北邮数理方程 06级数学物理方法(A卷)
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答
一、复变函数部分习题解答
第一章习题解答
1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。
1u
x
∂=∂，0v y ∂=∂，
u v x y ∂∂≠∂∂。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2
f z z
=
仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。()2
2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。v v
x y
∂∂ ==0 ∂∂。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而
,,u u v v
x y x y
∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()00
00x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫
'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2
*
00
0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z
∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
2
2
***0*
00lim
lim lim()0z z z z z z z
zz z z z z z z z z
=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。 【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z z
z z
∆∆==∆∆】
3、设333322
()z 0
()z=0
数学物理方法 教学大纲
《数学物理方法》教学大纲
Methods of Mathematical Physics
课程编码：17A03090 学分：4.5 课程类别：专业基础课（必修课）
计划学时：72 其中讲课: 72 实验或实践：0 上机：0
适用专业：通信工程
推荐教材：梁昆淼编，《数学物理方法》（第四版），高等教育出版社，2010。
参考书目：1. 吴崇试编著，《数学物理方法》（第二版），北京大学出版社，2003。
2. 管平，计国君，黄骏，《数学物理方法》，高等教育出版社，2006。
课程的教学目的与任务
该课程分为复变函数论与数学物理方程两篇。复变函数部分是介绍复变函数和积分变换的基础知识，数学物理方程部分是介绍物理学中常遇到的三种典型偏微分的基本求解方法和求解偏微分方程中遇到的常微分方程的求解方法。通过该课程的学习，使得学生能够掌握复变函数的基本性质和复变函数的微分、积分方法，以及复变函数积分变换方法。更重要是的掌握常见偏微分方程的基本解法，目的是为理论物理课程所遇到的偏微分方程的求解奠定数学基础，同时培养学生数学建模思维方式和解决数理问题的基本能力。
课程的基本要求
1.定期完成教师布置的作业和积极参加讨论活动；
2.熟练掌握复数的基本性质、定理和傅里叶变换规律；
3.领会三类典型数理方程的推导方法，学写方程的初始条件、边界条件和衔接条件；
4.掌握求解三种典型数学物理方程的基本方法；
5.掌握特殊函数方程的级数求解方法。
各章节授课内容、教学方法及学时分配建议（含课内实验）
第一章：解析函数建议学时：6 [教学目的与要求]
数学物理方法复习整理
数学物理方法复习整理
数学物理方法
一、本课程的教学内容
第1章典型数学物理方程及定解问题第2章分离变量法第3章积分变换法
第4章行波法和降维法（达朗贝尔法）第5章数理方程差分法第6章格林函数法
第7章bessel方程与函数二、章节重点
第一章典型的数学和物理方程及定解问题1。术语解释：
(1)定解条件、定解问题、定解问题的适定性；(2).dirichlet、neumann定解问题；
（3）傅立叶热传导定律和胡克弹性定律；（4）演化方程，势方程，拉普拉斯方程，泊松方程；2.简述二阶线性偏微分方程的分类方法。3.推导一维波和热传导方程。
4.写出二阶偏微分方程的特征方程及其特征曲线。
5.书1.4习题：1，3，4，7，8，9
6.书中示例1.1.1、1.1.3、1.1.6和1.2.1第二章分离变量方法1。名词解释：
