15.4.2_公式法--平方差公式
公式法因式分解 ——平方差公式
这一章我们介绍了因式分解的两种方法：
把填上的两个一次多项式相乘，验证乘积是否等于
x2 5x 6
(5) 从第(2)、(3)、(4)题，你能看出把因式分解的关键步骤是什吗？ 将常数项6分解成两个因式的积， 两因数的和恰好等于一次项系数．
例4 把多项式 x2 x 2 因式分解
x2 x 2
x 2 x 1
在找出公因式后，把多项式的每一项写成公因式乘以其余因式 的形式，这样把公因式提出后，括号内的各项就很容易写出．
2. 公式法.
把平方差公式，完全平方公式从右到左地使用， 就可以把某些类型的多项式因式分解．
在因式分解中需要注意以下几个问题：
（1）常常要先提公因式，然后再用公式法进行因式分解． （2）因式分解一定要进行到每一个因式都不能再分解为止， 至于什么样的多项式不能表示成两个多项式的乘积的形式，这 跟多项式的系数在使什么数集有关系，例如，在系数为有理数 的多项式组成的集合中，x2－2不能表示成两个一次多项式的 乘积的形式，但是在系数为实数的多项式组成的集合中，有
x2 9x 3x 3
3 4x2 20x 25
2x 52
4 4a4 12a2b2 9b4
2a2 3b2 2
例3 把下列多项式分解因式
1 x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1
x 1 x2 1
2 ax bx ay by
15.4.2公式法因式分解(二)
a 2ab b
2
2
我们把” 平方, “首” “尾” 两倍中间放.
2 2 首 2首尾 尾
判别下列各式是不是完全平方式
1x 2 xy y 是 2 2 2A 2 AB B 是 2 2 是 3甲 2 甲乙 乙 2 2 4 2 是
小结: （1）掌握常用公式
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2 a2-b2=(a+b)(a-b)
（2）灵活运用完全平方公式分解因式 (3) 因式分解的步骤: “一提” ：有公因式，先提公因式； “二套”：提公因式后，括号内（套）用 公式法分解; “三查”：检查每个括号能否继续分解。
A.
2 2
2
D.
x y 6 xy 9 (3 xy )
2 2
2
例1 分解因式： (1) 16x2+24x+9；
(2) –x2+4xy–4y2.
分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32， 24x=2· 4x · 3，所以16x2+24x+9是一个完全 平方式，即 16x2+24x+9=(4x)2+2· 4x· 3+32 a· a2 +2 · b + b2
小结:
完全平方式的特点：
分解有怎样的过程？
(1) “一提” ：有公因式，先提公因式；
(2) “二套”：提公因式后，括号内（套） 用公式法分解。
(3) “三查”：检查每个括号能否继续分 解。
3 4 3 4 1. 计算(107 )2+(92 )2+(107 )×(92 )×2 7 7 7 7
15.4.2_公式法--平方差公式
复习 1.计算：
(x2y)x (2y)
运用了什么知识？
复习
乘法公式
平方差公式：
(ab)a (b)a2b2
探究
Ⅰ.怎样将多项式 a2 b2 进行因式分
解？
(a b )a ( b ) a 2 b 2
整式乘法
a2b2(ab)a (b)
因式分解
归纳
因式分解方法
范例 例5.在实数范围内分解因式：
(1)x2 3
(2)54a2
巩固 5.在实数范围内分解因式：
(1)x2 6
(2)13 4 y2 9
小结
1.因式分解公式一： 平方差公式
2. 在实数范围内分解因式的意义
作业 1.分解因式：
(1)36b2 1 (2)16x2y2 b2 25
(3)0.49p2144(4)m2 7
巩固 3.分解因式：
(1)94x2 (2)x2y2 1 z2
4
范例 例2. 分解因式：
(1 )1(x 6y)29(xy)2 (2) 4 (2mn)2
25
把括号看作一个整体
巩固 4.把下列各式分解因式：
(1)(ab)2c2 (2)x (p)2(xq)2 (3)x (y)2(zm )2
• 例3.分解因式：
(1) x 4 y 4 ;
因式分解要分到 每个因式都不能
(2)a
3b
ab
.
分为止. 若有公因式，一定
要先提取公因式.
