《高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何同步作业》课时作业16

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【推荐下载】高三数学选修2-1第3章空间向量与立体几何专项练习(带答案)

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高三数学选修2-1第3章空间向量与立体几何专项练习（带答案）
空间向量与立体几何知识点是高中必考知识点之一，以下是第3章空间向量与立体几何专项练习，希望对大家有帮助。

一、填空题
1.判断下列各命题的真假：
①向量AB的长度与向量BA的长度相等;
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反;
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同;
④两个有公共终点的向量，一定是共线向量;
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中假命题的个数为________.
2.已知向量AB，AC，BC满足|AB|=|AC|+|BC|，则下列叙述正确的是________.(写出所有正确的序号)
1。

高中数学选修2-1(人教A版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习及答案

描述：例题：高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法一、学习任务1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量．2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系．3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系．4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体会向量方法在研究几何问题中的作用．二、知识清单异面直线所成的角线面角二面角三、知识讲解1.异面直线所成的角设直线是异面直线，过空间一点分别作直线的平行线，我们把直线所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角，或异面直线的夹角．a ,b O a ,b ,a ′b ′,a ′b ′a ,b a ,b 如图，在正方体中，求：（1）异面直线与所成的角；（2）与所成的角．解：（1）因为，而，所以，即与所成角为．（2）如下图，连接，，因为，所以与所成的角即为与所成的角．又，所以为正三角形，所以和所成的角为，即与所成的角为．ABCD −A 1B 1C 1D 1AB A 1D 1A D 1D C 1∥AB A 1B 1⊥A 1D 1A 1B 1⊥AB A 1D 1AB A 1D 190∘A B 1B 1D 1A ∥D B 1C 1A B 1A D 1D C 1A D 1A =A =D 1B 1B 1D 1△AB 1D 1A D 1A B 160∘A D 1DC 160∘A1D平面平行，或在平面内，则称直线和平面所成的角是AP P求直线与平面∠AP B=∠APRt△AP D描述：例题：3.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱、面分别为，的二面角记作二面角．有时为了方便，也可在，内（棱以外的半平面部分）分别取点，，将这个二面角记作二面角．如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或．在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．AB αβα−AB −βαβP Q P −AB −Q l α−l −βP −l −Q α−l −βl O O αβl OA OB OA OB ∠AOB 如图，在正方体中，，，，分别是，，和的中点．（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正切值．解：（1）因为，均为所在棱的中点，所以．而，所以．又因为，均为所在棱的中点，所以和均为等腰直角三角形．所以，所以，，故．而，所以．（2）在平面中，过点作于点，连接．由（1）知，又，所以．ABCD −A 1B 1C 1D 1E F M N A 1B 1BC C 1D 1B 1C 1平面 MNF ⊥平面 ENF M −EF −N N F NF ⊥平面 A 1B 1C 1D 1MN ⊂平面 A 1B 1C 1D 1NF ⊥MN M E △MN C 1△NE B 1∠MN =∠NE =C 1B 145∘∠MNE =90∘MN ⊥NE MN ⊥平面 NEF MN ⊂平面 MNF 平面 MNF ⊥平面 NEF NEF N NG ⊥EF G MG MN ⊥平面 NEF EF ⊂平面 NEF MN ⊥EFEF ⊥ MNGM−EF−N||n。

高中数学(北师大版选修2-1)配套课时作业第三章空间向量与立体几何章末检测(A) Word版含答案

第三章圆锥曲线与方程()(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．椭圆＋＝的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值是()．．．设椭圆＋＝ (>，>)的右焦点与抛物线＝的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为()＋＝＋＝＋＝＋＝．已知双曲线－＝(>，>)的一条渐近线方程是＝，它的一个焦点在抛物线＝的准线上，则双曲线的方程为()－＝－＝－＝－＝．若双曲线－＝ (≠)的离心率为，它的一个焦点与抛物线＝的焦点重合，则的值为()．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为()，则双曲线的标准方程为()－＝－＝－＝－＝．设>，则双曲线－＝的离心率的取值范围是()．(，) ．(，)．() ．(，)．若△是等腰三角形，∠＝°，则以、为焦点且过点的双曲线的离心率为()．＋．＋．设为抛物线＝的焦点，、、为该抛物线上三点，若＋＋＝，则＋＋等于()．．．．．若动圆圆心在抛物线＝上，且动圆恒与直线＋＝相切，则动圆必过定点()．() ．()．() ．(，－)．已知椭圆 α－ α＝ (≤α<π)的焦点在轴上，则α的取值范围是()题号答案二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．椭圆的两个焦点为、，短轴的一个端点为，且三角形是顶角为°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为．．过抛物线＝(>)的焦点作倾斜角为°的直线交抛物线于、两点，若线段的长为，则＝.．设椭圆＋＝(>>)的左、右焦点分别是、，线段被点分成∶的两段，则此椭圆的离心率为．．双曲线－＝截直线＋＝所得弦长为，则双曲线的实轴长是．．对于曲线：＋＝，给出下面四个命题：①曲线不可能表示椭圆；②当<<时，曲线表示椭圆；③若曲线表示双曲线，则<或>；④若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则<<.其中所有正确命题的序号为．三、解答题(本大题共小题，共分)．(分)已知点在椭圆＋＝上，′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为′，并且为线段′的中点，求点的轨迹方程．。