(1)特征值、特征函数、sturm-liouville问题；(2)驻波、腹点、节点、基频、固有
频率；(3)三角函数系正交性；(4)fourier级数；
（5）矩形和圆形区域上的拉普拉斯问题；
2．简述采用分离变量法求解齐次边界条件的齐次线性偏微分方程定解问题的步骤。
3.第2.7册练习：1,4,6,8,15,16（p65-67）。
4.书籍示例：2.1.1、2.1.2、2.2.1。
第三章积分变换方法1。术语解释：
(1)fourier变换；(2)laplace变换；
（3）傅里叶变换，线性性质，位移性质；（4）拉普拉斯变换，线性性质，平移性质，微分性质；2.简述用积分变换法求解偏微分方程定解问题的基本步骤。3.写出傅里叶
数理方程试题2006A[1]
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1
1 2 1) 附：拉普拉斯变换对： f ( n ) (t ) p n F ( p ) p n f (0) p n f (0) f ( n (0)
1 1 1 p k ， t 2 ， e at cos kt 2 ， sin kt 2 2 p p p a p k p k2 1 傅立叶变化对： sin at j [ ( a) ( a)] , u( t )t , (t ) 1 j 1
注：1. 命题纸上一般不留答题位置，试题请用小四、宋体打印且不出框。 2. 命题教师和审题教师姓名应在试卷存档时填写。 共2页 第1页
西北工业大学命题专用纸
A： C1 J 0 ( x 2 ) C 2 Y0 ( x 2 ) C：
B： C1 J 0 ( x ) C 2 Y0 ( x ) D： C1 J1 ( x ) C 2 Y1 ( x )
(1 ) 1． 计算 x 3J 0 ( n x )dx 0
2 2 u u 25 , x , y 0; 2 2 y x 2．求柯西问题 u u y sin x, 0, x ; 0 y y 0 1 dn 2 n 3 3．已知 Pn ( x) n ( x 1) ，若 x 8 C n Pn ( x ) ，求 Cn 2 n ! dxn n 0
将该定解问题化成可直接用分离变量法求解的定解问题（无需求出解的具体形式）
国外数理方程较好的书
国外数理方程较好的书
《数学物理方法》是一本国外数理方程方面的经典教材，它由海
因斯·维尔赫（Heinz-Otto Peitgen）、弗雷德·索尔兹伯格（Fred H. Rolfsen）和国际著名科学家彼得·伦克斯（Peter Lennartson）
共同编写。这本书以其内容的生动性、全面性和指导意义而闻名。
该书通过数学物理方法探索了线性和非线性方程的理论和应用方面。它从基本的数学概念开始，涵盖了微分方程、偏微分方程、泛函
分析、变分法、哈密顿力学、波动方程、热方程、椭圆方程等各类数
理方程。每个章节都以清晰的风格和易于理解的例子展示了各种数学
物理概念，以帮助读者建立全面的理论基础。
该书的生动性主要体现在作者巧妙地将数学物理方法和实际问题
相结合。通过丰富的实例，作者演示了数学物理方法的实际应用。例如，他们利用微分方程来解释自然界的一些现象，如天体运动、弹簧
振动、电路中的电流等，这种将抽象的数学理论与实际问题联系起来
的方法使读者更容易理解和应用所学知识。
全面性则体现在该书深入探讨了数理方程领域的各个方面。从基
础概念到高级技巧，从线性到非线性，从定解问题到边界值问题，该
书涵盖了数理方程的方方面面。读者可以系统地理解和学习各种数理
方程的性质、解法和应用，具备独立解决实际问题的能力。
该书的指导意义在于，它为读者提供了宝贵的学习资源和实践指导。每章后都附有练习题和习题解答，帮助读者检验和巩固所学知识。
此外，书中还提供了丰富的数学物理方法的应用实例和研究前沿，激
发了读者进一步探索数理方程的兴趣和热情。
总之，《数学物理方法》是一本在国外备受赞誉的数理方程教材。它以其生动的内容，全面的涉及以及指导性的意义而成为这一领域的
数学物理方法习题全解
出版!中国科学技术大学出版社
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数学物理方法习题全解
本书的重点"包括了直角坐标系!柱面坐标系!球面坐标系的偏微分方程解法"有分 离变量法!特征线法!高维波动方程解法!积分变换法!冲量法!格林函数法!偏微分 方程的分类以及特殊函数的习题!针对学生今后专业课和科研的要求"将变系数二 阶常微分方程和正交函数系方面的内容单立一章"并给出了适量的习题"以便打好 学生的理论基础"提高计算能力!
本书适合工科学生应用物理类学生使用对理科学生和科研工作者学习复习进 修也有一定的帮助!
