圆的方程及圆系方程的推导与应用
第45讲 圆的方程
忽视方程表示圆的条件致误; 对圆心位置的可能情况考虑不全致误;找错ຫໍສະໝຸດ Baidu径致误.
课前双基巩固
[错点总结]
例1 (1)若直线3x-4y+12=0与x轴、y轴的交点分别为A,B,则过A,B及原点O三点的圆的方程是 .
课堂考点探究
考点一 圆的方程的求法
(x-1)2+y2=2
课堂考点探究
练习1 圆心为(2,1)且与x轴相切的圆的标准方程是 ( )A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x+2)2+(y+1)2=1C.(x-2)2+(y-1)2=5D.(x+2)2+(y+1)2=5
[解析] 圆心为(2,1)且与x轴相切的圆的半径为1,故所求圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1,故选A.
课堂考点探究
考点三 与圆有关的轨迹问题例3 (1)若圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称,过点C(-a,a)的圆P与y轴相切,则圆心P的轨迹方程是( )A.y2-4x+4y+8=0 B.y2+2x-2y+2=0C.y2+4x-4y+8=0 D.y2-2x-y-1=0
课堂考点探究
考点二 与圆有关的最值问题
解:(1)由x2+y2-4x-14y+45=0得(x-2)2+(y-7)2=8,则圆心为C(2,7),半径r=2.设m+2n=t,将m+2n=t看成直线的方程,∵该直线与圆C有公共点,∴圆心C到直线的距离d=≤2,解得16-2≤t≤16+2,∴m+2n的最大值为16+2.
圆系方程及其应用2012.10.11
圆系方程及其应用
一．常见的圆系方程有如下几种：
1．以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>
与圆22+0x y Dx Ey F +++=同心的圆系方程为：22+0x y Dx Ey λ+++=
2．过直线:0l ax by c ++=与圆22:+0C x y Dx Ey F +++=交点的圆系方程为：
22++0x y Dx Ey F ax by c R λλ+++++=∈（）（）
（1）当直线l 与圆C 交于,A B 两点时，圆系中的所有圆是以AB 为公共弦的一系列相交圆，其圆心在
公共弦AB 的垂直平分线上；
（2）当直线l 与圆C 切于点A 时，这时圆系的圆心(,)22
D a
E b M λλ++--， (,)(,)(,)(,)2222222
D a
E b D E a b CM OM OC a b λλλλλ++=-=-----=--=- 而直线l 的法向量(,)n a b =，∴=2
CM n λ-，∴n ∥CM 因此，CM l ⊥，且直线l 为圆C 的过点A 的切线．
又∵CA l ⊥（过切点的半径与切线垂直），∴CA 与CM 重合．
由此可知，圆系中的所有圆（除圆C 外）与圆C 内切或外切于点A ，直线l 是它们的公切线， 圆
心都在直线CA 上．
3．过两圆221111:+0C x y D x E y F +++=与222222:+0C x y D x E y F +++=交点的圆系方程为：
()()2222111222++01x y D x E y F x y D x E y F λλ+++++++=≠-．
高二数学必修二 第四章 圆与圆的方程知识点总结
第四章 圆 与 方 程
★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }
★2、圆的方程
（1
点00(,)M x y 与圆222
()()x a y b r -+-=的位置关系：
当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2
r ，点在圆上 当2200()()x a y
b -+-<2
r ，点在圆内; （2 （x+D/2)+(y+E/2)=(D +E -4F)/4 （042
2
>-+F E D ）
当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=
当0422
=-+F E D
时，表示一个点；
当042
2<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：
①待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；
②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为
相离
与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线k ，
人教A版高中数学必修二课件：圆的方程的综合应用 (共49张PPT)
所以EF 15 132 d 2 142 d 2， 即 132 d 2 142 d 2 1 8，解得d 2 1615，
16 所以点O到直线l的距离为 1615 .
4
3.动圆性质的探究
【3】已知t∈R，圆 C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0. (1)若圆C圆心在直线x－y＋2＝0上，求圆C的方程； (2)圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标； 如果不过定点，说明理由． 【解析】 (1)圆C的方程可化为(x－t)2＋(y－t2)2＝t4＋t2－4t＋4， 其圆心为(t，t2)， 则由题意有t－ t2＋2＝0，所以t＝－1或t＝2， 故圆C的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝10 或(x－2)2＋(y－4)2＝16.
