高二数学人教A版选修2-3课件：第2章 2-3-1 离散型随机变量的均值
人教版A版高中数学选修2-3：离散型随机变量的均值_课件1
• 什么叫做n次独立重复实验？
• 设X表示n次实验中A事件发生的次数，它 满足什么分布？分布列如何表示？
P( X k ) Cnk pk (1 p)nk
• 如果X满足二项分布，则 记为：X～B (n，p)
算术平均数
• 如果你期中考试各门成绩为： 90、80、77、68、85、91
若X～B (n，p)，则 EX= n p
例3
• 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有 4个选项，其中仅有一个选项是正确的。每题选 对得5分，不选或选错不得分，满分100分。学生 甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验 中对每题都从各选项中随机地选出一个，分别求 学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值。
那你的平均成绩是多少？
x x1 x2 ... xn n
加权平均数
• 你的期中数学考试成绩为70，平时 表现成绩为60，学校规定：在你学 分记录表中，该学期的数学成绩中 考试成绩占70%、平时成绩占30%， 你最终的数学成绩为多少？
x a1x1 a2 x2 ... an xn a1 ... an 1
解：设X1表示甲选对的题数、X2表示乙选对的题数 它们都满足二项分布：
X1～B(20，0.9)
X2～B(20，0.25)
所以：EX1= n p =20×0.9=18
EX2= n p =20×0.25=5
甲所得分数的均值为：18×5=90
乙所得分数的均值为： 5×5=25
X
x1
x2
…
x20
P
p1
p2
Ｘ １８
1
Ｐ
2
２４
1
3
３６
1
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第二章 2.3.1 离散型随机变量的均值
栏 目 链 接
自 测 自 评
1．分布列为 ξ P 的期望值为( C ) A．0 B．－1 C．－ 2．设 ξ 的分布列为： 1 1 P 6 又设 η＝2ξ＋5，则 E(η)＝( 7 17 17 32 A. B. C. D. 6 6 3 3 ξ 2 1 6 3 1 3 4 1 3 －1 1 2 0 1 3 1 1 6 1 3 D. 1 2
栏 目 链 接
每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机 确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求： (1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与数
学期望．
解析：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事 件数． (1)设 A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则－ A 表示 “甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得 C2 1 4 3 － P(A)＝1－P( A )＝1－ 2＝1－ ＝ . C6 5 5 (2)ξ 的所有可能值为 0,1,2,3,4，且 5 1 4 4 3 1 2 P(ξ＝0)＝ 2＝ ， P(ξ＝1)＝ 2＝ ， P(ξ＝2)＝ 2＝ ， P(ξ＝3)＝ 2 C6 3 C6 15 C6 5 C6 2 1 1 ＝ ，P(ξ＝4)＝ 2＝ . 15 C6 15
栏 目 链 接
(1)求 m 的值； (2)求 E(X)； (3)若 Y＝2X－3，求 E(Y)．
解析：(1)由随机变量分布列的性质，得 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋m＋ ＝1，解得 m＝ . 4 3 5 20 6
高二数学,人教A版选修2-3,离散型随机变量,的均值 课件
解析： X 可取的值为 1,2,3，
3 2 3 3 则 P(X＝1)＝5，P(X＝2)＝5×4＝10， 2 1 1 P(X＝3)＝5×4×1＝10.
抽取次数 X 的分布列为 X P 1 3 5 2 3 10 3 1 10
3 3 1 3 E(X)＝1×5＋2×10＋3×10＝2.
2．3 离散型随机变量的均值与方差 2．3.1 离散型随机变量的均值
1．通过实例，理解取有限个值的离散型随机变量均值 (数
学期望)的概念和意义．
2．能计算简单离散型随机变量的均值(数学期望)，并能解 决一些实际问题． 3．会求两点分布和二项分布的均值．
某书店订购一新版图书，根据以往经验预测，这种新书的
解析：
(1)由随机变量分布列的性质，得
1 1 1 1 1 4＋3＋5＋m＋20＝1，所以 m＝6. 1 1 1 1 1 17 ∴E(X)＝(－2)×4＋(－1)×3＋0×5＋1×6＋2×20＝－30. (2)方法一：由公式 E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得
17 62 E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2× －30 －3＝－15.
