圆的方程及圆系方程的推导与应用
高二数学必修二 第四章 圆与圆的方程知识点总结
第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到肯定点的间隔 等于定长的点的集合叫做圆，定点圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上随意一点，则圆的集合可以写作：P = {M |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ； 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。
确定一个圆须要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，须要求出D ，E ，F ； 干脆法：干脆依据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种状况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的间隔 为22B AC Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线间隔 =半径，求解k ，②若求得两个一样的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线肯定为另一条切线）(3)22=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的与（差），与圆心距（d ）之间的大小比拟来确定。
高中数学教师备课必备系列圆与方程专题八 圆系方程及其应用 含解析
圆系方程及其应用一．常见的圆系方程有如下几种：222??0)?)(x?a)??(y?b(),b(a为圆心的同心圆系方程：．以12222?0??+Dx?Ey?F?0xEyx??yy+Dx?与圆同心的圆系方程为：220??F+DxC:x??yEy0?l:ax?by?c交点的圆系方程为：与圆2．过直线22??）R?）?0+（（ax?byx??yc+Dx?Ey?FABClB,A为公共弦的一系列相交圆，其圆心在（1）当直线交于与圆两点时，圆系中的所有圆是以AB的垂直平分线上；公共弦??b??aED),?M(?ACl时，这时圆系的圆心与圆，切于点（2）当直线22?????bEaE?abD?D),b?(a?(?,?)?CM?OM?OC?(?,?)?(?,?)2222222?n?CM=CMn l)b(a,n?，∴，∴而直线∥的法向量2l?CM ACl的过点，且直线的切线．为圆因此，CMCACA?l与重合．又∵（过切点的半径与切线垂直），∴ACCl圆心都，直线外）与圆内切或外切于点是它们的公切线，由此可知，圆系中的所有圆（除圆CA在直线上．22220??FDx?Ey?F?0C:x?yC:x+?yE+Dx?y交点的圆系方程为：．过两圆与322112112????2222??1?0?Dx?Ey?y+Dx?Ey?F??xF?y?x+．221121??E??DED2211),?M(?,可知，圆心??)?)2(12(1?????(E?E)E?(D?DDDE?)ED1111211222)?(?,?)CM(??,?OM?OC?(??,?)11????)2(1??)?2(12(1)2(1?2)2???EDED2211)]?(OC?OC,?)?C[(??,C)?(??2112?????1122221?M,C,CCC M上．因此，点共线，即圆系的所有圆的圆心都在已知两圆的连心线2112CAB?CC AB C BA,为所有两点时，则，且弦（即连心线与公共弦垂直）（1）当圆与圆相交于2211圆的公共弦；CCCC AAM上，圆系的所有圆都与已（2）当圆与圆内切或外切于的连心线点时，则在过切点2121CC A处内切或外切．及圆知的圆在点21注意：22+Dx?EyxC:??yF?0； 1）此圆系不含圆（2222CC和两圆公共弦所在直线交点的圆，可等价转化为过圆（2）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2122?[(D?D)x?(E?E)y?Dx?Ey?F?(F?F)]?x?y0? :系方程211112211???1??*0F)?)y?(F??(D?D)x?(EE称为根轴方程．时，上述方程（3）特别地，当222111根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．CC ABBA,(*)所在直线的方程；与圆两点时，方程于表示公共弦①当两已知圆21C AA C(*)的公切线方程．②当圆点时，方程与圆内切或外切于表示过（内或外）公切点21A外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．这时，除点二．圆系方程在解题中的应用2222?2x?yy?1??y?2?03x0x??y3?3x交点和坐标原点的圆的方程．．求经过两圆和例122020?x?2y?x?y?4(2,0)3)BA(?1,?，且过点例2．求与圆切于点的圆的方程．222222?0?3)]?(y200x?y?4x?2y???[(x?1)?(x?1)?(y3)?3)A(??1,，构造圆系为点圆解一：视点422??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B，∴所求的圆的方程为，可得代入点3A(?1,?3)3x?4y?15?0，与已知圆构造圆系解二：过点的已知圆的切线方程为22?(3x?4y??15)?x0?yy?4x?2?20822??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B代入点，∴所求的圆的方程为，可得7220?1?y??2x4yxC:?0??2:x?y4l的交点且面积最小的圆的方程．求经过直线与圆Ｃ： 3.例??22?0?4?x?y2x?y?1+?2xy?4解一：设圆的方程为，即22???)?0?(1?x)?(4?4)xy?y+2(1+，则1584??2222???????()4144r??(41)?(?)?(?)，5544．8222??r?26x?12y?5x37?5y?0. 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：∴当时，5作业：222?x?y4)?B(?1,A(1,1) 1.