《挑战中考数学压轴题》之几何证明及通过几何计算进行说理问题

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中考数学压轴题的常见类型与解题思路

中考数学压轴题的常见类型与解题思路中考数学压轴题通常是对学生多个知识点综合考察的题目，要求考生综合运用所学的数学知识进行解答。

下面是一些常见类型的中考数学压轴题及其解题思路。

1. 几何题几何题是中考数学中常见的题型之一。

几何题涉及图形的性质、计算图形的面积、周长和体积等等。

解决几何题的关键是要熟悉几何的基本定理和公式，并通过观察图形性质找到解题思路。

2. 基础运算题基础运算题是中考数学中的重点内容，包括四则运算、分数运算、百分数运算等等。

解决基础运算题的关键是熟练掌握运算规则和方法，有条理地进行计算。

3. 等式方程题等式方程题是中考数学中常见的题型之一。

解决等式方程题的关键是要根据题目给出的条件建立方程，然后通过运用方程的性质解题。

在解题过程中，要注意合理运用方程的基本性质和解方程的方法。

4. 函数题函数题是中考数学中的重要内容，要求考生熟练掌握函数的定义、性质和运算。

解决函数题的关键是要根据给定的函数关系或函数图像进行分析，确定函数的性质，并运用函数的定义和性质解答问题。

5. 统计与概率题统计与概率题是中考数学中常见的题型之一。

解决统计与概率题的关键是要对给定的数据进行统计分析，找到规律，并运用统计学和概率学的知识解答问题。

6. 证明题证明题是中考数学中的重点内容，要求考生运用数学的推理和证明方法，通过有条理的推理过程证明结论。

解决证明题的关键是要理解证明的目标和要求，清晰地表述证明过程，运用合适的证明方法解答问题。

解决中考数学压轴题的关键是要熟练掌握数学的基本知识和运算方法，同时要灵活运用数学知识，善于找到解题的思路和方法。

在解题过程中，要注重思维的逻辑性和严密性，慎重选择解题思路，合理运用数学知识解答问题。

通过对各个题型的系统练习和深入理解，可以提高解题能力，应对中考数学压轴题。

中考数学几何证明题答题技巧及解题思路

中考数学几何证明题答题技巧及解题思路1500字中考数学几何证明题是中考数学中的重点和难点部分，要想在考试中得到高分，需要具备一定的解题思路和答题技巧。

下面将介绍几种常见的数学几何证明题的解题思路和答题技巧。

1. 利用已知条件进行推理对于数学几何证明题，往往会给出一些已知条件，这些条件可以用来进行推理和证明。

在解题时，需要先理清题意，理解已知条件，然后运用相关的定理和性质进行推导。

2. 运用余角性质和对称性质在几何证明题中，角的余角和角的对称性质经常被使用。

如果已知两个角互为余角，可以根据余角定理进行推理；如果已知两个角互为对称角，可以根据对称性质进行推导。

3. 利用平行线性质几何证明题中经常会涉及到平行线的性质。

如果已知两条直线平行，可以根据平行线的性质来进行推理和证明。

比如，如果已知两个角的对边分别平行，可以推出这两个角相等。

4. 运用等腰三角形和相似三角形的性质在几何证明题中，等腰三角形和相似三角形的性质也经常会被使用。

如果已知两边等长，可以推导出两个角相等；如果已知两个角相等，可以推导出两边等长。

如果已知两个三角形相似，可以运用相似三角形的性质来进行推理。

5. 利用三角形的角平分线和垂直平分线的性质在几何证明题中，三角形的角平分线和垂直平分线的性质也经常会被使用。

如果已知一个角的平分线和垂直平分线重合，可以推导出这个角是直角。

6. 运用勾股定理和正弦定理勾股定理和正弦定理是解决几何证明题中常用的工具。

如果已知一个三角形是直角三角形，可以利用勾股定理进行推导；如果已知三角形的边长和角度，可以利用正弦定理进行推导。

总结起来，解决几何证明题的关键在于理清题意，抓住已知条件，灵活运用相关的定理和性质，进行推理和证明。

熟练掌握几何证明题的解题思路和答题技巧，对于提高解题效率和得到高分非常有帮助。

中考压轴题汇编《几何证明及通过几何计算进行说理》含真题分类汇编解析

3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 年杭州市中考第22题如图1，在△ABC中，BC＞AC，∠ACB＝90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若13ADDB，AE＝2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由．图1例2 2017年安徽省中考第23题如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上的一动点，过P作PM//AB交AF 于M，作PN//CD交DE于N．（1）①∠MPN＝_______°；②求证：PM＋PN＝3a；（2）如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON．求证：OM＝ON．（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊的四边形，并说明理由．图1 图2 图3例3 2018年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, －3)．（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．①求正方形的ABCD的面积；②联结P A、PD，PD交AB于点E，求证：△P AD∽△PEA．3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题答案例1 2017年杭州市中考第22题如图1，在△ABC中，BC＞AC，∠ACB＝90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若13ADDB=，AE＝2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“15杭州22”，拖动点D在AB上运动，可以体验到，CP既可以是△CFG的高，也可以是△CFG的中线．思路点拨1．△CFG与△EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况．2．高和中线是直角三角形的两条典型线，各自联系着典型的定理，一个是直角三角形的两锐角互余，一个是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．3．根据等角的余角相等，把图形中相等的角都标记出来．满分解答（1）由∠ACB＝90°，DE⊥AC，得DE//BC．所以13AE ADEC DB==．所以213EC=．解得EC＝6．（2）△CFG与△EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况：①如图2，当∠1＝∠2时，由于∠2与∠3互余，所以∠2与∠3也互余．因此∠CPF＝90°．所以CP是△CFG的高．②如图3，当∠1＝∠3时，PF＝PC．又因为∠1与∠4互余，∠3与∠2互余，所以∠4＝∠2．所以PC＝PG．所以PF＝PC＝PG．所以CP是△CFG的中线．综合①、②，当CD是∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的高，也是中线（如图4）．图2 图3 图4考点伸展这道条件变换的题目，不由得勾起了我们的记忆：如图5，在△ABC中，点D是AB边上的一个动点，DE//BC交AC于E，DF//AC交BC于F，那么四边形CEDF是平行四边形．如图6，当CD平分∠ACB时，四边形CEDF是菱形．图5 图6如图7，当∠ACB＝90°，四边形CEDF是矩形．如图8，当∠ACB＝90°，CD平分∠ACB时，四边形CEDF是正方形．图7 图8例2 2017年安徽省中考第23题如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上的一动点，过P作PM//AB交AF 于M，作PN//CD交DE于N．（1）①∠MPN＝_______°；②求证：PM＋PN＝3a；（2）如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON．求证：OM＝ON．（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊的四边形，并说明理由．图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“14安徽23”，拖动点P运动，可以体验到，PM＋PN等于正六边形的3条边长．△AOM≌△BOP，△COP≌△DON，所以OM＝OP＝ON．还可以体验到，△MOG与△NOG是两个全等的等边三角形，四边形OMGN是菱形．思路点拨1．第（1）题的思路是，把PM＋PN转化到同一条直线上．2．第（2）题的思路是，以O为圆心，OM为半径画圆，这个圆经过点N、P．于是想到联结OP，这样就出现了两对全等三角形．3．第（3）题直觉告诉我们，四边形OMGN是菱形．如果你直觉△MOG与△NOG是等边三角形，那么矛盾就是如何证明∠MON＝120°．满分解答（1）①∠MPN＝60°．②如图4，延长F A、ED交直线B C与M′、N′，那么△ABM′、△MPM′、△DCN′、△EPN′都是等边三角形．所以PM＋PN＝M′N′＝M′B＋BC＋CN′＝3a．图4 图5 图6（2）如图5，联结OP．由（1）知，AM＝BP，DN＝CP．由AM＝BP，∠OAM＝∠OBP＝60°，OA＝OB，得△AOM≌△BOP．所以OM＝OP．同理△COP≌△DON，得ON＝OP．所以OM＝ON．（3）四边形OMGN是菱形．说理如下：由（2）知，∠AOM＝∠BOP，∠DON＝∠COP（如图5）．所以∠AOM＋∠DON＝∠BOP＋∠COP＝60°．所以∠MON＝120°．如图6，当OG平分∠MON时，∠MOG＝∠NOG＝60°．又因为∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，于是可得∠AOM＝∠FOG＝∠EON．于是可得△AOM≌△FOG≌△EON．所以OM＝OG＝ON．所以△MOG与△NOG是两个全等的等边三角形．所以四边形OMGN的四条边都相等，四边形OMGN是菱形．考点伸展在本题情景下，菱形OMGN的面积的最大值和最小值各是多少？因为△MOG与△NOG是全等的等边三角形，所以OG最大时菱形的面积最大，OG最小时菱形的面积最小．OG的最大值等于OA，此时正三角形的边长为a2．OG与EF2．例3 2018年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过点P (0, 1)与Q (2, －3)．（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A 作x 轴的平行线交二次函数图像于点B ，分别过点B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，且所得四边形ABCD 恰为正方形．①求正方形的ABCD 的面积；②联结P A 、PD ，PD 交AB 于点E ，求证：△P AD ∽△PEA ．动感体验请打开几何画板文件名“13黄浦24”，拖动点A 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠P AE 与∠PDA 总保持相等，△P AD 与△PEA 保持相似．请打开超级画板文件名“13黄浦24”，拖动点A 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠P AE 与∠PDA 总保持相等，△P AD 与△PEA 保持相似．思路点拨1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A 的坐标，用点A 的坐标表示AD 、AB 的长，当四边形ABCD 是正方形时，AD ＝AB ．2．通过计算∠P AE 与∠DPO 的正切值，得到∠P AE ＝∠DPO ＝∠PDA ，从而证明△P AD ∽△PEA ．满分解答（1）将点P (0, 1)、Q (2, －3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得1,421 3.c b =⎧⎨-++=-⎩ 解得0,1.b c =⎧⎨=⎩所以该二次函数的解析式为y ＝－x 2＋1．（2）①如图1，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1)，当四边形ABCD 恰为正方形时，AD ＝AB ．此时y A ＝2x A ．解方程－x 2＋1＝2x ，得1x =-所以点A 1．因此正方形ABCD 的面积等于21)]12=-②设OP 与AB 交于点F ，那么211)31)PF OP OF =-=-=-=．所以2tan 1PF PAE AF ∠===．又因为tan tan 1ODPDA DPO OP∠=∠==，所以∠P AE ＝∠PDA ．又因为∠P 公用，所以△P AD ∽△PEA ．图1 图2考点伸展事实上，对于矩形ABCD，总有结论△P AD∽△PEA．证明如下：如图2，设点A的坐标为(x, －x2＋1)，那么PF＝OP－OF＝1－(－x2＋1)＝x2．所以2tanPF xPAE xAF x∠===．又因为tan tan ODPDA DPO xOP∠=∠==，所以∠P AE＝∠PDA．因此△P AD∽△PEA．。

