4.3.3.2 余角和补角(第2课时)学案设计

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人教版数学七上 4.3.3 余角和补角教案设计

余角和补角的概念和性质
余角和补角的性质及简单推理自主探究、合作交流、讲练结合
教具
常规教具多媒体
教学过程（师生活动）
设计理念
一、创设情境得出定义
创设情境
在得出定义时
通过前面的学习，我们已经了解了一个简单的图形中角的和师生互动，让
差倍分关系，并能用几何符号语言描述它们的数量关系，今天我学生观察、体
互补：如果两个角的和等于 180°(平角)，就说这两个角互为补对于第 2 题教 1/3
人教版数学七上 4.3.3 余角和补角教案设计
角，即其中一个角是另一个角的补角。练习：找朋友（找出互余、互补的角）
师应注意引导学生善于总结
二、自主探三、巩固练习
55° 71°
32°13′
X
∠α的余角
∠α的补角
在练习中归纳总结：
探究性质设计意图：由学生经历观察猜想验证交流归纳等活动，培养学生与人合作、与人交流、自主探究的能力。得出性质时教师让学生独立思考问题，让学生大胆发言说出自己的思路。最后教师出示推理过程。
同一个锐角的补角比它的余角大 90°
会互为余角的们继续探究一类角的特殊数量关系。（板书：4.3.3 余角和补角）特征，让学生
一、定义
讨论交流总
结。培养学生为了揭示余角的本质特征,课件看比萨斜塔，∠1+∠2＝90°，与人交流的能
力锻炼学生的得出互余的定义。再给出如图的角∠AOB＝90°然后通过用剪刀观察能力及语
言表达能力。剪角，将∠1、∠2 分离，由于∠1、∠2 的大小没有变化，让学生重点强调互余
通过找余角与补角巩固余角与补角的定义，通过提问角是否相等巩固余角的性质

《余角和补角》第二课时教学设计

《余角和补角》第二课时教学设计一、教材分析：1．教学目标、重点、难点教学目标：（1）掌握余角和补角的性质及几何语言的表示方法.（2）掌握方位角的有关知识.重点：余角和补角的性质.难点：余角和补角的性质.2．认知难点与突破方法.学生的认知难点是余角和补角的性质.突破方法是引导学生通过对一个例题的研究，探究出余角和补角的性质，并用几何语言表示，加深对性质的理解，再设计一些练习题，使学生在应用中牢固掌握性质.3．例、习题意图教材139页例1通过请学生观察图形，根据互补的定义，及等式的性质、等量代换做出推理，探究出补角的性质，再类比探究出余角的性质；随堂练习1（补充）使学生在应用中掌握余角、补角的性质.教材139页例2、随堂练习2（补充）和习题3.4第7题使学生掌握方位角的有关知识，学会用方位角表示物体的方位.习题3.4第9题是方位角在航海上的应用，表明方位角不仅能确定方向，用两个方位角还能确定物体的位置.二、新课引入：1、复习余角、补角的定义、表示法.2、解答题：①30°的角的余角是多少度？补角是多少度？150°的角的补角是多少度？②一个角的余角与它相等，这个角是多少度？③一个角的补角是它余角的4倍，这个角是多少度？说明：复习上节知识，为新知的学习做好必要的准备.三、例题讲解例1、（教材139页例1）说明：请学生观察图形，根据互补的定义，及等式的性质、等量代换做出推理，探究出补角的性质，再类比探究出余角的性质：2143321ABCEO图1 图2等角（或同角）的补角相等.如图1，如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，那么∠2=∠4. 等角（或同角）的余角相等.如图2，如果∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，那么∠1=∠2. 例2、（教材139页例2）说明：1、本例的表示方法经常用来表示对象所处的方位，如果再加上长度，就能确定物体的位置，这为学生将来学习极坐标打下基础.2、确定哪是观测点，过观测点画两条互相垂直的直线，得到四条射线分别表示东、南、西、北四个方向.3、用量角器画题中的射线要注意：总是以正南或正北方向作角的始边，还要分清东、南、西、北，理解偏东、偏西的意义.四、随堂练习： 1、（补充）填空：（1）∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，若∠1=62°，则∠3=____° （2）如图3，直线AB 与CD 相交于点O ，∠1=35°，则∠2=_____°. 分析：∠1与∠2都是∠AOD （或∠COB ）的补角，所以这两角相等. （3）如图4，EO 是OD 的反向延长线，∠BOD=90°，∠AOC=90°，则图中有_____对互余的角，分别是____________；有_____对相等的角，分别是_____________.分析：互余的两角不见得必有公共顶点和公共边，不能漏掉∠AOE 与∠COD ；三个直角两两相等，就得三对相等的角，根据同角的余角相等，又得两对相等的角，所以相等的角共有5对.21DCBAOEDCBA O图3 图4答案：（1）62. （2）35.（3）4；∠AOE 与∠AOB ；∠AOB 与∠BOC ；∠BOC 与∠COD ；∠AOE 与∠COD ；5；∠BOE 与∠BOD ；∠BOE 与∠AOC ；∠AOC 与∠BOD ；∠AOE 与∠BOC ；∠AOB 与∠COD.2、（补充）选择题（1）如图5，学校B 在小明家A 的北偏东30°方向，那么小明家A 相对学校B 的位置，下列说法正确的是（）A 南偏西60°B 西偏南60°C 北偏东30°D 南偏东30°B学校60︒ã30︒ãA小明家图5答案：B注意：两个方位角的观测点是不同的.（2）一艘轮船从点A出发，沿南偏西60°方向航行到B点，再从B点出发沿北偏东15°方向航行到C点，则∠ABC=（）A 45°B 75°C 105°D 135°注意：依题意画出方位图，注意第一个观测点是A，第二个观测点是B.答案：A五、小结1、掌握余角和补角的性质及几何语言的表示方法，并会用于说理.2、掌握方位角的有关知识.六、课后作业1、教材139页练习1、2.2、习题3.4第7、9题.3、区目标检测的同步练习.。

余角和补角教案

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来参考自己需要的教案吧！下面是小编为大家整理的余角和补角教案，希望对大家有所帮助。

余角和补角教案1[教学目标]1、在具体情境中认识余角和补角的概念，并会运用解题；2、经历观察、操作、探究、推理、交流等活动，发展学生的空间观念，培养学生的推理能力和有条理的表达能力；3、体验数学知识的发生、发展过程，敢于面对数学活动中的困难，建立学好数学的信心。

[教学重点与难点]1、教学重点：互为余角、互为补角的概念；2、教学难点：应用方程的思想解决有关余角和补角的问题。

[教学准备]多媒体课件、纸板、三角尺[教学过程]一、情境引入1、带领同学们领略意大利的比萨斜塔的壮观景象，并思考：斜塔与地面所成的角度和它与竖直方向所成的角度相加为多少度？（课件演示）2、（动手操作1）拿出一个直角纸板，将直角剪成两个角，∠1和∠2，问：∠1和∠2的和为多少度呢？∠1+∠2=90°，我们把具有这种关系的∠1、∠2称为互余，其中∠1叫做∠2的余角，∠2叫做∠1的余角。

请同学们根据老师的演示试着说出余角的定义。

（设计意图：通过比萨斜塔的现实情境和剪纸这一实际操作引出余角概念，既调起学生的兴趣，又直观易懂。

）二、新知探究1、余角的定义：如果两个角的和为90°（直角），我们就称这两个角互为余角，简称互余。

2、（动手操作2）（1）拿出和的两个角的纸板拼成一个直角，问：“这两个角互余吗？”把其中一个角移开，“这两个角还互余吗？”注意事项1：两角互余只与度数有关，与位置无关。

