陕西省西安市长安区第一中学2021届高三数学上学期第一次教学质量检测试题文
西安市长安区第一中学2021届高三第一学期第一次教学质量检测数学(理)试卷
长安一中2020－2021学年度第一学期第一次教学质量检测高三年级数学(理科)试题一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}(1)(4)0A x x x =+-≤，{}2log 2B x x =≤，则A ∩B =（） A.[−2,4]B.[)1,+∞ C.(]0,4D.[)2,-+∞2.已知i 为虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，且满足i z z 232-=+，则=z () A ．2+iB ．1+2iC ．2-iD.1-2i3.已知等差数列{}n a 中，92832823=++a a a a ,且0<n a ，则数列{}n a 的前10项和为()A ．9-B ．11-C ．13-D ．15-4.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2)，则P (μ−σ<X <μ+σ)=68.26%, P (μ−2σ<X <μ+2σ)=95.44%） A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%5.函数1)(3+=x e x x f 的图象大致是（）A. B.C. D.6.我国古代名著《庄子天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是() A. 1,1?,7+=-=≤i i is s iB.i i is s i 2,1?,128=-=≤ C.1,21?,7+=-=≤i i is s iD.i i is s i 2,21?,128=-=≤ 7.已知Rt△ABC，点D 为斜边BC 的中点，，，，则等于（ ） A ．14-B ．9-C ．9D ．148.设01p <<ξξ0 1 2P12 2p 12p- 则当p 在()0,1内增大时（） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大9.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被x y 6sin3π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A ．361B ．181C ．121 D ．91 10.已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的渐近线与抛物线()02:2>=p px y E 的准线分别交于B A ,两点，若抛物线E 的焦点为F ，且0=⋅，则双曲线C 的离心率为()A ．2B ．3C.2D ．511. 已知函数)1,0()(≠>+=a a b a x f x的图象经过点)3,1(P ，)5,2(Q ，当*N n ∈时，)1()(1)(+⋅-=n f n f n f a n ，记数列{n a }的前n 项和为n S ，当3310=n S 时，n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≠==-0,0,1)(x e x m x f x ，若方程 有5个解，则m 的取值范围是（） A.(1,)+∞ B.331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(0,1)(1,)⋃+∞第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上） 13.已知),0(πθ∈，且102)4sin(=-πθ，则tan2θ=________． 14.已知()()7280128212x x a a x a x a x +-=+++，则128a a a ++=_____,3a =_____．15.5位同学分成3组，参加3个不同的志愿者活动，每组至少1人，其中甲乙2人不能分在同一组，则不同的分配方案有_____种.（用数字作答）2)()32()(32=++-x f m x mf16. 已知平面向量a ,m ,n ，满足4=→a ，⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅-=+⋅-010122n a n m a m ，则当=-→→n m _____，则→m 与→n 的夹角最大．三、解答题：（共7小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22、23题为选考题,考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17. (本小题满分12分)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设23sin()cos 22B AC +=. （Ⅰ）求sin B ；（Ⅱ）若ABC ∆的周长为8，求ABC ∆的面积的最大值.18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是PC 的中点. （I ）求证：//PA 平面BDE ；（II ）若直线BD 与平面PBC 所成角为30，求二面角C PB D --的大小. 19. (本小题满分12分)新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒， 有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于n 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n 次．二是混合检验，将其中k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k 份血液检验的次数总共为1+k 次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为322． （Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．20. （本小题满分12分）已知圆8)1(:22=++y x C ，定点)0,1(A ，M 为圆上一动点， 线段MA 的垂直平分线交线段MC 于点N ，设点N 的轨迹为曲线E ；（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）若经过)2,0(F 的直线l 交曲线E 于不同的两点H G ,，（点G 在点F ,H 之间），且满足53=，求直线l 的方程. 21. （本小题满分12分）已知函数R a x a x a x e x f x∈+++-=,)ln()()(． （1）当1=a 时，求函数)(x f 的图象在0=x 处的切线方程； （2）若函数)(x f 在定义域上为单调增函数．①求a 最大整数值；②证明:1)1(ln)34(ln )23(ln 2ln 32-<+++++e en n n ． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. 22. [选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知曲线C ：222812(1)1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数）和直线l ：2cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）． （1）将曲线C 的方程化为普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且P （2，1）为弦AB 的中点，求弦AB 所在的直线方程．23. [选修：不等式选讲]（本小题满分10分） 设函数()1f x x x =+-的最大值为m.（1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值. 长安一中2020－2021学年度第一学期第一次教学质量检测高三年级数学(理科)答案二、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)45-二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.247-14.476,5--15.11416.3四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本小题共12分）（1）23sin()cos2BA C+=且sin()sinA C B+=2sin2sin cos cos22222B B BB=⋅=，又22Bπ<<，sin0cos222B B B∴>=tan sin2263B BB Bππ∴==∴=∴=（2）由题意知：8()b a c=-+2226416()21cos222a cb ac acBac ac+--++-∴=== 36416()64ac a c∴=-++≥-+，36408)0ac∴-≥∴≥83≤8≥（舍）649ac∴≤1sin2ABCS ac B∆∴==≤（当a c=时取“=”）综上，ABC的面积的最大值为9316.18.（本小题满分12分）（1）连接AC交BD于O，连接OE，由题意可知，,PE EC AO OC ==，//PA EO ∴，又PA 在平面BED 外，EO ⊂平面BED ，所以//PA 平面BED .()2以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，设1PD CD ==，AD a =，则(,0,0)A a ，(,1,0)(0,1,0)B a C ，，1(0)0,P ，， (,1,0)DB a =，(,)1,1PB a =-，()0,1,1PC =-，设平面PBC 的法向量(,)n x y z =，， 由·0·0PB n PC n ⎧=⎨=⎩，得0ax y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取(0,1,1)n =，又由直线BD 与平面PBC 所成的角为30， 得21cos ,212DB n DB n DB na ===+⨯，解得1a =， 同理可得平面PBD 的法向量1,)0(1,m =-， 由向量的夹角公式，可得1cos ,222n m n m n m===⨯，又因为二面角C PB D --为锐二面角，所以二面角C PB D --的大小为60︒. 19. (本小题满分12分)（Ⅰ）该混合样本阴性的概率为：22289⎛⎫= ⎪⎝⎭， 根据对立事件原理，阳性的概率为：81199-=． （Ⅱ）方案一：逐个检验，检验次数为4．方案二：由（Ⅰ）知，每组2个样本检验时，若阴性则检验次数为1，概率为89； 若阳性则检验次数为3，概率为19， 设方案二的检验次数记为ξ，则ξ的可能取值为2,4,6，()28642981P ξ⎛⎫∴===⎪⎝⎭；()12181649981P C ξ==⨯⨯=；()11169981P ξ==⨯=，则ξ的分布列如下：可求得方案二的期望为()6416119822246818181819E ξ=⨯+⨯+⨯==． 方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为η，η的可能取值为1，5，()4641381P η⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭，()6417518181P η==-=， 则η的分布列如下：可求得方案三的期望为()641714915818181E η=⨯+⨯=． 比较可得()()4E E ηξ<<，故选择方案三最“优”．20. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设点N 的坐标为()y x ,，NP 是线段AM 的垂直平分线，NM NA =,又点N 在CM 上，圆()81:22=++y x C ，半径是,22=r .22,22AC NM NC NA NC NM NC >=+=+=+∴∴点N 的轨迹是以C A ,为焦点的椭圆，设其方程为()01:2222>>=+b a b y a x ，则.1,1,2,222222=-====c a b c a a ∴曲线E 方程：.1222=+y x（Ⅱ）设()(),,,,2211y x H y x G当直线GH 斜率存在时，设直线GH 的斜率为k 则直线GH 的方程为2+=kx y ,⎪⎩⎪⎨⎧=++=∴12222y x kx y ,整理得：0342122=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+kx x k ,由0>∆，解得：.213,214,232212212k x x k k x x k +=⋅+-=+>------①又()()2,,,2,,2211-=-=y x y x ,由FH FG 53=,得2153x x =，结合①得 22221621553k k k +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，即2322>=k , 解得.2±=k ∴直线l 的方程为：22+±=x y , 当直线GH 斜率不存在时，直线l 的方程为x 31,0==与53=矛盾. ∴直线l 的方程为：.22+±=x y21. （本小题满分12分）解：（1）当a=1时，f （x ）=ex ﹣（x+1）ln （x+1）+x ，∴f（0）=1， 又f'（x ）=ex ﹣ln （x+1），∴f'（0）=1， 则所求切线方程为y ﹣1=x ，即x ﹣y+1=0．（2）由题意知f（x）=ex﹣（x+a）ln（x+a）+x，f′（x）=ex﹣ln（x+a），若函数f（x）在定义域上为单调增函数，则f'（x）≥0恒成立．①先证明ex≥x+1．设g（x）=ex﹣x﹣1，则g'（x）=ex﹣1，则函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）=0，即ex≥x+1．同理可证lnx≤x﹣1，∴ln（x+2）≤x+1，∴ex≥x+1≥ln（x+2）．当a≤2时，f'（x）＞0恒成立．当a≥3时，f'（0）=1﹣lna＜0，即f'（x）=ex﹣ln（x+a）≥0不恒成立．综上所述，a的最大整数值为2．②证明：由①知，ex≥ln（x+2），令，∴，∴．由此可知，当t=1时，e0＞ln2．当t=2时，，当t=3时，，…，当t=n时，．累加得．又，∴．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．（本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程22.【解析】（1）由，得，即，又，两式相除得，代入，得，整理得，即为C的普通方程．（2）将代入， 整理得（4sin 2θ+cos 2θ）t 2+（4cosθ+8sinθ）t ﹣8＝0．由P 为AB 的中点，则． ∴cosθ+2sinθ＝0，即，故，即， 所以所求的直线方程为x+2y ﹣4＝0．23．（本小题满分10分）选修：不等式选讲【解析】（1）f(x)＝|x ＋1|－|x|＝由f(x)的单调性可知，当x≥1时，f(x)有最大值1．所以m ＝1．（2）由（1）可知，a ＋b ＝1，＋＝(＋)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝[a 2＋b 2＋＋] ≥(a 2＋b 2＋2) ＝(a ＋b)2＝．当且仅当a ＝b ＝时取等号．即＋的最小值为． 45。
2020-2021学年陕西省西安市长安一中高三(上)第一次质检数学(文科)试题Word版含解析
2020-2021学年陕西省西安市长安一中高三（上）第一次质检数学（文科）试题一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知z1=sinθ﹣i，z2=﹣cosθi，若z1﹣z2是纯虚数，则tanθ=（）A．B．C．D．2．（5分）若集合A={1，3，x}，B={1，x2}，A∪B={1，3，x}，则满足条件的实数x的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（5分）已知平面向量满足||=3，||=2，，的夹角为60°，若，则实数m的值为（）A．1 B．C．2 D．34．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=05．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．236．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．8．（5分）如果执行如图的程序框图，输入x=﹣2，h=0.5，那么输出的各个数的和等于（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.59．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D．10．（5分）随机地向半圆0＜y＜（a为正常数）内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）=x2+3x+1，g（x）=+x，若h（x）=f（x）﹣g（x）恰有两个零点，则实数a 的取值为（）A．1 B．C．1或D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是．14．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA+bsinB＜csinC，则△ABC的形状是．15．（5分）若函数f（x）=2sin（x+）（2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与f（x）的图象交于B、C两点，O为坐标原点，则（+）•= ．16．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是．三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+c2=b2﹣ac．（1）求B的大小；（2）设∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2，BD=1，求cosC的值．18．（12分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生表2：女生等级优秀合格尚待改进等级优秀合格尚待改进频数15 x 5 频数15 3 y（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（2）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．男生女生总计优秀非优秀总计参考数据与公式：K2=，其中n=a+b+c+d．临界值表：P（K2＞k0）0.05 0.05 0.01k0 2.706 3.8416.63519．（12分）如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．（1）证明：CF⊥平面MDF；（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），离心率是，原点与C直线x=1的交点围成的三角形面积是．（1）求椭圆方程；（2）若直线l过点（，0）与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），D是椭圆C的右顶点，求∠ADB是定值．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R（1）求m，n的值；（2）若a，b，c∈R+，且a+b+c=m﹣n，求证：++．2020-2021学年陕西省西安市长安一中高三（上）第一次质检数学（文科）试题参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知z1=sinθ﹣i，z2=﹣cosθi，若z1﹣z2是纯虚数，则tanθ=（）A．B．C．D．【分析】z1﹣z2=﹣i是纯虚数，可得sinθ﹣=0，﹣cosθ≠0，再利用同角三角函数基本关系式即可得出．【解答】解：z1﹣z2=﹣i是纯虚数，∴sinθ﹣=0，﹣cosθ≠0，∴sinθ=，cosθ=，则tanθ==﹣．故选：B．【点评】本题考查了纯虚数的定义、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）若集合A={1，3，x}，B={1，x2}，A∪B={1，3，x}，则满足条件的实数x的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由A∪B={1，3，x}得到集合B是集合A的真子集，所以得到x2，等于3或x，分别求出x的值，经检验即可得到满足题意x的个数．【解答】解：因为A∪B={1，3，x}，A={1，3，x}，B={1，x2}，所以x2=3或x2=x，解得x=±或x=0，x=1（舍去），即满足条件的有3个．故选C．【点评】此题考查学生掌握并集的定义，以及理解集合元素的互异性，是一道基础题．3．（5分）已知平面向量满足||=3，||=2，，的夹角为60°，若，则实数m的值为（）A．1 B．C．2 D．3【分析】由两个向量的数量积的定义求出，再由可得=0可求m【解答】解：∵||=3，||=2，，的夹角为60°∴=||||cos60°=3×2cos60=3又∵∴==9﹣3m=0∴m=3故选D【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，两个向量垂直的性质．4．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．【点评】本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．5．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．23【分析】根据中位数的定义进行求解即可．【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为：=．故选：A．