专题一 数形结合题
二轮专题复习(03)：数形结合思想
）中考第二轮专题复习三：数形结合思想数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：Ⅰ、借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；Ⅱ、借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质一、借助数轴解数与式的问题[例1](山西·2006中考)实数b a ,在数轴上的位置如图所示,化简:2)(a b b a -++=__________.二、借助平面直角坐标系解函数问题 [例2]如图（1），某抛物线y=ax2+bx+c 交x 轴交于A 、B 两点，A （1，0），B （5，0），当x____________时，y=0.当x_____________时y>0，当x____________时，y<0.（2）如图（2）直线y=kx+b 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，且A （-3，0）、B （0，2），则直线解析式为___________________，根据图象直接写出当x__________时；y>0，当x_____时，y<0；当x_____时，y=0.（3）如图（3）某抛物线y1=ax2+bx+c 与某直线y2=kx+b 交于A 、B 两点，且A （-4，3）、B （2，1）。
当___________时y1>y2；当______________时y1=y2；当_____________时y1<y2.（填x 的取值范围）三、利用图形理解代数恒等式【例3】[2007年辽宁十二市] 图①是一个边长为()m n +的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ） A 、22()()4m n m n mn +--= B 、222()()2m n m n mn +-+= C 、222()2m n mn m n -+=+ D 、22()()m n m n m n +-=-四、借助直角三角形解三角比问题[例4](南京·2007中考)如图,A 、B 两地之间有一座山,汽车原来从A 地到B 地须经C 地沿折线A —C —B 行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB 行驶.已知AC=10km,∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米?(结果精确到0.1km)(参考数据:41.12≈,73.13≈)五、借助勾股定理等几何图形的知识解实际问题[例5](上海·2006中考)本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径,小杰和小丽沿湖边选取A 、B 、C 三根木柱,使得A 、B 之间的距离与A 、C 之间的距离相等,并测得BC 长为240米,A 到BC 的距离为5米,如图1所示.请你帮他们求出滴水湖的半径.· ··0 a b· · · AB C例4图2· OD ABC3045例3【巩固练习】1、一次函数32--=x y 的图象不经过第 象限2、如果正比例函数kx y -=的图象经过第一、三象限，那么直线3+=kx y 经过第_______象限。
总复习：专题一规律探索型问题
专题一 规律探索型问题要点梳理：规律探索型问题也是归纳猜想型问题，1．数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．2．数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．3．图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．4．数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．解题方法：规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确．重点讲解【例1】 (2014·钦州)甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是 分．1．(2014·兰州)为了求1＋2＋22＋23＋…＋2100的值，可令S ＝1＋2＋22＋23＋…＋2100，则2S ＝2＋22＋23＋24＋…＋2101，因此2S －S ＝2101－1，所以S ＝2101－1，即1＋2＋22＋23＋…＋2100＝2101－1，仿照以上推理计算1＋3＋32＋33＋…＋32014的值是 ．2．数式规律型问题【例2】 (2014·扬州)设a 1，a 2，…，a 2014是从1，0，－1这三个数中取值的一列数，若a 1＋a 2＋…＋a 2014＝69，(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 2014＋1)2＝4001，则a 1，a 2，…，a 2014中为0的个数是 ．3．(2013·南宁)有这样一组数据a 1，a 2，a 3，…a n ，满足以下规律：a 1＝12，a 2＝11－a 1，a3＝11－a 2，…，a n ＝11－a n －1(n ≥2且n 为正整数)，则a 2013的值为 ．(结果用数字表示)图形规律型问题【例3】 (2013·安徽)我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图①所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点．将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图②，图③，……(1)观察以上图形并完成下表：图形的名称 基本图的个数 特征点的个数图①1 7 图②2 12 图③3 17 图④4 22 … … …猜想：（1）在图中，特征点的个数为 ；(用n 表示)(2)如图，将图放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O 1的坐标为(x 1，2)，则x 1＝ ；图的对称中心的横坐标为 ．3．(2014·深圳)如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有 ．数形结合猜想型问题【例4】 (2014·泰安)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B ，O 分别落在点B 1，C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去….若点A(53，0)，B(0，4)，则点B 2014的横坐标为 ．试题(1 )(2012·桂林)下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形的个数是____．(2)(2012·黔东南)如图，第①个图有2个相同的小正方形，第②个图有6个相同的小正方形，第③个图有12个相同的小正方形，第④个图有20个相同的小正方形，…，按此规律，那么第个图有________个相同的小正方形．(3)如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，…，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由________个圆组成．规律探索型问题一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2013·泰安)观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…解答下列问题：3＋32＋33＋34＋…＋32013的末位数字是( )A．0 B．1 C．3 D．72．(2014·武汉)观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中点的个数是( )A．31 B．46 C．51 D．663．(2014·十堰)根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的( )4．A .B .C .D .4．(2014·重庆)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是( )A ．22B ．24C ．26D ．285．(2014·内江)如图，已知A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n A n ＋1＝1，分别过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1作x 轴的垂线交直线y ＝2x 于点B 1，B 2，B 3，…，B n ，B n ＋1，连接A 1B 2，B 1A 2，B 2A 3，…，A n B n ＋1，B n A n ＋1，依次相交于点P 1，P 2，P 3，…，P n .△A 1B 1P 1，△A 2B 2P 2，△A n B n P n 的面积依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S n 为( )A.n ＋12n ＋1 B .n 3n －1C .n 22n －1D .n 22n ＋1二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·毕节)观察下列一组数：14，39，516，725，936，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是 ．7．(2014·娄底)如图是一组有规律的图案，第一个图案由4个▲组成，第二个图案由7个▲组成，第三个图案由10个▲组成，第四个图案由13个▲组成，…，则第n(n 为正整数)个图案由 个▲组成．8．(2014·梅州)如图，弹性小球从点P(0，3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为P n，则点P3的坐标是_ ；点P2014的坐标是．9．(2014·菏泽)下面是一个按照某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，第n(n是整数，且n≥3)行从左到右数第n－2个数是．(用含n的代数式表示)10．(2013·潍坊)当白色小正方形个数依次等于1，4，9…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示．则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于．(用n表示，n是正整数)三、解答题(共40分)11．(12分)(2014·宜宾)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点，若一个多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.(1)求出图中格点四边形DEFG对应的S，N，L；(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝N＋aL＋b，其中a，b为常数，若某格点多边形对应的N＝82，L＝38，求S的值．12．(12分)(2012·宁波)用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：(1)第5个图形有多少颗黑色棋子？(2)第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．13．(16分)(2014·凉山州)实验与探究：三角点阵前n 行的点数计算． 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n 行有n 个点…容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1＋2＋3＋4＋…＋23＋24＝300.得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n 行的点数的和与n 的数量关系是1＋2＋3＋…＋(n －2)＋(n －1)＋n ，可以发现．2×[1＋2＋3＋4＋…＋(n －2)＋(n －1)＋n]＝[1＋2＋3＋…＋(n －2)＋(n －1)＋n]＋[n ＋(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋3＋2＋1]．把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n 项相加，上式等号的后边变形为这n 个小括号都等于n ＋1，整个式子等于n(n ＋1)，于是得到1＋2＋3＋…＋(n －2)＋(n －1)＋n ＝12n(n ＋1)， 这就是说，三角点阵中前n 项的点数的和是12n(n ＋1)．下列用一元二次方程解决上述问题：设三角点阵中前n 行的点数的和为300，则有12n(n ＋1)整理这个方程，得n 2＋n －600＝0， 解方程得n 1＝24，n 2＝－25.根据问题中未知数的意义确定n ＝24，即三角点阵中前24行的点数的和是300. 请你根据上述材料回答下列问题：(1)三角点阵中前n 行的点数的和能是600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理．(2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，2n ，…，你能探究出前n 行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n 行的点数的和能是600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理．。