七年级数学上册4.3.3余角和补角教案(新版)新人教版 (2)

余角和补角一、教学目标1．理解互为余角、互为补角的定义．2．掌握有关补角和余角的性质．3．应用以上知识点解决有关计算和简单推理问题．4．通过有关余角、补角性质的推导，初步培养学生逻辑思维和推理能力．5．通过互余、互补角性质的推导，说明事物之间具有普遍的联系性．二、重点·难点（一）重点互为余角、互为补角的角的概念及有关余角、补角的性质．（二）难点有关余角和有关补角性质的推导．三、教学步骤（一）教学过程(第一课时)创设情境，引入课题师：上节课，我们学习了度量，认识了平角和直角，下面请看投影显示图形，见图1及图2：教师演示：在以上两个图形的基础上，利用电脑（或投影），分别过两个角的顶点作活动射线，任意改变射线位置，让学生观察，如下图1及图2：提出问题：射线把平角，直角分别分成了几个角？它们的度数关系如何？（学生容易答出：分成两个角，，．）教师演示：把射线固定一个位置不动，然后把两个图形中的角保持大小不变，拉开，如图1及图2（或拉开更远些，多变换几种位置）．提出问题：与的和还是吗？与的和还是吗？根据学生回答，教师肯定结论：不论、、、的位置关系如何变化，只要大小不变，与的和永远是平角，与的和永远是直角．像这样具有特殊关系的角，我们分别叫它们互为补角和互为余角．这就是我们要学习的角的度量一节中又一新知识．探究新知1．互为余角、互为补角的定义提出问题：你能根据前面老师的演示和说明，叙述一下具有什么关系的两个角叫互为余角和互为补角吗？［板书］互为余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫互为余角．其中一个角叫做另一个角的余角．互为补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角．2．提出问题，理解定义．（投影显示）（1）以上定义中的“互为”是什么意思？（2）若，那么互为补角吗？（3）互为余角、互为补角的两个角是否一定有公共顶点？反馈练习：投影显示教学例1,2(见课件)2．有关互余、互补角的性质师：通过以上练习，我们对互余、互补角的概念有了较深刻的理解，下面我们提出一个新问题，看你们能否解决．投影出示：教师边引导学生叙述边板书出较规范的格式：［板书］∵与互补，∴即．∵与互补，∴即．∵，∴．［板书］同角或等角的补角相等．∵，，∴．提出问题：与互余，与互余，若，那么等于吗？为什么？你由此问题又能得出什么结论？［板书］同角或等角的余角相等．∵，，∴．师：有关余角和补角的性质很有用，以后遇到有同角（或等角）的补角就可以根据这个性质，知道它们都相等．四、布置作业课本P139：第6题（书）P140：第10题（作业本）。

人教版七年级数学上册4.3.3余角和补角2教案设计

余角和补角教课目的 :1.在详细情境中认识余角与补角,懂得等角的余角相等,等角的补角相等,并能运用这些性质解决一些简单的实质问题.2..理解方向角的意义,掌握方向角的鉴别与应用.教课重难点:余角与补角的性质，方向角的鉴别与应用,.教课过程 :一、提出问题用量角度量出图中的两个角的度数,并求出这两个角的和.说出一副三角尺中各个角的度数.二、研究新知1.余角与补角的观点在一副三角尺中,每块都有一个角是90度 ,而其余两个角的和是90 度 .一般状况下 ,假如两个角的和等于 90度 (直角 ), 我们就说这两个角互为余角,即此中每一个角是另一个角的余角.比如 ,∠1与∠2互为余角 ,∠1是∠2的余角 ,∠2也是∠1的余角 .相同 ,假如两个角的和等于180度 (平角 ),就说这两个角互为补角,即此中一个角是另一个角的补角 .2.余角与补角的性质问题 1:假如∠1与∠2互余 ,∠3与∠4互余 ,而且∠1=∠3,那么∠ 2与∠4相等吗 ?为何 ?问题 2:假如∠1与∠2互补 ,∠3与∠4互补 ,而且∠1=∠3,那么∠ 2与∠4相等吗 ?为何 ?学生疏组议论、沟通,说出各自的原因,最后师生共同概括余角与补角的性质:等角 (同角 )的余角相等 ;等角 ( 同角 )的补角相等 .三、稳固新知【例 1】比一比 ,看谁填得快 .角αα的余角α的补角5°30°42°54°62°23'78°23'8″【例 2】已知一个角的补角是这个角的余角的3倍 ,求这个角 .一、提出问题海上 ,缉私艇发现离它500海里处停着一艘可疑船只( 如图 ),立刻赶往检查.现请你确立缉私艇的航线 ,画出表示图 .·A可疑船B·缉私艇先分组议论,再由各组代表登台在黑板上展现并描绘本组议论的路线图.二、研究新知在航行、测绘等工作以及生活中,我们常常会遇到上述近似问题,即怎样描绘一个物体的方向.让学生回想学过的描绘方法,师生共同商讨解决问题的方法.不停挪动可疑船的地点,让学生描绘缉私艇的航线,研究解决问题的规律.方向的表示往常用“北偏东多少度”、“北偏西多少度”或许“南偏东多少度”、“南偏西多少度”来表示 . “北偏东 45度”、“北偏西 45度 " 、“南偏东 45度”、“南偏西 45度”,分别称为“东北方向”、“西北方向”东,“南方向”、“西南方向”.三、稳固新知出示课本 P138例 4,由学生独立达成.说明 :用量角器画射线要注意两点:一是先从正南或正北方向作角的始边,二要分清东南西北,理解偏东、偏西的意义.四、解决问题灯塔 A 在灯塔 B的南偏西 30°,A 、B 两灯塔相距 20 海里 ,现有一艘轮船C在灯塔 B的正北方向、灯塔 A 的北偏东 60°方向.试绘图确立轮船的地点(每 10海里用 1厘米长的线段表示).总结概括 ,指引学生议论本节课所学知识以及需要注意的问题.五、课时小结师生共同概括本节课所学知识.六、讲堂作业1.电视塔在学校的东北方向,那么试确立学校在电视塔的方向.2.已知点 O在点 A的南偏东 30°方向,那么 ,点 A 应在点 O的()A. 南偏东 60°方向B. 北偏东 30°方向C.北偏西 60°方向D.北偏西 30°方向3.学校、公园和商铺在平面图上的表示分别是 A 、B 、C三点 .若公园在学校的南偏西30°,商铺在学校的北偏东45°,请画出图形 ,并求∠ BAC.。

3.4.2 余角和补角教案

书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
今天的努力是为了明天的幸福3.4.2 余角和补角教案
以下是为您推荐的3.4.2 余角和补角教案，希望本篇文章对您学习有所帮助。

3.4.2 余角和补角
一、课题：3.4.2 余角和补角
二、学习目标：
㈠知识与技能：
1.在具体情境中了解余角和补角，懂得等角或同角的补角相等、等角或同
角的余角相等;
2.并能运用这些性质解决一些简单的实际问题。

㈡过程与方法：
经历观察、推理、交流等活动，发展学生的图形观念，培养学生的推理能
力和有条理的表达能力。

㈢情感态度与价值观：
1.体验数学知识来源于生活，又能运用于生活，解决生活中的一些实际问题;
2.使学生体会几何图形的动态美，通过性质的推导，使学生初步领略几何
逻辑推理的严密美.
三、教学重难点：
重点：互为余角、互为补角的概念及有关余角、补角的性质;
难点：有关余角和有关补角性质的推导和运用。