高中数学人教A版选修2-1第三章空间向量与立体几何同步训练

高中数学人教A 版选修2-1第三章空间向量与立体几何同步训练一、单选题1．若a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1, -2y ，9)，如果a 与b 为共线向量，则A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝-12C ．x ＝16，y ＝－32 D ．x ＝－16，y ＝32 2．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A ．1 B ．15 C ．35 D ．75 3．如图,在平行六面体ABCD -1111A B C D 中,点M,P,Q 分别为棱AB ,CD,BC 中点,若平行六面体的各棱长均相等,给出下列说法:①1A M ∥1D P ;②1A M ∥1B Q ;③1A M ∥ 平面11DCC D ;④1A M ∥ 平面11D PQB ,则以上正确说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．已知两平面的法向量分别为(0,1,0)m =，(0,1,1)n =，则两平面所成的二面角为（）A ．45︒B ．135︒C ．45︒或135︒D ．90︒5．如图所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A ．12B ．22C ．13D ．166．在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝3，BC ＝1，D 是边AC 上的一点，则BD AC ⋅的取值范围是（）A ．21,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．521,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．215,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 7．已知A (－1,1,2)，B (1,0，－1)，设D 在直线AB 上，且2AD DB =，设C (λ，13＋λ，1＋λ)，若CD ⊥AB ，则λ的值为( )A ．116B ．－116C ．12D ．13 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 的中点，M （非端点,B C ）是棱BC 上的动点．过点,,A M E 作截面四边形交棱1DD 于N （非端点,D 1D ）．设二面角N AM D --的大小为α，二面角--M AN D 的大小为β，二面角A NE D --的大小为γ，则（）A ．γβα>>B ．βγα>>C ．βαγ>>D ．γαβ>>9．长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AD AA E ===为棱1AA 的中点，则直线1C E 与平面11CB D 所成角的余弦值为（）A 6B 53C ．53D ．2310．如图在四面体OABC 中，M ，N 分别在棱OA ，BC 上且满足2OM MA =，2BN NC =，点G 是线段MN 的中点，用向量OA ，OB ，OC 表示向量OG 应为（）A ．111363OG OA OB OC =++ B ．111336OG OA OB OC =++ C ．111344OG OA OB OC =++ D ．111443OG OA OB OC =++ 11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P 平面1A BM ，则1C P 的最小值是（）A ．30B ．230C ．275D ．47512．如图，已知四面体ABCD 为正四面体，2,AB E F =，分别是,AD BC 中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（）.A ．1B 2C 3D ．2二、填空题13．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为__________.14．如图，直三棱柱111ABC A B C -中,12AA =，1AB BC ==， 90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点.有下列判断：① 直线AC 与直线1C E 是异面直线；②1A E 一定不垂直1AC ；③ 三棱锥1E AAO -的体积为定值； ④1AE EC +的最小值为22. 其中正确的序号序号是______.15．在空间四边形ABCD 中，连接AC 、BD ,若BCD 是正三角形，且E 为其中心，则1322AB BC DE AD +--的化简结果为________．16．如图，在正方体1111A BCD A B C D -中，点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点，给出下列说法：PQ ①可能与平面11CDD C 平行；PQ ②与BC 所成的最大角为3π； 1CD ③与PQ 一定垂直；PQ ④与1DD 所成的最大角的正切值为5； 2PQ AB ≥⑤．其中正确的有______.(写出所有正确命题的序号)17．如图，三棱锥A BCD -中，10AC AD BC BD ====，8AB =，12CD =，点P 在侧面ACD 上，且到直线AB 的距离为21，则PB 的最大值是_______．三、解答题18．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB =，1AD CD ==，E 是PB 上一点.（1）求证:平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --6，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值. 19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，,E F 分别是1,CC BC 的中点.(1)若D 是1AA 的中点，求证：BD 平面AEF ；(2)若M 是线段AE 上的任意一点，求直线1B M 与平面AEF 所成角正弦的最大值.20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，点P 为棱11B C 的中点，点Q 为线段1A B 上一动点.（Ⅰ）求证：当点Q 为线段1A B 的中点时，PQ ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）设1BQ BA λ=，试问：是否存在实数λ，使得平面1A PQ 与平面1B PQ 所成锐二面角的余弦值为3010？若存在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由. 21．如图，在四棱锥S ABCD -中，290,22,6,DAB ADC ABD CB BD SD SB SD BC ︒∠=∠=∠=====⊥（1）求证：平面SBC ⊥平面SBD（2）已知点P 在线段SC 上，且CP CSλ=，若平面与平面SBD 所成的二面角大小为60︒，求λ的值 22．如图1，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD DC ⊥，22BC AD DC ==，四边形ABEF 是正方形.将正方形ABEF 沿AB 折起到四边形11ABE F 的位置，使平面11ABE F ⊥平面ABCD ，M 为1AF 的中点，如图2. 图1图2（1）求证:AC BM ⊥；（2）求平面1CE M 与平面11ABE F 所成锐二面角的余弦值.参考答案1．C∵a =（2x ，1，3）与b =（1，﹣2y ，9）共线，故有21x =12y -=39． ∴x=16，y=﹣32． 2．D 试题分析：由的坐标可得，，两向量互相垂直则，即()312220k k ⨯-+⨯-⨯=，解得75k =． 3．C连接PM ，因为M 、P 为AB 、CD 的中点，故PM 平行且等于AD ．由题意知AD 平行且等于11A D ．故PM 平行且等于11A D ．所以11PMA D 为平行四边形，故①正确．显然1A M 与1B Q 为异面直线．故②错误．由①知1A M ∥1D P ．由于1D P 即在平面11DCC D 内，又在平面11D PQB 内．且1A M 即不在在平面11DCC D 内，又不在平面11D PQB 内．故③④正确 4．C∵两平面的法向量分别为 010011m n ==（，，），（，，），则两平面所成的二面角与m n ＜，＞相等或互补2,212m n cos m n m n ⋅===⋅⋅＜，＞故45m n =︒＜，＞.故两平面所成的二面角为45°或135°5．C以D 为坐标原点，直线1DA DC DD ，，分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则()1101A ，，，()1001D ，，,()100A ，，，()020C ，， E 为AB 的中点，则()110E ，， ()1111D E ∴=-，，，()120AC =-，，，()1101AD =-，，设平面1ACD 的法向量为()n a b c =，，，则100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩ 可得2a b a c=⎧⎨=⎩ 可取()212n =，， ∴点E 到面1ACD 的距离为1212133D E n d n ⋅+-=== 6．D因为D 是边AC 上的一点(包括端点)，∴设()1BD BA BC λλ=+- (01)λ≤≤ ∵∠ABC ＝120°，AB ＝3，BC ＝1，∴133122BA BC ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴()()1BD AC BA BC BC BA λλ⎡⎤⋅=+-⋅-⎣⎦()()22511132BA BC BA BC BC BA λλλλλ=⋅-+---⋅=-+ ∵01λ，∴215513222λ--+.∴BD AC ⋅的取值范围是215,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选D. 7．B设D (x ，y ，z )，则＝(x ＋1，y －1，z －2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x ，－y ，－1－z )， ∵＝2，∴∴∴D (，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)， ∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－．8．B解：不妨设正方体棱长为4，3MC =，则2CE =，设MA DC O =，直线OE 交1D D 于N ，显然有OCE ODN ~，OCM ODA ~，OEM ONA ~，所以3,,1244CM CO OC OC DA OD OC ===+， 2222312153MO MC CO +=+=，过C 作CG OM ⊥于G ,连结EG ,根据三垂线定理，则EG OM ⊥，则CGE α∠=，在COM 中，根据等面积法有,312153CM CO OM CG CG ⋅=⋅⨯=，CG==2tan36CECGα===，OE==过C作CH OE⊥于H,连结MH,根据三垂线定理，则MH OE⊥，则CHMγ∠=，在COE中，根据等面积法有,212CE CO OE CH CH⋅=⋅⨯=，CG==tanCMCHγ===，213EM=，过C作CP ME⊥于P,连结OP,根据三垂线定理，则ME OP⊥，因为平面11//ADD A平面11BCC B，则OPCβ∠=，在CME△中，根据等面积法有,23CE CM ME CP CP⋅=⋅⨯=，CP==12tan62COCPβ===，tan tan tanβγα==>=>=βγα>>9．A则：1C E (1,1,1)=--设平面11B D C 的法向量为n (,,)x y z =则100n B D n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得：020x y x z --=⎧⎨--=⎩ 取n (2,2,1)=-- 则1,cos n C E =11n C En C E ⋅5333==⋅ 设直线1C E 与平面11B D C 的夹角为θ 则53sin θ=261sin cos θθ=-=. 10．A解：∵在四面体OABC 中，,M N 分别在棱OA 、BC 上，且满足2OM MA =， 2BN NC =，点G 是线段MN 的中点，∴11122223OG OM ON OA =+=⨯+12111()23363OB BC OA OB OC ⨯+=++. 11．B如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD//DN BM ，1//DQ A M 且DN DQ D =，1BM A M M =∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值此时，22512CP ==+ 2212230255C P ⎛⎫∴≥+= ⎪⎝⎭ 12．A补成正方体，如图.,EF α⊥∴截面为平行四边形MNKL ,可得2NK KL +=，又//,//,MN AD KL BC 且,AD BC KN KL ⊥∴⊥可得L MNK S NK KL =⋅四边形2()1,2NK KL +≤=当且仅当NK KL =时取等号，选A. 13．1-由题意，设,,PA a PB b PC c ===，建立空间的一个基底{},,a b c ，在正四面体中1(),2PE a b BC c b =+=-，所以211()()()22PE BC a b c b a c a b b c b ⋅=+⋅-=⋅-⋅+⋅- 0001(22cos6022cos6022cos6022)12=⨯-⨯+⨯-⨯=-. 14．①③④如图，∵直线AC 经过平面BCC 1B 1内的点C ，而直线C 1E 在平面BCC 1B 1内不过C ，∴直线AC 与直线C 1E 是异面直线，故①正确；当E 与B 重合时，AB 1⊥A 1B ，而C 1B 1⊥A 1B ，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1，则A 1E 垂直AC 1，故②错误；由题意知，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球的球心为O 是AC 1 与A 1C 的交点，则△AA 1O 的面积为定值，由BB 1∥平面AA 1C 1C ，∴E 到平面AA 1O 的距离为定值，∴三棱锥E ﹣AA 1O 的体积为定值，故③正确；设BE ＝x ，则B 1E ＝2﹣x ，∴AE +EC 12211(2)x x =+++-．由其几何意义，即平面内动点（x ，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值知，其最小值为22，故④正确．故答案为①③④15．0如图，取BC 的中点F ，连结DF ，则23DF DE =， ∴1322AB BC DE AD +--AB BF DF DA =+-+AF FD DA =++0=.16．①③④⑤解：由在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点，知：在①中，当Q 为11B C 的中点时，1//PQ C D ，由线面平行的判定定理可得PQ 与平面11CDD C 平行，故①正确；在②中，当Q 为11B C 的中点时，1//PQ C D ，111B C C D ⊥，11//BC B C ，可得PQ BC ⊥，故②错误；在③中，由11CD C D ⊥，111.CD B C ⊥可得1CD ⊥平面11ADC B ，即有1CD PQ ⊥，故③正确；在④中，如图，点M 为11A D 中点，PQ 与1DD 所成的角即为PQ 与PM 所成的角，当Q 与1B ，或1C 重合时，PQ 与1DD 所成的角最大，其正切值为5，故④正确；在⑤中，当Q 为11B C 的中点时，PQ 2，故⑤正确． 1757动点P 到直线AB 21∴动点P 落在以AB 21可知侧面与三棱锥侧面ACD 的交线为椭圆的一部分设其与AC 的交点为P ，此时PB 最大由题意可得，点C到AB的距离为：2210484221-==则P到AB的距离为21可知：P为AC的中点又1422cos105ABBACAC∠===在BAP∆中，由余弦定理可得2285285cos57PB BAC=+-⨯⨯∠=本题正确结果：5718．（1）PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，得AC PC⊥.又1AD CD==，在Rt ADC∆中，得2AC=，设AB中点为G，连接CG，则四边形ADCG为边长为1的正方形，所以CG AB⊥，且2BC=因为222AC BC AB+=，所以AC BC⊥，又因为BC PC C⋂=，所以AC⊥平面PBC，又AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC.（2）以C为坐标原点，分别以射线CD､射线CP为y轴和z轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,1,0A ，()1,1,0B -.又设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,1,0CA =，()0,0,CP a =， 11,,222a CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,PA a =-. 由BC AC ⊥且BC PC ⊥知，()1,1,0m CB ==-为平面PAC 的一个法向量. 设(),,n x y z =为平面EAC 的一个法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，即00x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取x a =，y a =-，则(),,2n a a =--，有26cos ,32m nm n m n a ⋅===⋅+2a =，从而()2,2,2n =--，()1,1,2PA =-. 设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ，则sin cos ,n PAn PA n PA θ⋅==⋅22423612-+==⨯. 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23.19．(1)连接1DC ，1BC ，∵,D E 分别是11,AA CC 的中点，∴11AD C E AD C E =，，∴四边形1ADC E 是平行四边形，所以1AE DC ∥.因为,E F 分别是1,CC BC 的中点，所以1EF BC ，又111,AE EF E DC BC C ⋂=⋂=，所以平面AEF ∥平面1BDC ，又BD ⊂平面1BDC ，所以BD 平面AEF .(2)由题意得1,,AB AC AA 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()12,0,2B ，()0,2,1E ，()1,1,0F ， ∴ ()0,2,1AE =，()1,1,0AF =.设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，由00n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得200y z x y +=⎧⎨+=⎩，令2z =，得1x =，1y =-，所以平面AEF 的一个法向量为()1,1,2n =-. 设(),,M x y z ，且()01AM AE λλ=≤≤，所以,,0,2,1x y z ，得0x =，2y λ=，z λ=，所以点()0,2,M λλ的坐标为，所以()12,2,2B M λλ=--.设直线1B M 与平面AEF 所成角为θ，则111sin cos ,n B M n B Mn B M θ⋅==⋅ 2222221222112222=∴当25λ=时，()max sin 6θ=.所以直线1B M 与平面AEF 所成角正弦的最大值为6. 20．（Ⅰ）证明：连1AB 、1AC ，∵点Q 为线段1A B 的中点，∴A 、Q 、1B 三点共线.∵点P 、Q 分别为11B C 和1A B 的中点，∴1//PQ AC ．在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥， ∴BC ⊥平面11ACC A ，∴1BC AC ⊥，又1AC AA =，∴四边形11ACC A 为正方形，∴11AC AC ⊥，∵1A C 、BC ⊂平面11ACC A ， ∴1AC ⊥平面1A BC ，而1//PQ AC ，∴PQ ⊥平面1A BC .（Ⅱ）解：以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，连接1A P 、1B Q ，设(),,Q x y z ， ∵1BQ BA λ=， ∴()(),2,2,2,2x y z λ-=-，∴2222x y z λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴()2,22,2Q λλλ-. ∵点Q 在线段1A B 上运动，∴平面1A PQ 的法向量即为平面1A PB 的法向量，设平面1A PB 的法向量为()1,,n x y z =，由11100n BP n PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020x y y z -=⎧⎨-+=⎩，令2y =得()11,2,1n =，设平面1B PQ 的法向量为()2,,n x y z =，由212100n PB n B Q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得()010y x z λλ=⎧⎨+-=⎩，令1z =得()211,0,11,0,n λλλλλ-⎛⎫==- ⎪⎝⎭，取()21,0,n λλ=-，由题意得|(121,2,1cos ,|n n = 10==， ∴29920λλ-+=，解得13λ=或23λ=. ∴当13λ=或23λ=时，平面1A PQ 与平面1B PQ 21．（1）由题意，290,DAB ADC ABD CB BD ︒∠=∠=∠===BC BD ⊥，因为,SD BC SD BD D ⊥⋂=，可得BC ⊥平面SBD ，因为BC⊂平面SBC ，故平面SBC ⊥平面SBD .（2）由（1）可得BC ⊥平面SBD ，又BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面SBD ，设E 为BD 的中点，连接SE ，因为SB SD ==，所以SE BD ⊥，可得SE ⊥平面ABCD ，如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,2,0),(2,4,0),(2,0,0),(1,1,2)A B C D S ，因为CP CSλ=，所以(2,43,2)P λλλ--，易得平面SBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =. 设(,,)n x y z = 为平面ABP 的法向量，(0,2,0),(2,43,2)AB AP λλλ==--，因为平面SBD 与平面ABP 所成的角为60°所以00n AB n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20(2)(43)20y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩，得(2,0,2)n λλ=-， 21cos60224λ==⋅+，解得23λ=或2λ=-（不合题意），所以λ的值为23.22．（1）因为11ABE F 为正方形，所以1BE AB ⊥，因为平面ABCD ⊥平面11ABE F ，平面ABCD 平面11ABE F AB =， 1BE ⊂平面11ABE F ，所以1BE ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以1BE AC ⊥ 设1AD =，则2AC AB ==AC AB ∴⊥，且1AB BE B =， AC ∴⊥平面11AF E B ，又BM ⊂平面11AF E B ，AC BM ∴⊥,（2）如图，以点B 为坐标原点，分别以BC ,1BE 所在直线为x,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则()1,1,0A ,()0,0,0B ,()2,0,0C ,(12E ,21,1,2M ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 所以21,1,2BM ⎛= ⎝⎭,(12CE =-,121,1,2E M ⎛=- ⎝⎭，设平面1CE M 的一个法向量为(),,n x y z =，由1100n CE n E M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得220202x z x y z ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，令1x =,得2z =，0y =，所以(1,0,2n =，平面11ABE F 的法向量为()1,1,0AC =-，设平面1CE M 与平面11ABE F 所成锐二面角为θ，则16cos cos ,623AC nAC n AC n θ⋅====⨯，所以平面1CE M 与平面11ABE F 所成锐二面角的余弦值为66。

