第一章 立体几何初步(A)

第一章立体几何初步(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列推理错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒lαB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，lα⇒A∈α2．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④3．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为()A．64B．34C．32D．624．如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是()A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台5．某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上()A．快、新、乐B．乐、新、快C．新、乐、快D．乐、快、新6．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是() A．16π B．20π C．24π D．32π7．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为() A．120° B．150° C．180° D．240°8．已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中正确的是() A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊥α，n⊥α，则n⊥mC．若m⊥α，m∥β，则α⊥βD．若α⊥β，mα，则m⊥β9．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为()A．R B．2R C．3R D．4R10．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为()A．48＋12 2 B．48＋242C．36＋12 2 D．36＋24211．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点．则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正射影为()12．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BD C．A1D D．A1D1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．等边三角形的边长为a，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积为________．14．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．15．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．16．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；(2)求该几何体的体积(结果保留π)．18．(12分)如图是一个空间几何体的三视图，其中主视图和左视图都是边长为2的正三角形，左视图是一个正方形．(1)在给定的直角坐标系中作出这个几何体的直观图(不写作法)；(2)求这个几何体的体积．19．(12分) 如图所示，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA上的点，且满足AE EB ＝AH HD ＝12，CF FB ＝CGGD＝2．(1)求证：四边形EFGH 是梯形；(2)若BD ＝a ，求梯形EFGH 的中位线的长．20．(12分) 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，并证明你的结论．21．(12分) 如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD 的中点．求证：(1)EF∥面ACD；(2)面EFC⊥面BCD．22．(12分) 如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F．(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．第一章立体几何初步(A) 答案1．C [若直线l∩α＝A ，显然有l α，A ∈l ，但A ∈α．]2．D [当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．]3．D [原图与其直观图的面积比为4∶2，所以34S 原＝24，所以S 原＝62．]4．D [∵EH ∥A 1D 1，∴EH ∥B 1C 1，∴EH ∥平面BB 1C 1C ．由线面平行性质，EH ∥FG ． 同理EF ∥GH ．且B 1C 1⊥面EB 1F ．由直棱柱定义知几何体B 1EF －C 1HG 为直三棱柱，∴四边形EFGH 为矩形，Ω为五棱柱．故选D ．]5．A 6．C [如图所示，由V ＝Sh 得，S ＝4，即正四棱柱底面边长为2． ∴A 1O 1＝2，A 1O ＝R ＝6． ∴S 球＝4πR 2＝24π．] 7．C [S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧，即：2πr 2＝πrl ，得2r ＝l ． 设侧面展开图的圆心角为θ， 则θπl 180°＝2πr ，∴θ＝180°．] 8．C [A 中还有可能n α；B 中n ∥m ；D 中还有可能m ∥β或m β或相交不垂直；C 中，由于m ∥β，设过m 的平面γ与β交于b ，则m ∥b ，又m ⊥α，则b ⊥α，又b β，则α⊥β，所以C 正确．]9．D 10．A [棱锥的直观图如图，则有PO ＝4，OD ＝3，由勾股定理，得PD ＝5，AB ＝62，全面积为12×6×6＋2×12×6×5＋12×62×4＝48＋122，故选A ．] 11．A12．B [证BD ⊥面CC 1E ，则BD ⊥CE ．]13．14πa 3解析如图，正三角形ABC 中，AB ＝a ，高AD ＝32a ， ∴V ＝13πAD 2·CB ＝13π·⎝⎛⎭⎫32a 2·a ＝14πa 3．14．23解析 由主视图和左视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥C 1－ABCD)，还原在正方体中，如图所示．多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线， 由正方体棱长AB ＝2知最长棱的长为23． 15．27π解析 若正方体的顶点都在同一球面上，则球的直径d 等于正方体的体对角线的长．∵棱长为3，∴d ＝ 3·32＝3 3⇒R ＝3 32．∴S ＝4πR 2＝27π．16．B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)解析 由直四棱柱可知CC 1⊥面A 1B 1C 1D 1， 所以CC 1⊥B 1D 1，要使B 1D 1⊥A 1C ， 只要B 1D 1⊥平面A 1CC 1， 所以只要B 1D 1⊥A 1C 1，还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形，正方形等条件． 17．解 由三视图可知：该几何体的下半部分是棱长为2 m 的正方体，上半部分是半径为1 m 的半球． (1)几何体的表面积为S ＝12×4π×12＋6×22－π×12＝(24＋π)(m 2)．(2)几何体的体积为V ＝23＋12×43×π×13＝(8＋2π3) (m 3)．18．解 (1)直观图如图．(2)这个几何体是一个四棱锥．它的底面边长为2，高为2，所以体积V ＝13×22×2＝423．19．解 (1)因为AE EB ＝AH HD ＝12，所以EH ∥BD ，且EH ＝13BD ．因为CF FB ＝CGGD＝2，所以FG ∥BD ，且FG ＝23BD ．因而EH ∥FG ，且EH ＝12FG ，故四边形EFGH 是梯形．(2)因为BD ＝a ，所以EH ＝13a ，FG ＝23a ，所以梯形EFGH 的中位线的长为12(EH ＋FG)＝12a ． 20．解 直线MN ∥平面A 1BC 1， 证明如下：∵M ∉平面A 1BC 1，N ∉平面A 1BC 1．∴MN ⊆平面A 1BC 1．如图，取A 1C 1的中点O 1， 连接NO 1、BO 1．∵NO 1綊12D 1C 1，MB 綊12D 1C 1，∴NO 1綊MB ．∴四边形NO 1BM 为平行四边形．∴MN ∥BO 1．又∵BO 1平面A 1BC 1， ∴MN ∥平面A 1BC 1．21．解 (1)∵E ，F 分别是AB ，BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵EF ⃘面ACD ，AD 面ACD ，∴EF ∥面ACD ． (2)∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD ． ∵CB ＝CD ，F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD ． 又EF ∩CF ＝F ，∴BD ⊥面EFC ．∵BD 面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD ．22．证明 (1)∵SA ⊥平面AC ，BC 平面AC ， ∴SA ⊥BC ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ⊥BC ． ∴BC ⊥平面SAB ，∴BC ⊥AE ． 又SB ⊥AE ，∴AE ⊥平面SBC ．∴AE ⊥SC ．又EF ⊥SC ，∴SC ⊥平面AEF ． ∴AF ⊥SC ．(2)∵SA ⊥平面AC ，∴SA ⊥DC ． 又AD ⊥DC ，∴DC ⊥平面SAD ． ∴DC ⊥AG ．又由(1)有SC ⊥平面AEF ，AG 面AEF ， ∴SC ⊥AG ，∴AG ⊥平面SDC ，∴AG ⊥SD ．感谢您的阅读，祝您生活愉快。