Jaulent_Miodek方程组和长水波近似方程组的新精确解
Jaulent-Miodek方程组的精确解
二
鬈
一
Ａｏ
＋ ｅ
ｇ （ ～ 丢 ｇ 。 （ ，
云南 师范 大学 学报 （ 自然 科学 版 ） ２ ０ １ ３ 年 ５ 月一 ３ ３ 卷 ３ 期（ Ｖｏ １ ． ３ ３ Ｎｏ ． ３ ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｙｕ ｎ ｎ ａ ｎ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
ＤＩ Ｏ：１ ０ ． ７ ６ ９ ９ ／ ｊ ． ｙ ｎ ｎ ｕ ． ｎ ｓ ～ ２ ０ １ ３ — ０ ３ ８
软件 Ｍａ ｐ ｌ ｅ ， 获得 了 Ｎ ＿ 孤子 、 扭结波和孤立波 ， 并模拟 了它们 的数值 图像 。
关键词 ： 改 进 的截 断 展 开 法 ； Ｊ ａ ｕ ｌ ｅ ｎ ｔ — Ｍｉ ｏ ｄ ｅ ｋ 方 程组 ； Ｎ 孤 子 中 图分 类 号 ： Ｏ２ ４ １ ． ７ 文献 标 志码 ： Ａ 文章编号 ： １ Ｏ Ｏ ７ —９ ７ ９ ３ （ ２ ０ １ ３ ） Ｏ ３ 一。 （ ） ３ ３ 一Ｏ ５
第 ３ ３卷
设方 程组 （ １ ） 的解 如下 ：
Ｍ （ ） 一∑ 倪 ｇ （ ） ，
ｉ 一０
（ ） 一∑ ｂ ｊ ｇ ｊ （ ｓ ），
Ｊ —ｏ
（ ４ ）
其 中
ｇ （ 一
，
厂 （ ＝ ＝ ＝ ＋ 一．
（ ５ ）
根 据齐 次平衡 原理 ， 由（ ４ ） 可得 到 ：
Ｊ ａ ｕ ｌ ｅ ｎ ｔ — Ｍｉ ｏ ｄ ｅ ｋ 方 程 组 的 精 确解
王跃 ， 何 猛
（ 昆明冶金 高等专科 学校 ， 云南 昆明 ６ ５ ０ ０ ３ ３ ）
摘
要 ： 根据齐次平衡原理 ， 利用 改进 的截 断展开法研究 Ｊ ａ ｕ ｌ ｅ ｎ ｔ — Ｍｉ ｏ ｄ ｅ ｋ方程组 的精确解 ， 借助数学
riemann问题精确解及程序实现
Riemann问题精确解及程序实现在流体力学和计算流体动力学中，Riemann问题是一个经典的数学物理问题，对于理解激波、稀疏波和激波-叠加问题等都有重要意义。
Riemann问题的精确解是指在一个特定的初始条件下，精确地求解出Riemann问题得到的解析解。
对于Riemann问题的精确解以及在计算流体动力学中的程序实现，我们将深入探讨并提供一些观点和思考。
一、Riemann问题的基本概念1. Riemann问题的基本描述Riemann问题最初由德国数学家Bernhard Riemann提出，是一类包含一个跨越一维空间的虚线和其两侧分别是不同状态的初始值问题。
它被广泛地运用在气体动力学、流体力学、等离子体物理、弹性力学等领域。
Riemann问题的基本描述是求解一组非线性偏微分方程组在时间和空间上的解析解，问题的初值包含两个不同的宏观态。
这个问题在数值计算和模拟中具有重要意义。
2. Riemann问题的物理意义Riemann问题是一维激波的基本问题，对于理解一维激波和稀疏波结构以及它们在多维情况下的相互作用有着重要的物理意义。
它的解可以帮助我们更好地理解气体动力学、流体力学等领域中的复杂现象。
二、Riemann问题的精确解1. 常见的Riemann问题常见的Riemann问题包括Euler方程、Navier-Stokes方程等，它们描述了流体的运动、压力、密度等物理量。
对于这些问题，我们可以使用不同的数值方法来求解它们的精确解，如Lax-Friedrichs方法、Roe方法等。
2. 求解Riemann问题的精确解对于一维的Riemann问题，可以通过计算它的特征线和跃度条件来求解其精确解。
在特征线上，可以得到一维激波的解，而跃度条件则用来确定激波的速度和压力等物理量。
这些方法对于理解和解决Riemann问题非常重要。
三、Riemann问题的程序实现1. 基于数值方法的程序实现在计算流体动力学中，为了求解Riemann问题的精确解，可以使用基于数值方法的程序实现。
Vakhnenko方程的新显式精确行波解
所满足的方程和约束条件， 进一步将三角函数法和双曲函数法 中的具体 函数用一般函数 ． 厂 （ ） 和ｇ （ ） 来替
代 ．这种 方法 能获 得类 型较 多且 可具 有组合 项 的孤波解 和周期解 ，并 能用一 个统 一 的过程来 实 现 ． Ｖ ａ ｋ ｈ ｎ ｅ ｎ ｋ ｏ 方 程是 一 类 重要 的非 线性 发展 方 程 ，是Ｖ ａ ｋ ｈ ｒ ｌ ｅ ｎ ｋ ｏ ［ ２ ］ 为 了描述 高 频波 在 稀松 介 质 中的传 播 规律 而建 立 的数学模 型 ． 该 方程 的一 种重要 的变换形 式 为 ：
Ｎｅ ｗ Ｅｘａ ｃ ｔ Ｔｒ ａ ｖ ｅ ｌ ｉ ｎｇ Ｗａ ｖ ｅ Ｓ ｏ ｌ ｕｔ ｉ ｏ ｎｓ ｔ ｏ ｔ ｈｅ Ｖａ ｋｈｎｅ ｎｋ０ Ｅｑ ｕａ ｔ ｉ ｏ ｎ
ＨＵＡＮＧ Ｗ＿ ｅ ｉ ． Ｓ ＨＥ Ｎ Ｔ ｉ ａ ｎ — ｌ ｏ ｎ ｇ
matlab求微分方程精确解与近似解课件
Runge-Kutta 方法
Euler 法与 R-K法误差比较
Matlab 解初值问题
用 Maltab自带函数 解初值问题
求解析解：dsolve
求数值解：
ode45、ode23、 ode113、ode23t、ode15s、 ode23s、ode23tb
dsolve 求解析解
dsolve 的使用
y=dsolve('eq1','eq2', ... ,'cond1','cond2', ... ,'v') 其中 y 为输出， eq1、eq2、...为微分方程，cond1、 cond2、...为初值条件，v 为自变量。
例 1：求微分方程 dy 2xyxex2 的通解，并验证。 dx
>> y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x') >> syms x; diff(y)+2*x*y - x*exp(-x^2)
y=y+h*subs(f,{'x','y'},{x,y}); x=x+h; szj=[szj;x,y]; end szj plot(szj(:,1),szj(:,2),'or-')
Euler折线法举例（续）
解析解： y53e3x 2x231/3
