高等数学第五讲+黎曼积分

第五讲 黎曼积分（正常积分）
§4.1 定积分
一、定积分产生的背景：计算曲边梯形面积的代数和. 二、定积分⎰
b
a dx x f )(的概念和定义 (一)定积分
⎰
b
a
dx x f )(的概念
首先用小的矩形的代数面积去近似地代替小的曲边梯形的代数面积,然后用小的矩形的代数面积的和去近似地代替小的曲边梯形的代数面积的和(曲边梯形的代数面积),第三,让每个小的矩形的代数面积的绝对值要多么小有多么小,则小的矩形的代数面积的和去准确地代替小的曲边梯形的代数面积的和(曲边梯形的代数面积),这样我们就通过使用直边图形的面积公式得到曲边梯形的代数面积.
(二) 定积分
⎰
b
a
dx x f )(的定义
定义(b a <): 函数)(x f 在闭区间],[b a 有定义，划分
{}{}n n b x x a x T ∆∆∆====,,,,,,ΛΛ2110把闭区间],[b a 划分成n 个小区间
n ∆∆∆,,,Λ21，其中],[i i i x x 1-=∆，b x x x x a n =<<<<=Λ210，1--=∆i i i x x x ， {}i n
i x T ∆=≤≤max 1(分割T 的细度)，i i ∆∈ξ,若极限
i n i i T x f ∆∑=→)(lim 1
0ξ存在，我们称极限J x f i n
i i T =∆∑=→)(lim 1
0ξ为函数)(x f 在闭区间
],[b a 上定积分（Riemann 积分）
，记作i n
i i T b
a
x f dx x f ∆=∑⎰=→)(lim )(1
0ξ. 定
义(b a >): 函数)(x f 在闭区间],[a b 有定义，划分
{}{}n n b x x a x T ∆∆∆====,,,,,,2110ΛΛ把闭区间],[a b 划分成n 个小区间
n ∆∆∆,,,Λ21，其中],[i i i x x 1-=∆，b x x x x a n =>>>>=Λ210，1--=∆i i i x x x ， {}i n
i x T ∆=≤≤max 1(分割T 的细度)，i i ∆∈ξ,若极限
i n i i T x f ∆∑=→)(lim 1
0ξ存在，我们称极限J x f i n
i i T =∆∑=→)(lim 1
0ξ为函数)(x f 在闭区间
],[a b 上定积分（Riemann 积分）
，记作i n
i i T b
a
x f dx x f ∆=∑⎰=→)(lim )(1
0ξ. 定义(微元法的定义): 函数)(x f 在闭区间],[b a 有定义，在),(b a 上任取一点
x ，按积分下限到积分上限的方向给点x 一个增量dx ，dx 的绝对值是要多么小有
多么小的正数，用dx x f )(表示小曲边梯形的代数面积（面积前加正或负号），用符号
⎰
b
a
dx x f )(表示把闭区间],[b a 上小曲边梯形的代数面积累积起来的曲边梯形的
代数面积，如果
⎰
b
a
dx x f )(的值存在，我们称⎰b
a
dx x f )(为函数)(x f 在闭区间
],[b a 上定积分（Riemann 积分）.
由上述两个定义可以看出(1)i T x dx ∆=→lim 0
; (2)
∑⎰
=→=n
i T b
a
1
0lim ;(3)
)(lim )(i T f x f ξ0
→=.
由定义知:①dx 表示函数定义域（x 轴上的区域）上点x 处沿方向(从积分下限到积分上限)的增量,是绝对值要多么小有多么小的实数;②当b a >时,0>dx ,当
b a <时,0<dx ;③⎰b
a
dx x f )(表示)(x f y =,a x =,b x =所围成的曲边梯形的
面积(0><)(,x f b a 或0<>)(,x f b a )或面积的相反数(0>>)(,x f b a 或
0<<)(,x f b a )；④函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续或有有限个间断点，则极限
i n
i i T x f ∆∑=→)(lim 1
0ξ存在，
即函数)(x f 在闭区间],[b a 上Riemann 可积；⑤函数)(x f 在闭区间],[b a 上有界，则极限i
n
i i
T x f ∆∑=→)(lim
1
0ξ不一定存在，即函数)(x f 在闭区
间],[b a 上不一定Riemann 可积, 如狄利克雷函数⎩
⎨
⎧=为无理数当，为有理数，
当x x x D 0,1)(.
三、计算: (1)常规计算法 ①牛顿-莱布尼兹公式法
)()()()(a F b F a b
x F dx x f b
a
-==⎰
,其中)()(x f x F ='. 或
[][])()()()()(a F b F a
b
C x F a b dx x f dx x f b
a
-=+==
⎰⎰
,其中)()(x f x F =',该式
说明为什么函数)(x f 的所有原函数叫做函数)(x f 的不定积分,并且函数)(x f 的不定积分用符号
⎰dx x f )(表示.
②分步积分法 []()d ()()()()d (),[,]b b
b
a a
a
f x
g x f x g x g x f x x a b =-∈⎰
⎰.
③换元积分法
第一换元积分法
()()()()u d u f x d x f d
c
b
a
⎰⎰=)()(ϕϕ，其中)(x u ϕ=，()c a =ϕ，()d b =ϕ。

第二换元积分法
()d (())()d ,(),()b a
f x x f t t t a b β
α
ϕϕϕαϕβ'===⎰
⎰.
(2)对称性计算法:
当函数)(x f 在对称闭区间],[a a -上为奇函数()()(x f x f -=-)时,则
0=⎰
-a
a
dx x f )(;当函数)(x f 在对称闭区间],[a a -上为偶函数()()(x f x f =-)
时,则
⎰⎰
=-a
a
a
dx x f dx x f 0
2)()(.
四、定积分计算的例题和习题
例1 （上海大学2004年）给出有界函数)(x f 在闭区间],[b a 上Riemann 可积的定义。

试举出一个在闭区间],[b a 上有界但不可积的例子，并给出证明.
