浙江专用2021版新高考数学一轮复习第六章数列与数学归纳法2第2讲等差数列及其前n项和高效演练分层突破

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高考数学一轮复习 第六章 数列 第二节 等差数列及其前n项和讲义(含解析)-高三全册数学教案

高考数学一轮复习 第六章 数列 第二节 等差数列及其前n项和讲义(含解析)-高三全册数学教案

第二节 等差数列及其前n 项和突破点一 等差数列的基本运算[基本知识]1.等差数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数).(2)等差中项:数列a ,A ,b 成等差数列的充要条件是A =a +b2,其中A 叫做a ,b 的等差中项.2.等差数列的有关公式 (1)通项公式:a n =a 1+(n -1)d . (2)前n 项和公式:S n =na 1+n n -12d =n a 1+a n 2.[基本能力]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *,都有2a n +1=a n +a n +2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 二、填空题1.若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5,则m 与n 的等差中项是________. 答案:32.在等差数列{a n }中,a 2=3,a 3+a 4=9,则a 1a 6的值为________. 答案:143.已知{a n }是等差数列,且a 3+a 9=4a 5,a 2=-8,则该数列的公差是________. 答案:44.在等差数列{a n }中,已知d =2,S 100=10 000,则S n =________. 答案:n 2[典例感悟]1.(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( )A .-12B .-10C .10D .12解析:选B 设等差数列{a n }的公差为d ,由3S 3=S 2+S 4,得3(3a 1+3d )=2a 1+d +4a 1+6d ,即3a 1+2d =0.将a 1=2代入上式,解得d =-3,故a 5=a 1+(5-1)d =2+4×(-3)=-10.2.(2019·山东五校联考)已知等差数列{a n }为递增数列,其前3项的和为-3,前3项的积为8.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,d >0,∵等差数列{a n }的前3项的和为-3,前3项的积为8,∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1+3d =-3,a 1a 1+da 1+2d =8,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,d =-3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-4,d =3.∵d >0,∴a 1=-4,d =3,∴a n =3n -7. (2)∵a n =3n -7,∴a 1=3-7=-4, ∴S n =n -4+3n -72=n 3n -112.[方法技巧]解决等差数列基本量计算问题的思路(1)在等差数列{a n }中,a 1与d 是最基本的两个量,一般可设出a 1和d ,利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程(组)求解即可.(2)与等差数列有关的基本运算问题,主要围绕着通项公式a n =a 1+(n -1)d 和前n 项和公式S n =n a 1+a n2=na 1+n n -12d ,在两个公式中共涉及五个量:a 1,d ,n ,a n ,S n ,已知其中三个量,选用恰当的公式,利用方程(组)可求出剩余的两个量.[针对训练]1.已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列,且a 3=2,a 9=12,则a 15=( )A .10B .30C .40D .20解析:选B 法一:设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是公差为d 的等差数列,∵a 3=2,a 9=12,∴6d =a 99-a 33=129-23=23,∴d =19,a 1515=a 33+12d =2.故a 15=30.法二:由于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列,故2×a 99=a 33+a 1515,即a 1515=2×129-23=2,故a 15=30.2.(2018·信阳二模)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种质量单位),在这个问题中,甲得________钱.( )A.53 B .32 C.43D .54解析:选C 甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,设公差为d ,由题意知a 1+a 2=a 3+a 4+a 5=52,即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+d =52,3a 1+9d =52,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=43,d =-16,故甲得43钱,故选C.3.(2018·菏泽二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N *,满足a 1+a 2=10,S 5=40.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =|13-a n |,求数列{b n }的前n 项和T n . 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d , 由题意知,a 1+a 2=2a 1+d =10,S 5=5a 3=40,即a 3=8,所以a 1+2d =8,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1=4,d =2,所以a n =4+(n -1)·2=2n +2.(2)令c n =13-a n =11-2n ,b n =|c n |=|11-2n |=⎩⎪⎨⎪⎧11-2n ,n ≤5,2n -11,n ≥6,设数列{c n }的前n 项和为Q n ,则Q n =-n 2+10n . 当n ≤5时,T n =b 1+b 2+…+b n =Q n =-n 2+10n .当n ≥6时,T n =b 1+b 2+…+b n =c 1+c 2+…+c 5-(c 6+c 7+…+c n )=-Q n +2Q 5=n 2-10n +2(-52+10×5)=n 2-10n +50.突破点二 等差数列的性质及应用[基本知识]等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列,且m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q (m ,n ,p ,q ∈N *). (3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(4)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…(m ∈N *)也是等差数列,公差为m 2d .(5)S 2n -1=(2n -1)a n ,S 2n =n (a 1+a 2n )=n (a n +a n +1),遇见S 奇,S 偶时可分别运用性质及有关公式求解.(6)若{a n },{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ,T n ,则a n b n =S 2n -1T 2n -1.(7)若{a n }是等差数列,则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列,其首项与{a n }的首项相同,公差是{a n }的公差的12.(8)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ,则 ①S 2n =n (a 1+a 2n )=…=n (a n +a n +1); ②S 偶-S 奇=nd ,S 奇S 偶=a na n +1. (9)若等差数列{a n }的项数为奇数2n +1,则 ①S 2n +1=(2n +1)a n +1;②S 奇S 偶=n +1n. [基本能力]1.在等差数列{a n }中,a 3+a 7=37,则a 2+a 4+a 6+a 8=________. 解析:依题意,得a 2+a 4+a 6+a 8=(a 2+a 8)+(a 4+a 6)=2(a 3+a 7)=74. 答案:742.设{a n }是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是________. 答案:23.在等差数列{a n }中,3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 13)=24,则该数列前13项的和是________.答案:26[全析考法]考法一 等差数列的性质[例1] (1)(2019·武汉模拟)若数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,且a 1=2a 3-3,则S 9=( )A .25B .27C .50D .54(2)(2019·莆田九校联考)在等差数列{a n }中,若a 1,a 2 019为方程x 2-10x +16=0的两根,则a 2+a 1 010+a 2 018=( )A .10B .15C .20D .40[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ,a 1=2a 3-3=2a 1+4d -3, ∴a 5=a 1+4d =3,S 9=9a 5=27.(2)因为a 1,a 2 019为方程x 2-10x +16=0的两根,所以a 1+a 2 019=10. 由等差数列的性质可知,a 1 010=a 1+a 2 0192=5,a 2+a 2 018=a 1+a 2 019=10,所以a 2+a 1 010+a 2 018=10+5=15.故选B. [答案] (1)B (2)B [方法技巧]利用等差数列的性质求解问题的注意点(1)如果{a n }为等差数列,m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q (m ,n ,p ,q ∈N *).因此,若出现a m -n ,a m ,a m +n 等项时,可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件;若求a m 项,可由a m =12(a m -n +a m +n )转化为求a m -n ,a m +n 或a m +n +a m -n 的值.(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用,如a n =a m +(n -m )d ,d =a n -a m n -m ,S 2n -1=(2n -1)a n ,S n =n a 1+a n 2=n a 2+a n -12(n ,m ∈N *)等. [提醒] 一般地,a m +a n ≠a m +n ,等号左、右两边必须是两项相加,当然也可以是a m -n+a m +n =2a m .考法二 等差数列前n 项和最值问题等差数列的通项a n 及前n 项和S n 均为n 的函数,通常利用二次函数法或通项变号法解决等差数列前n 项和S n 的最值问题.[例2] (2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1=-7,S 3=-15. (1)求{a n }的通项公式; (2)求S n ,并求S n 的最小值. [解] (1)设{a n }的公差为d , 由题意得3a 1+3d =-15. 又a 1=-7,所以d =2.所以{a n }的通项公式为a n =2n -9. (2)法一:(二次函数法)由(1)得S n =n a 1+a n2=n 2-8n =(n -4)2-16,所以当n =4时,S n 取得最小值,最小值为-16. 法二:(通项变号法) 由(1)知a n =2n -9,则S n =n a 1+a n2=n 2-8n .由S n 最小⇔⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0,a n +1≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧2n -9≤0,2n -7≥0,∴72≤n ≤92, 又n ∈N *,∴n =4,此时S n 的最小值为S 4=-16. [方法技巧]求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)二次函数法利用等差数列前n 项和的函数表达式S n =an 2+bn ,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.(2)通项变号法①a 1>0,d <0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0,a m +1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ;②当a 1<0,d >0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0,a m +1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m . [集训冲关]1.[考法一]设S n 为公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和,若S 9=3a 8,则S 153a 5等于( )A .15B .17C .19D .21解析:选A 因为S 9=a 1+a 2+…+a 9=9a 5=3a 8,即3a 5=a 8.又S 15=a 1+a 2+…+a 15=15a 8,所以S 153a 5=15a 8a 8=15.2.[考法一]在项数为2n +1的等差数列{a n }中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n 等于( )A .9B .10C .11D .12解析:选B ∵等差数列有2n +1项,∴S 奇=n +1a 1+a 2n +12,S 偶=n a 2+a 2n2.又a 1+a 2n +1=a 2+a 2n ,∴S 偶S 奇=n n +1=150165=1011,∴n =10. 3.[考法二]等差数列{a n }中,S n 为前n 项和,且a 1=25,S 17=S 9,请问:数列前多少项和最大?解:法一:∵a 1=25,S 17=S 9,∴17a 1+17×162d =9a 1+9×82d ,解得d =-2.∵a 1=25>0,由⎩⎪⎨⎪⎧a n =25-2n -1≥0,a n +1=25-2n ≤0,得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312,n ≥1212.∴当n =13时,S n 有最大值. 法二:∵a 1=25,S 17=S 9, ∴17a 1+17×162d =9a 1+9×82d ,解得d =-2. 从而S n =25n +n n -12(-2)=-n 2+26n=-(n -13)2+169. 故前13项之和最大.突破点三 等差数列的判定与证明[典例] (2019·济南一中检测)各项均不为0的数列{a n }满足a n +1a n +a n +22=a n +2a n ,且a 3=2a 8=15.(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列,并求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }的通项公式为b n =a n2n +6,求数列{b n }的前n 项和S n .[解] (1)证明:依题意,a n +1a n +a n +2a n +1=2a n +2a n ,两边同时除以a n a n +1a n +2,可得1a n +2+1a n=2a n +1,故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列,设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d .因为a 3=2a 8=15,所以1a 3=5,1a 8=10,所以1a 8-1a 3=5=5d ,即d =1,所以1a n =1a 3+(n -3)d =5+(n -3)×1=n +2,故a n =1n +2.(2)由(1)可知b n =a n 2n +6=12·1n +2n +3=12( 1n +2-1n +3 ),故S n =12( 13-14+14-15+…+1n +2-1n +3)=n6n +3. [方法技巧]等差数列的判定与证明方法 方法 解读适合题型定义法 对于数列{a n },a n -a n -1(n ≥2,n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列解答题中的证明问题等差中项法 2a n -1=a n +a n -2(n ≥3,n ∈N *)成立⇔{a n }是等差数列通项公式法 a n =pn +q (p ,q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列选择、填空题定中的判问题前n 项和公式法验证S n =An 2+Bn (A ,B 是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列[提醒] 判断时易忽视定义中从第2项起,以后每项与前一项的差是同一常数,即易忽视验证a 2-a 1=d 这一关键条件.[针对训练](2019·沈阳模拟)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,S 2=2,S 3=-6. (1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n ;(2)是否存在正整数n ,使S n ,S n +2+2n ,S n +3成等差数列?若存在,求出n ;若不存在,请说明理由.解:(1)设数列{a n }的公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+d =2,3a 1+3×22d =-6,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1=4,d =-6,∴a n =4-6(n -1)=10-6n ,S n =na 1+n n -12d =7n -3n 2.(2)由(1)知S n +S n +3=7n -3n 2+7(n +3)-3(n +3)2=-6n 2-4n -6,2(S n +2+2n )=2(-3n 2-5n +2+2n )=-6n 2-6n +4, 若存在正整数n 使得S n ,S n +2+2n ,S n +3成等差数列, 则-6n 2-4n -6=-6n 2-6n +4,解得n =5, ∴存在n =5,使S n ,S n +2+2n ,S n +3成等差数列.。

2022版高考数学大一轮复习第6章数列第2讲等差数列及其前n项和2

2022版高考数学大一轮复习第6章数列第2讲等差数列及其前n项和2

第六章 数 列第二讲 等差数列及其前n 项和1。

[2021嘉兴市高三测试]数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =n 2-n +a ,n ∈N *,则“a =0”是“数列{a 2n }为等差数列”的 ( ) A .充分不必要条件 B 。

必要不充分条件 C 。

充分必要条件 D 。

既不充分也不必要条件2。

[2021南昌市高三测试]已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和,3a 3=5a 2,S 10 =100,则a 1= ( )A.1 B 。

2 C .3 D.43.[2021洛阳市统考]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 4=7a 1,则a 5a 2=( )A .2B .3C .32D .534。

[2021江西红色七校联考]在等差数列{a n }中,若a 1+a 2+a 3=36,a 11+a 12+a 13=84,则a 5+a 9= ( )A 。

30B 。

35C 。

40 D.455。

[2021湖北省四地七校联考]在等差数列{a n }中,已知a 7>0,a 3+a 9<0,则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为 ( )A 。

S 4B 。

S 5C 。

S 6D .S 76.[2021陕西省部分学校摸底检测]数列{2a n +1}是等差数列,且a 1=1,a 3=-13,那么a 5=( )A 。

35B 。

—35C 。

5D .—57.[2021惠州市一调]《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466~485年间。

其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同,已知第一日织布5尺,30日共织布390尺,则该女子织布每日增加的尺数为()A。

47B.1629C。

815D。

16318.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知等差数列{a n}满足4a3=3a2,则{a n}中一定为零的项是()A.a6B。

2021年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)专题6.2 等差数列及其前n项和(测)

2021年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)专题6.2 等差数列及其前n项和(测)