解析解
近似解
Runge-Kutta 方法
为了减小误差，可采用以下方法：
例
4：求初值问题
dy dx
2 y 2x2
2x
的数值解，求解范
围为 [0,0.5]
y(0) 1
在浅水方程中利用 Riemann 问题精确解的数值方法
在浅水方程中利用 Riemann 问题精确解的数值方法陈丹;唐岳灏;蒋伯杰【摘要】先从一维Riemann问题解的结构入手，分别对湿区和干区两种情况进行分析，得到精确解的解析形式，并讨论其存在性和唯一性，然后采用物理方程旋转不变量的原理，将全局坐标旋转至界面法相的局部坐标，从而将二维浅水方程中的Riemann问题转化为一维问题进行求解。
并通过对三个溃坝案例进行数值模拟，证明了在浅水方程中利用Riemann精确解的可行性，验证了该方法在干／湿区问题上的合理性与有效性，也证明此算法具有精确捕捉溃坝波问题的能力。
%Based on the solution structures of 1D Riemann problem, the analytical solution form is derived on the analysis of the conditions of wet and dry bed , and then the existence and uniqueness of the solution are discussed in details as well .For the 2D Ri-emann problem in the shallow water equations , a coordinate transformation method is proposed based on the rotational invariance principle , and then the global coordinate will be rotated such that the local one will coincide with the direction of outward vector nor -mal to the cell interface .Through the numerical simulation of the three dam -break cases , the feasibility of implementing exact Rie-mann problem solutions in the shallow water equations are proved , and the validity and reasonableness in handling wet /dry problem are confirmed.And this scheme has been proved to have the capability of accurately capturing the waves in dam -break problems.【期刊名称】《广东水利水电》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】5页(P4-8)【关键词】溃坝;浅水方程;Riemann问题;有限体积法【作者】陈丹;唐岳灏;蒋伯杰【作者单位】广东水利水电职业技术学院，广东广州 510635;长江工程职业技术学院，湖北武汉 430212;广东水利水电职业技术学院，广东广州 510635【正文语种】中文【中图分类】TV131Riemann问题是利用Godunov格式求解浅水方程的关键。
一类非线性偏微分方程精确解的表达
一类非线性偏微分方程精确解的表达
非线性偏微分方程是指未知函数及其偏导数之间存在非线性关系的偏
微分方程。
一类非线性偏微分方程的精确解的表达方法有很多，下面将介
绍一些常见的方法。
这些方法包括变换、相似方法、对称方法、Lax对以
及多项式解法等。
一、变换方法：
1. 美人鱼变换：美人鱼变换是一种变量变换方法，其应用于浅水波
的非线性Schrödinger方程，可将其转化为可求解的线性Schrödinger方程。
2.线性法调和推导法：对于一些非线性偏微分方程，可以通过线性法
调和推导法将它们转化为可求解的线性偏微分方程。
二、相似方法：
1.傅里叶变换法：对于满足边界条件的一类非线性偏微分方程，可以
利用傅里叶变换法求得相似解。
2.自相似解法：自相似解法适用于具有自相似性的非线性偏微分方程，可以通过变换将其转化为可求解的常微分方程。
三、对称方法：
对称方法是一种求解非线性偏微分方程的有效工具，常用的对称方法
包括对称约化、对称因子和相似对称方法。
四、Lax对：
五、多项式解法：
多项式解法是一种特殊的求解非线性偏微分方程的方法，通过假设待求解的未知函数为多项式形式，将其代入非线性偏微分方程进行求解。
以上是一些常见的非线性偏微分方程精确解的表达方法，不同的方法适用于不同类型的非线性偏微分方程，需要根据具体的问题选择合适的方法。
这些方法都是通过变换、求解辅助方程等手段，将原方程转化为可求解的形式，从而得到方程的精确解。
Euler超几何微分方程边值问题解的相似构造法
Euler超几何微分方程边值问题解的相似构造法暴喜涛;李顺初;廖智健【期刊名称】《西南科技大学学报》【年(卷),期】2012(27)4【摘要】针对一类Euler超几何微分方程边值问题，对其进行求解，并获得了解式的相似结构和相似核函数，说明了该类边值问题的解，可以首先由定解方程的两个线性无关解和齐次右边界条件的系数构造出相似核函数，再由非齐次左边界条件中的系数决定的相似结构式进行组装得到，由此得到了解决此类Euler超几何微分方程的复杂边值问题的一个新方法——相似构造法。
该方法大大提高了该类边值问题的计算效率，为工程技术人员利用Euler超几何微分方程边值问题求解实际问题提供了极大便利。
