2017届江西省吉安一中高三上学期期中考试理科数学试题及答案 精品

江西省吉安一中2017届高三上学期期中考试
数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 复数i
i
z +-=
12在复平面内对应的点位于 A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2. 已知集合{}
x y x A 2log |==，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧==x y y B )21(|，则=B A A. {}10|<<x x
B. {}0|>x x
C. {}1|≥x x
D. ∅
3. 若“10<<x ”是“0)]2()[(≤+--a x a x ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 A. ]0,1[-
B. )0,1(-
C. ),1[]0,(+∞⋃-∞
D. ),0()1,(+∞⋃--∞
4. 设4)(-+=x e x f x ，则函数)(x f 的零点位于区间 A. )0,1(-
B. )1,0(
C. )2,1(
D. )3,2(
5. 已知)2
,
0(π
∈a 3
3
cos =
a ，则)6cos(π+a 等于
A.
6
6
21-
B. 6
61-
C. 6
6
21+
-
D. 6
61+
- 6. 一组数据共有7个数，记得其中有10，2，5，2，4，2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等比数列，则这个数可能为 A. 3
B. 31
C. 10
D. 0
7. 已知向量、满足1=3=的取值范围为
A. [1,2]
B. [0,4]
C. [1,3]
D. [2,4]
8. 将函数)sin()(ϕω+=x x f ，（R x ∈）的图象向左平移2
π
个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于 A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
9. 数列{}n a 满足121==a a ，*)(3
2cos
21N n n a a a n n n ∈=++++π
，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20S 的值为
A. －4
B. －1
C. 8
D. 5
10. 已知函数)(x f 满足)()(x f x f -=π，且当)2
,2(π
π-
∈x 时，x e x f x sin )(+=，则 A. )3()2()1(f f f << B. )1()3()2(f f f << C. )1()2()3(f f f << D. )2()1()3(f f f <<
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.
⎰
-=-+1
1
2)1(sin x x ____________。

12. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若1S ，22S ，33S 成等差数列，则公比q 等于__________。

13. 在4×□+9×□=60的两个□中，分别填入两正数，要使这两正数的倒数和最小，则应分别填上_______和________。

14. 已知两个非零向量与θ=，其中θ为与的夹角，若)4,3(-=，
)2,0(=__________。

15. 给出下列四个命题：
①ABC ∆中，B A >是B A sin sin >成立的充要条件； ②当0>x 且1≠x 时，有2ln 1
ln ≥+
x
x ； ③在等差数列{}n a 中，若n m q p a a a a +=+，则n m q p +=+；
④若函数)23(-=x f y 为R 上的奇函数，则函数)(x f y =的图象一定关于点)0,2
3(F 成中心对称。

其中所有正确命题的序号为___________。

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （本小题满分12分）
已知函数22)(2
3
-++=cx bx x x f 的图象在与x 轴交点处的切线方程是105-=x y 。

（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）设函数mx x f x g 3
1
)()(+=，若)(x g 的极值存在，求实数m 的取值范围。

17. （本小题满分12分）
已知)cos ,sin 3(x x =，)cos ,(cos x x -=，函数2
1
)(-⋅=x f ，R x ∈。

（1）求函数)(x f 的最大值和最小正周期。

（2）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别a,b,c ，且3=c ，0)(=C f ，若A C A sin 2)sin(=+，求ABC ∆的面积。

18. （本小题满分12分）
已知函数)ln()(a e x f x +=（a 为常数）是实数集R 上的奇函数，函数x x f x g sin )()(+=λ是[－1，1]上的减函数。

（1）求)(x g 在]1,1[-∈x 上的最大值；
（2）若1)(2++≤t t x g λ对任意]1,1[-∈x 及]1,(--∞∈λ恒成立，求t 的取值范围。

19. （本小题满分12分）
某单位实行休年假制度三年以来，对50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：
休假次数 0 1 2 3 人数
5
10
20
1
5
根据上表信息解答以下问题：
（1）从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“4=η”为事件A ，求事件A 发生的概率P ；
（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE 。

20. （本小题满分13分）
在数列{}n a 中，11=a ，n n a n
a 2
1)11(2+=+。

（1）求{}n a 的通项公式； （2）令n n n a a b 2
1
1-
=+，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

21. （本小题满分14分）
设函数)(ln 21
)(R m x m x
x x f ∈--
= （1）试讨论)(x f 的单调性；
（2）若1x 和2x 是)(x f 的两个极值点，过点))(,(11x f x A ，))(,(22x f x B 的直线的斜率为k ，试问：是否存在m ，使得m k 22-=？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由。