求与圆的圆的方程．切于点，且过点22220x?y?x?4x?y?10x?3y?6?的交点，且与直线2.求过两圆和相切的圆的方程．221)??R,k?k?10)y10k?20?0(kx??y2?kx?(4中，任意两个圆的位置关系如何？3.圆系一．常见的圆系方程有如下几种：222??0)(???x?a)?(yb)()b(a, 1．以为圆心的同心圆系方程：2222?0??+Dx?EyxDxx?y+?Ey?F?0?y同心的圆系方程为：与圆220?c?axl:?by0?EyC:x?y+Dx??F交点的圆系方程为：与圆2．过直线22??）0?（R???x?y+Dx?EyF+（ax?byc）ABClB,A为公共弦的一系列相交圆，其圆心在两点时，圆系中的所有圆是以与圆交于）当直线（1AB公共弦的垂直平分线上；??b??aED,?M(?)ACl，2（时，这时圆系的圆心切于点）当直线与圆22．?????b?abDD?EaE,?)?((??,?)?(?,?)??(a,b)CM?OM?OC?2222222?n?CM=CMn l)bn?(a,，∴，∴而直线∥的法向量2CM?l ACl的切线．，且直线因此，的过点为圆CA?lCACM重合．与（过切点的半径与切线垂直）又∵，∴CCAl是它们的公切线，外）与圆内切或外切于点圆心都由此可知，圆系中的所有圆（除圆，直线CA上．在直线2222+Dx?Ey?F?0C:x?:xy?y+Dx?Ey?F?0C交点的圆系方程为：．过两圆与311222121????2222??10??Eyy?F??Fx??y?+Dxx?yD+x?E．211122??EE??DD2211,M(??),可知，圆心??)??)2(12(1????(E?E)(D?D?DDE?)EDE1111222211)?(?,?)CM(??,?OM?OC?(?,?)?11????)2(122(1??2(1?2(1)?))2???EDDE2211)]?(OC?OC)?)?(??,?[(?C,?C2121????12211??22M,C,CCC M上．共线，即圆系的所有圆的圆心因此，点都在已知两圆的连心线2211CAB?CCC ABB,A为所有（即连心线与公共弦垂直）相交于两点时，则（1）当圆，且弦与圆2211圆的公共弦；CCCC AAM上，圆系的所有圆都与已内切或外切于在过切点与圆点时，则）当圆（2的连心线2121CC A处内切或外切．及圆知的圆在点21注意：22+Dx?Ey?FC:x??y0；1）此圆系不含圆（2222CC和两圆公共弦所在直线交点的圆）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆，可等价转化为过圆（22122?[(D?D)x?(E?E)y?Dx?EyF??(F?F)]?0x?y? :系方程221211111???1??*)F?0)E?Ey?(F?x?(DD)?(称为根轴方程．3（）特别地，当时，上述方程211221根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．CC ABBA,(*)所在直线的方程；表示公共弦两点时，方程①当两已知圆与圆于21C AA C(*)的公切线方程．内切或外切于点时，方程表示过（内或外）公切点与圆②当圆21A外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．这时，除点二、圆系方程在解题中的应用：2222?2x?y3y?1?3x?y?2?03xx0?y??交点和坐标原点的圆的方程．例1 和．求经过两圆22?4x?2y?20?x0?y A(?1,?3)B(2,0)的圆的方程．，且过点切于点例2．求与圆222222?]?3)0?(?20?y[(x?1)?(y?3)1)?0x??y?4x?2y(x?3)1,A(??视点解一：为点圆，构造圆系422??(2,0)B?4x?18yx??7y20?07，可得，∴所求的圆的方程为代入点3A(?1,?3)3x?4y?15?0，与已知圆构造圆系的已知圆的切线方程为解二：过点22?(3x?4y??20?15)?x0?y??4x2y822??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B，可得代入点，∴所求的圆的方程为72201?y2?x?C:x4?y?0x4??y?l:2的交点且面积最小的圆的方程．与圆Ｃ：例3.求经过直线??22?02x?1+y?4??x?xy?2?4y，即解一：设圆的方程为22???)??40?4)yx??y(1+2(1+)x?(，则1584??2222???????4)r??()(41?)1?(?4)?4(，55448222??r5x?5y?26x?12y?37?0. 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：∴当时，5练习：22?yx2?A(1,1)B(?1,?4)的圆的方程．，且过点切于点1.求与圆2222??2)?1)??y(x(x?1)0?(y?解：设所求的圆方程为29????+29=0154???1,yB(?1,?4)x?，，解得代入，得，将∵圆过点15822???15x?15y?447x??7y0将代回圆系方程，得所求的圆方程为522220?4yxx?y??1x?0?x?3y?6 2.求过两圆相切的圆的方程．和的交点，且与直线?14??222222?x??x?y?00x?y?1?x?y?4x?，即解：设所求的圆的方程为????1122?????1441?12?????4?r???(,0)，半径圆心?????????1||1??21?1?????2?6||??|?|232??1?d?(,0)0?y?6x?3圆心的距离到直线??||1?2?13?12???8??3|41|2??rd?0?y?6x?3????相切，∴，即∵所求圆与直线??|?11|1?|1|28??2222220xx?y?yx??1??40?x?y?311?323x∴所求的圆的方程为，??222,0?2?d?r0x?4??xy0y3?6?x?的距离又圆的圆心到直线即11|2?6|3?1220x??xy?4∴圆也符合题意，22220??x??32y?3x3?x110y4x?.∴所求的圆的方程为或22?2kx?(4k?10)y?10k?20?0(k?R,xk?y??1)中，任意两个圆的位置关系如何？3.圆系22?10y?20?2k(x?4y?5)?x0?y解：圆系方程可化为：2x?4y?10?0x?2y?5?0??k?R，k??1∵，??2250,C?0?10?2l:x?4y?5)?x5?(y的半径，故直线∴，即??2222x?y?10y?20?0x?(y?5)?5??到直线易知圆心的距离恰等于圆22?5y?5)(x?02xl:?y??5相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的与圆任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切．。
