ＋2m －2＞0. 因为θ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以cos θ∈［０，１］. 令l ＝cos θ(l ∈［０，1］). 满足条件的m 应使不等式l 2－ml ＋2m －2＞0对任意l ∈［0，1］均成立. 设g （l ）＝l 2－ml ＋2m －2＝22m l ⎛⎫- ⎪⎝⎭－24m ＋2m －2.由条件得01,0,1,2220,(0)0,(1)0.2m m m m g g g ⎧≤≤⎧⎧⎪<>⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎛⎫⎪⎪⎪>>>⎩⎩ ⎪⎪⎝⎭⎩或或解得，m ＞4－22.第五章三角函数与三角恒等变换（B ）1.3322- 2.23.711【解析】原式＝2222tan 3(2)37.3tan 13(2)111x x +-+==--- 4. 2 5. y ＝2c os 2x 6.2π 7.,88k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭（k ∈Z ）【解析】∵ sin 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭＞0，且y ＝12log t 是减函数， ∴ 2k π＜2x ＋4π≤2π＋2k π，（k ∈Z ），∴ x ∈,88k k ππππ⎛⎤-+ ⎥⎝⎦（k ∈Z ）.8.3,2⎡⎤-⎣⎦ 【解析】y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又2π≤x ＋3π≤4,3π∴ sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭∈3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，∴ y ∈［－3，2］. 9.65【解析】tan θ＝13，∴ cos 2θ＋12sin2θ＝2222cos sin cos 1tan 6.sin cos tan 15θθθθθθθ++==++g 10.5665 【解析】由题意得cos α＝1213，sin （α＋β）＝35.∴ sin β＝sin ［（α＋β）－α］＝sin（α＋β）·cos α－cos （α＋β）·sin α＝5665.11. ①②④ 12. 2313.34π-【解析】tan α＝tan （α－β＋β）＝11127113127-=+⨯，∴ tan （2α－β）＝tan ［（α－β）＋α］＝1123111123+=-⨯.∵ β∈（０，π）,且tan β＝－17∈（－1，0），∴ β∈3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭，∴ 2α－β∈,,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭∴ 2α－β＝－34π.14.8π【解析】由已知，周期为π＝2πω，∴ ω＝2.则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，sin()24x πϕ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦＝±cos2x ，故ϕmin =8π.15. （1） I ＝300sin 1003t ππ⎛⎫+⎪⎝⎭. (2) I ＝sin t 3π−−−−→向左平移个单位I ＝sin 3t ππ⎛⎫+−−−−−−−−→ ⎪⎝⎭纵坐标不变1横坐标变为原来的倍100 I ＝sin 1003t ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭−−−−−−−→横坐标不变纵坐标变为原来的300倍I ＝300sin 1003t ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 16. 原式＝sin6°·c os48°·c os24°·c os12°＝cos6sin 6cos12cos 24cos 48cos6︒︒︒︒︒︒g g g g ＝1sin12cos12cos 24cos 482cos6︒︒︒︒︒g g g ＝…=1sin 96116.cos616︒=︒17. 令sin x ＋cos x ＝t .由sin x ＋cos x ＝2sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，知t ∈［－2，2］，∴ sin x ·cos x ＝212t -，t ∈［－2，2］.所以y ＝212t -＋t ＝12（t ＋1）2－1，t ∈［－2，2］.当t ＝－1，即2sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭＝－1，x ＝2k π＋π或x ＝2k π＋32π（k ∈Z ）时，y min ＝－1；当t ＝2，即2sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2， x ＝2k π＋4π（k ∈Z ）时，y max ＝122+. 18. （1）解方程组222222sin cos 1,sin cos ,sin cos 1,cos sin .x y x x y y θθθθθθθθ⎧⎧+==+⎪⎪⎨⎨-==-⎪⎪⎩⎩得故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为sin cos 0,cos sin 0.θθθθ+>⎧⎨->⎩∵ 0＜θ＜2π，∴ 0＜θ＜4π. （2）设四个交点的坐标为（x i ，y i ）（i ＝1，2，3，4），则2i x ＋2i y ＝2cos θ∈（2，2）（i ＝1，2，3，4）.故此四个交点共圆，并且这个圆的半径r ＝42cos (2,2)θ∈.19. f （x ）＝1－2a －2a cos x －2sin 2x ＝1－2a －2ac os x －2（1－cos 2x ）＝2cos 2x －2a cos x －1－2a ＝22cos 2a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭－1－2a －22a （a ∈R ）.（1）函数f （x ）的最小值为g （a ）.① 当2a ＜－1，即a ＜－2时，由cos x ＝－1，得g （a ）＝2212a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭－1－2a －22a ＝1；② 当－1≤2a ≤1，即－2≤a ≤2时，由cos x ＝2a，得g （a ）＝－1－2a －22a ；③ 当2a ＞1，即a ＞2时，由cos x ＝1，得g （a ）＝2212a ⎛⎫- ⎪⎝⎭－1－2a －22a ＝1－4a .综上所述，21(2),()12(22),214(2).a a g a a a a a <-⎧⎪⎪=----≤≤⎨⎪->⎪⎩（2） ∵ g （a ）＝12，∴ －2≤a ≤2，∴ －1－2a －22a ＝12，得a 2＋4a ＋3＝0，∴ a ＝－1或a ＝－3（舍）.将a ＝－1代入f （x ）＝22cos 2a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭－1－2a －22a ，得f （x ）＝221cos 2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋12.