第25课时等边三角形(3)

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第25课时：等腰三角形

苏科版数学九年级下册盐中网校二、问题探索：(一)基础问题探索：1、已知等腰三角形的两边长分别为6，3，则它的周长为.2、等腰三角形△ABC中，BC＝8，AB、AC的长是关于x的方程的x2－10x＋m＝0的两根，则m＝.3、已知等腰三角形的周长为12，腰长为x，则x的取值范围是.4、(1)等腰三角形的一个角为100°，那么另外两个角分别为；(2)等腰三角形的一个角为50°，则底角是.5、(1)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为50°，则顶角的度数为；(2)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，则底边上的高为.6、如图1，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C＝度.7、如图2，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积.8、如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE＝.9、如图4，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是.10、已知等腰△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，连接AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是.(二)典型问题探索：1、如图所示，在△ABC中，D、E分别是AC和AB上的一点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD；④OB＝OC.(1)上述四个条件中，哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有的情形)；(2)选择(1)小题中的一种情形，说明△ABC是等腰三角形.4、操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步)；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．①A N N C(如图②)；②//D M AC(如图③)．附加题：若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．图3 图4AB CDE O图2ACBD图1800AB CO1 2苏科版数学九年级下册盐中网校三、课后作业：1、等腰三角形周长是29，其中一边是7，则等腰三角形的底边长是( )A ．15B ．15或7C ．7D ．112、在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，若∠BDC ＝75°，则∠A 的度数为( )A ．30°B ．40°C ．45 °D ．60° 3、等腰△ABC 的顶角∠A ＝30°，P 是△ABC 内部的一点，且∠PBC ＝∠PCA ，则∠BPC 的度数为( ) A ．100° B ．130° C ．115 ° D ．140° 4、已知等腰三角形的两边长分别为5、11，则第三边长为 .5、已知等腰三角形的三边长分别为5、1－2a 、8，则a6、等腰三角形的一边长是2cm ，另一边是3cm7、如图，已知等边△ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE8、等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15则此三角形的底边长为 .9、等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6cm ，则△ABC 的周长x 的取值范围是 . 10、已知等腰三角形的周长是26，其中两边之差是4，则此三角形的底边长为 . 11、如图，等边△ABC 中，O 点是∠ABC 及∠ACB 的角平分线的交点，OM ∥AB 交BC 于M ，ON ∥AC 交BC 于N ，试说明：M 、N 是BC 的三等分点.12、如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，点D 在AB 上，AD ＝AC ，DE //BC ，CD 平分∠EDF . 试说明：AF 垂直平分CD .13、已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 、M 分别为AC 、BC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝12BC ，试说明：(1)∠DMC ＝∠DCM ；(2)DB ＝DE14、等边△ABC 中，DB ＝DC ，CE ＝CA ，∠1＝∠2. 试说明：∠E ＝21∠A .15、如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，且AB ＝AC ，BE 平分∠ABC 交AC 于F ，过C 作BE 的垂线交BE 于E ，试说明：BF ＝2CE16、如图，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，AE ＝BD ，连结EC 、ED ，试说明：CE ＝DE17、如图，已知,36,AB AC A AB =∠=︒的中垂线M N 交A C 于点D ，交AB 于点M ，有下面4个结论：①射线BD 是A B C ∠的角平分线； ②B C D ∆是等腰三角形；③ABC ∆∽B C D ∆； ④AMD ∆≌B C D ∆. (1)判断其中正确的结论是哪几个？(2)从你认为是正确的结论中选一个加以证明.ABDCEFAB CMDN CEFCB AE DCB AON A M C B DEA MCB。

小学四年级数学第三单元《三角形》教案

小学四年级数学第三单元《三角形》教案本单元系统地教学三角形的知识，内容分成五部分编排。

第22～２５页教学三角形的差不多特点，三角形的高和底。

第26～２７页教学三角形的分类。

按角分，三角形分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。

第28～２９页教学三角形的内角和。

第30～３２页教学等腰三角形、等边三角形及其特点。

第33～３４页单元练习。

全面整理知识，突出三角形的分类以及关于边和角的性质。

教材中的摸索题有较大的思维容量，能促进学生进一步明白得并应用三角形的知识。

编写的三篇你明白吗介绍三角形的稳固性、制作雪花图案的方法和埃及的金字塔，能激发学生学习三角形的爱好，丰富对三角形的认识。

1? 让学生在做图形的活动中感受三角形的形状特点和结构特点。

学生在第一学段直观认识了三角形，本单元连续教学三角形的知识，教材经常采纳活动体验的教学策略，即组织学生做图形，让他们在做的过程中体会图形的特点，主动构建对图形的比较深入的认识。

（1）做三角形，感受边、角和顶点。

第22页例题教学三角形的边、角和顶点，分三个层次编写：第一出现一幅宜昌长江大桥的照片，引起学生对三角形的回忆；然后安排学生每人至少做一个三角形并相互交流；最后讲解三角形的边、角和顶点。

学生做三角形并不难，做的方法必定是多样的。

用小棒摆、在钉子板上围、在方格纸上画三角形在第一学段都曾经做过，现在学生还可能剪、折、拼做三角形的目的不在结果，要注重学生在做的过程中是如何样想的、如何样做的，把精力放在建立边、角和顶点等概念上。

因此，交流的时候要分析各种做法的共同点，如用三根小棒、三段细绳、三条线段才能做成三角形，三角形有三条边；小棒、细绳、线段必须两两相连，三角形有三个顶点和三个角。

（2）围三角形，体会两条边的长度和必须大于第三边。

《标准》要求：通过观看、操作，了解三角形的两边之和大于第三边。

这是新课程里增加的教学内容，第23页例题教学那个知识。

第一，为学生提供四根长度分别是10cm、6cm、5cm、4cm的小棒，向学生提出问题：任意选三根小棒，能围成一个三角形吗?然后让学生在操作中发觉有时能围成三角形，有时围不成三角形，并直觉感受这是什么缘故。

第25讲三角函数与解三角形-2021届高考数学(理)培优专题提升训练(解析版)

