同态与同构PPT
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13-群同态与同构
同态/同构与运算性质的保持
f: 映射 G1 g: 满射 G2
f (G1)
h: 双射
利用同态判定子群
假设G1, G2是群，f: G1G2是同态映射
若H1是G1的子群，则H2=f(H1)是G2的子群。
• (利用判定定理：群G的非空子集H构成子群当且仅当：对 任意a,bG, a,bH ab-1H)
同态与同态映射
同构的要求很高：只有两个群的集合等势，才可能同构。
群(G1,⃘)与(G2,*)同态 (G1~ G2)当且仅当： 存在函数f: G1G2, 满足： 对任意x,yG1, f (x⃘y) = f (x) * f (y)
f
如果上述f 是满射，则称为满同态 同构是同态的特例。 例：整数加群(Z,+)和对3剩余加群(Z3,+3) 同态映射：f: ZZ3, f(3k+r)=r
代数系统 (G1,⃘)与(G2,*)同态 当且仅当：
存在函数f: G1G2, 满足： 对任意x,yG1, f (x⃘y) = f (x) * f (y)
如果上述f 是满射，则称为满同态
满同态与运算性质的保持（1）
结合律
假设f: G1G2是满同态映射，若G1满足结合律，即 对任意x,y,zG1,(x⃘y)⃘z=x⃘(y⃘z)
自同构与自同态
每个群与自身同态/同构 同构映射不一定限于恒等映射：f(x)=x 例：模n剩余加群(Zn,+n)恰好有n个自同态映射 对任意p{0,1,2,…,n-1},定义f : ZnZn如下：
同态和同构
e：g ge g 是G的恒等变换，
由定理一，G 是G的一个变换群。这样 G与G的一个 变换群G 同构。
习
题
课
例1，举一个有两个元的群的例。
例2，设G是有限群，则G中元素的阶都有限 例3，设G为群，试证 n Z及a, b G, 有(aba-1)n = abna-1 Leabharlann Baidu4，设G为群， a, b G, a e且a 4b ba 5，证明：ab≠ba 例5，G为交换群的充要条件是对任意a,b∈G,有
S有单位元，恒等变换ε，ε：a→a
例3 计算例1中变换的乘积 τ1τ2： 1→2 τ2τ4： 1→1 2→2 2→1 τ 1 τ 2 =τ 2 τ2τ4=τ1
但τ不一定有逆元
例4 例1中τ1，用一个任意的τ左乘τ1，得到
1 : 1 (1 ) 1, 2 (2 ) 1
这就是说
1
1
S , 1
即τ1没有逆元
S一般不是一个群(逆元不能保证)，但S的一个子集G呢？ 先看G作为一个群的必要条件 定理2：G是由A的若干变换所成集合，且G中包含恒等变换ε 若对于上述乘法来说G作为一个群，那么G只包含A的
一一变换。
证： G, 1 G, 1 1
定理3不是说，除了全体一一变换所作成的集合外，
没有其它的变换群存在。
离散数学-同态和同构
的。
同构的性质
同构是一种更强的相似性关系，它不仅保持了群的基本运算性质，还要求存在一个双射 的映射。这意味着原始群和目标群在某种程度上是完全相同的。
同态和同构的符号表示
同态的符号表示
通常使用箭头($rightarrow$)来
表示同态映射，例如：$f:
G
rightarrow H$。
同构的符号表示
通常使用双箭头 ($Leftrightarrow$)来表示同构关 系，例如：如果存在映射$f: G Leftrightarrow H$，则表示$G$ 和$H$是同构的。
同构的定义
同构的定义
设$G$和$H$是两个群，如果存在一个映射$f: G rightarrow H$，使得对于任意的$a, b in G$，都有$f(a*b) = f(a) * f(b)$，并且存在一个双射的映射$g: H rightarrow G$， 使得对于任意的$x in H$，都有$g(f(a)) = a$和$f(g(x)) = x$，则称$G$和$H$是同构
离散算法设计
同态和同构可以用于设计高效的离散算法， 如通过同态映射将问题转化为易于处理的数
学形式，从而降低计算复杂度。
05
同态和同构的实例分析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
二次方程的同态和同构分析
要点一
同构的性质
同构是一种更强的相似性关系，它不仅保持了群的基本运算性质，还要求存在一个双射 的映射。这意味着原始群和目标群在某种程度上是完全相同的。
同态和同构的符号表示
同态的符号表示
通常使用箭头($rightarrow$)来
表示同态映射，例如：$f:
G
rightarrow H$。
同构的符号表示
通常使用双箭头 ($Leftrightarrow$)来表示同构关 系，例如：如果存在映射$f: G Leftrightarrow H$，则表示$G$ 和$H$是同构的。
同构的定义
同构的定义
设$G$和$H$是两个群，如果存在一个映射$f: G rightarrow H$，使得对于任意的$a, b in G$，都有$f(a*b) = f(a) * f(b)$，并且存在一个双射的映射$g: H rightarrow G$， 使得对于任意的$x in H$，都有$g(f(a)) = a$和$f(g(x)) = x$，则称$G$和$H$是同构
离散算法设计
同态和同构可以用于设计高效的离散算法， 如通过同态映射将问题转化为易于处理的数
学形式，从而降低计算复杂度。
05
同态和同构的实例分析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
二次方程的同态和同构分析
要点一
第3节 半群与幺半群的同态与同构
16/22
近世代数
幺半群的同构与同态
定理9 设(M1,∘, e1)和( M2,, e2)是两个幺半群。如果 有从M1到M2的同态f ，则M1 的可逆元素x的象f(x) 也可逆且 f(x-1) =[ f(x)]-1. 定理10 设f是幺半群(M1,∘, e1)到幺半群( M2,, e2)的同 态，g是幺半群( M2,, e2)到幺半群( M3, , e3)的同 态，则f与g的合成gf是(M1,∘, e1)到( M3, , e3)的同态.