∴ 当c os x ＝1，即x ＝2k π（k ∈Z ）时，f （x ）max ＝5. 20. （1） f 2π⎛⎫-⎪⎝⎭＝f （π）＝sin π＝0，f 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝f 34π⎛⎫⎪⎝⎭＝sin 34π＝22.（2）当－2π≤x ＜4π时，f （x ）＝f 2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin 2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝c os x .∴ f （x ）＝sin ,,,4cos ,,.24x x x x ππππ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎡⎫⎪∈-⎪⎢⎪⎣⎭⎩（3）作函数f （x ）的图象（如图），显然，若f （x ）＝a 有解，则a ∈［0，1］.① 当0≤a ＜22时，f （x ）＝a 有两解，且1224x x π+=，∴ x 1＋x 2＝2π，∴ M a ＝2π； ② 当a ＝22时，f （x ）＝a 有三解，且x 1＋x 2＋x 3＝2π＋4π＝34π，∴ M a ＝34π；③ 当22＜a ＜1时，f （x ）＝a 有四解，且x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝x 1＋x 4＋x 2＋x 3＝2π＋2π＝π， ∴ M a ＝π；④ 当a ＝1时，f （x ）＝a 有两解，且x 1＝0，x 2＝2π，∴ x 1＋x 2＝2π，∴ M a ＝2π. 综上所述，M a =2,0,{1},2232,,422,,1.2a a a πππ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎪⎪⎣⎭⎪⎧⎫⎪⎪⎪∈⎨⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩U三角恒等变换专项-1习题一、选择题 1 ．（2012年高考（重庆文））sin 47sin17cos30cos17-o o oo（） A ．32-B ．12-C ．12D ．322 ．（2012年高考（重庆理））设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根,则tan()αβ+的值为（） A ．3-B ．1-C ．1D ．33 ．（2012年高考（陕西文））设向量a r =(1，cos θ)与b r=(-1, 2cos θ)垂直,则cos2θ等于 A22 B 12C ．0D ．-14 ．（2012年高考（辽宁文））已知sin cos 2αα-=,α∈(0,π),则sin 2α=（） A ．-1B ．22-C ．22D ．15 ．（2012年高考（辽宁理））已知sin cos 2αα-=,α∈(0,π),则tan α=（） A ．-1B ．22-C ．22D ．16．（2012年高考（江西文））若sin cos 1sin cos 2αααα+=-,则tan2α=（） A ．-34B ．34C ．-43D ．437．（2012年高考（江西理））若tanθ+1tan θ=4,则sin2θ= （） A ．15B ．14C ．13D ．128．（2012年高考（大纲文））已知α为第二象限角,3sin 5α=,则sin 2α=（） A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24259 ．（2012年高考（山东理））若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,37sin 2=8θ,则sin θ=（） A ．35B ．45C ．74D ．3410．（2012年高考（湖南理））函数f(x)=sinx-cos(x+6π)的值域为（） A ．[ -2 ,2]B ．[-3,3]C ．[-1,1 ]D ．[-32 , 32] 11．（2012年高考（大纲理））已知α为第二象限角,3sin cos 3αα+=,则cos2α=（） A ．53-B ．59-C ．59D ．53二、填空题1．（2012年高考（大纲文））当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取最大值时,x =____.2．（ 2012年高考（江苏））设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为____.3．（2012年高考（大纲理））当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时,x =_______________.三、解答题1．（2012年高考（四川文））已知函数21()cossin cos 2222x x x f x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若32()10f α=,求sin 2α的值.2．（2012年高考（湖南文））已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωω=+∈><<的部分图像如图5所示.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间3．（2012年高考（湖北文））设函数22()sin 23sin cos cos ()f x x x x x x R ωωωωλ=+-+∈的图像关于直线x π=对称,其中,ωλ为常数,且1(,1)2ω∈(1) 求函数()f x 的最小正周期;(2) 若()y f x =的图像经过点(,0)4π,求函数()f x 的值域.4．（2012年高考（福建文））某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)2sin 13cos17sin13cos17︒+︒-︒︒(2)2sin 15cos15sin15cos15︒+︒-︒︒ (3)2sin 18cos12sin18cos12︒+︒-︒︒(4)2sin (18)cos 48sin(18)cos 48-︒+︒--︒︒(5)2sin (25)cos55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.5．（2012年高考（北京文））已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递减区间.6．（2012年高考（天津理））已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--,x R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值. 7．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分(Ⅰ)小问8分(Ⅱ)小问5分)设()4cos()sin cos(2)6f x x x x πωωωπ=--+,其中.0>ω(Ⅰ)求函数()y f x = 的值域 (Ⅱ)若()f x 在区间3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,求 ω的最大值.8．