证明: Riemann 可积的定义: 设在闭区间],[b a 上的有界函数为)(x f ,对
0>∀ε,存在0>δ,当δ<T 时,有
εξ<-∆∑=J
x f i
n
i i
)(1
,其中J 是一个常数,
{}
n T ∆∆∆=,,,Λ21为
闭
区间
]
,[b a 的
任
意
分
割,i i ∆∈ξ,a x =0 ,b x n =,],[i i i x x 1-=∆,1--=∆i i i x x x ,{}i n
i x T ∆=≤≤1max .
在闭区间],[b a 上有界但不可积的例子⎩⎨
⎧=为有理数
若，为无理数若x x x f 1
0,)(.
存在a b -=ε,对0>∀δ,当δ<T 时,有
a b J
x f i
n
i i
-==-∆∑=εξ)(1
,其
中i i ∆∈ξ的有理数.故⎩⎨⎧=为有理数
若，为无理数若x x x f 1
,
0)(在闭区间],[b a 上有界但不
可积.
例2(兰州大学2005年)求⎰1
xdx ln .
解: 首先判断积分
⎰1
xdx ln 反常性。

因为ln x 在[0,1]上有间断点0，并且0
lim ln x x +
→=∞，所以积分⎰1
xdx ln 是反
常积分。

()
1
1
1
0001ln lim ln lim ln ln a a a a xdx xdx x x xd x a ++→→⎛⎫==- ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰ ()()100001lim ln lim (ln )1lim(ln )lim 1a a a a a x x dx a a a a a a a ++++→→→→⎛⎫
⎡⎤=-=--=-- ⎪⎣⎦⎝⎭
⎰0002
1
ln lim 1lim
1lim()1111a a a a a a a a
+++→→→=-=-=--=--. 例3(华东师范大学2006年)求
⎰1
22
xdx x
ln .
解: 因为2
2
ln x x 在[0,1]上有间断点0，并且
()2222000000232
3
11
2ln ln ln lim ln lim lim lim lim
lim 0,
12122x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x +++++
+→→→→→→======--所以积分
⎰
1
22xdx x ln 是黎曼积分（正常积分）。

因为()
22
lim ln x x x +
→，所以()()()322222
lim ln lim ln lim lim ln 0x x x x x x x x x x x x ++++
→→→→=⋅=⋅=，
()()32222000011lim ln lim ln lim ln lim 0ln ln x x x x x x x x x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝
⎭ 。

进而
⎰⎰⎰-==10
2323103
21
02
2
31013131x d x x x xdx xdx x ln ln ln ln 27292019201319201920131920131
32013110
23231033
2310
32310223=+-=+-=-=-=
⎰⎰⎰⎰dx x x x x x x d x x x x x xdx x x xdx x x x ln ln ln ln ln ln ln ln ln
例4（南京理工大学2006年）()
⎰
1
2006
dx x x ln .
解: 因为()
2006
ln x x 在[0,1]上有间断点0，并且
()(
)
()2005
200620052006
00002
200420040002
12006ln ln 2006ln lim ln lim lim
lim
1111
20062005ln 20062005ln lim lim lim 2006!0,
11x x x x x x x x
x x x x x x x x
x
x x x x x
+++++++→→→→→→→⋅
===--⋅⋅⋅=-====-L 所以积分
()
⎰
1
2006
dx x x ln 是黎曼积分（正常积分）。

因为()(
)2006
lim ln 0x x x +
→=，所以
()(
)
()
(
)
()
(
)2006
2006
2006
20
lim ln lim ln lim lim ln 0
x x x x x x x x x x x x +
+++→→→→=⋅=⋅=，
()(
)
()()2005
20062
2
0020062001lim ln lim ln ln 1lim
ln lim 0,.ln x x x x x x x x x x x x +
+++→→→→⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭⎡⎤=⋅=⎣
⎦L
进而
()
()
⎰⎰
⎪⎭
⎫
⎝⎛=1
22006
1
2006
21x d x dx x x ln ln . ()()
()
()()⎰⎰⎰⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=-=-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1
0220051
020********
22006221ln 22006ln 22006ln 2101ln 21x d x dx x x x d x x x
()()()
()()Λ
=-⋅=--⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=
⎰
⎰1
02004
2
102005
220052ln 220052006ln 212200601ln 2122006dx x x x d x x x
()
()2007220061
020062!
200601212!20062!2006=-=-=⎰
x xdx . 例5（陕西师范大学2003年）()200222003421
2002
ln ln 1e
x xdx x x x dx -+++⎰
⎰
.
解
:
因
为
()
1
242003++x x x ln 为奇
函
数
.
所
以
()2002
2003422002
ln 10x x x dx -++=⎰
.
又因为
32
3
32331
111111121ln ln ln 33133919
e
e e e e e x xdx xdx x x x dx e x +==-=-=
⎰
⎰⎰, 所以
()32002
2
2003
4
2
1
2002
21
ln ln 19
e
e x xdx x
x x dx -++++=⎰
⎰
.
例6(山东科技大学2005年)计算
xdx ⎰
20
20π
sin .
解: 因为
()()dx x C x C x C x C x C dx
x dx x xdx ⎰⎰⎰
⎰+++++=-=-=πππ
π
01110
10108810661044102210011
10
2
10
1020
202
121221cos cos cos cos cos cos cos sin ,
由于
2
2210
2
ππ
π
=+=⎰
⎰
dx x dx x cos cos , ()8
342411421421002
02
04ππ
πππ=++=+=+=⎰⎰⎰⎰dx x
dx x dx x dx x cos cos cos cos , ()32
60000
1cos 4131cos 213cos 252cos ,88816
x x x xdx dx dx dx πππππ++⋅++====⎰⎰⎰⎰()()128
3516424112416116
42124161164212416116
226116
2100202
420
40
8
πππ
ππ
π
π
=
++
++⋅+=+++⋅+=+++⋅+=++=
+=⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰
dx x x dx x x dx x x dx
x
x dx x dx x cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos
()dx x
x dx x dx x ⎰
⎰
⎰
++=
+=π
π
π
420
50
10
32
2cos 52cos 10132
2cos 1cos
()256
6332424cos 11524cos 110132
42cos 1524cos 110132
42cos 1524cos 110100202
πππ
π
=
++
⋅++⋅+=+⋅++⋅+=+⋅++⋅+=⎰⎰⎰dx x x dx x x dx
x x
,
所以
ππ
19
20
202
46189
=
⎰
xdx sin .
