积分中值定理的改进及其应用

合集下载

改进的积分第一中值定理的应用

第１４卷第６期２０１１年１１月高等数学研究ＳＴＵＤＩＥＳ　ＩＮ　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＶｏｌ．１４，Ｎｏ．６Ｎｏｖ．，２０１１改进的积分第一中值定理的应用张国铭（牡丹江师范学院数学系，黑龙江牡丹江１５７０１１）收稿日期：２０１１－０５－３０；修改日期：２０１１－１０－１１．基金项目：２０１１年黑龙江省高等教育教学改革工程立项项目．作者简介：张国铭（１９６０－），男，黑龙江海伦人，教授，主要从事数学分析，实变函数的教学工作．Ｅｍａｉｌ：ｚｇｍ１９６０＠１２６．ｃｏｍ．摘要　提供若干实例用以说明积分第一中值定理中的中值点ξ∈［ａ，ｂ］加强为ξ∈（ａ，ｂ）后所带来的好处．关键词　积分中值定理；分部积分法；牛顿－莱布尼茨公式中图分类号　Ｏ１７２．２文献标识码　Ａ文章编号　１００８－１３９９（２０１１）０６－００２５－０３文［１］２２３的习题８指出，积分第一中值定理和推广的积分第一中值定理可依次改进为如下定理．定理１［２］　若ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，则至少存在一点ξ∈（ａ，ｂ），使得∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）．定理２［３］　若ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）都在［ａ，ｂ］上连续，且ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上不变号，则至少存在一点ξ∈（ａ，ｂ），使得∫ｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）∫ｂａｇ（ｘ）ｄｘ．下面通过几个例子，向读者展示这种改进的定理所带来的好处．例１　若在［ａ，ｂ］上，ｆ（ｘ）为连续函数，ｇ（ｘ）为连续可微的单调函数，则存在ξ∈（ａ，ｂ），使得∫ｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｇ（ａ）∫ξａｆ（ｘ）ｄｘ＋ｇ（ｂ）∫ｂξｆ（ｘ）ｄｘ．证明　因为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，所以ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上存在原函数．记Ｆ（ｘ）为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的一个原函数．则由分部积分公式可得∫ｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝∫ｂａｇ（ｘ）ｄＦ（ｘ）＝ｇ（ｘ）Ｆ（ｘ）ｂａ－∫ｂａＦ（ｘ）ｄｇ（ｘ）＝ｇ（ｂ）Ｆ（ｂ）－ｇ（ａ）Ｆ（ａ）－∫ｂａＦ（ｘ）ｇ′（ｘ）ｄｘ．对上式最后一项应用定理２及牛顿－莱布尼茨公式，可得∫ｂａＦ（ｘ）ｇ′（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ξ）∫ｂａｇ′（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ξ）［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］（ａ＜ξ＜ｂ）．于是∫ｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｇ（ａ）［Ｆ（ξ）－Ｆ（ａ）］＋ｇ（ｂ）［Ｆ（ｂ）－Ｆ（ξ）］．再度应用牛顿－莱布尼茨公式，得到∫ｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｇ（ａ）∫ξａｆ（ｘ）ｄｘ＋ｇ（ｂ）∫ｂξｆ（ｘ）ｄｘ．注１　例１是对文［１］２３４的习题１６的加强，那里的ξ∈［ａ，ｂ］，这里的ξ∈（ａ，ｂ）．例２［４］　若函数ｆ（ｘ）在［０，１］上连续，且∫１０（１－ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ＝０，则存在ａ∈（０，１），使得∫ａ０ｆ（ｘ）ｄｘ＝０．证明　不妨记ｇ（ｘ）＝１－ｘ，应用例１，存在ａ∈（０，１），使得０＝∫１０（１－ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ＝（１－０）∫ａ０ｆ（ｘ）ｄｘ＋（１－１）∫１ａｆ（ｘ）ｄｘ．由上式即知待证结论成立．例３　若ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，且∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝０，∫ｂａｘｆ（ｘ）ｄｘ＝０，则在（ａ，ｂ）内至少存在两个不同的点ｘ１和ｘ２，使得ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ２）＝０．证明　应用例１，有∫ｂａｘｆ（ｘ）ｄｘ＝ａ∫ξａｆ（ｘ）ｄｘ＋ｂ∫ｂξｆ（ｘ）ｄｘ＝０（ａ＜ξ＜ｂ）．再令［５］Ｘ＝∫ξａｆ（ｘ）ｄｘ，Ｙ＝∫ｂξｆ（ｘ）ｄｘ．得到方程组Ｘ＋Ｙ＝０，ａＸ＋ｂＹ＝０｛．因为方程组的系数行列式Δ＝１　１ａ　ｂ＝ｂ－ａ≠０，所以，上述方程组只有零解，即Ｘ＝０，　Ｙ＝０．应用定理１，有０＝∫ξａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ１）（ξ－ａ）（ａ＜ｘ１＜ξ），０＝∫ｂξｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ２）（ｂ－ξ）（ξ＜ｘ２＜ｂ）．故在（ａ，ｂ）内至少存在两个不同的点ｘ１和ｘ２，使得ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ２）＝０．例３有更一般的推广，即如下定理．定理３　若ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）都在［ａ，ｂ］上连续，且ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上严格单调，又∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝０，∫ｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝０，则在（ａ，ｂ）内至少存在两个不同的点ξ１与ξ２，使得ｆ（ξ１）＝ｆ（ξ２）＝０．证明　由于ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，又∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝０，应用定理１，存在ξ１∈（ａ，ｂ），使得０＝∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ１）（ｂ－ａ）．从而ｆ（ξ１）＝０，即ξ１是ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内的零点．如果ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内只有这一个零点，则在开区间（ａ，ξ１）及（ξ１，ｂ）内ｆ（ｘ）不变号，否则与零点定理相矛盾．