%A type of boundary value problem of Euler hyper-geometrie differential equation was solved in this paper. The similar structure of solution and the similar kernel function are gained consequently. The paper illustrates that the solution of this class of boundary value problem can be obtained as follows : First- ly, constructing the similar kernel function as two independent solutions of the boundary value problem' s fixed equation on the singular point of zero is taken and the coefficients of the homogeneous right boundary condition in the boundary value problem; Furtherly, package the similar kernel function and the similar structure formed as the coefficients of the inhomogeneous left boundary condition in the boundary value problem; And then the solution can be gained. A new method-similar constructive method whichis used to solve the complex boundary value problem of Euler' hyper-geometric differential equation is proposed as a result. This method improves the operation efficiency greatly and provides much convenience for engi- neers when they use boundary value problem of Euler hyper-geometric differential equation to solve practi- cal problems.【总页数】5页(P101-105)【作者】暴喜涛;李顺初;廖智健【作者单位】西华大学应用数学研究所,四川成都610039;西华大学应用数学研究所,四川成都610039;北京大学元培学院,北京100871【正文语种】中文【中图分类】O175【相关文献】1.从相似结构到相似构造法的微分方程边值问题求解方法综述 [J], 李顺初2.欧拉超几何微分方程的一类边值问题解的相似结构 [J], 许东旭;李顺初;许丽3.一类Thomson方程边值问题解的相似构造法 [J], 范聪银;李顺初;许东旭;;;4.超几何方程的一类非齐次边值问题解的相似结构 [J], 周敏; 李顺初; 董晓旭; 郑鹏社; 桂钦民5.求解复合超几何微分方程边值问题解的一种新方法 [J], 彭春;李顺初;李伟;桂钦民因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
新辅助方程法构造_2_1_维修正的色散水波方程组的新精确解
（ ） １ ３ ） ， ） ， ） ， ）是 ｘ， 其中 ： ｔ 为行波变换 ； ｘ， ｔ ｘ， ｔ ｘ， ｔ ｘ， ｔ ｔ 的待定函 数 ； ｙ ＋ｋ ｆ ｙ， ｆ ｙ， ｆ ｙ， ｆ ｙ， ｙ， １ ２ １（ ２（ ３（ ４（ ξ＝ｘ ＋ｋ ）确定 ． Ｇ（ １ ξ）由方程 （ ）可得 由方程 （ １
在孤子理论中 ， 构造非线性发展方程 （ 组） 的精确解占有重要地位 ． 目前 ， 人们已经提出许多求解非线性
］ １ １ ０ － ， 发展方程 （ 组） 的方法 ［ 如双曲正切函数展开法 、 齐次平衡法 、 辅助方程法等 ， 其中辅助方程法在构造 非线
］ 文献 ［ 总结了辅助方程法的构造性和机械化性特点 ， 获得 性发展方程精确解方面发挥了非常重要的作用 ． １ 了Ｒ 给出的方法对于构造非线性发展方程的新精确解 ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ方程的 Ｂ ｃ ｋ ｌ ｕ ｎ ｄ 变换和解的非线性叠加 公 式 ， ］ 具有普遍意义 ． 受文献 ［ 的启发 ， 本文利用辅助方程法的构造性特点 ， 引入一种新的辅助方程 ， 获得了该方 ２ ） 程的几种复合型解 ；利用辅助方程法的机械化性特点 ， 以（ 维修正的色散水波方程组为例 ， 在行波变换 ２＋１ 下构造了新的复合型精确解 ．
（ ） １ ０ （ ） １ １ （ ） １ ２
） ｕ ｕ ｕｘ －ｕ ｘ， ｔ ． α（ ｔ －２ ｘ ｘ ＝ ）解的形式为 假设方程 （ １ ２ ） ） ） ） ） ｕ（ ｘ， ｔ ｘ， ｔ ｘ， ｔ Ｇ（ ｘ， ｔ Ｇ ′（ ｘ， ｔ Ｇ ″（ ＝ｆ ＋ｆ ＋ｆ ＋ｆ ＝ ｙ， ｙ， ｙ， ｙ， ｙ， １（ ２（ ３（ ４（ ξ） ξ） ξ） （ ） （ ） （ ） ， Ｇ ξ ＋ｆ Ｇ ′ ξ ＋ｆ Ｇ ″ξ ｆ １ ＋ｆ ２ ３ ４
修正的非线性水波方程的精确行波解
Ｈ(φꎬｙ) ＝ (φ － ｃ)ｙ２ － ( φ４ － ｃφ２ ＋ ２ｇφ) ＝ ｈꎬ ２
根据定性理论进行分析ꎬ既过鞍点又过奇直 线的相曲线出现在以下两种情形:
(ａ)ｇ ＝ ｃ２ － ｃ３ꎻ
(ｂ) 当 ｇ ＝ － φ０ ３ ＋ ｃφ０ꎬφ０ ＝ － ｃ ＋
－ ２ｃ２ ＋ ６ｃ ３
并且分别得到相应分支相位图 １ 和图 ２.
０ 引 言
１９９３ 年ꎬＣａｍａｓｓａ 和 Ｈｏｌｍ[１] 提出了非线性水 波方程:
ｕｔ ＋ ２ｋｕｘ － ｕｘｘｔ ＋ ３ｕｕｘ ＝ ２ｕｘ ｕｘｘ ＋ ｕｕｘｘｘ 即著名的 ＣＨ 方程. 该方程也具有十分重要的物 理意义ꎬ它还可以由超弹力杆模型[２] 演化而来.
本文研究修正的水波方程: ｕｔ － ｕｘｘｘ ＋ ３ｕ２ｕｘ ＝ ２ｕｘ ｕｘｘ ＋ ｕｕｘｘｘ (１)
α＝
２ꎬ ａ２ － ａ１
ｋ２
＝
ｃ ａ２
－ －
ａ１ ａ１
.
