15第十五章分析静力学分析
静力学中的受力分析与平衡条件
静力学中的受力分析与平衡条件静力学是物理学的一个分支，研究物体在静止状态下的性质和行为。在静力学中，受力分析是非常重要的一部分，它帮助我们理解物体的
受力情况以及如何保持平衡。本文将探讨静力学中的受力分析与平衡
条件，并介绍一些常见的静力学问题。
一、受力分析
受力分析是静力学的基础，通过分析物体所受到的力可以确定物体
的平衡状态。在受力分析中，我们需要考虑三个方面的力，即作用力、反作用力和重力。
1. 作用力：作用力是指物体所受到的外力，比如我们用手推动一辆
自行车，手的作用力对应着物体所受到的作用力。
2. 反作用力：根据牛顿第三定律，每一个作用力都有一个等大、反
向的反作用力。以刚才的例子，手对自行车施加的作用力正好等于自
行车对手施加的反作用力。
3. 重力：重力是地球对物体的吸引力，是物体的重量。重力的大小
取决于物体的质量和地球的引力常数。在受力分析中，我们通常用地
球重力加速度的近似值9.8m/s²来计算重力的大小。
受力分析的基本原则是，物体处于平衡状态时，所有作用力的合力
和合力矩都为零。这就引入了平衡条件的概念。
二、平衡条件
平衡条件是静力学中非常重要的概念，用于描述物体处于平衡状态
时受力的关系。平衡条件包括两个方面，即力的平衡和力矩的平衡。
1. 力的平衡：当物体处于平衡状态时，所有作用力的合力为零。即
ΣF=0，其中ΣF表示作用力的合力。例如，一个悬挂在天花板上的吊扇，由于重力和引擎产生的力相互平衡，所以整个吊扇保持静止。
2. 力矩的平衡：当物体处于平衡状态时，所有力矩的合力为零。力
矩是指作用力在垂直于力臂方向上的分量与力臂的乘积，其中力臂是
静力学分析
静力学分析
静力学，也称作定力学，是一门多学科的工程学，它结合了力学，材料科学和数学等学科，是研究物体在其外力作用下的稳定性和变形的力学问题。静力学分析主要是指用各种方法分析这些物体在其外力作用下，特别是在平衡状态下的运动特性，即运动状态相对稳定。
静力学分析的基本内容包括力平衡分析，动力学分析，接触力学分析以及材料强度检测等。力平衡分析是用来求取物体在其外力作用下的位移，角移动，静力和振动特性的基本方法，这些特性将大大影响物体在该状态下的稳定性和变形。动力学分析是根据物体在作用力作用下的状态变化及其状态转换而研究物体在外力作用下的动态分析，用以判断物体在多维空间中的运动特性，从而可以研究物体在作用力作用下的变形。接触力学分析是指分析物体在其外力作用下，特别是接触力作用下的运动特性，如滑动、粘着等，以及恢复力和磨损等，用以判断物体在作用外力的条件下的变形，从而研究物体的稳定性及其运动特性。材料强度检测指研究物体在外力作用下，特别是强度作用下的变形，其主要内容是分析物体在强度力作用下的变形特性，以及它们在外力作用下强度变化的规律。
与流体力学有所不同，静力学分析更多地关注物体在平衡状态或者稳定状态下的运动特性，而不同的外力更多的影响物体系的变形和运动特性。静力学分析的基本原理涉及到力，力矩，位移，弯矩以及波动等各种物理运动的变化。它以求解这些变量的解析解为基础，求解它们之间的关系，从而探究物体在外力作用下的变形，位移等事物。
力学分析可以用到几乎所有的工程应用领域，以及涉及到结构构件，机电系统，机械控制系统等系统研究中，从而帮助研究人员选择最优解，减小力学系统的损耗，达到更高的运行效率。
理论力学课件 虚位移原理
y A
r
O
l
x A r cos
y A r sin
2 2 2
B
x
B点坐标 xB r cos l r sin 求变分:
yB 0
δ x A r sin δ
δ x B r sin δ
δ y A r cos δ
δ rA sin ψ δ rB cos
本题也可利用刚体瞬时转动的概念，有
y
δrA
r
O
δ rA Cv A cos δ rB Cv B sin( )
A
l
δrA
两者有相同的结果。 若给相反方向虚位移，结果如何 ? 若给
ψ δrB
B δr B
x
2) 解析法:
r 2 sin cos l r sin
2 2 2
δ , δy B 0
上式消去广义坐标即可得到其关系。
可见:
几何法直观，解析法易求。
例题 求图示机构中，A, D两点虚位移关系。
解：利用几何关系进行分析。首先利用约束关系确定各点的虚位移，如图。 考察AB杆，有 考察BD杆，有
学和分析动力学基础。 几何静力学的局限
1. 对可变系，平衡条件非充分 2. 对物系，未知约束力多
十五 压杆稳定资料讲解
形
第一节 概述
使杆件保持稳定平衡状态的最大压力