令x 5，解得M 5,12，N (5，12)．则线段AM中
垂线的方程为y 6 2 x 17，令y 0，得圆弧
C2所在圆的圆心为O2 14, 0．
又圆弧C2所在圆的半径为r2 29 14 15，
所以圆弧C2的方程为 x 142 y2 225(x 5)．
2假设存在这样的点P(x，y)，则由PA 30PO，
B
2 1 -1 O -1
12 Ax
解：(1) 由已知可设直线 l :
x a
y b
1
(a 2 ，b 2 )
高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点总结
第四章 圆 与 方 程
★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }
★2、圆的方程
（1
点00(,)M x y 与圆222
()()x a y b r -+-=的位置关系：
当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2
r ，点在圆上 当2200()()x a
y b -+-<2
r ，点在圆内; （2 （x+D/2)2
+(y+E/2)2
=(D 2
+E 2
-4F)/4 （042
2>-+F E D ）
当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=
当0422
=-+F E D
时，表示一个点；
当042
2<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：
①待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；
②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为
圆的标准方程推导过程
圆的标准方程推导过程
圆是一种常见的几何图形，其标准方程可以用来描述圆的性质和位置。下面是圆的标准方程推导过程：
假设圆的圆心坐标为 (h, k)，半径为 r。
首先，我们可以利用勾股定理得出圆的半径 r 的平方：
r = (x - h) + (y - k)
将这个式子展开，得到：
r = x - 2hx + h + y - 2ky + k
然后，我们可以将式子中的 h 和 k 合并，得到：
r = x - 2hx + y - 2ky + (h + k)
将 r 和 (h + k) 合并，得到：
x - 2hx + y - 2ky = r - (h + k)
我们可以发现，这个式子左边与平面直角坐标系中的点到圆心的距离的平方相等，右边是一个常数。因此，这个式子描述的是距离圆心为 r 的所有点的集合，即圆。
我们可以用符号表示这个集合：
{(x, y) | (x - h) + (y - k) = r}
这就是圆的标准方程。
- 1 -
圆系方程及其应用
直线系、圆系方程
1、过定点直线系方程在解题中的应用
过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）. 例 1 求过点(14)P -，圆2
2
(2)(3)1x y -+-=的切线的方程． 分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.
解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=，
∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1
1=，
整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或3
04
A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．
点评：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: 00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．
练习： 过点(14)P -，作圆2
2
(2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程． 解：设所求直线l 的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=，
∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1
1=，
整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或3
过两圆交点的圆系方程推导
过两圆交点的圆系方程推导
为了推导出过两圆交点的圆系方程，首先需要了解什么是圆系方程。圆系方程是由一系列圆的方程组成的方程组。每个圆的方程包含三个未知数：圆心的横坐标和纵坐标，以及圆的半径。圆系方程的解即为同时满足所有圆的方程的点的集合。
在推导圆系方程之前，我们先来看一下两个圆之间的一些基本概念。设有两个圆，圆1的方程为(x-x1)^2 + (y-y1)^2 = r1^2，
圆2的方程为(x-x2)^2 + (y-y2)^2 = r2^2。其中(x1, y1)和(x2, y2)分别是两个圆的圆心坐标，r1和r2分别是两个圆的半径。那
么圆1和圆2的交点可以通过以下判断条件来得到：
1. 圆1和圆2相离：两个圆的半径之和小于两个圆心之间的距离，即r1 + r2 < √((x1-x2)^2 + (y1-y2)^2)。
2. 圆1和圆2相切：两个圆的半径之和等于两个圆心之间的距离，即r1 + r2 = √((x1-x2)^2 + (y1-y2)^2)。
3. 圆1和圆2相交：两个圆的半径之和大于两个圆心之间的距离，即r1 + r2 > √((x1-x2)^2 + (y1-y2)^2)。
在推导圆系方程时，我们假设有n个圆，它们的方程分别为：
(x-x1)^2 + (y-y1)^2 = r1^2
(x-x2)^2 + (y-y2)^2 = r2^2
...(x-xn)^2 + (y-yn)^2 = rn^2