四、教学方法：演示法、观察法、小组合作与交流讨论法。

五、课时与课型：。

《4.3.3余角和补角》作业设计方案-初中数学人教版12七年级上册

《4.3.3 余角和补角》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《4.3.3 余角和补角》的学习，使学生能够理解余角和补角的定义及性质，掌握判断余角和补角的方法，并能够运用这些知识解决实际问题。

通过作业的练习，加深学生对余角和补角知识的理解和应用。

二、作业内容1. 基础概念理解：要求学生复习余角和补角的定义，明确两角互为余角或补角的条件，理解同旁内角互补的几何性质。

2. 判断练习：设计一系列判断题，让学生判断给出的两个角是否互为余角或补角，并说明理由。

3. 计算题：设计不同难度的计算题，如已知两角互为余角或补角，求其中一个角的度数等。

4. 实际问题应用：结合生活中的实际情境，设计几个应用题，如建筑角度测量、画图时使用直角等，要求学生运用余角和补角的知识解决实际问题。

5. 思考题：设计一些开放性问题，引导学生进行思考和探索，如“你能找出哪些特殊的三角形具有余角或补角的性质？”等。

三、作业要求1. 要求学生独立完成作业，不得抄袭他人答案。

2. 要求学生仔细审题，理解题目要求，按照题目要求进行作答。

3. 要求学生字迹工整，答题规范，注明解题步骤和答案。

4. 鼓励学生运用所学知识解决实际问题，提高解决问题的能力。

四、作业评价1. 教师根据学生完成情况进行评价，对学生的正确答案给予肯定和鼓励。

2. 对于学生解题过程中的错误进行纠正和指导，帮助学生找出错误原因并改正。

3. 对学生的解题思路和解题方法进行评价，引导学生掌握正确的解题方法和思路。

五、作业反馈1. 教师及时将作业批改结果反馈给学生，让学生了解自己的错误和不足。

2. 对于普遍存在的问题进行集体讲解和指导，帮助学生解决疑惑。

3. 鼓励学生相互交流学习，分享解题经验和思路。

4. 对于表现优秀的学生给予表扬和鼓励，激发学生的学习积极性和自信心。

通过以上作业设计，旨在全面、系统地提高学生的数学思维能力、计算能力和实际应用能力。

在掌握基础知识的同时，更注重学生解题方法和思路的培养，让学生能够更好地理解和应用余角和补角的知识。

人教版七年级数学上册4.3.3.2《余角和补角(第2课时)》教学设计

人教版七年级数学上册4.3.3.2《余角和补角(第2课时)》教学设计一. 教材分析人教版七年级数学上册4.3.3.2《余角和补角(第2课时)》这一节内容是在学生已经掌握了角的概念、分类以及度量的基础上进行教学的。

本节课主要介绍余角和补角的概念，以及如何求一个角的余角和补角。

通过本节课的学习，使学生能够理解余角和补角的概念，掌握求一个角的余角和补角的方法，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于角的概念、分类以及度量已经有所了解。

但是，对于余角和补角的概念以及求法可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际问题，引导学生理解和掌握余角和补角的概念和求法。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解余角和补角的概念，掌握求一个角的余角和补角的方法。

2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生抽象、概括的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极参与数学活动的态度。

四. 教学重难点1.教学重点：余角和补角的概念，求一个角的余角和补角的方法。

2.教学难点：余角和补角的概念的理解和应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过具体的问题和实际例子，引导学生理解和掌握余角和补角的概念和求法。

2.互动教学法：通过小组讨论和交流，引导学生主动参与学习，培养学生的合作能力和交流能力。

3.实践操作法：通过实际操作和练习，使学生能够熟练掌握求一个角的余角和补角的方法。

六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2.学具：练习本、尺子、量角器。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出本节课的内容：在三角形ABC中，已知∠A=30°，求∠B 的补角和余角。

2.呈现（10分钟）讲解余角和补角的概念，以及求一个角的余角和补角的方法。

通过具体的例子和实际问题，使学生理解和掌握余角和补角的概念和求法。

3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师巡回指导。

七年级(人教版)集体备课教案：4.3.3 《余角和补角》

七年级（人教版）集体备课教案：4.3.3 《余角和补角》一. 教材分析《余角和补角》这一节的内容，主要出现在人教版七年级数学教科书第三章“角”的一部分。

本节内容是在学生已经掌握了角度制、角的分类等基础知识之后进行教授的，旨在让学生了解和掌握余角和补角的概念，并能够运用它们解决一些实际问题。

教材通过例题和练习，帮助学生理解和掌握余角和补角的性质和计算方法，为学生今后的数学学习打下坚实的基础。

二. 学情分析在进入七年级之前，学生已经学习了一定的数学知识，包括基本的算术、几何等。

但是，对于余角和补角这样的概念，他们可能是第一次接触，因此需要通过具体的例子和实际操作来理解和掌握。

此外，学生的学习习惯和思维方式也会影响他们对这一节内容的理解和掌握。

三. 教学目标通过本节课的学习，学生能够理解余角和补角的概念，掌握它们的性质和计算方法，并能够运用它们解决一些实际问题。

同时，通过小组合作和讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

四. 教学重难点本节课的重点是让学生理解和掌握余角和补角的概念，以及它们的性质和计算方法。

难点在于如何让学生理解和接受余角和补角这样的抽象概念，并能够灵活运用它们解决实际问题。

五. 教学方法在本节课的教学过程中，我将采用讲授法、例题解析法、小组合作法、问题解决法等教学方法。

通过讲解和示例，让学生理解和掌握余角和补角的概念；通过小组合作和讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力；通过问题解决，激发学生的学习兴趣和思考能力。

六. 教学准备为了保证课堂教学的顺利进行，我需要准备一些教学工具和材料，包括PPT、教科书、黑板、粉笔等。

此外，我还需要准备一些例题和练习题，以便学生在课堂上进行操练和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出余角和补角的概念。

例如，可以出一个实际问题：在平面直角坐标系中，点A(2,3)和点B(-3,2)之间的线段AB的倾斜角是多少？通过解决这个问题，让学生初步接触和理解余角和补角的概念。

人教版七年级上册4.3.3余角和补角教学设计

人教版七年级上册4.3.3余角和补角教学设计
一. 教学目标
1.知识目标：学生能够准确理解余角和补角的概念，掌握计算余角和补
角的方法，能够解决相关的几何问题。