——临界压力 F c r
失稳（曲屈） 稳定的平衡
不稳定的平衡
注： 压杆的临界压力Fcr越高，越不易失稳，即稳定性越好。 细长压杆失稳时的应力一般都小于强度破坏时的应力。 研究压杆稳定性的关键是确定临界压力。
第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
2.三杆中最大的临界压力值。
解： 2.计算临界压力
杆c的柔度最小，其临界压力
最大
5m
7m
9m
d
p=
2E P =
2(20× 1 090)
20× 1 060 =9.9 35
c > p 属于大柔度杆
故用欧拉公式计算临界压力
（a）
（b）
(c)
Fcr
2 EI ( l ) 2
=313K6N
例：木柱，b=12cm, h=20cm, l=7 m,λp=110, E=10GPa,由A、
9.5MPa
s z p 属中柔度杆。
采用直线公式： crab
F crcrA22K8N
例：木柱，b=12cm, h=20cm, l=7 m,λp=110,λs=80, E=10GPa,由
A、B两销子固定。 试求:Fcr
z
y b
F
h
虚位移原理讲解
1、几何约束和运动约束
几何约束——限制质点或质点系在空间几何位置的条件。
借助其它物体来完成。
平面单摆
x l
曲柄连杆机构
y
A(xA , yA)
O
r
l
B(xB , yB) x
z
?
M
?
?r
r
O
y
y
(x , y)
x2 ? y2 ? l2
x
2 A
?l绳 M
y x2+y2? l2
双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等式。
只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况，其约 束方程的一般形式为（s为质点系所受的约束数目，n为质点系 的质点个数）
f j ( x1 , y1 , z1;? ? ; x n , yn , zn ) ? 0 ( j ? 1,2,? ? , s)
F
? rB
11
在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一。
A
B O
d?rB
在非定常约束下，微小实位 移不再是虚位移之一。
?? vv ? dr
?r
M
实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念， 完全与时间无关。
质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系, 确定这 些关系通常有两种方法：
静力学分析
桥梁结构稳定性评估
基于静力学原理，评估桥梁结构在不同载荷组合下的稳定性。
桥墩与基础设计
利用静力学计算桥墩和基础的受力情况，确保其承载能力和稳定性 。
建筑结构设计中的静力学问题
建筑载荷分析
分析建筑结构在自重、活载荷、雪载等作用下的静力平衡状态。
结构构件设计
求解平衡方程，得到系统平衡状态
采用代数法或图解法求解整体和局部的平衡方程，得到物体系统在平衡状态下的位置、姿态或受 力情况等。同时，还需要考虑系统的稳定性和可靠性等问题。
04
结构静力学分析方法
桁架结构分析方法
节点法
通过节点平衡条件建立方程，求 解节点位移和杆件内力。
截面法
截取包含未知内力的截面，利用平 衡条件求解内力。
研究对象
静力学的研究对象包括刚体和质点，其中刚体是指在力的作 用下形状和大小都不发生变化的物体，而质点则是指忽略物 体的大小和形状，只考虑其质量的理想化模型。
静力学基本原理
二力平衡原理
01
作用在同一物体上的两个力，如果大小相等、方向相反且作用
在同一直线上，则物体处于平衡状态。
力的可传性原理
02
力可以在物体间进行传递，当一个物体受到力的作用时，它会
平衡力系
如果一个力系满足平衡条 件，则称该力系为平衡力 系。
物理九年级册十五章知识点
物理九年级册十五章知识点
目前，物理教学正越来越受到重视，既是因为物理知识对于学
生未来的科学研究和工程领域的发展具有重要意义，也是因为物
理的相关实验和现象常常能够激发学生对科学的热情。在九年级
的物理课程中，第十五章是一个重要的章节，本文将就该章节中
的几个知识点进行论述。
首先，我们来讨论一下力和其单位的问题。在物理学中，力是
一种导致物体发生位移或形变的作用或影响。力的单位是牛顿，
简称N。牛顿是国际单位制中力的基本单位，它的定义是：当作
用在质量为1千克的物体上时，使其产生1米每平方秒的加速度。了解力的概念和单位，能够帮助我们更好地理解物体的运动和相
