安徽省合肥市2018届高三调研性检测数学理试题含答案精品

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安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测数学理试题含Word版含解析

文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.安徽省合肥市 2018 届高三第一次教学质量检测数学理试题第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知为虚数单位，则（）A. 5 B.C.D.【答案】A【解析】由题意可得：.本题选择 A 选项.2. 已知等差数，若，则的前 7 项的和是（）A. 112 B. 51 【答案】CC. 28D. 18【解析】由等差数列的通项公式结合题意有：，求解关于首项、公差的方程组可得：，则数列的前 7 项和为：本题选择 C 选项. 3. 已知集合是函数.的定义域，集合是函数的值域，则A.B.C.且D.【答案】B【解析】函数有意义，则：，即，结合二次函数的性质可得函数的值域为，即：，结合交集的定义可得：.本题选择 B 选项.（）文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.4. 若双曲线的一条渐近线方程为，该双曲线的离心率是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】双曲线的焦点位于轴，则双曲线的渐近线为，结合题意可得：，双曲线的离心率：，本题选择 C 选项. 5. 执行如图程序框图，若输入的等于 10，则输出的结果是（）A. 2 B.C.D.【答案】C【解析】结合流程图可知程序运行如下：首先初始化数据，此次循环满足，执行：，；此次循环满足，执行：，；此次循环满足，执行：，；此次循环满足，执行：，；此时的值出现循环状态，结合输入的值为，而执行：，；可知最后一次循环时：此次循环不满足，输出 .本题选择 C 选项.6. 已知某公司生产的一种产品的质量 (单位：克)服从正态分布.现从该产品的生产线上随机抽取 10000 件产品，其中质量在内的产品估计有（）（附：若服从，则，）文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.A. 3413 件 B. 4772 件 C. 6826 件 D. 8185 件【答案】D【解析】由题意可得，该正态分布的对称轴为，且，则质量在内的产品的概率为，而质量在内的产品的概率为，结合对称性可知，质量在内的产品估计有，据此估计产品的数量为：件.本题选择 D 选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记 P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1.7. 将函数的图像先向右平移个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，得到的图像，则的可能取值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意结合辅助角公式有：，将函数的图像先向右平移个单位，所得函数的解析式为：，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，所得函数的解析式为：，而，据此可得：，据此可得：.本题选择 D 选项. 8. 已知数列的前项和为，若A.B.C.，则 D.（）文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.【答案】A【解析】由题意可得：，两式作差可得：，即，，结合可得：，则数列是首项为，公比为的等比数列，据此有：，.本题选择 A 选项.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由三视图可得，该几何体是一个组合体，左右两端为半径为的半球，中间部分为底面半径为，高为的半个圆柱，其中球的表面积，半圆柱的侧面积，半圆柱裸露的面积，半球裸露的面积，综上可得，该几何体的表面积本题选择 C 选项.10. 已知直线与曲线. 相切(其中为自然对数的底数)，则实数的值是（）A.B. 1 C. 2 D.【答案】B【解析】由函数的解析式可得：，则切线的斜率：，令可得：，则函数在点，即处的切线方程为：，整理可得：,文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.结合题中所给的切线的斜率有：.本题选择 B 选项. 11. 某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为 2 千元/件、1 千元/件.甲、乙两种产品都需要在两种设备上加工，生产一件甲产品需用设备 2 小时，设备 6 小时；生产一件乙产品需用设备 3 小时，设备 1 小时. 两种设备每月可使用时间数分别为 480 小时、960 小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（） A. 320 千元 B. 360 千元 C. 400 千元 D. 440 千元【答案】B 【解析】设生产甲、乙两种产品 x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件：，原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数的最大值.绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点处取得最大值：千元.本题选择 B 选项. 点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．12. 已知函数(其中为自然对数的底数），若函数零点，则的取值范围为（）有4个A.B.C.D.【答案】D【解析】考查函数，求导可得，..............................文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.函数是定义在上关于轴对称的偶函数，分别对应建立两个平面直角坐标系，第一个坐标系按照我们熟悉的坐标系绘制函数的图像，第二个坐标系以水平方向为轴方向，以竖直方向为轴方向，在第一个坐标系中绘制函数的图像，在第二个坐标系中绘制函数的图像，如图所示的直线位置处可以找到满足题意的方程的四个零点，函数零点的值为点处的横坐标，观察可得，的取值范围为，其中，题中直线为临界条件，临界条件处：，，.结合选项，满足所得结论形式的区间只有 D 选项.本题选择 D 选项.第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若平面向量满足，则__________．【答案】【解析】由题意可得：，，两式作差可得：.14. 已知是常数，，且，则 __________．【答案】3【解析】所给的等式中，令可得：，令可得：，结合题意有： 15. 抛物线，求解关于实数的方程可得： . 的焦点为，准线与轴交于点，过抛物线上一点 (第．一．象．限．内．)作的文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.垂线 ,垂足为 .若四边形的周长为 16，则点的坐标为__________．【答案】【解析】由抛物线的方程可知焦点坐标为，准线方程为，设点的坐标为，由题意结合抛物线的定义可得：，，，则四边形的周长为,整理可得：，则点的坐标为 .16. 在四面体中，则四面体外接球的半径为__________．，二面角【答案】【解析】过等边三角形的中心作平面的垂线，取的中点，过点做平面的垂线，设，由几何关系可知：点为四面体外接球的球心，△ABD 是边长为 2 的等边三角形，则,二面角据此，在的大小为 ,则中，，，的大小为 ,四面体外接球的半径为.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知的内角的对边分别为，.（1）求角；文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.（2）若，求的周长的最大值.【答案】(1)（2）【解析】试题分析：（1）根据正弦定理边化角可得：，整理计算有，则 .（2）由（1）的结论结合余弦定理得，即，结合均值不等式可知(当且仅当时等号成立），则周长的最大值为.试题解析：（1）根据正弦定理，由已知得：，即，∴，∵，∴，∴，从而.∵，∴ .（2）由（1）和余弦定理得，即，∴，即(当且仅当时等号成立）.所以，周长的最大值为.18. 2014 年 9 月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获等的概率都是 0.8，所选的自然科学科目考文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.试的成绩获等的概率都是 0.75,且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量表示他所选考的三个科目中考试成绩获等的科目数，求的分布列和数学期望.【答案】(1) （2），分布列见解析【解析】试题分析： (1)由题意结合对立事件计算公式可知该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为；(2)由题意可知，随机变量的所有可能取值有 0, 1，2，3.计算相应的概率值为,，，，据此可得分布列，然后计算数学期望为.试题解析：（1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件，则，所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为 .（2）随机变量的所有可能取值有 0, 1，2，3.因为,，，，所以的分布列为所以.19. 如图，在多面体中，是正方形，平面，平面，，点为棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成的角的正弦值.文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.【答案】(1)见解析（2）【解析】试题分析：（1）连结，交于点，由三角形中位线的性质可得平面 ,由线面垂直的性质定理可得为平行四边形，则，结合面面平行的判断定理有平面 .最后，利用面面平行的判断定理可得平面平面 .（2）利用两两垂直建立空间直角坐标系，利用空间几何关系可得平面的一个法向量为，，则直线与平面所成角的正弦值.试题解析：（1）证明：连结，交于点，∴ 为的中点，∴.∵ 平面，平面，∴ 平面 .∵都垂直底面，∴.∵，∴ 为平行四边形，∴.∵ 平面，平面，∴ 平面 .又∵，∴平面平面 .（2）由已知，平面，是正方形.∴两两垂直，如图，建立空间直角坐标系.设，则，从而，∴，设平面的一个法向量为，由得.令，则，从而.∵，设与平面所成的角为，则文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.，所以，直线与平面所成角的正弦值为 .20. 在平面直角坐标系中，圆交轴于点，交轴于点 .以为顶点，分别为左、右焦点的椭圆，恰好经过点 . （1）求椭圆的标准方程；（2）设经过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.【答案】(1)（2）当直线的斜率为时，可使的面积最大，其最大值 .【解析】试题分析：（1）由已知可得，椭圆的焦点在轴上.设椭圆的标准方程为，易知，结合椭圆过点，可得椭圆的标准方程为.（2）由题意可知直线的斜率存在.设直线方程为，.联立直线方程与椭圆方程有.直线与椭圆交于不同的两点，则，，由弦长公式可得，而点到直线的距离，据此可得面积函数.换元令，，结合二次函数的性质可得当直线的斜率为时，可使试题解析：（1）由已知可得，椭圆的焦点在轴上.的面积最大，其最大值 .设椭圆的标准方程为，焦距为，则，∴，∴椭圆的标准方程为.文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.又∵椭圆过点，∴，解得 .∴椭圆的标准方程为.（2）由于点在椭圆外，所以直线的斜率存在.设直线的斜率为，则直线，设.由消去得，.由得，从而，∴.∵点到直线的距离，∴的面积为.令，则，∴，当即时，有最大值，，此时.所以，当直线的斜率为时，可使的面积最大，其最大值 .点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知.（1）讨论的单调性；文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.（2）若恒成立，求的值.【答案】(1)见解析（2）【解析】试题分析：（1）的定义域为，求导可得.则考查函数的单调性只需考查二次函数的性质可得：当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.（2）原问题等价于，恒成立. 构造函数，令，则，，即在时取得最大值.试题解析：（1）的定义域为.由解得 .经检验可得 a=1 符合题意.故 .，.∵.令，则（a）若，即当时，对任意恒成立（仅在孤立点处等号成立）.∴在上单调递增.，恒成立，即当时，（b）若，即当或时，的对称轴为 .①当时，，且.如图，任意，恒成立，即任意时，恒成立，∴在上单调递增.文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.②当时，，且.如图，记的两根为∴当时，；当时，.∴当时，，当时，.∴在和上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.（2）恒成立等价于，恒成立.令，则恒成立等价于，.要满足式，即在时取得最大值.∵.由解得 .当时，，∴当时，；当时，.∴当时，在上单调递增，在上单调递减，从而，符合题意.所以， . 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系中，曲线(为参数)，在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（1）求曲线的普通方程；（2）若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求的最小值.【答案】(1)；(2)【解析】试题分析：（1）的极坐标方程即. ，利用极坐标方程与普通方程的关系可得曲线的普通方程为.（2）由（1）可知，圆的圆心为，半径为 1. 设曲线上的动点点在圆上可得：.由三角函数的性质可得小值为.试题解析：（1）由得：.因为，所以，即曲线的普通方程为.（2）由（1）可知，圆的圆心为，半径为 1.，由动，则的最设曲线上的动点，由动点在圆上可得：.∵当时，，文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.∴.23. 已知函数.（1）解关于的不等式（2）若关于的不等式；的解集不是空集，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由不等式的性质零点分段可得不等式的解集为.（2）原问题等价于结合绝对值三角不等式的性质可得试题解析：（1），当且仅当时等号成立，则的取值范围是.，或或或，所以，原不等式的解集为.（2）由条件知，不等式由于当且仅当，即当所以，的取值范围是.有解，则，时等号成立，故 .即可.。

