三角函数知识点总结11648

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三角函数包含的知识点总结

三角函数包含的知识点总结

三角函数包含的知识点总结一、基本概念1. 三角函数的定义三角函数是由角的正弦、余弦、正切等与该角的变量之间的关系来定义的。

在以角为自变量的函数中,这些关系通常用三角函数名称来表示。

角度单位可以是度,也可以是弧度。

2. 正弦、余弦、正切、余切的定义正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)、余切(cot)是最基本的四个三角函数,它们的定义如下:正弦:sinθ = 对边/斜边余弦:cosθ = 邻边/斜边正切:tanθ = 对边/邻边余切:cotθ = 邻边/对边3. 三角函数的周期性正弦、余弦、正切、余切都是周期函数,周期为2π或π,即f(x+2π) = f(x),或者f(x+π) = f(x)。

4. 三角函数的定义域和值域正弦、余弦、正切的定义域是全体实数;正弦、余弦的值域是[-1,1],而正切的值域是整个实数集。

二、性质与公式1. 倒数公式tanθ = 1/cotθ,cotθ = 1/tanθsinθ = 1/cscθ,cscθ = 1/sinθcosθ = 1/secθ,secθ = 1/cosθ2. 三角函数的和差化积公式sin(A±B) = sinAcosB±cosAsinBcos(A±B) = cosAcosB∓sinAsinBtan(A±B) = (tanA±tanB)/(1∓tanAtanB)3. 三角函数的倍角公式sin2A = 2sinAcosAcos2A = cos^2A−sin^2Atan2A = 2tanA/(1−tan^2A)4. 三角函数的半角公式sin((1/2)A) = ±√[(1−cosA)/2]cos((1/2)A) = ±√[(1+cosA)/2]tan((1/2)A) = ±√[(1−cosA)/(1+cosA)]5. 三角函数的辅助角公式sin(180°−A) = sinAcos(180°−A) = −cosAtan(180°−A) = −tanAcot(180°−A) = −cotA6. 三角函数的同角变换sin(π−A) = sinAcos(π−A) = −cosAtan(π−A) = −tanAcot(π−A) = −cotA7. 三角函数的万能公式sinA+sinB = 2sin(A+B/2)cos(A−B/2)sinA−sinB = 2cos(A+B/2)sin(A−B/2)8. 三角恒等式sin^2A+cos^2A = 1,cot^2A+1 = csc^2A,tan^2A+1 = sec^2A三、函数图像和性质1. 正弦函数的图像和性质正弦函数y=sin(x)的图像是在直角坐标系中绕原点作周期为2π的振动,函数的最大值为1,最小值为-1,且为奇函数。

(完整版)三角函数知识点总结

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(完整版)三角函数知识点总结三角函数知识点总结正弦函数(Sine Function)正弦函数是一个周期函数,其值在区间[-1, 1]之间波动。

它的图像是一条连续的曲线,描述了角度和其对应的正弦值之间的关系。

* 正弦函数的定义域为所有实数。

* 正弦函数的最大值是1,最小值是-1。

* 正弦函数以360度或2π为周期。

余弦函数(Cosine Function)余弦函数也是一个周期函数,与正弦函数非常相似。

它的图像是一条连续的曲线,描述了角度和其对应的余弦值之间的关系。

* 余弦函数的定义域为所有实数。

* 余弦函数的最大值是1,最小值是-1。

* 余弦函数以360度或2π为周期。

正切函数(Tangent Function)正切函数是三角函数中最常用的函数之一。

它的定义域为除去所有余弦函数的零点的实数集合。

* 正切函数的值在整个数轴上都有定义。

* 正切函数的值没有上限或下限。

三角函数的性质三角函数有几个重要的性质:* 正弦函数是奇函数,即对于任何实数x,有sin(-x)=-sin(x)。

* 余弦函数是偶函数,即对于任何实数x,有cos(-x)=cos(x)。

* 正弦函数和余弦函数的关系可以通过三角恒等式sin²(x)+cos²(x)=1来表示。

* 正切函数是奇函数,即对于任何实数x,有tan(-x)=-tan(x)。

* 正切函数和正弦函数/余弦函数的关系可以通过三角恒等式tan(x)=sin(x)/cos(x)来表示。

总结三角函数是数学中重要的一部分,它们在几何、物理、工程等领域中有着广泛的应用。

本文介绍了正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、性质以及其在数轴上的范围。

通过熟练掌握三角函数的相关知识,我们能够更好地理解和解决与角度和曲线相关的问题。

三角函数的知识点总结

三角函数的知识点总结

三角函数的知识点总结1. 三角函数的基本概念三角函数源于三角形的角度关系,最开始是根据角度的定义和圆的性质推导得到。

三角函数最常用的有正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)等。

正弦函数是指直角三角形中对边和斜边的比值,余弦函数是指直角三角形中邻边和斜边的比值,正切函数是指对边和邻边的比值。

这些函数中的输入变量是角度,输出变量是一个无量纲的比值。

2. 三角函数的关系与性质(1)正弦函数与余弦函数的关系:在单位圆上,当一个角为Θ时,其余弦函数值等于该角的补角的正弦函数值,即cos(Θ)=sin(π/2-Θ)。

(2)正切函数与余切函数的关系:在单位圆上,对于角Θ,其正切函数值等于角Θ的补角的余切函数值的倒数,即tan(Θ)=1/cot(Θ)。

(3)函数性质:三角函数具有周期性,正弦函数和余弦函数的周期是2π,而正切函数的周期为π。

3. 三角函数的定义和图像(1)正弦函数的定义和图像:正弦函数sin(x)在整个实数集上都有定义,其图像为一条连续曲线,且在区间[-π, π]上是凹函数,区间[0, π]上是凸函数,在区间[-π/2, π/2]上是单调递增函数,在区间[π/2, 3π/2]上是单调递减函数。

(2)余弦函数的定义和图像:余弦函数cos(x)在整个实数集上都有定义,其图像也是一条连续曲线,且在区间[0, π]上是凹函数,在区间[-π, 0]上是凸函数,在区间[0, π/2]上是单调递减函数,在区间[π/2, 3π/2]上是单调递增函数。

(3)正切函数的定义和图像:正切函数tan(x)在实数集上有定义,其图像是一条有无数间断点的曲线,且在每个周期的中点有一个无穷大的间断点。

4. 三角函数的导数(1)正弦函数和余弦函数的导数:正弦函数sin(x)的导数是cos(x),余弦函数cos(x)的导数是-sin(x)。

(2)正切函数的导数:正切函数tan(x)的导数是sec^2(x)。

5. 三角函数的应用三角函数在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应用,例如在振动力学中,三角函数用于描述谐波振动的性质;在信号处理中,三角函数用于描述周期信号的特性;在工程中,正切函数用于计算斜面的坡度等。