17. 解：（1）1)6
2sin(2122cos 12sin 23)(--=-+-=
π
x x x x f
4分 所以，)(x f 的最大值为0，最小正周期为ππ
==2
2T ； 6分 （2）01)62sin()(=--
=π
C C f ，则1)6
2sin(=-π
C ， π<<C 0 ，π220<<∴C ，6
116
26
π
π
π
<
-
<-
∴C ， 2
6
2π
π
=
-
∴C ，3
π
=
∴C 8分
A B C A sin 2sin )sin(==+ ，由正弦定理
2
1
=b a ，① 由余弦定理，得3
cos 22
2
2
π
ab b a c -+=，即32
2
=-+ab b a ②
由①②得a=1，2=b
11分
11sin 122222
ABC S ab C ∆∴==⋅⋅=
12分
18. 解析：（1）)ln()(a e x f x
+=是奇函数，则)ln()ln(a e a e
x x
+-=+-恒成立。

2()() 1.11x x x x e a e a ae ae a --∴++=+++=，
0)(=++∴-a e e a x x ，0=∴a
x x f =∴)(，x x x g sin )(+=λ，又)(x g 在[－1，1]上单调递减，
1sin )1()(max --=-=∴λg x g ， 6分
（2）只需11sin 2
++≤--t t λλ在]1,(--∞∈λ上恒成立。

011sin )1(2≥++++∴t t λ在]1,(--∞∈λ恒成立。

令)1(11sin )1()(2
-≤++++=λλλt t h ，则⎩⎨⎧≥+++--≤+0
11sin 10
12
t t t ， ⎩⎨⎧≥+--≤∴0
1sin 12t t t 而01sin 2≥+-t t 恒成立，1-≤∴t 12分
19. 解析：（1）当4=η时，24568
2
50
1151102201=+=C C C C P 6分
（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0，1，2，3， 7分
于是72
)0(2
502
1522021025=+++==C C C C C P ξ， 4922
)1(2
50
1
2011512011011015=++==C C C C C C C P ξ， 4910)2(25011511012015=+==C C C C C P ξ，493
)3(250
1
1515===C C C P ξ 10分
从而ξ的分布列：
ξ
0 1 2 3
P
72
49
22
49
10
49
3 ξ的数学期望：49
51
49334910249221720=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE
12分
20. 解析：（1）由条件得
2
2121)
1(n a n a n
n ⋅=++，又1=n 时，12=n a n ， 故数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧2n a n 构成首项为1，公比为21的等比数列，从而1221-=n n n a ，即122-=n n n a
6分
（2）由n n n n n n n b 21222)1(22+=-+=得n n
n S 21225232++++= ， 1322
1
2212252321+++-+++=⇒
n n n n n S ， 两式相减得：
132212)212121(22321++-++++=n n n n S ，所以n n n S 2
5
25+-= 13分 21. 解：（1）)(x f 的定义域为),0(+∞
2
2212211)(x
mx x x m x x f +-=-+=令12)(2+-=mx x x g 其判别式442
-=∆m ， 当1≤m 时，0≤∆，0)('≥x f ，故)(x f 在（0，∞+）上单调递增 当1-<m 时，0>∆，0)(=x g 的两根都小于0，在（0，∞+）上0)('>x f 故)(x f 在),0(+∞上单调递增。

当1>m 时，0>∆，0)(=x g 的两根为121--=m m x ，12
2-+=m m x
当10x x <<时，0)('>x f ，当21x x x <<时，0)('<x f ，当2x x >时0)('>x f 故)(x f 分别在（1,0x ），（+∞,2x ）上单调递增，在),(21x x 上单调递减 6分 （2）由（1）知1>m
)ln (ln 2)()(212
12
12121x x m x x x x x x x f x f ---+-=- 2
121212121ln ln 21
1)()(x x x x m
x x x x x f x f k ---+=--=
又由（1）知，121=⋅x x ，于是2
12
1ln ln 22x x x x m k ---=
若存在m ，使得m k 22-=，则
1ln ln 2
12
1=--x x x x 即2121ln ln x x x x -=-
即0ln 21
22
2=--
x x x （)(*)12>x 再由（1）知，函数t t
t h t ln 21)(--=在（0，∞+）上单调递增，而12>x 。

01ln 21
1
1ln 21222=-->--
∴x x x ，这与（*）式矛盾， 故不存在m ，使得m k 22-= 14分。