２)当 ｃ ＝
１ ３
ꎬ方程( １) 有孤立波解:
６
φ２(ξ) ＝ － １
＋
４ ３
ｅ３ (
６
ｅ３
ξ ξ
－１ ２ )
＋１
３)当 １ ３
<ｃ<
４ ꎬ方程(１)有周期爆破解 ３
φ３( ξ)
＝
ａ３
＋
ｃ ｓｎ(
－ ａ３ ξ ꎬｋ)
第 ３２ 卷第 １ 期 ２０１８ 年 ２ 月
南华大学学报( 自然科学版) Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｏｕｔｈ Ｃｈｉｎａ( Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ)
文章编号:１６７３－ ００６２( ２０１８) ０１－ ００６３－ ０４
某些非线性发展方程新的精确解(英文)
ｌ ２月
文 章 编 号 ：６ １ ２ ９ ２ １ ）６０ ６ —５ １７ － ２ （０ ０ ０ －０００ ４
某 些非 线 性发 展 方程 新 的精 确 解
杜 先云 ，尚亚 东２
（ ．绵 阳师范学 院 数学与计算机科 学系 ，四川 绵阳 １
２ ．广 州 大 学 数 学 与 信 息科 学 学 院 ，广 东 广 州
Ｉ ｅ ｅ ｔｙ ａ ｓ，ｄ ｒ ｃｌ ｅ ｒ ｈｉｇ ｆｒｅ ａ ｔＳ ・ ｎ ｒ ｃ ｎ ｅ ｒ ｉｅ ｔｙ ｓ ａ ｃ ｎ ｏ ｘ ｃ Ｏ
ｌ ｉ ｎ ｆ ｎ ｎ ｉ ａ ｖ ｌ ｔｏ ｅ ｕａｉｎ ｈ ｓ ｅ ｏ ｅ ｕｔ ｓ ｏ ｏ ｌ ｏ ｎｅ ｒ ｅ ｏｕ ｉ ｎ ｑ ｔｏ ｓ ａ ｂ ｃ ｍ
ｒ ｓ ｌ ｎ ｌｔｒ ｔ ｒ ｒ ｘ ｅ ｄ ｄ． ｅ ｕ ｔ ｉ ｉｅ ａｕ ｅ ａ ｅ ｅ ｔｎ ｅ ｓ
Ｋ ｅ ｒ ｓ：ｎ ｎ ｉ ｅ ｒｅ ｏｕ ｉｎ ｅ ｕａｉｎ；ａ ｘｌａ ｙ ｅ ｕ ｔｏ ｙ ｗｏ ｄ ｏ ｌｎ ａ ｖ ｌ ｔｏ ｑ ｔｏ ｕ ｉｉｒ ｑ ａｉｎ；ｅ ａ ｔｓ ｌ ｔｏ ｓ ｒ ｖ ｌｉ ｇ ｗａ ｅ ｓ ｌ ｔ ｎ ｘ ｃ ｏｕ ｉ ｎ ；ｔａ ｅｌｎ ｖ ｏ ｕ ｉ ｏ ＣＬＣ ｕｍ ｂｅ ｎ ｒ：０ ７ ２ １ ５． ９ Ｄｏｃ ｍ ｅ ｔｃ ｄ ｕ ｎ ｏ ｅ：Ａ
ｎ ｗ ｄ ｒ ｃ ｍｅ ｈ ｄ， ｃ ｌ ｄ ｔ ｅ ａ ｘｌａ ｅ ｕ ｔｏ ｅ ｉｅ ｔ ｔｏ ａｌ ｈ ｕ ｉ ｒ ｅ ｉｙ ｑ ａ ｉｎ ｍ ｅｈ ｄ．ｉ ｄ ｖ ｌｐ ｄ ｏｒ ｓ ａ ｃ ｉｇ ＮＬＰ ｔｏ ｓ ｅ ｅ ｏ ｅ ｆ ｅ ｒ ｈｎ ＤＥｓ 一 ［ 。
ｐ ｉｄ ｂ ｃ ｇ ｏ ｎ ｓ ａｅ ｉｖ ｓｉａ ｅ ｎ ｂ ｎ ａ ｔｌ ｗ ｅ ａ ｔ ｒ ｖ ｌ ｎ ｖ ｏｕ ｉｎ ｒ ｂ ａｎ ｄ ｈ ｒｖ ｏ ｓ ｌ ａ ｋ ｒ ｕ ｄ ｒ ｎ ｅ ｔ ｔｄ ａ ｄ ａ ｕ ｄ ｎ ｅ ｘ ｃ ａ ｅｌ ｇｗａ ｅ ｓ ｌ ｔ ｓａ ｅ ｏ ｔ ｉ ｅ ．Ｔ ｅ ｐ ｅ ｉｕ ｅ ｇ ｌ ｔ ｉ ｏ
(2+1)维耗散长水波方程组的精确解和守恒律
(2+1)维耗散长水波方程组的精确解和守恒律(2+1)维耗散长水波方程组是一组精确模拟海洋流场及其相关水文过程的基本水动力方程。
其主要表达的就是海洋洋流的变化，这种洋流的特点是有一定的长度，除此之外还会分布在特定区域内。
该方程组由两个部分组成，一是描述洋流运动方向及其变化的Z-方程，而另一个则描述洋流的深度及其它性质的S-方程。
它们由波动方程联立而得，即(2+1) u_z t+ α(u_z^2 + v_z^2)-α_s S_x + Λ(u_s S_z - v_sS_y )=0；(2+1) S_z t + ΦH(u_s S_z - v_s S_y )+ β(u_s^2+v_s^2)=0。
其中u_z和v_z分别为洋流沿z方向的速度分量和沿y方向的速度分量；u_s和v_s分别为沿x的速度分量和沿y的速度分量；H为洋流深度；α是洋流加减速度系数，α_s是涡系数，β是洋流发散系数，Λ是涡矢偏向系数，t是时间。
(2+1)维耗散长水波方程组的精确解是u_z = u_0sin(Ωt+Φ_0), v_z =v_0cos(Ωt+Φ_0);u_s = u_0sin(Ωt+Φ_0) cot(Ωt+Φ_0);v_s =v_0cos(Ωt+Φ_0) csc(Ωt+Φ_0);H = H_0 - (1/Ω)[u_0 sin(Ωt+Φ_0)cot(Ωt+Φ_0)+v_0cos(Ωt+Φ_0)csc(Ωt+Φ_0)], 其中u_0, v_0 是洋流的初始速度，H_0是初始深度，Ω=α/α_s,Φ_0是相位，α是洋流加减速度系数, α_s是涡系数。
此外，(2+1)维耗散长水波方程组还有一组守恒律，包括质量守恒律和能量守恒律。
质量守恒律表明海洋洋流的整体质量是一定的，其计算表达式为∫[u_z+u_s]dl = Co，其中Co为一定值；而能量守恒律则表明整体洋流能量变化，其计算表达式为：E=∫{(”u_2+v_2”+”H_2+S_2”+Ω ΦH}dl= C，其中C为一定值。
kundu方程的新的精确解
kundu方程的新的精确解Kundu方程是常微分方程组中两个参数固定状态下比较简单，其解析解也较为完整的一类非线性方程组。
然而，现实中很多类似问题的参数都是可变的，因此，对Kundu方程的精确解的研究便成为了重点。
一、椭圆函数形式的精确解1. Damdar Khare和G Subbaraya Sharma在2001年发表文章《Riccati-Kundu方程的椭圆函数解》时，使用椭圆函数的变换得到的一个椭圆函数的解。