2.能力目标：培养学生观察和分析几何图形的能力，加强他们的数学计
算和推理能力，发展他们的思维逻辑能力。

3.情感目标：在学习过程中培养学生自信心和探究精神，增强他们对数
学学科的兴趣和热爱。

二. 教学重点与难点
1.教学重点：余角和补角的概念和计算方法。

2.教学难点：学生能够正确理解并运用余角和补角相关知识解决几何问
题。

三. 教学过程设计
3.1 导入环节
1.引入“鲨鱼在水里”道具，让学生想象自己正在海里潜水，突出余角
和补角知识的实际应用。

2.学生自主探究：提供一份包含相关知识点的小练习，让学生自行分析
思考并摆脱“难题恐惧症”。

3.2 讲授环节
1.余角的概念：讲解余角的含义并通过PPT、绘图等多种方式展现其计
算方法。

2.余角的应用：通过生动的例子和具体的实例加深学生对余角知识的理
解。

3.补角的概念：把余角和补角做对比，详细讲解补角的概念和计算方法。

4.补角的应用：让学生结合实际情况尝试应用补角知识解决几何问题，并进行一些。

4、3、3余角和补角2教案

北 A 西北 45 45 西南东南南北东北 45 45 东
补充
西 45 B 南 O
东
西
方 2）课本 P138、例 4 法、过程、
3）例 5、如图，两辆汽车从 O 同时出发，一辆沿北偏东 30°方向以 40 千米/时的速度行驶；另一辆沿南偏东 60°方向以 30 千米/时的速度行驶，1 小时后两车分别到达 A、B 两处（1）用一厘米代表 10 千米，在图中标出 A、B 的位置，并计算此时两车间的距离是多少千米？
【活动 1】探究有关方位角 1）定义：方位角是表示方向的角，一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度描述物体的运动方向说明：方位角是确定物体位置的重要因素之一，常用于航空、航海、测绘中，一般用北偏东、北偏西、南偏东、南偏西等记法，如图所示的 OA 的方向为北偏东 30°，OB 的方向为南偏西 45°（即西南方向），东南、西南、东北、西北四个方向，则特指方向
说明：⑴时针与分针夹角的计算公式为：m 点 n 分两针的夹角为 |（m+
n ）×30°－n×6°|=|30°m－5.5°n| 60
⑵方法灵活，具体问题具体分析练习：时针在 9 点 20 分时，时针与分针所夹的角度数是多少？【活动 3】探究折叠中的角 1、根据折叠的特点，折叠中的重合的角相等，重合的线段相等，由此可以解决生活中有关折叠角的问题 2、《典》P99 例3 例 7、如图所示，小明将一张长方形纸片 ABCD 的∠C 沿着 GF 折叠（点 F 在 BC 边上，不与 B、C 两点重合），使点 C 落在长方形纸片 ABCD 内部的点 E 处， FH 平分∠BFE，则∠GFH 的度数满足（） A、90°＜a＜180°B、a=90°C、0°＜a＜90°D、a 随着折痕位置的变化而变化

第十一课时 4.3.3余角和补角(二) 教学设计

1．口答：
如图∠AOB = 90°,∠COD = 90°则∠1与∠2是什么关系？
2．如图，直线AB与CD相交于点O，则∠1与∠2是什么关系？
叫两个学生口答
教师要注意的问题：
（1）鼓励学生大胆开口，大胆说出自己的想法。
（2）强调学生几何语言要精练、准确
通过两个简单问题帮助学生回顾余角和补角的性质，为本节课应用做好辅垫。并且从学生已有的数学经验出发，建立新旧知识的联系，培养学生梳理知识体系的习惯。
从学生已有的知识出发，为进一步学习做好知识准备
通过问题的提供，再现余角和补角的性质的应用，体会知识发展的过程.
详解例1，板书过程，帮助学生逐步形成知识系统
通过练习对几何问题证明过程的总结，丰富学生的认知结构.
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
【活动1】
师生共同小结：
余角和补角的性质是什么？
回顾几何解答题和证明题的书写过程.
及时了解学生学习效果，调整教学安排。
【活动4】
（一）练一练：
1.如图示，将两块三角板的直角顶点重叠在一起，如果∠1=40°，那么∠2=。
2.如图，已知O是直线AB上的一点，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分∠COD,图中与∠DOE互余的角有哪些？
教师进一步引导学生注意答题的规范性，强调书写格式
学生口答，说明理由，教师纠正问题。
先让学生分小组讨论，然后每个小组派代表说出本组讨论的结果。
让学生自己开口说，亲身体会几何语言的表述。
鼓励学生在独立思考的基础上，积极地参与到对数学问题的讨论中来，敢于发表自己的观点，尊重理解他人的见解，在交流中获益。
鼓励学生尝试从不同角度寻求解决问题的有效方法，并通过解决问题方法的反思，获得解决问题的经验。

七年级数学上册 4.3.2 余角和补角(第2课时)学案(新版)新人教版

21434.3.2 余角和补角学习目标：1、掌握余角和补角的性质。

2、了解方位角，能确定具体物体的方位。

学习重、难点：掌握余角和补角的性质；方位角的应用；一、自学指导（一）复习回顾：1.70°的余角是，补角是；2.∠α（∠α <90°）的它的余角是，它的补角是；（二）自主探究：探究1、如图， ∠1与∠2互补，∠3与∠4互补， ∠1= ∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？分析：（1）∠1与∠2互补，∠2等于什么？∠2=1800- ，∠3与∠4互补，∠4等于什么？ ∠4=1800- 。

（2）当∠1= ∠3时，∠2与∠4有什么关系？为什么？∠2=∠4（等量减等量，差相等）归纳：补角的性质：等角的相等。

（理解并记忆）探究2．余角的性质：如图∠1 与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1＝∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？归纳：余角性质等角的相等。

（理解并记忆）练一练：1、α∠和β∠都是AOB ∠的补角，则α∠ β∠；2、如果9031,9021=∠+∠︒=∠+∠，则32∠∠与的关系是，理由是；1 2 3 4西北西南东南东北北西南东北西OEDCBA3、如图，∠A OC ＝∠COB ＝90°，∠DOE ＝90°，A 、O 、B 三点在一直线上找出图中相等的角二、合作探究，生成总结（先自己做，再小组讨论，仍解决不了的问题写在纸条上交给老师）探究3．方位角：（1）认识方位：正东、正南、正西、正北、东南、西南、西北、东北。

（2）找方位角：归纳：如何画正确的方位角？例:如图.货轮O 在航行过程中,发现灯塔A 在它南偏东60°的方向上,同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B,货轮C 和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B,货轮C 和海岛D 方向的射线。

4.3.2第2课时余角和补角-精选文档

(2)用剪刀将∠2和∠4剪下，将∠2与∠4拿到其他位置(可以平移或者旋转)，讨论：∠1与∠2，∠3与∠4有怎样的关系？
让学生自己动手操作，吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，调动学生学习的积极性.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】余角、补角的概念
承接情境导入：
1.教师注意观察各组活动的情况，并给予适当的说明和引导，突出射线OE和O′F的任意性，鼓励学生大胆发表自己的意见和观点，教师对学生的结论作出评价.
2.各组讨论得出∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝90°，和刚才的结论一样，与角的位置的变化没有关系.
不论∠1与∠2，∠3与∠4的位置关系如何变化，∠1与∠2的和永远都是平角，∠3与∠4的和永远都是直角．像这种具有特殊数量关系的两个角，我们分别称它们互为补角和互为余角.
归纳总结：
如果两个角的和等于一个直角，那么说这两个角互为余角，简称互余，也说其中一个角是另一个角的余角.
[答案](1)60°(2) α＋15°(3) β＋45°
(4)∠MON＝ ∠AOC
主要是利用互余、互补的概念进行解题，通过例题巩固加深学生对知识的理解与掌握.
知识的拓展与提升提高应考能力，全面提高学生分析、解决问题的能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.课本P129练习T1、T2.
2.课本P130习题4.3T6、T7、T8.
如果两个角的和等于一个平角，那么说这两个角互为补角，简称互补，也说其中一个角是另一个角的补角.
【探究2】余角、补角的性质
图4－3－43
如图4－3－43，∠EDC＝∠FDC，∠1＝∠2，回答下列问题：
(1)哪些角互为余角？哪些角互为补角？

4.3.2 第2课时余角和补角2

4.3 角
4.3.2 角的度量与计算第2课时余角和补角
教学目标知识与技能：在具体情境中了解余角与补角，理解余角与补角的性质，通过练习掌握其概念及性质，并能运用他们解决一些简单实际问题。