安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测数学(理)试题(精编含解析)

安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足（是虚数），则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】∴，∴，∴复数点为，位于第二象限．选B．2.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，∴．选D．3.命题，关于的方程有实数解，则为（）A. ，关于的方程有实数解B. ，关于的方程没有实数解C. ，关于的方程没有实数解D. ，关于的方程有实数解【答案】C【解析】根据含有量词的命题的否定可得，为：，关于的方程没有实数解．选C．4.在直角坐标系中，若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由条件得点的坐标为，∴．∴．选A．5.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学命题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言.”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）A. 174斤B. 184斤C. 191斤D. 201斤【答案】B【解析】用表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴，解得．∴．选B．6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入的的值为（）A. 3或-2B. 2或-2C. 3或-1D. -2或-1或3【答案】A【解析】由题意可得本题是求分段函数中，求当时的取值．当时，由，解得，符合题意．当时，由，得，解得或（舍去）．综上可得或．选A．7.小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5:00-6:00之间送货上门，已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李.若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中.则小李需要去快递柜收取商品的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设快递员到小李家的时间为x，小李到家的时间为y，由题意可得所有基本事件构成的平面区域为，设“小李需要去快递柜收取商品”为事件A，则事件A包含的基本事件构成的平面区域为，如图阴影部分所示的直角梯形．在中，当时，；当时，．∴阴影部分的面积为，由几何概型概率公式可得，小李需要去快递柜收取商品的概率为．选D．8.在正方体中，，，分别为棱，，的中点，用过点，，的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中点连，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．延长，交的延长线与点，连，交于，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．同理，延长，交的延长线于，连，交于点，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．所以过点，，的平面截正方体所得的截面为图中的六边形．故可得位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为选项C所示．选C ．9.已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，故函数为奇函数．又，故函数在R上单调递减．∵，∴，∴，∴．选C．10.已知双曲线的左，右焦点分别为，，，是双曲线上的两点，且，，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，设，是双曲线左支上的两点，令，由双曲线的定义可得．在中，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去）．∴，∴为直角三角形，且．在中，，即，∴，∴．即该双曲线的离心率为．选B．点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．11.函数，，，且在上单调，则下列说法正确的是( )A. B.C. 函数在上单调递增D. 函数的图象关于点对称【答案】C【解析】由题意得函数的最小正周期为，∵在上单调，∴，解得．∵，，∴，解得，∴．对于选项A，显然不正确．对于选项B，，故B不正确．对于选项C，当时，，所以函数单调递增，故C正确．对于选项D，，所以点不是函数图象的对称中心，故D不正确．综上选C．点睛：解决函数综合性问题的注意点（1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式．（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．12.已知点在内部，平分，，对满足上述条件的所有，下列说法正确的是（）A. 的三边长一定成等差数列B. 的三边长一定成等比数列C. ，，的面积一定成等差数列D. ，，的面积一定成等比数列【答案】B【解析】设．在中，可得．在中，分别由余弦定理得，①，②．③由①+②整理得，∴，将代入上式可得．又由三角形面积公式得，∴，∴，∴，∴．由③得，∴，整理得．故选B．点睛：本题难度较大，解题时要合理引入变量，通过余弦定理、三角形的面积公式，建立起三角形三边间的联系，然后通过消去变量的方法逐步得到三边的关系．由于计算量较大，在解题时要注意运算的准确性和合理性．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知两个单位向量，的夹角为，则__________．【答案】【解析】．答案：14.的展开式中含项的系数为__________．【答案】18【解析】含项为，故系数为.15.已知半径为的球内有一个内接四棱锥，四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥的体积最大时，它的底面边长等于__________．【答案】4【解析】如图，设四棱锥的侧棱长为，底面正方形的边长为，棱锥的高为．由题意可得顶点在地面上的射影为底面正方形的中心，则球心在高上．在中，，∴，整理得．又在中，有，∴．∴，∴．设，则，∴当时，单调递增，当时，单调递减．∴当时取得最大值，即四棱锥的体积取得最大值，此时，解得．∴四棱锥的体积最大时，底面边长等于4．答案:416.为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站只能建在与村相距，且与村相距的地方.已知村在村的正东方向，相距，村在村的正北方向，相距，则垃圾处理站与村相距__________．【答案】2或7【解析】以为为坐标原点，为x轴建立平面直角坐标系，则．由题意得处理站在以为圆心半径为5的圆A上，同时又在以为圆心半径为的圆C上，两圆的方程分别为和．，解得或．∴垃圾处理站的坐标为或，∴或，即垃圾处理站与村相距或．答案：2或7点睛：解答本题的关键是读懂题意，深刻理解垃圾处理站所在的位置，然后通过合理建立平面直角坐标系，将所求问题转化为求两圆交点的问题，解方程组得到两圆交点坐标后再通过两点间的距离公式求解．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等比数列的前项和满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项的和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由变形得，即，于是可得公比，由此可得通项公式．（2）由（1）得，然后利用错位相减法求和．试题解析：（1）设等比数列的公比为.由，得，即，，∴．（2）由（1）得，，①∴，②①-②得，∴．18.为了解市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位）（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，约为19.3）.按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）已知市理科考生约有10000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？（说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里.相应于的值是指总体取值小于的概率，即.参考数据：，，）. 【答案】（1）103；（2）①117；②4968名.【解析】【详解】试题分析：（1）用每一个小矩形的中点値代替本组数据，乘以对应的频率后取和即可得到平均数．（2）①设理科数学成绩约为，由题意得，根据参考数据可得，故，解得即为所求．②先求得，故可得估计名次为名．试题解析：（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：.（2）记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为，根据题意，，即.由，得解得，所以本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分.，所以理科数学成绩为107分时，大约排在名．19.在四棱锥中，平面平面，，，为中点，，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由并结合平面几何知识可得．又由及平面平面可得平面，于是得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而可得平面平面．（2）根据，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，通过求出平面和平面法向量的夹角并结合图形可得所求二面角的余弦值．试题解析：（1）由条件可知，，，，.，且为中点，.∵，，，平面.又平面，.，平面.平面，平面平面.（2）由（1）知，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，∴，，，，设为平面的一个法向量，由，得.令，得.同理可得平面的一个法向量．∴.由图形知二面角为锐角，∴二面角的余弦值为.点睛：用空间向量求解立体几何问题的注意点（1）建立坐标系时要确保条件具备，即要证明得到两两垂直的三条直线，建系后要准确求得所需点的坐标．（2）用平面的法向量求二面角的大小时，要注意向量的夹角与二面角大小间的关系，这点需要通过观察图形来判断二面角是锐角还是钝角，然后作出正确的结论．20.已知点和动点，以线段为直径的圆内切于圆.（1）求动点的轨迹方程；（2）已知点，，经过点的直线与动点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的斜率之和为定值.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）设以线段为直径的圆的圆心为，取，借助几何知识分析可得动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，根据待定系数法可得动点的轨迹方程为．（2）①当直线垂直于轴时，不合题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立消元后可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系及斜率公式可得，为定值．试题解析：（1）如图，设以线段为直径的圆的圆心为，取.依题意，圆内切于圆，设切点为，则，，三点共线，为的中点，为中点，.，∴动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为，则，，，，，动点的轨迹方程为.（2）①当直线垂直于轴时，直线的方程为，此时直线与椭圆相切，与题意不符.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.由消去y整理得.∵直线与椭圆交于，两点，∴，解得．设，，则，（定值）．点睛：（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题．（2）求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21.已知函数（是自然对数的底数）（1）判断函数极值点的个数，并说明理由；（2）若，，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）对求导可得，根据的取值，分，，和四种情况讨论函数的单调性，然后得到极值点的个数．（2）由题意可得对恒成立．然后分，和三种情况分别求解，通过分离参数或参数讨论的方法可得的取值范围．试题解析：（1）∵，∴，当时，在上单调递减，在上单调递增，有1个极值点；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点；当时，在上单调递增，此时没有极值点；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点；综上可得：当时，有1个极值点；当且时，有2个极值点；当时，没有极值点．（2）由得.①当时，由不等式得，即对在上恒成立.设，则.设，则.，，在上单调递增，，即，在上单调递减，在上单调递增，，.②当时，不等式恒成立，；③当时，由不等式得.设，则.设，则，在上单调递减，.若，则，在上单调递增，.若，，，使得时，，即在上单调递减，，舍去..综上可得，的取值范围是.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知过点的直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线分别交于点，，且，，成等比数列，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据极坐标和直角坐标间的转化公式求解即可．（2）利用直线的参数方程中参数的几何意义并结合一元二次方程根于系数的关系求解．试题解析：（1），，将代入上式可得，∴曲线的直角坐标方程.（2）将代入消去整理得，∵直线与抛物线交于两点，∴，又，∴．设，对应的参数分别为，则．，，成等比数列，，即，，即，解得或（舍去）.点睛：利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3)；(4)．23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若，函数的图象与轴围成的三角形的面积大于60，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）解不等式可得且，根据不等式的解集为得到，解得，即为所求．（2）由题意可得函数的图象与轴围成的的三个顶点的坐标为，，，于是，解得，即为所求的范围．试题解析：（1）由题意得解得.可化为，解得.不等式的解集为，，解得，满足.．（2）依题意得，.又，∴的图象与轴围成的的三个顶点的坐标为，，，，解得.∴实数的取值范围为．。

安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)

