常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。
标准形式y″+py′+qy=0。
特征方程r^2+pr+q=0。
通解：
1、两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)。
2、两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)。
3、共轭复根r=α+iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)，标准形式
y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)。
二阶线性微分方程的求解方式分为两类
一是二阶线性齐次微分方程，二是线性非齐次微分方程。前者主要是采用特征方程求解，后者在对应的齐次方程的通解上加上特解即为非齐次方程的通解。齐次和非齐次的微分方程的通解都包含一切的解。
高阶常系数齐次线性微分方程的解法
高阶常系数齐次线性微分方程的解法
高阶常系数齐次线性微分方程（HCCLDE）是一类常见的微分方程，由一个高次项和多个常系数组成。它可以用来描述许多物理系统的运动规律，如波动方程，动力学系统，电磁学系统等。因此，解决高阶常系数齐次线性微分方程是一件重要而又复杂的工作。
首先，为了解决HCCLDE，需要根据给定的方程确定一
个基本的解，可以使用求解基本解的常用方法，如解析法、拉普拉斯变换、Fourier级数展开等。其次，要求出方程的通解，需要对基本解进行叠加，也就是找到该方程的特解，可以采用求解特解的常用方法，如换元法、拉普拉斯变换、Laplace变
换等。最后，将基本解和特解叠加，就可以得到高阶常系数齐次线性微分方程的通解。
为了求解HCCLDE，必须了解其特性，并利用相应的数
学方法。根据HCCLDE的特性，可以把HCCLDE的解分为基本解和特解，并通过叠加这两类解得到它的通解。此外，可以利用常用的方法求解基本解和特解，例如解析法、拉普拉斯变换、Fourier级数展开、换元法、Laplace变换等。
总之，解决高阶常系数齐次线性微分方程是一项复杂的任务，需要结合相关知识和技术，并利用一些常用的数学方法来解决。通过了解HCCLDE的特性，可以将它的解分为基本解
和特解，并将它们叠加，最终得到HCCLDE的通解。
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程是微分方程中一类重要的特殊形式，其特点是方程中的系数是常数。本文将介绍常系数线性微分方程的定义、求解方法以及相关性质。
一、常系数线性微分方程的定义
常系数线性微分方程又称为齐次线性微分方程，其一般形式为：\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y=0\]
其中，n为方程的阶数，\(y^{(n)}\)表示y的n阶导数。
二、常系数线性微分方程的求解方法
1. 特征方程法
通过设定方程的解为\(y=e^{mx}\)，将其代入原方程中，得到特征方程：
\[a_nm^n+a_{n-1}m^{n-1}+...+a_1m+a_0=0\]
解特征方程，可得到n个不同的解，分别是\(m_1, m_2,..., m_n\)。则原方程的通解为：
\[y=c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x}+...+c_ne^{m_nx}\]
其中，\(c_1, c_2,..., c_n\)为常数。
2. 变量分离法
对于一些特殊的常系数线性微分方程，可以通过变量转换将其化为
可分离变量的形式，从而简化求解过程。
三、常系数线性微分方程的性质
1. 零解的存在唯一性
对于常系数线性微分方程，其零解必然存在且唯一。
2. 齐次性质
如果y1(x)是常系数线性微分方程的一个解，那么ky1(x)（k为常数）也是该微分方程的解。
3. 叠加性质
如果y1(x)和y2(x)分别是常系数线性微分方程的解，那么
y(x)=y1(x)+y2(x)也是该微分方程的解。
4. 线性性质
设y1(x)和y2(x)分别是齐次常系数线性微分方程的两个解，c1和c2
四阶常系数齐次线性微分方程
四阶常系数齐次线性微分方程
\[a_4y^{(4)}+a_3y^{(3)}+a_2y''+a_1y'+a_0y=0\]
的微分方程，其中$a_0,a_1,a_2,a_3,a_4$为常数，$y^{(4)}$表示$y$的四阶导数，$y''$表示$y$的二阶导数，$y'$表示$y$的一阶导数。在本文中，我们将详细研究这种类型的微分方程及其解的性质。
一、特征方程和特征根
对于四阶常系数线性齐次微分方程，我们可以构造其特征方程。将$y=e^{rx}$代入方程，可得
\[a_4r^4+a_3r^3+a_2r^2+a_1r+a_0=0\]
这是一个关于$r$的代数方程，称为特征方程。通过求解特征方程，可以得到其根$r_1,r_2,r_3,r_4$，这些根被称为特征根。
二、特解的形式
根据特征根的不同情况，我们可以分为以下几种情况：