【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．7．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选A【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．8．（5分）如果执行如图的程序框图，输入x=﹣2，h=0.5，那么输出的各个数的和等于（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【分析】按照程序框图的流程，判断出x的值是否满足判断框中的条件，求出所有输出的y值，再将各值加起来．【解答】解：第一次输出y=0；第二次输出y=0；第三次输出0；第四次输出y=0；第经过第五次循环输出y=0；第六次输出y=0.5；第七次输出y=1；第八次输出y=1；第九次输出y=1各次输出的和为0+0+0+0+0+0.5+1+1+1=3.5故选B【点评】本题考查解决程序框图的循环结构，常用的方法是求出前几次循环的结果找规律．9．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D．【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin2α=，∴cos2（α+）=[1+cos（2α+）]=（1﹣sin2α）=×（1﹣）=．故选A【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）随机地向半圆0＜y＜（a为正常数）内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于的概率为（）A．B．C．D．【分析】因为点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，【解答】解：半圆0＜y＜（a为正常数）内掷一点，原点与该点的连线与x轴的夹角小于的区域如图：点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则；故选A．【点评】本题考查了几何概型的概率求法，首先正确画出满足条件的区域，利用面积比求概率是关键．11．（5分）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|，|PF2|，进而确定最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可得出．【解答】解：不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴﹣，∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣，化为=0，解得．故选C．【点评】熟练掌握双曲线的定义、离心率计算公式、余弦定理是解题的关键．12．（5分）已知f（x）=x2+3x+1，g（x）=+x，若h（x）=f（x）﹣g（x）恰有两个零点，则实数a 的取值为（）A．1 B．C．1或D．【分析】问题转化为a=x3+x2﹣x（x≠1）的交点问题，令h（x）=x3+x2﹣x，（x≠1），画出函数h（x）的图象，结合图象求出a的值即可．【解答】解：联立y=f（x）和y=g（x）得 x2+3x+1=+x，整理可得 a=x3+x2﹣x，且 x≠1．令函数h（x）=x3+x2﹣x，可得函数h（x）的极值点在﹣1和处，画出h（x）的草图，如图示：当x=﹣1时，h（x）=1；当x=时，h（x）=﹣，故当a=1时，y=a和y=h（x）1个交点，因为（1，1）不在h（x）上，不满足条件．故当a=﹣时，结合图象可得y=a和y=h（x）恰有2个交点．综上，只有当a=﹣时，才能满足y=a和y=h（x）恰有2个j交点，故选：B．【点评】本题考查了函数的交点问题，考查数形结合思想以及转化思想，是一道中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（﹣2，1）．【分析】题意可先判断出f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，从而可比较2﹣a2与a的大小，解不等式可求a的范围．【解答】解：∵f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增，又∵f（x）是定义在R上的奇函数，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x）在R上单调递增．∵f（2﹣a2）＞f（a），∴2﹣a2＞a，解不等式可得，﹣2＜a＜1，故答案为：（﹣2，1）．【点评】本题主要考查了奇函数在对称区间上的单调性相同（偶函数对称区间上的单调性相反）的性质的应用，一元二次不等式的求解，属于基础试题．14．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA+bsinB＜csinC，则△ABC的形状是钝角三角形．【分析】利用正弦定理化简已知不等式可得a2+b2＜c2，进而利用余弦定理可求cosC＜0，结合C的范围即可判断得解．【解答】解：△ABC中，由正弦定理可得＞0，∴sinA=，sinB=，sinC=．∵asinA+bsinB＜csinC，∴+＜，即a2+b2＜c2．∴cosC=＜0．∵0＜C＜π，∴＜C＜π．∴角C为钝角．∴△ABC的形状是钝角三角形．故答案为：钝角三角形．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，余弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，熟练掌握正弦定理和余弦定理是解题的关键，属于基础题．15．（5分）若函数f（x）=2sin（x+）（2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与f（x）的图象交于B、C两点，O为坐标原点，则（+）•= 32 ．【分析】根据“f（x）=2sin（x+）（2＜x＜10）的图象与x轴交于点A”求出A点坐标，设B（x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解【解答】解：由f（x）=2sin（x+）=0，可得x+=kπ，∴x=6k﹣2，k∈Z∵2＜x＜10∴x=4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0∴（+）•=（x1+x2，y1+y2）•（4，0）=4（x1+x2）=32故答案为：32．【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键正弦函数对称性质的应用．16．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤（）2，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故答案为：（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+c2=b2﹣ac．（1）求B的大小；（2）设∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2，BD=1，求cosC的值．【分析】（1）利用余弦定理可得：cosB=﹣，B∈（0，π），可得B．（2）在△ABD中，由正弦定理可得：=，解得sin∠BAD．cos∠BAC=cos2∠BAD=1﹣2sin2∠BAD．可得sin∠BAC=．可得cosC=cos（60°﹣∠BAC）．【解答】解：（1）在△ABC中，∵a2+c2=b2﹣ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac．∴cosB==﹣=﹣，B∈（0，π），可得B=．（2）在△ABD中，由正弦定理可得：=，解得sin∠BAD==．cos∠BAC=cos2∠BAD=1﹣2sin2∠BAD=1﹣×2×=．∴sin∠BAC===．∴cosC=cos（60°﹣∠BAC）=+=．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式、角平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生表2：女生等级优秀合格尚待改进等级优秀合格尚待改进频数15 x 5 频数15 3 y（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（2）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．男生女生总计优秀非优秀总计参考数据与公式：K2=，其中n=a+b+c+d．临界值表：P（K2＞k0）0.05 0.05 0.01k0 2.706 3.8416.635【分析】（1）由题意可得非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为10个，设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C的结果为6个，根据概率公式即可求解．（2）由2×2列联表直接求解即可．【解答】解：（1）设从高一年级男生中抽出m人，则=，m=25，∴x=25﹣20=5，y=20﹣18=2，表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为：（a，b）（a，c）（b，c）（A，B）（a，A），（a，B），（b，A）（，b，B），（c，A）（c，B），共10种．设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C的结果为：（a，A），（a，B），（b，A）（，b，B），（c，A）（c，B），共6种．∴P（C）==，故所求概率为．男生女生总计优秀15 15 30非优秀10 5 15总计25 20 45（2）∵1﹣0.9=0.1，p（k2＞2.706）=0.10，而K2====1.125＜2.706，所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．思路点拨（1）由题意可得非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为10个，设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C的结果为6个，根据概率公式即可求解．（2）由2×2列联表直接求解即可．【点评】本考查了独立检验思想在实际问题中的应用，属于中档题．19．（12分）如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．（1）证明：CF⊥平面MDF；（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．【分析】（1）要证CF⊥平面MDF，只需证CF⊥MD，且CF⊥MF即可；由PD⊥平面ABCD，得出平面PCD⊥平面ABCD，即证MD⊥平面PCD，得CF⊥MD；（2）求出△CDE的面积S△CDE，对应三棱锥的高MD，计算它的体积V M﹣CDE．【解答】解：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面ABCD；又平面PCD∩平面ABCD=CD，MD⊂平面ABCD，MD⊥CD，∴MD⊥平面PCD，CF⊂平面PCD，∴CF⊥MD；又CF⊥MF，MD、MF⊂平面MDF，MD∩MF=M，∴CF⊥平面MDF；（2）∵CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF，又∵Rt△PCD中，DC=1，PC=2，∴∠P=30°，∠PCD=60°，∴∠CDF=30°，CF=CD=；∵EF∥DC，∴=，即=，∴DE=，∴PE=，∴S△CDE=CD•DE=；MD===，∴V M﹣CDE=S△CDE•MD=××=．【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，解题时应结合图形，明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直的相互转化关系是什么，几何体的体积计算公式是什么，是中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），离心率是，原点与C直线x=1的交点围成的三角形面积是．（1）求椭圆方程；（2）若直线l过点（，0）与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），D是椭圆C的右顶点，求∠ADB是定值．【分析】（1）由椭圆的离心率公式e===，点P（1，y）（y＞0），根据三角形的面积公式即可求得y值，代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）当l斜率不存在时，，；当l斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理y1+y2及y1•y2，求得=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），•=x1•x2﹣2（x1+x2）+y1•y2+4=0，，∠ADB是定值．．【解答】解：（1）由题意可知：e===，整理得：a2=b2，由直线x=1与椭圆相交，交点P（1，y）（y＞0），由题意可知：•1•2y=，解得：y=，将P（1，）代入椭圆方程，，解得b2=3，a2=4，∴椭圆的方程为：，．（2）当l斜率不存在时，，∴，∴；当l斜率存在时，设直线，由得（196+147m2）y2+84my﹣576=0，∵l与C有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），∴△＞0，且，∴，∵=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），•=x1•x2﹣2（x1+x2）+y1•y2+4，=+，==0，∴，综上．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜﹣时，a=﹣时，﹣＜a＜0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，可得f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增；②当a＜0时，若a=﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（1，ln（﹣2a））递减；若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；x→﹣∞，f（x）→+∞．f（x）有两个零点；②当a=0时，f（x）=（x﹣2）e x，所以f（x）只有一个零点x=2；③当a＜0时，若a＜﹣时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a≥﹣时，f（x）在（1，+∞）单调递增，又x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．[选修4-4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【分析】解法一：（Ⅰ）由参数方程消去参数α，得椭圆的普通方程，由极坐标方程，通过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线l的倾斜角．（Ⅱ）设出直线l的参数方程，代入椭圆方程并化简，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，利用参数的几何意义求解即可．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）利用直线l的普通方程与椭圆的方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【解答】解法一：（Ⅰ）由消去参数α，得，即C的普通方程为．（2分）由，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）（3分）将代入（*），化简得y=x+2，（4分）所以直线l的倾斜角为．（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），即（t为参数），（7分）代入并化简，得．（8分）．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，所以t1＜0，t2＜0，（9分）所以．（10分）解法二：（Ⅰ）同解法一．（5分）（Ⅱ）直线l的普通方程为y=x+2．由消去y得10x2+36x+27=0，（7分）于是△=362﹣4×10×27=216＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以x1＜0，x2＜0，（8分）故．（10分）【点评】本小题考查直线的极坐标方程和参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R（1）求m，n的值；（2）若a，b，c∈R+，且a+b+c=m﹣n，求证：++．【分析】（1）若不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R，故3x2﹣6x﹣9=0时，x2+mx+n=0，进而由韦达定理得到答案；（2）运用重要不等式a+b≥2，结合累加法和三个数的完全平方公式，即可得证．【解答】（1）解：∵不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R，令3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1，或x=3，故x=﹣1，或x=3时，x2+mx+n=0，则x=﹣1和x=3为方程x2+mx+n=0的两根，故﹣1+3=2=﹣m，﹣1×3=﹣3=n，解得：m=﹣2，n=﹣3，当m=﹣2，n=﹣3时，不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|即为|x2﹣2x﹣3|≤3|x2﹣2x﹣3|，即有|x2﹣2x﹣3|≥0，则解集为R，故m=﹣2，n=﹣3；（2）证明：若a，b，c∈R+，且a+b+c=m﹣n=1，由a+b≥2，b+c≥2，c+a≥2．累加得，2a+2b+2c≥2+2+2，两边同时加a+b+c，可得3（a+b+c）≥a+b+c+2+2+2，即有3（a+b+c）≥（++）2，即++≤=．（当且仅当a=b=c时取得等号）则++≤成立．【点评】本题考查不等式的解法和运用，主要考查不等式的恒成立转化为求函数的最值，同时考查二次方程的韦达定理的运用，运用均值不等式和累加法是证明不等式的关键．。
2021届陕西省西安市第一中学高三上学期第一次考试数学(文)试题Word版含答案