安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足（是虚数），则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】∴，∴，∴复数点为，位于第二象限．选B．2.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，∴．选D．3.命题，关于的方程有实数解，则为（）A. ，关于的方程有实数解B. ，关于的方程没有实数解C. ，关于的方程没有实数解D. ，关于的方程有实数解【答案】C【解析】根据含有量词的命题的否定可得，为：，关于的方程没有实数解．选C．4.在直角坐标系中，若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由条件得点的坐标为，∴．∴．选A．5.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学命题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言.”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）A. 174斤B. 184斤C. 191斤D. 201斤【答案】B【解析】用表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴，解得．∴．选B．6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入的的值为（）A. 3或-2B. 2或-2C. 3或-1D. -2或-1或3【答案】A【解析】由题意可得本题是求分段函数中，求当时的取值．当时，由，解得，符合题意．当时，由，得，解得或（舍去）．综上可得或．选A．7.小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5:00-6:00之间送货上门，已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李.若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中.则小李需要去快递柜收取商品的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设快递员到小李家的时间为x，小李到家的时间为y，由题意可得所有基本事件构成的平面区域为，设“小李需要去快递柜收取商品”为事件A，则事件A包含的基本事件构成的平面区域为，如图阴影部分所示的直角梯形．在中，当时，；当时，．∴阴影部分的面积为，由几何概型概率公式可得，小李需要去快递柜收取商品的概率为．选D．8.在正方体中，，，分别为棱，，的中点，用过点，，的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中点连，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．延长，交的延长线与点，连，交于，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．同理，延长，交的延长线于，连，交于点，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．所以过点，，的平面截正方体所得的截面为图中的六边形．故可得位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为选项C所示．选C ．9.已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，故函数为奇函数．又，故函数在R上单调递减．∵，∴，∴，∴．选C．10.已知双曲线的左，右焦点分别为，，，是双曲线上的两点，且，，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，设，是双曲线左支上的两点，令，由双曲线的定义可得．在中，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去）．∴，∴为直角三角形，且．在中，，即，∴，∴．即该双曲线的离心率为．选B．点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．11.函数，，，且在上单调，则下列说法正确的是( )A. B.C. 函数在上单调递增D. 函数的图象关于点对称【答案】C【解析】由题意得函数的最小正周期为，∵在上单调，∴，解得．∵，，∴，解得，∴．对于选项A，显然不正确．对于选项B，，故B不正确．对于选项C，当时，，所以函数单调递增，故C正确．对于选项D，，所以点不是函数图象的对称中心，故D不正确．综上选C．点睛：解决函数综合性问题的注意点（1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式．（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．12.已知点在内部，平分，，对满足上述条件的所有，下列说法正确的是（）A. 的三边长一定成等差数列B. 的三边长一定成等比数列C. ，，的面积一定成等差数列D. ，，的面积一定成等比数列【答案】B【解析】设．在中，可得．在中，分别由余弦定理得，①，②．③由①+②整理得，∴，将代入上式可得．又由三角形面积公式得，∴，∴，∴，∴．由③得，∴，整理得．故选B．点睛：本题难度较大，解题时要合理引入变量，通过余弦定理、三角形的面积公式，建立起三角形三边间的联系，然后通过消去变量的方法逐步得到三边的关系．由于计算量较大，在解题时要注意运算的准确性和合理性．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知两个单位向量，的夹角为，则__________．【答案】【解析】．答案：14.的展开式中含项的系数为__________．【答案】18【解析】含项为，故系数为.15.已知半径为的球内有一个内接四棱锥，四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥的体积最大时，它的底面边长等于__________．【答案】4【解析】如图，设四棱锥的侧棱长为，底面正方形的边长为，棱锥的高为．由题意可得顶点在地面上的射影为底面正方形的中心，则球心在高上．在中，，∴，整理得．又在中，有，∴．∴，∴．设，则，∴当时，单调递增，当时，单调递减．∴当时取得最大值，即四棱锥的体积取得最大值，此时，解得．∴四棱锥的体积最大时，底面边长等于4．答案:416.为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站只能建在与村相距，且与村相距的地方.已知村在村的正东方向，相距，村在村的正北方向，相距，则垃圾处理站与村相距__________．【答案】2或7【解析】以为为坐标原点，为x轴建立平面直角坐标系，则．由题意得处理站在以为圆心半径为5的圆A上，同时又在以为圆心半径为的圆C上，两圆的方程分别为和．，解得或．∴垃圾处理站的坐标为或，∴或，即垃圾处理站与村相距或．答案：2或7点睛：解答本题的关键是读懂题意，深刻理解垃圾处理站所在的位置，然后通过合理建立平面直角坐标系，将所求问题转化为求两圆交点的问题，解方程组得到两圆交点坐标后再通过两点间的距离公式求解．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等比数列的前项和满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项的和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由变形得，即，于是可得公比，由此可得通项公式．（2）由（1）得，然后利用错位相减法求和．试题解析：（1）设等比数列的公比为.由，得，即，，∴．（2）由（1）得，，①∴，②①-②得，∴．18.为了解市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位）（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，约为19.3）.按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）已知市理科考生约有10000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？（说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里.相应于的值是指总体取值小于的概率，即.参考数据：，，）.【答案】（1）103；（2）①117；②4968名.【解析】【详解】试题分析：（1）用每一个小矩形的中点値代替本组数据，乘以对应的频率后取和即可得到平均数．（2）①设理科数学成绩约为，由题意得，根据参考数据可得，故，解得即为所求．②先求得，故可得估计名次为名．试题解析：（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：.（2）记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为，根据题意，，即.由，得解得，所以本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分.，所以理科数学成绩为107分时，大约排在名．19.在四棱锥中，平面平面，，，为中点，，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由并结合平面几何知识可得．又由及平面平面可得平面，于是得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而可得平面平面．（2）根据，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，通过求出平面和平面法向量的夹角并结合图形可得所求二面角的余弦值．试题解析：（1）由条件可知，，，，.，且为中点，.∵，，，平面.又平面，.，平面.平面，平面平面.（2）由（1）知，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，∴，，，，设为平面的一个法向量，由，得.令，得.同理可得平面的一个法向量．∴.由图形知二面角为锐角，∴二面角的余弦值为.点睛：用空间向量求解立体几何问题的注意点（1）建立坐标系时要确保条件具备，即要证明得到两两垂直的三条直线，建系后要准确求得所需点的坐标．（2）用平面的法向量求二面角的大小时，要注意向量的夹角与二面角大小间的关系，这点需要通过观察图形来判断二面角是锐角还是钝角，然后作出正确的结论．20.已知点和动点，以线段为直径的圆内切于圆.（1）求动点的轨迹方程；（2）已知点，，经过点的直线与动点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的斜率之和为定值.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）设以线段为直径的圆的圆心为，取，借助几何知识分析可得动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，根据待定系数法可得动点的轨迹方程为．（2）①当直线垂直于轴时，不合题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立消元后可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系及斜率公式可得，为定值．试题解析：（1）如图，设以线段为直径的圆的圆心为，取.依题意，圆内切于圆，设切点为，则，，三点共线，为的中点，为中点，.，∴动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为，则，，，，，动点的轨迹方程为.（2）①当直线垂直于轴时，直线的方程为，此时直线与椭圆相切，与题意不符.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.由消去y整理得.∵直线与椭圆交于，两点，∴，解得．设，，则，（定值）．点睛：（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题．（2）求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21.已知函数（是自然对数的底数）（1）判断函数极值点的个数，并说明理由；（2）若，，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）对求导可得，根据的取值，分，，和四种情况讨论函数的单调性，然后得到极值点的个数．（2）由题意可得对恒成立．然后分，和三种情况分别求解，通过分离参数或参数讨论的方法可得的取值范围．试题解析：（1）∵，∴，当时，在上单调递减，在上单调递增，有1个极值点；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点；当时，在上单调递增，此时没有极值点；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点；综上可得：当时，有1个极值点；当且时，有2个极值点；当时，没有极值点．（2）由得.①当时，由不等式得，即对在上恒成立.设，则.设，则.，，在上单调递增，，即，在上单调递减，在上单调递增，，.②当时，不等式恒成立，；③当时，由不等式得.设，则.设，则，在上单调递减，.若，则，在上单调递增，.若，，，使得时，，即在上单调递减，，舍去..综上可得，的取值范围是.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知过点的直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线分别交于点，，且，，成等比数列，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据极坐标和直角坐标间的转化公式求解即可．（2）利用直线的参数方程中参数的几何意义并结合一元二次方程根于系数的关系求解．试题解析：（1），，将代入上式可得，∴曲线的直角坐标方程.（2）将代入消去整理得，∵直线与抛物线交于两点，∴，又，∴．设，对应的参数分别为，则．，，成等比数列，，即，，即，解得或（舍去）.点睛：利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3)；(4)．23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若，函数的图象与轴围成的三角形的面积大于60，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）解不等式可得且，根据不等式的解集为得到，解得，即为所求．（2）由题意可得函数的图象与轴围成的的三个顶点的坐标为，，，于是，解得，即为所求的范围．试题解析：（1）由题意得解得.可化为，解得.不等式的解集为，，解得，满足.．（2）依题意得，.又，∴的图象与轴围成的的三个顶点的坐标为，，，，解得.∴实数的取值范围为．。