1.当特征根都是不相同的实数$r_1,r_2,r_3,r_4$时，方程的通解可表示为
\[y(x)=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}+C_3e^{r_3x}+C_4e^{r_4x}\]
其中$C_1,C_2,C_3,C_4$为任意常数。
2. 当有重根$r_1=r_2=r_3\neq r_4$时，方程的通解可表示为
\[y(x)=(C_1+C_2x+C_3x^2)e^{r_1x}+C_4e^{r_4x}\]
其中$C_1,C_2,C_3,C_4$为任意常数。
3. 当有一对共轭复根$r_1 = \alpha + \beta i, r_2 = \alpha -
\beta i$和两个不相同实根$r_3, r_4$时，方程的通解可表示为\[y(x) = e^{\alpha x}[(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)) + C_3e^{r_3x} + C_4e^{r_4x}]\]
常系数齐次线性微分方程解法
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程
教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐
次线性微分方程的解法
教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法
教学过程：
一、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程: 方程
y ′′+py ′+qy =0
称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.
如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.
我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程
y ′′+py ′+qy =0
得
(r 2+pr +q )e rx =0.
由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解.
特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ′′+py ′+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、
r 2可用公式
2
422,1q p p r −±+−= 求出.
特征方程的根与通解的关系:
(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数、是方程的两个线性无关的解.
x r e y 11=x r e y 22= 这是因为,
函数、是方程的解, 又
x r e y 11=x r e y 22=x r r x r x r e e
e y y )(212121−==不是常数. 因此方程的通解为
.
x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数、是二阶常系数齐次线性微分x r e y 11=x r xe y 12=
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程
线性微分方程是微分方程中的一种重要类型，它在数学、物理、工
程等领域中有着广泛的应用。本文将从定义、特征、解法和应用等方
面对线性微分方程进行详细介绍。
一、线性微分方程的定义
线性微分方程可以表示为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数，y是未知函数。它的一般形式为dy/dx + p(x)y = g(x)。
二、线性微分方程的特征
线性微分方程具有以下特征：
1. 线性：方程中未知函数y及其导数的次数均为1次，且没有幂函数、指数函数和对数函数等非线性项。
2. 可分离变量：可以通过移项将方程变形为dy/y = -p(x)dx + q(x)dx，从而可进行变量分离，简化求解过程。
3. 叠加原理：线性微分方程的解具有叠加性，即一般解等于相应齐
次线性微分方程的解与非齐次线性微分方程的特解之和。
三、线性微分方程的解法
线性微分方程的求解可以采用常系数法、变易法、特解法等多种方法，下面以常系数线性微分方程为例进行说明。
1. 常系数线性微分方程的一般形式为dy/dx + ay = b，其中a和b为常数。常系数线性微分方程的解具有通解和特解两种形式。
2. 首先求解齐次线性微分方程dy/dx + ay = 0。
令y = e^(mx)，代入方程得d(e^(mx))/dx + ae^(mx) = 0，化简得
me^(mx) + ae^(mx) = 0，整理可得(m+a)e^(mx) = 0。由于e^(mx)恒大于0，所以(m+a) = 0，即m = -a。
因此，齐次线性微分方程的通解为y = c*e^(-ax)，其中c为常数。