高中数学-三角函数知识点总结

高中数学-三角函数知识点总结

三角函数知识点一、三角函数知识点 1.角的定义:(1)00~0360角的定义:从一点O 出发的两条射线OB OA ,所形成的图形叫做角,这点O 叫做角的顶点,射线OB OA ,叫做角的两边(2)任意角的定义:角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置OA 旋转到另一个位置OB 所形成的图形,端点O 叫做角的顶点,射线OA 叫做角的始边,射线OB 叫做角的终边2.规定:(1)正角:按逆时针方向旋转形成的角叫正角 (2)负角:按顺时针方向旋转形成的角叫负角 (3)零角:一条射线不作任何旋转形成的角叫零角这样,我们就把角的概念推广到了任意角,包括正角,负角,零角 注:角的度量需注意:既要考虑旋转方向,又要考虑旋转量3.终边相同的角:所有与α终边相同的角连同α在内组成的集合{}Z k k S ∈⋅+==,3600αββ 4.象限角和轴线角:将角放在直角坐标系中,让角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴非负半轴重合,则(1)象限角:角的终边落在第几象限,则称该角为第几象限角 (2)轴线角:角的终边落在坐标轴上,则称该角为轴线角 5.1º的角的定义:规定周角的3601为1度的角,记作:01,这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制6.1弧度角的定义:我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1rad ,读作:1弧度,这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制7.弧度数(1)我们规定,正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零 (2)半径为R 的圆的圆心角α所对的弧长为l ,则角α的弧度数为Rl=α,角α的正负由α终边的旋转方向决定注:弧度制与角度制区别:(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制,1弧度≠1度(2)1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小,而1度是周角的3601所对的圆心角的大小(3)弧度制是十进制,它的表示是用一个实数表示,而角度制是六十进制; (4)以弧度和度为单位的角,都是一个与半径无关的定值 8.弧度制与角度制的换算(1)弧度制与角度制下的一些特殊角①角度制下零度的角:00,弧度制下零度的角:0rad , 区别数值相同,单位不同 ②角度制下平角:0180,弧度制下平角:πrad ③角度制下周角:0360,弧度制下平角:2πrad (2)弧度制与角度制的换算①角度化成弧度:=0360 π2 ,0180 π2 ,01 01745.0 ②弧度化成角度:π2 0360 ,π 0180 ,rad 1 '01857 注:角度和弧度互化9.扇形的弧长公式和面积公式(1)角度制下扇形的弧长公式:180Rn l π=;扇形的面积公式:3602R n S π=(2)弧度制下扇形的弧长公式:R l α=;扇形的面积公式:Rl R S 21212==α10.角度制下和弧度制下轴线角和象限角的集合 (1)轴线角的集合①终边在x 轴的非负半轴上{}Z k k x x ∈⋅=,3600={}Z k k x x ∈=,2π②终边在x 轴的非正半轴上{}Z k k x x ∈+⋅=,18036000={}Z k k x x ∈+=,2ππ ③终边在x 轴上{}Z k k x x ∈⋅=,1800={}Z k k x x ∈=,π④终边在y 轴的非负半轴上{}Z k k x x ∈+⋅=,9036000={}Z k k x x ∈=,2π ⑤终边在y 轴的非正半轴上{}Z k k x x ∈-⋅=,9036000={}Z k k x x ∈+=,2ππ⑥终边在y 轴上{}Z k k x x ∈+⋅=,9018000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,2ππ⑦终边在坐标轴上{}Z k k x x ∈⋅=,900=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k x x ,2π (2)象限角的集合①第一象限角的集合{}Z k k x k x ∈+⋅<<⋅,90360360000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<Z k k x k x ,222πππ②第二象限角的集合{}Z k k x k x ∈+⋅<<+⋅,180360903600000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,222ππππ③第三象限角的集合{}Z k k x k x ∈+⋅<<+⋅,2703601803600000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,2322ππππ④第四象限角的集合{}Z k k x k x ∈+⋅<<+⋅,3603602703600000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,22232ππππ ={}Z k k x k x ∈⋅<<-⋅,36090360000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<-Z k k x k x ,222πππ11.两角的终边对称结论(1)α与β的终边关于x 轴对称Z k k ∈=+,2πβα (2)α与β的终边关于y 轴对称Z k k ∈+=+,2ππβα (3)α与β的终边关于原点轴对称Z k k ∈++=,2ππβα (4)α与β的终边共线Z k k ∈+=,πβα(5)α与β的终边关于直线x y =对称Z k k ∈+=+,22ππβα(6)α与β的终边关于直线x y -=对称Z k k ∈+=+,232ππβα (7)α与β的终边互相垂直Z k k ∈++=,2ππβα12.三角函数定义:(1)任意角的三角函数定义1:设角α的顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,角α的终边上任意一点P 的坐标为),(y x ,它到原点的距离022>+=y x r ,则 ①比值r y 叫做角α的正弦,记作αsin ,即=αsin r y ②比值r x 叫做角α的余弦,记作αcos ,即=αcos r x ③比值x y 叫做角α的正切,记作αtan ,即=αtan x y ④比值y x 叫做角α的余切,记作αcot ,即=αcot yx (2)任意角的三角函数定义2:设角α的顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,角α的终边与单位圆的交点为P ),(y x ,则 ①=αsin y ②αcos x ③=αtan xy④=αcot y x三角函数都是以角为自变量,以比值为函数值的函数,又由于角与实数是一一对应的,所以三角函数也可以看作是以实数为自变量的函数13.三角函数的定义域和值域三角函数定义域值域αsin =yR ]1,1[- αcos =y R]1,1[-αtan =y⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππR αcot =y{}Z k k x x ∈≠,πR14.三角函数值在各象限的符号αsin αcos αtan记法1:正弦上正,余弦右正,正切一三正 记法2:一全正,二正弦,三正切,四余弦 15.诱导公式:公式一:终边相同的角的同一三角函数值相等角度制下 弧度制下=+⋅)360sin(0αk αsin =+)2sin(απk αsin =+⋅)360cos(0αk αcos =+)2cos(απk αcos =+⋅)360tan(0αk αtan =+)2tan(απk αtan =+⋅)360cot(0αk αcot =+)2cot(απk αcot公式二:角度制下 弧度制下=+)180sin(0ααsin - =+)sin(απαsin - =+)180cos(0ααcos - =+)cos(απαcos - =+)180tan(0ααtan =+)tan(απαtan =+)180cot(0ααcot =+)cot(απαcot公式三:角度制下 弧度制下=-)180sin(0ααsin =-)sin(απαsin =-)180cos(0ααcos - =-)cos(απαcos - =-)180tan(0ααtan - =-)tan(απαtan - =-)180cot(0ααcot - =-)cot(απαcot -公式四:角度制下 弧度制下=-)sin(ααsin - =-)sin(ααsin - =-)cos(ααcos =-)cos(ααcos =-)tan(ααtan - =-)tan(ααtan - =-)cot(ααcot - =-)cot(ααcot -公式五:角度制下 弧度制下=-)90sin(0ααcos =-)2sin(απαcos=-)90cos(0ααsin =-)2cos(απαsin-)90tan(0ααcot =-)2tan(απαcot=-)90cot(0ααtan =-)2cot(απαtan公式六:角度制下 弧度制下=+)90sin(0ααcos =+)2sin(απαcos=+)90cos(0ααsin - =+)2cos(απαsin -=+)90tan(0ααtan - =+)2tan(απαtan -=+)90cot(0ααcot - =+)2cot(απαcot -公式七:角度制下 弧度制下=+)270sin(0ααcos - =+)23sin(απαcos -=+)270cos(0ααsin =+)23cos(απαsin=+)270tan(0ααcot - =+)23tan(απαcot -=+)270cot(0ααtan - =+)23cot(απαtan -公式八:角度制下 弧度制下=-)270sin(0ααcos - =-)23sin(απαcos -=-)270cos(0ααsin - =-)23cos(απαsin -=-)270tan(0ααcot =-)23tan(απαcot=-)270cot(0ααtan - =-)23cot(απαtan -记忆口诀:奇变偶不变符号看象限 16.部分特殊角的三角函数:αcos21 22 23 1αtan/3-1-33- 017.三角函数线:(1)有向线段:当角α的终边不在坐标轴上时,我们把MP 、OM 、AT 都看成带有方向的线段,这种带方向的线段叫有向线段规定:与坐标轴相同的方向为正方向(2)这几条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线注:(1)正弦线、余弦线、正切线分别解释了正弦函数x y sin =,余弦函数x y cos =、正切函数x y tan =的几何意义(2)正弦线、余弦线、正切线的方向与坐标轴正方向相同时,对应的三角函数值为正,与坐标轴正方向相反时,对应的三角函数值为负 18.同角三角函数的关系:(1)平方关系:1cos sin 22=+αα (2)商数关系:=αtan ααcos sin 、=αcot ααsin cos (3)倒数关系:1cot tan =αα 注意公式的变形:(1)1cos sin 22=+x x ⇒x x 22cos 1sin -=、x x 22sin 1cos -= (2)⇒=αααcos sin tan =αsin ααcos tan 、⇒=αααsin cos cot =αcos ααsin cot (3)ααααααcos sin ,cos sin ,cos sin -+的关系:①=+2)cos (sin ααααcos sin 21+ ②=-2)cos (sin ααααcos sin 21- ③=-++22)cos (sin )cos (sin αααα219.正弦函数x y sin =、余弦函数x y cos =、正切函数x y tan =的图像和性质 函数x y sin = x y cos = x y tan =图形定义域 RR⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ值域]1,1[-]1,1[-R最值当Z k k x ∈+=,22ππ时,有最大值当Z k k x ∈-=,22ππ时,有最大值当Z k k x ∈=,2π时,有最大值当Z k k x ∈+=,22ππ时,有最大值无最大值无最小值单调性在Zk k k ∈+-],22,22[ππππ上递增在Zk k k ∈++],232,22[ππππ上递减在Z k k k ∈-],2,2[πππ上递增在Z k k k ∈+],2,2[πππ上递减在Zk k k ∈+-),2,2(ππππ上递增奇偶性 奇函数偶函数奇函数周期性π2=Tπ2=Tπ=T 对称性关于Z k k x ∈+=,2ππ对称关于点Z k k ∈),0,(π中心对称关于Z k k x ∈=,π对称 关于点Zk k ∈+),0,2(ππ中心对称关于点Z k k ∈),0,2(π中心对称20.三角函数周期结论(1)函数B x A y ++=)sin(ϕω(其中0,≠ωA )的周期=T ωπ2函数B x A y ++=)cos(ϕω(其中0,≠ωA )的周期=T ωπ2函数)tan(ϕω+=x A y (其中0,≠ωA )的周期=T ωπ (2)函数)sin(ϕω+=x A y (其中0,≠ωA )的周期=T ωπ 函数)cos(ϕω+=x A y (其中0,≠ωA )的周期=T ωπ 函数)tan(ϕω+=x A y (其中0,≠ωA )的周期=T ωπ (3)函数B x A y ++=)sin(ϕω(其中0,,≠B A ω)的周期=T ωπ2函数B x A y ++=)cos(ϕω(其中0,,≠B A ω)的周期=T ωπ221.函数B x A y ++=)sin(ϕω)0,0(>>ωA 的图像的作法(1)图像变换法:函数B x A y ++=)sin(ϕω的图像可由正弦函数x y sin =经过一系列的变换得到:①先平移变换,再周期变换:x y sin =———————————→)sin(ϕ+=x y —————————→)sin(ϕω+=x y——————————→)sin(ϕω+=x A y ——————————→B x A y ++=)sin(ϕω ②先周期变换,再平移变换:x y sin =———————————→)sin(x y ω=——————————→)sin(ϕω+=x y——————————→)sin(ϕω+=x A y ——————————→B x A y ++=)sin(ϕω (2)五点作图法:函数B x A y ++=)sin(ϕω的图像画法:一个周期内起关键作用的五个点的横坐标可由=+ϕωx ππππ2,23,,2,0得到 22.函数变换结论: (1)平移变换01左右平移:①将函数)(x f y =的图象向左移a 个单位得函数)(a x f y +=的图象 ②将函数)(x f y ω=的图象向左移a 个单位得函数))((a x f y +=ω的图象02上下平移:将函数)(x f y =的图象向上移b 个单位得函数b x f y +=)(的图象(2)伸缩变换①函数)(x f y ω=的图象可由函数)(x f y =的图象上每一点的纵坐标不变,横坐标变为原来的ω1倍得到 ②函数)(x Af y =的图象可由函数)(x f y =的图象上每一点的横坐标不变,纵坐标变为原来的A 倍得到 (3)翻折变换①函数)(x f y =的图象可将函数)(x f y =的图像y 轴右侧的图像保留,y 轴左侧的图像由y 轴右侧的图像沿y 轴翻折得到②函数)(x f y =的图象可将函数)(x f y =的图像在x 轴上方的图像保留,x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方得到 23.两个函数的对称性结论(1)函数)(x f y -=与)(x f y =的图象关于x 轴对称 (2)函数)(x f y -=与)(x f y =的图象关于y 轴对称 (3)函数)(x f y --=与)(x f y =的图象关于原点对称 (4)函数)(1x fy -=与)(x f y =的图象关于x y =对称(5)函数)2(x a f y -=与)(x f y =的图象关于a x =对称(6)函数)2(x a f y --=与)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称24.函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y )0,0(>>ωA 的奇偶性结论 (1)函数)sin(ϕω+=x A y 为奇函数⇔Z k k ∈=,πϕ(2)函数)sin(ϕω+=x A y 为偶函数⇔Z k k ∈+=,2ππϕ(3)函数)cos(ϕω+=x A y 为奇函数⇔Z k k ∈+=,2ππϕ(4)函数)cos(ϕω+=x A y 为偶函数⇔Z k k ∈=,πϕ 二、三角变换25.两角和与差的正弦余弦正切公式:(1)=+)sin(βαβαβαsin cos cos sin +,记作)(βα+ S (2)=-)sin(βαβαβαsin cos cos sin -,记作)(βα- S (3)=+)cos(βαβαβαsin sin cos cos -,记作)(βα+C (4)=-)cos(βαβαβαsin sin cos cos +,记作)(βα-C (5)=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan tan -+,记作)(βα+T(6)=-)tan(βαβαβαtan tan 1tan tan +-,记作)(βα-T26.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)=α2sin ααcos sin 2(2)=α2cos αα22sin cos -=1cos 22-α=α2sin 21-(3)=α2tan αα2tan 1tan 2- 注:二倍角公式的变形:(1)=+2)cos (sin ααααcos sin 21+;=-2)cos (sin ααααcos sin 21-(2)升幂缩角公式:=+αcos 12cos 22α;=-αcos 12sin 22α(3)降幂扩角公式:=α2sin 22cos 1α-;=α2cos 22cos 1α+ =α2sin 2α2cos 1-;=α2cos 2α2cos 1+27.半角公式:(1) =2sinα22cos 1α-±=2cosα22cos 1α+±=2tanααα2cos 12cos 1+-±(2)=2tanαααsin cos 1-=ααcos 1sin +28.辅助角公式: (1)=+θθcos sin b a )sin(22ϕ++x b a ,其中=ϕsin 22b a b +,=ϕcos 22b a a +(2)=+θθcos sin b a )cos(22ϕ-+x b a ,其中=ϕsin 22ba a +,=ϕcos 22ba b +29.万能公式=α2sin αα2tan 1tan 2+ =α2cos αα22tan 1tan 1+- =α2tan αα2tan 1tan 2- 30.积化和差公式=βαcos sin )]sin()[sin(21βαβα-++=βαsin cos )]sin()[sin(21βαβα--+ =βαcos cos )]cos()[cos(21βαβα-++ =βαsin sin )]cos()[cos(21βαβα--+-31.和差化积公式=+βαsin sin 2cos2sin2βαβα-+=-βαsin sin 2sin2cos2βαβα-+=+βαcos cos 2cos2cos2βαβα-+=-βαcos cos 2sin2sin2βαβα-+-。