第25讲三角函数与解三角形A 组题一、选择题 1.在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A. 2. ABC ∆中，2,3,60AB AC B ==∠=，则cos C =（）C.【解析】由正弦定理得sin sinB AB AC C =即23sin sin 60C =，解得sin C =．因为AB AC <所以C B ∠<∠，所以cos C ==D ． 3.在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积是( ) A ．3 B. 932 C. 332D ．3 3【解析】由22()6c a b =-+得22226a b c ab +-=- ①.由余弦定理及3C π=得222a b c ab +-= ②.所以由① ②得26ab ab -=，即6ab =.所以1sin 232ABC S ab π∆==，故选C . 4.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==，则角C =( ) A.23π B. 3π C. 34π D. 56π【解析】因为3sin 5sin A B =，所以由正弦定理可得35a b =.因为2b c a +=，所以75ac =.令5,3,7a b c ===，则由余弦定理得1cos 2C =-，所以2.3C π=故选.A 5.在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ︒∠=，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=( )A.10 B.10 C.55【解析】由已知条件可得图形，如图，设CD a =，在ACD ∆中，2222cos CD AD AC AD AC DAC =+-⨯⨯∠，∴222(2)(5)225cos a a a a a DAC =+-⨯∠∴310cos DAC ∠=，故选B .6.在ABC ∆中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，若22()S a b c +=+，则cos A 等于（）A. 45B. 45-C. 1517D. 1517-【解析】22()S a b c +=+22212(sin 1)4a b c bc A ⇒=+--，由余弦定理可得 1sinA 1cos 4A -=，联立22sin cos 1A A +=，可得15cos 17A =-．7.已知锐角A 是ABC ∆的一个内角，,,a b c 是三角形中各角的对应边，若221sin cos 2A A -=，则下列各式正确的是( )A ．2b c a +=B ．2b c a +<C ．2b c a +≤D ．2b c a +≥ 【解析】由 221sin cos 2A A -=得1cos 22A =- ∵02A π<< ∴3A π=，由余弦定理得，222222231()3()()()44a b c bc b c bc b c b c b c =+-=+-≥+-+=+ ∴ 2a b c ≥+，故选.C二、填空题8.（2019全国Ⅱ卷理）的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.【解析】：由余弦定理有，因为，，，所以，所以，9．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315，12,cos ,4b c A -==-则a 的值为 .【解析】因为0A π<<，所以215sin 1cos 4A A =-=，又115sin 31528ABC S bc A bc ∆===，则 24bc =，又2b c -=，得6,4b c ==，故2222cos 64a b c bc A =+-=，8a =. 10．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30︒的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75︒的方向上，仰角为30︒，则此山ABC △,,A B C ,,a b c π6,2,3b ac B ===ABC △2222cos b a c ac B =+-6b =2a c =π3B =222π36(2)4cos 3c c c =+-212c =21sin sin 632ABC S ac B c B ===△的高度CD = m.【解析】依题意，30BAC ︒∠=，105ABC ︒∠=，在ABC ∆中，可得45ACB ︒∠=，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin 30BC ︒︒=，即BC =，在Rt BCD ∆中，因为30CBD ︒∠=，BC =所以tan 30CD BC ︒==，所以CD =. 三、解答题11.（2019北京卷）在中，，，．（Ⅰ）求b ,c 的值；（Ⅱ）求的值.【解析】：（I ）由余弦定理，得. 因为，所以.解得，所以. （II ）由得.由正弦定理得.在中，是钝角，所以为锐角.所以. 所以.12.(2019全国Ⅰ卷理)的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设．（1）求A ；（2，求sin C ．【解析】：（1）由已知得，故由正弦定理得．由余弦定理得． ABC △a =3b -c =21cos 2B =-sin(B -C )2222cos b a c ac B =+-22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭2b c =+()222123232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭5c =7b =1cos 2B =-sin 2B =sin sin 14c C B b ==ABC △B ∠C ∠11cos 14C ==()sin sin cos cos sin B C B C B C -=-=ABC △22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-2b c +=222sin sin sin sin sin B C A B C +-=222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==因为，所以．（2）由（1）知，，可得．由于，所以，故． 13.（2019天津卷理）在中，内角所对的边分别为.已知，. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【解析】（Ⅰ）在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因为，得到，.由余弦定理可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，从而，，故.14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cosC =1,a =3,求△ABC 的周长【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =.故2sin sin 3B C =. 0180A ︒︒<<60A ︒=120B C ︒=-()sin 1202sin A C C ︒+-=1sin 2sin 2C C C +=()cos 602C ︒+=-0120C ︒︒<<()sin 60C ︒+=()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+4=ABC△,,A B C,,a b c 2b ca +=3sin 4sin c B a C =cos B sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ABC △sin sin b cB C=sin sin b C c B =3sin 4sin c B a C =3sin 4sin b C a C =34b a =2b c a +=43b a =23c a =222222416199cos 22423a a a a cb B a a +-+-===-⋅⋅sin 4B ==sin 22sin cos 8B B B ==-227cos 2cos sin 8B B B =-=-πππ71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-. 所以2π3B C +=，故π3A =.由题设得21sin 23sin a bc A A =，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=.故ABC △的周长为3+15.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且满足2cos cos a b Bc C-=．（1）求角C 的大小；（2）设函数()2sin cos cos f x x x C=22sin sin x C +，求函数()f x 在区间[0,]2π上的值域．【解析】（1）在ABC ∆中，∵2cos cos a b Bc C-=，∴(2)cos cos a b C c B -=， ∴2sin cos sin cos cos sin A C B C B C =+，∴2sin cos sin()sin A C B C A =+=． ∵A ∠是ABC ∆的内角，∴sin 0A ≠，∴2cos 1C =，∴3C π∠=．（2）由（1）可知3C π∠=，∴21()sin 22sin )22f x x x =--1sin 2222x x =-sin(2)3x π=- 由[0,]2x π∈，∴22333x πππ-≤-≤，∴sin(2)13x π≤-≤，∴函数()f x的值域为[． 12.已知,,a b c 分别是ABC ∆的角,,A B C 所对的边，且2c =，3C π=.（1）若ABC ∆,a b ；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求A 的值. 【解析】（1）2,3c C π==由余弦定理得2242cos3a b ab π=+-22a b ab =+-，ABC ∆，1sin 2ab C ∴=，4ab ∴=，联立2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩（2）sin sin()2sin 2C B A A +-=，sin()sin()4sin B A B A A ∴++-=，sin cos 2sin cos B A A A ∴=，当cos 0A =时，2A π=；当cos 0A ≠时，sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，解得a =，b =，222b ac ∴=+，即2B π=，又3C π=，6A π∴=，综上所述，2A π=或6π.B 组题一、选择题1.如果把锐三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为（） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．由增加的长度决定【解析】设增加同样的长度为0x >，原来三边长为,,a b c ，不妨设a b c ≤≤，a b c +>由锐三角形，222a b c +>，新的三角形的三边长为,,a x b x c x +++，有a x b x c x +≤+≤+，又2222222()()()()2()0a x b x c x a b c x a b c x +++-+=+-++-+> 故得到新三角形为锐角三角形，故选C.2.【2016高考新课标3】在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos A （）C.10D.310【解析】设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以AC =，AB =．由余弦定理，知222222cos2AB AC BC A AB AC +-===⋅，故选C ． 3.在不等边三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中a 为最大边，如果 222sin ()sin sin B C B C +<+，则角A 的取值范围为( ) A.(0,)2πB.(,)42ππC.(,)63ππD.(,)32ππ【解析】由题意得222sin sin sin A B C <+，再由正弦定理得222a b c <+，即cos 0A > ∵0A π<<，∴02A π<<.又a 为最大边，∴3A π>.因此得角A 的取值范围是(,)32ππ.故选.D4.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos (cos )cos 0C A A B +=，1a c +=，则b 的取值范围为（） A ．114b ≤< B. 112b ≤< C ．112b <≤ D. 12b <≤【解析】由已知得cos(A B)cosAcosB cos 0A B -++=，解得3B π=.由余弦定理，有2222cos b a c ac B =+-.又1a c +=，1cos 2B =，故22113()24b a =-+.又01a <<，于是有2114b ≤<，即有112b ≤<.故选.B 二、填空题5.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，且b c a222=-，3tan tan =CA，则=b . 【解析】由3tan tan =CA知，,A C 为锐角，作BD AC ⊥交AC 于D ，设BD h =，AD x =，则3CD x =，则b c a 222=-即22222(9)()88h x h x x x +-+==，1x =，则 4.b =6.在ABC ∆中，cos cos cos cos 2b C c B a C c A +=+=，且cos sin a C C b c =+，则ABC ∆的面积为________．【解析】∵cos cos cos cos b C c B a C c A +=+，∴sin cos sin cos B C C B +sin cos sin cos A C C A =+，即sin()sin()B C A C +=+，sin sin A B =，所以A B =．cos cos a C c A +22222222a b c b c a b b+-+-=+2b ==，所以2a =．由cos sin a C C b c=+得4sin()26C c π+=+，当3πC =时，2c =符合题意．所以11sin 22sin 223πS ab C ==⨯⨯⨯= 7.在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 . 【解析】sin sin()2sin sin A B C B C =+=tan tan 2tan tan B C B C ⇒+=，因此 tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan A B C A B C A B C =++=+tan tan tan 8A B C ≥≥，故所求的最小值为8. 三、解答题8.（2019全国Ⅲ卷理）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．解析（1）由题设及正弦定理得．因为，所以．由，可得，故．因为，故，因此．（2）由题设及（1）知△ABC 的面积．由正弦定理得．由于为锐角三角形，故，，由（1）知，所以，故． sin sin2A Ca b A +=sin sinsin sin 2A CA B A +=sin 0A ≠sinsin 2A CB +=180A BC ︒++=sincos 22A C B +=cos 2sin cos 222B B B=cos02B ≠1sin 22B =60B =︒4ABCS a =△()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===+ABC △090A ︒<<︒090C ︒<<︒120A C +=︒3090C ︒<<︒122a <<ABC S <<△因此，面积的取值范围是．9.在△ABC 中，A ∠ =60°，c =37a .（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积.【解析】Ⅰ）在△ABC 中，因为60A ∠=︒，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===. （Ⅱ）因为7a =，所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.所以△ABC的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=10．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：2a b c +=；（Ⅱ）求cos C 的最小值. 【解析】()I 由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B⎛⎫+=+⎪⎝⎭，化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，即()2sin sin sin A B A B +=+. 因为A B C π++=, 所以()()sin sin sin A B C C π+=-=. 从而sin sin =2sin A B C +. 由正弦定理得2a b c +=.()∏由()I 知2a b c +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立. 故 cos C 的最小值为12. 11.已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c 且满足cos sin b a C c A =+．（1）求A 的大小；（2）若21cos ,5,57B BC BD BA ===，求CD 的长．【解析】（1）在三角形ABC 中，由正弦定理得sin sin cos sin sin B A C C A =+，因为()sin sin B A C π=-+⎡⎤⎣⎦()sin A C =+ 所以()sin sin cos sin sin A C A C C A +=+ 即sin cos sin cos sin cos sin sin A C C A A C C A +=+ 整理得sin cos sin sin C A C A =，由sin 0C ≠，可得cos sin A A = 所以/4A π=. （2）在三角形ABC 中，54cos 1sin 2=-=B B ，由sin sin AC BCB A=45AC ⇒=，解得AC =ABC△⎝⎭又因为cos cos()C A B =-+cos cos sin sin A B A B =-+=所以2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅3225254910=+-⨯⨯=， 7=AB ，于是由17BD BA =可得1=BD ， 2222cos CD BD BC BD BC B =+-⋅⋅20102512251=⨯⨯⨯-+=，所以CD =. 12.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2B A π-=；（2）求sin sin A C +的取值范围. 【解析】（1）由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a A A b B ==，sin cos B A ∴=，即sin()2sinB A π=+ 又B 为钝角，因此(,)22A πππ+∈，故2B A π=+，即2B A π-=. （2）由（1）知，()(2)02C A B A πππ=-+=-+>，得(0,)4A π∈，于是 2sin sin sin sin(2)sin cos 22sin sin 12A C A A A A A A π+=+-=+=-++，由(0,)4A π∈得sin (0,2A ∈，9sin sin ].28A C +∈C 组题一、选择题1.如图，在ABC ∆中，3sin 2ABC ∠=，2AB =，点D 在线段AC 上，且432,AD DC BD ==，则cos C 的值为（） A ．79-B.72 C ．79 D.13【解析】由条件得1cos 3ABC ∠=，2sin 3ABC ∠=.在ABC ∆中，设,3BC a AC b ==，则由余弦定理得224943ab a =+-① 因为cos cos ADB CDB ∠=-∠2221616443316383b b a b b +-+-=，所以2236b a -=- ②联立①②解得3,1a b ==，所以3,3AC BC ==.在ABC ∆中，7cos .9C =故选.C 2.已知ABC ∆的内角,,A B C 对的边分别为,,a b c ，sin 22sin A B C =，3b =，当内角C 最大时，ABC ∆的面积等于( ) 933+632+3262-3632- 【解析】根据正弦定理及sin 22sin A B C +=得22a b c =，32a c +=， 226218932624cos 684a a a a C a a +++--==+≥，当且仅当384a a =，即6a =62sin C +=1162933sin 6322ABC S ab C ∆++===故选.A 3.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若6cos b a C a b +=，则tan tan tan tan C CA B+的值是（） A ．2 B.32 C ．4 D.43【解析】取1a b ==，则1cos 3C =，由余弦定理得33c =，在如图所示的等腰三角形ABC 中，可得tan tan 2A B ==，又23sin 3C =，tan 22C =tan tan 4tan tan C CA B+=. 另解：由6cos b a C a b +=得，2222262a b a b c ab ab ++-=，即22232a b c +=，∴22222tan tan sin 2 4.tan tan cos sin sin C C C c A B C A B a b c +===+- 故选.C 4.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222,0b c a bc AB BC →→+-=⋅>，2a =，则bc +的取值范围是( )A. 31,2⎛⎫⎪⎝⎭B. 322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C. 13,22⎛⎫⎪⎝⎭ D. 31,2⎛⎤⎥⎦⎝【解析】由222b c a bc +-=得：2221cos 22b c a A bc +-==，则3A π=，由0AB BC →→>可知：B 为钝角，21sin aR A== 则sin ,b B =sin ,sin sin c C b c B C =+=+2sin sin 3B B π=+-（）3sin cos 22B B =+)6B π=+，由于223B ππ<<，25366B πππ<+<，所以13sin 262B π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，1322b c <+<，故选B. 二、填空题5.如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若15,25,30AB m AC m BCM ︒==∠=,则tan θ的最大值 .【解析】由勾股定理可得，20BC =，过P 作'PP BC ⊥，交BC 于'P ，连结'AP ，则'tan 'PP AP θ=，设'BP x =，则'20CP x =-，由30BCM ∠=︒得，)''tan 3020PP CP x =︒=-，在直角'ABP ∆中，'AP =，故)22020tan 225x x xθ--==+，令20x y -=，()()21225202'x x xy -+--⋅⋅===，令'0y =得，454x =-，代入220tan 3225x x θ-=+得，220tan 39225x x θ-==+，故tan θ6. 的内角,,A B C 的对边分别为，已知22ac b a =-，则B = .【解析】由余弦定理得2222cos a b c bc A +=-，将已知代入，化简可得c a -=，再由正弦定理，可得sin sin6B C π-=，再结合条件及B 的范围求得B的值.由余弦定理得2222cos a b c bc A-=-，将已知条件代入上式22ac b a =-，化简可得2ac c =-，c a -=，再由正弦定理，可得3sin sin sin6B C π-=，51sin sin()cos sin 622C B B B π∴=-=+，，11-cos 222B B =，1sin()62B π∴-=. 5666B πππ∴-<-<，,.663B B πππ-=∴=7.已知ABC ∆满足3A π=，()0AB AC BC +⋅=，点M 在ABC ∆外，且22MB MC ==，则MA 的取值范围是________．【解析】由ABC ∆满足3A π=，()0AB AC BC +⋅=，可得ABC ∆为等边三角形．又点M 在ABC ∆外，且22MB MC ==，设等边ABC ∆边长为a ，如图1，若M 与A 在BC 同侧，设BMC β∠=，BCM α∠=，在BCM ∆中，21sin sin sin()a βααβ==+，则2sin sin aβα=①，由sin 2sin()ααβ=+2sin cos 2cos sin αβαβ=+，得sin (12cos )2cos sin αβαβ-=②，①②联立可得12cos cos a βα-=⋅，又23cos 2a aα-=，∴2sin 64cos 12cos a βββ=--+⋅254cos a β=-，∴2212cos()3MA a a πα=+-- 54cos 1cos sin a βαα=-+-52cos ββ=--54cos()3πβ=--[1,7)∈，则MA ∈；ABC ∆,,a b c如图2，若M 与A 在BC 异侧，设BMC β∠=，BCM α∠=，在BCM ∆中，则21sin sin sin()a βααβ==+，可得12cos cos a βα-=⋅，又23cos 2a a α-=，∴2212cos()3MA a a πα=+-+54sin()6πβ=+-(3,9]∈，则MA ∈．综上，MA 的最小值为1，最大值为3，故答案为：[1,3]．三、解答题8.在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =；（II ）若22265b c a bc +-=，求tan B . 【解析】（1）据正弦定理，可设(0)sin sin sinCa b ck k A B ===>，则sin ,sin ,sin a k A b k B c k C ===故cos cos sin A B C a b c +=，有cos cos cos sin sin sin A B Ck A k B k C+=，变形得 sin sin sin cos cos sin sin()sin A B A B A B A B C =+=+=（2）由已知，22265b c a bc +-=，根据余弦定理，有222cos 2b c a A bc +-=35=.所以4sin 5A ==由（1）sin sin sin cos cos sin A B A B A B =+所以443sin cos sin 555B B B =+，故tan 4.B = 9. 在ABC ∆中，若AC →=cos cos sin AB C BC A AC B →→→⋅+⋅=⋅. （1）求角B 的大小；（2）求ABC ∆的面积S .【解析】（1）由题可知：在ABC ∆中，23AC =cos cos sin AB C BC A AC B ⋅+⋅=⋅，因为AC AB BC =+，所以cos cos AB C BC A ⋅+⋅()sin AB BC B =+⋅，即(cos sin )(cos sin )0C B AB A B BC -+-=，而向量AB ，BC 是两个不共线向量，所以cos sin cos sin C BA B =⎧⎨=⎩，所以cos cos C A =，因为,(0,)A C π∈，所以A C =，在等腰ABC∆中，A B C π++=，所以2A B π+=，22B A π=-；由上知：cos cos()sin sin 222B BA B π=-==，所以sin 2sin cos 222B B B =，所以1cos 22B =，结合022B π<<，所以23B π=，23B π=.（2）由（1）知，则6A C π==，由正弦定理得：2sinsin36AC BC =，所以2BC =，1sin 26ABC S AC BCπ∆=11222=⨯⨯=10. 如图，,,,A B C D 为平面四边形ABCD 的四个内角. （1）证明：1cos tan;2sin A A A-= （2）若180,6,3,4,5,A C AB BC CD AD +=====求tantan tan tan 2222A B C D+++的值.【解析】（1）2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222A AA A A A A A-===. （2）由180A C +=，得180,180C A D B =-=-. 由（1），有tantan tan tan 2222A B C D+++ 1cos 1cos 1cos(180)1cos(180)sin sin sin(180)sin(180)A B A B A B A B ------=+++--22sin sin A B=+ 连结BD ，在ABD ∆中，有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅，在BCD ∆中，有2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅，所以 222cos AB AD AB AD A +-⋅222cos BC CD BC CD A =++⋅，则2222222265343cos 2()2(6534)7AB AD BC CDA AB AD BC CD +--+--===⋅+⋅⨯+⨯，于是sin A ===. 连结AC ，同理可得 2222222263541cos 2()2(6354)19AB BC ADCD B AB BC ADCD +--+--===⋅+⋅⨯+⨯，于是sin 19B ===.所以tan tan tan tan 2222A B C D +++ 22sinsin A B =+=+=.A。