过程与方法：经历、观察、操作，探究等过程，开展学生几何概念，培养学生推理能力和表达能力。

情感、态度与价值观：培养学生乐于探究，合作的习惯，体验探索成功，感受到成功的乐趣，进一步体会“数学就在我的身边〞，增强学生用数学解决实际问题的意识。

教学重点余角与补角的概念与性质
教学难点余角与补角性质的应用
教法
教学过程中始终坚持教师的主导作用和学生的主体地位相统一的原那么，通过问题启发引导学生思考、归纳，实践操作，自主探究学法学生思考、归纳，实践操作，自主探究；小组互助协作学习
教师导学过程学生活动过程
一、导入
1.平时所用的三角板的三个内角分别为多少度？其中两个锐角的和是多少度？
2.如图是一只破损的三角板，你能求出断掉的那个角的度数吗？以问题导入新课，引发学生积极思考，快速进入状态。

问题由浅入深，第三问设置悬念
°。

初二数学：上册4.3.2余角和补角导学案2新版新人教版2

缉私艇可疑船AB第四章几何图形4.3.2余角与补角一、目标导学（约2分钟）1．了解用于表现方向的角——方位角的意义．，．2．初步掌握方位角的判别，体会方位角在生活中的应用．学习重点：方位角的判别与应用．学习难点：方位角的判别与应用．二、自学质疑（约10分钟）1．海上缉私艇发现离它50海里处停着一艘可疑船只（如图），缉私艇要立即赶往检查．（1）试画出缉私艇的航线．（2）如果是真在海面上，你能确定船的航向吗？2．在航行、测绘等日常生活中，我们经常会碰到上述类似的问题，即如何描述一个物体的方位．描述一个物体的方位，通常要用到表示方位的角——方位角．三．互助探究（约10分钟）方位角的表示习惯上以正北、正南方向为基准来描述物体的方向．即用“北偏东多少度”、“北偏西多少度”或者“南偏东多少度”、“南偏西多少度”来表示方向．如图，（1）射线OA 的方向是南偏西40°，或者说点A 在点O 的南偏西40°方向．（2）射线OB 的方向是北偏东45°，或者说点B 在点O 的________方向．注：北偏东45°的方向又称为“东北方向”．所以，我们也可以称点B 在点O 的________方向．（3）在图中画出北偏西50°方向射线OC ．3．在第1个问题中，我们规定“上北下南，左西右东”，试确定缉私艇的航向．ABO404504．P142例4．四．展示评点：（约12分钟）（必做题）1．已知点O 在点A 的南偏东65°方向，那么点A 应在点O 的______________方向.2．某同学参观展览馆A 后，想去景点B ，但他不知道如何走，你能借助右图，告诉他去景点B 应朝什么方向，大约走多远吗？（图中1厘米代表1千米）五、达标巩固（约6分）（必做题）1．如图，A 、B 、C 三点分别代表邮局、商店和学校．邮局和商店分别在学校的北偏西方向，邮局又在商店的北偏东方向．那么，图中A 点应该是 ,B 点应该是，C 点应该是______.六、归结反思（约5分种）这节课我们主要学习了哪些知识?解决问题中，我们应用了哪些数学思想方法？你还有哪些收获？北B北AC七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列多项式在实数范围内不能因式分解的是( ) A ．x 3＋2x B ．a 2＋b 2 C ．y 2＋y ＋14D ．m 2－4n 2【答案】B【解析】根据分解因式的方法：提公因式法，公式法包括平方差公式与完全平方公式，结合多项式特征进行判断即可．解：A 、x 3+2x 能提公因式分解因式，不符合题意； B 、a 2+b 2不能利用公式法能分解因式，符合题意； D 、y 2+y+14利用公式法能分解因式，不符合题意； C 、m 2–4n 2利用公式法能分解因式，不符合题意．故选B ．“点睛”本题主要考查了对于学习过的几种分解因式的方法的记忆与理解，熟练掌握公式结构特征是解题的关键．2．如果3x y 1a b 2与﹣a 2y b x+1是同类项，则（） A ．x 2{y 3=-=B ．x 2{y 3==-C ．x 2{y 3=-=-D ．x 2{y 3==【答案】D【解析】所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相同的项叫做同类项【详解】解：∵3x y 1a b 2与﹣a 2y b x+1是同类项， ∴3x 2y {y x 1①②==+，②代入①得，3x=2（x+1），解得x=2，把x=2代入②得，y=2+1=3，所以，方程组的解是x 2{y 3==．故选D ．考点：同类项，解二元一次方程组．3．下列各图中，1∠与2∠是对顶角的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据对顶角的定义进行判断．【详解】解：根据对顶角的定义可知：A、C、D中，∠1与∠2的两边都不互为反向延长线，所以不是对顶角，是对顶角的只有B．故选：B．【点睛】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．熟记对顶角的图形是解题的关键．4．如图，下列四个条件中，能判断DE∥BC的是（）A．∠A＝∠BDF B．∠l＝∠3C．∠2＝∠4 D．∠A+∠ADF＝180°【答案】C【解析】根据选项中角的关系,结合平行线的判定,进行判断【详解】内错角相等,两直线平行∠A＝∠BDF是两直线被第三条直线所截得到的同位角,因而能判定DF∥AC但不能判定DE∥BC,故错误∠l＝∠3是DF和AC被DC所截得到的内错角,因而可以判定DF∥AC,但不能判定DE∥BC,故错误∠2=∠4这两个角是BC与DE被DC所截得到的内错角,可以判定DE∥AC∠A+∠ADF＝180°，是DF和AC被DC所截得到的同旁内角，因而可以判定DF∥AC,但不能判定DE∥BC,故错误故选C【点睛】此题考查平行线的判定，难度不大5．十一旅游黄金周期间，某景点举办优惠活动，成人票和儿童票均有较大折扣，王明家去了3个大人和4个小孩，共花了400元，李娜家去了4个大人和2个小孩，共花了400元，王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮助他算一下，需要准备多少门票钱？（）A．300元B．310元C．320元D．330元【答案】C【解析】试题解析：设大人门票为x，小孩门票为y，由题意,得：34400 42400 x yx y，+=⎧⎨+=⎩解得：8040 xy=⎧⎨=⎩，则3x+2y=320.即王斌家计划去3个大人和2个小孩，需要320元的门票.故选C.6．若关于x的方程2x+2＝m﹣x的解为负数，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m＞23D．m＜23【答案】B【解析】把m看作常数，根据一元一次方程的解法求出x的表达式，再根据方程的解是负数列不等式并求解即可．【详解】解：由1x+1＝m﹣x得，x＝23m-，∵方程有负数解，∴23m-＜0，解得m＜1．故选B．【点睛】考查了一元一次方程的解与解不等式，把m看作常数求出x的表达式是解题的关键．7．文峰超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏，以下是4天的记录：第1天，卖出13支牙刷和7盒牙膏，收入132元；第2天，卖出26支牙刷和14盒牙膏，收入264元；第3天，卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入393元；第4天，卖出52支牙刷和28盒牙膏，收入528元；其中记录有误的是()A．第1天B．第2天C．第3天D．第4天【解析】设每支牙刷x元，每盒牙膏y元，根据四天的记录可得出关于x，y的二元一次方程，分别假设第1天的记录正确及第1天的记录错误两种情况，即可得出结论．【详解】设每支牙刷x元，每盒牙膏y元．第1天：13x+7y=132；第2天：26x+14y=264；第3天：39x+21y=393；第4天：52x+28y=1．假设第1天的记录正确，则第2天、第4天的记录也正确；假设第1天的记录错误，则第2天、第4天的记录也错误．所以只有第3天的记录错误.故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．8．如图所示，AB∥CD∥EF，CG平分∠DCE，AF平分∠BAE，则图中与∠CGE相等的角共有（不包括∠CGE）（）个．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】根据平行的性质和角平分线的性质即可求解.【详解】解：∵AB∥CD∥EF，CG平分∠DCE，AF平分∠BAE，∴图中与∠CGE相等的角有∠HFG，∠DCG，∠ECG，∠CAF，∠BAF，∠AHC，∠DHF故选：C．【点睛】本题考查的是平行和角平分线，熟练掌握平行和角平分线的性质是解题的关键.9．在平面直角坐标系中，点（﹣3，4）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】根据各象限内点的坐标特征解答．【详解】解：点（﹣3，4）在第二象限．【点睛】本题考查点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．10．如图，直线l 与直线AB 相交，将直线1l 沿AB 的方向平移得到直线2l ，若160∠=︒，则2∠的度数为（）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒【答案】C【解析】先利用平移的性质得到l 1∥l 2，则根据平行线的性质得到∠3＝120°，然后根据对顶角的性质得到∠2的度数．【详解】解：∵直线l 1沿AB 的方向平移得到直线l 2， ∴l 1∥l 2，∴∠1＋∠3＝180°， ∴∠3＝180°−60°＝120°， ∴∠2＝∠3＝120°．故选C ．