2021届陕西省西安市第一中学高三上学期第一次考试数学（文）试题一、选择题（每小题5分，共60分）1.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（）A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈BC．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B2.已知集合A={0，1，2}，B={1，m}，若A∩B=B，则实数m的取值集合是（）A．{0} B．{2} C．{0，2} D．{0，1，2}3.若函数f（x）=1+是奇函数，则m的值为（）A．0 B． C．1 D．24.在等差数列{an }中，a1+a2=1，a2016+a2017=3，Sn是数列{an}的前n项和，则S2017=（）A．6051 B．4034 C．2017 D．10095.已知向量与的夹角为，||=，则在方向上的投影为（）A． B． C．D．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4+2πB．8+2πC．4+πD．8+π7.执行如图的程序框图，若程序运行中输出的一组数是（x，﹣12），则x的值为（）A．27 B．81 C．243 D．7298.已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（）A． B．C．D．9.某食品厂只做了3种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”、“和谐福”、“友善福”、每袋食品随机装入一张卡片，若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品4袋，获奖的概率为（）A．B．C．D．10.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数11.直线xcosα+y+2=0的倾斜角范围是（）A．[，）∪（，] B．[0，]∪[，π）C．[0，] D．[，]12.设F1，F2是双曲线1byax2222=-(a＞0，b＞0)的两个焦点，若点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，|PF1|•|PF2|=2，则b=（）A．1 B．2 C．2 D．22二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知函数f（x）=，则f[f（0）]= ．14.已知α∈（，π），且sin+cos=，则cosα的值．15.已知实数x ，y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+-≤-+02y 2x 01y x 204y x ，则x+3y 的最大值为 ．16.已知一组正数x 1，x 2，x 3的方差s 2=（x 12+x 22+x 32﹣12），则数据x 1+1，x 2+1，x 3+1的平均数为 ．三、解答题（每小题12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在锐角△ABC 中， =（1）求角A ； （2）若a=，求bc 的取值范围．18.如右上图，设长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=2，Q 是AA 1的中点，点P 在线段B 1D 1上；（1）试在线段B 1D 1上确定点P 的位置，使得异面直线QB 与DP 所成角为60°，并请说明你的理由；（2）在满足（1）的条件下，求四棱锥Q ﹣DBB 1P 的体积．19.（08年山东卷文）（本小题满分12分）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄语，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． （Ⅰ）求被选中的概率； （Ⅱ）求和不全被选中的概率．20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1by a x 2222=+（a ＞b ＞0）的离心率为32，C 为椭圆上位于第一象限内的一点． （1）若点C 的坐标为（2，35），求a ，b 的值； （2）设A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且=21OC ，求直线AB 的斜率． 21.已知函数f （x ）=lnx ﹣x ． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若方程f（x）=m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2，证明：x1•x22＜2．请考生从22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），曲线C2的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）射线θ=﹣与曲线C1的交点为P，与曲线C2的交点为Q，求线段PQ的长．23. （本小题满分10分）已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤2的解集；（Ⅱ）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合[，1]，求实数a的取值范围．2021届陕西省西安市第一中学高三上学期第一次考试数学（文）试题参考答案1.C2.C3.D4.C5.C6.D7.B【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的运行过程，并分析程序执行过程中，变量x、y值的变化规律，即可得出答案【解答】解：由程序框图知：第一次运行x=3，y=﹣3，（3﹣3）；第二次运行x=9，y=﹣6，（9，﹣6）；第三次运行x=27，y=﹣9，（27，﹣9）；第四次运行x=81，y=﹣12，（81，﹣12）；…；所以程序运行中输出的一组数是（x，﹣12）时，x=81．故选：B．8. D【考点】导数的运算；函数的图象．【分析】根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解：由f′（x）图象可知，函数f（x）先减，再增，再减，故选：D．9.B【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】购买该食品4袋，购买卡片编号的所有可能结果为：n=34，获奖时至多有2张卡片相同，且“富强福”、“和谐福”、“友善福”三种卡片齐全，由此能求出购买该食品4袋，获奖的概率．【解答】解：购买该食品4袋，购买卡片编号的所有可能结果为：n=34，获奖时至多有2张卡片相同，且“富强福”、“和谐福”、“友善福”三种卡片齐全，相同的2张为，在4个位置中选2个位置，有种选法，其余2个卡片有种选法，∴获奖包含的基本事件个数m==36，∴购买该食品4袋，获奖的概率为p==．故选：B．10.D【考点】反证法．【专题】反证法．【分析】“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的反面是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．即可得出．【解答】解：用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．故选：D．【点评】本题考查了反证法，属于基础题．11.B【考点】直线的倾斜角．【分析】本题考查的知识点是直线的斜率与倾斜角之间的转化关系，由直线的方程xcosα+y+2=0，我们不难得到直线的斜率的表达式，结合三角函数的性质，不得得到斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，进一步可以得到倾斜角的取值范围．【解答】解：设直线的倾斜角为θ，则tanθ=﹣cosα．又﹣1≤cosα≤1，∴﹣≤tanθ≤．∴θ∈[0，]∪[，π）．故选B12.A【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=m，|PF2|=n，则mn=2，m2+n2=4c2，|m﹣n|=2a，由此，即可求出b．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则mn=2，m2+n2=4c2，|m﹣n|=2a，∴4c2﹣4a2=2mn=4，∴b2=c2﹣a2=1，∴b=1，故选A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查勾股定理的运用，属于中档题．13.0【考点】对数的运算性质．【分析】由函数的解析式求得f（0）的值，进而求得f[f（0）]的值．【解答】解：∵函数，则f（0）=30=1，1=0，∴f[f（0）]=f（1）=log2故答案为 0．14.【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】采用“平方”将sin+cos=化简可得sinα的值，即可求解cosα的值．【解答】解：∵sin+cos=，∴（sin+cos）2=1+sinα=，即sinα=．又∵α∈（，π），∴cosα==．故答案为15.10【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+3y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得B（1，3），代入目标函数z=x+3y得z=1+3×3=10故答案为：10．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．16.3【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据方差的公式求得原数据的平均数后，求得新数据的平均数即可．【解答】解：由方差的计算公式可得：S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]= [x12+x22+…+xn2﹣2（x1+x2+…+xn）•+n2]= [x12+x22+…+xn2﹣2n2+n2]= [x12+x22+…+xn2]﹣2=（x12++x32﹣12）可得平均数=2．对于数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数是2+1=3，故答案为：3．17.【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由余弦定理可得：a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知整理可得sin2A=1，从而可求A 的值．（2）由（1）及正弦定理可得bc=，根据已知求得角的范围，即可求得bc 的取值范围．【解答】解：（1）由余弦定理可得：a2+c2﹣b2=2accosB，，∴sin2A=1且，（2），又，∴b=2sinB ，c=2sinC ， bc=2sin •2sinC=，，∴．18.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设D 1P=λD 1B 1，把P 的坐标用λ表示，然后分别求出的坐标，再由|cos ＜＞|=cos60°列式求得λ值得答案；（2）由图可得四棱锥Q ﹣DBB 1P 的高为A 1P ，再求出底面直角梯形的面积，代入棱锥体积公式求得四棱锥Q ﹣DBB 1P 的体积． 【解答】解：（1）P 是线段B 1D 1中点． 证明如下：以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则D （0，0，0），Q （1，0，1），B （1，1，0），D 1（0，0，2），B 1（1，1，2）， 设D 1P=λD 1B 1，则，∴P （λ，λ，2），∴=（λ，λ，2），又=（0，1，﹣1），∴|cos ＜＞|=||=cos60．∴||=，解得：；（2）连接A 1P ，则A 1P ⊥平面DBB 1D 1，∵A1Q∥平面DBB1D1，∴四棱锥Q﹣DBB1P的高为．=．∴=．19.【解析】（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间{，，，，，，，，}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用表示“恰被选中”这一事件，则{，}事件由6个基本事件组成，因而．（Ⅱ）用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，由于{}，事件有3个基本事件组成，所以，由对立事件的概率公式得．20.【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用抛物线的离心率求得=，将（2，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值；（2）方法二：设直线OC的斜率，代入椭圆方程，求得C的纵坐标，则直线直线AB的方程为x=my﹣a，代入椭圆方程，求得B的纵坐标，由=，则直线直线AB的斜率k==；方法二：由=，y2=2y1，将B和C代入椭圆方程，即可求得C点坐标，利用直线的离心率公式即可求得直线AB的斜率．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e===，则=，①由点C在椭圆上，将（2，）代入椭圆方程，，②解得：a2=9，b2=5，∴a=3，b=，（2）方法一：由（1）可知： =，则椭圆方程：5x2+9y2=5a2，设直线OC的方程为x=my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），，消去x整理得：5m2y2+9y2=5a2，∴y2=，由y2＞0，则y2=，由=，则AB∥OC，设直线AB的方程为x=my﹣a，则，整理得：（5m2+9）y2﹣10amy=0，由y=0，或y1=，由=，则（x1+a，y1）=（x2， y2），则y2=2y1，则=2×，（m＞0），解得：m=，则直线AB的斜率=；方法二：由（1）可知：椭圆方程5x2+9y2=5a2，则A（﹣a，0），B（x1，y1），C（x2，y2），由=，则（x1+a，y1）=（x2， y2），则y2=2y1，由B，C在椭圆上，∴，解得：，则直线直线AB的斜率k==．直线AB的斜率．21【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）确定函数的定义域，求导数，即可求函数f（x）的单调区间；（2）证明x2＞2，构造g（x）=lnx﹣x﹣m，证明g（x）在（0，1）上单调递增，即可证明结论．【解答】解：（1）f（x）=lnx﹣x的定义域为（0，+∞）…令f′（x）＜0得x＞1，令f′（x）＞0得0＜x＜1所以函数f（x）=lnx﹣x的单调减区间是（1，+∞），单调递增区间（0，1）……（2）由（1）可设f（x）=m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，满足lnx﹣x﹣m=0且0＜x1＜1，x2＞1，lnx1﹣x1﹣m=lnx2﹣x2﹣m=0 …由题意可知lnx2﹣x2=m＜﹣2＜ln2﹣2 …又由（1）可知f（x）=lnx﹣x在（1，+∞）递减故x 2＞2 … 令g （x ）=lnx ﹣x ﹣m g （x 1）﹣g （）=﹣x 2++3lnx 2﹣ln2 …令h （t ）=+3lnt ﹣ln2（t ＞2），则h ′（t ）=﹣．当t ＞2时，h ′（t ）＜0，h （t ）是减函数，所以h （t ）＜h （2）=2ln2﹣＜0．… 所以当x 2＞2 时，g （x 1）﹣g （）＜0，即g （x 1）＜g （） …因为g （x ）在（0，1）上单调递增， 所以x 1＜，故x 1•x 22＜2． …综上所述：x 1•x 22＜2 … 22.【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的普通方程； （2）通过方程组求出P 、Q 坐标，然后利用两点间距离公式求解即可． 【解答】解：（1）曲线C 1的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），普通方程为（x ﹣1）2+y 2=1，（y ＜0）， 极坐标方程为ρ=2cos θ，θ∈（﹣，0），曲线C 2的参数方程为（t 为参数），普通方程2x+y ﹣6=0； （2）θ=﹣，，即P （，﹣）；θ=﹣代入曲线C 2的极坐标方程，可得ρ′=6，即Q （6，﹣），∴|PQ|=6﹣=5．23.【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（ I）运用分段函数求得f（x）的解析式，由f（x）≤2，即有或或，解不等式即可得到所求解集；（Ⅱ）由题意可得当时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立．即有（x﹣2）max≤a≤（x+2）min．求得不等式两边的最值，即可得到a的范围．【解答】解：（ I）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+|2x﹣1|，f（x）≤2⇒|x﹣1|+|2x﹣1|≤2，上述不等式可化为或或解得或或…∴或或，∴原不等式的解集为．…（ II）∵f（x）≤|2x+1|的解集包含，∴当时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，…即|x﹣a|+|2x﹣1|≤|2x+1|在上恒成立，∴|x﹣a|+2x﹣1≤2x+1，即|x﹣a|≤2，∴﹣2≤x﹣a≤2，∴x﹣2≤a≤x+2在上恒成立，…∴（x﹣2）max ≤a≤（x+2）min，∴，所以实数a的取值范围是．…。
陕西省西安市长安区第一中学2021-2022学年高一上学期第一次质量检测数学试题
综上： ，
所以a的取值范围是(－∞，－1]．
故答案为：(－∞，－1]．
17.奇函数 满足:① 在 内单调递增;② .则不等式 的解集为__________．
利用奇函数在对称区间上的单调性，求解不等式即可得出结果.
因为 在 内单调递增，且 ，所以 时， ； 时， ；
本题以新定义的形式考查了元素与集合关系的判断，同时考查了运算求解的能力.
14.已知 不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
A
由分段函数知，分两部分讨论函数的单调性，从而可得 在 上是减函数，化恒成立问题为 在 ， 上恒成立；从而化为最值问题即可．
解：由 ，知：
①当 时， ，
求分段函数递增（递减）要注意以下两点：
（1）在各个分段上分别递增（递减）；
（2）在衔接点处也要递增（递减），此处为易错点.
20.设函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 _______．
构造函数 ，由奇偶性定义可知 为奇函数，知 ，由此可求得结果.
，
令 ，则 ，
为 上的奇函数， ，即 ，
.
故答案为： .
三、解答题：（共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21.已知集合 ， 或 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
（1） 或 ；
（2） .
（1）求出集合 再与集合 进行交集运算即可求解；
（2）当 时符合题意，当 时，由 列不等式组解不等式组即可求解.
【小问1详解】
当 时， ， 或 ，
C
逐一判断给定的3个集合，是否满足“好集”的定义，最后综合讨论结果，可得答案.
陕西西安2021高三数学上第一次质量检测(文)(解析版)
2021届陕西省西安市高三上学期第一次质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2450A x x x =--<，{}1,0,1,2,3,5B =-，则AB =（ ）．A ．{}1,0-B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3【答案】D【分析】解一元二次不等式求出集合A ，两集合取交集即可. 【详解】因为{}15A x x =-<<，{}1,0,2,3,5B =-，所以{}0,1,2,3A B =．故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及一元二次不等式，属于基础题. 2．若i 为虚数单位，(23)i i +=（ ） A ．32i - B ．32i + C ．32i -- D ．32i -+【答案】D【分析】根据复数的基本运算可求出结果． 【详解】()2232332i i i i i +=+=-+.故选：D.3．已知点()2,3A -在抛物线22y px =的准线上，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【分析】由题意点()2,3A -在抛物线的准线上得到22p-=-可得答案. 【详解】由已知得，抛物线22y px =的准线方程为2px =-，且过点()2,3A -， 故22p-=-，则4p =. 故选：C.4．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{}n a 中，2a ，8a ，12a 依次成等比数列，则4a 的值是（ ）A ．1619B ．2219C ．26-D ．58【答案】A【分析】由已知得11a =和28212a a a =⋅，可求出119d =-，利用等差数列的通项公式得到4a . 【详解】设公差不为零的等差数列{}n a 的公差为d ，则有0d ≠， 因为2a ，8a ，12a 依次成等比数列，11a =，所以有28212a a a =⋅，即121(71)1()()a d a d a d +=++，整理得2119d a d =-，因为0d ≠，所以119a d =-，119d =-， 因此14316311919a a d =+=-=， 故选：A.5．观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】观察九宫格中的图形变化规律，发现图中8个图形中，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，根据些规律得到正确的答案． 【详解】观察已知的8个图象，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的， 根据这些规律观察四个答案， 发现B 符合要求． 故选B ．【点睛】本题主要考查了归纳推理，它的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A ．6B ．8C ．12D ．24【答案】B【分析】由三视图画出该三棱锥的直观图，进而求出该三锥体的体积即可.【详解】由三视图画出该三棱锥的直观图，如下图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，4AB =，BC CD ⊥，且4BC =，3CD =， 所以该三棱锥的体积1114348332BCDV S AB =⋅=⨯⨯⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查三视图，考查三棱锥体积的计算，考查学生的空间想象能力，属于基础题.7．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+其中(0,2)ϕπ∈，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切x ∈R 恒成立，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦B ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】先由三角函数的最值得π2π6k ϕ=+，由其范围求得函数()f x 的解析式，进而可得单调增区间. 【详解】因为对任意(),6x R f x f π⎛⎫∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以sin 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π2π6k ϕ=+，又因为(0,2)ϕπ∈，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，解得()36k x k k πππ-≤≤π+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间是,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； 故选：B.8．已知定义域为R 的函数()f x 满足()2()f x f x +=，且当01x ≤≤时，()2(12)f x g x =+，则()2021f -=（ ） A ．lg3- B ．lg 9 C ．lg 3D ．0【答案】C【分析】由()()2f x f x +=得出函数的周期2T =，所以()()20211f f -=代入解析式可得答案. 【详解】由()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数的周期2T =，且当01x ≤≤时，()2(12)f x g x =+，所以()()20211lg3f f -==. 故选：C.9．