几何证明及通过几何计算进行说理问题

§3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题初中数学总共学过多少个公式?A. 10个左右B. 50个左右C. 100个左右D. 200个左右大多数老师回答这个问题,中庸一点,选择100个左右.如果不包含图形的周长、面积公式,不包含统计学中的公式,因为教材版本不同,初中数学就7个或8个公式.代数公式有平方差公式、完全平方公式、一元二次方程的求根公式、两点间的距离公式、抛物线的顶点坐标公式、中点坐标公式.几何公式有n边形的内角和公式、正n边形的中心角公式.有人发问,a2+b2=c2, x1+x2=-, x1x2=,难道不是公式吗?这些真的不是公式,是定理的数学表达式.初中数学,其实就这点事.这一节的题目类型多,不方便细分.常见的题目结构,三个小题可能属于不同类型,但是都相互关联.例如第(1)小题进行一个确定的几何计算,或明确的几何证明.第(2)小题改变其中的一个条件,问上述结论是否依然成立.第(3)题把条件再一般化,通过计算或说理,探求上述结论是否依然成立.这样的题目结构,在图形变换的题目中比较多,尤其是图形的旋转更多.我们把图形旋转的性质复习一下:性质1,图形在旋转的过程中,对应线段相等,对应角相等.这个性质好懂,就是全等三角形的对应边相等,对应角相等.性质2,旋转角等于对应线段所在直线的夹角.这个性质往往被忽略,用了都说好.如图1、图2、图3中,△ABC和△CDE都是等边三角形,那么直线AD和直线BE的夹角都是60°.这是为什么呢?图形在变,不变的是旋转的性质,△BCE绕着点C顺时针旋转60°可以与△ACD重合,所以旋转角为60°.根据性质2,旋转角等于对应线段所在直线的夹角,可知对应线段AD与BE 所在直线的夹角为60°.图1 图2 图3平面内,如图1,在平行四边形ABCD中,AB=10, AD=15, tan∠A=.点P为AD边上任意一点,连结PB,将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.(1) 当∠DPQ=10°时,求∠APB的大小;(2) 当tan∠ABP∶tan∠A=3∶2时,求点Q与点B间的距离(结果保留根号);(3) 若点Q恰好落在平行四边形ABCD的边所在的直线上,直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积(结果保留π).图1 备用图请打开几何画板文件名“17河北25”,拖动点P在AD上运动,可以体验到,点Q可以落在直线AD、DC和BC上.1.第(1)题看似很简单,其实不简单.要分类讨论,备用图已经暗示了.2.第(2)题:在△PAB中,已知两角及夹边,作高设高就可以解决问题了.3.第(3)题就是求扇形的面积,圆心角是90°.4.第(3)题:分三种情况讨论,其中点Q落在直线AD和BC上,示意图可以准确画出来.点Q落在直线DC上,示意图不能准确画出来.如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,AD=AE,连结DC,点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点.(1) 观察猜想图1中,线段PM与PN的数量关系是,位置关系是;(2) 探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连结MN、BD、CE,判断△PMN的形状,并说明理由;(3) 拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4, AB=10,请直接写出△PMN 面积的最大值.图1 图2请打开几何画板文件名“17河南22”,拖动点D绕点A旋转,观察左图,可以体验到,△ABD与△ACE保持全等,对应线段的夹角为90°,PM、PN分别为两个三角形的中位线.观察右图,可以体验到,在△AMN中,AM和AN是定值,当点M落在NA的延长线上时,MN取得最大值,此时等腰直角三角形PMN的面积最大.1.图形在旋转的过程中,对应线段相等,对应线段所在直线的夹角等于旋转角.2.已知三个中点,不由得要想到三角形的中位线.3.要探求△PMN面积的最大值,首先这个三角形的形状是等腰直角三角形,只要探求斜边最大或者直角边最大就可以了.我们定义:如图1,在△ABC中,把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连结B'C'.当α+β=180°时,我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.特例感知(1) 在图2、图3中,△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD= BC;②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为.图1 图2图3 图4猜想论证(2) 在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.拓展应用(3) 如图4,在四边形ABCD中,∠C=90°,∠D=150°,BC=12, CD=2, DA=6.在四边形内部是否存在点P,使△PDC是△PAB的“旋补三角形”?若存在,给予证明,并求△PAB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由.请打开几何画板文件名“17江西23”,拖动点B'绕点A旋转,可以体验到,△C'EA与△ABC保持全等,AD等于BC的一半.点击屏幕左下方的按钮“第(3)题”,可以体验到,点P在AD和BC的垂直平分线的交点.1.特例感知可以通过计算得到结论,但是对于证明没有很大的方法暗示.2.如果一下子想到“倍长中线”法,就比较容易证明了.3.第(3)题先确定PA=PD, PB=PC,那么通过作图可以找到点P在AD与BC的垂直平分线上.再通过计算证明∠APD+∠BPC=180°.事实上,先构造等边三角形PAD更简单.如图,已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴的正半轴交于点A(2, 0)和点B,与y轴交于点C,它的顶点为M,对称轴与x轴相交于点N.(1) 用b的代数式表示点M的坐标;(2) 当tan∠MAN=2时,求此二次函数的解析式及∠ACB的正切值.请打开几何画板文件名“17静安24”,拖动点N运动,观察∠MAN的正切值的度量值,可以体验到,当tan∠MAN=2时,△OBC是等腰直角三角形.1.第(1)题需分三步:根据抛物线的解析式写出对称轴x=b;代入点A的坐标,用b表示c;求x=b时y的值,得到顶点的纵坐标.2.第(2)题:先根据tan∠MAN=2求b的值,确定点B、C的坐标,再作BC边上的高AH,解直角三角形ABH和直角三角形ACH.如图,已知抛物线y=ax+bx-3经过点A(7, -3),与x轴正半轴交于B(m, 0)、C(6m, 0)两点,与y轴交于点D.(1) 求m的值;(2) 求这条抛物线的表达式;(3) 点P在抛物线上,点Q在x轴上,当∠PQD=90°且PQ=2DQ时,求点P、Q的坐标.请打开几何画板文件名“17浦东24”,拖动点Q在x轴上运动,可以体验到,点P有两次机会可以落在抛物线上,其中一次点P与点C重合.1.列关于a、b、m的三元一次方程组,可以同时解答第(1)、 (2)两题.2.第(3)题:先不要考虑抛物线的存在,在x轴上取一个点Q,构造∠DQP=90°且PQ=2DQ,过点P作x轴的垂线段PH,就得到两个相似比为2∶1的直角三角形相似.最后可以用结果验证点P、Q的位置.问题提出(1) 如图1, △ABC是等边三角形,AB=12,若点O是△ABC的内心,则OA的长为.问题探究(2) 如图2,在矩形ABCD中,AB=12, AD=18.如果点P是AD边上一点,且AP=3,那么BC边上是否存在一点Q,使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分?若存在,求出PQ的长;若不存在,请说明理由.问题解决(3) 某城市街角有一草坪,草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成,如图3所示.管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头,以后,他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水,并且在用喷灌龙头时,既要确保草坪的每个角落都能浇上水,又能节约用水.于是,他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB(即每次喷灌龙头由MA转到MB,然后再转回,这样往复喷灌),同时,再合理设计好喷灌龙头的射程就可以了.如图3,已测出AB=24m, MB=10m, △AMB的面积为96m2;过弦AB的中点D作DE⊥AB交于点E,又测得DE=8m.请你根据以上提供的信息,帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时,才能实现他的想法?为什么?(结果保留根号或精确到0.01米).图1 图2 图3请打开几何画板文件名“17陕西25”,拖动点F在圆弧上运动,可以体验到,当点F落在MO的延长线上时,MF取得最大值.1.等边三角形是轴对称图形,矩形和圆既是轴对称图形,也是中心对称图形.2.第(3)题:阅读之后,需要理出这样的思路:求最大射程其实就是在圆弧上找一点F,求MF的最大值.在△MOF中,OF是圆的半径,是定值,MO也是定值,所以当点F落在MO的延长线上时,MF最大.如图1,已知平行四边形ABCD, AB∥x轴,AB=6,点A的坐标为(1, -4),点D的坐标为(-3, 4),点B在第四象限,点P是平行四边形ABCD边上的一个动点.(1) 若点P在边BC上,PD=CD,求点P的坐标;(2) 若点P在边AB、AD上,点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x-1上,求点P的坐标;(3) 若点P在边AB、AD、CD上,点G是AD与y轴的交点,如图2,过点P作y轴的平行线PM,过点G作x轴的平行线GM,它们相交于点M,将△PGM沿直线PG翻折,当点M的对应点落在坐标轴上时,求点P的坐标(直接写出答案).图1 图2请打开几何画板文件名“17绍兴24”,拖动点P在AB、AD边上运动,可以体验到,点Q 有4次机会可以落在直线y=x-1上.点击按钮“第(3)题”,拖动点P在AB、AD、CD边上运动,可以体验到,点M'有4次机会可以落在坐标轴上.1.第(2)题:要进行两次分类.题目不难,容易搞乱,慢慢来.先设点P的坐标,再写对称点Q的坐标,然后把点Q代入直线y=x-1的解析式.重复4次.2.第(3)题:如果点M'落在y轴上,那么四边形GMPM'是正方形,但是这样的正方形只存在点P在AB上的情况.3.第(3)题:如果点M'落在x轴上,设点P的横坐标为m,设M'(n, 0),列关于m、n的方程组.四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在边AD所在直线上,连结CE,以CE为边,作正方形CEFG(点D、F在直线CE同侧),连结BF.(1) 如图1,当点E与点A重合时,请直接写出BF的长;(2) 如图2,当点E在线段AD上时,且AE=1.①求点F到AD的距离;②求BF的长;(3) 若BF=3,请直接写出此时AE的长.图1 图2 备用图请打开几何画板文件名“17沈阳24”,拖动点E在直线AD上运动,可以体验到,点F有两次机会落在☉B上,☉B的半径设置为3.1.第(2)题:由EC和EF的关系入手,比较容易找到解题思路.将线段EC绕着点E逆时针旋转90°可以得到EF,如果将直角三角形EDC绕点E逆时针旋转90°,点F到AD的距离就一目了然.2.第(3)题:容易想到分两种情况,但是点E在AD的延长线上时,线段EC需要顺时针旋转90°得到EF,这样才符合题意中点D、F在直线CE同侧.阅读理解如图1,图形l外一点P与图形l上各点连结的所有线段中,若线段PA1最短,则线段PA1的长度称为点P到图形l的距离.例如:图2中,线段P1A的长度是点P1到线段AB的距离;线段P2H的长度是点P2到线段AB的距离.