空间向量、立体几何复习与检测

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第一章空间向量与立体几何单元检测达标卷)-2022高二数学上(人教A版2019选择性必修第一册)

第一章空间向量与立体几何（知识达标卷）一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量(3,2,5),(1,,1)a b x =-=- ,且2a b ⋅=,则x 的值为A.3B.4C.5D.62.设直线l 的方向向量是a ,平面α的法向量是n ,则”a n ⊥"是“l α "的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.如图,在四面体OABC 中,点M 在棱OA 上,且满足2OM MA =,点,N G 分别是线段,BC MN 的中点,则用向量,,OA OB OC 表示向量OG应为A.111344OG OA OB OC=++ B.111344OG OA OB OC=-+ C.111344OG OA OB OC =-- D.111344OG OA OB OC=+- 4.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,设11,2AD AA AB ===,则1BD AD ⋅等于A.1B.2C.3D.635.已知(2,1,3),(1,4,2),(7,5,)a b c λ=-=--=,若,,a b c 三个向量不能构成空间的一个基底,则实数λ的值为A.0B.357C.96.二面角的棱上有,A B 两点,直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB ,已知4,6AB AC ==,8,217BD CD ==,则该二面角的大小为A.150︒B.45︒C.60︒D.120︒7.在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ,BC CD ⊥，且AB BC CD ==,M 为AD 的中点,则异面直线BM 与CD 所成角的余弦值为A.23B.34C.33D.248.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,14AA =,2AB BC ==,动点,P Q 分别在线段1,C D AC 上,则线段PQ 长度的最小值是A.223B.233C.42D.253二、多项选择题:本题共4小题,共小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知空间中三点(0,1,0),(2,2,0),(1,3,1)A B C -,则下列结论正确的有A.AB 与AC 是共线向量B.与AB 共线的单位向量是(1,1,0)C.AB 与BC 夹角的余弦值是5511-D.平面ABC 的一个法向量是(1,2,5)-10.设动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的体对角线1BD 上,记11D P D B λ=,当APC ∠为钝角时,实数λ的可能取值是A.12 B.23 C.13D.111.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角,则下列结论中正确的是A.AC BD ⊥B.异面直线AB 与CD 所成角的大小为3π C.ADC ∆为等边三角形 D.直线AB 与平面BCD 所成角的大小为3π12.如图,已知在长方体1111ABCD A B C D -中,3,4AB AD ==,15AA =,点E 为1CC 上的一个动点,平面1BED 与棱1AA 交于点F ,则下列说法正确的是A.四棱锥11B BED F -的体积为20B.存在唯一的点E ,使截面四边形1BED F 的周长取得宝小值274C.当点E 为1CC 的中点时,在直线AD 上存在点G ,使得73CG =D.存在唯一一点E ,使得1B D ⊥平面1BED ,且3CE =三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知点(1,1,0),(1,2,0),(2,1,0),(3,4,0)A B C D ---,则AB 在CD上的投影向量的长度为.14.在平面直角坐标系中,点(1,2)A -关于x 轴的对称点为(1,2)A '--,则在空间直角坐标系中,(1,2,3)B -关于x 轴的对称点B '的坐标为,若点(1,1,2)C -关于平面0x y 的对称点为点C ',则B C ''=（本题第一空2分,第二空3分)15.如图,在长方体中,12AD AA ==,3AB =,若E 为AB 中点,则点1B 到平面1D EC 的距离为.16.在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是正方形,且1,PD AB G ==为ABC ∆的重心,则PG 与底面ABCD 所成角的正弦值为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,M ,N 分别是111,A B B C 上的点,且1112,2BM A M C N B N ==.设,AB a AC b == ,1AA c =.(1)试用,,a b c表示向量MN ;(2)若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=︒∠=∠=︒===,求MN 的长.18.已知向量(1,5,1),(2,3,5)a b =-=-.(1)若()(3)ka b a b +-,求k 的值;(2)以坐标原点O 为起点作,OA a OB b ==,求点O 到直线AB 的距离d .19.如图,在四棱锥M ABCD -中,底面ABCD 是平行四边形,且1,1,AB BC MD MD ===⊥平面,ABCD H 是MB 的中点,在下面两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.①二面角A MD C --的大小是23π;②2BAD π∠=.若,求直线CH 与平面MCD 所成角的正弦值.注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.20.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,点,E F 分别在棱11,DD BB 上,且112,2DE ED BF FB ==.(1)证明:点1C 在平面AEF 内;(2)若12,1,3AB AD AA ===,求二面角1A EF A --的正弦值.21.如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于,A B 的点,直线PC ⊥平面,,ABC E F 分别是,PA PC 的中点.(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加以证明;(2)设(1)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ,且点Q 满足DQ = 12CP,记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ,异面直线PQ 与EF 所成的角为二面角E l C --的大小为β,求证:sin sin sin θαβ=.22.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,四边形11AA C C 是边长为4的正方形,平面ABC ⊥平面11,3AA C C AB =,5BC =.(1)求证:1AA ⊥平面ABC ;(2)求二面角111A BC B --的余弦值;(3)证明:在线段1BC 上存在点D ,使得1AD A B ⊥,并求1BDBC的值参考答案1.C【解析】∵(3,2,5),(1,,1),3252a b x a b x =-=-∴⋅=-+-=,解得5x =,故选C.2.B 【解析】由//l α,得a n ⊥ ,则:“a n ⊥ ”是“//l α”的必要条件;由a n ⊥,得//l α或l α⊂,则“a n ⊥ ”不是"//l α"的充分条件.故“a n ⊥”是“//l α”的必要不充分条件.故选B.3.A 【解析】连接ON ,因为,N G 分别为,BC MN 的中点,所以12OG OM =+ 11211()22322ON OA OB OC =⨯+⨯+ ,化简得到111344OG OA OB OC =++,故选A .4.A【解析】方法一由长方体的性质可知AD AB ⊥,1AD BB ⊥,AD BC ,又1AD BC ==,11BD BA BC BB =++,所以11()BD AD BA BC BB AD ⋅=++⋅ 21001BA AD BC AD BB AD BC =⋅+⋅+⋅=++=.故选A .方法二以D 为坐标原点,1,,DA DC DD分别为,,x y z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则1(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,0,1)D A B D ,则1(1,2,1),(1,0,0)BD AD =--=-,则11BD AD ⋅=.故选A .5.D【解析】∵(2,1,3),(1,4,2),a b a =-=--∴与b不平行,∵,,a b c三个向量不能构成空间的一个基底,∴,,a b c三个向量共面,即存在实数X,Y,使c Xa Yb =+ ,即274532X Y X Y X Y λ-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩解得657λ=,故选D.6.C 【解析】由題意知0,0,CA AB BD AB CD CA AB BD ⋅=⋅==++ ,2222222||||||||222648268cos ,(2,CD CA AB BD CA AB BD AB CA BD CA BD =+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯⨯〈〉=解得1cos ,2CA BD 〈〉=- ,则,120CA BD 〈〉=︒ ,所以面角的大小为60︒,故选C.7.C【解析】将四面体A BCD -放在正方体中,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则(0,0,0),(2,0,0),)(2,2,0),(1,1,1B C DM 3(1,1,1),(0,2,0),cos ,3||||BM CDBM CD BM CD BM CD ⋅==〈〉==⋅,所以异面直线BM 与CDC.8.C【解析】以D 为坐标原点,1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则1(2,0,0),(0,2,0),(0,2,4)A C C ,则可设(0,,2),[0,2]P t t t ∈,(2,,0)Q m m -,[1,2]m ∈,∴P Q ==，当且仅当1059t m ==时，PQ 取得最小值43，故选C.9.CD【解析】对于A,(2,1,0),(1,2,1)AB AC ==- ,不存在实数λ,使得AB AC λ=,所以AB 与AC不是共线向量,所以A 错误;对于B ,因为AB = (2,1,0),所以与AB 共线的单位向量为,055⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭或(0),所以B 错误;对于C ,向量(2,1,0),(3,1,1)AB BC ==- ,所以55cos ,11||||AB BC AB BC AB BC ⋅〈〉==-⋅,所以C 正确;对于D ,设平面ABC 的法向量是(,,)n x y z =,因为(2,1,0),(1,2,1)AB AC ==- ,所以00n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩,令1x =,则(1,2,5)n =-,所以D 正确,故选CD .10.AB【解析】以D 为原点,1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体的棱长为1,则(1,0,0),(1,1,0)A B ,1(0,1,0),(0,0,1)C D ,111(1,0,1),(0,1,1),D A D C D B =-=-=(1,1,1)-,所以11(,,)D P D B λλλλ==-.因为11PA PD D A =+= 11(,,)(1,0,1)(1,,1),PC PD D C λλλλλλ--+-=---=+=(,,)(0,1,1)(,1,1),APC λλλλλλ--+-=---∠为钝角,所以0PA PC ⋅<,即2()(1)()(1)(1)(1)(31)0λλλλλλλ--+--+-=--<,解得113λ<<.故选AB.11.ABC【解析】如图,取BD 中点为0,连接AO,CO,易知BD⊥平面AOC,故BD AC ⊥,故A 正确;以O 为坐标原点,,,OA OB OC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形ABCD 边长为a ,则2222,0,0,0,,0,,(0,02222A B a C D a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭,故,,0,0,,2222AB a CD a a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,所以22112cos ,2||||a AB CD AB CD a AB CD -⋅〈〉===-⋅,故异面直线AB 与CD所成角的大小为3π,故B 正确;在直角三角形AOC 中,由AO CO ==2,2a AO CO ⊥,得AC a ==,故ADC ∆为等边三角形,故C 正确;易知ABO ∠即为直线AB 与平面BCD 所成的角,易得ABO ∠=4π,故D 错误.故选ABC .12.ABC 【解析】长方体1111ABCD A B C D -中,13,4,5AB AD AA ===,对于A ，111111B BED F E BB D F BB D V V V ---=+,易知1//CC 平面11BB D ,所以E 到平面11BB D 的距离等于1C 到平面11BB D 的距离,为125,同理F 到平面11BB D 的距离等于1A 到平面11BB D 的距离,为125,所以11B BED F V -=111111111111121112555520325325E BB DF BB D C BB D A BB D V V V V ----+=+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=,故A 正确;对于B ,易知平面11//DD C C 平面11BB A A ,平面1BED F ⋂平面111DD C C D E =,平面1BED F ⋂平面11BB A A BF =,所以1//D E BF ,同理1//D F BE ,即四边形1BED F 为平行四边形,将长方体侧面11D DCC 和11B BCC 沿棱1CC 展开到同一平面内,则1D E EB +的最小值为展开面中1D B 的长度,此时E 点为1D B 与1CC 的交点,1D B =,所以四边形1BED F 的周长的最小值为B 正确;对于C ,当E 为1CC 的中点时,易知F 为1AA 的中点,在平面11DD A A 中,延长1D F ,交DA 的延长线于G ,连接CG,易知11D A F GAF ∆≅∆,得11AG A D AD ==,所以A为GD 的中点,所以在Rt GDC ∆中,CG =,故C 正确;对于D ,以D 点为坐标原点,分别以射线1,,DA DC DD 为x ,y z D xyz -,设点(0,3,),(4,3,0)E B λ,1(0,0,5)D ,1(4,3,5)B ,则1(4,0,),(4,3,5)BE D B λ=-=- ,1(4,3,5)DB =,所以114433550D B DB ⋅=⨯+⨯-⨯=,即11D B B D ⊥,要使1B D ⊥平面1BED ,则需1B D BE ⊥,即10DB BE ⋅=,所以1650λ-+=,得165λ=,即165CE =,故D 错误.故选ABC .13.322【解析】由已知(2,1,0),(5,5,0),2515015,||AB CD AB CD CD ==⋅=⨯+⨯+== ,所以AB 在CD 上的投影向量的长蝃为||AB CD CD ⋅=322=.14.(1,2,3)---【解析】由题意得1,2,3B （）关于x 轴的对称点B 的坐标为(1,2,3)---；点(1,1,2)C -关于平面xOy 的对称点为(1,1,2)C '--,所以B C ''=D 为坐标原点,1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接1CB ，由题意得0,3,0C （）,1132,,0,(0,0,2),(2,3,2)2E D B ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,02CE ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ ，1)(0,3,2CD =- ,1(2,0,2)CB = .设平面1D EC 的法向角为(,,)n x y z = ,则100CE n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即3202320x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩,令6z =,得(3,4,6),n =∴点1B 到平面1D EC的距离1||||61n CB d n ⋅==.16.31717【解析】如图,分别以,,DA DC DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,由已知,得(0,0,0),(0,0,1),(1,0,0)D P A ,,(1,1,0),(0,1,0)B C ,则重心)22(,,033G ,因而(0,0,1)DP = ,22,,133GP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,设PG 与底面ABCD 所成的角为θ,则sin θ=||317|cos ,|17||||DP GP DP GP DP GP ⋅〈〉==⋅.17.【解析】(1)由题意可知1111111111133MN MA A B B N BA A B B C =++=++11111()()33333c a a b a a b c =-++-=++.(2)因为2222()2221110115a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+++++=所以||a b c ++=,所以1||||33MN a b c =++=.18.【解析】(1)(2,53,5)ka b k k k +=-+-+,3(132,533,135)(7,4,16)a b -=+⨯-⨯--⨯=--∵()//(3)ka b a b +- ∴25357416k k k -+-+==--,解得13k =-.(2)由条件知(1,5,1),(2,3,5)A B --,∴(1,5,1),(3,2,6)AO AB =--=--ˆ||1919,||7,7||AO AB AO AB AB AB ⋅⋅===∴点O 到直线AB 的距离d ==19.【解析】选①.因为MD ⊥平面ABCD ,所以,AD MD CD MD ⊥⊥,所以ADC ∠就是二面角A MD C --的平面角,所以23ADC π∠=.过D 作x 轴⊥DC ，以D 为坐标原点，,DC DM 所在直线分别为y 轴z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则11 (0,1,0),,42C H⎫⎪⎪⎝⎭,所以331(,442 CH=-取平面MCD的一个法向量(1,0,0)n=设直线CH与平面MCD所成的角为,θ则||sin|cos,|||||CH nCH nCH nθ⋅=〈〉===⋅所以直线CH与平面MCD所成角的正弦值是34.选②因为MD⊥平面,2ABCD BADπ∠=,底面ABCD是平行四边形,所以DA,DC,DM两两垂直以D为坐标原点1DA,DC,DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则111(0,1,0),,,222C H ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以111,,222CH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭取平面MCD 的一个法向量(1,0,0)n = .设直线CH 与平面MCD 所成的角为θ,则1||2sin |cos ,||||n |CA n CH n CH θ⋅=〈〉===⋅ 所以直线CH 与平面MCD.20.【解析】设1,,AB a AD b AA c ===,如图,以1C 为坐标原点,11C D 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系1C xyz -.(1)连接1C F ,则121(0,0,0),(,,),,0,,0,,,33C A a b c E a c F b c EA ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1110,,,0,,33b c C F b c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,得1EA C F =,因此1//EA C F ,即1,,,A E F C 四点共面,所以点1C 在平面AEF 内.(2)由已知得1(2,1,3),(2,0,2),(0,1,1),(2,1,0),(0,1,1)A E F A AE =-- ，1(2,0,2),(0,1,2),(2,0,1)AF AE A F =--=-=- 设1(,,)n x y z = 为平面AEF 的法向量,则1100n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即0220y z x z --=⎧⎨--=⎩,可取1(1,1,1)n =-- .设2n 为平面1A EF 的法向量,则212100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,同理可取21,2,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭因为121212cos ,7n n n n n n ⋅==-⋅ ,所以二面角1A EF A --的正弦值为7.21.【解析】(1)直线//l 平面PAC .证明如下:因为,E F 分别是,PA PC 的中点,所以//EF AC ,又EF ⊂平面,ABC AC ⊂平面ABC 所以//EF 平面ABCEF ⊂平面BEF ,平面BEF ⋂平面ABC l =,所以//EF l ,(2)如图,过B 作AC 的平行线,交圆O 于点D,由(1)可知交线l 即为直线1BD ，由题意1,2DQ CP =⋅过D 作DQ//CP,且12DQ CP =,连接,CD PQ ,易知CD 过点O以C 点为原点,分别以向量,,,CA CB CP方向为,,x y z 轴的正方向,建立空间直角坐标系.设,,2CA a CB b CP c ===,则有1(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,),,0,2C A a B b P c Q a b c E a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(0,0,)F c ,所以1,0,0,(,,),(0,,)2FE a QP a b c BF b c ⎛⎫==--=- ⎪⎝⎭所以11()|||2cos 1||||2a a FE QP FE QP a α⋅-⋅===⋅sin α=因为平面ABC 的一个法向量为0,0,1m = （），所以sin |cos ,|||||m QP m QP m QP θ⋅=〈〉==⋅ 设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z = ,则00n FE n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,可得1020ax by cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩,令y c =,则(0,,)n c b = ,所以|cos |||||m n m n β⋅==⋅,所以sin β==故sin sin sin αβθ=,即sin sin sin θαβ=.22.【解析】(1)因为四边形11AA C C 为正方形,所以1AA AC ⊥.因为平面ABC ⊥平面11AA C C ,且1AA 垂直于这两个平面的交线AC ,所以1AA ⊥平面ABC .(2)由(1)知11,AA AC AA AB ⊥⊥.由题意知3,5,4AB BC AC ===,则222AB AC BC +=,所以AB AC ⊥.如图,以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系A -xyz ,则111(0,3,0),(0,0,4),(0,3,4),(4,0)4B A B C ，.所11111(0,3,4),(4,0,0),(0,0,4),(4,3,4)A B A C BB BC =-===-.令3z =,则0,4x y ==,设平面11A BC 的法向量为(,)n x y z = ,则11100n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即34040y z x -=⎧⎨=⎩.所以平面11A BC 的一个法向量为(0,4,3)n =.设平面11B BC 的法向量为(,,)m a b c = ,则1100m BB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即404340c a b c =⎧⎨-+=⎩令3a =,得4,0b c ==,故平面11B BC 的一个法向量为(3,4,0)m =.所以16cos ,||||25n m n m n m ⋅〈〉==.由题意知二面角111A BC B --为锐角,所以二面角111A BC B --的弦㢱值为1625.（3）假设111,D x y z （，）是线段1BC 上一点,且1([0,1])BD BC λλ=∈ ,所以()111,3,(4,3,4)x y z λ-=-.解得1114,33,4x y z λλλ==-=,所以(4,33,4)AD λλλ=- .由1AD A B ⊥,得10,AD A B ⋅= 即9250λ-=,解得925λ=因为9[0,1]25∈,所以在线段1BC 上存在点D ,使得1AD A B ⊥,此时1925BD BC =.。