2018届安徽省合肥市高三第一次质量检测理科数学试题及答案

合肥市第一次教学质量检测数学（理）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数i z 43+=，z 表示复数z 的共轭复数，则iz ＝（ A ．5 B ．5 C ．6 D ．62．设集合{0,},S a =T=2{|2},x x ∈Z <则“1a =”是“ST ⊆ A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的结果是（）A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 4．过坐标原点O 作单位圆221x y +=的两条互相垂直的半径O A 、在该圆上存在一点C ，使得O C a O A b O B =+（a b R ∈、）确的是（）A ．点(),P a b 一定在单位圆内B ．点(),P a b 一定在单位圆上C ．点(),Pa b 一定在单位圆外 D ．当且仅当0a b =时，点(),P a b 在单位圆上5．过双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（）A ．12B ．2C ．14D ．46．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）221 12正视图侧视图俯视图A ．18+ B ．24+C ．24+．36+7、已知函数()s in s in 44f x x x ππ=--+，则一定在函数()y f x =图像上的点是（）A ．(),()x f x -B ．(),()x f x -C ．,()44x f x ππ⎛⎫---⎪⎝⎭ D ．,()44x f x ππ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭8．在ABC ∆中，已知c B a =cos 2， 212sin)cos 2(sin sin 2+=-C C B A ，则ABC ∆为（）A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形9．已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥511y x y x 时，)0(>≥+=b a b y a x z 的最大值为1，则b a +的最小值为（）A ．7B ．8C ．9D ．1010．对于函数()f x ，若∀,,a b c R ∈， ()()(),,f a f b f c 为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”．已知函数()1x xe tf x e +=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（）A ． [)0,+∞B ．[]0,1C ．[]1,2D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．若随机变量ξ～)1,2(N ，且)3(>ξP ＝0.1587，则=>)1(ξP __________. 12．已知数列{}n a 满足12()n n a a n N ++=∈且21a =,则=20142log a .13．若nxx )3(-展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x 项的系数为_____________．14．某办公室共有6人，组织出门旅行，旅行车上的6个座位如图所示，其中甲、乙两人的关系较为亲密，要求在同一排且相邻，则不同的安排方法有种 15．已知直线：1cos sin =+y bx aθθ（b a ,为给定的正常数，θ为参数，ACDEF)2,0[πθ∈）构成的集合为S,给出下列命题：①当4πθ=时，S 中直线的斜率为ab ；②S 中所有直线均经过一个定点；③当a b =时，存在某个定点，该定点到S 中的所有直线的距离均相等； ④当a ＞b 时，S 中的两条平行直线间的距离的最小值为b 2； ⑤S 中的所有直线可覆盖整个平面．其中正确的是（写出所有正确命题的编号）．三、解答题：本大题共六个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知1c o s ()c o s (),(,63432ππππααα+⋅-=-∈求：（Ⅰ）α2sin ；（Ⅱ）1ta n ta n αα-．17．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是梯形，且AD=DC=CB=12AB ．直角梯形ACEF 中，1//2E F A C ，F A C ∠是锐角，且平面ACEF ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：B C ⊥A F ；（Ⅱ）若直线DE 与平面ACEF 所成的角的正切值是13，试求F A C ∠的余弦值．18．（本小题满分12分）已知函数)(,4)(23R x bx ax x x f ∈+++=在2x =处取得极小值．x（Ⅰ）若函数)(x f 的极小值是4-，求)(x f ；（Ⅱ）若函数)(x f 的极小值不小于6-，问：是否存在实数k ，使得函数)(x f 在[],3k k +上单调递减.若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由. 19．（本小题满分13分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C 的右焦点为F （1,0），设左顶点为A ，上顶点为B ,且BF AB FB OF ⋅=⋅，如图．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若)0,1(F ，过F 的直线l 交椭圆于N M ,两点，试确定FN FM ⋅的取值范围．20．（本小题满分13分）某市质监部门对市场上奶粉进行质量抽检，现将9个进口品牌奶粉的样品编号为1，2，3，4，…，9；6个国产品牌奶粉的样品编号为10，11，12，…，15，按进口品牌及国产品牌分层进行分层抽样，从其中抽取5个样品进行首轮检验，用),(j i P 表示编号为j i ,)151(≤<≤j i 的样品首轮同时被抽到的概率．（Ⅰ）求)15,1(P 的值；（Ⅱ）求所有的),(j i P )151(≤<≤j i 的和．21．（本小题满分13分）已知函数xn x x f n +=)(，（x ＞0，),1Z n n ∈≥，以点))(,(n f n n 为切点作函数)(x f y n =图像的切线n l ，记函数)(x f y n =图像与三条直线n l n x n x ,1,+==所围成的区域面积为n a 。

安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测理科数学试题及答案

(
)(
)
. .
(14)在 ( 2 x + 1) ( x − 2 ) 的展开式中， x 2 的系数等于
(15)已知半径为 3cm 的球内有一个内接四棱锥 S − ABCD ，四棱锥 S − ABCD 的侧棱长都相等，底面是正方形.当四棱锥 S − ABCD 的体积最大时，它的底面边长等于 cm. (16)为保护生态环境，建设美丽乡村，镇政府决定为 A，B，C 三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理 A， B， C 三个自然村的垃圾.受当地条件的限制，垃圾处理站 M 只能建在与 A 村相距 5km，且与 C 村相距 31 km 的地方.已知 B 村在 A 村的正东方向，相距 3km；C 村在 B 村的正北方向，相距 3 3 km，则垃圾处理站 M 与 B 村相距 km. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分 12 分) 已知等比数列{an } 的前 n 项和Sn 满足 4 S5 = 3S4 + S6 ，且 a3 = 9 . (Ⅰ)求数列{an } 的通项公式 an ； (Ⅱ)设 bn = ( 2n − 1) ⋅ an ，求数列{bn } 的前 n 项的和Tn .
8 5 7 C. D. 12 12 9 (8)在正方体 ABCD − A1 B1C1 D1 中， E，F，G 分别为棱 CD，CC1，A1 B 1 的中点，用过点 E，F，G 的平面
A.
1 9
B.
截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为
(9)已知函数 f ( x) =
1 − 2x ，实数 a，b 满足不等式 f ( 2a + b ) + f ( 4 − 3b ) > 0 ，则下列不等关系恒成立的是 1 + 2x A. b − a < 2 B. a + 2b > 2 C. b − a > 2 D. a + 2b < 2 uuur uuur x2 y2 (10)已知双曲线 C: 2 − 2 = 1 的左，右焦点分别为 F1，F2 ， A，B 是双曲线 C 上的两点，且 AF1 = 3F1 B ， a b 3 cos ∠AF2 B = ，则该双曲线的离心率为 5