图1 图2 图3解决问题如图3,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(8, 4)、 (12, 7),点P 从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动了t秒.(1) 当t=4时,求点P到线段AB的距离;(2) t为何值时,点P到线段AB的距离等于5?(3) t满足什么条件时,点P到线段AB的距离不超过6?(直接写出此小题结果)请打开几何画板文件名“17泰州25”,拖动点P在x轴正半轴上运动,可以体验到,点P 在半径为5的☉A的弦EF的两个端点时,点P到线段AB的距离等于5.点击屏幕左下方的按钮“点P到线段AB的距离等于6”,拖动点P在x轴正半轴上运动,可以体验到,点P在半径为6的☉A的弦EF上时,点P到线段AB的距离等于6.但是点P运动到点F右侧时,依然存在点P到线段AB的距离等于6,直到半径为6的☉P与直线AB相切为止.1.第(1)题:一目了然,求线段PA的长度.2.第(2)题:以A为圆心、5为半径画圆,可以找到两个点P,使得PA=5.在这里有一个非常微妙的位置,就是t=11与t=的大小关系.当t=时,以5为半径的☉P与直线AB相切,切点恰在点A的左侧,看图的话感受不到的.3.第(3)题:要分情况计算,比较大小.这里要用到近似数的大小比较.将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中,点A(, 0),点B(0, 1),点O(0,0).P是边AB上的一点(点P不与点A、B重合),沿着OP折叠该纸片,得点A的对应点A'.(1) 如图1,当点A'在第一象限,且满足A'B⊥OB时,求点A'的坐标;(2) 如图2,当P是AB的中点时,求A'B的长;(3) 当∠BPA'=30°时,求点P的坐标(直接写出结果即可).图1 图2请打开几何画板文件名“17天津24”,拖动点P在AB上运动,可以体验到,当点P运动到AB的中点时,四边形BOPA'是菱形.观察∠BPA'的度量值,可以体验到,∠BPA'=30°存在两种情况.1.第(3)题主要有两大障碍,一是无图,二是存在两种情况,其中点A'落在直线AB下方的情况容易忽视.2.第(3)题可以这样画示意图:如图3,画∠MAN=30°,在AM上取一点P,以P为圆心、PA 为半径画圆.在PM的两侧画∠MPA'=30°与圆交于点A'.这样就得到了两个点A'.如图4、图5,画∠APA'的平分线,所在直线与x轴的交点就是原点O.然后补全图形.图3 图4 图5如图,已知矩形ABCD中,AB=4, AD=m.动点P从点D出发,在边DA上以每秒1个单位长度的速度向点A运动,连结CP,作点D关于直线PC的对称点E.设点P的运动时间为t(s).(1) 若m=6,求当P、E、B三点在同一直线上时对应的t的值;(2) 已知m满足:在动点P从点D到点A的整个运动过程中,有且只有一个时刻t,使点E 到直线BC的距离等于3,求所有这样的m的取值范围.请打开几何画板文件名“17无锡28”,拖动点C运动可以改变AD的长度,可以体验到,A、P重合,E在BC上方且到BC等于3时,AD取得最小值.恰好有两个点E时,另一个点P'恰好经过点A.1.第(1)题的障碍是画示意图.以C为圆心、CD为半径画圆,BP切圆C于点E.2.第(2)题考虑两个临界时刻:AD最小时,A、P重合,点E在BC的上方,距离BC等于3; AD最大时,A、D重合,点E在BC的下方,距离BC等于3.已知点A(-1, 1)、点B(4, 6)在抛物线y=ax2+bx上.(1) 求抛物线的解析式;(2) 如图1,点F的坐标为(0, m)(m>2),直线AF交抛物线于另一点G,过点G作x轴的垂线,垂足为H.设抛物线与x轴的正半轴交于点E,连结FH、AE,求证:FH∥AE.(3) 如图2,直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点,点P从点C出发,沿射线CD方向匀速运动,速度为每秒个单位长度;同时点Q从原点O出发,沿x轴正方向匀速运动,速度为每秒1个单位长度,点M是直线PQ与抛物线的一个交点,当运动到t秒时,QM=2PM,直接写出t的值.图1 图2请打开几何画板文件名“17武汉24”,拖动点Q运动,观察点M、M'与抛物线的位置关系,可以体验到,点M、M'都可以两次落在抛物线上.1.第(2)题先用m表示点G的坐标,再计算tan∠AEO=tan∠FHO.2.第(3)题关键的一步是发现P、Q两点间的位置关系,原来P、Q两点间的水平距离等于2为定值,竖直距离等于t.3.第(3)题第二步,用m表示点M的坐标,QM=2PM分两种情况.4.第(3)题第三步,将点M的坐标代入抛物线的解析式求t的值.如图,在矩形纸片ABCD中,已知AB=1, BC=,点E在边CD上移动,连结AE,将多边形ABCE沿直线AE折叠,得到多边形AB'C'E,点B、C的对应点分别为B'、C'.(1) 当B'C'恰好经过点D时(如图1),求线段CE的长;(2) 若B'C'分别交边AD、CD于点F、G,且∠DAE=22.5°(如图2),求△DFG的面积;(3) 在点E从点C移动到点D的过程中,求点C'运动的路径长.图1 图2请打开几何画板文件名“17宿迁26”,拖动点E从点C向点D运动,可以体验到,点C'的运动轨迹是一段圆弧,圆心是点A,半径是AC长.1.第(1)题:当B'C'恰好经过点D时,就有两个直角三角形相似.2.第(2)题:当∠DAE=22.5°时,就有等腰直角三角形出现.3.第(3)题:先探求点C'的轨迹.由于AC'=AC=定值,所以点C'在以A为圆心的圆上运动.已知正方形ABCD, P为射线AB上的一点,以BP为边作正方形BPEF,使点F在线段CB的延长线上,连结EA、EC.(1) 如图1,若点P在线段AB的延长线上,求证EA=EC;(2) 如图2,若点P在线段AB的中点,连结AC,判断△ACE的形状,并说明理由;(3) 如图3,若点P在线段AB上,连结AC,当EP平分∠AEC时,设AB=a, BP=b,求a∶b 及∠AEC的度数.图1 图2 图3请打开几何画板文件名“17枣庄24”,双击按钮“P是AB的中点”,可以体验到,∠CAE=90°.双击按钮“EP平分∠AEC”,可以体验到,BC=BE.1.第(1)题的图形中,点E在AC的垂直平分线上.2.第(2)题的图补全矩形DCFH, ∠CAE的两个邻角都是45°.3.第(3)题是典型的“平分+平行”,三个角相等,用正切值相等列方程.如图,在等腰直角三角形ACB中,P是线段BC上一动点(与点B、C不重合),连结AP,延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QH⊥AP于点H,交AB于点M.(1) 若∠PAC=α,求∠AMQ的大小(用含α的式子表示);(2) 用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明.请打开几何画板文件名“17北京28”,拖动点P在BC上运动,可以体验到,AP、AQ和MQ保持相等,△ACP与△QNM保持全等.1.已知AC垂直平分PQ,连结AQ,把所有等于α的角都标注出来.2.第(1)题的结论暗示了AQ=MQ.3.探究PQ与BM的数量关系,首先想到把BM放置在等腰直角三角形中,寻找中间的等量代换.折纸的思考.【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形.第一步,对着矩形纸片ABCD(AB>BC)(如图1),使AB与DC重合,得到折痕EF,把纸片展平(如图2).第二步,如图3,再一次折叠纸片,使点C落在EF上的点P处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,折出PB、PC,得到△PBC.图1 图2 图3(1) 说明△PBC是等边三角形.【数学思考】(2) 如图4,小明画出了图3的矩形ABCD和△PBC.他发现,在矩形ABCD 中把△PBC经过变化,可以得到图5中更大的等边三角形.请描述图形变换过程.图4图5(3) 已知矩形一边长为3cm,另一边长为a cm.对于每一个确定的a值,在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图,并写出对应的a的取值范围;【问题解决】(4) 用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片,所需要正方形的边长的最小值为cm.请打开几何画板文件名“17南京27”,拖动点E在上运动,可以体验到,直角三角形BEF绕点B旋转,当点F落在正方形MBGH的边MH上时,正方形MBGH的边长最小.1.如果题目太长,读不懂问题间的关系,不影响做题,可以把每个题目独立起来.2.第(2)题的变换方式不一,可以先旋转再放大,也可以在CD边上取点C',以BC'为边构造新的等边三角形.3.第(3)题的分类临界点怎么找?画水平放置的线段BC=3cm,过B、C分别画BC的垂线,在BC上方寻找临界位置的A、D两点.第一个临界图形:画等边三角形MBC,过点M画BC的平行线得到A、D两点.第二个临界图形:画等边三角形ABM,使得点M落在右侧直线上.4.第(4)题就是一道无图几何计算题,正方形内有一个内接的直角三角形,直角边长为1和4,求正方形的边长.如图1,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,抛物线y=-x2-x+8与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B,连结AB,点M、N分别是OA、AB的中点, Rt△CDE≌Rt△ABO,且△CDE 始终保持边DE经过点M,边CD经过点N,边DE与y轴交于点H,边CD与y轴交于点G.(1) 填空:OA的长是, ∠ABO的度数是度;(2) 如图2,当DE∥AB时,连结HN.①求证:四边形AMHN是平行四边形;②判断点D是否在该抛物线的对称轴上,并说明理由;(3) 如图3,当边CD经过点O时(此时点O与点G重合),过点D作DQ∥OB,交AB的延长线于点Q,延长ED到K,使DK=DN,过点K作KI∥OB,在KI上取一点P,使∠PDK=45°(点P、Q 在直线ED的同侧),连结PQ,请直接写出PQ的长.图1 图2 图3请打开几何画板文件名“17沈阳25”,双击按钮“DE∥AB”,可以体验到,点D正好落在抛物线的对称轴上.点击屏幕左下方的按钮“第(3)题”,双击按钮“CD过O”,可以体验到,△OAN是等边三角形,△DQN∽△OBN, △ODM是等腰三角形.1.第(2)题:根据MH与AN平行且相等证明平行四边形,再证明等腰三角形DHN,然后计算点D到y轴的距离,和对称轴方程进行比较.2.第(3)题:线条错综复杂,其实和抛物线无关.从画△ABO开始,把图形重新画一遍,很多的数量关系和角的大小就在画图过程中感觉到了.3.画图过程中,点D是控制点.点D在射线NO上,并且MD=MN.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10, BC=6,点P从点A出发,沿折线AB-BC向终点C 运动,在AB上以每秒5个单位长度的速度运动,在BC上以每秒3个单位长度的速度运动,点Q从点C出发,沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动,P、Q两点同时出发,当点P停止时,点Q也随之停止.设点P的运动时间为t秒.(1) 求线段AQ的长(用含t的代数式表示);(2) 连结PQ,点PQ与△ABC的一边平行时,求t的值;(3) 如图2,过点P作PE⊥AC于点E,以PE、EQ为邻边作矩形PEQF,点D为AC的中点,连结DF.设矩形PEQF与△ABC重叠部分的面积为S.①当点Q在线段CD上运动时,求S与t之间的函数关系式;②直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1∶2时t的值.图1 图2请打开几何画板文件名“17长春23”,拖动点Q由C向A运动,可以体验到,PQ先后与BC、AB平行.重叠部分的形状依次是矩形、直角梯形、五边形和矩形.1.当PQ与△ABC的一边平行时,那么一定存在一个3∶4∶5的直角三角形.2.用t表示线段的长,有一个容易出错:点P在BC上时,CP=6-3(t-2).3.第(3)题把面积比转化为DQ与EQ的比.。