例7(上海大学2005年)求定积分
x x x
x d sin cos ⎰-++2
221π
π.
解:因为
x x 21sin +为奇函数,x
x
2
1sin cos +为偶函数,所以()
2
22
2
222002cos cos 1d 2d 2dsin 2arctan sin .
1sin 1sin 1sin 2
x x x x x x x x x x π
ππ
π
ππ
-+====
+++⎰⎰⎰ 例8 (北京交通大学2003年)求
⎰1
x x d arcsin .
解:
⎰⎰
-⋅=10
101
arcsin d arcsin d arcsin x x x x x x
()
()
1
2
122
1
21d 11212d 12
10
212
102
2
1
2
-=
-⋅+=-+
=
--=
⎰⎰
π
π
π
πx -x
x x x
x .
例9(北京交通大学2004年)求⎰
-2
1
21x x d .
解：令t x sec =，则
⎰⎰⎰
=⋅=-3032302
1
2
d cos sin d tan sec tan d 1π
πt t t
t t t t x x
()
()()
⎰⎰
+-=-=2
3
2
30
2
22
2
22
d 11d 1x x x x x x x ()()()()⎰⎰
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=2
3
222
30
22d 14111411d 1414x x x x x x x x x x
()()()()⎰
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+++----=2
30
22d 141141141141x x x x x ()()()()0
23141
0231ln 410231ln 4102314122x x x x +-+--+-= (
)()
223
21
232ln 41232ln 4141321
+-+--+--=
()
32ln 2
1
38+-=.
例10(南京理工大学2004年)求⎰
-a
x x ax x 20
22d .
解：因为
()2
222a x a x ax --=-，所以令t a a x sin +=,进而
tdt a dx cos =.
（1） 当0≥a 时, 有
()22220
2
sin cos a
x a a t a tdt π
π-=+⎰
⎰
3
2
322
22
2
cos sin cos a tdt a t tdt π
π
ππ-
-
=+⎰⎰
3
3
32
2222
1cos 2cos cos 22t a a dt a td t π
ππππ--+=-=⎰⎰.
（2） 当0a <时,
有
()22220
2
sin cos a
x a a t a tdt π
π-=-+⎰
⎰
3
2
32222
2
cos sin cos a tdt a t tdt π
π
ππ-
-
=--⎰⎰
3
322
2
22
1cos 2cos cos 2t a dt a td t π
π
ππ--+=-+⎰⎰
3
2
a π=-
练习:
[1] (中国科学院武汉物理与数学研究所2004年)计算
⎰-2
32
21π
π
x x
x
d cos sin .（提示:
利用降幂公式x x
cos 12
sin
22
-=，答案：0）.
[2] (中山大学2007年)计算⎰
+20
π
x x
x x
d cos sin sin .（提示: 根据积分的上下限作变
量替换2
x t π=
-.答案：
4
π
）. [3] (湖南师范大学2005年)计算⎰
+=
π
21x x
x
x I d cos sin .（提示: 根据积分的上下限
作变量替换x t π=-.答案：
4
2
π）.
[4] (南京理工大学2006年)求
()
⎰++1
0211x x x d ln .（作变量替换tan x t =.答案：
π8
2
ln ） [5] (武汉理工大学2004年)计算⎰
=
π
n x x x I 0
d sin ,n 为正整数. （提示:
[]0
1
(1)sin d n
k I x k x x π
π==+-∑⎰.答案：π2n ）
[6] (山东师范大学2005年)求
⎰
e
e
x x 1d ln .（答案：2）.
[7] (上海理工大学2005年)计算定积分
⎰
--2
2
1x x x
d e -.（答案：26
22e
e -+
）. [8] (上海理工大学2003年)设函数⎩⎨
⎧>≤+=1
112x x x x x f ,
,,
)(,计算定积分
⎰
3
1
1x x-f )d (.（提示: 作变量替换1t x =-. 答案：
6
23）. [9] (辽宁大学2004年)设)(x f 的一个原函数是()x x +1ln ,计算定积分
⎰
-'1
231x x f x d )(.（提示: 作变量替换21t x =-.答案：
2
2
ln ）. [10] (辽宁大学2005年)设dt t
t
x f x
⎰
=1
sin )(,计算定积分⎰10x x xf d )(.（提示: 用
分部积分法. 答案：
2
1
1sin cos -）. [11] (山东科技大学2006年)设)()
ln()(011
>+=
⎰
x dt t
t x f x
,证明:
()2
211x x f x f ln )(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+(对
11
1ln(1)
x t f dt x t +⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰进行变量替换1s t =).
[12] (上海理工大学2004年)设)(x f 在],[π0上具有二阶连续导数,3=')(πf ,且
[]2
=''+⎰xdx x f x f cos )()(π
,求
)(0f '(提示: 用分部积分法
[]0
()()cos ()sin cos ()
f x f x xdx f x d x xdf x ππ
π'''+=+⎰⎰
⎰. 答案:
(0)5f '=-).
五、定积分的应用
1、函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，将函数)(x f 的图形绕x 轴旋转一周，则所得到的旋转体的体积V 为：⎰
=b
a
dx x f V )(2π
.
2、函数)(y f 在闭区间[]d c ,上连续，将函数)(y f 的图形绕y 轴旋转一周，则所得到的旋转体的体积V 为：⎰
=d
c
dy y f V )(2π
.
3、 函数)(),(x g x f 在闭区间[]b a ,上连续，)()(x g x f ≥,将函数)(),(x g x f 所围成的图形绕x 轴旋转一周，则所得到的旋转体的体积V 为：
[]
⎰-=b
a
dx x g x f V )()(22π.