安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测理数试题

安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共 个小题每小题分共 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的已知i 为虚数单位，则()()2342i i i+-=-（）✌． ．5i ．71255i -- ．71255i -+已知等差数{}n a ，若2510,1a a ==，则{}n a 的前项的和是（）✌．  ．  ．  ． 已知集合M 是函数12y x=-的定义域，集合N 是函数24y x =-的值域，则M N ⋂=（）✌．12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭ ．142x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭．()1,2x y x ⎧<⎨⎩且}4y ≥- ．∅若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为2y x =-，该双曲线的离心率是（）✌．5．3 ．5 ．23 执行如图程序框图，若输入的n 等于 ，则输出的结果是（）✌． ．3- ．12- ．13已知某公司生产的一种产品的质量X ☎单位：克✆服从正态分布()100,4N 现从该产品的生产线上随机抽取 件产品，其中质量在[]98,104内的产品估计有（）（附：若X 服从()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=）✌． 件 ． 件 ． 件 ． 件将函数cos sin y x x =-的图像先向右平移()0ϕϕ>个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到cos2sin 2y x x =+的图像，则,a ϕ的可能取值为（） ✌．,22a πϕ== ．3,28a πϕ== ．31,82a πϕ== ．1,22a πϕ==已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若323n n S a n =-，则2018a =（）✌．201821- ．201836- ．20181722⎛⎫-⎪⎝⎭．201811033⎛⎫-⎪⎝⎭如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）✌．518π+ ．618π+ ．86π+ ．106π+已知直线210x y -+=与曲线x y ae x =+相切☎其中e 为自然对数的底数✆，则实数a 的值是（） ✌．12． ． ．e 某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为千元件、千元件甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备小时，B 设备小时；生产一件乙产品需用A 设备小时，B 设备小时 A B 、两种设备每月可使用时间数分别为 小时、 小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（）✌． 千元 ． 千元 ． 千元 ． 千元已知函数()()22,2xe f x x x g x x =-=+☎其中e 为自然对数的底数），若函数()()h x f g x k =-⎡⎤⎣⎦有个零点，则k 的取值范围为（）✌．()1,0- ．()0,1 ．221,1e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．2210,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共 分）二、填空题（每题分，满分 分，将答案填在答题纸上） 若平面向量,a b 满足2,6a b a b +=-=，则a b ⋅= ．已知m 是常数，()543252054311 a x a x a x a x a x a mx +++++-=，且12345533a a a a a a +++++=，则m = ．抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P ☎第一象限内．．．．．✆作l 的垂线PQ 垂足为Q 若四边形AFPQ 的周长为 ，则点P 的坐标为．在四面体ABCD 中，2,60,90AB AD BAD BCD ==∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒ 则四面体ABCD 外接球的半径为．三、解答题（本大题共小题，共 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()2cos cos 0a b C c A -+=（）求角C ；（）若23c =，求ABC ∆的周长的最大值年月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目假设某位考生选考这六个科目的可能性相等（）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A 等的概率都是 ，所选的自然科学科目考试的成绩获A 等的概率都是 且所选考的各个科目考试的成绩相互独立用随机变量X 表示他所选考的三个科目中考试成绩获A 等的科目数，求X 的分布列和数学期望如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF DE =，点M 为棱AE 的中点（）求证：平面//BMD 平面EFC ；（）若2DE AB =，求直线AE 与平面BDM 所成的角的正弦值在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点12,F F ，交y 轴于点12,B B 以12,B B 为顶点，12,F F 分别为左、右焦点的椭圆E ，恰好经过点21,2⎛ ⎝⎭（）求椭圆E 的标准方程；（）设经过点()2,0-的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，求2F MN ∆面积的最大值 已知()()()ln 21af x x a R x=-+∈ （）讨论()f x 的单调性；（）若()f x ax ≤恒成立，求a 的值请考生在 、 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线13cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩☎θ为参数✆，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2cos 0C ρθ-= （）求曲线2C 的普通方程；（）若曲线1C 上有一动点M ，曲线2C 上有一动点N ，求MN 的最小值 选修 ：不等式选讲已知函数()21f x x =-（）解关于x 的不等式()()11f x f x -+≤；（）若关于x 的不等式()()1f x m f x <-+的解集不是空集，求m 的取值范围试卷答案一、选择题 ✌  ✌ 、 ： 二、填空题 1-   ()4,4三、解答题 解：（）根据正弦定理，由已知得：()sin 2sin cos sin cos 0A B C C A -+=，即sin cos sin cos 2sin cos A C C A B C +=， ∴()sin 2sin cos A C B C +=，∵A C B π+=-，∴()()sin sin sin 0A C B B π+=-=>， ∴sin 2sin cos B B C =，从而1cos 2C =∵()0,C π∈，∴3C π=（）由（）和余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，即2212a b ab +-=，∴()2212332a b a b ab +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，即()248a b +≤ ☎当且仅当23a b ==时等号成立）所以，ABC ∆周长的最大值为4363c += （）记❽某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目❾为事件M ，则()3336119112020C P M C =-=-=，所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为1920（）随机变量X 的所有可能取值有  ，，  因为()211105480P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭()2124111311545448P X C ⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，()212413133325445480P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()243935420P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为所以()11033360123 2.380808080E X =⨯+⨯+⨯+⨯= （）证明：连结AC ，交BD 于点N ， ∴N 为AC 的中点，∴//MN EC ∵MN ⊄平面EFC ，EC ⊂平面EFC ，∴//MN 平面EFC∵,BF DE 都垂直底面ABCD ， ∴//BF DE ∵BF DE =，∴BDEF 为平行四边形，∴//BD EF ∵BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ， ∴//BD 平面EFC又∵MN BD N ⋂=，∴平面//BDM 平面EFC （）由已知，DE ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形∴,,DA DC DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz - 设2AB =，则4DE =，从而()()()()2,2,0,1,0,2,2,0,0,0,0,4B M A E ， ∴()()2,2,0,1,0,2DB DM ==，设平面BDM 的一个法向量为(),,n x y z =，由00n DB n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22020x y x z +=⎧⎨+=⎩令2x =，则2,1y z =-=-，从而()2,2,1n =-- ∵()2,0,4AE =-，设AE 与平面BDM 所成的角为θ，则45sin cos n AE n AE n AEθ⋅=⋅==⋅，所以，直线AE 与平面BDM（）由已知可得，椭圆E 的焦点在x 轴上设椭圆E 的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，焦距为2c ，则b c =，∴22222a b c b =+=，∴椭圆E 的标准方程为222212x y b b+=又∵椭圆E 过点2⎛ ⎝⎭，∴2211212b b +=，解得21b = ∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=（）由于点()2,0-在椭圆E 外，所以直线l 的斜率存在设直线l 的斜率为k ，则直线():2l y k x =+，设()()1122,,,M x y N x y 由()22212y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得，2222)128820k x k x k +++-=（由 0∆>得2102k ≤<，从而22121222882,1212k k x x x x k k --+==++， ∴()22212222412112k MN k x kk -=+-=++∵点()21,0F 到直线l 的距离231k d k=+，∴2F MN ∆的面积为()()22222413212k k S MN d k -=⋅=+令212k t +=，则[)1,2t ∈，∴()()222123233t t t t S t t ---+-==2232131313248t t t ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭，当134t =即[)441,233t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时，S 有最大值，max 32S =，此时6k =±所以，当直线l 的斜率为6±时，可使2F MN ∆的面积最大，其最大值32（Ⅰ）()f x 的定义域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，()()2222222121a x ax a f x x x x x -+'=-=-- ∵2210,0x x ->> 令()222g x x ax a =-+，则（）若0∆≤，即当02a ≤≤时，对任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x ≥恒成立，即当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '≥恒成立（仅在孤立点处等号成立） ∴()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增（）若0∆>，即当2a >或0a <时，()g x 的对称轴为2ax = ①当0a <时，02a <，且11022g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭ 如图，任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x >恒成立，即任意1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>恒成立，∴()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增②当2a >时，12a > ，且11022g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭如图，记()0g x =的两根为((2212112,222x a a a x a a a =-=+-∴当()121,,2x x x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >；当(211,222a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，()0g x < ∴当()121,,2x x x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()12,x x x ∈时，()0f x '<∴()f x 在11,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减综上，当2a ≤时，()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当2a >时，()f x 在(211,222a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(212,2a a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在((22112,222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减（Ⅱ）()f x ax ≤恒成立等价于1,2x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x ax -≤恒成立令()()()ln 21a h x f x ax x ax x =-=-+-，则()f x ax ≤恒成立等价于1,2x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，()()01h x h ≤= ()* 要满足()*式，即()h x 在1x =时取得最大值 ∵()()()32222221ax a x ax ah x x x -++-+'=-由()10h '=解得1a =当1a =时，()()()()2212121x x x h x x x --+'=-， ∴当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>；当()1,x ∈+∞时，()0h x '< ∴当1a =时，()h x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,+∞上单调递减，从而()()10h x h ≤=，符合题意所以，1a = （）由2cos 0ρθ-=得：22cos 0ρρθ-= 因为222,cos x y x ρρθ=+=，所以2220x y x +-=，即曲线2C 的普通方程为()2211x y -+=（）由（）可知，圆2C 的圆心为()21,0C ，半径为  设曲线1C 上的动点()3cos ,2sin M θθ，由动点N 在圆2C 上可得：2min min 1MN MC =- ∵2MC =当3cos 5θ=时，2min MC =∴2min min 11MN MC =-= （）()()1121211f x f x x x -+≤⇔--+≤，1221211x x x ⎧≥⎪⇔⎨⎪---≤⎩或112212211x x x ⎧-<<⎪⎨⎪---≤⎩或1212211x x x ⎧≤-⎪⎨⎪-++≤⎩ 12x ⇔≥或1142x -≤<14x ⇔≥-，所以，原不等式的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ （）由条件知，不等式22 11x x m -++<有解，则()min 2121 m x x >-++即可由于()1222112211221x x x x x x =-++≥-+++-=+，当且仅当()()12210x x -+≥，即当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时等号成立，故 2m > 所以，m 的取值范围是()2,+∞。

2018年安徽省合肥市高三第三次教学质量检测理科数学试题及答案精品

合肥市2018年高三第三次教学质量检测数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟,祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知()(1)2a i bi i +-=(其中,a b 均为实数,i 为虚数单位),则||a bi +等于 A.2 B.C.1D.12.命题“对于任意x R ∈,都有0x e >”的否定是A.对于任意x R ∈,都有0x e ≤B.不存在x R ∈,使得0x e ≤C.存在0x R ∈,使得00xe > D.存在0x R ∈,都有00x e ≤3.若函数|2|2y x =--的定义域为集合{|22}A x R x =∈-≤≤,值域为集合B ,则 A.A B= B.A B⊂ C.B A ⊂D.AB =∅4.在等差数列{}n a 中,已知1823(4)a a =-,则该数列的前11项和11S 等于A.33B.44C.55D.665.执行如图所示的程序框图,若将判断框内“100S >”改为关于n 的不等式“0n n ≥”且要求输出的结果不变,则正整数0n 的取值A.是 4B.是 5C.是 6D.不唯一6.在极坐标系中,已知点(4,1),(3,1)2A B π+,则线段AB 的长度是A.1B.C.7D.57.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是C.28.某校计划组织高一年级四个班开展研学旅行活动,初选了,,,A B C D 四条不同的研学线路,每个班级只能在这四条线路中选择其中的一条,且同一线路最多只能有两个班级选择,则不同的选择方案有A.240种B.204种C.188种D.96种9.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若2sin sin a bc B A+=,则A ∠的大小是A.2π B.3π C.4π D.6π10.定义在R 上的函数()f x 满足:()1f x >且()'()1,(0)5f x f x f +>=,其中'()f x 是()f x 的导函数,则不等式ln[()1]ln 4f x x +>-的解集为A.(0,)+∞ B.(,0)(3,)-∞+∞ C.(,0)(0,)-∞+∞D.(,0)-∞第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置上.11.某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系,将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组,分组区间为[35,40),[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),由此得到频率分布直方图如图,则这80名教师中年龄小于45岁的教师有人 12.设6260126(32)(21)(21)(21)x a a x a x a x -=+-+-++-,则1350246a a a a a a a ++=+++13.在平面直角坐标系中,不等式组02y xx y ≤≤⎧⎨+≤⎩表示的平面区域为1Ω,直线:(1)0(0)l kx y k k ---=<将区域1Ω分为左右两部分,记直线l 的右边区域为2Ω,在区域1Ω内随机投掷一点,其落在区域2Ω内的概率13P =,则实数k 的取值为14.设点F 是抛物线22y x =的焦点,过抛物线上一点P ,沿x 轴正方向作射线//PQ x 轴,若FPQ ∠的平分线PR 所在直线的斜率为2-,则点P 的坐标为 15.已知向量,OA OB满足1||||1,2OA OB OA OB ==⋅=,动点C满足OC xOA yOB =+,给出以下命题: ①若1x y +=,则点C 的轨迹是直线; ②若||||1x y +=,则点C 的轨迹是矩形;③若1xy =,则点C 的轨迹是抛物线; ④若1x y=,则点C 的轨迹是直线;⑤若221x y xy ++=,则点C的轨迹是圆. 以上命题正确的是(写出你认为正确的所有命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16(本小题满分12分)已知函数5()sin()cos()(0)412f x x x ππωωω=+++>的最小正周期为4π.(Ⅰ)求ω的值(Ⅱ)设12,[,]22x x ππ∈-,求12|()()|f x f x -的最大值.17(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足*()2n n n S a n N =∈,(其中n S 是数列{}n a 的前n 项和,且22a =.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设2((nn n n a b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数））,求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18(本小题满分12分)已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>,过其右焦点F且垂直于x轴的弦MN的长度为b.(Ⅰ)求该椭圆的离心率;(Ⅱ)已知点A的坐标为(0,)b,椭圆上存在点,P Q,使得圆224x y+=内切于APQ∆,求该椭圆的方程.19(本小题满分13分)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为1的正方形,BF⊥平面,//.ABCD DE BF(Ⅰ)求证:AC EF⊥;(Ⅱ)若2,1,==在EF上取点G,使BF DEBG平面ACE,求直线AG与平面ACE所//成角θ的正弦值.20(本小题满分13分)某校高三年级研究性学习小组共6人,计划同时参观科普展,该科普展共有甲,乙,丙三个展厅,6人各自随机地确定参观顺序,在每个展厅参观一小时后去其他展厅,所有展厅参观结束后集合返回,设事件A为:在参观的第一小时时间内,甲,乙,丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人;事件B为:在参观的第二个小时时间内,该小组在甲展厅人数恰好为2人.(Ⅰ)求()P A及(|)P B A;(Ⅱ)设在参观的第三个小时时间内,该小组在甲展厅的人数为ξ,则在事件A发生的前提下,求ξ的概率分布列及数学期望.21(本小题满分13分) 已知函数()ln 2 3.f x x x =-+ (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)设函数2()1t g x x x=-+,若()()g x f x >对0x >恒成立,求整数t 的最小值.。

安徽省合肥市2018届高三三模数学(理科)试题

举行. 为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了 120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：
男生女生
收看 60 20
没收看 20 20
( Ⅰ) 根据上表说明，能否有 99% 的把握认为，收看开幕式与性别有关？ ( Ⅱ) 现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取 12人参加 2022 年北京冬奥会志愿者宣传活动 . ( ⅰ) 问男、女学生各选取了多少人？ ( ⅱ) 若从这 12 人中随机选取 3 人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的 3 人中女生人数为 X ，写出 X 的分布列，并求 E X .
AC ， AE
E
BD ， DE 1 AC，AD=BD=1. 2
D
A
C
(20)( 本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y 2 2 px ( p
B
0 ) 的焦点为 F ，以抛物线上一动点 M 为圆心的圆经过点 F. 若圆 M 的
面积最小值为 .
( Ⅰ) 求 p 的值；
( Ⅱ ) 当点 M 的横坐标为 1 且位于第一象限时，过 M 作抛物线的两条弦 MA，MB ，且满足
AMF BMF . 若直线 AB恰好与圆 M 相切，求直线 AB的方程.
(21)( 本小题满分 12 分)
B. 必要不充分条件
C.充要条件
D.
既不充分也不必要条件
6. 已知
1
n
2x
n
N* 展开式中 x3 的系数为 80，则展开式中所有项
的二项式系数之和为 A.64 B.32 C.
7. 已知非零实数 a， b 满足 a a
1 D.