高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》典型练习题(含答案)

高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》典型练习题一、选择题1．下列各组向量中不平行的是（）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b a ρρB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d c ρρC ．)0,0,0(),0,3,2(==f e ρρD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g ρρ2．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（） A ．)4,1,3(-- B ．)4,1,3(--- C ．)4,1,3( D ．)4,1,3(--3．若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a ρρλ，且a ρ与b ρ的夹角余弦为98，则λ等于（）A ．2B ．2-C ．2-或552D ．2或552-4．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形5．若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A ρ取最小值时，x 的值等于（）A ．19B ．78-C ．78D ．14196．空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC u u u r u u u r>的值是（）A ．21B ．22C ．－21D ．0二、填空题1．若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a ρρ，则(23)(2)a b a b -+=r r rr g __________________。

2．若向量,94,2k j i b k j i a ρρρρρρρρ++=+-=，则这两个向量的位置关系是___________。

3．已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=ρρ，若a ⊥r b ρ，则=x ______；若//a r b ρ则=x ______。

高中数学选修2-1(人教B版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习题及答案

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④若 a = b ， b = c ，则 a = c ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数是（）
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中，必有 AC = A 1 C1 ；
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A．4 B．3 C．2 D．1 解：C．当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，由于向量可以平移，故两个向量相等，不一定有起点相同、终点相同，故命题①错误；两个向量的模长相等，两个向量不一定相等，还要考虑方向因素，故命题②错误；命题③④正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为 1 ，但是方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．在长方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 中，下列各式运算结果为 BD 1 的是（
− − − → − − − → −→ − −→ − A 1 N = A 1 A + AB + BN − → → 1 −→ = − a + b + BC 2 − → → 1 −→ = − a + b + AD 2 → → 1→ = −a + b + c. 2
（3）因为 M 是 AA 1 的中点，所以
− → −→ − − − → − MP = MA + AP − − → −→ − 1− = A 1 A + AP 2 1→ → → 1→ = − a + (a + c + b) 2 2 1→ 1→ → = a + b + c; 2 2 − − − → −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1→ → NC1 = NC + CC1 = BC + AA 1 = AD + AA 1 = c +a 2 2 2

(完整word版)高中数学选修2-1第三章+空间向量与立体几何+测试题(含详解)(精华版)

高中数学选修2-1第三章+空间向虽与立体几何+测试题（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.向量a=(2x,1,3),b=(1, — 2y,9), 若a 与b 共线，则（）- 1 1A . x= 1, y= 1B . x= 2， y= — 2- 1312C. x= 0, 6v= — 2D . x=— 6, v=3解析由 a// b 知，a ：=?b,2x=入1 = 一2 入 ys,= 9 入. 、 1 1. .灯a ，x =6. 3V= — 2答案 C2. 已知 a = (- 3,2,5), b = (1, x, - 1)，且 a b= 2,贝U x 的值是( )A . 6B . 5C . 4D . 3解析 ab=— 3 + 2x — 5 = 2, •■- x= 5. 答案 B3. 设11的方向向量为a = (1,2,— 2), 12的方向向量为b = (-2,3, m),若11± 12,则实数m 的值为()-1 A . 3 B.2 C. 1D.2解析 • hJ_ 12, aJ_ b, a b = 0, — 2+ 6 — 2m= 0, m= 2.答案 B4 .若a, b 均为非零向量，贝U a b = |a||b|是a 与b 共线的()A .必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析 a b = |a||b|cos 〈a, b 〉，而 a b= |a||b|.cos 〈a, b> = 1,〈a, b 〉= 0.•■- a 与b 共线.反之，若 a 与b 共线，也可能ab=— |a| |b|,因此应选B.答案 B3 67, 一 3)5 .在△ ABC 中，AB= c, AC= b.若点 D 满足 BD = 2DC ，贝U AD =(21A.gb+ 3c / 1 一 Cgb - 3c12D .3b +3c367, 一 3)64A . 2B . 3 C. 7解析 BC 的中点D 的坐标为(2,1,4),•• AD = (- 1, —2,2).• - |AD |= —1 + 4 + 4= 3.答案 B8.与向量a= (2,3,6)共线的单位向量是解析如图，AD = AB + BD2八= AB+ -BC … 2 一… = AB+ -(AC- AB) 12=-AB+ -AC =3c +$.答案 A6.已知a, b, c 是空间的一个基底，设 p = a+ b, q = a- b,则下列向量中可以与p, q起构成空间的另一个基底的是(D.以上都不对解析a, b, c 不共面,c 不共面, •••p, q, c 可构成空间的一个基底.答案 C7 .已知△ ABC 的三个顶点A(3,3,2), B(4, —3,7),C(0,5,1)，贝U BC 边上的中线长为(3 67, 一 3)2 3 6A • (7，-，7)2B. (-7,2 3 6 2 3 6 2 3 6 2 3 6 C•(7,一〒-7)和(-7 7，7) D.(7, 7)和(--)解析|a|=寸22 + 32 + 62 = 7, .••与a共线的单位向量是号(2,3,6),故应选D.答案 D 9.已知向量a= (2,4 , x), b = (2, y,2)，若|a|= 6 且a±b，则x + y 为( ) A . - 3 或1 B . 3 或—1 C. - 3 D. 1解析由|a|= 6, a±b,4+ 16+ x2= 36, x= 4, 得解得4+ 4y+ 2x = 0, y=- 3,x= — 4, 或y= 1.x+ y= 1,或一3.答案A10.已知a= (x,2,0), b= (3,2 — x, x2)，且a与b的夹角为钝角，贝U实数x的取值范围是( )A . x>4B . x<- 4C . 0<x<4 D. - 4<x<0.解析〈a, b〉为钝角,a b= |a||b|cos〈a, b> <0，即3x+ 2(2 — x)<0 , x< — 4.答案B11.已知空间四个点A(1,1,1), B(-4,0,2), C(- 3, —1, 0), D( — 1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°解析设平面ABC的一个法向量为n= (x, y, z),. AB= (-5, - 1,1), AC= (-4, -2, - 1),由n AB = 0 及n AC = 0,得—5x — y+ z= 0,令z= 1,—4x — 2y— z= 0,得x = 2 y=—3 n = (；, - I，1).又AD = (-2, - 1,3)，设AD与平面ABC所成的角为0,则sin 0= f 』3 -|AD n|_ T+ 2+ 3“ 一一14M14 x-|AD||n| 14 212'••• 0= 30°.答案 A12 .已知二面角 a- l - 6的大小为50 °, P 为空间中任意一点，则过点 P 且与平面a 和平面6所成的角都是25°的直线的条数为（）解析过点P 分别作平面 a, 6的垂线l i 和12,贝U 11与12所成的角为130。