再由０＝∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ξ１ａｆ（ｘ）ｄｘ＋∫ｂξ１ｆ（ｘ）ｄｘ，可得∫ｂξ１ｆ（ｘ）ｄｘ＝－∫ξ１ａｆ（ｘ）ｄｘ＝－ｆ（η）（ξ１－ａ）≠０（ａ＜η＜ξ１），应用定理２，有∫ｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝∫ξ１ａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＋∫ｂξ１ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｇ（η１）∫ξ１ａｆ（ｘ）ｄｘ＋ｇ（η２）∫ｂξ１ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｇ（η１）∫ξ１ａｆ（ｘ）ｄｘ－ｇ（η２）∫ξ１ａｆ（ｘ）ｄｘ＝［ｇ（η１）－ｇ（η２）］∫ξ１ａｆ（ｘ）ｄｘ≠０（ａ＜η１＜ξ１＜η２＜ｂ）．这与题设条件相矛盾．因此，ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内至少还有另一个零点ξ２．故在（ａ，ｂ）内至少存在两个不同的点ξ１与ξ２，使得ｆ（ξ１）＝ｆ（ξ２）＝０．定理１的另一个应用，可见下例．例４　设ｆ（ｘ）在［０，１］上可导，Ｆ（ｘ）＝∫ｘ０ｔ２　ｆ（ｔ）ｄｔ，Ｆ（１）＝ｆ（１），试证：在（０，１）内至少存在一点ξ，使得ｆ′（ξ）＝－２ｆ（ξ）ξ．分析　结论的表达式可变形为ξｆ′（ξ）＋２ｆ（ξ）＝０．进一步可化为２ξｆ（ξ）＋ξ２　ｆ′（ξ）＝０．这显然是函数ｇ（ｘ）＝ｘ２　ｆ（ｘ）在ｘ＝ξ处的导数，并且ｇ′（ξ）＝０，其中ξ∈（０，１）．因此可以考虑对ｇ（ｘ）在［０，１］上应用罗尔定理．虽然已知ｇ（０）＝０，但因ｆ（ｘ）无具体表达式，故ｇ（１）＝ｆ（１）＝Ｆ（１）＝∫１０ｔ２　ｆ（ｔ）ｄｔ无法求出．不过，利用定理１，应有ｇ（１）＝Ｆ（１）＝η２　ｆ（η）（１－０）＝η２　ｆ（η）＝ｇ（η）（０＜η＜１）．所以，对ｇ（ｘ）在［η，１］上应用罗尔定理是完全可行的．根据以上分析，证明思路已经清楚，故详细证明过程在此从略．６２高等数学研究２０１１年１１月第１４卷第６期２０１１年１１月高等数学研究ＳＴＵＤＩＥＳ　ＩＮ　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＶｏｌ．１４，Ｎｏ．６Ｎｏｖ．，２０１１欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍参考文献［１］华东师范大学数学系．数学分析：上册［Ｍ］．４版．北京：高等教育出版社，２０１０：２２３；２３４．［２］同济大学数学系．高等数学：上册［Ｍ］．６版．北京：高等教育出版社，２００７：２４１．［３］张国铭．定积分的一个性质及其应用［Ｊ］．高等数学研究，２０１０，１３（１）：５５－５７．［４］杜瑞芝．关于积分中值定理的注记［Ｊ］．高等数学研究，２００１，４（４）：１４－１７；２９．［５］戈衍三．一些经典数学问题的另类解算［Ｍ］．北京：北京理工大学出版社，２００７：１７２－１７６．［６］赵显曾．数学分析拾遗［Ｍ］．南京：东南大学出版社，２００６：２１－２７Ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｉｍｐｒｏｖｅｄ　Ｆｉｒｓｔ　ＭｅａｎＶａｌｕｅ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　ｆｏｒ　ＩｎｔｅｇｒａｌｓＺＨＡＮＧ　Ｇｕｏ－ｍｉｎｇ（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｍｕｄａｎｊｉａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｍｕｄａｎｊｉａｎｇ　１５７０１１，ＰＲＣ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：　Ｔｈｅ　Ｆｉｒｓｔ　Ｍｅａｎ　Ｖａｌｕｅ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　ｆｏｒ　ｉｎｔｅｇｒａｌｓ　ｓｔａｔｅｓ　ｔｈａｔ　ｉｆ　ｆ（ｘ）ｉｓ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｏｎａ　ｃｌｏｓｅｄ　ｉｎｔｅｒｖａｌ［ａ，ｂ］，ｔｈｅｎ　ｔｈｅｒｅ　ｅｘｉｓｔｓ　ａ　ｎｕｍｂｅｒξｉｎ［ａ，ｂ］ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）．Ｉｎ　ｆａｃｔ，ｔｈｅ　ｎｕｍｂｅｒξｃａｎ　ｂｅ　ｃｈｏｓｅｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｏｐｅｎ　ｉｎｔｅｒｖａｌ（ａ，ｂ）．Ｔｈｅ　ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｉｓｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ　ｉｓ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｂｙ　ａ　ｓｅｔ　ｏｆ　ｅｘａｍｐｌｅｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：　Ｆｉｒｓｔ　Ｍｅａｎ　Ｖａｌｕｅ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　ｆｏｒ　Ｉｎｔｅｇｒａｌｓ，ｉｎｔｅｒｇｒａｔｉｏｎ　ｂｙ　ｐａｒｔｓ，ＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌＴｈｅｏｒｅｍ　ｏｆ　Ｃａｌｃｕｌｕｓ反常积分敛散性的对数判别法廉海荣，张帅，金旸（中国地质大学（北京）信息工程学院，北京１０００８３）收稿日期：２０１１－０４－２２；修改日期：２０１１－０９－１３．基金项目：中央高校基本科研业务费专项资金资助（２０１１ＹＹＬ０７７）．作者简介：廉海荣（１９７９－），女，河北成安人，博士，副教授，主要从事微分方程定性分析研究．Ｅｍａｉｌ：ｌｉａｎｈｒ＠１２６．ｃｏｍ．张帅（１９８２－），男，内蒙古呼和浩特人，硕士，讲师，从事泛函分析研究．Ｅｍａｉｌ：ｚｈａｎｇｓｈｕａｉ＠ｃｕｇｂ．ｅｄｕ．ｃｎ．摘要　给出一个判别无穷限反常积分敛散性的对数判别法，并通过实例说明其应用．关键词　反常积分；敛散性；对数判别法．中图分类号　Ｏ１７２．２文献标识码　Ａ文章编号　１００８－１３９９（２０１１）０６－００２７－０２反常积分敛散性的判别是分析学中的一个重要内容．积分和级数在极限思想下的理论是统一的，故可以将正项级数的判别法推广到反常积分敛散性的判别中［１］．正项级数的常用判别法有比较判别法、比值（达朗贝尔）判别法和根式（柯西）判别法．关于正项级数的另一些判别法可参考文［２］及其他相关文献．文［３］将正项级数敛散性的根式判别法推广到了反常积分敛散性的判别．受此启发，本文将利用比较判别法建立一个适用于无穷限反常积分敛散性判断的对数法则．引理１（比较判别法）［１］２５７　设非负函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）在区间［ａ，＋∞）上连续．如果ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ）　（ａ≤ｘ＜＋∞），且∫＋∞ａｇ（ｘ）ｄｘ收敛，那么∫＋∞ａｆ（ｘ）ｄｘ也收敛；如果ｆ（ｘ）≥ｇ（ｘ）　（ａ≤ｘ＜＋∞），且∫＋∞ａｇ（ｘ）ｄｘ发散，那么∫＋∞ａｆ（ｘ）ｄｘ也发散．引理２　设非负函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，＋∞）上连续，ｃ∈［ａ，＋∞）．如果∫＋∞ａｆ（ｘ）ｄｘ收敛，那么∫＋∞ｃｆ（ｘ）ｄｘ收敛且∫＋∞ａｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｃａｆ（ｘ）ｄｘ＋∫＋∞ｃｆ（ｘ）ｄｘ．（１）。