离散型随机变量的均值
在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等
品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数 X的分布列和数学期望．
[思路点拨] 明确X的取值 ―→ 计算每个取值的概率 ―→
列出分布列 ―→ 计算（EX）
从 10 件产品中任取 3 件共有 C3 10种结果．从
解析：
x＋0.1＋0.3＋y＝1， 依题意得 7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，
x＋y＝0.6， 即 7x＋10y＝5.4，
2.3.1 离散型随机变量的均值 课件-高中数学人教A版选修2-3
P 0.3 0.7
思考：该射手得分的均值为0.7，则说明他在每次 罚球都能得到0.7分？
离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值 的平均水平，它是一个常数，是一个不会受其他因 素影响的稳定值
（1）两点分布：
在一次试验中，如果事件A只有发生与不发生两种 结果，则称事件A发生的次数X服从两点分布。
即 E(aX＋b)＝aE(X)＋b
一、离散型随机变量取值的平均水平——数学期望
①一般地，若离散型随机变量X的概率分布为
X
x1
x2
…
xi
…
P
p1
p2
…
pi
…
则X的数学期望（或均值）为
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…
X的数学期望即为X每个值与相应概率乘积之和
②数学期望的性质
即 E(aX＋b)＝aE(X)＋b
【例1】已知随机变量X的分布列如下：
X －2 －1 0
P
1 4
1 3
1 5
1 2 (1)求 m 的值；
m
1 20
(2)求 E(X)； (3)若 Y＝2X－3，求 E(Y).
(3)方法一：由公式 E(aX＋b)＝aE(X)＋b，
得 E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－1370－3＝－6125
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
P
p1
p2
…
pi
…
则称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为X的均值或 数学期望，数学期望又简称为期望．
它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
问题
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．
高中数学人教A版高二选修2-3教学案：2.3.1_离散型随机变量的均值_Word版含解析
2．3．1离散型随机变量的均值预习课本P60～63，思考并完成以下问题1．什么是离散型随机变量的均值？怎么利用离散型随机变量的分布列求出均值？2．离散型随机变量的均值有什么性质？3．两点分布、二项分布的均值是什么？[新知初探]1．离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n_量取值的平均水平．2．离散型随机变量的均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量且P(Y＝ax i＋b)＝P(X＝x i)，i＝1,2，…，n，E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b．3．两点分布与二项分布的均值(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p；(2)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np．[点睛]两点分布与二项分布的关系(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生．(2)不同点：①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1, 二项分布中随机变量的取值X＝0,1，2，…，n．②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．()(2)随机变量的均值与样本的平均值相同．()(3)若随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝3，则E(4ξ－5)＝7．()答案：(1)×(2)×(3)√2．已知离散型随机变量X的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( ) A ．32B ．2C ．52D ．3答案：A3．设随机变量X ～B (16，p ), 且E (X )＝4, 则p ＝________． 答案：144．一名射手每次射击中靶的概率均为0．8, 则他独立射击3次中靶次数X 的均值为________． 答案：2．4[典例] 购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数ξ的分布列及均值E (ξ)．[解] (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A ，B ，C ，那么 P (A )＝P (B )＝P (C )＝16．P (A ·B ·C )＝P (A )P (B )P (C )＝16×56×56＝25216．故甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是25216．(2)ξ的可能取值为0,1,2,3．P (ξ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫16k ⎝⎛⎭⎫563－k，k ＝0,1,2,3．P (ξ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫160×⎝⎛⎭⎫563＝125216； P (ξ＝1)＝C 13×16×⎝⎛⎭⎫562＝2572；P (ξ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫162×56＝572， P (ξ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫163×⎝⎛⎭⎫160＝1216． 所以中奖人数ξ的分布列为P125216 2572 572 1216E (ξ)＝0×125216＋1×2572＋2×572＋3×1216＝12．求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值：根据随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值； (2)求概率：求X 取每个值的概率； (3)写分布列：写出X 的分布列； (4)求均值：由均值的定义求出E (X )．其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在．[活学活用]1．甲、乙两人各进行3次射击， 甲每次击中目标的概率为12， 乙每次击中目标的概率为23， 记甲击中目标的次数为X, 乙击中目标的次数为Y ，(1)求X 的概率分布列； (2)求X 和Y 的数学期望．解：(1)已知X 的所有可能取值为0,1,2,3． P (X ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫12k ⎝⎛⎭⎫123－k ． 则P (X ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫123＝18；P (X ＝1)＝C 13×12×⎝⎛⎭⎫122＝38； P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×12＝38； P (X ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123＝18． 所以X 的概率分布列如下表：X 0 1 2 3 P18383818(2)由(1)知E (X )＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1．