近世代数
同余关系
定义3 设是代数系(A,∘)上的等价关系. a,b,c,dA， 如果 ab， cd，则必有a∘cb∘d，那么称是A上的 同余关系.
[说明] 简单的说，同余关系就是可乘的等价关系.
定理6 设是代数系(A,∘)上的等价关系. 定义： [x], [y]A/ ，[x]▪[y]=[x∘y]， 则“▪”是二元代数运算 是A上的同余关系.
13/22
近世代数
商半群
定义4 设(A,∘)和(B,)是两个半群，f 是A到B的同态. 半群(A/Ef , ▪)称为商半群. 定义5 令γ:A A/Ef ，aA，γ(a)=[a]，则称γ 为A到商半群A/Ef的自然同态.
14/22
近世代数
幺半群的同构与同态
定义6设(M1,∘, e1)和( M2,, e2)是两个幺半群，如果存 在f: M1M2 ，对x, yM1有 f(e1)=e2，f(x∘y) = f(x)f(y)， 则称(M1,∘, e1)与(M2,, e2)是同态，f 称为M1到M2的 一个同态映射(简称同态)，f(M1)称为同态象. [注意] (1)同态分类：同半群同态. (2) 两个幺半群((M1,∘, e1)和( M2,, e2))同构定义中的 条件f(e1)=e2 可以去掉，因为它可以从f(x∘y) = f(x)f(y)推出.
第7讲 置换群及群的同构和同态
13
置换群S4子群
S4子群 ？ 个
平凡子群：<(1)>, S4,
二阶子群：<(12)>, <(13)>, <(14)>, <(23)>, <(24)>,<(34)>，
<(12)(34)>, <(13)(24)>, <(14)(23)>， 三阶子群：<(123)>， <(124)>， <(134)> ， <(234)>
六阶子群： S3=<(12),(123)> ，<(12),(124)>， <(13),(134)>， <(23),(234)> 十二阶子群：A4
15
置换群S4子群D4
D4 2X2的方格图形在空间中旋转、翻转 D4={(1), (13),(24), (12)(34),(14)(23), 1 2 (1234),(13)(24),(1432)}
2018/6/29 31
同态核性质应用
例 设f 为G1 到G2 的同态, 则f −1(f(a)) = akerf , 证 a∈G1, x∈f −1(f(a)) ⇔ f(x) = f(a) ⇔ f (a)−1f(x) = e2 ⇔ f(a−1x) = e2 ⇔ a−1x∈kerf ⇔ x∈akerf
同态与同构
离散结构同态与同构
教学目标
基本要求
（1）掌握同态映射与同构映射的定义
（2）掌握同态映射与同构映射的判定方法
重点难点
（1）同态映射的证明
同态映射
定义：设V
1=<A,∘>和V2=<B,∗>是同类型的代数系统，f:A→B，且∀x, y∈A 有
f(x∘y) = f(x)∗f(y), 则称f 是V1到V2的同态映射，简称同态.
同态分类：
(1) 如果f是单射，则称为单同态
(2) 如果f是满射，则称为满同态，这时称V2是V1的同态像，记作V1∼ V2
(3) 如果f是双射，则称为同构，也称代数系统V1同构于V2，记作V1 ≅ V2
(4) 如果V1 = V2，则称作自同态
实例
例：设G为非0实数集R*关于普通乘法构成的代数系统，判断下述函数是否为G的自同态？如果不是，说明理由. 如果是，判别它们是否为单同态、满同态、同构.
(1) f(x) = |x| +1
(2) f(x) = |x|
(3) f(x) = 0
(4) f(x) = 2
解：
(1) 不是同态, 因为f(2×2)=f(4)=5, f(2)×f(2)=3×3=9
(2) 是同态，不是单同态，也不是满同态，因为f(1)= f(−1), 且 ran f中没有负数.