2.椭圆函数的特点是有一定的实参与虚参，由Kundu方程的特性可以得出一定的实参和虚参，从而得出精确解。
二、Frobenius序列法精确解1. D Sathi利用Frobenius序列法在2001年发表文章《Riccati-Kundu方程的Frobenius解法》，使用自然Frobenius序列的形式，获得了一个精确结果。
2.Frobenius序列法的特点是可以分解Kundu方程的递推结果，产生多个子表达式，通过尝试参数得出最终精确解。
三、Jacobi变换法精确解1. 在2008年，H Mohseni-Dollibani等采用Jacobi变换得出了一种新的精确解。
2.Jacobi变换法可以将Kundu方程的参数变量暂时分解，利用变换函数改变一些参数变量，从而得出精确解。
四、Laplace变换法1. 2008年，H Mohseni-Dollibani等发表论文《Riccati-Kundu方程的Laplace变换解法》，利用Laplace变换得出新的精确解。
place变换的特点是可以将Kundu方程的参数变量进行变换，根据变换的结果，再结合变换函数，得出最终精确解。
五、Seibert-Griebel算子解法1. 2009年，G Guirguis等提出Seibert-Griebel算子解法，提出了一种新的精确解法。
2.Seibert-Griebel算子解法的特点是可以将Kundu方程的参数变量经过一步分解导出精确解，可以有效获取多个参数变量同时精确解出Kundu方程。
修正的kawahara方程的精确行波解
修正的kawahara方程的精确行波解Kawahara方程是非线性偏微分方程，描述了一个表面波的行为。
它是修正的Korteweg-de Vries方程，也被称为Kawahara方程。
精确的行波解是在数学上解得的方程解，可以给出该方程的全部解。
Kawahara方程可以写成如下形式：$$u_t+uu_x+u_{xxx}+u_{xxxxx}=0$$其中，$u_t$表示时间导数，$u_x$表示空间导数，$u_{xxx}$和$u_{xxxxx}$表示空间导数的三阶和五阶常数。
为了求解这个方程的精确行波解，我们可以使用倒空间叠加法。
首先，我们假设解的形式为行波解：$$u(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}$$其中，$A$是振幅，$k$是波数，$\omega$是频率。
将行波解代入到Kawahara方程中，得到：$$(-i\omega +ikA +ik^3A - k^5A) e^{i(kx-\omega t)} = 0$$这是一个复数方程，在方程两边取实部和虚部。
实部方程给出：$$- \omega + k^2 + k^4 = 0$$虚部方程给出：$$- \omega k + k^3 = 0$$解虚部方程得到两个解：$$k_1 = 0, \quad k_2 = \pm 1$$将这两个解代入实部方程，得到三个对应的频率：$$\omega_1 = -1, \quad \omega_2 = -2, \quad \omega_3 = 2$$所以行波解的形式为：$$u(x,t) = Ae^{i(k_1x-\omega_1t)} + Be^{i(k_2x-\omega_2t)} + Ce^{i(k_2x-\omega_3t)}$$进一步化简，可以得到三个解的形式：$$u(x,t)=A+Be^{i(x+t)}+Ce^{i(x-2t)}$$其中，$A$，$B$和$C$是常数。
这三个解分别代表了不同波数和频率的行波解。
两类非线性波动方程的精确解与怪波中期报告
两类非线性波动方程的精确解与怪波中期报告
本中期报告主要介绍两类非线性波动方程的精确解和怪波现象的研
究进展。
具体内容如下：
1. KdV方程和NLS方程的精确解
KdV方程和NLS方程都是重要的非线性波动方程，它们在物理学和
数学上都具有广泛的应用。
近年来，研究人员通过不同的方法，发现了
这两个方程的不同类型的精确解。
其中包括孤子、鬼波、无穷孤立子等。
我们在研究KdV方程的精确解时，主要关注的是孤子解。
通过借鉴Lax对点积算子的定义，将KdV方程的解表示为Lax对点积算子与一个特殊的向量的乘积形式，得到了其一维孤子解。
而对于NLS方程，研究人
员则从另一个角度出发，通过使用几何代数的方法，指出了其两维孤子
解和鬼波解。
2. 怪波现象的研究进展
在非线性波动方程中，怪波现象是极具挑战性的研究问题之一。
通
过对非线性波动方程中的如孤子解、无穷孤立子解等不同类型精确解的
研究，我们发现其中存在着怪波现象。
最近几年的研究表明，这些怪波
不仅仅是非线性波动方程中的“负面能量波”，而且它们还具有很多神
奇的性质，如变形、旋转、破碎等现象。
尽管近年来研究人员在怪波现象的研究中取得了不少进展，但仍有
很多问题需要解决，例如怎样才能预测和控制怪波的产生。
因此，我们
相信研究非线性波动方程和怪波现象的探索之路还有很长的路要走。
利用试探方程法求mKdV方程组的精确行波解
利用试探方程法求mKdV方程组的精确行波解
张恩明
【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》
【年(卷),期】2007(023)003
【摘要】利用试探方程法化所求耦合mKdV方程组为初等积分形式,再利用多项式完全判别系统讨论被积函数中4阶多项式的根的情况,进而给出显示精确解.由此求得的精确解包括有理函数型解,双曲函数型解(孤子解),三角函数型周期解等.