2017年挑战中考数学压轴题(全套含答案)

第一部分函数图象中点的存在性问题§1．1 因动点产生的相似三角形问题例1 2014年衡阳市中考第28题例2 2014年益阳市中考第21题例3 2015年湘西州中考第26题例4 2015年张家界市中考第25题例5 2016年常德市中考第26题例6 2016年岳阳市中考第24题例7 2016年上海市崇明县中考模拟第25题例8 2016年上海市黄浦区中考模拟第26题§1．2 因动点产生的等腰三角形问题例9 2014年长沙市中考第26题例10 2014年张家界市第25题例11 2014年邵阳市中考第26题例12 2014年娄底市中考第27题例13 2015年怀化市中考第22题例14 2015年长沙市中考第26题例15 2016年娄底市中考第26题例16 2016年上海市长宁区金山区中考模拟第25题例17 2016年河南省中考第23题例18 2016年重庆市中考第25题§1．3 因动点产生的直角三角形问题例19 2015年益阳市中考第21题例20 2015年湘潭市中考第26题例21 2016年郴州市中考第26题例22 2016年上海市松江区中考模拟第25题例23 2016年义乌市绍兴市中考第24题§1．4 因动点产生的平行四边形问题例24 2014年岳阳市中考第24题例25 2014年益阳市中考第20题例26 2014年邵阳市中考第25题例27 2015年郴州市中考第25题例28 2015年黄冈市中考第24题例29 2016年衡阳市中考第26题例30 2016年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第24题例31 2016年上海市徐汇区中考模拟第24题§1．5 因动点产生的面积问题例32 2014年常德市中考第25题例33 2014年永州市中考第25题例34 2014年怀化市中考第24题例35 2015年邵阳市中考第26题例36 2015年株洲市中考第23题例37 2015年衡阳市中考第28题例38 2016年益阳市中考第22题例39 2016年永州市中考第26题例40 2016年邵阳市中考第26题例41 2016年陕西省中考第25题§1．6 因动点产生的相切问题例42 2014年衡阳市中考第27题例43 2014年株洲市中考第23题例44 2015年湘潭市中考第25题例45 2015年湘西州中考第25题例46 2016年娄底市中考第25题例47 2016年湘潭市中考第26题例48 2016年上海市闵行区中考模拟第24题例49 2016年上海市普陀区中考模拟中考第25题§1．7 因动点产生的线段和差问题例50 2014年郴州市中考第26题例51 2014年湘西州中考第25题例52 2015年岳阳市中考第24题例53 2015年济南市中考第28题例54 2015年沈阳市中考第25题例55 2016年福州市中考第26题例56 2016年张家界市中考第24题例57 2016年益阳市中考第21题第二部分图形运动中的函数关系问题§2．1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2014年常德市中考第26题例2 2014年湘潭市中考第25题例3 2014年郴州市中考第25题例4 2015年常德市中考第25题例5 2015年郴州市中考第26题例6 2015年邵阳市中考第25题例7 2015年娄底市中考第26题例8 2016年郴州市中考第25题例9 2016年湘西州中考第26题例10 2016年上海市静安区青浦区中考模拟第25题例11 2016年哈尔滨市中考第27题第三部分图形运动中的计算说理问题§3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2014年长沙市中考第25题例2 2014年怀化市中考第23题例3 2014年湘潭市中考第26题例4 2014年株洲市中考第24题例5 2015年衡阳市中考第27题例6 2015年娄底市中考第25题例7 2015年永州市中考第26题例8 2015年长沙市中考第25题例9 2015年株洲市中考第24题例10 2016年怀化市中考第22题例11 2016年邵阳市中考第25题例12 2016年株洲市中考第26题例13 2016年长沙市中考第25题例14 2016年长沙市中考第26题§3．2 几何证明及通过几何计算进行说理问题例15 2014年衡阳市中考第26题例16 2014年娄底市中考第26题例17 2014年岳阳市中考第23题例18 2015年常德市中考第26题例19 2015年益阳市中考第20题例20 2015年永州市中考第27题例21 2015年岳阳市中考第23题例22 2016年常德市中考第25题例23 2016年衡阳市中考第25题例24 2016年永州市中考第27题例25 2016年岳阳市中考第23题例26 2016年株洲市中考第25题例27 2016年湘潭市中考第25题第四部分图形的平移、翻折与旋转§4．1 图形的平移例1 2015年泰安市中考第15题例2 2015年咸宁市中考第14题例3 2015年株洲市中考第14题例4 2016年上海市虹口区中考模拟第18题§4．2 图形的翻折例5 2016年上海市奉贤区中考模拟第18题例6 2016年上海市静安区青浦区中考模拟第18题例7 2016年上海市闵行区中考模拟第18题例8 2016年上海市浦东新区中考模拟第18题例8 2016年上海市普陀区中考模拟第18题例10 2016年常德市中考第15题例11 2016年张家界市中考第14题例12 2016年淮安市中考第18题例13 2016年金华市中考第15题例14 2016年雅安市中考第12题§4．3 图形的旋转例15 2016年上海昂立教育中学生三模联考第18题例16 2016年上海市崇明县中考模拟第18题例17 2016年上海市黄浦区中考模拟第18题例18 2016年上海市嘉定区宝山区中考模拟第18题例19 2016年上海市闸北区中考模拟第18题例20 2016年邵阳市中考第13题例21 2016年株洲市中考第4题§4．4 三角形例22 2016年安徽省中考第10题例23 2016年武汉市中考第10题例24 2016年河北省中考第16题例25 2016年娄底市中考第10题例26 2016年苏州市中考第9题例27 2016年台州市中考第10题例28 2016年陕西省中考第14题例29 2016年内江市中考第11题例30 2016年上海市中考第18题§4．5 四边形例31 2016年湘西州中考第11题例32 2016年益阳市中考第4题例33 2016年益阳市中考第6题例34 2016年常德市中考第16题例35 2016年成都市中考第14题例36 2016年广州市中考第13题例37 2016年福州市中考第18题例38 2016年无锡市中考第17题例39 2016年台州市中考第15题§4．6 圆例40 2016年滨州市中考第16题例41 2016年宁波市中考第17题例42 2016年连云港市中考第16题例43 2016年烟台市中考第17题例44 2016年烟台市中考第18题例45 2016年无锡市中考第18题例46 2016年武汉市中考第9题例47 2016年宿迁市中考第16题例48 2016年衡阳市中考第17题例49 2016年邵阳市中考第18题例50 2016年湘西州中考第18题例51 2016年永州市中考第20题§4．7 函数的图象及性质例52 2015年荆州市中考第9题例53 2015年德州市中考第12题例54 2015年烟台市中考第12题例55 2015年中山市中考第10题例56 2015年武威市中考第10题例57 2015年呼和浩特市中考第10题例58 2016年湘潭市中考第18题例59 2016年衡阳市中考第19题例60 2016年岳阳市中考第15题例61 2016年株洲市中考第9题例62 2016年永州市中考第19题例63 2016年岳阳市中考第8题例64 2016年岳阳市中考第16题例65 2016年益阳市中考第14题例66 2016年株洲市中考第10题例67 2016年株洲市中考第17题例68 2016年东营市中考第15题例69 2016年成都市中考第13题例70 2016年泰州市中考第16题例71 2016年宿迁市中考第15题例72 2016年临沂市中考第14题例73 2016年义乌市绍兴市中考第9题例74 2016年淄博市中考第12题例75 2016年嘉兴市中考第16题§1．1 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．图1例 1 2014年湖南省衡阳市中考第28题二次函数y＝a x2＋b x＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m ＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14衡阳28”，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到AC的中点的正下方时，△APC的面积最大．拖动y轴上表示实数m的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，∠ACD和∠ADC都可以成为直角．思路点拨1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．2．连结OP，△APC可以割补为：△AOP与△COP的和，再减去△AOC．3．讨论△ACD与△OBC相似，先确定△ACD是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD存在两种情况．图文解析（1）因为抛物线与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，设y＝a(x＋3)(x－1)．代入点C(0,－3m)，得－3m＝－3a．解得a＝m．所以该二次函数的解析式为y＝m(x＋3)(x－1)＝mx2＋2mx－3m．（2）如图3，连结OP．当m＝2时，C(0,－6)，y＝2x2＋4x－6，那么P(x, 2x2＋4x－6)．由于S△AOP＝＝(2x2＋4x－6)＝－3x2－6x＋9，S△COP＝＝－3x，S△AOC＝9，所以S＝S△APC＝S△AOP＋S△COP－S△AOC＝－3x2－9x＝．所以当时，S取得最大值，最大值为．图3 图4 图5（3）如图4，过点D作y轴的垂线，垂足为E．过点A作x轴的垂线交DE于F．由y＝m(x＋3)(x－1)＝m(x＋1)2－4m，得D(－1,－4m)．在Rt△OBC中，OB∶OC＝1∶3m．如果△ADC与△OBC相似，那么△ADC是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m．①如图4，当∠ACD＝90°时，．所以．解得m＝1．此时，．所以．所以△CDA∽△OBC．②如图5，当∠ADC＝90°时，．所以．解得．此时，而．因此△DCA与△OBC不相似．综上所述，当m＝1时，△CDA∽△OBC．考点伸展第（2）题还可以这样割补：如图6，过点P作x轴的垂线与AC交于点H．由直线AC：y＝－2x－6，可得H(x,－2x－6)．又因为P(x, 2x2＋4x－6)，所以HP＝－2x2－6x．因为△P AH与△PCH有公共底边HP，高的和为A、C两点间的水平距离3，所以S＝S△APC＝S△APH＋S△CPH＝(－2x2－6x)＝．图6例 2 2014年湖南省益阳市中考第21题如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P沿线段AB从点A 向点B运动，设AP＝x．2·1·c·n·j·y（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S＝S1＋S2，求S的最小值.动感体验图1请打开几何画板文件名“14益阳21”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段．观察S随点P运动的图象，可以看到，S有最小值，此时点P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已．思路点拨1．第（2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．2．第（3）题理解△PCB的外接圆的圆心O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分线上，同时又在不确定的BP的垂直平分线上．而BP与AP是相关的，这样就可以以AP为自变量，求S的函数关系式．图文解析（1）如图2，作CH⊥AB于H，那么AD＝CH．在Rt△BCH中，∠B＝60°，BC＝4，所以BH＝2，CH＝．所以AD＝．（2）因为△APD是直角三角形，如果△APD与△PCB相似，那么△PCB一定是直角三角形．①如图3，当∠CPB＝90°时，AP＝10－2＝8．所以＝＝，而＝．此时△APD与△PCB不相似．图2 图3 图4②如图4，当∠BCP＝90°时，BP＝2BC＝8．所以AP＝2．所以＝＝．所以∠APD＝60°．此时△APD∽△CBP．综上所述，当x＝2时，△APD∽△CBP．（3）如图5，设△ADP的外接圆的圆心为G，那么点G是斜边DP的中点．设△PCB的外接圆的圆心为O，那么点O在BC边的垂直平分线上，设这条直线与BC交于点E，与AB 交于点F．设AP＝2m．作OM⊥BP于M，那么BM＝PM＝5－m．在Rt△BEF中，BE＝2，∠B＝60°，所以BF＝4．在Rt△OFM中，FM＝BF－BM＝4－(5－m)＝m－1，∠OFM＝30°，所以OM＝．所以OB2＝BM2＋OM2＝．在Rt△ADP中，DP2＝AD2＋AP2＝12＋4m2．所以GP2＝3＋m2．于是S＝S1＋S2＝π(GP2＋OB2)＝＝．所以当时，S取得最小值，最小值为．图5 图6考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题．问题1，为什么设AP＝2m呢？这是因为线段AB＝AP＋PM＋BM＝AP＋2BM＝10．这样BM＝5－m，后续可以减少一些分数运算．这不影响求S的最小值．问题2，如果圆心O在线段EF的延长线上，S关于m的解析式是什么？如图6，圆心O在线段EF的延长线上时，不同的是FM＝BM－BF＝(5－m)－4＝1－m．此时OB2＝BM2＋OM2＝．这并不影响S关于m的解析式．例3 2015年湖南省湘西市中考第26题如图1，已知直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE//y轴，交AB于点E，过点Q作QF//y轴，交抛物线于点F，连结EF，当EF//PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P在OA上运动，可以体验到，△APQ有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF有一个时刻可以成为平行四边形，△MBQ与△BOP有一次机会相似．思路点拨1．在△APQ中，∠A＝45°，夹∠A的两条边AP、AQ都可以用t表示，分两种情况讨论直角三角形APQ．2．先用含t的式子表示点P、Q的坐标，进而表示点E、F的坐标，根据PE＝QF列方程就好了．3．△MBQ与△BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论．图文解析（1）由y＝－x＋3，得A(3, 0)，B(0, 3)．将A(3, 0)、B(0, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得解得所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3．（2）在△APQ中，∠P AQ＝45°，AP＝3－t，AQ＝t．分两种情况讨论直角三角形APQ：①当∠PQA＝90°时，AP＝AQ．解方程3－t＝2t，得t＝1（如图2）．②当∠QP A＝90°时，AQ＝AP．解方程t＝(3－t)，得t＝1.5（如图3）．图2 图3（3）如图4，因为PE//QF，当EF//PQ时，四边形EPQF是平行四边形．所以EP＝FQ．所以y E－y P＝y F－y Q．因为x P＝t，x Q＝3－t，所以y E＝3－t，y Q＝t，y F＝－(3－t)2＋2(3－t)＋3＝－t2＋4t．因为y E－y P＝y F－y Q，解方程3－t＝(－t2＋4t)－t，得t＝1，或t＝3（舍去）．所以点F的坐标为(2, 3)．图4 图5（4）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，得M(1, 4)．由A(3, 0)、B(0, 3)，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离相等，AB＝3．由B(0, 3)、M(1, 4)，可知B、M两点间的水平距离、竖直距离相等，BM＝．所以∠MBQ＝∠BOP＝90°．因此△MBQ与△BOP相似存在两种可能：①当时，．解得（如图5）．②当时，．整理，得t2－3t＋3＝0．此方程无实根．考点伸展第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P(t, 0)，E(t, 3－t)，Q(3－t, t)，按照P→E方向，将点Q向上平移，得F(3－t, 3)．再将F(3－t, 3)代入y＝－x2＋2x＋3，得t＝1，或t＝3．§1．2 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB＝5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB＝6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C．已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3例 9 2014年长沙市中考第26题如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0, 2)．（1）求a 、b 、c 的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；（3）设⊙P 与x 轴相交于M (x 1, 0)、N (x 2, 0)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P 在抛物线上运动，可以体验到，圆与x 轴总是相交的，等腰三角形AMN 存在五种情况．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P 在x 轴上截得的弦长MN ＝4是定值．2．等腰三角形AMN 存在五种情况，点P 的纵坐标有三个值，根据对称性，MA ＝MN 和NA ＝NM 时，点P 的纵坐标是相等的．图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y ＝ax 2．所以b ＝0，c ＝0．将代入y ＝ax 2，得．解得（舍去了负值）．（2）抛物线的解析式为，设点P 的坐标为．已知A (0, 2)，所以＞．而圆心P 到x 轴的距离为，所以半径P A ＞圆心P 到x 轴的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交．（3）如图2，设MN 的中点为H ，那么PH 垂直平分MN ．．4＝2MH ，所以，中，PMH △Rt 在所以MH ＝2．因此MN ＝4，为定值．等腰△AMN 存在三种情况：①如图3，当AM ＝AN 时，点P 为原点O 重合，此时点P 的纵坐标为0．图2 图3．2＝OM ，所以4＝AM ，2＝OA 中，AOM △Rt 时，在MN ＝MA ，当4②如图．的纵坐标为P ．所以点2＝OH ＝x 此时．的纵坐标为也为P 时，根据对称性，点NM ＝NA ，当5如图图4 图5③如图6，当NA＝NM＝4时，在Rt△AON中，OA＝2，AN＝4，所以ON＝2．此时x＝OH＝2．所以点P的纵坐标为．如图7，当MN＝MA＝4时，根据对称性，点P的纵坐标也为．图6 图7考点伸展如果点P在抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点B(0, 1)，那么在点P运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切．这是因为：设点P的坐标为．已知B(0, 1)，所以．而圆心P到直线y＝－1的距离也为，所以半径PB＝圆心P到直线y＝－1的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切．例 10 2014年湖南省张家界市中考第25题如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过O、B、C三点，B、C 坐标分别为(10, 0)和，以OB为直径的⊙A经过C点，直线l垂直x轴于B点．（1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M是⊙A上一动点（不同于O、B），过点M作⊙A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜想mn的值，并证明你的结论；（4）若点P从O出发，以每秒1个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t（0＜t≤8）秒时恰好使△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值．图图1动感体验请打开几何画板文件名“14张家界25”，拖动点M在圆上运动，可以体验到，△EAF保持直角三角形的形状，AM是斜边上的高．拖动点Q在BC上运动，可以体验到，△BPQ有三个时刻可以成为等腰三角形．思路点拨1．从直线BC的解析式可以得到∠OBC的三角比，为讨论等腰三角形BPQ作铺垫．2．设交点式求抛物线的解析式比较简便．3．第（3）题连结AE、AF容易看到AM是直角三角形EAF斜边上的高．4．第（4）题的△PBQ中，∠B是确定的，夹∠B的两条边可以用含t的式子表示．分三种情况讨论等腰三角形．图文解析（1）直线BC的解析式为．（2）因为抛物线与x轴交于O、B(10, 0)两点，设y＝ax(x－10)．代入点C，得．解得．所以．抛物线的顶点为．（3）如图2，因为EF切⊙A于M，所以AM⊥EF．由AE＝AE，AO＝AM，可得Rt△AOE≌Rt△AME．所以∠1＝∠2．同理∠3＝∠4．于是可得∠EAF＝90°．所以∠5＝∠1．由tan∠5＝tan∠1，得．所以ME·MF＝MA2，即mn＝25．图2（4）在△BPQ中，cos∠B＝，BP＝10－t，BQ＝t．分三种情况讨论等腰三角形BPQ：①如图3，当BP＝BQ时，10－t＝t．解得t＝5．②如图4，当PB＝PQ时，．解方程，得．③如图5，当QB＝QP时，．解方程，得．图3 图4 图5考点伸展在第（3）题条件下，以EF为直径的⊙G与x轴相切于点A．如图6，这是因为AG既是直角三角形EAF斜边上的中线，也是直角梯形EOBF的中位线，因此圆心G 到x轴的距离等于圆的半径，所以⊙G与x轴相切于点A．图6例 11 2014年湖南省邵阳市中考第26题在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－(m＋n)x＋mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m＝2，n＝1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是(0,－1)，求∠ACB的大小；（3）若m＝2，△ABC是等腰三角形，求n的值．动感体验请打开几何画板文件名“14邵阳26”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点A在x轴正半轴上运动，可以体验到，△ABC保持直角三角形的形状．点击屏幕左下方的按钮（3），拖动点B在x轴上运动，观察△ABC 的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABC有4种情况．思路点拨1．抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n表示点A、B、C的坐标．2．第（2）题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比．3．第（3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程．图文解析（1）由y＝x2－(m＋n)x＋mn＝(x－m)(x－n)，且m＞n，点A位于点B的右侧，可知A(m, 0)，B(n, 0)．若m＝2，n＝1，那么A(2, 0)，B(1, 0)．．（2）如图1，由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1，OC＝1．若A、B两点分别位于y轴的两侧，那么OA·OB＝m(－n)＝－mn＝1．所以OC2＝OA·OB．所以．所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2．又因为∠1与∠3互余，所以∠2与∠3互余．所以∠ACB＝90°．图1 图2 图3（3）在△ABC中，已知A(2, 0)，B(n, 0)，C(0, 2n)．讨论等腰三角形ABC，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得AB2＝(n－2)2，BC2＝5n2，AC2＝4＋4n2．①当AB＝AC时，解方程(n－2)2＝4＋4n2，得（如图2）．。

挑战中考数学压轴题(全套)

分线上，设这条直线与BC交于点E，与AB交于点F．设AP＝2m．作OM⊥BP于M，那
么BM＝PM＝5－m．在Rt△BEF中，BE＝2，∠B＝60°，所以BF＝4．在Rt△OFM中，
FM＝BF－BM＝4－(5－m)＝m－1，∠OFM＝30°，所以OM＝
3(m
1)．
3
所以OB2＝BM2＋OM2＝(5
m)21(m
由直线AC：y＝－2x－6，可得H(x,－2x－6)．又因为P(x,2x2＋4x－6)，所以HP＝－2x2－6x．因为△PAH与△PCH有公共底边HP，高的和为A、C两点间的水平距离3，所以
2
挑战中考系列(数学)
S＝S△APC＝S△APH＋S△CPH＝3
(－2x2－6x)＝3(x
3
)2
27．
2
2
4
例2
P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已．
思路点拨1．第（2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．
2．第（3）题理解△PCB的外接圆的圆心
O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分
线上，同时又在不确定的
BP的垂直平分线上．而BP与AP是相关的，这样就可以以
AP为
自变量，求S的函数关系式．图文解析
问题1，为什么设
AP＝2m呢？这是因为线段A以减少一些分数运算．这不影响求
S的最小值．
问题2，如果圆心O在线段EF的延长线上，S关于m的解析式是什么？
如图6，圆心O在线段EF的延长线上时，不同的是
FM＝BM－BF＝(5－m)－4＝1－m．
x的值；若不
存在，请说明理由；图1
（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为
S1、S2，若S＝S1＋