直线1y kx =+与曲线()ln f x a x b =+相切于点()1,2P ,则2a b +=( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】直线1y kx =+与曲线()ln f x a x b =+相切于点()1,2P ,可得1,2,k b ==求得()f x 的导数,可得1a =,即可求得答案. 【详解】直线1y kx =+与曲线()ln f x a x b =+相切于点()1,2P将()1,2P 代入1y kx =+可得:12k += 解得:1k =()ln f x a x b =+∴ ()af x x'=由(1)11af '==,解得:1a =. 可得()ln f x x b =+,根据()1,2P 在()ln f x x b =+上∴ ()1ln12b f =+=,解得:2b =故222 4.a b +=+= 故选:A.【点睛】本题考查了根据切点求参数问题,解题关键是掌握函数切线的定义和导数的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.10．设1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则该双曲线的离心率为（ ） A ．43 B ．53C ．94D ．3【答案】B【分析】利用双曲线的定义结合已知条件可得出22949b b ab -=，可求得b a，再由公式e =可求得双曲线的离心率的值.【详解】由双曲线的定义得122PF PF a -=，又123PF PF b +=，()()2222121294PFPF PFPF b a +--=-，即1249PF PF ab ⋅=，因此22949b a ab -=，即29940b b a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则33140b b a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得43b a =，13b a =-（舍去），因此，该双曲线的离心率为53c e a ====. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键就是利用双曲线的定义建立a 、b 所满足的齐次等式，考查计算能力，属于中等题.11．天干地支纪年法(简称干支纪年法)是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲､乙，丙､丁､戊､己､庚，辛，壬､癸；地支有十二，即：子､丑､寅､卯､辰，巳､午，未､申､酉､戌､亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：2049年是新中国成立100周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（ ）年. A ．己巳 B ．甲申C ．戊寅D ．丙戌【答案】C【分析】利用列举法确定正确选项.【详解】列表如下：2049年是己巳年，往后数9年，得2058年是戊寅年. 故选：C12．三棱柱111ABC A B C -中，棱1AB AC AA 、、两两垂直，12AA =，底面ABC 是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．8 B ．10πC ．12πD ．π【答案】 C【分析】三棱柱底面是等腰直角三角形，把它补成一个正方体，正方体的外接球就是三棱柱的外接球，而正方体的对角线是球的直径，由此可得球半径，从而计算出表面积．【详解】底面ABC 是面积为2的等腰直角三角形，所以直角边长为2，所以三棱柱111ABC A B C -可以补充成边长为2的正方体，其外接球半径为：2=，所以球O 的表面积为2412ππ=， 故选：C ．.二、填空题13．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩，则2x y -的最大值为__________.【答案】4【分析】作出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出. 【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影分所示.令2,2z x y y x z =-=-，作直线2y x =，向下平移，易知当直线经过点(2)0，时z 最大，所以max 2204z =⨯-=. 故答案为：4.14．某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10121414151516171717、、、、、、、、、，记这组数据的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则,,a b c 由大到小的顺序为________. 【答案】c b a >>【分析】根据平均数，中位数，众数的定义求出,,a b c 后可判断． 【详解】平均效10121421521617310a ++⨯+⨯++⨯=14.7=，中位数15b =，众数=17c ，则c b a >>. 故答案为：c b a >>.15．已知实数x ，y 满足约束条件010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪⎩，则23x y z +=的最大值__________.【答案】9【分析】先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合求出2x y +的最大值即得解.【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域， 设12,22m m x y y x =+∴=-+，它表示斜率为12-，纵截距为2m的直线系， 要求23x y z +=的最大值即求m 的最大值. 当直线122m y x =-+经过点(0,1)A 时，直线的纵截距2m最大，m 最大. 此时max 022m =+=， 所以23x y z +=的最大值为239=. 故答案为：9【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数）；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数）在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。
长安区2021年高三上册数学试题及答案
长安区2021年高三上册文科数学试题第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.全集{}{}{}213,13,20U x Z x A x Z x B x Z x x =∈-≤≤=∈-<<=∈--≤，则()U C A B =（ ）A.{}1-B.{}1,2-C.{}12x x -<< D.{}12x x -≤≤2．设p ∶10||2x <-，q ∶260x x +-<，则p 是q 的 ( )A 充要条件. B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件3. 圆2220x y x +-=上的动点P 到直线30x y --=的最短距离为（ ）A.2B.2C.21+D. 21-4.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.24π+B.28π+C.44π+D.48π+ 5.函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只要将()f x 的图像 ( )A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位 6. 从某商场十月份30天每天的销售额记录中任取10天的销售额记录（单位：万元），用茎叶图表示如图，则由此估计该商场该月份销售总额约为（ ）A. 240万元B. 540万元C. 720万元D. 900万元7. 函数)(x f y =满足 (2)()f x f x +=-，当(]2,2x ∈-时，2()1f x x =-，则()f x 在[0,2020]上零点值的个数为（ ） A.1009 B.1010 C.2019 D.2020 8. 函数y ＝lncos x (-2π＜x ＜)2π的图象是( )9. 数列{}n a 满足)(11,211++∈-+==N n a a a a nnn ，则2021321...a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为( ) A. 2 B. -6 C. 3 D. 110.B A ,是过抛物线y x 42=的焦点的动弦，直线21,l l 是抛物线两条分别切于B A ,的切线，则21,l l 的交点的纵坐标为（ ）A.1-B. 4-C. 14-D. 116-20064198321011. 已知中 ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AH 为BC 边上的高， 以下结论: ① ；② 为锐角三角形；③ ；④其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 412.已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c R =+++∈，若函数)(x f 在区间[1,0]-上是单调减函数，则22b a +的最小值为( )A ．54 B ．57 C ．59 D ．511第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷(文科)(一模)
2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（文科）（一模）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}（）A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3} 2．（5分）i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i3．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．84．（5分）已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．585．（5分）观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（）A．B．C．D．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．247．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若，则f（x）的单调递增区间是（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．09．（5分）直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．110．（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D．311．（5分）天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，辛，壬、癸；地支有十二，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌12．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AB、AC、AA1两两垂直，AA1＝2，底面△ABC是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上（）A．8B．10πC．12πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知x，y 满足约束条件，则2x﹣y的最大值为．14．（5分）某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为a，众数为c，则a ，b ．15．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，角A、B 、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．18．（12分）某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入y（单位：万元）的数据如表：年份2014201520162017201820192020年份代号t12345672.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9人均纯收入y（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝﹣．19．（12分）如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，△P AD为正三角形，E、F分别是AD、CD的中点．（1）证明：BD⊥PF；（2）若M是棱PB上一点，三棱锥M﹣P AD与三棱锥P﹣DEF的体积相等，求M点的位置．20．（12分）已知椭圆离心率为，点A，B，D，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．21．（12分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1（x）的极大值为M，求证：M≤．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（文科）（一模）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}（）A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{﹣2，0，1，6，3，∴A∩B＝{0，7，2，3}．故选：D．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则直接求解．【解答】解：i（2+3i）＝2i+3i2＝﹣3+2i．故选：D．【点评】本题考查复数的求法，考查复数的代数形式的乘除运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．8【分析】求出抛物线的直线方程，利用已知条件求解p即可．【解答】解：由已知得，抛物线y2＝2px的准线方程为，且过点A（﹣2，故，p＝4．故选：C．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，准线方程的求法，是基础题．4．（5分）已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．58【分析】设公差不为零的等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由已知可得a1＝1，再由等比数列的性质列式求得d，则a4的值可求．【解答】解：设公差不为零的等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2，a2，a12依次成等比数列，∴a82＝a5a12，即（a1+7d）7＝（a1+d）（a1+11d），可得19d6＝﹣a1d，∵d≠0，∴a4＝﹣19d，又由已知可得a1＝1，在，因此，，故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，是基础的计算题．5．（5分）观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（）A．B．C．D．【分析】本题考查的归纳推理，要根据九宫格中的图形变化规律，探究变化趋势，并进行猜测，根据猜想的结论，进行判断．因为图中8个图形中，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，所以不难根据些规律选择正确的答案．【解答】解：观察已知的8个图象，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，根据这些规律观察四个答案，发现B符合要求．故选：B．【点评】本题主要考查了归纳推理，它的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．24【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以，由于锥体的高为5，故．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．7．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．【分析】首先根据已知条件求出函数的解析式，再由正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ∈（0，若对于一切x∈R恒成立，则2×+φ＝7kπ+，所以φ＝2kπ+，k∈Z，由于φ∈（0，2π），所以φ＝，即f（x）＝sin（2x+），令5kπ﹣≤2x+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，即f（x）的单调递增区间是．故选：B．【点评】本题主要考查三角函数解析式的确定，正弦函数的单调性，属于中档题．8．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．0【分析】根据题意，由f（x+2）＝f（x）可得f（x）是周期为2的周期函数，则有f（﹣2021）＝f（1），由解析式计算可得答案．【解答】解：根据题意，定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，则有f（﹣2021）＝f（4﹣2×1011）＝f（1），又由当0≤x≤2时，f（x）＝lg（x2+2），则f（1）＝lg4，则f（﹣2021）＝f（1）＝lg3，故选：C．【点评】本题考查函数的求值，涉及函数的周期性，属于基础题．9．（5分）直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．1【分析】由P为切点，可得k＝1，b＝2，求得f（x）的导数，可得a＝1，可得所求和．【解答】解：直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，7），可得k+1＝2，即k＝2，f（x）的导数为f′（x）＝，即有a＝1，则2a+b＝3+2＝4．故选：A．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，以及方程思想和运算能力，属于基础题．10．（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【分析】解法一：不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|＝ex+a，|PF2|＝ex﹣a，结合条件可得a＝b，从而c＝＝b，即可求出双曲线的离心率．解法二：根据已知条件和定义，就可以求得|PF1|，|PF2|，然后代入|PF1|•|PF2|＝ab，即可得出．【解答】解法一：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|＝ex+a，|PF2|＝ex﹣a，∵|PF8|+|PF2|＝3b，|PF7|•|PF2|＝ab，∴2ex＝3b，（ex）2﹣a2＝ab∴b8﹣a2＝ab2﹣4a5﹣9ab＝0，∴（3b﹣4a）（3b+a）＝8∴a＝b，∴c＝＝b，∴e＝＝．解法二：不妨设不妨设右支上P点，则|PF6|﹣|PF2|＝2a，又|PF3|+|PF2|＝3b，联立解得：|PF5|＝，|PF2|＝，然后代入|PF1|•|PF5|＝ab ×＝ab，∴9b3﹣4a2﹣7ab＝0，∴（3b﹣3a）（3b+a）＝0∴a ＝b，∴c ＝＝b，∴e ＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质、双曲线的第一第一与第二定义的灵活运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，辛，壬、癸；地支有十二，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌【分析】利用已知条件，确定天干和地支的匹配顺序，利用列举法，即可得到答案．【解答】解：根据题意，列表如下：2049年是己巳年，往后数9年．故选：C．【点评】本题考查了推理的应用，解题的关键是得到天干和地支的匹配顺序，考查了逻辑推理能力，属于基础题．12．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AB、AC、AA1两两垂直，AA1＝2，底面△ABC是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上（）A．8B．10πC．12πD．π【分析】画出三棱柱，然后求解几何体的外接球的半径，即可得到外接球的表面积．【解答】解：如图：底面△ABC是面积为2的等腰直角三角形，所以直角边长为2，所以三棱柱ABC﹣A4B1C1可以补充成边长为7的正方体，其外接球半径为：，所以球O的表面积为，故选：C．【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，求解外接球的半径是解题的关键，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知x，y满足约束条件，则2x﹣y的最大值为4．【分析】由约束条件作出可行域，令z＝2x﹣y，则y＝2x﹣z，作直线y＝2x，平移可得，当直线经过点（2，0）时z最大，则答案可求．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影分所示．令z＝2x﹣y，则y＝2x﹣z，向下平移，可知当直线经过点（4，0）时z最大，∴z max＝2×6﹣0＝4．