空间向量与立体几何检测题及答案

空间向量与立体几何检测题（考试时间：120分钟满分：150分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直，则k 的值是（）A ． 1B ．51 C ． 53 D ． 572．已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+=（）A ．－15B ．－5C ．－3D ．－13．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（）A ．OC OB OA OM ++= B ．OC OB OA OM --=2C ．OC OB OA OM 3121++= D ．OC OB OA OM 313131++= 4．已知向量a ＝（0，2，1），b ＝（－1，1，－2），则a 与b 的夹角为（）A ． 0°B ． 45°C ． 90°D ．180° 5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为（）A ． 0B ．1C ． 2D ．37．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连结AM 、AG 、MG ，则−→−AB +1()2BD BC +等于（）A ．−→−AG B ． −→−CG C ． −→−BC D ．21−→−BC8．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ，则1A B = （）A ． +-a b cB ．-+a b cC ． -++a b cD ． -+-a b c 9．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是（）A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量10．已知点A （4，1，3），B （2，－5，1），C 为线段AB 上一点，且3||||AC AB =,则点的坐标是 ( )A ．715(,,)222-B ． 3(,3,2)8-C ． 107(,1,)33-D ．573(,,)222-11．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB ，则△BCD 是（）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定12．（文科）在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（）A ．52-B ．52C ．53D ．1010（理科）已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，则点B 到平面EFG 的距离为（） A ．1010 B ． 11112 C ． 53D ． 1 二．填空题（本大题4小题，每小题4分，共16分）13．已知向量a =(λ+1,0,2λ)，b =(6,2μ-1,2),若a ∥b,则λ与μ的值分别是．14．已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b -c ,则m ，n 的夹角为． 15．已知向量a 和c 不共线，向量b ≠0，且()()⋅⋅=⋅⋅a b c b c a ，d ＝a ＋c ，则,〈〉d b ＝．16．（如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是︒60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为。

空间向量与立体几何测试试卷

空间向量与立体几何测试试卷空间向量与立体几何测试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则a·b的结果为：A. 4B. 14C. 32D. 562.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则a×b的结果为：A. (1,-2,1)B. (-1,2,-1)C. (1,2,1)D. (-1,-2,-1)3.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a+b的结果为：A. (5,7,9)B. (5,6,7)C. (4,7,9)D. (4,6,8)4.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a-b的结果为：A. (3,3,3)B. (-3,-3,-3)C. (-3,-1,1)D. (3,1,-1)5.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a·(a+b)的结果为：A. 42B. 56C. 70D. 846.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a×(a+b)的结果为：A. (14,-28,14)B. (-14,28,-14)C. (14,28,14)D. (-14,-28,-14)7.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量|a|的结果为：A. √6B. √14C. √26D. √468.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量|b|的结果为：A. √14B. √26C. √38D. √509.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a×b的模长为：A. √6B. √14C. √26D. √3810.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a·b的模长为：A. 14B. 26C. 38D. 50二、填空题（每题3分，共30分）1.向量(2,3,4)与向量(-1,2,-3)的夹角为______度。

《第一章空间向量与立体几何》单元检测试卷与答案解析(共三套)

《第一章空间向量与立体几何》单元检测试卷（一）第I 卷（选择题）一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分）1．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为( )A ．1-B ．1CD ．732．已知PA =（2，1，﹣3），PB =（﹣1，2，3），PC =（7，6，λ），若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ＝（） A ．9B ．﹣9C ．﹣3D ．33．下列说法正确的是（）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等4．若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =-,平面α的法向量为(3,6,9)n =--,则( ) A ．l α⊂B ．//l αC ．l α⊥D ．l 与α相交5．在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．14C ．16-D ．14-6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（）A ．23B ．3C ．3D ．137．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（）AB ．2C D 8．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题(每题不止一个正确的选项，5分/题，共20分）9．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（）A ．11B E A B ⊥ B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π 10．正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π 11．设a ，b ，c 是空间一个基底，则( ) A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z)，使p xa yb zc =++D ．则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底12．（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．若(2, 3, 1)a =-，(2, 0, 3)b =，(3, 4, 2)c =，则()a b c +=___________．14．已知平面α的一个法向量10,,2n ⎛=- ⎝，A α∈，P α∉，且122PA ⎛=- ⎝，则直线PA 与平面α所成的角为______．15．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =________．16．如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，若顶点,B C 到平面α，则顶点D 到平面α的距离是_____.四、解答题（17题10分，其余题目12分每题，共70分）17．如图，2BC =，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为(2，12，0)，点D 在平面yOz 上，且90BDC ∠=︒，30DCB ∠=︒．（1）求向量CD 的坐标．（2）求AD 与BC 的夹角的余弦值．18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ︒∠=∠=．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度；（2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．19．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点．（1）求证：NM ∥平面11A ADD ；（2）求证：NM ⊥平面11A B M ．20．如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AC BD ⊥，1BC =，14A D A A ==.（1）证明：面1ACD ⊥面1BB D ；（2）求二面角11B AC D --的余弦值.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB DC ，E 为线段PD 的中点，已知2PA AB AD CD ====，120PAD ∠=︒．（1）证明：直线//PB 平面ACE ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．22．如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=︒，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值；（3）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF ，求线段AP 的长．答案解析第I 卷（选择题）一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分）1．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为( )A ．1-B ．1CD ．73【答案】A 【解析】如图所示由正四面体的性质可得：PA BC ⊥ 可得：0PA BC ⋅=E 是棱AB 中点12PEPA PB 111122cos12012222PE BC PA PB BCPA BC PB BC 故选：A【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.2．已知PA =（2，1，﹣3），PB =（﹣1，2，3），PC =（7，6，λ），若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ＝（） A ．9 B ．﹣9C ．﹣3D ．3【答案】B【解析】由P ，A ，B ，C 四点共面，可得,,PA PB PC 共面，(2,2,33)(7,6,)xPA yPB x y x y C y P x λ∴=+=-+-+=，272633x y x y x y λ-=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩，解得419x y λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. 故选:B.3．下列说法正确的是（）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等【答案】C【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A 错.B 项，空间基底有无数个, 所以B 错.D 项中因为基底不唯一，所以D 错.故选C .4．若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =-,平面α的法向量为(3,6,9)n =--,则( ) A ．l α⊂ B ．//l αC ．l α⊥D ．l 与α相交【答案】C【解析】∵直线l 的方向向量为()1,2,3a =-，平面α的法向量为()3,6,9n =--，∴13a n =-，∴a n ， ∴l α⊥．故选C ．5．在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．14C ．16-D ．14-【答案】A【解析】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则()()()()1100,012,121,002M N O D ，，，，，，，，， ∴()()11,1,2,1,2,1MN OD =-=--．则1111cos ,66MN OD MN OD MN OD ⋅===． ∴异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为16,故选A ．6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AAAB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（） A ．23B C．3D ．13【答案】A【解析】设1AB =11BD BCDC ∴===，1BDC ∆面积为3211C BDC C BCD V V --=131********d d ∴⨯⨯=⨯⨯∴=2sin 3d CD θ∴== 7．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（）AB．2CD【答案】D【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1）， 1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1），设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d＝||2||5EM n n ⋅==，N 为EM 中点，所以N到该面的故选：D ．8．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A ．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=，即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+，根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q . 故选：C.二、多选题(每题不止一个正确的选项，5分/题，共20分）9．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD【解析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-，因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y = 所以(1,2,1)n =，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误；在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高，所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD.10．正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π 【答案】BC【解析】由题可知，1B G 在底面上的射影为BG ，而BC 不垂直BG ，则1B G 不垂直于BC ，则选项A 不正确；连接1AD 和1BC ，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，可知11////EF BC AD ，所以AEF ∆⊂平面1AD EF ，则平面AEF平面111AA D D AD =，所以选项B 正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，则各点坐标如下：()()()()()()12,0,0,0,2,0,0,2,1,2,0,2,2,2,1,1,2,0A C E A H F ()()()()110,2,1,1,2,0,1,0,1,0,0,2A H AF EF AA =-=-=-=，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则00n AF n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，得2,2x z ==，得平面AEF 的法向量为()2,1,2n =，所以10A H n ⋅=，所以1//A H 平面AEF ，则C 选项正确；由图可知，1AA ⊥平面AFC ，所以1AA 是平面AFC 的法向量，则1112cos ,3AA n AA n AA n⋅<>===⋅. 得知二面角E AF C --的大小不是4π，所以D 不正确. 故选：BC.11．设a ，b ，c 是空间一个基底，则( ) A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z)，使p xa yb zc =++D ．则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底【答案】BCD【解析】对于A 选项，b 与,a c 都垂直，,a c 夹角不一定是π2，所以A 选项错误. 对于B选项，根据基底的概念可知a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面.对于C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确.对于D 选项，由于a ，b ，c 是空间一个基底，所以a ，b ，c 不共面.假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，设()()()1a b x b c x c a +=++-+，化简得()1x a x b c ⋅=-+，即()1c x a x b =⋅+-，所以a ，b ，c 共面，这与已知矛盾，所以a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，可以作为基底.所以D 选项正确. 故选：BCD12．（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC 【答案】BC【解析】如图所示：A 项：取BD 的中点O ，连结OP 、OC ，因为四边形ABCD 是菱形，O 是线段BD 的中点，所以,,OP BD OC BD OPOC O ⊥⊥=,BD ⊥平面POC ，BD ⊂平面BCD ，所以POC ⊥平面BCD ，所以POC 平面BCDOC ，所以PC 在平面BCD 的射影为OC ，PCO ∠即PC 与平面BCD 所成角，PO OC ，三角形POC 是等腰三角形，当60POC ∠=时，PC 与平面BCD 所成角为60，故A 错误； B 项：当PD PC =时，取CD 的中点N ，可得CD PN ⊥，CD BN ⊥，故CD ⊥平面PBN ，PB CD ⊥，故B 正确； C 项：因为四边形ABCD 是菱形，O 是线段BD 的中点，所以PO BD ⊥，CO BD ⊥，因为BD 是平面PBD 与平面CBD 的交线，所以POC ∠即平面PBD 与平面CBD 所成角，因为二面角P BD C --的大小为90，所以90POC ∠=，因为PO OC ==PC =C 正确；D 项：因为BN =B 到平面PDC则BN ⊥平面PCD ，2PB =，BN =1PN =，1DN =，则PD =D 错误，故选：BC.第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．若(2, 3, 1)a =-，(2, 0, 3)b =，(3, 4, 2)c =，则()a b c +=________．【答案】3.【解析】因为(2, 3, 1)a =-，(2, 0, 3)b =，(3, 4, 2)c =所以()5,4,5b c += 所以()()2534153a b c +=⨯+-⨯+⨯=故答案为：314．已知平面α的一个法向量10,,2n ⎛=- ⎝，A α∈，P α∉，且122PA ⎛=- ⎝，则直线PA 与平面α所成的角为______．【答案】π3【解析】设直线PA 与平面α所成的角为θ，则s 0in cos n PA n PAθθ===⋅=⋅， ∴直线PA 与平面α所成的角为π3．故答案为：π3．15．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =________．【答案】60︒【解析】由条件，知0CA AB ⋅=，0AB BD ⋅=，CD CA AB BD =++.2222222CD CA AB BD CAAB AB BD CA BD=+++⋅+⋅+⋅(2222648268cos ,CA BD =+++⨯⨯=.∴1cos ,2CA BD =-，又∵0,180CA BD ︒≤≤︒，∴,120CABD =︒，∴二面角的大小为60︒. 故答案为：60︒.16．如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，若顶点,B C 到平面α，则顶点D 到平面α的距离是______.【解析】如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(3,0,0),(0,3,0),(3,3,0),(3,3,3)O C B A D ，所以(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)BA CA AD ===，设平面α的一个法向量为(,,)n x y z =，则点B 到平面α距离为12||||BA n d n x ⋅===点C 到平面α距离为12||||CA n d n x ⋅===由①②可得||||,|||y x zx==，所以D 到平面α的距离为2|||||AD n n x x ⋅===故答案为四、解答题（17题10分，其余题目12分每题，共70分） 17．如图，2BC =，原点O 是BC的中点，点A 的坐标为(2，12，0)，点D 在平面yOz 上，且90BDC ∠=︒，30DCB ∠=︒．（1）求向量CD 的坐标．（2）求AD 与BC 的夹角的余弦值．【答案】（1）3(0,2-；（2）.【解析】（1）过D 作DE BC ⊥于E ，则sin302DE CD =⋅︒=，11cos60122OE OB BD =-︒=-=，所以D 的坐标为1(0,2D -，又因为(0,1,0)C ，所以3(0,2CD =-．（2）依题设有A 点坐标为1,0)2A ，所以(2AD =--，(0,2,0)BC =，则AD 与BC 的夹角的余弦值为·cos ,·AD BC AD BC AD BC==-．18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ︒∠=∠=．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度；（2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．【答案】（1）1BC a c b =+-；12BC =（2【解析】（1）1111111111BC BB BC BB AC A B AA AC AB a c b =+=+-=+-=+-，因为11||||cos 11cos602a b a b BAA ︒⋅=⋅∠=⨯⨯=，同理可得12a cbc ⋅=⋅=，所以22221()2221111BC a c b a c b a c a b c b =+-=+++⋅-⋅-⋅=+++-=．（2）因为1AB a b =+，所以2221()2111AB a b a b a b =+=++⋅=++=因为2211()1111111222)2(AB BC a b a c b a a ca b b a c b b ⋅=+⋅+-=+⋅+-⋅+⋅+⋅=+-+=--，所以111111cos ,62AB BC AB BC AB BC ⋅<>===所以异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为619．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点．（1）求证：NM ∥平面11A ADD ；（2）求证：NM ⊥平面11A B M ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别是AB 、1C D 的中点，(0M ∴，1，1)，(1N ，1，0)，(1=MN ，0，1)-，平面11A ADD 的法向量可设为(0n =，1，0)，∴0=MN n ，MN ⊂/平面11A ADD ，MN ∴平面11A ADD ．（2）1(1A ，0，2)，1(1B ，2，2)，11(0A B =，2，0)，1(1A M =-，1，1)-， 11·0MN AB ∴=，1·0MN AM =， 11MN A B ∴⊥，1MN A M ⊥， 1111A B A M A ⋂=，NM ∴⊥平面11A B M ．20．如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AC BD ⊥，1BC =，14A D A A ==.（1）证明：面1ACD ⊥面1BB D ；（2）求二面角11B AC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）63. 【解析】（1）证明：1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴1AC BB ⊥. 又∵AC BD ⊥，且1BB BD B ⋂=，1,BD BB ⊂平面1BB D ， ∴AC ⊥平面1BB D . 又∵AC ⊂平面1ACD ， ∴面1ACD ⊥面1BB D .（2）易知AB 、AD 、1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系，设AB t =，则相关各点的坐标为()0,0,0A ，(),0,0B t ，()1,0,4B t ，(),1,0C t ， ()1,1,4C t ，()0,4,0D ，()10,4,4D .从而(),1,0AC t =，(),4,0BD t =-. ∵AC BD ⊥，∴2400AC BD t ⋅=-++= 解之得2t =或2t =-（舍去）.()10,4,4AD =，()2,1,0AC =设()1,,n x y z =是平面1ACD 的一个法向量，则11100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20440x y y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则()11,2,2n =-.同理可求面1ACB 的法向量为()22,4,1n =-.∴12122cos 63||||3n n n n θ⋅-===⋅.又∵二面角11B AC D --是锐二面角， ∴二面角11B AC D --21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB DC ，E 为线段PD 的中点，已知2PA AB AD CD ====，120PAD ∠=︒．（1）证明：直线//PB 平面ACE ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）证明：连接BD 交AC 于点H ，连接HE//AB DC ,AB CD =,四边形ABCD 是平行四边形，H ∴是AC 中点，又E 为线段PD 的中点，//B HE P ,又HE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE∴ 直线//PB 平面ACE（2）AB ⊥平面PAD ,作Ax AP ⊥,建立如图所示空间直角坐标系A xyz -由已知2PA AB AD CD ====，120PAD ∠=︒ 得(0,0,2)B ,(0,2,0)P,1,0)D -,1,2)C -(0,2,2)PB =-- , (3,3,0)PD =- (0,0,2)CD =-设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =·0·0n CD n PD ⎧=⎨=⎩ , 200Z y -=⎧⎪-=，不妨取(1,3,0)n =2cos ,422PB n PBn PB n-∴<>===⨯所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为422．如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=︒，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE与平面BEF 所成二面角的正弦值；（3）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF ，求线段AP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2；（3）3【解析】（1）证明：四边形EDCF 为矩形，DE CD ∴⊥，又平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF⋂平面ABCD CD =，ED ∴⊥平面ABCD ．取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(1A ，0，0)，(1B ，2，0)，(1C -，2，0)，(0E ，0，2)，(1F -，2，2)，设平面ABE 的法向量(,,)m x y z =，(1,2,2)BE =--，(0,2,0)AB =，由·220·20m BE x y z m AB y ⎧=--+=⎨==⎩，取1z =，得(2,0,1)m =，又(1,2,2)DF =-，∴2020DF m =-++=，则DF m ⊥，又DF ⊂/平面ABE ，//DF ∴平面ABE ；（2）解：设平面BEF 的法向量111(,,)n x y z =，(1,2,2)BE =--，(1,2,0)EF =-，由11111·220·20n BE x y z n EF x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩，取11y =，可得(2,1,2)n =，42cos ,||||35m n m n m n +∴<>===，5sin ,5m n ∴<>=，即平面ABE 与平面BEF ；（3）解：点P 在线段EF 上，设EP EF λ=，[0λ∈，1]，∴(1AP AE EF λ=+=-，0，2)(1λ+-，2，0)(1λ=--，2λ，2)，又平面BEF 的法向量(2,1,2)n =，设直线AP 与平面BEF 所成角为θ，∴|||2(1sin |cos ,|||||3(AP n AP n AP n θλ-=<>===-，24518110λλ∴+-=，即(31)(1511)0λλ-+=，[0λ∈，1]，∴13λ=．∴4(3AP =-，23，2)，则||(AP =-，AP ∴．《第一章空间向量与立体几何》单元检测试卷（二）一、选择题1．在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（）323向量()()(,1,1,b 1,,1,c 2,4,2a x y ===-且,//c a c b ⊥，则b a +=（）3．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（）4．空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（）5．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（）．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=1MN = 6.（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45︒B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥二、填空题7．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，则直线1D E 与1A D 所成角的大小是__________，若1D E EC ⊥，则AE =__________．8．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直.若点C 到9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段11A B ，AB 的中点，O 为四棱锥11E C D DC -的外接球的球心，点M ，N 分别是直线1DD ，EF 上的动点，记直线OC 与MN 所成的角为θ，则当θ最小时，tan θ=__________.10．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定题序号都填上）三、解答题, ,为的中点，为的中点，以A 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：（1）证明：直线；（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（3）求点B 到平面OCD 的距离.为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；答案解析一、选择题1．在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（）A ．1223EF AC AB AD →→→→=+-B ．112223EF AC AB AD →→→→=--+OA ABCD ⊥底面2OA =M OA N BC MN OCD平面‖C ．112223EF AC AB AD →→→→=-+D ．112223EF AC AB AD →→→→=-+-【答案】B【解析】在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，所以EF EB BA AF →→→→=++1223AB AC AB AD →→→→⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭112223AC AB AD →→→=--+，即112223EF AC AB AD →→→→=--+.故选：B.2.设,x y R ∈，向量()()(),1,1,b 1,,1,c 2,4,2,a x y ===-且,//c a c b ⊥，则b a +=（）A ．BC ．3D ．4【答案】D 【解析】(),241,2,1,21b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-，,,a b ⊥()214+20,a b x ∴⋅=+⋅-=1x ∴=,()()1,112,1,2a a b ∴=∴+=-，(223a b ∴+=+=,故选C. 3．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（）A B ．2C ．3λ D 【答案】D【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1）， 1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1），设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则1·20·20n ED x z n EF y ⎧=-+=⎨==⎩，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d＝255EM nn==，N 为EM 中点，所以N 到该面的距，选D ．4．空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（） A ．2γβα≤≤B ．2γβα≤≤ C ．2γαβ≤≤D ．2γαβ≤≤【答案】A【解析】因为空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，所以可将其放在矩形中进行研究，如图，绘出一个矩形，并以A 点为原点构建空间直角坐标系：因为::1:3:1AC AB BD =，所以可设AC x =，3AB x =，BD x =，则()0,0,0A ，0,3,0B x ，0,0,C x ，,3,0D x x ，,3,CD x x x ，0,3,0AB x ，0,3,CBx x ，故CD 与AB 所成的角α的余弦值229311cos α11113CD AB x CD ABx x，因为根据矩形的性质易知平面ABD ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，所以二面角C ABD --的平面角为γ90，γ452，γ2cos22，所以BCD ∠即CD 与面ABC 所成的角β，故110cos β11CD CB CD CB，因为311211112，所以2γβα≤≤，故选：A.5．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为ABC ∆的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC【解析】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+，22AD AB AC AD ∴-=- ，2BD DC ∴=，3BD BD DC ∴=+即3BD BC =，故A 正确；对于B ，若Q 为ABC ∆的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ ∴+++=，3PQ PA PB PC ∴=++即111333PQ PA PB PC =++，故B 正确；对于C ，若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则PA BC PC AB ⋅=⋅，0PA BC PC AB ∴⋅+⋅=，()0PA BC PC AC CB ∴⋅+⋅+= 0PA BC PC AC PC CB ∴⋅+⋅+⋅=，0PA BC PC AC PC BC ∴⋅+⋅-⋅=()0PA PC BC PC AC ∴-⋅+⋅=，0CA BC PC AC ∴⋅+⋅=0AC CB PC AC ∴⋅+⋅=，()0AC CB PC ∴⋅+=0AC PB ∴⋅=故C 正确；对于D ，()()111222MN PN PM PB PC PA PB PC PA =-=+-=+-12MN PA PB PC ∴=--，222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PB PC --=++-⋅-⋅+⋅===2MN ∴=，故D 错误.故选：ABC6.（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45︒B ．存在某个位置，使得PB CD ⊥C ．当二面角P BD C --的大小为90︒时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC 【答案】BC 【解析】如图所示：对A ，取BD 的中点O ，连结OP ，OC ，则当60POC ∠=时，PC 与平面BCD 所成的最大角为60︒，故A 错误；对B ，当PD PC =时，取CD 的中点N ，可得,,CD PN CD BN ⊥⊥所以CD ⊥平面PBN ，所以PB CD ⊥，故B 正确；对C ，当二面角P BD C --的大小为90时，所以90∠=POC ，所以PO OC ==所以PC =故C 正确；对D ，因为BN =所以如果B 到平面PDC ，则BN ⊥平面PCD ，则2,1,1PB BN PN DN ====，所以PD =D 错误；故选：BC.二、填空题7．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，则直线1D E 与1A D 所成角的大小是__________，若1D E EC ⊥，则AE =__________．【答案】90； 1【解析】长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，又11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动则D （0，0，0），D 1（0，0，1），A （1，0，0），A 1（1，0，1），C （0，2，0），设E （1，m ，0），0≤m≤2，则1D E =（1，m ，﹣1），1A D =（﹣1，0，﹣1）， ∴1D E •1A D =﹣1+0+1=0，∴直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是90°． ∵1D E =（1，m ，﹣1），EC =（﹣1，2﹣m ，0），D 1E ⊥EC ，∴1D EEC =﹣1+m （2﹣m ）+0=0，解得m=1，∴AE=1．故答案为900，1．8．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直.若点C 到平面11AB D，则直线1B D 与平面11AB D 所成角的余弦值为______.【解析】如图，连接11A C 交11B D 于O 点，过点C 作CH AO ⊥于H ，则CH ⊥平面11AB D ，则CH =，设1AA a =，则AO CO ==AC =得1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯a =以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -.则(A ，()12,0,0B ，()10,2,0D，(D ，(10,2,AD =-，(12,0,AB =-，(1B D =-，设平面11AB D 的法向量为(),,n x y z =，则1100n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令x，得()2,2,1n =.11110cos ,10B D n B D n B D n⋅==1B D 与平面1111D C B A所成的角的余弦值为.9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段11A B ，AB 的中点，O 为四棱锥11E C D DC -的外接球的球心，点M ，N 分别是直线1DD ，EF 上的动点，记直线OC 与MN 所成的角为θ，则当θ最小时，tan θ=__________. 【答案】42【解析】如图，设,P Q 分别为棱CD 和11C D 的中点，则四棱锥11E C D DC -的外接球即为三棱柱11DFC D EC -的外接球，因为三棱柱11DFC D EC -为直三棱柱，所以其外接球球心O 为上、下底面三角形外心G 和H 连线的中点，由题意，MN 是平面1DD EF 内的一条动直线，所以θ最小是直线OC 与平面1DD EF 所成角，即问题转化为求直线OC 与平面1DD EF 所成角的正切值，不妨设正方体的棱长为2，2EQ =，1ED =,因为11EC D △为等腰三角形，所以11EC D △外接圆的直径为11152sin 2ED GE EC D ===∠,则54GE =，从而53244GQ PH =-==，如图，以D 为原点，以1,,DA DC DD 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()0,2,0C ，()2,1,0F ，3,1,14O ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,2DD ∴=，()2,1,0DF =，设平面1DD EF 的一个法向量为(),,n x y z =，则12020n DD z n DF x y ⎧⋅==⎨⋅=+=⎩，令1x =，则()1,2,0n =-，因为3,1,14OC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以sin cos ,n OC θ===10．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定值；④CE PE +的最小值为其中正确命题的序号是__________.（将你认为正确的命题序号都填上）【答案】①③④【解析】如图所示：以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,1P ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,,0E y ，则()1,0,1BP =-，()1,2,0CE y =--，cos ,2BP CE BP CE BP CE⋅==≤⋅2y =时等号成立，此时,4BP CE π=，故直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45，①正确；()()1,,01,2,121BE PC y y ⋅=-⋅-=-，当12y =时，BE PC ⊥，②错误；将四棱锥放入对应的长方体中，则球心为体对角线交点，1111112323226BCE E BCO OBCE AP V V S --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，③正确；如图所示：将平面ABCD 以AD 为轴旋转到平面PAD 内形成平面''AB C D ，则''CE PE C E PE PC +=+≥=='PEC 共线时等号成立，④正确.故答案为：①③④.三、解答题11.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，,, ,为的中点，为的中点，以A 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：（1）证明：直线；（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；O ABCD -ABCD 4ABC π∠=OA ABCD ⊥底面2OA =M OA N BC MN OCD平面‖（3）求点B 到平面OCD 的距离.【解析】作于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为轴建立坐标系, (1)设平面OCD 的法向量为,则即取解得(2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为(3)设点B 到平面OCD 的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,AP CD ⊥,,x yz (0,0,0),(1,0,0),(0,((0,0,2),(0,0,1),(122244A B P D O M N -2222(1,,1),(0,,2),(2)44222MN OP OD =--=-=--(,,)n x y z =0,0n OP n OD ==2022022y z x y z -=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩z =(0,4,2)n =22(1,,1)(0,4,2)044MN n =--=∵MN OCD ∴平面‖AB MD θ(1,0,0),(1)2AB MD ==--∵1cos ,23AB MDAB MD πθθ===⋅∴∴AB MD 3πd d OB (0,4,2)n =由 , 得.所以点B 到平面OCD 的距离为12.在三棱锥A —BCD 中，已知,BD=2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO=2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF=14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sinθ的值．【解析】（1）连,CO BC CD BO OD CO BD ==∴⊥以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -∴(1,0,2),(1,1,1)cos ,15AB DE AB DE ∴=-=∴<>==- 从而直线AB 与DE 所成角的余弦值为15（2）设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =(1,0,2)OB =-23OB n d n⋅==2311200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩令112,1(2,1,1)y x z n =∴=-=∴=- 设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩令111272,5(2,7,5)yx z n =-∴==∴=-12cos ,n n ∴<>==，因此sin 13θ==.《第一章空间向量与立体几何》单元检测试卷（三）一、单选题1．空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．无法确定2．如图，在平行六面体中，为与的交点若，，，则下列向量中与相等的向量是（）111ABCD A B C D -M AC BD 11A B a =11A D b =1A A c =1B MA ．B ．C ．D ． 3．已知向量，.若向量与向量平行，则实数的值是（） A ．2B ．C ．10D ．4．如图，已知正方体ABCD ﹣A'B'C'D'中，E 是CC'的中点，，，，x y z ，则（）A ．x ＝1，y ＝2，z ＝3B ．x ，y ＝1，z ＝1C ．x ＝1，y ＝2，z ＝2D ．x ，y ＝1，z5．正方体不在同一侧面上的两顶点，，则正方体外接球体积是（） A ．B ．C ．D ．6．已知，若点D 是AC 中点，则( ) A ．2B ．C ．-3D ．67．平行六面体中，，则实数x ，y ，z 的值分别为( ) A ． B ．C ．D ．8．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（）1122a b c -++1122a b c ++1122a b c -+1122a b c --+()0,1,1a =()1,2,1b =-a b +()2,,4c m =--m2-10-1'2a AA =12b AB =13c AD =AE =a +b +c 12=12=32=(1,2,1)A--(1,0,1)B323π4π(1,2,3),OA =(2,2,1),OB =-(1,1,2)OC =BC OD ⋅=32-1111ABCD A B C D -12,AM MC =1AM xAB yAD zAA =++1,32,3232,31,3232,32,3132,31,223111ABC A B C -1160BAA CAA ︒∠=∠=1AB 1BCABCD ．9．如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为A ．B ．C ．D ．10．在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为（）A ．BCD ．二、多选题11．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（）A ．B ．C ．是平面ABCD 的一个法向量D ．12．在正方体中，，分别是和的中点，则下列结论正确的是( )6111ABC A B C -1AA ⊥ABC 13AA =2AB AC BC ===1AA 11AB C 3045︒60︒90︒(1,6),(3,8)A B --x 60︒,A B ()2,4,1AB =--()4,2,0AD =()1,2,1AP =--AP AB ⊥⊥AP AD AP //AP BD 1111ABCD A B C D -E F 11A D 11C DA ．平面B ．平面C ．D ．点与点到平面的距离相等 13．在正三棱柱中，所有棱长为1，又与交于点，则（）A ．=B ．C ．三棱锥的体积为D ．与平面BB′C′C 所成的角为三、填空题14．已知向量2，，x ，，且，则x 的值为______． 15．若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为________.16．如图所示，在正方体中，M 为棱的中点，则异面线与AM 所成角的余弦值为________.17．如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，分别为的中点，则直线与平面所成角的正切值为________；异面直线与所成角的余弦值是________．11//A C CEF 1B D ⊥CEF 112DA DD C DC E =+-D 1B CEF ABC A B C '''-BC 'B C 'O AO 111222AB AC AA '++AO B C '⊥A BB O '-24AO π6(3,a =-5)(1,b =1)-8a b ⋅=(2,1,2)a =-(4,2,)b m =-a b m 1111ABCD A B C D -1CC 1BD ABCD ADPQ ,,M E F ,,PQ AB BC ME ABCD EMAF四、解答题18．如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线AE 和平面OBC 的所成角.19．如图，在长方体中，，，点、分别为、的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．20．如下图所示，在四棱锥中，底面四边形，四边形是直角梯形，且，，点是棱的中点，是上的点，且.O ABC -OA OB OC ，，1OA =2OB OC ==EOC BEAC S OABC -SO ⊥OABC OABC 90COA OAB ∠=∠=︒1,4OA OS AB OC ====M SB N OC :1:3ON NC =(1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求与平面所成的角的正弦值．21．如图，在正方体中，分别是的中点。