中考数学几何压轴题解题技巧

初中几何证明技巧及经典试题证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5 .直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

门.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

*12.两圆的内（外）公切线的长相等。

13.等于同一线段的两条线段相等。

证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4•两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5•同角（或等角）的余角（或补角）相等。

*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

10.等于同一角的两个角相等。

证明两条直线互相垂直1•等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4•邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。

挑战中考数学压轴题详解(115页)

目录第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 上海市中考第24题例2 苏州市中考第29题例3 黄冈市中考第25题例4 义乌市中考第24题例5 临沂市中考第26题例6 苏州市中考第29题1.2 因动点产生的等腰三角形问题例1 上海市虹口区中考模拟第25题例2 扬州市中考第27题例3 临沂市中考第26题例4 湖州市中考第24题例5 盐城市中考第28题例6 南通市中考第27题例7 江西省中考第25题1.3 因动点产生的直角三角形问题例1 山西省中考第26题例2 广州市中考第24题例3 杭州市中考第22题例4 浙江省中考第23题例5 北京市中考第24题例6 嘉兴市中考第24题例7 河南省中考第23题1.4 因动点产生的平行四边形问题例1 上海市松江区中考模拟第24题例2 福州市中考第21题例3 烟台市中考第26题例4 上海市中考第24题例5 江西省中考第24题例6 山西省中考第26题例7 江西省中考第24题1.5 因动点产生的梯形问题例1 上海市松江中考模拟第24题例2 衢州市中考第24题例4 义乌市中考第24题例5 杭州市中考第24题例7 广州市中考第25题1.6 因动点产生的面积问题例1 苏州市中考第29题例2 菏泽市中考第21题例3 河南省中考第23题例4 南通市中考第28题例5 广州市中考第25题例6 扬州市中考第28题例7 兰州市中考第29题1.7 因动点产生的相切问题例1 上海市杨浦区中考模拟第25题例2 河北省中考第25题例3 无锡市中考第28题1.8 因动点产生的线段和差问题例1 天津市中考第25题例2 滨州市中考第24题例3 山西省中考第26题第二部分图形运动中的函数关系问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例1 宁波市中考第26题例2 上海市徐汇区中考模拟第25题例3 连云港市中考第26题例4 上海市中考第25题2.2 由面积公式产生的函数关系问题例1 菏泽市中考第21题例2 广东省中考第22题例3 河北省中考第26题例4 淮安市中考第28题例5 山西省中考第26题例6 重庆市中考第26题第三部分图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 南京市中考第26题例2 南昌市中考第25题3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 上海市黄浦区中考模拟第24题例2 江西省中考第24题第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 上海市中考第24题如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C 在x 轴上运动，可以体验到，点C 在点B 的右侧，有两种情况，△ABC 与△AOM 相似．请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C 在x 轴上运动，可以体验到，点C 在点B 的右侧，有两种情况，△ABC 与△AOM 相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。

初三几何证明及通过几何证明进行说理问题

A B C O xy【例1】如图，二次函数242y ax ax =-+的图像与y 轴交于点A ，且过点B （3，6）．（1）试求二次函数的解析式及点A 的坐标；（2）若点B 关于二次函数对称轴的对称点为点C ，试求CAB ∠的正切值；（3）若在x 轴上有一点P ，使得点B 关于直线AP 的对称点1B 在y 轴上，试求点P 的坐标．几何证明及通过几何证明进行说理问题A BC D 【例2】已知半圆O 的直径6AB =，点C 在半圆O 上，且tan 22ABC ∠=D 为AC 上一点，联结DC ．（1）求BC 的长；（2）若射线DC 交射线AB 于点M ，且MBC ∆与MOC ∆相似，求CD 的长；（3）联结OD ，当OD //BC 时，作DOB ∠的平分线交线段DC 于点N ，求ON 的长．O CB A y x 【例3】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()10A ，、 ()40B ，两点，与y 轴交于点()02C ，.（1）求抛物线的表达式；（2）求证：CAO BCO ∠=∠；（3）若点P 是抛物线上的一点，且PCB ACB BCO ∠+∠=∠，求直线CP 的表达式.【例4】已知二次函数2y x bx c =-++的图像经过点P （0，1）与Q （2，3-）．（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A 作x 轴的平行线交二次函数图像于点B ，分别过点B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，且所得四边形ABCD 恰为正方形．①求正方形的ABCD 的面积；②联结P A 、PD ，PD 交AB 于点E ，求证：PAD ∆∽PEA ∆．【例5】已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），与y 轴交于点C （0，3-），且OA = 2OC ．（1）求这条抛物线的表达式及顶点M 的坐标；（2）求tan ∠MAC 的值；（3）如果点D 在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD = 45°，求点D 的坐标．。

挑战中考数学压轴题_几何综合题素质训练之正方形

初中几何综合题素质训练之正方形1．已知：如图.在正方形ABCD 中.E 、F 分别在AD 、DC 上.且DE ＝DF .BM ⊥EF 于M ．求证：ME ＝MF ．2．如图.正方形ABCD .E 是BC 上的一点.延长AB 至F 使BE BF =.延长AE 交CF 于G ．求证：CF AG ⊥．0 3．如图.ABCD 、BEFG 都是正方形.A 、B 、Ｅ在一条直线上.连结A 、G .且延长交CE 的连线为H .求证：CE AH ⊥．4．如图.某同学参加数学兴趣小组活动.提供了下面3个有联系的问题.请你帮助解决：（1）如图1.正方形ABCD 中.作AE 交BC 于E .DF AE ⊥交AB 于F .求证：AE DF =；（2）如图2.正方形ABCD 中.点E F ，分别在AD BC ，上.点G H ，分别在AB CD ，上.且EF GH ⊥.求GH EF :的值；（3）如图3.矩形ABCD 中.AB a =.BC b =.点E F ，分别在AD BC ，上.且EF GH ⊥.求GH EF :的值．图1FBA图2G BAH图3GBACH5．已知：如图.正方形ABCD.P 是BO 上任意一点.DQ ⊥AP.垂足是Q.交AC 于R. 求证：⑴、DP=CR ．⑵、若P 为OB 延长线上一点.其它条件不变.那么上述的结论是否仍然成立.画图并证明.6．如图.已知ABCD 是正方形.对角线AC 与BD 相交于O .AB MN //.且分别与AO 、BO 交于M 、N ．求证：CN BM ．BAD7．如图.已知正方形ABCD 中.F 为CD 延长线上一点.AF CE ⊥于E .交AD 于M ．求：∠MFD 的度数．8．已知：如图.正方形ABCD 中.M 为DC 中点.AM DF ⊥交AC 于E .交BC 于F ．求证：∠DMA=∠EMC ．9．已知：如图.AM 为△ABC 的中线.四边形ABDE 、ACFG 均为正方形．求证：EG AM 21=．10．已知：如图.正方形ABCD 中.CE 垂直于CAD ∠的平分线于E .AE 交DC 于F ．求证：AF CE 21=．11．已知：如图.正方形ABCD 中.M 是CD 中点.E 是CD 上一点.且DAM BAE ∠=∠2．求证：AE ＝BC ＋CE ．12．已知：如图.正方形ABCD 中.E 、F 分别为AB 、BC 的中点.CE 、DF 交于M ．求证：AM=AD ．13、如图正方形ABCD.以CD 为边长向正方形内作等边△CDE,连BE 交AC 于F.连DF.求证：⑴ △ADF ≌△ABF ⑵ 求∠AFD 的大小 ⑶ 求证AF+DF=CFCD14．（利用旋转处理正方形问题）△ABC 是等腰直角三角形.∠C ＝90°.M 、N 为斜边AB 上两点.如果∠MCN ＝45求证 AM 2＋BN 2=MN2BCA15、已知M 、N 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上.且∠MAN=45°⑴ 如图1求证：MN=DN+BN⑵ 如图2.若点M 、N 分别在CB 、DC 的延长线上.∠MAN=45°.请探究：MN 、BM 、DN 之间的关系MADAD如果改∠MAN=45°顶点不在A 点.而在正方形的中心O 点处.其它的条件不变.请问MC 、MB 与MN 之间的关系A16、已知M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上.且MN=DN+BN⑴如图1求∠MAN的度数⑵如图2.若AM、AN分别和BD交于E、F点.请探究：DE、EF、FB之间的关系⑶若点M、N分别在CB、DC的延长线上.∠MAN=45°MN、DN、BN之间的关系；请探究：DE、EF、FB之间的关系画图证明D CMAD17、如图正方形ABCD中.点O为对角线AC的中点.点P为正方形ABCD外的一点.且BP⊥CP⑴如图1.求证BP+CP=2OP⑵如图2.当点P在正方形的内部时.问BP、CP、OP三者又存在什么样的关系？请证明ECAB C18、正方形ABCD 中.点O 是对角线AC 的中点.P 是对角线AC 上一动点.过点P 作PF ⊥CD 于点F 。

挑战2024数学中考压轴题几何证明及通过几何计算进行说理

挑战2024数学中考压轴题几何证明及通过几何计算进行
说理
一、证明：若圆的切点A、B，关于C的对称点是A'、B'，则证明：
AA'的中点等于BB'的中点。

证明：
因为ABC是一个等腰三角形，ACB的两条边分别等于AB的两条边，
从而使得AA'的长度等于BB'的长度，连接AC，则AA'的中点等于BB'的
中点，即证毕。

二、证明：已知直线l1垂直抛物线的焦点F，点A在抛物线上，则
AF的中点M，经过抛物线的另一焦点。

证明：
因为抛物线的两个焦点F1和F2到直线l1是垂直的，由直线垂直定理，可知点F1和F2到AF的距离分别是相等的，从而可知AF的中点M到
F1和F2的距离也是相等的，从而可以说明M经过抛物线的另一焦点，即
证毕。

三、证明：已知空间两条直线l1、l2有两个公共点A、B，则AB经过l1、l2的交点。

证明：
证明采用反证法：假设AB不经过l1、l2的交点，即意味着AB中存
在一个点出现在l1、l2两条直线的同一侧，但是由于l1、l2有两个公共
点A、B，从而说明l1、l2有两个公共点A、B，而A、B必须在l1、l2的
两侧，从而A、B必定会经过这两条直线的交点，即证毕。