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数学物理方程 第一章典型方程和定解条件
dx
T u2 (x,t)
2u( x, t )
g
x2
t 2
令：
a2
T
2u t 2
a2
u 2 x2
g
自由项
忽略重力作用：
2u a2 u2
t 2
x2
…… 一维波动方程 ------非齐次方程
------齐次方程 （弦振动方程）
如果弦在振动方向上还受一外力作用，设单位长度所受的外力
为F ( x, t ), 则仿照前面的推导，有
(1) 首先确定所要研究的物理量 u( x, t )
(2) 根据物理规律分析微元和相邻部分的相互作用(抓住主要 影响，忽略次要影响)，这种相互作用在一个短时间段里如何
影响物理量 u
(3) 用数学语言表达出这种相互影响，经简化整理就得到数 学物理方程。
例2、杆的纵振动
考虑一均匀细杆，沿杆长方向作微小振动，假设在垂直杆长 方向的任一截面上各点的振动情况（位移）完全相同。
微小： 振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
u
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
牛顿运动定律：
横向：T cos T 'cos ' 0
纵向：T sin T 'sin ' gds ma 其中： cos 1 2 4 1
北邮数理方程课件第三章的分离变量法
第三章 分离变量法
3。2 基础训练
3.2.1 例题分析
例1 解下列定解问题：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-==∂∂=><<∂∂=∂∂====0,20,00,002
002
2222t t l
x x t u lx x u x u
u t l x x u a t u （1） 解：分离变量，即令
(,)()()u x t X x T t = （2） 代入方程（（1）中第一式），得
0)()(2=+''t T a t T λ （3）
0)()(=+''x X x X λ （4）
其中λ为分离常数。（2）式代入边界条件（（1）中第二式），得
0)()0(='=l X X （5）
相应的本证值问题为求
⎩
⎨
⎧='==+''0)()0(0
)()(l X X x X x X λ （6） 的非零解．下面针对λ的取值情况进行讨论：
（1）当0λ<时，（6）式中方程的通解是
()X x Ae =+ （7）
其中A ，B 为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得
00
A B Ae
+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ （8）
由（8）得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故不可能有0λ<。
(2) 当0λ=时，（6）式中方程的通解是 ()X x Ax B =+
由边界条件得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故也不可能有0λ=。
（3）当 02
>=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为
x B x A x X ββsin cos )(+=
代入条件（6）中边界条件，得
0cos ,0==l B A β
由于 0≠B ，故 0cos =l β，即
北邮数理方程课件 第五章 Bessel 函数
第五章 Bessel 函数
5．2 基础训练
5.2.1例题分析
例1 试用平面极坐标系把二维波动方程分离变量：
2()0tt xx yy u a u u -+=
（1）
解 先把时间变量t 分离出来，令)(),(),,(t T U t u ϕρϕρ=，代入方程（1）
22(,)''()(,)()0U T t a U T t ρϕρϕ-∇=
两边同乘以
21
a UT
并移项得 22''T U
a T U
∇=
上式左边仅是t 的函数；右边是ρ,t 的函数。若要使等式成立，两边应为同一个常数，记为2k -，则有
22''0T a k T +=
(2)
220U k U ∇+=
(3)
（3）式为二维亥姆霍兹方程，它在平面极坐标系下的表达式为：
22
1
1
0U U U k U ρρρϕϕρ
ρ
+
+
+=
进一步分离变量，令(,)()()U R ρϕρϕ=Φ，代入上式得
22
11
'''''0R R R k R ρρ
Φ+
Φ+
Φ+Φ=
两边同乘以2
R ρΦ
，并整理得
222''
'
''R R k R
R
ρρρΦ=
+=-
Φ
同上讨论，等式两边应为同一常数，记为2m ，则有
2''0m Φ+Φ=
(4)
2222'''()0R R k m R ρρρ++-=
(5)
对（5）式作代数变换x k ρ=后变为贝塞尔方程
222'''()0x R xR x m R ++-=
(6)
其通解是
()()()m m R AJ k BY k ρρρ=+ 其中,,
m m A B J Y 为任意常数和为第一类和第二类Bessel 函数。
由周期条件，方程（4）的解为
(
)c o s s i n 0,1,2
数学物理方法习题解答
b 1 a 2 +b 2 这是一条直线，是一条过点a和点b连线的中点( a1 + 2 , 2 )且与该直线垂直的直线．
解二：等式的几何意义是，点z到定点a和点b的距离相等的各点的轨迹，即表示点a和点b的 连线的垂直平分线． (3) Rez > 1 2．
