误差传播定律
28误差传播定律及其应用
误差传播定律及其应用一、误差传播定律前面已经叙述了衡量一组等精度观测值的精度指标，并指出在测算工作中通常以中误差作为衡量精度的指标。
但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来。
例如，要测量不在同一水平面上两点间的距离D，可以用光电测距仪测量斜距S，并用经纬仪测量竖直角α，以函数关系来推算，显然，在此情况下，函数D的中误差与观测值S及α的中误差之间，必定有一定的关系。
阐述这种函数关系的定律，称为误差传播定律。
下面以一般函数关系来推导误差传播定律。
设有一般函数：（5-3-1）式中：（χ1、χ2、…、χn）为可直接观测的未知量；Z为不便于直接观测的未知量。
设独立观测值为ℓi，其相应的真误差为∆χi。
由于∆χi的存在，使函数Z亦产生相应的真误差∆Z。
将式（5-3-1）取全微分：因误差∆χi及∆Z都很小，故在上式中，可近似用∆χi及∆Z代替dχi及d Z，于是有：（5-3-2）式中：为函数F对各自变量的偏导数。
将χi=ℓi代入各偏导数中，即为确定的常数，设则式（5-3-2）可写成：（5-3-3）为了求得函数和观测值之间的中误差关系式，设想对各χi进行了k次观测，则可写出k个类似于式（5-3-3）的关系式：将以上各式等号两边平方后，再相加得：上式两端各除以k：（5-3-4）设对各χi的观测值ℓi为彼此独立的观测，则∆χi∆χj当i≠j时，亦为偶然误差。
根据偶然误差的第四个特性可知，式（5-3-4）的末项当κ→∞时趋近于零，即：故式（5-3-4）可写成：根据中误差的定义，上式可写成：当κ为有限值时，可写为：（5-3-5）即：（5-3-6）上式即为计算函数中误差的一般形式。
应用上式时，必须注意：各观测值必须是相互独立的变量，而当ℓi为未知量χi的直接观测值时，可认为各ℓi之间满足相互独立的条件。
式（5-3-6）就是一般函数的误差传播定律，利用它不难导出5-3-1所列简单函数的误差传播定律。
4第四讲误差传播定律(精)
误差传播定律在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，需要由观测值间接计算岀来。
例如某未知点B的高程H B，是由起始点A 的高程比加上从A点到B点间进行了若干站水准測量而得来的观測高差h】……厲求和得出的。
这时未知点B的高程H。
是各独立观测值的函数。
那么如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中课差呢？阐述观測值中谋莖与观测值函数中谋差之间关系的定律，称为误差传播定律。
1、和差函数设有函数：z=x±yZ 为x 、y 的和或差的函数，x 、y 为独立观测值，已知其中课差为 m& m y ,求Z 的中泯差mz 。
设x 、y^z 的真课差分别为亠、△舟亠则 A. =△、+△、, 若对x 、y 均观测了n 次，则(2 1,2……对将上式平方，得= A 2.… + △［讨 ±2A r A v ,(i = 1,2……n)由于亠、亠均为假然误差，其符号为正或负的机会相 同，因为Ay 为独立误差，它们出现的正・负号互不相 关，所以其乘积亠Ay 也具有正负机会相同的性质，在求 ［心］时其正值与负值有互相抵消的可能；当n 愈大时， 上式中最后一项［g ］ /n 将趋近于零，即 lim lA r A r l 1 - ^ = 0/? —>oo n将满足上式的误差A 禺为互相独立的误差，简称独立 误差，相应的观测值称为独立观測值。
对于独立观测值来说， 即使n 是有限量，由于 罰 式残存的值不大，一般就 观测值的函数求和，并除以n,得k J =忽视它的影响。
根据中谀療是义；得两观测值代数和的中谋差平方，等于两观测值中误差的平方之和。
当z是一组观测值X】、兀…％代数和（差）的函数时，即Z = X}±X2^^^±X n可以得出函数Z的中误差平方为7H：= 〃彳+加；+・・・+加［Z X| x2 xn结论：n个）WU值代数和（差）的中谋差平方，等于n个观灣值中误差平方之和。
11第十一讲 误差传播定律
因为 x
L1 n
L2 n
xX
…
Ln n
称为算术平均值，是 未知量的最或然值
m mx n
算术平均值的中误差为 1 观测值的中误差的 n 倍
二、误差传播定律及应用
1、算术平均值及其中误差
同精度观测值中误差公 式： m
观测值改正数为： vi x Li
n i Li X
函数名称 倍数函数 和差函数 函数式
z kx
函数的中误差
mz kmx
2 2 2 mz m1 m2 mn
z x1 x2 xn
线性函数 z k1x1 k2 x2 kn xn 一般函数
Z f ( x1 , x2 , xn )
1,2n)
k 2 2x (i 1,2n)
2 z
z k x (i 1,2n) i i
n n
(4 )转换为中误差关系式 即m 2 k 2 m 2 z x 观测值与常数乘积的中误差， m z km x 等于观测值中误差乘以常数
2、和或差的函数
应用倍数函数、和差函数的误差传播定律可得
2 2 2 2 2 2 2 m z k1 m1 k 2 m 2 k n m n
4、一般函数（非线性函数）
设有函数z=f( x1, x2, xn ) xi 为独立观测值
已知m xi m z ?