5，或由题意X ～B ⎝⎛⎭⎫3，12，Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，23， ∴E (X )＝3×12＝1．5，E (Y )＝3×23＝2．2．某运动员投篮投中的概率P ＝0．6． (1)求一次投篮时投中次数ξ的数学期望． (2)求重复5次投篮时投中次数η的数学期望．解：(1)ξ的分布列为：ξ0 1P 0．40．6则E(ξ)＝0×0．4＋1×0．6＝0．6，即一次投篮时投中次数ξ的数学期望为0．6．(2)η服从二项分布，即η～B(5,0．6)．∴E(η)＝np＝5×0．6＝3，即重复5次投篮时投中次数η的数学期望为3．离散型随机变量均值的性质[典例]X －2－101 2P141315m120若Y＝－2X，则E(Y)＝________．[解析]由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m＋120＝1, 解得m＝16，∴E(X)＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730．由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，即E(Y)＝－2×⎝⎛⎭⎫－1730＝1715．[答案]1715[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，若Y＝2X－3, 求E(Y)．解：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b及E(X)＝－1730得，E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×⎝⎛⎭⎫－1730－3＝－6215．2．[变条件，变设问]本例条件不变，若ξ＝aX＋3, 且E(ξ)＝－112，求a的值．解：∵E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－1730a＋3＝－112，∴a＝15．与离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX ＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ)．也可以利用ξ的分布列得到η的分布列，关键由ξ的取值计算η的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(η)．均值的实际应用[典例]的分布列为ξ1234 5P 0．40．20．20．10．1250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求η的分布列及均值E(η)．[解](1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．P(A)＝(1－0．4)3＝0．216，P(A)＝1－P(A)＝1－0．216＝0．784．(2)η的可能取值为200元，250元，300元．P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0．4，P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0．2＋0．2＝0．4，P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0．1＋0．1＝0．2，因此η的分布列为η200250300P 0．40．40．2E(η)＝200×0．4＋250×0．4＋1．实际问题中的均值问题均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．2．概率模型的解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．[活学活用]甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与数学期望．解：设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中， 则P (A k )＝13，P (B k )＝12，(k ＝1,2,3)．ξ的所有可能值为1,2,3． 由独立性知P (ξ＝1)＝P (A 1)＋P (A 1B 1)＝13＋23×12＝23，P (ξ＝2)＝P (A 1B 1A 2)＋P (A 1B1A 2B 2)＝23×12×13＋⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫122＝29，P (ξ＝3)＝P (A1B1A2B 2)＝⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫122＝19．综上知，ξ的分布列为数学期望为E (ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139．层级一 学业水平达标1．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( ) A ．无法求 B ．0 C ．E (X )D ．2E (X )解析：选B ∵E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，而E (X )为常数，∴E (X －E (X ))＝E (X )－E (X )＝0． 2．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则E (ξ)的值为( )A ．118B ．19C ．209D ．920 解析：选C 根据概率和为1，可得x ＝118，E (ξ)＝0×2x ＋1×3x ＋2×7x ＋3×2x ＋4×3x ＋5×x ＝40x＝209． 3．某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0．8，则射击一次得分X 的期望是( )A ．0．2B ．0．8C ．1D ．0解析：选B 因为P (X ＝1)＝0．8，P (X ＝0)＝0．2，所以E (X )＝1×0．8＋0×0．2＝0．8． 4．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～B ⎝⎛⎭⎫5， 14，则E (－ξ)的值为( ) A ．14B ．－14C ．54D ．－54解析：选D ∵E (ξ)＝5×14＝54，∴E (－ξ)＝－E (ξ)＝－54，故选D ．5．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X 表示取到次品的个数，则E (X )等于( ) A ．35B ．815C ．1415D ．1解析：选A X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 17C 13C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 210＝115．所以E (X )＝1×715＋2×115＝35． 6．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0．6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的数学期望为________．解析：X 的可能取值为3,2,1,0，P (X ＝3)＝0．6；P (X ＝2)＝0．4×0．6＝0．24； P (X ＝1)＝0．42×0．6＝0．096； P (X ＝0)＝0．43＝0．064．所以E (X )＝3×0．6＋2×0．24＋1×0．096＋0×0．064 ＝2．376． 答案：2．3767．设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3，P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3)．又X 的均值E (X )＝3，则a ＋b ＝________．解析：∵P (X ＝1)＝a ＋b ，P (X ＝2)＝2a ＋b ，P (X ＝3)＝3a ＋b ， ∴E (X )＝1×(a ＋b )＋2×(2a ＋b )＋3×(3a ＋b )＝3， ∴14a ＋6b ＝3．①又∵(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＝1， ∴6a ＋3b ＝1．