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的.) 1.【浙江省高三第一次五校联考】在等差数列{}n a 中,53a =,62a =-,则348a a a ++等于( )A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C. 【解析】试题分析:∵等差数列{}n a ,∴3847561a a a a a a +=+=+=,∴3483a a a ++=.2.【辽宁省沈阳市东北育才学校高三八模】等差数列{}n a 中,564a a +=,则10122log (222)a a a⋅=( )A.10B.20C.40D.22log 5+【答案】B 【解析】试题分析:由于10121056125()54222222a a a a a a a a ++++⨯⋅⋅⋅===,所以10125422log (222)log 220.a a a ⨯⋅⋅⋅==选B.3. 数列{}n a 为等差数列,满足242010a a a +++=,则数列{}n a 前21项的和等于( )A .212B .21C .42D .84 【答案】B 【解析】4.各项均为正数的等差数列}{n a 中,4936a a =,则前12项和12S 的最小值为( ) (A )78 (B )48 (C )60 (D )72 【答案】D 【解析】试题分析:由于11212494912()6()12722a a S a a a a +==+≥=,当且仅当496a a ==时取等号,所以12S 的最小值为72,选D.5.【改编题】已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,则=-nnn S S S 32( ) A. 30 B. 3 C. 300 D.31【答案】D【解析】由于)(2)(231212n n n n n a a n a a n S S +=+=-+,)(23313n n a a n S +=,所以3132=-n n n S S S .6.【改编题】已知n S 是公差d 不为零的等差数列}{n a 的前n 项和,且83S S =,k S S =7(7≠k ),则k 的值为( )A. 3B.4C.5D.6 【答案】B7.【2022新课标I 学易大联考二】已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21(1)22n n nS n S n n +-+=+*()n N ∈,13a =,则数列{}n a 的通项n a =( )A .41n -B .21n +C .3nD .2n +【命题意图】本题考查数列前n 项和n S 与通项n a 间的关系、等差数列通项公式等基础学问,意在考查同学的规律思维力量、运算求解力量,以及转化思想的应用. 【答案】A【解析】由21(1)22n n nS n S n n +-+=+,得121n n S S n n+-=+,则数列{}n S n 是首项为131S=,公差为2的等差数列,则32(1)21nS n n n=+-=+,即22n S n n =+,则当2n ≥时,1n n n a S S -=-=2222(1)(1)41n n n n n +----=-.又当1n =时,113a S ==,满足41n a n =-,故选A .8.【2022新课标II 学易大联考一】《九章算术》有这样一个问题:今有女子善织,日增等尺,七日织二十一尺,其次日、第五日、第八日所织之和为十五尺,问第十日所织尺数为( ) A .6 B .9 C .12 D .15【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式与前n 项和公式,是基础题.【答案】D【解析】由题知该女每天所织尺数等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,则7S =177()2a a +=47a =21,所以4a =3,由于258a a a ++=53a =15,所以5a =5,所以公差54d a a =-=2,所以10a =55a d +=15,故选D.9.某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元,从其次年起,每年运营费用均比上一年增加2万元,该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n N *∈年后,盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则n 等于( )A.4B.5C.6D.7 【答案】A10.【原创题】已知等差数列}{n a 中,59914,90a a S +==, 则12a 的值是( ) A . 15 B .12-C .32-D .32【答案】B【解析】由已知得,597214a a a +==,故77a =,又19959()9902a a S a +===,故510a =,则7532a a d -=-=,32d =-,故125217102a a d =+=-12=-.11.【原创题】已知等差数列765)1()1()1(53}{x x x n a a n n +++++-=,则,的开放式中4x 项的系数是数列}{n a 中的 ( )A .第9项B .第10项C .第19项D .第20项 【答案】D .【解析】由二项式定理得567(1)(1)(1)x x x +++++的开放式中4x 项的系数为44456776551555123C C C ⨯⨯++=++=⨯⨯,由3555n -=,得20n =,故选D .12.【2022浙江理6】如图所示,点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上,且1n n A A +=12n n A A ++,2n n A A +≠,n ∈*N ,112n n n n B B B B +++=,2n n B B +≠,n ∈*N (P Q ≠表示点P 与点Q 不重合).若n n n d A B =,n S 为1n n n A B B +△的面积,则( ).S nB 1B 2B nB 3B n+1A n+1A 3A nS 1S 2A 2A 1••••••••••••••••••A. {}n S 是等差数列B.2{}n S 是等差数列C.{}n d 是等差数列D.2{}n d 是等差数列 【答案】A .那么11121(tan )2n n S h A A B B θ=+⋅.由题目中条件知112n n n n A A A A +++=,则()1121n A A n A A =-. 所以()1121211tan 2n S h n A A B B θ=⎡+-⋅⎤⎣⎦,其中θ为定值,所以n S 为等差数列.故选A. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.)13.【2022江苏8】已知{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项和.若2123a a +=-,510S =,则9a 的值是 . 【答案】20【解析】设公差为d ,则由题意可得()2111351010a a d a d ⎧++=-⎪⎨+=⎪⎩,解得143a d =-⎧⎨=⎩,则948320a =-+⨯=.14.【2022北京理12】已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则6S =__________. 【答案】615.如图,有一个形如六边形的点阵,它的中心是一个点(算第..1.层.),第2层每边有两个点,第3层每边有三个点,依次类推.(1) 试问第n 层()2n N n *∈≥且的点数为___________个; (2) 假如一个六边形点阵共有169个点,那么它一共有_____层.【答案】(1) ()61n -;(2)8.【解析】试题分析: (1)由题意知:11a =,26a =,312a =,418a =,…, ∴数列{}n a 是从第2项起成等差数列,∴2(2)66n a a n d n =+-=-.(2)由(1)(666)11692n n n S -+-=+=,∴8n =.16.【2021届江苏省盐城市高三第三次模拟考试】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若数列{}n a 满足2n n a S An Bn C +=++且0A >,则1B C A+-的最小值为 .【答案】23 【解析】所以1B C A+-的最小值为23故答案为3三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.【2022届广东省惠州市高三第一次调研考试】(本题10分)已知{}n a 为等差数列,且满足138a a +=,2412a a +=.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)记{}n a 的前n 项和为n S ,若31,,k k a a S +成等比数列,求正整数k 的值. 【答案】(Ⅰ)2n a n =;(Ⅱ)2k = 【解析】∴3236a =⨯=,12(1)k a k +=+,2k S k k =+因 31,,k k a a S + 成等比数列,所以213k ka a S +=,从而22(22)6()k k k +=+, 即 220k k --=,*k N ∈,解得2k = 或1k =-(舍去) ∴ 2k =18.【2022届宁夏银川一中高三上学期第一次月考】等差数列{}n a 中,13a =,前n 项和为n S ,等比数列{}n b 各项均为正数,11b =,且2212b S +=,{}n b 的公比22S q b = (1)求n a 与n b ;(2)求nS S S 11121+++ . 【答案】(1)n n a n 3)1(33=-+=,13-=n n b (2)23(1)n nS n =+【解析】试题分析:(1)由{}n b 的公比22S q b =及2212b S +=可解得3,q =由11b =则n b 可求,又由22Sq b = 可得3,6,91222=-===a a d a S 则n a 可求;(2)由(1)可得3(1)2n n n S +=则12211()3(1)31)n S n n n n ==-++,故由裂项相消法可求n S S S 11121+++12111211111(1)32231n S S S n n +++=-+-++-+ 212(1)313(1)n n n =-=++ 19.【2022全国甲理17】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且11a =,728S =.记[]lg n n b a =,其中[]x 表示不超过的最大整数,如[]0.90=,[]lg 991=. (1)求1b ,11b ,101b ;(2)求数列{}n b 的前1000项和.【答案】(1)0,1,2;(2)1893. 【解析】(1)设{}n a 的公差为d ,74728S a ==,所以44a =,所以4113a a d -==,所以1(1)n a a n d n =+-=. 所以[][]11lg lg10b a ===,[][]1111lg lg111b a ===,[][]101101lg lg1012b a ===.(2)当0lg 1n a <≤时,129n =⋅⋅⋅,,,;当1lg 2n a <≤时,101199n =⋅⋅⋅,,,; 当2lg 3n a <≤时,100101999n =⋅⋅⋅,,,;当lg 3n a =时,1000n =. 所以1000121000=T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg =a a a ++⋅⋅⋅+091902900311893⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.【江苏省盐城市高三第三次模拟考试】设函数21()1+f x px qx=+(其中220p q +≠),且存在无穷数列{}n a ,使得函数在其定义域内还可以表示为212()1n n f x a x a x a x =+++++.(1)求2a (用,p q 表示); (2)当1,1p q =-=-时,令12n n n n a b a a ++=,设数列{}n b 的前n 项和为n S ,求证:32n S <;(3)若数列{}n a 是公差不为零的等差数列,求{}n a 的通项公式.【答案】(1)22a p q =-;(2)证明见解析;(3)1n a n =+.【解析】列{}n a 的通项公式.试题解析:(1)由题意,得2212(1)(1)1n n px qx a x a x a x +++++++=,明显2,x x 的系数为0,所以121+0++0a p a a p q =⎧⎨=⎩,从而1a p =-,22a p q =-.(2)由1,1p q =-=-,考虑(3)nx n ≥的系数,则有120n n n a pa qa --++=,得1212120(3)n n n a a a a a n --=⎧⎪=⎨⎪--=≥⎩,即21n n n a a a ++=+,所以210p q +=-=,即2,1p q =-=,由(1)知12a =,23a =,所以1n a n =+. 21.【2022年山西高三四校联考】(本小题满分12分)在等差数列}{n a 中,11,552==a a ,数列}{n b 的前n 项和n n a n S +=2.(Ⅰ)求数列}{n a ,}{n b 的通项公式;(Ⅱ)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫+11n n b b 的前n 项和n T .【答案】(I )12+=n a n ,⎩⎨⎧≥+==)2(,12)1(,4n n n b n ;(II ))32(2016+-=n n T n .【解析】(I )由11,552==a a 可求得数列}{n a 的首项及公差,从而求得n a ,对于数列}{n b ,可先令1=n ,由1111b a S =+=,先求得1b ,再由1,1>-=-n S S b n n n 来求得}{n b 的通项;(II )有第一问可求得⎩⎨⎧≥+==)2(,12)1(,4n n n b n ,可先求得⎩⎨⎧⎭⎬⎫+11n n b b 的通项公式,在利用拆项法求n T .试题解析:(1)设等差数列}{n a 的首项为1a ,公差为d ,则⎩⎨⎧=+==+=11451512d a a d a a∴⎩⎨⎧==231d a ∴122)1(3+=⨯-+=n n a n …………(3分)所以)32(201615101201)32151(21201)32112191717151(21201+-=+-+=+-+=+-+++-+-+=n n n n n n n T nn=1仍旧适合上式, …………(10分) 综上,)32(201615101201+-=+-+=n n n n T n …………(12分)22.【2022年江西师大附中高三二模】(本小题满分12分) 在公比为2的等比数列{}n a 中,2a 与5a 的等差中项是93. (Ⅰ)求1a 的值; (Ⅱ)若函数1sin 4y a x πφ⎛⎫=+⎪⎝⎭,φπ<,的一部分图像如图所示,()11,M a -,()13,N a -为图像 上的两点,设MPN β∠=,其中P 与坐标原点O 重合,πβ<<0,求()tan φβ-的值.【答案】(I )13a =;(II )32-+. 【解析】试题分析:(I )n a 为公比为2的等比数列,所以258a a =代入等差中项关系式31825=+a a 中,求出2a ,如图,连接MN ,在MPN ∆中,由余弦定理得222412283cos 2283PM PN MNPM PNβ+-+-===-又∵πβ<<0 ∴ 56βπ= -------------9分∴ 12πφβ-=-∴ ()tan tantan 231246πππφβ⎛⎫-=-=--=-+ ⎪⎝⎭-------------12分。

浙江专用高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法第2讲等差数列及其前n项和练习含解析

浙江专用高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法第2讲等差数列及其前n项和练习含解析

浙江专用高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法第2讲等差数列及其前n 项和练习含解析[基础达标]1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( ) A .8 B .10 C .12D .14解析:选C.由题知3a 1+3×22d =12,因为a 1=2,解得d =2,又a 6=a 1+5d ,所以a 6=12,故选C.2.(2019·浙江新高考冲刺卷)已知等差数列{a n },S n 是{a n }的前n 项和,则对于任意的n ∈N *,“a n >0”是“S n >0”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A.对于任意的n ∈N *,“a n >0”能推出“S n >0”,是充分条件,反之,不成立,比如:数列5,3,1,-1,不满足条件,不是必要条件,故选A.3.已知等差数列{a n },且3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 13)=48,则数列{a n }的前13项之和为( )A .24B .39C .104D .52解析:选D.因为{a n }是等差数列,所以3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 13)=6a 4+6a 10=48,所以a 4+a 10=8,其前13项的和为13(a 1+a 13)2=13(a 4+a 10)2=13×82=52,故选D.4.(2019·金华十校联考)在数列{a n }中,若a 1=2,且对任意正整数m ,k ,总有a m +k=a m +a k ,则{a n }的前n 项和S n =( )A .n (3n -1)B .n (n +3)2 C .n (n +1)D .n (3n +1)2解析:选C.依题意得a n +1=a n +a 1,即有a n +1-a n =a 1=2,所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列,a n =2+2(n -1)=2n ,S n =n (2+2n )2=n (n +1),选C.5.若数列{a n }满足a 1=15,且3a n +1=3a n -2,则使a k ·a k +1<0的k 值为( ) A .22 B .21 C .24D .23解析:选D.因为3a n +1=3a n -2,所以a n +1-a n =-23,又a 1=15,所以数列{a n }是首项为15,公差为-23的等差数列,所以a n =15-23·(n -1)=-23n +473,且{a n }为递减数列,令a n =-23n +473>0,得n <23.5,可知使a k ·a k +1<0的k 值为23.6.(2019·温州十校联合体期初)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则( ) A .若S 9>S 8,S 9>S 10,则S 17>0,S 18<0 B .若S 17>0,S 18<0,则S 9>S 8,S 8>S 10 C .若S 17>0,S 18<0,则a 17>0,a 18<0 D .若a 17>0,a 18<0,则S 17>0,S 18<0解析:选B.A.由S 9>S 8,且S 9=S 8+a 9得a 9>0, 又S 9>S 10,S 10=S 9+a 10,则a 10<0,因为S 17=17a 9>0,S 18=9(a 10+a 9)符号不确定,A 错误; B .在等差数列{a n }中,S 17>0,且S 18<0, 则S 17=17a 9>0,S 18=9(a 10+a 9)<0,所以a 9>0,a 10<0,且|a 10|>a 9,所以等差数列{a n }的公差d <0, 则S 9=S 8+a 9>S 8,S 10=S 8+a 9+a 10<S 8,B 正确;C .由B 知,a 1,a 2,…,a 9为正,a 10,a 11…为负,C 错误;D .由a 17>0,a 18<0知,a 1,a 2,…,a 17为正,a 18,a 19,…为负, 所以S 17=17a 9>0,S 18=9(a 1+a 18)=9(a 2+a 17)>0,D 错误.故选B.7.已知等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 3+a 9=a 10-a 8.若a n =0,则n =________. 解析:因为a 3+a 9=a 10-a 8,所以a 1+2d +a 1+8d =a 1+9d -(a 1+7d ), 解得a 1=-4d ,所以a n =-4d +(n -1)d =(n -5)d , 令(n -5)d =0(d ≠0),可解得n =5.答案:58.在等差数列{a n }中,a 1=7,公差为d ,前n 项和为S n ,当且仅当n =8时S n 取得最大值,则d 的取值范围为________.解析:由题意,当且仅当n =8时,S n 取得最大值,说明⎩⎪⎨⎪⎧a 8>0,a 9<0.所以⎩⎪⎨⎪⎧7+7d >0,7+8d <0.所以-1<d <-78.答案:⎝⎛⎭⎪⎫-1,-78 9.已知数列{a n }的各项均为正数,S n 为其前n 项和,且对任意n ∈N *,均有a n ,S n ,a 2n 成等差数列,则a n =________.解析:因为a n ,S n ,a 2n 成等差数列, 所以2S n =a n +a 2n ,当n =1时,2S 1=2a 1=a 1+a 21, 又a 1>0,所以a 1=1,当n ≥2时,2a n =2(S n -S n -1)=a n +a 2n -a n -1-a 2n -1, 所以(a 2n -a 2n -1)-(a n +a n -1)=0, 所以(a n +a n -1)(a n -a n -1-1)=0, 又a n +a n -1>0,n ≥2, 所以a n -a n -1=1,n ≥2,所以{a n }是等差数列,其公差为1, 因为a 1=1, 所以a n =n (n ∈N *). 答案:n10.(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 8>0,a 8+a 9<0,则满足S n >0的n 的最大值是________;数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n (1≤n ≤15)中最大的项为第________项.解析:因为等差数列{a n }满足a 8>0,a 8+a 9<0, 所以S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8>0,S 16=162(a 1+a 16)=8(a 8+a 9)<0,所以满足S n >0的n 的最大值是15.因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 8>0,a 8+a 9<0, 所以该数列是递减数列,且|a 8|最小,|S 8|最大, 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n (1≤n ≤15)中最大的项为第8项.答案:15 811.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3+a 6=4,S 5=-5. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若T n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |,求T 5的值. 解:(1)由题知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+7d =45a 1+5×42d =-5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-5d =2, 故a n =2n -7(n ∈N *). (2)由a n =2n -7<0,得n <72,因为n ∈N *,即n ≤3,所以当n ≤3时,a n =2n -7<0, 当n ≥4时,a n =2n -7>0.易知S n =n 2-6n ,S 3=-9,S 5=-5,所以T 5=-(a 1+a 2+a 3)+a 4+a 5=-S 3+(S 5-S 3)=S 5-2S 3=13.12.(2019·嵊州模拟)已知函数f (x )=x 2-2(n +1)x +n 2+5n -7(n ∈N *). (1)设函数y =f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n },求证:{a n }为等差数列; (2)设函数y =f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n },求{b n }的前n 项和S n . 解:(1)证明:因为f (x )=x 2-2(n +1)x +n 2+5n -7=[x -(n +1)]2+3n -8, 所以a n =3n -8,因为a n +1-a n =3(n +1)-8-(3n -8)=3, 所以数列{a n }为等差数列. (2)由题意知,b n =|a n |=|3n -8|, 所以当1≤n ≤2时,b n =8-3n ,S n =b 1+…+b n =n (b 1+b n )2=n [5+(8-3n )]2=13n -3n 22;当n ≥3时,b n =3n -8,S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =5+2+1+…+(3n -8)=7+(n -2)[1+(3n -8)]2=3n 2-13n +282.所以S n=⎩⎪⎨⎪⎧13n -3n22,1≤n ≤2,3n 2-13n +282,n ≥3.[能力提升]1.下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题:p 1:数列{a n }是递增数列;p 2:数列{na n }是递增数列;p 3:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列;p 4:数列{a n +3nd }是递增数列.其中真命题为( )A .p 1,p 2B .p 3,p 4C .p 2,p 3D .p 1,p 4解析:选D.由a n +1-a n =d >0,知数列{a n }是递增数列,可知p 1是真命题;由(n +1)a n+1-na n =(n +1)(a 1+nd )-n [a 1+(n -1)d ]=a 1+2nd ,仅由d >0是无法判断a 1+2nd 的正负的,因而不能判定(n +1)a n +1,na n 的大小关系,故p 2是假命题;显然,当a n =n 时,a n n=1,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是常数数列,不是递增数列,故p 3是假命题;数列的第n +1项减去数列的第n项[a n +1+3(n +1)d ]-(a n +3nd )=(a n +1-a n )+[3(n +1)d -3nd ]=d +3d =4d >0,所以a n +1+3(n +1)d >a n +3nd ,即数列{a n +3nd }是递增数列,p 4是真命题.2.(2019·金华市东阳二中高三调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=a 2=1,{nS n+(n +2)a n }为等差数列,则a n =( )A .n2n -1 B .n +12n -1+1C .2n -12n -1D .n +12n +1解析:选A.设b n =nS n +(n +2)a n ,则b 1=4,b 2=8,因为{b n }为等差数列,所以b n =4n ,即nS n +(n +2)a n =4n ,S n +⎝⎛⎭⎪⎫1+2n a n =4.当n ≥2时,S n -S n -1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1+2n a n -⎝ ⎛⎭⎪⎫1+2n -1a n -1=0,所以2(n +1)n a n =n +1n -1·a n -1,即2·a n n =a n -1n -1,又因为a 11=1,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1,公比为12的等比数列,所以a n n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1(n ∈N *),即a n =n2n -1(n ∈N *),故选A.3.已知等差数列{a n }满足a 9<0,且a 8>|a 9|,数列{b n }满足b n =a n a n +1a n +2(n ∈N *),{b n }的前n 项和为S n ,当S n 取得最大值时,n 的值为________.解析:设等差数列{a n }的公差为d ,因为a 9<0, 且a 8>|a 9|,所以d <0,a 8+a 9>0,a 8>-a 9>0. 所以当n ≤8时,a n >0;当n ≥9时,a n <0.S n =a 1a 2a 3+a 2a 3a 4+…+a 6a 7a 8+a 7a 8a 9+a 8a 9a 10+a 9a 10a 11+…+a n a n +1a n +2,当n ≤6时,a n a n +1a n +2>0,当n ≥9时,a n a n +1a n +2<0,而a 7a 8a 9<0,a 8a 9a 10>0,又a 7a 8a 9+a 8a 9a 10=a 8a 9(a 7+a 10)=a 8a 9(a 8+a 9)<0, 所以当S n 取得最大值时,n =6. 答案:64.(2019·舟山市普陀三中高三期中)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 4-a 2=8,a 3+a 5=26.记T n =S nn2,如果存在正整数M ,使得对一切正整数n ,T n ≤M 都成立,则M 的最小值是________.解析:因为{a n }为等差数列,由a 4-a 2=8,a 3+a 5=26, 可解得S n =2n 2-n ,所以T n =2-1n,若T n ≤M 对一切正整数n 恒成立,则只需T n 的最大值小于或等于M 即可.又T n =2-1n<2,所以只需2≤M ,故M 的最小值是2. 答案:25.已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S 2·S 3=36. (1)求d 及S n ;(2)求m ,k (m ,k ∈N *)的值,使得a m +a m +1+a m +2+…+a m +k =65. 解:(1)由题意知(2a 1+d )(3a 1+3d )=36, 将a 1=1代入上式解得d =2或d =-5. 因为d >0,所以d =2,S n =n 2(n ∈N *). (2)由(1)得a m +a m +1+a m +2+…+a m +k =(2m +k -1)(k +1), 所以(2m +k -1)(k +1)=65.由m ,k ∈N *知2m +k -1≥k +1>1,故⎩⎪⎨⎪⎧2m +k -1=13,k +1=5, 所以m =5,k =4.6.(2019·浙江省衢州市高考数学模拟)在数列{a n }中,a 1=1,2a n a n +1+a n +1-a n =0(n ∈N *).(1)求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列,并求{a n }的通项公式;(2)若ta n +1(a n -1)+1≥0对任意n ≥2的整数恒成立,求实数t 的取值范围. 解:(1)由题意得,2a n a n +1+a n +1-a n =0, 两边同除a n a n +1得,1a n +1-1a n=2,因为a 1=1,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项、2为公差的等差数列,则1a n=1+2(n -1)=2n -1,所以a n =12n -1.(2)由(1)得,ta n +1(a n -1)+1≥0 即为t ·12n +1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-1+1≥0,由n ≥2化简得,t ≤(2n -1)(2n +1)2(n -1),设b n =(2n -1)(2n +1)2(n -1),则b n +1-b n =(2n +1)(2n +3)2n -(2n -1)(2n +1)2(n -1)=2n +12·(2n +3)(n -1)-n (2n -1)n (n -1) =(2n +1)(2n -3)2n (n -1)>0,所以当n ≥2时, 数列{b n }是递增数列, 则(2n -1)(2n +1)2(n -1)≥152,所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,152.。