(1)求偏导真误差的关系式为：
f f f z x1 x2 xn x1 x 2 x n
令x x X
2
vv
2
n
n
x 2
x 2
误差传播定律 (2)
mZ2
f x1
2 0
m12
f x2
2 0
m22
...
f xn
2
mn2 0
6
例题一：对某一个量进行n了 次等精度观测，设每次观测量的中误差m
为 ，求其算术平均值的中误差。 解：第一步，列函数关系式
x l1 l2 ... ln n
7
第二步，运用误差传播定律：
2
2
2
mZ2
f x1
m12 0
1. 非线性函数的一般表达式:
Z f x1, x2 ,..., xn
式x中1 x2 ， x，n …， 为独立观测值，相
应的中m1误差m2为
、mn 、… 、
。
4
2. 非线性函数的中误差的计算步骤
是：
1)
dZ
非 (线xf性1 )0函dx数1 的(线xf2 性)0 d化x2
...
(
f xn
)0
dxn
(
f xi
)0
dxi
表示函数 Z 对各个变量取偏 导数，并以 xi (i 1,2,..., n) 的近似 值（观测值）代入计算所得至的数 值，它们都是常数。
5
全微分表达式的系数项是函 数对各自变量的偏导数，并以变量的 近似值（观测值）代入，其值为确定 的常数。非线性函数线性化后，可运 用误差传播定律的一般形式：
f x2
m22 0
...
f xn
0 mn2
则：
mx2
1 n2
m12
1 n2
m22
...
1 n2
mn2
即：
mx
m n
vv
nn 1
8
例题二：设有函数关系式
第05章误差传播定律02
在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接 进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定 的函数关系计算出来，这时函数中误差与观测值 中误差必定有一定的关系。阐述这种关系的定律 称为误差传播定律。
倍数函数
函数形式
和差函数 线性函数
一般函数
在实际测量工作中，某些量的大小往往不是直接 观测到的，而是间接观测到的，即观测其它未知量，并 通过一定的函数关系间接计算求得的。
求函数的全微分，并用“Δ”替代“d”，得
f
f
f
Z ( x1 ) x1 ( x2 ) x2 ( xn ) xn
函数的真误差和独立观测值的真误差之 间的关系式。
Z
f x1
x1
f x2
x2
......