（2012年高考（四川理））函数2()6cos3cos 3(0)2xf x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.(Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域; (Ⅱ)若083()5f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值.9．（2012年高考（山东理））已知向量(sin ,1),(3cos ,cos 2)(0)3Am x n A x x A ==>u r r ,函数()f x m n =⋅u r r的最大值为6.(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,]24π上的值域.10．（2012年高考（湖北理））已知向量(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a ,(cos sin ,23cos )x x x ωωω=--b ,设函数()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数,且1(,1)2ω∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)若()y f x =的图象经过点π(,0)4,求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围.11．（2012年高考（广东理））(三角函数)已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(其中0ω>x ∈R )的最小正周期为10π.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,56535f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,5165617f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求()cos αβ+的值.12．（2012年高考（福建理））某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)2sin 13cos17sin13cos17︒+︒-︒︒(2)2sin 15cos15sin15cos15︒+︒-︒︒ (3)2sin 18cos12sin18cos12︒+︒-︒︒(4)2sin (18)cos 48sin(18)cos 48-︒+︒--︒︒(5)2sin (25)cos55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.13．（2012年高考（北京理））已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递增区间.14．（2012年高考（安徽理））设函数22()cos(2)sin 24f x x x π=++ (I)求函数()f x 的最小正周期;(II)设函数()g x 对任意x R ∈,有()()2g x g x π+=,且当[0,]2x π∈时,1()()2g x f x =-,求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.参考答案一、选择题1. 【答案】:C【解析】:sin 47sin17cos30sin(3017)sin17cos30cos17cos17-+-=o o o o o o oo osin 30cos17cos30sin17sin17cos30sin 30cos171sin 30cos17cos172+-====o o o o o o o o oo o【考点定位】本题考查三角恒等变化,其关键是利用473017=+o o o 2. 【答案】A【解析】tan tan 3tan tan 3,tan tan 2tan()31tan tan 12αβαβαβαβαβ++==⇒+===-+-【考点定位】此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值.3. 解析:0a b r r ⋅=,212cos 0θ-+=,2cos 22cos 10θθ=-=,故选C.4. 【答案】A【解析】2sin cos 2,(sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-Q 故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题. 5. 【答案】A【解析一】sin cos 2,2sin()2,sin()144ππαααα-=∴-=∴-=Q3(0),,tan 14παπαα∈∴=∴=-Q ，,故选A 【解析二】2sin cos 2,(sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-Q33(0,),2(0,2),2,,tan 124ππαπαπααα∈∴∈∴=∴=∴=-Q ,故选A 【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力,难度适中. 6. 【答案】B【解析】主要考查三角函数的运算,分子分母同时除以cos α可得tan 3α=-,带入所求式可得结果.7. D 【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.因为221sin cos sin cos 1tan 41tan cos sin sin cos sin 22θθθθθθθθθθθ++=+===,所以.1sin 22θ=. 【点评】本题需求解正弦值,显然必须切化弦,因此需利用公式sin tan cos θθθ=转化;另外,22sincos θθ+在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等. 8.答案A【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用.【解析】因为α为第二象限角,故cos 0α<,而3sin 5α=,故24cos 1sin 5αα=--=-,所以24sin 22sin cos 25ααα==-,故选答案A.9. 【解析】因为]2,4[ππθ∈,所以],2[2ππθ∈,02cos <θ,所以812sin 12cos 2-=--=θθ,又81sin 212cos 2-=-=θθ,所以169sin 2=θ,43sin =θ,选D.10. 【答案】B2αα【解析】 f(x)=sinx-cos(x+6π)31sin cos sin 3sin()226x x x x π=-+=-,[]sin()1,16x π-∈-Q ,()f x ∴值域为[-3,3].【点评】利用三角恒等变换把()f x 化成sin()A x ωϕ+的形式,利用[]sin()1,1x ωϕ+∈-,求得()f x 的值域.11. 答案A【命题意图】本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用.首先利用平方法得到二倍角的正弦值,然后然后利用二倍角的余弦公式,将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题.