苏教版数学必修4《3.1两角和与差的三角函数》课件1

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苏教版高中数学必修四两角和与差的余弦(2)课件

＝cos
π 4cos
6π－sin
π 4sin
6π＝
6－ 4
2 .
(2)原式＝cos(105°－15°)＝cos 90°＝0.
(3)原式＝cos[(α－45°)－(15°＋α)]＝cos(－60°)＝12.
题型二已知三角函数值求值【例 2】已知π2＜β＜α＜34π，且 cos(α－β)＝1123，sin(α＋β)＝－35，求 cos 2α 的值． [思路探索] 用已知角表示要求角，用公式求解．
【变式 2】设 cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23且π2＜α＜π，0＜β
＜π2，求
α＋β cos 2 .
解 ∵π2＜α＜π，0＜β＜2π，
∴π4＜α－β2＜π，－4π＜α2－β＜2π，
sinα－β2＝
1－－192＝4 9 5，
cosα2－β＝
由已知 sin β－sin α＝sin γ＞0. ∵α、β、γ∈0，π2，∴β＞α，上述解答忽略了这一隐含条件而解错．
[正解] 由已知，得 sin γ＝sin β－sin α， cos γ＝cos α－cos β. 平方相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1. ∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝12，∴β－α＝±π3. ∵sin γ＝sin β－sin α＞0，∴β＞α，∴β－α＝3π.
提示由题图知 P1(1,0)，P2(cos α，sin α)， P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))， P4(cos(－β)，sin(－β))．由|P→1P3|＝|P→2P4|，得 [cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β) ＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2 展开并整理，得 2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.

高中数学 3[1].1.3两角和与差的正切2课件苏教版必修4[1]

2 5
1 10
2 2
, （ 0 , ） , (0 ,)， .
4
2
4
例 2在斜三角形 A B C 中 ,求证 : 求 ta nA ta nB ta n C ta nA ta nB ta n C
例 3如图 ,两座建筑物 AB,CD的高度分别是 9m和 15m, 从建筑物的顶部 A看建筑物 CD的张角 CAD=45, 求建筑物 AB和 CD的底部之间的距离 BD.
练 2 已知 t a n 3 ,ta n 2 , 、 ( 0 ,) ,求 + 2
例 1 如图，三个相等的正方形相接，求证： + =. 4
证:由图易知
Hale Waihona Puke tan1 2,
tan
1 3
,
且,
(0,
).
2
tan()1tatnanttaann11211311
t a n α + t a n β = t a n ( α + β ) ( 1 - t a n α t a n β ) t a n α - t a n β = t a n ( α - β ) ( 1 + t a n α t a n β )
学以致用深化概念
练 1已知 tan()1,求 tan.
42
23
对吗？
4
, (0, ), (0, ).
2
在区间(0, )内,正切值为1的角只有 .
4
4
由三角函数值确定角的大小时,要注意角的范围.
另解:由图易知
sin=1,cos2， sin= 1 ,cos 3，

(教师参考)高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦课件1 苏教版必修4

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14
课堂练习
2 2sin6cos
2 212sin 23cos
2 2 s i cn 6 o 0 c 0 s s o 6 i0 sn 0 22sin 600
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15
课堂小结
1.
sin ( ) c o s( ( )) c o s(( ) )
2
2
s i n ) (c o ( s ( ) )co s) ()(
解：此等式对于任意
角证α法成立s in 4 c o s 2 4 c o s 4
1
证法 c o s 4 s in 2 4 s in 4
2
证法 sin4sin4coscos4sin
3 cos4cossin4sincos4
证法 cos4cos4cossin4sin
2
(2)cos20。 cos70。 sin20。 sin70。 cos(20。 70。 )cos90。 0
(3)11-ttaann1155。。1ta-nta4n54。5。 ttaann1155。。
tan(45。15。 )tan60。 3
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13
课堂练习
1 1cos 3sin
22 =cosxcos600-sinxsin600 =cos(x+600)
2
2
c o )c s ( o s s i n )s (i s n icn o c so s isn
2
2
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5
探究点1 公式推导
称s i n ) (s icn o cs o s iss n i n ) (；s icn o cs o s isn
为两角和与差的正弦公式，它们对任意角α 、 β 成立.