【总页数】4页(P26-29)
【作者】张恩明
【作者单位】哈尔滨铁道职业技术学院
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.利用试探方程法求对称正则长波方程的精确行波解 [J], 李文赫;张春辉
2.利用试探函数法求Drinfel'd-Sokolov-Wilson方程组的精确解 [J], 赵云梅
3.非线性耦合KdV-mKdV方程组新的精确行波解 [J], 董长紫
4.利用试探函数法求耦合KdV方程组的精确解 [J], 赵云梅
5.应用Bernoulli方程法求VB方程的精确行波解 [J], 张佳昭;杨宇生;吴尚伟;
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Konopelchenko-Dubrovsky方程的精确解
Konopelchenko-Dubrovsky方程的精确解张亚敏【摘要】利用改进的tanh函数展开法,结合Maple环境中Epsilon软件包,求解Konopelchenko-Dubrovsky方程,获得方程若干精确解,同时也体现出改进的tanh函数展开法是一种行之有效的方法,可以广泛的应用于求非线性偏微分方程的精确解.%The extended tanh-function method was applied to study new solutions for Konopelchenko-Dubrovskyrnequations by means of Epsilon package in Maple. Exact solutions were obtained, Thus the extended tanh-functionrnmethod is reliable and effective which presents a wider applicability for handling nonlinear partial differential e-rnquations.【期刊名称】《贵州大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(029)006【总页数】4页(P9-12)【关键词】Konopelchenko-Dubrovsky方程;精确解;tanh函数展开法;非线性偏微分方程【作者】张亚敏【作者单位】宝鸡文理学院数学系,陕西宝鸡721013【正文语种】中文【中图分类】O175.2随着人们对孤立子问题研究的不断深入，孤立子理论已经成为数学和物理的一个重要组成部分，特别是对孤立子解的研究始终是许多国内外学者热衷的问题。
目前在基本粒子物流体物理、固体物理、非线性光学、等离子体物理、凝聚态物理、生物物理和经典场论等许多领域中都出现了大量的非线性发展方程。
这些方程也出现了多种求解方法，如逆散射方法[1]、Backlund 变换[2]、Darboux 变换[3]、Tanh 函数展开法[4] 等。
高维非线性的反应扩散方程以及波动方程的不变集和精确解的开题报告
高维非线性的反应扩散方程以及波动方程的不变集和精确
解的开题报告
本文将研究高维非线性的反应扩散方程以及波动方程的不变集和精确解。
这两种方程在现代数学和物理学中有广泛的应用。
首先，我们将讨论反应扩散方程。
这是一个描述物质扩散和反应的方程。
在高维空间中，这个方程的非线性性质使得它的求解变得非常困难。
因此，探究反应扩散方
程的不变集是非常重要的。
不变集是指一些与时间无关的量，它们在方程的求解过程
中不改变。
通过寻找不变集，我们可以减少求解方程的自由度，使得方程的求解变得
更容易。
这在应用中具有很大的实用价值。
其次，我们将讨论波动方程。
波动方程是一种描述波动现象的方程。
在高维空间中，波动方程的求解同样是非常困难的，因此研究波动方程的精确解也变得尤为重要。
精确解是指可以用一些常规函数的组合来表达的解。
研究波动方程的精确解可以帮助
我们更加深入地了解波动现象的本质，并且可以用于实际问题的求解。
本文的主要内容包括以下几个方面：
1. 首先，我们将介绍反应扩散方程和波动方程的基本概念和数学模型，并讨论它们在物理学和数学中的应用。
2. 其次，我们将讨论反应扩散方程和波动方程的不变集。
我们将介绍如何利用不变集来简化方程的求解过程，并探究不变集对方程解的性质和特征。
3. 接着，我们将研究高维非线性的反应扩散方程和波动方程的精确解。
我们将讨论如何使用常规函数来表示这些方程的解，并探究它们的性质和特征。
4. 最后，我们将总结文章的主要内容，并探究未来在这一领域的研究方向。
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第20卷第1期大 学 数 学Vol.20,№.1 2004年2月COLLEGE M ATHEM AT ICS Feb.2004 Jaulent-M iodek方程组和长水波近似方程组的新精确解刘晓平1, 刘春平2(1.扬州教育学院高邮分院,高邮225600; 2.扬州大学数学科学学院,扬州225002) [摘 要]首先,利用直接代数法给出了一类非线性方程的四组显式精确解的公式.进而,很方便地得到了Jaulent-M io dek方程组和长水波近似方程组的若干新精确解.[关键词]非线性发展方程;精确解;代数方法[中图分类号]O175.2 [文献标识码]A [文章编号]1672-1454(2004)01-0042-071 引 言本文考虑如下两个非线性耦合方程组(i)Jaulent-Miodek方程组u t+v x+32uu x=0,(1)av t+u x v+12uv x-14u xxx=0.(1)b方程组(1)是与位势依赖于能量的特征值问题相联系的非线性发展方程[1],文献[2]通过将其Lax对非线性化,得到了它的有限带势解.(ii)长水波近似方程组u t-uu x-v x+12u xx=0,(2)av t-(uv)x-12v xx=0.(2)b方程组(2)是Witham和Broer在研究浅水波运动过程中首次提出的,文献[3-5]利用齐次平衡法[6]和Sine-Cosine方法[7]得到了它的孤子解、多孤子解和若干有理形式的精确解.本文旨在进一步求上述两个方程组的显式精确解.首先,我们考虑一类非线性常微分方程u″=k0+k1u+k2u2+k3u3, k3≠0,(3)其中k i(i=0,1,…,3)是一些参数,一撇表示d/d .在本文第三节可以看到,方程组(1)和方程组(2)的行波解可以归结为方程(3)的求解.此外,方程(3)联系着其它许多具有重要物理背景方程的研究(见本文第四节).对方程(3),其显式解可以用齐次平衡法或Sine-Cosine方法求得,但在本文第二节中,我们将用另一种方法——直接代数法构造它的显式解.直接代数法的优点是得到的显式解是以公式形式表示的,进而,我们可以很方便地得到Jaulent-M iodek方程组和长水波近似方程组的若干新精确解. [收稿日期]2002-09-09 [基金项目]国家自然科学基金(10171088)和江苏省教委自然科学基金(01K,JB110008)资助2 直接代数法和方程(3)的四组显式精确解首先,我们用直接代数法给出方程(3)的显式精确解.注意到方程(3)中最高阶导数项和非线性项分别为u″和u3,为了它们能够平衡,设方程(3)的解为u=B+a0+a1y1+y2, y=exp A( + 0),(4)其中B,A和a0,a1是一些待定常数, 0是一个任意常数.将(4)式代入(3)式,令y i的系数为零,可得到一个关于B,A和a0,a1的代数方程组,即 y6:k0+k1B+k2B2+k3B3=0, y5:(k1+2k2B+3k3B2-A2)a1=0, y4:(k1+2k2B+3k3B2-4A2)a0+(k2+3k3B)a21=0, y3:(8A2+2a0k2+6a0k3B+a21k3)a1=0, y2:2(k1+2k2B+3k3B2+2A2)a0+(k2+3k3B)(a20+a21)+3a0a21k3=0, y1:[2(k2+3k3B)+3a0k3]a0a1=0, y0:[k1+2k2B+3k3B2+(k2+3k3B)a0+k3a20]a0=0.