中考专题：和函数相关的实际问题(数形结合)
专题一：和函数相关的实际问题(数形结合)一、基础题部分 1、（2010•泸州）如图，已知反比例函数 y1=m/x 的图象与一次函数 y2=kx+b 的图象交于两点 A（-2，1） 、 B（a，-2） ． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若一次函数 y2=kx+b 的图象交 y 轴于点 C，求△AOC 的面积（O 为 坐标原点） ； （3）求使 y1＞y2 时 x 的取值范围．2、如图，在矩形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD，DA 运动到点 A 停止，设点 P 运动路程为 x， △ABP 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图（2）所示，则△ABC 的面积的面积是（ ）A.8 B.10 C.16 D.20 3、（2011•湖州）如图，已知 A、B 是反比例函数 y= k/x（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x 轴，交 y 轴 于点 C．动点 P 从坐标原点 O 出发，沿 O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为 C．过 P 作 PM⊥x 轴，PN⊥y 轴，垂足分别为 M、N．设四边形 OMPN 的面积为 S，P 点运动时间为 t，则 S 关于 t 的函数 图象大致为（ ）A．B．C．D．4、(11 河北)根据图 5 中①所示的程序，得到了 y 与 x 的函数图象，如图 5 中②，若点 M 是 y 轴正半轴上任 意一点，过点 M 作 PQ∥x 轴交图象于点 P、Q，连接 OP、OQ，则以下结论：1①x＜0 时，y=2 x输入非零数 x②△OPQ 的面积为定值 ③x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 ④MQ=2PM ⑤∠POQ 可以等于 90° 其中正确结论是 A．①②④ B．②④⑤ C．③④⑤ D．②③⑤x＜0取倒数x＞0 y取倒数×2 ×4 取相反数PM QO输出 yx①图5②二、综合解答题部分1、 （2010 年石家庄市模拟）将右图所示的长方体石块（a > b > c）放入一圆柱形水槽内，并向水槽内匀速注 水，速度为 v cm3/s，直至注满水槽为止．石块可以用三种不同的方式完全 放入水槽 内，如图 13-1 ~ 图 13-3 所示． c b a在这三种情况下，水槽内的水深 h cm 与注水时间 t s 的函数关系如图 13-4 ~ 图 13-6 所示．根据图象完 成下列问题： （1）请分别将三种放置方式的示意图和与之相对应的函数关系图象用线连接起来； （2）水槽的高= cm；石块的长 a= cm；宽 b = cm；高 c= cm； （3）求图 13-5 中直线 CD 的函数关系式； （4）求圆柱形水槽的底面积 S．2、因南方旱情严重，乙水库的蓄水量以每天相同的速度持续减少为缓解旱情，北方甲水库立即以管道运输的方式给予以支援下图是两水库的蓄水量 y（万米 3）与时间 x（天）之间的函数图象．在单位时间 内，甲水库的放水量与乙水库的进水量相同（水在排放、接收以及输送过程中的损耗不计）．通过分析图 象回答下列问题： （1）甲水库每天的放水量是多少万立方米？ （2）在第几天时甲水库输出的水开始注入乙水库？此时乙水库的蓄水量为多少万立方米？ （3）求直线 AD 的解析式．2思路分析： (1）由甲函数图象 5 天水的减少量即可算出甲每天的放水量； （2）由图象可以看出，10 天后乙水库蓄水量开始增加，由直线 AB 的 函数解析式得出 A 点坐标，求出此时乙水库的蓄水量； （3） 要求直线 AD 的解析式需求出 D 点坐标， 甲的排水量为乙的进水量， 则 D 的横坐标为 15，按等量关系“15 天后乙的蓄水量=10 天原有的水量 +甲注入的水量-自身排出的水量”求出 D 点纵坐标，再求出函数解析式．3、 如图 1， 在梯形 ABCD 中， AD∥BC， ∠C=90°， E 从点 B 出发， 点 以每秒 k 个单位长的速度， 沿折线 BA-AD-DC 向点 C 运动；点 F 以每秒 1 个单位长的速度从点 C 向点 B 运动，点 E、F 同时出发同时停止．设运动时间为 t 秒时，△EBF 的面积为 y，已知 y 与 t 的函数关系如图 2 所示． 请根据图中的信息，解答下列问题： （1）点 E 运动到 A、D 两点时，y 的值分别是 和 ； （2）求 BC 和 CD 的长； （3）求点 E 的运动速度 k； （4）当 t 为何值时，△EBF 与梯形 ABCD 的面积之比是 1：3． 考点：直角梯形；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质．34、如图 1 是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截而示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底 面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽中的水匀速注人乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度 y（厘米＞与注水时 间 x（分钟）之间的关系如图 2 所示．根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）图 2 中折线 ABC 表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段 DE 表示 槽中水的深度 ； 与注水时间之间的关系（以上两空选塡“甲”或“乙”），点 B 的纵坐标表示的实际意义是 （2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？ （3）若乙槽底面积为 36 平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积； （4）若乙槽中铁块的体积为 112 立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）．4三、课外练习： 1、如图，点 P 是菱形 ABCD 的对角线 AC 上一动点（不与点 A、C 重合）．过点 P 且垂直于 AC 的直线交菱形 ABCD 的边于 M、N 两点．若 AC=2，BD=1，设 AP=x，MN=y，则 y 关于 x 的函数图象的 大致形状是（ ）A．B．C．D．2、如图 1，某商场有一双向运行的自动扶梯，扶梯上行和下行的速度保持不变且相同，甲、乙两人同时站 上了此扶梯的上行和下行端，甲站上上行扶梯的同时又以 0.8 m/s 的速度往上跑，乙站上下行扶梯后则站 立不动随扶梯下行，两人在途中相遇，甲到达扶梯顶端后立即乘坐下行扶梯，同时以 0.8 m/s 的速度往下 跑，而乙到达底端后则在原地等候甲．图 2 中线段 OB、AB 分别表示甲、乙两人在乘坐扶梯过程中，离扶 梯底端的路程 y（m）与所用时间 x（s）之间的部分函数关系，结合图象解答下列问题： （1） （2） （3） 点 B 的坐标是 ； 求 AB 所在直线的函数关系式； 乙到达扶梯底端后，还需等待多长时间，甲才到达扶梯底端？3． （10 长春)如图①，A、B、C 三个容积相同的容器之间有阀门连接．从某一时刻开始，打开 A 容器阀门， 以 4 升/分的速度向 B 容器内注水 5 分钟，然后关闭，接 着打开 B 阀门，以 10 升/分的速度向 C 容器内注水 5 分 钟，然后关闭．设 A、B、C 三个容器的水量分别为 yA、 yB、yC(单位：升)，时间为 t(单位：分)．开始时，B 容 器内有水 50 升．yA、yC 与 t 的函数图象如图②所示．请 在 0≤t≤10 的范围内解答下列问题： (1)求 t＝3 时，yB 的值． (2)求 yB 与 t 的函数关系式，并在图②中画出其图象． (3)求 yA∶yB∶yC＝2∶3∶4 时 t 的值．5。
沪教版初中总复习专题训练中考冲刺：数形结合问题--知识讲解(提高)
沪教版初中数学中考总复习知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习中考冲刺：数形结合问题—知识讲解（提高）【中考展望】1.用数形结合的思想解题可分两类:(1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等.2. 热点内容：在初中教材中，数的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而形的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数的图象对应着一条直线，二次函数的图象对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.事实上，数a 决定抛物线的开口方向, b 与a 一起决定抛物线的对称轴位置, c 决定了抛物线与y 轴的交点位置，与a、b 一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线的平移的图形关系只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c 的大小变化.【方法点拨】数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.数形结合问题，也可以看作代数几何综合问题.从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也会融入开放性、探究性等问题.经常考查的题目类型主要有坐标系中的几何问题(简称坐标几何问题)，以及图形运动过程中求函数解析式的问题等．解决这类问题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题；第三，要善于联系与转化，进一步得到新的结论.尤其要注意的是，恰当地使用综合分析法及方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题．【典型例题】类型一、利用数形结合探究数字的变化规律1.如图，网格中的每个四边形都是菱形．如果格点三角形ABC的面积为S，按照如图所示方式得到的格点三角形A1B1C1的面积是，格点三角形A2B2C2的面积是19S，那么格点三角形A3B3C3的面积为（）.A.39SB. 36SC.37SD.43S【思路点拨】设网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S，则小菱形的面积为2S；从图上观察可知三角形A2B2C2三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形A n B n三顶点分别在边长为（2n+1）个单位的菱形的内部，此菱形与三角形A n B n不重合的部分为三个小三角形；由此得到关于三角形A n B n面积公式，把n=3代入即可求出三角形A3B3C3的面积．【答案】C.【解析】网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S，则小菱形的面积为2S；从图上观察可知三角形A2B2C2三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形A n B n三顶点分别在边长为2n+1个单位的菱形的内部，此菱形与三角形A n B n不重合的部分为三个小三角形；而三角形A n B n面积=边长为2n+1个单位的菱形面积-三个小三角形面积=2S（2n+1）2-,=S（8n2+8n+2-2n2-n-2n2-3n-1-n2-n），=S（3n2+3n+1），把n=3分别代入上式得：S3=S（3×32+3×3+1）=37S．故选C．【总结升华】此题主要考查菱形的性质，也考查了学生的读图能力以及探究问题的规律并有规律解决问题的能力．举一反三:【变式】（2016•潍坊）在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形A n B n﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点B n的坐标是．【答案】（2n﹣1，2n﹣1）【解析】解：∵y=x﹣1与x轴交于点A1，∴A1点坐标（1，0），∵四边形A1B1C1O是正方形，∴B1坐标（1，1），∵C1A2∥x轴，∴A2坐标（2，1），∵四边形A2B2C2C1是正方形，∴B2坐标（2，3），∵C2A3∥x轴，∴A3坐标（4，3），∵四边形A3B3C3C2是正方形，∴B3（4，7），∵B1（20，21﹣1），B2（21，22﹣1），B3（22，23﹣1），…，∴B n坐标（2n﹣1，2n﹣1）．类型二、利用数形结合解决数与式的问题2. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|2-a|+的结果为__________.【思路点拨】由数轴可知，0＜a＜2，由此去绝对值，对二次根式化简．【答案与解析】解：∵0＜a＜2，∴|2-a|+=2-a+a=2.故答案为：2．【总结升华】本题考查了绝对值的化简和二次根式的性质与化简，实数与数轴的对应关系．关键是根据数轴上的点的位置来判断数a的取值范围，根据取值范围去绝对值，化简二次根式．类型三、利用数形结合解决代数式的恒等变形问题3.(1)在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是__________________（用字母表示）．（2）设直角三角形的直角边分别是a，b，斜边为c，将这样的四个完全相同的直角三角形拼成正方形，验证等式a2+b2=c2成立。