三角函数知识点梳理

三角函数知识点梳理

三角函数知识点梳理关键信息项:1、三角函数的定义正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数2、三角函数的基本关系式平方关系商数关系倒数关系3、三角函数的诱导公式正弦诱导公式余弦诱导公式4、三角函数的图像和性质正弦函数图像和性质余弦函数图像和性质正切函数图像和性质5、三角函数的周期性周期的定义常见三角函数的周期6、三角函数的最值和值域正弦函数的最值和值域余弦函数的最值和值域正切函数的最值和值域7、三角函数的和差公式正弦和差公式余弦和差公式正切和差公式8、三角函数的倍角公式余弦倍角公式正切倍角公式9、三角函数的半角公式正弦半角公式余弦半角公式正切半角公式11 三角函数的定义111 正弦函数:在直角三角形中,锐角的正弦等于其对边与斜边的比值。

即 sinA = a/c,其中 A 为锐角,a 为 A 的对边,c 为斜边。

112 余弦函数:锐角的余弦等于其邻边与斜边的比值。

即 cosA =b/c,其中 b 为 A 的邻边。

113 正切函数:锐角的正切等于其对边与邻边的比值。

即 tanA =a/b。

114 余切函数:锐角的余切等于其邻边与对边的比值。

即 cotA =b/a。

115 正割函数:斜边与邻边的比值。

即 secA = c/b。

116 余割函数:斜边与对边的比值。

即 cscA = c/a。

12 三角函数的基本关系式121 平方关系:sin²A + cos²A = 1,1 + tan²A = sec²A,1 + cot²A = csc²A。

122 商数关系:tanA = sinA / cosA,cotA = cosA / sinA。

123 倒数关系:sinA × cscA = 1,cosA × secA = 1,tanA × cotA =1。

13 三角函数的诱导公式131 正弦诱导公式:sin(2kπ + A) = sinA,sin(π + A) = sinA,sin(A) = sinA 等。

(完整版)高中三角函数知识点总结(人教版)