高二数学选修2-1第三章空间向量与立体几-知识点+习题+答案

空间向量与立体几何1、空间向量的概念：()1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．()2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．()3向量AB 的大小称为向量的模（或长度），记作AB ． ()4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． ()5与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -． ()6方向相同且模相等的向量称为相等向量．2、空间向量的加法和减法：()1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．()2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则a b BA =-．3、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．4、设λ，μ为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：()a b a b λλλ+=+；结合律：()()a a λμλμ=．5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．7、平行于同一个平面的向量称为共面向量． 8、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C AP =AB +A ；或对空间任一定点O ，有x y C OP =OA +AB +A ；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA+OB+O ++=． 9、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈． 10、对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．11、已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．12、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积． 13、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=；()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅； ()4cos ,a b a b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．14、向量数乘积的运算律：()1a b b a ⋅=⋅；()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．15、若i ，j ，k 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p ，存在有序实数组{},,x y z ，使得p xi yj zk =++，称xi ，yj ，zk 为向量p 在i ，j ，k 上的分量．16、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．17、若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．18、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．19、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ=． ()4121212a b x x y y z z ⋅=++．()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=． ()6若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===． ()721a a a x =⋅=+()821cos ,a b a b a bx ⋅〈〉==+．()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =20、在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP 来表示．向量OP 称为点P 的位置向量．21、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP =，这样点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点． 22、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y ，使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置． 23、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量． 24、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．25、若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔ 0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．26、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．27、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．28、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．29、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．30、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算． 31、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=．32、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=．空间向量与立体几何练习题1一、选择题（每小题5分，共50分）1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ，11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与MB 1相等的向量是A.－21a +21b +c B.21a +21b +c C.21a －21b +c D.－21a －21b +c 2.下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是A.OC OB OA OM --=23B.OC OB OA OM 513121++=C.0=+++OC OB OA OMD.0=++MC MB MA3.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则DC EF ⋅等于A.41B.41- C.43 D.43-4.若)2,,1(λ=a ，)1,1,2(-=b ，a 与b 的夹角为060，则λ的值为 A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.15.设)2,1,1(-=OA ，)8,2,3(=OB ，)0,1,0(=OC ，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为 A.213 B.253 C.453 D.4536.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 A.9πB.10πC.11πD.12π8.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 A.BD ∥平面CB 1D 1 B.AC 1⊥BDC.AC 1⊥平面CB 1D 1①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥俯视图正(主)视图侧(左)视图2 3 2 2D.异面直线AD 与CB 1所成的角为60°9.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为 A.6 B.552 C.15 D.10 10.⊿ABC 的三个顶点分别是)2,1,1(-A ，)2,6,5(-B ，)1,3,1(-C ，则AC 边上的高BD 长为A.5B.41C.4D.52 二、填空题（每小题5分，共20分）11.设)3,4,(x =a ，),2,3(y -=b ，且b a //，则=xy .12.已知向量)1,1,0(-=a ，)0,1,4(=b ，29=+b a λ且0λ>，则λ=________. 13.在直角坐标系xOy 中，设A （-2，3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时112=AB ，则θ的大小为． 14.如图，P —ABCD 是正四棱锥，1111ABCD A B C D -是正方体，其中 2,6AB PA ==，则1B 到平面PAD的距离为.三、解答题（共80分）15.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于600，M 是PC 的中点，设c b a ===AP AD AB ,,．（1）试用c b a ,,表示出向量BM ；（2）求BM 的长．16.（本小题满分14分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG.. 17.（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD 中，CB CD AD BD =⊥，，点E F ，分别是AB BD ，的中点．求证：2262GF C'B'D'MP DC BA俯视图正视图121121ED C BA P （1）直线//EF 面ACD ；（2）平面EFC ⊥面BCD ． 18.（本小题满分14分）如图，已知点P 在正方体''''D CB A ABCD -的对角线'BD 上，∠PDA=60°.（1）求DP 与'CC 所成角的大小；（2）求DP 与平面D D AA ''所成角的大小.19.（本小题满分14分）已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点．（1）求四棱锥P －ABCD 的体积；（2）是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论; （3）若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小．20.（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，E F ，分别是BC PC ，的中点．（1）证明：AE PD ⊥；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为62，求二面角E AF C --的余弦值．参考答案一、选择题1.)(21111BC BA A A BM B B M B ++=+==c +21(－a +b )=－21a +21b +c ，故选A. 2.1),,(=++∈++=⇔z y x R z y x OC z OB y OA x OM C B A M 且四点共面、、、由于MC MB MA MC MB MA C B A --=⇔=++∴0由于都不正确、、选项.)()()(共面使所以存在MC MB MA MC y MB x MA y x ,,,1,1∴+==-=四点共面，、、、为公共点由于C B A M M ∴故选D. 3.∵的中点分别是AD AB F E ,,,BD EF BD EF BD EF 21,21//=∴=∴且, 41120cos 1121,cos 21210-=⨯⨯⨯>=<⋅=⋅=⋅∴DC BD DC BD DC BD DC EF 故选B.4.B5.B6.D7.D8.D9.D10.由于4,cos =⋅=><⋅=ACAC AB AC AB AB AD ，所以522=-=AD AB BD ,故选A PBECD FAD 'C 'B'A'PD C BA二、填空题 11.912.313.作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则DB CD AC AB ++=∵θθcos 6)180cos(,0,0,2,5,30-=-⋅=⋅=⋅=⋅===DB AC DB AC DB CD CD AC DB CD AC00222222222120,1800 .21cos ),cos 600(2253)112()(2)(=∴≤≤-=∴--+++=∴⋅+⋅+⋅+++=++=∴θθθθ由于AC DB DB CD CD AC DB CD AC DB CD AC AB14.以11B A 为x 轴，11D A 为y 轴，A A 1为z 轴建立空间直角坐标系设平面PAD 的法向量是(,,)m x y z =，(0,2,0),(1,1,2)AD AP ==，∴02,0=++=z y x y ，取1=z 得(2,0,1)m =-，1(2,0,2)B A =-，∴1B 到平面PAD 的距离1655B A m d m⋅==. 三、解答题15.解：（1）∵M 是PC 的中点，∴)]([21)(21AB AP AD BP BC BM -+=+=c b a a c b 212121)]([21++-=-+= （2）2,1,2,1===∴===c b a PA AD AB 由于160cos 12,0,60,00=⋅⋅=⋅=⋅=⋅∴=∠=∠⊥c b c a b a PAD PAB AD AB 由于),(21c b a ++-=BM 由于 23)]110(2211[41)](2[41)(4122222222=+-+++=⋅+⋅-⋅-+++=++-=∴c b c a b a c b a c b a BM 2626的长为，BM BM ∴=∴. 16.解：（1）如图（2）所求多面体体积V V V =-长方体正三棱锥1144622232⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭2284(cm )3=．（3）证明：在长方体ABCD A B C D ''''-中，连结AD '，则AD BC ''∥．因为E G ，分别为AA '，A D ''中点，所以AD EG '∥，从而EG BC '∥．又BC '⊄平面EFG ，ABC DE FGA 'B 'C 'D '所以BC '∥面EFG ． 17.证明：（1）∵E,F 分别是AB BD ，的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵AD ⊂面ACD ，EF ⊄面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ；（2）∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD ，∵CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，∴CF ⊥BD 又EF ∩CF=F, ∴BD ⊥面EFC ， ∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD .18.解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．则(100)DA =，，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''．在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ．设(1)(0)DH m m m =>，，，由已知60DH DA <>=，，由cos DA DH DA DH DA DH =<>，，可得2m = 解得m=21DH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．（1）因为0011cos 2DH CC +⨯'<>==，，所以45DH CC '<>=，，即DP 与CC '所成的角为45．（2）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，，．因为01101cos 2DH DC ++⨯<>==，，所以60DH DC <>=，，可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30． 19.解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC=2.∴1233P ABCD ABCD V S PC -=⋅=(2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ∴BD ⊥PC又ACPC C =∴BD ⊥平面PAC∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC ∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE(3)解法1：在平面DAE 内过点D 作DG ⊥AE 于G ，连结BG∵CD=CB,EC=EC ，∴Rt ECD ∆≌Rt ECB ∆，∴ED=EBzyxEDC BAP∵AD=AB ，∴△EDA ≌△EBA ，∴BG ⊥EA ∴DGB ∠为二面角D －EA －B 的平面角 ∵BC ⊥DE ，AD ∥BC ，∴AD ⊥DE在R ｔ△ADE 中AD DE DG AE ⋅==23=BG在△DGB 中，由余弦定理得212cos 222-=⋅-+=∠BG DG BD BG DG DGB∴DGB ∠=23π，∴二面角D －AE －B 的大小为23π. 解法2：以点C 为坐标原点，CD 所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：则(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)D A B E ,从而(1,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1)DE DA BA BE =-===-设平面ADE 和平面ABE 的法向量分别为(,,),(',',')m a b c n a b c ==由法向量的性质可得：0,0a c b -+==，'0,''0a b c =-+= 令1,'1c c ==-，则1,'1a b ==-，∴(1,0,1),(0,1,1)m n ==-- 设二面角D －AE －B 的平面角为θ，则1cos 2||||m n m n θ⋅==-⋅∴23πθ=，∴二面角D －AE －B 的大小为23π. 20.（1）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，可得ABC △为正三角形．因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥．又BC AD ∥，因此AE AD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥．而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PAAD A =，所以AE ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ，所以AE PD ⊥．（2）解：设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接AH EH ，．由（1）知AE ⊥平面PAD ，则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角．在Rt EAH △中，3AE =，所以当AH 最短时，EHA ∠最大，即当AH PD ⊥时，EHA ∠最大．此时tan 2AE EHA AH AH ∠===，因此AH =2AD =，所以45ADH ∠=，所以2PA =．解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ．过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ，过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角，在Rt AOE △中，3sin 302EO AE ==，3cos302AO AE ==，又F 是PC 的中点，在Rt ASO △中，32sin 454SO AO ==，又SE ===Rt ESO △中，cos SO ESO SE ∠===，即所求二面角的余弦值为5．解法二：由（1）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F，分别为BC PC ，的中点，所以(000)10)0)(020)A B C D -，，，，，，，，，，1(002)0)12P E F ⎫⎪⎪⎝⎭，，，，，，，，所以31(300)122AE AF ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，．设平面AEF 的一法向量为111()x y z =，，m ，则00AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，m m 因此111101022x y z =++=⎪⎩，．取11z =-，则(021)=-，，m ，因为BD AC ⊥，BD PA ⊥，PA AC A =，所以BD ⊥平面AFC ，故BD 为平面AFC 的一法向量．B又(0)BD =-，，所以cos 5BD BD BD<>===，m m m ．因为二面角E AF C --为锐角，所以所求二面角的余弦值为5．空间向量与立体几何2一、选择题（每小题5分，共60分） 1．下列各组向量中不平行的是（）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b aB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g2．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（） A ．)4,1,3(-- B ．)4,1,3(--- C ．)4,1,3( D ．)4,1,3(--3．若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a λ，且a 与b 的夹角余弦为98，则λ等于（）A ．2B ．2-C ．2-或552D ．2或552-4．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（）A ．不等边锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形5．若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A取最小值时，x 的值等于（） A ．19 B ．78-C ．78D ．14196．空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC >的值是（）A ．21B ．22C ．－21D ．07．设n m 、表示直线，βα、表示平面，则下列命题中不正确．．．的是（）． A ．βα⊥⊥m ,m ，则α//β B ．m//n ,=βαα ，则m//n C ．α⊥m ,β//m , 则βα⊥D ．n //m ,α⊥m , 则 α⊥n 8．在棱长均为2的正四面体BCD A -中，若以三角形ABC 为视角正面的三视图中，其左视图的面积是（）．ABDA．3 B．362C．2D．229、如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD在原正方体中的位置关系是（）A．平行 B．相交且垂直C．异面 D．相交成60°10、点P在平面ABC外，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的（）A．外心 B.重心 C.内心 D.垂心11、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为１的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）（A）2（B）12（C）22+（D）112、已知PD⊥矩形ABCD所在的平面，图中相互垂直的平面有（）（A）2对（B）3对（C）4对（D）5对二、填空题（每小题4分，共24分）13．若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=ba，则(23)(2)a b a b-+=__________________。