2018年安徽省合肥市三模理数试卷及答案

又∵平面 ABD⊥平面 ABC，∴DO⊥平面 ABC.
过 O 作直线 OY∥AC，以点 O 为坐标原点，直线 OB，OY，OD 分别为
x，y，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz ，如图所示.
记
AC

2a
，则1

a

2
，
A

2 2
，0 ，0
，B

2 2
，0，0
(23)(本小题满分 10分)选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f x x 1 x 3 ． (Ⅰ)解不等式 f x x 1； (Ⅱ)设函数 f x 的最小值为c ，实数a，b 满足a 0 ，b 0 ，a b c ，求证： a2 b2 1 .
an =
.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(17)(本小题满分 12分)
已知函数 f x
3sin
xcos
x 1cos 2
2
x

3

.
(Ⅰ)求函数 f x 图象的对称轴方程；
(Ⅱ)将函数
f
x 图象向右平移
4
个单位，所得图象对应的函数为 g x
生人数为 X ，写出 X 的分布列，并求E X .
附：K 2
nad bc 2
，其中n a b c d .
a b c d a c b d
P K 2 k0
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
x y 1 0
(13)若实数 x，y 满足条件x y 1 0 ，则z 2x y 的最大值为

2018年安徽省合肥市高考数学三模试卷(理科)