范例 例4.简便计算：
5652 4352
利用因式分解计算
巩固
4.计算：
(651)2 (341)2
2
2
探究 根据数的开方知识填空：
15.4.2因式分解 平方差公式
15.4.2公式法（第一课时）备课人 ：杨玉英一、学习目标：1．能说出平方差公式的特点 2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．3．初步会用提公因式法与公式法分解因式．•并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．4．知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解运用平方差公式分解因式。
重点：能较熟练地应用平方差公式分解因式。
难点：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解运用平方差公式分解因式.二、预习提纲： 1.回答教材167页的“思考”答：共同特点____________________________________________；总结：从以上问题出发，认识到：这两个多项式都可以写成____个数的________的形式，对于这种形式的多项式，可以利用________来分解因式。
把整式乘法的平方差公式反过来，就得到))((22b a b a b a -+=-即：__________________________2.阅读教材167页，例题3，分解因式：942-x 22)()(p x p x --+完成一下练习题。
例：填空： （1）42a =( ) 2 （2）49b 2=（ ）2 （3）0.16a 4=（ ）2 （4）1.21a 2b 2=（ ）2 （5）214X 4=（ ）2 （6）549x 4y 2=（ ）2例：下列多项式能否用平方差公式进行因式分解2201.021.1-b a + 226254b a + 454916y x - 22364-y x -3.阅读168页例4：因式分解：(1) 44y x - (2) 33ab b a -因式分解：（1）2220951b a - （2）424255b m a m -并完成教材第168页练习1，2。
总结：1．如果多项式各项含有公因式，则第一步是________．2．如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑________．3．第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，•则需要进一步分解因式．直到每个多项式因式都________．三、讨论与交流要求：以小组为单位对预习提纲的内容展开交流，并准备展示内容.四、展示与点评要求：以小组为单位对预习提纲的内容进行展示，其他小组进行质疑、点评，教师做适当补充.五、当堂检测：A 组：1. 完成下列练习题：（1）42a =( ) 2 （2）49b 2=（ ）2 （3）0.16a 4=（ ）2 B 组：2.对于任意整数m ，多项式2(45)9m +-都能（ ）.A.被8整除B. 被m 整除C.被 m-1 整除D.被2m-1整除3.分解因式：34m m -=_______．C 组：4.若218(4)0x y -+-=，则将22m x n y -分解因式为______． 5.因式分解2(1)9X --的结果是（ ）A.(x+8)(x+1)B.(x+2)(x-4)C.（x-2）(x+4)D. (x-10)(x+8)6.分解因式：（1）2(3)3x x x -+- （2）68a a -（3）2(3)3x x x -++15.4.2公式法（第一课时） 作业1. 完成下列练习题。
公式法——平方差公式
2、探索发现
观察平方差公式，看看有什么特点？说出来 和大家分享！
左边：是a、b两个数的平方差， 即a2-b2，
并且这两个平方项的符号相反。 右边：是a 、b两数的和与a 、b两数的差的积。
即 (a b)(a b)
请大家快速计算：1252-252=？ 解： 1252-252
=（125+25)×(125-25) =150×100 =15000
五、小结
1、今天学习了利用平方差公式分解因式，你有哪 些收获？
2、平方差公式有哪些特点？你记住了吗？ 3、分解因式要分解到多项式的每一项不能再分 解为止!
六、作业
1、P.117.练习2. 2、P.119.复习巩固.2.
3、深刻理解
想一想：(1) 公式中的a、b除了表示“数”以外， 能不能表示代数式？（举例）
公式中的a、b，是形式上的两个“数”，它们可 以表示单项式或多项式，也可以表示其他的式。 （2）什么样的多项式，可以用平方差公式分解因式 呢？
适用于平方差公式因式分解的多项式必须是两个 平方项，并且这两个平方项的符号必须异号。
一、问题讨论
1、问题： 上节课我们学习了因式分解，你 能用因式分解的方法快速口算 1252-252=? 比一比，试一试，看谁算得又对又
快!