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业第三章空间向量与立体几何 3.1.1 Word版含答案

第三章空间向量与立体几何
§空间向量及其运算
空间向量及其加减运算
课时目标
．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示．
．掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义．
．几类特殊向量
()零向量：的向量叫做零向量，记为．
()单位向量：的向量称为单位向量．
()相等向量：方向且模的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．
()相反向量：与向量长度而方向的向量，称为的相反向量，记为．
．空间向量的加减法与运算律
空间向量
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：
的加减法
＝＋＝；＝－＝.
加法运
算律 ()交换律：＋＝ ()结合律：(＋)＋＝.；
一、选择题
．下列命题中，假命题是()
. 向量与的长度相等
．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
．只有零向量的模等于
．共线的单位向量都相等
.如图所示，平行四边形的对角线的交点为，则下列等式成立的是
()
. ＋＝＋＝
－＝－＝
.已知是△所在平面内一点，为边中点且＋＋，则等于() OD →OD →
.已知向量，，满足＝＋，则()
. ＝＋＝－－
与同向 .与与同向
.在正方体—中，向量表达式化简后的结果是()
.1D B .1B D .1DB
．平行六面体—中，，，，，，分别是，，，，，的中点，则() .EF →
＋＋＝.EF →－－＝ .EF →＋－＝ .EF →
－＋＝二、填空题。

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第三章空间向量与立体几何章末总结 Word版含答案

章末总结知识点一空间向量的计算空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础．【例1】沿着正四面体O －ABC 的三条棱OA 、OB →、OC →的方向有大小等于1、2和3的三个力f 1，f 2，f 3.试求此三个力的合力f 的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值．知识点二证明平行、垂直关系空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决．例2如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1；(2)用向量法证明MN⊥面A1BD.例3如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m.试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成的角为60°.例4正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.知识点三空间向量与空间角求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，一般有两种方法：即几何法和向量法，几何法求角时，需要先作出(或证出)所求空间角的平面角，费时费力，难度很大．而利用向量法，只需求出直线的方向向量与平面的法向量．即可求解，体现了向量法极大的优越性．例5如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN.(1)cos〈1A D，AM→〉；(2)求直线AD与平面ANM所成角的余弦值；(3)求平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值．知识点四空间向量与空间距离近年来，对距离的考查主要体现在两点间的距离和点到平面的距离，两点间的距离可以直接代入向量模的公式求解，点面距可以借助直线的方向向量与平面的法向量求解，或者利用等积求高的方法求解．例6如图，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，P A＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求二面角P—CD—B的大小；(2)求证：平面MND⊥平面PCD；(3)求点P到平面MND的距离．章末总结重点解读例1 解如图所示，用a ，b ，c 分别代表棱OA →、OB →、OC →上的三个单位向量，则f 1＝a ，f 2＝2b ，f 3＝3c ，则f ＝f 1＋f 2＋f 3＝a ＋2b ＋3c ，∴|f |2＝(a ＋2b ＋3c )(a ＋2b ＋3c )＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2＋4a·b ＋6a·c ＋12b·c＝14＋4cos 60°＋6cos 60°＋12 cos 60°＝14＋2＋3＋6＝25，∴|f |＝5，即所求合力的大小为5.且cos 〈f ，a 〉＝f·a |f |·|a |＝|a |2＋2a·b ＋3a·c 5＝1＋1＋325＝710，同理可得：cos 〈f ，b 〉＝45，cos 〈f ，c 〉＝910. 例2 证明 (1)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BD →＝AD →－AB →，B 1D 1→＝A 1D 1→－A 1B 1→，又∵AD →＝A 1D 1→，AB →＝A 1B 1→，∴BD →＝B 1D 1→.∴BD ∥B 1D 1.同理可证A 1B ∥D 1C ，又BD ∩A 1B ＝B ，B 1D 1∩D 1C ＝D 1，所以平面A 1BD ∥平面B 1CD 1.(2) MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋CC 1→) ＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →＋12AA 1→. 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则MN →＝12(a ＋b ＋c )．又BD →＝AD →－AB →＝b －a ，∴MN →·BD →＝12(a ＋b ＋c )(b －a )＝12(b 2－a 2＋c·b －c·a )．又∵A 1A ⊥AD ，A 1A ⊥AB ，∴c·b ＝0，c·a ＝0.又|b |＝|a |，∴b 2＝a 2，∴b 2－a 2＝0.∴MN →·BD →＝0，∴MN ⊥BD .同理可证，MN ⊥A 1B ，又A 1B ∩BD ＝B ，∴MN ⊥平面A 1BD .例3 解建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，P (0,1，m )，C (0,1,0)，D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)．则BD →＝(－1，－1,0)，BB 1→＝(0,0,1)，AP →＝(－1,1，m )，AC →＝(－1,1,0)．又由AC →·BD →＝0，AC →·BB 1→＝0知，AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量．设AP 与平面BB 1D 1D 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AP →，AC →〉|＝＝22＋m 2·2. 依题意得22＋2m 2·2＝sin 60°＝32，解得m ＝33. 故当m ＝33时，直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°. 例4 证明如图，建立空间直角坐标系Dxyz .设正方体棱长为1，则E ⎝⎛⎭⎫1，1，12、D 1(0,0,1)、F ⎝⎛⎭⎫0，12，0、A (1,0,0)． ∴DA →＝(1,0,0)＝D 1A 1→，DE →＝⎝⎛⎭⎫1，1，12， D 1F →＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1. 设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面AED 和A 1FD 1的一个法向量．⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0x 1＋y 1＋12z 1＝0. 令y 1＝1，得m ＝(0,1，－2)．又由⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝012y 2－z 2＝0，令z 2＝1，得n ＝(0,2,1)．∵m·n ＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴m ⊥n ，故平面AED ⊥平面A 1FD 1.例5 解 (1)建立空间直角坐标系(如图)．则A (0,0,0)，A 1(0,0,4)，D (0,8,0)，M (5,2,4)．∴AM →＝(5,2,4)，A 1D →＝(0,8，－4)．∴AM →·A 1D →＝0＋16－16＝0，∴AM →⊥A 1D →.∴cos 〈A 1D →，AM →〉＝0.(2)∵A 1D ⊥AM ，A 1D ⊥AN ，且AM ∩AN ＝A ， ∴A 1D →⊥平面ANM ，∴A 1D →＝(0,8，－4)是平面ANM 的一个法向量．又AD →＝(0,8,0)，|A 1D →|＝45，|AD →|＝8，A 1D →·AD →＝64，∴cos 〈A 1D →，AD →〉＝6445×8＝25＝255. ∴AD 与平面ANM 所成角的余弦值为55. (3)∵平面ANM 的法向量是A 1D →＝(0,8，－4)，平面ABCD 的法向量是a ＝(0,0,1)，∴cos 〈A 1D →，a 〉＝－445＝－55. ∴平面ANM 与平面ABCD 所成角的余弦值为55. 例6 (1)解 ∵P A ⊥平面ABCD ，由ABCD 是正方形知AD ⊥CD .∴CD ⊥面P AD ，∴PD ⊥CD .∴∠PDA 是二面角P —CD —B 的平面角． ∵P A ＝AD ，∴∠PDA ＝45°，即二面角P —CD —B 的大小为45°. (2)如图，建立空间直角坐标系，则P (0,0,2)，D (0,2,0)，C (2,2,0)，M (1,0,0)，∵N 是PC 的中点，∴N (1,1,1)，∴MN →＝(0,1,1)，ND →＝(－1,1，－1)，PD →＝(0,2，－2)．设平面MND 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面PCD 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)．∴m ·MN →＝0，m ·ND →＝0，即有⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋z 1＝0，－x 1＋y 1－z 1＝0. 令z 1＝1，得x 1＝－2，y 1＝－1.∴m ＝(－2，－1,1)．同理，由n ·ND →＝0，n ·PD →＝0，即有⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋y 2－z 2＝0，2y 2－2z 2＝0. 令z 2＝1，得x 2＝0，y 2＝1，∴n ＝(0,1,1)． ∵m·n ＝－2×0＋(－1)×1＋1×1＝0，∴m ⊥n .∴平面MND ⊥平面PCD .(3)设P 到平面MND 的距离为d .由(2)知平面MND 的法向量m ＝(－2，－1,1)， ∵PD →·m ＝(0,2，－2)·(－2，－1,1)＝－4，∴|PD →·m |＝4，又|m |＝－2＋－2＋12＝6， ∴d ＝＝46＝263. 即点P 到平面MND 的距离为263.。