4、计算旋转体的表面积
如果函数)(x f 在[]b a ,上连续, 0≥)(x f ,将函数)(x f 的图形绕x 轴旋转一周，则所得到的旋转体V 的表面积A 为: []dx x f x f A b
a
⎰
'+=2
12)()(π
.
推导如下:在闭区间[]b a ,上任取一点x ,沿a 到b 的方向给点x 一个增量
dx ,dx 是要多么小有多么小的正数, 在点x 处做yoz 的平行平面与旋转体V 边界
相交于一个圆,则改圆的周长为)(x f π2,小位微元dV 的表面积为
[]dx x f x f 2
12)()('+π,由微元法知, 旋转体V 的表面积
[]dx x f x f A b
a
⎰'+=2
12)()(π.
练习:
[1](复旦大学2001年)请计算由抛物线()()02
>=+a ax y x 和x 轴所围成的平面
区域D 的面积S .(答案:6
2
a )
[2] (中山大学2005年)设)(sin 0>=a x a y ,试确定参数a ,使得曲线x a y sin =和它在点()0,π的法线方程,以及与y 轴所围成区域的面积最小. (答案:2
π=a ,
最小面积为π2)
[3](中山大学2007年)在Oxy 平面上,光滑曲线L 过()01,点,并且曲线L 上任意一点))(,(0≠x y x P 处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax ,0>a 为常数. (1)求曲线L 的方程;
(2)如果曲线L 与直线ax y =所围成的平面图形的面积为8,确定a 的值 (答案: 曲线L 的方程()1-=x ax y ,6=a )
[4](山东科技大学2004年)求摆线()θθsin -=a x ,()θcos -=1a y 在一个拱形(πθ20≤≤)绕横轴旋转所产生的体积. (答案:3
25a π). [5](山东科技大学2004年)求对数螺线
ϕ
ρ32e
⋅=从点()02,A 起变到点
(
)
ππ
,32e
B 的弧长. (答案:
(
)
13
43-π
e )
[6](汕头大学2003年)设0>a ,求星型线⎩
⎨⎧==ϕϕ
3
3sin cos a y a x )(πϕ20≤≤的全长. (答案:a 6)
[7](湖南师范大学2005年)求曲线⎩
⎨
⎧-=-=t t y t
t x cos sin )(π20≤≤t 的弧长. (答案:8)
[8](南京大学2003年)过点()01,p 做抛物线2-=
x y 的切线，求：
（1）切线方程；（2）由抛物线、切线及x 轴所围成的平面图形的面积;(3)该图形分别绕y x 、轴旋转一周的体积. (答案: 切线方程:()121
-=
x y ; 面积:3
1;体积π
56
). [9](河北大学2006年)设有两条抛物线n nx y 12
+=和()1
112+++=n x n y ,记它们交点横坐标的绝对值为n a .
(1)求这两条抛物线所围成平面图形的面积n S ;
(2)求级数∑∞
=1i n
n a S
的和.(答案: 平面图形的面积(
)
2
3234n
n S n +=
;
341=∑∞
=i n
n a S ). [10] (北京航空航天大学2005年)设0>p ,求直线2
p x =
和抛物线px y 22
=所围图形绕直线p y =旋转而成的旋转体的体积. (答案:π2
2
p ). [11](浙江师范大学大学2005年) 求由抛物线x y =2
与直线032=--y x 所围图形的面积. (答案:
3
32). [12](浙江师范大学大学2005年) 求由抛物线x y 22
=与抛物线y x 22
=所围图形的面积. (答案:
3
4). [13](重庆大学2003年)求圆柱体2
2
2
a y x =+与2
22a z x =+()0>a 所围立体的
体积. (答案:
3
3
16a ) [14](中国科学院2006年) 求星型线⎩⎨⎧==ϕ
ϕ
3
3sin cos a y a x )(πϕ20≤≤绕直线x y =旋转所成的曲面的表面积. (答案:
()
1245
32
-a π).
[15](东南大学2005年)设悬链方程为()
x x
e e y -+=
2
1,它在[]t ,0上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为)(),(t A t s .该曲边梯形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积、侧面积和t x =处的截面面积分别记为)(),(),(t F t S t V ，证明： （1）)()(t A t s =，0>t ；（2）)()(t V t S 2=；（3）)
()
(lim t F t S t +∞→.
§4.2二重积分
⎰⎰⎰⎰=D
D
dxdy y x f d y x f ),(),(σ
一、二重积分产生的背景: 曲顶柱体体积的代数和. 二、二重积分的概念和定义 (一) 二重积分
⎰⎰D
dxdy y x f ),(的概念
首先用小的长方体的代数体积去近似地代替小的曲顶柱体的代数体积,然后用小的长方体的代数体积的和去近似地代替小的曲顶柱体的代数体积的和(曲顶柱体的代数体积),第三,让每个小的长方体的代数体积的绝对值要多么小有多么小,则小的长方体的代数体积的和去准确地代替小的曲顶柱体的代数体积的和(曲顶柱体的代数体积),这样我们就通过使用直边图形的体积公式得到曲顶柱体的代数体积. (二) 二重积分
⎰⎰D
dxdy y x f ),(的定义
定义 函数
),(y x f 在闭区域D 上有定义，划分
{}nm m m T σσσσσσΛΛΛ,,,,,,,22111211=把闭区域D 划分成m n ⨯个小区域
nm m m σσσσσσΛΛΛ,,,,,,,22111211，用ij σ∆表示区域ij σ的面积，
{}的直径ij m
j n
i T σmax 11≤≤≤≤=，ij i i σηξ∈),(,若极限ij n i m
j j
i
T f ση
ξ∆∑∑==→11
0),(lim
存在，我们
称极限J ),(lim
11
0=∆∑∑==→ij
n
i m
j j
i
T f σ
ηξ为函数),(y x f 在闭区域D 上的二重积分
（Riemann 积分），记作
ij
n i m
j j
i
T D
D
f dxdy y x f d y x f σ
ηξσ∆==∑∑⎰⎰⎰⎰==→11
0),(lim ),(),(.