浙江专版高考数学一轮复习第六章数列与数学归纳法第二节等差数列及其前n项和课件

浙江专版高考数学一轮复习第六章数列与数学归纳法第二节等差数列及其前n项和课件
答案:-2 10 或 11
课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
考点一 等差数列的基本运算
[题组练透]
1.(2017·嘉兴二模)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若
S1 S4

110,则
S3 S5

()
A.
2 5
B.
3 5
C.
3 7
D.
4 7
解析:设数列{an}的公差为 d,因为 Sn 为等差数列{an}的前 n
的最大 n 的值为 6.又 a6+a7=S7-S5>0,则 S11=11a12+a11=
11a6>0

S12

12
a1+a12 2

6(a6

a7)>0

S13

13a1+a13 2

13a7<0,因为{an}是递减的等差数列,所以满足 SkSk+1<0 的正
整数 k=12.
答案:6 12
[由题悟法]
解析:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,
a12=a1+11d=-8, 由已知,得S9=9a1+9×2 8d=-9,
解得ad1==-3,1.
∴S16=16×3+16×2 15×(-1)=-72.
答案:-72
[谨记通法]
等差数列基本运算的方法策略
(1)等差数列中包含 a1,d,n,an,Sn 五个量,可“知三求二”.解 决这些问题一般设基本量 a1,d,利用等差数列的通项公式与求和 公式列方程(组)求解,体现方程思想.
_差___都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列, (2)等这差个中常项数:叫数做列等a,差A数,b列成的等公差差数,列通的常充用要字条母件d是表_A_示=__.a_+_2_b__,

2023年高考数学一轮复习第六章数列2等差数列课件

2023年高考数学一轮复习第六章数列2等差数列课件

(2)等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若对任意正整数 n 都 有TSnn=23nn- -12,则b6+a11b10+b7+a5 b9的值为__24_93__.
b6+a11b10+b7+a5 b9=a112+b8a5=22ab88=ba88, ∴ab88=TS22××88--11=TS1155=23××1155--12=2493.
∴{bn}是以1为首项,1为公差的等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
由(1)知,bn=1+(n-1)×1=n,
∴an+1= 2bn=2n,
∴an=2n-1.
思维升华
判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法:对任意n∈N*,an+1-an是同一常数. (2)等差中项法:对任意n≥2,n∈N*,满足2an=an+1+an-1. (3)通项公式法:对任意n∈N*,都满足an=pn+q(p,q为 常数). (4)前n项和公式法:对任意n∈N*,都满足Sn=An2+Bn(A, B为常数).
A.110
B.150
√ C.210
D.280
因为等差数列{an}的前n项和为Sn, 所以S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30也成等差数列. 故(S30-S20)+S10=2(S20-S10), 所以S30=150. 又因为(S20-S10)+(S40-S30)=2(S30-S20), 所以S40=280.
(1)等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于
同一个常数 数列
的公差,通常用字母 d 表示,定义表达式为_a_n_-__a_n-__1=__d_(_常__数__)_(n_≥__2_,__ n∈N*) .

2021年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)专题6.1 数列的概念及其简单表示(测)

2021年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)专题6.1 数列的概念及其简单表示(测)

第01节 数列的概念与简洁表示法班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的.) 1. 已知数列:2,0,2,0,2,0, .前六项不适合...下列哪个通项公式( ) A .n a =()111n ++- B .n a =2|sin2n π| C .n a =()11n-- D .n a =2sin 2n π 【答案】D故选D.2.【改编题】已知数列{}n a ,则“11n n a a +>-”是“数列{}n a 为递增数列”的( ) (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由题意,若“数列{}n a 为递增数列”,则11n n n a a a +>>-,但11n n a a +>-不能推出1n n a a +>,如11, 1.5n n a a +==,则不能推出“数列{}n a 为递增数列”,所以“11n n a a +>-”是“数列{}n a 为递增数列”的必要而不充分条件.故选B.3. 【改编题】已知数列}{n a 的前n 项和为nS ,且)1(2+=n n a S ,则5a = ( )A .16-B .32-C .32D .64-【答案】B . 【解析】当1n =时,111122,2a S a a ==+∴=-.当2n ≥时,由22n n S a =+得1122n n S a --=+,两式作差得:12n n a a -=,∴数列{}n a 是以2-为首项,2为公比的等比数列,∴452232a =-⨯=-,故选B .4.【山西晋城市2022届高三下学期第三次模拟考试】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足111,2nn n a a a +==,则20S =( )A .3066B .3063C .3060D .3069 【答案】D 【解析】5.【太原市2022年高三班级模拟试题(三)】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若6726a a =+,则9S 的值为( )A .27B .36C .45D .54 【答案】D 【解析】试题分析:由6726a a =+得641=+d a ,故54)4(92899119=+=⨯+=d a d a S ,故应选D. 6.【太原市2022年高三班级模拟试题(三)】已知{}n a 满足11a =,*11()()4n n n a a n N ++=∈,21123444n n n S a a a a -=++++,则54n n n S a -=( )A .1n -B .nC .2nD .2n 【答案】B 【解析】试题分析:由*11()()4n n n a a n N ++=∈得:1441=++n n n n a a ,取n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=,得到n 个等式并两边相加得:n a a a a a a a n nn n =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++)444()4444(132233221,由于21123444n n n S a a a a -=++++,则n a S S n n n n =+-++)41(41,而n n n n a a 4141-=+,所以n a S n n n =-45,应选B.7.【原创题】已知函数()f x 满足:(1)3,(2)6,(3)10,(4)15,f f f f ====,则(12)f 的值为( )A .54B .65C .77D .91【答案】D .故选D .8.【2022年安庆市高三二模】数列{}n a 满足:11n n a a λ+=-(n *∈Ν,λ∈R 且0λ≠),若数列{}1n a -是等比数列,则λ的值等于( )A .1B .1-C .12D .2 【答案】D【解析】由11n n a a λ+=-,得1212()n n n a a a λλλ+-=-=-.由于数列{1}n a -是等比数列,所以21λ=,得2λ=.故选D.9.【浙江省杭州外国语学校高三上学期期中考试】已知函数()f x =⎩⎨⎧>+-≤-)0(,1)1()0(,12x x f x x ,把函数()()g x f x x =-的零点按从小到大的挨次排列成一个数列,则该数列的通项公式为( )A .2)1(-=n n a nB .1-=n a nC .)1(-=n n a nD .22-=n n a【答案】B 【解析】试题分析:当(]0,∞-∈x 时,由()()012=--=-=x x x f x g x,得12+=x x,令x y 2=,1+=x y ,在同一个坐标系内作出两函数在区间(]0,∞-上的图象,由图象易知交点为()1,0,故得到函数的零点为0=x .当(]1,0∈x 时,(]0,11-∈-x ,()()11211211--=+-=+-=x x x f x f ,由()()021=-=-=-x x x f x g x ,得x x =-12,令12-=x y ,x y =,在同一个坐标系内作出两函数在区间(]1,0上的图象,由图象易知交点为()1,1,故函数的零点为1=x .当(]2,1∈x 时,(]1,01∈-x ,10.【2022年江西省四校高三一模测试】已知数列{}n a 是等比数列,数列{}n b 是等差数列,若1611161133,7a a a b b b π⋅⋅=-++=,则3948tan 1b b a a +-⋅的值是( )A.1B. 22 C . 22- D. 3【答案】D 【解析】试题分析:数列{}n a 是等比数列,数列{}n b 是等差数列,,且1611161133,7a a a b b b π⋅⋅=-++=(3366667,3,37,3,3a b a b ππ∴=-=∴=-=,3948tan 1b b a a +-⋅6262tan1b a =-()2723tan13π⨯=-7tantan 2tan 3333ππππ⎛⎫==--=-= ⎪⎝⎭11.【2022年江西师大附中鹰潭一中联考】已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,满足95S S =,且01>a ,则n S 中最大的是( )A .6SB .7SC .8SD .15S 【答案】B【解析】由95S S =,得()67897820a a a a a a +++=+=,由01>a 知,0,087<>a a ,所以7S 最大,故B 正确. 12.【浙江省桐乡第一等四校高三上学期期中理考】已知函数()121f x x =--,[0,1]x ∈.定义:1()()f x f x =,21()(())f x f f x =,……,1()(())n n f x f f x -=,2,3,4,n =满足()n f x x =的点[0,1]x ∈称为()f x 的n 阶不动点.则()f x 的n 阶不动点的个数是( )A.2n 个B.22n 个 C.2(21)n -个 D.2n 个【答案】D. 【解析】二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.)13.【2022年河北石家庄高三二模】数列{}n a 满足:1132,51++⋅=-=n n n n a a a a a ,则数列{}1+⋅n n a a 前10项的和为______.【答案】1021【解析】令2n =,23232a a a a -=⋅,解得213a =,令1n =,则12122a a a a -=⋅,解得11a =,对112n n n n a a a a ++-=⋅两边除以1n n a a +⋅,得1112n na a +-=,故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项,公差为2的等差数列,所以()()111111121,,21212122121n n n n n a a a a n n n n n +⎛⎫=-=⋅==- ⎪--⋅+-+⎝⎭,故其前10项的和为1111111110112335192122121⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 14.【2022年江西九江高三模拟】已知数列{}n a 各项均不为0,其前n 项和为n S ,且112,1+==n n n a a S a ,则=n S ______.【答案】2)1(+n n15.【陕西省西安长安区一中高三上学期第三次质检】把正整数按肯定的规章排成了如图所示的三角形数表.124357681012911131517141618202224设(),ij a i j N +∈是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数,如5211a =.则87a = .【答案】38【解析】试题分析由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列,偶数行为偶数列,故87a 表示第8行的第7个数字,即第2+4+6+7=19个正偶数.故8721938a =⨯=.16.【2022年4月湖北省七市(州)教科研协作体高三联合考试】已知数列{}n a 的首项11a =,且对任意*n N ∈,1,n n a a +是方程230n x nx b -+=的两实根,则21n b -= .【答案】(31)(32)n n -- 【解析】三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 【湖南省2022届高考冲刺卷数学(理)试题(三)】(本小题满分10分)已知数列{}n a 中,()111,3nn n a a a n N a *+==∈+.(1)求证:112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列, 并求{}n a 的通项公式n a ; (2)数列{}n b 满足()312nn n n n b a =-,数列{}nb 的前n 项和为n T ,若不等式()112n n n n T λ--<+对一切n N *∈恒成立, 求λ的取值范围. 【答案】(1)231n n a =-(2)()2,3- 【解析】试题分析:(1)证明等比数列,一般从定义动身,即证相邻项的比值是一个与项数无关的非零常数,即1311122=3111122n n n n n a a a a a ++++=++,由112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭通项11133,22n n a -+=⨯得231n n a =-(2)先代入化简得12n n nb -=,所以用错位相减法求和1242n n n T -+=-,对不等式恒成立问题,一般转化为对应函数最值问题,由于有符号数列,所以分类争辩:若n 为偶数, 则min 12(4)32n λ-<-=;若n 为奇数, 则min 12(4)222n λλ--<-=⇒>-,因此求交集得λ的取值范围试题解析:(1)由数列{}n a 中, ()111,3nn n a a a n N a *+==∈+,可得1131311111,322n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫+==+∴+=+ ⎪⎝⎭,112n a ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭是首项为32,公比为3的等比数18.【2022届高三班级第四次四校联考】(本小题满分12分) 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且)(12*∈-=N n S n n(1) 求数列}{n a 的通项公式;(2) 若1232212+⨯-=+nn nn b ,且数列{n b }的前n 项和为n T ,求证:1<n T 。