中考数学专题之数形结合
中考数学专题 数形结合知识梳理数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．另外,由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的．华罗庚先生曾指出:“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．”这充分说明了数形结合数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想．典型例题一、在数与式中的应用【例1】实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简2a ab +-=_________．【分析】 由数轴上a ，b 的位置可以得到a 〈0，b>0且a <b ．∴2a a =-，a b b a -=-．【解】()22a a b a b a a b +-=-+-=-+【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……,则搭n 条“金鱼”需要火柴_________根．【分析】 由图形可知，搭1条金鱼需要8根火柴棒，后面每多一条就多6根火柴棒，所以搭n 条金鱼共需8+6（n －1）=(6n+2)根火柴棒． 【解】6n+2二、在方程、不等式中的应用【例3】 （08聊城）已知关于x 的不等式组020x a x ->⎧⎨->⎩的整数解共有2个，则a 的取值范围是___________．【分析】解不等式组得解集为2x ax >⎧⎨<⎩，我们可以将x<2标注在数轴上，要使得不等式组有2个整数解，由图象可知整数解为0，1，则a 应在－1～0之间，且可以等于－1，但不能为0，所以以的取值范围是－l ≤a <0．【解】 1≤n 〈0【例4】(08南通)用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示)，则所解的二元一次方程组是（）A．203210x yx y+-=⎧⎨--=⎩B．2103210x yx y--=⎧⎨--=⎩C．2103250x yx y--=⎧⎨+-=⎩D．20210x yx y+-=⎧⎨--=⎩【分析】根据图象我们可以知道这个方程组的解为11xy=⎧⎨=⎩,只要将解进行代入检验即可．【解】D【例5】已知二次函数y=a x2+bx+c的图象如图所示，若关于x的方程a x2+bx+c－k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）A．k〉3 B．k=3 C．k<3 D．无法确定【分析】如果根据b2－4a c的符号来判别解的情况，本题将无从入手，可将原方程变形为a x2+bx+c=k,从而理解成是两个函数的交点问题，即2y ax bx cy k⎧=++⎨=⎩，由图象可知只要y=k〈3就一定定与抛物线有两个不同的交点，所以答案选C．【解】C三、在函数中的应用【例6】(08安徽)如图为二次函数y=a x2+bx+c的图象，在下列说法中：①a c<0 ②方程a x2+bx+c=0的根是x1=－1,x2=3 ③a+b+c>0 ④当x>1时，y随x的增大而增大正确的说法有__________．(把正确的答案的序号都填在横线上）【分析】由图象可知，开口向上，与x轴交于－1和3两点,与y轴交于负半轴，则a>0，c〈0；由对称性知对称轴x=1,所以结论①②④正确．【解】①②④【例7】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线如图所示，为经过原点O 的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)．要跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面2103米，入水处距池边的距离为4米，同时,运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势，否则就会出现失误， (1）求这条抛物线的解析式；（2)在某次试跳中，测得运动员在空中运动路线是如图抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3导米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．【分析】（1)在给出的直角坐标系中,要确定抛物线的解析式,就要确定抛物线上三个点的坐标，如起跳点O(0,0),入水点（2,－10),最高点的纵点标为23． （2)求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误， 就是要看当该运动员在距池边水平距离为335米，3332155x =-=时, 该运动员距水面高度与5米的关系．【解】(1）在给定的直角坐标系下,设最高点为A ，入水点为B ，抛物线的解析式为y=a x 2+bx+c ，由图可知，O ，B 两点的坐标依次为（0，0)(2，－10），且顶点A 的纵坐标为23,则2042104243c a b c ac b a ⎧⎪=⎪⎪++=-⎨⎪-⎪=⎪⎩,解得2561030a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩或3220a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩抛物线的对称轴在y 轴右侧，∴02b a ->．又抛物线开口向下，∴256a =-,103b =,c=0，∴2251063y x x =-+．（2）当运动员在空中距池边距离为335米时,即383255x=-=时，63y=-，∴此时运动员距水面高为16410533-=<．因此，试跳会出现失误．四、在概率统计中的应用【例8】(05江西)某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况,对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图:（1）请写出从条形统计图中获得的一条信息;(2）请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图，并说明这两幅统计图各有什么特点；(3)请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议．【分析】观察条形统计图可以计算出调查总人数，画扇形统计图需计算出第一版、第二版的百分比和圆心角,分别为15003601085000⨯︒=︒，500360365000⨯︒=︒,建议可从不足的方面提出．【解】(1）参加调查的人数为5000人；（2)如图所示：条形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数．扇形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数占所调查的总人数的百分比．(3）如：建议改进第二版的内容,提高文章质量，内容更贴近生活,形式更活泼些．综合训练1．“数轴上的点并不都表示有理数,如图中数轴上的点P 所表示的数是2"，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做( )A ．代入法B ．数形结合C ．换元法D ．分类讨论2．（08大连）如图,两温度计读数分别为我国某地今年2月份某天的最低气温与最高气温，那么这天的最高气温比最低气温高 （ ）A ．5℃B ．7℃C ．12℃D ．－12℃3．某人从A 地向B 地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元,此后每加1分钟加收1元，则表示电话费y(元）与通话时间（分)之间的关系的图象正确的是（ ）4．若M 112y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，N 214y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，312y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，三点都在函数ky x=(k<0）的图象上，则y 1，y 2,y 3的大小关系为（ ）A ．y 2>y 3>y 1B ．y 2〉y 1>y 3C ．y 3>y 1〉y 2D ．y 3〉y 2〉y 15．关于x 的一元二次方程x 2－x －n=0没有实数根，则抛物线y=x 2－x －n 的顶点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限( )6．(08临沂）若不等式组302741x a x x +<⎧⎨+>-⎩的解集为x 〈0，则a 的取值范围为 ( ）A ．a 〉0B ．a =0C ．a >4D ．a =47．(08镇江)福娃们在一起探讨研究下面的题目：函数y=x 2－x+m （m 为常数)的图象如图所示，如果x=a 时，y<0;那么x=a －1时,函数值（ )下面是福娃们的讨论,请你解答该题．贝贝:我注意到当x=0时，y=m〉0．晶晶：我发现图象的对称轴为x=1 2欢欢：我判断出x1<a〈x2．迎迎:我认为关键要判断a－1的符号．妮妮：m可以取一个特殊的值．A．y<0 B．0<y<m C．y〉m D．y=m8．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=150°,OA=OB=2，则点A、B的坐标分别是_________和_________．9．在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）如图1，把余下的部分剪拼成一个矩形如图2，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是_______________．10．（08绍兴）如图，已知函数y=x+b和y=a x+3的图象交点为P,则不等式x+b>a x+3的解集为__________．11．方程组211y xy x=-⎧⎨=--⎩的解是__________．12．（08广州)如图，为实数a 、b 在数轴上的位置，化简()222a b a b ---．13．(02南京）（1)阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b,A 、B 两点之间的距离表示为AB ．当A 、B 两点中有一点在原点时,不妨设点A 在原点，如图1，AB OB b a b ===-； 当A 、B 两点都不在原点时，①如图2,点A 、B 都在原点的右边AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-; ②如图3，点A 、B 都在原点的左边,()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-； ③如图4,点A 、B 在原点的两边，()AB OB OA a b a b a b =+=+=+-=-．(2)回答下列问题:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______,数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是_______,数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________；②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是_________，如果2AB =，那么x 为__________; ③当代数式12x x ++-取最小值时，相应的x 的取值范围是____________．14．(08苏州）某厂生产一种产品,图①是该厂第一季度三个月产量的统计图，图②是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图,统计员在制作图①、图②时漏填了部分数据．根据上述信息,回答下列问题：(1)该厂第一季度_________月份的产量最高．（2）该厂一月份产量占第一季度总产量的_______％．(3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样，抽检结果发现样品的合格率为98％．请你估计：该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品？（写出解答过程)15．(08恩施）如图所示,C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC ．已知AB=5,DE=1，BD=8；设CD=x ．（1)用含x 的代数式表示AC+CE 的长；(2）请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？(3）根据(2）中的规律和结论，请构图求出代数式()224129x x ++-+的最小值．16．如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0)、B （3,0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。