(3) 不是G 的自同态，因为f不是 G 到 G 的函数
实例
例：
(1) 设V1=<Z,+>, V2=<Z n,⊕>．其中Z为整数集，+为普通加法；Z n={0,1,…,n−1}，⊕为模n
，f (x)=(x)mod n
加. 令f: Z→Z
n
f 是V1到V2的满同态．【f满射，f(x1+x2)=(x1+x2)mod n=(x1 mod n )⊕(x2 mod n)=f(x1)⊕f(x2)】
1.6群的同构与同态
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§6 群的同构与同态
例 3 的子群, 设 G 是 群 , H 是 G 的子群 , a ∈ G . 考
−1
容易验证, 的子群. 察集合 aHa −1 .容易验证, aHa −1 是 G 的子群. 显而易见, 显而易见 , aHa 就是 H 在 群 G 的 内自同构
f a 之下的象,即 aHa = { f a (h) | h ∈ H } . 之下的象
由定义可知,群的同构具有如下性质: 由定义可知,群的同构具有如下性质: Ⅰ.任何群 G 与自身同构; 与自身同构; 同构, 同构; Ⅱ.若群 G1 与群 G2 同构,则群 G2 与群 G1 同构; Ⅲ .若群 G1 与群 G2 同构,群 G2 与群 G3 同构, 则 同构 , 同构 , 同构. 群 G1 与群 G3 同构. 下面我们来阐明这些性质成立. 下面我们来阐明这些性质成立. 首先, 首先 , 对于任何群 G , 单位变换 I G 就是 G 到自 身的一个同构. 所以性质Ⅰ成立. 身的一个同构.因此 G ≅ G .所以性质Ⅰ成立.
−1
是
f ( f (a ' b' )) = a ' b' , f ( f −1 (a ' ) f −1 (b' )) = f ( f −1 (a' )) f ( f −1 (b' )) = a' b' ,
第2讲代数运算的同态和同构
0 3,1 4, 2 5
变成了什么?． 它们可以用统一成为一个运算表……..
同构的两个集合之间关系的结论 同构的两个代数系统由运算所带来 的规律性是相同的,因此,同构的两个代 数系统尽管可能有这样或那样的差别, 但从近世代数的宗旨来看,我们自然认 为:它们的差别是表面上的,次要的,而 它们的共同点——运算所体现的规律 性则是本质的,主要的.于是,我们需要 阐明近世代数的观点是:凡同构的代数 系统都认为是(代数)相同的.
+ 对 不分配 P(B) 并 与交 交 与对称差 对 可分配 对 可分配 对 可分配 对 不分配
5
补充题
1.设 S m, T n,问从S到T的映射、满射、单射、 一一映射各有多少个？ 2.设 S m，问S 上的变换、满变换、单变换、一 一变换各有多少个？
b （a1 a n-1） （b a n）
证完
b a 1） （ （b a n -1） （b a n）
3 第二(右)分配律 已知 是A B到A的代数运算,
是一个集合A上的代数运算.如果 b B, a1， a 2 A, 都有 ( a1 a 2 ) b ( a 1 b ) ( a 2 b ) 则称代数运算 对于 适合第二 (右)分配律.
3
二元运算的性质（续）
定义 设 ∘ 和 ∗ 为 S 上两个不同的二元运算, (1) 如果 x, y, z∈S 有 (x ∗ y) ∘ z = (x ∘ z) ∗ (y ∘ z) z ∘(x ∗ y) = (z ∘ x) ∗ (z ∘ y) 则称 ∘ 运算对 ∗ 运算满足分配律.
同态与同构
(a b) (a) (b)
• 换一种表示，假定在 之下的像，
xx
• 上面的等式即:
a b ab
5.2 同态映射与性质
定义与例子
• 定义1 一个 A 到 A 的映射 称为对于代数运算 和 的同态映射,假如, a, b A,都有:
(a b) (a) (b)
§5 同态与同构（8－9节）
• • • • • 5.1 最初的思想 5.2 同态映射与性质 5.3 同态的代数系统 5.4 可单向传递的性质 5.5 同构的代数系统及其意义
5.1最初的思想
• 如何比较两个代数系统? • 回忆两个三角形全等的定义:经过运动,顶点可以重合.这 里涉及两个步骤:第一,点间有一个对应(映射);第二,对应 后可以重合. • 我们比较两个代数系统 A 和 A . 第一,我们需要一个映射 : A A ; 第二, 这个映射还能够使“运算重合”或曰：保持运算.具 (a b) 和 A 的两个元,那么 (a) (b) 都有意 b 是 a 和 体的说,假如 义,都是的元.保持运算即下面等式成立:
5.4 可单向传递的性质
• 定理1 假定,对于代数运算 和 来说, A到 A 同态.那么, （1）若 适合结合律, 也适合结合律； （2）若 适合交换律, 也适合交换律.