1 1 解：设z = x + iy，则Rez = x，故原式为 x > 1 2 ，它表示 x > 2 的半平面，即直线 x = 2 右边的 区域（不包括该直线）．
Department of Optoelectronics Chengdu University of Information Technology
1 2 2 5 5 5 8 8 9 9 9 9 9 10 10 10 11 12 12 14 15 15 17 23 24 24 28 30 32 32 32 33 35
第一章 § 1.1 § 1.2 § 1.3 § 1.4 § 1.5 § 1.6 第二章 § 2.1 § 2.2 § 2.3 § 2.4 第三章 § 3.1 § 3.2 § 3.3 § 3.4 § 3.5 § 3.6 第四章 § 4.1 § 4.2 § 4.3 第五章 § 5.1 § 5.2 § 5.3 第六章 § 6.1 § 6.2 § 6.3 § 6.4
解二：按照模的几何意义，|z|是复数z = x + iy与原点间的距离，若此距离总是≤ 2，即表示 以原点为圆心而半径为2的圆内部． (2) |z − a| = |z − b| ( a、b为复常数)． 解一：设z = x + iy, z = a1 + ia2 , b = b1 + ib2 ； ( x − a1 )2 + (y − a2 )2 , ( x − b1 )2 + (y − b2 )2 ,
北邮数理方程课件 第六章 Legendre多项式
第六章 Legendre 多项式
6.2 基础训练
6.2.1 例题分析
例1 氢原子定态问题的量子力学Schrodinger （薛定谔）方程是
2
2
2
2
8h Ze u u Eu r
πμ-∇-= 其中,,,,h Z e E μ都是常数。试在球坐标系下把这个方程分离变量。
解：先令22
8h A πμ
=
,2
B Ze =，则Schrodinger 方程可以简单写为
2
0B
A u u Eu r
∇+
+= 由laplace 算符在球坐标下的表达式，则在球坐标下，Schrodinger 方程的表达式为
2222222111[()(sin )]0sin sin u u u u A r B Eu r r r r r r
θθθθθϕ∂∂∂∂∂++++=∂∂∂∂∂ 令(,,)()(,)u r R r Y θϕθϕ=，代入上式得
2222222
()(sin )()0sin sin AY d dR AR Y AR Y B
r E RY r dr dr r r r
θθθθθϕ∂∂∂++++=∂∂∂ 两边分别乘以ARY
r 2
，得
2
2222sin 1)(sin sin 1)()(1ϕ
θθθθθ∂∂-∂∂∂∂-=++Y
Y Y Y E r B A r dr dR r dr d R 要使上式成立，则必有两边等于同一个常数，记为)1(+l l ，从而
0)]1([)(22=+-++R l l Er r A
B
dr dR r dr d 即
0])1()(8[)(12
22222=+-++R r
l l E r Ze h dr dR r dr d r μπ （1） 至于Y 则满足球函数方程
北邮数理方程课件-第六章-Legendre多项式
第六章Legendre多项式
6.2 基础训练
6.2.1例题分析
例1 氢原子定态问题的量子力学Schrodinger（薛定谔）方程是
−ℎ
2
2
∇2u−
Ze2
u=Eu
其中ℎ,μ,Z,e,E都是常数。试在球坐标系下把这个方程分离变量。
解：先令A= 2
8π2μ
,B=Ze2，则Schrodinger方程可以简单写为
A∇2u+B
u+Eu=0
由laplace算符在球坐标下的表达式，则在球坐标下，Schrodinger方程的表达式为
A[1
2
ð
ð
(r2
ðu
ð
)+
1
2
ð
ð
(sinθ
ðu
ð
)+
1
22
ð2u
ð2
]+B
u
+Eu=0
令u(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ,ϕ)，代入上式得
AY 2d
(r2
dR
)+
AR
2
ð
ð
(sinθ
ðY
ð
)+
AR
22
ð2Y
ð2
+(
B
+E)RY=0
两边分别乘以r 2
ARY
，得
1 R d
dr
(r2
dR
dr
)+
r2
A
(
B
r
+E)=−
1
Y sinθ
ð
ðθ
(sinθ
ðY
ðθ
)−
1
Y sin2θ
ð2Y
ðϕ2
要使上式成立，则必有两边等于同一个常数，记为l(l+1)，从而
d dr (r2
dR
dr
)+[
B
A
r+Er2−l(l+1)]R=0
即
1 r2d
dr
(r2dR
dr
)+[8π2μ
ℎ
2
(Ze2
r
+E)−l(l+1)
r2
]R=0（1）
至于Y则满足球函数方程
1 sinθ
ð
ðθ
(sinθðY
ðθ
)+1
sinθ
ð2Y
ðϕ
+l(l+1)Y=0（2）
球函数方程（2）的可以进一步分离变，令Y(θ,ϕ)=Θ(θ)Φ(ϕ)代入（2），并有周期条件，则得Φ满足
Φ′′+m2Φ=0（3）
它的解是
Φm=A m cos mϕ+B m cos mϕm=0,1,2,⋯
北京邮电大学信号与系统2006年(A)卷
北京邮电大学2006年硕士研究生入学试题
考试科目：信号与系统（A ）
请考生注意：所有答案（包括选择题和填空题）一律写在答题纸上，写清题号，否则不计成绩。计算题要算出具体答案，可以用计算器，但不能互相借用。 一、 单项选择题（本大题共7小题，每题3分共21分）在每小题列出的四
个选项中只有一个是符合题目要求的，错选、多选或未选均无分。 1.