无锡新领航教育高三二轮专题辅导(1)数形结合
【专题一】数形结合思想【考情分析】在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。
从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，预测2013年可能有所加强。
因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。
1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。
它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。
“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
2．2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。
3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。
4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。
5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。
用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
经典奥数专题：数与形(试题)数学六年级上册人教版
经典奥数专题：数与形（试题）数学六年级上册人教版一、选择题1．用小木棒按下图方式摆放图形，第⑧个图形需要（）根小木棒。
A．33B．30C．36D．272．如下图，第5个图形是由（）个小正方形拼成的。
A．16B．20C．25D．363．观察下面的点子图，如果按图中的规律画下去，第⑧个方框里应画（）个点。
A．29B．31C．334．观察下图，请选择最适合的一个填入问号处，能使之呈现出一定的规律性的是（）。
A．B．C．D．5．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”。
从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。
下列等式中，不符合这一规律的是（）。
A．25＝9＋16B．36＝15＋21C．49＝21＋28D．64＝28＋366．如下图所示，摆1个六边形要用6根小棒，摆2个六边形要用11根小棒，摆3个六边形要用16根小棒……，摆30个六边形要用（）根小棒。
A．151B．179C．180二、填空题7．观察下图，这样的5张桌子连在一起可以坐( )人，按此规律连下去，坐96人需要( )张桌子。
8．请根据下图中的规律，按要求回答问题。
(1)第5个图形中白色三角形的个数有( )个。
(2)第10个图形中白色三角形的个数有( )个，黑色三角形的个数有( )个。
9．下面图形按一定规律排列，这样第⑥幅图中一共有( )个小正方形。
10．根据图中四幅图的规律，第5幅图中有( )个●，第n幅图中有( )个△。
……13．下面图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律摆成的，第1个图中有4个实心圆，第2个图中有6个实心圆，第3个图中有8个实心圆……，按此规律，第7个图中有( )个实心圆。
14．用一根长48厘米的绳子在地上摆正方形。
当这根绳子摆出4个正方形时，正方形的总面积是( )平方厘米，当这根绳子摆出n个正方形时，正方形的边长是( )厘米。
专题 规律题
A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到新正方形A2B2C2D2
（如图（2））；以此下去„，则正方形A4B4C4D4的面 积为 ． 625
►
类型之四 数型结合猜想型；
例2：(2013 年甘肃兰州)如图 Z2-2，在下面直角
坐标系中，已知点 A(－3,0)，B(0,4)，对△OAB 连续 作旋转变换，依次得到△1，△2，△3，△4，„，则 △2013的直角顶点的坐标为_______．
2014中考复习专题
4 规律题
所谓规律探索题，指的是给出一组具有某种特定
关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、
变化过程，要求通过观察，分析，推理探究其中所蕴 含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．常见类 型：(1)数字猜想型；(2)数式规律型；(3)图形规律 型；(4)数形结合猜想型． 解题策略为： 从问题的简单情形或特殊情形入手，通
►
类型之一 数字猜想型；
例 1：(2013 年浙江湖州)如图Z2-1将连续正整数按以下规
85 律排列，则位于第 7 行第 7 列的数 x 是__________ ．
（11年）如下数表是由从1开始的连续自然数组成， 观察规律并完成各题的解答． 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 …………………………
答案：(8052,0)
名师点评：本题是对点的坐标变化规律的考查，难度不大，
仔细观察图形，得到每 3 个三角形为一个循环组依次循环是解 题的关键．
信念！有信念的人经得起任何风暴． ——奥维德
解析：第一行的第一列与第二列差2，第二列与第三列差3， 第三列与第四列差4，„，第六列与第七列差7； 第二行的第一列与第二列差 3，第二列与第三列差 4，第三 列与第四列差5，„，第五列与第六列差7； 第三行的第一列与第二列差 4，第二列与第三列差 5，第三
高一数学知识讲学专题01 集合 集合间的关系 集合的运算(word档含答案解析)
专题一集合、集合与集合的关系、集合的运算知识精讲一知识结构图二.学法指导1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.2. 集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．4.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．5.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.6.求集合交集的方法为：(1).定义法，(2)数形结合法．（2）．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．三.知识点贯通知识点1 元素与集合相关概念(1)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．例1.考察下列每组对象，能构成集合的是()①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④知识点二元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.(3)常见的数集及表示符号例题2：已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．知识点三集合间的关系1.判断集合关系的方法.1观察法：一一列举观察.2元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.3数形结合法：利用数轴或Venn图.2.集合A中含有n个元素，则有(1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个．(3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．3.空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．例题3 .已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.知识点四集合的运算1.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B；符号表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B}2．并集的性质A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆A∪B.3.对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫A与B 的交集，记作A∩B。
四年级数学数形结合经典题
数形结合是一种重要的数学思想，通过将抽象的数学语言与直观的图形相结合，可以帮助学生更好地理解数学概念和解决问题。
以下是一些适合四年级学生的数形结合经典题目：
1.小明用棋子摆成一个正方形实心方阵，最外边的一层共用96个棋子。
小明摆这个方
阵共用了多少个棋子？
2.小军用棋子摆成了一个空心方阵，最外边的一层共用棋子80个。
最里边的一层共用
棋子48个。
这个空心方阵共有几层？
3.小丽用棋子摆成了一个三角形实心方阵，最外边的一层共用72个棋子。
小丽摆这个
方阵共用了多少个棋子？
4.小华用棋子摆成一个空心三角形，最外边的一层共用96个棋子。
最里边的一层共用
24个棋子。
这个空心三角形共有几层？
5.小明用棋子摆成一个长方形实心方阵，最外边的一层共用88个棋子。
如果最外边一
边有n个棋子，那么这个长方形方阵共有多少个棋子？
这些题目需要学生通过观察图形，理解数形结合的思想，并运用数学公式和推理方法来解决问题。
专题一(数形结合-在二次根式的运用)
初三培优（专题一）二次根式的运算1.热身运动（1（22.二次根式的定义（1）已知222,_______x y +=则(2) 1a <当_______. 3.双重二次根式的化简（1 （24.同类二次根式（1）已知整数x,y =那么整数对（x,y ）的个数（ ）（2）已知x,y a b =+=求（ ） 5.综合运用已知15,2a b c +-=-求a+b+c 的值数形结合-在二次根式的运用一．最值问题1.已知a,b均为正数，且a+b=2,求。
2.已知整数x,y。
C为线段BD上的一动点，分别过B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC,已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；(2)请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？(3)根据（2的最小值二、面积问题背景引入：在△ABC 中，AB 、BC 、AC 51013道题时，先建立一个正方形网格（每个正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示。
这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积。
（1） 请你将△ABC 的面积直接填写在横线上。
____________思维拓展（2） 我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法，若△ABC 5a 、22a 、17a （a ＞0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的△ABC ，并求出它的面积。
探索创新（3）若△ABC 2216m n +2294m n +222m n +（m ＞0，n ＞0，且m n ≠），试运用构图法求出这个三角形的面积。
2.已知a,b 222222,4,4a b a b a b +++是三角形的三条边的长，求这个三角形的面积。
3.设a,b,c,d 为正实数，a<b,c<d,bc>ad,222222,,()()a c b d b a d c ++-+-，求此三角形的面积。
线段的计算专题训练(王老师整理)
（1）当电子蚂蚁走到BC的中点D处时，它离A,B两处的距离之和是多少？
（2）这只电子蚂蚁甲由D点走到BA的中点E处时，需要几秒钟？
（3）当电子蚂蚁甲从E点返回时，另一只电子蚂蚁乙同时从点C出发，向左移动，速度为秒3个单位长度，如果两只电子蚂蚁相遇时离B点5个单位长度，求B点的坐标
3、如图，已知AB=20，C为AB的中点，D为CB上一点，E为BD的中点，且EB=3，求CD的长。
4、如图，C、D、E将线段分成2：3：4：5四部分，M、P、Q、N分别是线段AC、CD、DE、EB的中点，且MN=21，求PQ的长。
5、如图，延长线段AB到C，使BC=2AB，若AC=6cm，且AD=DB，
2、已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。
⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。若不存在，请说明理由？
⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？
三、动态问题
1、如图，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB=14.