故答案为：6．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14．（5分）某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为a，众数为c，则a，b c＞b＞a．【分析】根据平均数，中位数，众数的定义即可求解．【解答】解：平均数＝14.7，中位数b＝15，众数c＝17，故答案为：c＞b＞a．【点评】本题考查了平均数，中位数，众数的概念，考查了学生对概念的理解，属于基础题．15．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值9．【分析】由约束条件作出可行域，令t＝x+2y，求其最大值，进一步可得z＝3x+2y的最大值．【解答】解：由约束条件直线可行域如图，令t＝x+2y，由图可知，t有最大值为t＝2，此时z＝4x+2y的最大值为9．故答案为：8．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝84．【分析】利用2（S n+2+S n）＝4S n+1+1，推出，说明{a n}为等差数列，求出首项与公差，然后求解数列的和即可．【解答】解：2（S n+2+S n）＝5S n+1+1，化为，即，∵，∴{a n}为等差数列，公差，∴．故答案为：84．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，是基础题．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得a2+c2﹣b2＝ac，利用余弦定理可求cos B＝，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求当角B最大时b，B，C的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）因为，所以＝＝，整理可得a2+c3﹣b2＝ac，可得cos B＝＝＝，因为B∈（6，π），可得B＝．（2）在△ABC中，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c＝4b，所以cos B＝≥，当且仅当b＝，此时B＝，所以△ABC的面积S＝ab＝＝．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．（12分）某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入y（单位：万元）的数据如表：年份2014201520162017201820192020年份代号t12345672.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9人均纯收入y（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝﹣．【分析】（1）求出样本中心坐标，回归直线方程的系数，得到回归直线方程．（2）将2021年的年份代号t＝8代入（1）中的回归方程求解预报值，即可．【解答】解：（1）由所给数据计算得＝，＝．，．．，所求回归方程为．（2）由（1）知，b＝0.8＞0，平均每年增加0.2万元．将2021年的年份代号t＝8代入（1）中的回归方程得．故预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为8.3万元．【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．（12分）如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，△P AD为正三角形，E、F分别是AD、CD的中点．（1）证明：BD⊥PF；（2）若M是棱PB上一点，三棱锥M﹣P AD与三棱锥P﹣DEF的体积相等，求M点的位置．【分析】（1）连接AC，证明PE⊥AD．推出PE⊥平面ABCD，然后证明BD⊥PE．证明EF∥AC．结合BD⊥AC，推出BD⊥EF，BD⊥PE，即可证明BD⊥平面PEF；推出BD ⊥PF．（2）连接MA、MD，设，利用，转化求解λ，即可得到结果．【解答】（1）证明：连接AC，∵P A＝PD且E是AD的中点．又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD．∴PE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD．又ABCD为菱形，且E、CD的中点．∵BD⊥AC，∴BD⊥EF，PE∩EF＝E，EF⊂平面PEF，∴BD⊥平面PEF；∴PF⊂平面PEF，∴BD⊥PF．（2）解：如图，连接MA，设，则，∴，又．∴．解得，即M点在PB上靠近P点的四等分点处．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间选项能力，转化思想，考查学生的分析问题解决问题的核心素养，是中档题．20．（12分）已知椭圆离心率为，点A，B，D，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．【分析】（1）由离心率，四边形ADBE的面积，列方程组，解得a，b，进而可得椭圆的方程．（2）由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），F（2，0），设T（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由k TA＝k P A，k TB＝k QB，得＝，＝，两式相除得＝•，又＝﹣，代入化简，得＝﹣•，设直线PQ的方程为x＝my+2，联立椭圆的方程，由韦达定理得y1y2，y1+y2，化简即可得出结论．【解答】解：（1）设椭圆C的半焦距为c，根据题意，，解得，所以椭圆的方程为+＝1．（2）证明：由（1）知A（﹣3，4），0），0），设T（x7，y0），P（x1，y3），Q（x2，y2），由k TA＝k P A，得＝，k TB＝k QB，得＝，两式相除得＝•，又+＝1，故﹣1＝﹣，，故＝﹣，于是＝•＝﹣•，由于直线PQ经过点F，故设直线PQ的方程为x＝my+2，联立椭圆的方程可得（5m7+9）y2+20my﹣25＝2，所以，所以＝﹣••＝﹣••＝，解得x0＝，所以点T横坐标为定值．【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1（x）的极大值为M，求证：M≤．【分析】（1）由a＝b＝c，可得f（x）＝（x﹣a）3，根据f（4）＝8，可得（4﹣a）3＝8，解得a．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．根据f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，通过分类讨论可得：只有a＝3，b＝﹣3，可得＝＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．利用导数研究其单调性可得x＝1时，函数f（x）取得极小值．（3）a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b．Δ＞0．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，令x1＝t∈，可得：b＝．M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）＝t（t﹣b）（t﹣1）＝，利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（7﹣a）3＝8，∴2﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c8．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a．f′（x）＝（x﹣b）7+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣6a）．令f′（x）＝0，解得x＝b．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，5}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝∉A．a＝1，b＝﹣3，则＝∉A．a＝﹣3，b＝3，则＝，舍去．．a＝3，b＝6，则＝＝，舍去．a＝1，b＝3，则＝，舍去．a＝3，b＝﹣2，则＝，因此a＝5，b＝﹣3，，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）6．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣3）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值2＝﹣32．（3）证明：a＝2，0＜b≤1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣4）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝7x2﹣（2b+6）x+b．Δ＝4（b+1）6﹣12b＝4b2﹣8b+4＝4+7≥3．令f′（x）＝3x7﹣（2b+2）x+b＝8．解得：x1＝∈，x6＝．x1＜x3，x1+x2＝，x7x2＝，可得x＝x3时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+4）x1+b＝0，令x4＝t∈，可得：b＝．∴M＝f（x7）＝x1（x1﹣b）（x7﹣1）＝t（t﹣b）（t﹣1）＝，M′＝．令g（t）＝﹣6t3+12t2﹣2t+2，g′（t）＝﹣18t2+24t﹣2＝﹣2（3t﹣5）2＜0，∴函数g（t）在t∈上单调递减，＝．∴t•g（t）＞0．∴M′＞0．∴函数M（t）在t∈上单调递增，∴M（t）≤＝．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，【分析】（1）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2代入ρ2+12ρcosθ+11＝0，求出圆的标准方程，即可求解圆的圆心坐标．（2）直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11＝0．利用韦达定理以及弦长公式，转化求解即可．【解答】解：（1）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ3代入ρ2+12ρcosθ+11＝0，得x4+y2+12x+11＝0，即（x+6）2+y2＝25，所以圆C的圆心坐标为（﹣3，0）；（2）在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ8，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11＝0．于是ρ5+ρ2＝﹣12cosα，ρ1ρ2＝11，，由，得，，tanα＝＝，所以l的斜率为或．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程与普通方程的互化，参数方程与普通方程的互化，考查计算能力．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）代入a的值，求出g（x）的解析式，得到关于x的不等式，解出即可；（2）问题转化为f（x）mix≥g（x）max即可，求出f（x）的最小值是1，求出g（x）的最大值是a﹣，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）当时，，不等式g（x3）＜﹣，即，即，解得x2＞4或x2＜﹣3（舍去），由x2＞6，解得x＜﹣2或x＞2，所以不等式的解集是（﹣∞，+∞）．（2）由题意知，只需满足f（x）mix≥g（x）max即可，因为f（x）＝x2+1，所以f（x）min＝1，依题意，当时，g（x）＝，得f（x）min≥g（x）max，得，即，所以，即a的取值范围是[，]．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查求函数最值问题，考查转化思想，是中档题．。
《精编》陕西省西安中学高三数学上学期第一次质量检测试题(理科实验班)新人教A版.doc
陕西省西安中学高2021届高考质量检测一数 学〔本场考试共120分钟，总分150分〕考试是对学习情况的综合考查，不仅是一场文化知识的考试，更是一场道德品质的检测。
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用实际行动维护考试的公平、公正，是我们每一位学生的义务。
我们应该用诚信的考试构筑老实的人生。
让我们牢记“老实为人、诚信考试〞，努力营造公平、公正的考试环境！一、选择题：〔本大题共10小题，每题5分，总分值50分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，把正确的答案写在答题纸上指定位置〕 1、集合{}1,0,1A =-，{}124x B x =≤<，那么A B ⋂等于〔 〕A ．{1}B ．{-1，1}C ．{1，0}D ．{－1，0，1} 2、命题2:,560p x R x x ∃∈-+<，那么〔 〕 A ．2:,560p x R x x ⌝∃∈-+≥ B ．2:,560p x R x x ⌝∀∈-+<C ．2:,560p x R x x ⌝∀∈-+>D ．2:,560p x R x x ⌝∀∈-+≥3、以下各组函数是同一函数的是〔 〕①()f x =()g x = ②()f x x =与()g x =③0()f x x =与01()g x x=； ④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。
A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．①④4、 假设函数()y f x =是函数(0,1)x y a a a =>≠且的反函数，其图像经过点)a ，那么()f x =〔 〕 A ．2log x B ．12x C ．12log x D ．2x 5、设()4x f x e x =+-，那么函数()f x 的零点位于区间〔 〕A ．〔-1，0〕B ．〔0，1〕C ．〔1，2〕D ．〔2，3〕6、函数xy xe =的最小值是( )A ．－1B ．－eC ．－1eD ．不存在7、 函数()y f x =在定义域(－32，3)内的图象如以下列图，记()y f x =的导函数为'()y f x =，那么不等式'()0f x ≤的解集为( )A ．[－1，12]∪[43，83]B ．[－13，1]∪[2,3)C ．(－32，12]∪[1,2)D ．(－32，－13]∪[12，43)∪[43，3)8、假设一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,那么称这些函数为“同族函数〞,那么函数解析式为2y x =,值域为{}1,4的“同族函数〞共有〔 〕A ． 7个B ． 8个C ． 9个D ． 10个9、()f x 是定义在实数集R 上的增函数，且(1)0f =，函数()g x 在(,1]-∞上为增函数，在[1,)+∞上为减函数，且(4)(0)0g g ==，那么集合{|()()0}x f x g x ≥= 〔 〕A ． {|4}x x ≤B ． {|04}x x ≤≤C ． {|014}x x x ≤≤≤或D ． {|014}x x x ≤≤≥或10、对于上可导的任意函数()f x ，假设满足'(1)()0x f x -≥，那么必有〔 〕A (0)(2)2(1)f f f +<B (0)(2)2(1)f f f +≤ C(0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +>二、填空题：〔本大题共5小题，每题5分，总分值25分，把正确的答案写在答题纸上指定位置〕11、函数xx y 142+=单调递增区间是 12、设22 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥，假设()3f x =，那么x = 。
2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷(理科)(一模)有答案
2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（理科）（一模）一、选择题：本题共12小题，每小题，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合M＝{x|x2−3x−10<0}，，则(∁R N)∩M为（）A.{x|3<x<5}B.{x|x<−3或x>5}C.{x|−3≤x≤−2}D.{x|−3<x<5}2. i(2+3i)=()A.3−2iB.3+2iC.−3−2iD.−3+2i3. 已知点A(−2, 3)在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A.1B.2C.4D.84. 已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A. B. C.−26 D.585. 从点P(m, 3)向圆(x−2)2+y2＝1引切线，则切线长的最小值（）A. B.5 C. D.6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A.6B.8C.12D.247. 已知函数f(x)＝sin(2x+φ)其中φ∈(0, 2π)，若对于一切x∈R恒成立，则f(x)的单调递增区间是（）A. B.C. D.8. 已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)＝f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝lg(x2+2)，则f(−2021)＝（）A.−lg3B.lg9C.lg3D.09. 直线y＝kx+1与曲线f(x)＝a ln x+b相切于点P(1, 2)，则2a+b＝（）A.4B.3C.2D.110. 设图F1、F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|⋅|PF2|=94ab，则该双曲线的离心率为（）A.4 3B.53C.94D.311. 天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A.己巳B.甲申C.戊寅D.丙戌12. 已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN的最小值为，则下列结论不正确的是（）A.正方体的外接球的表面积为12πB.正方体的内切球的体积为C.正方体的棱长为2D.线段MN的最大值为二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．已知向量，，若，则k＝________．)6展开式中的常数项是________．（用数字回答）二项式(x−1x已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值________．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝________．三、解答题（共7．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万．从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示．（1）估计该地区年龄在71∼80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在71∼80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71∼80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC // EB，DC=EB=2，AB=4．(1)证明：平面ADE⊥平面ACD；(2)当AC与平面ABE所成角为45∘时，求二面角C−AE−B的余弦值．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C 的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．已知函数f(x)＝e x(x+a)，其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）设g(x)＝f(x−a)−x2，讨论函数g(x)零点的个数，并说明理由．（二）选考题：共10．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝x2+1，g(x)＝|x−a|−|2x−1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g(x2)<−；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（理科）（一模）一、选择题：本题共12小题，每小题，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】D【考点】复数的运算【解析】利用复数的代数形式的乘除运算法则直接求解．【解答】解：i(2+3i)=2i+3i2=−3+2i．故选D．3.【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】A【考点】等差数列与等比数列的综合等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】D【考点】圆的切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】【考点】由三视图求体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】B【考点】正弦函数的图象正弦函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】C【考点】求函数的值函数的求值抽象函数及其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】要求离心率，即求系数a，c间的关系，因此只需用系数将题目已知的条件表示出来即可．