②∴由①②可知a ＝12，b ＝－23，∴a ＋b ＝－16．答案：－168．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0．8，则其第一大题得分的均值为________．解析：设小王选对的个数为X ，得分为Y ＝5X ， 则X ～B (12,0．8)，E (X )＝np ＝12×0．8＝9．6， E (Y )＝E (5X )＝5E (X )＝5×9．6＝48． 答案：489．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．求：(1)抽取次数X 的分布列； (2)平均抽取多少次可取到好电池． 解：(1)由题意知，X 取值为1,2,3． P (X ＝1)＝35；P (X ＝2)＝25×34＝310；P (X ＝3)＝25×14＝110．所以X 的分布列为(2)E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1．5，即平均抽取1．5次可取到好电池．10．如图所示是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x 的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望．解：(1)依题意及频率分布直方图知，0．02＋0．1＋x ＋0．37＋0．39＝1，解得x ＝0．12． (2)由题意知，X ～B (3,0．1)．因此P (X ＝0)＝C 03×0．93＝0．729； P (X ＝1)＝C 13×0．1×0．92＝0．243； P (X ＝2)＝C 23×0．12×0．9＝0．027；P (X ＝3)＝C 33×0．13＝0．001．故随机变量X 的分布列为故X 的数学期望为E (X )＝3×0．1＝0．3．层级二 应试能力达标1．已知随机变量ξ的分布列为若η＝aξ＋3，E (η)＝73，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由分布列的性质得12＋13＋m ＝1，∴m ＝16．∴E (ξ)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13．∴E (η)＝E (aξ＋3)＝aE (ξ)＋3＝－13a ＋3＝73，∴a ＝2．2．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a －b |的取值，则ξ的数学期望E (ξ)为( )A ．89B ．35C ．25D ．13解析：选A ∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，∴－b 2a<0，即ba >0，∴a 与b 同号．∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×13＋1×49＋2×29＝89．3．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．2解析：选A 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2，P (ξ＝0)＝C 27－xC 27＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝C 1x ·C 17－xC 27＝x (7－x )21， P (ξ＝2)＝C 2xC 27＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，解得x ＝3．4．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定( ) A ．甲比乙质量好 B ．乙比甲质量好 C ．甲与乙质量相同D ．无法判定解析：选A E (ξ)＝0×0．7＋1×0．1＋2×0．1＋3×0．1＝0．6， E (η)＝0×0．5＋1×0．3＋2×0．2＋3×0＝0．7． ∵E (η)>E (ξ)，故甲比乙质量好．5．设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为：则E (X )的最大值为________．解析：由表可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤12－p ≤1，0≤p ≤1，从而得P ∈⎣⎡⎦⎤0，12，期望值E (X )＝0×⎝⎛⎭⎫12－p ＋1×p ＋2×12＝p ＋1，当且仅当p ＝12时，E (X )最大值＝32．答案：326．节日期间，某种鲜花的进价是每束2．5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1．6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元．解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E(ξ)＝200×0．20＋300×0．35＋400×0．30＋500×0．15＝340(束)．设利润为η，则η＝5ξ＋1．6×(500－ξ)－500×2．5＝3．4ξ－450，所以E(η)＝3．4E(ξ)－450＝3．4×340－450＝706(元)．答案：7067．(重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝C12C13C15C310＝14．(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝C38C310＝715，P(X＝1)＝C12C28C310＝715，P(X＝2)＝C22C18C310＝115．综上知，X的分布列为故E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)．8．购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1－0．999104．(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)．解：各投保人是否出险相互独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则ξ～B(104，p)．(1)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A发生当且仅当ξ＝0，P(A)＝1－P(A)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)104，又P(A)＝1－0．999104，故p＝0．001．(2)该险种总收入为104a元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出：104ξ＋5×104，盈利：η＝104a－(104ξ＋5×104)，由ξ～B(104,10－3)知，E(ξ)＝10，E(η)＝104a－104E(ξ)－5×104＝104a－105－5×104．由E(η)≥0⇔104a－105－5×104≥0⇔a－10－5≥0⇔a≥15(元)．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．。
高中数学人教A版选修2-3课件2-3-1离散型随机变量的均值
一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(ξ).也可
以利用X的分布列得到ξ的分布列,关键由X的取值计算ξ的取值,对
应的概率相等,再由定义法求得E(ξ).
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
变式训练 2 已知随机变量 ξ 和 η,其中 η=12ξ+7,且 E(η)=34,若 ξ
刻画随机变量的,但二者有所不同.分布列只给了随机变量取所有
可能值的概率,而均值却反映了随机变量取值的平均水平.
【做一做1】 已知随机变量X的分布列如下:
X
0
1
1
3
P
则E(X)=
2
1
6
a
,E(2X-1)=
.
1
1
1
1
3
1
6
1
4
1
1
3
6
4
4
解析:由题意知 + +a+ =1,a= ,
4
所以 E(X)=0× +1× +2× +3× =
∴P(X=k)=
C 310
,k=0,1,2,3.