(1)若点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度。
(2)若点P在直线AB上，使说明线段MN的长度与点P在AB上的位置无关
(3)如图，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：
① 的值不变；② 的值不变。请选择一个正确的结论并其值。
专题一-数形结合思想训练
⽅法技巧专题⼀ 数形结合思想训练⼀、选择题1．我们学习了⼀次函数、⼆次函数和反⽐例函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究⽅法主要体现的数学思想是( )A．演绎 B．数形结合C．抽象 D．公理化2．若实数a，b，c在数轴上对应的点如图F1－1所⽰，则下列式⼦中正确的是( )图F1－1A．ac＞bcB．|a－b|＝a－bC．－a＜－b＜－cD．－a－c＞－b－c3．[2017·怀化]⼀次函数y＝－2x＋m的图象经过点P(－2，3)，且与x轴、y轴分别交于点A、B，则△AOB的⾯积是( )A． B. C．4 D．84．[2017·聊城]端午节前⼣，在东昌湖举⾏的第七届全民健⾝运动会龙⾈⽐赛中，甲、⼄两队500⽶的赛道上，所划⾏的路程y(m)与时间x(min)之间的函数关系式如图F1－2所⽰，下列说法错误的是( )A.⼄队⽐甲队提前0.25 min到达终点B.B．当⼄队划⾏110 m时，落后甲队15 mC．0.5 min后，⼄队⽐甲队每分钟快40 mD．⾃1.5min开始，甲队若要与⼄队同时到达终点，甲队的速度需提⾼到255 m/min5．[2016·天津]已知⼆次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)，在⾃变量x的值满⾜1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最⼩值为5，则h的值为( )A．1或－5 B．－1或5 C．1或－3 D．1或36．[2017·鄂州 ] 如图F1－3，抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于A(－2，0)和点B，交y 轴负半轴于点C，且OB＝O C.下列结论：①2b－c＝2；②a＝；③ac＝b－1；④＞0.其中正确的个数有( )图F1－3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个⼆、填空题7．如图F1－4是由四张全等的矩形纸⽚拼成的图形，请利⽤图中空⽩部分⾯积的不同表⽰⽅法，写出⼀个关于a，b的恒等式：________图F1－48．[2017·⼗堰]如图F1－5，直线y＝kx和y＝ax＋4交于A(1，k)，则不等式kx－6<ax＋4<kx的解集为________．图F1－59．《庄⼦·天下篇》中写道：“⼀尺之棰，⽇取其半，万世不竭”意思是：⼀根⼀尺的⽊棍，如果每天截取它的⼀半，永远也取不完，如图F1－6所⽰．由图易得：＋＋＋…＋＝________．图F1－610．当x＝m或x＝n(m≠n)时，代数式x2－2x＋3的值相等，则x＝m＋n时，代数式x2－2x ＋3的值为________．11．已知实数a、b满⾜：a2＋1＝，b2＋1＝，则2018|a－b|＝________．12．[2017·荆州] 观察下列图形：图F1－7它们是按⼀定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有________个点．13．(1)观察下列图形与等式的关系，并填空：(2)观察图F1－9，根据(1)中结论，计算图中⿊球的个数，⽤含有n的代数式填空：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(________)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝__________．三、解答题14．[2016·菏泽]如图F1－10，在平⾯直⾓坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．(1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D，求△BCD的⾯积；(3)若直线y＝－x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点，求b的取值范围．图F1－10。
专题提升一数形结合与实数的运算
A．a＜1＜－a
B．a＜－a＜1
C．1＜－a＜a
D．－a＜a＜1
【解析】 ∵实数a在数轴上原点的左边，∴a＜0，但
|a|＞1，－a＞1，则有a＜1＜－a.
全效学习中考学练测
4．[2013·宜昌]实数a，b在数轴上的位置如图4所
示，以下说法正确的是
D
(
)
A．a＋b＝0 C．ab＞0
全效学习中考学练测
全效学习中考学练测
计算：13－1－|－2＋ 3tan 45°|＋( 2－1.41)0. 解：原式＝3－|－2＋ 3|＋1＝3－(2－ 3)＋1＝3 －2＋ 3＋1＝2＋ 3.
全效学习中考学练测
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1．[2013·安徽]计算：2sin30°＋(－1)2－|2－ 2|. 解：原式＝2×12＋1－(2－ 2)＝1＋1－2＋ 2＝ 2.
2．[2013·重庆]计算：(－1)2 013－|－2|＋( 3－π)0× 3 8＋14－1.
解：原式＝－1－2＋1×2＋4＝3.
全效学习中考学练测
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1．[2011·贵阳]如图1，矩形OABC的边OA长为2，边 AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的 长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是
( D)
A．2.5 C. 3
全效学习中考学练测
图1 B．2 D. 5
【解析】 由勾股定理可知 OB＝ 22＋12＝ 5， ∴这个点表示的实数是 5.故选 D.
教材母题答图 由答图，得－ 2＜－1.4＜ 2＜1.5＜π＜3.3.
全效学习中考学练测
【思想方法】 (1)在实数范围内，每一个实数可以用 数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都可 以 表示一个实数．我们说实数和数轴上的点一一对应．
2019年中考数学复习讲义：专题(一)有理数与数轴的数形结合
专题一 有理数与数轴的数形结合要点归纳1．像2，31，0．25，π，30%等这样大于零的数叫做________；像－20，－32，－0．25，－30%等这样在正数前面加上负“－”的数叫做________．2．用正、负数可以表示具有相反意义的量，若一个相反意义的量中一个“意义”规定用“＋”表示，则另一个“意义”必定用“_______”表示．3．有理数按性质可分为_______、_______、______；整数和_______统称为有理数．4．我们把规定了_______、_______、______的直线叫数轴，这条直线上的任意数轴一个点表示一个数，原点左边的数都是______数，原点右边的数都是______数，在实际问题中，一个单位长度可表示一定的数量，如1米，1千米，400千克等．5．数轴上的点与有理数之间的关系：所有的______都可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点不都表示有理数．典例讲解经典再现一、正、负数的识别及应用例1 下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？＋0．007，－200，53，－45，0．666…，－9，20．5，0，－32 【思路点拨】由正、负数的定义进行判断．解：整数：＋0．007，53，0．666…，20．5；负数：－200，－45，－9，－32． 【方法规律】正数前面可以加“＋”号，也可以不加“＋”号；负数前面的“－”号不可以省略．判断一个数是不是负数，要看它是不是在正数的前面加“－”号，而不是看它是不是带有“－”号，特别注意 ，“－a ”不一定是负数，如－（－5）数不是负数．例2 课桌的高度比标准高度高2cm 记作＋2cm ，那么比标准高度低3cm 记作什么？现有5 张课桌，小明测量了它们的高度，记录如下：＋1cm ，0cm ，－1cm ，＋3cm ，－1．5cm ．若规定课桌的高度与标准高度相差最多不能超过2cm ，问上述5张课桌有几张合格？【思路点拨】具有相反意义的量可以分别用“＋”、“－”数来表示，与标准高相差2cm ，是指可以高2cm ，也可以低2cm ．解：比标准高度低3cm 记作－3cm ，这5张课桌中，合格的有：比标准高度：＋1cm 、0cm 、－1cm 、－1．5cm ，共4张．【方法规律】如果超过标准高度记为“＋”，那么不是（或低于）标准高度记为“－”，在判断几张桌子合格的问题中，我们不管超过还是低于标准高度，不看数前面的“＋”、“－”号，只看符号后面数是否小于或等于0．二、有理数的相关概念（1）整数：正整数、0、负整数的统称；（2）分数：正分数、负分数的统称；（3）有理数：整数和分数的统称；（4）有理数包括有限小数和无限循环小数．例3 下列说法中，正确的是（ ）A ．正有理数和负有理数统称为有理数B ．正整数和负整数统称为整数C ．整数和分数统称为有理数D ．非正整数就是指零、负整数和所有分数【思路点拨】A 选项中，有理数应包括正有理数、0和负有理数；B 选项中也漏掉了0；D 选项中，非正整数是指负整数和0．解：C三、有理数的分类例4 把下列各数填在相应的横线上．－25，3．14，48，－32，－0．40，0，＋34，－3．5，1，41 （1）⎩⎨⎧________________________________分数：整数：有理数 （2）⎪⎩⎪⎨⎧____________________________________________负有理数：零：正有理数：有理数【思路点拨】此题考察有理数的两种分类方式，注意0是整数．解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-+---41,5.3,34,40.0,32,14.31,0,48,25:分数：整数有理数 （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----+5.3,40.0,32,25041,1,34,48,14.3负有理数：零：正有理数：有理数 【方法规律】对有理数进行分类时，必须按照同一标准，不能将两种分类方式混在一起，小数（有限小数、无限循环小数）都是分数．例5 下面四个结论中，正确的结论是（ ）A ．两个不同的整数之间必有一个正分数B ．两个不同的整数之间必有一个整数C ．两个不同的整数之间必有一个有理数D ．两个不同的整数之间必有一个负数【思路点拨】对于A ，如果是两个负整数，那么中间就没有正分数；对于B ，如果是两个连续的整数，中间就再没有整数；对于D ，如果两个整数是正整数，中间就没有负数；只有C ，不论是怎样的两个不同的整数，中间必有有理数，如2和3中间有25，－2，－3之间有－25． 解：选C【方法规律】如果一个说法（结论）不正确，可举反例说明．四、数轴上的点和数例6 指出下面数轴上A 、B 、C 、D 、O 各点分别表示什么数？【思路点拨】数的性质A 点、B 点在原点的左侧，表示的是负数；C 点、D 点在原点的右侧，表示的数是整数，0点在原点；其次，还要确定每个点到原点的距离．解：点A 表示－5，点B 表示－1，点C 表示2，点D 表示5，点O 表示0．【方法规律】本题一个单位长度表示2，而不是1，容易看错，确定数轴上的点表示的数，一定性质，二定距离．例7 数轴上表示到3的点的距离是5的点表示的数是__________．【思维点拨】数轴上与表示3的点相距5个单位长度的点有两个，一个表示3的点的右侧且相距5个单位长度，另一个表示3的点的左侧且相距5个单位长度．解：8或－2【方法规律】距离是一个长度，在数轴上表示与某个点的距离为a （a ＞0）的点时，用分类讨论思想时要考虑在这个点左侧且距此点a 个单位长度有一个点；在这个点右侧且距此点a 个单位长度也有一个点．五、画数轴画数轴时，一定要体现出数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，画数轴的步骤可归纳为：一画、二定、三选、四统一、五标数，即画直线、定原点、选取正方向，统一单位长度，确定要表示的数的对应点的位置．例8 如图，数轴上有A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点，每两个相邻的点的距离相等，那么下列说法中错误的是（ ）A ．表示原点的数在C 、D 之间B ．有三个点表示的数是负数C ．这六个数中没有表示整数的点D ．C 点与原点最接近【思维点拨】A 点到F 点的距离是436，且相邻的点之间的距离相等，所以每两个相邻点间距离为427÷5=2027，原点在C 、D 之间，213＞413，因此原点靠近D 点，A 、B 、C 三点表示的数是负数，B 点表示的数是分数．解：D拓展研究一、正、负数应用在一些实际生产和生活的问题中，并没有出现常见的意义相反的量，而是把其中某一个量规定为“0”这个量作为正、负数的界限，解决问题时，要按题目的要求正确理解整数、负数所代表的实际的量的真正意义，把实际的量进行转化．