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高中三角函数总结1.任意角的三角函数定义:设α为任意一个角,点),(y x P 是该角终边上的任意一点(异于原点),),(y x P 到原点的距离为22y x r +=,则:)(tan ),(cos ),(sin y x xyx r x y r y ⨯===正负看正负看正负看ααα3.同角三角函数公式:αααααααααααtan 1cot ,sin 1csc ,cos 1sec 1cos sin ,cos sin tan 22====+=4.三角函数诱导公式:(1))(;tan )2tan(,cos )2cos(,sin )2sin(Z k k k k ∈=+=+=+απααπααπα (2);tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(απααπααπα=+-=+-=+ (3);tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(αααααα-=-=--=-(函数名称不变,符号看象限)(4);cot )2tan(,sin )2cos(,cos )2sin(απααπααπα-=+-=+=+(5);cot )2tan(,sin )2cos(,cos )2sin(ααπααπααπ=-=-=- (正余互换,符号看象限)注意:tan 的值,总为sin/cos ,便于记忆;5.三角函数两角诱导公式:(1)和差公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=± βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(μ±=±(2)倍角公式令上面的βα=可得:αααcos sin 2)2sin(=ααααα2222sin 211cos 2sin cos )2cos(-=-=-= ααα2tan 1tan 2)2tan(-=6.正弦定理:△ABC 中三边分别为c b a ,,,外接圆半径为R ,则有:R CcB b A a 2sin sin sin === 7.余弦定理:△ABC 中三边分别为c b a ,,,则有:abc b a C 2cos 222-+=8.面积公式:△ABC 中三边分别为c b a ,,,面积为S ,则有:)(sin 21两边与夹角正弦值C ab S =10.关于B x A y ++=)sin(ϕω的性质:(1)最大值为B A +||,最小值为B A +-||(得最大最小时,1)sin(±=+ϕωx ) (2)周期||2ωπ=T ,频率πω2||1==T f ,相位是ϕω+x ,初相是ϕ (3)图像的对称轴是直线:)(2Z k k x ∈+=+ππϕω,可化简为x=的形式;(4)图像的对称中心为:B B x A y =++=)sin(ϕω时得到的所有交点(x ,B ) (5)单调区间求取:一利用诱导公式将ω变为正,如变为cos 等,此处假设0>ω,二求出x A y sin =的单调区间,令ϕω+x 分别位于单调区间区域,反解x 范围;11.图像变换:B x A y ++=)sin(ϕω:Bx A y x A B y x A y x Ayx xy x y xy B y A y x x ++=→+=-−−−−−→−+=→+=−−−−−−→−+=+=−−−−−−→−+=−−−−−→−=)sin()sin()sin()sin()sin()1sin()sin(sin 1ϕωϕωϕωϕωϕωϕωϕωϕ个单位轴下移沿倍变为原来的纵坐标倍变为原来的横坐标个单位轴左移沿关键点:上+下-(y ),左+右-(x ),倍数相除(变为原来的n 倍,则对应的坐标都除以n )。

(完整版)高中三角函数知识点总结

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(完整版)高中三角函数知识点总结高中三角函数知识点总结1. 基本三角函数概念- 三角函数是以单位圆为基础的函数,包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

- 正弦函数(sin):在直角三角形中,对于一个锐角,其对边与斜边的比值称为正弦值。

即:sinA = 对边/斜边。

- 余弦函数(cos):在直角三角形中,对于一个锐角,其邻边与斜边的比值称为余弦值。

即:cosA = 邻边/斜边。

- 正切函数(tan):在直角三角形中,对于一个锐角,其对边与邻边的比值称为正切值。

即:tanA = 对边/邻边。

2. 基本三角函数性质和公式- 三角函数的周期性:正弦函数和余弦函数的周期都是2π;正切函数的周期是π.- 三角函数的奇偶性:正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数,正切函数是奇函数。

- 三角函数的同角关系:sinA/cosA = tanA。

- 三角函数的和差化积公式和积化和差公式:具体公式可根据需要进行查阅。

3. 三角函数图像和性质- 正弦函数图像:在0到2π的区间内,正弦函数的图像为一条周期性的波浪线,最高点为1,最低点为-1,对应于最大值和最小值,0点对应于零值。

- 余弦函数图像:在0到2π的区间内,余弦函数的图像为一条周期性的波浪线,最高点为1,最低点为-1,对应于最大值和最小值,0点对应于最大值。

- 正切函数图像:在0到π的区间内,正切函数的图像无法在x=π/2和3π/2时定义,其他点对应的图像为一条连续的射线。

4. 三角函数的应用- 三角函数广泛应用于科学和工程领域中的周期性现象的描述和计算,例如电流的正弦波,声波的波动等。

- 在几何学中,三角函数也应用于测量角度和距离等问题的解决。

以上为高中三角函数的基本知识点总结,更详细的内容和公式可以参考相关教材或资料。

(完整版)三角函数知识点归纳

(完整版)三角函数知识点归纳

三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1.任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角.⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角.角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角.第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α+k ·360°(k ∈Z ).终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z (3)弧度制①1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. ②弧度与角度的换算:360°=2π弧度;180°=π弧度.③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是lrα= ④若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+,21122S lr r α==.2.任意角的三角函数定义设α是一个任意角,角α的终边上任意一点P (x ,y ),它与原点的距离为(r r =,那么角α的正弦、余弦、正切分别是:sin α=y r ,cos α=x r ,tan α=y x.(三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦)3.特殊角的三角函数值A.基础梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1;(在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号) (2)商数关系:sin αcos α=tan α. (3)倒数关系:1cot tan =⋅αα 2.诱导公式公式一:sin(α+2k π)=sin α,cos(α+2k π)=cos_α,απαtan )2tan(=+k 其中k ∈Z . 公式二:sin(π+α)=-sin_α,cos(π+α)=-cos_α,tan(π+α)=tan α. 公式三:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos_α,()tan tan παα-=-. 公式四:sin(-α)=-sin_α,cos(-α)=cos_α,()tan tan αα-=-. 公式五:sin ⎝⎛⎭⎫π2-α=cos_α,cos ⎝⎛⎭⎫π2-α=sin α. 公式六:sin ⎝⎛⎭⎫π2+α=cos_α,cos ⎝⎛⎭⎫π2+α=-sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式.口诀:奇变偶不变,符号看象限.其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则函数名称要变(正弦变余弦,余弦变正弦);若是偶数倍,则函数名称不变,符号看象限是指:把α看成锐角....时,根据k ·π2±α在哪个象限判断原.三角..函数值的符号,最后作为结果符号.B.方法与要点 一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限.2、四种方法在求值与化简时,常用方法有:(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=sin αcos α化成正、余弦.(2)和积转换法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化. (ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二)(3)巧用“1”的变换:1=sin 2θ+cos 2θ= sin2π=tan π4 (4)齐次式化切法:已知k =αtan ,则nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin 三、三角函数的图像与性质学习目标:1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期 :定义法,公式法,图像法(如x y sin =与x y cos =的周期是π)。

三角函数最全知识点总结

三角函数最全知识点总结

三角函数最全知识点总结三角函数是高中数学中的重要内容,主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

下面将对这些三角函数的定义、性质以及常用的解题方法进行总结。

一、正弦函数(sin):1. 定义:在单位圆上,任选一点P与x轴正方向的夹角为θ,P点的纵坐标y即为θ的正弦值,记作sinθ。

正弦函数的定义域为实数集,值域为[-1,1]。

2. 周期性:sin(θ+2π)=sinθ,sin(θ+π)=-sinθ。

其中π为圆周率。

3. 奇偶性:sin(-θ)=-sinθ,即正弦函数关于原点对称。

4. 正负性:当θ为锐角时,sinθ>0;当θ为钝角时,sinθ<0。

5. 值域变化:当θ从0增加到π/2时,sinθ从0增加到1,然后再从1减小到0。

二、余弦函数(cos):1. 定义:在单位圆上,任选一点P与x轴正方向的夹角为θ,P点的横坐标x即为θ的余弦值,记作cosθ。

余弦函数的定义域为实数集,值域为[-1,1]。

2. 周期性:cos(θ+2π)=cosθ,cos(θ+π)=-cosθ。

3. 奇偶性:cos(-θ)=cosθ,即余弦函数关于y轴对称。

4. 正负性:当θ为锐角时,cosθ>0;当θ为钝角时,cosθ<0。

5. 值域变化:当θ从0增加到π/2时,cosθ从1减小到0。

三、正切函数(tan):1. 定义:正切值tanθ等于θ的正弦值除以θ的余弦值,即tanθ=sinθ/cosθ。

正切函数的定义域为实数集,值域为实数集。

2. 周期性:tan(θ+π)=tanθ。

3. 奇偶性:tan(-θ)=-tanθ,即正切函数关于原点对称。

4. 正负性:当θ为锐角时,tanθ>0;当θ为钝角时,tanθ<0。

四、反三角函数:1. 反正弦函数:定义域为[-1,1],值域为[-π/2,π/2]。

记作arcsin x或sin⁻¹x。

2. 反余弦函数:定义域为[-1,1],值域为[0,π]。

完整版)三角函数知识点总结

完整版)三角函数知识点总结

完整版)三角函数知识点总结三角函数知识要点:1.角度集合:①与角度α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合:β|β=k×360°+α,k∈Z②终边在x轴上的角的集合:β|β=k×180,k∈Z③终边在y轴上的角的集合:β|β=k×180+90,k∈Z④终边在坐标轴上的角的集合:β|β=k×90°,k∈Z⑤终边在y=x轴上的角的集合:β|β=k×180°+45°,k∈Z⑥终边在y=-x轴上的角的集合:β|β=k×180°-45°,k∈Z2.角度关系:⑦若角度α与角度β的终边关于x轴对称,则α=360°k-β⑧若角度α与角度β的终边关于y轴对称,则α=360°k+180°-β⑨若角度α与角度β的终边在一条直线上,则α=180°k+β⑩角度α与角度β的终边互相垂直,则α=360°k+β±90°3.角度与弧度的互换关系:360°=2π,180°=π,1°=0.≈57.30°=57°18′注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零。