学圆与方程圆的一般方程
一般方程的推导方法
基于圆的定义
根据圆的标准方程和圆的定义，我们可以推导出一般 方程。首先，将标准方程中的r^2用(x^2 + y^2)替换 ，得到$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = x^2 + y^2$。整 理后得到一般方程为$x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0$。
这个方程实际上是圆的一般形式，它可以表示所有形状的圆 ，包括实心圆和空心圆。
圆的一般方程的特点
圆的一般方程具有普遍性，它可以描述各种形状和大小的 圆。
与标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²相比，一般方程提供了更为 灵活的表述方式，可以描述那些不以原点为中心的圆。
圆的一般方程与标准方程的异同
相同点
03
圆的一般方程与图形关系
圆的一般方程与图形形状
圆的一般方程可以描述圆的形状特征，通过方程中的系数可 以调整圆的大小、圆心位置以及半径长度。
通过解方程，可以得到圆的圆心坐标和半径，从而确定圆的 形状。
圆的一般方程与图形位置
圆的一般方程可以描述圆在空间中的位置关系，通过解方 程可以得到圆心坐标和半径，确定圆的位置。
复数中的圆函数
在复数平面上，与圆有关的函数被称 为圆函数。这些函数描述了圆的某些 性质，如圆的周长、面积和其他几何 性质的变化规律。通过对圆函数的导 数和积分运算，我们可以研究圆的性 质和变化规律。
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判断点与圆的位置关系
利用一般方程，可以判断一个点是否在圆内、圆上或圆外。通过将点的坐标代入一般方程 ，求解方程的根，根据根的判别式来判断点与圆的位置关系。
圆的性质研究
圆的方程
圆的方程【知识要点】一、圆的标准方程1、圆的定义圆是到定点的距离等于定长的点的集合.由此我们可知：以点(,)C a b 为圆心，以r 为半径的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=.2、圆的标准方程的推导设圆心为(,)C a b ，半径为r ，点M 满足的条件为{}P M MC r ==.由两点距离公式可知，点(,)M x yr =.把上式两边平方，得：222()()x a y b r -+-=即圆的彼岸准方程为222()()x a y b r -+-=.3、圆的标准方程的特点圆的标准方程显示了圆心的位置和半径的大小.确定圆的要素有两个：圆心和半径，其中圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小.在确定圆的过程中，如果由已知条件容易求出圆心坐标和半径或需要利用圆心、半径的有关条件列方程时，一般利用圆的标准方程求解.4、圆的几个特殊位置的标准方程（1）圆心在原点(0,0)O ，半径为r 的圆的标准方程为222x y r +=；（2）半径为r 且与x 轴相切于点(,0)a 的圆的标准方程为222()()x a y r r -+±=；（3）半径为r 且与y 轴相切于点(0,)b 的圆的标准方程为222()()x r y b r ±+-=；（4）半径为r 且与x 轴、y 轴都相切的圆的标准方程为222()()x r y r r ±+±=.二、圆的一般方程1、方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件为：①0A C =≠；②0B =；③2240D E AF +->.其中，条件①与条件②皆为二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的必要条件.因为若二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=仅满足条件①与条件②，那么二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=可以转化为220D E F x y x y A A A++++=. 对上式配方可得：222224()()224D E D E AF x y A A A +-+++= （i ）当2240D E AF +-=时，原方程表示一个点(,)22D E A A--； （ii ）当2240D E AF +-<时，原方程不表示任何图形；（iii ）当2240D E AF +->时，原方程表示一个圆，其圆心为(,)22D E C A A--，半径为2r A =. 2、圆的一般方程二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的充要条件为：2240D E F +->.对二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=，配方可得：22224()()224D E D E F x y +-+++= （i ）当2240D E F +-=时，原方程表示一个点(,)22D E --； （ii ）当2240D E F +-<时，原方程不表示任何图形；（iii ）当2240D E F +->时，原方程表示一个圆，其圆心为(,)22D E C --，半径为2r =. 因而，当2240D E F +->时，我们把方程220x y Dx Ey F ++++=叫作圆的一般方程.3、圆的标准方程与圆的一般方程之间的互化（1）圆的一般方程化为圆的标准方程：把圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=（注意隐含条件：2240D E F +->）配方可得圆的标准方程：22224()()224D E D E F x y +-+++=； （2）圆的标准方程化为圆的一般方程：把圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=展开可得圆的一般方程：22222220x y ax by a b r +--++-=. 