互作用。
其次，我们要了解静力学。静力学是研究物体处于静止状态下
的力学规律的一门学科。在静力学中，我们需要掌握平衡条件的
概念。一个物体处于平衡状态时，意味着物体所受的合力为零，
即物体不存在任何加速度。平衡条件可以分为两种：力的平衡和
力矩的平衡。力的平衡是指物体受到的合力为零，而力矩的平衡
是指物体受到的合力矩为零。了解平衡条件对于解决实际问题，
如悬挂物体的稳定性和桥梁的结构设计等具有重要意义。
接下来，我们要学习一些关于弹性和形变的知识。当一个物体受到外力作用时，它可能会发生形变。而物体恢复原状的能力称为弹性。在这一知识点中，我们需要了解胡克定律。胡克定律是衡量物体弹性的重要指标，它描述了物体的形变和外力之间的关系。胡克定律表示为弹簧伸长或缩短的长度与所受外力成正比，且成反比于弹簧的劲度系数。通过了解胡克定律，我们可以更好地理解弹簧和弹性体的性质，以及将弹性应用于实际生活和工程中的设计。
第十五章 虚位移原理
(x − v t )2 + y 2 = l 2
约束方程中显含时间 t。可见，悬挂点移动的单摆的约束是非定常约束。
（e）
（2）双面约束（Bilateral constraint）与单面约束（Unbilateral constraint） 。约束方程中 用等号表示的约束，称为双面约束或不可离约束。这种约束能限制两个相反方向的运动， 由方程（a） 、 （b）表示的约束都是双面约束。由不等式表示的约束称为单面约束或可离约 束。例如图 15-1 中的单摆，将摆杆以细绳代替，因绳子不能受压，约束方程成为
y R φ O 图 15-3 x
′ 与轮的角速度 ϕ ′ 又因为圆轮作纯滚动，轮心速度 xC
C C x
′ − Rϕ ′ = 0 xC
2．约束分类
（d）
根据约束对质点系运动限制条件的不同， 可将约 束分类如下：
（1）定常约束（Steady constraint）和非定常约束（Unsteady constraint） 。如果在约束 方程中不显含时间 t，即约束不随时间而变，这种约束称为定常约束或稳定约束。以上各 例都是定常约束。 如果在约束方程中显含 t， 则称其为非定常约束。 例如图 15-1 中的单摆， 悬挂点 O 若以匀速 v 沿 x 轴向右运动，这时约束方程成为
O
δ θ ， δ θ 一旦给定，系统的虚位移形式（虚位移图）就完全确定了，而且任一点的虚位 移都可以用 δ θ 表示。
静力学分析
9.2.3 求解过程和分析结果
包括建立工作文件名和工作标题、创建实体模型、定义 单元类型、定义单元类型、定义几何常数、定义材料属性、 划分网格、加载求解、查看求解结果等过程。
1．建立工作文件名和工作标题 2．创建实体模型 3．定义单元类型 4．定义几何常数 5．定义材料属性 6．划分网格 7．加载求解 8．查看求解结果
9.3 平面应变问题分析
平面应变假设适用于纵向几何尺寸和载荷变化不大的狭
长物体，如图所示。受力体的纵向z尺寸远大于横向截面xy
尺寸，且在柱面上作用着平行于横截面并沿纵轴z均匀分布
的载荷。在此情况下，可以认为受力体只有x及y方向的位移
，且与坐标z无关。因此
，而 、 、 都平
行于xy平面，即为平面应变问题。
如图所示有一工字形截面的外伸梁，外伸端长度为a=1m， 跨度l=2m，外伸端受到W=10KN/m的均布载荷的作用。工字形 截面的截面面积为A=45cm2，弹性模量E=200GPa，抗弯惯性矩 Iz=5000cm4，求此外伸梁跨中的最大挠度。
9.5.2 问题分析
工字形截面的外伸梁的横截面均一致，可承受轴向、切 向、弯矩等载荷。根据该梁的结构特点，等截面的梁在进行 有限元分析时，需要定义梁的截面形状和尺寸，用创建的直 线代替梁，在划分网格结束后，可以显示其实际形状。根据 该问题的具体情况，此问题为工字形截面外伸梁的平面弯曲 问题，在ANSYS分析中选用二维梁单元BEAM3。由于此模 型在支座和跨中可能出现最大挠度和最大应力，因此在这些 位置处都应该设置节点进行分析。
理论力学分析静力学
进行积分
xC R 0
x 圆轮所受约束为完整约束。
2021年8月8日 12
理论力学CAI
2021年8月8日 13
理论力学CAI
追踪系统
y
yB
B
x A y A
xB yB
xA yA
A vA yA
约束方程不可积分，所以 导弹所受的约束为非完整约 束。
O
xA
x xB
2021年8月8日 14
理论力学CAI
δ
ri
n ri δ j1 q j
qj
2021年8月8日 54
理论力学CAI
主动力的虚功用广义坐标表示为
n