所以随机变量 X 的分布列是
X
P
0
1
21
40
7
24
7
2
21
7
3
7
40
1
9
∴E(X)=0×24+1×40+2×40+3×120 = 10 .
1
120
探究一
探究二
人教A版高中数学选修2-3课件2.3.1离散型随机变量的均值(1)
浙江省富阳二中高二数学备课组 2013-3-27
•
一、离散型随机变量的分布列
1、概率分布（分布列） 设离散型随机变量ξ可能取的值为
xi (i 1, 2, ξ取每一个值的概率
则表 ξ
x1 , x2 , x3 ,
, xi
)
… …
P ( xi ) pi
x1 p1
kC p q
k n
k
n k
nC p q
pn
则称EX=x1p1+x2p2+…+xnpn为X的数学期望或平均 数、均值，又称期望。 数学期望是离散型随机变量的一个特征数， 它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
期望是随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加，它反 映了随机变量取值的平均水平，与统计中的平均数对比， 现在要乘上概率，内容上做到了升华，体现了由特殊到一 • 般的数学思想。
Z````x```xk
6 4+7 24 8 44 9 22 10 6 8.02 预计平均环数= 100
Y P
6 7 8 9 10 0.04 0.24 0.44 0.22 0.06
•
1、数学期望
若离散型随机变量X的概率分布为
X
P
x1
p1
x2
p2
…
…
பைடு நூலகம்xi
pi
…
…
xn
问：若X为上述离散型随机变量，则Y=aX+b的 分布列怎样？EY呢？ 因为P（Y=axi+b）=P（X=xi），i=1，2，3…n 所以，Y的分布列为 X x1 p1 x2 p2 … xi … xn
Y
高中数学选修2-3精品课件：2.3.1 离散型随机变量的均值
所以X的分布列为
X 10 20 100 －200
P
3 8
3 8
1 8
1 8
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 解 设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝18. 所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P(A1A2A3)＝1－(18)3＝1－5112＝551112. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是551112.
且事件 E 与 F，E 与 F ， E 与 F， E 与 F 都相互独立.
(1)记 H＝{至少有一种新产品研发成功}，则 H ＝ E F ， 于是 P( H )＝P( E )P( F )＝13×25＝125， 故所求的概率为 P(H)＝1－P( H )＝1－125＝1135.
(2) 设 企 业 可 获 利 润 为 X 万 元 ， 则 X 的 可 能 取 值 为
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列.
解 X可能的取值为10,20,100，－200.
根据题意，有 P(X＝10)＝C13×(21)1×(1－21)2＝83， P(X＝20)＝C23×(21)2×(1－21)1＝83， P(X＝100)＝C33×(12)3×(1－12)0＝18， P(X＝－200)＝C03×(21)0×(1－21)3＝81.
1234
现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B 队最后所得总分分别为X，Y. (1)求X，Y的分布列； 解 X的可能取值分别为3,2,1,0. P(X＝3)＝23×25×25＝785，
P(X＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2785， P(X＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25， P(X＝0)＝13×35×35＝235； 根据题意X＋Y＝3，
高中数学选修2-3优质课件：2.3.1 离散型随机变量的均值
2.离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量， 且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也 是随机变量.因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分 布列为
返回
题型探究
重点突破
题型一 利用定义求离散型随机变量的均值 例1 袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一 只红球得2分，取得一只黑球得1分，试求得分X的均值.
反思与感
解析答案
跟踪训练1 某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如 下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目 可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分， 若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分 别为 23，12，13，且三道题目之间相互独立.求某嘉宾在该“猜题”环节中 所得分数的分布列与均值.
课堂小结
1.求离散型随机变量均值的步骤： (1)确定离散型随机变量X的取值； (2)写出分布列，并检查分布列的正确与否； (3)根据公式求出均值. 2.若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一 个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值.
返回
＝1,2,3).现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则E(X)等于( D )
3
A.2
B.2
4
7
C.5
D.5
解析 由题意，可知X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝25，P(X＝1)＝110，P(X＝2)＝15，P(X＝3)＝130. ∴E(X)＝0×25＋1×110＋2×15＋3×130＝75.
人教版高中数学选修2-3课件：2.3.1 离散型随机变量的均值
当堂自测
[答案] A
当堂自测
3.设随机变量X~B(3,0.2),则
E(2X+1)= ( )
A.0.6
B.1.2
C.2.2
D.3.2
[答案] C
[解析] ∵随机变量 X~B(3,0.2),∴E(X)=3×0.2=0.6,∴E(2X+1)=2E(X)+1 =2×0.6+1=2.2,故选C.