• 证明 我们用 f 来表示 A 到 A 的同态满射. （1）假定a, b, c 是 A 的任意三个元. 由于 f 是同态满 射,我们在 A 里至少找得出三个元 a , b , c 来,使得 在 f 之下,
• 换一种表示，假定在 之下的像，
xx
• 上面的等式即:
a b ab
5.2 同态映射与性质
定义与例子
• 定义1 一个 A 到 A 的映射 称为对于代数运算 和 的同态映射,假如, a, b A,都有:
(a b) (a) (b)
§5 同态与同构（8－9节）
• • • • • 5.1 最初的思想 5.2 同态映射与性质 5.3 同态的代数系统 5.4 可单向传递的性质 5.5 同构的代数系统及其意义
5.1最初的思想
• 如何比较两个代数系统? • 回忆两个三角形全等的定义:经过运动,顶点可以重合.这 里涉及两个步骤:第一,点间有一个对应(映射);第二,对应 后可以重合. • 我们比较两个代数系统 A 和 A . 第一,我们需要一个映射 : A A ; 第二, 这个映射还能够使“运算重合”或曰：保持运算.具 (a b) 和 A 的两个元,那么 (a) (b) 都有意 b 是 a 和 体的说,假如 义,都是的元.保持运算即下面等式成立:
5.4 可单向传递的性质
• 定理1 假定,对于代数运算 和 来说, A到 A 同态.那么, （1）若 适合结合律, 也适合结合律； （2）若 适合交换律, 也适合交换律.
• 证明 我们用 f 来表示 A 到 A 的同态满射. （1）假定a, b, c 是 A 的任意三个元. 由于 f 是同态满 射,我们在 A 里至少找得出三个元 a , b , c 来,使得 在 f 之下,
第3讲 8-9节同态与同构
A
x1 x3
x2 x4
xi
F
M
2
(F
)
证明：( A, )与(A, ) 是同构的。
（其中+为数组间的加法， 为矩阵的加法）
分析：令 : (a1, a2, a3, a4 ) a
a1
a3
a2
a4
性质：
设 是( A, o) 到( A, o) 的同构映射。则 的逆映射是( A, o)到 ( A, o)的同构映射。
例3 设 A Z , A Z , 而 o与o都是整数中 通常的加法“+”，现作
: ( A, o) ( A, o)其中 (n) n, n A
那么 是同构映射.
例4 A 1, 1, A 奇，偶，运算分别为数的乘法和，
则 A A.
· 1 1
1 1 1 1 1 1
偶奇
偶 偶奇 奇 奇偶
定理1 如果 ( A, o) 和 ( A, o) 同态，那么
(1)若 o 满足结合律 ，则 o 也满足结合律 ；
(2)若 o 满足交换律 ，则 o 也满足交换律 .
证明：用表示A到A的同态满射
(1)a,b , c A，由是满射，a,b, c A,使
(a) a,(b) b ,(c) c
于是由同态满射有
ຫໍສະໝຸດ Baidu
分析：令：1 a 偶，-1 a 奇，则是双射且
离散数学同态与同构
例题3： H={x| x=dn, d是正整数, nI}, 定义映射f:
f: IH：f(n)=dn，验证f是<I,+>到<H,+>的同构映射。
(例如，若d=5，则H={x | x=5n}={…,-10,-5,0,5,10,…}
f: f(n)=5n。
f (a1a2) = f(a1) * f(a2)
证明思路：
a
a
b
c
d
b
b
a
a
c f 1:
c b d d c f(a)= , f(b)= , f(c)= , f(d)=
d
a
b
c
d
满足：f1(Ai ★Aj)=f1(Ai)*f1(Aj)
*
Baidu Nhomakorabea
f 2:
f(a)= , f(b)= , f(c)=, f(d)=
满足： f2(Ai ★Aj)=f2(Ai)*f2(Aj)
❖同态、同态映射、同态象
例题1： f:RR，f(x)=5x，验证f是从<R,+>到<R,•>的 单一同态。 证明：（根据定义证明） f (a1a2) = f(a1) * f(a2)
对 x1,x2 R，f (x1+x2) =5x1+x2=5x1 •5x2=f(x1) •f(x2)
5.8同态与同构
同态核
1.定义5-8.4:设f是由群<G,*>到群<G’,*>的同态,e’是
G’ 的 幺 元 , 称 ker(f)={x|xGf(x)=e} 为 f 的同态核。
例:f:<I,+><N5,+5>,xN,f(x)=x mod 5，
则x,yI,f(x+y)=(x+y)mod 5 =x mod 5+5y mod 5=f(x)+5f(y)， f是从<I,+>到<N5,+5>的同态， ker(f)={x|xIf(x)=0}={…-10,-5,0,5,10,}。
同态像的性质
定理5-8.2设f是代数系统<A,*>到代数系统<B,*’>的同态,则