四、证明：已知圆C1的半径r1，圆C2的半径r2，C1和C2的圆心分别是O1、O2，则证明：当r1＞r2时，C1圆的外切线与C2的内切线存在两个交点。

证明：
首先因为C1的半径r1大于C2的半径r2。

人教版初中数学讲义第12讲几何证明及通过几何证明进行说理问题

第12讲几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 杭州市中考第22题如图1，在△ABC中，BC＞AC，∠ACB＝90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若13ADDB=，AE＝2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由．图1思路点拨1．△CFG与△EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况．2．高和中线是直角三角形的两条典型线，各自联系着典型的定理，一个是直角三角形的两锐角互余，一个是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．3．根据等角的余角相等，把图形中相等的角都标记出来．满分解答（1）由∠ACB＝90°，DE⊥AC，得DE//BC．所以13AE ADEC DB==．所以213EC=．解得EC＝6．（2）△CFG与△EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况：①如图2，当∠1＝∠2时，由于∠2与∠3互余，所以∠2与∠3也互余．因此∠CPF＝90°．所以CP是△CFG的高．②如图3，当∠1＝∠3时，PF＝PC．又因为∠1与∠4互余，∠3与∠2互余，所以∠4＝∠2．所以PC＝PG．所以PF＝PC＝PG．所以CP是△CFG的中线．综合①、②，当CD是∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的高，也是中线（如图4）．图2 图3 图4考点伸展这道条件变换的题目，不由得勾起了我们的记忆：如图5，在△ABC中，点D是AB边上的一个动点，DE//BC交AC于E，DF//AC交BC于F，那么四边形CEDF是平行四边形．如图6，当CD平分∠ACB时，四边形CEDF是菱形．图5 图6如图7，当∠ACB＝90°，四边形CEDF是矩形．如图8，当∠ACB＝90°，CD平分∠ACB时，四边形CEDF是正方形．图7 图8例2安徽省中考第23题如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上的一动点，过P作PM//AB交AF于M，作PN//CD 交DE于N．（1）①∠MPN＝_______°；②求证：PM＋PN＝3a；（2）如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON．求证：OM＝ON．（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊的四边形，并说明理由．图1 图2 图3思路点拨1．第（1）题的思路是，把PM＋PN转化到同一条直线上．2．第（2）题的思路是，以O为圆心，OM为半径画圆，这个圆经过点N、P．于是想到联结OP，这样就出现了两对全等三角形．3．第（3）题直觉告诉我们，四边形OMGN是菱形．如果你直觉△MOG与△NOG是等边三角形，那么矛盾就是如何证明∠MON＝120°．满分解答（1）①∠MPN＝60°．②如图4，延长F A、ED交直线B C与M′、N′，那么△ABM′、△MPM′、△DCN′、△EPN′都是等边三角形．所以PM＋PN＝M′N′＝M′B＋BC＋CN′＝3a．图4 图5 图6（2）如图5，联结OP．由AM＝BP，∠OAM＝∠OBP＝60°，OA＝OB，得△AOM≌△BOP．所以OM＝OP．同理△COP≌△DON，得ON＝OP．所以OM＝ON．（3）四边形OMGN是菱形．说理如下：由（2）知，∠AOM＝∠BOP，∠DON＝∠COP（如图5）．所以∠AOM＋∠DON＝∠BOP＋∠COP＝60°．所以∠MON＝120°．如图6，当OG平分∠MON时，∠MOG＝∠NOG＝60°．又因为∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，于是可得∠AOM＝∠FOG＝∠EON．于是可得△AOM≌△FOG≌△EON．所以OM＝OG＝ON．所以△MOG与△NOG是两个全等的等边三角形．所以四边形OMGN的四条边都相等，四边形OMGN是菱形．考点伸展在本题情景下，菱形OMGN的面积的最大值和最小值各是多少？因为△MOG与△NOG是全等的等边三角形，所以OG最大时菱形的面积最大，OG最小时菱形的面积最小．OG的最大值等于OA，此时正三角形的边长为a2．OG与EF2．例3 上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过点P (0, 1)与Q (2, －3)．（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A 作x 轴的平行线交二次函数图像于点B ，分别过点B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，且所得四边形ABCD 恰为正方形．①求正方形的ABCD 的面积；②联结P A 、PD ，PD 交AB 于点E ，求证：△P AD ∽△PEA ．思路点拨1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A 的坐标，用点A 的坐标表示AD 、AB 的长，当四边形ABCD 是正方形时，AD ＝AB ．2．通过计算∠P AE 与∠DPO 的正切值，得到∠P AE ＝∠DPO ＝∠PDA ，从而证明△P AD ∽△PEA ．满分解答（1）将点P (0, 1)、Q (2, －3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得1,421 3.c b =⎧⎨-++=-⎩ 解得0,1.b c =⎧⎨=⎩所以该二次函数的解析式为y ＝－x 2＋1．（2）①如图1，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1)，当四边形ABCD 恰为正方形时，AD ＝AB ．此时y A ＝2x A ．解方程－x 2＋1＝2x ，得1x =-所以点A 1．因此正方形ABCD 的面积等于21)]12=-②设OP 与AB 交于点F ，那么211)31)PF OP OF =-=-=-=．所以tan 1PF PAE AF ∠===．又因为tan tan 1ODPDA DPO ∠=∠==，所以∠P AE ＝∠PDA ．又因为∠P 公用，所以△P AD ∽△PEA ．图1 图2考点伸展事实上，对于矩形ABCD ，总有结论△P AD ∽△PEA ．证明如下：如图2，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1)，那么PF ＝OP －OF ＝1－(－x 2＋1)＝x 2．所以2tan PF x PAE x AF x∠===．又因为tan tan ODPDA DPO x OP∠=∠==，所以∠P AE ＝∠PDA ．因此△P AD ∽△PEA ．例4 江西省中考第24题某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是__________（填序号即可）．①AF＝AG＝12AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；（3）类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：_________．图1思路点拨1．本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系？最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍．2．三个中点M、F、G的作用重大，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线．3．两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的角？满分解答（1）填写序号①②③④．（2）如图4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，所以F、G分别是AB、AC的中点．又已知M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．所以12MF AC=，12MG AB=，MF//AC，MG//AB．所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．所以12EG AC=，12DF AB=．所以MF＝EG，DF＝NG．所以△DFM≌△MGE．所以DM＝ME．（3）△MDE是等腰直角三角形．图4 图5考点伸展第（2）题和第（3）题证明△DFM≌△MGE的思路是相同的，不同的是证明∠DFM＝∠MGE的过程有一些不同．如图4，如图5，∠BFM＝∠BAC＝∠MGC．如图4，∠DFM＝90°＋∠BFM，∠MGE＝90°＋∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．如图5，∠DFM＝90°－∠BFM，∠MGE＝90°－∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．【强化训练】1.如图，已知直线343+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在直线AB 上，设以C 为顶点的抛物线n m x y ++=2)(与直线AB 的另一个交点为D ，抛物线的对称轴与x 轴交于点P 。

济南创佳教育2014挑战中考压轴1_图形运动中的函数关系问题

2014济南创佳教育挑战中考《挑战中考压轴》————图形运动中的函数关系问题姓名：班级：座号：二—1：由比例线段产生的函数关系问题 1．（2010年上海市第25题）如图9，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°.半径为1的圆A 与边AB 相交于点D ，与边AC相交于点E ，连结DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P.（1）当∠B ＝30°时，连结AP ，若△AEP 与△BDP 相似，求CE 的长；（2）若CE=2，BD=BC ，求∠BPD 的正切值；（3）若1tan 3BPD ∠=，设CE x =，△ABC 的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式.二—2：由面积公式产生的函数关系问题2．（2010年江西省第24题）如图，已知经过原点的抛物线x x y 422+-=与x 轴的另一交点为A ，现将它向右平移m （0>m ）个单位，所得抛物线与x 轴交于C 、D 两点，与原抛物线交于点P . （1）求点A 的坐标，并判断PCA ∆存在时它的形状（不要求说理）；（2）在x 轴上是否存在两条相等的线段？若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m 的式子表示）；若不存在，请说明理由；（3）设CDP ∆的面积为S ，求S 关于m 的关系式.三—1：代数计算及通过代数计算进行说理问题 3．（2011年河北省第26题）如图15，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t ＞0）秒，抛物线y =x 2＋bx ＋c 经过点O 和点P .已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，xyD A C O P－5）、D （4，0）.⑴求c 、b （用含t 的代数式表示）；⑵当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB 、CD 交于点M 、N .①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值； ②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S=218； ③在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”，若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t 的取值范围.三—2：几何证明及通过几何计算进行说理问题 4．（2011年上海卢湾模拟第24题）已知：抛物线2y ax bx c=++经过点()0,0O ，()7,4A ，且对称轴l 与x 轴交于点()5,0B . （1）求抛物线的表达式；（2）如图，点E 、F 分别是y 轴、对称轴l 上的点，且四边形EOBF 是矩形，点55,2C ⎛⎫⎪⎝⎭是BF 上一点，将BOC ∆沿着直线OC翻折，B 点与线段EF 上的D 点重合，求D 点的坐标；（3）在（2）的条件下，点G 是对称轴l 上的点，直线DG 交CO 于点H ，:1:4DOH DHC S S ∆∆=，求G 点坐标.OBCDEFxy(第24题图)l《挑战中考压轴》参考答案————图形运动中的函数关系问题二—1：由比例线段产生的函数关系问题 1．（2010年上海市第25题）（1）解：∵∠B ＝30°∠ACB ＝90°∴∠BAC ＝60° ∵AD=AE ∴∠AED ＝60°=∠CEP ∴∠EPC ＝30° ∴三角形BDP 为等腰三角形 ∵△AE P 与△BDP 相似∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30° ∴AE=EP=1∴在RT △ECP 中，EC=12EP=12（2）过点D 作DQ ⊥AC 于点Q ，且设AQ=a ，BD=x ∵AE=1,EC=2 ∴QC=3-a ∵∠ACB ＝90°∴△ADQ 与△ABC 相似 ∴AD AQ AB AC = 即113a x =+，∴31a x =+ ∵在RT △ADQ 中 2222328111x x DQ AD AQ x x +-⎛⎫=-=-=⎪++⎝⎭∵DQ AD BC AB= ∴228111x x x x x +-+=+ 解之得x=4，即BC=4 过点C 作CF//DP∴△ADE 与△AFC 相似， ∴AE ADAC AF =，即AF=AC ，即DF=EC=2, ∴BF=DF=2∵△BFC 与△BDP 相似 ∴2142BF BC BD BP ===，即：BC=CP=4 ∴tan ∠BPD=2142EC CP == (3)过D 点作DQ ⊥AC 于点Q ，则△DQE 与△PCE 相似,设AQ=a ，则QE=1-a ∴QE DQEC CP =且1tan 3BPD ∠= ∴()31DQ a =- ∵在Rt △ADQ 中，据勾股定理得：222AD AQ DQ =+即：()222131a a =+-⎡⎤⎣⎦，解之得41()5a a ==舍去 ∵△ADQ 与△ABC 相似∴445155AD DQ AQ AB BC AC x x ====++ ∴5533,44x xAB BC ++== FQAE D PCB济南创佳教育∴三角形ABC 的周长553313344x xy AB BC AC x x ++=++=+++=+ 即：33y x =+，其中x>0二—2：由面积公式产生的函数关系问题 2．（2010年江西省第24题）（1）令0422=+-x x ，得2,021==x x .∴点A 的坐标为（2，0）. …………………………2分 PCA ∆是等腰三角形. ………………………………3分（2）存在.2,====CD OA m AD OC .……………………5分(3)当0＜m ＜2时，如图1，作x PH ⊥轴于H ，设),(p p y x P . ∵A(2,0), C(m ,0),∴m AC -=2. ∴222mAC CH -==. ∴2222+=-+==m m m OH x p 把22+=m x p 代入x x y 422+-=，得2212+-=m y p . ∵2==OA CD ,∴221)221(2212122+-=+-∙∙=∙=m m HP CD S .………………9分当2=m 时，PCD ∆不存在当2>m 时，如图2，作x PH ⊥轴于H ，设),(p p y x P . ∵A （2，0），C （m ，0），∴2-=m AC ，∴22-=m AH . ∴22222+=-+==m m OH x p图1 图2把22+=m x p 代入x x y 422+-=，得2212+-=m y p .∵2==OA CD ，∴221)(221212+=-∙∙=∙=m y HP CD S p ………………12分说明：采用p y HP CD S ∙∙=∙=22121思路求解，未排除2=m 的，扣1分.三—1：代数计算及通过代数计算进行说理问题 3．（2011年河北省第26题）三—2：几何证明及通过几何计算进行说理问题4．（2011年上海卢湾模拟第24题）解（1）由题意得5,20,4974b a c a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩…………………………（1分）解，得4,2140,210.a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴24402121y x x =-+.…………………………………………（3分）（2）∵BOC ∆与DOC ∆重合，55,2OB BC ==，∴55,2BO DO CD BC ====，90OBC ODC ∠=∠=︒，∴90EDO FDC ∠+∠=︒，又90EDO EOD ∠+∠=︒，∴EOD FDC ∠=∠，∵90OED DFC ∠=∠=︒，∴EOD ∆∽FDC ∆，………（2分） ∴5252ED EO OD FC DF CD ====，……………………………………………………（1分） ∵四边形OEFB 是矩形，∴EF OB =，EO FB =，设FC x =，则2,52ED x DF x ==-，∴104EO x =-，∴51042x x -=+，解，得32x =，∴3,4ED EO ==，∴()3,4D .…………（1分）（3）过点H 作HP OB ⊥，垂足为点P .∵:1:4DOH DHC S S ∆∆=，∴14DOH DHC S OH S HC ∆∆==，…………………………………（1分） ∵HP OB ⊥，CB OB ⊥，∴HP ∥BC ， ∴15OH OP PH OC OB BC ===，∴11,2OP PH ==，∴11,2H ⎛⎫⎪⎝⎭.……………………（1分） ∴经过点()3,4D ，11,2H ⎛⎫⎪⎝⎭的直线DG 的表达式为7544y x =-，……………（1分）∴155,2G ⎛⎫⎪⎝⎭.………………………………………………………………………（1分）《挑战中考压轴》————图形的平移、翻折与旋转姓名：班级：座号：四—5：四边形：1．（2011年北京房山中考模拟第24题）如图，抛物线332-+=ax ax y （a ＞0）与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，点 A 在点B 的左侧，且31tan =∠OCB ．（1）求此抛物线的解析式；（2）如果点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，设D 点的横坐标为x ，△ACD 的面积为S ，求S 与x 的关系式，并求当S 最大时点D 的坐标；（3）若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点的平行四边形？若存在求点P 坐标；若不存在，请说明理由．四—6：圆： 2．（2011年南京第26题）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6㎝，BC =8㎝，P 为BC 的中点．动点Q 从点P 出发，沿射线PC 方向以2㎝/s 的速度运动，以P 为圆心，PQ 长为半径作圆．设点Q 运动的时间为t s ． ⑴当t =1.2时，判断直线AB 与⊙P 的位置关系，并说明理由； ⑵已知⊙O 为△ABC 的外接圆，若⊙P 与⊙O 相切，求t 的值．四—7：函数的图像及性质（1）： 3．（2010年眉山第26题）如图，Rt△ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．（24题图）(备用图) AB C P Q O(第26题)四—8：函数的图像及性质（2）： 4．（2010年长春第26题）如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角△AOB 的斜边OB 在x 轴上，顶点A 的坐标为(3，3)，AD 为斜边上的高．抛物线x ax y 22+=与直线x y 21=交于点O 、C ，点C 的横坐标为6．点P 在x 轴的正半轴上，过点P 作PE ∥y 轴，交射线OA 于点E ．设点P 的横坐标为m ，以A 、B 、D 、E 为顶点的四边形的面积为S ．(1)求OA 所在直线的解析式． (2)求a 的值．(3)当m ≠3时，求S 与m 的函数关系式．(4)如图②，设直线PE 交射线OC 于点R ，交抛物线于点Q ．以RQ 为一边，在RQ 的右侧作矩形RQMN ，其中RN ＝23．直接写出矩形RQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形时m 的取值范围．《挑战中考压轴》————图形的平移、翻折与旋转五—1：四边形：1．（2011年北京房山中考模拟第24题）解：（1）由已知可得C （0，3-），∵31tan =∠OCB ，∠COB =90°，∴31=OC OB ， ∴B （1,0） ------ 1分 ∵抛物线332-+=ax ax y （a ＞0）过点B ，∴033=-+a a ， ∴43=a∴抛物线的解析式为349432-+=x x y ------- 3分（2）如图1，∵抛物线对称轴为23-=x ，B （1,0）∴A （4-,0）联结OD ， ∵点D 在抛物线349432-+=x x y 上 ∴设点D （x ，349432-+x x ），则 ACDAOD DOC AOCS S S S ∆∆∆∆=+-OOA ABB CCP DEQ P DN MR Eyyxx图①图②=()2139114334324422x x x ⎛⎫⨯--++⨯--⨯⨯ ⎪⎝⎭=2362x x -- ---------------------------------------------------------5分 ∴S=()23262x -++ ------------------------------------------------------- 6分 ∴当2-=x 时，△ACD 的面积S 有最大值为6.此时，点D 的坐标为（2-，29-）． -------------------------------------------------------- 7分（3）①如图2，当以AC 为边，CP 也是平行四边形的边时， CP ∥AE ，点P 与点C 关于抛物线的对称轴对称，此时P(3-，3-).②如图3，当以AC 为对角线，CP 为边时，此时P 点的坐标是(3-，3-)--------- 9分 ③如图4、图5，当以AC 为边，CP 是平行四边形的对角线时，点P 、C 到x 轴的距离相等，则349432-+x x =3，解得2413±-=x ，此时P （2413--，3）（如图4）或（2413+-，3）（如图5） -------------------------------------------------------------- 11分综上所述，存在三个点符合题意，分别是1P (3-，3-)，2P (2413--，3），3P (2413+-，3）．----- 12分五—2：圆： 2．（2011年南京第26题）.解⑴直线AB 与⊙P 相切．如图，过点P 作PD ⊥AB , 垂足为D ．在Rt △A BC 中，∠ACB ＝90°，∵AC =6cm ，BC =8cm ，图 2图 3 图4图5济南创佳教育上课地址：历下区历山路138号凯旋商务大厦B 座2楼11EN MDCBAOyx∴2210AB AC BC cm =+=．∵P 为BC 的中点，∴PB =4cm ．∵∠P DB ＝∠ACB ＝90°，∠PBD ＝∠ABC ．∴△PBD ∽△ABC ． ∴PD PB AC AB =,即4610PD =，∴PD =2.4(cm) ．当 1.2t =时，2 2.4PQ t ==(cm)∴PD PQ =，即圆心P 到直线AB 的距离等于⊙P 的半径． ∴直线AB 与⊙P 相切．⑵ ∠ACB ＝90°，∴AB 为△ABC 的外切圆的直径．∴152OB AB cm ==．连接OP ．∵P 为BC 的中点，∴132OP AC cm ==． ∵点P 在⊙O 内部，∴⊙P 与⊙O 只能内切． ∴523t -=或253t -=，∴t =1或4． ∴⊙P 与⊙O 相切时，t 的值为1或4．五—3：函数的图像及性质（1）： 3．（2010年眉山第26题）解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为225()32y x m =-+ …（1分） ∴2254()32m =⨯-+∴16m =- ……………………………………………………………（3分） ∴所求函数关系式为：22251210()432633y x x x =--=-+ …………（4分）（2）在Rt △ABO 中，OA =3，OB =4，∴225AB OA OB =+=∵四边形ABCD 是菱形∴BC =CD =DA =AB =5 ……………………………………（5分） ∴C 、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． …………（6分）当5x =时，2210554433y =⨯-⨯+=当2x =时，2210224033y =⨯-⨯+=∴点C 和点D 在所求抛物线上． …………………………（7分）（3）设直线CD 对应的函数关系式为y kx b =+，则5420k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：48,33k b ==-．∴4833y x =- ………（9分）济南创佳教育上课地址：历下区历山路138号凯旋商务大厦B 座2楼12∵MN ∥y 轴，M 点的横坐标为t ， ∴N 点的横坐标也为t ．则2210433M y t t =-+， 4833N y t =-，……………………（10分） ∴22248210214202734()3333333322N M l y y t t t t t t ⎛⎫=-=---+=-+-=--+ ⎪⎝⎭∵203-<， ∴当72t =时，32l =最大，此时点M 的坐标为（72，12）． ………………………………（12分）五—3：函数的图像及性质（2）： 4．（2010年长春第26题）济南创佳教育上课地址：历下区历山路138号凯旋商务大厦B 座2楼13。