2、讨论
1252-252=？
3、 交流 你是怎么快速算出来的，说出来与大家一起
分享？ 如果不能快速算出来，我们今天就来学习
平方差公式，学了平方差公式，你就知道怎么 才能算得快又对又快了。
解： 4x2-9 =(2x)2-32 =(2x+3)(2x-3)
(2) (x+p)2 -(x+q)2
分析：把x+p和x+q分别看成一个整体，在形 式上就具备了平方差公式的特ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，所以可用平 方差公式分解。
15.4.2因式分解之平方差公式法
15.4.2因式分解之平方差公式法学习目标1. 使学生进一步理解因式分解的意义；2. 使学生理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征；3. 会运用平方差公式分解因式.学习重点 用平方差公式法进行因式分解.一、自主学习1、分解因式2、试一试：你能将下列各式分解因式吗？你是怎样想到的？（1）x 2-4 (2)y 2-25二、创设情境★试一试1. 992－1是100的整数倍吗？2. 和老师比一比，看谁算的又快又准确： ①572－562 ②962－952 ③(1725)2－(825)2. ★做一做：整式乘法乘法公式：两数和乘以这两数差：即： (a +b )(a －b )=a 2－b 2从左到右是整式的乘法，把这个等式反过来就是_________________________将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解，这种因式分解方法称为_______.★议一议：下列多项式可以用平方差公式分解吗？（1）x 2－y 2 （2）x 2+y 2 （3）－x 2－y 2（4）－x 2+y 2 （5）64－a 2 （6）4x 2－9y 2总结平方差公式的特点：1.左边是 项式，每项都是 的形式，两项的符号 .2.右边是两个多项式的积，一个因式是两数的 ，另一个因式是这两数的 。
三、学以致用例1.依葫芦画瓢：（体验用平方差公式分解因式的过程）（1）x 2－4＝x 2－22＝(x ＋2)(x －2) （2）x 2－16 ＝( )2－( )2＝ ( )( ) （3）9－y 2＝( )2－( )2＝ ( )( )（4）1－a 2 ＝( )2－( )2＝ ( )( )例2.把下列多项式分解因式：（1） 36－25x 2 （2） 16a 2－9b 2 （3）49m 2－0.01n 2例3.观察公式a 2－b 2 =(a +b )(a －b )，你能抓住它的特征吗？公式中的字母a 、b不仅可以表示数，而且都可以表示代数式.尝试把下列各式分解因式（1）(x ＋p )2－(x ＋q )2 （2）16(m －n )2－9(m ＋n )2 （3）9x 2－(x －2y ) 2例4.把下列各式分解因式（1）4a 2－16 （2）a 5－a 3 （3）x 4－y 4 （4）32a 3－50ab 2一句话点评： .趁热打铁：1. 分解因式：2．下列分解因式是否正确：（1）－x 2－y 2=(x ＋y )(x －y ) （2）9－25a 2=(9+25a )(9－25a )（3）－4a 2+9b 2=(－2a ＋3b )(－2a －3b )3.把下列各式分解因式：（1）4a 2－(b ＋c )2 （2）(3m ＋2n )2－(m －n )2（3）(4x －3y )2－16y 2 （4）－4(x ＋2y )2＋9(2x －y )2课外延伸一.把下列各式分解因式二.运用简便方法计算（1）4920072- （2）433.1922.122⨯-⨯。
15.4.2平方差公式
15.4.2 公式法（一）学习目标：1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；2.使学生掌握用平方差公式分解因式重点：掌握运用平方差公式分解因式.难点：将单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；教学过程一、创设问题情境,引入新课在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.二、新知探究：1.请看乘法公式()()22a b a b a b+-=-(1)左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是22a b-=___________________(2)左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？总结：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
22a b-=(a+b)(a-b) 如.()()22216444x xx x-=-=+-()()()()222294323232m n m nm n m n-=-=+-三、典例剖析例1把下列各式分解因式：（1）25－16x2; （2）9a2－b2. ()443yx-例2把下列各式分解因式:（1）9（m+n）2－（m－n）2; （2）2x3－8x. ()abba-33四、尝试练习1、判断下列分解因式是否正确.（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）.2、下列多项式能用平方差公式分解因式的有：()221yx+()222yx-()223yx+-()224yx--3、分解因式：()222511ba-()22492ba-()yyx432-()1644+-a（5）x3－4x （6）25m2－n2(7) (x－y)2－1. (8) (2x－1)2－(x＋2)2。
公式法之平方差公式
公式法之平方差公式平方差公式，又称差平方公式，是数学中常用的一个公式，可以用来计算两个数的平方差。
平方差公式可以简化计算，提高计算的效率。
平方差公式表述为：两个数的平方差等于两个数的和乘以两个数的差。
假设有两个数a和b，那么它们的平方差可以表示为：(a+b)(a-b)也可以使用符号表示为：(a+b)²-(a-b)²具体的推导过程如下：首先，我们可以展开(a+b)²和(a-b)²。
根据乘法公式，(a+b)²可以展开为：(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + 2ab+ b²同样地，(a-b)²可以展开为：(a - b)² = (a - b)(a - b) = a² - 2ab + b²接下来，我们要计算这两个展开式的差：(a + b)² - (a - b)² = (a² + 2ab + b²) - (a² - 2ab + b²)通过去括号运算，可以得到：(a + b)² - (a - b)² = a² + 2ab + b² - a² + 2ab - b²合并同类项，可以得到：(a + b)² - (a - b)² = 4ab也就是说，两个数的平方差等于4倍两个数的乘积。
这就是平方差公式的具体推导过程。
平方差公式的应用非常广泛。
比如，我们可以利用平方差公式来简化计算多项式的乘法或除法运算。
另外，平方差公式也常常用来证明一些数学定理或解析几何问题。
在物理学中，平方差公式也常常用来分析物体的运动变化。
除了平方差公式，还有其他一些类似的公式，比如平方和公式和立方差公式。
平方和公式用来计算两个数的平方和，立方差公式用来计算两个数的立方差。
15.4.2 因式分解(平方差公式)
(3) m2 - 0.01n2; (4) 4x2-9.