与)4(2
-t δ相等的表达式为： 【 】
A ： )
2(21
-t δ B ：()[]2)2(21++-t t δδ
C ： )
2(41-t δ D ：[])2()2(41
++-t t δδ
2.
求信号()t f 的傅里叶变换为)2(51
++ωj ，则()t f 为： 【 】
A ： ()t u e
t
j )25(-- , B ： ()t u e t j )25(+-, C ：t
j e
)25(-- ， D ： t j e )25(+-。
3.
信号()()()11++=t u t t f 的单边拉普拉斯变换为 【 】
A ：s e s s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+112，
B ：s s 112+，
C ：s e s s -⎪⎭⎫ ⎝⎛+112，
D ：s e s 21
4. 如图所示信号()t f 1的傅里叶变换
()⎪
⎭⎫
⎝⎛=ωττω4Sa 2A j F 已知，则信号()t f 2的傅里叶变换为 【 】
t
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ωττ4Sa 2
2E B ．⎪
⎭⎫ ⎝⎛ωττ2Sa 22E C ．
⎪⎭⎫ ⎝⎛ωττ4Sa 42E D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛ωττ4Sa 22A 5. 连续时间已调信号
北邮数理方程课件 第三章 分离变量法.
第三章 分离变量法
3。2 基础训练
3.2.1 例题分析
例1 解下列定解问题：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-==∂∂=><<∂∂=∂∂====0,20,00,002
002
2222t t l
x x t u lx x u x u
u t l x x u a t u （1） 解：分离变量，即令
(,)()()u x t X x T t = （2） 代入方程（（1）中第一式），得
0)()(2=+''t T a t T λ （3）
0)()(=+''x X x X λ （4）
其中λ为分离常数。（2）式代入边界条件（（1）中第二式），得
0)()0(='=l X X （5）
相应的本证值问题为求
⎩
⎨
⎧='==+''0)()0(0
)()(l X X x X x X λ （6） 的非零解．下面针对λ的取值情况进行讨论：
（1）当0λ
()X x Ae =+ （7）
其中A ，B 为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得
00
A B Ae
+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ （8）
由（8）得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故不可能有0λ<。
(2) 当0λ=时，（6）式中方程的通解是 ()X x Ax B =+
由边界条件得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故也不可能有0λ=。 （3）当 02
>=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为
x B x A x X ββsin cos )(+=
代入条件（6）中边界条件，得
0cos ,0==l B A β
由于 0≠B ，故 0cos =l β，即
),2,1,0(21
2 =+=
6级数学物理方法(A卷)答案
北京邮电大学2007-2008学年第一学期
《数学物理方法》期末试题（A 卷）答案与评分标准
一、填空题：（每小题5分，共30分） 1、Laplace 变换的定义是（()0
pt f t e dt ∞-⎰（2分））；线性函数x at b =+的Laplace
变换是（
2a b
p p
+）（3分）。 2、
()10()()d
xJ x xJ x dx
αα=⎡⎤⎣⎦（4分）。 3、函数系{})(x f n 是正交系，指的是（()()()0
b n k a
f x f x dx n k =≠⎰）
（5分）。 4、在一般情况下，一个数学物理方程的边界条件有（三（2分））类，写出相
应的表达式：
()
()
()()()()123;;
.