例1 图中这个游戏叫做（井底之蛙），一个人或几个人玩，每人投一次骰子（可以是一粒或二粒），按点数井底之蛙开始往上爬，爬到哪一格，就按那一格的数字再往上升或往下降，只有升到井上或回到井底，才轮到第二个人．例如，投得3，往上爬三格，得“＋1”，再升一格，又得“－4”，降四格回到井底，于是轮到第二个人投骰子．现在轮到你投骰子，请你简要分析一下，如果你投到哪些数，就可以把青蛙送到井上，不再坐井观天．【思路点拨】读懂题意，将每个数按题意上升或下降这些格，看是否送到井上，是否仍回井底． 解：投到8~12时，可以把青蛙送到井上；投到1~7时，青蛙回到井底．【方法规律】理解正、负数的意义是解题的关键．二、有理数分类中0的位置0既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界，是唯一的中性数．例2 下列说法正确的有（ ）①一个有理数不是正数就是分数； ②一个有理数不是正数就是负数；③一个整数不是正数就是负数； ④一个分数不是正数就是负数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路点拨】一个有理数可能是正数、负数或0，整数也包括零，其中①④是正确的． 解：B【方法规律】在有关有理数概念的考察中，0最容易被忽视，要防止“一个有理数非正即负”和“一个整数非正即负”的错误出现．三、利用正、负数探究数字的排列规律例3 观察下列依次排列的两列数，它们的排列有什么规律？你能说出这两列数的第48个数，第101个数，第2019个数分别是什么吗？（1）－1，21，－3，41，－5，61，－7，81，…； （2）21，0，－21，0，21，0，－21，0，…． 【思路点拨】（1）这列数从数的性质看正、负交替出现，再考虑分子、分母的变化规律；（2）这列数是0、21交替出现，再考虑性质符号的变化规律． 解：（1）这列数的排列规律是：对于第n 个数，n 为奇数时，此数是－n ，n 为偶数时，此数是n 1，因此，第48个数为481，第101个数为－101，第2019个数为－2019． （2）这列数的排列规律是：21，0，－21，0，…，从前往后奇数位上数是21或－21，偶数位上是0，位数除4余1的是21，位数除4余3的是－21，所以，第48个数是0，第101个数是21，第2019个数是－21． 【方法规律】从数的性质和除性质外的数的大小两方面寻找规律．四、有理数分类中小数的划分例4 下列各数中，哪些是有理数，哪些不是有理数？722，－3.0 ，－31，0．121121112…，0．676767…，π，－π，0．4． 【思路点拨】722，－31是分数，－3.0 ，0．676767…是循环小数，可以化为分数，0．4是有限小数，也可以化为分数，所以都是有理数．0．121121112…，π，－π都是无限不循环小数，不能化为分数，所以不是有理数．解：有理数：722，－3.0 ，－31，0．676767…，0．4； 不是有理数：0．121121112…，π，－π．【方法规律】小数有三类：有限小数，无限循环小数和无限不循环小数，其中有限小数与无限小数都可以化为分数，故都是有理数，无限不循环小数不是有理数，分数可化为有限小数或无限循环小数．五、数轴上的数形结合例5 如图，数轴上有A 、B 、C 三个点，请回答下列问题：（1）将B 点在数轴上移动3个单位长度后，所表示的数是什么？（2）怎样在数轴上移点C ，使移动后的C 点（不与B 点重合）与A 点的距离等于B 点与A 点的距离？此时C 点表示的数是什么？【思维点拨】（1）B 点在数轴的移动可向正方向，也可向负方向，有两个结果；（2）A 、B 两点间的距离是2，C 点向左移动，可在A 点左边，也可在A 点右边距离为2，但A 点右边距离为2的点与B 点重合，应排除．解：（1）－5或1（2）将C 点向左移动9个单位长度，此时C 点表示的数是－6．【方法规律】到数轴上某点的距离为a （a ＞0）的点有两个，在该点左、右两边各有一个点．六、数轴的实际应用利用数轴解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学模型，确定好原点、正方向和单位长度，将实际问题在数轴上表示出来，再根据要求求解．例5 某人从A 地向东走10米到达B 地，然后向西走4米到达C 地，又向东走7米到达D 地，问此人现在在A 地的哪个方向？距A 地多远？【思路点拨】本题可借助数轴来解决，按照此人行走的方向和距离找出他三次行走后的位置．解：设A 地是原点，向东为正方向，以1米为一个单位长度，由图可知D 在A 地的正东方向，距A 地13米．【方法规律】本题运用数形结合思想解决问题，根据已知条件画出一条数轴，在数轴上讲三次运动过程表示出来，便能顺利解决问题．实战演练A 链接中考1．孔子出生于公元前551年，如果用－551表示，那么下列中国历史文化名人的出生年代表示为：①司马迁出生于公元前145年：__________；②李白出生于公元701年：_______．2．林艳在东西向的路上，先向东走30米，又向西走30米，她一共走了______米，她最后的位置是在_________．3．已知在数轴上有A、B两点，点A、B之间的距离为1，点A与原点的距离为3，那么点B表示的数是__________．4．数轴上的点A、B位置如图所示，则线段AB的长度为_______．5．点A为数轴上距原点距离4个单位长度的点，A点表示的数是_______．6．下列各组量具有相反意义的是（）A．收入3000元与增加5000元 B．向东走5km与向南走3．5kmC．温度上升12℃与水位下降 D．七（5）班在比赛中胜3场与负3场7．下列说法中正确的有（）①小数都是有理数；②存在最小的自然数；③－0．001是分数，也是有理数A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8．如图，数轴上的点A表示的数可能是（）A．2．4 B．－2．4 C．－1．6 D．－1．49．点A在数轴上表示－2的点所在的位置，当点A沿数轴移动5个单位长度到达点B时，点B表示的有理数是（）A．3 B．－7 C．3或－7 D．无法确定B 冲刺中考10．下列说法中，正确的个数有（）①0℃表示没有温度；②0是最小的整数；③0是偶数，也是自然数；④不带负号的数都是整数；⑤带负号的数不一定是负数A．0个 B．1个 C．2个 D．3个11.下列说法中错误的是( )A.正整数一定是自然数 B．自然数一定是正整数C．一个有理数不是整数就是分数 D．任何有理数都可以表示为分数12.下列说法正确的是( )A.规定了原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上原点及原点右边的点表示的数是非正数C．有理数如11000-在数轴上无法表示 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到13. 一次月考中，新欣所在班级平均分为95分，把高出平均分的部分记作正数，新欣105分，记为____，兰慧记-12分，她实际得分为分．14.下列四个判断中，错误的是( )A.存在着最小的自然数 B．存在最小的正有理数C．不存在最大的正有理数 D．不存在最大的负有理数15. -a 一定是( )A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．正数或零或负数16.下列说法错误的是( )A.数轴上原点右边的点表示的数是正数 B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非正数C．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 D．数轴上距离原点3个单位长度的点所表示的数是3 17.已知数轴上的点A到原点的距离为2个单位长度，那么数轴上到点A的距离是3个单位长度的点所表示的数是( )A.5 B．±5 C．±1 D．±1或±518.若b为正数，利用“<“号连接a，a-b，a+b为____．19.写出5个数（不能重复），同时满足下列三个条件：①其中三个数是非正数；②其中三个数非负数；③五个数都是有理数，这五个数可以是．20．数轴上点A表示3，点B表示-4.5，点C表示-2，则点A和点B中，距离点C较远的点是___ _．21.点A在数轴上距原点3个单位长度，且位于原点的右侧，若将点A向左移动4个单位长度，此时点A 所表示的数是____，若点B表示的数是点A开始时所表示的数的相反数，作同样的移动以后，点B所表示的数是____．22.点A、B、C、D、E在数轴上的位置如图所示，其中，B、C、E分别为相邻整数点的中点，请回答下列问题：(1)点A、B、C、D、E各表示什么数？(2)点A、B之间的距离是多少？点B、E之间的距离是多少？(3)现在把数轴的原点取在点C处，其余都不变，那么点A、B、C、D、E又分别表示什么数？23.观察下列各数12345,,,,23456---，…(1)写出第10个数；(2)写出第2019个数．24.检修组乘汽车，沿公路检修线路，约定向东为正，向西为负，某天自A地出发，到收工时，行走记录为（单位：千米）：+8，-9，+4，+7，-2，-10，+18，-3，+7，+5(1)收工时在A地的哪边？距A地多少千米？(2)若每千米耗油0.4升，问从A地出发到收工时，共耗油多少升？25.如图，数轴上A、B两点对应的有理数都是整数，若A、B对应的有理数a、b满足b- 2a=5，那么请指出数轴上原点的位置．C决战中考26.将111111,,,,,,23456---…按一定规律排列如下：第1行 1第2行12-13第3行14-1516-第4行1718-19110-第5行111112-113114-115则第20行从左到右第10个数是 .27．在数轴任取一条长度为201913个单位长度的线段，则此线段在数轴上最多能盖住的整数点个数为( )A. 2019B.2019C.2019D.201928.小明家、学校、邮局、图书馆坐标落在一条东西走向的大街上，依次记为A、B、C、D，学校位于小明家西150米，邮局位于小明家东100米，图书馆位于小明家西400米．(1)用数轴表示A、B、C、D的位置（建议以小明家为原点）；(2)一天，小明从家里先去邮局寄信后，以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟，试问这时小明约在什么位置？距图书馆和学校各约多少米？29.如图，一条笔直的流水线上，依次有5个卡通人，它们站立的位置在数轴上依次用点M1、M2、M3、M4、M5表示．(1)点M2和M5所表示的有理数是什么？(2)点M1和M4之间的距离为多少？(3)怎样将点M3移动，使它先到达M2，再到达M5，请说明；(4)若原点是一休息游乐所，那么5个卡通人到游乐所休息的总路程为多少？2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC的长是( )A.4B.5C.6D.72．如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA3．如图，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝10cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，使点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G（图1），再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M（图2），则EM的长为（）A．165B．83C．85D．1034．下列各式因式分解正确的是( )A．a2+4ab+4b2=(a+4b)2B．2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2C．3a2-12b2=3(a+4b)(a-4b) D．a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)5．方程的解是（）A. B. C. D.6．一次函数y1＝x＋1与y2＝－2x＋4图像交点的横坐标是（）A.4B.2C.1D.07．一组数据：201、200、199、202、200，分别减去200，得到另一组数据：1、0、﹣1、2、0，其中判断错误的是（）A．前一组数据的中位数是200B．前一组数据的众数是200C．后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去200D ．后一组数据的方差等于前一组数据的方差减去2008．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，以B 为圆心，AB 为半径作AC ，在扇形BAC 内作⊙O 与AB 、BC 、AC 都相切，则⊙O 的周长等于（ ）A ．49π B ．23π C ．43π D ．π9．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，CB CD =，∠CAD ＝30°，∠ACD ＝50°，则∠ADB ＝（ ）A ．30°B ．50°C ．70°D ．80°10．在算式2009201020112012⨯⨯⨯中，你估计哪一个因数值减小1导致乘积减小最大？( )A ．2009B ．2010C ．2011D ．201211．如图，在Rt △ABC 中，已知∠ACB ＝90°，BC ＝3，AB ＝5，扇形CBD 的圆心角为60°，点E 为CD 上一动点，P 为AE 的中点，当点E 从点C 运动至点D ，则点P 的运动路径长是 ( )A ．2πB ．6πC ．πD ．3212．已知点A （t ，y 1），B （t+2，y 2）在抛物线212y x =的图象上，且﹣2≤t≤2，则线段AB 长的最大值、最小值分别是（ ）A ．25，2B ．25，22C ．210，2D ．210，22二、填空题 13．据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为_______。
