常用放缩方法技巧

常用放缩方法技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：

a a >+12；n n n >+)1(

⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2

5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+<⋅；2)

1()1(++<+n n n n ⑷二项式放缩: n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,1210+=+≥n C C n n n ,

2

222210++=++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n (5)利用常用结论：

Ⅰ.

的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ：

2111(1)(1)

k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k

k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2

1k 的放缩(3)：221

4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++

a m

b a b

记忆口诀“小者小,大者大”。 解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之亦然.

Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。例：()(0)1x f x x x

=≥+，从而实现利用函数单调性质的放缩：()()f a b f a b +≤+。

一． 先求和再放缩

例1.)

1(1+⋅=

n n a n ,前n 项和为S n ，求证：1

例2.n n a )31(= , 前n 项和为S n ，求证：2

1<

n s

二． 先放缩再求和

（一）放缩后裂项相消

例3．数列{}n a ，

11(1)n n a n +=-，其前n 项和为n s

，求证：22n s <

（二）放缩后转化为等比数列。

例4. {}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+

（1） 用数学归纳法证明：n b n ≥

（2）

1231111...3333n n T b b b b =

++++++++，求证：12n T <

三、裂项放缩 例5.(1)求∑=-n k k 12142的值; (2)求证:3

5112<∑=n k k .

例6.(1)求证:)2()12(2167)

12(151311222≥+->-++++n n n

(2)求证:n

n 412141361161412-≤++++ (3)求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n n

n

例7.求证:3

5191411)12)(1(62<++++≤++n n n n

例8.已知n n n a 24-=,n n n

a a a T +++= 212,求证:2

3321<++++n T T T T .

四、分式放缩

姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++

a m

b a b

记忆口诀”小者小,大者大”

解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之亦然. 例9. 姐妹不等式:12)1

211()511)(311)(11(+>-++++n n 和

1

21)211()611)(411)(211(+<+---n n 也可以表示成为 12)

12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n 和121

2642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n

例10.证明:.13)2

311()711)(411)(11(3+>-++++n n

五、均值不等式放缩

例11.设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2

+<<+n S n n n

例12.已知函数bx a x f 211)(⋅+=，a>0,b>0,若5

4)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最大值为21， 求证：.2121)()2()1(1

-+>++++n n n f f f

六、二项式放缩

n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,1210+=+≥n C C n n n , 2

222210++=++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n 例13.设N n n ∈>,1，求证)

2)(1(8)32(++

例14. n n a 32⋅= , 试证明：.121111424

n n n a a a +++<+≤

七、部分放缩(尾式放缩)

例15.求证: 7412311231

1311<+⋅+++⨯++-n

例16. 设++=a n a 2

11.2,131≥++a n a a 求证：.2

八、函数放缩

例17.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n

∈+-<++++ .

例18.求证:)2()

1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα

例19. 求证:n n n 1211)1ln(113121+++<+<++++