本题涉及到了焦点弦问题，因此注意结合定义求解．【解答】由双曲线的定义得：|PF1|−|PF2|＝2a，（不妨设该点在右支上）又|PF1|+|PF2|＝3b，所以|PF1|=12(2a+3b),|PF2|=12(3b−2a)，两式相乘得14(9b2−4a2)=94ab．结合c2＝a2+b2得ca=53．故e=53．11.【答案】C【考点】进行简单的合情推理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】D【考点】棱柱的结构特征棱锥的结构特征异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【答案】12【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量数量积的性质及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】−20【考点】二项式定理及相关概念【解析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数为0，求出r的值，再求展开式的常数项．【解答】)6＝[x+(−x−1)]6，二项式(x−1x其展开式的通项公式为：T r+1=C6r⋅x6−r⋅(−x−1)r＝(−1)r⋅C6r⋅x6−2r，当6−2r＝0时，得r＝3，所以展开式的常数项为：T4＝(−1)3⋅C63=−20．【答案】9【考点】简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】84【考点】数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（共7．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．【答案】因为，所以＝＝，整理可得a2+c5−b2＝ac，可得cos B＝＝＝，因为B∈(7, π)，可得B＝．在△ABC中，b2＝a2+c2−2ac cos B，c＝4b，所以cos B＝≥，当且仅当b＝，此时B＝，所以△ABC的面积S＝ab＝＝．【考点】余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】由题知该地区居民约为2000万，由图1知，该地区年龄在71∼80岁的居民人数为0.004×10×2000＝80万．由图3知．年龄在71∼80岁的居民签概率为0.7．所以该地区年龄在71∼80岁且已签约家庭医生的居民人数为80×8.7＝56万．由题知此地区年龄段在71∼80的每个居民签约家庭医生的概率为P＝0.7，且每个居民之间是否签约是独立的，所以设“从该地区年龄在71∼80岁居民中随机抽取三人”为事件B，随机变量为X，这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为：．数学期望E(X)＝3×0.7＝5.1，方差D(X)＝3×5.7×0.3＝0.63．【考点】离散型随机变量的期望与方差频率分布直方图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】证明：(1)∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，又DC∩AC=C，∴BC⊥平面ACD.∵DC // EB，DC=EB，∴四边形DCBE是平行四边形，∴DE // BC，∴ DE ⊥平面ACD ，又DE ⊂平面ADE ，∴ 平面ACD ⊥平面ADE ．解：(2)AC 与平面ABE 所成角为45∘，即∠CAB =45， ∴ AC =BC =2√2，以C 为原点，以CA ，CB ，CD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则C(0, 0, 0)，E(0,2√2,2)，A(2√2, 0, 0)，B(0,2√2,0)，∴ CA →=(2√2,0,0)，CE →=(0,2√2,2)，设平面CAE 的一个法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅CA →=2√2x =0,n →⋅CE →=2√2y +2z =0,令z =−√2，则n →=(0,1,−√2)，CO →=(√2,√2,0)为平面ABE 的一个法向量，设二面角C −AE −B 的平面角为θ，则cos θ=√2√3×2=√66， ∴ 二面角C −AE −B 的余弦值为√66.【考点】平面与平面垂直的判定用空间向量求平面间的夹角【解析】（1）由BC ⊥AC ，BC ⊥CD 得BC ⊥平面ACD ，证明四边形DCBE 是平行四边形得DE // BC ，故而DE // 平面ACD ，于是平面ADE ⊥平面ACD ；（2）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．【解答】证明：(1)∵ AB 是圆O 的直径，∴ AC ⊥BC ，∵ DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴ DC ⊥BC ，又DC ∩AC =C ，∴ BC ⊥平面ACD .∵ DC // EB ，DC =EB ，∴ 四边形DCBE 是平行四边形，∴ DE // BC ，∴ DE ⊥平面ACD ，又DE ⊂平面ADE ，∴ 平面ACD ⊥平面ADE ．解：(2)AC 与平面ABE 所成角为45∘，即∠CAB =45， ∴ AC =BC =2√2，以C 为原点，以CA ，CB ，CD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则C(0, 0, 0)，E(0,2√2,2)，A(2√2, 0, 0)，B(0,2√2,0)，∴ CA →=(2√2,0,0)，CE →=(0,2√2,2)，设平面CAE 的一个法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅CA →=2√2x =0,n →⋅CE →=2√2y +2z =0,令z =−√2，则n →=(0,1,−√2)，CO →=(√2,√2,0)为平面ABE 的一个法向量，设二面角C −AE −B 的平面角为θ，则cos θ=√2√3×2=√66， ∴ 二面角C −AE −B 的余弦值为√66.【答案】设椭圆C 的半焦距为c ，根据题意，，解得，所以椭圆的方程为+＝1．证明：由（1）知A(−3, 3)，0)，0)，设T(x 6, y 0)，P(x 1, y 3)，Q(x 2, y 2)，由k TA＝k PA，得＝，k TB＝k QB，得＝，两式相除得＝•，又+＝1，故−1＝-•，故＝-，于是＝•＝-•，由于直线PQ经过点F，故设直线PQ的方程为x＝my+2，联立椭圆的方程可得(5m3+9)y2+20my−25＝8，所以，所以＝-••＝-••＝，解得x0＝，所以点T横坐标为定值．【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系椭圆的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】因为f(x)＝e x(x+a)，所以f′(x)＝e x(x+a+1)．……………………………………………………………由f′(x)>0，得x>−a−1；由f′(x)<0，得x<−a−1．……………………………………………………………所以f(x)的增区间是(−a−1, +∞)，减区间是(−∞, −a−1)．……………………因为g(x)＝f(x−a)−x2＝xe x−a−x2＝x(e x−a−x)．由g(x)＝0，得x＝0或e x−a−x＝0．……………………………………………………………………设ℎ(x)＝e x−a−x，又ℎ(0)＝e−a≠0，即x＝0不是ℎ(x)的零点，故只需再讨论函数ℎ(x)零点的个数．因为ℎ′(x)＝e x−a−1，所以当x∈(−∞, a)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；当x∈(a, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增．………………………………………所以当x＝a时，ℎ(x)取得最小值ℎ(a)＝1−a．……………………………………①当ℎ(a)>0，即a<1时，ℎ(x)>0，ℎ(x)无零点；………………………………②当ℎ(a)＝0，即a＝1时，ℎ(x)有唯一零点；………………………………………③当ℎ(a)<0，即a>1时，因为ℎ(0)＝e−a>0，所以ℎ(x)在(−∞, a)上有且只有一个零点．…………………………………………令x＝2a，则ℎ(2a)＝e a−2a．设φ(a)＝ℎ(2a)＝e a−2a(a>1)，则φ′(a)＝e a−2>0，所以φ(a)在(1, +∞)上单调递增，所以，∀a∈(1, +∞)，都有φ(a)≥φ(1)＝e−2>0．所以ℎ(2a)＝φ(a)＝e a−2a>0．……………………………………………………所以ℎ(x)在(a, +∞)上有且只有一个零点．所以当a>1时，ℎ(x)有两个零点．……………………………………………………综上所述，当a<1时，g(x)有一个零点；当a＝1时，g(x)有两个零点；当a>1时，g(x)有三个零点．…………………………………………………………【考点】利用导数研究函数的单调性函数的零点与方程根的关系【解析】（1）求导，解关于导函数的不等式即可得出结论；（2）分析可知，只需讨论函数ℎ(x)＝e x−a−x零点的个数，然后分类讨论即可得出结论．【解答】因为f(x)＝e x(x+a)，所以f′(x)＝e x(x+a+1)．……………………………………………………………由f′(x)>0，得x>−a−1；由f′(x)<0，得x<−a−1．……………………………………………………………所以f(x)的增区间是(−a−1, +∞)，减区间是(−∞, −a−1)．……………………因为g(x)＝f(x−a)−x2＝xe x−a−x2＝x(e x−a−x)．由g(x)＝0，得x＝0或e x−a−x＝0．……………………………………………………………………设ℎ(x)＝e x−a−x，又ℎ(0)＝e−a≠0，即x＝0不是ℎ(x)的零点，故只需再讨论函数ℎ(x)零点的个数．因为ℎ′(x)＝e x−a−1，所以当x∈(−∞, a)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；当x∈(a, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增．………………………………………所以当x＝a时，ℎ(x)取得最小值ℎ(a)＝1−a．……………………………………①当ℎ(a)>0，即a<1时，ℎ(x)>0，ℎ(x)无零点；………………………………②当ℎ(a)＝0，即a＝1时，ℎ(x)有唯一零点；………………………………………③当ℎ(a)<0，即a>1时，因为ℎ(0)＝e−a>0，所以ℎ(x)在(−∞, a)上有且只有一个零点．…………………………………………令x＝2a，则ℎ(2a)＝e a−2a．设φ(a)＝ℎ(2a)＝e a−2a(a>1)，则φ′(a)＝e a−2>0，所以φ(a)在(1, +∞)上单调递增，所以，∀a∈(1, +∞)，都有φ(a)≥φ(1)＝e−2>0．所以ℎ(2a)＝φ(a)＝e a−2a>0．……………………………………………………所以ℎ(x)在(a, +∞)上有且只有一个零点．所以当a>1时，ℎ(x)有两个零点．……………………………………………………综上所述，当a<1时，g(x)有一个零点；当a＝1时，g(x)有两个零点；当a>1时，g(x)有三个零点．…………………………………………………………（二）选考题：共10．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ6代入ρ2+12ρcosθ+11＝0，得x6+y2+12x+11＝0，即(x+7)2+y2＝25，所以圆C的圆心坐标为(−4, 0)；在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ4，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11＝0．于是ρ3+ρ2＝−12cosα，ρ1ρ6＝11，，由，得，，tanα＝＝，所以l的斜率为或．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】当时，，不等式g(x7)<−，即，即，解得x2>4或x8<−3（舍去），由x2>2，解得x<−2或x>2，所以不等式的解集是(−∞, +∞)．由题意知，只需满足f(x)mix≥g(x)max即可，因为f(x)＝x7+1，所以f(x)min＝1，依题意，当时，g(x)＝，得f(x)min≥g(x)max，得，即，所以，即a的取值范围是[，]．【考点】绝对值不等式的解法与证明函数恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
陕西省西安市高三数学第一次质量检测试题 理(含解析)
西安市2021届高三年级第一次质量检测理科数学注意事项：1. 本卷共150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则集合（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则集合.本题选择A选项.2.在复平面内，为虚数单位，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,选D.3.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（）（A）直线AA1 （B）直线A1B1（C）直线A1D1（D）直线B1C1【答案】D【解析】试题分析：只有与在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中直线与都是异面直线，故选D．考点：异面直线4.的展开式的常数项是（）A. -3B. -2C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】把所给的二项式展开，观察分析可得展开式中的常数项的值．【详解】，∴展开式的常数项.故选:D.【点睛】本题考查二项式定理的应用，求展开式中指定项的系数，属于基础题．5.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为有两个零点，所以排除B；当时，，排除C；当时，，排除D,故选A．6.某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A. 192种B. 216种C. 240种D. 288种【答案】B【解析】试题分析：完成这件事件，可分两类：第一类，最前排甲，其余位置有中不同的排法；第二类，最前排乙，最后有4种排法，其余位置有种不同的排法；所以共有种不同的排法.考点：1.分类加法计数原理；2.分步乘法计数原理；3.排列知识.7.若直线：与圆：无交点，则点与圆的位置关系是（）A. 点在圆上B. 点在圆外C. 点在圆内D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】由题意知圆心到直线的距离大于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，再利用两点间的距离公式判断，可得出结论．【详解】直线：与圆：无交点，则，即，∴点在圆内部.故应选C.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，属于基础题.8.已知函数的图象最新轴对称，且函数在上单调，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前21项之和为（）A. 0B.C. 21D. 42【答案】C【解析】【分析】由函数y＝f（x+1）的图象最新y轴对称，可得y＝f（x）的图象最新x＝1对称，由题意可得，运用等差数列的性质和求和公式，计算可得到所求和．【详解】函数的图象最新轴对称，平移可得的图象最新对称，且函数在上单调，由数列是公差不为0的等差数列，且，可得，所以，可得数列的前21项和. 故选：C.【点睛】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．9.中，，，，则外接圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件利用余弦定理可求c，再利用正弦定理求得外接圆半径，即可求得面积．【详解】中，，，且，由余弦定理可知，∴；又，∴由正弦定理可知外接圆半径为.所以外接圆面积为.故应选C.【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，及三角形外接圆面积的计算，属于基础题．10.已知，，在球的球面上，，，，直线与截面所成的角为，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，分析得到BC即为A，B，C所在平面截球得到的圆的直径，根据直线AO与平面ABC成30°角，求出球半径后，代入球的表面积公式，即可得到答案．【详解】在中，由余弦定理得到求得，由勾股定理得为直角，∴中点即所在小圆的圆心，∴平面，且小圆半径为1，又直线与截面所成的角为，∴在直角三角形中，球的半径为,∴球的表面积为.故应选D.【点睛】本题考查了球的截面问题，考查了球的表面积公式，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键，属于中档题．11.设为双曲线：的右焦点，，若直线的斜率与的一条渐近线的斜率的乘积为3，则的离心率为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】设出焦点坐标，根据已知列出最新a、b、c的方程，然后求解离心率．【详解】设为，，若直线与的一条渐近线的斜率乘积为3，可得：，可得，即，可得，，解得.故应选B.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及斜率公式，考查计算能力，属于基础题．12.设函数，若实数满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：对函数求导得，函数单调递增，，由知，同理对函数求导，知在定义域内单调递增，，由知，所以.考点：利用导数求函数的单调性.【方法点睛】根据函数单调性和导数的关系，对函数求导得，函数单调递增，，进一步求得函数的零点；同理对函数求导，知在定义域内单调递增，，由知的零点，所以.二、填空题：本题共4小题.13.已知向量与的夹角为，，，则_______．【答案】1【解析】【分析】根据题意，设||＝t，（t＞0），由数量积的计算公式可得•，进而由||，平方可得9+3t+t2＝13，解得t的值，即可得答案．【详解】根据题意，设||＝t，（t＞0），向量与的夹角为60°，||＝3，则•，又由||，则（）22+2•2＝9+3t+t2＝13，变形可得：t2+3t﹣4＝0，解可得t＝﹣4或1，又由t＞0，则t＝1；故答案为1．【点睛】本题考查向量数量积的计算公式，考查了向量的模的转化，属于基础题．14.设函数在点处的切线方程为，则______．【答案】3【解析】【分析】对求导，得在点处的切线斜率，由切线方程的斜率，即可得到a的值．【详解】函数的导数为，得在点处的切线斜率为，因为函数在点处的切线方程为，所以，解得. 故答案为：【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，导数的几何意义，属于基础题．15.设，，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数对的对数为______．【答案】2【解析】【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同求得a、b即可．【详解】∵对于任意实数都有，则函数的周期相同，若，此时，此时，若，则方程等价为，则，则，综上满足条件的有序实数组为，，共有2组.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．16.已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到准线的距离为______．【答案】【解析】试题分析：设A、B的横坐标分别是m、n，由抛物线定义，得=m++n+= m+n+=3，故m+n=，，故线段AB的中点到y轴的距离为考点：本题考查了抛物线的性质点评：抛物线的定义是解决抛物线的距离问题的常见方法三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前项和满足：（为常数，且，）.（1）证明：成等比数列；（2）设，若数列为等比数列，求的通项公式.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）代入n＝1得a1＝t．当n≥2时，由（1﹣t）S n＝﹣ta n+t，得，（1﹣t）S n﹣1＝﹣ta n﹣1+t．作差得a n＝ta n﹣1，由此能证明{a n}是等比数列．（2）由，分别求得，利用数列{b n}为等比数列，则有，能求出t的值．【详解】（1）由，当时，，得，当时，，即，，∴，故成等比数列.（2）由（1）知是等比数列且公比是，∴，故，即，若数列是等比数列，则有，而，，.故，解得，再将代入得：.【点睛】本题考查了由递推关系证明等比数列，考查了等比数列的应用，考查了运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．18.某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：喜欢不喜欢合计大于40岁20 5 2520岁至40岁10 20 30合计30 25 55（1）判断是否有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？