f xn
xn
f xi
fi
Z f1x1 f2x2 ....列出n 个真误差关系式：
解：对上式全微分：
由中误差式得：
dz
4 14
dx1
9 14
dx2
1 14
dx3
mZ f1mx1 2 f2mx2 2 f3mx3 2
4 14
3
2
9 14
2
2
1 14
6
2
1.6mm
3.算术平均值的中误差式
函数式 全微分
x
l
n
1 n
l1
1 n
l2
1 n
ln
dx
1 n
dl1
例如： h=a-b
线性函数
x S cos 非线性函数
误差传播定律： 表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间
关系的定律称为误差传播定律。
绪论2误差传播定律
智能化技术应用
随着人工智能等技术的 发展，未来误差传播定 律的研究将更加注重智 能化技术的应用，如利 用机器学习等方法进行
误差预测和控制。
实验与理论相结合
未来研究将更加注重实 验与理论的相结合，通 过实验验证理论的正确 性和可靠性，推动误差 传播定律在实际应用中
误差控制
为了控制误差的累积和传播，提高测 量结果的准确性，需要研究和掌握误 差传播规律。
学科发展
随着测量科学和技术的不断发展，对 误差传播规律的研究逐渐深入，形成 了较为完善的理论体系。
02
误差传播定律数学表达式
单一观测值误差传播公式
误差传播定律描述了测量误差在数据处理过程中的传 递规律。对于单一观测值，其误差传播公式可表示为
缺乏统一的理论框架
目前，误差传播定律的研究缺乏统一的理论框架，不同领域和方法 之间的融合不够，限制了其应用范围和效果。
实验验证不足
误差传播定律的实验验证相对较少，缺乏充分的实验数据支持，使 得理论成果在实际应用中的可靠性受到质疑。
未来发展趋势及前景预测
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
跨学科融合研究
输标02入题
$$sigma_y = |f'(x)| cdot sigma_x$$
01
03
该公式表明，函数 $y$ 的误差与 $x$ 的测量误差及 函数在该点的导数有关。当 $|f'(x)|$ 较大时，即使
$sigma_x$ 很小，$sigma_y$ 也可能较大。
04
其中，$sigma_y$ 为函数 $y = f(x)$ 的误差，$f'(x)$ 为函数在点 $x$ 处的导数，程测量中，误差传播定律用 于评估测量结果的可靠性和精度， 指导测量方案的设计和实施。
误差传播定律——观测值函数的中误差
误差传播定律 ——观测值函数的中误差
1. 误差传播定律的定义 在实际工作中，某些未知量不能直接观
测而求得，而是需要用观测值间接求得， 如HB=HA+∑h中，HB是独立观测值 h1,h2,…,hn的函数，那么就需要由观测值 的中误差求出函数的中误差。 定义：阐述观测值中误差与观测值函数中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律。
推导:
zz
N
k12
x1x1
N
k22
x2x2
N
kn2
xnxn
N
2
nn
j 1 i 1
ki
kj
xix j N
i j
………………………（5）
可以证明，当i≠j时，独立观测量xi,xj的随 机误差△xi,△xj之乘积△xi·△xj也表现
为随机误差的性质。依据随机误差的抵偿
性有
lim
N
ki
k
j
i j
2
误差传播定律 ——观测值函数的中误差
2. 一般函数误差传播定律 分别设为有m独x1 , m立x2观,测, m值xn x1,x2,…,xn，其中误差
现有函数 z f (x1, x2,, xn ) …（1）
求函数值z的中误差mz。
推导
3
误差传播定律 ——观测值函数的中误差
z f (x1, x2 ,, xn )
则有
mz2
k12
m2 x1
k22
m2 x2
kn2
m2 xn
z f ( x1, x2 ,, xn )
mz2
k12
m2 x1
k22
m2 x2
kn2
误差传播定律
应用误差步骤
1.列出观测值函数的表达式 Z=f(x1,x2,...xn) 2.对函数Z进行全微分 Δz=(əf/əx1)Δx1+(əf/əx2)Δx2+...+(əf/əxn)Δxn 3.写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式 mz^2=(əf/əX1)^2m1^2+(əf/əX2)^2m2^2+...+(əf/əXn)^2mn^2 4.计算观测值函数中误差
当只有一个独立的观测值时,和函数与倍数函数运用误差传播定律不会出现悖论;如果在测量工作中有多余的 直接观测值,就需用平差后的间接观测值按协方差传播律来计算,这样数学中相等的函数关系才能得到同样的函数 中误差结果 。
测量学误差