三、点与圆的位置关系1、平面内一点与圆的位置关系的判定已知圆的方程为222()()x a y b r -+-=，显然圆心为(,)C a b ，半径为r ，那么平面内一点00(,)P x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系有：（1）点P 在圆上22200()()x a y b r PC r ⇔-+-=⇔=；（2）点P 在圆内22200()()x a y b r PC r ⇔-+-<⇔<；（3）点P 在圆外22200()()x a y b r PC r ⇔-+->⇔>.2、平面内一点到圆上的点的最大距离与最小距离平面内一点P 到圆上的点的最大距离为PC r +；点P 到圆上的点的最小距离为PC r -（其中，C 为圆的圆心，r 为圆的半径）.四、确定圆的方程的方法确定圆的方程的重要方法是待定系数法.1、如果已知条件中圆心的位置易于确定，则可以选择圆的标准方程列方程组、求系数，即列出关于a 、b 、r 的方程组，求出a 、b 、r 的值，或直接求出圆心(,)a b 及半径r .一般步骤如下：Step1：根据题意，设所求圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=；Step2：根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；Step3：求解这个方程组，并把它们代入前面所设的方程中去，整理后，即可得到所要求的圆的方程.【注】运用待定系数法去求圆的标准方程时，应尽量利用圆的几何性质去确定其圆心(,)a b 及半径r ，这样的话，将会大大减少计算量.一般可以利用圆心的三个几何性质：①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；②圆心在某一条弦的垂直平分线上；③圆心在圆的任意一条直径上，且为直径的中点.2、如果已知条件中圆心的位置不确定或难以确定，则可以选择圆的一般方程列方程组、求系数.在圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=中，含有三个相互独立的参数D 、E 、F ，因此，必须具备三个独立的条件才能通过列出关于D 、E 、F 的方程组，求出D 、E 、F 的值，最终确定出圆的一般方程.一般步骤如下：Step1：根据题意，设所求圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=；Step2：根据已知条件，建立关于D 、E 、F 的方程组；Step3：求解这个方程组，并把它们代入前面所设的方程中去，整理后，即可得到所要求的圆的方程.五、圆的直径式方程的求法设11(,)A x y 、22(,)B x y 是圆的某条直径的两个端点，(,)P x y 为圆上任意异于点A 、B 的一点，则90APB ∠=，即P A P B ⊥，于是有1PA PB k k ⋅=-，而11PA y y k x x -=-，22PB y y k x x -=-，12121y y y y x x x x --⇒⋅=---，故有1222()()()()0x x x x y y y y --+--=，此即圆的直径式方程.六、常见的圆系方程1、过定直线与定圆的交点的圆系方程过定直线l ：0Ax By C ++=和定圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程为22()0x y Dx Ey F a Ax By C +++++++=.2、过两圆的交点的圆系方程过两圆221110x y D x E y F ++++=和222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程为2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=，特别地，当1λ=-时，该方程表示两圆公共弦所在直线的方程.【例题解析】题型1圆的定义1、若方程222(2)20a x a y ax a ++++=表示圆，则a =_______. 解： 方程222(2)20a x a y ax a ++++=表示圆 （ⅰ）若1-=a ，则原方程即为01222=--+x y x ，亦即2)122=+-y x （，表示圆； （ⅱ）若2=a ，则原方程即为0244422=+++x y x ，亦即02122=+++x y x )(* 这里，21,0,1===F E D .由于01201422<-=-+=-+F E D因此，方程)(*不表示任何图形。
学圆与方程圆的一般方程
《学圆与方程圆的一般方程》xx年xx月xx日•圆的定义与性质•圆的一般方程的表达式•学圆的方程解法•圆的一般方程的几何意义目•圆的一般方程的应用•学习圆的方程和一般方程的感受和收获录01圆的定义与性质圆定义为平面上到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点的集合。
圆是一种几何图形，具有旋转对称性。
圆的定义圆的内部具有紧致性和均匀性。
圆上任意两点间的最短距离为直径。
圆是所有平面图形中最特殊的，因为它是一个连续的、封闭的曲线。
圆的基本性质圆的一般方程圆的一般方程为 x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。
通过确定D、E、F的值，可以描述不同圆的位置和大小。
当D²+E²-4F>0时，方程表示一个圆；当D²+E²-4F=0时，方程表示一个点；当D²+E²-4F<0时，方程表示一个椭圆。
02圆的一般方程的表达式圆的一般方程的表达式$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$圆的一般方程的表达式，其中D、E、F为常数，表示在直角坐标系中，圆心在$( - \frac{D}{2}, - \frac{E}{2})$，半径为$\frac{\sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}}{2}$。