当堂自测
故选D. (2)设该学生在这次测验中选对的题数 为X,该学生在这次测验中成绩为Y,则 X~B(20,0.9),Y=5X.由二项分布的均值公
式得E(X)=20×0.9=18.由随机变量均值 的线性性质得E(Y)=E(5X)=5×18=90.
考点类析
考点三 利用随机变量均值的性质解决问题
[导入] 若X是随机变量,且Y=aX+b,其中a,b为常数,试分析随机变量Y的均值E(Y)和E(X) 的关系.
考点一 随机变量X均值定义的应用
ξ012345 P 2x 3x 7x 2x 3x x
[答案] C
考点类析
例2 袋中有4只红球、3只 黑球,现从袋中随机取出4 只球,设取到1只红球得2分, 取得1只黑球得1分,试求得 分X的均值.
X5678 P
考点类析
考点二 两点分布、二项分布的均值
例3 (1)设X~B(40,p),且E(X)=16,则p=
的均值. (2)随机变量的均值是常数,其值不随X的变化而变化.
预习探究
[探究] 随机地抛掷一枚骰子,怎样求向上的点数X的均值?
X123456 P
预习探究
知识点二 离散型随机变量均值的性质
若Y=aX+b(a,b为常数),则E(Y)=E(aX+b)=
人教版高中数学选修2-3《离散型随机变量的均值》(共13张PPT)教育课件
•
•
• 有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
复习巩固
21布..3离列.1散及离型其散随性型的机质随均变机值量变X量的概率分 2.两点分布 3.二项分布
学习目标
1.理解离散型随机变量的均值的含义， 能计算简单离散型随机变量的均值．
2.理解离散型随机变量均值的性质．
3.掌握两点分布、二项分布的均值．
问题引入
某商场要将单价分别为18元/kg，24元 /kg，36元/kg的三种糖果按3:2:1的比例 混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
电
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
–■
电
高中数学人教A版选修2-3课件：2.3.1离散型随机变量的均值
当 X=3 时,表示前 2 次中取得一红球,一白球或黑球,第 3 次取红球, ∴ P(X=3)=
1 2 ������1 2 ������3 ������2
������3 5
=
1 ; 5
2.3.1
问题导学
离散型随机变量的均值
当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
x
2.3.1
问题导学
离散型随机变量的均值
当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
解:由题意知 X 的取值为 2,3,4,5. 当 X=2 时,表示前 2 次取的都是红球, ∴ P(X=2)=
������2 2 ������2 5
=
1 ; 10
预习交流 2
若随机变量 X~B(5,0.3),则 E(X)= 提示:E(X)=5× 0.3=1.5. .
2.3.1
问题导学
离散型随机变量的均值
当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
一、求离散型随机变量的均值(数学期望)
活动与探究 问题:某商场要将单价分别为 18 元/kg、24 元/kg、36 元/kg 的 3 种 糖果按 3∶ 2∶ 1 的比例混合销售,如何对混合糖果定价才合理?
当 X=4 时,表示前 3 次中取得一红球,2 个不是红球,第 4 次取红球, ∴ P(X=4)=
2 3 ������1 2 ������3 ������3
高中数学人教A版选修2-3课件：2-3-1离散型随机变量的均值
离散型随机变量的均值与方差
-1-
2.3.1
离散型随机变量的均值
-2-
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
1.理解离散型随机变量的均值的意义,会根据离散型随机变量的 分布列求出均值. 2.掌握离散型随机变量的均值的性质,掌握两点分布、二项分布 的均值. 3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水 平解决一些相关的实际问题.
M 目标导航
1 2
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Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
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D典例透析
IANLI TOUXI
1.离散型随机变量的均值 (1)一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn
则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数 学期望. (2)离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量 取值的平均水平.
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D典例透析
IANLI TOUXI
2.随机变量的均值与样本平均值有怎样的关系 剖析随机变量的均值与样本的平均值的关系:随机变量的均值是 一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本平均值是一个随机变量, 它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机抽样,随着样本容量的 增加,样本平均值越来越接近于总体的均值.