测量学误差传播定律是测绘科学基本的、简单的定律，但作用较大，比如测量规范中，水平角观测的限差确 定，导线闭合差的限差确定，水准测量线路的限差确定，等等，都可以利用误差传播定律做到。此外，研究误差 传播定律，还可以较好地解决一些测绘问题或解决较难的测绘问题，丰富和发展测量学教材误差理论，因此，尽 管我们在误差传播定律方面取得了可喜的成果，仍然需要进一步研究倍数函数：Z=KX 则有： 观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。 和(差)函数的中误差 和(差)函数：Z=X1±X2且X1、X2独立，则有mz^2=mx1^2+mx2^2 两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方和。 当Z是一组观测值X1、X2……Xn代数和(差)的函数时，即Z=X1±X2±...±Xn Z的中误差的平方为mz^2=mx1^2+mx2^2+...+mxn^2 n个观测值代数和(差)的中误差平方，等于n个观测值中误差平方之和。 在同精度观测时，观测值代数和(差)的中误差，与观测值个数n的平方根成正比，即mz=m·（n）^1/2
误差传播定律
误差传播定律
一、误差传播定律（Error Backpropagation Law）
误差传播定律（Error Backpropagation Law）是一种重要的人工神经网络算法，它
最早在1986年被Rumelhart等人提出，并在子后学习过程中发挥着重要作用。
利用反向
传播技术，可以实现多层神经网络，也称为反向传播算法。
误差传播算法通过误差的反馈，以自动化的方式改善网络模型的预测结果。
该算法首
先确定一个初始的权重和偏差，然后根据实际情况，不断增加参数和权重，使它们能够更
好地适应训练样本数据。
针对网络输出结果，通过与预期输出比较，计算出一个误差值，
误差值把权重更新的任务传给神经元，得到一个新的权重，让神经元更加敏感的反应输入，以达到优化网络的效果。
误差传播算法是一种利用梯度下降法以及链式法则（Chain Rule）进行反向传播的数
学方法。
误差的反向传播是指，从神经网络的输出端开始，使用链式法则将误差向输入端
传播，并依次更新每个神经元的权重和偏差，以最大程度地减小输出层表示的网络误差。
该过程反复进行，不断减少最终误差，至最小时，说明模型参数已达到最优解。
综上所述，误差传播算法是一种重要的人工神经网络算法，它利用反向传播技术，以
自动化的方式改善网络模型的预测结果，实现多层神经网络，根据误差的反馈不断增加参
数和权重，进而最大程度减小最终误差，达到最优解。
由于该算法不仅比较简单，而且收
敛速度非常快，所以在现今的深度学习研究中具有重要地位。
误差传播定律
k1为,k2常,数kn ， 误差为
相x应1, x的2,观xn测值的中
m1, m2 ,mn
mz k12m12 k22m22 kn2mn2
3、 运用误差传播定律的步骤
求观测值函数中误差的步骤：
1）列出观测值函数的表达式：
Z f (x1, x2,xn )
注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观 测值必须是独立观测值。
误差传播定的几个主要公式：
函数名称 倍数函数
函数式
z kx
函数的中误差
mz kmx
和差函数z x1 x2 xn
mz m12 m22 mn2
线性函数 z k1x1 k2x2 knxn mz k12m12 k22m22 kn2mn2
5 测量误差基本知识
一 测量误差来源 二 测量误差分类 三 评定精度的指标 四 误差传播定律
基础测量
四、误差传播定律
误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值 函数中误差的关系的定律。
函数形式
倍数函数 和差函数 线性函数 一般函数
1. 一般函数
设非线性函数的一般式为：
z f (x1, x2 ,x3,, xn )
mZ2
(
f x1
)2
m12
(x误f2 )差2 m传22 播定律 的(一xfn般)2 形mn2式
mZ
(
f x1
)2
m12
(
f x2
)2
m22
(
f xn
)
2
mn2
[例]已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测 得倾角α=15°00′00″±30″求：水平距 离D
解：1.函数式
《误差传播定律》课件
汇报人：PPT
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
误差传播定律是描述测量误差在测量过程中如何传播和放大的定律。
误差传播定律的核心思想是：测量误差在测量过程中会按照一定的规律进行传播和放大。
误差传播定律的数学表达式为：Δy = Δx * ∂y/∂x，其中Δy表示测量误差，Δx表示测量值，∂y/∂x表示测量值的 导数。
背景：在科学研究中，数据拟合是 常用的数据处理方法
分析：通过案例分析，了解误差传ห้องสมุดไป่ตู้播定律在实际中的应用
添加标题
添加标题
添加标题
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问题：数据拟合过程中，误差如何 传播和影响结果
结论：误差传播定律对于数据拟合 结果的准确性具有重要影响
控制系统：汽 车自动驾驶系
统
误差来源：传 感器误差、计 算误差、执行
PART THREE
添加标题
误差传播定律的基本公式：Δy = Δx * ∂y/∂x
添加标题
误差传播定律的误差传递系数：K = ∂y/∂x
添加标题
误差传播定律的扩展公式：Δy = Δx * ∂y/∂x + Δx * ∂y/∂x² + Δx * ∂y/∂x³ + ...
