同济大学高等数学课件曲面积分

→ → → → →
在Σ上有界, e n ( x , y , z )是有向曲面 Σ上点( x , y , z )处 的单位法向量, 如果积分
→ →
∫∫ [F ( x, y, z ) ⋅ e n ( x , y, z )]dS
Σ
存在, 则称此积分为 向量值函数 F ( x , y , z )在有向 曲面上沿指定侧的第二类曲面积分, 记为
∫∫ P ( x , y, z ) dydz + Q( x , y, z )dzdx + R( x , y, z )dxdy
Σ
= ∫∫ [ P ( x, y, z ) cos α + Q( x, y, z ) cos β + R( x, y, z ) cos γ ]dS
Σ
即
其中 e n ( x , y , z ) = (cos α , cos β , cos γ )是有向曲面 Σ 上点( x , y , z )处的单位法向量 .
的夹角. 注意: 投影有正负之分. 类似可以给出有向曲面在其它坐标面上的投影.
4. 引例 流向曲面一侧的流量 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
→
v = ( P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z ))
求单位时间流过有向曲面 ∑ 的流量Φ. (假定密度为1) r (1) 若 ∑ 是面积为S 的平面域, 注. v 与 t无关： → θ 单位法向量： e n 稳定流动； ρ S 常数： = 流速为常向量 → v 不可压缩流体. 则单位时间内流量为
→
∫∫ F ( x , y, z ) ⋅ dS
Σ →
→
→
= ∫∫ [ F ( x , y , z ) ⋅
Σ
→
→ e n ( x , y , z )]dS
注 1º 第二类曲面积分的其他表达形式 则 (1) 若记 e n ( x , y , z ) = cos α i + cos β j + cos γ k ， → → r F (( x ,yy , z ) ⋅drn ( x , y , z ) dS ∫∫ F x , , z ) ⋅ eS
)
→
en = ± (
1 , , 1 + z2 + z2 1 + z2 + z2 1 + z2 + z2 x y x y x y 1 + z2 + z2 x y
− zx
− zy
)
cos γ = 1
取曲面的上侧
根据第一类曲面积分的计算方法，有
∫∫ R( x , y, z ) d x d y = ∫∫ R( x , y, z ) cos γ d S Σ
i =1 n →
→
r eni (ξ i ,ηi , ζ i ) •
vi
= ∫∫ v ( x , y , z ) ⋅ e n ( x , y , z ) d S
Σ
→
→
ΔΣ i
5. 定义 10.5 设Σ是分片光滑的有向曲面, 向量值函数
F( x, y, z) = P( x, y, z) i + Q( x, y, z) j + R( x, y, z) k
Σ
+ [ f ( x , y , z ) + z ]d x d y
其中 f 为连续函数， Σ 是平面 x − y + z = 1 在第四卦限部分的上侧 .
解
Σ 的法向量： n = {1 , − 1 , 1 }
→
→
+
上侧
单位法向量： e n
1 1 1 ={ ,− , } 3 3 3
1 1 ∴ cos α = cos γ = , cos β = − 3 3
∫∫ z d x d y = 0
但注意：
∫∫ z d S ≠ 0
Σ
若 4º 存在性： F ( x , y , z ), y, z ) ⋅ dS
Σ
→
→
存在.