（2）已知20岁到40岁喜欢“人文景观”景点的市民中，有3位还比较喜欢“自然景观”景点，现在从20岁到40岁的10位市民中，选出3名，记选出喜欢“自然景观”景点的人数为，求的分布列、数学期望.（参考公式：，其中）【答案】（1）有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关；（2）见解析【解析】【分析】（1）计算K2的值，与临界值比较，即可得到结论；（2）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和．【详解】（1）由公式，所以有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关.（2）随机变量可能取得值为0，1，2，3.∴，，，，∴的分布列为0 1 2 3则.【点睛】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19.如图所示，四棱锥的底面是矩形，侧面是正三角形，，，.（1）求证：平面平面；（2）若为中点，求二面角的大小.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取AB中点H，连结PH，推导出PH⊥AB，由勾股定理得PH⊥HC，从而PH⊥平面ABCD，由此能证明平面PAB⊥平面ABCD．（2）以H为原点，HA为x轴，在平面ADCB过H作AB的垂线为y轴，以HP为z轴，建立空间直角坐标系H﹣xyz，利用向量法能求出二面角．【详解】（1）取中点，连接，∵是正三角形，为中点，，∴，且.∵是矩形，，，∴.又∵，∴，∴.∵，∴平面.∵平面，∴平面平面.（2）以为原点,HA为x轴，在平面ADCB过H作AB的垂线为y轴，以HP为z轴，建立建立如图所示的空间之间坐标系，则，，，，，则，.设平面的法向量为，由，解得，即平面的一个法向量为.又平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，∴，又∵，∴，∴二面角的平面角为.【点睛】本题考查面面垂直的判定定理，考查二面角平面角的值，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，利用向量法是解决问题的常用方法，属于中档题．20.已知椭圆：的短轴长为，离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于不同两点，.线段的垂直平分线交轴于点.（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可知：2b＝2，，则a＝2c，代入a2＝b2+c2，求得a，即可求得椭圆C的标准方程；（2）分类讨论，设直线MN的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），代入椭圆方程，求出线段MN的垂直平分线方程，令x＝0，得，利用基本不等式，即可求的取值范围，再考虑斜率不存在的情况，取并集得到的取值范围．【详解】（1）由题意可得：，，又，联立解得，，.∴椭圆的方程为.（2）当斜率存在时，设直线的方程为，，，中点，把代入椭圆方程，得到方程，则，，，，所以的中垂线的方程为，令，得，当时，，则；当时，，则，当斜率不存在时，显然，当时，的中垂线为轴.综上，的取值范围是.【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，确定线段MN的垂直平分线方程是关键，属于中档题．21.已知函数.（1）若，且函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；（2）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）＝，求其导函数，利用F（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，得≥0在（0，+∞）上恒成立，得，设，利用导数求最大值可得正实数p的取值范围；（2）设函数＝f（x）﹣g（x）＝px﹣，x∈[1，e]，转化为在[1，e]上至少存在一点x0，使得求函数的导函数，然后对p 分类求的最大值即可.【详解】（1），.由定义域内为增函数，所以在上恒成立，所以即，对任意恒成立，设，=0的根为x=1得在上单调递增，在上单调递减，则，所以，即.（2）设函数，，因为在上至少存在一点，使得成立，则，①当时，，则在上单调递增，，舍；②当时，，∵，∴，，，则，舍；③当时，，则在上单调递增，，得，综上，.【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数的范围，不等式能成立问题转化为研究新函数的最值，体现了转化与分类讨论的数学思想方法，属于中档题．22.[选修4-4：坐标系及参数方程]已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程及曲线上的动点到坐标原点的距离的最大值；（2）若曲线与曲线相交于，两点，且与轴相交于点，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【试题分析】(I)将方程展开后化为直角坐标方程,利用勾股定理求得的长度并求得其最大值.(II)求出直线的参数方程,代入椭圆方程,利用直线参数的几何意义求得的值.【试题解析】（Ⅰ）由得，即曲线的直角坐标方程为根据题意得，因此曲线上的动点到原点的距离的最大值为（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线与轴交点的坐标为，曲线的参数方程为:，曲线的直角坐标方程为联立得……8分又，所以23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）设函数.当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用绝对值的定义，去掉绝对值号，转化为一般不等式，即可求解不等式的解集；（Ⅱ）利用绝对值三角不等式，即可求解最小值，得，即可求解实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）当时，.由，解得.所以，不等式的解集为.（Ⅱ）（当且仅当时取等号）（当且仅当时取等号）.综上，当时，有最小值.故由题意得，解得，或. 所以，实数的取值范围为.。
陕西省西安市第一中学2021届高三数学上学期模拟调研考试试题 文
π ５π ７π －π６Ｂ．１和 －７．设函数 ｆｘ）＝２ｃｏｓ（２ｘ＋φ）＋ａ（ φ ＜ ）在［－ ， ］上的图像大致如图， ａ ｉ ２ ２ ２ ，ｃｏｓα＋３ｓｎα＋１＝０，则 ｔｎα＝（ ）１０．已知 α∈ － ， ()Ｃ．３２Ｃ．１ Ｄ．槡２ｚ ＝（ ）Ａ．１ ｏ５ ( )３Ｄ．１和２ ２ ：程：ｙ＝２ｚ，则（ ） ＾ ５．已知变量 ｘ，ｙ，ｚ都是正数，ｙ与 ｘ的回归方程：ｙ＝ｂｘ＋３，且 ｘ每增加 １个单位，ｙ减少 ２个单位，ｙ与 ｚ的回归方２２． １ｏ２５ ２３ｏｉ ， {Ａ．１ｓｎα ｃｏｓ３πｓｎ３π ｃｏｓα Ｄ． Ａ．ｃｏｓ Ｂ．ｓｎα ４，则球 Ｏ的表面积为（ ）限的一点 Ａ，Ｆ１为左焦点，直线 Ｆ１Ａ的倾斜角为 π Ａ．－槡３ Ｂ．－槡３１１．过双曲线 Ｃ：２－ ２（ａ＞０，ｂ＞０）的右焦点 Ｆ２且与 ｘ轴垂直的直线与双曲线 Ｃ交于第一象 Ｃ．槡３Ｄ．槡３陕西省西安市第一中学2021届高三数学上学期模拟调研考试试题 文（则 ａ与 φ分别为（ ）２ １２ １２π３注意事项：Ｃ．１和 ππ６１．本试卷共 ４页，考试时间 １２０分钟，卷面总分 １５０分。
２．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上。
８．若 １ ａ３ ＝５，则 ａｌｇ３＝（ ）３．全部答案写在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
４．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 １２小题，每小题 ５分，共 ６０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． ｚ＝－１＋ｉ则 ｚ＋１Ａ．０Ｂ．槡２２．已知集合 Ａ＝{ｘｘ－ａ≤４}，Ｂ＝{ｘｘ（ｘ－３）≤０}，且 Ａ∩Ｂ＝{ｘ０≤ｘ≤２}则 ａ＝（ ） Ａ．－２Ｂ．０Ｃ．２Ｄ．４３．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式。
宋代称为撮尖，清代称攒尖。
依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角 攒尖、八角攒尖。
也有单檐和重檐之分。
多见于亭阁式建筑，园林建筑。
陕西省西安市长安区第一中学2021届高三第一学期第一次教学质量检测数学(文)试卷Word版含答案
长安一中2020—2021学年度第一学期第一次质量检测高三年级 数学(文科)第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数为纯虚数，则实数的值为 A ．3 B ．1 C ．-3 D ．1或-3 2．已知为等差数列,若,则的值为 A ．B ．C ．D ．3．若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为A ．B ．C ．D ．2 4．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图像，则只需将的图像A ．向右平移个长度单位B ．向右平移个长度单位 C ．向左平移个长度单位D ．向左平移个长度单位5．设∶，∶，则是的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6. 函数21()log f x x x =-的零点所在区间为（ ）A.1(0,)2B.1(,1)2 C.(1,2) D.(2,3)7. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ） A.5100 B.2550 C.5050 D.1002(23)(1)z x x x i =+-+-x {}n a 1598a a a π++=28cos()a a +21-23-212322221(0)x y a b a b +=>>3212222=-bx a y 357()sin()f x A x ωϕ=+0,||2A πϕ><x x g 2sin )(=()f x 6π12π6π12πp 210||2x x -<-q 260x x +->p q8．已知直线与圆交于两点，且 （其中为坐标原点），则实数的值为 A ．B ．C ．或D ．或9.已知，则函数的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．410. 在抛物线上取横坐标为,的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆相切，则抛物线的顶点坐标是A. (-2,-9)B. (0,-5)C. (2,-9)D. (1,-6)11.已知点F 1、F 2是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +的最小值是（ ）A.0B.1C.2D.2212．已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且，则A ．2B ．3C ．4D ．0 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在题中的横线上. 13. 右图中的三个直角三角形是一个体积 为的几何体的三视图，则h =cm14．已知＝2·，＝3·,＝4·,….若＝8· （均为正实数），类比以上等式，可推测的值，则＝15．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且2,60c C ︒==，则sin sin a bA B ++ =．16．函数21(0)()2ln x (0)x x f x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数为_________． x y a +=224x y +=,A B ||||OA OB OA OB +=-O a 2622-66-22a <<22()2f x a x x =-+-25(0)y x ax a =+-≠14x =-22x =225536x y +=()f x x R ∈(4)()2(2)f x f x f +-=(1)y f x =-1x =(1)2f =(2013)f =320cm 223＋23338＋384415＋4158a t ＋a t,a t ,a t a t +三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分12分)已知函数为偶函数，且（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若为三角形的一个内角，求满足的的值. 18．（本题满分12分）如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面， AD =PA =2，，E 、F 分别是AB 、PD 的中点. （Ⅰ）求证：平面PCE 平面PCD ； （Ⅱ）求四面体PEFC 的体积． 19．（本小题满分12分）数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)设,数列的前项和为,求证:. 20．（本小题共12分）已知的边所在直线的方程为,满足, 点在所在直线上且． （Ⅰ）求外接圆的方程；（Ⅱ）一动圆过点，且与的 外接圆外切，求此动圆圆心的轨迹的方程；（Ⅲ）过点斜率为的直线与曲线交于相异的两点，满足，求的取值范围．2()2sin()cos()()222f x x x x ααα=++++-[]πα,0∈αx ABC ()1f x =x CD ⊥{}n a n S n *N n ∈2,,n n na S a {}n a 21n n b a ={}n b n n T 1n n T n >+ABC ∆AB 360x y --=(20)M ，MC BM =(11)T -，AC 0=⋅ABC ∆(20)N -，ABC ∆ΓA k Γ,P Q 6OP OQ ⋅>k xyMANC TBO21．（本小题满分12分）设函数. （Ⅰ）若，求的最小值；（Ⅱ）若当时，求实数的取值范围.请考生在第22，23，题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22．（本小题10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知圆22:4O x y +=，将圆O 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到曲线C ．（I ）写出曲线C 的参数方程；（II ）设直线:220l x y -+=与曲线C 相交于,A B 两点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线m 过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l 的倾斜角的2倍，求直线m 的极坐标方程． 23.（本小题10分）选修4-5:不等式选讲（I ）若关于x 的不等式123x x a +-->-的解集是空集，求实数a 的取值范围； （II ）对任意正实数,x y<恒成立，求实数k 的取值范围．长安一中2020—2021学年度第一学期第一次质量检测高三年级 数学(文科)参考答案13．4 14. 71 15． 16．2 三、解答题：17．解：（Ⅰ） 由为偶函数得2()2x k f x e x x =--0k =()f x 0x ≥()1f x ≥k 2()2sin()cos()()222f x x x x ααα=++++()f x ,32k k Z ππαπ+=+∈又（Ⅱ）由 得 又 为三角形内角，18. 解（Ⅰ） （Ⅱ）由（2）知， 19.解：（Ⅰ）由已知：对于，总有①成立∴ （n ≥ 2）② ①-②得∴∵均为正数，∴ （n ≥ 2） ∴数列是公差为1的等差数列 又n=1时，， 解得=1, ∴.()(Ⅱ) 解：由（1）可知 20．解：（Ⅰ）,从而直线AC 的斜率为． 所以AC 边所在直线的方程为．即． 由得点的坐标为， 又．所以外接圆的方程为: ． （Ⅱ）设动圆圆心为，因为动圆过点，且与外接圆外切，所以，即． 故点的轨迹是以为焦点，实轴长为，半焦距的双曲线的左支．从而动圆圆心的轨迹方程为． ,6k k Z παπ∴=+∈[0,]6παπα∈∴=()1f x =1cos 22x =x (0,)x π∈2,PA AD AF PD ==∴⊥GE PCD EG PEFC ⊥平面，所以为四面体的高*N n ∈22n n n S a a =+21112n n n S a a ---=+21122----+=n n n n n a a a a a ()()111----+=+n n n n n n a a a a a a 1,-n n a a 11=--n n a a {}n a 21112S a a =+1a n a n =*N n ∈21n b n=0=⋅AB AT AT AB ∴⊥3-13(1)y x -=-+320x y ++=36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩，A (02)-，22(20)(02)22r AM ==-++=ABC ∆22(2)8x y -+=P N ABC ∆M 22PM PN =+22PM PN -=P M N ，222c =Γ221(0)22x y x -=<(Ⅲ)直线方程为：,设由得 解得：故的取值范围为21．解：（Ⅰ）时，，.当时，；当时，. 所以在上单调减小，在上单调增加 故的最小值为（Ⅱ），当时，，所以在上递增， 而，所以，所以在上递增， 而，于是当时， . 当时，由得当时，，所以在上递减，而，于是当时，，所以在上递减， 而，所以当时，.与矛盾。
陕西省西安市长安一中2020-2021学年高三上学期第一次质量检测数学(文)试题
陕西省西安市长安一中【最新】高三上学期第一次质量检测数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}11A x N x =∈-<≤，{}11B x Z x =∈-≤<，则AB =（ ） A ．{}1,0- B ．∅C ．{}0D ．()1,1- 2．已知复数1i z =--（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则2z z +的虚部为（ ） A ．i B ．3 C ．1 D ．3i 3．如图，有四个形状的游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，要想增加中奖机会，则应选择的游戏盘是（ ） A ． B ． C ．D ．4．已知著名的狄利克雷函数()1,0,R x Q f x x Q ∈⎧=⎨∈⎩，其中R 为实数集，Q 为有理数集，若m R ∈，则()()()ff f m 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．无法求5．以()0,02p F p ⎛⎫> ⎪⎝⎭为焦点的抛物线C 的准线与双曲线()2220x y a a -=>两条渐近线相交于M 、N 两点，若OMN ∆的面积为4，则抛物线C 的标准方程为（ ）A ．28y x =B ．28x yC ．24x y =D ．28x y = 6．已知,x y 的对应值表为：且,x y 线性相关，由于表格污损，y 的对应值看不到了，若6119.2i i y==∑，且线性回归直线方程为0.6y x a =+，则8x =时，y 的预报值为（ ）A ．6.1B ．22.1C ．12.6D ．3.57．则判断框中应填入（ ）A ．1i ≥B ．5i ≤C ．5i >D ．7i ≤8．已知命题:p x R ∀∈，40x x +≥，则下列判断正确的是（ ）A ．:p x R ⌝∀∈，40x x +<是真命题B ．:p x R ⌝∀∈，40x x +≤是假命题C ．0:p x R ⌝∃∈，4000x x +≥是真命题D ．0:p x R ⌝∃∈，4000x x +<是假命题 9．如图所示，是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83π- B ．283π- C ．8π- D ．82π-10．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且面积2S =，2c a=，则角B 等于（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π11．已知函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，将()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，()g x 的图象与y 轴交于点A ，与x 轴在y 右侧的第一个交点为B ，则AOB ∆（O 为坐标原点）的面积为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．1412．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点为1F 、2F ，O 为坐标原点，M 为椭圆上一点，1F M 与y 轴交于一点N ，且2OM OF ==，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13BCD 1二、填空题13．已知平面内的点()2,0A ，(),B x y ，()1,3C，若四边形OABC （O 为坐标原点）是平行四边形，则向量OB 的模为______. 14．设不等式组11y x y x ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为M ，则M 的面积是______. 15．sin 75tan195=______.16．已知函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，且函数()y f x =在[)0,+∞上单调递减，若[]1,x e ∈时，不等式()()()2ln 121ln 12f m x f f x m --≤++-恒成立，则实数m 的取值范围是______.