圆心坐标和半径根据圆的一般方程表达式，可以计算出圆的圆心坐标$( - \frac{D}{2}, - \frac{E}{2})$和半径$\frac{\sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}}{2}$。
将标准方程中的$x^{2}+y^{2}$提取出来得到$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$，其中D、E、F为常数。
将标准方程中的圆心坐标$(x_{0},y_{0})$和半径$r$代入一般方程中得到$x^{2}+y^{2}+(x_{0}+D)x+(y_{0}+E)y+F=0$，化简得到一般方程。
圆的一般方程的表达式推导普遍性圆的一般方程可以表示任意位置的圆，不仅仅局限于平面直角坐标系中的圆。
解析几何专题2圆的方程及应用
《高中数学专题题型分类大全》解析专题二圆的方程及应用『知识与方法梳理』？（一）圆的方程的两种形式方程形式方程相关参数意义标准式(x - a)1 2+ (y - b)2= r2圆心（a,b）,半径：r一般式2 2x + y2+ Dx + Ey + F = 0 (D2+ E2-4F > 0 )圆心(--D，- E )，半径：r= 2/ D2+ E2- 4F(二)点与圆的位置关系的判定点P(x°, y o). 圆M 方程 (1) (x -a)2 + (y -b)2 = r2;(2) x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.(1) (X0 -a)2+ (y0 -b)2= r2;2 2(2) X0 + y0 + Dx。
+ Ey0 + F = 0.1.点p在圆上.(1) (X0 -a)2+ (y0 -b)2< r2;2 2(2) X。
+ y°+ Dx 0 + Ey 0 + F < 0.2.点P在圆内.(1)(X。
-a)2+ (y°-b)2> r2;2 2⑵ X0 + y°+ Dx0 + Ey°+ F > 03.点P在圆夕卜.圆方程点p（x0, y0）到圆上的切线长1. x2+y2=r2|PT| ^X02+ y02- r22 2 22. (x-a) 2+(y 七)2=r2|PT| 珂(x°- a)2+( y°- b)2- r22 23. x2+y2+Dx+Ey+F=0|PT| 珂X02+ y02+ Dx0 + Ey°+F圆方程切线方程1. x2+y2=r22X0X + y°y = r2 2 22. (x-a)2+(y-b)2=r22(X0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r2 23. x2+y2+Dx+Ey+F=0X0X + y°y + D号+ 誓+F = 01. 直线I:Ax+By+C=0,圆C: x2+y2+Dx+Ey+F=0 当直线l与圆C相交时，过两交点的圆的方程可设成（三）直线与圆的关系方法已知细d直M圆旳X FD 4 < +2 -2一二A卜+2X线：—直M圆2 22 C1: x +y +D1x+E1y+F1=0C2： x2+y2+D2X+E2y+F2=0(1 )当5与C2相交时，两圆公共弦所在直线方程为（D1 - D2）X + （E1 - E2）y + （F1 - F2） = 0（2）当C1与C2相交时，过两圆交点的圆的方程可设为_x2+y2+D1x+E1y+F1 + X (xhy2+D2x+E2y+F2) = 0_ 或—'"_ _x2+y2+D j x+E 1y+Fj_+ X [(D- D2)x+(E^ - E2)y+(F 1 - F2)] = 0相关运算离距N= ( d心凰=0那+F判M+CDX脚立BV2+尹耽用2x，Ax元{艄《必修2》解析专题、圆的方程及应用圆|G半径D,圆C2半径r2.圆C1与圆C?位置关系.（1）皿施心内含(2)也-呵=15。
初中数学圆的方程知识点
初中数学圆的方程知识点
1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的'标准方程是(xa)^2+(yb)^2=r^2。
特殊地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。
2、圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^24F)/4.故有：
(1)、当D^2+E^24F0时，方程表示以(D/2,E/2)为圆心，以(√D^2+E^24F)/2为半径的圆;
(2)、当D^2+E^24F=0时，方程表示一个点(D/2，E/2);
(3)、当D^2+E^24F0时，方程不表示任何图形。
3、圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数) 圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB 为直径的圆的方程为 (xa1)(xa2)+(yb1)(yb2)=0
圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆x^2+y^2=r^2上一点M(a0，b0)的切线方程为a0*x+b0*y=r^2
在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0*x+b0*y=r^2 圆的方程学问在学校数学逇学习中涉及到的并不是许多，同学们把握基础就好。
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圆系方程的理解与推导
圆系方程的理解与推导在数学中，圆是一个非常重要的几何形状。
圆的方程描述了在平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合。
圆的方程有多种形式，下面将介绍其中两种常见的形式：标准圆方程和一般圆方程。
1. 标准圆方程：标准圆方程表述为：(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径。
这个方程说明了平面上距圆心的欧几里得距离等于半径的点构成了圆。
推导标准圆方程的方法如下：首先，假设圆心为(h, k)，半径为r。