选修2-3第二章2-3-1离散型随机变量的均值
则E(X)＝p＝0.6. (2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布， 即Y～B(5，0.6)．则E(Y)＝np＝5×0.6＝3. 规律方法 此类题的解法一般分两步：一是先判断随机变 量服从两点分布还是二项分布；二是代入两点分布或二项 分布的均值公式计算均值．
课前探究学习
加，样本平均值越来越接近于总体均值．
2． 两点分布与二项分布的均值 X X服从两点分布 X～B(n，p) np ___
课堂讲练互动 活页规范训练
E(X)
p (p为成功概率) __
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试一试：若某人投篮的命中率为0.8，那么他投篮10次一
定会进8个球吗？ 提示 某人投篮的命中率为0.8，是通过大量重复的试验 来推断出来的一个均值．由于每次试验是相互独立的，投 一次可能成功，也可能失败．也就是说投篮10次可能一个
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课堂讲练互动
活页规范训练
题型一
利用定义求离散型随机变量的数学期望
【例1】 袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只 球，设取到一只红球得2分，取得一只黑球得1分，试求得 分X的数学期望． [思路探索] 先分析得分的所有取值情况，再求分布列，代 入公式即可．
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课堂讲练互动
X P
5
4 35
6 18 35
7 12 35
8 1 35
4 18 12 1 44 ∴E(X)＝5× ＋6× ＋7× ＋8× ＝ (分)． 35 35 35 35 7
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课堂讲练互动
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规律方法
求数学期望的步骤是：(1)明确随机变量的取
值，以及取每个值的试验结果；(2)求出随机变量取各个 值的概率；(3)列出分布列；(4)利用数学期望公式进行计 算．
人教A版高中数学选修2-3课件2.3.1离散型随机变量的均值
练习二
1.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从 中同时取2个，则其中含红球个数的数学期望是 . 1.2 2.（1）若 E(X)=4.5,则 E(－X)=. -4.5 0 （2）E(X－EX)=. 3. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0 分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次 的得分X的期望为．0.7 (详细解答过程见课本例1) 这是一个特殊的二项分布的随机变量的期望 ,那么一 般地 ,若X~B(n，p)，则EX=?
ax1 b ax2 b
E (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn ) aE b 即 E (a b) aE b
所以,总环数约等于 （4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22)× 100.
故100次射击的平均环数约等于 4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22=8.32. 一般地
一般地： 对任一射手,若已知他的所得环数X的分布列， 即已知P( X i )(i 0,1,2, ,10), 则可以预计他任意n次射 0 P( X 0) 1 P( X 1) 10 P( X 10) 击的平均环数是 记为E(X) 我们称E(X)为此射手射击所得环数的期望，它刻画了所
结论2：若X~B(n，p)，则E(X)= np
01… k… n
X
P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0 证明：因为P(X=k)= Cnkpkqn-k (∵ k Cnk =nCn-1k-1) 所以E(X) =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 + …+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0 =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … +
人教A版高中数学选修2-3课件：2.3.1离散型随机变量的均值
的概率是P（X=k）=（0k.8=51，k12， …0.1,95） P（X=10）=0.859 1
1、离散型随机变量均值的定义 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn EX x1 p1 x2则p称2 为随机x变i p量i xn pn
X
1
100
P
0.01 0.99
①求X可能取值的算术50.5 2
(2)EX 1 0.01 100 0.99 99.01
练习2
随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子
你能的归点纳求数离X的散型均随值机变量均值的步骤吗?
解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6
其分布列为 X
1
2
3
4
5
P
1/6 你1能/6理解31.5/6 1/6 1/6
所以随机变量X的均值的为含E义X吗=？1×1/6+2×1/6
+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6=3.5
步骤：(1)确定离散型随机变量的取值。 (2)写出分布列，并检查分布列的正确与否。 (3)求出期望。
练习3
小结
X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。
2、求离散型随机变量期望的步骤。 (1)确定离散型随机变量的取值。 (2)写出分布列，并检查分布列的正确与否。 (3)求出期望。
3、随机变量的均值与样本的平均值的联系与区别
思考题
• 目前由于各种原因，许多人选择租车代步，租车 行业生意十分兴隆，但由于租车者以新手居多， 车辆受损事故频频发生。据统计，一年中一辆车 受损的概率为0.03。现保险公司拟开设一年期租车 保险,一辆车一年的保费为1000元,若在一年内该车 受损,则保险公司需赔偿3000元。
人教A版高中数学选修2-3第二章2.3.1离散型随机变量的均值课件(共38张PPT)
某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的三种糖果按3：2：1的比例混合 ，如何对混合糖果定价才合理？
概念. 7，P(X=0)=0.
(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式； （2）两点分布的期望：Eξ=p. 于是有 （2）会计算简单的离散型随机变量的均值，并解决一些实际问题. （1）理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；
情感、态度与价值观
承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体 现数学的文化功能与人文价值.
教学重难点
（1）某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0. （Ⅱ）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).
离散型随机变量的均值或期望的 学生甲选对任一题的概率为0.