高一数学专题1-数形结合思想含答案
数形结合思想一．作图、识图、用图技巧(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换． 描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究．(4)利用基本函数图象的变换作图①平移变换：y ＝f (x )――→h >0，右移|h |个单位h <0，左移|h |个单位y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k >0，上移|k |个单位k <0，下移|k |个单位y ＝f (x )＋k . ②伸缩变换：y ＝f (x )错误!y ＝f (ωx )，y ＝f (x )――→0<A <1，纵坐标缩短到原来的A 倍A >1，纵坐标伸长到原来的A 倍y ＝Af (x )．③对称变换：y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )，y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )，y ＝f (x )――→关于直线x ＝a 对称y ＝f (2a －x )，y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )．f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )． 二、通法归纳与感悟1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化(1)集合的运算及韦恩图；(2)函数及其图像；(3)方程(多指二元方程)及方程的曲线；(4)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可；(5)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图像求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用．2．运用数形结合的思想分析解决问题时，应把握以下三个原则(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导．(2)双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．(3)简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单，而不是去刻意追求代数问题运用几何方法，几何问题运用代数方法．三、利用数形结合讨论函数零点、方程的解或图像的交点利用数形结合求方程解应注意两点(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．1． (2013·长沙模拟)若f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A. ⎣⎡⎭⎫0，12 B. ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C. ⎣⎡⎭⎫0，13 D. ⎝⎛⎦⎤0，12 2. 若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内零点的个数是 ( )A ．5B ．7C ．8D ．10解析:C3.已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g x f =有两学科网个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）），（210（B ）），（121（C ）），（21（D ）），（∞+2 4．(文)已知函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是( )A ．5B ．7C ．9D ．106．函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A ．2 B ．4C ．6D ．8二、利用数形结合解不等式或求参数利用数形结合解不等式应注意的问题解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致运算过程繁琐冗长．如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会顺利地得到解决．7. (1)使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是_______．(2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________． 8. 当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围为( )A ．(2,3]B ．[4，＋∞)C ．(1,2]D ．[2,4)9. (理)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1，设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，2]∪(－1，32) B ．(－∞，－2]∪(－1，－34) C ．(－1，14)∪(14，＋∞) D ．(－1，－34)∪[14，＋∞) 10. (理)(2015·安徽理，9)函数f (x )＝ax ＋b x ＋c 2的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) 5A ．a ＞0，b ＞0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜011. (理)已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x <3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集是( )A ．(－3，－π2)∪(0,1)∪(π2，3)B ．(－π2，－1)∪(0,1)∪(π2，3) C ．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3) D ．(－3，－π2)∪(0,1)∪(1,3) 13．(文)(2014·哈三中二模)对实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1b ，a －b >1，设函数f (x )＝(x 2＋1)*(x ＋2)，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(2,4]∪(5，＋∞)B ．(1,2]∪(4,5]C ．(－∞，1)∪(4,5]D ．[1,2]三、利用数形结合求最值利用数形结合求最值的方法步骤第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义．一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义．第二步：转化为几何问题．第三步：解决几何问题．第四步：回归代数问题．第五步：回顾反思．应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：(1)比值——可考虑直线的斜率；(2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3)根式分式——可考虑点到直线的距离；(4)根式——可考虑两点间的距离．14已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是 ( )A ．1B ．2 C. 2 D.2215．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心16．对于任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3 中的较大者，则f (x )的最小值是( ) A ．2 B ．3C ．8D ．－117．(文)设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ gx ＋x ＋4，x ＜g x g x －x ，x ≥g x ，则f (x )的值域是( )A ．⎣⎡⎦⎤－94，0∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．⎣⎡⎭⎫－94，＋∞ D ．⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞) 18. (理)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M 、N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1B ．12C ．52 D ．22。
北师大版七年级上册数形结合专题—解答题训练
七年级上册数形结合专题数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
数形结合思想是数学中重要的思想方法，它根据数学问题中的条件和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙的结合起来，并充分利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法。
几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的操作性强，便于把握。
1.在数学活动中，小明为了求n 2121212121432+⋅⋅⋅++++的值（结果用n 表示），设计了如图①，所示的几何图形．（1）请你用这个几何图形求n 2121212121432+⋅⋅⋅++++的值．（2）请你用图②，在设计一个能求n 2121212121432+⋅⋅⋅++++的值的几何图形．2.（1）阅读下面材料：点Ba BA,两点之间的距离表示为AB．,bA,在数轴上分别表示实数,当BA,两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a-b| 当A、B两点都不在原点时，①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a －b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是______________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________________；②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是______________，如果|AB|＝2，那么x为_________；③当代数式|x＋1|十|x－2|取最小值时________，相应的x的取值范围是___________．④求1997...321-++-+-+-x x x x 的最小值．3.已知d c b a ,,,为有理数，在数轴上的位置如图所示：且64366====d c b a ，求c b a b d a -+---22323的值．4.数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应的数为a、b、c、d，且满足a，b是方程|x+9|=1的两根（a＜b），(c-16)2与|d-20|互为相反数，（1）求a、b、c、d的值；（2）若A、B两点以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时C、D两点保持不动，并设运动时间为t秒，问t为多少时，A、B两点都运动在线段CD上（不与C、D两个端点重合）（3）若A、B两点以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时C、D两点以2个单位长度/秒向左匀速运动，并设运动时间为t秒，问t为多少时，A、B两点都运动在线段CD上（不与C、D两个端点重合）？5.如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t ＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN 的长；6.已知数轴上A，B两点对应数分别为 2和4，P为数轴上一点，对应数为x。
专题分类训练3 数形结合与无理数
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解：(1)有两种情况，见如图的两个三角形． (2)面积是 2 的正方形如图所示． (3)A、B 所对应的点分别是－ 2和 5.