高中数学选修2-1(人教B版)第三章空间向量与立体几何3.3知识点总结含同步练习题及答案

高中数学选修2-1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章空间向量与立体几何 3.3 异面直线的距离（补充）
一、知识清单
异面直线的距离
二、知识讲解
1.异面直线的距离描述：设直线 a ，b 是异面直线，则存在直线 l 与直线 a ，b 均相交且垂直，此时直线 l 称为异面直线 a ，b 的公垂线，直线 l 夹在直线a ，b 之间的部分称为异面直线a ，b 的公垂线段．异面直线 a, b 的公垂线段的长度称为异面直线 a ，b 的距离．例题：如图，长方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 中， AB = BC = 1，AA 1 = 2 ，求直线 A 1 C 2
因此直线 A 1 C1 与 B 1 B 之间的距离为
√2 ． 2
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解：连接 B 1 D 1 交 A 1 C1 于 E 点，因为长方体中 AB = BC，所以长方体上下底面均为正方形，故 A 1 C1 ⊥ B 1 D 1 ．又长方体可知 BB 1 ⊥ 面 A 1 B 1 C1 D 1 ，B 1 E ⊂ 面 A 1 B 1 C1 D 1 ，所以 BB 1 ⊥ B 1 E．综上可知，B 1 E 为异面直线 A 1 C1 和 BB 1 的公垂线，结合 AB = BC = 1，所以

高中数学选修2-1课时作业16：第2课时用空间向量解决立体几何中的垂直问题

第2课时用空间向量解决立体几何中的垂直问题一、选择题1．设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．－2B ．2C ．6D ．10考点向量法求解直线与直线的位置关系题点方向向量与线线垂直[答案] D[解析] 因为a ⊥b ，故a ·b ＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m ＝0，解得m ＝10.2．若平面α，β的法向量分别为a ＝(－1,2,4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为( )A ．10B ．－10C.12D ．－12考点向量法求解平面与平面的位置关系题点向量法解决面面垂直[答案] B[解析] 因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，所以a ·b ＝(－1,2,4)·(x ，－1，－2)＝0，解得x ＝－10.3．已知点A (0,1,0)，B (－1,0，－1)，C (2,1,1)，P (x,0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( )A ．(1,0，－2)B ．(1,0,2)C ．(－1,0,2)D ．(2,0，－1)考点向量法求解直线与平面的位置关系题点向量法解决线面垂直[答案] C[解析] 由题意知AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，AP →＝(x ，－1，z )，又P A ⊥平面ABC ，所以有AB →·AP →＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0，得－x ＋1－z ＝0.①AC →·AP →＝(2,0,1)·(x ，－1，z )＝0，得2x ＋z ＝0，②联立①②得x ＝－1，z ＝2，故点P 的坐标为(－1,0,2)．4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1A考点向量法求解直线与直线的位置关系题点方向向量与线线垂直[答案] B[解析] 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为1.则C (0,1,0)，B (1,1,0)，A (1,0,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1，1)，A 1(1,0,1)， E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，∴CE →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1，AC →＝(－1,1,0)， BD →＝(－1，－1,0)，A 1D -→＝(－1,0，－1)，A 1A -→＝(0,0，－1)，∵CE →·BD →＝(－1)×12＋(－1)×⎝⎛⎭⎫－12＋0×1＝0，∴CE ⊥BD . 5．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A.(1，－1,1)B.⎝⎛⎭⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎫1，－3，32D.⎝⎛⎭⎫－1，3，－32 考点直线的方向向量与平面的法向量题点法向量求解线面垂直[答案] B[解析] 要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量P A →与平面α的法向量n 是否垂直，即P A →·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，P A →＝(1,0,1)，则P A →·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，P A →＝⎝⎛⎭⎫1，－4，12，则P A →·n ＝⎝⎛⎭⎫1，－4，12·(3,1,2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则( )A ．EF 至多与A 1D ，AC 中的一个垂直B ．EF ⊥A 1D ，EF ⊥ACC ．EF 与BD 1相交D ．EF 与BD 1异面考点直线的方向向量与平面的法向量题点求直线的方向向量[答案] B[解析] 以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为1，则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫13，0，13，F ⎝⎛⎭⎫23，13，0，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，∴A 1D -→＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)，EF →＝⎝⎛⎭⎫13，13，－13，BD 1-→＝(－1，－1,1)，∴EF →＝－13BD 1-→，A 1D -→·EF →＝0，AC →·EF →＝0，从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC ，故选B.7．两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z )，v ＝(－2，－y ，1)，若α⊥β，则y ＋z 的值是( )A ．－3B ．6C ．－6D ．－12考点向量法求解平面与平面的位置关系题点向量法求解面面垂直[答案] B[解析] ∵α⊥β，∴μ·v ＝0，即－6＋y ＋z ＝0，即y ＋z ＝6.二、填空题8.如图所示，在三棱锥A －BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 的中点，则AE →·BC →＝_______.考点向量法求解直线与直线的位置关系题点方向向量与线线垂直[答案] 0[解析] 因为BE ＝EC ，故AE →＝DE →－DA →＝12(DB →＋DC →)－DA →，在三棱锥A －BCD 中， DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，故AE →·BC →＝⎣⎡⎦⎤12(DB →＋DC →)－DA →·(DC →－DB →)＝12(DC →2－DB →2)＝0. 9．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量．其中正确的是________．(填序号)考点向量法求解直线与直线的位置关系题点向量法解决线线垂直[答案] ①②③[解析] AP →·AB →＝(－1,2，－1)·(2，－1，－4)＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，∴AP ⊥AB ，即①正确．AP →·AD →＝(－1,2，－1)·(4,2,0)＝－1×4＋2×2＋(－1)×0＝0.∴AP ⊥AD ，即②正确．又∵AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ，即AP →是平面ABCD 的一个法向量，③正确．10．在△ABC 中，A (1，－2，－1)，B (0，－3,1)，C (2，－2,1)．若向量n 与平面ABC 垂直，且|n |＝21，则n 的坐标为________________．考点向量法求解线面垂直问题题点向量法求解线面垂直[答案] (－2,4,1)或(2，－4，－1)[解析] 据题意，得AB →＝(－1，－1,2)，AC →＝(1,0,2)．设n ＝(x ，y ，z )，∵n 与平面ABC 垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4z ，y ＝－2x . ∵|n |＝21，∴x 2＋y 2＋z 2＝21，解得y ＝4或y ＝－4.当y ＝4时，x ＝－2，z ＝1；当y ＝－4时，x ＝2，z ＝－1.三、解答题11.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点．证明：CD ⊥平面P AE .考点向量法求解直线与平面的位置关系题点向量法解决线面垂直证明如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .设P A ＝h ，则A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (4,3,0)，D (0,5,0)，E (2,4,0)，P (0，0，h )．所以CD →＝(－4,2,0)，AE →＝(2,4,0)，AP →＝(0,0，h )．因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP ，而AP ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD⊥平面P AE.12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB＝1，AD＝3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.考点向量法求解直线与直线的位置关系题点方向向量与线线垂直证明以A 为坐标原点，AD ，AB ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则P (0,0,1)，B (0,1,0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D ()3，0，0，设BE ＝x (0≤x ≤3)，则E (x,1,0)，PE →·AF →＝(x,1，－1)·⎝⎛⎭⎫0，12，12＝0，所以x ∈[0， 3 ]时都有PE ⊥AF ，即无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .13.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ，点E 是PD 的中点．求证：(1)AC ⊥PB ；(2)PB ∥平面AEC .考点向量法求解直线与直线的位置关系题点方向向量与线线垂直证明 (1)如图，以A 为坐标原点，AC ，AB ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，设AC ＝a ，P A ＝b .则有A (0,0,0)，B (0，b,0)，C (a,0,0)，P (0,0，b )，∴AC →＝(a,0,0)，PB →＝(0，b ，－b )．从而AC →·PB →＝0，∴AC ⊥PB .(2)由已知得D (a ，－b,0)，E ⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，b 2，∴AE →＝⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，b 2. 设平面AEC 的一个法向量为n ，则n ⊥AC →且n ⊥AE →，可得n ＝(0,1,1)．∵n ·PB →＝0，∴n ⊥PB .又PB ⊄平面AEC ，∴PB ∥平面AEC .四、探究与拓展14.如图，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的比值为( )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶1 [答案] B[解析] 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，设正方形边长为1，P A ＝a ，则B (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，P (0,0，a )．设点F 的坐标为(0，y,0)，则BF →＝(－1，y,0)，PE →＝⎝⎛⎭⎫12，1，－a .因为BF ⊥PE ，所以BF →·PE →＝0，解得y ＝12，即点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，0，所以F 为AD 的中点，所以AF ∶FD ＝1∶1.15.如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：ME ⊥平面BCC 1B 1.考点向量法求解直线与平面的位置关系题点向量法解决线面垂直证明 (1)以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ，则BE →＝(3,0,1)，BF →＝(0,3,2)，BD 1→＝(3,3,3)，∴BD 1→＝BE →＋BF →，故BD 1→，BE →，BF →共面．又它们有公共点B ，∴E ，B ，F ，D 1四点共面．(2)设M (0,0，z )，则GM -→＝⎝⎛⎭⎫0，－23，z ，而BF →＝(0,3,2)，由题设得GM -→·BF →＝－23·3＋z ·2＝0，得z ＝1. ∵M (0,0,1)，E (3,0,1)，∴ME -→＝(3,0,0)，又BB 1→＝(0,0,3)，BC →＝(0,3,0) ∴ME -→·BB 1→＝0，ME -→·BC →＝0，从而ME ⊥BB 1，ME ⊥BC . 又BB 1∩BC ＝B ，故ME ⊥平面BCC 1B 1.。

