2021届北京市中关村中学高三十月月考测试数学试题解析

2021届北京市中关村中学高三十月月考测试数学试题

一、单选题

1．设集合{}1,2,3,4U =，{}

2

50M x U x x p =∈-+=，若{}1,4U C M =，则p 的

值为（） A ．-4 B ．4

C ．-6

D ．6

答案：D 转化条件得2,3M ，所以方程250x x p -+=的两根分别为2和3，即可得解.

解：

集合{}1,2,3,4U =，若{}1,4U C M =，

∴{}

{}2502,3M x U x x p =∈-+==， ∴方程250x x p -+=的两根分别为2和3， ∴236p =⨯=.

故选：D. 点评：

本题考查了集合的概念和运算，属于基础题. 2．对于函数①2y

x ，②()12

log 1y x =+，③1y x =-，④1

2x y +=，其中在区间()

0,1上单调递减的函数的序号是（） A ．③④ B ．①② C ．②③ D ．①④

答案：C

根据常见函数的单调性结合函数图象的变换逐一判断，即可得解. 解： 函数2y x 为开口朝上，对称轴为0x =的二次函数，其在()0,∞+单调递增，故①不

满足；

函数()12

log 1y x =+的图象是由函数

12

log y x =的图象向左平移1个单位长度得到

的，函数

12

log y x =在()

0,∞+上为减函数，故②满足；

当()0,1x ∈时，11y x x =-=-，其在()0,1x ∈单调递减，故③满足； 函数1

2

x y +=的图象是由函数2x y =的图象向左平移1个单位长度得到的，函数2

x

y =

在R 上单调递增，故④不满足. 故选：C. 点评：

本题考查了函数图象的变换和常见函数的单调性，属于基础题.

3．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用n a 表示解下n

（*

9,≤∈n n N ）个圆环所需的最少移动次数，{}n a 满足1n a =，且

11

21,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下4个圆环所需的最少移动次数为（）

A ．7

B ．10

C ．12

D ．22

答案：A

由递推式依次计算． 解：

由题意知21212111=-=⨯-=a a ，32222124=+=⨯+=a a ，

43212417=-=⨯-=a a ，

故选：A. 点评：

本题考查由递推式求数列的项，解题时按照递推公式依次计算即得． 4．设,,a b c 是单位向量，且0a b ⋅=，则()()

a c

b

c -⋅-的最小值为（） A ．2- B

2 C ．1- D

．1答案：D

根据题意得a b ⊥

，a b →

→

+，进而得()

2cos ,c a b a b c ⋅+=

+，再根据数量

积的运算得()()

12cos ,12a c b c a b c -⋅-=-+≥-. 解：

解：因为,,a b

c 是单位向量，且0a b ⋅=， 所以a b ⊥，a b →

→

+，

所以()

cos ,2cos ,c a b c a b a b c a b c ⋅+=++=

+

所以()()()

2

1a c b c a b a c b c c c a b -⋅-=⋅-⋅-⋅+=-⋅+

12cos ,12a b c =-+≥-.

故选：D. 点评：

本题考查向量的模的计算，数量积计算，考查运算能力与化归转化思想，是中档题. 5．如图所示，为了测量某一隧道两侧A 、B 两地间的距离，某同学首先选定了不在直线AB 上的一点C （

ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ）

，然后确定测量方案并测出相关数据，进行计算．现给出如下四种测量方案；①测量∠A ，∠C ，b ；②测量∠A ，∠B ，∠C ；③测量a ，b ，∠C ；④测量∠A ，∠B ，a ，则一定能确定A 、B 间距离的所有方案的序号为（）

A ．①③

B ．①③④

C ．②③④

D ．①②④

答案：B

根据正弦定理以及余弦定理，即可对每个选项进行逐一判断分析，作出选择. 解：

对①：由,A C ∠∠，可求得B ∠，再根据正弦定理

b AB

sinB sinC

=，求得AB 即可； 对②：由三个角无法确定三角形，故无法计算AB 的值；

对③：根据余弦定理2222AB a b abcosC =+-，即可求得AB 的值； 对④：由,A B ∠∠，可求得C ∠，再根据正弦定理AB a

sinC sinA

=，即可求得AB 的值. 综上所述：①③④可以求得AB . 故选：B . 点评：

本题考查应用正弦定理和余弦定理，解决测距问题，属基础题目. 6．已知函数f （x ）＝sinπx，g （x ）＝x 2﹣x+2，则（ ） A ．曲线y ＝f （x ）+g （x ）不是轴对称图形 B ．曲线y ＝f （x ）﹣g （x ）是中心对称图形 C ．函数y ＝f （x ）g （x ）是周期函数