【解析】3sin cos 3αα+=,两边平方可得121sin 2sin 233αα+=⇒=-αQ 是第二象限角,因此sin 0,cos 0αα><,所以2215cos sin (cos sin )133αααα-=--=-+=- 225cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )3ααααααα∴=-=+-=-法二:单位圆中函数线+估算,因为α是第二象限的角,又11sin cos 23αα+=>所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点,如图,故2cos α的“余弦线”应选A .二、填空题 1.答案:56π【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点.【解析】由sin 3cos 2sin()3y x x x π=-=-由502333x x ππππ≤<⇔-≤-<可知22sin()23x π-≤-≤ 当且仅当332x ππ-=即116x π=时取得最小值,32x ππ-=时即56x π=取得最大值. 2. 【答案】17250. 【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数.【解析】∵α为锐角,即02<<πα,∴2=66263<<πππππα++. ∵4cos 65απ⎛⎫+=⎪⎝⎭,∴3sin 65απ⎛⎫+=⎪⎝⎭.∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭g g .∴7cos 2325απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12343434a a a a πππππππ⎛⎫⎛⎫++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2427217==225225250-g g . 3.答案:56π 【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点.【解析】由sin 3cos 2sin()3y x x x π=-=-由502333x x ππππ≤<⇔-≤-<可知22sin()23x π-≤-≤ 当且仅当332x ππ-=即116x π=时取得最小值,32x ππ-=时即56x π=取得最大值.三、解答题1. [解析](1)由已知,f(x)=212x cos 2x sin 2x cos2-- 21sinx 21cosx 121--+=）（）（4x cos 22π+=所以f(x)的最小正周期为2π,值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22， (2)由(1)知,f(α)=，）（10234cos 22=+πα 所以cos(534=+πα). 所以）（）（42cos 22cos 2sin πααπα+-=+-= 257251814cos 212=-=+-=）（πα,[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查化归与转化等数学思想. 2. 【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期11522(),21212T Tππππω=-=∴==.因为点5(,0)12π在函数图像上,所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即. 又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+Q 从而，即=6πϕ. 又点0,1（）在函数图像上,所以sin1,26A A π==,故函数f(x)的解析式为()2sin(2).6f x x π=+ (Ⅱ)()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2sin 22sin(2)3x x π=-+132sin 22(sin 2cos 2)22x x x =-+sin 23cos 2x x =-2sin(2),3x π=- 由222,232k x k πππππ-≤-≤+得5,.1212k x k k z ππππ-≤≤+∈ ()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期1152(),1212T πππ=-=从而求得22Tπω==.再利用特殊点在图像上求出,A ϕ,从而求出f(x)的解析式;第二问运用第一问结论和三角恒等变换及sin()y A x ωϕ=+的单调性求得.3. 【解析】(1)因为22()sin cos 23sin cos cos 23sin 22sin(2f x x x x x x x πωωωωλωωλω=-++=-++=-由直线x π=是()y f x =图像的一条对称轴,可得sin(2)16x πω-=±所以2()62x k k Z ππωπ-=+∈,即1()23k k Z ω=+∈ 又1(,1),2k Z ω∈∈,所以1k =时,56ω=,故()f x 的最小正周期是65π.(2)由()y f x =的图象过点(,0)4π,得()04f π=即52sin()2sin 26264πππλ=-⨯-=-=-,即2λ=- 故5()2sin()236f x x π=--,函数()f x 的值域为[22,22]-+.【点评】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的地位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期,一般运用公式2T πω=来求解;求三角函数的值域,一般先根据自变量x 的范围确定函数x ωϕ+的范围.来年需注意三角函数的单调性,图象变换,解三角形等考查.4. 【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式,考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化的思想.解:(1)选择(2)式计算如下213sin 15cos15sin15cos151sin 3024︒+︒-︒︒=-︒= (2)证明:22sin cos (30)sin cos(30)αααα+︒--︒-22sin (cos30cos sin 30sin )sin (cos30cos sin 30sin )αααααα=+︒+︒-︒+︒222233131sin cos sin cos sin sin cos sin 42422αααααααα=+++--22333sin cos 444αα=+= 5. 【考点定位】本题考查三角函数,三角函数难度较低,此类型题平时的练习中练习得较多,考生应该觉得非常容易入手.解:(1)由sin 0x ≠得,()x k k Z π≠∈,故()f x 的定义域为{|,}x R x k k Z π∈≠∈.因为(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-==2cos (sin cos )x x x -=sin 2cos21x x --=2sin(2)14x π--,所以()f x 的最小正周期22T ππ==. (2)函数sin y x =的单调递减区间为3[2,2]()22k k k Z ππππ++∈. 