高中数学选修2-1课时作业16：3.1.2空间向量的数乘运算

3.2.1空间向量的数乘运算1．满足下列条件，能说明空间不重合的三点A ，B ，C 共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC →B.AB →－AB →＝BC → C.AB →＝BC →D ．|AB →|＝|BC →|2．下列命题中正确的是( )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb3．下列条件中使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( ) A.OM →＝2OA →－OB →－OC →B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝04．下列结论中，正确的个数是( )①若a ，b ，c 共面，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ②若a ，b ，c 不共面，则不存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c③若a ，b ，c 共面，b ，c 不共线，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ④若a ＝x b ＋y c ，则a ，b ，c 共面 A ．0 B ．1 C ．2D ．35．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D6．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为矩形ABCD 的对角线的交点，则A 1E →＝A 1A →＋xA 1B 1→＋yA 1D 1→中的x ，y 值应为x ＝__________，y ＝__________.7．向量a 与b 不共线，存在唯一一对非零实数m ，n ，使c ＝m a ＋n b ，则a ，b ，c __________共面向量．(填“是”或“不是”)8．已知O 是空间任一点，A ，B ，C ，D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA →＝2x ·BO →＋3y ·CO →＋4z ·DO →，则2x ＋3y ＋4z ＝__________.9．已知A ，B ，C ，D 四点共面，求证：对于空间任一点O ，存在不全为零的实数k 1，k 2，k 3，k 4，使k 1OA →＋k 2OB →＋k 3OC →＋k 4OD →＝0.10．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，试求实数k 的值．11．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，有OP →＝25OA →＋15OB →＋25OC →.求证：P ，A ，B ，C 四点共面．12．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，当OP →＝2OA →－OB →－OC →时，点P是否与A，B，C共面．13.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.——★参考答案★——1．C2．C[解析]当b ＝0时，a 与c 不一定共线，所以A 错．由共面向量的定义知，B 错．当a 与b 是非零向量时，D 正确，但命题中没有非零向量这个条件，所以D 错．[答案] 3．C 4．D[解析]②③④正确，①错误． 5．A[解析]∵AD →＝CD →－CA →＝CD →＋AC → ＝CD →＋AB →＋BC →＝(7a －2b )＋(a ＋2b )＋(－5a ＋6b ) ＝3a ＋6b＝3AB →∴A ，B ，D 三点共线． 6．12 12[解析]A 1E →＝A 1A →＋AB →＋BC →＋CE →＝A 1A →＋AB →＋BC →＋12CA →＝A 1A →＋AB →＋BC →＋12(CB →＋CD →)＝A 1A →＋AB →－12DC →＋BC →－12BC →＝A 1A →＋12AB →＋12BC →＝A 1A ＋2A 1B 1＋2A 1D 1.∴x ＝12，y ＝12.7．是 8．－1[解析]OA →＝2x ·BO →＋3y ·CO →＋4z ·DO →＝－2x ·OB →－3y ·OC →－4z ·OD →由四点共面的充要条件知－2x －3y －4z ＝1，即2x ＋3y ＋4z ＝－1.9．证明由A ，B ，C ，D 四点共面，知AB →，AC →，AD →共面，由平面向量基本定理知，存在实数对(x ，y )，使AB →＝xAC →＋yAD →，即OB →－OA →＝x (OC →－OA →)＋y (OD →－OA →)．∴(1－x －y )OA →－OB →＋xOC →＋yOD →＝0，令k 1＝1－x －y ，k 2＝－1，k 3＝x ，k 4＝y ，即得k 1OA →＋k 2OB →＋k 3OC →＋k 4OD →＝0.10．解 ∵BD →＝BC →＋CD →＝CD →－CB →＝2e 1－e 2－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2.AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，∴k ＝－8.11．证明 ∵OP →＝25OA →＋15OB →＋25OC →，∴OP →＝⎝⎛⎭⎫1－15－25OA →＋15OB →＋25OC →＝OA →＋15(OB →－OA →)＋25(OC →－OA →)＝OA →＋15AB →＋25AC →，∴OP →－OA →＝15AB →＋25AC →.∴AP ＝5AB ＋5AC .∴向量AP →，AB →，AC →共面，而线AP ，AB ，AC 有公共点， ∴P ，A ，B ，C 四点共面．12解假设P 与A ，B ，C 共面，则存在唯一的实数对(x ，y )，使AP →＝xAB →＋yAC →，于是对平面ABC 外一点O ，有OP →－OA →＝x (OB →－OA →)＋y (OC →－OA →)，∴OP →＝(1－x －y )OA →＋xOB →＋yOC →. 又OP →＝2OA →－OB →－OC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x －y ＝2，x ＝－1，y ＝－1.此方程组无解，这样的x ，y 不存在，故点P 与A ，B ，C 不共面．13.证明 B 1C →＝B 1O →＋OC 1→＋C 1C →＝B 1O →＋OC 1→＋D 1D →＝B 1O →＋OC 1→＋D 1O →＋OD →. ∵O 是B 1D 1的中点， ∴B 1O →＋D 1O →＝0，∴B 1C →＝OC 1→＋OD →. ∴B 1C →，OC 1→，OD →共面，且B 1C ⊄平面OC 1D . ∴B 1C ∥平面ODC 1.。

苏教版数学选修2-1：第3章空间向量与立体几何 3.2.2 课时作业(含答案)

3.2.2 空间线面关系的判定课时目标 1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系.2.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．1．用直线的方向向量和平面的法向量表示平行、垂直关系设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为e 1，e 2，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1，n 2，则2.三垂线定理文字语言：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条________在这个平面内的________垂直，那么它也和这条________垂直．几何语言：⎭⎪⎬⎪⎫b ⊄平面αc 是b 在平面α内的射影⇒a ⊥b 3．直线与平面垂直的判定定理文字语言：如果一条直线和平面内的________________________，那么这条直线垂直于这个平面．几何语言：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂α，b ⊂α⇒l ⊥α一、填空题1．平面ABCD 中，A (0,1,1)，B (1,2,1)，C (－1,0，－1)，若a ＝(－1，y ，z )，且a 为平面ABC 的法向量，则y 2＝______.2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为__________．3.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________．(写出所有正确的序号)4．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k ＝________. 5．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是_______________________________________________．6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(1,1,1)，若b ＝b 1＋b 2，且b 1∥a ，b 2⊥a ，则b 1，b 2分别为________________．7.已知A （0,2,3），B （-2,1,6），C （1，-1,5），若a a ⊥AB →，a ⊥AC →，则向量a 的坐标为________．8．设平面α、β的法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6,6)，则α、β的位置关系为________．二、解答题9．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.如图所示，在六面体ABCD—A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.求证：(1)A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；(2)平面A1ACC1⊥平面B1BDD1.能力提升11．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，G、E、F分别是DD1、BB1、D1B1的中点．求证：(1)EF⊥平面A1DC1；(2)EF∥平面GAC.12．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，E、F分别是棱B1C1、C1D1的中点．证明：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面AMN∥平面BDFE.1．运用空间向量将几何推理转化为向量运算时，应注意处理和把握以下两大关系：一是一些几何题能用纯几何法和向量法解决，体现了纯几何法和向量法在解题中的相互渗透；二是向量法解题时也有用基向量法和坐标向量法两种选择． 2．利用向量法解立体几何问题的“三步曲”(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系； (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．3．2.2 空间线面关系的判定知识梳理 1.2.斜线射影3．两条相交直线垂直 l ⊥a l ⊥b a ∩b ＝A 作业设计 1．1 2．l ⊥α解析 ∵u ＝－2a ，∴a ∥u ，∴l ⊥α. 3．①②③ 4.75解析 ∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，(k a ＋b )⊥(2a －b )， ∴3(k －1)＋2k －4＝0，即k ＝75.5．垂直解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直． 6．(1,1,0)，(0,0,1)解析 ∵b 1∥a ，∴设b 1＝(λ，λ，0)，b 2＝b －b 1 ＝(1－λ，1－λ，1)，由b 2⊥a ，即a·b 2＝0， ∴1－λ＋1－λ＝0，得λ＝1， ∴b 1＝(1,1,0)，b 2＝(0,0,1)．7．(1,1,1)或(－1，－1，－1)解析设a ＝(x ，y ，z )，由题意AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0.解得x ＝1，y ＝1，z ＝1，或x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1，即a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)． 8．平行9．证明方法一 ∵B 1C →＝A 1D →，B 1A 1D ，∴B 1C ∥A 1D ，又A 1D ⊂面ODC 1， ∴B 1C ∥平面ODC 1.方法二 ∵B 1C →＝B 1C 1→＋D 1D →＝B 1O →＋OC 1→＋D 1O →＋OD →＝OC 1→＋OD →. ∴B 1C →，OC 1→，OD →共面．又B 1C ⊄面ODC 1，∴B 1C ∥面ODC 1. 方法三建系如图，设正方体的棱长为1，则可得D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，O ⎝⎛⎭⎫12，12，1，C 1(0,1,1)， B 1C →＝(－1,0，－1)， OD →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，－1， OC 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OD →＝0n ·OC 1→＝0，得⎩⎨⎧－12x 0－12y 0－z 0＝0 ①－12x 0＋12y 0＝0 ②.令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)．又B 1C →·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， ∴B 1C →⊥n ，∴B 1C ∥平面ODC 1. 10．证明以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则有A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)， A 1(1,0,2)，B 1(1,1,2)， C 1(0,1,2)，D 1(0,0,2)．(1)∵A 1C 1→＝(－1,1,0)，AC →＝(－2,2,0)， D 1B 1→＝(1,1,0)，DB →＝(2,2,0)， ∴AC →＝2A 1C 1→，DB →＝2D 1B 1→. ∴AC →与A 1C 1→平行，DB →与D 1B 1→平行，于是A 1C 1与AC 共面，B 1D 1与BD 共面． (2)DD 1→·AC →＝(0,0,2)·(－2,2,0)＝0， DB →·AC →＝(2,2,0)·(－2,2,0)＝0， ∴DD 1→⊥AC →，DB →⊥AC →.DD 1与DB 是平面B 1BDD 1内的两条相交直线， ∴AC ⊥平面B 1BDD 1.又平面A 1ACC 1过AC ， ∴平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1. 11．证明设正方体的棱长为2，以DA →、DC →、DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系D —xyz ，如图，则A (2,0,0)、C (0,2,0)、E (2,2,1)、F (1,1,2)、G (0,0,1)、A 1(2,0,2)、C (0,2,2)． (1)EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1,1)，A 1D →＝(0,0,0)－(2,0,2)＝(－2,0，－2)，DC 1→＝(0,2,2)－(0,0,0)＝(0,2,2)， ∵EF →·A 1D →＝(－1，－1,1)·(－2,0，－2) ＝(－1)×(－2)＋(－1)×0＋1×(－2)＝0， EF →·DC 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝－1×0＋(－1)×2＋1×2＝0， ∴EF ⊥A 1D ，EF ⊥DC 1.又A 1D ∩DC 1＝D ，A 1D 、DC 1⊂平面A 1DC 1， ∴EF ⊥平面A 1DC 1.(2)取AC 的中点O ，则O (1,1,0)， ∴OG →＝(－1，－1,1)，∴OG ∥EF . 又∵OG ⊂平面GAC ，EF ⊄平面GAC ， ∴EF ∥平面GAC . 12．证明不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，则A (2,0,0)，M (2,1,2)，N (1,0,2)，B (2,2,0)，E (1,2,2)，F (0,1,2)． (1)EF →＝(－1，－1,0)， DB →＝(2,2,0)．∵DB →＝－2EF →，∴DB →∥EF →. 故E 、F 、B 、D 四点共面．(2)DF →＝(0,1,2)，MN →＝(－1，－1,0)，MA →＝(0，－1，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面BDFE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝y ＋2z ＝0，n ·EF →＝－x －y ＝0.令z ＝1，得n ＝(2，－2,1)．∵n ·MN →＝(2，－2,1)·(－1，－1,0)＝0， n ·MA →＝(2，－2,1)·(0，－1，－2)＝0，∴n ⊥MN →，n ⊥MA →，即n 也是平面AMN 的法向量．∴平面AMN∥平面BDFE.。