高中数学必修四：3.1两角和与差的三角函数课件(共38页)

利用同角三角函数关系化简化简： π α α α α 1－2sin cos ＋ 1＋2sin cos (0<α< )． 2 2 2 2 2
利用“1＝sin ＋cos ”. 2 2
2α
2α
α α 2α [解题过程] 原式＝ sin －2sin cos ＋cos ＋ 2 2 2 2 α α 2α 2α sin ＋2sin cos ＋cos 2 2 2 2 α α2 α α2 ＝ cos －sin ＋ cos ＋sin 2 2 2 2 α α α α ＝|cos －sin |＋|cos ＋sin |， 2 2 2 2
1．化简 π A．cos 5 π C．sin 5
答案： C
1－cos 的结果是( 5
2π
) π B．－sin 5 π D．－cos 5
4 2．若 sinα＝，且 α 是第二象限角，则 tanα 的 5 值为( ) 4 3 A．－ B. 3 4 3 4 C．± D．± 4 3
答案： A
3．已知sin α＝－1，则cos α等于________．答案： 0 1 π π 4．已知 sinαcosα＝，且 <α< ，则 cosα－sinα 8 4 2 的值是________． 3 答案：－ 2
解析：由已知得 cos(θ＋kπ)≠0， ∴tan(θ＋kπ)＝－2(k∈Z)⇒tan θ＝－2. 4sin θ－2cos θ 4tan θ－2 (1) ＝＝10； 5cos θ＋3sin θ 5＋3tan θ 1 2 2 2 (2) sin θ＋ cos θ 4 5 1 2 2 2 1 2 2 sin θ＋ cos θ tan θ＋ 4 5 4 5 ＝＝ 2 2 2 sin θ＋cos θ tan θ＋1 7 ＝ . 25

高中数学必修四课件3-1-2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)课件

提示由两角和的正弦公式知结论正确.
3.存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.( × )
提示由两角差的正弦公式知不存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.
4.存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin αcos β－cos αsin β.( √ )
第三章 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式. 2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的化简、求值、计算等. 3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习题型探究达标检测
1 自主学习
PART ONE
知识点一两角和的余弦公式
公式简记符号使用条件
cos(α＋β)＝_c_o_s_α_c_o_s_β_－__s_i_n_α_s_in__β_ _C__(α_＋_β_)
α，β都是_任__意__角__
记忆口决：“余余正正，符号相反”.
.
解析因为 cos α＝－153，sin α＝1123，
所以 cosα＋π6＝cos αcos
π6－s12＝－5
3＋12 26 .
题型二给值求值
例 2 已知 sin34π＋α＝153，cosπ4－β＝35，且 0<α<π4<β<34π，求 cos(α＋β).
两角和与差的正弦公式应用
典例＝
定义运算ca π
3.
db＝ad－bc.若
提示如α＝β＝0时，sin(α＋β)＝0，sin αcos β－cos αsin β＝0.

(教师参考)高中数学 3.1.1 两角和与差的余弦课件2 苏教版必修4

第三章三角恒等变换
3.1.1 两角和与差的余弦
高中数学必修4·同步课件
学习目标
1.通过实例理解两角差的余弦公式的推导过程。 2掌握两角差公式的运用
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2
引入课题
思考1：一般地，你猜想cos(α－β)等于什么？ cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
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3
引入课题
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6
探究点2 由三角函数值求角
设A，B为锐角△ABC的两个内角，向量 a ＝ (2cos A,2sin A) ， b ＝ (3cos B,3sin B)．若a，b的夹角为60°，求A －解：B∵的a＝值(2．cos A,2sin A)，b＝(3cos B,3sin B)，
∴|a|＝2，|b|＝3，又 a，b 的夹角为 60°， ∴a·b＝|a||b|cos 60°＝2cos A·3cos B＋2sin A·3sin B，
sin 精选ppt sin
15
课堂小结
1．两角差的余弦公式中，α、β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体． 2．在两角差的余弦公式的求值应用中，一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，利用公式直接求值． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
根据角的范围写出所求角．
精选ppt
9
探究点3 给角求值
• 计算：(1)cos(－
15°)；【解】 (1)法一：原式＝cos(30°－45°)
＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°
•
＝
2(3×22)2＋c12o×s22＝860＋4 °2. cos