(1) 1-25b2 = 12-(5b)2 = (1+5b) (1-5b) (2) x2y2-z2 = (xy)2- z2 = (xy+z) (xy-z) (3) m2- 0.01n2 = m2- (0.1n)2 =(m+0.1n)(m-0.1n) (4) -9+4x2 = (2x)2 - 32 = (2x +3) (2x-3)
（１）(x+p)2-(x-q)2;
（２）16(a-b)2-9(a+b)2.
练习2 把下列各式因式分解：
(1) (m+n)2 - n2 (2) (2x-y)2 - (x+2y)2 (3) (a+b+c)2 - (a-b+c)2
例题3 把下列各式因式分解：
（１） a3b - ab （２） x4 - y4
三维课堂 P74 第十四课时
把下列各式因式分解： （1）x2-4 =(x+2)(x-2) (2) 9-y2 =(3+y)(3-y) (3) 1-a2b2 =(1+ab)(1-ab) (4) 4x2-y2 =(2x+y)(2x-y).
把下列各式因式分解：
（1）36-m2 ＝（6+m) (6-m) (2) 4x2-9y2 = (2x+3y) (2x-3y)
P168页 练习 ：1
(3)a2-１１６
x2
=(a+
1 4
x)(a-
1 4
x)
(4) 0.81b2-16c2 = (0.9b + 4c) (0.9b - 4c)
例题2 把下列各式因式分解：
平方差公式的基本步骤
平方差公式的基本步骤
正文：
平方差公式是数学中的一个重要公式，它可以帮助我们简化和
解决一些复杂的代数问题。
在学习代数的过程中，掌握平方差公式
的基本步骤是非常重要的。
下面我们来探究一下平方差公式的基本
步骤。
首先，让我们回顾一下平方差公式的表达形式，$a^2 b^2 = (a + b)(a b)$。
这个公式的意义是，两个数的平方之差等于这两个数
的和与差的乘积。
接下来，我们来看一下平方差公式的基本步骤。
第一步，确定平方差的形式。
当我们遇到一个代数式或方程式，想要应用平方差公式时，首先要确认其是否符合平方差的形式，即
一个数的平方减去另一个数的平方。
如果符合这个形式，那么就可
以考虑使用平方差公式。
第二步，将平方差公式应用到代数式或方程式中。
一旦确认了
平方差的形式，我们就可以直接将平方差公式代入，并进行计算。
将平方差公式代入后，我们可以简化原始的代数式或方程式，从而
更容易地解决问题。
第三步，化简和解决问题。
应用平方差公式后，我们可以得到一个更简化的代数式或方程式。
接下来，我们可以继续化简这个式子，或者利用它来解决具体的问题。
这可能涉及到因式分解、解方程、求根等操作，具体取决于具体的问题。
通过以上基本步骤，我们可以更好地理解和应用平方差公式。
掌握了平方差公式的基本步骤，我们可以更轻松地解决代数问题，同时也能更深入地理解代数运算的原理和方法。
希望这篇文章能够帮助大家更好地掌握平方差公式的基本步骤，从而在学习和应用代数知识时更加游刃有余。
因式分解公式法-平方差公式
3. 计算: 7652×17－2352 ×17 【解析】7652×17－2352 ×17
=17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235) =17 ×1000 ×530=90式的结果应是 （ D ）
A. -(4a+1)(4a-1)
B. -( 2a –1)(2a –1)
C. -(2a +1)(2a+1)
D. -(2a+1) (2a-1)
2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1
1)原式=2（3+b)(3-b) 2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1)
2)4解( ：a + b)²- 25(a - c)²=2 x ( 2 y + 2 z)
1.原式=[(x+z)+(y+z)][(x+z)=-(4y+xz()]y + z )
3)4解a：³- =4(ax+y+2z)(x-y)
4) (2x.原解+式：=y=[[22+((aa+z+b)b)²)+]-²5-[((5ax(-ac-–)c][)2y]²(a–+bz)- )5²(a-c)]
3.原=式(7a=+42ab(-a5²c-)1(-)3=a4+a2(ba++51c))(a-1)
小结：
平方差公式具有：
1、左边是两项，且均能写成完 全平方的形式
2、中间为“–”
3、我们可以利用平方差公式 来进行因式分解
巩固练习：
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4X²+y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y³ D. - X²+ y²
15.4.2因式分解(公式法-平方差)
思考: 能用平方差公式进行因式分解的多项
式须具备哪些条件? (1)所给多项式为两项; (2)两项符号相反; (3)两项都可以化为一个数(或整式)的平方 的形式.
