六年级上册奥数试题-第13讲：填数字_全国通用(含答案)

第13讲 填数字
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填数字就是根据已知的条件用适当的数字将算式、表格计算补齐，常通过找规律、猜想、
拼凑、排除、枚举等方法解答。

重点·难点
（1）数阵图的填写关键是确定各重复点的数，以及每条边上的数的和“k”。为确定这
些数，采用的解题步骤是：①找出重复点与“k”的关系；②根据关系式确定k的值；③通
过关系式确定出各重复点的值，试填求解。

（2）解除法算式谜时，确定除数和商是关键。填算式时，两数相乘的积的尾数及运算
过程中的进位、退位都是解题的突破口。求除数有时用“估值法”，看除数必大于某数且小
于另一数，采用两边夹的方法求出来。

学法指导
（1）如果做题时遇到麻烦，不妨根据数学的有关概念、法则、定律把原题加以变换。
另外，做题时要考虑周全。

（2）数字谜的突破口一般在于选择是否进位、退位，算式的首位及个位。解答时一般
要试验多次，注意一定要将所有可能性全部试。最后请记住一个六位数：142857，它的神奇
之处是：它与2、3、4、16相乘的积仍是由1、4、2、8、5、7这六个数字组成的六位数。
如142857×2＝285714，有些字谜就是根据这个数来编的。

经典例题
［例1］在下面乘法算式的空格内，各填上一个适当的数字，使算式成立。

思路剖析
在这个乘法算式中，关键是把乘数和被乘数中的空格先填出来，其他的空格根据乘法的
计算法则就可以填出来了。

为了分析时叙述方便，我们设被乘数是ab5，乘数是1cd（ab5表示百位数字是a，十位
数字是b，个位数字是5的三位数），原式变为如下的算式：

由乘法坚式可以看出，第一部分积2□□5=2□75，由于它的个位数字是5，所以d只
能取奇数，但不能是1（是1的话，第一部分积就该是ab5了），即d可能是3、5、7、9，
由第二部分乘积13□0的个位数字是0可知c只能取偶数，即C可能是2、4、6、8。

由于乘积的最高位数字是4，所以第三部分积□□□的最高位数字只能是2或3，也就
是说，a=2或a=3。

（1）如果a=2，那么第一部分积的算式变为□75，由这个算式可推得d=9，
6=7，即275×9＝2475，这时求第二部分积的算式为275×c=13□0，经试验可知，无论c
取任何数值这个等式都不能成立，这说明a不能取2。

（2）如果a＝3，那么求第一部分积的算式变为×d=2□75，由这个算式可推得d=7，
b=2，即325×7=2275，这时求第二部分积中的算式变为325×c=13□0，经试验可知c=4，
即325×4=1300。因此得被乘数ab5=325，乘数1cd=147，这样其余的空格根据竖式乘法法
则就很容易填出来了。

解答

［例2］欢、度、国、庆各代表什么不同数时，下面四个算式同时成立。
欢+度×国+庆=11（l）
度×国+庆+欢=11（2）
国×庆+欢-度=11（3）
庆+欢+度×国=11（4）

思路剖析
首先注意观察这些等式，看看它们有什么关系？不难看出，第（1）、（2）、（4）这
三个等式实质是一样的，只是相加的顺序不同而已。因此要使四个等式同时成立，只要使（2）、
（3）两个等式同时成立就可以了，因此我们只讨论当各个汉字是什么数字时，（2）、（3）
两个等式同时成立（当然也可以讨论（1）、（3）或（4）、（3）两式），为了讨论方便起
见，我们把（2）、（3）两个等式化简，由于（2）、（3）这两个等式都等于11，所以有：

度×国=庆+欢=国×庆+次-度
把上面等式的两边同减去“欢”，可得
度+国+庆=国×庆-度
根据加减法逆运算关系，可得
度×国+度=国×庆-庆
据运算性质可得
度×（国+l）=庆×（国-1）（5）

试验求解：
由（5）式可以看出“国”字是个关键，所以我们先把“国”字的取值范围估算出来，
然后在此基础上再来试验确定各个汉字所代表的数字。

由（5）式明显看出：国≠0。由（2）、（3）式可看出国＜5，这是因为，当国≥5时
其他几个汉字将无值可取。例如，如果国=5，那么度、庆只能一个是1，一个是2。当度=l
时，庆只有取2，由（2）式可得1×5+2+欢=11，则欢=4，代入（3）式有5×2+4-l=13≠11。
不合题意，故国≠5。