由3222,()242k x k x k k Z ππππππ+≤-≤+≠∈得37,()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以()f x 的单调递减区间为37[],()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 6. 【命题意图】本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式,三角函数的最小周期,单调性等知识.()=sin 2coscos 2sin sin 2cos cos 2sin cos 23333f x x x x x x ππππ++-+sin 2cos 22sin(2)4x x x π=+=+所以,()f x 的最小正周期22T ππ==. (2)因为()f x 在区间[,]48ππ-上是增函数,在区间[,]84ππ上是减函数,又()14f π-=-,()2,()184f f ππ==,故函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值为2,最小值为1-.【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型,再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.7. 【考点定位】本题以三角函数的化简求值为主线,三角函数的性质为考查目的的一道综合题,考查学生分析问题解决问题的能力,由正弦函数的单调性结合条件可列32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,从而解得ω的取值范围,即可得ω的最在值. 解:(1)()314cos sin sin cos 222f x x x x x ωωωω⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭22223sin cos 2sin cos sin x x x x x ωωωωω=++- 3sin 21x ω=+因1sin 21x ω-≤≤,所以函数()y f x =的值域为13,13⎡⎤-+⎣⎦(2)因sin y x =在每个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数,故()3sin 21f x x ω=+()0ω>在每个闭区间(),44k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数. 依题意知3,22ππ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,44k k ππππωωωω⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦对某个k Z ∈成立,此时必有0k =,于是32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,解得16ω≤,故ω的最大值为16. 8. [解析](Ⅰ)由已知可得:2()6cos3cos 3(0)2xf x x ωωω=+->=3cos ωx+)3sin(32sin 3πωω+=x x又由于正三角形ABC 的高为23,则BC=4 所以,函数482824)(πωωπ===⨯=，得，即的周期T x f所以,函数]32,32[)(-的值域为x f(Ⅱ)因为，由538)(0=x f (Ⅰ)有，538)34(sin 32)(00=+=ππx x f 54)34(sin 0=+ππx 即由x 0)2,2()34x (323100ππππ-∈+-∈），得，（所以,53)54(1)34(cos 20=-=+ππx 即故=+)1(0x f =++)344(sin 320πππx ]4)34(sin[320πππ++x)22532254(324sin)34cos(4cos)34([sin 320⨯+⨯=+++=ππππππx x567= [点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想. 9.解析:(Ⅰ)⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=⋅=62sin 2cos 22sin 232cos 2sin cos 3)(πx A x A x A x A x x A n m x f ,则6=A ;(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移12π个单位得到函数]6)12(2sin[6ππ++=x y 的图象,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数)34sin(6)(π+=x x g .当]245,0[π∈x 时,]1,21[)34sin(],67,3[34-∈+∈+ππππx x ,]6,3[)(-∈x g . 故函数()g x 在5[0,]24π上的值域为]6,3[-. 另解:由)34sin(6)(π+=x x g 可得)34cos(24)(π+='x x g ,令0)(='x g ,则)(234Z k k x ∈+=+πππ,而]245,0[π∈x ,则24π=x ,于是367sin 6)245(,62sin6)24(,333sin6)0(-======πππππg g g , 故6)(3≤≤-x g ,即函数()g x 在5[0,]24π上的值域为]6,3[-. 10.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质.解析:(Ⅰ)因为22()sin cos 23sin cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+cos 23sin 2x x ωωλ=-++π2sin(2)6x ωλ=-+.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴,可得πsin(2π)16ω-=±,所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ,即1()23k k ω=+∈Z . 又1(,1)2ω∈,k ∈Z ,所以1k =,故56ω=.所以()f x 的最小正周期是6π5.(Ⅱ)由()y f x =的图象过点π(,0)4,得π()04f =,即5πππ2sin()2sin 26264λ=-⨯-=-=-,即2λ=-.故5π()2sin()236f x x =--,由3π05x ≤≤,有π5π5π6366x -≤-≤, 所以15πsin()1236x -≤-≤,得5π122sin()22236x --≤--≤-,故函数()f x 在3π[0,]5上的取值范围为[12,22]---. 11.解析:(Ⅰ)210T ππω==,所以15ω=.(Ⅱ)515652cos 52cos 2sin 353625f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以3sin 5α=.5151652cos 52cos 656617f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以8cos 17β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以24cos 1sin 5αα=-=,215sin 1cos 17ββ=-=,所以()4831513cos cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-. 