4.2.1常微分方程-线性齐次常系数方程
F ( ) 2 3 0
2
1 3, 2 1
第二步：求出基本解组
e , e,
第三步：写出通解
3t
t
x(t ) c1et c2 e3t
例2 解
求方程 x 3x 9x 13x 0 的通解。
第一步：求特征根
F ( ) 3 9 13 0 1 1,
t t 0 t t 0 t t 0
0
z (t ) z (t0 ) t0 [a, b]， 连续 lim t t
z (t ) z (t0 ) (t ) (t0 ) (t ) (t0 ) lim i lim 导数 lim t t 0 t t0 t t0 t t0
定理 如果方程（ ）中所有系数 ai (t )(i 1,2,L, n) 都是实值函数，而 x z (t ) (t ) i (t )是方程的复
值解，则 z (t ) 的实部 (t ) ，虚部 (t ) 和共轭复数 函数 z (t ) 也是方程（ ）的解。
定理 设方程
e e
(a i b ) t (a i b ) t
e (cos bt i sin bt )
ea t (cos bt i sin bt )
at
对应两个实值解
e cos bt , e sin bt
常系数高阶齐次线性微分方程
计算
根据求解方法，通过计算得到通解的具体形 式。
05 方程的应用实例
在物理问题中的应用
量子力学
常系数高阶齐次线性微分方程在 量子力学中用于描述粒子的波函 数随时间的变化。例如，在求解 氢原子能级问题时，需要用到此 类方程。
波动问题
在研究波动问题，如声波、电磁 波等时，常系数高阶齐次线性微 分方程可以用来描述波的传播和 演化。
性质
该方程具有齐次性，即没有非齐次的 项；同时系数是常数，不随时间变化。
方程的分类
根据阶数的不同，可以分为一阶、二 阶、三阶等高阶齐次线性微分方程。
根据系数的不同，可以分为简单型、 复杂型等不同类型的方程。
方程的应用场景
• 在物理学、工程学、经济学等领域中，常系数高阶 齐次线性微分方程都有广泛的应用。例如，在物理 学中，描述振动、波动等现象时常常用到该方程； 在经济学中，描述货币供需、投资回报等现象时也 常常用到该方程。
总结词
通过引入积分因子来求解高阶线性微分方程的一种方法。
详细描述
积分因子法的基本思想是引入一个积分因子，将原方程转化为一个等价的积分方程，然 后求解这个积分方程得到原方程的解。这种方法适用于具有特定形式的高阶线性微分方
程。
03 特解的求解
对应于特殊值的特解
特殊值
当常数$a_n=0$时，方程变为$(D^n y)(x)=0$，此时特解为 $y(x)=c_1x+c_2x^2+cdots+c_{n-1}x^{n-1}$。
二阶常系数线性齐次微分方程
二阶常系数线性齐次微分方程
二阶常系数线性齐次微分方程，又称二阶次线性常系统，是数学分析
和积分变换中重要的问题，在系统控制、信号处理和信号检测中也得
到广泛应用。
一. 二阶常系数线性齐次微分方程的概念
1、定义：二阶常系数线性齐次微分方程是指有形式U′′ + pU′ + qU = 0
的二阶常系数齐次线性微分方程，其中，p和q为常数，U是未知函数。
2、求解：若对未知函数U，有形如U′′ + pU′ + qU = 0的二阶常系数齐
次线性微分方程，则求解之所有实根解形式有：U（t）＝C1eλ1t＋
C2eλ2t，其中，C1，C2为常数，λ1，λ2为方程的根，则得到方程：λ2
＋pλ＋q＝0。
二. 二阶常系数线性齐次微分方程的特点
1、齐次：二阶常系数线性齐次微分方程是等号右边完全为零的一次方
程的特殊形式，其解实际上也就是方程的根，二阶齐次方程的解可以
通过求根公式求出。
2、常系数：二阶常系数线性齐次微分方程所有项都是常系数，不会改变，所以可以用公式进行解法简化，使用求根公式求出二阶常系数线
性齐次微分方程的实根解，比一般的常系数线性非齐次微分方程的解
法要简单得多；
3、线性：二阶常系数线性齐次微分方程里面的未知函数和其倒数的次
数有明确的关系，所以它是线性的；
4、微分：二阶常系数线性齐次微分方程里面的未知函数不仅要满足一
次微分方程，而且要满足特定的二次微分方程；
三. 二阶常系数线性齐次微分方程的应用
1、系统控制：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来描述内外环回路
的联系，可以用来优化被控系统的输出；
2、信号处理：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来对信号进行插值、滤波、离散傅里叶变换等处理；
常系数线性常微分方程
ei x 2i
Pl
(x) 2
P~n (x) 2i
e(i) x
Pl
(x) 2
P~n (x) 2i
e( i
)
x
令 m maxn, l ,则
f (x) Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i ) x
第二步 求如下两方程的特解
解: 特征方程 r 2 2 r 1 0 有重根 r1 r2 1 ,
因此原方程的通解为 s (C1 C2 t ) e t
利用初始条件得
C1 4, C2 2
于是所求初值问题的解为
例3.