【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等，同时也考查了平行线的性质．二、填空题题11．在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是a ，b ，c ，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_____．【答案】a+c【解析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答,具体: 求证△ABC≌△CDE，得DE=BC，△ABC中AB2+CE2=AC2，根据S3=AB2，S4=DE2可求得S3+S4=c，同理可得S1+S2=a，故S3+S4+S1+S2=a+c．．【详解】解：∵∠ACB+∠DCE=90°，∠BAC+∠ACB=90°，∴∠DCE=∠BAC，∵AC=CE，∠ABC=∠CDE∴△ABC≌△CDE，∴BC=DE，在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，即，AB2+DE2=AC2，∵S3=AB2，S4=DE2∴S3+S4=c同理S1+S2=a故可得S1+S2+S3+S4=a+c，故答案是：a+c．【点睛】本题考查正方形面积的计算，正方形各边相等的性质，全等三角形的判定．解题关键是本题中根据△ABC≌△CDE证明S3+S4=c12．如图，OA的方向是北偏东15°，若∠AOC＝∠AOB，则OB的方向是_____．【答案】北偏东70°．【解析】先根据角的和差得到∠AOC 的度数，根据∠AOC ＝∠AOB 得到∠AOB 的度数，再根据角的和差得到OB 的方向．【详解】∵OA 的方向是北偏东15°，OC 的方向是北偏西40°， ∴∠AOC ＝15°+40°＝55°， ∵∠AOC ＝∠AOB ， ∴∠AOB ＝55°， 15°+55°＝70°，故OB 的方向是北偏东70°．故答案为：北偏东70°．【点睛】本题主要考查了方向角的定义及表达方式，解答此题的关键是理解方位角，再结合各角的互余互补或和差关系求解．．13．如图，小红作出了面积为1的正△ABC ，然后分别取△ABC 三边的中点A 1，B 1，C 1，作出了正△A 1B 1C 1，用同样的方法，作出了正△A 2B 2C 2，….由此可得，正△A 8B 8C 8的面积是________．【答案】814 【解析】试题解析：∵△ABC 三边的中点A 1，B 1，C 1， ∴B 1C 1=12BC ，A 1B 1=12AB ，A 1C 1=12AC ， ∴△A 1B 1C 1∽△ABC ，∴S △A1B1C1=14S △ABC =14，同理：S △A2B2C2=14S △A1B1C1=214，∴S △AnBnCn =14n， ∴正△A 8B 8C 8的面积是：814． 14．在下面图形所标记的几个角中，与∠3是同位角的为______．【答案】∠C【解析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．【详解】解：由图可得，与∠3是同位角的为∠C ，故答案为：∠C ．【点睛】此题主要考查了三线八角，同位角的边构成“F “形，内错角的边构成“Z “形，同旁内角的边构成“U ”形．15．两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B 到点C 的方向平移到△DEF 的位置，AB=6，DH=2，平移距离为3，则阴影部分的面积是．【答案】1．【解析】∵AB=6，∴DE=6， ∵DH=2，∴HE=6﹣2=4， ∵HE ∥AB ，∴HE ECAB BC =，即463EC EC=+，故EC=6， ∴S △DEF =12DE•EF=12×6×（3+6）=27；S △HEC =12HE•EC=12×4×6=12； ∴S 阴影部分DHCF =27﹣12=1．故答案为1．16．如图，BD平分∠ABC，DE∥BC，∠2＝35°，则∠1＝_____．【答案】70°．【解析】根据角平分线和平行线性质可得出结果.【详解】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠2＝70°．∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠1＝70°．故答案为70°．【点睛】考核知识点：平行线性质和角平分线.理解性质是关键.17．如图，已知AD∥BC,∠B＝30°，DB平分∠ADE，则∠ADE＝________；【答案】60°【解析】直接利用平行线的性质以及角平分线的性质得出∠ADB=∠BDE，进而得出答案．【详解】∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵DB平分∠ADE，∴∠ADB=∠BDE=12∠ADE，∵∠B=30°，∴∠ADB=∠BDE=30°，则∠ADE的度数为：60°．故答案为：60°．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠ADB 的度数是解题关键．三、解答题18．我们发现：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，……，（1）利用上述发现计算：112+⨯123⨯+134⨯+…+199100⨯．（2）现有咸度较低的盐水a 克，其中含盐b 克，若再往该盐水中加m 克盐（加入的盐均能溶解），生活经验告诉我们盐水会更咸．①请你用两个代数式的大小关系来表达这一现象，并通过分式运算说明结论的正确性；②应用上述原理说明对于任意正整数n ，算式1241⨯-+1461⨯-+1681⨯-+…+122(1)1n n ⨯+-的值都小于12．【答案】（1）99100;（2）①见解析，②见解析. 【解析】（1）根据所举例子，裂项相消即可；（2）①根据题意列出不等式即可，并利用作差法即可求出答案；②先根据①的结论变形，然后裂项相消即可.【详解】（1）原式＝111111112233499100-+-+-+⋯+- ＝1-1100＝99100 （2）①由题意可知：b m b a m a+>+ ()()()()()b m b a b m b a m m a b a m a a a m a a m ++-+--==+++， ∵0＜b ＜a 且m ＞0， ∴()()m a b a a m -+＞0，即b m b a m a+>+； ②由①可知：1222(1)122(1)n n n n <⨯+-⨯+， ∴111124146168122(1)1n n ++++⨯-⨯-⨯-⨯+-＜222244622(1)n n ++⋅⨯⨯⋅+＝111111 244622(1)n n-+-+⋯+-+＝1 2(1)2nn<+.【点睛】本题考查学生的阅读能力，分式的加减运算，解题的关键是正确理解题意给出的规律，本题属于基础题型．19．乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是，宽是，面积是（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（用式子表达）（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.1．【答案】（1）a2﹣b2；（2）长方形的宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；（3）a2﹣b2，a ﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；（4）99.2．【解析】试题分析：（1）中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）中的长方形，宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；（3）中的答案可以由（1）、（2）得到（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（4）把10.3×9.1写成（10+0.3）（10﹣0.3），利用公式求解即可．解：（1）阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）长方形的宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；（3）由（1）、（2）得到，（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；故答案为a2﹣b2，a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；（4）10.3×9.1=（10+0.3）（10﹣0.3）=102﹣0.32=100﹣0.09=99.2．考点：平方差公式的几何背景．20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=15°，∠B=40°．（1）求∠C的度数．（2）若：∠EAD=α，∠B=β，其余条件不变，直接写出用含α，β的式子表示∠C的度数．【答案】（1）70°；（2）∠C=β+2α．【解析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠BAD，求出∠BAE，根据角平分线的定义求出∠BAC，即可求出答案；（2）根据三角形的内角和定理求出∠BAD，求出∠BAE，根据角平分线的定义求出∠BAC，即可求出答案．