《空间向量与立体几何》章末复习

[例 3] 已知空间四边形 OABC，M段 MN 上，且MGNG＝2，设O→G＝
xO→A＋yO→B＋zO→C，则 x、y、z 的值分别是
()
A．x＝13，y＝13，z＝13
B．x＝13，y＝13，z＝16
C．x＝13，y＝16，z＝13
D．x＝16，y＝13，z＝13
从而F→E＝(－a3，b3，3c)，A→C1＝(－a，b，c)， ∴F→E＝13A→C1. 又 FE 与 AC1 不共线，所以直线 EF∥AC1.
(2)∵D1(0,0，c)，B1(a，b，c)，A1(a,0，c)，B(a，b,0)， ∴D→1B1＝(a，b,0)，A→1B＝(0，b，－c)． ∵EF 是两异面直线 B1D1，A1B 的公垂线， ∴FF→ →EE··DA→→11BB＝1＝00，，
2 a·2 a
因此，二面角
M－BN－C
的大小为
π－arccos
3 3.
[例7] 如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA ＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点．
(1)求直线AO1与B1E所成角的大小； (2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．
[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系． (1)由题设知，A(2,0,0)，O1(0,0,2)， B1(2,3,2)，E(1,3,0)
∴E→F与D→B成的角为3π ∴EF 与平面 ACC1A1 所成的角为6π.
[例6] 如图所示，已知ABCD是正方形，过A作AP⊥平面ABCD，，且AP＝AB＝a，M，N分别为BP、AC的中点．
(1)求证MN⊥CD； (2)求二面角M－BN－C的大小．
[解析] (1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(a,0,0)，D(0，a,0)，P(0,0，a)，C(a，a,0)， M(a2，0，a2)，N(a2，a2，0)

2022-2023学年人教版高二数学复习精练第一章空间向量与立体几何-综合检测(培优版)(解析版)

第一章空间向量与立体几何本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．下列四个结论正确的是（）A ．任意向量,a b ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =B ．若空间中点O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，则A ，B ，C 三点共线C ．空间中任意向量,,a b c 都满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D ．已知向量()()1,1,,2,,4a x b x ==-，若25x <，则,a b 为钝角【答案】B【解析】0a b ⋅=则0a =或0b =或0,0a b ≠≠，a b ⊥，故A 错误；若空间中点O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，即()()1233OC OA OB OC -=-，所以1233AC CB =，化简得：2AC CB =，则A ，B ，C 三点共线，B 正确；设()()()1,1,1,2,2,1a b c ===。