对于任意点(x, y)位于圆上，根据欧几里得距离的定义，有：√((x - h)² + (y - k)²) = r两边平方得：(x - h)² + (y - k)² = r²这就是标准圆方程。
2. 一般圆方程：一般圆方程可以写为Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D、E为常数。
这个方程描述了平面上满足该方程的点的集合构成了圆。
推导一般圆方程的方法如下：首先，假设圆心为(h, k)，半径为r。
根据圆的定义，圆上的点与圆心的距离应等于半径。
因此，我们可以得到一个方程：√((x - h)² + (y - k)²) = r两边平方后展开，并移项，可得：(x - h)² + (y - k)² - r² = 0进一步展开并整理，可得：x² + y² - 2hx - 2ky + (h² + k² - r²) = 0将上式与一般圆方程进行比较，我们可以得到：A = 1，B = 1，C = -2h，D = -2k，E = h² + k² - r²这就是一般圆方程。
通过推导和理解圆的方程，我们可以在平面几何中更好地描述和分析圆的性质和关系。
直线系、圆系方程及其应用
圆系方程及其应用（熟记----大题可以小做）一、常见的圆系方程有如下几种：1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λ（Ax ＋By ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ）3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为：22y x +＋111F y E x D ++＋λ（22y x +＋222F y E x D ++）＝0（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０）特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程．注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=二、圆系方程在解题中的应用：1、利用圆系方程求圆的方程：例1 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程。
解一：求出两交点（-1,3）（-6,-2），再用待定系数法：1．用一般式； 2．用标准式。
（注：标准式中可先求圆心的两个坐标，而圆心正好在两交点的中垂线上。
） 解二：用两点的中垂线与直线的交点得圆心： 1．两交点的中垂线与直线相交；2．过圆心与公共弦垂直的直线与直线相交； 3．两圆心连线与直线相交。
解三：利用圆系方程求出圆心坐标，圆心在直线方程上，代入直线方程求解。
圆的方程标准式的圆心和半径
圆的方程標準式的圆心和半径圆的方程标准式是指圆心在原点(0,0)的情况下的圆方程，表示为x^2 + y^2 = r^2。
其中，(x, y)为圆上任意一点的坐标，r为圆的半径。
在这种标准式下，圆心坐标为(0,0)，即圆心位于坐标原点。
而半径r则表示了圆的大小，r越大，圆的直径越长，r越小，圆的直径越短。
圆的方程标准式之所以常用，是因为它和直角坐标系密切相关，方便我们对圆进行数学运算和几何分析。
圆的方程标准式的推导如下：考虑圆上任意一点P(x, y)，根据勾股定理，它与原点的距离r满足以下关系：r^2 = x^2 + y^2这个关系可以理解为，点P到原点的距离的平方等于点P的横坐标与纵坐标的平方和。
而对于圆，所有点P都满足这个关系。
因此，我们可以用该方程来表示圆。
圆的方程标准式的特点如下：1.圆的半径为正值。
由圆心至圆上任意一点的距离是半径r，因此r必须是正值。
2.圆心位于坐标原点。
在方程x^2 + y^2 = r^2中，常数项为0，表示圆心坐标为(0,0)。
圆的方程标准式常用于描述具有坐标原点为圆心的圆。
当圆的圆心不位于坐标原点时，我们可以采用平移的方法将圆心平移到坐标原点，从而得到方程标准式。
平移操作只会改变圆心的坐标，而不会改变圆的大小和形状。
因此，圆的方程标准式是描述圆的常用形式之一。
对于圆的方程标准式，我们可以通过它来进行各种数学运算和几何分析。
1.圆的面积和周长计算。
由于圆的半径r已知，根据圆的面积公式和周长公式，我们可以直接计算出圆的面积和周长：面积：S = πr^2周长：C = 2πr其中，π是一个常数，约等于3.14159。
2.圆内外点的判断。
对于给定的点(x, y)，我们可以将其代入圆的方程标准式，计算左边和右边的值。
如果二者相等，则点在圆上；如果左边的值小于右边的值，则点在圆内；如果左边的值大于右边的值，则点在圆外。
3.圆与直线的交点和切线计算。
对于给定的直线方程，我们可以将其代入圆的方程标准式，将两个方程合并为一个方程。
最全面的圆的方程
圆的方程1、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->； （2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<； （3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。
3、 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.4、圆的直径式方程：已知1122(,)(,)A x y B x y 是圆的直径的两个端点，则圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=5、圆的参数方程及应用对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。
圆的一般式方程推导过程
圆的一般式方程推导过程《圆的一般式方程推导漫谈》嘿，朋友们！今天咱来唠唠圆的一般式方程的推导。
咱先从圆的标准方程说起哈，(x-a)²+(y-b)²=r²，这大家都熟吧。
这里的(a,b)就是圆心坐标，r 呢就是半径。
那怎么把它变成一般式呢？咱就一步一步来。
把括号展开，就得到x²-2ax+a²+y²-2by+b²=r²。
然后移项，把含 x 和 y 的放左边，常数放右边，就有x²+y²-2ax-2by+a²+b²-r²=0。
这时候咱再仔细瞅瞅，这里头x²和y² 的系数都是 1 呀。
那其他那些项呢，咱给它变个形。