浅谈关于改进的积分第一中值定理及其应用

浅谈关于改进的积分第一中值定理及其应用摘要文章针对传统教材中的“第一积分中值定理”和“广义第一积分中值定理”进行了改进,对积分第一中值定理在完全相同的条件下进行了改进和加强。

积分第一中值定理是《数学分析》和《高等数学》中的一个基本定理,在积分学中占有重要地位。

但由于现行诸教材[1 ]～[5]。

有关原积分第一中值定理所给出的结论较弱(中值点ξ∈[a ,b]) ,使得其应用受到很大的局限(参见本文的例1-例4) 。

本文将在同样的条件下,对原定理进行改进(见文中的定理1和定理2) ,以得出较强的结论(中值点ξ∈( a , b) ) ,并给出了应用举例,可以看出改进后定理的应用更广泛、更有效。

关键词: 积分第一中值定理介值定理广义第一积分中值定理夹逼定理1、改进的积分第一中值定理为了便于比较,我们先给出传统的积分第一中值定理原第一积分中值定理:若函数在()f x 上[ a , b] 连续,则至少存在一点ξ∈[ a , b] ,使得b()()()af x dx f b a ξ=-⎰。

原推广积分第一中值定理：若f 与g 都在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点[,]a b ξ∈，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰（当()1g x ≡时）。

引理1:若函数()f x 在[ a , b]上连续、非负,且存在 0x ∈[ a , b]使得 0()f x >0 ,则必有()0baf x dx >⎰。

定理1：改进后的第一积分中值定理:若函数()f x 在[ a , b]上连续,则至少存在一点ξ∈( a ,b) ,使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰。

证明：因函数()f x 在[ a , b]上连续,根据最值定理,所以()f x 在[ a , b]上有最大值 M 和最小值 m 。

现不妨设 1()f x = m , 2()f x = M , 12,x x ∈[ a , b]。

关于积分中值定理的改进

α
α
②若函数 g ( x)在闭区间 [ a, b ]上递增 ,且
g ( x) ≥0, f ( x) > 0 , 则对任意的点 η∈ [ a, b ], 存在
α,β∈[ a, b ],α <ξ<β使得 :
∫ ∫ β
β
f ( x) g ( x) dx = g (β) f ( x) dx
α
η
证明 ①:ξ∈[ a, b ],取点 ξ的邻域
第
22卷第 4期 2007年 12月
北京 Jou rna l
机械工业学 of Beijing Institute
院 of M
学 ach
报 Vol. 22 No.
ine ry
Dec. 2007
4
文章编号 : 1008 - 1658 (2007) 04 - 0040 - 04
a
a
②若函数 g ( x)在闭区间 [ a, b ]上递增 ,且
g ( x) ≥0,则存在 η∈[ a, b ],使得
∫ ∫ b
b
f ( x) g ( x) dx = g ( b) f ( x) dx
a
η
可以看到积分第二中值定理的结论是存在一
点 ,显然结论具有局限性 ,而我们希望的是对在相应
区间内的任意的一点都能使结论成立 , 因此给出下
[ξ- δ,ξ+δ] < [ a, b ]
∫ ∫ ξ+δ
ξ
若
f ( x) g ( x) dx = g (ξ - δ) f ( x) dx ,则取
ξ-δ
ξ-δ
α =ξ- δ,β=ξ- δ有 :
∫ ∫ β
ξ
f ( x) g ( x) dx = g (α) f ( x) dx

微积分中的积分中值定理与极限定理的应用

微积分中的积分中值定理与极限定理的应用微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的导数和积分，以及两者之间的关系。

微积分在很多领域都有广泛的应用，比如物理、工程、经济学等。

在微积分中，积分中值定理和极限定理是非常重要的概念。

它们不仅是理论基础，而且在实际应用中也具有重要作用。

本文将重点介绍积分中值定理和极限定理的应用。

一、积分中值定理的应用积分中值定理是微积分中一条重要的定理，它是求解积分的一种方法。

在积分运算中，很多时候我们需要求解一个函数在一定区间的平均值。

这个平均值可以用积分中值定理来得到。

积分中值定理有两种形式：拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

下面我们分别来介绍一下它们的应用。

1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理又称为第一中值定理，它是由法国数学家拉格朗日（Lagrange）在18世纪发现的。

该定理的表述如下：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么存在一个点c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)这里的c就是在区间[a,b]上的某个中间值。

我们可以通过拉格朗日中值定理来求一个函数在某个区间上的平均值。

例如，假设我们要求函数y=√x在区间[1,4]上的平均值。

首先，我们可以将该函数在该区间上的积分表示出来：∫1^4√xdx然后，我们可以用拉格朗日中值定理求出积分的值。

根据该定理，存在一个点c∈(1,4)，使得：∫1^4√xdx=√4-√1/(4-1)=√3因此，y=√x在区间[1,4]上的平均值为√3。

2.柯西中值定理柯西中值定理是由法国数学家柯西（Cauchy）在19世纪发现的，它是拉格朗日中值定理的推广。

该定理的表述如下：如果函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，且g(x)≠0，那么存在一个点c∈(a,b)，使得(f(b)-f(a))/g(b)-g(a)=f'(c)/g'(c)这里的c仍然是在区间[a,b]上的某个中间值。

中山市中考满分作文-定积分第一中值定理的改进与应用

评述
定理 1 明显是定理 2 当 g ( x )
的推论 , 就不必单独证明了. 然而先易后难符合人们的认识规律, 而且, 在许多情况下应用的就是定理 1 的形式, 所以, 先叙述定理 1, 再叙述定理 2, 比较自然 . 证明不妨设对于 x [ a , b ] 有 g ( x ) 0. 设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上取到最大值 M 和最小值 m , 则对于及 mg ( x ) f ( x ) g( x ) Mg ( x ) . ( 4) 式中的三部分都是可积的, 分别在 [ a , b ] 上积分, 由定积分对于被积函数的单调性可得
b a b
[ f ( x ) - f ( c ) ] g ( x ) dx =
a
[ f ( x ) - m ] g ( x ) dx = 0, 时有 a n
b
( 8) b . 由可积函数的变上
-
注意这里被积函数中的两个因子 f ( x ) - m 与 g ( x ) 都是非负的. 取两个严格单调的数列{ a n } n= 1 和 { b n } n= 1 , 使当 n 限积分及变下限积分对于上、下限的连续性, 易知
由( 2) 式可得 m
b 1 f ( x ) dx b- a a
M.
于是 , 由介值定理可知在 [ a , b ] 上至少存在一点 c 使得 b 1 f ( c) = f ( x ) dx , b- a a 于是我们得到
b a
f ( x ) dx = f ( c ) ( b - a ) .
1. 2 使得
图4 定理 4 证明用图 Fig. 4 the fig. for proof of the Th. 4
第二种情况 : ( 7) 式中的 c 点满足条件f ( c ) = m 或 f ( c ) = M , m 与 M 和上文一样分别是f ( x ) 在区间[ a , b ] 上的最小值与最大值, 不妨设 f ( c ) = m . [ 注: 在

积分中值定理的推广及应用(论文)

衡阳师范学院毕业论文（设计）题目：积分中值定理的推广及应用学号：姓名：年级：学院：信息科学技术学院系别：数学系专业：信息与计算科学指导教师：完成日期：年月日摘要本论文讲述的主要内容是积分中值定理及其应用，我们将它主要分为以下几个方面：积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点ξ的渐进性，积分中值定理的应用。