下面试验，各个汉字应该是什么数字：
如果国=1，那么由（5）式可知：度=0，由（2）式可得，庆+欢=11，所以有庆=2，欢
=9；庆=9，欢=2；庆=3，欢=8；庆=8，欢=3；…共有8个解。
如果国=2，那么由（5）式可得：
度×3=庆，且度＜4
当度=1时，由上式可推得庆=3，代人（2）式得l×2+3+欢=11，则有欢=6，找到一个
解。
当度=2时，与国=2重复，不行。
当度=3时，由度×3=庆，可知庆=9，代入（2）式得3×2+9+欢=11，欢无值可取，无
解。
如果国=3，那么由（5）式可得：
度×2=庆，且度＜3
当度=l时，由度×2=庆，可得庆=2，代入（2）式得欢=6，找到一个解。
当度=2时，由度×2=庆可得庆=4，代入（2）式得欢=l，又得一个解。
如果国=4，那么由（5）式可得：
度×5=庆×3
这个等式只有当度=3、庆=5时才成立，代入（2）式得3×4+5+欢=11，“欢”无值可
取，无解。
综上可知这道题有11个解。

解答
国=l，度=0，庆=2，欢=9；
国=1，度=0，庆=9，欢=2；
国=l，度=0，庆=3，欢=8；
国=1，度=0，庆=8，欢=3；
国=l，度=0，庆=4，欢=7；
国=1，度=0，庆=7，欢=4；
国=l，度=0，庆=5，欢=6；
国=1，度=0，庆=6，欢=5；
国=2，度=l，庆=3，欢=6；
国=3，度=1，庆=2，欢=6；
国=3，度=2，庆=4，欢=1。

［例3］下列各题中的每一个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，当它
们各表示什么数字时，以下各算式都成立？

解答
（1）得数1993，十位是9。而“加”+“加”的和一定是偶数，所以个位数可能向十
位进1或进3。
若个位向十位进3，“加”可能是3或8，当“加”为8时，“加”+鞭×3应为33，
而（33-8）÷3除不尽，所以“加”不可能是8，又，若“加”是3，则3+鞭×3最大只可
能等于30，小于33，所以“加”也不可能是3，由此可见，个位不可能向十位进3，而一定
向十位进1，则：“加”可能是（9-1）÷2=4，或（19-l）÷2=9，若“加”是4，则马=9，
快=l，鞭=（13-4）÷3=3，经检验，符合题意，若“加”是9。“鞭”应等于（13-9）÷3，
结果除不尽，所以“加”不可能是9，所以要求本题惟一的解是：

（2）由3个“旦”相加的和的个数是4，可知旦=8。
又由8×3=24，向十位进了2，现在十位数字是9，可知元+元+元和的个位是9-2=7，
元×3＝27，则元=9；
9×3+2=29，十位又向百位进2，现百位数字是9，可知庆+祝=7；
又因为百位不可能向千位进了数
所以庆=l，祝=6
本题的解是：

［例4］10月1日是国庆节，图1是“10、l”两个数，请把l~18这十八个数填入图中
十八个空格内，要使每一横划与竖划上所填的数的和相等。

图1

思路剖析
这个数阵图共有6划，中间“0”的四个顶点上的数，与每个笔划上所填数的和是关键。
我们设四个顶点上的数分别是a、b、c、d（如图2所示），每个笔划上所填数的和都是k。

图2

可以得出：6k=（l+2+3++…+18）+（a+b+c+d）
6k=171+a+b+c+d
得k＝（171+a+b+c+d）÷6（l）
a+b+c+d=6k-171（2）
当a+b+c+d取得最小值10时，由（l）式可得k=（171+10）÷6≈30．16，所以k的最
小值大于30；当a+b+c+d取得最大值66时，k=（171+66）÷6=39．5，所以k的最大值等
于39，因此k=31，32，33，…，39。

解答
由上面分析可知此题的解很多，我们只举其中的两解如下：
（1）当k=34时，由（2）式可得a+b+c+d=6×34-171=33。因为，6+8+9+10=33，经试
验可知，当a=6、b=8、c=9、d=10时，可得一个基本解。

（2）当k=35时，由（2）式可得a+b+c+d=6×35-171=39。因为5+6+12+16=39。经试
验可知当a=5，b=6，c=12，d=16时，可得一个基本解。
此题两个基本解如图3和图4所示。

［例5］请找出6个不同的自然数，分别填入下面的方框中，使下面的等式成立。

思路剖析
本题的解答方法很多，要写出所有解答不是一件容易的事，但只求一组解并不困难，下
面仅列三种解答方法。

解答

☆解法一：因为
=
=
=
=
=
所以

☆解法二：我们注意到，在这个等式两边同除以3就得，
因为
即
所以

☆解法三：我们在计算分数加减法时，运用到了一个拆分公式：，
，可以很容易地把任一个单位分数写成另两个单位分数的和。所以