由定义知:①dy dx ,分别表示定义域（xoy 面上的区域）中点),(y x 处x 和y 轴正方向的增量(该变量更确切),都是要多么小有多么小的正数(不能为负);②
⎰⎰⎰⎰D
D
dxdy y x f d y x f ),(,),(σ表示),(y x f z =为顶，底为区域D 的曲顶柱体的体
积(0>),(y x f )或体积的相反数(0<),(y x f )；③函数),(y x f 在闭区域D 上连
续或有有限条间断曲线，则极限ij n i m
j j
i
T f ση
ξ∆∑∑==→11
0),(lim
存在；④σd 表示在积分
区域D 面上长、宽分别是dy dx ,的小微元的面积, 即dxdy d =σ.
定义(微元法的定义): 函数),(y x f 在闭区域D 有定义，在闭区域D 上任取一点),(y x ，分别按y x ,轴的正向给点),(y x 一个增量),(dy dx 向量，dy dx ,是要多么小有多么小的正数，用dxdy y x f ),(表示曲顶柱体的代数体积（体积前加正或负号），用符号
⎰⎰D
dxdy y x f ),(或⎰⎰D
d y x f σ),(表示把闭区域D 上小曲顶柱体的代数
体积累积起来的曲顶柱体的代数体积，如果⎰⎰D
dxdy y x f ),((无限个实数的和)的值
存在，我们称
⎰⎰D
dxdy y x f ),(或⎰⎰D
d y x f σ),(为函数),(y x f 在闭区域D 上的二
重积分（Riemann 积分）.
三、二重积分的计算: 1、在直角坐标系下的计算 (1) 矩形区域D :],[],[d c b a ⨯.
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰==d
c
b a
b a
d
c
D
dy y x f dx dx y x f dy dxdy y x f ),(),(),(.
为什么矩形积分区域D 上的二重积分有两种计算方法,原因是: 对矩形区域D 内每个点()y x ,,要使点()y x ,布满整个矩形区域D ,并且点没有重复,我们有两种
科学有效的方法: (1)首先让点()y x ,沿x 轴移动, 起点为()y a ,,终点为()y b ,,即
x 的取值范围为[]b a ,,进而得到[]d c y dx y x f y I b
a
,,),()(∈=⎰, 这是平行于x 轴的
一条恒定长线段(和y 的取值无关), 然后让点()y x ,沿y 轴移动, 起点为()c x ,,终点为()d x ,,即y 的取值范围为[]d c ,,这时点()y x ,就布满矩形区域D , 进而得到矩形区域D 上的积分
⎰⎰
b
a
d
c
dx y x f dy ),(. (2) 首先让点()y x ,沿y 轴移动, 起点为
()
c x ,,终点为
()
d x ,,即y 的取值范围为
[]
d c ,,进而得到
[]b a x dy y x f x I d
c
,,),()(∈=⎰, 这是平行于y 轴的一条恒定长线段(和x 的取值无
关), 然后让点()y x ,沿x 轴移动, 起点为()y a ,,终点为()y b ,,即x 的取值范围为
[]b a ,,这时点()y x ,就布满矩形区域D , 进而得到矩形区域D 上的积分
⎰⎰
d
c
b
a
dy y x f dx ),(.
(2) X 型区域D :)()(,x y x b x a 21ϕϕ≤≤≤≤.
⎰
⎰⎰⎰
=)
()
(21),(),(x x b
a
D
dy y x f dx dxdy y x f ϕϕ.
为什么一般的X 型积分区域D 上的二重积分有一种计算方法,并且要先积y ,原因如下: 对X 型区域D 内每个点()y x ,,要使点()y x ,布满整个X 型区域D ,首先让点()y x ,沿y 轴移动, 起点为())(,1x x ϕ,终点为())(,2x x ϕ,即y 的取值范围为
[])(),(21x x ϕϕ,进而得到[]b a x dy y x f x I x x ,,),()()
()
(21
∈=⎰ϕϕ, 这是平行于y 轴的一条
非恒定长线段(和x 的取值有关), 然后让点()y x ,沿x 轴移动, 起点为())(,1x a ϕ,终点为())(,2x b ϕ,即x 的取值范围为[]b a ,,这时点()y x ,就布满矩形区域D , 进而得到矩形区域D 上的积分
⎰⎰
d
c
b
a
dy y x f dx ),(.
而对X 型区域D 内每个点()y x ,, 如果首先让点()y x ,沿x 轴移动, 起点为
()
y a ,,终点为
()
y b ,,即x 的取值范围为
[]
b a ,,进而得到
[])(),(,),()(21x x y dx y x f y I b
a
ϕϕ∈=⎰, 这是平行于x 轴的一条恒定长线段(和y 的
取值无关), 然后让点()y x ,沿y 轴移动,无论怎么确定起点和终点, 点()y x ,所覆盖的区域不能布满X 型区域D 或超出X 型区域D ,所以对一般的X 型区域D 要先积y .
(3)Y 型区域D :d y c y x y ≤≤≤≤),()(21ϕϕ.
⎰
⎰
⎰⎰=)
()
(),(),(y y d
c
D
dx y x f dy dxdy y x f 21ϕϕ
为什么对Y 型区域D 要先积x ,请同学做出说明. 2、在极坐标系下的计算
（1）+∞<≤≤≤==r r y r x 020,,sin ,cos πθθθ.
r r r y r y
x
r
x
r y x r J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=
∂∂=θ
θθθθ
θθθcos sin sin cos ),(),(),(.
⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰
==)
()
()()
(d )sin ,cos (d ),()sin ,cos (d d ),(r r b
a r r b
a
D
r r r f dr r J r r f dr y x y x f 2121ϕϕϕϕθ
θθθ
θθθ,
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰==)()
()
()
(
2121d )sin ,cos (d ),()sin ,cos (d d ),(θϕθϕβ
αθϕθ
ϕβ
αθθθθθθθr
r r r f d r
r J r r f d y x y x f D
,
其中),(y x r ρ
与x 轴的正向所成的角为θ.