4.弧长与扇形面积公式:弧长公式:l=|α|×r扇形面积公式:s=lr=|α|×r²5.三角函数:设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y),与原点的距离为r,则sinα=y/r;cosα=x/r;tanα=y/x;cotα=x/y;secα=r/x;cscα=r/y。

6.三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)7.三角函数线:正弦线:MP;余弦线:OM;正切线:AT。

8.重要结论:sinx|>|cosx|。

三角函数的定义域:对于三角函数f(x)=sinx、f(x)=cosx、f(x)=tanx、f(x)=cotx、f(x)=secx、f(x)=cscx,它们的定义域分别为{x|x∈R}、{x|x∈R}、{x|x∈R且x≠kπ+π,k∈Z}、{x|x∈R且x≠kπ,k∈Z}、{x|x∈R且x≠kπ+π/2,k∈Z}、{x|x∈R且x≠kπ,k∈Z}。

完整版)三角函数知识点总结

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千里之行,始于足下。

完整版)三角函数知识点总结三角函数是高中数学中的重要部分,它与几何图形的性质、三角形的边角关系、周期函数等有着密切的联系。

以下是三角函数的一些重要的知识点总结:一、三角函数的定义:1. 正弦函数(sin):在直角三角形中,对于一个锐角的角度,正弦函数的值等于对边长度与斜边长度的比值。

2. 余弦函数(cos):在直角三角形中,对于一个锐角的角度,余弦函数的值等于邻边长度与斜边长度的比值。

3. 正切函数(tan):在直角三角形中,对于一个锐角的角度,正切函数的值等于对边长度与邻边长度的比值。

二、三角函数的重要性质:1. 三角函数的周期性:sin、cos、tan函数的周期都是2π。

2. 三角函数的奇偶性:(1)正弦函数是奇函数,即sin(-x)=-sin(x)。

(2)余弦函数是偶函数,即cos(-x)=cos(x)。

(3)正切函数是奇函数,即tan(-x)=-tan(x)。

3. 三角函数的界值:(1)正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间,即-1≤sin(x)≤1。

(2)余弦函数的取值范围也在[-1, 1]之间,即-1≤cos(x)≤1。

(3)正切函数的取值范围为全体实数。

三、三角函数的基本关系与恒等式:1. 余弦与正弦的基本关系:cos(x)=sin(x+π/2)。

2. 正切与正弦、余弦的关系:tan(x)=sin(x)/cos(x)。

3. 三角函数的和差公式:第1页/共2页锲而不舍,金石可镂。

(1)sin(x±y)=sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y)。

(2)cos(x±y)=cos(x)cos(y)∓sin(x)sin(y)。

4. 三角函数的倍角公式:(1)sin(2x)=2sin(x)cos(x)。

(2)cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)。

(3)tan(2x)=(2tan(x))/(1-tan^2(x))。

5. 三角函数的半角公式:(1)sin(x/2)=√[(1-cos(x))/2]。

(完整版)三角函数最全知识点总结

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三角函数、解三角形一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1.任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角,任意角包括正角、负角、零角.①正角:按__逆时针__方向旋转形成的角.②负角:按__顺时针__方向旋转形成的角.③零角:如果一条射线__没有作任何旋转__,我们称它形成了一个零角.(2)终边相同角:与α终边相同的角可表示为:{β|β=α+2kπ,k∈Z},或{β|β=α+k·360°,k∈Z}.(3)象限角:角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角,终边落在坐标轴上的角不属于任何象限.象限角轴线角2.弧度制(1)1度的角:__把圆周分成360份,每一份所对的圆心角叫1°的角__.(2)1弧度的角:__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__.(3)角度与弧度的换算:360°=__2π__rad,1°=__π180=(__180π__)≈57°18′.(4)若扇形的半径为r,圆心角的弧度数为α,则此扇形的弧长l=__|α|·r__,面积S=__12|α|r2__=__12lr__.3.任意角的三角函数定义(1)设α是一个任意角,α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x,y),它与原点的距离为r,则sinα=__yr__,cosα=__xr__,tanα=__yx__.(2)三角函数在各象限的符号是:(3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线.4.终边相同的角的三角函数sin(α+k·2π)=__sinα__,cos(α+k·2π)=__cosα__,tan(α+k·2π)=__tanα__(其中k∈Z),即终边相同的角的同一三角函数的值相等.重要结论1.终边相同的角不一定相等,相等角的终边一定相同,在书写与角α终边相同的角时,单位必须一致.2.确定αk(k∈N*)的终边位置的方法(1)讨论法:①用终边相同角的形式表示出角α的范围.②写出αk的范围.③根据k的可能取值讨论确定αk的终边所在位置.(2)等分象限角的方法:已知角α是第m(m=1,2,3,4)象限角,求αk是第几象限角.①等分:将每个象限分成k等份.②标注:从x轴正半轴开始,按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4,直至回到x轴正半轴.③选答:出现数字m的区域,即为αk所在的象限.如α2判断象限问题可采用等分象限法.二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:__sin 2x +cos 2x =1__. (2)商数关系:__sin xcos x =tan x __.2.三角函数的诱导公式1.同角三角函数基本关系式的变形应用:如sin x =tan x ·cos x ,tan 2x +1=1cos 2x ,(sin x +cos x )2=1+2sin x cos x 等. 2.特殊角的三角函数值表“奇变偶不变,符号看象限”.“奇”与“偶”指的是诱导公式k ·π2+α中的整数k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化,若k 是奇数,则正、余弦互变;若k 为偶数,则函数名称不变.“符号看象限”指的是在k ·π2+α中,将α看成锐角时k ·π2+α所在的象限.4.sin x +cos x 、sin x -cos x 、sin x cos x 之间的关系sin x +cos x 、sin x -cos x 、sin x cos x 之间的关系为(sin x +cos x )2=1+2sin x cos x ,(sin x -cos x )2=1-2sin x cos x ,(sin x +cos x )2+(sin x -cos x )2=2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值,便可求其余两个代数式的值.三、两角和与差的三角函数 二倍角公式1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α=__2sin αcos α__;(2)cos2α=__cos 2α-sin 2α__=__2cos 2α__-1=1-__2sin 2α__; (3)tan2α=__2tan α1-tan 2α__(α≠k π2+π4且α≠k π+π2,k ∈Z ). 3.半角公式(不要求记忆) (1)sin α2=±1-cos α2; (2)cos α2=±1+cos α2;(3)tan α2=±1-cos α1+cos α=sin α1+cos α=1-cos αsin α.重要结论1.降幂公式:cos 2α=1+cos2α2,sin 2α=1-cos2α2. 2.升幂公式:1+cos2α=2cos 2α,1-cos2α=2sin 2α. 3.公式变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan α·tan β). 1-tan α1+tan α=tan(π4-α);1+tan α1-tan α=tan(π4+α)cos α=sin2α2sin α,sin2α=2tan α1+tan 2α,cos2α=1-tan 2α1+tan 2α,1±sin2α=(sin α±cos x )2.4.辅助角(“二合一”)公式: a sin α+b cos α=a 2+b 2sin(α+φ), 其中cos φ=,sin φ= 5.三角形中的三角函数问题在三角形中,常用的角的变形结论有:A +B =π-C ;2A +2B +2C =2π;A2+B 2+C 2=π2.三角函数的结论有:sin(A +B )=sin C ,cos(A +B )=-cos C ,tan(A +B )=-tan C ,sin A +B 2=cos C 2,cos A +B 2=sin C 2.A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .四、三角函数的图象与性质1.周期函数的定义及周期的概念(1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做__周期函数__.非零常数T叫做这个函数的__周期__.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小__正周期__.(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数,__2kπ(k∈Z,k≠0)__都是它们的周期,最小正周期是__2π__.2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质π重要结论1.函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是__(0,0)__、__(π2,1)__、__(π,0)__、__(3π2,-1)__、__(2π,0)__.函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是__(0,1)__、__(π2,0)__、__(π,-1)__、__(3π2,0)__、__(2π,1)__.2.函数y =A sin(ωx +φ)和y =A cos(ωx +φ)的最小正周期为T =2π|ω|,函数y =tan(ωx +φ)的最小正周期为T =π|ω|.3.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期.而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.4.三角函数中奇函数一般可化为y =A sin ωx 或y =A tan ωx 的形式,而偶函数一般可化为y =A cos ωx +b 的形式.五、函数y =A sin(ωx +φ)的图象及应用1.五点法画函数y =A sin(ωx +φ)(A >0)的图象(1)列表: (2)描点:__(-φω,0)__,__(π2ω-φω,A )__,(πω-φω,0),(3π2ω-φω,-A )__,(2πω-φω,0)__.(3)连线:把这5个点用光滑曲线顺次连接,就得到y =A sin(ωx +φ)在区间长度为一个周期内的图象.(4)扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得y =A sin(ωx +φ)在R 上的图象2.由函数y =sin x 的图象变换得到y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象的步骤3.函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,x ∈[0,+∞)的物理意义 (1)振幅为A . (2)周期T =__2πω__.(3)频率f =__1T __=__ω2π__. (4)相位是__ωx +φ__. (5)初相是φ.重要结论1.函数y =A sin(ωx +φ)的单调区间的“长度 ”为T2.2.“五点法”作图中的五个点:①y =A sin(ωx +φ),两个最值点,三个零点;②y =A cos(ωx +φ),两个零点,三个最值点.3.正弦曲线y =sin x 向左平移π2个单位即得余弦曲线y =cos x .六、正弦定理、余弦定理1.正弦定理和余弦定理 ①a =__2R sin A __,b =__2R sin B __,c =__2R sin C __;②sin A =__a 2R __,sin B =__b2R__,sin C=__c2R __;③ab c =__sin Asin B sin C __④a sin B =b sin A ,b sin C =c sin B ,a sin C =c sin Aa <b sin A a =b sin A b sin A < a <b a ≥b a >b a ≤b (1)S =12a ·h a (h a 表示a 边上的高).(2)S =12ab sin C =12ac sin B =12bc sin A .(3)S =12r (a +b +c )(r 为内切圆半径).重要结论在△ABC 中,常有以下结论 1.∠A +∠B +∠C =π.2.在三角形中大边对大角,大角对大边.3.任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.4.sin(A +B )=sin C ;cos(A +B )=-cos C ;tan(A +B )=-tan C ;sin A +B 2=cos C 2,cos A +B 2=sin C 2. 5.tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C .6.∠A >∠B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .7.三角形式的余弦定理sin 2A =sin 2B +sin 2C -2sin B sin C cos A ,sin 2B =sin 2A +sin 2C -2sin A sin C cos B ,sin 2C =sin 2A +sin 2B -2sin A sin B cos C .8.若A 为最大的角,则A ∈[π3,π);若A 为最小的角,则A ∈(0,π3];若A 、B 、C 成等差数列,则B =π3. 9.三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角(如a =2R sin A ,a 2+b 2-c 2=2ab cos C 等),利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系,如sin A =sin B ⇔A =B ;sin(A -B )=0⇔A =B ;sin2A =sin2B ⇔A =B 或A +B =π2等. (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边,如sin A =a 2R ,cos A =b 2+c 2-a 22bc等,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.(3)注意无论是化边还是化角,在化简过程中出现公因式不要约掉,否则会有漏掉一种形状的可能.。