苏教版数学选修2-1：第3章空间向量与立体几何 3.2.3 课时作业(含答案)

3.2.3 空间的角的计算课时目标 1.掌握异面直线所成角与二面角的概念，能正确运用向量的数量积求角.2.正确运用二面角的概念及两个平面的法向量的夹角与二面角大小的关系求二面角的大小.3.掌握平面的斜线所在方向向量与平面的法向量夹角与线面角的关系．1．两条异面直线所成的角 (1)定义：设a 、b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的________________叫做a 与b 所成的角．(2)范围：两异面直线所成的角θ的取值范围是________________． (3)向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为φ，则有cos θ＝|cos φ|＝__________. 2．直线与平面所成的角(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的________所成的角． (2)范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是__________．(3)向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|＝________或cos θ＝________. 3．二面角(1)二面角的取值范围：________. (2)二面角的向量求法：利用向量求二面角的平面角有两种方法：①若AB ，CD 分别是二面角α—l —β的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小θ是向量AB →与CD →的夹角(如图①所示)．即cos θ＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|.②设n 1、n 2是二面角α—l —β的两个面α、β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图②所示)．即二面角α—l —β的大小θ的余弦值为cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|或cos θ＝－n 1·n 2|n 1|·|n 2|.一、填空题1．若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°，则l 1与l 2这两条异面直线所成的角为_______________________________________________________． 2．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l 与平面α所成的角为________． 3.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是棱CC 1，BC ，A 1B 1上的点，若∠B 1MN ＝90°，则∠PMN 的大小是______．4．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则二面角A—BC—D的平面角的余弦值是________．5．已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC 的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为________．6．若两个平面α，β的法向量分别是n＝(1,0,1)，ν＝(－1，1,0)，则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．7．如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．8．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为________．二、解答题9.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，求异面直线AM与C1N所成的角的余弦值．10.如图所示，三棱柱OAB—O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB ＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．能力提升11．已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，且AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点． (1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小． 12.如图所示，底面ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SAB 所成二面角的余弦值．1．两异面直线所成的角θ等于两异面直线的方向向量a ，b 所成的角(或其补角)，所以求解时要加绝对值，cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|. 2．求直线与平面的夹角的方法与步骤思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．3．二面角的求法往往有两种思路．一种是几何法，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两条线段，找出二面角的平面角，这是几何中的一大难点．另一种是向量法，当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出．可以根据所求二面角是锐角还是钝角确定二面角大小．3．2.3空间的角的计算知识梳理1．(1)锐角或直角 (2)0<θ≤π2 (3)|a·b||a||b |2．(1)射影 (2)0≤θ≤π2 (3)|a·u ||a||u | sin φ3．(1)[0，π]作业设计 1．30° 2．60° 3．90°解析 A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，故A 1B 1⊥MN .∵MP →·MN →＝(MB 1→＋B 1P →)·MN →＝MB 1→·MN →＋B 1P →·MN →＝0，∴MP ⊥MN ，即∠PMN ＝90°. 4.33解析建立如图所示的空间直角坐标系O —xyz ，设正方形ABCD 的棱长为1，则 O (0,0,0)，A ⎝⎛⎭⎫0，0，22， B ⎝⎛⎭⎫0，－22，0，C ⎝⎛⎭⎫22，0，0. ∴AB →＝⎝⎛⎭⎫0，－22，－22，BC →＝⎝⎛⎭⎫22，22，0.设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧－22y －22z ＝0，22x ＋22y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，x ＋y ＝0.可取n ＝(1，－1,1)．由题意知，平面BCD 的法向量为OA →＝⎝⎛⎭⎫0，0，22，∴cos 〈n ，OA →〉＝n ·OA →|n ||OA →|＝2222×3＝33，即二面角A —BC —D 的平面角的余弦值为33. 5.34解析如图建立空间直角坐标系，因为A 1D ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，设三棱柱的棱长为1，则AD ＝32，AA 1＝1，A 1D ＝12，故A 1⎝⎛⎭⎫0，0，12. 又A ⎝⎛⎭⎫32，0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，∴AA 1→＝⎝⎛⎭⎫－32，0，12＝CC 1→，AB →＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，0，∴cos 〈CC 1→，AB →〉＝34.∴异面直线AB 与CC 1所成角的余弦值为34.6．60°解析 ∵cos 〈n ，ν〉＝－12·2＝－12.∴〈n ，ν〉＝120°.故两平面所成的锐二面角为60°.7．90°解析建立如图所示的坐标系，设正三棱柱的棱长为1，则 B ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，M⎝⎛⎭⎫32，12，12，B 1⎝⎛⎭⎫32，－12，1，因此AB 1→＝⎝⎛⎭⎫32，－12，1，BM →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，设异面直线AB 1与BM 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈AB 1→，BM →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－12＋12|AB 1→|·|BM →|＝0， ∴θ＝90°. 8.31010解析如图，连结A 1B ，则A 1B ∥C D 1，故异面直线BE 与CD 1所成的角即为BE 与A 1B 所成的角．设AB ＝a ，则A 1E ＝a ，A 1B ＝5a ，BE ＝2a . 在△A 1BE 中，由余弦定理得，cos ∠A 1BE ＝BE 2＋A 1B 2－A 1E 22BE ·A 1B＝2a 2＋5a 2－a 22×2a ×5a＝31010.9．解方法一 ∵AM →＝AA 1→＋A 1M →， C 1N →＝C 1B 1→＋B 1N →，∴AM →·C 1N →＝(AA 1→＋A 1M →)·(C 1B 1→＋B 1N →) ＝AA 1→·B 1N →＝－12.而|AM →|＝(AA 1→＋A 1M →)·(AA 1→＋A 1M →)＝|AA 1→|2＋|A 1M →|2＝1＋14＝52. 同理|C 1N →|＝52.设α为异面直线AM 与C 1N 所成的角，则cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AM →·C 1N →|AM →||C 1N →|＝1254＝25.方法二以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D —xyz . 则A (1,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫1，12，1， C 1(0,1,1)，N ⎝⎛⎭⎫1，1，12，于是有AM →＝⎝⎛⎭⎫1，12，1－(1,0,0)＝⎝⎛⎭⎫0，12，1， C 1N →＝⎝⎛⎭⎫1，1，12－(0,1,1)＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12. ∴AM →·C 1N →＝0×1＋12×0＋1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12，又|AM →|＝02＋⎝⎛⎭⎫122＋12＝52， |C 1N →|＝12＋02＋⎝⎛⎭⎫－122＝52，∴cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AM →·C 1N →|AM →||C 1N →|＝1254＝25.10．解建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，O 1(0,1，3)， A (3，0,0)，A 1(3，1，3)， B (0,2,0)，∴A 1B →＝OB →－OA 1→＝(－3，1，－3)， O 1A →＝OA →－OO 1→＝(3，－1，－3)． ∴cos 〈A 1B →，O 1A →〉＝A 1B →·O 1A →|A 1B →||O 1A →|＝(－3，1，－3)·(3，－1，－3)7·7＝－17.∴异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为17.11.(1)证明设P A ＝1，以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴正向建立空间直角坐标系如图所示，则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，M (1,0，12)，N (12，0,0)，S (1，12，0)．所以CM →＝(1，－1，12)，SN →＝(－12，－12，0)．因为CM →·SN →＝－12＋12＋0＝0，所以CM ⊥SN .(2)解 NC →＝(－12，1,0)，设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧a ·CM →＝0，a ·NC →＝0，即⎩⎨⎧x －y ＋12z ＝0，－12x ＋y ＝0.令x ＝2，得a ＝(2,1，－2)．因为|cos 〈a ，SN →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·SN →|a |·|SN →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－123×22＝22，所以SN 与平面CMN 所成的角为45°.12．解如图所示以A 为原点，AB ，AD ，AS 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D ⎝⎛⎭⎫0，12，0，C (1,1,0)， S (0,0,1)，A (0,0,0)．所以SD →＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1，SC →＝(1,1，－1)，AD →＝⎝⎛⎭⎫0，12，0，设平面SDC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥SD →，n ⊥SC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ SD →·n ＝0，SC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12y －z ＝0，x ＋y －z ＝0，令z ＝1，则x ＝－1，y ＝2. 此时n ＝(－1,2,1)．而AD →是平面SAB 的法向量，则|AD →·n ||AD →||n |＝63.观察图形可知平面SCD 与平面SAB 所成角的余弦值为63.。