1)若<A,*>是半群,则<f(A),*’>也是半群。 证:a,b,cf(A),x,y,zA,有a=f(x),b=f(y),c=f(z)， 则a*’b=f(x)*’f(y)=f(x*y)f(A)， 又a*’(b*’c)=f(x)*’(f(y)*’f(z)) =f(x)*’f(y*z)
由<A,*>是阿贝尔群可知：
x*y= y*x 故 a*’b=f(x)*’f(y)=f(x*y)=f(y*x)=f(y)*’f(x)=b*’a
即<f(A),*’>也是阿贝尔群。
代数系统的同态和同构
第二节 代数系统的同态和同构
设S 是一个非空集合，12,,...,k f f f 分别是S 上的12,,...,k n n n 元运算。由S 和
12,,...,k f f f 组成的系统称作一个代数系统，简称代数，记作12,,,...,k S f f f <>。
例如，<R,＋>,<R,－>,<R,×>，<R +
,+,×>等都是代数系统，而,R <÷>，,R +<−>
都不是代数系统。
定义2.1 设1S 和2S 是两个非空集合，f 和g 分别是1S 和2S 上的n 元运算。如果映射
12:S S ϕ→满足121,,...,n x x x S ∀∈：
1212((,,...,))((),(),...,())n n f x x x g x x x ϕϕϕϕ=
则称ϕ关于f 和g 是保持运算的，简称是保持运算的，特别地，当f 和g 分别为二元运算*和o 时，上式为1,x y S ∀∈
，
ϕϕϕ=o (*
)()()x y x y
如果12,,...,k f f f 分别与12,,...,k g g g 同是12,,...,k n n n 元运算，则称代数系统
1112,,,...,k V S f f f =<>和2212,,,...,k V S g g g =<>是同类型的，如果映射
12:S S ϕ→关于每一个i f 和(1,2,...,)i g i k =都是保持运算的，则称ϕ是1V 到2V 同
态映射，简称同态(homomorphism)。称112(,,,...,)k S g g g ϕ<
环的同态与同构
可以验证: R 是一个环.现作一个对应:
: R Z ,其中, a,b a .则 是一个环同态满 射.由于0,0是 R 中的零元,当 a 0 且 b 0 时. 有 a,00,b 0,0 R 中有 零因子.但显然 Z 中
没有零因子.这表明:零因子的象可能不是零因子.
2021/4/4
20
由上可知,环同态满射不能保证传递全部的 代数性质，但我们有
(1) 零同态: : R R', (a) 0, ker() R.
(2) 自然同态: 设I 是环R的理想,
:RR
aa
自然同态为满同态, 且ker() I.
(3) 恒等同构: : R R
aa
ker( ) {0}.
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18
例 4 设 : Z Z6 是 环 同 态 满 射 , 其
: s s(s S ) 是由环S到环R的一个单
同态.
2021/4/4
13
定理 3.4.2 设 R ~ R 是环同态满射,那么
① 若OR 是 R 中的零元，则 OR 必是 R
的零元.
即
OR
O R
.
② 若 1R是 R的单位元，则 1R 必是R 的
单位元.
即
1R
1 R
.
③ 负元的象必是象的负元,即 a a.
法和乘法,使得 成为R到 A的同构映射(即环同构).
: R Z ,其中, a,b a .则 是一个环同态满 射.由于0,0是 R 中的零元,当 a 0 且 b 0 时. 有 a,00,b 0,0 R 中有 零因子.但显然 Z 中
没有零因子.这表明:零因子的象可能不是零因子.
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由上可知,环同态满射不能保证传递全部的 代数性质，但我们有
(1) 零同态: : R R', (a) 0, ker() R.
(2) 自然同态: 设I 是环R的理想,
:RR
aa
自然同态为满同态, 且ker() I.
(3) 恒等同构: : R R
aa
ker( ) {0}.
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例 4 设 : Z Z6 是 环 同 态 满 射 , 其
: s s(s S ) 是由环S到环R的一个单
同态.
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定理 3.4.2 设 R ~ R 是环同态满射,那么
① 若OR 是 R 中的零元，则 OR 必是 R
的零元.
即
OR
O R
.
② 若 1R是 R的单位元，则 1R 必是R 的
单位元.
即
1R
1 R
.
③ 负元的象必是象的负元,即 a a.
法和乘法,使得 成为R到 A的同构映射(即环同构).