有关ξ点的渐进性，我们对第一积分中值定理的ξ点的做了详细的讨论，给出详细清楚的证明过程。

而第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的一种情形，其它证明过程只做简要说明。

对于应用，我们给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。

我们讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二积分中值定理，而且还给出了这些定理的详细证明过程。

在此基础上，我们还讨论了在几何形体Ω上的黎曼积分第一中值定理，它使得积分中值定理更加一般化，此情形对于讨论一般实际问题有很显著作用。

在积分中值定理的推广方面，我们由最初的在闭区间[,]f x的积分中值a b讨论函数()定理情形转换为在开区间(,)a b上讨论函数()f x上的积分中值定理，这个变化对于解决一些实际的数学问题更为方便。

不仅如此，我们还将几何形体Ω上的黎曼积分第一中值定理推广到第一、第二曲线型积分中定理和第一、第二曲面型积分中值定理情形。

关键词：积分中值定理；推广；应用；渐进性AbstractThe main content of this paper are the mean-value theorem and its application, it will be mainly divided into the following respects: integral mean-value theorem, the generalation of integral mean-value theorem, the asymptotic property of the “intermediate point”of integral median point, the application of integral mean-value theorem.About the Progressive of ξpoint, we have discussed the ξpoint of the mean-value theorem in detail and give clear proof of the process. While the gradual issues of the secondintegral mean value theorem has been demonstrated one of these situations. And the otherprocess of proving has been expressed in brief.According to application,we presented a simple situation, for example, estimate integralvalue ,solve the limits of definite integral, define integral sign, compare the magnitude of integralvalue, prove the monotonic of function and Abel test and Dirichlet testWe have discussed the definite integral mean-value theorem, the first mean value theorem,the second integral mean-value theorem, and have given a detailed proof of these theoremsprocess. On this basis, we also have discussed the Riemann first integral mean-value theorem onthe geometryΩ. It makes the integral mean-value theorem is more general, the case has asignificant role in the discussion of practical issues in general.In the promotion of integral mean value theorem, we have discussed the integralmean-value theorem of function ()a b in the case off x in the initial closed interval [,]discussing it in the open interval(,)a b, the change has more convenience in solving some practical mathematical problem. In addition, we will promote the Riemann first integral mean-value theorem on the geometryΩto the situation of the first and second type curve in integral theorem and The second type surface integral mean-value theorem.Key words: integral mean-value; theorem promotion ;apply;progressive目录1 引言 (1)2 积分中值定理的证明 (2)2.1 定积分中值定理 (2)2.2 积分第一中值定理 (3)2.3 积分第二中值定理 (3)2.4 几何形体上黎曼积分第一中值定理 (6)3 积分中值定理的推广 (9)3.1 定积分中值定理的推广 (9)3.2 定积分第一中值定理的推广 (9)3.3 定积分第二中值定理的推广 (11)3.4 第一曲线积分中值定理 (12)3.5 第二曲线积分中值定理 (12)3.6 第一曲面积分中值定理 (13)3.7 第二曲面积分中值定理 (14)4 第一积分中值定理中值点的渐进性 (16)5 第二积分中值定理中值点的渐进性 (20)6 积分中值定理的应用 (23)6.1 估计积分值 (23)6.2 求含定积分的极限 (24)6.3 确定积分号 (24)6.4 比较积分大小 (25)6.5 证明函数的单调性 (25)6.6 证明定理 (25)7 结论 (29)谢辞 (30)参考文献 (31)1引言随着时代的发展，数学也跟着时代步伐大迈步前进。