则不满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，C 错误；()()1,1,,2,,4a x b x ==-，则()()1,1,2,,42452a b x x x x x ⋅=⋅-=-++=-，令520x -<得：25x <，当1124xx ==-时，2x =-，此时,a b 反向，要想,a b 为钝角，则25x <且2x ≠-，故D 错误. 故选：B2．直角梯形ABCD 中，,4,2,,AB DC AB CD AD BC AB E ===⊥∥是边AB 的中点，将三角形ADE 沿DE 折叠到1A DE 位置，使得二面角1A DE B --的大小为120，则异面直线1A D 与CE 所成角的余弦值为（）A ．14B C D ．34【答案】D建如图所示空间直角坐标系，得)11,0A -，()()()0,0,2,0,0,0,0,2,2D E C ，所以()()13,1,2,0,2,2A D EC =-=，所以11123cos ,48A D EC A D EC A D EC⋅+===. 故选：D3．如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN =（）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．221332a b c +-【答案】B【解析】1121132322MN MA AB BN OA OB OA BC OA OB OC OB =++=+-+=-++-211322OA OB OC =-++，又OA a =，OB b =，OC c =，∴211322MN a b c =-++,故选：B ．4．以下四组向量在同一平面的是（） A ．()1,1,0、()0,1,1、()1,0,1B ．()3,0,0、()1,1,2、()2,2,4C ．()1,2,3、()1,3,2、()2,3,1D ．()1,0,0、()0,0,2、()0,3,0【答案】B对于A 选项，设()()()1,1,00,1,11,0,1m n =+，所以，110n m m n =⎧⎪=⎨⎪+=⎩，无解；对于B 选项，因为()()()2,2,403,0,021,1,2=⋅+，故B 选项中的三个向量共面；对于C 选项，设()()()1,2,31,3,22,3,1x y =+，所以，2133223x y x y x y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，无解；对于D 选项，设()()()1,0,00,0,20,3,0a b =+，所以，013020b a =⎧⎪=⎨⎪=⎩，矛盾.故选：B.5．如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且14OG OG =，则（）A ．1111666OG OA OB OC =++B ．1OG =111121212OA OB OC ++ C ．1OG =111181818OA OB OC ++ D ．1OG =111888OA OB OC ++【答案】B【解析】连接AG 并延长交BC 于N ，连接ON ，由G 是ABC 的重心，可得23AG AN =，()12ON OB OC =+则()()2221112=3332333AG AN ON OA OB OC OA OB OC OA ⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦ 则()1111112444333OG OG OA AG OA OB OC OA ⎛⎫==+=++- ⎪⎝⎭111121212OA OB OC =++故选：B6．设P ABC -是正三棱锥，G 是ABC 的重心，D 是PG 上的一点，且PD DG =，若PD x yPB z PA PC =++，则(),,x y z 为（）A ．512,,633⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．111,,666⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．111,,633⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．111,,363⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为三棱锥P ABC -是正三棱锥，G 是ABC 的重心，所以1111112()()3333333AG AB AC PB PA PC PA PB PC PA =+=-+-=+-，因为D 是PG 上的一点，且PD DG =，所以12PD PG =，因为PG PA AG =+，所以111222PD PG PA AG ==+ 1111222333PA PB PC PA ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭11112663PA PB PC PA =++-111666PA PB PC =++, 因为PD x yPB z PA PC =++，所以16x y z ===，所以(),,x y z 为111,,666⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：B7．已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为CD ，CB 的中点，分别沿AE ，AF 将三角形ADE ，ABF 折起，使得点B ，D 恰好重合，记为点P ，则AC 与平面PCE 所成角等于（）A ．6πB ．4π C ．3πD ．512π 【答案】A【解析】由题意得,PA PF PA PE ⊥⊥，因为正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为CD ，CB 的中点，所以1PE PF CE CF ====，所以222222EF CE CF PE PF =+==+，所以PE PF ⊥所以P A ，PE ，PF 三线互相垂直，故以PE ，PF ，P A 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0P ，()1,0,0E ，()0,0,2A ，()0,1,0F ，设(),,C x y z ，则(,,2),(1,,),(,1,)AC x y z EC x y z FC x y z =-=-=-由AC =1EC =，1FC =，得222222222(2)8,(1)1,(1)1x y z x y z x y z ++-=-++=+-+=，解得222,,333C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则222,,,(1,0,0)333PC PE ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z =，则22203330n PC x y z n PE x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩，令1z =，则()0,1,1n =，因为228,,333AC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以AC 与平面PCE 所成角的正弦值1cos ,22n AC n AC n AC⋅===，因为AC 与平面PCE 所成角为锐角，所以AC 与平面PCE 所成角为6π，故选：A8．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线1AB 与1CD 所成角的余弦值为（）A ．45B ．35C ．34D ．23【答案】A【解析】设上底面圆心为1O ，下底面圆心为O ，连接1,,OO OC OB 以O 为原点，分别以1,,OC OB OO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系则11(1,0,0),(0,2,0),(0,1,2),(2,0,2),C A B D 则11(1,0,2),(0,1,2)CD AB ==- 1111114cos ,55CD AB CD AB CD AB ⋅===⋅又异面直线所成角的范围为π(0,2⎤⎥⎦故异面直线1AB 与1CD 所成角的余弦值为45故选：A一、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上（含端点），则下列结论正确的有（）A ．当P 为1BD中点时，APC ∠为锐角B ．存在点P ，使得1BD ⊥平面APCC ．AP PC +的最小值D ．顶点B 到平面APC 【答案】ABD【解析】：如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系，设()101BP BD λλ=≤≤，则()()()()11,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,2A B C D ，则()11,1,2BD =--，故()1,,2BP BD λλλλ==--，则()()()0,1,0,,2,1,2AP AB BP λλλλλλ=+=+--=--，()()()1,0,0,,21,,2CP CB BP λλλλλλ=+=+--=--，对于A ，当P 为1BD 中点时，则11,,122AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,122CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则11,,122PA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11,,122PC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1cos 03PA PC APC PA PC⋅∠==>⋅，所以APC ∠为锐角，故A 正确；当1BD ⊥平面APC ，因为,AP CP ⊂平面APC ，所以11,BD AP BD CP ⊥⊥，则11140140BD AP BD CP λλλλλλ⎧⋅=+-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，解得16λ=，故存在点P ，使得1BD ⊥平面APC ，故B 正确；对于C ，当11,BD AP BD CP ⊥⊥时，AP PC +取得最小值，由B 得，此时16λ=，则151,,663AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，511,,663CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以306AP CP ==即AP PC +C 错误；对于D ，()()0,1,0,1,1,0AB AC =-，设平面APC 的法向量(),,n x y z =，则有()0120n AC x y n AP x z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩，可取()2,2,21n λλλ-，则点B 到平面APC 的距离为cos ,12AB n AB AB n nλ⋅⋅==当0λ=时，点B 到平面APC 的距离为0，当01λ<≤时，==≤，当且仅当12λ=时，取等号，所以点B 到平面APC，故D 正确. 故选：ABD.10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M ，N 分别是CD ，11A B ，1DD ，BC 的中点，则下列说法正确的有（）A ．E ，F ，M ，N 四点共面B ．BD 与EF 所成的角为3πC ．在线段BD 上存在点P ，使1PC ⊥平面EFMD ．在线段1A B 上任取点Q ，三棱锥Q EFM -的体积不变【答案】ABD【解析】以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴、 y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设2AB =，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，()10,2,2C ，()0,1,0E ，()2,1,2F ，()0,0,1M ，()1,2,0N ，设DE xDF yDM zDN =++，则()()()()0,1,02,1,20,0,11,2,0x y z =++，所以20,21,20,x z x z x y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得1,32,32,3x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩故1x y z ++=，即E ，F ，M ，N 四点共面，选项A 正确；因为()2,2,0DB =．()2,0,2EF =，所以1cos ,28DB EF DB EF DB EF⋅===⋅，所以BD 与EF 所成的角为3π，选项B 正确；假设在线段BD 上存在点P ，符合题意.设()01DP DB λλ=≤≤，则()1112,22,2PC DC DP DC DB λλλ=-=-=--，若1PC ⊥平面EFM ，则10PC ME ⋅=，10PC MF ⋅=．因为()0,1,1ME =-，()2,1,1MF =，所以2220,42220,λλλ--=⎧⎨-+-+=⎩，此方程组无解，所以在线段BD 上不存在点P ，使1PC ⊥平面EFM ，选项C 错误；因为()10,2,22A B ME =-=，所以1A B ME ∥，又1A B ⊄平面EFM ，ME ⊂平面EFM ，所以1A B ∥平面EFM ，故1A B 上的所有点到平面EFM 的距离均相等，即在线段1A B 上任取点Q ，三棱锥Q EFM -的体积不变，选项D 正确．故选：ABD11．关于空间向量，下列说法正确的是（）A ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则l m ⊥B ．直线l 的方向向量为()0,1,1a =--，平面α的法向量为()0,1,1b =，则l α∥C ．平面α，β的法向量分别为()1,1,2a =-，11,0,2b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则αβ∥D ．若对空间内任意一点O ，都有111236OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面【答案】AD【解析】对于A ，直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2110a b ⋅=--=，则l m ⊥，故正确对于B ，直线l 的方向向量为()0,1,1a =--，平面α的法向量为()0,1,1b =，所以a b =-，则l α⊥，故错误；对于C ，平面α，β的法向量分别为()1,1,2a =-，11,0,2b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()11,0,1,1,21102⎛⎫⋅=⨯-=-+= ⎪⎝⎭a b ，a b ⊥，则αβ⊥，故错误；对于D ，111236OP OA OB OC =++，得1111236++=，则P ，A ，B ，C 四点共面，故正确.故选：AD.12．已知点P 为正方体1111ABCD A B C D -内及表面一点，若AP BD ⊥，则（） A ．若//DP 平面1AB C 时，则点P 位于正方体的表面 B ．若点P 位于正方体的表面，则三棱锥C APD -的体积不变 C ．存在点P ，使得BP ⊥平面11B CDD ．AP ，CD 的夹角π3π,24⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】AD【解析】：在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD ⊥，1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又AP BD ⊥，所以点P 在平面11ACC A 上（包括边界），又11//DA CB ，1DA ⊄平面1AB C ，1CB ⊂平面1AB C ，所以1//DA 平面1AB C ，同理可得11//A C 平面1AB C ，1111AC A D A ⋂=，111,A C A D ⊂平面11AC D ，所以平面11//AC D 平面1AB C ，因为//DP 平面1AB C ，D ∈平面11AC D ，所以DP ⊂平面11AC D ，又平面11AC D ⋂平面1111ACC A C A =，所以11P C A ∈，即P 位于正方体的表面，故A 正确；对于B ，设P 到平面ADC 的距离为h ，则13C APD P ACD ADCV V Sh --==⋅显然当11P C A ∈和1P AA ∈（不包括1A 点）时h 不一样，则三棱锥C APD -的体积不一样，故B 错误；如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为1，则()1,0,0A ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，()10,1,1C ，所以()11,1,1AC =-，()10,1,1CD =-，()11,0,1CB =，所以110AC CD ⋅=，110AC CB ⋅=，即11AC CD ⊥，11AC CB ⊥， 11CD CB C ⋂=，11,CD CB ⊂平面11B CD ，所以1AC ⊥平面11B CD ，若BP ⊥平面11B CD ，则1//BP AC ，显然在平面11ACC A 上（包括边界）不存在点P ，使得1//BP AC ，故C 错误；因为设(),,P x y z ，()1,,AP x y z =-，()1,1,0DB =，所以10AP DB x y ⋅=-+=，即1y x =-，又()0,1,0CD =-，所以AP CD y ⋅=-，1CD =，(AP x =，设所以AP，CD的夹角为θ，则cos θ==当0y =时cos 0θ=，2πθ=，当0y ≠时cos θ=222z y⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭≥ 所以0<≤，所以cos 0θ≤<，因为[]0,θπ∈，所以3,24ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上可得3,24ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确；故选：AD三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知梯形ABCD 和矩形CDEF ．在平面图形中，112AB AD DE CD ====，CD AE ⊥．现将矩形CDEF 沿CD 进行如图所示的翻折，满足面ABCD 垂直于面CDEF ．设2EN NC =，EP PB μ=，若AP ∥面DBN ，则实数μ的值为______．【答案】3【解析】易得,CD DE CD DA ⊥⊥，又面ABCD ⊥面CDEF ，面ABCD面CDEF EF =，又AD ⊂面ABCD ，则AD ⊥面CDEF ，又DE ⊂面CDEF ，则AD DE ⊥，以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,1,1,0,1,0,0,0,0,10,2,0D B A E C ，又()2212410,,333333DN DE EN DE EC DE DC DE DE DC ⎛⎫=+=+=+-=+= ⎪⎝⎭，同理可得11,,111111DP DE EP DE EB DE DB μμμμμμμμμμ⎛⎫=+=+=+= ⎪++++++⎝⎭，设面DBN 的法向量为(),,n x y z =，则041033n DB x y n DN y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =，则()1,1,4n =--，又11,,111AP AD DP μμμμ⎛⎫=+=- ⎪+++⎝⎭，又AP ∥面DBN ，则140111AP n μμμμ⋅=+-=+++，解得3μ=. 故答案为：3.14．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，AB =N 为侧面11BCC B 上一动点（不含边界），且满足1D N CN ⊥.记直线1D N 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的取值范围为_________.【答案】13,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析：建立如图所示空间直角坐标系：则()()10,0,4,0,3,0D C ，设(),3,N x z ，所以()()1,3,4,,0,D N x z CN x z =-=，因为1D N CN ⊥，所以22140D N CN x z z ⋅=+-=，则224x z z =-+，因为0x <2043z z <-+<，解得01z <<或34z <<，易知平面11BCC B 的一个法向量为()0,1,0n =，所以11sin D N n D N nx θ⋅===⋅则cos ,tan θθ==所以tan θ=∈13,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：13,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.15．如图，锐二面角l αβ--的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC BD ==，CD =则锐二面角l αβ--的平面角的余弦值是___________.【答案】23【解析】设锐二面角l αβ--的平面角为θ，AC CD B A BD =-++，则2222222=36+16+3672cos =40AC AB BD AC AB AC BD A C B D D B θ=++-⋅-⋅+⋅-，则2cos 3θ=.故答案为：2316．如图，棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点(不含端点)，有下列结论：∴平面A 1D 1P ∴平面A 1AP ；∴多面体1D CDP -的体积为定值； ∴直线D 1P 与BC 所成的角可能为3π； ∴APD 1能是钝角三角形.其中结论正确的序号是___________(填上所有序号). 【答案】∴∴∴【解析】对于∴，正方体1111ABCD A B C D -中，111A D AA ⊥，11A D AB ⊥，1AA AB A =，11A D ∴⊥平面1A AP ，11A D ⊥平面11D A P ，∴平面11D A P ⊥平面1A AP ，故∴正确；对于∴，1111122CDD S=⨯⨯=，P 到平面1CDD 的距离1BC =， ∴三棱锥1D CDP -的体积：111111326D CDP P CDD V V --==⨯⨯=，为定值，故∴正确；对于∴，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，1(0D ，0，1)，(1,1,0)B ，(0C ，1，0)，设(1P ，a ，)b ，(01,01)a b <<<<，1(1D P =，a ，1)b -，(1,0,0)BC =-，1cos D P <，110||||1D P BC BC D P BC >==<，12=-，所以22(1)3a b +-=， 01a <<，01b <<，所以22(1)3a b +-<，所以假设不成立，故∴错误；对于∴，见上图，由题得1(1,0,0),(0,0,1)A D ,设(1,,1),(01)P y y y -<<，所以1(0,,1),(1,,)PA y y PD y y =--+=--，所以21112(21)cos ,||||||||y y y yPA PD PA PD PA PD --<>==，当102y <<时，1cos ,0PA PD <><，即1APD ∠是钝角.此时APD 1是钝角三角形. 故∴正确. 故答案为：∴∴∴四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）如图，在圆锥PO 中，已知2,PO O =的直径2AB =，点C 是AB 的中点，点D 为AC 中点.(1)证明：AC ⊥平面POD ；(2)求二面角A PC B --的正弦值. 【答案】(1)证明见解析【解析】(1)连接OC ，如图所示：因为,OA OC D =为AC 的中点，所以AC OD ⊥. 又PO ⊥底面,O AC ⊂底面O ，所以AC PO ⊥.因为,OD PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD (2)以O 为坐标原点，,,OB OC OP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则()()()()1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,2A B C P -.()()()1,0,2,0,1,2,1,1,0AP CP BC ==-=-设平面APC 的一个法向量为()1111,,x n y z =，则有1100n AP n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11112020x z y z +=⎧⎨-+=⎩，令11z =，则112,2x y =-=，所以()12,2,1n =-设平面BPC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则有2200n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222020x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令22y =，则222,1x z ==，所以()22,2,1n = 所以1212121cos ,94n n n nn n ⋅===.所以12sin ,1n n =故二面角A PC B -- 18（12分）如图所示，1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体.(1)设11BAC △的重心为O ，求证：直线OD ⊥平面11BA C ；(2)设E ､F 分别是棱AD ､11D C 上的点，且1DED F a ==，M 为棱AB 的中点，若异面直线DM 与EF a 的值. 【答案】(1)证明见解析；．【解析】【分析】 (1)设1111AC B D N =，连接1DB ，首先1DD ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，则111DD AC ⊥，又1111B D A C ⊥，1111DD B D D =，111,DD B D ⊂平面11BDD B ，所以11A C ⊥平面11BDD B ，而1B D ⊂平面11BDD B ，所以111AC B D ⊥，同理11A B B D ⊥，1111A C A B A =，111,A C A B ⊂平面11A BC ，所以1B D ⊥平面11A BC ，连接BN 交1B D 于O ，因为11DA DB DC ==，所以O 是等边11A BC 的中心也是重心，所以DO ⊥平面11A BC ，(2)如图，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(,0,0)E a ，1(1,,0)2M ，(0,,1)F a ，1(1,,0)2DM =，(,,1)EF a a =-，由题意cos ,1DM EF DM EF DM EF⋅<>===解得：a =． 19（12分）如图，在四棱锥P −ABCD 中，平面P AD ∴平面ABCD ，点E 为PC 的中点，AB ∴CD ，CD ∴AD ，CD ＝2AB ＝2，P A ＝AD ＝1，P A ∴AD ．(1)证明：BE ∴平面PCD ；(2)求二面角P −BD −E 的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)13【解析】(1)证明：取PD 的中点F ，连接AF ，EF ，则//EF CD ，12EF CD =．又//AB CD ，12AB CD =，所以//EF AB ，EF AB =，所以四边形ABEF 为平行四边形，所以//AF BE ．因为1PA AD ==，PF FD =，所以AF PD ⊥．所以BE PD ⊥．．．．．．因为平面P AD ∴平面ABCD ，PA AD ⊥，所以P A ∴平面ABCD ，所以PA AB ⊥，．．．．．．所以PB BC ==又点E 为PC 的中点，所以BE PC ⊥．．．．．又PC PD D ⋂=，所以BE ∴平面PCD ． (2)以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），P （0，0，1），B （1，0，0），D （0，1，0），C （2，1，0），E （1，12，12）．．．．．．于是()()111,0,1,1,1,0,0,,22PB BD BE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭设平面PBD 的法向量为()1111,,n x y z =，则110n PB n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得11110x z x y -=⎧⎨-+=⎩．取11x =．得()11,1,1n =…………设平面EBD 的法向量为()2222,n x y z =，则2200n BE n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2222110220y z x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩取21x =．得()21,1,1n =-．…………所以1212121cos ,3n n n n n n ⋅〈==〉，所以二面角P −BD −E 的余弦值为13.20（12分）如图（1），在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC⊥，且122BC CD AB ===，取AB 的中点O ，连结OD ，并将AOD △沿着OD 翻折，翻折后AC =,M N 分别是线段,ADAB 的中点，如图（2）.(1)求证：AC OM ⊥；(2)求平面OMN 与平面OBCD 夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析【解析】(1)连接OC ，//ABCD ，AB BC ⊥，122BC CD AB ===，O 为AB 中点， ∴四边形ODCB 为正方形，OC ∴=，翻折后，AC =((2222222OA OC AC ∴+=+==，OA OC ∴⊥；又OA OD ⊥，OC OD O =，,OC OD ⊂平面OCD ，OA ∴⊥平面OCD ，CD ⊂平面OCD ，OA CD ∴⊥，又CD OD ⊥，OA OD O =，,OA OD ⊂平面OAD ，CD平面OAD ，OM ⊂平面OAD ，CD OM ∴⊥；OA OD =，M 为AD 中点，OM AD ∴⊥，又CDAD D =，,CD AD ⊂平面ACD ，OM ∴⊥平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，AC OM ∴⊥. (2)以O 为坐标原点，,,OD OB OA 正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,1M ，()0,1,1N ，()1,0,1OM ∴=，()0,1,1ON =；z 轴⊥平面OBCD ，∴平面OBCD 的一个法向量()0,0,1m =；设平面OMN 的法向量(),,n x y z =，则00OM n x z ON n y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1x =，解得：1y =，1z =-，()1,1,1n ∴=-；1cos ,3m n m n m n⋅∴<>==⋅即平面OMN 与平面OBCD 21（12分）在四棱锥P ABCD -中，已知侧面PCD 为正三角形，底面ABCD 为直角梯形，AB CD ，90ADC ∠=︒，3AB AD ==，4CD =，点M ，N 分别在线段AB 和PD 上，且2AM DNMB NP==． (1)求证：//PM 平面ACN ；(2)设二面角P CD A --大小为θ，若cos 3θ=，求直线AC 和平面PAB 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)5 【解析】(1)连接MD ，交AC 于点E ，连接NE ；2AM MB =，223AM AB ∴==，//AB CD ，12AM ME CD DE ∴==，又2DN NP =，ME PN DE DN ∴=，//NE PM ∴，又NE ⊂平面ACN ，PM ⊄平面ACN ，//PM ∴平面ACN .(2)取CD 中点F ，连接,PF MF ；作PO MF ⊥，垂足为O ；PCD 为正三角形，PF CD ∴⊥；2AM DF ==，//AM DF ，∴四边形AMFD 为平行四边形，//AD FM ∴，又90ADC ∠=，CD FM ∴⊥，又PF FM F =，,PF FM ⊂平面PFM ， CD 平面PFM ；PO ⊂平面PFM ，CD PO ∴⊥，又PO FM ⊥，CD FM F =，,CD FM ⊂平面ABCD ，PO ∴⊥平面ABCD ；作//OG CD ，交BC 于点G ，则OG FM ⊥，以O 为坐标原点，,,OM OG OP 正方向为,,x y z 轴，可建立如下图所示空间直角坐标系，PF CD ⊥，MF CD ⊥，PFO ∴∠即为二面角P CD A --的平面角，又PF =cos PFO ∠=cos 2OF PF PFO ∴=∠=，OP ∴=则(P ，()2,2,0C -，()1,2,0A -，()1,1,0B ，()3,4,0AC ∴=-，(AP =-，(1,BP =--，设平面PAB 的法向量(),,n x y z =，则200AP n x y BP n x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1z =，解得：x =0y =，()22,0,1n ∴=；设直线AC 和平面PAB 所成角为θ，62sin cos ,535AC n AC n AC n θ⋅∴=<>===⨯⋅，故直线AC 和平面PAB 22．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，DA ⊥平面PAB ，E 是DA 的中点．(1)若PB 的中点是M ，求证：//EM 平面PCD ；(2)若,2,⊥===PA PB PA AD AB PCE 与平面PAB 所成二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析【解析】(1)如图所示：取PC 的中点F ，连接EM ，DF ，FM ，因为四边形ABCD 为矩形，E 是AD 的中点，所以1,//2DE BC DE BC =，1,//2=FM BC FM BC ，所以,//DE FM DE FM =，所以四边形DEMF 是平行四边形，所以//EM DF ，又EM ⊄平面PCD ，DF ⊂平面PCD ，所以//EM 平面PCD .(2)由AD ⊥平面PAB ，PA PB ⊥，建立如图所示空间直角坐标系，则()()()0,0,0,0,2,1,2,0,2P E C ，所以 ()()0,2,1,2,0,2PE PC ==，设平面PCE 的一个法向量为 (),,n x y z =，则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩P P n n E C ，即 20220y z x z +=⎧⎨+=⎩，令 1z =，得11,,12n ⎫⎛=-- ⎪⎝⎭，易知平面P AB 的一个法向量为 ()0,0,1m =，则 12cos ,31⋅==⋅+n mn m n m ，设平面PCE 与平面PAB 所成二面角为()0,πθθ⎡⎤∈⎣⎦，所以5sin ,3n m θ==.。