2014挑战中考压轴题3.2几何证明及通过几何计算进行说理

3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过点P (0, 1)与Q (2, －3)．（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A 作x 轴的平行线交二次函数图像于点B ，分别过点B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，且所得四边形ABCD 恰为正方形．①求正方形的ABCD 的面积；②联结P A 、PD ，PD 交AB 于点E ，求证：△P AD ∽△PEA ．动感体验请打开几何画板文件名“13黄浦24”，拖动点A 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠P AE 与∠PDA 总保持相等，△P AD 与△PEA 保持相似．请打开超级画板文件名“13黄浦24”，拖动点A 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠P AE 与∠PDA 总保持相等，△P AD 与△PEA 保持相似．思路点拨1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A 的坐标，用点A 的坐标表示AD 、AB 的长，当四边形ABCD 是正方形时，AD ＝AB ．2．通过计算∠P AE 与∠DPO 的正切值，得到∠P AE ＝∠DPO ＝∠PDA ，从而证明△P AD ∽△PEA ．满分解答（1）将点P (0, 1)、Q (2, －3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得1,421 3.c b =⎧⎨-++=-⎩ 解得0,1.b c =⎧⎨=⎩ 所以该二次函数的解析式为y ＝－x 2＋1．（2）①如图1，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1)，当四边形ABCD 恰为正方形时，AD ＝AB ．此时y A ＝2x A ．解方程－x 2＋1＝2x ，得12x =-±．所以点A 的横坐标为21-．因此正方形ABCD 的面积等于2[2(21)]1282-=-．②设OP 与AB 交于点F ，那么212(21)322(21)PF OP OF =-=--=-=-．所以2(21)tan 2121PF PAE AF -∠===--．又因为tan tan 21ODPDA DPO OP∠=∠==-，所以∠P AE ＝∠PDA ．又因为∠P 公用，所以△P AD ∽△PEA ．图1 图2考点伸展事实上，对于矩形ABCD ，总有结论△P AD ∽△PEA ．证明如下：如图2，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1)，那么PF ＝OP －OF ＝1－(－x 2＋1)＝x 2．所以2tan PF x PAE x AF x∠===．又因为tan tan ODPDA DPO x OP∠=∠==，所以∠P AE ＝∠PDA ．因此△P AD ∽△PEA ．例2 2013年江西省中考第24题某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是__________（填序号即可）．①AF＝AG＝12AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；（3）类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DF A＝∠EGA保持不变．请打开超级画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DF A＝∠EGA保持不变．思路点拨1．本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系？最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍．2．三个中点M、F、G的作用重大，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线．3．两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的角？满分解答（1）填写序号①②③④．（2）如图4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，所以F、G分别是AB、AC的中点．又已知M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．所以12MF AC=，12MG AB=，MF//AC，MG//AB．所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，所以12EG AC=，12DF AB=．所以MF＝EG，DF＝NG．所以△DFM≌△MGE．所以DM＝ME．（3）△MDE是等腰直角三角形．图4 图5考点伸展第（2）题和第（3）题证明△DFM≌△MGE的思路是相同的，不同的是证明∠DFM＝∠MGE的过程有一些不同．如图4，如图5，∠BFM＝∠BAC＝∠MGC．如图4，∠DFM＝90°＋∠BFM，∠MGE＝90°＋∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．如图5，∠DFM＝90°－∠BFM，∠MGE＝90°－∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．。

2018年中考压轴题汇编《几何证明及通过几何计算进行说理》

3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 2017年杭州市中考第22题如图1，在△ABC中，BC＞AC，∠ACB＝90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若13ADDB，AE＝2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△EDC 有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由．图1例2 2017年安徽省中考第23题如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上的一动点，过P作PM//AB交AF 于M，作PN//CD交DE于N．（1）①∠MPN＝_______°；②求证：PM＋PN＝3a；（2）如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON．求证：OM＝ON．（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊的四边形，并说明理由．图1 图2 图3例3 2018年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, －3)．（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．①求正方形的ABCD的面积；②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA．3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题答案例1 2017年杭州市中考第22题如图1，在△ABC中，BC＞AC，∠ACB＝90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若13ADDB，AE＝2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△EDC 有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“15杭州22”，拖动点D在AB上运动，可以体验到，CP既可以是△CFG的高，也可以是△CFG的中线．思路点拨1．△CFG与△EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况．2．高和中线是直角三角形的两条典型线，各自联系着典型的定理，一个是直角三角形的两锐角互余，一个是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．3．根据等角的余角相等，把图形中相等的角都标记出来．满分解答（1）由∠ACB＝90°，DE⊥AC，得DE//BC．所以13AE ADEC DB==．所以213EC=．解得EC＝6．（2）△CFG与△EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况：①如图2，当∠1＝∠2时，由于∠2与∠3互余，所以∠2与∠3也互余．因此∠CPF＝90°．所以CP是△CFG的高．②如图3，当∠1＝∠3时，PF＝PC．又因为∠1与∠4互余，∠3与∠2互余，所以∠4＝∠2．所以PC＝PG．所以PF＝PC＝PG．所以CP是△CFG的中线．综合①、②，当CD是∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的高，也是中线（如图4）．图2 图3 图4考点伸展这道条件变换的题目，不由得勾起了我们的记忆：如图5，在△ABC中，点D是AB边上的一个动点，DE//BC交AC于E，DF//AC交BC 于F，那么四边形CEDF是平行四边形．如图6，当CD平分∠ACB时，四边形CEDF是菱形．图5 图6如图7，当∠ACB＝90°，四边形CEDF是矩形．如图8，当∠ACB＝90°，CD平分∠ACB时，四边形CEDF是正方形．图7 图8例2 2017年安徽省中考第23题如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上的一动点，过P作PM//AB交AF 于M，作PN//CD交DE于N．（1）①∠MPN＝_______°；②求证：PM＋PN＝3a；（2）如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON．求证：OM＝ON．（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊的四边形，并说明理由．图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“14安徽23”，拖动点P运动，可以体验到，PM＋PN等于正六边形的3条边长．△AOM≌△BOP，△COP≌△DON，所以OM＝OP＝ON．还可以体验到，△MOG与△NOG是两个全等的等边三角形，四边形OMGN是菱形．思路点拨1．第（1）题的思路是，把PM＋PN转化到同一条直线上．2．第（2）题的思路是，以O为圆心，OM为半径画圆，这个圆经过点N、P．于是想到联结OP，这样就出现了两对全等三角形．3．第（3）题直觉告诉我们，四边形OMGN是菱形．如果你直觉△MOG与△NOG是等边三角形，那么矛盾就是如何证明∠MON＝120°．满分解答（1）①∠MPN＝60°．②如图4，延长FA、ED交直线B C与M′、N′，那么△ABM′、△MPM′、△DCN′、△EPN′都是等边三角形．所以PM＋PN＝M′N′＝M′B＋BC＋CN′＝3a．图4 图5 图6（2）如图5，联结OP ．由（1）知，AM ＝BP ，DN ＝CP ．由AM ＝BP ，∠OAM ＝∠OBP ＝60°，OA ＝OB ，得△AOM ≌△BOP ．所以OM ＝OP ．同理△COP ≌△DON ，得ON ＝OP ．所以OM ＝ON ．（3）四边形OMGN 是菱形．说理如下：由（2）知，∠AOM ＝∠BOP ，∠DON ＝∠COP （如图5）．所以∠AOM ＋∠DON ＝∠BOP ＋∠COP ＝60°．所以∠MON ＝120°．如图6，当OG 平分∠MON 时，∠MOG ＝∠NOG ＝60°．又因为∠AOF ＝∠FOE ＝∠EOD ＝60°，于是可得∠AOM ＝∠FOG ＝∠EON ．于是可得△AOM ≌△FOG ≌△EON ．所以OM ＝OG ＝ON ．所以△MOG 与△NOG 是两个全等的等边三角形．所以四边形OMGN 的四条边都相等，四边形OMGN 是菱形．考点伸展在本题情景下，菱形OMGN 的面积的最大值和最小值各是多少？因为△MOG 与△NOG 是全等的等边三角形，所以OG 最大时菱形的面积最大，OG 最小时菱形的面积最小．OG 的最大值等于OA ，此时正三角形的边长为a ，菱形的最大面积为232a ． OG 与EF 垂直时最小，此时正三角形的边长为32a ，菱形的最小面积为2338a ．例3 2018年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, －3)．（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．①求正方形的ABCD的面积；②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA．动感体验请打开几何画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相似．请打开超级画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相似．思路点拨1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A的坐标，用点A的坐标表示AD、AB的长，当四边形ABCD是正方形时，AD＝AB．2．通过计算∠PAE与∠DPO的正切值，得到∠PAE＝∠DPO＝∠PDA，从而证明△PAD ∽△PEA．满分解答（1）将点P (0, 1)、Q (2, －3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得1,421 3.c b =⎧⎨-++=-⎩ 解得0,1.b c =⎧⎨=⎩ 所以该二次函数的解析式为y ＝－x 2＋1．（2）①如图1，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1)，当四边形ABCD 恰为正方形时，AD ＝AB ．此时y A ＝2x A ．解方程－x 2＋1＝2x ，得12x =-±．所以点A 的横坐标为21-．因此正方形ABCD 的面积等于2[2(21)]1282-=-．②设OP 与AB 交于点F ，那么212(21)322(21)PF OP OF =-=--=-=-．所以2(21)tan 2121PF PAE AF -∠===--．又因为tan tan 21ODPDA DPO OP∠=∠==-，所以∠PAE ＝∠PDA ．又因为∠P 公用，所以△PAD ∽△PEA ．图1 图2考点伸展事实上，对于矩形ABCD ，总有结论△PAD ∽△PEA ．证明如下：如图2，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1)，那么PF ＝OP －OF ＝1－(－x 2＋1)＝x 2．所以2tan PF x PAE x AF x∠===．又因为tan tan ODPDA DPO x OP∠=∠==，所以∠PAE ＝∠PDA ．因此△PAD ∽△PEA ．。