(5)我们寻找的是方程的非平凡解,故分如下三种情况考虑代数方程组(5)的解情形(i) a0=0,a1≠0;情形(ii) a0≠0,a1=0;情形(iii) a0≠0,a1≠0.经过一些简单和直接的计算,可以得到代数方程组(5)的三组解A2=k1-k223k3, a0=0, a21=-8k3k1-k223k3, B=-k23k3;(6)A2=-12k1-k223k3, a1=0, a20=-4k3k1-k223k3, B+a02=-k23k3;(7)A2=-2k1-k223k3, -a21=a20=-4k3k1-k223k3, B+a02=-k23k3;(8)其中参数k i之间有约束关系27k0k23-9k1k2k3+2k32=0.(9)将(6)-(8)分别代回(4)式,我们得到公式1 当参数k i满足(9)式时,方程(3)有显式精确解u1( )=-k23k3+a12sech A1( + 0),(10)其中A21=(k1-k22/3k3)>0,a21=-8A21/k3>0.u2( )=-k23k3-a02tanh A2( + 0),(11)其中2A22=-(k1-k22/3k3)>0,a20=8A22/k3>0.u3( )=-k23k3-a02[tanh A3( + 0)±i sech A3( + 0)],(12)其中A23=-2(k1-k22/3k3)>0,a20=2A23/k3>0.在本节和下节中,记i=-1.注意到sech i =sec ,tanh i =i tan ,由公式(1),我们可以得到公式2 当参数k i满足(9)式时,方程(3)有显式精确解u1( )=-k23k3+a12sec A1( + 0),(13)其中A21=-(k1-k22/3k3)>0,a21=8A21/k3>0.43第1期 刘晓平,等:Jaulent-Miodek方程组和长水波近似方程组的新精确解u2( )=-k23k3-a02tan A2( + 0),(14)其中2A22=(k1-k22/3k3)>0,a20=8A22/k3>0.u3( )=-k23k3-a02[tan A3( + 0)±sec A3( + 0)],(15)其中A23=2(k1-k22/3k3)>0,a20=2A23/k3>0.此外,如果我们设方程(3)的解为u=B+a0+a1y1-y2, y=exp A( + 0),(16)其中B,A和a0,a1是一些待定常数,重复上述过程,我们可以得到公式3 当参数k i满足(9)式时,方程(3)有显式精确解u1( )=-k23k3+a12csch A1( + 0),(17)其中A21=(k1-k22/3k3)>0,a21=8A21/k3>0.u2( )=-k23k3-a02co th A2( + 0),(18)其中2A22=-(k1-k22/3k3)>0,a20=8A22/k3>0.u3( )=-k23k3-a02[coth A3( + 0)±csch A3( + 0)],(19)其中A23=-2(k1-k22/3k3)>0,a20=2A23/k3>0.公式4 当参数k i满足(9)式时,方程(3)有显式精确解u1( )=-k23k3+a12csc A1( + 0),(20)其中A21=-(k1-k22/3k3)>0,a21=8A21/k3>0.u2( )=-k23k3-a02co t A2( + 0),(21)其中2A22=(k1-k22/3k3)>0,a20=8A22/k3>0.u3( )=-k23k3-a02[cot A3( + 0)±csc A3( + 0)],(22)其中A23=2(k1-k22/3k3)>0,a20=2A23/k3>0.3 方程组(1)和方程组(2)的有关结果下面,我们利用上述公式来求方程组(1)和方程组(2)的显式精确解.设u(x,t)=u(x-ct)=u( ), v(x,t)=v(x-ct)=v( ),(23)则Jaulent-M iodek方程组(1)a,(1)b变为-cu′+v′+32uu′=0,(24)a-cv′+u′v+12uv′-14u =0.(24)b将(24)a对 积分一次,取积分常数为1,有1-cu+v+34u2=0,(25)将(25)式代入(24)b,然后再将其对 积分一次,取积分常数为2,有u″=-2u3+6cu2-4(c2+1)u+2.(26)记k0=2,k1=-4(c2+1),k2=6c,k3=-2,由公式1-4及(25)式,我们有44大 学 数 学 第20卷结论1 Jaulent-M iodek方程组有显式精确解u=c+2!M sech2∀,v=14c2-1-22!cM sech2∀-32M2sech22∀.(27)u=c-!i N tanh#,v=14c2-1+12!i cN tanh#+34N2tanh2#.(28)u=c-!i N[tanh2#±i sech2#],v=c2-521+12!i cN[tanh2#±i sech2#] +32N2[tanh22#±i(sech2#)(tanh2#)].(29)u=c+2!i N sec2#,v=14c2-1-22!i cN sec2#+32N2sec22#.(30)u=c-!i M tan∀,v=14c2-1+12!i cM tan∀+34M2tan2∀.(31)u=c-!i M[tan2∀±sec2∀],v=c2-521+12!i cM[tan2∀±sec2∀] +32M2[tan22∀±(tan2∀)(sec2∀)].(32)u=c+2!i M csch2∀,v=14c2-1-22!i cM csch2∀+32M2csch22∀.(33)u=c-!i N coth#,v=14c2-1+12!i cN coth#+34N2coth2#.(34)u=c-!i N[co th2#±csch2#],v=c2-521+12!i cN[coth2#±csch2#] +32N2[coth22#±(coth2#)(csch2#)].(35)u=c+2!i N csc2#,v=14c2-1-22!i cN csc2#+32N2csc22#.(36)u=c-!i M cot∀,v=14c2-1+12!i cM cot∀+34M2cot2∀.(37)u=c-!i M[cot2∀±csc2∀],v=c2-521+12!i cM[co t2∀±csc2∀] +32M2[co t22∀±(cot2∀)(csc2∀)].(38)其中!=±1,M=c2-21,∀=M(x-ct+ 0),N=21-c2,#=N(x-ct+ 0).45第1期 刘晓平,等:Jaulent-Miodek方程组和长水波近似方程组的新精确解对长水波近似方程组,将(23)式代入(2)a 和(2)b ,然后将其分别关于 积分一次得到v =- 3-cu -12u 2+12u ′,(39)a - 4+cv +uv +12v′=0.(39)b 其中 3, 4是积分常数.再将(39)a 代入(39)b ,有u ″=2u 3+6cu 2+4(c 2+ 3)u +4(c 3+ 4).(40)记k 0=4(c 3+ 4),k 1=4(c 2+ 3),k 2=6c ,k 3=2,由公式1-4及(39)a ,我们得到结论2 长水波近似方程组有显式精确解u =-c +2!i P sech 2,v =P2-12-!i(sech 2 )(tanh2 )+sech22 .(41)u =-c -!Q tanh ∀,v =12(1-!)Q 2sech 2∀.(42)u =-c -!Q [tanh2∀±i sech2∀],v =(1-!)Q 2[sech 22∀ i(sech2∀)(tanh2∀)].(43)u =-c +2!Q sec 2∀,v =Q212+!(sec 2∀)(tan2∀)-sec22∀.