第5-5讲 同态与同构
5
3、同构
定义2 设f是<A,⊗>到<B,*>一个同态，如果f是A到B的满 到 射(入射)f，则称f是<A,⊗>到<B,*>满同态(单一同态)。 到 如果f为双射，则称f为同构映射，并称<A,⊗>与<B,*>同 与 构，记作A≅B。
例1 设R是实数集，R+为正实数集合，说明代数系统<R+,⋅>与<R,+>是 是实数集， 为正实数集合，说明代数系统<R <R,+ 同构的。 同构的。 解：为说明<R+, >与<R,+>是同构的，必 为说明<R <R,+ 是同构的， 为说明 须建立R 的双射f, f,并且对任意 须建立R+ 到R的双射f,并且对任意 +f(x x1,x2∈R+,有 f(x1 x2)=f(x1)+f(x2) 可令f:R R,f(x)=lnx,则 可令f:R+→R,f(x)=lnx,则f是R+ 到R 的双射， 的双射，且 )=ln ln（ =lnx +lnx f(x1 x2)=ln（x1 x2）=lnx1+lnx2 +f(x =f(x1)+f(x2) <R,+ 是同构的。 所以，代数系统<R 所以，代数系统<R+,⋅>与<R,+>是同构的。
离散数学-同态和同构
(a) 若*可交换(可结合), 则在A″中, *′也是可交换(可结合) 。 (b) 对*, 若A有么元e (零元0), 则对*′, 代数A″中有么元h(e) (零元h(0))。 (此时h(e) 不一定是代数A′中的实际么元, 除非h是满同态。) (c) 对于*,若一个元素x∈S具有逆元x-1, 则对于*′, 在代数A″中, 元素h(x) 具有逆元h(x-1)。 (d) 若运算*对运算×是可分配的, 则在A″中运算*′ 对运算×′也是可分 配的。
( I+中有无限多的质数), 因此有以下式子成立：
p=h(x)=h(x+0)=h(x)·h(0)
(1)
p=h(x)=h((x-1)+1)=h(x-1)·h(1)
(2)
但因为p是一质数, 唯一的因子是p和1,
根据(1), h(x)=1或h(0)=1;
根据(2), h(1)=1或h(x-1)=1。
因为0＜1≤x-1＜x, 所以，在映射h下, 1至少是两个元素的象, 得出h
一、同态与同构
同态的图示:
同态象<h(S),*', △', k'>
h源自文库
A=<S,*, △,k> A' =<S',*', △',k'>
h是从A到A′的同态, <h(S), *′, △′, k′>称为A在映射h下的同态象
( I+中有无限多的质数), 因此有以下式子成立：
p=h(x)=h(x+0)=h(x)·h(0)
(1)
p=h(x)=h((x-1)+1)=h(x-1)·h(1)
(2)
但因为p是一质数, 唯一的因子是p和1,
根据(1), h(x)=1或h(0)=1;
根据(2), h(1)=1或h(x-1)=1。
因为0＜1≤x-1＜x, 所以，在映射h下, 1至少是两个元素的象, 得出h
一、同态与同构
同态的图示:
同态象<h(S),*', △', k'>
h源自文库
A=<S,*, △,k> A' =<S',*', △',k'>
h是从A到A′的同态, <h(S), *′, △′, k′>称为A在映射h下的同态象
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因此，同构关系是等价关系。
13
定理5-8.2： 设f 是从代数系统<A,★>到代数系统 <B,*>的同态映射。
（a） 如果<A,★>是半群，那么在f 作用下，同态 象<f(A),*>也是半群。
（b）如果<A,★>是独异点，那么在f 作用下，同 态象<f(A),*>也是独异点。
（c）如果<A,★>是群，那么在f 作用下，同态象 <f(A),*>也是群。
5-8 同态与同构
这一节我们将讨论两个代数系统之间的 联系。着重研究两个代数系统之间的同态 关系和同构关系。
1
定义5-8.1： 设<A,★>和<B,*>是两个代数系 统，★和*分别是A和B上的二元（n元）运 算，设f是从A到B的一个映射，使得对任 意的a1,a2∈A, 有f(a1★a2)=f(a1)*f(a2)，
如果g是由<A,★>到<A,★>的同构，则称g 为自同构。
11
定理5-8.1：设G是代数系统的集合，则G中 代数系统之间的同构关系是等价关系。
证明： 因为任何一个代数系统<A,★>要以通 过恒等映射与它自身同构，即自反性成立。
关于对称性，设<A,★>≌<B,*>且有对应的同 构映射f, 因为f 的逆是由<B,*>到<A,★>的 同构映射，即<B,*>≌<A,★>。
f(m+n)=d(m+n)=dm+dn=f(m)+f(n); 又f是双射。
8
例题1： 设A={a,b,c,d}，在A上定义一个二元运
算如表5-8.2所示。又设B={α,β,γ,δ},在B上定
义一个二元运算如表5-8.3所示。证明<A,★>
和<B,*>是同构的。
表 5-8.2
表 5-8.3
★
abcd
如果考察映射g, 使得g(a)=δ，g(b)=γ，g(c)=β， g(d)=α那么，g也是由<A,★>到<B,*>的一个同构。
由此例我们知道，当两个代数系统是同构的话，它 们之间的同构映射可以是不唯一的。
10
定义5-8.3： 设<A,★>是一个代数系统， 如果f是由<A,★>到<A,★>的同态，则称f 为自同态。
5