三角函数相关知识点总结

三角函数相关知识点总结

三角函数相关知识点总结一、三角函数的定义。

1. 锐角三角函数。

- 在直角三角形中,设一个锐角为α。

- 正弦sinα=(对边)/(斜边)。

例如,在直角三角形ABC中,∠ C = 90^∘,∠A=α,BC为∠ A的对边,AB为斜边,则sinα=(BC)/(AB)。

- 余弦cosα=(邻边)/(斜边),对于上述三角形,AC为∠ A的邻边,cosα=(AC)/(AB)。

- 正切tanα=(对边)/(邻边)=(BC)/(AC)。

2. 任意角三角函数(单位圆定义)- 设角α终边上一点P(x,y),r=√(x^2)+y^{2}。

- sinα=(y)/(r)。

- cosα=(x)/(r)。

- tanα=(y)/(x)(x≠0)。

二、三角函数的基本性质。

1. 定义域。

- y = sin x和y=cos x的定义域都是R(全体实数)。

- y=tan x的定义域是<=ft{xx≠ kπ+(π)/(2),k∈ Z}。

2. 值域。

- y = sin x和y=cos x的值域都是[ - 1,1]。

- y=tan x的值域是R。

3. 周期性。

- y = sin x和y=cos x的最小正周期都是2π。

即sin(x + 2kπ)=sin x,cos(x +2kπ)=cos x,k∈ Z。

- y=tan x的最小正周期是π,tan(x + kπ)=tan x,k∈ Z。

4. 奇偶性。

- y=sin x是奇函数,因为sin(-x)=-sin x。

- y = cos x是偶函数,因为cos(-x)=cos x。

- y=tan x是奇函数,因为tan(-x)=-tan x。

5. 单调性。

- y=sin x在<=ft[-(π)/(2)+2kπ,(π)/(2)+2kπ](k∈ Z)上单调递增,在<=ft[(π)/(2)+2kπ,(3π)/(2)+2kπ](k∈ Z)上单调递减。

- y=cos x在[2kπ-π,2kπ](k∈ Z)上单调递增,在[2kπ,2kπ + π](k∈ Z)上单调递减。

(完整版)三角函数知识点总结

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§04. 三角函数 知识要点1. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合):{}Z k k ∈+⨯=,360|αββ②终边在x 轴上的角的集合: {}Z k k ∈⨯=,180|ββ ③终边在y 轴上的角的集合:{}Z k k ∈+⨯=,90180|ββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{}Z k k ∈⨯=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系:βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系: 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式: 1rad =π180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°=180π≈0.01745(rad )3、弧长公式:r l ⋅=||α. 扇形面积公式:211||22s lr r α==⋅扇形4、三角函数:设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点Pxy =αtan ;(x,y )P 与原点的距离为r ,则 ry =αsin ; =αcos yx=αcot ; x r =αsec ;. y r =αcsc .5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)正切、余切余弦、正割正弦、余割6、三角函数线正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域16. 几个重要结论:8、同角三角函数的基本关系式:αααtan cos sin =αααcot sin cos =1cot tan =⋅αα 1sin csc =α⋅α 1cos sec =α⋅α1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα9、诱导公式:2k παα±把的三角函数化为的三角函数,概括为: “奇变偶不变,符号看象限”三角函数的公式:(一)基本关系公式组二 公式组三x x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ x x x x xx x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-公式组四 公式组五 公式组六x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x x x x x x x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ x x x x xx x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ(二)角与角之间的互换公式组一 公式组二 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααcos sin 22sin =βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ααα2tan 1tan 22tan -=βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2cos 12sinαα-±= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 2cos 12cos αα+±=公式组一sin x ·csc x =1tan x =xx cos sin sin 2x +cos 2x =1cos x ·sec x x =xx sin cos 1+tan 2x =sec 2xtan x ·cot x =11+cot 2x =csc 2x=1βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 公式组三 公式组四 公式组五2tan 12tan2sin 2ααα+= 2tan 12tan1cos 22ααα+-= 2tan 12tan2tan 2ααα-=42675cos 15sin -== ,42615cos 75sin +== ,3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +== .()()[]()()[]()()[]()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=cos cos 21sin sin cos cos 21cos cos sin sin 21sin cos sin sin 21cos sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=ααπsin )21cos(-=+ααπcos )21sin(=+ααπcot )21tan(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=-注意:①x y sin -=与x y sin =的单调性正好相反;x y cos -=与x y cos =的单调性也同样相反.一般地,若)(x f y =在],[b a 上递增(减),则)(x f y -=在],[b a 上递减(增). ②x y sin =与x y cos =的周期是π.③)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y (0≠ω)的周期ωπ2=T .2tan xy =的周期为2π(πωπ2=⇒=T T ,如图,翻折无效).④)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x (Z k ∈),对称中心(0,πk );)cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =(Z k ∈),对称中心(0,21ππ+k );)tan(ϕω+=x y 的对称中心(0,2πk ). x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称⑤当αtan ·,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβα;αtan ·,1tan -=β)(2Z k k ∈+=-ππβα.⑥x y cos =与⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(ϕω+=x y 是偶函数,则)cos()21sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.⑦函数x y tan =在R 上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,x y tan =为增函数,同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:)()(x f x f =-,奇函数:)()(x f x f -=-)奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:x y tan =是奇函数,)31tan(π+=x y 是非奇非偶.(定义域不关于原点对称)奇函数特有性质:若x ∈0的定义域,则)(x f 一定有0)0(=f .(x ∉0的定义域,则无此性质)⑨x y sin =不是周期函数;x y sin =为周期函数(π=T )x y cos =是周期函数(如图);x y cos =为周期函数(=T 212cos +=x y 的周期为π(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如: R k k x f x f y ∈+===),(5)(.⑩abb a b a y =+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22. 11、三角函数图象的作法: 1)、几何法:2)、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线).y=|cos2x +1/2|图象3)、利用图象变换作三角函数图象.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.函数y =Asin (ωx +φ)的振幅|A|,周期2||T πω=,频率1||2f T ωπ==,相位;x ωϕ+初相ϕ(即当x =0时的相位).(当A >0,ω>0 时以上公式可去绝对值符号),由y =sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到y =Asinx 的图象,叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换.(用y/A 替换y )由y =sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的1||ω倍,得到y =sin ω x 的图象,叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换.(用ωx 替换x)由y =sinx 的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y =sin (x +φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移.(用x +φ替换x)由y =sinx 的图象上所有的点向上(当b >0)或向下(当b <0)平行移动|b |个单位,得到y =sinx +b 的图象叫做沿y 轴方向的平移.(用y+(-b)替换y )由y =sinx 的图象利用图象变换作函数y =Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0)(x ∈R )的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x 轴量伸缩量的区别。