我们的目标是找到所有同时满足上述n个圆的方程的点的集合。
现在，我们开始推导圆系方程。
设有两个圆的方程为(x-x1)^2 + (y-y1)^2 = r1^2和(x-x2)^2 + (y-y2)^2 = r2^2。我们可以将这两个圆的方程进行展开和整理，
圆的一般方程推导
圆的一般方程可以通过几何推导和代数推导两种方式得到。下面是代数推导的过程：
假设一个圆心坐标为(h, k)，半径为r。现在我们要推导出圆的一般方程。
1.假设圆上任意一点的坐标为(x, y)。
2.根据圆的定义，该点到圆心的距离等于半径：
√((x - h)^2 + (y - k)^2) = r
3.两边平方，消去根号：
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
4.展开方程：
x^2 - 2hx + h^2 + y^2 - 2ky + k^2 = r^2
5.整理项次序，并且合并常数项：
x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + (h^2 + k^2 - r^2) = 0
最终得到圆的一般方程：
x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + (h^2 + k^2 - r^2) = 0
其中，(h, k) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。
通过这个一般方程，我们可以得到圆在平面直角坐标系中的表示。当给定圆心和半径时，可以将具体的数值代入方程中，得到具体的圆。
圆系方程的理解与推导
圆系方程的理解与推导
在数学中，圆是一个非常重要的几何形状。圆的方程描述了在平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合。圆的方程有多种形式，下面将介绍其中两种常见的形式：标准圆方程和一般圆方程。
1. 标准圆方程：
标准圆方程表述为：(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径。这个方程说明了平面上距圆心的欧几里得距离
等于半径的点构成了圆。
推导标准圆方程的方法如下：
首先，假设圆心为(h, k)，半径为r。对于任意点(x, y)位于圆上，根据欧几里得距离的定义，有：
√((x - h)² + (y - k)²) = r
两边平方得：
(x - h)² + (y - k)² = r²
这就是标准圆方程。
2. 一般圆方程：
一般圆方程可以写为Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D、E为常数。这个方程描述了平面上满足该方程的点的
集合构成了圆。
推导一般圆方程的方法如下：
首先，假设圆心为(h, k)，半径为r。根据圆的定义，圆上的点
与圆心的距离应等于半径。因此，我们可以得到一个方程：
√((x - h)² + (y - k)²) = r
两边平方后展开，并移项，可得：
(x - h)² + (y - k)² - r² = 0
进一步展开并整理，可得：
x² + y² - 2hx - 2ky + (h² + k² - r²) = 0
将上式与一般圆方程进行比较，我们可以得到：
A = 1，
B = 1，
C = -2h，
D = -2k，
E = h² + k² - r²
圆的性质与圆的方程的应用
圆的性质与圆的方程的应用
圆是几何中的一种基本图形，具有独特的性质和广泛的应用。在本
文中，我们将探讨圆的性质和圆的方程的应用。
一、圆的性质：
1. 圆的定义：圆是平面上与某一点距离恒定的所有点的集合。这个
距离被称为圆的半径，用字母r表示，圆心用字母O表示，圆周上的
点用字母P表示。
2. 圆的直径和半径：圆的直径是连接圆上任意两点的线段，并且过
圆心的直径是圆的最长直径。圆的半径是圆心到圆周上任意一点的距离。
3. 圆的周长和面积：圆的周长是圆周的长度，可以通过2πr来计算，其中π是一个常数，约等于3.14。圆的面积是圆内部的区域，可以通
过πr²来计算。
4. 圆的切线和弦：切线是与圆只有一个交点的直线，这个交点处的
切线与半径垂直。弦是连接圆上任意两点的线段，且不经过圆心。
二、圆的方程的应用：
1. 圆的方程：圆的方程可以用不同的形式表示，其中最常见的是标
准方程和一般方程。
- 标准方程：对于圆心在坐标系原点的圆，其标准方程是 x² + y² = r²，其中r为半径。
- 一般方程：对于圆心不在坐标系原点的圆，其一般方程是 (x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)代表圆心的坐标。
2. 圆与直线的关系：圆与直线有多种交点关系，其中包括相切、相
离和相交。
- 相切：当直线只与圆的一点或多个交点重合时，称直线与圆相切。
- 相离：当直线与圆没有交点时，称直线与圆相离。
- 相交：当直线与圆有两个交点时，称直线与圆相交。
3. 圆的应用：圆的性质和方程在日常生活和各个领域都有广泛的应用。
- 工程：圆形构件和装置在建筑、机械和电子等工程领域中广泛使用。例如，车轮、齿轮和电动机都是基于圆的原理工作。
圆的标准方程圆的直径式方程推导过程
例题：已知两点M1(4,9) 和M 2 (6,3)， 求以M1M 2为直径的圆的方程.
将点M1, M 2的坐标代入方程， 等号依然成立，所以方程 (x ? 4)(x ? 6) ? ( y ? 9)( y ? 3) ? 0 即为所求圆的直径式方程.
高中数学系列微课的理论与实践研究课题组
圆的标准方程 ：
圆的直径式方程推导过程
微课爱我 我爱微课
引例
例题：已知两点M1(4,9) 和M 2 (6,3)，
求以M
1M
为直径的圆的方程
2
.
之前，我们学习了圆的标准方程，在知道圆的 圆心坐标和圆的半径后，我们能通过圆的标准方程 式得出该圆的方程；那么，当我们知道圆的直径上 两端点坐标时，是否可以直接得到此圆的方程呢？
设圆上除M1, M 2以外的任一点M (x, y)， 我们知道，直径所对的圆周角为 900； 即M1M与M 2M垂直，所以M1M ?M 2M =0.