添加标题
误差传播定律的误差传递系数的平方：K² = (∂y/∂x)²
误差传播定律只适用于线性系统
误差传播定律无法处理随机误差
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
误差传播定律无法处理非线性系统 的误差传播
误差传播定律无法处理系统误差
非线性效应：在非线性系统中， 误差传播定律可能不再适用
第四节误差传播定律第五节算术平均值及中误差资料
讨论一般函数，设有函数
其中
z f(
x1、x2
x1、x2 xn）
xn 为独立观测值。
中误差分别为： m1、m2 mn
设 x1、x2 xn 分别有真误差 x1、x2 xn
相应函数 随之产生真误差
根据变量的误差与函数的误差之间的关系近似用全微分表达求函数的全 微分,舍取二次以上各项得：
K22m22
K
m 2 2
nn
[例题]：丈量得倾斜距离s=50.00m，其中误差 ms 0.05，并测得倾斜角
150000，其中误差 m 30 ，求相应水平距离D及其中误差。
解：首先列出函数式 D=Scos 水平距离D=50∙cos15ْ =48.296m 这是个非线性函数，所以要用公式（6-9）求函数的中误差。先求出个偏导数如下：
n
所以
lim n
x
X
在有限次观测时，所求得观测值 是接近真值的值，因此算术平均值是 观测量的最可靠值。（最或然值）
二、算术平均值的中误差
在同精度观测条件下，得观测值L1、L2┉Ln,中误差 均相同为m,算术平均值如下。
x
L
n
1 n
L1
1 n
L2
1 n
Ln
根据误差传播定律中误差式为：
2 n2
按级数展开取第一项得：
x2
n2
m2 n
代入得： m2 vv
由以上可得：
m2 vv
n 1
m
vv
n1
（白塞尔公式）
M
vv
n(n 1）
D cos cos15 0.9659 D s sin 50 sin 15 12.9410
测量误差传播律
§6－3 误差传播定律当对某量进行了一系列的观测后，观测值的精度可用中误差来衡量。
但在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的。
例如，水准测量中，在一测站上测得后、前视读数分别为a 、b ，则高差h =a -b ，这时高差h 就是直接观测值a 、b 的函数。
当a 、b 存在误差时，h 也受其影响而产生误差，这就是所谓的误差传播。
阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律称为误差传播定律。
本节就以下四种常见的函数来讨论误差传播的情况。
一、倍数函数设有函数kx Z =（6-7）式中k 为常数，x 为直接观测值，其中误差为m x ，现在求观测值函数Z 的中误差m Z 。
设x 和Z 的真误差分别为Δx 和ΔZ ，由（6-7）式知它们之间的关系为ΔZ =k Δx 若对x 共观测了n 次，则ii x Z k ∆=∆ （i =1,2,…,n ）将上式两端平方后相加，并除以n ，得[][]n k n2x22Z∆=∆（6-8）按中误差定义可知[]n m 2Z2Z ∆=[]n m 2x2x∆=所以（6-8）式可写成2x 22z m k m =或x z km m =（6-9）即观测值倍数函数的中误差，等于观测值中误差乘倍数（常数）。
【例】 用水平视距公式D =k ·l 求平距，已知观测视距间隔的中误差m l =±1cm ，k =100，则平距的中误差m D =100·m l =±1 m 。
二、和差函数设有函数y x z ±=（6-10）式中x 、y 为独立观测值，它们的中误差分别为m x 和m y ，设真误差分别为Δx 和Δy ，由（6-10）式可得yx z ∆±∆=∆若对x 、y 均观测了n 次，则 ),,2,1(n i ii i y x z =∆±∆=∆将上式两端平方后相加，并除以n 得[][][][]n2n n n yx2y2x2z∆∆±∆+∆=∆上式[]y x ∆∆中各项均为偶然误差。
控制测量与平差：误差传播定律
如图所示导线, A为已知点，α0为AB方向的方位角， β为观测角，其方差为4.0(″)2，观测边长S为600.00m，
其方差为0.5cm2，试求C点的点位方差。
解法一: 由C点纵、横向方差求点位方差
如图AC边上边长方差称为纵向方差
2 s
，
而在它的垂直方向的方差称为横向方差
2 u
。
横向方差是由AC边的坐标方位角α的方
解：列函数式 S 1000l
中误差式
m
2 S
10002
m
2 l
即mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
S 168.5m 0.2m
误差传播定律应用
例3 用钢尺分五段测量某距离，得到各段距离及其相应的中误差如下，
试求该距离s的中误差及相对中误差。
S1 50.350 m 1.5mm S2 150.555 m 2.5mm
2.02
1.52
18.75(mm 2)
S的中误差为: m S 4.33mm
其相对中误差为:
mS S
4.33
1
1
452460 104494 104000
误差传播定律应用
例4: 已知某矩形长a=500米，宽b=400米, ma = m b
= 0.02m，求矩形的面积中误差 m p 。
p ab
解：1.函数式： D Dcos
2.全微分：
dD (cos )dD (D sin ) d
3.求中误差：mD2
[(cos
) mD ]2
[(D sin )
m
]2
[(c os15 ) 0.05]2 [(50 sin 15 ) 30 ]2
mD 0.048(m)
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dD0 =
∂f ∂f dD + dh = ∂D ∂h
D D2 − h2
dD −
h D2 − h2
dh =
D h dD − dh D0 D0
于是
m D0 = ± ( D 2 2 h 2 ) m D + (− ) 2 mh D0 D0
= ± (1.0023) 2 × 3 2 + (−0.0685) 2 × 50 2 = ±5mm
§5-2 衡量精度的标准
中误差：在测量工作中，用来反映误差分布的 密集程度的量，其大小为该组观测值所对应的 标准差的近似值。
– 由真误差计算中误差的公式
m=± [∆∆] n
容许误差：测量中规定的误差的限值，通常取 中误差的三倍或两倍作为限差。 相对误差：中误差与观测值的比值，并将分子 化作1。
§5-3 误差传播定律及其应用
其中 差。 即
是定值，为单位长度的量距中误
ห้องสมุดไป่ตู้
误差传播定律在测量上应用举例
(3)水平角测量的精度 J6级经纬仪一测回方向中误差为 角值是两个方向值之差，故一测回角值中误 差为 设n边形各内角均观测一测回，其闭合差为 n边形闭合差的中误差为 取三倍中误差为容许误差，则多边形闭合差 的容许误差为 一般取 或 。
误差传播定律在测量上应用举例
（1）水准测量的精度 设A、B两水准点间的高差h施测了n个测站， 则 若各测站观测的精度相同，其中误差均 为 ，则 。 设各测站的S大致相等，A、B间的距离为L， 则测站数 如果L、S均以千米为单位，则 千米观测高差的中误差，令 为一
则有
误差传播定律在测量上应用举例
（2）距离丈量的精度 若用长度为l的钢尺量距，连续丈量n个尺段， 设全长为D，则 设每尺段的量距中误差为 则
偶然误差
– 在相同的观测条件下进行一系列的观测，如果单个误差出现 的符号和大小都表现出偶然性，但多次观测的误差总体上具 有一定的统计规律性，这种误差称为偶然误差。 – 任何观测值都会包含系统误差和偶然误差，有时还包含粗差 （错误）。 – 当观测值中的粗差被剔除，系统误差被消除或削弱到最小限 度，可以认为观测值中仅含偶然误差，从而把观测值和偶然 误差都当作随机变量，用概率统计的方法来研究。
即
D0 = 29.922m ± 5mm
。
误差传播定律（非线性函数）
设对下图中的三角形测得 α = 50 05'50"±10"，β = 89 43'40"±20" b = 150.00m ± 0.05m ； 试求 a 边的长度及其中误差 ma 。 sin α 0.767134 解： a=b = 150.00 × = 115.07m
误差传播定律
– 解决如何根据观测值的中误差，求得观测值函数的 中误差。 – 线性函数的误差传播定律 – 非线性函数的误差传播定律
误差传播定律在测量上应用举例
– – – – 水准测量的精度 距离测量的精度 水平角测量的精度 根据实际要求确定观测精度和观测方法
误差传播定律（线性函数）
设t个独立观测值的线性函数 则有 假若对该组观测值进行n次观测，有 将上列n个式子平方后求和，得 其中 有
观测值的中误差
由观测值的真误差计算中误差 （1） 其中 改正数的概念 由观测值的改正数计算中误差 （2）+（3），得 令算术平均值的真误差为 则有 （5）
（2） （3）
（4）
观测值的中误差
由（3）可知（5）中 所以有 而
当n无限增大时，上式右端第二项趋于零，于是有
由改正数计算观测值的中误差
实例
sin β 0.999989
得