（2）θθsin ,cos 00br y y ar x x +=+=，+∞<≤≤≤r 0,20πθ，b a ,为参数。

⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰
==)
()
()
()
(2121d )sin ,cos (d ),()sin ,cos (d d ),(r r b
a
r r b
a
D
abr r r f dr r J r r f dr y x y x f ϕϕϕϕθ
θθθ
θθθ,
⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰
==)
()
()
()
(2121d )sin ,cos (d ),()sin ,cos (d d ),(θϕθϕβ
α
θϕθϕβ
α
θθθθθθθr
abr r r f d r
r J r r f d y x y x f D
，
abr br b ar a y r y
x
r
x
r y x r J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=
∂∂=θ
θθθθ
θθθcos sin sin cos ),(),(),(。

注意: ①通过极坐标变换,把直角坐标系下的积分转化成极坐标系下的积分,这种方法虽不能减少积分变量(一般情况下),但可改变被积函数的形式, 使被积函数转化为容易积分的被积函数. 极坐标变换计算二重积分,一般被积函数同时含有
22,y x 项.②通过极坐标变换计算二重积分,要特别注意θθd d ),(r r J dxdy =,其中
),(θr J 为雅克比行列式的绝对值.
3、对称性计算法:
(1)当积分区域D 关于x 轴对称时,且函数),(),(y x f y x f -=-时,则
0=⎰⎰D
y x y x f d d ),(;当积分区域D 关于x 轴对称时,且函数)
,(),(y x f y x f =-时,则
⎰⎰⎰⎰=1
2D D
y x y x f y x y x f d d ),(d d ),(,其中区域1
D 为0≥y 的区域D .
(2)当积分区域D 关于y 轴对称时,且函数),(),(y x f y x f -=-时,则
0=⎰⎰D
y x y x f d d ),(;当积分区域D 关于y 轴对称时,且函数)
,(),(y x f y x f =-时,则
⎰⎰⎰⎰=1
2D D
y x y x f y x y x f d d ),(d d ),(,其中区域1
D 为0≥x 的区域D .
四、二重积分计算的例题和习题 例1 (辽宁大学2005年)求
⎰⎰10
1
2
x
y dy e
dx .
解: ⎰⎰⎰⎰⎰==1
01
001
01
2
2
2
dy ye dx e dy dy e dx y y
y x y 2
1
01212122102-=
==⎰e e dy e y y .
例2 (山东师范大学2006年)计算累次积分⎰⎰
+101
3
1y
dx x
y dy
.
解:
⎰⎰
⎰
⎰
+=+10
3
1
1
3
11x
y
dy x
y dx dx x
y dy
()⎰⎰⎰++=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+10
3310321
003211611212x d x dx x x dx x y x
3
1
213
1
10
3-=
+=
x . 例3 (中国科学院2007年)设],[],[1010⨯=D ,),(y x f 是定义在D 上的二元函
数,000=),(f ,且),(y x f 在点),(00处可微,求4
04
2
1x x t
x e
du
u t f dt -→-⎰⎰
+
),(lim
.
解: 4
40
02
4
2
),(4lim 1),(lim
x du
u t f dt e
du
u t f dt x t
x x x t
x ⎰⎰
⎰⎰
+
+
→-→=-
3
020
4
00
),(2lim ),(4lim 2
x du
u x f x x
du
u t f dt x
x x t
x ⎰⎰⎰
+
+
→→==
x
du
u x f x x x f x
du
u x f x x x x 2),(2),(2lim ),(2lim 0
2120
2
20
⎰⎰+==+
+
→→
[]
)
,(),(),(lim ),(lim 00222
221020f x x f x x xf x
x x f x x =+==+
+→→ 例 4 (上海理工大学2003年)设
)(x f 为连续函数,证
明:
dt du u f dt t f t x x
x t
⎰
⎰⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=-0
00)()()(.
证明: 因为
du dt u f dt du u f x x u x
t ⎰⎰⎰
⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00
0)()(右
左=-=-=⎰⎰dt t f t x du u f u x x x 0
)()()()(
所以
dt du u f dt t f t x x
x t
⎰
⎰⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=-0
00)()()(.
例 5 (华中科技大学2005年)设)(x f 在],[b a 上有二阶连续导数，
0='=)()(a f a f ，证明⎰⎰⎰=''-x
a
b a
b a
dy y f dx dx x f x b )()()(63.
证明: 由分步积分法可得
333
2()()()()()()3()()b
b b a a a b b x f x dx b x df x b x f x b x f x dx a '''''-=-=-+-⎰⎰⎰ 223()()()()6()()6()(),
b b b a a a b
b x df x b x f x b x f x dx b x f x dx a
=-=-+-=-⎰⎰⎰再根据积分换序有
6()6()6()()6()(),
b x b b b b
a
a
a
y
a
a
dx f y dy dy f y dx f y b y dy f x b x dx ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以⎰⎰⎰=''-x
a
b a
b
a
dy y f dx dx x f x b )()()(63
.
例6 (北京师范大学2006年)求
dxdy e D
y
⎰⎰-3
,其中D 是由y 轴、直线1=y 及曲线x y =
围成的平面区域.
解:
2
3
3
3
331
1
123
0111()330
1
3y y y y y y D
e
dxdy dy e dx y e dy e d y e e e
-----===-
-=--=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰.
例7 (西安电子科技大学2005年)求
{}dxdy e D
y x ⎰⎰2
2
,max ,其中
(){
}1010≤≤≤≤=y x y x D ,,. 解:
{}dxdy e dxdy e dxdy e x y y
x y x
D
y x
⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤≤≤+
=
1
01
0,max 2
2
2
2
⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=1
1
10
10
2
2
2
2
dy ye dx xe dx e dy dy e dx y x y
x x
x
.1012
1012121212222102102-=+=+=
⎰⎰e e e dy e dx e y x y x 例7 (大连理工大学2004年)计算积分dxdy y y
I D
⎰⎰=
sin ,其中D 是由直线x y =及抛物线2y x =所围成的区域.