(44)u =-c +!P tan ,v =12(!-1)P 2sec 2 .(45)u =-c +!P [tan2 ±sec2 ],v =(!-1)P 2[sec 22 ±(tan2 )(sec2 )].(46)u =-c +2!P csch 2 ,v =-P212+!(csch2 )(coth2 )+csch22 .(47)u =-c +!Q coth ∀,v =-12(!+1)Q 2csch 2∀.(48)u =-c +!Q [coth2∀±csch2∀],v =-(!+1)Q 2[csch2∀±(csch2∀)(coth2∀)].(49)u =-c +2!Q csc2∀,v =Q 212-!(csc 2∀)(cot2∀)-csc 22∀.(50)u =-c +!P cot ,v =-12(!+1)P 2csc 2 .(51)u =-c +!P [cot2 ±csc2 ],v =-(!+1)P 2[csc2 ±(csc2 )(co t2 )].(52)其中!=±1,P =2 3-c 2, =P (x -ct +0),Q =c 2-2 3,∀=Q (x -ct + 0).4 几点注记由结论1及结论2可知,我们已经求得了Jaulent -Miodek 方程组和长水波近似方程组的若干显式46大 学 数 学 第20卷精确解.据我们所知,方程组(1)的解(27)和(29)—(38)以及方程组(2)的解(44)—(52)尚未在其他文献中出现过,它们对研究相关的物理现象也许是有用的.我们的求解过程主要依据方程(3)的四组显式精确解公式.值得指出的是这些公式也适用于求其它非线性方程的显式精确解.例如,第一类变更的Bo ussinesq 方程组u t +v x +uu x =0, v t +(uv )x +u xx x =0.组合kdv-mkdv 方程u t +6∃uu x +6%u 2u x +&u xxx =0.Laudau-Ginbur g-Higg s 方程u tt -u xx -m 2u +g 2u 3=0.Klein -Gordon 方程u tt -u x x +m 2u +∋u 3=0.等等[8-10],这些物理学上著名的方程的行波解均可以归结为方程(3)的形式.最后,顺便指出文献[5]中关于长水波近似方程组精确解的结论有误.如第一组中u (x ,t )=-k tanh k (x -∋t +c )-∋, (原文中(36)式)H (x ,t )=k 2sech 2[k (x -∋t +c )]. (原文中(37)式)并不是长水波近似方程组的解.第二组、第三组中也有类似的问题.正确的应为u (x ,t )=-!k tanh k (x -∋t +c )-∋,H (x ,t )=12(1-!)k 2sech 2k (x -∋t +c ). u =-!i k sech k (x -∋t +c )-∋,H =-12k 2tanh(x -∋t +c ) +12k 2!i[tanh k (x -∋t +c )][sech k (x -∋t +c )]+14k 2.u (x ,t )=-12!k [tanh k (x -∋t +c )±i sech k (x -∋t +c )]-∋,H (x ,t )=14(1-!)k 2sech 2k (x -∋t +c ) 14(1-!)k 2i[tanh k (x -∋t +c )][sech k (x -∋t +c )].[参 考 文 献][1] Jaulent M and M io dek K.N onlinear evo lution equat ion asso ciated w ith ener gy -dependent Schro ding er potentials[J ].L ett .M ath .P hys .,1976,1:243-250.[2] Z ho u R G.T he finite-band solutio n o f t he Jaulent -M io dek equation [J].J.M ath.Phy s.,1997,38(5):2535-2546.[3] W ang M L ,Zho u Y B and Li Z B.A pplication of a homo geneous balance m ethod to exact so lutions of no nlinearequatio ns in mat hematical phy sics [J ].P hys .L ett .A ,1996,216:67-75.[4] 张解放.长水波近似方程的多孤子解[J].物理学报,1998,47(9):1416-1420.[5] 闫振亚,张鸿庆.非线性浅水长波近似方程组的显式精确解[J ].物理学报,1999,48(11):1962-1968.[6] W ang M L.Exa ct so lutions for a compound K dv-Burg er s equatio n[J].P hys.L ett.A ,1996,213:279-287.[7] Y an C T .A sim ple tr ansfo rmat ion fo r nonlinear wav es [J ].Phys .L et t .A ,1996,24:77-84.[8] W ang M L.Solitar y wav e solut ions for va riant Boussinesq equat ions [J].Phy s.L ett.A ,1995,199:169-172.[9] W ada ti M .Wav e pro pag ation in nonlinea r lattic [J ].J .Phys .Soc .Jan .,1975,38:673-680.[10] A blow it z M J and Clar kso n P A.So litons,N o nlinear Evo lution Equatio ns and Inver se Scat tering[M ].L ondo n:Cambridg e U niver sity Pr ess ,1991.47第1期 刘晓平,等:Jaulent-Miodek 方程组和长水波近似方程组的新精确解48大 学 数 学 第20卷New Exact Solutions for the Jaulent-Miodek Equation andthe Approximate Equation of Long Water WaveL I U X iao-p ing1, LI U Chun-p ing2 (1.Gao yo u Br anch,Yang zho u Educat ion Co llege,Gao yo u225600,China;2.Departm ent o f M athemat ics,College o f Science,Yang zho u U niver sity,Y angzhou225002,China)Abstract:Firstly,four for mulas of ex act solut ions for a type of nonlinear equat ion ar e g iv en by using a dir ect a lg e-br aic m ethod.A nd then so me new exact solutio ns for the Jaulent-M iodek equat ion and the appr ox imat e equa tio n of lone w ater w av e are o btained co nv eniently by using t hese fo rmulas.Key words:nonlinea r ev olut ion equat ion;exact so lution;alg ebr aic metho d。