第25课时直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半

第三章全等三角形3．5．1 直角三角形的性质和判定第二课时含30°角的直角三角形的性质与判定一．预习题纲（1）学习目标展示1．经历探索活动，了解含30°角的直角三角形的性质2．在具体情景中运用含30°角的直角三角形的性质与判定来解决数学问题（2）预习思考1．在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么另一个角是多少？2．在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么斜边上的中线将这个直角三角形分成几个等腰三角形？3．在直角三角形中，如果一个锐角为30°且这个角所对的直角边长为a ，那么斜边长是多少？二．经典例题例1．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，△DBC 是等边三角形，已知BC=12，求AD 的长【分析】因AD ∥BC ，∠A=90°，∴∠ABC=90°，又△DBC是等边三角形，∴∠ABD=30°，在Rt △ABD 中利用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”可求得AD 的长【简解】因AD ∥BC ，∴∠A+∠ABC=180，又∠A=90°，∴∠ABC=90°，因△DBC 是等边三角形，∴∠DBC=60°，∴∠ABD=30°，因BD=12，AD=6【规律总结】在直角三角形中，如果有一个角是30°，常应用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”来求线段的长或证明线段的倍．分关系三．易错例题例2．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求这个等腰三角形顶角的度数【错解】如图1，在△ABC 中，BD ⊥AC ，因BD=12AB ，∴∠A=30° 【错解分析】错解只考虑了△ABC 是锐角三角形的情况，忽视了△ABC 为钝角三角形的另一种情况【正解】当△ABC 是锐角三角形时，顶角为30°，当△ABC 为钝角三角形时，如图2，CD ⊥BA 交BA 的延长线于D ，因CD=12AC ，∴∠DAC=30°，∴∠BAC=150° 【点拨】在等腰三角形中，当三角形的形状不确定时常分类讨论一．课前预习A B C DA B C D 图1 AB C D 图21．在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么它所对的直角边等于2．在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于度3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5，则AB=二．当堂训练知识点一：直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半1．如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，若BC=3，则AB= ，BD=2．在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，若AB=10cm ，则BC=3．一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A 处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B 处，上午10时行至C 处，测得灯塔恰好在它的正北方向，问上午8时，该船与灯塔相距多少海里？知识点二：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30度 4．如图，BD 是△ABC 的高，CD=1，BC=2，AD=3，则∠ABC=5．在直角三角形中，最长边为4，最短边为2，则最长边与最短边的夹角为6．在△ABC 中，如果∠A+∠B=∠C ，且AC=12AB ，求∠B 的度数课时测评：（40分钟，满分100分）一．选择题（每小题5分，共25分）1．如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 的度数为（）A ．25°B ．30°C ．45 °D ．60°2．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，则BC ：AB 等于 ( )A B C D 第1题 AB C D 第4题 A B DC E 第1题东北ABC 30° 第3题A ． 2：1B ．1：2C ．1：3D ．2 ：33．等腰三角形的底角为15，腰长为12，则腰上的高为（）A ．3B ．4C ．6D ．124．在△ABC 中，∠C=90，ED 垂直平分AB 交于D ，交AC 于E ，∠A=30°，则AE 与EC 的关系为（）A ．AE=2ECB ．AE=EC C ．EC=2AED ．AE=12EC 5．如图，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∠B=30°，这样图中存在着某些三角形，使其中的一边是另一边的一半，则图中这样的三角形共有（） A ．4个 B ．6个 C ．7个 D ．8个二．填空题（每小题5分，共25分）6．在△ABC 中，如果∠A=12∠B ，∠A=13∠C ，则∠A= ，∠B= ，∠C= 7．在直角三角形中，如果有一个锐角多比另一个锐角大30°，则较大锐角为8．△ABC 中，∠AC B=90°∠B=60°，BC=3㎝，则AB=_______．9．如图，ΔABC 中，∠C=90º，∠B=15º，AB 的垂直平分线交BC 于D ，若BD=4cm ，则AC=______10．如图，在△ABC 中，∠A=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC ，AC=12cm ，则CD =三．解答题11．（本题满分12分）如图所示：在ΔABC 中，∠C=90°，∠B=15°AB 的垂直平分线交BC 于D ，且BD=8cm ，求AC 的长．12．（本题满分12分）一艘轮船由南向北航行，在A 处测得小岛P 在西偏北75°方向上，两小时后，船在B 处，测得小岛在西偏北60°方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，若轮AB C D EF 第5题 D C B A 第9题 A B C D 第10题 D E C B A 第11题船仍按每小时15海里的速度向前航行，有无触礁危险？13．（本题满分12分）已知：△ABC 中，∠ACB=90°，AD=BD ，∠A=30°求证：△BDC 是等边三角形．14．（本题满分14分）已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交BC 于M ，猜想CM 与BM 之间有何数量关系，并证明你的猜想。

安徽省2014年中考数学专题复习课件第25课时正多边形、扇形的面积、弧长的计算问题

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第25课时┃正多边形、扇形的面积、弧长的计算问题
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考点1
正多边形和圆的关系正多边形和圆的有关概念
正多边形和圆
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的 ________. 中心正多边形外接圆的半径叫做正多边形的 ________. 半径正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的 ________. 中心角正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 ________ 边心距，也是正多边形内切圆的半径.
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第25课时┃正多边形、扇形的面积、弧长的计算问题
例 4 [2013· 遂宁] 用半径为 3 cm，圆心角是 120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为( D ) A．2π cm B．1.5 cm C．π cm D．1 cm
解析先求半径为 3 cm，圆心角是 120°的扇形的弧 120²π ³3 长为＝2π ，设圆锥的底面半径为 x cm，根据题 180 意得 2xπ ＝2π ，得 x＝1，故选 D.
图 25－3
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第25课时┃正多边形、扇形的面积、弧长的计算问题
解析
设正方形 BGFE 的边长是 x，根据几何图
形面积的和差关系，图中阴影部分面积＝S 扇形 BAC＋S△CEF 90²π ³42 1 1 2 ＋S 正方形 BGFE－S△AGF＝＋ (4－x)x＋x － (4＋ 360 2 2 x)x＝4π .