解:
210sin sin y y D
y
y I dxdy dy dx y y
==⎰⎰
⎰⎰
()1
112
000sin sin sin y y y dy ydy y ydy y =-=-⎰
⎰⎰ 1
1
001
11
cos cos cos cos cos 000y yd y y y y ydy =-+=-+-⎰⎰ 111
cos cos sin 1sin1000
y y y y =-+-=-.
例8 (武汉理工大学2004年)计算
()
d xdy y x
D
⎰⎰+22
,其中D 是椭圆区域
1422≤+y x .
解: 作变量替换10,20,sin 2
1
,cos ≤≤≤≤=
=r r y r x πθθθ,Jacobi 行列式为r r r y
r y
x
r
x
r y x r J 21cos 2
1sin 21
sin cos ),(),(),(=-=∂∂∂∂∂∂∂∂=
∂∂=θθθθθ
θθθ. ()
θθθπd r r r dr dxdy y x
D
2
1
sin 41cos 2022221022
⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+
θθθθππd r r dr rd r r dr ⎰⎰⎰⎰⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20233102022210sin 832121sin 43
3250132585sin 8321410
3
20
23310
πππθθπ
===⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎰⎰
⎰r dr r d r r dr . 例9 (华东师范大学2003年)已知(){}
122≤+=y x y x D ,，计算
dxdy e
D
y x ⎰⎰+2
2.
解: 作变量替换1020≤≤≤≤==r r y r x ,,sin ,cos πθθθ,r r J =),(θ,则
)(10
122
22
2
2
1
20
10
-====⎰⎰⎰⎰⎰+e e dr r e rd e dr dxdy e r
r r D
y x
πππθπ
.
例10 (汕头大学2004年)计算积分
()dxdy
y x D ⎰⎰+,这里
()(){}
x y y x y x D -≤+=222,.
解:因为()(){
}()()(){}
21122
2
2
2
≤-++=-≤+=y x y x x y y x y x D ,,,所以
做变量替换202011≤≤≤≤+=+-=r r y r x ,,sin ,cos πθθθ.
()()θθθπ
rd r r dr dxdy y x D
⎰
⎰
⎰⎰+=+20
2
sin cos
()[].0cos sin 2
20=-=⎰
dr r r r π
θθ
练习
[1](南京航空航天大学2003年) 设平面区域D 由曲线ax y x 22
2=+围成,其中
0>a .求(
)
d xdy y x x y x y xy D
⎰⎰
++++2
2
2
2
.(答案:15
644
a ) [2] (北京师范大学2004年)
⎰⎰≤+-1
10
22y x dxdy y x )(. (答案:
121
2
,提示: 做变量替换)(),(v u y v u x -=+=
2
1
21). [3] (电子科技大学2004年)计算()[]
d xdy y b b xy b a b
a x a a I D
⎰⎰+++=
221122
12
21,
其中D 为()()h c y b x a c y b x a ≤+++++2
2222
111,212121c c b b a a ,,,,,为常
数,1221b a b a ≠,常数0>h .(答案:
1
22121b a b a h
c c -π,提示:做变量替换
222111c y b x a v c y b x a u ++=++=,).
[4] (山东师范大学2005年)求
⎰⎰
+D
dxdy xy
y x
3
23,其中D 表示平面曲线1=xy ,3=xy ,x y =2,x y 32=所围成的有界区域.( 答案:3
4
ln ,提示:做变量替换x
y v xy u 2
==,)
[5] (南京航空航天大学2004年)用二重积分计算由曲线4=xy ,8=xy ,53
=xy 和153
=xy 所围成的面积. ( 答案:32ln ,提示:做变量替换3
xy v xy u ==,) [6] (南京理工大学2004年)计算()
⎰⎰
≤≤-=
1
13
y x dxdy x y I sgn ,其中⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>=.
,,
,,sgn 010001u u u u [7](湖南师范大学2004年)求二重积分dxdy x y D
⎰⎰-,其中[][]1010,,⨯=D .(答
案:
3
1). [8] (北京工业大学2003年)计算二重积分
dxdy x y D
⎰⎰
-2,其中
[][]1011,,⨯-=D .(答案:
15
11). [9] (华东师范大学2005年)求
dxdy y x y x ⎰⎰≤++1
2243.(答案:3
20). [10] (上海理工大学2004年)求
dxdy y x y x ⎰⎰
≤+-+9
22224.(答案:
π2
41
).
[11] (北京理工大学2004年)
dxdy y x y x ⎰⎰≤+-+3
2
2222.(答案:π25). [12] (北京师范大学2003年)计算二重积分
dxdy x
y x y xy D
2
24⎰⎰
-,其中区域D 由
曲线1=xy ,2=xy ,x y =2
和x y 22=
所围成. (提示: 作变量替换
2,y u xy v x
==. 答案:243
214342-+++-π)ln(). [13]
(
湖
南
师
范大学2005年)证明不等式
()
ππ5
2
16561
1
322
22≤+≤⎰⎰≤+dxdy y x
y x sin .(提示:首先证明不等式
[]106
3,,sin ∈≤≤-x x x x x ).
[14]
(
西
安
电
子
科
技
大
学
2004
年
)
设
)
(x f 连
续,10=)(f ,)()()(02
22
22≥+=
⎰⎰
≤+t dxdy y x f t F t y x ,求)(0F ''(提示:作变量替换
cos ,sin x r y r θθ==. 答案: (0)2F π''=).
[15] (北京理工大学2004年)求⎰-1
0dx x x x a
b ln (提示: 1100ln b a b y a x x dx dx x dy x
-=⎰⎰⎰. 答案:
1
1ln ln 1b a x x b
dx x a
-+=+⎰
). [16] (上海理工大学2004年) 设)(x f 在],[10上连续,试证明:
⎰⎰≥⋅-1
1
1dx e dx e
x f x f )()
((提示: 将定积分化成二重积分,再交换x 和y .).
§4.3三重积分
一、三重积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰=V
V
dxdydz z y x f dV z y x f ),,(),,(产生的背景:多面体状物
体的质量.