人教A版高中数学选修1章末检测1第一章空间向量与立体几何

第一章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在空间直角坐标系中，点P (－2，1，4)关于x 轴的对称点的坐标是( ) A ．(－2，－1，－4) B ．(－2，1，－4) C ．(2，－1，4) D ．(2，1，－4)【答案】A【解析】关于x 轴对称的点横坐标相等，纵坐标和竖坐标相反．故选A ． 2．已知a ＝(1，2，－y )，b ＝(x ，1，2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( ) A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14D ．x ＝1，y ＝－1 【答案】B【解析】由题意可得，a ＋2b ＝(1＋2x ，4，4－y )，2a －b ＝(2－x ，3，－2y －2)．∵(a ＋2b )∥(2a －b )，∴∃λ∈R ，使a ＋2b ＝λ(2a －b )，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x ＝λ（2－x ），4＝3λ，4－y ＝λ（－2y －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，x ＝12，y ＝－4.故选B ． 3．已知空间三点O (0，0，0)，A (－1，1，0)，B (0，1，1)，在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为( )A ．(－2，2，0)B ．(2，－2，0)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，0【答案】C【解析】由OA →＝(－1，1，0)，且点H 在直线OA 上，可设H (－λ，λ，0)，则BH →＝(－λ，λ－1，－1)．又因为BH ⊥OA ，所以BH →·OA →＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1，1，0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝12，所以H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0． 4．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB 1→，AD 1→，BD →是( )A ．有相同起点的向量B ．等长的向量C ．不共面向量D ．共面向量【答案】D【解析】因为AD 1→－AB 1→＝B 1D 1→＝BD →，所以AB 1→，AD 1→，BD →共面．5．已知E ，F 分别是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1的中点，则截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的正弦值是( )A ．23B ．23C ．53D ．233【答案】C【解析】以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，D 1(0，0，1)，所以AD 1→＝(－1，0，1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，0．设平面AEFD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD 1→＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x 2＋y ＝0，所以x ＝2y ＝z ．取y ＝1，则n ＝(2，1，2)．而平面ABCD 的一个法向量u ＝(0，0，1)，因为cos 〈n ，u 〉＝23，所以sin 〈n ，u 〉＝53．6．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1．若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，则x ＋y ＋z ＝( )A ．－1B ．0C ．13D ．1【答案】C【解析】因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13，所以x ＋y ＋z ＝13．7．在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a|－|b|＝|a ＋b|是a ，b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ⑤|(a ·b )·c|＝|a|·|b|·|c|． A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【答案】B【解析】①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知，正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．8．如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为( )A ．15B ．25C ．55D ．255【答案】C【解析】如图，建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (0，1，0)，P (0，0，2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，所以PA →＝(0，0，－2)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，DF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1．设n ＝(x ，y ，z )是平面DEF 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·DF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12y ＝0，－12x ＋12y ＋8＝0，取x ＝2，则z ＝1，y ＝0，所以n ＝(2，0，1)是平面DEF 的一个法向量．设直线PA 与平面DEF 所成的角为θ，所以sin θ＝|cos 〈PA →，n 〉|＝22×5＝55．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列各选项中，不正确的是( )A ．若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0B ．对于非零向量a ，b ，〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉相等C ．若AB →，CD →共线，则AB ∥CDD ．对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面【答案】BCD【解析】显然A 正确；若a ，b 为非零向量，则〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉互补，故B 错误；若AB →，CD →共线，则直线AB ，CD 可能重合，故C 错误；只有当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点才共面，故D 错误．10．若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式的结果为零向量的是( ) A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC → B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC → C ．AB →＋CA →＋BD → D ．AB →－CB →＋CD →－AD →【答案】BD【解析】A 中，原式＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →，不符合题意；B 中，原式＝2(AB →＋BC →＋CD →＋DA →)＋(AC →＋CD →＋DA →)＝0；C 中，原式＝CD →，不符合题意；D 中，原式＝(AB →－AD →)＋(CD →－CB →)＝0．11．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的中心为O ，则在下列各结论中正确的有( )A ．OA →＋OD →与OB ′→＋OC ′→是一对相反向量 B ．OB →－OC →与OA ′→－OD ′→是一对相反向量C ．OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA ′→＋OB ′→＋OC ′→＋OD ′→是一对相反向量 D ．OA ′→－OA →与OC →－OC ′→是一对相反向量【答案】ACD【解析】如图，A 中，OA →＝－OC ′→，OD →＝－OB ′→，所以OA →＋OD →＝－(OB ′→＋OC ′→)，是一对相反向量；B 中，OB →－OC →＝CB →，OA ′→－OD ′→＝D ′A ′→，而CB →＝D ′A ′→，故不是相反向量；C 中，同A 也是正确的；D 中，OA ′→－OA →＝AA ′→，OC →－OC ′→＝C ′C →＝－AA ′→，是一对相反向量．12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为26的正三角形，底面ABCD 为矩形，CD ＝23，点Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC 所成角的余弦值为223C ．三棱锥B －ACQ 的体积为6 2D ．四棱锥Q －ABCD 外接球的内接正四面体的表面积为24 3 【答案】BD【解析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接OE ，OP ，因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD ．因为AD ⊥OE ，所以OD ，OE ，OP 两两垂直，如图，以O 为坐标原点，OD ，OE ，OP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，D (6，0，0)，A (－6，0，0)，P (0，0，32)，C (6，23，0)，B (－6，23，0)．因为点Q 是PD 的中点，所以Q ⎝⎛⎭⎪⎫62，0，322，平面PAD 的一个法向量m ＝(0，1，0)，QC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62，23，－322，显然m 与QC →不共线，所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；PC →＝(6，23，－32)，AQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫362，0，322，AC →＝(26，23，0)，设平面AQC 的法向量n＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·AQ →＝362x ＋322z ＝0，n ·AC →＝26x ＋23y ＝0，令x ＝1，则y ＝－2，z ＝－3，所以n ＝(1，－2，－3)，设PC 与平面AQC 所成角为θ，则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·PC→|n ||PC →|＝2666＝13，所以cos θ＝223，所以B 正确；三棱锥B －ACQ 的体积为V B －ACQ ＝V Q －ABC ＝13S △ABC ·12OP ＝13×12×23×26×12×32＝6，所以C 不正确；设四棱锥Q －ABCD 外接球的球心为M (0，3，a )，则MQ＝MD ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫622＋(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3222＝()62＋()32＋a 2，解得a ＝0，即M (0，3，0)为矩形ABCD 对角线的交点，所以四棱锥Q －ABCD 外接球的半径为3，设四棱锥Q －ABCD 外接球的内接正四面体的棱长为x ，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为22x ，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫22x 2＝62，得x 2＝24，所以正四面体的表面积为4×34x 2＝243，所以D 正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2021年潮州模拟)由空间向量a ＝(1，2，3)，b ＝(1，－1，1)构成向量集合A ＝{x |x ＝a ＋k b ，k ∈Z }，则向量x 的模|x |的最小值为________．【答案】13【解析】因为a ＝(1，2，3)，b ＝(1，－1，1)，所以x ＝a ＋k b ＝(1＋k ，2－k ，3＋k )，所以|x |＝（1＋k ）2＋（2－k ）2＋（3＋k ）2＝14＋4k ＋3k 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋232＋383．因为k ∈Z ，所以k ＝－1时，|x |的值最小，最小值为13．14．下列命题：①已知λ∈R ，则|λa |＝λ|a |；②在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BC →＝B 1C 1→；③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．其中正确的命题的序号是________．【答案】②③【解析】①|λa |＝|λ||a |，故①错误；②正确；③若两个平面垂直，则它们的法向量一定垂直，若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直，故③正确．15．如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，则x ＋y ＝________．【答案】－1【解析】AE →＝OE →－OA →＝12OC →－OA →＝12(OB →＋BC →)－OA →＝12(OB →＋AD →)－OA →＝12(OB →＋OD →－OA →)－OA→＝－32OA →＋12OB →＋12OD →，所以x ＝12，y ＝－32．所以x ＋y ＝－1．16．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动，则直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是________；若D 1E ⊥EC ，则AE ＝________．【答案】90° 1【解析】在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，如图，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，又因为AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，则D (0，0，0)，D 1(0，0，1), A (1，0，0)，A 1(1，0，1)，C (0，2，0)，设E (1，m ，0)，0≤m ≤2，则D 1E →＝(1，m ，－1)，A 1D →＝(－1，0，－1)，所以D 1E →·A 1D →＝－1＋0＋1＝0，所以直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是90°．因为D 1E →＝(1，m ，－1)，EC →＝(－1，2－m ，0)，D 1E ⊥EC, 所以D 1E →·EC→＝－1＋m (2－m )＋0＝0，解得m ＝1，所以AE ＝1．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知向量a ＝(1，－3，2)，b ＝(－2，1，1)，点A (－3，－1，4)，B (－2，－2，2)．(1)求|2a ＋b|；(2)在直线AB 上是否存在一点E ，使得OE →⊥b (O 为原点)? 解：(1)因为a ＝(1，－3，2)，b ＝(－2，1，1)，所以2a ＋b ＝(0，－5，5)．所以|2a ＋b |＝02＋（－5）2＋52＝52． (2)假设存在点E ，其坐标为E (x ，y ，z )，则AE →＝λAB →，即(x ＋3，y ＋1，z －4)＝λ(1，－1，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ－3，y ＝－λ－1，z ＝－2λ＋4，所以E (λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，所以OE →＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)．又因为b ＝(－2，1，1)，OE →⊥b ，所以OE →·b ＝－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝－5λ＋9＝0，所以λ＝95，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－145，25．所以在直线AB 上存在点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－145，25，使OE →⊥b ．18．(12分)已知空间三点A (1，2，3)，B (2，－1，5)，C (3，2，－5)，试求： (1)△ABC 的面积； (2)△ABC 的AB 边上的高．解：(1)AB →＝(2，－1，5)－(1，2，3)＝(1，－3，2)， AC →＝(3，2，－5)－(1，2，3)＝(2，0，－8)， AB →·AC →＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，|AB →|＝14，|AC →|＝217，cos 〈AB →，AC →〉＝－1414×217＝－734，sin 〈AB →，AC →〉＝2734， S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝1214×217×2734＝321． (2)|AB →|＝14，设AB 边上的高为h ，则12|AB |·h ＝S △ABC ＝321，所以h ＝36． 19．(12分)如图，在三棱锥S －ABC 中，侧面SAC 与底面ABC 垂直，E ，O 分别是SC ，AC 的中点，且SA ＝SC ＝2，BC ＝12AC ，∠ASC ＝∠ACB ＝90°．(1)求证：OE ∥平面SAB ；(2)若点F 在线段BC 上，问：无论点F 在BC 的何处，是否都有OE ⊥SF ？请证明你的结论．(1)证明：因为E ，O 分别是SC ，AC 的中点，所以OE ∥SA ．又因为OE ⊄平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，所以OE ∥平面SAB ．(2)解：方法一，在△SAC 中，因为OE ∥AS ，∠ASC ＝90°，所以OE ⊥SC ．又因为平面SAC ⊥平面ABC ，∠BCA ＝90°，BC ⊂平面SAC ，所以BC ⊥平面SAC ．又因为OE ⊂平面SAC ，所以BC ⊥OE ．因为SC ∩BC ＝C ，所以OE ⊥平面BSC ．又因为SF ⊂平面BSC ，所以OE ⊥SF ．所以无论点F 在BC 的何处，都有OE ⊥SF ．方法二，连接SO ．因为O 是AC 的中点，SA ＝SC ，所以SO ⊥AC ．又因为平面SAC ⊥平面ABC ，所以SO ⊥平面ABC ．同理可得BC ⊥平面SAC ．如图，在平面ABC 内，过点O 作OM ⊥AC ，以O 为原点，OM ，OC ，OS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则点O (0，0，0)，A (0，－1，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，S (0，0，1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，12，OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12．由于点F ∈BC ，故可设点F (x ，1，0)，则SF →＝(x ，1，－1)，SF →·OE →＝0恒成立，所以无论点F 在BC 的何处，都有OE ⊥SF ．20．(12分)在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝22，∠ABC ＝90°，如图1把△ABD 沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD (如图2)．(1)求证：CD ⊥AB ．(2)若点M 为线段BC 的中点，求点M 到平面ACD 的距离．(3)在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°？若存在，求出BN BC的值；若不存在，说明理由．(1)证明：由已知条件可得BD ＝2，CD ＝2，CD ⊥BD ．因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以CD ⊥平面ABD ．又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD ⊥AB ．(2)解：如图，以点D 为原点，DB 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，由已知可得A (1，0，1)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (0，0，0)，M (1，1，0)，所以CD →＝(0，－2，0)，AD →＝(－1，0，－1)，MC →＝(－1，1，0)．设平面ACD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则CD →⊥n ，AD →⊥n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＝0，－x －z ＝0，令x ＝1，得平面ACD 的一个法向量n ＝(1，0，－1)，所以点M 到平面ACD 的距离d ＝|n ·MC →||n |＝22．(3)解：假设在线段BC 上存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°，设BN →＝λBC →，0≤λ≤1，则N (2－2λ，2λ，0)，所以AN →＝(1－2λ，2λ，－1)．又因为平面ACD 的一个法向量n ＝(1，0，－1)，且直线AN 与平面ACD 所成角为60°，所以sin60°＝|AN →·n ||AN →||n |＝32，可得8λ2＋2λ－1＝0，所以λ＝14或λ＝－12(舍去)．综上，在线段BC 上存在点N ，使AN 与平面ACD 所成角为60°，此时BN BC ＝14． 21．(12分)如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝2．(1)求线段BC 1的长度；(2)求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．解：(1)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，0，0)，B (2，4，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，所以DC →＝(0，2，0)，BC 1→＝(－2，－2，2)，|DC →|＝2，|BC 1→|＝4＋4＋4＝23．(2)由(1)可知，DC →＝(0，2，0)，BC 1→＝(－2，－2，2)，所以cos 〈DC →，BC 1→〉＝DC →·BC 1→|DC →||BC 1→|＝－42×23＝－13＝－33．所以异面直线BC 1与DC 所成的角的余弦值为33．22．(12分)如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB ︵的中点，D为AC 的中点．(1)求证：平面POD ⊥平面PAC ；(2)求二面角B －PA －C 的余弦值．解：如图，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (－1，0，0)，B (1，0，0)，C (0，1，0)，P (0，0，2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0． (1)证明：设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面POD 的一个法向量，则由n 1·OD →＝0，n 1·OP →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－12x 1＋12y 1＝0，2z 1＝0.所以z 1＝0，x 1＝y 1，取y 1＝1，得n 1＝(1，1，0)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面PAC 的一个法向量，则由n 2·PA →＝0，n 2·PC →＝0，得⎩⎨⎧－x 2－2z 2＝0，y 2－2z 2＝0.所以x 2＝－2z 2，y 2＝2z 2，取z 2＝1，得n 2＝(－2，2，1)．因为n 1·n 2＝(1，1，0)·(－2，2，1)＝0，所以n 1⊥n 2，从而平面POD ⊥平面PAC ．(2)因为y 轴⊥平面PAB ，所以平面PAB 的一个法向量n 3＝(0，1，0)．由(1)知，平面PAC 的一个法向量n 2＝(－2，2，1)．设向量n 2和n 3的夹角为θ，则cos θ＝n 2·n 3|n 2||n 3|＝25＝105．由图可知，二面角B －PA －C 的平面角为锐角，所以二面角B －PA －C 的余弦值为105．。