δ W Fi δ ri i 1
δ
W
n i 1
Fi
(
f j 1
ri δ q j
qj)
f
n
(
j 1 i1
Fi
ri q j
)δ
qj
令
Qj
n i 1
Fi
ri q j
j 1,2, f
2021年8月8日 35
理论力学CAI
2021年8月8日 36
理论力学CAI
2021年8月8日 37
理论力学CAI
2021年8月8日 38
理论力学CAI
求平衡结构的约束力
2021年8月8日 39
理论力学达朗贝尔原理(动静法)
向与质点加速度的方向相反。
惯性力是质点作用在使其产生加速度的其他物体上的力。
2
二、质点的达朗贝尔原理
ma F FN F FN ma 0
令 FI ma 惯性力
有 F FN FI 0 汇交力系的平衡条件
质点的达朗贝尔原理：作用在质点上的主动力、 约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。
miri cosi zi (miri 2 sin i zi )
由
cos
i
xi ri
,
sin i
yi ri
有 MI x mix iz i2 m i y iz i
记 Jyz m i y iz i, Jxz m i x iz i
称对 y、z 轴的惯性积， 对x、z 轴的惯性积。
M Ix J xz J yz 2
它主动力作用时，则刚体可以在任意位置静止不动。 动平衡：刚体的转轴为中心惯性主轴时，刚体转动时不出
现轴承附加动反力，即轴承的附加动反力等于零。
34
例15-8 如图所示,轮盘(连同轴)的质量 m 20Kg,
转轴AB与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心C不在转
轴上, 偏心距e 0.1mm.当轮盘以均转速 n 12000 r min
FB
l1
1 l2
mgl1
Pl1
l2
l3
a
ml1
下篇 结构力学部分 第15章 三铰拱
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第一节 三铰拱的受力特点
如图15-4所示为三铰拱。拱身各横截面形心的连线称 为拱轴线；拱的两端支座处称为拱趾；两拱趾间的水平距 离称为拱的跨度；两拱趾的连线称为起拱线；拱顶至起拱 线之间的竖直距离称为拱高； 拱高与跨度之比称为高跨比 或矢跨比；拱轴上距起拱线 最远的一点称为拱顶。三铰 拱通常在拱顶处设置铰。两 拱趾在同一水平线上的拱称 为平拱，不在同一水平线上 图15-4 的拱称为斜拱。
剪力(kN)
0 FS cos − FN sinϕ ϕ
轴力(kN) FS 3.6 2 0 -2.5 -5 2.5 9 13.4
0 FS sinϕ FN cosϕ
FN 46 39 33.5 30.3 30 30.3 29
28.7 20 13.4 4.9 -5 -4.9 -4.5
-21.2 -18 -13.4 -7.3 0 7.3
-0.600 -0.707
0.800 0.707
-25 -25
50 0
-52.5 0
2.5 0
-20 -17.7
18 21.2
-2 3.5
返回
第三节 三铰拱压力线及合理拱轴线
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一、压力线及合理拱轴线的概念
1. 压力线的概念 由静力学可知，三铰拱任意截面上的三个内力分量 MK、FSK、FNK可以合成为一个合力FRK。因为拱截面上 的轴力通常为压力，所以合力FRK称为该截面的总压力。 三铰拱各截面总压力作用点的连线，称为三铰拱的压力 三铰拱的压力 线。
物理九年级上册第十五章知识点
物理九年级上册第十五章知识点
物理学起始于伽利略和牛顿的年月，它已经成为一门有众多分支的基础科学。物理学是一门试验科学，也是一门崇尚理性、重视规律推理的科学。下面是我整理的物理九年级上册第十五章学问点，仅供参考希望能够关怀到大家。
物理九年级上册第十五章学问点
1、电荷间的相互作用：同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引。
自然界只有两种电荷——被丝绸摩擦过的玻璃棒带的电荷是正电荷“+”;被毛
皮摩擦过的橡胶棒上带的电荷叫做负电荷“-”。
电荷：电荷的多少叫做电荷量，简称电荷，符号是q。电荷的单位是库仑(c)。
2、检验物体带电的方法：
①使用验电器。
验电器的构造：金属球、金属杆、金属箔。
验电器的原理：同种电荷相互排斥。
从验电器张角的大小，可以推断所带电荷的多少。但验电器不能检验带电体带的是正电荷还是负电荷。