2021年全国各地中考数学真题分类汇编(通用版)三角形(三)(含答案与解析)

2021年全国各地中考数学真题分类汇编（通用版）三角形（三）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2021•贵港）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则＝（）A．B．C．1D．解：设AB＝AD＝BC＝CD＝3a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE＝∠DCF＝45°，∠DAM＝∠DCN＝90°，在△DAE和△DCF中，，∴△DAE≌△DCF（SAS），∴∠ADE＝∠CDF，在△DAM和△DCN中，，∴△DAM≌△DCN（ASA），∴AM＝CN，∵AB＝BC，∴BM＝BN，∵CN∥AD，∴＝＝，∴CN＝AM＝a，BM＝BN＝2a，∴＝＝＝，故选：A．2．（2021•云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sin A＝，则AB的长是（）A．B．C．60D．80解：∵AC＝100，sin A＝，∴BC＝60，∴AB＝＝80，故选：D．3．（2021•贵港）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（）A．3B．4C．5D．6解：如图，取BC的中点T，连接AT，ET．∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，∵∠ABD＝∠BCE，∴∠CBD+∠BCE＝90°，∴∠CEB＝90°，∵CT＝TB＝6，∴ET＝BC＝6，AT＝＝＝10，∵AE≥AT﹣ET，∴AE≥4，∴AE的最小值为4，故选：B．4．（2021•毕节市）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC＝45°，∠DCB＝30°，斜坡AB长8m，则斜坡CD的长为（）A．6m B．8m C．4m D．8m解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，∴AE∥DF，∵AD∥BC，∴AE＝DF，在Rt△ABE中，AE＝AB sin45°＝4，在Rt△DCF中，∵∠DCB＝30°，∴DF＝CD，∴CD＝2DF＝2×4＝8，故选：B．5．（2021•铜仁市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，按下列步骤作图：步骤1：以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交AC、AB于点D、E．步骤2：分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点M．步骤3：作射线AM交BC于点F．则AF的长为（）A．6B．3C．4D．6解：由作法得AF平分∠BAC，过F点作FH⊥AB于H，如图，∵AF平分∠BAC，FH⊥AB，FC⊥AC，∴FH＝FC，在△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6，设CF＝x，则FH＝x，∵S△ABF+S△ACF＝S△ABC，∴×10•x+×6•x＝×6×8，解得x＝3，在Rt△ACF中，AF＝＝＝3．故选：B．二．填空题（共9小题）6．（2021•海南）如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是（4，）．解：过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．∵B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），∴OC＝，OB＝1，∴BC＝＝2．∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝＝＝＝2．∵∠ABG+∠CBO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，∴∠ABG＝∠BCO．∴sin∠ABG＝＝＝，cos∠ABG＝＝＝，∴AG＝，BG＝3．∴OG＝1+3＝4，∴顶点A的坐标是（4，）．故答案为：（4，）．7．（2021•江西）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF，其中点M，N分别为BE和CF上的动点．若以M，N，D为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为9或10或18．解：连接DF,DB,BF．则△DBF是等边三角形．设BE交DF于J．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴由对称性可知，DF⊥BE,∠JEF＝60°,EF＝ED＝6,∴FJ＝DJ＝EF•sin60°＝6×＝9,∴DF＝18,∴当点M与B重合，点N与F重合时，满足条件，∴△DMN的边长为18，如图，当点N在OC上，点M在OE上时，等边△DMN的边长的最大值为6≈10.39，最小值为9，∴△DMN的边长为整数时，边长为10或9，综上所述，等边△DMN的边长为9或10或18．故答案为：9或10或18．8．（2021•桂林）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若DE＝4，则BC＝8．解：∵D、E分别是AB、AC的中点．∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，∵DE＝4，∴BC＝2×4＝8．故答案是：8．9．（2021•梧州）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是326米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）解：由题意，在Rt△ABC中，∵AC＝40，∠A＝83°，tan A＝，∴BC＝tan A•AC≈8.14×40＝325.6≈326（米）．故答案为：326．10．（2021•广西）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为（30﹣10）米（结果保留根号）．解：由题意可得，∠ADB＝60°，∠ACB＝45°，AB＝30m，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，∴AB＝BC，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝60°，∴BD＝AB＝10（m），∴CD＝BC﹣BD＝（30﹣10）m，故答案为：（30﹣10）．11．（2021•云南）如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点F．若BF＝6，则BE的长是9．解：如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，∴DE∥AB，且DE＝AB，∴＝＝，∵BF＝6，∴EF＝3．∴BE＝BF+EF＝9．故答案为：9．12．（2021•毕节市）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为8.5m．解：∵AB⊥BE，CD⊥BE，∴AB∥CD，∴△ECD∽△EAB，∴＝，∴＝，解得：AB＝8.5，答：路灯灯泡A离地面的高度AB为8.5米，故答案为：8.5．13．（2021•黔东南州）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．解：如图，观察图象可知，点A的对应点的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．故答案为：（4，2）或（﹣4，﹣2）．14．（2021•贵阳）在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是2﹣2，2．解：如图，设△GEF为正方形ABCD的一个内接正三角形，作正△GEF的高EK，连接KA，KD，∵∠EKG＝∠EDG＝90°，∴E、K、D、G四点共圆，∴∠KDE＝∠KGE＝60°，同理∠KAE＝60°，∴△KAD是一个正三角形，则K必为一个定点，∵正三角形面积取决于它的边长，∴当FG⊥AB，边长FG最小，面积也最小，此时边长等于正方形边长为2，当FG过B点时，即F'与点B重合时，边长最大，面积也最大，此时作KH⊥BC于H，由等边三角形的性质可知，K为FG的中点，∵KH∥CD，∴KH为三角形F'CG'的中位线，∴CG'＝2HK＝2（EH﹣EK）＝2（2﹣2×sin60°）＝4﹣2，∴F'G'＝＝＝＝2﹣2，故答案为：2﹣2，2．三．解答题（共12小题）15．（2021•海南）如图，在某信号塔AB的正前方有一斜坡CD，坡角∠CDK＝30°，斜坡的顶端C 与塔底B的距离BC＝8米，小明在斜坡上的点E处测得塔顶A的仰角∠AEN＝60°，CE＝4米，且BC∥NE∥KD，AB⊥BC（点A，B，C，D，E，K，N在同一平面内）．（1）填空：∠BCD＝150度，∠AEC＝30度；（2）求信号塔的高度AB（结果保留根号）．解：（1）∵BC∥DK，∴∠BCD+∠D＝180°，又∵∠D＝30°，∴∠BCD＝180°﹣30°＝150°，∵NE∥KD，∴∠CEN＝∠D＝30°，又∵∠AEN＝60°，∴∠ACE＝∠AEN﹣∠CEN＝60°﹣30°＝30°，故答案为：150，30；（2）如图，过点C作CG⊥EN，垂足为G，延长AB交EN于点F，在Rt△CEG中，∵∠CEG＝30°，CE＝4m，∴CG＝CE＝2（m）＝BF，∴EG＝CG＝2（m），设AB＝x，则AF＝（x+2）m，EF＝BC+EG＝（8+2）m，在Rt△AEF中，∵∠AEN＝60°，∴AF＝EF，即x+2＝（8+2），x＝（4+8）m，即信号塔的高度AB为（4+8）m．16．（2021•桂林）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F．（1）求证：∠1＝∠2；（2）求证：△DOF≌△BOE．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠2；（2）∵点O是BD的中点，∴OD＝OB，在△DOF和△BOE中，，∴△DOF≌△BOE（AAS）．17．（2021•贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知△ABC，且AB＞AC．（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；（2）在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．解：（1）如图，点D即为所求．（2）如图，点E即为所求．18．（2021•梧州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，且AE⊥BF于点P，G为AD的中点，连接GP，过点P作PH⊥GP交AB于点H，连接GH．（1）求证：BE＝CF；（2）若AB＝6，BE＝BC，求GH的长．（1）证明：∵AE⊥BF，∠ABE＝90°，∴∠EAB+∠ABF＝90°，∠ABF+∠CBF＝90°，∴∠EAB＝∠CBF，在△ABE与△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF；∵tan∠EAB＝，∵BE＝BC，∴＝3，∵G为AD的中点，∴AG＝3，∴HB＝1，∴AH＝5，∴GH＝＝．19．（2021•贵港）已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是AE＝CF；（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．解：（1）结论：AE＝CF．理由：如图1中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OC＝OB，∴OA＝OC＝OB，AO⊥BC，∵∠AOC＝∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠COF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．（2）结论成立．理由：如图2中，∵∠BAC＝90°，OC＝OB，∴OA＝OC＝OB，∵∠AOC＝∠EOF，∴∠AOE＝∠COF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．（3）如图3中，由旋转的性质可知OE＝OA，∵OA＝OD，∴OE＝OA＝OD＝5，∴∠AED＝90°，∵OA＝OE，OC＝OF，∠AOE＝∠COF，∴＝，∴△AOE∽△COF，∴＝，∵CF＝OA＝5，∴＝，∴AE＝，∴DE＝＝＝．20．（2021•广西）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，连接AC．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E（不要求写作法，保留作图痕迹）；（3）在（2）的条件下，已知四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CE的长．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（AAS）；（2）解：过点C作AB的垂线，垂足为E，如图：21．（2021•铜仁市）如图，AB交CD于点O，在△AOC与△BOD中，有下列三个条件：①OC＝OD，②AC＝BD，③∠A＝∠B．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）．（1）你选的条件为①、③，结论为②；（2）证明你的结论．（1）解：由AAS，选的条件是：①，③，结论是②，故答案为：①，③，②（答案不唯一）；（2）证明：在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴AC＝BD．22．（2021•云南）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD相交于点E．求证：∠DAC＝∠CBD．证明：在△DCA和△DCB中，，∴△CDA≌△DCB（SSS），∴∠DAC＝∠CBD．23．（2021•贵阳）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．（1）求证：△ABN≌△MAD；（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN＝∠AMD，∵BN⊥AM，∴∠BNA＝90°，在△ABN和△MAD中，，∴△ABN≌△MAD（AAS）；（2）解：∵△ABN≌△MAD，∴BN＝AD，∵AD＝2，∴BN＝2，又∵AN＝4，在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．24．（2021•铜仁市）如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高AB＝120m，楼高CD＝99m，某天上午9时太阳光线从山顶点A处照射到住宅的点E外．在点A处测得点E的俯角∠EAM＝45°，上午10时太阳光线从山顶点A处照射到住宅点F处，在点A处测得点F的俯角∠F AM＝60°，已知每层楼的高度为3m，EF＝40m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？（≈1.73）解：根据题意可知：四边形ABDM是矩形，∴AB＝MD＝120m，在Rt△AME中，ME＝AM tan45°＝AM，在Rt△AMF中，MF＝AM tan60°＝AM，∵EF＝MF﹣ME＝40m，∴AM﹣AM＝40，∴AM≈54.8（m），∴MF≈54.8×1.73≈94.80（m），∴DF＝120﹣94.80＝25.2（m），25.2÷3≈8.4，∴至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙．答：至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙．25．（2021•贵阳）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场B，C两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是41.6m，此时从无人机测得广场C处的俯角为63°，他抬头仰视无人机时，仰角为α，若小星的身高BE＝1.6m，EA＝50m（点A，E，B，C在同一平面内）．（1）求仰角α的正弦值；（2）求B，C两点之间的距离（结果精确到1m）．（sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）解：（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°，∴四边形BDFE为矩形，∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，∴AF＝AD﹣DF＝41.6﹣1.6＝40（m），在Rt△AEF中，sin∠AEF＝＝＝，即sinα＝．答：仰角α的正弦值为；（2）在Rt△AEF中，EF＝＝＝30（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝41.6，∵tan∠ACD＝，∴CD＝＝≈21.22（m），∴BC＝BD+CD＝30+21.22≈51（m）．答：B，C两点之间的距离约为51m．26．（2021•江西）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（1）求∠ABC的度数；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）解：（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，过点M作MI⊥FG，垂足为I，过点P作PK⊥DE，垂足为K，∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，∴MH＝MP﹣HP＝25.3﹣8.5＝16.8（cm），在Rt△BMH中，cos∠BMH＝＝＝0.4，∴∠BMH＝66.4°，∵AB∥MP，∴∠BMH+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣66.4°＝113.6°；（2）∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.6°﹣66.4°＝45°，∵MN＝28cm，∴cos45°＝＝，∴MI≈19.80cm，∵KI＝50cm，∴PK＝KI﹣MI﹣MP＝50﹣19.80﹣25.3＝4.90≈5.0（cm），∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．。