的通解.
解: 特征方程 r 4 2 r3 5 r 2 0, 特征根:
r1 r2 0, r3 , 4 1 2 i
若特征方程含 k 重复根 对应项
则其通解中必含
例1. 求方程 y 2 y 3 y 0 的通解. 解: 特征方程 r 2 2 r 3 0, 特征根: r1 1 , r2 3 ,
因此原方程的通解为
例2. 求解初值问题
d2s dt2
2
d d
s t
s
0
s t0 4 ,
ds dt
t
0 2
小结 对方程①, 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设
特解 y* xk Qm (x) e x (k 0, 1, 2)
常微分方程33线性常系数齐次方程
13
dnx dt n
a1
d n1x dt n1
an1
dx dt
an
x
0
（2）若 i (i 1,2,.n) 中有复数，
e1t , e2t , , ent
则因方程的系数是实常数，复根将成对共轭出现.
设 1 i 是特征根，则 2 i 也是特征根，
上述两实根和两复根均是单根，方程通解为：
x(t) c1et c2et c3 cos t c4 sin t. 其中c1, c2 , c3, c4为任意常数.
20
例3：求 d 4x 3 d 3x 3 d 2x dx 0 的通解. dt 4 dt3 dt 2 dt
解：特征方程 4 33 32 ( 1)3 0
0
求常系数齐线性方程方程的通解的一般步骤：
第一步 求方程的特征方程及特征根 1, , n
第二步 计算方程相应的解
a) 对每一个单实根 k 有解 ekt
b) 对每一个m > 1重实根k方程有m个解
ekt ,tekt , ,t e m1 kt
c) 对每一个重数为1的共轭复根 i
若有区间（a,b）上复值函数:
x z(t) (t) i (t)
满足上述方程，则称 x z(t) 为上述方程的复值解.
常系数齐次线性微分方程
r 2 (r 2 2r 5) 0
特征根
r1 r2 0 和 r3,4 1 2i
故所求通解为
x e (C3 cos 2 x C4 sin 2 x ). y C1 C2 x
18
常系数齐次线性微分方程
例 求 方 程 y ( 5 ) y ( 4 ) 2 y 2 y y y 0 的 通 解 .
即
d 2uC duC LC RC uC Em sin t , 2 dt dt
常系数齐次线性微分方程
或写成
d 2 uC duC Em 2 2 0 uC sin t. 2 dt dt LC
上式中 R ， 0 2L
1 . LC
上述方程就就串联电路的振荡方程.
9
常系数齐次线性微分方程
设解 y e rx 其中r为待定常数. ※有两个相等的实根 ( 0 )
p r1 r2 , 2 设
两个解为 y 1 y2 er1x 线性相关
其中u(x)为待定函数.