高中数学系列微课的理论与实践研究课题组
例题：已知两点M1(4,9) 和M 2 (6,3)， 求以M1M 2为直径的圆的方程.
因为M1(4,9), M 2 (6,3)，所以M1M ? (x ? 4, y ? 9), M 2M ? (x ? 6, y ? 3)；得(x ? 4)( x ? 6) ? ( y ? 9)( y ? 3) ? 0
数学圆的方程
数学圆的方程
圆的方程是描述平面上一个圆的标准数学公式。在二维坐标系中，一个圆可以用其圆心和半径来唯一确定。
标准方程：
圆的标准方程是(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。这个方程描述了所有与圆心距离等于r 的点(x, y) 的集合。
一般方程：
圆的一般方程是x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D, E, 和F 是常数。这个方程可以通过配方转化为标准方程，从而找出圆心和半径。圆心坐标可以通过公式(-D/2, -E/2) 计算，半径r 可以通过公式r = sqrt((D^2 + E^2 - 4F) / 4) 计算（注意：这个公式仅在方程确实描述一个圆时有效，即D^2 + E^2 - 4F > 0）。
圆的参数方程是另一种描述圆的方式，它用参数t（通常是角度）来表示圆上的点。参数方程是x = h + r * cos(t) 和y = k + r * sin(t)，其中(h, k) 是圆心坐标，r 是半径，t 是参数（通常取值范围是0 到2π）。
★★圆中典型问题及方法
数学思维与训练 高中（二）
—— 圆中典型问题及方法
【基本概念】
一、圆的方程
（1）圆的标准方程
圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2
.
说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程
二次方程x 2+y 2
+Dx +Ey +F =0.（*）将（*）式配方得
（x +
2
D ）2
+（y +
2
E ）2
=
4
42
2
F
E D
-+.
当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－
2
D ，－
2
E ），半径r =
2
1F
E
D
42
2
-+的圆，把方程x 2
+y 2
+Dx +Ey +F =0（D 2
+E 2
－4F ＞0）叫做圆的一般方程.
说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点： a. x 2、y 2项系数相等且不为零.
b. 没有xy 项.
（2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－
2
D ，－
2
E ），当D 2+E 2－4
F ＜0时，
方程（*）不表示任何图形.
（3）据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程.
（3）圆的参数方程
①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ，
y =r sin θ O 1（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ，
y =b +r sin θ
说明：在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.
圆系方程的推导及拓广
C1
:
x2
+
y2
+
d1x + e1 y
+
f1
=
0
⇒
O1 (−
d1 2
，−
e1 ) 2
⇒
OO1
=
(−
d1 2
，−
e1 2
)
且
C2
:
x2
+
y2
+
d2 x
+ e2 y
+
f2
=
0
⇒
O2 (−
d2 2
，−
e2 2
)
⇒
OO2
=
(−
d2 2
，−
e2 2
)
由 O1 ， O2 及 O3 三点共线，
得 OO3 = α OO1 + β OO2 ，其中 α + β = 1 ． 因此，
i=1 k 2 + 1
2
∑ 设
f
(x)
=
x ，x ∈ (0 ，+ ∞) x2 +1
，则和式
n i =1
k k2 +1
可
以看作是以 f (i) (i = 1，2 ， ，n) 为长，1 为宽的长方形
面积．在图 1 中，根据积分定义有
∑ ∫ n k > n f (x)dx = 1 [ln(n2 +1) − ln 2]
最全面的圆的方程
圆的方程
1、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.
2、点与圆的位置关系：
已知点()00M ,x y 及圆()()()22
2C 0：x-a y b r r +-=>，
（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->； （2）点M 在圆C 内⇔()()22
200CM r x a y b r <⇔-+-<； （3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()2
20y b r +-=。 3、 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .
当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2
422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝
⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.
注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.
4、圆的直径式方程：已知1122(,)(,)A x y B x y 是圆的直径的两个端点，则圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=
5、圆的参数方程及应用
对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式
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圆的方程一般式x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0
标准式(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
设有两个圆C1: x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0与C2 :x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0圆系方程就是过已知两个圆的交点的圆的方程x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1)
首先这个方程代表一个圆。其次，C1C2的交点A,B满足这个方程。这是因为A在C1上，所以A的坐标代进C1的式子一定等于0而A也在C2上，所以A的坐标代进C2的式子一定等于0把C1的方程加上λ倍的C2的方程就是上面的圆系方程，所以A在圆系方程代表的圆上。同理，B也在圆系方程代表的圆上。所以圆系方程代表过C1C2交点的圆的方程。要注意的是，这个圆系方程不包括C2。因为不管λ取多少，D1，E1，F1这些C1中的量都不可能去掉，所以表示不了C2。但可以表示C1，只要取λ=0。