四年级下册数学课件等腰三角形和等边三角形苏教版

有3条对称轴。
练一练
等腰三角形
直角三角形
等边三角形
练一练
等腰直角三角形
练一练
全课总结：
本节课你有什么收获？还有哪些疑问？
把剪下的等边三角形照下图折一折，你发现这个三角形
的三个角什么关系？
都有两条边的长度是相等的
等腰三角形底边上的高在它的对称轴上。
等腰三角形底边上的高在它的对称轴上。
你会像下面这样剪出一个等边三角形吗？
你会像下面这样剪出一个等边三角形吗？
等边三角形（正三角形）
3. 量一量：例题7中三角形3条边的长度都相等吗？照下面的样子剪出的三角形是等腰三角形吗？先剪一剪，再比一比。
你会像下面这样剪出一个等边三角形吗？
量一量：用尺子分别测量下面三角形每条边的长度。
要求：用毫米作单位，取整毫米数；
剪纸过程中要认真、细心并保持安静；
等腰三角形的底角相等。
3. 等腰三角形的底角相等。你会像下面这样剪出一个等边三角形吗？
锐角三角形
等腰三角形底边上的高在它的对称轴上。
你会像下面这样剪出一个等边三角形吗？
量一量：例题7中三角形3条边的长度都相等吗？
有什么特征？等边三角形三个角相等。苏教版小学数学四年级下册
都有两条边的长度是相等的照下面的样子剪出的三角形是等腰三角形吗？先剪一剪，再比一比。
等腰三角形是轴对称图形。
等腰三角形的底角相等。
等腰三角形是轴对称图形。
等边三角形三个角相等。
等边三角形是轴对称图形，
苏教版小学数学四年级下册
等腰三角形和等边三角形
复习
按角分类，请你说说下面的3个三角形各是什么三角形。
锐角三角形
直角三角形

第25课时_相似三角形及其应用学案_基训题目

第25课时相似三角形及其应用学案基训题目1、在四条线段中，如果其中两条线段的比等于，那么这四条线段叫做成比例线段．2、若b a ＝cb ，则b 叫做a 、c 的． 3、若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC ＞BC )，且使是和的比例中项，则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做黄金分割点．4、如果△ABC 和△A/B/C/相似，且k A C CA C B BC B A AB ===//////，那么这个比值k 就叫做这两个相似三角形的．5、小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O 、准星A 、目标B在同一条直线上，如图5所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A 偏离到A ′，若OA ＝0.2米，OB ＝40米，AA ′＝0.0015米，则小明射击到的点B ′偏离目标点B 的长度BB ′为( )A ．3米B ．0.3米C ．0.03米D ．0.2米6、如图6，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论： (1)DE ＝1，(2)△CDE ∽△CAB ，(3)△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1∶4．其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 7、如图7，D 、E 两点分别在△ABC 的边AB ，AC 上，DE与BC 不平行，当满足条件(写出一个即可)时，△ADE ∽△ACB ．图6图5 图78、如图8所示，给出下列条件： ①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠； ③AC AB CD BC=； ④AB AD AC ∙=2．其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 9、在ABC △和DEF △中，22AB DE AC DF A D ==∠=∠，，，如果ABC △的周长是16，面积是12，那么DEF △的周长、面积依次为( )A ．8，3B ．8，6C ．4，3D ．4，610、如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，直线EF BD ∥，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S =△四边形，则CF AD= ．11、如图13，小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m 、与旗杆相距22m ，则旗杆的高为( )A ．12mB ．10mC ．8mD ．7m 12、如图21，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F ． (1)求证：△ACB ∽△DCE ；(2)求证：EF ⊥AB ．2011.3.24图8 图图13图21。

中考数学一轮总复习第25课时三角形(一)(无答案) 苏科版

第25课时：三角形（一）【知识梳理】（一）三角形的相关概念：1．三角形按角分为，，． 2．三角形按边分为 .3．三角形中任意两边之和第三边，两边之差第三边4．三角形的内角和为 °，外角与内角的关系：． 5．叫三角形的中位线．6．中位线的性质：． 7．三角形的中线、高线、角平分线都是．(线段、射线、直线) （二）等腰三角形的性质与判定：（三）直角三角形的性质与判定：【课前预习】1 三角形的两个内角分别是40°和60°，则第三个内角等于______.2 已知△ABC 中，AB=6，AC=8，则BC 边的取值范围为__________.3 如图，AC∥BD，AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，若∠1=64°，则∠2=_____．4 如图，在△ABC 中，AB=AC ，CD 平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC 的度数为_______．5 等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为_______；若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4 cm ，则其腰上的高为_______cm ．6 如图所示，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长为_______. 【解题指导】例1如图，在Rt ABC △中，90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知10=∠BAE ，则C ∠的度数为（） A ．30 B ．40 C ．50 D ．60例2 如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 、CD 分別是△ABC 两个外角的平分线．（1）求证：AC=AD ；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD 是菱形．例3 已知：如图，锐角△ABC 的两条高BD 、CE 相交于点O ，且OB=OC. （1）求证：△ABC 是等腰三角形；（2）判断点O 是否在∠BAC 的角平分线上，并说明理由。

《三角形》多边形的认识PPT课件(第3课时)

在乘法里，一个因数不变，另一个因数乘一个数或除以一个不为0的数，积也乘或除以相同的数。
多边形的认识三角形内角和
例3.一个旅游团有150人，中午安排自助餐。
算一算：选择A、B两种自助餐个需要多少元钱？选择A种自助餐需要……
多边形的认识三角形内角和
150×18= 2700 （元）
150 ×1 8
多边形的认识三角形内角和
算一算，判一判。∠1，∠2，∠3是三角形的三个内角。
(1) ∠1＝50°，∠2＝35°，∠3＝( 95°)。这是一个( 钝 )角三角形。 (2) ∠1＝42°，∠2＝48°，∠3＝( 90° )。这是一个( 直 )角三角形。 (3) ∠1＝70°，∠2＝55°，∠3＝( 55° )。这是一个( 锐 )角三角形，也是一个( 等腰 )三角形。
294×38 =1117 2
294 × 38
2352
882 11172
425×76 =32300
42 ×5 7 6 2550 2975 32300
多边形的认识三角形内角和
123×29=3567 104×65=6760 108×17=1836
123 × 29
1107 246
3567
104 × 65
选择B种自助餐需要……
120
150×20= 3000 （元）
15 270 0
150 × 20
300 0
150×20可以口算。
多边形的认识三角形内角和
例4.估算一下：这列火车大约有多少个座位？
这列火车挂了12节这样的车厢。
多边形的认识三角形内角和
118×12 ≈120 把12看成10， 0 118×12≈1180 （个）

中考数学总复习第25课与圆有关的计算

∴BH＝BO·sin 60°＝12× 3＝6 3. 2
∴S
阴影＝S
扇形
GOB
－S△OHB
＝60×π×122－1×6×6 360 2
3＝24π－18 3.
【预测演练 3－2】观察思考
某种在同一平面进行转动的机械装置如图 25－9，图 25－10 是它
的示意图．其工作原理是：滑块 Q 在平直滑道 l 上可以左右滑动，
点 B 的直线折叠，点 O 恰好落在A︵B上的点 D 处，折
痕交 OA 于点 C，则A︵D的长为
．
点评：(1)本题主要考查弧长的计算及折叠的性质，难度较小． (2)由折叠的性质推知△ODB 是等边三角形是解决本题的关键．解析：如解图 4，连结 OD. 根据折叠的性质知，OB ＝DB . 又∵OD＝OB ，∴OD＝OB ＝DB ，即△ODB 是等边三角形，∴∠DOB＝60°. ∵∠A OB ＝110°，∴∠A OD＝∠A OB －∠DOB ＝50°，
【精选考题 3】 (2013·浙江衢州)如图 25－7，将一块三角尺和半圆形量角器按图中方式叠放，三角尺一边与量角器的零刻度线所在的直线重合，重叠部分
的量角器弧(A︵B)对应的圆心角(∠AOB)为 120°，OC
的长为 2 cm，则三角尺和量角器重叠部分的面积为
cm 2.
点评：(1)本题主要考查扇形的面积计算，难度中等． (2)解决本题的关键是从图中得出 S 重叠＝S 扇形 OAB＋S△OBC，求出扇形的半径及掌握扇形的面积公式．
OA 的垂直平分线交 OA 于点 M，如
图 25－3①；
(2)以 M 为圆心，BM 长为半径作圆弧，
交 CA 于点 D，连结 BD，如图 25－3②.
若⊙O 的半径为 1，则由以上作图得到的关于正五边形边长 BD

三角形的认识(教学设计)青岛版(五四学制)四年级上册数学

三角形的认识（教学设计）青岛版（五四学制）四年级上册数学一、教学目标1.能够认识并了解三角形的基本概念和性质；2.能够区分不同类型的三角形；3.能够判断图形是否为三角形；4.能够绘制简单的三角形。

二、教学重点1.三角形的定义；2.不同类型的三角形（等边三角形，等腰三角形）；3.判断图形是否为三角形。

三、教学难点1.判断不规则图形是否为三角形；2.协助学生掌握绘制三角形的技巧。

四、教学步骤第一步：导入新知识1.提问：大家知道什么是三角形吗？2.引导：引导学生探究图形的三条边是否都有直角的图形。

第二步：学习概念1.引入：三角形的定义是什么？2.讲解：讲解三角形的定义，即三条边的任意两条边之和大于第三条边。

3.练习：给学生出示不同的图形，让他们判断哪些是三角形。

第三步：学习性质1.引入：三角形有什么性质？2.讲解：讲解等腰三角形和等边三角形的定义和性质。

3.练习：给学生出示不同的三角形，让他们确定这些三角形属于哪种类型。

第四步：绘制三角形1.引入：我们学习了三角形的定义和性质，下面我们来练习如何绘制三角形。

2.示范：老师进行三角形的简单绘制示范。

3.练习：让学生在课桌或者纸上进行三角形绘制练习。

五、教学评价教学评价的目的是为了确保教学成效，及时发现问题并调整教学策略，有效提高学生的学习效能。

教学评价方法可以分为以下两种：第一种：小测验1.让学生简单回答三角形的定义；2.让学生简单说明各种三角形的特点；3.让学生试着从不规则的图形中找出三角形。

第二种：教学反思1.让学生提出对这堂课程的评价；2.让学生提出对老师讲课的建议；3.让老师总结本节课教学过程的优缺点。

2015年河北中考数学总复习课件(第25课时_中位线与面积)