将 y ,y ,y 代入到 y p y qy 0 . 化简得
二阶常系数齐次线性方程 y p y qy 0 求通解的步骤: 2 (1) 写出相应的特征方程 r pr q 0 (2) 求出特征根
(3) 根据特征根的不同情况, 得到相应的通解
微分方程中的线性方程与常系数方程
微分方程中的线性方程与常系数方程微分方程是数学中重要的研究对象之一，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。微分方程可以分为线性方程和非线性方程。本文将重点讨论微分方程中的线性方程与常系数方程。
一、线性方程
线性微分方程是指满足线性叠加原理的微分方程。线性叠加原理即线性微分方程的解的线性组合也是其解。一般形式的一阶线性微分方程可以写作：
y' + P(x)y = Q(x)
其中P(x)和Q(x)是已知的函数，y是未知函数。该方程可以用线性代数的方法求解，不再赘述。
对于高阶线性微分方程，一般形式可以表示为：
yⁿ + a₁(x)yⁿ⁻¹ + a₂(x)yⁿ⁻² + ... + aₙ₋₁(x)y' + aₙ(x)y = Q(x)
这里yⁿ表示y的n次导数，a₁(x)到aₙ(x)为已知函数，Q(x)为右端函数。高阶线性微分方程的求解涉及到特征方程、齐次解和非齐次解等概念，需要借助一些数学方法。
二、常系数方程
常系数方程是指方程中的系数是常数。常系数线性微分方程是微分方程中最基础也是最常见的一类，常见的常系数方程有以下几种：
1. 一阶常系数线性微分方程：
y' + ay = b
其中a和b均为常数。该方程的解可以通过分离变量、求指数、利用一阶线性微分方程的通解公式等方法求解。
2. 二阶常系数齐次线性微分方程：
y'' + by' + cy = 0
其中b和c是常数。该方程的解可以通过特征方程的求解，求出对应的特征根后，利用特征根的性质和初值条件求解出具体的解。
3. 二阶常系数非齐次线性微分方程：
y'' + by' + cy = f(x)
第四讲 常系数线性齐次微分方程
(2) 从上述推演过程,我们知(4.30) 有形如y ekt的解,
从而(4.29)有形如y xk的解, 因此可直接求欧拉方程的
形如y xk的解, 以y xk代入(4.29)得到确定k的代数方程,
k(k 1) (k n 1) a1k(k 1) (k n 2)
an 0
(4.31)
dxn a1 dxn1 L ank dxk f (x)
(4.35)
dny dxn
a1
d n1 y dxn1
L
ank
dky dxk
L[ y] b0 xm b1xm1 L bm (4.32)'
y k0 xm k1xm1 L km , (4.33) 特解, ki (i 1, 2,L , m)为待定常数.
把y代入(4.32)' ,比较两端同次幂的系数,
得k0 , k1,L , km应满足的方程
k0an b0
k1an mk0an1 b1
例4
求方程
d4x dt 4
2
d2x dt 2
x
0的通解.
解 特征方程为 4 22 1 (2 1)2 0,
即有特征根1,2 i, 1,2 i都是二重根 ,
即有实值解
cost,t cost,sin t,t sin t;
故方程的通解为
x(t) (c1 c2t) cost (c3 c4t) sin t; 这里c1, c2 , c3, c4为任常数;
常系数线性常微分方程
t 0 2
解: 特征方程 r22r10有重根 r1r21,
因此原方程的通解为 s (C 1 C 2t)e t
利用初始条件得
C14, C2 2
于是所求初值问题的解为 s(42t)et
例3. 求y 方 (4 ) 2 y 程 5 y 0 的通解. 解: 特征方程 r42r35r20,特征根:
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
f(x ) P m (x )e ( i )x P m(x)e(i)x
第二步 求出如下两个方程的特解
y p y q y P m ( x ) e ( i ) x
ypyqyP m(x)e(i)x
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解
因此方程的通解为 yC 1er1xC 2er2x
2.
当
p24q0时,
Biblioteka Baidu
特征方程有两个相等实根
r1
r2
p 2
,
则微分方程有一个特解 y1 er1x. 设另一特解 y2y1u(x)er1xu(x) ( u (x) 待定)
代入方程得:
er1 x [ (u2r1ur12u)p(ur1u)qu0
(不难看出, 原方程有特解 1,x,x2,x3,ex)
例5. 解方 d d4 xw 4程 4w0(0).