【详解】（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵∠B=40°，∴∠BAD=90°-40°=50°，∵∠EAD=15°，∴∠BAE=50°-15°=35°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAE=12∠BAC=35°，∴∠BAC=70°，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-70°-40°=70°；（2）∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵∠B=β，∴∠BAD=90°-β，∵∠EAD=α，∴∠BAE=90°-β-α，∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE=∠BAE=12∠BAC=90°-β-α， ∴∠BAC=180°-2β-2α， ∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-（180°-2β-2α）-β=β+2α．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键．21．如图，在ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，BD 与CE 交于点O ，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO ；②BE CD =；③OB OC =．（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定ABC 是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，说明你的理由．【答案】（1）①②或①③；（2）见解析.【解析】（1）由①②；①③．两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形，（2）先求出∠ABC=∠ACB ，即可证明△ABC 是等腰三角形．【详解】解：（1）①②；①③．（2）选①③证明如下，∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB ，∵∠EBO=∠DCO ，又∵∠ABC=∠EBO+∠OBC ，∠ACB=∠DCO+∠OCB ，∴∠ABC=∠ACB ，∴△ABC 是等腰三角形．选①②证明如下，在△EBO 与△DCO 中，∵EOB DOCEBO DCO BE CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBO≌△DCO（AAS），∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵∠EBO=∠DCO，又∵∠ABC=∠EBO+∠OBC，∠ACB=∠DCO+∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是找出相等的角求∠ABC=∠ACB．22．计算：（1）m2n•（﹣2m2n）3÷（﹣12m2n）2；（2）2﹣2﹣（π﹣3.14）0+（﹣0.5）2018×1．【答案】（1）﹣32m4n2；（2）1 4【解析】(1)先计算单项式的乘方，再计算乘法，最后计算除法即可得；(2)先计算负整数指数幂、零指数幂、利用积的乘方变形，再计算积的乘方，最后计算加减可得．【详解】(1)原式＝m2n•(﹣8m6n3)÷(14m4n2)＝﹣8m8n4÷14m4n2＝﹣32m4n2；(2)原式＝14﹣1+(﹣0.5×2)2018＝14﹣1+1＝14．【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式混合运算顺序和运算法则及零指数幂、负整数指数幂、积的乘方的运算法则．23．小明同学遇到下面的问题：解方程组23237432323832x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩，他发现，如果直接用代人清元法或加减消元法求解运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的()23x y +看作一个数，把()23x y -看作一个数，通过换元，可以解决问题，以下是他的解题过程：令23m x y =+，23n x y =-这时原方程组化为743832mnm n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得6024m n =⎧⎨=-⎩，把6024m n =⎧⎨=-⎩代入23m x y =+，23n x y =-，得23602324x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得914x y =⎧⎨=⎩，所以，原方程组的解为：914x y =⎧⎨=⎩请你参考小明同学的做法解决下面的问题：解方程组：324042x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩【答案】26x y =⎧⎨=⎩. 【解析】由题意可得x+y=m ，x-y=n ，方程变形后求出m 与n 的值，即可确定出x 与y 的值．【详解】解：由题意可得x y m +=，x y n -=，则方程组可变形为324042m nmn⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：84m m =⎧⎨=-⎩∴84x y xy +=⎧⎨-=-⎩，解得26x y =⎧⎨=⎩.【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．24．在一个不透明的袋子里装有10个除号码外其余都相同的小球，每个小球的号码分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10将它们充分摇匀，并从中任意摸出一个小球．规定摸出小球号码能被3整除时，甲获胜；摸出小球号码能被5整除时，乙获胜；这个游戏对甲乙双方公平么？请说明理由．如果不公平，应该如何修改游戏规则才能对双方公平？（游戏对双方公平的原则是：双方获胜的概率相等）【答案】不公平【解析】分别算出甲乙获胜的概率，比较大小然后判断是否公平，不公平需要把甲乙的获胜概率都修改成一样即可【详解】解：不公平，10个数中3的倍数有3个，5的倍数有2个，甲获胜的概率为310、乙获胜的概率为21105=， ∵31105≠， ∴此游戏不公平；修改规则为：摸出小球号码是偶数时甲获胜，摸出小球号码是奇数时乙获胜．【点睛】本题主要考查利用概率判断公平性，关键在于熟悉概率公式，能够算出甲乙的概率25．点D ，E 分别在△ABC 的边AC ，BD 上，BD ，CE 交于点F ，连接AF ，∠FAE＝∠FAD，FE ＝FD ．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE ＝AD ；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB 平分∠ABC，求∠BAC 的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G 在BE 上，∠CFG＝∠AFB 若AG ＝6，△ABC 的周长为20，求BC 长．【答案】（1）见解析;（2）60BAC ∠=︒;（3）7BC =.【解析】（1）证明△AEF ≌△ADF ，根据全等三角形的对应边相等证明结论；（2）过点F 分别作AB ，BC ，AC 边上的高，根据角平分线的性质定理得到FP=FQ ，FP=FN ，根据角平分线的判定定理得到CF 平分∠ACB ，证明Rt △PEF ≌Rt △NDF ，根据全等三角形的性质得到∠PEF=∠FDN ，计算得到答案；（3）在BC 上取点R ，使CR=CA ，分别证明△CAF ≌△CRF 、△BGF ≌△BRF ，根据全等三角形的性质、三角形的周长公式计算即可．【详解】（1）∵FAE FAD ∠=∠，AEF ADF ∠=∠，FE FD =.∴AEF ADF ∆≅∆，∴AE AD =.（2）过F 点分别作AB ，BC ，AC 边上的高，FP ，FQ ，FN ，点P ，Q ，N 为垂足.∵AF ，BF 分别平分BAC ∠和ABC ∠，∴FP FQ =，FP FN =，∴FQ FN =，且FN AC ⊥，FQ BC ⊥，∴CF 平分ACB ∠.∴ACE BCE ∠=∠.∵2BEC BAC ACE BAF ACE ∠=∠+∠=∠+∠，∴2EFD ABF BEC ABF BAF ACE ∠=∠+∠=∠+∠+∠ 1180902BAF BAF =⨯︒+∠=︒+∠.∵FE FD =，∴Rt PEF Rt NDF ∆≅∆，∴PEF FDN ∠=∠，∴180PEF ADF ∠+∠=︒，∴()42180BAC EFD PEF ADF ∠+∠=-⨯︒-∠-∠360180180=︒-︒=︒.∴90180BAF BAC ︒+∠+∠=︒且2BAC BAF ∠=∠，∴60BAC ∠=︒.（3）在BC 上取点R ，使CR CA =，∵CF CF =，FCA FCR ∠=∠，∴CAF CRF ∆≅∆.∴30CRF CAF ∠=∠=︒，180150BRF CRF ∠=︒-∠=︒.∵CFG AFB ∠=∠，∴CFG BFG AFB BFG ∠-∠=∠-∠，∴18060120AFG BFC ∠=∠=︒-︒=︒， ∵1302BAF BAC ∠=∠=︒， ∴30AGF ∠=︒，180150BGF AGF ∠=︒-∠=︒.∴BGF BRF ∠=∠.∵GBF RBF ∠=∠，BF BF =，∴BGF BRF ∆≅∆.∴BG BR =.