2018年安徽省合肥市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知z =2i 1+i，i 是虚数单位，则|z|=( )A.1B.√2C.√3D.22. 已知集合A ={x ∈R|x 2−2x ≥0}，B ={x ∈R|2x 2−x −1=0}，则(∁R A)∩B =( )A.⌀B.{−12} C.{1} D.{−12,1}3. 已知椭圆E:y 2a2+x 2b 2=1(a >b >0)经过点A(√5,0)，B(0, 3)，则椭圆E 的离心率为（） A.23 B.√53C.49D.594. 已知α∈{−1,2,12,3,13}，若f(x)=x α为奇函数，且在(0, +∞)上单调递增，则实数α的值是（） A.−1，3B.13，3C.−1，13，3D.13，12，35. 若l ，m 是两条不同的直线，α为平面，且l ⊥α，则“m // α”是“m ⊥l ”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 已知(1−2x)n (n ∈N ∗)展开式中x 3的系数为−80，则展开式中所有项的二项式系数之和为（） A.64 B.32 C.1 D.−17. 已知非零实数a ，b 满足a|a|>b|b|，则下列不等式一定成立的是（） A.a 3>b 3 B.a 2>b 2 C.1a <1bD.log 12|a|<log 12|b|8. 运行如图所示的程序框图，若输出的s 值为−10，则判断框内的条件应该是( )A.k<3？B.k<4？C.k<5？D.k<6？9. 若正项等比数列{a n}满足a n a n+1=22n(n∈N∗)，则a6−a5的值是（）A.√2B.−16√2C.2D.16√210. 如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有()A.24B.48C.96D.12011. 我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍童．如图所示为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为（）A.12√5B.40C.16+12√3D.16+12√512. 已知函数f(x)=x2−x−a−2有零点x1，x2，函数g(x)=x2−(a+1)x−2有零点x3，x4，且x3<x1<x4<x2，则实数a的取值范围是（）A.(−94, −2) B.(−94, 0) C.(−2, 0) D.(1, +∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡相应的位置.若实数x，y满足条件{x+y−1≥0,x−y−1≤0,x−3y+3≥0,则z=2x−y的最大值为________．已知OA→=(2√3,0)，OB→=(0,2)，AC→=tAB→(t∈R)，当|OC→|最小时，t=________．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=45∘，2bsinB−csinC= 2asinA，且△ABC的面积等于3，则b=________．设等差数列{a n}的公差为d，前n项的和为S n，若数列{√S n+n}也是公差为d的等差数列，则a n=________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数f(x)=√3sinxcosx−12cos(2x−π3)．(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；(2)将函数f(x)图象向右平移π4个单位，所得图象对应的函数为g(x)．当x∈[0,π2]时，求函数g(x)的值域．2018年2月9−25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行．为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．(1)根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？(2)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动．(ⅰ)问男、女学生各选取了多少人？(ⅱ)若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的3人中女生人数为X，写出X的分布列，并求E(X)．如图，在多面体ABCDE中，平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AC，AE⊥BD，DE=//12AC，AD=BD=1．（1）求AB 的长；（2）已知2≤AC ≤4，求点E 到平面BCD 的距离的最大值．已知抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F ，以抛物线上一动点M 为圆心的圆经过点F ．若圆M 的面积最小值为π． (1)求p 的值；(2)当点M 的横坐标为1且位于第一象限时，过M 作抛物线的两条弦MA ，MB ，且满足∠AMF =∠BMF ．若直线AB 恰好与圆M 相切，求直线AB 的方程．已知函数f(x)=e x −12x 2−ax 有两个极值点x 1，x 2（e 为自然对数的底数）．(1)求实数a 的取值范围；(2)求证：f(x 1)+f(x 2)>2．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1+√22ty =1+√22t （t 为参数），圆C 的方程为(x −2)2+(y −1)2=5．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 及圆C 的极坐标方程；(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求cos∠AOB 的值． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x −1|+|x −3|． (1)解不等式f(x)≤x +1；(2)设函数f(x)的最小值为c ，实数a ，b 满足a >0，b >0，a +b =c ，求证：a 2a+1+b 2b+1≥1．参考答案与试题解析2018年安徽省合肥市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】复数的运算复数的模【解析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数z为1+i，由此求得|z|．【解答】∵已知z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=i(1−i)=1+i，∴|z|=√2，2.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】求出集合的等价条件，结合集合交集和补集的定义进行计算即可．【解答】A={x∈R|x2−2x≥0}={x|x≥2或x≤0}，B={x∈R|2x2−x−1=0}={1, −12}，则(∁R A)={x|0<x<2}，则A∩(∁R B)={1}，3.【答案】A【考点】椭圆的离心率椭圆的标准方程【解析】根据题意，将A、B的坐标代入椭圆的方程，可得{9a2=15 b2=1，解可得a、b的值，计算可得c的值，结合椭圆的离心率公式即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆E:y2a2+x2b2=1(a>b>0)经过点A(√5,0)，B(0, 3)，则有{9a2=1,5 b2=1,解得a=3，b=√5，则c=√9−5=2，.其离心率e=23故选A.4.【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据幂函数的性质分别进行判断即可．【解答】解：若f(x)在(0, +∞)上单调递增，则α>0，排除A，C，当α=2时，f(x)=x2为偶函数，不满足条件．时，f(x)=x12=√x为非奇非偶函数，不满足条件．当α=12当α=3时，f(x)=x3为奇函数，满足条件．时，f(x)=x13为奇函数，满足条件．当α=13故选B.5.【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由l⊥α，“m // α”⇒m⊥l．反之不成立，可能m⊂α．即可判断出关系．【解答】解：由l⊥α，m // α⇒m⊥l．反之不成立，可能m⊂α．因此“m // α”是“m⊥l”的充分不必要条件．故选A.6.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】写出二项展开式的通项，由x得指数为3求得r值，代入通项公式列式求得n，则答案可求．【解答】解：由(1−2x)n的展开式的通项T r+1=C n r⋅(−2x)r，取r=3，可得展开式中x3的系数为−8C n3=−80，得n=5，∴展开式中所有项的二项式系数之和为2n=25=32.故选B.7.【答案】A【考点】不等式的基本性质【解析】非零实数a，b满足a|a|>b|b|，通过分类讨论可得a>b．再利用函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论．【解答】解：非零实数a，b满足a|a|>b|b|，①a，b>0时，a|a|>b|b|，可得a2>b2，可得a>b>0，②a>0>b时，a|a|>b|b|，可得a>b．③0>a>b时，a|a|>b|b|，可得−a2>−b2，可得0>a>b．综上可得：a>b．利用函数f(x)=x3在R上单调递增，可得a3>b3．而a2>b2，1a <1b，log12|a|<log12|b|，不一定成立．故选A.8.【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当k=1，s=1时，应满足继续循环的条件，故s=1，k=2；当k=2，s=1时，应满足继续循环的条件，故s=0，k=3；当k=3，s=0时，应满足继续循环的条件，故s=−3，k=4；当k=4，s=−3时，应满足继续循环的条件，故s=−10，k=5；当k=5，s=−10时，应不满足继续循环的条件，故判断框内的条件应该是k<5？.故选C.9.【答案】D【考点】数列递推式等比数列的通项公式【解析】设正项等比数列{a n}的公比为q>0，由a n a n+1=22n(n∈N∗)，可得a n+1a n+2a n a n+1=22(n+1) 22n =4=q2，解得q.a n2×2=22n，a n>(0)解得an=22n−12．代入即可得出．【解答】解：设正项等比数列{a n }的公比为q >0， ∵ a n a n+1=22n (n ∈N ∗)， ∴a n+1a n+2a n a n+1=22(n+1)22n=4=q 2，解得q =2，∴ a n 2×2=22n ，a n >0，解得a n =22n−12．则a 6−a 5=2112−292=16√2．故选D . 10.【答案】 C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】分两两类，第一类：若A ，D 相同，第二类，若A ，D 不同，根据分类计数原理可得【解答】解：先涂E 有4种涂法，再涂A 有3种涂法，再涂B 有2种涂法，C 有2种涂法，D 有2种涂法，共有4×3×2×2×2=96种. 故选C . 11.【答案】 D【考点】由三视图求体积【解析】画出几何体的三视图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【解答】三视图对应的几何体的直观图如图，梯形的高为：√22+12=√5，几何体的表面积为，2×2×4+4×2+42×√5=16+12√5．12.【答案】 C【考点】函数零点的判定定理【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ 二次函数f(x)， g(x)均有零点，则{1+4(a +2)>0,(a +1)2+8>0,即a >−94．因为x 3<x 1<x 4<x 2，所以函数g(x)的图象的对称轴x =a+12位于f(x)对称轴x =12左边，即a+12<12，解得a <0，所以−94<a <0．由求根公式可得x 1=1−√4a+92，x 2=1+√4a+92,x 3=a+1−√a 2+2a+92,x 4=a+1+√a 2+2a+92．因为x 3<x 1<x 4<x 2，所以a+1−√a 2+2a+92<1−√4a+92<a+1+√a 2+2a+92<1+√4a+92，化简得a <√a 2+2a +9−√4a +9<−a ，−a <√a 2+2a +9+√4a +9．解得√a 2+2a +9<|a|+√4a +9，两边平方解得−2<a <0．解得−a −√4a +9<√a 2+2a +9，两边平方得2a √4a +9<−2a ，显然成立．综上，实数a 的取值范围是(−2,0)．故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡相应的位置. 【答案】 4【考点】简单线性规划【解析】画出不等式表示的平面区域，z =2x −y 的几何意义是直线y =2x −z 的纵截距的相反数，根据图形可得结论．【解答】解：画出实数x ，y 满足条件{x +y −1≥0,x −y −1≤0,x −3y +3≥0, 表示的平面区域如图：z =2x −y 的几何意义是直线y =2x −z 的纵截距的相反数，由{x −y −1=0,x −3y +3=0,可得交点坐标为(3, 2)，如图，在点(3, 2)处，z =2x −y 取得最大值，最大值为4. 故答案为：4.【答案】34【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】运用向量的加减运算，求得向量OC 的坐标，再由向量模的公式，结合二次函数的最值求法，可得所求值．【解答】解：OA →=(2√3,0)，OB →=(0,2)，AC →=tAB →(t ∈R)，可得OC →−OA →=t(OB →−OA →)，可得OC→=tOB→+(1−t)OA→=(2√3−2√3t, 2t)，即有|OC→|2=(2√3−2√3t)2+(2t)2=16t2−24t+12=16(t−34)2+3，当t=34时，|OC→|最小，且为√3.故答案为：34.【答案】3【考点】正弦定理余弦定理【解析】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用．【解答】解：因为2bsinB−csinC=2asinA，所以根据正弦定理可得2b2−c2=2a2，又由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA=b2+c2−√2bc，又由三角形面积公式可得1 2bcsinA=√24bc=3，即bc=6√2，联立，解得a=√5,b=3,c=2√2．故答案为：3. 【答案】−1或12n−54【考点】等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】等差数列{a n}的公差为d，前n项的和为S n，若数列{√S n+n}也是公差为d的等差数列，可得√S n+n=√a1+1+(n−1)d，n≠1时，化为：a1+nd2+1=(n−1)d2+2√a1+1d，n=2，3时，a1+d+1=d2+2√a1+1d，a1+32d+1=2d2+2√a1+1d，联立解出即可得出．【解答】解：等差数列{a n}的公差为d，前n项的和为S n，若数列{√S n+n}也是公差为d的等差数列，∴√S n+n=√a1+1+(n−1)d，∴na1+n(n−1)2d+n=a1+1+(n−1)2d2+2√a1+1(n−1)d，n≠1时，化为a1+nd2+1=(n −1)d 2+2√a 1+1d ，n =2时，化为a 1+d +1=d 2+2√a 1+1d ， n =3时，化为a 1+32d +1=2d 2+2√a 1+1d ，联立解得{d =0,a 1=−1 或{d =12,a 1=−34,∴ a n =−1或a n =−34+(n −1)×12=12n −54．故答案为：−1或12n −54.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】解：(1)f(x)=√3sinxcosx −12cos(2x −π3) =√34sin2x −14cos2x =12sin(2x −π6)．令2x −π6=π2+kπ,k ∈Z ，解得x =π3+kπ2,k ∈Z ．