(浙江版)高考数学一轮复习 专题6.2 等差数列及其前n项和(讲)-浙江版高三全册数学试题

(浙江版)高考数学一轮复习 专题6.2 等差数列及其前n项和(讲)-浙江版高三全册数学试题

第02节 等差数列及其前n 项和【考纲解读】【知识清单】一.等差数列的有关概念1.定义:等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示.用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥.2.等差数列的通项公式:1(1)n a a n d =+-;说明:等差数列(通常可称为A P 数列)的单调性:d 0>为递增数列,0d =为常数列,0d < 为递减数列.3.等差中项的概念:定义:如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项,其中2a bA +=. a ,A ,b 成等差数列⇔2a bA +=. 4.等差数列的前n 和的求和公式:11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 5.要注意概念中的“从第2项起”.如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起,每一项与它前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列.6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别. 对点练习:【2017届某某省某某市二模】在等差数列中,若,则_______.【答案】二、等差数列的前n 项和等差数列的前n 和的求和公式:11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 对点练习:【2018届某某省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若14k S -=,9k S =,则k a =__________,1a 的最大值为__________.【答案】 54.【解析】15k k k a S S -=-=,因为()1592k k a S +==,又k 的最小值为2,可知1a 的最大值为4.三、等差数列的相关性质 1.等差数列的性质:(1)在等差数列{}n a 中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项;(2)在等差数列{}n a 中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列, 如:1a ,3a ,5a ,7a ,……;3a ,8a ,13a ,18a ,……;(3)在等差数列{}n a 中,对任意m ,n N +∈,()n m a a n m d =+-,n ma a d n m-=-()m n ≠;(4)在等差数列{}n a 中,若m ,n ,p ,q N +∈且m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+,特殊地,2m p q =+时,则2m p q a a a =+,m a 是p q a a 、的等差中项.(5)等差数列被均匀分段求和后,得到的数列仍是等差数列,即232,,n n n n n S S S S S --成等差数列. (6)两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列. (7)若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列.2.设数列{}n a 是等差数列,且公差为d ,(Ⅰ)若项数为偶数,设共有2n 项,则①-S S nd =奇偶; ②1n n S a S a +=奇偶;(Ⅱ)若项数为奇数,设共有21n -项,则①S S -偶奇n a a ==中(中间项);②1S nS n =-奇偶. 3.(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.4.如果两个等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数.5.若{}n a 与{}n b 为等差数列,且前n 项和分别为n S 与'n S ,则2121'm m m m a S b S --=. 6.等差数列的增减性:0d >时为递增数列,且当10a <时前n 项和n S 有最小值.0d <时为递减数列,且当10a >时前n 项和n S 有最大值. 对点练习:1.在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则753a a += ( ) A .10 B .18 C .20 D .28 【答案】C2.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,满足95S S =,且01>a ,则n S 中最大的是( ) A .6S B .7S C .8S D .15S 【答案】B【解析】由95S S =,得()67897820a a a a a a +++=+=,由01>a 知,0,087<>a a ,所以7S 最大,故B 正确.【考点深度剖析】等差数列的性质、通项公式和前n 项和公式构成等差数列的重要内容,在历届高考中必考,既有独立考查的情况,也有与等比数列等其它知识内容综合考查的情况.选择题、填空题、解答题多种题型加以考查.【重点难点突破】考点1 等差数列的定义、通项公式、基本运算【1-1】【2017全国卷1(理)】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,68S =,则{}n a 的公 差为( ). A .1B .2C .4D .8【答案】C【1-2】【2017全国卷2(理))】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,410S =,则11nk kS ==∑. 【答案】21nn + 【解析】设{}n a 首项为1a ,公差为d .则3123a a d =+=, 414610S a d =+=,求得11a =,1d =,则n a n =,()12n n n S +=,()()112222122311nk kS n n n n ==++++⨯⨯-+∑11111112122311n n n n ⎛⎫=-+-++-+-= ⎪-+⎝⎭122111n n n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭.【1-3】【2017届某某市耀华中学二模】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ,且2142S =,若记2119132aa a nb --=,则数列{}n b ( )A. 是等差数列但不是等比数列B. 是等比数列但不是等差数列C. 既是等差数列又是等比数列D. 既不是等差数列又不是等比数列 【答案】C【领悟技法】1.等差数列的四种判断方法(1) 定义法:对于数列{}n a ,若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数),则数列{}n a 是等差数列; (2) 等差中项:对于数列{}n a ,若212+++=n n n a a a ()n N ∈*,则数列{}n a 是等差数列; (3)通项公式:n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔{}n a 是等差数列; (4)前n 项和公式:2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔{}n a 是等差数列; (5){}n a 是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. 2.活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为1a 和d 等基本量,通过建立方程(组)获得解.即等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-及前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+,共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ,知其中三个就能求另外两个,即知三求二,多利用方程组的思想,体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ,掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求,整体代入”来简化运算.3.特殊设法:三个数成等差数列,一般设为,,a d a a d -+;四个数成等差数列,一般设为3,,,3a d a d a d a d --++.这对已知和,求数列各项,运算很方便.4.若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列,只需用123,,a a a 验证即可. 5.等差数列的前n 项和公式若已知首项1a 和末项n a ,则1()2n n n a a S +=,或等差数列{a n }的首项是1a ,公差是d ,则其前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+. 【触类旁通】【变式一】【2018届某某省某某市西北师X 大学附属中学高三一调】在《X 丘建算经》有一道题:“今有女子不善织布,逐日所织的布同数递减,初日织五尺,末一日织一尺,计织三十日,问共织布几何?” ( ) A.尺 B. 尺 C.尺 D.尺【答案】C【变式二】【2018届某某省某某市高三调研性检测】数列{}n a 满足1111,021n n n a a a a ++=+=-.(Ⅰ)求证:数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列;(Ⅱ)若数列{}n b 满足1122,1n nn n b a b b a +==+,求{}n b 的前n 项和n S . 【答案】(Ⅰ)证明见解析 (Ⅱ)()12326n n S n +=-⋅+【解析】试题分析:(1)先依据题设条件将11021n n n a a a +++=-变形为1112n na a +-=,进而借助等差数列的定义证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列;(2)借助(1)的结论可求得()112121n n n a =+-=-,进而依据112n n n n b a b a ++=⋅求得1222n nn n a b -=⨯= 从而求得()212n n b n =-⋅,然后与运用错位相减法求得()12326n n S n +=-⋅+:解:(Ⅰ)若10n a +=,则0n a =,这与11a =矛盾, ∴10n a +≠,由已知得1120n n n n a a a a ++-+=,∴1112n na a +-=, 故数列{}n a 是以111a =为首项,2为公差的等差数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,()1112121n n a =+-=-, 由112n n n n b ab a ++=⋅可知112n n n n a b a b ++=.又112a b = ∴1222n nn n a b -=⨯= ∴()212n n b n =-⋅,∴()123123252212n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅, 则()23412123252212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅,∴()()231122222222123226n n n n S n n ++-=+⋅+⋅++⋅--⋅=-⋅-,∴()12326n n S n +=-⋅+考点2 等差数列的性质【2-1】【某某省武邑中学2018届高三上学期第二次调研数学(理)】数列{}n a 满足112n n n a a a -+=+()2n ≥,且1359a a a ++=, 24612a a a ++=,则345a a a ++=( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D【2-2】【某某省某某一中2018届高三第二次月考】在数列{}n a 中, 28a =, 52a =,且122n n n a a a ++-=(*n N ∈),则1210a a a +++的值是( )A. -10B. 10C. 50D. 70【答案】C【解析】由122n n n a a a ++-=得122n n n a a a ++=+,即数列{}n a 是等差数列,由2582a a ==,,可得1102a d ==-,,,所以212n a n =-+,,当1n 6≤≤时, 0n a ≥,当7n ≥时, 0n a <,所以1210610250a a a S S +++=-=,选C .【2-3】 【2017届某某某某市第三中学高三三模】已知函数()f x 在()1,-+∞上单调,且函数()2y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且()()5051f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( )A. 200-B. 100-C. 0D. 50- 【答案】B【领悟技法】1. 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.2.等差数列的性质多与其下标有关,解题需多注意观察,发现其联系,加以应用, 故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系.3.应用等差数列的性质要注意结合其通项公式、前n 项和公式.4.解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向、形成解题策略. 【触类旁通】【变式一】【2017届某某省某某市高三下第二次联考】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知()355134a a -+=, ()388132a a -+=,则下列选项正确的是( )A. 1212S =, 58a a >B. 1224S =, 58a a >C. 1212S =, 58a a <D. 1224S =, 58a a < 【答案】A【解析】由()355134a a -+=, ()388132a a -+=可得:()()33558813(1)1,13(1)1a a a a -+-=-+-=-,构造函数3()f x x x =+,显然函数是奇函数且为增函数,所以5858(1)11(1)11f a f a a a -=>-=-⇒->-, 58a a >,又58(1)(1)0f a f a -+-=所以58(1)(1)a a -=--所以582a a +=,故112125812()6()122a a S a a +==+=【变式二】【”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷】已知数列{}{},n n a b 满足1211,2,1a a b ===-,且对任意的正整数m,n,p,q ,当m n p q +=+时,都有m n p q a b a b -=-,则()2018112018i i i a b =∑-的值是__________. 【答案】2019【解析】由题意可得2112a b a b -=-, 22b =-, 3122,a b a b -=-得33a =,又11n n n n a b a b ++-=-,11110n n n n a b a b a b +++=+==+=,即,2n n n n n a b a b a =--=,原式可化为当m+n=p+q 时m n p q a a a a +=+,即{}n a 为等差列, n a n =, ()2018112018i i i a b =∑-=()20181122018i i a =∑=2019,填2019.考点3 等差数列的前n 项和公式的综合应用【3-1】【2017届某某省黄陵中学高三(重点班)模拟一】若数列{}n a 满足115a =且1332n n a a +=-,则使10k k a a +⋅<的k 的值为( )A. 21B. 22C. 23D. 24 【答案】C【3-2】【2017届某某某某市高三上基础测试】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知316a =,610a =,则公差d =;n S 为最大值时的n =.【答案】2d =-10n =或11【解析】63(63),10163,2a a d d d =+-∴=+∴=-,因为31(31)a a d =+-,1162(2)a ∴=+⨯-,120a ∴=,221n S n n ∴=-+,当212(1)n =-⨯-,由n ∈Z 得10n =或11时,n S 为最大值.【3-3】【2017届某某省池州市东至县高三12月联考】已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且675S S S >>,给出下列五个命题:①0d <;②110S >;③120S <;④数列{}n S 中的最大项为11S ;⑤67a a >,其中正确命题的个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B【领悟技法】求等差数列前n 项和的最值,常用的方法:1.利用等差数列的单调性或性质,求出其正负转折项,便可求得和的最值.当10a >,0d <时,n S 有最大值;10a <,0d >时,n S 有最小值;若已知n a ,则n S 最值时n 的值(n N +∈)则当10a >,0d <,满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值,(2)当10a <,0d >时,满足100n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和:2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数,通过配方或借助图像,二次函数的性质,转化为二次函数的最值的方法求解;有时利用数列的单调性(0d >,递增;0d <,递减);3. 利用数列中最大项和最小项的求法:求最大项的方法:设n a 为最大项,则有11n n nn a a a a -+≥⎧⎨≥⎩;求最小项的方法:设n a 为最小项,则有11n n n n a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ,利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 【触类旁通】【变式一】【2017某某卷6】已知等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C【变式二】【2018届某某省某某市部分学校新高三起点调研】设等差数列{}n a 满足3736a a +=,46275a a =,且1n n a a +有最小值,则这个最小值为__________.【答案】-12【解析】因为数列{}n a 是等差数列,且3736a a +=,所以4636a a +=,4646275,,a a a a =∴是一元二次方程2362750t t -+=的二根,由2362750t t -+=得()()25110t t --=, 125t ∴=或211t =,当4625,11a a ==时, 6411257642a a d --===--, ()44753n a a n d n ∴=+-=-+,当10,0n n a a +><时, 1n n a a +取得最小值,由()7530{71530n n -+>-++<解得465377n <<, 7n ∴=时, 1n n a a +取得最小值,此时()781min 4,3,12n n a a a a +==-=-,当4611,25a a ==时, 6425117642a a d --===-, ()44717n a a n d n ∴=+-=-,当10,0n n a a +时, 1n n a a +取得最小值,由()7170{71170n n -<+->解得101777n <<, 2n ∴=时, 1n n a a +取得最小值,此时()231min 3,4,12n n a a a a +=-==-, 故答案为12-. 【易错试题常警惕】易错典例:在等差数列{}n a 中,已知a 1=20,前n 项和为n S ,且S 10=S 15,求当n 取何值时,n S 有最大值,并求出它的最大值.【错解一】 设公差为d ,∵S 10=S 15,∴10×20+10×92d =15×20+15×142 d.得d =-53,a n =20-(n -1)·53.当a n >0时,20-(n -1)·53>0,∴n<13.∴n=12时,S n 最大,S 12=12×20+12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=130.当n =12时,S n 有最大值S 12=130.【错解二】 由a 1=20,S 10=S 15,解得公差d =-53,令⎩⎪⎨⎪⎧20+(n -1)⎝ ⎛⎭⎪⎫-53>0, ①20+n ⎝ ⎛⎭⎪⎫-53≤0, ② 由①得n <13,由②得n≥12,∴n=12时,S n 有最大值S 12=130.易错分析: 错解一中仅解不等式a n >0不能保证S n 最大,也可能a n +1>0,应有a n ≥0且a n +1≤0. 错解二中仅解a n +1≤0也不能保证S n 最大,也可能a n ≤0,应保证a n ≥0才行. 正确解析: 解法一:∵a 1=20,S 10=S 15,∴10×20+10×92d =15×20+15×142 d.∴d=-53. ∴a n =20+(n -1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=-53n +653.∴a 13=0.即当n≤12时,a n >0,n≥14时,a n <0.∴当n =12或13时,S n 取得最大值,且最大值为S 12=S 13=12×20+12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=130.解法二:同解法一,求得d =-53,∴S n =20n +n (n -1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=-56n 2+1256n=-56⎝ ⎛⎭⎪⎫n -2522+3 12524.∵n∈N *,∴当n =12或13时,S n 有最大值,且最大值为S 12=S 13=130.解法三:同解法一,求得d =-53,又由S 10=S 15,得a 11+a 12+a 13+a 14+a 15=0,∴5a 13=0,即a 13=0.又a 1>0,∴a 1,a 2,…,a 12均为正数.而a 14及以后各项均为负数, ∴当n =12或13时,S n 有最大值,且最大值为S 12=S 13=130.温馨提醒:1.解决等差数列前n 项和最值问题时一般利用通项不等式组法,即①当a 1>0,d <0时,S n 最大⇔100n n a a +≥⎧⎨≤⎩;②当a 1<0,d >0时,S n 最小⇔10n n a a +≤⎧⎨≥⎩.2.在关于正整数n 的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定.3.等差数列的基本运算中,容易出现的问题主要有两个方面:一是忽视题中的条件限制,如公差与公比的符号、大小等,导致增解;二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件,导致列出的方程或方程组较为复杂,增大运算量.【学科素养提升之思想方法篇】----函数思想在数列求最值问题中的应用数列是特殊的函数关系,因此常利用函数的思想解决数列中最值问题 1.等差数列的前n 项和与函数的关系 等差数列的前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+可变形为S n =d 2n 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1-d 2n ,令A =d 2,B =a 1-d 2,则S n =An 2+Bn .当A ≠0,即d ≠0时,S n 是关于n 的二次函数,(n ,S n )在二次函数y =Ax 2+Bx 的图象上,为抛物线y =Ax 2+Bx 上一群孤立的点.利用此性质可解决前n 项和S n 的最值问题. 2.等差数列前n 项和的最值(1)若等差数列的首项a 1>0,公差d <0,则等差数列是递减数列,正数项有限,前n 项和有最大值,且满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0,a n +1≤0.(2)若等差数列的首项a 1<0,公差d >0,则等差数列是递增数列,负数项有限,前n 项和有最小值,且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0,a n +1≥0.3.求等差数列前n 项和的最值的方法(1)二次函数法:用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值,但要注意n ∈N *. (2)图象法:利用二次函数图象的对称性来确定n 的值,使S n 取得最值.(3)项的符号法:当a 1>0,d <0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0,a n +1≤0的项数n ,使S n 取最大值;当a 1<0,d >0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0,a n +1≥0的项数n ,使S n 取最小值,即正项变负项处最大,负项变正项处最小,若有零项,则使S n 取最值的n 有两个.【典例】【2018届某某省某某市五十五中开学考试】已知数列{}n a 是一个等差数列,且21a =,55a =-. (Ⅰ)求{}n a 的通项n a ;(Ⅱ)求{}n a 前n 项和n S 的最大值.【答案】(1)25n a n =-+;(2)n S 的最大值为4. 【解析】方得()224n S n =--+,根据二次函数图象及性质可知,当2n =时,前n 项和取得最大值,最大值为4.等差数列前n 项和22n S An Bn =+,因此可以看出二次函数或一次函数(0d =时)来求最值,考查数列与函数.试题解析:(1)525125252a a d ---===---, 所以()()()2212225n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+; (2)13a =,()()213242n n n S n n n -=+⨯-=-+ 当2n =时,前n 项和取得最大值,最大值为4。