效果检测
1.下列多项式能否用平方差公式来分解因 式?为什么? (1) x2+y2 ; (2) -9x2+16; (3) x4-y2; (4)-x2-1.
当堂训练 1.分解因式: (1)-m2+9n2 (3)(x-y)2-4(x+y)2 (2)
1 4
a4 – b2
2. 已知x-y=2,x2-y2=6,求x,y的值.
2
已知x-y=2,x2-y2=6,求x,y的值.
解：
∵x-y=2, x2-y2=6 ∴x+y=3 ∴ x-y=2 x+y=3 ∴解该二元一次方程组得 x=2.5 y=0.5
学习目标：
• 1.理解运用平方差公式分解因式的要点； • 2.能够归纳总结将一些可以运用平方差公 式分解因式的多项式进行整理并分解成因 式相乘的形式。
自学指导(阅读课本P167-168)
1.阅读P167的思考，掌握运用平方差公分解因 式的要点； 2.阅读P167例3与例4掌握运用平方差公式分 解因式时整理整理多项式的技巧； 3.模仿例题完成P168练习1和2。
例题点评
例3 分解因式:
(1)4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2; (2)(3)-49a2+b6. 例4 分解因式: (1)x4-y4; (2) a3b – ab ; (3) (p-8)(p+2)+6p 【效果检测】课本 P168 练习
方法小结 综合应用多种方法分解因式的步骤： (1)有公因式的先提公因式; (2) 观察各个因式能否再用公式法分解; 必须进行到每一个因式都不能再分解为止. (3)有可能要先化简,再分解.
15.4.2因式分解(高级篇)——因式分解的其他常用方法
15.4.2因式分解（高级篇）——因式分解的其他常用方法知识结构：一、提公因式法只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。
往往与其他方法结合起来用。
1）15(m–n)+13(n–m)2）4(x+y)+4(x–3y)二、公式法只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。
接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。
常用公式1、(a+b)(a –b)=a 2–b 2（平方差公式）2、(a ±b)2=a 2±2ab+b 2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc4、a 3+b 3=(a+b)(a 2–ab+b 2)及 a 3–b 3=(a –b)(a 2+ab+b 2)（立方和、差公式）5、(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x 2+(p+q)x+pq7、x 2+y 2+z 2+xy+xz+yz 公式推导()()()()[]()()()[]222222222222222212222122222221z y z x y x z yz y z xz x y xy x yz xz xy z y x yzxz xy z y x +++++=++++++++=+++++=+++++只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。
公式法随堂练习：1）(a2–10a+25)(a2–25)2）x3+3x2+3x+1三、十字相乘法①前面出现了一个公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 暂且称为p、q型因式分解我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）例2：因式分解x2–7x+10可以看出常数项10 = (–2)×(–5)而一次项系数–7 = (–2) + (–5)∴原式=(x–2)(x–5)十字相乘法①随堂练习：1）a2–6a+52）a2–5a+63）x2–(2m+1)x+m2+m–2四、十字相乘法②试因式分解6x2+7x+2。
15.4.2平方差公式分解因式
4 4
能
(5 ) 4 x 9 y
2
2
不
( 6 ) 16 x y
2
2
能
( 7 ) a 2 ab b 不
2 2
你能总结出可运用平方差公式进行因式分解 的多项式的特征吗？ 一项带正号一项带负号； 2、可写成两数平方差的形式即（
特征： 1、是一个二项式（或可看作一个二项式）；
2
3. 以上1、2两题的因式分解你发现了什么？
2 x －2 (2 y ) －4 2 2 2 4 y 16 多项式 x 4 和 都可以写成两个数的平方差的形式
2
2
对于能够写成两个数的平方差的形式的多项 式，我们可以利用平方差公式来分解因式。 把平方差公式(a+b)(a－b) = a2－b2 反过来 就得到 a2－b2 = (a+b)(a－b)
即两个数的平方差,等于这两个数 的和与这两个数的差的积.