积分中值定理的推广及应用

㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２３１积分中值定理的推广及应用积分中值定理的推广及应用Һ丁建华㊀（甘肃有色冶金职业技术学院教育系，甘肃㊀金昌㊀７３７１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文首先对积分中值定理的几何特征进行详细介绍，并对该定理中ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上恒为常数㊁ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上不为常数函数做出一定的补充，并证明此结论也是成立的；其次，对第一积分中值定理和第二积分中值定理进行了推广，并进一步证明了结论的准确性；最后，通过不等式的证明㊁极限的求值进一步验证了改进结论的正确性．ʌ关键词ɔ中值定理；连续性；不等式一㊁积分中值定理的几何特征与补充积分中值定理的几何意义可以理解为：若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上非负连续时，定积分ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ在几何上可以表示为ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ及ｘ轴所围成的曲边梯形面积（如图１，定积分ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ表示曲边梯形ＡａｂＢ的面积）．根据闭区间上连续函数的性质，ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上存在最大值Ｍ和最小值ｍ，即∀ｘɪ［ａ，ｂ］，有ｍɤｆ（ｘ）ɤＭ，从而ｍ（ｂ－ａ）ɤʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤＭ（ｂ－ａ）．它可以化为ｍɤ１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤＭ．由连续函数的介值定理，则至少有这样的一个点ξɪ［ａ，ｂ］，使得ｆ（ξ）＝１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，则ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）．根据上面知识点，我们可以获得数学分析中常用的重要积分学性质和定理．积分中值定理㊀若函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，则在［ａ，ｂ］上至少存在一点ξ，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）（ａɤξɤｂ）．这里要求函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续即可，对函数没有严格要求．进一步地，我们可将ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续的这一条件更改为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，其结论仍然成立．当ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续且非负时，积分公式ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）有着明显的几何意义，即ｙ＝ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的曲边梯形面积等于以图１所示的ｆ（ξ）为高㊁［ａ，ｂ］为底的矩形面积，即以ｆ（ξ）为高的矩形ＡａｂＤ的面积．㊀图１通过对上面图１进一步分析，我们可以发现定理中的ξɪ［ａ，ｂ］可以改为ξɪ（ａ，ｂ），事实上，若ξ仅取在［ａ，ｂ］的端点上，不妨设ξ＝ａ，则可从图２中看出，曲边梯形ＡａｂＢ的面积ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ与矩形ＡａｂＤ的面积不可能相等．㊀图２本文给出如下两种证明．证法一：若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上恒为常数，则ξ取（ａ，ｂ）内任意一点，结论都是成立的．若ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上为一个变量函数，设Ｍ，ｍ分别为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最大值与最小值，则存在ｘ０ɪ（ａ，ｂ），使得ｍɤｆ（ｘ０）ɤＭ．事实上，若这样的ｘ０不存在，则在［ａ，ｂ］上必存在一点ｘ１，使得ｆ（ｘ）在ａ，ｘ１[]上恒有ｆ（ｘ）＝ｍ或ｆ（ｘ）＝Ｍ()，在［ｘ１，ｂ］上恒有ｆ（ｘ）＝Ｍ（或ｆ（ｘ）＝ｍ）．这样一来，ｘ１是间断点，与ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续矛盾．又ｆ（ｘ）在ｘ０连续，则存在δ＞０，ｘ０－δ，ｘ０＋δ()⊂［ａ，ｂ］，当ｘ－ｘ０＜δ时，有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）＜Ｍ－ｆ（ｘ０）２和ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）＜ｆ（ｘ０）－ｍ２，从而Ｍ－ｆ（ｘ０）＞Ｍ－ｆ（ｘ０）２＞０，ｆ（ｘ０）－ｍ＞ｆ（ｘ０）－ｍ２＞０，于是ʏｘ０＋δｘ０－δ［Ｍ－ｆ（ｘ）］ｄｘȡʏｘ０＋δｘ０－δＭ－ｆ（ｘ０）２éëêùûúｄｘ，即ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘɤＭ－ｆ（ｘ０）２ʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ，又ｆ（ｘ０）＜Ｍ，ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ，同理有ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘ＞ｍʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ，于是ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏｘ０－δａｆ（ｘ）ｄｘ＋ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘ＋ʏｂｘ０＋δｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍʏｘ０－δａｄｘ＋Ｍʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ＋Ｍʏｂｘ０＋δｄｘ＝Ｍ（ｂ－ａ）．同理可得ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＞ｍ（ｂ－ａ），㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２３１因此ｍ（ｂ－ａ）＜ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍ（ｂ－ａ），即ｍ＜１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍ．由介值定理，存在ξɪ（ａ，ｂ），使得ｆ（ξ）＝１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，即ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ），其中ξɪ（ａ，ｂ）．证法二：作辅助函数Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｄｔ，ｘɪ［ａ，ｂ］，则Ｆ（ｘ）是［ａ，ｂ］上的可微函数，且Ｆᶄ（ｘ）＝ｆ（ｘ），由微分中值定理，至少存在一点ξɪ（ａ，ｂ），使得Ｆ（ａ）－Ｆ（ｂ）＝Ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ）．注意到，Ｆ（ｂ）＝ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，Ｆ（ａ）＝０，则有ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ），ξɪ（ａ，ｂ）．于是，我们可以进一步将积分中值定理进行推广．设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上不能等于零，同时符号不会改变，在这样特殊的情形下，可以得到如下的结论，ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，ξɪ（ａ，ｂ）．令Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｇ（ｔ）ｄｔ，Ｇ（ｘ）＝ʏｘａｇ（ｔ）ｄｔ，则由微分学的柯西中值定理知，Ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）Ｇ（ｂ）－Ｇ（ａ）＝Ｆᶄ（ξ）Ｇ（ξ），ξɪ（ａ，ｂ），即有ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ｇ（ξ）ｇ（ξ），ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，ξɪ（ａ，ｂ）．但当ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］只是可积分，并且恒为正或恒为负时，前面我们进行推导的思路完全行不通，即不可能成立，因为可积不变号时，ｇ（ｘ）可以等于零，我们就不能使用上面的结论了．二㊁第一㊁第二积分中值定理的推广及其证明积分第一中值定理设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积不变号，则在［ａ，ｂ］存在一点ξ，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．积分第二中值定理设（ⅰ）ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续；（ⅱ）ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上单调递增且连续；（ⅲ）ｆ（ｘ）ȡ０，则必有ξɪ［ａ，ｂ］，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｂ）ʏｂξｇ（ｘ）ｄｘ．推论１．若积分第二中值定理中的递增改为递减，其他条件不变的情况下，则必有ξɪ［ａ，ｂ］，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ʏξａｇ（ｘ）ｄｘ．２．若积分第二中值定理中的ｆ（ｘ）ȡ０去掉，则必有ξɪ［ａ，ｂ］，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ʏξａｇ（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ｂ）ʏｂξｇ（ｘ）ｄｘ．当ξ所在区间［ａ，ｂ］变为（ａ，ｂ），其余条件㊁结论不变，我们就可以将积分中值定理进一步推广．接下来，我们进一步证明积分中值定理的推广定理，先验证积分第一中值定理的推广．证明㊀由于ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续．设Ｍ为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最大值，ｍ为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最小值，即有ｍɤｆ（ｘ）ɤＭ，又由于ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上定号，不妨令ｇ（ｘ）ȡ０（ｇ（ｘ）ɤ０的情况同理），从而有ｍｆ（ｘ）ɤｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ɤＭｇ（ｘ），即ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘɤＭʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．（１）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝０，由上面不等式的结论可知，ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝０，因此有ξɪ（ａ，ｂ），使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．（２）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＞０．（ⅰ）如果ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＜ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＜Ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，即ｍ＜ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＜Ｍ时，由闭区间上连续函数的介值定理我们可以知道，有一ξɪ（ａ，ｂ），使得ｆ（ξ）＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，即ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．（ⅱ）如果ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ，（ａ）假如有一ξɪ（ａ，ｂ），都有ｆ（ξ）＝ｍ，我们可以得到ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ结论成立．（ｂ）除此之外，对任意的ｘɪ（ａ，ｂ），都有ｆ（ｘ）＞ｍ，而由ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＞０，必定存在充分小的数η，使得ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘ＞０（倘若不然的话，对于任意的正数η，都有ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘɤ０，从而ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍηң０ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘɤ０与ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＞０矛盾）．于是得到０＝ʏｂａ［ｆ（ｘ）－ｍ］ｇ（ｘ）ｄｘȡʏｂ－ηａ＋η［ｆ（ｘ）－ｍ］ｇ（ｘ）ｄｘ．利用原积分中值定理，得ʏｂ－ηａ＋η［ｆ（ｘ）－ｍ］ｇ（ｘ）ｄｘ＝［ｆ（ξᶄ）－ｍ］ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘ＞０，ξᶄɪ［ａ＋η，ｂ－η］⊂（ａ，ｂ）．与之比较，知矛盾．（ⅲ）Ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ，这个证明类似于证㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２３１明（ⅱ）的过程．综上所述，存在ξɪ（ａ，ｂ），使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ成立．证毕！根据积分第一中值定理的推广证明，我们同样可以对积分第二中值定理的推广进行证明．接下来，我们试证积分第二中值定理的推广结果．证明㊀由ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｄｔ在［ａ，ｂ］上可导，从而有ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ʏｂａｇ（ｘ）ｄＦ（ｘ）＝ｇ（ｂ）Ｆ（ｂ）－ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ－ｇ（ａ）Ｆ（ａ）＝ｇ（ｂ）ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ－ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ．对于ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ应用推广的第一积分中值定理，得到ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ξ）［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］，其中ξɪ（ａ，ｂ），从而有ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ＝ｇ（ｂ）ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ－Ｆ（ξ）［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］＝ｇ（ｂ）ʏξａｆ（ｘ）ｄｘ＋ʏｂξｆ（ｘ）ｄｘ[]－ʏξａｆ（ｘ）ｄｘ［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ʏξａｇ（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ｂ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．证毕！三㊁积分中值定理的应用例１㊀证明下列积分不等式：（１）π２＜ʏπ２０１１－１２ｓｉｎ２ｘｄｘ＜π２；（２）２ｅ－１４＜ʏ２０ｅｘ２－ｘｄｘ＜２ｅ２．证明㊀（１）由积分中值定理，有π２＜ʏπ２０１１－１２ｓｉｎ２ｘｄｘ＝１１－１２ｓｉｎ２ξ㊃π２，其中ξɪ０，π２()，当ξɪ０，π２()时，有０＜ｓｉｎ２ξ＜１，从而１＜１１－１２ｓｉｎ２ξ＜２，因此有π２＜ʏπ２０１１－１２ｓｉｎ２ξｄｘ＜π２．证毕．（２）由定积分性质，有ʏ２０ｅｘ２－ｘｄｘ＝ʏ１２０ｅｘ２－ｘｄｘ＋ʏ２１２ｅｘ２－ｘｄｘ＝１２ｅξ２１－ξ１＋３２ｅξ２２－ξ２，其中ξ１ɪ０，１２()，ξ２ɪ１２，２()，又ｅｘ在－ɕ，＋ɕ()上严格单调递增，而ｆ（ｘ）＝ｘ２－ｘ在０，１２[]上严格单调递减，在１２，２[]上严格单调递增，所以，当ξ１ɪ０，１２()时，ｅ－１４＜ｅξ２１－ξ１＜１；当ξ２ɪ１２，２()时，ｅ－１４＜ｅξ２２－ξ２＜ｅ２．从而１２ｅξ２１－ξ１＋３２ｅξ２２－ξ２＞１２ｅ－１４＋３２ｅ－１４＝２ｅ－１４，１２ｅξ２１－ξ１＋３２ｅξ２２－ξ２＜１２＋３２ｅ２＜２ｅ２，因此２ｅ－１４＜ʏ２０ｅｘ２－ｘｄｘ＜２ｅ２．如果ξ取自任意闭区间，使得积分中值定理成立，则需要将例１的证明结果做进一步的讨论．由此可见，对积分中值定理进行改进或者推广对我们的学习很有帮助，当然，我们也要合理使用该定理，否则就会出现错误的结论．例２㊀证明：ｌｉｍｎңɕʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝０．如果利用积分中值定理，得ʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝ξｎ１＋ξ，其中ξɪ０，１()，从而ｌｉｍｎңɕʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝ｌｉｍｎңɕʏ１０ξｎ１＋ξｄｘ＝０，这是错误的，因为ξ与ｎ有关．正确的解法是：因为０ɤｘｎ１＋ｘɤｘｎ，ｘɪ０，１[]，所以０ɤʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘɤʏ１０ｘｎｄｘ，而ʏ１０ｘｎｄｘ＝１１＋ｎ，ｌｉｍｎңɕ１１＋ｎ＝０，因此ｌｉｍｎңɕʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝０．证毕！ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析（第四版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１０．［２］黎金环，刘丽霞，朱佑彬．积分中值定理在一道极限题的应用分析［Ｊ］．高等数学研究，２０２１（２）．［３］同济大学数学教研室．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９３．［４］郝玉芹，时立文，欧阳占瑞．对积分中值定理结论的一点改动［Ｊ］．河北能源职业技术学院学报，２００７（３）．［５］周冰洁．巧用积分中值定理［Ｊ］．现代职业教育，２０１９（３１）．［６］余小飞．积分中值定理在积分不等式中的应用［Ｊ］．当代教育实践与教学研究，２０１７（８）．。