浙江专用2021届高考数学一轮复习专题六数列6.2等差数列试题含解析

浙江专用2021届高考数学一轮复习专题六数列6.2等差数列试题含解析

§6。

2 等差数列基础篇固本夯基【基础集训】考点一 等差数列的有关概念及运算1.已知等差数列{a n }中,a 2=1,前5项和S 5=—15,则数列{a n }的公差为( )A.-3B.—52C 。

-2 D.—4答案 D2。

已知在等差数列{a n }中,a 1=1,a 3=2a+1,a 5=3a+2,若S n =a 1+a 2+…+a n ,且S k =66,则k 的值为 ( ) A 。

9 B.11 C 。

10 D 。

12 答案 B3。

设等差数列{a n }满足3a 8=5a 15,且a 1>0,S n 为其前n 项和,则数列{S n }的最大项为( )A 。

S 23 B.S 24 C 。

S 25 D 。

S 26 答案 C4。

已知数列{a n }满足a 1=12,且a n+1=2a n 2+a n.(1)求证:数列{1a n}是等差数列;(2)若b n =a n a n+1,求数列{b n }的前n 项和S n . 解析 (1)证明:易知a n ≠0,∵a n+1=2a n 2+a n,∴1a n+1=2+a n 2a n,∴1a n+1-1a n=12,又∵a 1=12,∴1a 1=2,∴数列{1a n}是以2为首项,12为公差的等差数列.(2)由(1)知,1a n=2+12(n-1)=n+32,即a n =2n+3,∴b n =4(n+3)(n+4)=4(1n+3-1n+4),∴S n =4[(14-15)+(15-16)+…+(1n+3-1n+4)] =4(14-1n+4)=n n+4.考点二 等差数列的性质5。

设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 6a 5=911,则S 11S 9=( )A.1B.—1 C 。

2 D.12答案 A6.(2018河北唐山第二次模拟,7)设{a n }是任意等差数列,它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为X,Y ,Z ,则下列等式中恒成立的是( )A.2X+Z=3YB.4X+Z=4YC.2X+3Z=7Y D 。

数学人教版新优化浙江大一轮复习课件:6.2等差数列及其前n项和3

数学人教版新优化浙江大一轮复习课件:6.2等差数列及其前n项和3
a3=5,S3=12,则公差d=
,通项公式an=
.
关闭
代入等差数列的通项公式与求和公式,解方程组可得.
关闭
1 n+2
解析
答案
知识梳理
知识梳理
双击自测
自测点评
1.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列,要注意定义中的
三个关键词:“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常
数”.
2.等差数列与函数的区分:当公差d≠0时,等差数列的通项公式是n
误的是(
) n }的首项为 a1 ,公差为 d,前 n 项和为 Sn,则数列 为
A.若等差数列{a









A.若数列{an}是公差为
d 的等差数列,则数列
是公差为
的等
等差数列,且通项为
=a
,即数列
是公差为
的等差数列,
1 +(n-1)

2

2

2
差数列
故说法正确;

B.由题意得
=
2 -1 +2 -2
2

-1 -1
2 -1
=1,
=1 为首项,1 为公差的等差数列.
2
-1
②解: 由①知

-1 -1
2
=n, ∴an =n·2n +1.
-23考点一
考点用(考点难度)
【例3】 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a5+a7=24,则
C.若数列{a
n }是公差为 d 的等差数列,则数列的奇数项、偶数项都是