例1 分解因式:
(1) 4x2 – 9 ;
(2) (x+p)2 – (x+q)2
例2 分解因式:
(1) x4—y4 ;
(2) a3b —ab .
分解因式 必须进行 到每一个 多项式都 不能再分 解为止.
下列多项式能否用平方差公式来分解因式? (1) x2+y2 ; 不 (2) x2－y2; 能 (3) －x2+y2; 能
2 ）－（ 2 ）
2.分解因式:
(1)9a2－4b2; (2) x2y－4y ;
2
(3) －a4 +16 ；
(4) (a 2b ) b
2
( 5 ) 36 ( x y ) 49 ( x y )
公式法——平方差公式
公式法——平方差公式平方差公式是二次方程求解过程中常用的一个公式，它能够帮助我们简化计算，在解决一些特定类型二次方程问题时非常有用。
平方差公式的形式为：(a+b)(a-b)=a²-b²简单来说，平方差公式可以用来计算两个数相乘的结果的平方差。
当我们遇到形式为(a+b)(a-b)的表达式时，我们可以利用平方差公式将其化简为a²-b²的形式。
下面，我们将详细介绍平方差公式的用法和相关的解题技巧。
首先，我们来看一个简单的例子。
例题：计算(3+2)(3-2)的值。
解法：根据平方差公式，我们将表达式(3+2)(3-2)化简为3²-2²的形式。
可以计算得到3²=9，2²=4，因此，(3+2)(3-2)=9-4=5通过这个例子，我们可以看到平方差公式的使用过程非常简单，只需要计算两个数的平方然后相减即可。
下面，我们来讨论一下平方差公式在解决二次方程问题时的应用。
首先，我们来解决一个常见的二次方程问题：找到一个数的平方与另一个数的平方之差。
例题：已知a²-b²=45，并且a>b，求a和b的值。
解法：根据平方差公式，我们可以将表达式a²-b²化简为(a+b)(a-b)。
所以，我们可以得到(a+b)(a-b)=45、根据已知条件，我们可以知道a+b>a-b，即a>b，所以(a+b)和(a-b)一定是正数。
因此，我们需要将45分解为两个正数之积。
我们可以列出45的所有正因数对：(1,45),(3,15),(5,9)。
通过尝试，我们发现只有(5,9)满足条件，即(a+b)=9，(a-b)=5解方程组得到：a+b=9a-b=5我们可以通过消元法或代入法得到a=7，b=2因此，上述二次方程的解为a=7，b=2通过这个例题，我们可以看到平方差公式在解决二次方程问题时的应用非常灵活。
它可以帮助我们简化计算，找到问题的解。
公式法——平方差
公式法——平方差公式法，平方差公式法，也称为代数方法或笔算方法，是一种通过使用数学公式和恒等式来解决问题的方法。
它是数学中常用的一种解题方法，适用于各种数学题目，包括代数、几何、微积分等。
其中，平方差是一种常见的公式法问题类型。
平方差是指一个数字的平方与另一个数字的平方之间的差。
解决平方差问题的一种常见方法是使用平方差公式。
平方差公式表示为：(a+b)(a-b)=a^2-b^2这个公式可以将一个数字的平方与另一个数字的平方之间的差表示为两个数字的和与差的乘积。
通过使用这个公式，我们可以简化平方差问题的解决过程。
下面我们将通过几个例子来介绍平方差的求解过程。
例1：求解81的平方与5的平方之差。
解：根据平方差公式，我们有：(81+5)(81-5)=81^2-5^2使用计算器或者手工计算，我们可以得到：(81+5)(81-5)=86×76=6536也就是说，81的平方与5的平方之差为6536例2：求解24的平方与9的平方之差。
解：同样地，根据平方差公式，我们有：(24+9)(24-9)=24^2-9^2计算得到：(24+9)(24-9)=33×15=495所以24的平方与9的平方之差为495除了使用平方差公式，我们还可以运用一些简化技巧来求解平方差问题。
例3：求解64的平方与16的平方之差。
解：在这个问题中，我们可以观察到64和16都是平方数，并且它们之间的关系很特殊。
所以我们可以不使用平方差公式，而是直接计算它们的差。