三角函数知识点归纳总结

三角函数知识点归纳总结

三角函数知识点归纳总结
1、三角函数:三角函数是指能表示直角三角形三边与两个角关系的
函数。

通常所说的三角函数,是指正弦函数、余弦函数和正切函数,它们
与三角形的角度和对边之间有密切的联系,作用甚广。

2、正弦函数:正弦函数的值取决于弧度值,而弧度值又取决于角度值,
也就是说正弦函数的值实质上取决于角度值。

也就是说,正弦函数是一种
以角度值为自变量,弧度值为因变量的函数,其公式为:y=sin(θ)。

3、余弦函数:余弦函数是以角度值为自变量,弧度值为因变量的函数,
其公式为:y=cos(θ)。

余弦函数的最大值为1,最小值为-1,值域为[-
1,1]。

4、正切函数:正切函数是以角度值为自变量,弧度值为因变量的函数,
其公式为:y=tan(θ)。

正切函数的值域为正无穷大和负无穷大之间。

5、反正弦函数:反正弦函数也称为反三角函数,其公式为:y=arcsin(x)。

反正弦函数,它表示为y=arcsin(x),以x为自变量,y为因变量,取值
范围为[-π/2,π/2]。

6、反余弦函数:反余弦函数公式为:y=arccos(x),x为自变量,y为因
变量,取值范围为[0,π]。

7、反正切函数:反正切函数也称为反三角函数,其公式为:y=arctan(x),x为自变量,y为因变量,取值范围为[-π/2,π/2]。

三角函数知识点归纳

三角函数知识点归纳

三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1.任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角.⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角.角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角.第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α+k ·360°(k ∈Z ).终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z (3)弧度制①1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. ②弧度与角度的换算:360°=2π弧度;180°=π弧度.③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是lrα= ④若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+,21122S lr r α==.2.任意角的三角函数定义设α是一个任意角,角α的终边上任意一点P (x ,y ),它与原点的距离为(r r =,那么角α的正弦、余弦、正切分别是:sin α=y r ,cos α=x r ,tan α=y x.(三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦)3.特殊角的三角函数值A.基础梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1;(在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号) (2)商数关系:sin αcos α=tan α. (3)倒数关系:1cot tan =⋅αα 2.诱导公式公式一:sin(α+2k π)=sin α,cos(α+2k π)=cos_α,απαtan )2tan(=+k 其中k ∈Z . 公式二:sin(π+α)=-sin_α,cos(π+α)=-cos_α,tan(π+α)=tan α. 公式三:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos_α,()tan tan παα-=-. 公式四:sin(-α)=-sin_α,cos(-α)=cos_α,()tan tan αα-=-. 公式五:sin ⎝⎛⎭⎫π2-α=cos_α,cos ⎝⎛⎭⎫π2-α=sin α. 公式六:sin ⎝⎛⎭⎫π2+α=cos_α,cos ⎝⎛⎭⎫π2+α=-sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式.口诀:奇变偶不变,符号看象限.其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则函数名称要变(正弦变余弦,余弦变正弦);若是偶数倍,则函数名称不变,符号看象限是指:把α看成锐角....时,根据k ·π2±α在哪个象限判断原.三角..函数值的符号,最后作为结果符号.B.方法与要点 一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限.2、四种方法在求值与化简时,常用方法有:(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=sin αcos α化成正、余弦.(2)和积转换法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化. (ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二) (3)巧用“1”的变换:1=sin 2θ+cos 2θ= sin2π=tan π4(4)齐次式化切法:已知k =αtan ,则nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin 三、三角函数的图像与性质学习目标:1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期 :定义法,公式法,图像法(如x y sin =与x y cos =的周期是π)。

根据三角函数知识总结

根据三角函数知识总结

根据三角函数知识总结
三角函数是数学中重要的一部分,它在几何学、物理学和工程
学等众多领域中有着广泛的应用。

以下是关于三角函数的一些总结:
1. 三角函数的定义
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

正弦函数(sin)定义为直角三角形的对边与斜边的比值,余弦函数(cos)定义为
直角三角形的邻边与斜边的比值,正切函数(tan)定义为正弦函数与余弦函数的比值。

2. 三角函数的性质
三角函数具有很多重要性质,其中一些包括:
- 正弦函数和余弦函数的值范围在-1到1之间;
- 正弦函数的周期是2π,余弦函数的周期也是2π;
- 正切函数的周期是π。

3. 三角函数的图像
三角函数可以表示为图像,在平面直角坐标系中,正弦函数和余弦函数的图像是周期性的波形,而正切函数的图像则呈现周期性的锯齿形状。

4. 三角函数的应用
三角函数在实际应用中有着广泛的应用,例如:
- 在几何学中,三角函数可以用于求解三角形的各个属性,如边长、角度等;
- 在物理学中,三角函数可以描述波动和周期性运动的行为;
- 在工程学中,三角函数可以用于计算电路中的交流信号和电压。

总结:三角函数是数学中的重要概念,它有着广泛的应用。

了解三角函数的定义、性质和图像有助于解决各种实际问题,并应用于几何学、物理学和工程学等领域。

三角函数基础知识点(整理)

三角函数基础知识点(整理)

三角函数基础知识点1、两角和公式sin(A ±B) = sinAcosB ±cosAsinB B A B A B A tan tan 1tan tan )tan(⋅±=± cos(A ±B) = cosAcosB sinAsinB2、二倍角公式(含万能公式) tan2A =A tan 12tanA2- sin2A=2s inA•cosA=A tan 12tanA2+cos2A = cos 2A-sin 2A=2cos 2A-1=1-2sin 2A=A tan 1Atan -122+3、特殊角的三角函数值4、诱导公式公式一: απαsin )2sin(=+k ;απαcos )2cos(=+k ;απαtan )2tan(=+k .(其中Z ∈k ). 公式二: ααπ-sin sin(=+);ααπ-cos cos(=+);ααπtan tan(=+).公式三: sin()-sin αα-=;cos()cos αα-= ;tan()tan αα-=-.公式四: ααπsin sin(=-);ααπ-cos cos(=-);ααπtan tan(-=-)公式五: sin(2sin παα-=-);cos(2cos παα-=);tan(2tan παα-=-)公式六: sin(2π-α) = cos α; cos(2π-α) = sin α.公式七: sin(2π+α) = cos α;cos(2π+α) =- sin α.公式八: sin(32π-α)=- cos α; cos(32π-α) = -sin α.公式九: sin(32π+α) = -cos α;cos(32π+α) = sin α. 以上九组公式可以推广归结为:要求角2k πα⋅±的三角函数值,只需要直接求角α的三角函数值的问题.这个转化的过程及结果就是十字口诀“奇变偶不变,符号看象限”。