(浙江专用)新高考数学一轮复习 第六章 数列与数学归纳法 2 第2讲 等差数列及其前n项和教学案-人

(浙江专用)新高考数学一轮复习 第六章 数列与数学归纳法 2 第2讲 等差数列及其前n项和教学案-人

第2讲 等差数列及其前n 项和1.等差数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数).(2)等差中项:数列a ,A ,b 成等差数列的充要条件是A =a +b2,其中A 叫做a ,b 的等差中项.2.等差数列的有关公式(1)通项公式:a n =a 1+(n -1)d . (2)前n 项和公式:S n =na 1+n (n -1)2d =(a 1+a n )n2.3.等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和. (1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *). (2)若k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n . (3)若{a n }的公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d . (4)若{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列. (5)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…构成等差数列. 4.等差数列的增减性与最值公差d >0时为递增数列,且当a 1<0时,前n 项和S n 有最小值;公差d <0时为递减数列,且当a 1>0时,前n 项和S n 有最大值.5.等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1)d 可得a n =dn +(a 1-d ),如果设p =d ,q =a 1-d ,那么a n =pn +q ,其中p ,q 是常数.当p ≠0时,(n ,a n )在一次函数y =px +q 的图象上,即公差不为零的等差数列的图象是直线y =px +q 上的均匀排开的一群孤立的点.当p =0时,a n =q ,等差数列为常数列,此时数列的图象是平行于x 轴的直线(或x 轴)上的均匀排开的一群孤立的点.[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( )(2)已知数列{a n }的通项公式是a n =pn +q (其中p ,q 为常数),则数列{a n }一定是等差数列.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( ) (4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *,都有2a n +1=a n +a n +2.( ) (5)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(6)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)× [教材衍化]1.(必修5P38例1(1)改编)已知等差数列-8,-3,2,7,…,则该数列的第100项为________.解析:依题意得,该数列的首项为-8,公差为5,所以a 100=-8+99×5=487. 答案:4872.(必修5P39练习T5改编)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450,则a 2+a 8=________.解析:由等差数列的性质,得a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=5a 5=450,所以a 5=90,所以a 2+a 8=2a 5=180.答案:1803.(必修5P46A 组T5改编)已知等差数列5,427,347,…,则前n 项和S n =________.解析:由题知公差d =-57,所以S n =na 1+n (n -1)2d =114(75n -5n 2).答案:114(75n -5n 2)4.(必修5P46A 组T2改编)设数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,若a 6=2且S 5=30,则S 8=________.解析:由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+5d =2,5a 1+10d =30,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=263,d =-43,所以S 8=8a 1+8×72d =32.答案:32 [易错纠偏](1)忽视等差数列中项为0的情况; (2)考虑不全而忽视相邻项的符号; (3)等差数列各项的符号判断不正确.1.已知等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d <0,则使数列{a n }的前n 项和S n 取最大值的正整数n 的值是________.解析:由|a 3|=|a 9|,d <0,得a 3=-a 9, 即a 3+a 9=0,所以a 6=a 3+a 92=0.所以a 5>0,a 6=0,a 7<0.所以当n =5或6时,S n 取最大值. 答案:5或62.首项为30的等差数列{a n },从第8项开始为负数,则公差d 的取值范围是________. 解析:由题意知a 1=30,a 8<0,a 7≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧30+7d <0,30+6d ≥0,解得-5≤d <-307.答案:⎣⎢⎡⎭⎪⎫-5,-3073.设数列{a n }的通项公式为a n =2n -10(n ∈N *),则|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=________. 解析:由a n =2n -10(n ∈N *)知{a n }是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由a n =2n -10≥0得n ≥5,所以n ≤5时,a n ≤0,当n >5时,a n >0,所以|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=-(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+…+a 15)=20+110=130.答案:130等差数列的基本运算(高频考点)等差数列基本量的计算是高考的常考内容,多出现在选择题、填空题或解答题的第(1)问中,属容易题.主要命题角度有:(1)求公差d 、项数n 或首项a 1; (2)求通项或特定项; (3)求前n 项和.角度一 求公差d 、项数n 或首项a 1(2020·浙江省高中学科基础测试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=16,a 6=10,则公差d =________;S n 取最大值时的n =________.【解析】 a 6=a 3+(6-3)d ,所以10=16+3d ,所以d =-2,因为a 3=a 1+(3-1)d ,所以16=a 1+2×(-2),所以a 1=20,所以S n =-n 2+21n ,当n =-212×(-1),由n ∈Z 得n =10或11时,S n取最大值.【答案】 -2 10或11 角度二 求通项或特定项已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足 a 1+a 5=27a 23,S 7=63.求数列{a n }的通项公式.【解】 法一:设正项等差数列{a n }的公差为d , 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 1+4d =27(a 1+2d )2,7a 1+21d =63,即⎩⎪⎨⎪⎧a 1+2d =17(a 1+2d )2,a 1+3d =9,又因为a n >0, 所以a 3=a 1+2d >0,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1+2d =7,a 1+3d =9,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1=3,d =2,所以a n =3+(n -1)×2=2n +1(n ∈N *). 法二:设正项等差数列{a n }的公差为d .因为{a n }是等差数列,且a 1+a 5=27a 23,所以2a 3=27a 23,又a n >0,所以a 3=7.因为S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4=63,所以a 4=9. 所以d =a 4-a 3=2,所以a n =a 3+(n -3)d =2n +1(n ∈N *). 角度三 求前n 项和在公差为d 的等差数列{a n }中,已知a 1=10,且a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列. (1)求d ,a n ;(2)若d <0,求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |. 【解】 (1)由题意得5a 3·a 1=(2a 2+2)2, 即d 2-3d -4=0.故d =-1或d =4.所以a n =-n +11,n ∈N *或a n =4n +6,n ∈N *. (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0,由(1)得d =-1,a n =-n +11, 则当n ≤11时,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=S n =-12n 2+212n .当n ≥12时,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=-S n +2S 11=12n 2-212n +110.综上所述,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |= ⎩⎪⎨⎪⎧-12n 2+212n ,n ≤11,12n 2-212n +110,n ≥12.等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a 1,d ,n ,a n ,S n 五个量,可知三求二.解决这类问题一般设基本量a 1,d ,利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解,体现方程思想.(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题,一般是等差数列的性质和等差数列求和公式S n =n (a 1+a n )2结合使用,体现整体代入的思想.1.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为( ) A .1 B .2 C .4D .8解析:选C.设等差数列{a n }的公差为d ,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1+3d +a 1+4d =24,6a 1+6×52d =48,所以d =4,故选C. 2.(2020·嘉兴市高考模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 1S 4=110,则S 3S 5=( ) A.25 B.35 C.37D.47解析:选A.设公差为d ,则a 14a 1+6d =110,d =a 1,所以S 3S 5=3a 1+3d 5a 1+10d =25,故选A.3.已知等差数列{a n }中,a 1=1,a 3=-3,S k =-35,则k =________. 解析:设等差数列{a n }的公差为d , 则a n =a 1+(n -1)d ,由于a 1=1,a 3=-3,又a 3=a 1+2d , 所以d =-2,因此a n =3-2n . 得S n =1+(3-2n )2n =2n -n 2,所以S k =2k -k 2=-35,即k 2-2k -35=0,解得k =7或k =-5, 又因为k ∈N *,所以k =7. 答案:7等差数列的判定与证明(1)如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且|A n A n +1|=|A n +1A n +2|,A n ≠A n+2,n ∈N *,|B n B n +1|=|B n +1B n +2|,B n ≠B n +2,n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合).若d n =|A n B n |,S n 为△A n B n B n +1的面积,则( )A .{S n }是等差数列B .{S 2n }是等差数列 C .{d n }是等差数列D .{d 2n }是等差数列 (2)已知数列{a n }中,a 1=2,a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *).设b n =1a n -1(n ∈N *),求证:数列{b n }是等差数列.【解】 (1)选A.如图,记h n 为△A n B n B n +1的边B n B n +1上的高(n ∈N *), 设锐角的大小为θ,根据图象可知,h n +1=h n +|A n A n +1|·sin θ,又|B n B n +1|=|B n +1B n +2|,所以S n +1-S n =12||B n +1B n +2·h n +1-12|B n B n +1|·h n =12|B n B n +1|·(h n +1-h n )=12|B n B n +1|·|A n A n +1|sin θ.根据题意,|B n B n +1|=|B n +1 B n +2|,|A n A n +1|=|A n +1 A n +2|,所以12|B n B n +1|·|A n A n +1|sin θ为常数,所以{S n }为等差数列,故选A. (2)证明:因为a n =2-1a n -1,所以a n +1=2-1a n.所以b n +1-b n =1a n +1-1-1a n -1=12-1a n-1-1a n -1=a n -1a n -1=1, 所以{b n }是首项为b 1=12-1=1,公差为1的等差数列.判定数列{a n}是等差数列的常用方法(1)定义法:对任意n∈N*,a n+1-a n是同一个常数.(2)等差中项法:对任意n≥2,n∈N*,满足2a n=a n+1+a n-1.(3)通项公式法:数列的通项公式a n是n的一次函数.(4)前n项和公式法:数列的前n项和公式S n是n的二次函数,且常数项为0.[提醒] 判断是否为等差数列,最终一般都要转化为定义法判断.(2020·嘉兴质检)已知数列{a n }的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a nλS n-1,其中λ为常数.+1=(1)证明:a n+2-a n=λ;(2)是否存在λ,使得{a n }为等差数列?并说明理由.解:(1)证明:由题设知a n a n+1=λS n-1,a n+1a n+2=λS n+1-1,两式相减得a n+1(a n+2-a n)=λa n+1,由于a n+1≠0,所以a n+2-a n=λ.(2)由题设知a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故a n+2-a n=4,由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以a n=2n-1,a n+1-a n=2,因此存在λ=4,使得数列{a n}为等差数列.等差数列性质的应用及最值(高频考点)等差数列的性质是高考的常考内容,题型既有选择题、填空题,也有解答题,难度为中、低档题.主要命题角度有:(1)等差数列项的性质的应用;(2)等差数列前n项和的性质的应用;(3)等差数列的最值.角度一等差数列项的性质的应用(1)(2020·绍兴一中高三期中)设数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,已知a 1+a 4+a 10=27,则a 5=________,S 9=________.(2)(2020·宁波市高考模拟)已知{a n },{b n }是公差分别为d 1,d 2的等差数列,且A n =a n+b n ,B n =a n b n .若A 1=1,A 2=3,则A n =________;若{B n }为等差数列,则d 1d 2=________.【解析】 (1)由等差数列的性质可得:a 1+a 4+a 10=27=3a 5,解得a 5=9, 所以S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5=81.(2)因为{a n },{b n }是公差分别为d 1,d 2的等差数列,且A n =a n +b n , 所以数列{A n }是等差数列, 又A 1=1,A 2=3,所以数列{A n }的公差d =A 2-A 1=2. 则A n =1+2(n -1)=2n -1; 因为B n =a n b n ,且{B n }为等差数列, 所以B n +1-B n =a n +1b n +1-a n b n =(a n +d 1)(b n +d 2)-a n b n=a n d 2+b n d 1+d 1d 2= [a 1+(n -1)d 1]d 2+[b 1+(n -1)d 2]d 1+d 1d 2 =a 1d 2+b 1d 1-d 1d 2+2d 1d 2n 为常数. 所以d 1d 2=0.【答案】 (1)9 81 (2)2n -1 0 角度二 等差数列前n 项和的性质的应用等差数列{a n }的前m 项和为30,前3m 项和为90,则它的前2m 项和为________. 【解析】 由S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列, 可得2(S 2m -S m )=S m +S 3m -S 2m , 即S 2m =3S m +S 3m 3=3×30+903=60.【答案】 60角度三 等差数列的最值(1)(2020·温州市高考数学模拟)已知{a n }是等差数列,其公差为非零常数d ,前n 项和为S n ,设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和为T n ,当且仅当n =6时,T n 有最大值,则a 1d的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-52 B .(-3,+∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫-3,-52 D .(-∞,-3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-52,+∞(2)(2020·义乌市高三月考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 8>0,a 8+a 9<0,则S n >0的最大n 是________;数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n (1≤n ≤15)中最大的项为第________项.【解析】 (1)因为S n n =d 2n +(a 1-d 2),由题意知d <0,且⎩⎪⎨⎪⎧S 66=a 1+52d >0S77=a 1+3d <0,得-3<a 1d <-52.(2)因为a 8>0,a 8+a 9<0,所以S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8>0,S 16=162(a 1+a 16)=8(a 8+a 9)<0,所以S n >0的最大n 是15.因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 8>0,a 8+a 9<0,所以该数列是递减数列,当n =8时,|a 8|最小,且|S 8|最大,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n (1≤n ≤15)中最大的项为第8项.【答案】 (1)C (2)15 8(1)等差数列和的性质在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,则 ①S 2n =n (a 1+a 2n )=…=n (a n +a n +1). ②S 2n -1=(2n -1)a n .③当项数为偶数2n 时,S 偶-S 奇=nd ;项数为奇数2n -1时,S 奇-S 偶=a 中,S 奇∶S 偶=n ∶(n -1).(2)求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法①函数法:利用等差数列前n 项和的函数表达式S n =an 2+bn ,通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解.②邻项变号法:〈1〉当a 1>0,d <0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0,a m +1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ;〈2〉当a 1<0,d >0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0,a m +1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .1.一个等差数列{a n }的前12项的和为354,前12项中偶数项的和S 偶与前12项中奇数项的和S 奇的比值为3227,则公差d =________.解析:由题意,可知⎩⎪⎨⎪⎧S 偶+S 奇=354,S 偶S 奇=3227,所以⎩⎪⎨⎪⎧S 偶=192,S 奇=162.又项数为12的等差数列中,S 偶-S 奇=6d ,所以d =5. 答案:52.在等差数列{a n }中,已知a 1=10,前n 项和为S n ,若S 9=S 12,则S n 取得最大值时,n =________,S n 的最大值为________.解析:法一:因为a 1=10,S 9=S 12, 所以9×10+9×82d =12×10+12×112d ,所以d =-1.所以a n =-n +11.所以a 11=0,即当n ≤10时,a n >0,当n ≥12时,a n <0, 所以当n =10或11时,S n 取得最大值,且最大值为S 10=S 11=10×10+10×92×(-1)=55. 法二:同法一求得d =-1. 所以S n =10n +n (n -1)2·(-1)=-12n 2+212n=-12⎝ ⎛⎭⎪⎫n -2122+4418.因为n ∈N *,所以当n =10或11时,S n 有最大值,且最大值为S 10=S 11=55. 法三:同法一求得d =-1. 又由S 9=S 12得a 10+a 11+a 12=0. 所以3a 11=0,即a 11=0.所以当n =10或11时,S n 有最大值. 且最大值为S 10=S 11=55. 答案:10或11 55思想方法系列3 整体思想在等差数列中的应用在等差数列{a n }中,其前n 项和为S n .已知S n =m ,S m =n (m ≠n ),则S m +n =________. 【解析】 设{a n }的公差为d ,则由S n =m ,S m =n ,得⎩⎪⎨⎪⎧S n=na 1+n (n -1)2d =m ,①S m =ma 1+m (m -1)2d =n .②②-①得(m -n )a 1+(m -n )(m +n -1)2·d =n -m .因为m ≠n ,所以a 1+m +n -12d =-1.所以S m +n =(m +n )a 1+(m +n )(m +n -1)2d=(m +n )⎝⎛⎭⎪⎫a 1+m +n -12d =-(m +n ).【答案】 -(m +n )从整体上认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为易,同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性.整体思想的主要表现形式有:整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等.在等差数列中,当要求的S n 所需要的条件未知或不易求出时,可以考虑整体代入.(2020·石家庄市第一次模拟)已知函数f (x )的图象关于直线x =-1对称,且f (x )在(-1,+∞)上单调,若数列{a n }是公差不为0的等差数列,且f (a 50)=f (a 51),则数列{a n }的前100项的和为( )A .-200B .-100C .-50D .0解析:选B.因为函数f (x )的图象关于直线x =-1对称,又函数f (x )在(-1,+∞)上单调,数列{a n }是公差不为0的等差数列,且f (a 50)=f (a 51),所以a 50+a 51=-2,所以S 100=100(a 1+a 100)2=50(a 50+a 51)=-100,故选B.[基础题组练]1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( ) A .8 B .10 C .12 D .14解析:选C.由题知3a 1+3×22d =12,因为a 1=2,解得d =2,又a 6=a 1+5d ,所以a 6=12,故选C.2.(2020·浙江新高考冲刺卷)已知等差数列{a n },S n 是{a n }的前n 项和,则对于任意的n ∈N *,“a n >0”是“S n >0”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A.对于任意的n ∈N *,“a n >0”能推出“S n >0”,是充分条件,反之,不成立,比如:数列5,3,1,-1,不满足条件,不是必要条件,故选A.3.已知等差数列{a n },且3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 13)=48,则数列{a n }的前13项之和为( )A .24B .39C .104D .52解析:选D.因为{a n }是等差数列,所以3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 13)=6a 4+6a 10=48,所以a 4+a 10=8,其前13项的和为13(a 1+a 13)2=13(a 4+a 10)2=13×82=52,故选D.4.(2020·金华十校联考)在数列{a n }中,若a 1=2,且对任意正整数m ,k ,总有a m +k=a m +a k ,则{a n }的前n 项和S n =( )A .n (3n -1) B.n (n +3)2C .n (n +1)D.n (3n +1)2解析:选C.依题意得a n +1=a n +a 1,即有a n +1-a n =a 1=2,所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列,a n =2+2(n -1)=2n ,S n =n (2+2n )2=n (n +1),选C.5.若数列{a n }满足a 1=15,且3a n +1=3a n -2,则使a k ·a k +1<0的k 值为( ) A .22 B .21 C .24D .23解析:选D.因为3a n +1=3a n -2,所以a n +1-a n =-23,又a 1=15,所以数列{a n }是首项为15,公差为-23的等差数列,所以a n =15-23·(n -1)=-23n +473,且{a n }为递减数列,令a n =-23n +473>0,得n <23.5,可知使a k ·a k +1<0的k 值为23.6.(2020·温州十校联合体期初)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则( ) A .若S 9>S 8,S 9>S 10,则S 17>0,S 18<0 B .若S 17>0,S 18<0,则S 9>S 8,S 8>S 10 C .若S 17>0,S 18<0,则a 17>0,a 18<0 D .若a 17>0,a 18<0,则S 17>0,S 18<0解析:选B.A.由S 9>S 8,且S 9=S 8+a 9得a 9>0, 又S 9>S 10,S 10=S 9+a 10,则a 10<0,因为S 17=17a 9>0,S 18=9(a 10+a 9)符号不确定,A 错误; B .在等差数列{a n }中,S 17>0,且S 18<0, 则S 17=17a 9>0,S 18=9(a 10+a 9)<0,所以a 9>0,a 10<0,且|a 10|>a 9,所以等差数列{a n }的公差d <0, 则S 9=S 8+a 9>S 8,S 10=S 8+a 9+a 10<S 8,B 正确;C .由B 知,a 1,a 2,…,a 9为正,a 10,a 11…为负,C 错误;D .由a 17>0,a 18<0知,a 1,a 2,…,a 17为正,a 18,a 19,…为负, 所以S 17=17a 9>0,S 18=9(a 1+a 18)=9(a 2+a 17)>0,D 错误.故选B.7.已知等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 3+a 9=a 10-a 8.若a n =0,则n =________. 解析:因为a 3+a 9=a 10-a 8,所以a 1+2d +a 1+8d =a 1+9d -(a 1+7d ), 解得a 1=-4d ,所以a n =-4d +(n -1)d =(n -5)d , 令(n -5)d =0(d ≠0),可解得n =5. 答案:58.在等差数列{a n }中,a 1=7,公差为d ,前n 项和为S n ,当且仅当n =8时S n 取得最大值,则d 的取值范围为________.解析:由题意,当且仅当n =8时,S n 取得最大值,说明⎩⎪⎨⎪⎧a 8>0,a 9<0.所以⎩⎪⎨⎪⎧7+7d >0,7+8d <0.所以-1<d <-78.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-789.已知数列{a n }的各项均为正数,S n 为其前n 项和,且对任意n ∈N *,均有a n ,S n ,a 2n 成等差数列,则a n =________.解析:因为a n ,S n ,a 2n 成等差数列, 所以2S n =a n +a 2n ,当n =1时,2S 1=2a 1=a 1+a 21, 又a 1>0,所以a 1=1,当n ≥2时,2a n =2(S n -S n -1)=a n +a 2n -a n -1-a 2n -1, 所以(a 2n -a 2n -1)-(a n +a n -1)=0, 所以(a n +a n -1)(a n -a n -1-1)=0, 又a n +a n -1>0,n ≥2, 所以a n -a n -1=1,n ≥2,所以{a n }是等差数列,其公差为1, 因为a 1=1, 所以a n =n (n ∈N *). 答案:n10.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3+a 6=4,S 5=-5. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若T n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |,求T 5的值. 解:(1)由题知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+7d =45a 1+5×42d =-5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-5d =2, 故a n =2n -7(n ∈N *). (2)由a n =2n -7<0,得n <72,因为n ∈N *,即n ≤3,所以当n ≤3时,a n =2n -7<0, 当n ≥4时,a n =2n -7>0.易知S n =n 2-6n ,S 3=-9,S 5=-5,所以T 5=-(a 1+a 2+a 3)+a 4+a 5=-S 3+(S 5-S 3)=S 5-2S 3=13.11.(2020·嵊州模拟)已知函数f (x )=x 2-2(n +1)x +n 2+5n -7(n ∈N *). (1)设函数y =f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n },求证:{a n }为等差数列; (2)设函数y =f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n },求{b n }的前n 项和S n .解:(1)证明:因为f (x )=x 2-2(n +1)x +n 2+5n -7=[x -(n +1)]2+3n -8, 所以a n =3n -8,因为a n +1-a n =3(n +1)-8-(3n -8)=3, 所以数列{a n }为等差数列. (2)由题意知,b n =|a n |=|3n -8|, 所以当1≤n ≤2时,b n =8-3n ,S n =b 1+…+b n =n (b 1+b n )2=n [5+(8-3n )]2=13n -3n 22;当n ≥3时,b n =3n -8,S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =5+2+1+…+(3n -8)=7+(n -2)[1+(3n -8)]2=3n 2-13n +282.所以S n=⎩⎪⎨⎪⎧13n -3n22,1≤n ≤2,3n 2-13n +282,n ≥3.[综合题组练]1.下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题:p 1:数列{a n }是递增数列;p 2:数列{na n }是递增数列;p 3:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列;p 4:数列{a n +3nd }是递增数列.其中真命题为( )A .p 1,p 2B .p 3,p 4C .p 2,p 3D .p 1,p 4解析:选D.由a n +1-a n =d >0,知数列{a n }是递增数列,可知p 1是真命题;由(n +1)a n+1-na n =(n +1)(a 1+nd )-n [a 1+(n -1)d ]=a 1+2nd ,仅由d >0是无法判断a 1+2nd 的正负的,因而不能判定(n +1)a n +1,na n 的大小关系,故p 2是假命题;显然,当a n =n 时,a n n=1,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是常数数列,不是递增数列,故p 3是假命题;数列的第n +1项减去数列的第n 项[a n +1+3(n +1)d ]-(a n +3nd )=(a n +1-a n )+[3(n +1)d -3nd ]=d +3d =4d >0,所以a n +1+3(n +1)d >a n +3nd ,即数列{a n +3nd }是递增数列,p 4是真命题.2.(2020·金华市东阳二中高三调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=a 2=1,{nS n+(n +2)a n }为等差数列,则a n =( )A.n2n -1B.n +12n -1+1 C.2n -12n-1D.n +12n +1解析:选A.设b n =nS n +(n +2)a n ,则b 1=4,b 2=8,因为{b n }为等差数列,所以b n =4n ,即nS n +(n +2)a n =4n ,S n +⎝⎛⎭⎪⎫1+2n a n =4.当n ≥2时,S n -S n -1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1+2n a n -⎝ ⎛⎭⎪⎫1+2n -1a n -1=0,所以2(n +1)n a n =n +1n -1·a n -1,即2·a n n =a n -1n -1,又因为a 11=1,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1,公比为12的等比数列,所以a n n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1(n ∈N *),即a n =n2n -1(n ∈N *),故选A.3.已知等差数列{a n }满足a 9<0,且a 8>|a 9|,数列{b n }满足b n =a n a n +1a n +2(n ∈N *),{b n }的前n 项和为S n ,当S n 取得最大值时,n 的值为________.解析:设等差数列{a n }的公差为d ,因为a 9<0, 且a 8>|a 9|,所以d <0,a 8+a 9>0,a 8>-a 9>0. 所以当n ≤8时,a n >0;当n ≥9时,a n <0.S n =a 1a 2a 3+a 2a 3a 4+…+a 6a 7a 8+a 7a 8a 9+a 8a 9a 10+a 9a 10a 11+…+a n a n +1a n +2,当n ≤6时,a n a n +1a n +2>0,当n ≥9时,a n a n +1a n +2<0,而a 7a 8a 9<0,a 8a 9a 10>0,又a 7a 8a 9+a 8a 9a 10=a 8a 9(a 7+a 10)=a 8a 9(a 8+a 9)<0, 所以当S n 取得最大值时,n =6. 答案:64.(2020·舟山市普陀三中高三期中)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 4-a 2=8,a 3+a 5=26.记T n =S nn2,如果存在正整数M ,使得对一切正整数n ,T n ≤M 都成立,则M 的最小值是________.解析:因为{a n }为等差数列,由a 4-a 2=8,a 3+a 5=26, 可解得S n =2n 2-n ,所以T n =2-1n,若T n ≤M 对一切正整数n 恒成立,则只需T n 的最大值小于或等于M 即可.又T n =2-1n<2,所以只需2≤M ,故M 的最小值是2. 答案:25.已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S 2·S 3=36. (1)求d 及S n ;(2)求m ,k (m ,k ∈N *)的值,使得a m +a m +1+a m +2+…+a m +k =65. 解:(1)由题意知(2a 1+d )(3a 1+3d )=36, 将a 1=1代入上式解得d =2或d =-5. 因为d >0,所以d =2,S n =n 2(n ∈N *). (2)由(1)得a m +a m +1+a m +2+…+a m +k =(2m +k -1)(k +1), 所以(2m +k -1)(k +1)=65. 由m ,k ∈N *知2m +k -1≥k +1>1,故⎩⎪⎨⎪⎧2m +k -1=13,k +1=5, 所以m =5,k =4.6.(2020·衢州市高考数学模拟)在数列{a n }中,a 1=1,2a n a n +1+a n +1-a n =0(n ∈N *).(1)求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列,并求{a n }的通项公式;(2)若ta n +1(a n -1)+1≥0对任意n ≥2的整数恒成立,求实数t 的取值范围. 解:(1)由题意得,2a n a n +1+a n +1-a n =0, 两边同除a n a n +1得,1a n +1-1a n=2,因为a 1=1,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项,2为公差的等差数列,则1a n=1+2(n -1)=2n -1,所以a n =12n -1.(2)由(1)得,ta n +1(a n -1)+1≥0 即为t ·12n +1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-1+1≥0,由n ≥2化简得,t ≤(2n -1)(2n +1)2(n -1),设b n =(2n -1)(2n +1)2(n -1),则b n +1-b n =(2n +1)(2n +3)2n -(2n -1)(2n +1)2(n -1)=2n +12·(2n +3)(n -1)-n (2n -1)n (n -1) =(2n +1)(2n -3)2n (n -1)>0,所以当n ≥2时, 数列{b n }是递增数列, 则(2n -1)(2n +1)2(n -1)≥152,所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,152.。