sin α 为便于对 求全微分，先对其取自然对数， sin β ，然后对上式求全微分，有 ln a = ln b + ln sin α − ln sin β a=b
da db = + ctgαdα − ctgβdβ a b
统一单位后 ，则有
" mβ 2 mα 2 a2 2 2 2 2 2 2 ma = 2 mb + a ctg α ( ) + a ctg β ( ) ρ" ρ" b "
误差传播定律（线性函数）
两种特殊情况 （1）设Z是一组同精度独立观测值的代数 和，该组观测值的中误差均为m，即 则 （2）对某量同精度观测n次，算术平均值 为 设一次观测的中误差为m, 则
误差传播定律（非线性函数）
设t个独立观测值的非线性函数 对该式求全微分，并用真误差代替微 分量，有 再利用线性函数的误差传播定律公式， 可得
观测条件 等精度观测与非等精度观测
误差的分类
系统误差
– 在相同的观测条件下进行一系列的观测，如果误差出现的符 号和大小具有确定性的规律，这种误差称为系统误差。 – 系统误差具有累积性。可以在观测前采取有效的预防措施、 观测时采用合理的方法，观测后对观测结果进行必要的计算 改正，来尽量消除或减小系统误差的影响。
第五章 测量误差的基本知识
测量误差概述 衡量精度的标准 误差传播定律及其应用 等精度观测值的算术平均值及精度评定
§5-1 测量误差概述
误差的概念及来源
– 误差：对于某一个客观存在的量，尽管采用了比较 精密的仪器和合理的观测方法，测量人员工作的态 度也很认真负责，但多次测量的结果——观测值与 观测值之间，或观测值与理论值（真值）之间总是 ∆ 存在差异，这种不可避免的差异叫做误差，i = Li − X 。 – 仪器误差：由于仪器设计、制作不完善，或经检验 校正还存在残余误差，给观测值带来的误差。 – 人为误差：由于人的感觉器官鉴别能力的限制，技 术水平的高低和工作态度的好坏，给观测值带来的 误差。 – 外界条件的影响：由于测量时外界自然条件如温度、 湿度、风力等的变化，给观测值带来的误差。
则有 即 角应测5测回。
§5-4 等精度观测值的算术平均值 及其精度评定
算术平均值 算术平均值的中误差 观测值的中误差
– 由观测值的真误差计算中误差 – 改正数的概念 – 由观测值的改正数计算中误差 – 实例
算术平均值及其中误差
算术平均值 设在相同的观测条件下对某量进行n次独立 观测，则观测值的真误差为 。 将上式求和后除以n，得 ， 即 其中， 称为观测值的 算术平均值。 当观测次数n趋近于无穷大时，观测值的算 术平均值的极限就是该量的真值。所以，算术平均 值又叫做最或然值或最可靠值。 算术平均值的中误差
设对某角同精度观测6测回，观测值见下表。 试求该角的最或然值、观测值中误差和最或然值 中误差。（计算在表格中进行，注意检核。）
偶然误差的分布
一定的观测条件，对应着一个确定的误差分布。 偶然误差服从数学期望为0的正态分布，即
。
偶然误差的统计特性
在一定的观测条件下，偶然误差的绝对 值超过一定限度的概率为0； 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现 的概率大； 绝对值相等的正误差与负误差出现的概 率相等； 当观测次数无限增多时，偶然误差的算 术平均值趋近于零。
误差传播定律在测量上应用举例
（4）根据实际要求确定观测精度和观测方法
设对某三角形观测了 及 ，若 角以±3″的精度观测， 为使 角的中误差≤ ±5″，问 应以怎样的精度进行观测？ 若使用J6级经纬仪应测几测回？ 解： 根据误差传播定律，有 所以 J6级经纬仪一测回测角中误差为±8.5″， 若观测n个测回， 角平均值的中误差为
= 0.00156m 2
即
m a = ±0.04m
a = 115.07m ± 0.04m 。
运用误差传播定律的方法
（1）建立函数 （2）对于独立观测值的线性函数，可直接应 用误差传播定律公式；若自变量中有非独立观 测值，应变换成独立观测值的线性函数后，才 能应用误差传播定律。 （3）对非线性函数，必须先求其全微分化成 线性形式。 （4）连乘连除的非线性函数，可先取对数， 再求全微分。 （5）注意统一单位。
误差传播定律（非线性函数）
设沿倾斜面上A、B两点间量得距离 D = 29.992m ± 3mm ， 并测得两点之间的高差 h = 2.05m ± 50mm 。 试求水平距 离 D0 及其中误差 mD 。 解： D0 = D 2 − h 2 = (29.992) 2 − (2.05) 2 = 29.922m 对 D0 = D 2 − h 2 求全微分，得