如果X~B(n，p)，那么由kCnk=nCn-1k-1，可得
n
E(X)=∑kCnkpkqn-k kn=0 =∑ npCn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) k=1 n-1 =np∑Cn-1kpkqn-1-k k=0
=np
于是有 若X~B(n，p)，则E(X)=np.
例题4
一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选 ξ～B(20，0.
E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90， E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．
例题5
某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不 超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km， 则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按 lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为 15km．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送 旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转 换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是 一个随机变量．设他所收租车费为η.
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p
；
，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的
接近
增加，样本的平均值越来越
于总体的均值．
1 1．若随机变量X服从二项分布B4，3，则E(X)的值为________.
【导学号：29472067】
1 4 【解析】 E(X)＝np＝4×3＝3. 4 【答案】 3
【解析】 ①错误，随机变量的数学期望E(X)是个常量，是随机变量X本身 固有的一个数字特征．②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水 平．③正确，由均值的性质可知．④错误，因为E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
【答案】 ③
2．已知离散型随机变量X的分布列为： X 1 2 3 3 3 1 P 5 10 10 则X的数学期望E(X)＝________.
平均水平
．
3．性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随 机变量，且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b .
1．下列说法正确的有________．(填序号) ①随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化； ②随机变量的均值反映样本的平均水平； ③若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4； x1＋x2＋…＋xn ④随机变量X的均值E(X)＝ . n
1．常见的两种分布的均值 设p为一次试验中成功的概率，则 (1)两点分布E(X)＝p； (2)二项分布E(X)＝np. 熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．
2．两点分布与二项分布辨析 (1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生． (2)不同点： ①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变 量的取值x＝0,1,2，…，n.进行n次试验．
【精彩点拨】 (1)利用两点分布求解．(2)利用二项分布的数学期望公式求 解．
【自主解答】 (1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表： X 0 则E(X)＝0.6. (2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y) ＝np＝5×0.6＝3. 1
P 0.4 0.6
【答案】 B
XXX 离散型随机变量的均值公式及性质
已知随机变量X的分布列如下： X －2 －1 0 1 2 1 P 4 (1)求m的值； (2)求E(X)； (3)若Y＝2X－3，求E(Y)． 1 1 1 m 3 5 20
【精彩点拨】 (1)利用分布列的性质求m； (2)利用离散型随机变量的均值公式求解； (3)利用离散型随机变量均值的性质求解．
[再练一题] 1．某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种
子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X，则X的数学 期望为( A．100 C．300 ) B．200 D．400
【解析】 由题意可知，补种的种子数记为X，X服从二项分布，即X～B(1 000,0.1)， 所以不发芽种子的数学期望为1 000×0.1＝100. 所以补种的种子数的数学期望为2×100＝200.
1 1 1 1 【自主解答】 (1)由随机变量分布列的性质，得4＋3＋5＋m＋20＝1， 1 解得m＝6. 1 1 1 1 1 17 (2)E(X)＝(－2)×4＋(－1)×3＋0×5＋1×6＋2×20＝－30. (3)法一：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝
17 62 E(2X－3)＝2E(X)－3＝2× －30 －3＝－15.
3 6 3 3 【解析】 每一次摸得红球的概率为 10 ＝ 5 ，由X～B 4，5 ，则E(X)＝4× 5 ＝
12 5.
12 【答案】 5
[小组合作型]
两点分布与二项分布的均值
某运动员投篮命中率为p＝0.6. (1)求投篮1次时命中次数X的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望．
2．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的 概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是________．
【解析】 因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝ 0.8.
【答案】 0.8
3．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续 摸取4次，设X是取得红球的次数， 则E(X)＝________.
[基础· 初探] 教材整理1 离散型随机变量的均值
阅读教材P60～P61例1，完成下列问题． 1．定义：若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
则称E(X)＝
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
为随机变量X的均值或数学期望．
2．意义：它反映了离散型随机变量取值的
阶 段 一
阶 段 三
2.3 离散型随机变量的均值与方差
2.3.1 离散型随机变量的均值
阶 段 二 学 业 分 层 测 评
1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分 布列求出均值．(重点) 2．掌握两点分布、二项分布的均值．(重点) 3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点)
法二：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下： Y －7 －5 －3 －1 1 1 P 4 1 3 1 5 1 1 6 20
3 3 1 3 【解析】 E(X)＝1×5＋2×10＋3×10＝2. 3 【答案】 2
3．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________.
【解析】 E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35. 【答案】 35
教材整理2 两点分布与二项分布的均值 阅读教材P62～P63，完成下列问题． 1．两点分布和二项分布的均值 (1)若X服从两点分布，则E(X)＝ (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝ np . 2．随机变量的均值与样本平均值的关系 随机变量的均值是一个 个