2021高考数学一轮复习第6章数列章末总结分层演练文

2021高考数学一轮复习第6章数列章末总结分层演练文

2021高考数学一轮复习第6章数列章末总结分层演练文章末总结二、根置教材,考在变中一、选择题1.(必修5 P40A组T1(3)改编)在等差数列{a n}中,a2=15,a6=27,若a n是有理数,则n 的最小值为( )A .5B .7C .9D .11解析:选C.设{a n }的公差为d ,因为a 2=15,a 6=27,因此⎩⎪⎨⎪⎧a 1+d =15a 1+5d =27,解得a 1=12,d =3,因此a n =12+(n -1)×3=3n +9,a 5=24,a 7=30,a 8=33,a 9=36,a 10=39,仅有a 9=36=62,即a 9=6,故选C.2.(必修5 P 58练习T 2改编)等比数列{a n }的前n 项之和为S n ,S 5=10,S 10=50,则S 15的值为( )A .60B .110C .160D .210解析:选D.由等比数列前n 项和性质知,S 5,S 10-S 5,S 15-S 10成等比数列,即(S 10-S 5)2=S 5(S 15-S 10),因此S 15=(S 10-S 5)2S 5+S 10=(50-10)210+50=210.故选D.3.(必修5 P 68B 组T 1(1)改编)在公比大于1的等比数列{a n }中,a 3a 7=72,a 2+a 8=27,则a 12=( )A .96B .64C .72D .48解析:选A.由题意及等比数列的性质知a 3a 7=a 2a 8=72,又a 2+a 8=27,因此a 2,a 8是方程x 2-27x +72=0的两个根,因此⎩⎪⎨⎪⎧a 2=24,a 8=3,或⎩⎪⎨⎪⎧a 2=3,a 8=24,又公比大于1, 因此⎩⎪⎨⎪⎧a 2=3,a 8=24,因此q 6=8,即q 2=2,因此a 12=a 2q 10=3×25=96.4.(必修5 P 58练习T 1(1)改编)由实数构成的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=3,且a 2-6,a 3,a 4成等差数列,则S 5=( )A .45B .93C .96D .189解析:选B.设{a n }的公比为q ,因为a 1=3,且a 2-6,a 3,a 4成等差数列,因此2×3q 2=3q -6+3q 3,即q 3-2q 2+q -2=0,(q -2)(q 2+1)=0,因此q =2,q 2=-1(舍去).因此S 5=3(1-25)1-2=93.选B.二、填空题5.(必修5 P 45练习T 3、P 47B 组T 4改编)已知集合M ={m |m =2n ,n ∈N *}共有n 个元素,其和为S n ,则∑i =11001S i=________.解析:由m =2n (n ∈N *)知集合M 中的元素从小到大构成首项a 1=2,公差d =2的等差数列.因此S n =n ×2+n (n -1)2×2=n 2+n =n (n +1).因此∑i =11001S i =11×2+12×3+…+1100×101=1-12+12-13+…+1100-1101=1-1101=100101.答案:1001016.(必修5 P 44例2改编)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 5=28,S 10=310.记函数f (n )=S n (n ∈N *),A (n ,f (n )),B (n +1,f (n +1)),C (n +2,f (n +2))是函数f (n )上的三点,则△ABC 的面积为________.解析:因为a 5=28,S 10=310.因此⎩⎪⎨⎪⎧a 1+4d =28,10a 1+10×92d =310,解得a 1=4,d =6. 因此a n =4+(n -1)×6=6n -2. 因此S n =4n +n (n -1)2×6=3n 2+n .因此A ,B ,C 的坐标分别为(n ,3n 2+n ),(n +1,3(n +1)2+(n +1)),(n +2,3(n +2)2+(n +2)).因此△ABC 的面积S =12[(3n 2+n )+3(n +2)2+(n +2)]×2-12[(3n 2+n )+3(n +1)2+(n+1)]×1-12[3(n +1)2+(n +1)+3(n +2)2+(n +2)]×1=(6n 2+14n +14)-(3n 2+4n +2)-(3n 2+10n +9) =3,即△ABC 的面积为3. 答案:3 三、解答题7.(必修5 P 61A 组T 4(2)改编)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b 4.(1)求{a n }的通项公式;(2)设c n =a n +b n ,求数列{c n }的前n 项和S n .解:(1)等比数列{b n }的公比q =b 3b 2=93=3,因此b 1=b 2q=1,b 4=b 3q =27. 设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1=b 1=1,a 14=b 4=27,因此1+13d =27,即d =2.因此a n =2n -1(n =1,2,3,…).(2)由(1)知,a n =2n -1,b n =3n -1,因此c n =a n +b n =2n -1+3n -1. 从而数列{c n }的前n 项和S n =1+3+…+(2n -1)+1+3+…+3n -1 =n (1+2n -1)2+1-3n1-3=n 2+3n-12.8.(必修5 P 47 B 组T 4改编)数列{a n }的前n 项和为S n =2a n -2,数列{b n }是首项为a 1,公差为d (d ≠0)的等差数列,且b 1,b 3,b 9成等比数列.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(2)若c n =2(n +1)b n (n ∈N *),求数列{c n }的前n 项和T n ;(3)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和M n ,并证明M n <4.解:(1)当n =1时,a 1=2a 1-2, 因此a 1=2.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2a n -2-2a n -1+2, 即a n =2a n -1,因此{a n }是首项为2,公比为2的等比数列,因此a n =2·2n -1=2n. 则b 1=a 1=2.由b 1,b 3,b 9成等比数列,得(2+2d )2=2×(2+8d ), 解得d =0(舍去)或d =2,因此数列{b n }的通项公式为b n =2n . (2)由(1)得c n =2(n +1)b n =1n (n +1),因此数列{c n }的前n 项和T n =11×2+12×3+13×4+…+1n (n +1)=1-12+12-13+…+1n -1n +1=1-1n +1=n n +1.(3)由(1)知b n a n =2n 2n =n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1,因此M n =1·⎝ ⎛⎭⎪⎫120+2·⎝ ⎛⎭⎪⎫121+3·⎝ ⎛⎭⎪⎫122+…+(n -1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -2+n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1,①则12M n =1·⎝ ⎛⎭⎪⎫121+2⎝ ⎛⎭⎪⎫122+…+(n -1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1+n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ,②①-②得12M n =⎝ ⎛⎭⎪⎫120+⎝ ⎛⎭⎪⎫121+⎝ ⎛⎭⎪⎫122+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n =1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1-12-n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n=2-(n +2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 因此M n =4-(2n +4)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n, 因为(2n +4)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n>0, 因此M n <4.。

(浙江专用)高考数学大一轮复习 第六章 数列与数学归纳法 6.2 等差数列及其前n项和教师用书-人教

(浙江专用)高考数学大一轮复习 第六章 数列与数学归纳法 6.2 等差数列及其前n项和教师用书-人教

(某某专用)2018版高考数学大一轮复习 第六章 数列与数学归纳法6.2 等差数列及其前n 项和教师用书1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示. 2.等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,那么它的通项公式是a n =a 1+(n -1)d . 3.等差中项由三个数a ,A ,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n . (3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d . (4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列.(5)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (6)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…构成等差数列. 5.等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ,其前n 项和S n =n a 1+a n2或S n =na 1+n n -12d .6.等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n =d 2n 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1-d 2n .数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn (A ,B 为常数). 7.等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中,若a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值.【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法:a n +1-a n =d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列. (2)等差中项法:2a n +1=a n +a n +2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列. (3)通项公式:a n =pn +q (p ,q 为常数)⇔{a n }是等差数列. (4)前n 项和公式:S n =An 2+Bn (A ,B 为常数)⇔{a n }是等差数列. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( × )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( × ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n =3-2n ,则它的公差为-2.( √ )1.在等差数列{a n }中,若a 2=4,a 4=2,则a 6等于( ) A .-1 B .0 C .1 D .6 答案 B解析 由等差数列的性质,得a 6=2a 4-a 2=2×2-4=0,故选B.2.(2016·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100等于( ) A .100 B .99 C .98 D .97 答案 C解析 由等差数列性质,知S 9=9a 1+a 92=9×2a 52=9a 5=27,得a 5=3,而a 10=8,因此公差d =a 10-a 510-5=1,∴a 100=a 10+90d =98,故选C.3.(2016·某某一模)已知数列{a n }中,a 3=3,a n +1=a n +2,则a 2+a 4=________,a n =________. 答案 6 2n -3解析 由已知得a n +1-a n =2,所以{a n }为公差为2的等差数列,由a 1+2d =3,得a 1=-1, 所以a n =-1+(n -1)×2=2n -3,a 2+a 4=2a 3=6.4.若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n =________时,{a n }的前n 项和最大. 答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列,且a 7+a 8+a 9=3a 8>0,所以a 8>0.又a 7+a 10=a 8+a 9<0,所以a 9<0.故当n =8时,其前n 项和最大.题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中,若a 1=-2,且对任意的n ∈N *有2a n +1=1+2a n ,则数列{a n }前10项的和为( )A .2B .10 C.52 D.54(2)(2016·)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6=________. 答案 (1)C (2)6解析 (1)由2a n +1=1+2a n 得a n +1-a n =12,所以数列{a n }是首项为-2,公差为12的等差数列,所以S 10=10×(-2)+10×10-12×12=52.(2)∵a 3+a 5=2a 4=0,∴a 4=0. 又a 1=6,∴a 4=a 1+3d =0,∴d =-2. ∴S 6=6×6+6×6-12×(-2)=6. 思维升华 等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.(1)(2016·某某模拟)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,已知a 2=3,a 6=11,则S 7等于( )A .13B .35C .49D .63(2)(2016·某某)已知{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3,S 5=10,则a 9的值是________. 答案 (1)C (2)20解析 (1)∵a 1+a 7=a 2+a 6=3+11=14, ∴S 7=7a 1+a 72=49.(2)设等差数列{a n }的公差为d ,由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 1+d 2=-3,5a 1+5×42d =10,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-4,d =3,则a 9=a 1+8d =-4+8×3=20. 题型二 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中,a 1=35,a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),数列{b n }满足b n =1a n -1(n ∈N *).(1)求证:数列{b n }是等差数列;(2)求数列{a n }中的最大项和最小项,并说明理由. (1)证明 因为a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),b n =1a n -1(n ∈N *),所以b n +1-b n =1a n +1-1-1a n -1=12-1a n-1-1a n -1=a n a n -1-1a n -1=1. 又b 1=1a 1-1=-52. 所以数列{b n }是以-52为首项,1为公差的等差数列.(2)解 由(1)知b n =n -72,则a n =1+1b n =1+22n -7.设f (x )=1+22x -7,则f (x )在区间(-∞,72)和(72,+∞)上为减函数.所以当n =3时,a n 取得最小值-1,当n =4时,a n 取得最大值3. 引申探究例2中,若条件变为a 1=35,na n +1=(n +1)a n +n (n +1),试求数列{a n }的通项公式.解 由已知可得a n +1n +1=a nn+1, 即a n +1n +1-a n n =1,又a 1=35, ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11=35为首项,1为公差的等差数列,∴a n n =35+(n -1)·1=n -25, ∴a n =n 2-25n .思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法:证明对任意正整数n 都有a n +1-a n 等于同一个常数.(2)等差中项法:证明对任意正整数n 都有2a n +1=a n +a n +2后,可递推得出a n +2-a n +1=a n +1-a n =a n -a n -1=a n -1-a n -2=…=a 2-a 1,根据定义得出数列{a n }为等差数列.(3)通项公式法:得出a n =pn +q 后,得a n +1-a n =p 对任意正整数n 恒成立,根据定义判定数列{a n }为等差数列.(4)前n 项和公式法:得出S n =An 2+Bn 后,根据S n ,a n 的关系,得出a n ,再使用定义法证明数列{a n }为等差数列.(1)在数列{a n }中,若a 1=1,a 2=12,2a n +1=1a n +1a n +2(n ∈N *),则该数列的通项为( )A .a n =1nB .a n =2n +1C .a n =2n +2D .a n =3n答案 A 解析 由已知式2a n +1=1a n +1a n +2可得1a n +1-1a n =1a n +2-1a n +1,知{1a n}是首项为1a 1=1,公差为1a 2-1a 1=2-1=1的等差数列,所以1a n=n ,即a n =1n.(2)数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n +2=2a n +1-a n +2. ①设b n =a n +1-a n ,证明{b n }是等差数列; ②求{a n }的通项公式.①证明 由a n +2=2a n +1-a n +2,得a n +2-a n +1=a n +1-a n +2, 即b n +1=b n +2. 又b 1=a 2-a 1=1,所以{b n }是首项为1,公差为2的等差数列. ②解 由①得b n =1+2(n -1)=2n -1, 即a n +1-a n =2n -1.于是∑nk =1 (a k +1-a k )=∑nk =1 (2k -1), 所以a n +1-a 1=n 2,即a n +1=n 2+a 1.又a 1=1,所以{a n }的通项公式为a n =n 2-2n +2. 题型三 等差数列性质的应用 命题点1 等差数列项的性质例3 (1)(2016·某某五校第一次联考)已知{a n }为等差数列,若a 1+a 5+a 9=8π,则{a n }前9项的和S 9=______,cos(a 3+a 7)的值为________.(2)已知{a n },{b n }都是等差数列,若a 1+b 10=9,a 3+b 8=15,则a 5+b 6=________. 答案 (1)24π -12(2)21解析 (1)由a 1+a 5+a 9=3a 5=8π,解得a 5=8π3,所以{a n }前9项的和S 9=9a 1+a 92=9a 5=9×8π3=24π.cos(a 3+a 7)=cos 2a 5=cos 16π3=cos 4π3=-12.(2)因为{a n },{b n }都是等差数列,所以2a 3=a 1+a 5,2b 8=b 10+b 6,所以2(a 3+b 8)=(a 1+b 10)+(a 5+b 6),即2×15=9+(a 5+b 6),解得a 5+b 6=21. 命题点2 等差数列前n 项和的性质例4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3=-12,S 9=45,则S 12=________. (2)在等差数列{a n }中,a 1=-2 018,其前n 项和为S n ,若S 1212-S 1010=2,则S 2 018的值等于( )A .-2 018B .-2 016C .-2 019D .-2 017 答案 (1)114 (2)A解析 (1)因为{a n }是等差数列,所以S 3,S 6-S 3,S 9-S 6,S 12-S 9成等差数列,所以2(S 6-S 3)=S 3+(S 9-S 6),即2(S 6+12)=-12+(45-S 6),解得S 6=3.又2(S 9-S 6)=(S 6-S 3)+(S 12-S 9),即2×(45-3)=(3+12)+(S 12-45),解得S 12=114. (2)由题意知,数列{S n n}为等差数列,其公差为1, ∴S 2 0182 018=S 11+(2 018-1)×1 =-2 018+2 017=-1. ∴S 2 018=-2 018.思维升华 等差数列的性质(1)项的性质:在等差数列{a n }中,a m -a n =(m -n )d ⇔a m -a nm -n=d (m ≠n ),其几何意义是点(n ,a n ),(m ,a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差.(2)和的性质:在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,则 ①S 2n =n (a 1+a 2n )=…=n (a n +a n +1); ②S 2n -1=(2n -1)a n .(1)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11等于( )A .58B .88C .143D .176(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,若S n T n =3n -22n +1,则a 7b 7等于( )A.3727B.1914 C.3929D.43答案 (1)B (2)A 解析 (1)S 11=11a 1+a 112=11a 4+a 82=11×162=88. (2)a 7b 7=2a 72b 7=a 1+a 13b 1+b 13=a 1+a 132×13b 1+b 132×13=S 13T 13=3×13-22×13+1=3727.5.等差数列的前n 项和及其最值考点分析 公差不为0的等差数列,求其前n 项和与最值在高考中时常出现.题型有小题,也有大题,难度不大.典例1 (1)在等差数列{a n }中,2(a 1+a 3+a 5)+3(a 7+a 9)=54,则此数列前10项的和S 10等于( ) A .45 B .60 C .75 D .90(2)在等差数列{a n }中,S 10=100,S 100=10,则S 110=________. 解析 (1)由题意得a 3+a 8=9, 所以S 10=10a 1+a 102=10a 3+a 82=10×92=45.(2)方法一 设数列{a n }的首项为a 1,公差为d , 则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1+10×92d =100,100a 1+100×992d =10,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1 099100,d =-1150.所以S 110=110a 1+110×1092d =-110.方法二 因为S 100-S 10=a 11+a 100×902=-90,所以a 11+a 100=-2, 所以S 110=a 1+a 110×1102=a 11+a 100×1102=-110.答案 (1)A (2)-110典例2 在等差数列{a n }中,已知a 1=20,前n 项和为S n ,且S 10=S 15,求当n 取何值时,S n 取得最大值,并求出它的最大值. 规X 解答解 ∵a 1=20,S 10=S 15,∴10×20+10×92d =15×20+15×142d ,∴d =-53.方法一 由a n =20+(n -1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=-53n +653, 得a 13=0.即当n ≤12时,a n >0,当n ≥14时,a n <0. ∴当n =12或n =13时,S n 取得最大值,且最大值为S 12=S 13=12×20+12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=130.方法二 S n =20n +n n -12·⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=-56n 2+1256n =-56⎝ ⎛⎭⎪⎫n -2522+3 12524.∵n ∈N *,∴当n =12或n =13时,S n 有最大值,且最大值为S 12=S 13=130. 方法三 由S 10=S 15,得a 11+a 12+a 13+a 14+a 15=0. ∴5a 13=0,即a 13=0.∴当n =12或n =13时,S n 有最大值,且最大值为S 12=S 13=130.1.(2016·某某一诊)在数列{a n }中,a n +1-a n =2,a 2=5,则{a n }的前4项和为( ) A .9 B .22 C .24 D .32 答案 C解析 由a n +1-a n =2,知{a n }为等差数列且公差d =2,∴由a 2=5,得a 1=3,a 3=7,a 4=9,∴前4项和为3+5+7+9=24,故选C.2.在等差数列{a n }中,已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6等于( ) A .40 B .42 C .43 D .45 答案 B解析 a 1+a 2+a 3=3a 2=15,∴a 2=5, 又a 1=2,∴d =3,a 4+a 5+a 6=3a 5=3(a 1+4d ) =3×14=42.3.(2016·某某模拟)已知等差数列{a n }满足a 2=3,S n -S n -3=51(n >3),S n =100,则n 的值为( ) A .8 B .9 C .10 D .11 答案 C解析 由S n -S n -3=51,得a n -2+a n -1+a n =51, 所以a n -1=17,又a 2=3,S n =n a 2+a n -12=100,解得n =10.4.(2016·某某柯桥区二模)各项均不为零的等差数列{a n }中,若a n +1=a 2n -a n -1(n ∈N *,n ≥2),则S 2 016等于( )A .0B .2C .2 015D .4 032 答案 D解析 由已知可得a 2n =2a n (n ≥2), ∵{a n }各项均不为零, ∴a n =2(n ≥2),又{a n }为等差数列,∴a n =2,∴S 2 016=4 032.5.已知数列{a n }满足a n +1=a n -57,且a 1=5,设{a n }的前n 项和为S n ,则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( ) A .7 B .8 C .7或8 D .8或9 答案 C解析 由题意可知数列{a n }是首项为5,公差为-57的等差数列,所以a n =5-57(n -1)=40-5n7,该数列前7项是正数项,第8项是0,从第9项开始是负数项,所以S n 取得最大值时,n =7或n =8,故选C. *6.设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S nS 2n为常数,则称数列{a n }为“吉祥数列”.已知等差数列{b n }的首项为1,公差不为0,若数列{b n }为“吉祥数列”,则数列{b n }的通项公式为( ) A .b n =n -1 B .b n =2n -1 C .b n =n +1 D .b n =2n +1 答案 B解析 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0),S nS 2n=k ,因为b 1=1, 则n +12n (n -1)d =k [2n +12×2n (2n -1)d ],即2+(n -1)d =4k +2k (2n -1)d ,整理得(4k -1)dn +(2k -1)(2-d )=0.因为对任意的正整数n 上式均成立,所以(4k -1)d =0,(2k -1)(2-d )=0,又公差d ≠0,解得d =2,k =14. 所以数列{b n }的通项公式为b n =2n -1.7.已知数列{a n }中,a 1=1且1a n +1=1a n +13(n ∈N *),则a 10=________. 答案 14解析 由已知得1a 10=1a 1+(10-1)×13=1+3=4, 故a 10=14. 8.设数列{a n }的通项公式为a n =2n -10(n ∈N *),则|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=________. 答案 130解析 由a n =2n -10(n ∈N *)知{a n }是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由a n =2n -10≥0,得n ≥5,∴当n ≤5时,a n ≤0,当n >5时,a n >0,∴|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=-(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+…+a 15)=20+110=130. 9.设等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若对任意自然数n 都有S n T n =2n -34n -3,则a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4的值为________.答案 1941解析 ∵{a n },{b n }为等差数列,∴a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4=a 92b 6+a 32b 6=a 9+a 32b 6=a 6b 6. ∵S 11T 11=a 1+a 11b 1+b 11=2a 62b 6=2×11-34×11-3=1941, ∴a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4=1941. 10.(2017·某某新高考预测三)设数列{a n }满足:a 1=1,a 2=3,且2na n =(n -1)a n -1+(n +1)a n +1,则a 20的值是________.答案 245解析 由2na n =(n -1)a n -1+(n +1)a n +1,得na n -(n -1)a n -1=(n +1)a n +1-na n , 又因为1×a 1=1,2×a 2-1×a 1=5, 所以数列{na n }是首项为1,公差为5的等差数列,则20a 20=1+19×5,解得a 20=245. 11.在等差数列{a n }中,a 1=1,a 3=-3.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{a n }的前k 项和S k =-35,求k 的值. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d , 则a n =a 1+(n -1)d .由a 1=1,a 3=-3,可得1+2d =-3,解得d =-2. 从而a n =1+(n -1)×(-2)=3-2n .(2)由(1)可知a n =3-2n ,所以S n =n [1+3-2n ]2=2n -n 2. 由S k =-35,可得2k -k 2=-35,即k 2-2k -35=0,解得k =7或k =-5. 又k ∈N *,故k =7.12.若数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n -1=0(n ≥2),a 1=12. (1)求证:⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时,由a n +2S n S n -1=0,得S n -S n -1=-2S n S n -1,所以1S n -1S n -1=2, 又1S 1=1a 1=2, 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2,公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n =2n ,∴S n =12n. 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=12n -12n -1=n -1-n 2n n -1=-12n n -1.当n =1时,a 1=12不适合上式. 故a n =⎩⎪⎨⎪⎧12,n =1,-12n n -1,n ≥2. *13.已知数列{a n }的各项均为正数,前n 项和为S n ,且满足2S n =a 2n +n -4(n ∈N *). (1)求证:数列{a n }为等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式. (1)证明 当n =1时,有2a 1=a 21+1-4,即a 21-2a 1-3=0, 解得a 1=3(a 1=-1舍去). 当n ≥2时,有2S n -1=a 2n -1+n -5, 又2S n =a 2n +n -4, 两式相减得2a n =a 2n -a 2n -1+1, 即a 2n -2a n +1=a 2n -1,也即(a n -1)2=a 2n -1, 因此a n -1=a n -1或a n -1=-a n -1. 若a n -1=-a n -1,则a n +a n -1=1. 而a 1=3,所以a 2=-2,这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾, 所以a n -1=a n -1,即a n -a n -1=1, 因此数列{a n }是首项为3,公差为1的等差数列.(2)解 由(1)知a 1=3,d =1, 所以数列{a n }的通项公式a n =3+(n -1)×1=n +2, 即a n =n +2.。