把-2ax 写成-2a×x，-2by 写成-2b×y，a²+b²-r² 就当成一个常数 D。
这下子是不是有点感觉啦？就变成了x²+y²-2ax-2by+D=0。
咱再深入想想，这其实就像是搭积木一样，把各种小块拼起来，就成了一个圆的一般式方程啦。
你看哈，在生活中也有很多这样的例子。
比如说包饺子，那饺子皮就是个圆吧，咱得把各种馅料放进去，包起来，才成了一个完整的饺子。
这圆的一般式方程就像是包好的饺子，里面有各种不同的成分，但组合起来就是个美味的饺子，哦不，是圆的方程。
再比如说画画，画个圆也不是一下子就画好的呀，得一笔一笔地勾勒，慢慢地就呈现出一个圆的形状。
这和推导圆的一般式方程一样，都是一步一步来，最后才有了那个完美的结果。
其实数学里很多东西都是这样，看着挺复杂，但只要咱耐心去拆解，去琢磨，总能找到其中的门道。
总之呢，圆的一般式方程的推导就是这么个过程，从标准方程一步一步变过来，就像变魔术一样神奇。
大家以后再看到圆的一般式方程，可别头疼啦，就想想包饺子、画画这些好玩的事儿，就会觉得数学也没那么难嘛。
圆的解析式及应用
圆的解析式及应用圆是平面几何中最基本的几何图形之一，其解析式和应用广泛存在于数学和实际问题中。
下面我将详细介绍圆的解析式及其应用。
圆的解析式：在平面直角坐标系中，圆可以用解析式表示为：(x-a)²+ (y-b)²= r²其中，(a,b)是圆心坐标，r是半径。
应用1：图形的描述圆的解析式可以描述空间中的一个圆，通过确定圆心和半径，我们可以唯一确定一个圆。
这在制图、空间坐标定位等方面具有重要作用。
应用2：方程的求解在代数方程的求解中，圆的解析式可以用来表达方程的解集。
例如，对于方程组：(x-a)²+ (y-b)²= r²(x-p)²+ (y-q)²= s²其中(a,b)和(p,q)是已知点，r和s是已知半径，我们可以通过求解这个方程组得到同时满足两个圆的交点。
应用3：曲线的绘制根据圆的解析式，我们可以绘制出各种圆形曲线。
例如，当圆心是坐标原点(0,0)时，圆的解析式可以简化为：x²+ y²= r²这是一个以原点为中心、半径为r的圆形曲线。
在计算机图形学和数据可视化等领域，我们可以利用圆的解析式绘制出各种样式的圆形曲线。
应用4：几何推理圆的解析式在几何推理中也有重要应用。
通过对圆的解析式进行运算和推导，我们可以得出圆的性质和定理，如切线定理、弦长公式等。
这些定理在解决几何问题和证明几何命题时起到了关键作用。
应用5：物理学中的应用在物理学中，圆的解析式也有广泛应用。
例如，在力学中，通过圆的运动方程可以描述物体做圆周运动的轨迹和受力情况。
在电磁学中，圆的解析式可以用来表达和分析磁场的分布和变化。
在声学中，圆的解析式可以用来描述声波的传播和反射。
总结：圆的解析式以及其应用广泛存在于数学和实际问题中，不仅可以描述图形和方程，还可以用于曲线绘制、几何推理和物理学等领域。
通过深入理解圆的解析式及其应用，我们可以更好地理解和应用数学知识，并在解决实际问题中发挥作用。
已知半径 最小二乘法拟合圆公式推导及其实现
已知半径最小二乘法拟合圆公式推导及其实现一、引言在实际生活和工作中，我们经常会遇到需要拟合圆的问题，例如在图像处理、工程测量、地理信息系统等领域。
而已知圆的半径后，我们可以使用最小二乘法来拟合一个圆，从而得到圆心和半径的估计值。
本文将介绍已知圆的半径时，最小二乘法拟合圆的公式推导及其实现方法。
二、最小二乘法拟合圆公式推导1. 圆的一般方程设圆的方程可表示为：(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
2. 圆的参数方程圆的参数方程可表示为：x = a + r * cos(θ)，y = b + r * sin(θ)，其中θ为参数。
3. 最小二乘法拟合圆原理已知若干个点(xi, yi)，我们需要找到圆心(a, b)和半径r，使得所有点到圆的距离之和最小。
4. 使用最小二乘法拟合圆（1）定义误差函数设点(xi, yi)到圆的距离为di，误差函数可表示为：E = ∑(di - r)²。
（2）最小二乘法求解将参数方程带入误差函数，对E关于a、b和r求偏导数，并令偏导数为0，即可得到圆心(a, b)和半径r的估计值。
5. 拟合圆公式推导通过最小二乘法的求解过程，可以得到拟合圆的公式：a = (x¯ - r * cos(θ¯))b = (y¯ - r * sin(θ¯))r = sqrt((x¯ - a)² + (y¯ - b)²)其中(x¯, y¯)为所有点的平均坐标，θ¯为参数的平均值。
三、实现方法1. 数据预处理我们需要对已知的点坐标(xi, yi)进行数据预处理，计算出平均坐标(x¯, y¯)，并求出参数的平均值θ¯。
2. 最小二乘法求解将已知的点坐标(xi, yi)带入拟合圆的公式中，使用最小二乘法求解圆心(a, b)和半径r。
圆的标准方程圆的直径式方程推导过程
求以M1M
为直径的圆的方程.
2
设圆上除M1, M 2以外的任一点M (x, y)， 我们知道，直径所对的圆周角为900；
即M1M与M 2M垂直，所以M1M M 2M =0.
高中数学系列微课的理论与实践研究课题组
例题：已知两点M1(4,9)和M2 (6,3)，
求以M1M
为直径的圆的方程.
2
因为M1(4,9), M 2 (6,3)，所以M1M (x 4, y 9), M2M (x 6, y 3)；得(x 4)(x 6) ( y 9)( y 3) 0
高中数学系列微课的理论与实践研究课题组
例题：已知两点M1(4,9)和M2 (6,3)，
求以M1M
为直径的圆的方程.
2
将点M
1
,
M
的坐标代入方程，
2
等号依然成立，所以方程
(x 4)(x 6) ( y 9)( y 3) 0 即为所求圆的直径式方程.
高中数学系列微课的理论与实践研究课题组
高中数学系列微课的理论与实践研究课题组
点评
通过对课本例题解法的进一 步挖掘，我们学会了用圆的直径 式方程求解此类问题，培养了同 学们探究问题的意识.
高中数学系列微课的理论与实践研究课题组
谢谢观看！
圆的直径式方程推导过程高中数学系列微课的理论与实践研究课题组之前我们学习了圆的标准方程在知道圆的圆心坐标和圆的半径后我们能通过圆的标准方程式得出该圆的方程
圆的标准方程 ：
圆的直径式方程推导过程
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引例
例题：已知两点M1(4,9)和M2 (6,3)，
求以M1M
为直径的圆的方程.