定义5-8.2： 设f是由<A,★>到<B,*>的一个 同态，如果f是从A到B的一个满射，则f 称为满同态；如果f是从A到B的一个入射， 则f 称为单一同态；如果f是从A到B的一 个双射，则f 称为同构映射，并称<A,★> 和<B,*>是同构的(isomorphism)，记作 A≌B。
6
例2.设f: R→R定义为对任意x∈R，f(x)=5x，那么，f 是从<R,+>到<R,·>的一个单一同态。
a
abcd
b
baac
c
bddc
d
abcd
* αβγδ
α
αβγδ
β
βααγ
γ
βδδγ
δ
αβγδ
9
证明：考察映射f, 使得f(a)=α，f(b)=β，f(c)=γ， f(d)=δ
显然，f是一个从A到B的双射，由表5-8.2和表5-8.3， 容易验证f是由<A,★>到<B,*>的一个同态。因此， <A,★>和<B,*>是同构的。
f(x+y)=(x+y) mod k =(x mod k) +k (y mod k) = f(x) +k f(y); 又f是满射。 而f(1)=f(K+1)=1 ∈ Nk, f 不是入射。
7
Hale Waihona Puke Baidu
例4. 设H={x|x=dn, d是某一个正整数， n∈I}，定义映射f:I→H为对任意n∈I， f(n)=dn，那么，f是<I,+>到<H,+>的一个 同构。所以I≌H。
很明显，对于任意a,b∈I，有 f(ab)=f(a)⊙f(b)
因此，映射f是由<I, >到<B, ⊙>的一个同态。
4
例1 告诉我们， 在<I , >中研究运算结果的正、负、零的特 征就等于在<B , ⊙>中的运算特征 可以说，代数系统<B , ⊙>描述了<I , >中运 算结果的这些基本特征。 而这正是研究两个代数系统之间是否存在同 态的重要意义。 注：由一个代数系统到另一个代数系统可能 存在着多于一个的同态。
零之间的特征区别，那么代数系统<I, >中运算 结果的特征就可以用另一个代数系统<B, ⊙>的运 算结果来描述，其中B={正，负，零}，是定义在 B上的二元运算，如表5-8.1所示。
表5-8.1
⊙
正负 零
正 正负 零 负 负正 零 零 零零 零
3
作映射f: I→B如下： 正 若n>0
f(n)= 负 若n<0 零 若n=0
f(x+y)=5x+y=5x ·5y=f(x) ·f(y) f为入射。因为x1≠x2，则5x1 ≠5x2 , 即f(x1)≠f(x2)。 又因为5x>0 , 所以f 不是满射。
例3.设f: N→Nk定义为对任意的x∈N，f(x)=x mod k， 那么，f是从<N,+>到<Nk,+k>的一个满同态。
15
最后，*在f(A)上是可结合的，这是因为：对于任 意的a,b,c∈f(A),必有x,y,z∈A,使得 f(x)=a, f(y)=b,f(z)=c
最后，关于传递性，如果f是由<A,★>到 <B,*>的同构映射，g是由<B,*>到<C,Δ>的 同构映射，那么g。f就是<A,★>到<C,Δ> 的同构映射。
12
这是因为对于a,bA, 有f(a★b)=f(a)*f(b), 而c,dB, 有g(c*d)=g(c)Δg(d)；所以 a,bA, 有g。f(a★b)=g(f(a★b))=g(f(a) *f(b))=g(f(a))Δg(f(b))= g。f(a)Δg。f(b) 。
14
证明：(a) 设<A,★>是半群且<B,*>是一个 代数系统，如果f是由<A,★>到<B,*>的一 个同态映射，则f(A)B。
对于任意的a,b∈f(A)，必有x,y∈A 使得 f(x)=a, f(y)=b 在A中，必有z=x★y，所以 a*b=f(x)*f(y)=f(x★y)=f(z)∈f(A)
则称f为由<A,★>到<B,*>的一个同态映射 (homomorphism mapping)，称<A,★>同 态于<B,*>,记作A~B。
把<f(A),*>称为<A,★>的一个同态象(image under homomorphism)。
其中f(A)={x|x=f(a), a∈A} B
2
例1 考察代数系统<I, >，这里I是整数集， 是普通 的乘法运算。如果我们对运算只感兴趣于正、负、
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定理5-8.2： 设f 是从代数系统<A,★>到代数系统 <B,*>的同态映射。
（a） 如果<A,★>是半群，那么在f 作用下，同态 象<f(A),*>也是半群。
（b）如果<A,★>是独异点，那么在f 作用下，同 态象<f(A),*>也是独异点。
（c）如果<A,★>是群，那么在f 作用下，同态象 <f(A),*>也是群。
5-8 同态与同构
这一节我们将讨论两个代数系统之间的 联系。着重研究两个代数系统之间的同态 关系和同构关系。
1
定义5-8.1： 设<A,★>和<B,*>是两个代数系 统，★和*分别是A和B上的二元（n元）运 算，设f是从A到B的一个映射，使得对任 意的a1,a2∈A, 有f(a1★a2)=f(a1)*f(a2)，
如果g是由<A,★>到<A,★>的同构，则称g 为自同构。
11
定理5-8.1：设G是代数系统的集合，则G中 代数系统之间的同构关系是等价关系。
证明： 因为任何一个代数系统<A,★>要以通 过恒等映射与它自身同构，即自反性成立。
关于对称性，设<A,★>≌<B,*>且有对应的同 构映射f, 因为f 的逆是由<B,*>到<A,★>的 同构映射，即<B,*>≌<A,★>。
f(m+n)=d(m+n)=dm+dn=f(m)+f(n); 又f是双射。