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第2讲 等差数列及其前n 项和[基础题组练]1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( ) A .8 B .10 C .12D .14解析:选C.由题知3a 1+3×22d =12,因为a 1=2,解得d =2,又a 6=a 1+5d ,所以a 6=12,故选C.2.(2020·浙江新高考冲刺卷)已知等差数列{a n },S n 是{a n }的前n 项和,则对于任意的n ∈N *,“a n >0”是“S n >0”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A.对于任意的n ∈N *,“a n >0”能推出“S n >0”,是充分条件,反之,不成立,比如:数列5,3,1,-1,不满足条件,不是必要条件,故选A.3.已知等差数列{a n },且3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 13)=48,则数列{a n }的前13项之和为( )A .24B .39C .104D .52解析:选D.因为{a n }是等差数列,所以3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 13)=6a 4+6a 10=48,所以a 4+a 10=8,其前13项的和为13(a 1+a 13)2=13(a 4+a 10)2=13×82=52,故选D.4.(2020·金华十校联考)在数列{a n }中,若a 1=2,且对任意正整数m ,k ,总有a m +k=a m +a k ,则{a n }的前n 项和S n =( )A .n (3n -1) B.n (n +3)2 C .n (n +1)D.n (3n +1)2解析:选C.依题意得a n +1=a n +a 1,即有a n +1-a n =a 1=2,所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列,a n =2+2(n -1)=2n ,S n =n (2+2n )2=n (n +1),选C.5.若数列{a n }满足a 1=15,且3a n +1=3a n -2,则使a k ·a k +1<0的k 值为( ) A .22 B .21 C .24D .23解析:选D.因为3a n +1=3a n -2,所以a n +1-a n =-23,又a 1=15,所以数列{a n }是首项为15,公差为-23的等差数列,所以a n =15-23·(n -1)=-23n +473,且{a n }为递减数列,令a n =-23n +473>0,得n <23.5,可知使a k ·a k +1<0的k 值为23.6.(2020·温州十校联合体期初)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则( ) A .若S 9>S 8,S 9>S 10,则S 17>0,S 18<0 B .若S 17>0,S 18<0,则S 9>S 8,S 8>S 10 C .若S 17>0,S 18<0,则a 17>0,a 18<0 D .若a 17>0,a 18<0,则S 17>0,S 18<0解析:选B.A.由S 9>S 8,且S 9=S 8+a 9得a 9>0, 又S 9>S 10,S 10=S 9+a 10,则a 10<0,因为S 17=17a 9>0,S 18=9(a 10+a 9)符号不确定,A 错误; B .在等差数列{a n }中,S 17>0,且S 18<0, 则S 17=17a 9>0,S 18=9(a 10+a 9)<0,所以a 9>0,a 10<0,且|a 10|>a 9,所以等差数列{a n }的公差d <0, 则S 9=S 8+a 9>S 8,S 10=S 8+a 9+a 10<S 8,B 正确;C .由B 知,a 1,a 2,…,a 9为正,a 10,a 11…为负,C 错误;D .由a 17>0,a 18<0知,a 1,a 2,…,a 17为正,a 18,a 19,…为负, 所以S 17=17a 9>0,S 18=9(a 1+a 18)=9(a 2+a 17)>0,D 错误.故选B.7.已知等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 3+a 9=a 10-a 8.若a n =0,则n =________. 解析:因为a 3+a 9=a 10-a 8,所以a 1+2d +a 1+8d =a 1+9d -(a 1+7d ), 解得a 1=-4d ,所以a n =-4d +(n -1)d =(n -5)d , 令(n -5)d =0(d ≠0),可解得n =5. 答案:58.在等差数列{a n }中,a 1=7,公差为d ,前n 项和为S n ,当且仅当n =8时S n 取得最大值,则d 的取值范围为________.解析:由题意,当且仅当n =8时,S n 取得最大值,说明⎩⎪⎨⎪⎧a 8>0,a 9<0.所以⎩⎪⎨⎪⎧7+7d >0,7+8d <0.所以-1<d <-78.答案:⎝⎛⎭⎪⎫-1,-789.已知数列{a n }的各项均为正数,S n 为其前n 项和,且对任意n ∈N *,均有a n ,S n ,a 2n 成等差数列,则a n =________.解析:因为a n ,S n ,a 2n 成等差数列, 所以2S n =a n +a 2n ,当n =1时,2S 1=2a 1=a 1+a 21, 又a 1>0,所以a 1=1,当n ≥2时,2a n =2(S n -S n -1)=a n +a 2n -a n -1-a 2n -1, 所以(a 2n -a 2n -1)-(a n +a n -1)=0, 所以(a n +a n -1)(a n -a n -1-1)=0, 又a n +a n -1>0,n ≥2, 所以a n -a n -1=1,n ≥2,所以{a n }是等差数列,其公差为1, 因为a 1=1, 所以a n =n (n ∈N *). 答案:n10.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3+a 6=4,S 5=-5. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若T n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |,求T 5的值. 解:(1)由题知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+7d =45a 1+5×42d =-5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-5d =2, 故a n =2n -7(n ∈N *). (2)由a n =2n -7<0,得n <72,因为n ∈N *,即n ≤3,所以当n ≤3时,a n =2n -7<0, 当n ≥4时,a n =2n -7>0.易知S n =n 2-6n ,S 3=-9,S 5=-5,所以T 5=-(a 1+a 2+a 3)+a 4+a 5=-S 3+(S 5-S 3)=S 5-2S 3=13.11.(2020·嵊州模拟)已知函数f (x )=x 2-2(n +1)x +n 2+5n -7(n ∈N *). (1)设函数y =f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n },求证:{a n }为等差数列; (2)设函数y =f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n },求{b n }的前n 项和S n . 解:(1)证明:因为f (x )=x 2-2(n +1)x +n 2+5n -7=[x -(n +1)]2+3n -8, 所以a n =3n -8,因为a n +1-a n =3(n +1)-8-(3n -8)=3,所以数列{a n }为等差数列. (2)由题意知,b n =|a n |=|3n -8|, 所以当1≤n ≤2时,b n =8-3n ,S n =b 1+…+b n =n (b 1+b n )2=n [5+(8-3n )]2=13n -3n 22;当n ≥3时,b n =3n -8,S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =5+2+1+…+(3n -8)=7+(n -2)[1+(3n -8)]2=3n 2-13n +282.所以S n=⎩⎪⎨⎪⎧13n -3n22,1≤n ≤2,3n 2-13n +282,n ≥3.[综合题组练]1.下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题:p 1:数列{a n }是递增数列;p 2:数列{na n }是递增数列;p 3:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列;p 4:数列{a n +3nd }是递增数列.其中真命题为( )A .p 1,p 2B .p 3,p 4C .p 2,p 3D .p 1,p 4解析:选D.由a n +1-a n =d >0,知数列{a n }是递增数列,可知p 1是真命题;由(n +1)a n+1-na n =(n +1)(a 1+nd )-n [a 1+(n -1)d ]=a 1+2nd ,仅由d >0是无法判断a 1+2nd 的正负的,因而不能判定(n +1)a n +1,na n 的大小关系,故p 2是假命题;显然,当a n =n 时,a n n=1,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是常数数列,不是递增数列,故p 3是假命题;数列的第n +1项减去数列的第n项[a n +1+3(n +1)d ]-(a n +3nd )=(a n +1-a n )+[3(n +1)d -3nd ]=d +3d =4d >0,所以a n +1+3(n +1)d >a n +3nd ,即数列{a n +3nd }是递增数列,p 4是真命题.2.(2020·金华市东阳二中高三调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=a 2=1,{nS n+(n +2)a n }为等差数列,则a n =( )A.n2n -1B.n +12n -1+1 C.2n -12n-1D.n +12n +1解析:选A.设b n =nS n +(n +2)a n ,则b 1=4,b 2=8,因为{b n }为等差数列,所以b n =4n ,即nS n +(n +2)a n =4n ,S n +⎝⎛⎭⎪⎫1+2n a n =4.当n ≥2时,S n -S n -1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1+2n a n -⎝ ⎛⎭⎪⎫1+2n -1a n -1=0,所以2(n +1)n a n =n +1n -1·a n -1,即2·a n n =a n -1n -1,又因为a 11=1,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1,公比为12的等比数列,所以a n n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1(n ∈N *),即a n =n2n -1(n ∈N *),故选A.3.已知等差数列{a n }满足a 9<0,且a 8>|a 9|,数列{b n }满足b n =a n a n +1a n +2(n ∈N *),{b n }的前n 项和为S n ,当S n 取得最大值时,n 的值为________.解析:设等差数列{a n }的公差为d ,因为a 9<0, 且a 8>|a 9|,所以d <0,a 8+a 9>0,a 8>-a 9>0. 所以当n ≤8时,a n >0;当n ≥9时,a n <0.S n =a 1a 2a 3+a 2a 3a 4+…+a 6a 7a 8+a 7a 8a 9+a 8a 9a 10+a 9a 10a 11+…+a n a n +1a n +2,当n ≤6时,a n a n +1a n +2>0,当n ≥9时,a n a n +1a n +2<0,而a 7a 8a 9<0,a 8a 9a 10>0,又a 7a 8a 9+a 8a 9a 10=a 8a 9(a 7+a 10)=a 8a 9(a 8+a 9)<0, 所以当S n 取得最大值时,n =6. 答案:64.(2020·舟山市普陀三中高三期中)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 4-a 2=8,a 3+a 5=26.记T n =S nn2,如果存在正整数M ,使得对一切正整数n ,T n ≤M 都成立,则M 的最小值是________.解析:因为{a n }为等差数列,由a 4-a 2=8,a 3+a 5=26, 可解得S n =2n 2-n ,所以T n =2-1n,若T n ≤M 对一切正整数n 恒成立,则只需T n 的最大值小于或等于M 即可.又T n =2-1n<2,所以只需2≤M ,故M 的最小值是2. 答案:25.已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S 2·S 3=36. (1)求d 及S n ;(2)求m ,k (m ,k ∈N *)的值,使得a m +a m +1+a m +2+…+a m +k =65. 解:(1)由题意知(2a 1+d )(3a 1+3d )=36, 将a 1=1代入上式解得d =2或d =-5. 因为d >0,所以d =2,S n =n 2(n ∈N *). (2)由(1)得a m +a m +1+a m +2+…+a m +k =(2m +k -1)(k +1), 所以(2m +k -1)(k +1)=65. 由m ,k ∈N *知2m +k -1≥k +1>1,故⎩⎪⎨⎪⎧2m +k -1=13,k +1=5, 所以m =5,k =4.6.(2020·衢州市高考数学模拟)在数列{a n }中,a 1=1,2a n a n +1+a n +1-a n =0(n ∈N *).(1)求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列,并求{a n }的通项公式;(2)若ta n +1(a n -1)+1≥0对任意n ≥2的整数恒成立,求实数t 的取值范围. 解:(1)由题意得,2a n a n +1+a n +1-a n =0, 两边同除a n a n +1得,1a n +1-1a n=2,因为a 1=1,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项,2为公差的等差数列,则1a n=1+2(n -1)=2n -1,所以a n =12n -1.(2)由(1)得,ta n +1(a n -1)+1≥0 即为t ·12n +1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-1+1≥0,由n ≥2化简得,t ≤(2n -1)(2n +1)2(n -1),设b n =(2n -1)(2n +1)2(n -1),则b n +1-b n =(2n +1)(2n +3)2n -(2n -1)(2n +1)2(n -1)=2n +12·(2n +3)(n -1)-n (2n -1)n (n -1) =(2n +1)(2n -3)2n (n -1)>0,所以当n ≥2时, 数列{b n }是递增数列, 则(2n -1)(2n +1)2(n -1)≥152,所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,152.。

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