空间向量与立体几何章末检测

章末质量检测(一) 空间向量与立体几何考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1，5，2)关于xOy 坐标平面的对称点为( )A ．(－1，5，2)B ．(1，－5，2)C ．(1，5，－2)D ．(－1，－5，－2)2．已知三维数组a ＝(2，－1，0)，b ＝(1，k ，7)，且a ⊥b ，则实数k 的值为( )A ．－2B ．2C ．27D ．－9 3．平面α的一个法向量n ＝(2，0，1)，点A (－1，2，1)在α内，则点P (1，2，3)到平面α的距离为( )A ．22B ．322C ．655D ．310104.在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为棱CC 1的中点．若AB → ＝a ，AD → ＝b ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝c ，则AM → 等于( )A ．a ＋b ＋12 cB ．a －b ＋12c C ．12 a ＋12 b ＋12 c D ．12 a －12 b ＋12c 5．空间三点A (0，1，0)，B (2，2，0)，C (－1，3，1)，则( )A ．AB → 与AC → 是共线向量 B ．AB → 的单位向量是(1，1，0)C ．AB → 与BC → 夹角的余弦值为5511D ．平面ABC 的一个法向量是(1，－2，5) 6．已知向量a ＝(1，0，1)，b ＝(－2，2，1)，c ＝(3，4，z )，若a ，b ，c 共面，则z 等于( )A ．－9B ．－5C ．5D ．97．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2 ，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则PC 与平面ABCD 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°8．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．在堑堵ABC A 1B 1C 1中，若AC ＝BC ＝1，AA 1＝2，点P 为线段BA 1的中点，则点P 到平面A 1B 1C 的距离为( )A ．3B ．1C ．23D ．13二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．下列空间向量为单位向量且与x 轴垂直的有( )A ．a ＝(1，0，0)B ．b ＝(0，0，1)C ．c ＝(0，22 ，22 )D ．d ＝(0，12 ，12) 10．给出下列命题，其中不正确的有( )A ．若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角B ．若AB → ＋CD → ＝0，则AB → 与CD → 一定共线C ．若AB → ＝CD → ，则AB 与CD 为同一线段D ．非零向量a 、b 、c 满足a 与b ，b 与c ，c 与a 都是共面向量，则a 、b 、c 必共面11．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P (1，1，1)，A (1，0，1)，B (0，1，0)，则下列说法正确的是( )A ．点P 关于yOz 平面对称的点的坐标为(－1，1，1)B ．若平面α的法向量n ＝(2，－2，2)，则直线AB ∥平面αC ．若P A → ，PB → 分别为平面α，β的法向量，则平面α⊥平面βD ．点P 到直线AB 的距离为6312．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1和C 1D 1的中点，则下列结论错误的是( )A ．A 1C 1∥平面CEFB ．B 1D ⊥平面CEFC ．CE → ＝12DA → ＋DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ －DC → D ．点D 与点B 1到平面CEF 的距离相等三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)13．已知向量a ＝(1，－2，3)，b ＝(λ－1，3－λ，－6)，若a ∥b ，则实数λ＝________．14．如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角为________． 14题图15题图16题图15．如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，且A 1A ＝3，则A 1C 的长为________．16．如图，在棱长都为1的平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB → ，AD → ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 两两夹角均为π3，则AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD → ＝________；请选择该平行六面体的三个顶点，使得经过这三个顶点的平面与直线AC 1垂直．这三个顶点可以是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知空间三点A (2，0，－2)，B (1，－1，－2)，C (3，0，－4).(1)求向量AB → 与AC → 夹角θ的余弦值；(2)求向量AB → 在向量AC → 上的投影向量a .18.(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB → ＝a ，AC → ＝b ，AA 1＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量MN → ；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．19.(本小题满分12分)如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别为AB ，BC ，BB 1的中点．(1)求证：平面A 1DC 1∥平面EFG ；(2)求平面A 1DC 1与平面EFG 间的距离．20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，P A ＝AB ＝1.(1)求证：AE ⊥平面PCD ；(2)求直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值．21．(本小题满分12分)如图所示，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1上靠近点A 1的三等分点．(1)若F 为BB 1的中点，试在A 1B 1上找一点P ，使PF ∥平面CD 1E ；(2)若四边形ABCD 是正方形，且BB 1与平面CD 1E 所成角的正弦值为37，求二面角E D 1C D 的余弦值．22.(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDEF 中，平面ACEF ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AD ＝2，AB ＝BC ＝1.(1)求证：CD ⊥AF ；(2)若四边形ACEF 为矩形，且∠EDC ＝30°，求直线DF 与平面DCE 所成角的正弦值；(3)若四边形ACEF 为正方形，在线段AF 上是否存在点P ，使得二面角P BD A 的余弦值为23？若存在，请求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由．。

(完整word版)空间向量与立体几何测试题及答案

高中数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题一、选择题1 •若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（）A. —个圆 E. —个点 C.半圆 D.平行四边形答案：A2 .在长方体 ABCD -ABQD i 中，下列关于 AG 的表达中错误的一个是（）答案：E3.若a , b, c 为任意向量， A. (a 亠b ) c =a - (b c )B. (a 亠b )・c =a ・c b-cC.m(a 亠 b ) =m a 亠 m bD. (a ・b )・c=a ・( b-c ) 答案：D1A. 1B. -1C.丄D -22答案：BA.B. AB DD^ De lC. AD CC 1 DC 1D.1(AB i CD i ) - AC im R ，下列等式不一定成立的是（4.若三点A B , e 共线,P 为空间任意一点, 且 PA 叱iPB = 1 PC ,^y - 的值为5. 设 a =(x,4,3), b= (3,2, z)，且 a II b , A. -4 B. 9 C. -9答案：B6 . 已知非零向量 e b e 2不共线，如果A B, C , D ( )A. 一定共圆则四点亠A DB.恰是空间四边形的四个顶点心C. 一定共面D. 肯定不共面答案：C则xz 等于（AB = e AC =2 e 2 8 e AD =3 e -3 e 2,答案：B则x, y , z 的值分别为( )9 .若向量a =(1, ,2)与b= (2, -1,2)的夹角的余弦值为答案：c答案：D12.给出下列命题：① 已知 a _b ，则 a-(b c ) c-(b a ) =b c ；② A, B, M , N 为空间四点，若BA,B M ,BN 不构成空间的一个基底，那么A , B, M , N 共面; ③ 已知a_b ，则a , b 与任何向量都不构成空间的一个基底; ④ 若a, b 共线，则a, 正确的结论的个数为(A. 1B. 2 答案：C 二、填空题13.已知 a =(3,15), b = (1,2,3)，向量 c 与 z 轴垂直，且满足 c-a = 9, c-b - -4，则 c =7.如图1空间四边形 ABCD 的四条边及对角线长都是a ,点E , F , G 分别是AB, AD , CD 的中点，贝U a 2等于() B. 2AD-BD C. 2FG-CAD. 8 .右 a = e e 2 - e 3, b =e ^ - e 2 ■ e 3, c =e<i • e 2 — e 3,d =e 2 e 2 3 e ，且 d = x a y b z c ,1.1,2 5 厶D1 - 1「25 /1 - 1「2 5 ~1 - 2-A. 2B. -2C.-2或—55D. 2 或-5510 •已知ABCD 为平行四边形，且A(413),A. -,4,12答案：DB. (2,4,1) 11 .在正万体 ABCD - A| B 1C 1D 1 中,A. 60°B. 90°B(2,— 5,1), C(3,7, -5)，则顶点D 的坐标为(C. (24,1)D. (513, -3)O 为AC , BD 的交点，则 C品C. arccos ——3GO 与AD 所成角的(D. arccos ——6b 所在直线或者平行或者重合.)D. 4A. 2EF-CB答案：22, -21 , 0 5 514.已知A B, C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量 ■ OC 确5 3 定的点P 与A, B, C 共面，那么，二 ____________ . 答案：-1515.已知线段 AB_面〉，BC 二卅，CD _BC , DF _ 面〉于点 F , / DCF =30°，且 D , A 在平面:-的同侧，若 AB =BC 二CD =2，则AD 的长为 ____________________ . 答案：2 216.在长方体ABCD —ABQ i D i 中，BQ 和CQ 与底面所成的角分别为 60°和45°,则异面直线BC 和CQ 所成角的余弦值为 _____________________ . 答案：—4 三、解答题17 .设 a t =2i - j +K 逊=i +3 j -2 k 爲=-2 i + j 弋 k a =3 i +2 j +5 k,试问是否存在实数-,7，使a 4 a 「；［_a 2 •a 3成立？如果存在，求出 \ ;如果不存在，请写出证明.答案：解：假设a 4 = ■ a^ ''a 2亠、.①成立. •- a 1 =(2, -1,1), a 2 =(13, -2), a 3 =(-21,3), a^(3,2,5), ••• (2 •-2、，-，3二朕:，• -2」- 3、)=(3,2,5).◎人+4-2v=3, j\ = -2, •. -2,解得」=1,■ -2」-3.. =5,- -3.所以存在，=-2, " =1 , v = -3 使得 a 4 = -2a 1 a 2 -3a 3. 理由即为解答过程.18 .如图2,正三棱柱AB^ -A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为所成的角.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0, 0, B(0 , a , 0, A (0,0, V2a) , C 「一亟 a, - , ,7a2 2 由于n = ( -1,0, 0)是面ABB 1A ］的法向量,1*122a ,求AC 1与侧面ABB 1A\故AC i与侧面ABB i A所成的角为30°.19 •如图3，直三棱柱ABC- ABC中，底面是等腰直角三角形, .ACB 二90°，侧棱AA i =2, D, E分别是CC i与AB的中点，点E在平面ABD上的射影是求点A i到平面AED的距离. △ ABD的重心G ,解：建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=2a ,则A(2a,0,0, B(0,2a,0, D(0,0,1), A(2a,0,2) E(a, a,),-(0 , -2a,1).由GE_BD=GE・BD=0,得a=1,则A i(2,0,2) A(2,0,0) E(1,1,1).自A1作AH —面AED于M，并延长交xOy面于H，设H (x, y,0), —I则AH =(x —2, y, -2).又AD =(-2,0,1) , AE =(—1,1,1).丄AH _AD, —2(x—2)—2=0, x =1, ZR由1得H (1,1,0)."H _ AE -(x -2) y -2 =0 y =1,又AM =A1A90s A1AAM = AA^cos A1AAH =2 —=20.已知正方体ABCD -ABGD1的棱长为2, P, Q分别是BC, CD上的动点，且PQ = . 2 ,确定P, Q的位置，使QB1 _PD . 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设BP =t ,得CQ = 2 -(2 -t)2, DQ =2 - 2 -(2 -t)2.那么B(2,0, 2) D1(0,2,2, P(2 , , 0) Q(2 - 2-(2-t)2,2,0),从而QB =( 2 -(2 -t)2, -2 ,2) , PD1 =(22 -t,2),T —+由QB _ PD = QB^PD t =0 ,即-2 2 -(2 -t)2 -2(2 -t) 4 =0二t =1 .故P, Q分别为BC, CD的中点时，QB i _PD i .21.如图4，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，.ABC=90°,SA_面ABCD ,1SA二AB二BC =1, AD ，求面SCD与面SBA所成二面角的正切2值.解：建立如图所示的空间直角坐标系，(1\则A(0,0,0, B(—1,0,0, C(—1,1,0) D .0, 2 0 , S(0,0,1).延长CD交x轴于点F ,易得F(1,0, 0),作AE _SF于点E ,连结DE ,则ZDEA即为面SCD与面SBA所成二面角的平面角.又由于SA二AF且SA_AF，得E -€5那么从而乩一1,°,」，ED…丄,1,V 2 2 丿V 2 2cos EA, EDEA-ED因此tan EAF , ED 二彳.故面SCD与面SBA所成二面角的正切值为22.平行六面体ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且.GCB =. GCD = BCD ,试问:CD的值为多少时，AQ _面GBD ?请予以证明.当CG解：欲使AQ _面GBD ,只须AC _GD ,且AC _GB .欲证AC丄GD ,只须证CA・CD =0 ,t —t T 即(CA AA)・(CD -CG) =0 ,也就是(CD CB CC)(CD _CCJ =0,|C^2 -|C CJ2+|CB|C D|COS^BCD由于• GCB =/BCD , 显然，当CD |CC1时，上式成立；cos _GCB = 0 .同理可得，当时，AC —GB .CD因此，当时, AC _面G BD ..选择题：(10小题共40分)定共面的是2.直三棱柱 ABC — A B i G 中，若 CA = a, CB = b, CC r = C,则 A )B =3.若向量m 垂直向量a 和b ，向量n = ■ a h ：b(',」：=只且■、，北0)则A. m 〃 nB. m _ nC. mi 不平行于n,m 也不垂直于nD.以上三种情况都可台匕冃匕4.以下四个命题中，正确的是C. (a b)c5.对空间任意两个向量 a,b(b o),a//b 的充要条件是6.已知向量a =(0,2,1),b =(-1,1,-2),则a 与b 的夹角为A B i = a, A i D i = b, A A = c ,则下列向量中与B 1M 相等的是1.已知A B C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点 M 与点A. OM = OA 亠 OB 亠 OCB . OM = 2OA _ OB _ OCC . OM =OA !OB !OC2 3D.OM =1OA 」0B -OC3 3 3A. a b —cB. a — b eC. 一 a b cD. - a b - cA.若00=丄0入+丄0目则P 、 2 3 'A 、E 三点共线 B.设向量｛a,b,c ｝是空间一个基底,c + a ｝构成空间的另一个基底D. △ ABC 是直角三角形的充要条件是 AB AC =0A. a 二 bB. a - -bC. b - ■ aA.0 °B.45C.90o.D.180 °7.在平行六面体 ABCD - A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与 BD 的A. -lalb lc B. la 」b 」c C. 2 2 2 28.已知 a =(• 1,0,2 Jb =(6,2」 -1,2),若a 〃b,则•与•啲值分别为9.已知a =3i 2j - k,b = i - j 2k,则5a 与3b 勺数量积等于10.在棱长为1的正方体ABC —A i B i CD 中，M 和N 分别为AB 和BB 的中点，那么直线CN所成角的余弦值是二.填空题：(4 小题共16分)11.若 A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9) 12.已知 A(0, 2, 3), B(-2 , 1, 6), C( 1, -1 , 5),若|a |二.3,且a _ AB,a _ AC,则向量 a的坐标为13.已知a,b 是空间二向量，若心|=3,闪|=2扁4卜.7,则a 与b 的夹角为 14.已知点 G 是厶ABC 的重心，O 是空间任一点，若 OA • OB • OC 」OG,贝，的值三.解答题：(10+8+12+14=44 分)15. 如图：ABCD 为矩形，PAL 平面 ABCD PA=AD M N 分别是PC AB 中点,16. 一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是300,求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小B.5, 2D.-5 , -2-b c 2A.-15B.-5C.-3D.-1AM 与2 B.-5C.35 D 」10三点共线，则 m+n= (1)求证：MN L 平面PCD (2)求NM 与平面 ABCD 所成的角的大小•17. 正四棱锥S—ABCD中，所有棱长都是2, P为SA的中点，如图(1) 求二面角B—SC- D的大小；(2)求DP与SC所成的角的大小18. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ ABC中，CA=CB=1 / BCA=90，棱AA=2, M N分别是A1B1, AA的中点；(1)求BN的长;⑵求cos ：：： BA1,CB1的值;⑶求证：AB _CM•(4)求CB与平面AABB所成的角的余弦值高中数学选修2-1测试题（10）—空间向量⑴参考答案DDBB DCDA AB 11.0 12.(1 ,1 , 1) 13.60 0 14.315.(1) 略⑵45 016.45 0 17.(1) 1 3⑵18.(1) 3 (2) ■ 30(3) 略(4) 3 1010 1018.如图，建立空间直角坐标系O—xyz. (1 )依题意得B ( 0, 1, 0)、N( 1, 0, 1) •••I BN |= .(1 一0)2(0 一1)2 (1 - 0)2「3.(2) 依题意得A1 (1, 0, 2)、B ( 0, 1 , 0)、C (0, 0, 0)、B…BA ={ —1, —1, 2}, CB1 ={0, 1, 2, }, BA| • CB1 =3,BA. CB 11CB 1 |= J5 ••• cos< BA 1 , CB 1 >=(3)证明：依题意，得 G (0, 0, 2)、M( 1,1,2), A 1B ={ - 1 , 1 , 2} , CM,2 2 1 2 2评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识 .考查空间两向量垂直的充要条件——-1 . 30. |BAJ|CB i |102‘20}. • A , B • C 1M =-1 12+ 2+0=0，AB 丄 C 1M ,• AB 丄CM.。