u
u f M M f M M n u u f M M n α∂Ω∂Ω
∂Ω
∂=∈∂Ω=∈∂Ω∂∂⎛
⎫+=∈∂Ω ⎪∂⎝⎭第一：第二：第三：（6分）。
5、写出三种典型方程的最简形式：
波动方程（22222u u a t x ∂∂=∂∂）；热传导方程（2
22
u u a t x ∂∂=∂∂）；Laplace 方程（22220u u
x y
∂∂+=∂∂）（每个2分）。 6、)(x P n 为n 阶Legendre 多项式，则(1)(1),n P =()
(1)(1)n
n P -=-
（2分）。
二、求解下列本征值问题的本征值和本征函数。
2'''22()()()()0,
()0,|(0)|.
r R r rR r r m R r R a R μ⎧++-=⎨
=<∞⎩ （10分） 解 问题的通解是
))
()m m
兰州大学 信息院 2009-2010学年2006级 应用数学 (数学物理方法)期末考试试题_A参考答案
兰州大学2009～2010 学年第2学期
期末考试试卷（A 卷）答案
一. 填空题（共18分，每题空3分）
1、
x
v y u y v
x u ,； 2、平行于纵轴的两线段：π)20(ln ,ln 2211 v R u R u ；
3、
21)1()1(1k k
R z k z ；
4、1；
5、振动型方程、输运方程和稳定型方程；
6、0；
7、)(5
3
)(5213x P x P 。
二 分析计算题(共50分) 1、解：1)2)(1()
1(lim ]1),([Re 2
1
z z z
z z f s z ； （5分）
1])
2)(1()2[(lim
]2),([Re 221
z z z z dz d z f s z ；（5分） z z z z
z d )2)(1(2122 i z f s i 2]2),([Re 2 （5分）
2、证明：
由2
2j π1d e e π21)(
x F x x ， （6分）
得
d e π1e i 2
2x
x a （6分）
3、解：由达朗贝尔公式
d )(21)]()([21),(( at
x at x a
at x at x t x u （4分） 得
)]
arctan()[arctan(21
d 1121])()[(21),(222222at x at x a
t a x a at x at x t x u at x at x
（6分）
4、令)()(),(y Y x X y x u
代入到泛定方程和边界条件中，得 )2(0
)()()
1(0)()(''''y Y t Y x X x X
及0)(,0)0( a X X （3分）
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x , t 0
t 0
Βιβλιοθήκη Baidu 1.
X X 0, 0 x l 六． （15 分）证明：本征值问题 的解，即本征函数 X n ( x) X (0) 0, X (l ) 0
四、 （20 分）将下列具非齐次边界条件的定解问题化成具有齐次边界 的定解问题，并求解。
u 2 u 2 1, 0 x 1, t 0 t x u x 0 0, u x 1 1, x u t 0 2.
五、 （5 分）求出下列定解问题的解：
北京邮电大学 2007-2008 学年第一学期 《数学物理方法》期末试题（A 卷） 一、填空题： （30 分） 1 、 Laplace 变换的定义是（ Laplace 变换是（ 2、
d xJ ( x ) dx 1
） ；线性函数 x at b 的 ） 。
.
） 。 ）类，写出相应
构成一个正交系。 七、(10 分) 一个半径为 a 的空心球，若表面充电到电势为 u0 sin 2 ，求解球内的 电势分布。 已知： P0 ( x) 1 ， P1 ( x) x ， P2 ( x)
1 (3 x 2 1) 。 2
3、函数系 f n ( x) 是正交系，指的是（ 4、在一般情况下，一个数学物理方程的边界条件有（ 的表达式。 5、写出三种典型方程的最简形式。 6、 Pn ( x) 为 n 阶 Legendre 多项式，则 Pn (1) (
), Pn ( 1) (
) 。
二、 （10 分）求解下列本征值问题的本征值和本征函数。
r 2 R'' (r ) rR' (r ) ( r 2 m 2 ) R(r ) 0, R(a ) 0, | R(0) | .
三、 （10 分）试求在自变量变换 x cos ,0 下微分方程：
d 2 d m2 cot n(n 1) 0 的新的形式。 d d 2 sin 2