12. 【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想.解:(1)选择(2)式计算如下213sin 15cos15sin15cos151sin 3024︒+︒-︒︒=-︒= (2)证明:22sin cos (30)sin cos(30)αααα+︒--︒-22sin (cos30cos sin 30sin )sin (cos30cos sin 30sin )αααααα=+︒+︒-︒+︒ 222233131sin cos sin cos sin sin cos sin 42422αααααααα=+++--22333sin cos 444αα=+=13. 【考点定位】本题考醒三角函数知识,此类型题在平时练习时练得较多,考生应该觉得非常容易入手.解:(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-==(sin cos )2sin cos sin x x x xx-=2(sin cos )cos x x x -=sin 21cos2x x --=2sin(2)14x π--,{|,}x x k k Z π≠∈(1) 原函数的定义域为{|,}x x k k Z π≠∈,最小正周期为π;(2)原函数的单调递增区间为[,)8k k k Z πππ-+∈,3(,]8k k k Z πππ+∈. 14. 【解析】22111()cos(2)sin cos 2sin 2(1cos 2)24222f x x x x x x π=++=-+-11sin 222x =- (I)函数()f x 的最小正周期22T ππ== (2)当[0,]2x π∈时,11()()sin 222g x f x x =-= 当[,0]2x π∈-时,()[0,]22x ππ+∈11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=-当[,)2x ππ∈--时,()[0,)2x ππ+∈11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+=得:函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0)22()1sin 2()22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩。

三角函数恒等变换经典习题

aAl l th ng 《三角恒等变换》一、选择题：1.函数的最小正周期为（）sin cos y x x =+A.B. C. D. 2ππ2π4π2.化简等于（）22cos ()sin ()44ππαα---A. B. C. D. sin 2αsin 2α-cos 2αcos 2α-3. 函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（）A.5πB.2πC.π D. 2π4. （）sin 89cos14sin1cos 76+=5. 已知cos 2θ=44sin cos θθ+的值为（）A.1813 B. 1811 C.97D. 1-6．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A.y=sin2xB.y=cosC .sin2x+cos2xD. y=2x xx 22tan 1tan 1+-7.化简的值等于（）cos()sin()44cos()sin()44ππααππαα+-++++A. B. C. D. tan 2xtan 2x tan x -tan x8.若，则的值等于（）1sin(63πα-=cos(2)3πα+ B. 19．要得到函数y=cos()的图象，只需将y=sin 的图象（）42π-x 2x A ．向左平移个单位 B.同右平移个单位2π2πC ．向左平移个单位D.向右平移个单位4π4π10．若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x 轴向左平移个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y=sinx 2π21的图象则y=f(x)是（）A ．y= B.y=122sin(21++πx 1)22sin(21+-πx C.y=D.142sin(21++πx 142sin(21+-πx 二、填空题11.函数y=sin(2x+)的图像的一条对轴方程是（）25π12. 13. 函数的最小值是 .])32,6[8cos(πππ∈-=x x y 13. 把函数先向右平移个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数32sin(π+=x y 2π解析式为________________________________14. 已知函数，给出下列四个命题：()sin cos f x x x =+①若，则[0,]x π∈()f x ∈②是函数的一条对称轴.4x π=()f x ③在区间上函数是增函数.5[,44ππ()f x ④函数的图像向左平移个单位长度得到的图像.()f x 4π()f x x =其中正确命题的序号是三、计算题：15．已知函数，求：x x y 21cos 321sin+=（1）函数y 的最大值，最小值及最小正周期；（2）函数y 的单调递增区间16.已知函数，求22sin sin 23cos y x x x =++（1）函数的最小值及此时的的集合。

三角恒等变换(测重要试题及问题详解)

A、 B、 C、 D、
6., 且则cos2x的值是（）
A、 B、 C、 D、
7. 函数的值域是（）
A B C D
8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于 ,则这个三角形底角的正弦值为（）
A B C D
9.要得到函数的图像，只需将的图像（）
A、向右平移个单位 B、向右平移个单位 C、向左平移个单位 D、向左平移个单位
19.（12分）已知 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ求的值及角．
20.已知函数，求
（1）函数的最小值及此时的的集合。
（2）函数的单调减区间
（3）此函数的图像可以由函数的图像经过怎样变换而得到。（12分）
21．（12分）已知函数， .
（1）求证的小正周期和最值；（2）求这个函数的单调递增区间．
22.(14分)已知A、B、C是三角，向量
15. 的值为
16. 已知函数，给出下列四个命题：
①若，则
② 是函数的一条对称轴.
③在区间上函数是增函数.
④函数的图像向左平移个单位长度得到的图像.
其中正确命题的序号是
三、计算题：
17.已知，求的值及角．
18.求值：
（1）
19.已知，且，
(1)求的值；(2)求的值．
20. 已知函数，求
(2) 单调减区间为
（3）先将的图像向左平移个单位得到的图像，然后将的图像向上平移2个单位得到 +2的图像。
21.等腰三角形
22.最小值为950米2，最大值为米2
《三角恒等变换》测试题
一、选择题：
1.函数的最小正周期为（）
A. B. C. D.

数学中的三角函数恒等变换模拟试题