积分第一中值定理的改进及其应用1.1pdf

C
! " *
在! # J f g "内是严格单调减函数 ) 注& 在文献 $ %仅证明了 5! "是一般的单调函数 # 这里我们将得到更强的结论 & "是严格单调减函数 ) % W 5! W 证明 ! 当 W @ J时有 ! "a h W !!!!!!!!!5
W % !" % !"I LW $ ! LIR ! " J W$J W$J
1
C
(
则必存在某区间 ! ) # 使得在 ! 有 I! )" )"H "# (# 1 )"H " (# (# @! I! )"I ( )"内 # 证明 ! 由于 ’! 不妨假定 ’! 则存在点) ) # 使得 # 考虑到@! 在) )" P ) 5"# )" P ) @"# (# 1 ) )" (# " . ( "" " . ( @! @"# ( (
U U
! " &
C
J
! " 则至少存在两点 W # # "# 使得 W L W R Wa"# W .! J U C
% ! J
! ! L W W aL a") %" !" 证明 !! 采用反证法 " 若不然 # 则在区间 ! # " 内必存在唯一点 W 使得 L ! ! 因为方程L ! " # " 内至少 J U W W J U a" a" 在 ! %# %"
% ! 积分第一中值定理的改进及其证明
我们现将在条件不变的情况下 # 对积分第一中值定理的结论进行改进和加强 # 把上述定理 % *和定理 ! *分别修改为如下的定理 % 和定理 !" 定理 %! 若函数 5! )上连续 # 则至少存在一点" . ! " # 使得 )"在闭区间 ( (# 1 (# 1

考研数学积分中值定理及其推广和应用分析

2015考研数学：积分中值定理及其推广和应用分析来源：文都教育在考研数学中，积分中值定理是一个有用的分析证明工具，考试中经常会用到。

积分中值定理有3种情形：基本的积分中值定理、推广的积分中值定理、两个函数相乘时的积分中值定理。

一般高等数学教材上对第一种情形的积分中值定理都有介绍说明，但对后两种情形可能没有相应说明。

为了使各位考生对积分中值定理有一个更深刻的理解和更灵活的运用，那么，老师对积分中值定理及其推广和应用分析做一个全面的分析介绍，供各位考生参考。

基本的积分中值定理：设函数()f x 在[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b ξ∈，使()()()baf x dx f b a ξ=-⎰证明：设()f x 在[,]a b 上的最大和最小值分别为,M m ，则()()bb baaam f x M mdx f x dx Mdx ≤≤⇒≤≤⇒⎰⎰⎰1()ba m f x dx Mb a≤≤-⎰，由连续函数的介值定理得，至少存在一点[,]a b ξ∈，使1()()ba f x dx fb aξ=-⎰，即()()()b a f x dx f b a ξ=-⎰ 推广的积分中值定理：设函数()f x 在[,]a b 上连续，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使()()()baf x dx f b a ξ=-⎰证明：令()()xax f t dt ϕ=⎰，则()()x f x ϕ'=，由拉格朗日中值定理得，至少存在一点(,)a b ξ∈，使()()()()b a b a ϕϕϕξ'-=-，即()()()b af x dx f b a ξ=-⎰注：虽然由定理2知，存在(,)a b ξ∈，使()()()baf x dx f b a ξ=-⎰，但这并不排除存在[,]a b η∈，使()()()baf x dx f b a η=-⎰，即a η=或b 的可能性。

例如：(),[,]f x c x a b =∈，c 是常数，此时，对于任何[,]a b η∈，都有()()()baf x dx f b a η=-⎰成立。

积分中值定理的改进和应用

积分中值定理的改进和应用摘要：本文在《数学分析》（华东师大版）所叙述的第一、第二积分中值定理和前人对积分中值定理所作的改进的基础上，进一步把定理中的条件进行加强，从而得到一个更精细的定理，并分别从四个方面阐述了积分中值定理的应用。