∵AC AB BC BG AG BC AC ++=+++6220BR AG BC CR BC =+++=+=，∴7BC =.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，正确作出辅助性、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列结论正确的是( )A ．64的立方根是4±B ．18-没有立方根C ．立方根等于本身的的数是0D ．332727-=- 【答案】D【解析】选项A ，64的立方根是±4；选项B ，18-的立方根是12- ；选项C ，立方根等于本身的的数是0和±1；选项D ，正确，故选D.2．端午节前夕，某超市用1680元购进A ，B 两种商品共60，其中A 型商品每件24元，B 型商品每件36元.设购买A 型商品x 件、B 型商品y 件，依题意列方程组正确的是( )A ．6036241680x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．6024361680x y x y +=⎧⎨+=⎩ C ．3624601680x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．2436601680x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】B 【解析】根据A 、B 两种商品共60件以及用1680元购进A 、B 两种商品,分别得出等式组成方程组即可．【详解】解：设购买A 型商品x 件、B 型商品y 件，依题意列方程组：6024361680x y x y +=⎧⎨+=⎩．故选B.．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，然后再列出方程组．3．小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时后到达学校，小刚从家到学校行驶路程s （单位：m ）与时间r （单位：min ）之间函数关系的大致图象是（） A ． B ． C ．D．【答案】B【解析】根据小刚行驶的路程与时间的关系，确定出图象即可．【详解】小刚从家到学校，先匀速步行到车站，因此S随时间t的增长而增长，等了几分钟后坐上了公交车，因此时间在增加，S不增长，坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，因此S又随时间t的增长而增长，故选B．【点睛】本题考查了函数的图象，认真分析，理解题意，确定出函数图象是解题的关键.4．下列计算结果正确的是（）A．a5+a5＝2a10B．（x3）3＝x6C．x5•x＝x6D．（ab2）3＝ab6【答案】C【解析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则和积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案．【详解】A、a5+a5＝2a5，故此选项错误；B、(x3)3＝x9，故此选项错误；C、x5•x＝x6，正确；D、(ab2)3＝a3b6，故此选项错误，故选C．【点睛】本题考查了合并同类项以及幂的乘方运算和积的乘方运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．5．如图1，将一个边长为m的正方形纸片剪掉两个小长方形，得到一个如图2所示的图形，再将剪下的两个小长方形排成如图3所示的一个新的长方形，则图3中的长方形的周长为（）A ．23m n -B ．48m n -C ．24m n -D ．410m n -【答案】B 【解析】通过观察图形，表示出新长方形的长与宽，再根据长方形周长公式即可确定其周长．【详解】解：∵观察图形可知，新长方形的长为：m n -，宽为：3m n -∴周长为()2348m n m n m n -+-=-．故选：B【点睛】本题考查的是列代数式和整式加减在几何图形中的应用，能够通过观察图形用含m 、n 的式子表示出长方形的长与宽是解题的关键．62 1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（）A ．2B ．102）C ．2D 2【答案】B【解析】由于计算器显示结果的位数有限，要想在原来显示的结果的右端再多显示一位数字，则应该设法去掉左端的数字“1”.对于整数部分不为零的数，计算器不显示位于左端的零. 于是，先将原来显示的结果左端的数字“1”化21. 为了使该结果的整数部分不为零，再将该结果的小数点向右移动一位，即计算)1021. 这样，位于原来显示的结果左端的数字消失了，空出的一位由原来显示结果右端数字“7”的后一位数字填补，从而实现了题目的要求. 根据以上分析，为了满足要求，应该在这个计算器中计算)1021的值. 故本题应选B.点睛：本题综合考查了计算器的使用以及小数的相关知识. 本题解题的关键在于理解计算器显示数字的特点和规律. 本题的一个难点在于如何构造满足题目要求的算式. 解题过程中要注意，只将原结果的左端数字化为零并不一定会让这个数字消失. 只有当整数部分不为零时，左端的零才不显示. 另外，对于本题而言，将结果的小数点向右移动是为了使该结果的整数部分不为零，要充分理解这一原理.7．若x y >，则下列式子错误．．的是（）. A ．33x y ->-B ．33x y >C ．22x y -<-D ．33x y ->- 【答案】D【解析】利用不等式的性质判断即可得到结果．【详解】解：若x ＞y ，则有x-3＞y-3；33x y >；-2x ＜-2y ； 3-x ＜3-y 故选：D ．【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键．8．如图，已知直线a ∥b ，∠1=100°，则∠2等于（）A ．80°B ．60°C ．100°D ．70°【答案】A【解析】试题分析：根据对顶角相等可得∠3=∠1=100°，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2=180°﹣∠3=180°﹣100°=80°．故答案选A ．考点：平行线的性质.9．一片金箔的厚度为0.000000091m ，用科学记数法表示0.000000091为（）A ．0.91×10﹣7B ．9.1×10﹣8C ．－9.1×108D ．9.1×108【答案】B【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.000000091＝9.1×10−8，故选：B ．【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．10．下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】分别将四个选项变形，找到符合=（a-b ）（a+b ）的即可解答．【详解】A 、，是完全平方公式，故不符合题意；B 、=，是完全平方公式，故不符合题意；C 、=，可以用平方差计算，故符合题意；D 、=，是完全平方公式，故不符合题意.故选择：C.【点睛】本题考查了平方差公式，将算式适当变形是解题的关键．二、填空题题11．观察：2111111++11211+12-=；22111111++=1+1232216-=+；111111++=1+324233112-=-+；试猜想：22111++45=_____ 【答案】1120【解析】从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；【详解】22111144121111145162516252020++=++===⨯. 故答案是：1120. 【点睛】考查了二次根式的性质与化简，此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．12．如图是叠放在一起的两张长方形卡片，则1∠，2∠，3∠中一定相等的两个角是__________．【答案】2=3∠∠【解析】考虑1∠，2∠，3∠与其相邻直角三角形中角的关系可知结果.【详解】解：如图，21804180(905)905︒︒∠=-∠=-︒-∠=︒+∠ ，同理可得3906,︒∠=+∠ 1909,︒∠=+∠56∠=∠23∴∠=∠91090,101190,711︒︒∠+∠=∠+∠=∠=∠9117∴∠=∠=∠不一定等于6∠，所以1∠不一定等于3∠.故答案为：2=3∠∠【点睛】本题考查了三角形中的角，涉及的知识点主要有直角三角形中两锐角互余，对顶角相等，灵活进行角之间的转化是解题的关键.13．李华同学身高1.595m ，保留3个有效数字的近似值为__________m.【答案】1.1【解析】试题分析：∵1.595，保留3个有效数字，∴1.595≈1.1．考点：近似数和有效数字．点评：此题要求掌握有效数字的确定方法，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错，注意联系此类知识．14．某校开展“未成年人普法”知识竞赛，共有20道题，答对一题记10分，答错（或不答）一题记5-分.小明参加本次竞赛的得分超过100分，他至少答对了_____题；【答案】1【解析】根据竞赛得分=10×答对的题数-5×未答对（不答）的题数和本次竞赛得分要超过100分，列出不等式，再求解即可．【详解】设要答对x 道，根据题意得：10x-5×（20-x ）＞100，10x-100+5x ＞100，15x ＞200，解得x ＞403，则他至少要答对1道；故答案为：1．【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，读懂题意，找到关键描述语，找到所求得分的关系式是解决本题的关键．。