数学中的三角函数恒等变换模拟试题题1：化简下列三角函数：（1）$sin^2 x - cos^2 x$（2）$cot^2 x - 1$（3）$1 + sec^2 x$（4）$tan^2 x + 1$（5）$cosec^2 x - cot^2 x$题2：证明下列三角函数等式：（1）$tan x = \frac{sin x}{cos x}$（2）$cot x = \frac{cos x}{sin x}$（3）$sec x = \frac{1}{cos x}$（4）$cosec x = \frac{1}{sin x}$题3：使用三角函数的基本恒等变换，化简下列三角函数：（1）$tan x \cdot sin x$（2）$sec x \cdot cos x$（3）$\frac{sin x}{1 + cos x}$（4）$\frac{cos x}{1 - sin x}$（5）$\frac{1 - sin^2 x}{1 - cos^2 x}$解答如下：题1：（1）$sin^2 x - cos^2 x$根据三角函数恒等变换 $sin^2 x = 1 - cos^2 x$，将其代入原式：$sin^2 x - cos^2 x = 1 - cos^2 x - cos^2 x = 1 - 2cos^2 x$（2）$cot^2 x - 1$根据三角函数恒等变换 $cot^2 x = \frac{cos^2 x}{sin^2 x}$，将其代入原式：$cot^2 x - 1 = \frac{cos^2 x}{sin^2 x} - 1 = \frac{cos^2 x - sin^2x}{sin^2 x}$在分子上应用三角函数恒等变换 $cos^2 x - sin^2 x = -sin^2 x + cos^2 x = cos^2 x - sin^2 x = cos 2x$：$cot^2 x - 1 = \frac{cos^2 x - sin^2 x}{sin^2 x} = \frac{cos 2x}{sin^2 x}$（3）$1 + sec^2 x$根据三角函数恒等变换 $sec^2 x = 1 + tan^2 x$，将其代入原式：$1 + sec^2 x = 1 + 1 + tan^2 x = 2 + tan^2 x$（4）$tan^2 x + 1$根据三角函数恒等变换 $tan^2 x + 1 = sec^2 x$，直接应用该恒等变换：$tan^2 x + 1 = sec^2 x$（5）$cosec^2 x - cot^2 x$根据三角函数恒等变换 $cosec^2 x = 1 + cot^2 x$，将其代入原式：$cosec^2 x - cot^2 x = 1 + cot^2 x - cot^2 x = 1$题2：（1）证明 $tan x = \frac{sin x}{cos x}$已知 $tan x = \frac{sin x}{cos x}$，将等式两边都除以 $cos x$，得到：$tan x = \frac{sin x}{cos x}$（2）证明 $cot x = \frac{cos x}{sin x}$已知 $cot x = \frac{cos x}{sin x}$，将等式两边都除以 $sin x$，得到：$cot x = \frac{cos x}{sin x}$（3）证明 $sec x = \frac{1}{cos x}$已知 $sec x = \frac{1}{cos x}$，将等式两边都求倒数，得到：$sec x = \frac{1}{cos x}$（4）证明 $cosec x = \frac{1}{sin x}$已知 $cosec x = \frac{1}{sin x}$，将等式两边都求倒数，得到：$cosec x = \frac{1}{sin x}$题3：（1）$tan x \cdot sin x$根据三角函数恒等变换 $tan x = \frac{sin x}{cos x}$，将其代入原式：$tan x \cdot sin x = \frac{sin x}{cos x} \cdot sin x = sin^2 x$（2）$sec x \cdot cos x$根据三角函数恒等变换 $sec x = \frac{1}{cos x}$，将其代入原式：$sec x \cdot cos x = \frac{1}{cos x} \cdot cos x = 1$（3）$\frac{sin x}{1 + cos x}$将分式的分子进行分解：$\frac{sin x}{1 + cos x} = \frac{sin x}{1 + cos x} \cdot \frac{1 - cos x}{1 - cos x} = \frac{sin x (1 - cos x)}{1 - cos^2 x}$应用三角函数恒等变换 $1 - cos^2 x = sin^2 x$，化简分式：$\frac{sin x (1 - cos x)}{1 - cos^2 x} = \frac{sin x (1 - cos x)}{sin^2 x}= \frac{1 - cos x}{sin x}$（4）$\frac{cos x}{1 - sin x}$将分式的分母进行分解：$\frac{cos x}{1 - sin x} = \frac{cos x}{1 - sin x} \cdot \frac{1 + sin x}{1 + sin x} = \frac{cos x (1 + sin x)}{1 - sin^2 x}$应用三角函数恒等变换 $1 - sin^2 x = cos^2 x$，化简分式：$\frac{cos x (1 + sin x)}{1 - sin^2 x} = \frac{cos x (1 + sin x)}{cos^2 x} = \frac{1 + sin x}{cos x}$（5）$\frac{1 - sin^2 x}{1 - cos^2 x}$根据三角函数恒等变换 $1 - sin^2 x = cos^2 x$，将其代入原式：$\frac{1 - sin^2 x}{1 - cos^2 x} = \frac{cos^2 x}{1 - cos^2 x} = cot^2 x$。

三角函数的恒等式测试题

三角函数的恒等式测试题1. 根据所给的恒等式，求解下列方程：a) $2\sin^2x - 3\sin x + 1 = 0$b) $2\cos^2x + 3\cos x = \sin x + 1$c) $\tan^2x - 2\tan x - 3 = 0$2. 化简下列恒等式：a) $\cos^2x - \sin^2x$b) $\frac{\sin^2x - \cos^2x}{1 - \sin x\cos x}$c) $\frac{1 - \tan x}{\cot x}$3. 求下列恒等式的值：a) $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$b) $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$c) $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)$4. 利用三角函数的恒等式证明下列恒等式：a) $\cos^4x - \sin^4x = \cos^2(2x)$b) $\tan^2x + \sec^2x = 2\sec^2x$c) $1 + \frac{\sin^2x}{\cos^2x} = \sec^2x$5. 求下列恒等式的解：a) $\sin x + \cos x = 1$b) $\sin^4x - \cos^4x = \frac{1}{2}$c) $\tan^2x = 3\sec^2x + 2$6. 证明下列恒等式：a) $\frac{1}{\cos x - \sin x} - \frac{\sin x}{\cos x + \sin x} =\frac{1}{\cos x + \sin x}$b) $\frac{\cos x}{1 - \sin x} + \frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{1}{1 - \sin x\cos x}$c) $\sin^2x + \cos^2(\frac{\pi}{2} - x) = 1$7. 解下列方程组：a) $\begin{cases} \sin x + \cos y = 1 \\ \cos x + \sin y = 1 \end{cases}$b) $\begin{cases} 2\sin x + \cos y = 1 \\ \sin x + 2\cos y = 2\end{cases}$c) $\begin{cases} \sin^2x + \cos^2y = 1 \\ \cos^2x + \sin^2y = 1\end{cases}$这是一个三角函数的恒等式测试题，包括方程的求解、恒等式的化简、值的计算、证明以及方程组的求解等各个方面。