空间向量与立体几何章末复习

空间向量与立体几何章末复习（1.1-1.3节）一、空间向量的线性运算用已知向量表示未知向量的解题策略(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．1．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA →1＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．1，1B ．1，12C .12，12D ．12，12．在空间直角坐标系中，已知A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直3．若{a ，b ，c }是空间的一组基，且向量m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，则可以与m ，n 构成空间的一组基的向量是( )A ．AB ．bC ．CD ．2a4.如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且AP ＝3PN ，ON →＝23OM →，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式成立的是( )A ．OM →＝12b －12cB ．AN →＝13b ＋13c －aC ．AP →＝14b －14c －34aD ．OP →＝14a ＋14b －14c5.如图，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为M ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA→1＝c ，则向量C 1M 可用a ，b ，c 表示为________．6.已知a ，b ，c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |＝____________．二、共线、共面向量定理的应用常用结论1．在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点．2．在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间任意一点．3．若MN →＝xAB →＋yAC →且M 点或N 点不在平面ABC 内，可得MN ∥平面ABC . 1.在空间四边形ABCD 中，BC →＝3BM →，AM →＝－DA →＋13DC →＋λDB →，则λ＝_______．2.O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋t OC →，若P ，A ，B ，C四点共面，则实数t ＝________．3．如图，点M 为OA 的中点，{OA →，OC →，OD →}为空间的一组基，DM →＝xOA →＋yOC →＋zOD →，则有序实数组(x ，y ，z )＝________．4.．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有OD →＝tOA →－3OB →＋OC →，若D ，A ，B ，C 四点共面，则t ＝________．三、空间向量数量积的应用空间向量数量积的三个应用求夹角设向量a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |，进而可求两异面直线所成的角求长度 (距离) 运用公式|a |2＝a ·a ，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计直问题算问题1.若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，且a ，b 的夹角的余弦值为89，则λ等于( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－2552．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，底面ABCD 是正方形，CC 1＝3，CD ＝2，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝60°.则向量A 1C 的模长为( )A ．29B ．29C ．19D ．393．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱A 1B 1的中点，则A 1B 与DE 所成角的余弦值为( )A ．510 B ．26 C ．55 D ．105 4.在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π65.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3 ，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A ．15B ．56C ．55D ．226.已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A.32 B ．155 C ．105 D ．337.已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，2)且DB ⊥AC ，DC ⊥AB ，AD ＝BC ，则点D 的坐标为___________．8.如图所示，已知空间四面体ABCD 的每条棱长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EG →·BD →.变式1．在上例条件下，求证EG ⊥AB . 变式2．在上例条件下，求EG 的长．变式3.在上例条件下，求异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．跟踪训练1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1E ＝14A 1C 1，AE →＝xAA →1＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝1，y ＝13C ．x ＝12，y ＝1D ．x ＝1，y ＝142．已知a ＝(2，1，－3)，b ＝(－1，2，3)，c ＝(7，6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝( )A ．9B ．－9C ．－3D ．33．在正四面体DABC 中，点O 是△ABC 的中心，若DO →＝xDA →＋yDB →＋zDC →，则( ) A ．x ＝y ＝z ＝14B ．x ＝y ＝z ＝13C ．x ＝y ＝z ＝12D ．x ＝y ＝z ＝1D4．已知向量a ，b ，c 两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|a －b ＋2c |＝( ) A ．5 B ．5 C ．6 D ． 65．已知平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′，则下列四式中不正确的是( ) A ．AB →－CB →＝AC → B ．AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→ C ．AA ′→＝CC ′→ D ．AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→ 6．下列说法中正确的是( )A ．|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件B ．若AB →，CD →共线，则AB ∥CDC ．A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝λPB →＋μPC →(PB →，PC →不共线)，则λ＋μ＝1是A ，B ，C 三点共线的充分不必要条件7．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的是( )A ．AC 1＝36B ．AC 1⊥DBC ．向量B 1C 与AA 1的夹角是60°D ．BD 1与AC 所成角的余弦值为638．若空间中三点A ()1，5，－2，B ()2，4，1，C ()p ，3，q 共线，则p ＋q ＝________． 9.如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为________．10.已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是CD ，PC 的中点，并且PA ＝AD ＝1.则在如图所示的空间直角坐标系中，MN ＝________．11.已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP →＝13VC →，VM →＝23VB →VN →＝23VD →.则VA 与平面PMN 的位置关系是________．12.如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：MN ∥平面CDE .答案一、空间向量的线性运算用已知向量表示未知向量的解题策略(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．1．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA →1＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( C )A ．1，1B ．1，12C .12，12D ．12，12．在空间直角坐标系中，已知A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( B )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直3．若{a ，b ，c }是空间的一组基，且向量m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，则可以与m ，n 构成空间的一组基的向量是( C )A ．AB ．bC ．CD ．2a4.如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且AP ＝3PN ，ON →＝23OM →，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式成立的是( B )A ．OM →＝12b －12cB ．AN →＝13b ＋13c －aC ．AP →＝14b －14c －34aD ．OP →＝14a ＋14b －14c5.如图，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为M ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA→1＝c ，则向量C 1M 可用a ，b ，c 表示为___－12a －12b －c _____．6.已知a ，b ，c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |＝___14_________．二、共线、共面向量定理的应用常用结论1．在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点．2．在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间任意一点．3．若MN →＝xAB →＋yAC →且M 点或N 点不在平面ABC 内，可得MN ∥平面ABC . 1.在空间四边形ABCD 中，BC →＝3BM →，AM →＝－DA →＋13DC →＋λDB →，则λ＝___ 23_____．2.O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋t OC →，若P ，A ，B ，C四点共面，则实数t ＝___18_____．3．如图，点M 为OA 的中点，{OA →，OC →，OD →}为空间的一组基，DM →＝xOA →＋yOC →＋zOD →，则有序实数组(x ，y ，z )＝__⎝⎛⎭⎫12，0，－1______．4.．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有OD →＝tOA →－3OB →＋OC →，若D ，A ，B ，C 四点共面，则t ＝____3____．三、空间向量数量积的应用空间向量数量积的三个应用求夹角设向量a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |，进而可求两异面直线所成的角求长度运用公式|a |2＝a ·a ，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算(距离) 问题解决垂直问题利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题1.若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，且a ，b 的夹角的余弦值为89，则λ等于( C )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－2552．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，底面ABCD 是正方形，CC 1＝3，CD ＝2，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝60°.则向量A 1C 的模长为( A )A ．29B ．29C ．19D ．393．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱A 1B 1的中点，则A 1B 与DE 所成角的余弦值为( B )A ．510 B ．26 C ．55 D ．105 4.在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为( D )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π65.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3 ，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( C )A ．15B ．56C ．55D ．226.已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( C )A.32 B ．155 C ．105 D ．337.已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，2)且DB ⊥AC ，DC ⊥AB ，AD ＝BC ，则点D 的坐标为____⎝⎛⎭⎪⎫4＋4109，4＋4109，2＋2109或⎝ ⎛⎭⎪⎫4－4109，4－4109，2－2109________．8.如图所示，已知空间四面体ABCD 的每条棱长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EG →·BD →.设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，EF →·BA →＝⎝⎛⎭⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a ·c ＝14.(2)EG →·BD →＝(EA →＋AD →＋DG →)·(AD →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫－12AB →＋AD →＋AG →－AD →·(AD →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫－12AB →＋12AC →＋12AD →·(AD →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＋12c ·(c －a )＝12(－1×1×12＋1×1×12＋1＋1－1×1×12－1×1×12)＝12. 变式1．在上例条件下，求证EG ⊥AB .证明：由例题知EG →＝12(AC →＋AD →－AB →)＝12(b ＋c －a )，所以EG →·AB →＝12(a ·b ＋a ·c －a 2)＝12⎝⎛⎭⎫1×1×12＋1×1×12－1＝0. 故EG →⊥AB →，即EG ⊥AB .变式2．在上例条件下，求EG 的长．解：由例题知EG →＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12，则|EG →|＝22，即EG 的长为22.变式3．在上例条件下，求异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．解：由例题知AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ，cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.跟踪训练1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1E ＝14A 1C 1，AE →＝xAA →1＋y (AB →＋AD →)，则( D )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝1，y ＝13C ．x ＝12，y ＝1D ．x ＝1，y ＝142．已知a ＝(2，1，－3)，b ＝(－1，2，3)，c ＝(7，6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝( B )A ．9B ．－9C ．－3D ．33．在正四面体DABC 中，点O 是△ABC 的中心，若DO →＝xDA →＋yDB →＋zDC →，则( B ) A ．x ＝y ＝z ＝14B ．x ＝y ＝z ＝13C ．x ＝y ＝z ＝12D ．x ＝y ＝z ＝14．已知向量a ，b ，c 两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|a －b ＋2c |＝( A ) A ．5 B ．5 C ．6 D ． 65．已知平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′，则下列四式中不正确的是( D ) A ．AB →－CB →＝AC → B ．AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→ C ．AA ′→＝CC ′→ D ．AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→ 6．下列说法中正确的是( C )A ．|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件B ．若AB →，CD →共线，则AB ∥CDC ．A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝λPB →＋μPC →(PB →，PC →不共线)，则λ＋μ＝1是A ，B ，C 三点共线的充分不必要条件7．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的是( B )A ．AC 1＝3 6B ．AC 1⊥DBC ．向量B 1C 与AA 1的夹角是60°D ．BD 1与AC 所成角的余弦值为638．若空间中三点A ()1，5，－2，B ()2，4，1，C ()p ，3，q 共线，则p ＋q ＝____7____．9.如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为___0_____．10.已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是CD ，PC 的中点，并且PA ＝AD ＝1.则在如图所示的空间直角坐标系中，MN ＝____22____．11.已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP →＝13VC →，VM →＝23VB → VN →＝23VD →.则VA 与平面PMN 的位置关系是___平行_____． 12..如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：MN ∥平面CDE .证明：因为点M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →. 同理AN →＝13AD →＋13DE →. 所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝⎛⎭⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝⎛⎭⎫13AD →＋13DE →＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →.又CD →与DE →不共线，所以根据向量共面的充要条件可知MN →，CD →，DE →共面．因为MN 不在平面CDE 内，所以MN ∥平面CDE .10．已知a ＝(1，－3，2)，b ＝(－2，1，1)，点A (－3，－1，4)，B (－2，－2，2).(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点)解：(1)2a ＋b ＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2.(2)令AE →＝tAB →(t ∈R )，所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1，4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t ，4－2t )，若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95. 因此存在点E ，使得OE →⊥b ，此时E 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－65，－145，25.。

人教版高中数学选择性必修第一册-第1章-空间向量与立体几何-章末检测卷(含答案)