论文关键词：积分中值定理,函数,连续,单调,区间中占有重要的地位。

一、积分中值定理的叙述定理：（推广的积分第一中值定理）若函数与在闭区间上连续，且在上不变号，则在上至少存在一点，使。

特别地，当g(x)=1时有定理：（积分第二中值定理）若函数在在区间非负单调递减，为可积函数，则存在。

定理：若在上且单调递增，为可积函数, 则存在.定理（推论）：若在上为单调函数，为可积函数，则存在。

二、积分中值定理的改进将第一中值定理进行改进和加强得到：定理：若函数在闭区间上连续，在上连续且不变号，则在内至少存在一点，使。

特别地，当=1时有，现在我们在此基础上将定理5中的条件进行加强，从而得到：定理6：若函数在闭区间上严格单调且连续，而在上可积不变号，则在内存在唯一一点，使。

特别地，当=1时有证明：在区间中作映射T：=+，不妨设严格单调递增（严格单调递减的情况可类似证明），则< < ,那么C,从而T是到自身的映。

又对于，有：因为在上严格单调递增，所以，故必存在一个数，使得成立。

因此有：=，从而T是到自身的压缩映像，由Banach不动点原，存在唯一一点，即从而得，定理得证。

三、积分中值定理的应用１. 在具有某些性质的点的存在问题中的应用在积分学的学习过程中，有关定积分具有某些性质的点的存在问题的论证是一个难点。

一般，我们应仔细观察被积函数所具有的性质，注意利用微分中值定理、积分中值定理等途径来证明有关问题。

例1 若函数在闭区间上连续，且，证明：在内至少存在两点。

在中已用Rolle定理给出了一个证明，而本文将利用积分中值定理来证明。

分析：很明显=0在闭区间上至少存在一个根，那么我们采用反证法，即证=0在上不可能只存在唯一的一个根。

积分中值定理的改进和应用

积分中值定理的改进和应用一、积分中值定理简介积分中值定理是微积分中的重要定理之一，主要描述了函数f(x)在区间[a,b]上的平均值与函数f(x)在[a,b]中的某一点c的函数值相等的关系。

根据积分中值定理，如果f(x)在[a,b]上连续，则存在至少一个点$c\\in[a,b]$，使得：$$ \\int_a^b f(x)dx = f(c)\\cdot(b-a) $$重要的是，使用了积分中值定理，我们可以非常简单地证明定积分的存在性并计算其值。

二、改进积分中值定理的改进主要是关于该定理的充分性，即是否能够在积分中值定理的条件下保证f(x)在[a,b]上连续。

对于一些特定情况的函数f(x)，积分中值定理存在不充分的情况。

例如，我们考虑函数 $f(x)=\\sqrt{x}$，在区间[0,1]上，f(x)明显连续并且积分可计算。

直接应用积分中值定理，存在点 $c\\in[0,1]$，使得：$$ \\int_0^1 \\sqrt{x} dx = c\\cdot(1-0) $$则有 $\\sqrt{c}=\\frac{2}{3}$，即 $c=\\frac{4}{9}$。

但是我们可以看到，$f(x)=\\sqrt{x}$ 没有在点x=0处定义，因此积分中值定理在此情况下不充分。

为了有效地避免这种情况的出现，可以改进积分中值定理的条件。

一般的改进方式是引入曲线的概念，然后将积分中值定理的条件定为曲线的完整性。

三、引入曲线的概念对于一个连续的函数f(x)，我们可以定义一个曲线y=f(x)。

本文我们默认f(x)在区间[a,b]上是单调递增的，因此函数的反函数f−1(y)存在且单调递增，从而可以将曲线y=f(x)在[a,b]上的一部分映射到[f(a),f(b)]上的一条弧线。

曲线的完整性指的是曲线中不剩余任何点的情况。

即，曲线上的点与曲线下的点之间不存在任何缺口或间隙。

根据这个定义，我们可以将积分中值定理的条件改为：存在一条从(a,f(a))到(b,f(b))的弧线，该弧线光滑且完整，且过点(c,f(c))。

微积分中值定理及其应用

微积分中值定理及其应用
微积分的值定理是一个很重要的定理，它通常被用来求解复杂函数的积
分值。

值定理告诉我们，任何一个定义在实数段上的函数f在范围
（a≤x≤b）上至多只有一个不变点，并且它等于函数f在这个范围上的积
分值c=∫a﹣b f（x）dx。

值定理有多种不同的应用，广泛用于函数积分、函数极限以及定积分的
解决。

用值定理求积分的方法通常称为值定理逼近法。

首先，将一个积分表
达式分解为多个函数的积分，然后利用值定理的思想，将这些函数的积分求出，最后，将这些函数的积分求和，即可得到原积分表达式的积分结果。

值定理也可以用来求解函数极限，即当函数f(x)在x=a处取极值时，将
该函数积分以得到极限。

这实际上是应用积分来求取极限的一种方法，也称
为值定理极限法或积分极限法。

它的原理是，当函数取到极值时，把它积分，就会把该函数的参量控制，也就可以使函数的值趋近极限的值，即求解函数
的极限。

值定理也被广泛应用于定积分的解决中。

定积分是由函数和定义域定义
的定积分问题，要求该函数在这个定义域上积分的结果。

一般来说，将定积
分分解为若干函数的积分，然后运用值定理解决，即将它们的积分和加起来，得到定积分问题的答案。

以上就是关于微积分中值定理及其应用的简单介绍。

它是微积分中一个
重要的定理，在函数积分、极限以及定积分的解决中应用的非常广泛，具有
极大的实际意义。

积分中值定理的研究意义

积分中值定理的研究意义全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：积分中值定理是微积分中非常重要且常用的定理之一，它给出了函数在闭区间上的平均值与函数在某一点的值之间的关系。

这个定理的研究意义非常重要，不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还可以应用于解决实际问题，如经济学、物理学、工程学等领域中的一些问题。

积分中值定理可以帮助我们更好地理解函数在闭区间上的平均值。

在微积分中，我们经常需要计算函数在某个区间上的平均值，这个平均值可以告诉我们函数在整个区间上的大致情况。

积分中值定理告诉我们，对于连续且有界的函数，存在至少一点使得该点的函数值等于这个函数在整个区间上的平均值。

这样一来，我们就可以通过积分中值定理来计算函数在某个区间上的平均值，从而更好地理解函数的性质。

积分中值定理可以应用于解决实际问题。

在经济学中，我们经常需要计算一些经济指标的平均值，这样可以帮助我们更好地了解经济发展的情况。

利用积分中值定理，我们可以更准确地计算这些经济指标的平均值，从而更好地分析经济形势。

在物理学中，积分中值定理可以帮助我们计算一些物理量的平均值，这对于研究物理现象非常重要。

在工程学中，我们也可以利用积分中值定理来解决一些工程问题，如计算工程中的某些参数的平均值等。

积分中值定理在微积分中的研究意义非常重要。

它不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还可以应用于解决实际问题。

在未来的研究中，我们可以进一步深化对积分中值定理的理解，探索更多关于函数在闭区间上的性质，从而推动微积分理论的发展。

希望通过我们的努力，可以更好地利用积分中值定理解决实际问题，促进科学技术的发展。

【本文共XXX】第二篇示例：积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它揭示了函数在一定条件下的平均增长速度与瞬时增长速度之间的关系。