8
例题1： 设A={a,b,c,d}，在A上定义一个二元运
算如表5-8.2所示。又设B={α,β,γ,δ},在B上定
义一个二元运算如表5-8.3所示。证明<A,★>
和<B,*>是同构的。
表 5-8.2
表 5-8.3
★
abcd
如果考察映射g, 使得g(a)=δ，g(b)=γ，g(c)=β， g(d)=α那么，g也是由<A,★>到<B,*>的一个同构。
由此例我们知道，当两个代数系统是同构的话，它 们之间的同构映射可以是不唯一的。
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定义5-8.3： 设<A,★>是一个代数系统， 如果f是由<A,★>到<A,★>的同态，则称f 为自同态。
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定义5-8.2： 设f是由<A,★>到<B,*>的一个 同态，如果f是从A到B的一个满射，则f 称为满同态；如果f是从A到B的一个入射， 则f 称为单一同态；如果f是从A到B的一 个双射，则f 称为同构映射，并称<A,★> 和<B,*>是同构的(isomorphism)，记作 A≌B。
6
例2.设f: R→R定义为对任意x∈R，f(x)=5x，那么，f 是从<R,+>到<R,·>的一个单一同态。
a
abcd
b
baac
c
bddc
d
abcd
* αβγδ
α
αβγδ
β
βααγ
γ
βδδγ
δ
αβγδ
9
证明：考察映射f, 使得f(a)=α，f(b)=β，f(c)=γ， f(d)=δ
显然，f是一个从A到B的双射，由表5-8.2和表5-8.3， 容易验证f是由<A,★>到<B,*>的一个同态。因此， <A,★>和<B,*>是同构的。
f(x+y)=(x+y) mod k =(x mod k) +k (y mod k) = f(x) +k f(y); 又f是满射。 而f(1)=f(K+1)=1 ∈ Nk, f 不是入射。
7
Hale Waihona Puke Baidu
例4. 设H={x|x=dn, d是某一个正整数， n∈I}，定义映射f:I→H为对任意n∈I， f(n)=dn，那么，f是<I,+>到<H,+>的一个 同构。所以I≌H。
很明显，对于任意a,b∈I，有 f(ab)=f(a)⊙f(b)
因此，映射f是由<I, >到<B, ⊙>的一个同态。
4
例1 告诉我们， 在<I , >中研究运算结果的正、负、零的特 征就等于在<B , ⊙>中的运算特征 可以说，代数系统<B , ⊙>描述了<I , >中运 算结果的这些基本特征。 而这正是研究两个代数系统之间是否存在同 态的重要意义。 注：由一个代数系统到另一个代数系统可能 存在着多于一个的同态。
零之间的特征区别，那么代数系统<I, >中运算 结果的特征就可以用另一个代数系统<B, ⊙>的运 算结果来描述，其中B={正，负，零}，是定义在 B上的二元运算，如表5-8.1所示。
表5-8.1
⊙
正负 零
正 正负 零 负 负正 零 零 零零 零
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作映射f: I→B如下： 正 若n>0
f(n)= 负 若n<0 零 若n=0
f(x+y)=5x+y=5x ·5y=f(x) ·f(y) f为入射。因为x1≠x2，则5x1 ≠5x2 , 即f(x1)≠f(x2)。 又因为5x>0 , 所以f 不是满射。
例3.设f: N→Nk定义为对任意的x∈N，f(x)=x mod k， 那么，f是从<N,+>到<Nk,+k>的一个满同态。
15
最后，*在f(A)上是可结合的，这是因为：对于任 意的a,b,c∈f(A),必有x,y,z∈A,使得 f(x)=a, f(y)=b,f(z)=c
最后，关于传递性，如果f是由<A,★>到 <B,*>的同构映射，g是由<B,*>到<C,Δ>的 同构映射，那么g。f就是<A,★>到<C,Δ> 的同构映射。
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这是因为对于a,bA, 有f(a★b)=f(a)*f(b), 而c,dB, 有g(c*d)=g(c)Δg(d)；所以 a,bA, 有g。f(a★b)=g(f(a★b))=g(f(a) *f(b))=g(f(a))Δg(f(b))= g。f(a)Δg。f(b) 。
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证明：(a) 设<A,★>是半群且<B,*>是一个 代数系统，如果f是由<A,★>到<B,*>的一 个同态映射，则f(A)B。
对于任意的a,b∈f(A)，必有x,y∈A 使得 f(x)=a, f(y)=b 在A中，必有z=x★y，所以 a*b=f(x)*f(y)=f(x★y)=f(z)∈f(A)
则称f为由<A,★>到<B,*>的一个同态映射 (homomorphism mapping)，称<A,★>同 态于<B,*>,记作A~B。
把<f(A),*>称为<A,★>的一个同态象(image under homomorphism)。
其中f(A)={x|x=f(a), a∈A} B
2
例1 考察代数系统<I, >，这里I是整数集， 是普通 的乘法运算。如果我们对运算只感兴趣于正、负、