第 18 页
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第 12 页
3．如图，数轴上有 A、B、C、D 四点，根据图中各点的位置，所表示的数
与 5－ 11最接近的点是( D )
A．A
B．B
C．C
D．D
4．如图，点 A，B 在数轴上，以 AB 为边作正方形，该正方形的面积为 8，
若点 A 对应的数是－2，则点 B 对应的数是( A )
图形面积割补与无理数 第8 页
(2)现有5个边长为2的正方形，排列形式如 图1，请在图1中用分割线把它们分割后标 上序号，重新在图2中拼接成一个正方形(标 上相应的序号)，并指出正方形的边长． 解：(1)如图所示：
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图形面积割补与无理数 第9 页
AB＝ 2 CD＝ 8 EF＝ 18 (2)如图所示：边长为 20.
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【变式】 (1)在下列4×4方格图中，每个小正方形的边长都为1，请在每一个图 中分别画出一条线段，且它们的长度均表示不等的无理数．
表示：________ 表示：________ 表示：________ (注：横线上填入对应的无理数)
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A．2 2－2
B．2－2 2
C．2 2
D．2 2＋2
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5．如图，在数轴上点A和点B之间的整数有___－__1_、__0_、__1_、__2____．
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专题一 ┃ 数形结合题
2012山东 [2012· 唐山丰润模拟] 盐酸和滴有酚酞的氢 氧化钠溶液发生反应时，溶液 pH 变化如图 Z1－5 所示， 有关说法不正确的是 ( B )
A. 该实验是向氢氧化钠溶液中滴 入盐酸 B. x 点时，溶液中只含有一种溶质 C. y 点表示盐酸和氢氧化钠恰好 完全反应 D. y 点和 z 点时，溶液均呈现无色
专题一 ┃ 数形结合题
► 类型三
其他综合类
命题角度：综合各种图像工具表示化学变化或数值变 化关系。 2012山东 图 Z1－6 中甲、乙、丙、丁表示 例 3 [2011· 河北] 相邻两物质相互混合过程中溶液酸碱度的变化， 其中可能 符合图 Z1－7 所示变化关系的是 ( D )
A. 甲 B．乙 C．丙 D．丁
图Z1－6
图Z1－7
专题一 ┃ 数形结合题
[解析] 根据图示，反应起始溶液 pH 大于 7，溶液 呈碱性，随着反应的进行 pH 逐渐减小到小于 7，溶液 呈酸性。因此应为一种碱性物质和酸性物质间的反应， 所以符合条件的只有氢氧化钙和硫酸的反应。
C. 根据铁的含碳量，将其分成生铁和钢：
D. 物质形成溶液的 pH：
专题一 ┃ 数形结合题
[解析] 相同质量和溶质质量分数的硫酸和足量金属 (Zn、Fe、Mg)反应时，产生的氢气质量相同，因此，Zn、 Fe、Mg 应在同一点。
[方法点拨] 数轴类试题首先要读懂数轴与化学物理量 的对应关系，关注数轴中关键点，然后结合相关化学知识进 行对应，如数轴表示溶液 pH 关系时，把握关键点为 7 而不 是零。
专题一 ┃ 数形结合题
►
类型一
数轴应用类
命题角度：化学知识借助数轴数值关系表现。
例1 [2011· 邢台一模] 用数形结合的方法表示某些化学知 2012山东 识直观、简明、易记。下列表示错误的是 ( A ) ．． A. 50 g 19.6%的稀硫酸与足量的金属反应产生氢气的质 量： B. 硫及其化合物与化合价的关系：
图Z1－5
专题一 ┃ 数形结合题
[解析] 根据曲线起点大于 7 可知该实验是向氢氧 化钠溶液中滴加盐酸；x 点时二者没有恰好反应，氢氧 化钠有剩余，因此溶液中溶质除氯化钠外还有氢氧化 钠；y 点溶液 pH＝7 表示二者恰好反应完；z 点表示盐 酸过量，酚酞在酸性和中性环境中都呈无色。
专题一 ┃ 数形结合题
专题一 ┃ 数形结合题
[2012· 南京] 某同学测得一些物质的 pH 如 图 Z1－3 所示，其中显碱性的是 ( D )
A．苹果汁 B． 汽水 C. 酱油 D．洗发水
[解析] 碱性溶液的 pH 大 于 பைடு நூலகம்，据柱状图可知洗发水的 pH 大于 7。
图Z1－3
专题一 ┃ 数形结合题
[2012· 2012山东 石家庄 42 中一模] 下列四个图像能正 确反映其对应实验操作的是 ( C )
专题一 ┃ 数形结合题
[2011· 邢台模拟] 图 Z1－2 是甲、乙、丙三种 2012山东 物质的溶解度曲线，从图中获得的信息错误的是( D )
A. t2 ℃时丙物质的溶解度最小 B. 甲的溶解度受温度的影响最大 C. 要使 t1 ℃时甲的饱和溶液变 成不饱和溶液可以采取升高温度的方法 D. t2 ℃ 时，往 100 g 水中加入 90 g 乙，充分搅拌后得到 190 g 乙的溶液
图Z1－1
专题一 ┃ 数形结合题
下列叙述正确的是 A．相对原子质量 N＞M B.两个反应生成 H2 的质量相等 C.金属的活泼性 N＞M D.两个反应消耗盐酸的质量一定相等
(
A
)
专题一 ┃ 数形结合题
[解析] 相同质量的金属(M、 在生成物中均为＋2 价) N 和足量稀盐酸反应时，产生氢气的质量与金属相对原子质 量呈反比，反应在图像中呈现平台高低差异。且越活泼的 金属反应越剧烈，图像拐点出现得越早。根据图示，M 比 N 产生氢气质量多，因此 M 的相对原子质量比 N 小，因为 M 比 N 反应剧烈，所以 M 比 N 活泼。根据化学反应中元素 守恒原则，氢气中的氢元素全部来源于稀盐酸中，因为产 生的氢气质量有差异，所以消耗盐酸的质量一定有差异。
专题一 ┃ 数形结合题
专题一 数形结合题 专题一 数形结合题
专题一┃ 数形结合题
数形结合是一种重要的数学思想，所谓数形结合，就是 将已知条件或信息、变化中的量的关系用直线或曲线等图像 的形式表示出来。数形结合使变化关系更加形象直观、简明 清晰，化学试题融合数形增强了试题的综合性及知识广泛 性，这类试题不仅能考查学生对化学知识的掌握程度，还能 考查学生观察、分析、思考等综合运用知识的能力。 解答方法：一是要建立数形结合的思想，明确“图形” 是解决问题的工具，读懂图形的含义(如横纵坐标表示的意 义)非常重要；二是根据问题的背景、数量关系、图形特征， 将“数”的关系借助于“形”来观察，将“形”的问题借助 于“数”来思考；三是善于对比，发现不同数值关系在同一 图形中表示时的差异。
专题一 ┃ 数形结合题
►
类型二 坐标系应用类
命题角度：化学知识借助坐标数值关系表现，主要有溶液 的 pH、溶解度、物质质量等等。
2012山东 例 2 [2011· 邯郸一模] 相同质量 的 M、N 两种活泼金属，分别与足量的 相同质量分数的盐酸反应(M、 在生成 N 物中均为＋2 价)，生成 H2 的质量和反 应时间的关系如图 Z1－1 所示。
图Z1－2
专题一 ┃ 数形结合题
[解析] 根据溶解度曲线图可知，t2 ℃时三种物质的溶 解度由大到小依次为甲、乙、丙；甲的溶解度曲线最陡， 说明甲的溶解度受温度的影响最大；因为甲物质的溶解度 随温度的增大而增大，因此如果将甲的饱和溶液变为不饱 和溶液可以升高温度；t2 ℃ 时，乙的溶解度小于 90 g，因 此得到的乙溶液质量小于 190 g。
[方法点拨] 解读坐标图形： 用坐标图表示化学反应中物 质量的变化关系是一种常用的方法。常见这类试题考点有溶 解度曲线、溶液 pH 、金属和酸反应产生氢气、各物质反应 过程中的质量关系等等。这类题常见做法一是要读懂横纵坐 标的含义，坐标图曲线表示纵坐标量随横坐标量的变化而变 化的关系；二是观察变化趋势，根据化学知识确定曲线的变 化趋势；三是要注意“三点”，即：起点、拐点、终点，有 的变化曲线是有拐点和终点，有的变化曲线是没有终点和拐 点的；四是当两条或两条以上的曲线在同一坐标系中表示 时，要注意数值大小关系、反应剧烈关系等一致。
图Z1－4
专题一 ┃ 数形结合题
A. ①高温煅烧一定质量的石灰石 B. ②用等质量、等浓度的双氧水分别制取氧气 C. ③向一定体积的稀盐酸中逐滴加入氢氧化钠溶液 D. ④某温度下，向一定量饱和硝酸钾溶液中加入硝 酸钾晶体
专题一 ┃ 数形结合题
[解析] “高温煅烧一定质量的石灰石”，固体质量 在开始升温过程中不变，随着温度升高碳酸钙开始分解 产生气体，固体质量逐渐减小，当反应结束后固体剩余 为氧化钙，固体质量不为 0。“用等质量、等浓度的双氧 水分别制取氧气”，过氧化氢分解中加入催化剂只改变 反应速率，不改变生成物的质量。“某温度下，向一定 量饱和硝酸钾溶液中加入硝酸钾晶体”，溶液已经饱和， 因此不能继续溶解溶质，所以溶液的溶质质量分数不再 变化。