高中数学第3章3.1.1两角和与差的余弦精品课件苏教必修4.ppt

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数． 2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ ____x_1x_2_＋__y_1_y2_____.
知新益能
1．两角和与差的余弦公式 (1)两角差的余弦公式： C(α－β)：cos(α－β)＝_c_o_s_α_c_o_sβ_＋__s_i_n_α_s_in_β_._ (2)两角和的余弦公式： C(α＋β)：cos(α＋β)＝_c_o_s_α_c_o_sβ_－__s_i_n_α_s_in_β_._
自我挑战 1 (1)已知 cos(α－β)＝13，求(sinα＋ sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2 的值； (2)化简 sin75°cos34°＋sin15°cos56°.
解： (1)(sinα＋ sinβ)2＋ (cosα＋ cosβ)2＝ sin2α＋ 2sinαsinβ＋sin2β＋cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝2 ＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝2＋2cos(α－β)＝2＋
例3 (本题满分 14 分)已知 sinθ＝－1123，θ 是第三象限角，求 cos(π6＋θ)的值．
【思路点拨】由sinθ求出cosθ
→ 两角和的余弦公式展开 → 代入求出
【规范解答】 ∵sinθ＝－1123，θ 是第三象限角，
∴cosθ＝－ 1－sin2θ＝－153，10 分
∴cos(π6＋θ)＝cosπ6cosθ－sinπ6sinθ＝ 23cosθ－12 sinθ
＝ 23×(－153)－12×(－1123)＝12－265
3 .14
分
【名师点评】已知 α、β 角的某种三角函数值，求 α±β 的余弦或正弦，先根据平方关系求出 α、 β 的另一种三角函数值，求解过程中要注意根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后代入公式求解．

两角和与差的正切 ppt课件(29张) 高中数学必修四苏教版

[学习目标] 1.能用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式． 2.熟练掌握两角和与差的正切公式的正用、逆用及变形后的应用．
tan α－tan β 1．公式 T(α－β)是 tan(α－β)＝．成立 1＋tan α·tan β π π π 的条件是 α－β≠kπ＋，α≠kπ＋，β≠kπ＋ (k∈Z)． 2 2 2 tan α＋tan β 2．公式 T(α＋β)是 tan(α＋β)＝．成立 1－tan α·tan β π π π 的条件是 α＋β≠kπ＋，α≠kπ＋，β≠kπ＋ (k∈Z)． 2 2 2
tan（α＋例 2] 求下列各式的值： 3－tan 15° (1) ； 1＋ 3tan 15° (2)tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60° tan 10°.
解：(1)因为 tan 60°＝ 3，所以原式＝ 45°＝1. (2)因为 tan 30°＝tan(20°＋10°)＝， 1－tan 20°·tan 10° 所以 tan 20°＋tan 10°＝tan 30°(1－tan 20°·tan 10°)． tan 20°＋tan 10° tan 60°－tan 15° 1＋tan 60°·tan 15° ＝ tan(60°－ 15° )＝tan
第3章
三角恒等变换
3.1 两角和与差的三角函数 3．1.3 两角和与差的正切
[情景导入] 我们学习了两角和与差的正弦、余弦公式，很自然地想到正切，能否用 tan α 和 tan β 的值表示 tan(α＋β)和 tan(α－β)的值？你能从 C(α±β)，S(α±β)出发，推导出用任意角 α，β 的正切表示 tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？
1－tan 75° [变式训练] (1)计算； 1＋tan 75° (2)已知 α＋β＝45°，求(1＋tan α)(1＋tan β)． 1 解：(1)原式＝＝ tan 45°＋tan 75° tan （45°＋75°） 1 1 1 3 ＝＝＝－＝－ . 3 tan 120° tan（180°－60°） tan 60° 1－tan 45°tan 75°

《3.1.1两角和与差的余弦》课件4-优质公开课-苏教必修4精品

法
分
析
教学方案设计
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堂双
案
基
设计
(1)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)；
达标
课
cos 7°－sin 15°sin 8°
前自
(2)
cos 8°
.
课时
主
作
导学
【思路探究】 (1)将 α－35°，25°＋α 分别视为一个角，业
课逆用公式可得解．
教
堂
师
互动
(2)由 7°＝15°－8°，可用两角差的余弦公式解决．
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2013高中新课程数学(苏教版必修四)3.1.3两角和与差的正切课件