三、解答题17．在“互联网+”时代的今天，移动互联快速发展，智能手机（Smartphone ）技术不断成熟，尤其在5G 领域，华为更以1970件专利数排名世界第一，打破了以往由美、英、日垄断的前三位置，再次荣耀世界，而华为的价格却不断下降，远低于苹果；智能手机成为了生活中必不可少的工具，学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一，越来越多的学生在学校里使用手机，为了解手机在学生中的使用情况，对某学校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查，针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如下的数据：（1）求表中a 的值；（2）从该学校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于3.5小时的概率？若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由；（3）若从使用手机1小时和7小时的两组中任取两人，调查问卷，看看他们对使用手机进行娱乐活动的看法，求这2人都使用7小时的概率.18．已知数列{}n a ，{}n b ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2n S n =，12b =，1112n n b a a b a +=+-.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若n T 是数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数n ，使2019n n S T +=，若存在，求出正整数n 的值；若不存在，说明理由.19．如图，在半圆柱W 中，12,O O 分别为两底面半圆的圆心，平面ABCD 是半圆柱的轴截面，M 、N 分别是两底面半圆弧的中点.（1）求证：平面BMC ⊥平面2MNO ；（2）求半圆柱的体积与四棱锥M ABCD -的体积的比值.20．已知函数()()1x f x x e =-，()()21g x a x =+，a R ∈. （1）令()()()h x f x g x =+，若函数()h x 在点()()0,0h 处的切线方程为2y kx =+，求函数()h x 的单调区间；（2）当1a =时，令()()()ln F x g x g x t x '=-+（t 为常数），若函数()F x 有两个极值点(),m n m n <，求证：()11ln 2042F n -<<. 21．已知圆()22:11F x y +-=，动点(),M x y ()0y ≥，线段FM 与圆F 交于点N ，MH x ⊥轴，垂足为H ，MN MH =.（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设()()000,2P x y y >为曲线C 上的一点，过点P 作圆F 的两条切线，12,k k 分别为两切线的斜率，若12311k k =，求点P 的坐标. 22．直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为24cos 2sin 40ρρθρθ+-+=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）过曲线2C 的圆心且倾斜角为4π的直线l 交曲线1C 于A 、B 两点，求22C A C B ⋅的值.23．已知函数()223x a a f x x -+++=. （1）当0a =时，若()f x m ≥恒成立，求m 的最大值；（2）()15f -<，求实数a 的取值范围.参考答案1．C【分析】化简集合A，B，求交集即可.【详解】{}{}110,1A x N x=∈-<≤=，{}11={1,0}B x Z x=∈-≤<-，{0}A B∴=，故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.2．B【分析】根据复数的乘法及加法运算化简，由复数概念即可求解.【详解】1iz=--,22(1)(1)13z z i i i∴+=--+-+=-+,∴复数的虚部为3，故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数的概念，属于容易题.3．B【分析】根据几何概型的概率公式，要使中奖率增加，则转盘的阴影面积与转盘面积比最大即可．【详解】根据几何概型的概率公式可知，中奖的概率等于阴影部分面积与游戏转盘面积之比，由图形知，则A转盘的中奖概率小于12，B转盘的中奖概率是34，C转盘的中奖概率是58，D转盘的中奖概率是23，故选：B．【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，属于容易题．4．B【分析】分别讨论m Q ∈和R m Q ∈可求解．【详解】若m Q ∈，则()1f m =，()()()()()()111f f f m f f f ∴===，若R m Q ∈，则()0f m =， ()()()()()()011f f f m f f f ∴===，故选：B ．【点睛】本题以狄利克雷函数为载体，考查了函数的概念与性质的应用问题，属于容易题. 5．D【分析】根据抛物线的准线方程，以及双曲线的渐近线方程，得出OMN 为等腰直角三角形，根据面积为4列式计算，得出p 的值，即可得出抛物线的标准方程．【详解】抛物线C 的准线为2p y =-，双曲线222(0)x y a a -=>， 两条渐近线为y x =±， OMN ∴为等腰直角三角形， 则2114224OMN p S p p =⋅⋅==， 4p ∴=，抛物线C 的标准方程为28x y =，故选：D ．【点睛】本题主要考查了双曲线和抛物线的性质及几何意义，属于容易题．6．A【分析】 求出,x y ，由线性回归方程必经过点（,x y ）即得a ，代入8x =求解即可.【详解】 由表格知，196x =，6119.2i i y ==∑3.2y ∴=，代入0.6y x a =+得：193.20.66a =⨯+，1.3a ∴=，则回归方程为0.6 1.3y x =+，当8x =时，0.68 1.3 6.1y =⨯+=，故选：A ．【点睛】本题主要考查了线性回归方程，线性回归方程的性质、应用，属于中档题. 7．B【分析】根据框图，模拟程序的运算即可求解.【详解】由程序框图得，S =1i =，满足条件得S =3i =，满足条件得S =5i =，满足条件S =，7i =，否，输出S 的值，结束程序，因此判断框应该是5i ≤，故选：B ．【点睛】本题主要考查了算法的程序框图，基本逻辑结构中的循环结构，属中档题.8．D【分析】根据命题p 的真假及含量词的命题的否定即可求解.【详解】命题p 是真命题，p ∴⌝是假命题，且命题的否定为：，4000x x +<， 故选：D .【点睛】 本题考查了全称量词命题的否定及真假判定,属于容易题.9．B【分析】根据三视图可得几何体的形状及数据，计算即可求值.【详解】由三视图知，该几何体为一个正方体挖去两个半圆锥得到的几何体，∴体积为3211222128323V ππ=-⨯⨯⋅⨯=-， 故选：B ．【点睛】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键属于中档题. 10．C【分析】由三角形面积公式得211csin sin24S a B c B ==，又由2S =可得221sin4c B =化简得sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭即可． 【详解】2c a=， 211csin sin 24S a B c B ∴==，又2S =，221sin4c B ∴= 即221sin4c B =，cos 2B B +=，sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 7666B πππ<+<， 62B ππ∴+=，则3B π=，故选：C ． 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，辅助角公式，三角形面积公式，考查运算化简的能力，属于中档题． 11．A 【分析】根据题目条件，逐步分析，首先得出()f x 的解析式，再变换为()g x 的解析式，求出点A 、B ，易得AOB 的面积． 【详解】由题设知，()f x 的周期为π，22ππωω∴=⇒=，则()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移6π个单位得到，()2cos 22cos 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()02g ∴=，即()0,2A ，()g x 的图象与x 轴在y 右侧的第一个交点为B ，,04B π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，1122244AOBSOA OB ππ=⋅=⨯⨯=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质，属于中档题． 12．D 【分析】由椭圆的性质可先求得3ON =，故可得130NF O ∠=︒，再由椭圆的定义得a ，c 的关系，故可得答案． 【详解】21||OM OF OF ==，1290F MF ∴∠=︒，又2OF =，3ON c ∴=，则11tan ON NFO OF ∠==， 130NF O ∴∠=︒，则2MF c =，1MF =，2c a +=， 1e ∴=，故选：D . 【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，考查椭圆定义的运用，属于中档题. 13．【分析】由OB OA OC =+得出向量的坐标，再求模即可． 【详解】由向量的平行四边形法则知，()()()2,01,33,3OB OA OC =+=+=，23OB ∴==故答案为： 【点睛】本题考查了向量的模和平面向量的坐标运算，属于容易题. 14．2 【分析】作出不等式组所表示的区域，即可求解. 【详解】作出不等式组11y x y x ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩表示的可行域如图所示，则M 为正方形ABCD ，M ∴的面积是2．故答案为：2． 【点睛】本题考查线性规划所表示的可行域面积问题，属于中档题．15．4【分析】根据诱导公式化简即可求值. 【详解】sin 75tan195cos15tan15sin15=︒︒=︒,sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30︒=︒-︒=︒︒-︒︒=, 6sin 75tan195-∴=故答案为：4- 【点睛】本题主要考查了诱导公式，两角差的正弦公式，属于容易题. 16．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得12ln 111ln 2m x m x --≥⇒≥+在[]1,x e ∈时恒成立，故解得m 的取值范围． 【详解】函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，∴函数()y f x =的图象关于()0,0对称，即函数()y f x =为奇函数，不等式()()()212112f m lnx f f lnx m --≤++-变为:()()()211221f m lnx f lnx m f ---+-≤，即()()()212121f m lnx f m lnx f --+--≤，()()211f m lnx f --≤，又()f x 函数在[)0,+∞上单调递减，()f x ∴在R 上单调递减，则12ln 111ln 2m x m x --≥⇒≥+在[]1,x e ∈时恒成立， 11ln 2y x =+在[]1,e 上递增，max 131ln 22y e ∴=+=，故32m ≥．故答案为：3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于难题.17．（1）25％（2）抽取到高二的学生能估计，概率为0.53，抽取到高一高三的学生不能估计（3）115【分析】()1由已知易知100410311612225a =------=％％％％％％％％；()2分情况讨论，当抽到的是高二年级时可以估计，若抽到高一、高三的同学则不能估计；()3抽取6人中编号，写出所有基本事件，找出满足事件A 的结果数，求解．【详解】()1由题设知，100410311612225a =------=％％％％％％％％． ()2样本是从高二年级抽取的，∴根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况．若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于3.5小时的概率大约为：0.040.10.310.080.53+++=；若抽到高一、高三的同学则不能估计；()3由题设知，使用1小时的人共有：10044⨯=％人，设为A ，B ，C ，D ，使用7小时的共有10022⨯=％人，设为a ，b ，从中任选2人有：AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab 共15种情况，其中，这2人都使用7小时的只有ab ，∴所求概率为115P =．【点睛】本题考查样本估计总体，古典概型求概率，属容易题． 18．（1）24n b n =-+（2）存在正整数n 的值为673. 【分析】()1取1n =，2时求得首项1a ，2a ，代入1112n n b a a b a +=+-，整理得到数列{}n b 是等差数列，再求通项公式;()2由等差数列求和公式求得数列{}n b 的前n 项和为T n ，结合2n S n =，再带入数值可求． 【详解】()21n S n =，11a ∴=，221413a S S =-=-=，代入1112n n b a a b a +=+-得，12n n b b +=-，又12b =，∴数列{}n b 是以2为首项，以2-为公差的等差数列，故24n b n =-+；()2由()1知，()()12224322n n n b b n n T n n +-+===-，又2n S n =，2233n n S T n n n n ∴+=+-=，由2019n n S T +=得，32019n =，673n ∴=，故存在正整数n 的值为673． 【点睛】本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，属于中档题． 19．（1）证明见解析（2）34π【分析】（1）由面面垂直的判定定理可得；（2）根据圆柱、四棱锥的体积公式计算即可求解. 【详解】()1证明：M 、N 分别是上下底面圆弧的中点，//MN AB ∴，又平面ABCD 是半圆柱的轴截面，∴四边形ABCD 是矩形，则BC AB ⊥，BC MN ∴⊥，2O 为底面半圆的圆心，N 是底面半圆弧的中点， 2BC O N ∴⊥，又2MN O N N ⋂=，BC ∴⊥平面2MNO ，BC BMC ⊂平面， ∴平面BMC ⊥平面2MNO ；()2设半圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为AB ，∴半圆柱的体积为2112V r AB π=⋅，连结1MO ，由题设知，1MO ⊥平面ABCD ，∴四棱锥M ABCD -的体积为2211122333ABCD V S MO r AB r r AB =⋅=⋅⋅⋅=⋅， 则半圆柱的体积与四棱锥M ABCD -的体积的比值为：2122132243r AB V V r AB ππ⋅==⋅． 【点睛】本题考查了面面垂直的判定、棱柱、圆柱体积的计算，考查推理能力和计算能力，属中档题． 20．（1）单调递减区间(),0-∞和()2,ln +∞，单调递增区间()0,ln2（2）证明见解析 【分析】()1通过函数()h x 在点()()0,0h 处的切线方程求解的出()'2x h x xe x =-+，讨论x 的取值范围可确定()f x 的单调区间；()2函数()F x 由两个极值点m ，n 等价于()2220G x x x t =-+=有两个相异实根m ，n ，得出112n <<，()()222121222F n n n tlnn n n n n lnn =+-+=+-+-+，利用单调性即可证明不等式． 【详解】()1由题设知，()()()211x h x x e a x =-++，函数()h x 在点()()0,0h 处的切线方程为2y kx =+，∴(0)12h a =+=，即1a =()()()'1222x x x x h x e x e x xe x x e ∴=-+-+=-+=-，x ∈R ，令()'0h x =，则0x =或ln2x =，∴当0x <或ln 2x >时，()0h x '<，当0ln 2x <<时，()0h x '> ∴函数()h x 在(),0-∞和()2,ln +∞上单调递减，在()0,ln2上单调递增.() 2证明：当1a =时， ()21g x x =+，()212F x x x tlnx ∴=+-+，0x >，则()222'22t x x t F x x x x-+=-+=，0x >，令()222G x x x t =-+，则()G x 为开口向上且对称轴为12x =的抛物线， 由题设知，()0G x =在()0,∞+上有两个相异实根m ，()n m n <，102m >> 即2220n n t -+=且112n <<，222t n n ∴=-+，112n <<，()()222121222F n n n tlnn n n n n lnn =+-+=+-+-+，()()()'22422242F n n n lnn n n lnn ∴=-+-+-+=-+，112n <<， ()420n lnn ∴-+>，则函数()F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()()112F F n F ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即()11ln2042F n -<<．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．21．（1）24x y =（2）()±【分析】()1利用抛物线的概念及标准方程直接得结论;()2 设过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，则圆心()0,1F到切线的距离为1d ==，化简后利用根与系数的关系即可求解． 【详解】()1圆F 的圆心为()0,1F ，半径为1，1MF MN ∴=+，又MH x ⊥轴，垂足为H ，MN MH =，∴动点()(),0M x y y ≥到点()0,1F 等于到直线1y =-的距离．故动点()(),0M x y y ≥的轨迹是以()0,1F 为焦点的抛物线， 则12p=， 2p ∴=，则动点M 的轨迹C 的方程是24x y =；()2设过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，则圆心()0,1F到切线的距离为1d ==，化简得，()()2220000012120x k x y k y y ---+-=，两切线斜率分别为1k ，2k ，200122021y yk k x -∴=-，由题设知，2002023111y y x -=-，又()00,P x y 为曲线C 上的一点， 由()1知，2004x y =，2000234111y y y -∴=-，即20113430y y -+=， 解得，0111y =或03y =， 02y >，03y ∴=，则0x =± ∴点P的坐标为()±．【点睛】本题考查了抛物线的概念及标准方程和定点与定值问题．属于中档题.22．（1）24y x =；22(2)(1)1x y ++-=（2）152【分析】()1消去参数及利用极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线1C ，2C 的普通方程； ()2由直线l 的参数方程代入24y x =整理得22150t +=，再运用几何意义可得答案． 【详解】()1由24x t y t =⎧⎨=⎩消去参数t 得，曲线1C 的普通方程为24y x =； 222x y ρ=+，x cos ρθ=，y sin ρθ=，∴圆2C 的直角坐标方程为224240x y x y ++-+=，即22(2)(1)1x y ++-=；()2曲线2C 的圆心为()2,1-，直线l 的倾斜角为4π， ∴直线l的参数方程为2(1x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)， 将其代入24y x =整理得，221502t t -+=， 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 则2212152C A C B t t ⋅==． 【点睛】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查圆的标准方程的法，直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，属于中档题.23．（1）3（2）11a <<-+【分析】 ()1当0a =时，()3f x x x =++，根据绝对值三角不等式可得()3f x ≥，则3m ≤；()()221122f a a -=+++，原不等式即为24220a a -++<，讨论1a ≤-，1a >-两种情况分别求解即可．【详解】()1当0a =时，()3f x x x =++，()333x x x x ++≥-+=，()3f x ∴≥，则3m ≤，m 的最大值为3；()()22211123122f a a a a -=--+-++=+++， ()15f ∴-<即为24220a a -++<，当1a ≤-时，24220a a ---<，即2260a a --<，解得11a <<，11a ∴<-，当1a >-时，24220a a -++<，即2220a a +-<，解得11a -<<-11a ∴-<<-，综上，实数a 的取值范围是11a <<-+【点睛】本题考查绝对值不等式及不等式恒成立问题,属于中档题.。