2
圆方程知识点总结
圆方程知识点总结一、圆的基本概念1.1 圆的定义在平面几何中，圆是一个平面上距离一个给定点（圆心）恒定距离的所有点的集合。
这个距离被称为圆的半径。
圆的直径是圆上两个点之间的最大距离，它等于半径的两倍。
1.2 圆的性质（1）圆的直径是圆的最长线段，它恰好将圆分为两个相等的半圆。
（2）圆的任意一条半径都与圆上的任意一点相连，这个半径就是这个点到圆心的距离。
（3）圆的所有直径均相等。
（4）圆上的所有弦都可以把圆分成两个部分，而且这两个部分的面积和相等。
1.3 圆的常见术语在讨论圆方程的时候，我们会使用一些特定的术语来描述圆的性质和位置关系。
下面是一些常见的圆相关术语：（1）圆心：圆的中心点，用O表示。
（2）半径：圆心到圆上任意一点的距离，用r表示。
（3）直径：穿过圆心的两个端点在圆上的线段，用d表示。
（4）弦：连接圆上两点的线段。
（5）弧：圆上两点之间的曲线部分。
二、圆方程的基本形式在平面直角坐标系中，圆的方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
这就是圆的标准方程形式。
这个方程说明了圆上的任意一点(x, y)到圆心的距离等于半径r。
在笛卡尔坐标系中，任意一条线段的长度可以根据两点的坐标差的平方根计算，所以这个方程实际上是在描述点(x, y)到点(h, k)的距离，然后判断这个距离是否等于半径r。
例如，一个圆心在坐标系原点，半径为3的圆的方程就可以表示为：因为圆心在原点，所以h=0，k=0，半径为3，所以r=3。
所以这个方程描述了所有距圆心距离为3的点的集合，即圆形。
三、圆方程的推导圆的方程可以通过几何推导和代数推导得到。
3.1 几何推导圆的方程可以通过几何推导得到。
如果圆心是坐标系原点，半径为r，那么圆上任意一点(x, y)到圆心的距离等于r。
这可以用勾股定理来表示：(x - 0)² + (y - 0)² = r²简化得到：x² + y² = r²这就是圆心在原点的圆的方程。
圆的标准方程推导过程
圆的标准方程推导过程圆是几何中的一种重要图形，它由平面上一点到固定点的距离恒为常数的所有点构成。
圆的标准方程具有一般性，能完整描述圆的几何特征。
标准方程最常用于解决与直线和圆相关的几何问题。
为了推导圆的标准方程，首先需要理解圆的定义和性质。
根据定义，圆可以由半径和圆心唯一确定。
假设圆心坐标为(h,k)，半径为r，则圆上任意一点的坐标为(x,y)。
根据点到点的距离公式，该点到圆心的距离为：D=√((x-h)²+(y-k)²)根据圆的定义，我们可以得到如下等式：D=r将两式合并，可以得到圆的标准方程形式：r=√((x-h)²+(y-k)²)然而，这个方程并不具有标准化的形式，因为其中包含了平方根运算。
为了消除平方根运算，我们需要进行一系列推导和变换。
首先，平方根运算将被消去的条件是平方根的内部是个完全平方数，即可被开方的数。
为了使这个条件成立，我们用x-h除以r，并对其进行平方：(x-h)²=r²-(y-k)²将(r-y+k)(y-k)看成一个差的平方，即可将上式简化为：(x-h)²=r²-(y-k)²=(r-(y-k))(r+(y-k))接下来，我们对两边同时开方，得到：√((x-h)²)=±√((r-(y-k))(r+(y-k)))这样一来，方程就被消去了平方根运算。
接下来要做的是将方程进行整理。
从上式可以看出，x-h是以r为单位的长度，它表示点(x,y)与圆心的横向距离。
同理，y-k表示点(x,y)与圆心的纵向距离。
将整理后的方程展开，可以得到：(x - h)² = r² - y² + 2yk - k²展开方程以后，再次整理，我们可以得到：x² - 2xh + h² = r² - y² + 2yk - k²进一步整理，得到：x² + y² - 2xh - 2yk + h² + k² - r² = 0由于h²+k²-r²是固定的常数，我们可以将其用一个字母C代替，这样就得到标准方程的形式：x² + y² - 2xh - 2yk + C = 0其中，(h,k)是圆心的坐标，r是半径的长度，C是一个常数。
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圆的方程一般式x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0
标准式(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
设有两个圆C1: x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0与C2 :x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0圆系方程就是过已知两个圆的交点的圆的方程x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1)
首先这个方程代表一个圆。
其次，C1C2的交点A,B满足这个方程。
这是因为A在C1上，所以A的坐标代进C1的式子一定等于0而A也在C2上，所以A的坐标代进C2的式子一定等于0把C1的方程加上λ倍的C2的方程就是上面的圆系方程，所以A在圆系方程代表的圆上。
同理，B也在圆系方程代表的圆上。
所以圆系方程代表过C1C2交点的圆的方程。
要注意的是，这个圆系方程不包括C2。
因为不管λ取多少，D1，E1，F1这些C1中的量都不可能去掉，所以表示不了C2。
但可以表示C1，只要取λ=0。