三角函数知识点(已更正上次中的错误)

三角函数知识点(已更正上次中的错误)

三角函数知识点一、知识网络 :二、知识点:1.任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角.②按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角终边与角α 相同的角可写成( 3)象限角与轴线角①象限角象限角第一象限角第二象限角α+ k·360°(k∈ Z)象限角α 的集合表示πα 2k π <α <2kπ+2,k∈Zπα 2kπ+2 <α <2kπ+π ,k∈Z1第三象限角α 2kπ+π <α<2kπ+3π,k∈Z 2第四象限角3πα 2kπ+<α <2kπ+2π,k∈Z 2②轴线角:X 轴正半轴上的角:|2k , k Z,x 轴负半轴上的角:|(2 k 1), k Z,x 轴上的角:|k , k Zy 轴正半轴上的角 :|2k, k Z,y 轴负半轴上的角 :|(2 k1), k Z,22y 轴上的角|k, k Z22.弧度制(1)弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.( 2)角度与弧度之间的换算:1弧度180 0角度003004506009001200135015001800225027003600弧度0235532 6432346423.任意角的三角函数:(1)定义三角函数正弦余弦正切设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),1现P(x, y)定代-11定-1义y 叫做α的正弦,记作sin αx 叫做α的余弦,记作 cosαy叫做α的正切,记x作 tan α2设 α是一个任意角,它的终边任意点P(x , y),点 P 到原点的距离为 r传统P(x ,y)r义定义x叫做α的余弦,记作y叫做α的正切,记y 叫做 α的正弦,记作 sin αrxrcos α作 tan αⅠ+ + + 各 Ⅱ + - -象 Ⅲ--+限符 Ⅳ -+-号口一全正,二正弦,三切四余弦诀( 2)特殊角的三角函数值角度 00 300450600900 120013501500 180022502700 3600弧度23 55 3 26 4 3234 642sin1 23 13 21 02 -12222-2 2 2 三角3 2 11 2 32函数 cos 1-11222 -- --值2222tan3 13不存 - 3-13 01不存 03在-在3( 3)三角函数线3图中有向线段 MP, OM, AT分别表示正弦线、余弦线和正切线.4.同角三角函数基本关系式:①平方关系: sin2 α+cos2α=1sin α②商数关系: tan α=cosα5.诱导公式:( 1)公式表sin cos tan 2kπ+αsinαcosαtanα-α-sinαcosα-tanαπ+α-sinα-cosαtanαπ-αsinα-cosα-tanα-αcosαsinα2+αcosα-sinα2( 2)记忆规律:①2kπ+α;-α;π+α;π-α;2-α;2+α看作为n,则有口诀:奇变偶不变,符号看象限。

三角函数必备知识点

三角函数必备知识点

三角函数必备知识点:
三角函数是数学中的基础知识之一,以下是一些必备的三角函数知识点:
1.三角函数的定义:三角函数是描述直角三角形中锐角和边长之间关系的函数。

常见
的三角函数有正弦、余弦和正切。

2.三角函数的性质:三角函数具有一些基本的性质,如周期性、对称性、有界性等。

这些性质对于理解和应用三角函数非常重要。

3.三角函数的图像:三角函数的图像是周期性的,可以通过图像来直观地理解三角函
数的性质和变化规律。

4.三角函数的计算:三角函数的计算涉及到角度和弧度的转换,以及基本的代数运算。

需要掌握一些基本的计算技巧和公式。

5.三角函数的应用:三角函数在各个领域都有广泛的应用,如物理、工程、计算机科
学等。

需要了解一些常见的应用场景和问题解决方法。

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高中数学第四章-三角函数考试容:角的概念的推广.弧度制.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin(ωx+φ)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角. 正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.考试要求:(1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算.(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义. (3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. (4)能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图,理解A.ω、φ的物理意义.(6)会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示. (7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形. (8)“同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1,sin α/cos α=tan α,tan α•cos α=1”.§04. 三角函数知识要点1. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合):{}Z k k ∈+⨯=,360|αββ②终边在x 轴上的角的集合: {}Z k k ∈⨯=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合:{}Z k k ∈+⨯=,90180|ββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{}Z k k ∈⨯=,90|ββ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系:βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系: 90360±+=βαk2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.SIN \COS 三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域、弧度与角度互换公式: 1rad =π180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°=180π≈0.01745(rad ) 3、弧长公式:r l⋅=||α. 扇形面积公式:211||22s lr r α==⋅扇形 4、三角函数:设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点P (x,y )P 与原点的距离为r ,则=αsin rx=αcos ; x y =αtan ; yx =αcot ; x r =αsec ;. αcsc 5、三角函数在各象限的符号:正切、余切余弦、正割正弦、余割6、三角函数线正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.7. 三角函数的定义域:8、同角三角函数的基本关系式:αααtan cos sin =αααcot sin cos = 1cot tan =⋅αα1sin csc =α⋅α1cos sec =α⋅α1cos sin 22=+αα1tan sec 22=-αα1cot csc 22=-αα9、诱导公式:2k παα±把的三角函数化为的三角函数,概括为: (3) 若 o<x<2,则sinx<x<tanx16. 几个重要结论:“奇变偶不变,符号看象限” 三角函数的公式:(一)基本关系公式组二 公式组三x x k x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππxx xx xx x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=- 公式组四公式组五公式组六x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππx x x x x x x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππx x x x xx x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ(二)角与角之间的互换公式组一 公式组二 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+αααcos sin 22sin =βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ααα2tan 1tan 22tan -=βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-2cos 12sinαα-±= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+2cos 12cos αα+±= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-公式组三 公式组四 公式组五2tan 12tan2sin 2ααα+= 2tan 12tan1cos 22ααα+-= 2tan 12tan 2tan 2ααα-=42675cos 15sin -== ,42615cos 75sin +== ,3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +== .公式组一sin x ·csc x =1tan x =xx cos sin sin 2x +cos 2x =1cos x ·sec x x =xxsin cos 1+tan 2x =sec 2x tan x ·cot x =11+cot 2x =csc 2x=1()()[]()()[]()()[]()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=cos cos 21sin sin cos cos 21cos cos sin sin 21sin cos sin sin 21cos sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=ααπsin )21cos(-=+ααπcos )21sin(=+ααπcot )21tan(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=-反.一般地,若)(x f y =在],[b a 上递增(减),则)(x f y -=在],[b a 上递减(增).②x y sin =与x y cos =的周期是π.③)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y (0≠ω)的周期ωπ2=T .2tan xy =的周期为2π(πωπ2=⇒=T T ,如图,翻折无效).④)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x (Z k ∈),对称中心(0,πk );)cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =(Z k ∈),对称中心(0,21ππ+k );)tan(ϕω+=x y 的对称中心(0,2πk ). x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称⑤当αtan ·,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβα;αtan ·,1tan -=β)(2Z k k ∈+=-ππβα.⑥x y cos =与⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(ϕω+=x y 是偶函数,则)cos()21sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.⑦函数x y tan =在R 上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,x y tan =为增函数,同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:)()(x f x f =-,奇函数:)()(x f x f -=-)奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:x y tan =是奇函数,)31tan(π+=x y 是非奇非偶.(定义域不关于原点对称)奇函数特有性质:若x ∈0的定义域,则)(x f 一定有0)0(=f .(x ∉0的定义域,则无此性质)⑨x y sin =不是周期函数;x y sin =为周期函数(π=T )x y cos =是周期函数(如图);x y cos =为周期函数(=T 212cos +=x y 的周期为π(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如: R k k x f x f y ∈+===),(5)(.⑩abb a b a y =+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22. 11、三角函数图象的作法: 1)、几何法:2)、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线).3)、利用图象变换作三角函数图象.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.函数y =Asin (ωx +φ)的振幅|A|,周期2||T πω=,频率1||2f T ωπ==,相位;x ωϕ+初相ϕ(即当x =0时的相位).(当A >0,ω>0 时以上公式可去绝对值符号), 由y =sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到y =Asinx 的图象,叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换.(用y/A 替换y )由y =sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的1||ω倍,得到y =sin ωx 的图象,叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换.(用ωx 替换x)由y =sinx 的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y =sin (x +φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移.(用x +φ替换x)由y =sinx 的图象上所有的点向上(当b >0)或向下(当b <0)平行移动|b |个单位,y=|cos2x +1/2|图象得到y =sinx +b 的图象叫做沿y 轴方向的平移.(用y+(-b)替换y )由y =sinx 的图象利用图象变换作函数y =Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0)(x ∈R )的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x 轴量伸缩量的区别。

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