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第25课时┃ 中位线与面积
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探究一三角形的中位线
命题角度： 1．单纯运用三角形中位线定理； 2．将三角形中位线定理融于其他内容一起考查．
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第25课时┃ 中位线与面积
例 1 [2014· 泸州] 如图 25－5，等边三角形 ABC 中，点 D， E 分别为边 AB， AC 的中点，则∠DEC 的度数为 ( C )
冀考解读课前热身考点聚焦冀考探究
解析
第25课时┃ 中位线与面积
3．[2014· 河北] 如图 25－3，将长为 2，宽为 1 的矩形纸片分割成 n 个三角形后，拼成面积为 2 的正方形，则 n≠ ( A )
A．2
B．3
图 25－3 C．4 D．5
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第25课时┃ 中位线与面积
4．[2014· 成都] 如图 25－4，为估计池塘两岸边 A，B 两点间的距离，在池塘的一侧选取点 O，分别取 OA，OB 的中点 M， N，测得 MN＝32 m，则 A， B 两点间的距离是________m. 64
图 25－4
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第25课时┃ 中位线与面积
2．[2014· 台州] 如图 25－2，跷跷板 AB 的支柱 OD 经过它的中点 O，且垂直于地面 BC，垂足为 D，OD＝50 cm，当它的一端 B 着地时，另一端 A 离地面的高度 AC 为 ( D )
图 25－2 A．25 cm B．50 cm C．75 cm D．100 cm

等边三角形八年级数学下学期重要考点精讲精练

1.2等边三角形等边三角形的定义和性质定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°，三边都相等，也具有“三线合一”的性质．注意：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B ，∠B ＝∠C ＝. （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.题型1：等边三角形与角度计算1.如图，△ABC 是等边三角形，点D 在AC 边上，∠DBC ＝40°，则∠ADB 的度数为（）A ．25°B ．60°C ．90°D ．100°【变式1-1】如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则∠1+∠2+∠3的度数为（）A ．90°B ．120°C ．180°D ．无法确定【变式1-2】如图，在等边△ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在△ABC 外，AD ＝AE ．若∠BAD ＝20°，∠DAE ＝70°，求∠CAE 和∠CDE 的度数．1802A︒-∠题型2：等边三角形与长度、周长计算2.如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，求BE的长度．【变式2-1】如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝150°，△ABD是等边三角形，AB＝8，四边形ABCD的周长为32，求BC和CD的长．【变式2-2】如图，在等边三角形ABC中，D为AB的中点，DE⊥AC于E，EF∥AB，若AE＝1，求：△EFC 的周长．题型3：等边三角形与证明3.如图，△ABC是正三角形，∠B和∠C的平分线相交于D，BD，CD的垂直平分线分别交BC于E，F．求证：BE＝CF．【变式3-1】如图，等边△ABC中，BD是边AC上的高，延长BC到点E，使CE＝CD，求证：BD＝DE．【变式3-2】已知，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2；（2）如图2，连接DF，若∠1＝∠3，求证：DF∥BC．题型4：等边三角形与规律性问题4.如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（）A．16B．32C．64D．128【变式4-1】如图，△ABC是边长为2的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2012＝．【变式4-2】如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM 上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为．题型5：等边三角形与动点问题5.如图，等边三角形ABC的周长为30cm，P、Q两点分别从B、C两点同时出发，点P以6cm/s的速度按顺时针方向在三角形的边上运动，点Q以14cm/s的速度按逆时针方向在三角形的边上运动，设P、Q两点第一次在三角形ABC的顶点处相遇的时间为t1，第二次在三角形ABC顶点处相遇的时间为t2，则t2＝．【变式5-1】已知：如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是2cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的四分之三？如果存在，求出相应的t 值；不存在，说明理由．【变式5-2】如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，D是边BC的中点．点P从点A出发，沿AB﹣BD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．同时点Q从点C出发，沿CA﹣AC以每秒1个单位长度的速度运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．（1）求线段PB的长（用含t的代数式）．（2）当△PQD是等边三角形时，求出t的值．等边三角形的判定判定1：三个角相等的三角形是等边三角形.判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.题型6：等边三角形的判定6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．【变式6-1】如图，在△ABC中，BA＝BC，BD⊥AC，延长BC至E，恰好使得CE＝CD，BD＝DE．（1）求：∠E的度数；（2）求证：△ABC为等边三角形．【变式6-2】已知，如图，∠B＝∠C，AB∥DE，EC＝ED，求证：△DEC为等边三角形．含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.题型7：含有30°角的直角三角形7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，DE＝3，∠B＝30°，则BC＝（）A．7B．8C．9D．10【变式7-1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，若AB＝8cm，则BD＝cm．【变式7-2】已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．求证：BC＝AB．题型8：等边三角形的判定与性质的综合应用8.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周长．【变式8-1】在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD，（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．【变式8-2】学习几何时，要善于对课本例习题中的典型图形进行变式研究．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC ＝60°，BD是AC边上的高，点E为直线BC上点，且CE＝AD．（1）如图1，当点E在边BC上时，求证：△CDE为等边三角形；（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，求证：△BDE为等腰三角形．反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.注意：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下：（1）假定命题的结论不成立；（2）从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；（3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.题型9：反证法9.用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截．求证：∠1+∠2＝180°．证明：假设∠1+∠2180°．【变式9-1】用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．求证：∠1＝∠A+∠B．【变式9-2】利用反证法求证：一个三角形中不能有两个角是钝角．。

北师大版2020八年级数学下册第一章三角形的证明单元基础达标测试题2(附答案)