三角恒等变换习题及答案

a2 b2
a2 b2
。
2．在三角函数化简时注意：
①能求出的值应求出值； ③尽量使项数最少；
②尽量使三角函数种类最少； ④尽量使分母不含三角函数；
⑤尽量使被开方数不含三角函数；
⑥必要时将 1 与 sin 2 cos2 进行
替换化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等
两角和公式 sin(A+B)= sin(A-B)= cos(A+B)= cos(A-B)= tan(A+B)= tan(A-B)= 倍角公式 tan2α=
cos2α=
sin2α= 半角公式 sin^2(α/2)= cos^2(α/2)= tan^2(α/2)=
和差化积 2sinAcosB= 2cosAsinB= 2cosAcosB= -2sinAsinB= 积化和差公式 sinαsinβ= cosαcosβ= sinαcosβ=
角函数公式复习
和差化积 2sinΑcosB=sin(Α+B)+sin(Α-B) 2cosΑsinB=sin(Α+B)-sin(Α-B) ) 2cosΑcosB=cos(Α+B)+cos(Α-B) -2sinΑsinB=cos(Α+B)-cos(Α-B)
积化和差公式 sin(α)sin(β)=—1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] cos(α)cos(β)=1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] sin(α)cos(β)=1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]
2 sin 100
2 sin 100
cos100 2sin(300 100 ) cos100 2sin 300 cos100 2 cos 300 sin100

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《三角恒等变换》测试题
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.
25sin 110sin 335cos 70cos +结果是（） A. 1 B.
22 C. 23 D. 21 2. 已知53sin =α，),2(ππα∈，则)4
cos(απ-的值为（） A. 52- B. 102- C. 1027- D. 5
27- 3.
15
cos 15sin 15cos 15sin -+的值为（） A. 33 B. 462+ C. 4
62- D. 3- 4. 若54cos -
=α，α是第三象限的角，则2
tan 12tan 1αα-+=（） A. 21- B. 21 C. 2 D. 2- 5. 函数1)12(sin )12(cos )(22-++-=π
π
x x x f 是（）
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 既不是奇函数又不是偶函数
6. 若0cos >θ，且02sin <θ，则角θ的终边所在的象限是（）
A. 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
7. 函数x x x f cos )tan 31()(+=的最小正周期为（）
A. π2
B.
23π C. π D. 2
π 8. 设M 和m 分别表示函数1cos 3
1-=x y 的最大值和最小值，则m M +等于（） A. 32 B. 32- C. 34- D. 2- 9. 若θ∈)2,0(π，2
2cos sin =-θθ，则θ2cos 等于（） A. 23 B. 23- C. 2
3± D. 21±
10. 当40π
<<x 时，函数x x x x x f 22sin sin cos cos )(-=的最小值是（） A.41 B. 2
1 C.
2 D. 4 二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. )12
sin 12)(cos 12sin 12(cos ππππ+-= 12. 若223)4tan(+=+πα，则α
α2sin 2cos 1-= 13. 21tan =α，31tan =β，20πα<<，2
30πβ<<，则βα+的值是 14. 若θ是第二象限角，θθθsin 12sin 2cos -=-，则角2θ所在的象限是 15. 如果向量)3,4(=a ，)cos ,(sin αα=b ，且b a ⊥，那么α2tan 等于
三．解答题（本大题共6小题，共75分）
16. （12分）若θθαπcos sin )4
sin(
2+=+，θβ2sin sin 22=，求证：02cos 212sin =+βα.
17. （12分）已知函数)2
sin()42cos(21)(ππ+-+=x x x f （1）求)(x f 的定义域；
（2）若角α在第一象限，且5
3cos =
α，求)(αf
18. （12分）已知32cos cos 2sin 2)(244-++=x x x x f
（1）求函数)(x f 的最小正周期；
（2）求函数)(x f 在闭区间]163,16[
ππ上的最小值，并求出)(x f 取最小值时x 的取值。

19. （12分）已知O 为坐标原点，)1,cos 2(2x OA =→，)2sin 3,1(a x OB +=→，是常数）a R a R x ,,(∈∈，
若→
⋅→=OB OA y
（1）求y 关于x 的函数解析式)(x f ；
（2）若]2,
0[π∈x 时，)(x f 的最大值为2，求a 的值并指出)(x f 的单调区间。

20、（13分）如图，扇形AOB 的半径为8，中心角为3
π，PQRS 是扇形的内接矩形. （Ⅰ）连接OP ，设θ=∠AOP ，求矩形PQRS 的面积)(θf ；
（Ⅱ）问点P 在什么位置时，矩形PQRS 的面积最大？并求出这个最大面积.
21、已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛
⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭R ，（其中0>ω）．（Ⅰ）求函数)(x f 的值域；
（Ⅱ）若函数)(x f y =的图象与直线1-=y 的两个相邻交点间的距离为
2
π，求函数)(x f y =的单调增区间．
A B P O R S Q。