64^2-16^2=(64+16)(64-16)=80×48=3840通过直接计算，我们得到64的平方与16的平方之差为3840。
在解决平方差问题时，我们还应该注意一些常见的特殊情况。
例4：求解81的平方与-81的平方之差。
解：这个问题中涉及到正负数的平方。
根据平方差公式，我们有：(81+(-81))(81-(-81))=81^2-(-81)^2化简并计算得到：0×162=0所以81的平方与-81的平方之差为0。
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复习
1.计算：
( x 2 y)(x 2 y)
运用了什么知识？
复习
乘法公式 平方差公式：
(a b)(a b) a b
2
2
探究
2
Ⅰ.怎样将多项式a
b
2
进行因式分解？
2 2
(a b)(a b) a b
整式乘法
2 2
a b (a b)(a b)
2
(3)(x y) ( z m)
2
2
• 例3.分解因式：
(1) x y ;
4 4 3
(2)a b ab. 若有公因式，一定
要先提取公因式.
因式分解要分到 每个因式都不能 分为止.
范例
例4.简便计算： 1. 565 435
2 2
1 2 1 2 2. (65 ) (34 ) 2 2
先确定a和b
巩固
2.下列多项式能否用平方差公式分解因 式？
x y
2
2
x y
2
2
2
2
x y
2
2
x y
2 2 特别提醒：a 和b 的符号相反
巩固练习：
1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X² -y³
D
）
）
D. - X² + y²
2) -4a²+1分解因式的结果应是 （ A. -(4a+1)(4a-1) C. -(2a +1)(2a+1) 2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1 B. D.
D
-( 2a –1)(2a –1) -(2a+1) (2a-1)
1)原式=2（3+b)(3-b)
4 6 4 2 (4)5 m n () 9 2 2 11( x + y) (5)121 ( x y)
例1.将下面的多项式分解因式
1) m²- 16
m²- 16=m²-
2)
4x² - 9y²
4²=( m + 4)( m - 4)
a² - b²= ( a + b)( a - b ) 4x²- 9y² =(2x)² -(3y)² =(2x +3y)(2x- 3y)
作业
1.分解因式：
(1) 36b 1
2
16 2 2 2 ( 2) x y b 25
2
(3)0.49 p 144 (4)m 7
2
(5)(2 x y) ( x 2 y)
2
2
作业
2.已知 a b 3, a b 12，
2 2
求 a b 的值。
利用因式分解计算
探究 根据数的开方知识填空：
4(
结论：
)
2
3(
2
)
2
a ( a ) (a 0)
范例
例5.在实数范围内分解因式： 2
(1) x 3
(2) 范围内分解因式：
(1) x 6
2
4 2 (2) 13 y 9
小结
1.因式分解公式一： 平方差公式 2. 在实数范围内分解因式的意义
2)原式=(x² +1)(x+1)(x-1)
范例
例2. 分解因式：
(1)16( x y) 9( x y)
2
2
4 2 ( 2) ( 2 m n ) 25
特别提醒：把括号看作一个整体
巩固
4.把下列各式分解因式：
(1)(a b) c
2
2
2
(2)(x p) ( x q)
因式分解
归纳
因式分解方法
平方差公式法分解因式：
两数的平方差，等于这两数 的和与这两数差的积。
因式分解平方差公式：
a b (a b)(a b)
2 2
练习
9 2 2 (1)4a ( ) (2) b () 2a 4
2 2
填空
(3)0.16a b
2 4
2 2 ( ) 0.4 ab