②利用电荷间的相互作用。
③利用带电体能吸引轻小物体的-质。
3、摩擦起电：用摩擦的方法使物体带电。
在通常状况下，原子核所带的正电荷与核外全部电子总共带的负电荷在数量上相等，整个原子呈中-，也就是原子对外不显带电的-质。
摩擦起电缘由：由于不同物质原子核束缚电子的本领不同。两个物体相互摩擦时，原子核束缚电子的本领弱的物体，要失去电子，因缺少电子而带正电，原子核束缚电子的本领强的物体，要得到电子，因为有了多余电子而带等量的负电。
留意：①在摩擦起电的过程中只能转移带负电荷的电子;
②摩擦起电的两个物体将带上等量异种电荷;
③由同种物质组成的两物体摩擦不会起电;
④摩擦起电并不是创造电荷，只是电荷从一个物体转移到另一个物体，使正负电荷分开，但电荷总量守恒。
第十五章 动静法
(考虑负号)的原则画出。在方程中只需按其数值的大小代
入，不能再带负号！
三、刚体作平面运动
此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。 刚体平面运动可分解为
随基点（质点C）的平动： RQ MaC
假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。
M QC 绕通过质心轴的转动：
J C
mg FT 1.96 N cos
v FT l sin 2 2.1 m s m
§2 质点系的达朗伯原理
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有 Fi Ni Qi 0 ( i 1,2,...... ,n ) 对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上构 成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。可用方程表示为：
简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的惯性
力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力 RQ 和一个惯
性力偶 M QO 。
RQ Q ma MaC M QO mO (Q )
与简化中心无关 与简化中心有关
[注意] 无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于 刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方 向相反。
0.1 12000π 1 m 158 m 2 解： an e s s 1000 30
2
2
FIn man 3160 N
静力学分析等
静力分析其实是很简单的，略下一点功夫即可入门，当然要精通是有一些难度的，但是仅仅想要掌握一个软件，能够做一些静力分析，有几个月也应该够了。以下思路可以参考一下： 1 首先需要弄清楚要分析的是什么东西，汽车、火车、飞机、机床、建筑、土建... 或只是其中的某个零部件？ 2 受力状态或工况- 这方面需要请教你的导师或课题来源单位； 3 约束情况- 同上； 4 在弄清楚这些以后，需要对结构划分网格，创建有限元模型；为此，需要对有限元有一些了解，但不必精通。不过对ANSYS 软件却需要多了解一些，可以找一些ANSYS 基础方面的资料学习一下，包括ANSYS 基础、建模、划分网格、施加载荷和约束、求解和后处理等。 5 得到结果后，关键问题是如何判断结果是否合理，这方面也需要请教你的导师或有关单位了。
静力学分析：为什么要进行静力学分析，分析些什么问题，怎么分析（分析步骤）？？？
本章将系统的介绍结构静力学分析的内容，包括线性静力学分析中各种类型的工程实例，如平面应力，应变问题，轴对称问题，以及梁，桁架，壳等模型的分析问题，通过这些实例进行具体的分析求解，让读者能够熟悉静力学中各种模型的分析思路和求解方法，并掌握ansys分析静力学分析的基本步骤，
静力学主要研究物体在力系作用下的平衡规律。静力学力有关于力的合成、分解与力系简化的研究成果，可以直接应用于动力学。因此静力学在工程技术中具有重要的使用意义。介绍静力学分析的定义，处理的载荷类型，静力学分析的类型及静力学分析的基本步骤。
静力分析是用来计算结构在固定不变载荷作用下的响应，如位移，应力，应变等，也就是探讨结构受到外力后变形，应力，应变的大小。与固定不变的载荷对应，结构静力分析中结构的响应也是固定不变的。静力分析中固定不变的载荷和响应是一种假设，即假定载荷和结构的响应随时间变化非常缓慢。处理载荷通常包括: 位移载荷，稳定的惯性力，外部施加的作用力，温度载荷，能流载荷。