＝2×2＝4.
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题型二
给值求角
【例 2】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 α，β，它们的终边分别与单位圆交于 A、B 两点，已 2 2 5 知 A、B 的横坐标分别为 10 、 5 . (1)求 tan(α＋β)的值； (2)求 α＋2β 的值．
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sinα－β sin α· cos β－cos α· sin β 提示 tan(α－β)＝＝ cosα－β cos α· cos β＋sin α· sin β sin α· cos β－cos α· sin β cos α· cos β ＝ cos α· cos β＋sin α· sin β cos α· cos β tan α－tan β ＝ . 1＋tan α· tan β
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2．公式的变形应用 π π (1)注意常值代换，如 tan4＝1，tan3＝ 3等．特别的
π 1＋tan tan4＋x＝ 1－tan π 1－tan x x ，tan4－x＝ . x 1＋tan x
(2)在见到 tan α± tan β，tan α、tan β 时，应用公式的变形当 α＋β 或 α－β 是一特殊值时，更易找到等量关系.
【题后反思】依据和(差)角的正弦公式、余弦公式，将含有同角的正弦余弦的两项之和化为一个三角函数，研究函数的性质．
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数学：3.1《两角和与差的正弦、余弦、正切公式3》课件(苏教版必修4)

cos90 0

1 tan15 tan 45 tan15 （3） tan 45 15 1 tan15 1 tan 45 tan15 tan 60 3
练习：
tan12 tan33 1、求值。 0 0 1 tan12 tan33
S : sin sin cos cos sin
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
S : sin sin cos cos sin
sin sin cos() cos sin()
2
的两个根为 tan α, tan β , 求 tan α β 的值.
解：由a 0和一元二次方程根与系数的关系，可知
b b b tan tan a tan c 1 tan tan a c c a 1 a
b t an t an , a t an t an c , a
3 tan tan 1 4 4 tan 7 4 1 tan tan 3 1 4 4
例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值
（1） sin 72 cos 42 cos72 sin 42

tan tan 1 tan tan
两角差的正切公式
Tα-β
tan tan tan( ) 1 tan tan
公式成立的条件是：
π π α β kπ ，α kπ , 2 2
π β kπ 2
例1、已知
3 sin , 5

高中数学苏教版必修四《两角和与差的余弦》课件

∴角C为直角，三角形为直角三角形
变式：三角形ABC中，若 sin Asin B cos Acos B
则三角形ABC的形状
A. 等边三角形 C. 锐角三角形
B. 直角三角形 D. 钝角三角形
解：由题意得 cos Acos B sin Asin B 0 cos( A B) 0 ∴A+B为锐角
∴角C为钝角，三角形为钝角三角形
cos a b
|a||b |
设点P、Q分别为角，的终边与单位圆的交点
则
P(cos,sin) Q(cos ,sin )
y
OP OQ
思考：∠POQ是否即为
P
O
Q x
结论
OP,OQ （） 2k
cos OP,OQ
cos( )
y
P
O
Q x
两角差的余弦由上面公式如何推导出两角和的余弦公式？
2
cos cos sin sin
2
2
sin
可以用此方法证明诱导公式，还可以进一步推导和差角的正弦公式
例5.在△ABC中,若sinAsinB=cosAcosB则△ABC是 (A)直角三角形 (B)钝角三角形 (C)锐角三角形 (D)不确定.
解：由题意得 cos Acos B sin Asin B 0 cos( A B) 0 ∴A+B为直角
谢谢大家
小结：
1.和差角的余弦公式
2.公式的应用中，探究二可以将一个式子化为只含有一个三角函数名得式子；探究三进一步推导和差角的正弦公式
作业：
1.课本135页A组2.（2）（4）B组2 2. 根据探究三推导和差角的正弦公式，预习下一节，并根据探究二重点探究3.1.2的例4与例5

苏教版高中数学(必修4)3.1《两角和与差的三角函数》(两角和与差的余弦)ppt课件

注：（1）角α 和角β均是任意角；（2）公式形式特点：①CCSS
②+-互换
三、应用
例1 利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式：
（1）cos

2

sin
（2）sin

2

cos
【评】1、公式的直接应用；
2、两角和为
2
，正、余弦相等；
3、正、余弦可互化.
(3)
cos

3

【评】公式的正用、逆用和灵活运用。
例3、已知：sin

2 3
，

2
，
，cos

3 5
,

,
3
2

求：cos 的值。
练习：已知锐角、满足sin 5 ，cos 3 10
3.1.1 两角和与差的余弦
两角和与差的余弦
一、问题情境：
cos 60 1
2
cos 45
2 2
问题1：cos15 cos60 45 ？
问题2：cos 能否用α 的三角函数与β 的
三角函数来表示？
两角和与差的余弦
y
(cos,sin) P1
α o
(cos ,sin )
【变式】利用两角和（差）的余弦公式求
（1）cos 75 （2）sin 75
【引申】求 tan 75 的值.
【课后思考】能否求 sin( ) 的值？
例2 化简:
（1）cos58 cos37 sin 58 sin 37