二、三重积分的概念和定义 1、三重积分
⎰⎰⎰V
dxdydz z y x f ),,(的概念
首先用均匀小的长方体的质量去近似地代替小的多面体的质量,然后用小的长方体的质量和去近似地代替小的多面体的质量和,第三,让每个小的长方体的代数体积的绝对值要多么小有多么小,则小的长方体的质量和去准确地代替小的多面体的质量和,这样我们就通过使用直边图形状物体的质量得到多面体状物体的质量.
2、三重积分
⎰⎰⎰V
dxdydz z y x f ),,(的定义
定义: 函数
),,(z y x f 在闭区域V
上连续，划分
{}nmk m m V V V V V V V V T ,,,,,,,,,,1311212212111112111ΛΛΛ=把闭区域V 划分成k
m n ⨯⨯个小区域nmk m m V V V V V V V V ,,,,,,,,,,1311212212111112111ΛΛΛ，用ijl V ∆表示区域ijl V 的体积，
{}的直径ijl k
l m j n
i V T ∆=≤≤≤≤≤≤max 111，ijl
l j i V ∈),,(ςηξ,我们称极限
ijl
n i m j k
l l
j
i
T V
f ∆∑∑∑===→),,(lim
111
0ςηξ为函数),,(z y x f 在闭区域V 上的三重积分，记作
ijl
n
i m
j k
l l
j
i
T V
V
V
f dxdydz z y x f dV z y x f ∆==∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰===→),,(lim ),,(),,(111
0ςηξ.
由定义知:①dz dy dx ,,分别表示定义域上点),,(z y x 处x 、y 和z 轴正方向的增量,都是要多么小有多么小的正数.②dxdydz 表示积分区域V 内小微元的体积
dV .
定义(微元法的定义): 函数),,(z y x f 在闭区域V 有定义，在闭区域V 上任取一点),,(z y x ，分别按z y x ,,的正向给点),,(z y x 一个增量),,(dz dy dx ，dz dy dx ,,是要多么小有多么小的正数，用dxdydz z y x f ),,(表示曲顶柱体的代数体积（体积前加正或负号），用符号
dxdydz z y x f V
⎰⎰⎰),,(或dV z y x f V
⎰⎰⎰),,(表示把闭区域V
上小曲顶柱体的代数体积累积起来的曲顶柱体的代数体积，如果dxdydz z y x f V
⎰⎰⎰),,( (无限个实数的和)的值存在，
我们称dxdydz z y x f V
⎰⎰⎰),,(或dV z y x f V
⎰⎰⎰),,(为函数),,(z y x f 在闭区域V 上的三重积分（Riemann 积分）.
三、计算:
(1) 在直角坐标系下的计算
⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰
=)
()
()
,()
,(),,(),,(x x y x y x b
a V
dz z y x f dy dx dxdydz z y x f 2121ϕϕψψ，
⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰=)
()
()
,()
,(),,(),,(y y y x y x d
c
V
dz z y x f dx dy dxdydz z y x f 2121ϕϕψψ，
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
=)()()
,()
,(),,(),,(z z z x z x f
e V
dy z y x f dx dz dxdydz z y x f 2121ϕϕψψ，
⎰
⎰
⎰
⎰⎰⎰=)()()
,()
,(),,(),,(x x z x z x b
a
V
dy z y x f dz dx dxdydz z y x f 2121ϕϕψψ，
⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰
=)
()
()
,()
,(),,(),,(z z z y z y b
a V
dx z y x f dy dz dxdydz z y x f 2121ϕϕψψ，
⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰
=)
()
()
,()
,(),,(),,(y y z y z y d
c
V
dx z y x f dz dy dxdydz z y x f 2121ϕϕψψ.
(2)在球坐标系下的积分
令+∞<≤≤≤≤≤⎪⎩
⎪
⎨⎧===r r z r y r x 0200,,,cos sin sin cos sin πθπϕϕθϕθ
ϕ.
2(,,)(,,)(,,)sin cos cos cos sin sin sin sin cos sin sin cos sin cos sin 0
x x x r
x y z y
y y J r r r
z y y r r r r r r r φθφθφθφθφθ
φθφθφθ
φθ
φθφθφ
φ
φ
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-==-.
则
2211()
(,)
2()
(,)
(,,)d d d (sin cos ,sin sin ,cos ),,)d d d (sin cos ,sin sin ,cos )sin .
V
V
b
r r a r r f x y z x y z f r r r J(r r dr d f r r r r d φψφφψφφθφθφφθφθ
φφθφθφφθ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
2211()
(,)
2()
(,)
(,,)d d d (sin cos ,sin sin ,cos ),,)d d d (sin cos ,sin sin ,cos )sin .
V
V
b
r r a r r f x y z x y z f r r r J(r r dr d f r r r r d φψθφψθφθφθφφθφθ
θφθφθφφφ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
2211()
(,)
2()
(,)
(,,)d d d (sin cos ,sin sin ,cos ),,)d d d (sin cos ,sin sin ,cos )sin .
V
V
f x y z x y z f r r r J(r r d d f r r r r dr β
φθψφθα
φθψφθφθφθφφθφθ
θφφθφθφφ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
其中向径),,(z y x r ρ与z 轴的正向所成的角为ϕ,),,(0y x r ρ
与x 轴的正向所成的角为θ.
球坐标系可推广为椭球坐标系, 其变量替换表达式为:
+∞<≤≤≤≤≤⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+=r cr z z br y y ar x x 0,20,0,cos sin sin cos sin 000πθπϕϕ
θϕθϕ,其中c b a ,,为参数，且大于等于零，ϕθϕsin ),,(2
abcr r J =.
.
sin )cos ,sin sin ,cos sin (d d d ),,)cos ,sin sin ,cos sin (d d d ),,()
()
()
,()
,(⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==r r r r b
a
V
V
d abcr r r r f d dr r J(r cr br ar f z y x z y x f 21212ϕϕϕψϕψθϕϕθϕθϕϕθ
ϕθϕϕθϕθϕ。