理论力学-15-达朗贝尔原理
第十五章 达朗贝尔原理
例题 15-3 已知：m , h , , l。
B
D h
求：A、D 处约束反力。
a
A
第十五章 达朗贝尔原理
解： 取 AB 杆为研究对象
B D
FAy mg FN cos h 0 Fy 0 l h a l M A ( F ) 0 mg cos F sin FN 0 2 2 sin F ma ml B FN sin ( g cos a sin ) D 2h F C I ml 2 FAx ma ( g cos a sin ) sin FN 2h mg ml FAy mg sin cos ( g cos a sin ) 2h
第十五章 达朗贝尔原理
M A 0,
C
FT
FAy
B
Fi
mg FAx
B
x
F
A
例题 15-2 已知：m ，R， 。 求：轮缘横截面的张力。 解： 取上半部分轮缘为研究对象
O R
m 2 Fi Rd R 2R
y
FIi
Fy 0 Fi sin 2 FT 0
◆ 达朗伯原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动 约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。
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C R 0 vC 0 x
进行积分
y C
C x
C*
xC R 0
x 圆轮所受约束为完整约束。
13
R
O
2018年10月21日 理论力学CAI
c x
追踪系统
y
yB
B
yA
A
vA
A xB x A x A yB y A y
约束方程不可积分，所以 导弹所受的约束为非完整约束。 x
2018年10月21日 理论力学CAI
15
2. 可能位移、实位移和虚位移 满足约束方程的无限小位移称为质点系的可能位移。
f k f k dxi dt 0 t i 1 xi
3n
k 1,2,, r
质点系实际发生的微小位移称为实位移。 在约束允许条件下，各质点可能发生的与时间变化 无关的位移，称为质点系的虚位移。
实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何 的概念，完全与时间无关。
2018年10月21日 理论力学CAI
18
在定常约束下，虚位移就是可能 位移，就是实位移。而在非定常约束 下，虚位移不一定等同与可能位移。
2018年10月21日 理论力学CAI
19
§15.2 虚位移原理
1. 理想约束
凡约束力对于质点系的任意虚位移所作的元功 之和为零的约束，称为理想约束。
2018年10月21日 理论力学CAI 1
如何确定升降机液压油
W1 F F W2
缸的推力F与载荷的关系？
2018年10月21日 理论力学CAI
2
虚位移原理的思想： F1 a o b F2
几何静力学的平衡方程
M F 0
o
2018年10月21日 理论力学CAI
F1a F2b 0
15.1
虚位移和虚速度
1. 位形空间和约束曲面
质点系内各质点的 3n个坐标的集合，定义为质点系的位形。
建立抽象的3n维正交欧氏空间（x1,x2, …x3n), 称为质 点系的位形空间。
约束－物体运动所受到的限制。 质点系所受到的约束，可用联系位形与时间的约束 方程表示，则称为几何约束或完整约束。
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非完整约束 —— 约束方程包含质点速度、且约束方程不 可以积分的约束。
i ) 0, i 1,2 , ,3n； k 1,2, , r(约束数) f k ( xi，x
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圆轮在平面上纯滚动
约束方程
yC R vC 0
定常约束与非定常约束 定常约束－约束方程中不显含时间的约束：
f k ( xi ) 0, i 1,2, ,3n；k 1,2, , r (约束数)
非定常约束－约束方程中显含时间的约束：
f k ( xi，t ) 0,
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i 1,2, ,3n；k 1,2, , r (约束数)