第一章空间向量与立体几何章末检测卷（原卷版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝()A ．{0}B ．{1}C ．{1，2}D ．{0，1，2}2．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{x |3≤x ≤7，x ∈N }，则∁U A ＝()A ．{1，2}B ．{3，4，5，6，7}C ．{1，3，4，7}D ．{1，4，7}3．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合B 的子集的个数为()A ．3B ．4C ．7D ．84．若存在量词命题“∃x ∈R ，x 2－3x ＋5≤0”，则其否定是()A ．∃x ∈R ，x 2－3x ＋5≥0B ．∃x ∈R ，x 2－3x ＋5>0C ．∀x ∈R ，x 2－3x ＋5≥0D ．∀x ∈R ，x 2－3x ＋5>05．若集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >b ，b ∈R }，则A ⊆B 的一个充分不必要条件是()A ．b ≥2B ．1<b ≤2C ．b ≤1D ．b <16．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，N ＝{x |ax ＝1}，若N ⊆M ，则实数a 的取值集合为()A ．{1}B ．{－1，1}C ．{1，0}D ．{1，－1，0}7．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．1或28．已知条件p ：4x －m <0，q ：1≤3－x ≤4，若p 是q 的一个必要不充分条件，则实数m 的取值范围为()A ．{m |m ≥8}B ．{m |m >8}C ．{m |m >－4}D ．{m |m ≥－4}二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列选项中的两个集合相等的是()A ．P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝2(n ＋1)，n ∈Z }B ．P ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，Q ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N *}C ．P ＝{x |x 2－x ＝0}，Q ＝{xx ＝1＋（－1）n 2，n ∈Z }D ．P ＝{y |y ＝x ＋1}，Q ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}10．对任意实数a ，b ，c ，下列命题是真命题的有()A ．“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件B ．“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件C ．“a <5”是“a <3”的必要条件D ．“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件11．已知集合A ＝{x |x 2＝x }，集合B 中有两个元素，且满足A ∪B ＝{0，1，2}，则集合B 可以是()A ．{0，1}B ．{0，2}C ．{0，3}D ．{1，2}12．我们把含有有限个元素的集合A 叫做有限集，用card(A )表示有限集合A 中元素的个数．例如，A ＝{x ，y ，z }，则card(A )＝3.若非空集合M ，N 满足card(M )＝card(N )，且M ⊆N ，则下列说法正确的是()A ．M ∪N ＝MB ．M ∩N ＝NC ．M ∪N ＝ND ．M ∩N ＝∅三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知集合A ＝{1，3，4，7}，B ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈A }，则集合A ∪B 中元素的个数为________．14．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是___________________________．15．已知集合A ＝{－2，3，4，6}，集合B ＝{3，a ，a 2}，若B ⊆A ，则实数a ＝________；若A ∩B ＝{3，4}，则实数a ＝________．(本题第一空2分，第二空3分)16．若x ∈A ，则1x∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M 1，0，12，2，空子集中“伙伴关系集合”的个数是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知集合U ＝{x |1<x ≤7}，A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3≤x <7}．求(1)A ∩B ；(2)A ∪B ；(3)(∁U A )∩(∁U B )．18．(12分)已知集合P ＝{2，x ，y }，Q ＝{2x ，2，y 2}，且P ＝Q ，求x ，y 的值．19．(12分)写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)存在一个实数x ，使得x 2＋x ＋1≤0.20．(12分)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }．(1)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝{x |1<x <2}，求实数m 的值；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．21．(12分)设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，集合B ＝{x |2m <x <1}．(1)若B ≠∅，且“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若B ∩(∁R A )中只有一个整数，求实数m 的取值范围．22．(12分)在①A ∩B ＝∅，②A ∩(∁R B )＝A ，③A ∩B ＝A 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：已知集合A ＝{x |a －1<x <2a ＋3}，B ＝{x |－7≤x ≤4}，若________，求实数a 的取值范围．1．已知集合A ＝{1，2，3，4，5，6}，则满足B ∪A ＝A 的非空集合B 的个数为()A ．31B ．63C ．64D ．622．设集合A ＝{x |1<x ≤2}，B ＝{x |x <a }，若A ∪B ＝B ，则a 的取值范围是()A ．{a |a ≥1}B ．{a |a ≤1}C ．{a |a ≥2}D ．{a |a >2}3．已知M ＝{x |y ＝x 2－2}，N ＝{y |y ＝x 2－2}，则M ∩N 等于()A ．NB ．MC ．RD ．∅4．已知表示集合A ＝{x |x >－2}和B ＝{x |x <3}关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所表示的集合为()A ．{x |－2<x <3}B ．{x |x ≤－2}C ．{x |x ≥3}D ．{x |x <3}5．已知非空集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．6．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－bx ＋2＝0}，问是否存在实数a，b同时满足B A，A∩C＝C？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由．第一章空间向量与立体几何章末检测卷（解析版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝()A ．{0}B ．{1}C ．{1，2}D ．{0，1，2}答案C解析由题意得A ＝{x |x ≥1}，B ＝{0，1，2}，所以A ∩B ＝{1，2}．故选C.2．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{x |3≤x ≤7，x ∈N }，则∁U A ＝()A ．{1，2}B ．{3，4，5，6，7}C ．{1，3，4，7}D ．{1，4，7}答案A解析由题意知A ＝{3，4，5，6，7}，所以∁U A ＝{1，2}．故选A.3．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合B 的子集的个数为()A ．3B ．4C ．7D ．8答案D解析由题意知，B ＝{0，1，2}，则集合B 的子集的个数为23＝8.故选D.4．若存在量词命题“∃x ∈R ，x 2－3x ＋5≤0”，则其否定是()A ．∃x ∈R ，x 2－3x ＋5≥0B ．∃x ∈R ，x 2－3x ＋5>0C ．∀x ∈R ，x 2－3x ＋5≥0D ．∀x ∈R ，x 2－3x ＋5>0答案D5．若集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >b ，b ∈R }，则A ⊆B 的一个充分不必要条件是()A ．b ≥2B ．1<b ≤2C ．b ≤1D ．b <1答案D解析由A ⊆B 得b ≤1，结合选项知A ⊆B 的一个充分不必要条件为b <1.6．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，N ＝{x |ax ＝1}，若N ⊆M ，则实数a 的取值集合为()A ．{1}B ．{－1，1}C ．{1，0}D ．{1，－1，0}答案D解析由已知得M ＝{－1，1}，当a ＝0时，N ＝∅，满足N ⊆M ；当a ≠0时，由1a ＝－1得a ＝－1，满足条件；由1a＝1得a ＝1，满足条件．所以实数a 的取值集合为{－1，0，1}．故选D.7．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．1或2答案B解析当a ＝1时，B 中元素均为无理数，A ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1，2}，A ∩B ＝{1，2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅.故a 的值为2.故选B.8．已知条件p ：4x －m <0，q ：1≤3－x ≤4，若p 是q 的一个必要不充分条件，则实数m 的取值范围为()A ．{m |m ≥8}B ．{m |m >8}C ．{m |m >－4}D ．{m |m ≥－4}答案B解析由4x －m <0，得x <m 4，由1≤3－x ≤4，得－1≤x ≤2.∵p 是q 的一个必要不充分条件，∴m 4>2，即m >8.故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列选项中的两个集合相等的是()A ．P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝2(n ＋1)，n ∈Z }B ．P ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，Q ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N *}C ．P ＝{x |x 2－x ＝0}，Q ＝{xx ＝1＋（－1）n 2，n ∈Z }D ．P ＝{y |y ＝x ＋1}，Q ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}答案AC解析对于A ，P ，Q 都表示所有偶数组成的集合，所以P ＝Q ；对于B ，P 是由所有正奇数组成的集合，Q 是由所有大于1的正奇数组成的集合，所以P ≠Q ；对于C ，P ＝{0，1}，当n 为奇数时，x ＝1＋（－1）n 2＝0，当n 为偶数时，x ＝1＋（－1）n 2＝1，所以Q ＝{0，1}，P ＝Q ；对于D ，集合P 表示数集，而集合Q 表示点集，所以P ≠Q .故选AC.10．对任意实数a ，b ，c ，下列命题是真命题的有()A ．“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件B ．“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件C ．“a <5”是“a <3”的必要条件D ．“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件答案CD解析对于A ，因为a ＝b 时ac ＝bc 成立，ac ＝bc ，c ＝0时a ＝b 不一定成立，所以“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充分不必要条件，故A 错；对于B ，a ＝－1，b ＝－2时，a >b ，a 2<b 2，a ＝－2，b ＝1时，a 2>b 2，a <b ，所以“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件，故B 错；对于C ，因为“a <3”时一定有“a <5”成立，所以“a <5”是“a <3”的必要条件，故C 正确；对于D ，“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，故D 正确．故选CD.11．已知集合A ＝{x |x 2＝x }，集合B 中有两个元素，且满足A ∪B ＝{0，1，2}，则集合B 可以是()A ．{0，1}B ．{0，2}C ．{0，3}D ．{1，2}答案BD12．我们把含有有限个元素的集合A 叫做有限集，用card(A )表示有限集合A 中元素的个数．例如，A ＝{x ，y ，z }，则card(A )＝3.若非空集合M ，N 满足card(M )＝card(N )，且M ⊆N ，则下列说法正确的是()A ．M ∪N ＝MB ．M ∩N ＝NC ．M ∪N ＝ND ．M ∩N ＝∅答案ABC解析非空集合M ，N 满足card(M )＝card(N )，且M ⊆N ，即M ，N 元素个数相同，且M ⊆N ，∴M ＝N ，∴A 、B 、C 正确．又∵M ，N 是非空集合，∴M ∩N ≠∅，D 不对．故选ABC.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知集合A ＝{1，3，4，7}，B ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈A }，则集合A ∪B 中元素的个数为________．答案6解析由已知得，B ＝{3，7，9，15}，所以A ∪B ＝{1，3，4，7，9，15}，所以集合A ∪B 中元素的个数为6.14．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是___________________________．答案∀x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠015．已知集合A ＝{－2，3，4，6}，集合B ＝{3，a ，a 2}，若B ⊆A ，则实数a ＝________；若A ∩B ＝{3，4}，则实数a ＝________．(本题第一空2分，第二空3分)答案－22或4解析∵集合A ＝{－2，3，4，6}，集合B ＝{3，a ，a 2}，B ⊆A ，∴a ＝－2.∵A ∩B ＝{3，4}，∴a ＝4或a 2＝4，∴a ＝2或4(a ＝－2时不符合题意)．16．若x ∈A ，则1x∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M1，0，12，2，空子集中“伙伴关系集合”的个数是________．答案3解析“伙伴关系集合”有3个：{－1}1，12，四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知集合U ＝{x |1<x ≤7}，A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3≤x <7}．求(1)A ∩B ；(2)A ∪B ；(3)(∁U A )∩(∁U B )．解析(1)A ∩B ＝{x |3≤x <5}．(2)A ∪B ＝{x |2≤x <7}．(3)∁U A ＝{x |1<x <2或5≤x ≤7}，∁U B ＝{x |1<x <3或x ＝7}，(∁U A )∩(∁U B )＝{x |1<x <2或x ＝7}．18．(12分)P ＝{2，y }，Q ＝{2x ，2，y 2}，且P ＝Q ，求x，y 的值．解析∵P ＝Q＝2x ，＝y 2＝y 2，＝2x ，＝0，＝0或1＝0，＝0＝14，＝12.由元素的互异性可知x ≠y ，故x ＝0，y ＝1或x ＝14，y ＝12.19．(12分)写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)存在一个实数x ，使得x 2＋x ＋1≤0.解析(1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，其否定形式是綈p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”．注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实数根，因为綈p 是真命题，所以原命题是一个假命题．(2)这一命题的否定形式是綈p ：“对所有实数x ，都有x 2＋x ＋1>0”．利用配方法可以证得綈p 是一个真命题，所以原命题是一个假命题．20．(12分)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B＝{x |2m <x <1－m }．(1)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝{x |1<x <2}，求实数m 的值；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解析(1)由A ⊆B －m >2m，m ≤1，－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为{m |m ≤－2}．(2)m ≤1，－m ＝2≤12，＝－1，∴m ＝－1.(3)由A ∩B ＝∅，得当2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；当2m <1－m ，即m <13时，需<13，－m ≤1<13，m ≥3，得0≤m <13或m 无解，即0≤m <13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为{m |m ≥0}．21．(12分)设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，集合B ＝{x |2m <x <1}．(1)若B ≠∅，且“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若B ∩(∁R A )中只有一个整数，求实数m 的取值范围．解析(1)由题意知B ≠∅且B A ，∵A ＝{x |－1≤x ≤2}，∴－1≤2m <1⇒－12≤m <12.(2)∵A ＝{x |－1≤x ≤2}，∴∁R A ＝{x |x <－1或x >2}．①当m <12时，B ＝{x |2m <x <1}，若B ∩(∁R A )中只有一个整数，则－3≤2m <－2，得－32≤m <－1；②当m ≥12时，不符合题意．综上，m 的取值范围是－32≤m <－1.22．(12分)在①A ∩B ＝∅，②A ∩(∁R B )＝A ，③A ∩B ＝A 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：已知集合A ＝{x |a －1<x <2a ＋3}，B ＝{x |－7≤x ≤4}，若________，求实数a 的取值范围．解析若选择①A ∩B ＝∅，则当A ＝∅，即a －1≥2a ＋3，即a ≤－4时，满足题意；当a >－4>－4，a ＋3≤－7>－4，－1≥4，解得a ≥5.综上可知，实数a 的取值范围是{a |a ≤－4或a ≥5}．若选择②A ∩(∁R B )＝A ，则A 是∁R B 的子集，∁R B ＝{x |x ＜－7或x ＞4}，当a －1≥2a ＋3，即a ≤－4时，A ＝∅，满足题意；当a >－4>－4，a ＋3≤－7>－4，－1≥4，解得a ≥5.综上可得，实数a 的取值范围是{a |a ≤－4或a ≥5}．若选择③A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，当a －1≥2a ＋3，即a ≤－4时，A ＝∅，满足题意；当a >－4－1≥－7，a ＋3≤4，解得－4<a ≤12.综上可知，实数a 1．已知集合A ＝{1，2，3，4，5，6}，则满足B ∪A ＝A 的非空集合B 的个数为()A ．31B ．63C ．64D ．62答案B解析∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∵A ＝{1，2，3，4，5，6}，∴满足A ∪B ＝A 的非空集合B 的个数为26－1＝63.2．设集合A ＝{x |1<x ≤2}，B ＝{x |x <a }，若A ∪B ＝B ，则a 的取值范围是()A ．{a |a ≥1}B ．{a |a ≤1}C ．{a |a ≥2}D ．{a |a >2}答案D解析由A ∪B ＝B 得A ⊆B ，又A ＝{x |1<x ≤2}，B ＝{x |x <a }，故a >2.3．已知M ＝{x |y ＝x 2－2}，N ＝{y |y ＝x 2－2}，则M ∩N 等于()A ．NB ．MC ．RD ．∅答案A解析M ＝{x |y ＝x 2－2}＝R ，N ＝{y |y ＝x 2－2}＝{y |y ≥－2}，故M ∩N ＝N .4．已知表示集合A ＝{x |x >－2}和B ＝{x |x <3}关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所表示的集合为()A ．{x |－2<x <3}B ．{x |x ≤－2}C ．{x |x ≥3}D ．{x |x <3}答案B解析∵A ＝{x |x >－2}，B ＝{x |x <3}，∴A ∪B ＝R .设U ＝R ，则∁U A ＝{x |x ≤－2}，∴题图中阴影部分所表示的集合为(∁U A )∩B ＝{x |x ≤－2}．5．已知非空集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解析因为P 是非空集合，所以2a ＋1≥a ＋1，即a ≥0.(1)当a ＝3时，P ＝{x |4≤x ≤7}，∁R P ＝{x |x <4或x >7}，Q ＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x <4}．(2)“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，即P Q ，＋1≥－2，a ＋1≤5，≥0，且a ＋1≥－2和2a ＋1≤5的等号不能同时取得，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围为{a |0≤a ≤2}．6．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－bx ＋2＝0}，问是否存在实数a ，b 同时满足B A ，A ∩C ＝C ？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，请说明理由．解析∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}，B ＝{x |(x －1)[x －(a －1)]＝0}，又B A ，∴a －1＝1，即a ＝2.∵A ∩C ＝C ，∴C ⊆A ，则C 中的元素有以下三种情况：(1)若C ＝∅，即方程x 2－bx ＋2＝0无实根，∴Δ＝b 2－8<0，－22<b <22，符合题意．(2)若C ＝{1}或C ＝{2}，即方程x 2－bx ＋2＝0有两个相等的实根，∴Δ＝b 2－8＝0，b ＝±22，此时C ＝{2}或C ＝{－2}，不符合题意，舍去．(3)若C ＝{1，2}，则b ＝1＋2＝3，而两根之积恰好等于2，符合题意．故同时满足B A ，A ∩C ＝C 的实数a ，b 存在，a ＝2，－22<b <22或b ＝3.。

第一章空间向量与立体几何章末检测(解析版)

，平面，而平面，
平面平面．
，平面平面，且交线为AC，
平面，直线MB，MC，两两垂直．
以点M为坐标原点，分别以MB，MC，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
则，，， 1，，
，，．
设平面的一个法向量为，
令，得，
点C到平面的距离．
A．存在点P，使得I1＝I2B．存在点P，使得I1＝I3
C．对任意的点P，有I1＞I2D．对任意的点P，有I2＞I3
【解答】解：如图所示建立如图所示的空间直角坐标系，以B1A1为x轴，B1C1为y轴，B1B为z轴，B1为坐标原点，由题意则B（0，0，2），A（4，0，2），D（4，3，2），C1（0，3，0），设P（x，y，z），
第1章空间向量与立体几何
一、单选题
1．点P(1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标为（）
A．(－1，2，3)B．(1，－2，－3)
C．(－1，－2，－3)D．(1，2，－3)
【答案】D
【解析】点P(1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标为．
故选D．
2．若两条不重合直线和的方向向量分别为，，则和的位置关系是（）
A．平行B．相交C．垂直D．不确定
【答案】A
【解析】因为两条不重合直线和的方向向量分别为，，
所以，即与共线，
所以两条不重合直线和的位置关系是平行，
故选A
3．如图，，分别是四面体的边，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则
A． B．
C． D．
【分析】如图所示，连接．由，分别是四面体的边，的中点，是的中点，利用三角形法则、平行四边形法则即可得出．

空间向量与立体几何质量检测及答案(一)

空间向量与立体几何质量检测及答案(一)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知空间向量a ＝(λ＋1,1，λ)，b ＝(6，μ－1,4)，若a ∥b ，则λ＋μ＝()A ．3B ．－3C ．5D ．－52．在三棱锥A －BCD 中，E 是棱CD 的中点，且BF →＝23BE →，则AF →＝()A.12AB →＋34AC →－34AD →B.AB →＋34AC →－34AD →C ．－5AB →＋3AC →＋3AD →D.13AB →＋13AC →＋13AD →3．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是()A ．2a ，a －b ，a ＋2bB ．2b ，b －a ，b ＋2aC ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －c 4．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为M ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列选项中与向量MC 1→相等的是()A ．－12a －12b －cB.1a ＋1b ＋cC.12a －12b －cD.12a ＋12b －c 5．在平面ABCD 中，A (0,1,1)，B (1,2,1)，C (－1,0，－1)，若a ＝(－1，y ，z )，且a 为平面ABCD 的法向量，则y 2等于()A ．2B ．0C ．1D ．无意义6．已知在一个二面角的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，AB ＝5，AC ＝3，BD＝4，CD ＝52，则这个二面角的度数为()A ．30°B ．45°C ．90°D ．150°7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是CC 1，D 1B 1的中点，则EF 与AB 1所成角的大小为()A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°8．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝6，则AA 1与平面AB 1C 1所成的角为()A.π6 B.π4C.π3 D.π2二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，则下列四式中其中正确的有()A.AB→－CB →＝AC →B.AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→C.AA ′→＝CC ′→D.AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→10．以下四个命题中，其中正确的是()A ．已知e 1和e 2是两个互相垂直的单位向量，a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，且a ⊥b ，则实数k ＝6B ．已知正四面体O －ABC 的棱长为1，则(OA→＋OB →)·(CA →＋CB →)＝1；C ．已知A (1,1,0)，B (0,3,0)，C (2,2,3)，则向量AC →在AB →上正投影的数量是55；D ．已知a ＝e 1－2e 2＋e 3，b ＝－e 1＋3e 2＋2e 3，c ＝－3e 1＋7e 2({e 1，e 2，e 3}为空间向量的一个基底)，则向量a ，b ，c 不可能共面．11.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是()A ．(AA 1→＋AB →＋AD →)2＝2(AC →)2B.AC1→·(AB →－AD →)＝0C ．向量B 1C →与AA 1→的夹角是60°D ．BD 1与AC 所成角的余弦值为6312．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3AD ＝3AA 1＝3，点P 为线段A 1C 上的动点，则下列结论正确的是()A ．当A 1C →＝2A 1P →时，B 1，P ，D 三点共线B ．当AP →⊥A 1C →时，AP →⊥D 1P→C ．当A 1C →＝3A 1P →时，D 1P ∥平面BDC 1D ．当A 1C →＝5A 1P →时，A 1C ⊥平面D 1AP三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若CA→＝a，CB→＝b，CC1→＝c，则BA1→＝________.14．已知a＝(x，－3,4)，b＝(－2，y，－8)，且a∥b则|a|＝________.15．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝5，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中点，O是AD 的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是________．16．(多填题)如图所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，则λ的值为________；若M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，则λ的值为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1,2)，B(1,2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)．求证：四边形ABCD是一个梯形．18．(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形CDEF为直角梯形，DE∥CF，∠EDC＝90°，四边形ABCD为矩形，平面CDEF⊥平面ABCD，AD ＝DE＝2，CD＝CF＝4，点P为CF的中点，点Q为BE的中点．(1)求证：DQ⊥BP；(2)求二面角Q－AD－B的余弦值．19.(本小题满分12分)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F、E分别为AD、PC的中点．(1)证明：DE∥平面PFB；(2)求点D到平面PFB的距离．20．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，FD⊥平面ABCD，BE∥FD，且DF＝2BE＝2.(1)求直线AD和平面AEF所成角的大小；(2)求二面角E－AF－D的平面角的大小．21．(本小题满分12分)等边△ABC的边长为3，点D，E分别是AB，AC上的点，且满足ADDB＝CEEA＝12(如图①)，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1－DE－B成直二面角，连接A1B，A1C(如图②)．(1)求证：A 1D ⊥平面BCED ；(2)在线段BC 上是否存在点P ，使直线PA 1与平面A 1BD 所成的角为60°？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由．22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BD BC 1的值．1．解析：因为a ∥b ，所以λ＋16＝1μ－1＝λ4，所以4λ＋4＝6λ，所以λ＝2，所以1μ－1＝12，所以μ＝3，所以λ＋μ＝5.故选C.答案：CMC 1→＝MC →＋CC →，AB →＝a ，AD →1＝12AB →＋12AD →(1,1,0)，AC →＝(＝0＝0，即－1－设这个二面角的度数为α，BD →，＋2|CA →|·|BD →|cos所成角的大小为90°.故选为x 轴，AB 为y 轴，(0,0,0)，B 1(0,2，6)，1＝(2,0，6)，AA 1→的法向量为m ＝(x ，y ，z )，令z ＝1可解得，1所成的角为α，则AA 〉＝6×－622＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－－4e 2)＝2k e 21＋(3k －正确．＋CB →)＝OA →·CA →＋OA →cos 90°＋1×1×cos 90°AB →＝(－1,2,0)，上正投影＝AC →·AB →|AB →|＝1×(－1)＋(－1，c 共面，则a ＝x b ＋－e 1＋3e 2＋2e 3)＋y (－)e 1＋(3x ＋7y )e 2＋2x e ＝3x ＋7y,1＝2x ，共面，所以D 不正确．ABCD－A1B1C1D1中，以点建立如图所示的空间直角坐标系，AA1＝3，所以AD＝，C(0，3，0)，D1(0,0,1)为坐标原点建立空间直角坐标系，P (0,0,2)∴M －，设平面PCO 0＝0∴z ＝0x ＝2PCO 所成角的正弦值是取空间中一组基底：AB →＝，，AN →＝AA 1→＋，所以12＋λ－32－A 1D 1(1,2，－1)－(3，－＝(4，－6,6)，又－(3，－1,2)＝(0，－，－2)，，所以AD 与BC 不平行，所以四边形平面CDEF ⊥平面90°，DE ⊂平面CDEF 为坐标原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系．(2,0,0)，B (2,4,0)，(1,2,1)，BP →＝(－证明：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐，F (1,0,0)，B (2,2,0)＝(1,2,0)，DE →＝(0,1,1)DE →∥平面PFB .内，∴DE ∥平面PFB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，＋2y ＝0，x ＋2z ＝0，令x 的距离d ＝|FD →·n ||n |＝26B，E，F，D四点共面，是菱形，所以AC⊥BD，OB以及垂直于平面轴，建立空间直角坐标系O－xyz如图所示，则，E(0,1,1)，AF→＝(－3，1,1)，AEF的一个法向量，－3x1－y1＋－3x1＋y1＋，1,2)所成角为θ，则22，所成角为45°.DB，A1D⊥平面BCED 为坐标原点，以射线DB、DE、DA轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz，如图，于点H.，则BH＝a，PH＝，3a,0)，E(0，3a,1)．的一个法向量为DE→＝(0，BD所成的角为60°＝3a4a2－4a＋5×≤2a≤3，符合题意．为正方形，所以C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线。