5º 记号 ∫∫ 表示封闭曲面上的积分 ；
Σ
6° 以流速 v = ( P , Q , R ), 通过 Σ 流向 n 指定侧
= ∫∫ [ P( x, y, z ) cosα + Q( x, y, z ) cos β + R( x, y, z ) cosγ ]d S
Σ
Σ → → →
= ∫∫ P ( x , y , z ) cos α dS + ∫∫ Q( x , y , z ) cos β dS rΣ r r r Σ F ( x , +, z ) R (P (, x ,, y ,)z )i +d S( x , y , z ) j + R( x , y , z )k y = x y z cos γ Q ∫∫
因此第二类曲面积分又记为
( 2)
∫∫ Σ F ( x , y, z ) ⋅ dS
Σ
→
→
= ∫∫ P ( x , y , z ) dydz + Q( x , y , z ) dzdx + R( x , y , z ) dxdy
2º 投影转换关系
∫∫ Σ F ( x , y, z ) ⋅ dS = ∫∫ Σ [F ( x , y, z ) ⋅
v
r en
斜柱体的体积：
→
Φ = S ⋅ | v | cos θ = S v ⋅ e
(2) 若∑为有向曲面∑ ,
→
→
→ n
θ
r v
r en
S
流速：v = ( P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )) “分割, 近似, 求和, 取极限”
Φ = lim ∑ v i ⋅ e n i ΔS i ΔΦ i ≈ λ→ 0
z = z ( x , y )在 D xy 上具有一阶
连续偏导数，R( x , y , z )在Σ上连续.
曲面z = z ( x , y )的单位法向量为 − zy → − zx 1 en = ± ( , , 2 + z2 2 + z2 1 + z2 + z2 1 + zx 1 + zx y y x y
∫∫ 1 d S
Σ
r n
•
x− y+z=1
y
6 1 1 1 = ⋅ ⋅ 2⋅ = 2 2 3 2
(0,−1,0)
•
O
x (1,0,0)
•
三、第二类曲面积分的计算法
基本思路: 求曲面积分
Σ
转化
计算二重积分
情形1 需求：∫∫ R( x , y , z ) d x d y = ? 若 Σ: z = z ( x , y ), 上侧，Σ在xOy面上的 投影区域为 D xy ,
r∧ 右侧 : β = ( n , 轴 y ) 为锐角, cos β > 0 (∀P ∈ Σ ); r∧ 左侧 : β = ( n , 轴 y ) 为钝角 , cos β < 0 ( ∀ P ∈ Σ ).
O
x
y
3 ) 前、后侧 若 Σ：x = x ( y , z ) r∧ 前侧 : α = ( n , 轴 x ) 为锐角, cos α > 0 (∀P ∈ Σ ); (< ) (后) (钝)
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
2. 曲面的侧与有向曲面 对于双侧曲面，其侧可用曲面法向量的指向 来确定. 决定了侧的曲面称为有向曲面.
( 1 ) 闭曲面的侧
设 Σ 为闭曲面 r 法向量 n 指向 Σ的里面； 内侧： r 外侧： 法向量 n 指向 Σ的外面 .
( 2 ) 非闭曲面的侧
1 ) 上、下侧
若 Σ：z = z ( x , y )
r∧ 上侧 : γ = ( n , 轴 z ) 为锐角, cos γ > 0 (∀P ∈ Σ ); r∧ 下侧 : γ = ( n , 轴 z ) 为钝角, cos γ < 0 (∀P ∈ Σ ). z
x
O
y
2 ) 左、右侧
z
若 Σ：y = y( x , z )
⇒ dS =
→ → e n ( x , y , z ) dS
→
→
→
→ e n ( x , y , z )]dS
r 与 en同方向 —— 有向曲面元
→
= ( cos α dS , cos β dS , cos γ dS )
有向曲面元 dS ⎧d y d z = cosα d S = d S cos α 于是 ⎪ d z d x = cos β d S 分别在 x 轴、 ⎨ = d S cos β y 轴、z 轴上的 ⎪ ⎩ d x d y = cos γ d S → d S cos γ → → = → 投影 e n ( x , y , z ) = cos α i + cos β j + cos γ k
I = ∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) d S 1 1 1 = ∫∫[( f + x) ⋅ + (2 f + y) ⋅ (− ) + ( f + z) ⋅ ]d S 3 3 3 Σ z 1 = ∫∫ ( x − y + z)d S 3 (0,0,1)
Σ
Σ
1 = 3
Σ
= =
D xy
∫∫ R[ x, y, z( x, y )] ⋅
1
1+
2 zx
+
2 zy
⋅ 1 + z2 + z2 d x d y x y
D xy
∫∫ R[ x, y, z( x , y )]d x d y