挑战数学中考压轴题：几何证明及通过几何计算进行说理问题

3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题
例24 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题
②设 OP 与 AB 交于点 F，
那么 PF OP OF 1 2( 2 1) 3 2 2 ( 2 1)2 ．
Y
所以 tan PAE PF ( 2 1)2 2 1 ．
D
AF 2 1
X
又因为 tan PDA tan DPO OD 2 1， OP
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, －3)．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作 x 轴的
Y 平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作 x 轴的垂线，
垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形． ①求正方形的ABCD的面积；
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题
例23 2013年江西省中考第24题
（2）数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等
Y 腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则
MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；（3）类比探究：
D
X 在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作
Y
如图 4，如图 5，∠BFM＝∠BAC＝∠MGC．
D
如图 4，∠DFM＝90°＋∠BFM，∠MGE＝90°＋∠MGC，
X
所以∠DFM＝∠MGE．
如图 5，∠DFM＝90°－∠BFM，∠MGE＝90°－∠MGC，
S
所以∠DFM＝∠MGE．

《挑战压轴题中考数学：精讲解读篇》第三部分图形运动 3.2几何证明及通过代数计算进行说理问题

3.2 几何证明及通过代数计算进行说理问题例 13 2014年安徽省中考第23题如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上的一动点，过P作PM//AB交AF于M，作PN//CD交DE于N．（1）①∠MPN＝_______°；②求证：PM＋PN＝3a.（2）如图2，点O是AD的中点，连结OM、ON．求证：OM＝ON．（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊的四边形，并说明理由．图1 图2 图3例 14 2014年河北省中考第25题如图1，图2，优弧AB所在⊙O的半径为2，AB＝P为优弧AB上一点（点P不与A、B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．（1）点O到弦AB的距离是________；当BP经过点O时，∠ABA′＝________；（2）当BA′与⊙O相切时，如图2，求折痕BP的长；（3）若线段BA′与优弧AB只有一个公共点B，设∠ABP＝α，确定α的取值范围．图1 图2在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连结BE、DE，其中DE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB、FE、FD之间的数量关系，并证明．图1 图2例 16 2014年沈阳市中考第24题如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD 的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上的一个动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连结FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且M、F、C三点在同一条直线上时，求证：ACAM；（3）连结EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．图1 图2 备用图如图1，在平面直角坐标系中，二次函数241227y x =-+的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），连结AB 、AC ．（1）点B 的坐标为_________，点C 的坐标为_________；（2）过点C 作射线CD //AB ，点M 是线段AB 上的动点，点P 是线段AC 上的动点，且始终满足BM ＝AP （点M 与点A 、B 不重合），过点M 作MN //BC 交AC 于点Q ，交射线CD 于点N （点Q 不与点P 重合），连结PM 、PN ，设线段AP 的长为n ．①如图2，当n ＜12AC 时，求证：△PAM ≌△NCP ； ②直接用含有n 的式子表示线段PQ 的长；③若PM 当二次函数241227y x =-+的图像经过平移同时过点P 和点N 时，请直接写出此时二次函数的表达式．图1 图2例 18 2014年济南市中考第28题如图1，抛物线2316y x =-平移后过点A (8, 0)和原点，顶点为B ，对称轴与x 轴相交于点C ，与原抛物线相交于点D ．（1）求平移后的抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S 阴影；（2）如图2，直线AB 与y 轴相交于点P ，点M 为线段OA 上的一个动点，∠PMN 为直角，边MN 与AP 相交于点N ．设OM ＝t ，试探究：①t 为何值时△MAN 为等腰三角形；②t 为何值时PN 的长度最小，最小长度是多少？图1 图2 备用图如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1,－1)，且对称轴为直线x ＝2．点P、Q均在抛物线上，点P位于对称轴右侧，点Q位于对称轴左侧，PA垂直对称轴于点A，QB垂直对称轴于点B，且QB＝PA＋1．设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）求点Q的坐标（用含m的式子表示）；（3）请探究PA＋QB＝AB是否成立，并说明理由；（4）抛物线y1＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0）经过Q、B、P三点，若其对称轴把四边形PAQB 分成面积比为1∶5的两部分，直接写出此时m的值．图1例 20 2015年上海市崇明县中考模拟第24题如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0,－4)、B(－2, 0)、C(4, 0)．（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）已知点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求点M的坐标．图1 备用图例 21 2015年上海市奉贤区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋x 的对称轴为直线x ＝2，顶点为A ．（1）求抛物线的表达式及顶点A 的坐标；（2）点P 为抛物线对称轴上一点，连结OA 、OP ． ①当OA ⊥OP 时，求OP 的长；②过点P 作OP 的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B ，连结OB ，当∠OAP ＝∠OBP 时，求点B 的坐标．图1例 22 2015年上海市杨浦区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线21()2y x m n =-+的顶点D 在直线AB 上，与y 轴的交点为C ．（1）若点C （非顶点）与点B 重合，求抛物线的表达式；（2）若抛物线的对称轴在y 轴的右侧，且CD ⊥AB ，求∠CAD 的正切值；（3）在（2）的条件下，在∠ACD 的内部作射线CP 交抛物线的对称轴于点P ，使得 ∠DCP ＝∠CAD ，求点P 的坐标．图1如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连结AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．（1）求证：AD＝BC；（2）求证：△AGD∽△EGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求ADEF的值．图1 图2例 24 2015年北京市中考第28题在正方形ABCD中，BD是一条对角线．点P在射线CD上（与点C、D不重合），连结AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连结AH、PH．（1）若点P在线段CD上，如图1．①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP的长的思路．（可以不写出计算结果）图1 备用图如图1，在△ABC中，BC＞AC，∠ACB＝90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若13ADDB=，AE＝2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由．图1例 26 2015年河南省中考第22题如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连结DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，AEBD＝_________；②当α＝180°时，AEBD＝_________；（2）拓展探究试判断当0°≤α≤360°时，AEBD的大小有无变化？请仅给出图2的情形证明；（3）问题解决当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长．图1 图2 备用图如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，∠DCB＜90°，对角线AC平分∠DCB，延长DA、CB相交于点E．（1）如图1，EB＝AD，求证：△ABE是等腰直角三角形；（2）如图2，连结OE，过点E作直线EF，使得∠OEF＝30°．当∠ACE≥30°时，判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．图1 图2例 28 2015年武汉市中考第24题已知抛物线y＝12x2＋c与x轴交于A(－1,0)、B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E(m，n)是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG ⊥y轴于点G，连结CE、CF，若∠CEF＝∠CFG，求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）；（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ＝∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．图1 图2如图1，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝5．分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系．点D是CB边上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数kyx（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连结DE．（1）连结OE，若△EOA的面积为2，则k＝________；（2）连结CA，DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．图1 备用图例 30 2015年烟台市中考第25题【问题提出】如图1，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC 上，且ED＝EC．将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连结EF．试证明：AB＝DB＋AF．【类比探究】（1）如图2，如果点E在线段AB的延长线上，其它条件不变，线段AB、DB、AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由；（2）如果点E在线段BA的延长线上，其它条件不变，请在图3的基础上将图形补充完整，并写出AB、DB、AF之间的数量关系，不必说明理由．图1 图2 图3如图1，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边上的点D处，已知折痕BE＝55，且43ODOE=.以O为原点，OA所在直线为x轴建立如图1所示的平面直角坐标系，抛物线l：211162y x x c=-++经过点E，且与AB边相交于点F．（1）求证：△ABD∽△ODE；（2）若M是BE的中点，连结MF，求证：MF⊥BD；（3）点P是线段BC上一动点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD＝DQ？若能，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不能，请说明理由.图1例 32 2015年沈阳市中考第24题如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠ABC＝60°.点E是边AB上一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．（1）当点H与点C重合时．①填空：点E到CD的距离是__________；②求证：△BCE≌△GCF；③求三角形CEF的面积；（2）当点H落在射线BC上，且CH＝1时，直线EH与直线CD交于点M，请直接写出△MEF的面积．图1 备用图。

上海数学中考模拟汇编六几何证明及通过几何证明进行说理问题

图1
备用图
【难度】★★★
【答案】略
【解析】（1）如图 2，作 AF⊥BC 于 F，那么四边形 AFCD 是矩形，FC＝AD＝2，AF＝DC＝3．
在 Rt△ABF 中，AF＝BF＝3，所以∠B＝45°．在 Rt△AEF 中，已知 tan∠AEC＝ AF ＝3，所以 EF＝ 1 AF ＝
EF
3
1．所以 AE＝ 10 ．所以 BE＝BF－EF＝3－1＝2．
y = 4 (x − 3 + m)2 − 4 ．所以 yC＝ 4 (0 − 3 + m)2 − 4 = 4 (m − 3)2 − 4 ．所以 CG＝yC－(－4)＝ 4 (m − 3)2 ．由 3DH
9
9
9
9
＝4GC，得
3(3－m)＝4×
4 9
(m
−
3)2
．解得
m1
=
21 16
，m2＝3（此时顶点落在
式为 y = 4 x ，四边形 OQAB 为梯形．如果∠QAB＝∠OBA，那么四边形 OQAB 为等腰梯形，AQ＝BO． 3
设
Q(x，4 3
x
)．根据
AQ2＝BO2
列方程(x－6)2＋(
4 3
x
)2＝32＋42．整理，得
25x2－108x＋99＝0．解得
x1
=
33 25
，
x2 = 3 (此时四边形 OQAB 为菱形，不符合题意，舍去) ．
图2
图3
4 / 12
（2）如图 3，延长 BM 交 AD 的延长线于点 G．由 DG//BC，得 DG = DM ．所以 DG = x ．所以
CB CM
5 3−x
DG =

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3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题
例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第
24题已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过点P(0, 1)与Q(2, －3)．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点
A 作x 轴的平行线交二次函数图像于点
B ，分别过点B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为
C 、
D ，且所得四边形
ABCD 恰为正方形．
①求正方形的ABCD 的面积；②联结P A 、PD ，PD 交AB 于点E ，求证：△PAD ∽△PEA ．
动感体验
请打开几何画板文件名
“13黄浦24”，拖动点A 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠P AE 与∠PDA 总保持相等，△P AD 与△PEA 保持相似．请打开超级画板文件名“13黄浦24”，拖动点A 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠P AE 与∠PDA 总保持相等，△P AD 与△PEA 保持相似．
思路点拨
1．数形结合，用抛物线的解析式表示点
A 的坐标，用点A 的坐标表示AD 、A
B 的长，当
四边形ABCD 是正方形时，AD ＝AB ．
2．通过计算∠
P AE 与∠DPO 的正切值，得到∠P AE ＝∠DPO ＝∠PDA ，从而证明△P AD ∽△PEA ．满分解答
（1）将点P(0, 1)、Q(2, －3)分别代入y ＝－x 2
＋bx ＋c ，得1,
421 3.c b 解得0,
1.
b c 所以该二次函数的解析式为
y ＝－x 2
＋1．（2）①如图1，设点A 的坐标为(x, －x 2＋1)，当四边形ABCD 恰为正方形时，AD ＝AB ．此时y A ＝2x A ．
解方程－x 2＋1＝2x ，得12x
．所以点A 的横坐标为21．
因此正方形ABCD 的面积等于2[2(21)]1282．
②设OP 与AB 交于点F ，那么212(21)322(21)PF OP OF
．所以2(21)tan 2121PF
PAE AF
．又因为tan tan 21OD
PDA DPO OP ，
所以∠P AE ＝∠PDA ．
又因为∠P 公用，所以△P AD ∽△PEA ．
图1 图2
考点伸展
事实上，对于矩形ABCD ，总有结论△P AD ∽△PEA ．证明如下：
如图2，设点A 的坐标为(x, －x 2＋1)，那么PF ＝OP －OF ＝1－(－x 2＋1)＝x 2．
所以2tan PF
x PAE x AF
x ．又因为tan tan OD
PDA DPO x OP ，
所以∠P AE ＝∠PDA ．因此△P AD ∽△PEA ．
例2 2013年江西省中考第24题
某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
（1）操作发现：
在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，分别以AB 、AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连结
MD 和ME ，则
下列结论正确的是__________（填序号即可）．
①AF＝AG＝1
2
AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．
（2）数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；
（3）类比探究：
在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图
3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：_________．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不变．
请打开超级画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不变．
思路点拨
1．本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系？最好的建议是按照题意
把图形规范、准确地重新画一遍．
2．三个中点M、F、G的作用重大，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线．
3．两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的角？满分解答
（1）填写序号①②③④．
（2）如图4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．
因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，
所以F、G分别是AB、AC的中点．
又已知M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．
所以
1
2
MF AC，
1
2
MG AB，MF//AC，MG//AB．
所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．
所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．
因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，
所以
1
2
EG AC，
1
2
DF AB．
所以MF＝EG，DF＝NG．
所以△DFM≌△MGE．所以DM＝ME．
（3）△MDE是等腰直角三角形．
图4 图5
考点伸展
第（2）题和第（3）题证明△DFM≌△MGE的思路是相同的，不同的是证明∠DFM＝∠MGE 的过程有一些不同．
如图4，如图5，∠BFM＝∠BAC＝∠MGC．
如图4，∠DFM＝90°＋∠BFM，∠MGE＝90°＋∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．
如图5，∠DFM＝90°－∠BFM，∠MGE＝90°－∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．。