北师大版2020八年级数学下册第一章三角形的证明单元基础达标测试题2（附答案）1．如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE=lcm，则BD的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm2．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AB=18cm，则△DBE的周长为（）A．16cm B．8cm C．18cm D．10cm3．如图，在等腰△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∠3=∠4，BD与CE交于点O，则图中等腰三角形有（）A．6个B．7个C．8个D．9个4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是( )①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在线段AB的垂直平分线上；④BD=2CD．A．2个B．3个C．1个D．4个5．如图，已知AD为等腰三角形ABC底边上的高，且tan∠B=43.AC上有一点E，满足AE∶EC=2∶3.那么，tan∠ADE是（）A ．35B ．23C ．12D ．136．由线段a 、b 、c 组成的三角形不是直角三角形的是( )A ．7a =，24b =，25c =B ．41a =，4b =，5c =C ．54a =，1b =，34c = D ．13a =，14b =，15c = 7．等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为( )A ．70°B ．40°C ．70°或40°D ．70°或55°8．如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD=CF ，BE=CD ，∠A=100°，则∠EDF 的度数是（）A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°9．下列三角形，不一定是等边三角形的是A ．有两个角等于60°的三角形B ．有一个外角等于120°的等腰三角形C ．三个角都相等的三角形D ．边上的高也是这边的中线的三角形10．下列说法错误的是（）A ．若△ABC 中，a 2=(b+c)(b−c)，则△ABC 是直角三角形B ．若△ABC 中，a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形C ．若△ABC 中，a:b:c=13:5:12，则∠A=90°D ．若△ABC 中，a 、b 、c 三边长分别为n 2−1、2n 、n 2+1(n>1)，则△ABC 是直角三角形11．如图所示，在等边三角形ABC 中，BC 边上的高AD ＝10，E 是AD 上一点，现有一动点P 沿着折线A －E －C 运动，在AE 上的速度是4单位/秒，在CE 上的速度是2单位/秒，则点P 从A 到C 的运动过程中至少需．．．_______秒．12．如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长边的长为39，那么此三角形的周长为_____，面积为______．13．如图，已知CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m．图中阴影部分的面积=_____m2．14．如图，已知∠AOD=150°，OB、OC、OM、ON 是∠AOD 内的射线，若∠BOC=20°，∠AOB=10°，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOD，当∠BOC 在∠AOD 内绕着点O以3°/秒的速度逆时针旋转t 秒时，当∠AOM：∠DON=3：4 时，则t=____________．15．如图，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，AC=9，AE：EC=2：1，则点B到点E的距离是_____．16．如图，点A、O、C在同一直线上，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，则∠EOF= _________．17．在课题学习时，老师布置画一个三角形ABC，使∠A=30°，AB=10cm，∠A的对边可以在长为4cm 、5cm 、6cm 、11cm 四条线段中任选，这样的三角形可以画_____个． 18．如图，已知∠MON=30°，点A 1、A 2、A 3，…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4 …均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 2016B 2016A 2017的边长为_____．19．如图，A 、O 、B 在同一直线上，OE 平分BOC ∠，OF 平分AOC ∠，则AOF BOE ∠+∠=________度．20．如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3，0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为______．21．如图，O 为直线AB 上一点，∠AOC=58°，OD 平分∠AOC ，∠DOE=90°．（1）求出∠BOD 的度数；（2）请通过计算说明：OE 是否平分∠BOC ．（3）与∠AOE 互补的角是 .22．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，AB=3cm ，BC=2.5cm ，△ABD 的面积为 2cm 2，求△ABC 的面积．23．我们定义：如图1，在ABC V 中，把AB 绕点A 顺时针旋转(0180)αα<<o o 得到'AB ，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到'AC ，连接''B C 当180αβ+=o 时，我们称''AB C ∆是ABC V 的“旋补三角形”，''AB C ∆边''B C 上的中线AD 叫做ABC V 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．特例感知：()1在图2，图3中，''AB C ∆是ABC V 的“旋补三角形”，AD 是ABC V 的“旋补中线”．①如图2，当ABC V 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD =______BC ； ②如图3，当90BAC ∠=o ，8BC =时，则AD 长为______．猜想论证：()2在图1中，当ABC V 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明．拓展应用()3如图4，在四边形ABCD ，90C o ∠=，150D ∠=o ，12BC =，23CD =，239.AB =在四边形内部是否存在点P ，使PDC V 是PAB V 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求PAB V 的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．24．如图所示，点A ，O ，B 在同一条直线上，∠BOC =40°，射线OC ⊥射线OD ，射线OE 平分∠AOC .求∠DOE 的大小.25．如图，在△ABC 中，AC ＝21，BC ＝13，D 是AC 边上一点，BD ＝12，AD ＝16，（1）若E 是边AB 的中点，求线段DE 的长（2）若E 是边AB 上的动点，求线段DE 的最小值．26．在平面坐标坐标系xOy 中，点P 的坐标为(),a b ，点P 的变换点P '的坐标定义如下：当a b >时，点P '的坐标为(),a b -；当a b ≤时，点P '的坐标为(),b a -．已知点()4,1A ，点()3,2B -，点()2,C n ．（1）点A 的变换点A '的坐标是__________．点()3,2B -的变换点为B '，连接OB ，OB '，则BOB ∠'=__________．（2）点C 的变换点为C '，随着n 的变化，点C '会运动起来，请在备用图（2）中画出点C '的运动路径．（3）若A BC ''V 是等腰三角形，请直接写出此时n 的值：__________．27．已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，AD 平分外角∠EAC ．求证：AD∥BC．28．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠BAD，过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE恰好是∠ADB的平分线，求∠B的度数．参考答案1．B【解析】解：过A作AF∥DE交BD于F，则DE是△CAF的中位线，∴AF=2DE=2．又∵DE⊥AC，∠C=30°，∴FD=CD=2DE=2．在△AFB中，∠1=∠B=30°，∴BF=AF=2，∴BD=4．故选B．点睛：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．2．C【解析】因为∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，易证△ACD≌△AED，所以AE=AC=BC，ED=CD.△DBE的周长=BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+BC=BE+AE=AB.因为AB=12，所以△DBE的周长=12.故选C.点睛：本题主要考查了全等三角形的判定的性质及角平分线的性质定理，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，运用这个性质，结合等腰三角形有性质，将△DBE的周长转化为AB的长.3．C【解析】【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏．【详解】∵在等腰△ABC中，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）/2=72°，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠A=36°，∴AD=BD，AE=EC，OB=OC，即△ADB，△AEC，△OBC是等腰三角形，∵∠BDC=∠CEB=180°-36°-72°=72°，∴BC=CE=BD，即△BCE，△BCD是等腰三角形，∵∠1=∠4=36°，∴∠BOE=∠COD=180°-36°-72°=72°，∴OC=CD，BO=BE，即△BOE，△COD是等腰三角形，∴共有8个等腰三角形．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是解答本题的关键．4．D【解析】分析：根据“角平分线的尺规作法”结合“已知条件”进行分析判断即可.详解：（1）由题意可知，图中的尺规作图，作的是∠BAC的角平分线，故结论①成立；（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=30°，∴∠ADC=180°-90°-30°=60°，故结论②成立；（3）∵∠BAD=30°，∠B=30°，∴∠BAD=∠B，∴AD=BD，∴点D在AB的垂直平分线上，故结论③成立；（4）∵在△ACD中，∠ACD=90°，∠CAD=30°，∴AD=2CD，∵AD=BD，∴BD=2CD，故结论④成立；综上所述，题中4个结论都成立.点睛：熟悉“角平分线的尺规作法、含30°角的直角三角形的性质和线段垂直平分线的判定”是解答本题的关键.5．C【解析】试题解析：如图,作EF ∥CD 交AD 于F 点,∵tan B =tan C 43AD CD ==， ∴设3CD x =，则4.AD x =∵AE :EC =AF :FD =(AD −FD ):FD =2:3， ∴128,.55FD x AF x == ∵AF :AD =EF :CD =2:5，∴6.5EF x =∴tan ∠ADE 1.2EF FD == 故选C. 6．D【解析】【详解】A 、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；B 、42+52=412，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C 、12+（34）2=（54）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形； D 、（14）2+（15）2≠（13）2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选D ．7．D若70°为顶角，则此等腰三角形的底角是（180°-70°）÷2=55°；若70°为底角，则此等腰三角形的底角为70°，综上，此等腰三角形的底角为70°或55°，故选D.8．B【解析】【分析】先求出三角形ABC为等腰三角形，再根据角度转换求出∠EDF.【详解】根据题意AB=AC得三角形ABC为等腰三角形所以∠B=∠C=（180°-100°）·=40°又因为∠B=∠C，BD=CF，BE=CD所以△BDE与△DFC全等（SAS）即∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=180°-40°=140°所以∠EDF=180°-∠BDE+∠CDF=40°.所以答案选B.【点睛】掌握三角形全等的条件，并合理转化相关角度是解答本题的关键.9．D【解析】分析：分别利用等边三角形的判定方法分析得出即可．详解：A．根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；B．有一个外角等于120°的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；C．三个角都相等的三角形，内角一定为60°是等边三角形，不合题意，故此选项错误；D．边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，符合题意，故此选项正确．故选D．点睛：本题主要考查了等边三角形的判定，注意熟练掌握：由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．10．B【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形判定即可．【详解】A 选项：由a 2=（b+c ）（b-c ），可得a 2+c 2=b 2，所以△ABC 是直角三角形，本选项正确，不符合题意；B 选项：若△ABC 中，c 为最长边，且a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形，本选项错误，符合题意；C 选项：a ：b ：c=13：5：12，可得b 2+c 2=a 2，所以∠A=90°，本选项正确，不符合题意；D 选项：由a 、b 、c 三边的长分别为n 2-1、2n 、n 2+1（n ＞1），可得a 2+b 2=c 2，所以△ABC 是直角三角形，本选项正确，不符合题意．故选B ．【点睛】考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．11．5【解析】【分析】如图，作CH ⊥AB 于H 交AD 于E ．P 沿着折线A-E-C 运动的时间=2EC +4AE =12 (EC +12AE )= 12 (EC +EH )= 12CH ，根据垂线段最短可知，当CH ⊥AB 时，P 沿着折线A-E-C 运动的时间最短，由此即可解决问题．【详解】如图，作CH ⊥AB 于H 交AD 于E.∵△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，∴∠HAE =30°,∵∠AHE =90°，∴HE =12AE ， ∵P 沿着折线A −E −C 运动的时间=2EC +4AE =12 (EC +12AE )= 12 (EC +EH )= 12CH ，根据垂线段最短可知，当CH ⊥AB 时，P 沿着折线A −E −C 运动的时间最短，∵CH 、AD 是等边三角形的高，∴CH =AD =10，∴P 沿着折线A −E −C 运动的时间最时间=5s .故答案为5.【点睛】本题主要考查等边三角形性质，垂线段最短知识点.熟悉掌握是关键.12．90 270【解析】分析：由相似三角形对应边比相等，知道已知三角形的三边和较大三角形的最大边，根据相应比求得边和周长，根据勾股定理的逆定理知道三角形直角三角形，即可求出面积．详解：设较大三角形的其他两边长为a ，b .∵由相似三角形的对应边比相等.∴5a =12b =3913. 解得：a =15，b =36，又∵22251213+=，∴三角形为直角三角形.则较大三角形的周长为90，面积为270.点睛：相似三角形的性质：三边对应成比例；勾股定理的逆定理：判断三角形为直角三角形. 13．96【解析】分析：利用勾股定理求出AC值，结合三角形面积公式求得S△ADC；接下来计算AC2+BC2、AB2，可得△ABC为直角三角形，结合三角形面积公式求得S△ABC，然后根据阴影部分的面积=S△ABC-S△ADC计算即可.详解：∵CD=6m，AD=8m，∠ACD=90°，∴AC=10m，S△ADC=12×6×8=24（m2）.∵AC=10m，CB=24m，AB=26m，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形.∵△ABC是直角三角形，AC=10m，CB=24m，∴S△ABC=12×10×24=120（m2），∴S△ABC-S△ADC=120-24=96（m2）.即图中阴影部分的面积为96m2.故答案为96.点睛：本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键.14．100 7【解析】【分析】由题意得∠AOM=12（10°+3t+20°），∠DON=12（150°-10°-3t），由此列出方程求解即可．【详解】解：∵射线OB从OA逆时针以3°每秒的旋转t秒，∠BOC=20°，∴∠AOC=∠AOB+∠COB=3t°+10°+20°=3t°+30°．∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=12∠AOC=12（3t°+30°）．∵∠BOD=∠AOD-∠BOA，∠AOD=150°，∴∠BOD=140°-3t．∵射线ON平分∠BOD，∴∠DON=12∠BOD=12（140°-3t）．又∵∠AOM：∠DON=3：4，∴12（3t°+30°）：12（140°-3t）=3：4，解得t=1007．故答案是：1007．【点睛】此题主要考查角平分线的定义，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化，然后根据已知条件求解．15．6．【解析】【分析】连接BE．根据垂直平分线的性质可得EA=EB，求出AE即可解决问题．【详解】如图，连接BE.∵AC=9，AE:EC=2:1，∴AE=23×9=6,EC=9×13=3，∵DE垂直平分AB，∴EA=EB=6.故答案为6.【点睛】本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握线段垂直平分线的性质.16．90°【解析】试题解析：∵OE 、OF 分别是∠AOB 和∠BOC 的平分线，∴∠AOE=∠EOB ，∠BOF=∠FOC ，∵∠AOE+∠EOB+∠BOF+∠FOC=180°，∴∠EOB+∠BOF=90°，即∠EOF=90°，故答案为90°．17．4【解析】根据30°所对的直角边是斜边的一半，知∠A 的对边应大于等于5cm ，所以在长为4cm 、5cm 、6cm 、11cm 四条线段中，有3条线段符合条件，其中∠A 的对边为6时，可以作两个三角形．故这样的三角形可以画4个．18．22015【解析】试题解析：112A B A Q V 是等边三角形，1121A B A B ∴=，30MON ∠=o Q ，1111OA A B ∴==，211A B ∴=，223334A B A A B A Q V V 、是等边三角形，1122331223,A B A B A B B A B A ∴P P P ，221233232,2A B B A B A B A ∴==，331244A B B A ∴==，441288A B B A ==，55121616A B B A ==，以此类推：201620162017A B A V 的边长为20152.故答案为：20152. 19．90【解析】【分析】首先根据角平分线定义可得∠AOF=12∠AOC，∠EOB=12∠COB，再根据∠AOC+∠BOC=180°，可得答案．【详解】∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，∴∠AOF=12∠AOC，∠EOB=12∠COB，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOF+∠BOE=12∠AOC+12∠COB=12×180°=90°，故答案为：90．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，以及邻补角，关键是理清角之间的关系．20．（32，32）．【解析】解：作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M是ON的中点，∴N′M⊥ON，∵点N（3，0），∴ON=3，∵点M是ON的中点，∴OM=1.5，∴PM=3，∴P（32，3）．故答案为：（32，3）．点睛：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是确定P 的位置．21．（1）∠BOD=180°-58°÷2=151°；（2）见解析；（3）∠BOE 和∠COE.【解析】试题分析：（1）根据角平分线定义求出AOD ∠，根据平角定义即可求出.BOD ∠（2）求出COE ∠和∠BOE 的度数，即可得出答案．()3根据补角的定义即可求出.试题解析：(1) 58,AOC ∠=o Q OD 平分∠AOC ，1125829.2AOD COD AOC ∴∠=∠=∠=⨯=o o 180********.BOD AOD ∴∠=-∠=-=o o o o (2) 29,90COD DOE ∠=∠=o o Q ，902961,COE DOE DOC ∴∠=∠-∠=-=o o o1519061BOE BOD DOE COE ∴∠=∠-∠=-==∠o o o ，即OE 平分∠BOC .()3与AOE ∠互补的角是∠BOE 和.COE ∠故答案为∠BOE 和.COE ∠22．113. 【解析】【分析】根据角平分线性质作出辅助线,求出高长,即可求解.【详解】在△ABD 中，∵S △SSS =12SS ⋅SS ，AB=3cm ，S △ABD =2cm 2， ∴SS =43SS 过 D 作 DF ⊥BC 于 F ．∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴DE=DF ，∴SS =43SS 在△BCD 中，BC=2.5cm ，SS =43SS ∴S △SSS =12SS ⋅ SS =43 (SS )2 ∵S △ABC =S △ABD +S △BCD ，∴S △SSS = 2 +53=113 (SS )2 【点睛】本题考查了角平分线的性质，利于角平分线的性质正确地作出辅助线是解题的关键． 23．（1）①12;②4；（2）结论：12AD BC =．详见解析；（3）PAB V 的“旋补中线”长1392AB == 【解析】【分析】(1)①首先证明'ADB V 是含有30o 是直角三角形，可得1'2AD AB =即可解决问题；②首先证明BAC V ≌''B AC V ，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；(2)结论：1.2AD BC =如图1中，延长AD 到M ，使得AD DM =，连接'B M ，'C M ，首先证明四边形''AC MB 是平行四边形，再证明BAC V ≌'AB M V ，即可解决问题；(3)存在.如图4中，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE AD ⊥于E ，作线段BC 的垂直平分线交BE 于P ，交BC 于F ，连接P A 、PD 、PC ，作PCD V 的中线.PN 连接DF 交PC 于.O 想办法证明PA PD =，PB PC =，再证明180APD BPC ∠+∠=o ，即可得出结论．【详解】(1)①如图2中，ABC QV 是等边三角形，''AB BC AC AB AC ∴====，''DB DC =Q ，''AD B C ∴⊥，60BAC ∠=o Q ，''180BAC B AC ∠+∠=o ，''120B AC ∴∠=o ，''30B C ∴∠=∠=o ，11'22AD AB BC ∴==，故答案为12． ②如图3中，90BAC ∠=o Q ，''180BAC B AC ∠+∠=o ，''90B AC BAC ∴∠=∠=o ，'AB AB =Q ，'AC AC =，BAC ∴V ≌''B AC V ，''BC B C ∴=，''B D DC =Q ，11''422AD B C BC ∴===，故答案为4．()2结论：12AD BC =．理由：如图1中，延长AD 到M ，使得AD DM =，连接'B M ，'C M''B D DC =Q ，AD DM =，∴四边形''AC MB 是平行四边形，''AC B M AC ∴==，''180BAC B AC ∠+∠=o Q ，'''180B AC AB M ∠+∠=o ，'BAC MB A ∴∠=∠，'AB AB =Q ，BAC ∴V ≌'AB M V ，BC AM ∴=，12AD BC ∴=． ()3存在．理由：如图4中，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE AD ⊥于E ，作线段BC 的垂直平分线交BE 于P ，交BC 于F ，连接P A 、PD 、PC ，作PCD V 的中线PN ．连接DF 交PC 于O ．150ADC ∠=o Q ，30MDC ∴∠=o ，在Rt DCM V 中，CD =Q ，90DCM ∠=o ，30MDC ∠=o ，2CM ∴=，4DM =，60M ∠=o ，在Rt BEM V 中，90BEM ∠=o Q ，14BM =，30MBE ∠=o ，172EM BM ∴==， 3DE EM DM ∴=-=，6AD =Q ，AE DE ∴=，BE AD ⊥Q ，PA PD ∴=，PB PC =，在Rt CDF V 中，CD =Q ，6CF =，tan CDF ∴∠=60CDF ∴∠=o90ADF AEB ∴∠==∠o ，CBE CFD ∴∠=∠，CBE PCF ∠=∠Q ，CFD PCF ∴∠=∠，90CFD CDF ∠+∠=o Q ，90PCF CPF ∠+∠=o ，60CPF CDF CDF ∴∠=∠==∠o 易证FCP V ≌CFD V ，CD PF ∴=，//CD PF Q ，∴四边形CDPF 是矩形，90CDP ∴∠=o ，60ADP ADC CDP ∴∠=∠-∠=o ，ADP ∴V 是等边三角形，60ADP ∴∠=o ，60BPF CPF ∠=∠=o Q ，120BPC ∴∠=o ，180APD BPC ∴∠+∠=o ，PDC ∴V 是PAB V 的“旋补三角形”，AB =QPAB ∴V 的“旋补中线”长12AB == 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题.24．160°.【解析】试题分析：先求出∠AOC 的度数，再根据角平分线的定义求出 ∠EOC 的度数，再由OC ⊥OD 求出 ∠COD 的度数，再由 ∠DOE=∠DOC+∠COE 即可得.试题解析：∵ ∠BOC =40°，∴ ∠AOC =180°-∠BOC=140°，∵ 射线OE 平分∠AOC ，∴ ∠EOC =12∠AOC=70°， ∵ 射线OC ⊥射线OD ，∴ ∠COD =90°，∴ ∠DOE=∠DOC+∠COE=160°.【点睛】本题考查了角平分线的定义、垂直的定义等，结合图形正确地进行分析是解题的关键.25．（1）10；（2）485【解析】【分析】（1）在△BCD 中，由勾股定理逆定理可得△BCD 是直角三角形，即∠ADB=90°,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可解得线段DE 的长；(2) 当DE ⊥AB 时，DE 有最小值.根据等面积法即可求出DE 的长.【详解】解：(1)∵AC ＝21，AD ＝16，∴CD=21-16=5，∵DC ²+BD ²=5 ²+12 ²=169，BC ²=13 ²=169，∴DC ²+BD ²= BC ²,∴△BCD 是直角三角形．且∠BDC=90°,∴∠ADB=90°,在Rt △ADB 中，由勾股定理得，∵∠ADB=90°,E 为斜边AB 的中点，∴DE=12AB=12×20=10. (2)当DE ⊥AB 时，DE 有最小值.此时AB×DE=AD×DB,即20DE=16×12, 解得DE=485. 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟悉勾股定理及其逆定理是解题的关键．26．（1）(4,1)A '-；90BOB ∠='︒．（2）点C '的运动路径见解析．（3）见解析．【解析】试题分析：（1）①按照变换点的定义写出A′的坐标即可；②按照变换点的定义根据点B 的坐标写出点B′的坐标，如图，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，过点B′作B′E ⊥x 轴于点E ，则由已知易证△BDO ≌△OEB′，从而可证得∠BOD=∠OB′E ，结合∠OB′E+∠EOB′=90°，即可证得∠BOB′=90°；（2）①由变换点的定义可得，当n<2时，点C （2，n ）的变换点的坐标是（-2，n ）；②当2n ≥时，点C （2，n ）的变换点的坐标是（-n ，2），由此即可画出点C 的运动路线；（3）由题意可知：()4,1A '-，()3,2B -，连接A B '，以A '为圆心，A B '长度为半径作圆，交点C '的运动路径于点'1C ；以B 为圆心，A B '长为半径作圆，交点C '的运动路径于点'2C ，'3C ；作线段A B '的垂直平分线，交点C '的运动路径于点'4C ，'5C ；如图所示，'1C ，'2C ，'3C ，'4C ，'5C 均为所求点C '的位置，再根据已知条件计算出对应的n 的值即可.试题解析：（1）∵()4,1A ，41>，∴()4,1A '-，∵()3,2B -，32-≤，∴()2,3B '--，90BOB ∠='︒．（2）点C '的运动路径如图所示：（3）如图：()4,1A '-，()3,2B -，连接A B '，以A '为圆心，A B '长度为半径作圆，交点C '的运动路径于点'1C ，以B 为圆心，A B '长为半径作圆，交点C '的运动路径于点'2C ，'3C ，作线段A B '的垂直平分线，交点C '的运动路径于点'4C ，'5C ，如图所示，'1C ，'2C ，'3C ，'4C ，'5C 均为所求点C '的位置，∵()4,1A '-，()3,2B -， ∴2A B '=∵'1A BC 'V 为等腰直角三角形，∴()'15,2C -， ∴()12,5C ，5n =， ∵'22BC A B '== ∴()'232,2C -， ∵(22,32C ，32n =+∵'3BA BC '=， ∴()'32,1C -， ∴()32,1C ，∴1n =，∵''44C A C B ='，∴()'44,2C -， ∴()42,4C ，∴4n =，∵''55C A C B ='，∴()'52,0C -，∴()52,0C ，∴0n =．综上所述，n 的值是5，3，1，4，0．点睛：解本题第3小题时，关键是分A′B 是等腰△A′BC′的腰和底两种情况通过画图找到所有符合条件的C′点，然后再根据已知条件求出对应的n 的值即可.27．证明见解析【解析】试题分析：由角平分线的定义可知：∠EAD=12∠EAC ，再由三角形的外角的性质可得∠EAD=∠B ，然后利用平行线的判定定理可证明出结论.试题解析：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD=12∠EAC ．又∵∠B=∠C ，∠EAC=∠B+∠C ，∴∠B=12∠EAC ． ∴∠EAD=∠B ．所以AD ∥BC ．考点：1.平行线的性质；（2）角平分线的定义；（3）三角形的外角性质.28．∠B ＝30°【解析】试题分析：，，由∠C ＝90°，可得∠BAC ＋∠B ＝90°，根据DE ⊥AB ，DE 平分∠ADB ，可得∠B ＝∠BAD ，再由∠BAC ＝2∠BAD ，可得3∠B ＝90°，从而可求.试题解析：因为∠C ＝90°，所以∠BAC ＋∠B ＝180°－90°＝90°，又DE ⊥AB ，DE 平分∠ADB ，所以∠B ＝∠BAD ，而∠BAC ＝2∠BAD ，所以∠BAC ＝2∠B ，所以3∠B ＝90°，所以∠B ＝30°.。