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功能原理的方程 F1 a
F2 b o
T T0 W F 1a F 2b 0
F1a F2b
0
0
F1a F2b 0
利用动能定理得到与几何静力学同样的平衡条件， 即用动的方法来处理静的问题。
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虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用 变分符号 表示虚位移。
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实位移和虚位移
实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而 实际发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。
实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有 限值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同 的方向。
f k ( xi ) 0, i 1,2, ,3n；k 1,2, , r (约束数)
单侧约束 —— 约束方程写成不等式的约束。
f k ( xi ) 0,
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i 1,2, ,3n；k 1,2, , r (约束数)
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x 2 y 2 l 2 (单侧约束)
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完整约束与非完整约束 完整约束 —— 约束方程不包含质点速度，或者包含质点 速度但约束方程是可以积分的约束。
f k ( xi ) 0, i 1,2, ,3n；k 1,2, , r (约束数)
O
xA
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xB
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对于完整约束系统，唯一地确定系统在空间位形 的独立坐标的数目，也就是广义坐标的数目，称为系 统的自由度数。 对于非完整约束系统，广义坐标的数目大于自由度 数。这时，系统的自由度等于独立的虚位移数目。 在虚位移这章中我们只讨论质点或质点系受定常、 双侧、完整约束的情况。
质点系受有理想约束的条件：
W
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定常约束 —— 约束条件不随时间改变的约束。
x2 + y2 = l2
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非定常约束
如果已知转子的转动规律(例如以等角速度 旋 转)，这种转动规律就是对系统的约束，约束方程为：
＝t
这种约束即为非定常约束。
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双侧约束与单侧约束 双侧约束 —— 约束方程可以写成等式的约束。
第十五章
分析静力学
在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通 过力系的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体 及刚体系统的平衡问题，称为矢量静力学。
分析静力学主要研究受约束的质点、质点系、刚体、 刚体系在力系作用下的平衡规律。是研究平衡问题的最 一般的原理。 与分析力学的另一个原理，达朗伯原理相结合，就 可以将静力学的结论扩展到动力学领域。
双侧约束与单侧约束 y x 滑块B
O y
B
yB 0 (双侧约束)
O
B
x
yB 0 (单侧约束)
只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单侧约束。
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单摆 O l A A0 y x O l A A0 y x
x 2 y 2 l 2 (双侧约束)