解: 特征方程: r4 4 (r22)2 22 r20
常系数齐次线性微分方程
特征根 r1 r2 0 和 r3,4 1 2i
故所求通解为
y C1 C2 x ex (C3 cos 2x C4 sin 2x).
14
例 求方程 y(5) y(4) 2 y 2 y y y 0 的通解.
解 特征方程 ( r5 r4 )(2r3 2r2) (r 1 ) 0
5.7 常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性方程定义 二阶常系数Fra Baidu bibliotek次线性方程解法 n阶常系数齐次线性方程解法 小结 思考题 作业
1
第5章 微分方程
一、定义
y py qy 0
二阶常系数 齐次线性 方程
y py qy f ( x)
二阶常系数非齐次线性方程
2
二、二阶常系数齐次线性方程解法
y1 y2
常数
得齐次方程的通解为 y C1er1x C2er2x .
4
设解 y erx 其中r为待定常数.
※有两个相等的实根 ( 0)
r1
r2
p, 2
一特解为 y1 er1x ,
y2 常数 y1
设 y2 u( x)er1x , 其中u(x)为待定函数.
将 y2, y2 , y2 代入到 y py qy 0. 化简得
特征根 r1 r2 2
故所求通解为
y (C1 C2 x)e2x .
7
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例1 解 特征方程为 解得
故所求通解为 y (C1 C2 x)e2x .
6/10
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C 2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x y ex (C1 cos x C2 sin x)
u (2r1 p)u (r12 pr1 q)u 0, 即 u 0,
则 y2 xer1x ,
(4) 的通解为
4/10
3. 有一对共轭复（特征）根
r1 i , r2 i , 一对复值解
y1 e( i )x ex (cos x i sin x)
y2 e(
其线性组合
i )
10/10
❖ 习题12-8 1-(5)(9)
作业
2-(6)
一、特征方程
n阶常系数线性微分方程的标准形式 n阶常系数齐次线性微分方程的标准形式
(2)的特征方程
2/10
二、二阶常系数齐次线性方程的代数解法
1. 有两个相异实（特征）根
p r1
p2 2
4q
,
r2
p
p2 4q , 2
两个特解 y1 e r1x , y2 e r2x ,（线性无关）
(4) 的通解为
y1
x ex (cos
1 2
(
y1
x
y2 )
wenku.baidu.com
i sin x)
ex cos x,
y2
1 2i
( y1
y2 )
ex
sin
x,
(4) 的通解为
5/10
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C 2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x y ex (C1 cos x C2 sin x)
例2 解 特征方程为 解得
故所求通解为 y ex (C1 cos2x C2 sin 2x).
7/10
三、n阶常系数齐次线性方程的代数解法
特征方程
特征根
对应的特解
k重 实 根r
erx , xerx , , xk1erx
k重共轭复ex cos x, xex cos x, , xk1ex cos x
3/10
2. 有两个相等的实（特征）根
r1
r2
p 2
,
得特解
y1 e r1x ,
求另一特解 y2( x), y2( x) 与 y1( x) 线性无关 ,
即 y2( x) / y1( x) u( x) 常数 . 求u( x)：
y2 ( x) u( x) y1( x) u( x)er1x 为（4）的解
通解 C1e x (C2 C3 x)cos x (C4 C5 x)sin x.
例4
解 特征方程 r 1 0, 特征根 r 1,
通解 y C1e x .
9 /10
四、小结
用代数法求常系数齐次线性微分方程通 解的一般步骤: （1）写出特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的情况写出相应的特解； （4）这些特解的线性组合即为所求通解.
根 i ex sin x, xex sin x, , xk1ex sin x
注 1、n次代数方程恰有n个根。 2、属于不同特征根的解线性无关。
8 /10
例3
解 特征方程 r 5 r 4 2r 3 2r 2 r 1 0,
即 (r 1)(r 2 1)2 0,
特征根 r1 1, r2 r3 i , r4 r5 i ,