人教版九年级上册数学《图形的旋转》旋转说课研讨教学复习课件

AC= , ∠B=60 °，则CD的长为（ D ）
A. 0.5
B. 1.5
C.
D. 1
E
A
C
B
D
课堂检测
4. △A ′ OB ′是△AOB绕点O按逆时针方向旋转得到
的.已知∠AOB=20 °, ∠ A ′ OB =24°，
AB=3,OA=5,则A ′ B ′ = 3 ,OA ′ = 5 ,
A.2
B.3
C.4
D.5பைடு நூலகம்
课堂检测
2. 下列说法正确的是( B )
A.旋转改变图形的形状和大小
B.平移改变图形的位置
C. 图形可以向某方向旋转一定距离
D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到
课堂检测
3.如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角
度得Rt △ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上.若
将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，
135
BE＝2，CE＝3则∠BE′C＝________度．
解析：连接EE′，
由旋转性质知BE＝BE′，∠EBE′＝90°，
∴∠BE'E=45°，EE′=
在△EE′C中，E′C＝1，EC＝3，EE′=
由勾股定理逆定理可知∠EE′C＝90°，
解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，
∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
AC=BC
在△ACD与△BCE中， ∠ACD=∠BCE
CD=CE
∴△ACD≌△BCE（SAS）.
链接中考
（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．

【教案】等边三角形的性质和判定

问题2：求∠1是否还有其它方法?
三、练习巩固
1．判断下列命题，对的打“√”，错的打“×”。
a.等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合( )
b．有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°( )
2．如图(2)，在△中，已知＝，为∠的平分线，且∠2＝25°，求∠和∠B的度数。
3．P80练习1、2。
2．若等腰三角形的两边长为3和4，则其周长为多少?
二、新课
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等。我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
等边三角形具有什么性质呢?
1．请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想。
2．你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的?
教师小结：
由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等，且都为60°。“三线合一”性质在实际应用中，只要推出其中一个结论成立，其他两个结论一样成立，所以关键是寻找其中一个结论成立的条件。
作业：课本P82第7题。
板书设计：
等边三角形(一)
等边三角形慨念
修订பைடு நூலகம்增减
教学反思：
等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A＝∠B＝C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°。
3．上面的条件和结论如何叙述?
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个叫是60°的等腰三角形是等边三角形也称为正三角形。
等腰三角形的两个底角相等，也可以简称“等边对等角”。把等腰三角形对折，折叠两部分是互相重合的，即与重合，点B与点 C重合，线段与也重合，所以∠B＝∠C。