在数学研究和实际应用中，积分中值定理有着重要的意义，它不仅可以帮助我们理解函数的性质，还可以指导我们解决实际问题。

积分中值定理可以帮助我们更好地理解函数的性质。

定积分第一中值定理的改进与应用

对于Ｖ ∈［６有ｏ，］
ｍ ≤ ｆ）≤ （，
及
（）３（）４
ｍ（ｇ）≤ ｆ）（（ｇ）≤ Ｊｇ）］（．Ｉｆ
（）中的三部分都是可积的，４式分别在［，］ｏ６上积分，由定积分对于被积函数的单调性可得
（）１
作者简介：富冲（９５，（古族）北京人，邢１４一）男蒙，中央民族大学理学院教授
维普资讯
中央民族大学学报（自然科学版）
第ｌ７卷
，一：， ≤ ｃｄ』ｄＭ一ｎ。』ｄ』。： ≤ｈ＝ｃｃｎＭ
维普资讯
２０年８月０８
中央民族大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆｈＵ（ａｒｌｃｅｃｓＥｉｏ）ｏｒａｏｔＣＮＮｔａＳｉｅｄｔｎｅｕｎｉ
Ａｕ．０ｇ，２０８Ｖ０．７Ｎ３１１ｏ．
（）的几何意义如图２示．２式所
（）２
厂
图２（）的几何葸义２式
Ｍ
Ｆｇ．２ｇｏｔｃｌｍｅｎｎｆｈｎｑａｉｅ２ｉｅｍｅｒａｉａｉｇｏｅｉｅｕｌｉｓ（）ｔｔ
由（）可得２式
ｍ ≤ ｍ ≤ １＝
ｍ
Ｉ（） ≤Ｉ（）（） ≤Ｍｇ）．ｄｇｄｇｘｘＩ（ｄｘ
（５）
由ｇ）０有Ｉ（） ≥ ．果Ｉ（）＝，由５式也ｇ）＝，而Ｖ ∈ （ ≥ 知ｄ０ｄ０（知有Ｉ（）（ｄ０ｇｘ如ｇｘ则）ｘ从ｃ

)积分中值定理的推广和应用情形

积分中值定理的推广和应用———积分中值定理的推广定理和应用情形The Integral Mean Value Theorem for Its Spreading andApplication——Extension theorem of integral mean value theorem and itsapplication论文作者：专业：指导老师：完成时间：摘要积分中值定理和微分中值定理在微积分学中有着重要的地位，微分中值定理是研究函数的有力工具，反映了导数的局部性和与函数的整体性之间的关系，而积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用。

它是数学分析课程中定积分部分的一个基本定理之一。

积分中值定理包括积分第一中值定理和积分第二中值定理,在之前的数学分析课程中我们已经学习了这两个定理的证明，但这两个定理的推广与应用尚未提及。

在这里，我讨论了积分第一中值定理和积分第二中值定并给出了这些定理的详细证明过程，并且给出了集中推广形式。

在积分中值定理的应用方面，我给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号等，并且通过列举例题，加以归纳总结，并且充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用。

The integral mean value theorem and the differential mean value theorem play an important role in the calculus.Differential mean value theorem is a powerful tool to study the function.It reflects the relation between the local property of the derivative and the integral of the function. And the integral mean value theorem plays a very important role in the proof of the mean value problem.It is one of the basic theorems of the definite integral part in the course of mathematical analysis.The integral mean value theorem includes the first mean value theorem of integrals and the second mean value theorem of integrals,we have learned the proof of the two theorems In the course of mathematical analysis.But the extension and application of these two theorems have not been mentioned yet.Here, I discuss the first mean value theorem of integrals and the second mean value of the integrals and give a detailed proof of these theorems and I give the form of centralized generalizations here.In the application of the integral mean value theorem, I give some simple situations such as the estimation of the integral value, and the limit of the definite integral, the integral number and so on.And by citing examples,I summarized and fully reflect the integral mean value theorem in the application of learning problem solving exercises.关键词：积分中值定理；推广；应用Keyword:mean value theorem of integrals; extension; Application1 引言中值定理在数学分析中占有非常重要的地位，学好积分中值定理和微分中值定理能为进一步学好微积分理论打下坚实的基础。

积分中值定理的研究意义

积分中值定理的研究意义
积分中值定理是微积分中的重要定理，它的研究意义体现在以
下几个方面：
1. 确定积分值，积分中值定理可以帮助我们确定函数在某个区
间上的平均值，通过这个定理可以得到函数在某个区间上的平均值
等于函数在该区间上积分的值，这对于实际问题中的平均量、平均
功率等的计算具有重要意义。

2. 确定存在性，积分中值定理可以帮助我们证明函数在某个区
间上一定存在某个点使得函数值等于该点处的斜率与函数在整个区
间上的平均斜率相等。

这对于证明某些函数在某个区间上存在零点
或者导数等具有重要意义。

3. 应用于物理问题，积分中值定理可以应用于物理学中，比如
用于描述某个物理量在某段时间内的平均值，或者用于描述某个物
理量在某个区间内的变化率等问题。

4. 与微分中值定理的关系，积分中值定理与微分中值定理有着
密切的联系，它们共同构成了微积分基本定理的两个重要组成部分，
通过这两个定理可以建立起微积分的基本理论体系。

综上所述，积分中值定理在数学理论和实际问题中都具有重要的研究意义，它不仅可以帮助我们理解函数的性质和积分的含义，还可以应用于实际问题的求解和物理现象的描述。

积分中值定理改进后的应用

积分中值定理改进后的应用周芳芹;汤剑;朱溦【期刊名称】《邵阳学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(009)003【摘要】积分中值定理中,中间点取值区间是;在实际应用中常混淆成,而发生该定理的使用错误.实质上积分中值定理对中间点取开区间时仍成立,本文对此作了证明,可称为改进后？a b a b%The interval of intermediate point " ξ " in the Mean Value Theorem of Integrals is a 〈ξ 〈 b, which is often mistaken as a 〈ξ 〈 b. In fact, when the condition of the Mean Value Theorem of Integrals is changed into open interval, conclusions are still right. In this paper, the open interval proposition is discussed. Using the Modified Mean Value Theorem of Integrals in solving practical problems, we find that it is more convenient than the original theorem.【总页数】3页(P18-20)【作者】周芳芹;汤剑;朱溦【作者单位】衢州学院,浙江衢州324000;衢州学院,浙江衢州324000;衢州学院,浙江衢州324000【正文语种】中文【中图分类】O172.2【相关文献】1.对Rolle中值定理与积分中值定理的一点改进 [J], 王洪林;田飞2.定积分中值定理及其改进在高等数学解题中的应用 [J], 谢土生3.改进后的积分中值定理的应用 [J], 王丽颖4.一元积分学的研究—奥氏公式的完善和积分中值定理的改进 [J], 桂祖华5.关于积分中值定理及推广的积分中值定理的改进 [J], 陈卫星;马全中因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。