∴ 函数f(x)图象的对称轴方程为x =π3+kπ2,k ∈Z ；(2)把f(x)=12sin(2x −π6)的图象向右平移π4个单位，可得g(x)=12sin(2x −2π3)．∵ x ∈[0,π2]， ∴ 2x −2π3∈[−2π3,π3]，∴ sin(2x −2π3)∈[−1,√32]，∴ g(x)=12sin(2x −2π3)∈[−12,√34]，即当x ∈[0,π2]时，函数g(x)的值域为[−12,√34]．【考点】两角和与差的正弦公式函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性正弦函数的定义域和值域【解析】得函数f(x)图象的对称轴方程；(Ⅱ)由三角函数的图象平移得到g(x)，再由x的范围求得函数g(x)的值域．【解答】解：(1)f(x)=√3sinxcosx−12cos(2x−π3)=√34sin2x−14cos2x=12sin(2x−π6)．令2x−π6=π2+kπ,k∈Z，解得x=π3+kπ2,k∈Z．∴函数f(x)图象的对称轴方程为x=π3+kπ2,k∈Z；(2)把f(x)=12sin(2x−π6)的图象向右平移π4个单位，可得g(x)=12sin(2x−2π3)．∵x∈[0,π2]，∴2x−2π3∈[−2π3,π3]，∴sin(2x−2π3)∈[−1,√32]，∴g(x)=12sin(2x−2π3)∈[−12,√34]，即当x∈[0,π2]时，函数g(x)的值域为[−12,√34]．【答案】解：(1)∵K2=120×(60×20−20×20)280×40×80×40=7.5>6.635，∴有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关．(2)(i)根据分层抽样方法得，男生34×12=9人，女生14×12=3人，取的12人中，男生有9人，女生有3人．(ii)由题意可知，X的可能取值有0，1，2，3.P(X=0)=C93C30C123=84220,P(X=1)=C92C31C123=108220，P(X=2)=C91C32C123=27220,P(X=3)=C90C33C123=1220，∴X的分布列是：∴E(X)=0×84220+1×108220+2×27220+3×1220=34.【考点】离散型随机变量的期望与方差超几何分布独立性检验【解析】(Ⅰ)利用独立性检验计算公式可得K2，经过比较即可判断出结论．(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法即可得出．(ⅱ)由题意可知，X的可能取值有0，1，2，(3)利用超几何分布列及其期望计算公式即可得出．(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法即可得出．(ⅱ)由题意可知，X的可能取值有0，1，2，(3)利用超几何分布列及其期望计算公式即可得出．【解答】解：(1)∵K2=120×(60×20−20×20)280×40×80×40=7.5>6.635，∴有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关．(2)(i)根据分层抽样方法得，男生34×12=9人，女生14×12=3人，取的12人中，男生有9人，女生有3人．(ii)由题意可知，X的可能取值有0，1，2，3.P(X=0)=C93C30C123=84220,P(X=1)=C92C31C123=108220，P(X=2)=C91C32C123=27220,P(X=3)=C90C33C123=1220，∴X的分布列是：∴E(X)=0×84220+1×108220+2×27220+3×1220=34.【答案】解：（1）∵平面ABD⊥平面ABC，且交线为AB，AC⊥AB，∴AC⊥平面ABD．又∵DE // AC，∴DE⊥平面ABD，∴DE⊥BD．又∵BD⊥AE，且DE∩AE=E，∴BD⊥平面ADE，∴BD⊥AD．又∵AD=BD=1，∴AB=√2．又∵ 平面ABD ⊥平面ABC ，∴ DO ⊥平面ABC ．过O 作直线OY // AC ，以点O 为坐标原点，直线OB ，OY ，OD 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，如图所示．记AC =2a ，则1≤a ≤2，A (−√22,0,0)，B (√22,0,0)，C (−√22,2a,0)，D (0,0,√22)，E (0,−a,√22)，BC →=(−√2,2a,0)，BD →=(−√22,0,√22)．设平面BCD 的一个法向量为n →=(x,y,z)．由{BC →⋅n →=0,BD →⋅n →=0,得{−√2x +2ay =0,−√22x +√22z =0.令x =√2，得n →=(√2,1a ,√2)．又∵ DE →=(0,−a,0)，∴ 点E 到平面BCD 的距离d =|DE →⋅n →|n →||=√4+1a 2．∵ 1≤a ≤2，∴ 当a =2时，d 取得最大值，d max =√4+14=2√1717．【考点】点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）∵ 平面ABD ⊥平面ABC ，且交线为AB ，AC ⊥AB ， ∴ AC ⊥平面ABD ．又∵ DE // AC ，∴ DE ⊥平面ABD ，∴ DE ⊥BD ．又∵ BD ⊥AE ，且DE ∩AE =E ，∴ BD ⊥平面ADE ，∴ BD ⊥AD ．又∵ AD =BD =1，∴ AB =√2．（2）∵ AD =BD ，取AB 的中点为O ，连结DO ，∴ DO ⊥AB ．又∵ 平面ABD ⊥平面ABC ，∴ DO ⊥平面ABC ．过O 作直线OY // AC ，以点O 为坐标原点，直线OB ，OY ，OD 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，如图所示．E (0,−a,√22)，BC→=(−√2,2a,0)，BD →=(−√22,0,√22)．设平面BCD 的一个法向量为n →=(x,y,z)．由{BC →⋅n →=0,BD →⋅n →=0,得{−√2x +2ay =0,−√22x +√22z =0. 令x =√2，得n →=(√2,1a ,√2)．又∵ DE →=(0,−a,0)，∴ 点E 到平面BCD 的距离d =|DE →⋅n →|n →||=√4+1a 2．∵ 1≤a ≤2，∴ 当a =2时，d 取得最大值，d max =√4+14=2√1717．【答案】解：(1)由抛物线的性质知，当圆心M 位于抛物线的顶点时，圆M 的面积最小，此时圆的半径为|OF|=p2， ∴πp 24=π，解得p =2.(2)依题意得，点M 的坐标为(1, 2)，圆M 的半径为2. 由F(1, 0)知，MF ⊥x 轴．由∠AMF =∠BMF 知，弦MA ，MB 所在直线的倾斜角互补， ∴ k MA +k MB =0.设k MA =k(k ≠0)，则直线MA 的方程为y =k(x −1)+2， ∴ x =1k (y −2)+1，代入抛物线的方程得，y 2=4[1k (y −2)+1]， ∴ y 2−4k y +8k −4=0， ∴ y A +2=4k ,y A =4k −2．将k 换成−k ，得y B =−4k −2，∴ k AB =y A −y B x A −x B =y A −yBy A 24−y B 24=4yA +y B=4−4=−1．设直线AB 的方程为y =−x +m ，即x +y −m =0. 由直线AB 与圆M 相切得，√2=2，经检验m=3+2√2不符合要求，故m=3+2√2舍去．∴所求直线AB的方程为y=−x+3−2√2．【考点】抛物线的性质圆锥曲线问题的解决方法【解析】(Ⅰ)由抛物线的性质知，当圆心M位于抛物线的顶点时，圆M的面积最小，转化求解即可．(Ⅱ)依题意得，MF⊥x轴．k MA+k MB=(0)设k MA=k(k≠0)，则直线MA的方程为y=k(x−1)+2，代入抛物线的方程得，利用韦达定理求出A的坐标，同理求出B的坐标，求出AB的斜率，设直线AB的方程为y=−x+m，通过直线AB与圆M相切得，转化求解即可．【解答】解：(1)由抛物线的性质知，当圆心M位于抛物线的顶点时，圆M的面积最小，此时圆的半径为|OF|=p2，∴πp24=π，解得p=2.(2)依题意得，点M的坐标为(1, 2)，圆M的半径为2.由F(1, 0)知，MF⊥x轴．由∠AMF=∠BMF知，弦MA，MB所在直线的倾斜角互补，∴k MA+k MB=0.设k MA=k(k≠0)，则直线MA的方程为y=k(x−1)+2，∴x=1k(y−2)+1，代入抛物线的方程得，y2=4[1k(y−2)+1]，∴y2−4k y+8k−4=0，∴y A+2=4k ,y A=4k−2．将k换成−k，得y B=−4k−2，∴k AB=y A−y Bx A−x B =y A−y By A24−y B24=4y A+y B =4−4=−1．设直线AB的方程为y=−x+m，即x+y−m=0.由直线AB与圆M相切得，√2=2，解得m=3±2√2．经检验m=3+2√2不符合要求，∴所求直线AB的方程为y=−x+3−2√2．【答案】x2−ax，(1)解：∵f(x)=e x−12∴f′(x)=e x−x−a．设g(x)=e x−x−a，则g′(x)=e x−1.令g′(x)=e x−1=0，解得x=0，∴当x∈(−∞, 0)时，g′(x)<0；当x∈(0, +∞)时，g′(x)>0，∴g(x)min=g(0)=1−a．当a≤1时，g(x)=f′(x)≥0，∴函数f(x)单调递增，没有极值点；当a>1时，g(0)=1−a<0，且当x→−∞时，g(x)→+∞；当x→+∞时，g(x)→+∞．∴当a>1时，g(x)=f′(x)=e x−x−a有两个零点x1，x2．不妨设x1<x2，则x1<0<x2．∴当函数f(x)有两个极值点时，a的取值范围为(1, +∞).(2)证明：由(1)知，x1，x2为g(x)=0的两个实数根，x1<0<x2，g(x)在(−∞, 0)上单调递减．下面先证x1<−x2<0，只需证g(−x2)<g(x1)=0，∵g(x2)=e x2−x2−a=0，得a=e x2−x2，∴g(−x2)=e−x2+x2−a=e−x2−e x2+2x2．设ℎ(x)=e−x−e x+2x，x>0，−e x+2<0，则ℎ′(x)=−1e x∴ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减，∴ℎ(x)<ℎ(0)=0，∴ℎ(x2)=g(−x2)<0，∴x1<−x2<0.∵函数f(x)在(x1, 0)上也单调递减，∴f(x1)>f(−x2)．∴要证f(x1)+f(x2)>2，只需证f(−x2)+f(x2)>2，即证e x2+e−x2−x22−2>0．设函数k(x)=e x+e−x−x2−2，x∈(0, +∞)，则k′(x)=e x−e−x−2x．设φ(x)=k′(x)=e x−e−x−2x，则φ′(x)=e x+e−x−2>0，∴φ(x)在(0, +∞)上单调递增，∴φ(x)>φ(0)=0，即k′(x)>0，∴k(x)在(0, +∞)上单调递增，∴k(x)>k(0)=0.∴当x∈(0, +∞)时，e x+e−x−x2−2>0，则e x2+e−x2−x22−2>0，∴f(−x2)+f(x2)>2，∴f(x1)+f(x2)>2.利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的极值【解析】(Ⅰ)求出导函数f′(x)=e x−x−a．设g(x)=e x−x−a，通过导函数判断函数的单调性，转化求解函数最小值，当函数f(x)有两个极值点时，求解a的取值范围．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，x1，x2为g(x)=0的两个实数根，x1<0<x2，g(x)在(−∞, 0)上单调递减．下面先证x1<−x2<0，只需证g(−x2)<g(x1)=(0)设ℎ(x)=e−x−e x+2x，x>0，利用导函数判断函数的单调性，要证f(x1)+f(x2)>2，只需证e x2+e−x2−x22−2> 0．设函数k(x)=e x+e−x−x2−2，x∈(0, +∞)，利用导函数判断函数的单调性转化求解即可．【解答】x2−ax，(1)解：∵f(x)=e x−12∴f′(x)=e x−x−a．设g(x)=e x−x−a，则g′(x)=e x−1.令g′(x)=e x−1=0，解得x=0，∴当x∈(−∞, 0)时，g′(x)<0；当x∈(0, +∞)时，g′(x)>0，∴g(x)min=g(0)=1−a．当a≤1时，g(x)=f′(x)≥0，∴函数f(x)单调递增，没有极值点；当a>1时，g(0)=1−a<0，且当x→−∞时，g(x)→+∞；当x→+∞时，g(x)→+∞．∴当a>1时，g(x)=f′(x)=e x−x−a有两个零点x1，x2．不妨设x1<x2，则x1<0<x2．∴当函数f(x)有两个极值点时，a的取值范围为(1, +∞).(2)证明：由(1)知，x1，x2为g(x)=0的两个实数根，x1<0<x2，g(x)在(−∞, 0)上单调递减．下面先证x1<−x2<0，只需证g(−x2)<g(x1)=0，∵g(x2)=e x2−x2−a=0，得a=e x2−x2，∴g(−x2)=e−x2+x2−a=e−x2−e x2+2x2．设ℎ(x)=e−x−e x+2x，x>0，−e x+2<0，则ℎ′(x)=−1e x∴ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减，∴ℎ(x)<ℎ(0)=0，∴ℎ(x2)=g(−x2)<0，∴x1<−x2<0.∵函数f(x)在(x1, 0)上也单调递减，∴f(x1)>f(−x2)．∴要证f(x1)+f(x2)>2，只需证f(−x2)+f(x2)>2，即证e x2+e−x2−x22−2>0．设函数k(x)=e x+e−x−x2−2，x∈(0, +∞)，则k′(x)=e x−e−x−2x．设φ(x)=k′(x)=e x−e−x−2x，则φ′(x)=e x+e−x−2>0，∴φ(x)在(0, +∞)上单调递增，∴ k(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ k(x)>k(0)=0.∴ 当x ∈(0, +∞)时，e x +e −x −x 2−2>0，则e x 2+e −x 2−x 22−2>0， ∴ f(−x 2)+f(x 2)>2， ∴ f(x 1)+f(x 2)>2. 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】解：(1)由直线l 的参数方程{x =−1+√22ty =1+√22t ，得到其普通方程为y =x +2，∴ 直线l 的极坐标方程为ρsinθ=ρcosθ+2，又∵ 圆C 的方程为(x −2)2+(y −1)2=5，将{x =ρcosθy =ρsinθ 代入并化简得ρ=4cosθ+2sinθ， ∴ 圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ． (2)将直线l:ρsinθ=ρcosθ+2，与圆C:ρ=4cosθ+2sinθ联立，得(4cosθ+2sinθ)(sinθ−cosθ)=2，整理得sinθcosθ=3cos 2θ， ∴ θ=π2,或tanθ=3，不妨记点A 对应的极角为π2，点B 对应的极角为θ，且tanθ=3，于是，cos∠AOB =cos(π2−θ)=sinθ=3√1010．【考点】直线的参数方程圆的极坐标方程运用诱导公式化简求值直线与圆的位置关系【解析】(Ⅰ)由直线l 的参数方程消去参数能求出其普通方程，由此能示出直线l 的极坐标方程；由圆C 的方程为(x −2)2+(y −1)2=5，将{x =ρcosθy =ρsinθ 代入，能求出圆C 的极坐标方程． (Ⅱ)将直线l:ρsinθ=ρcosθ+2，与圆C:ρ=4cosθ+2sinθ联立，得sinθcosθ=3cos 2θ，由此能求出cos∠AOB 的值．【解答】解：(1)由直线l 的参数方程{x =−1+√22ty =1+√22t ，得到其普通方程为y =x +2，又∵ 圆C 的方程为(x −2)2+(y −1)2=5，将{x =ρcosθy =ρsinθ 代入并化简得ρ=4cosθ+2sinθ， ∴ 圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ． (2)将直线l:ρsinθ=ρcosθ+2，与圆C:ρ=4cosθ+2sinθ联立，得(4cosθ+2sinθ)(sinθ−cosθ)=2，整理得sinθcosθ=3cos 2θ， ∴ θ=π2,或tanθ=3，不妨记点A 对应的极角为π2，点B 对应的极角为θ，且tanθ=3，于是，cos∠AOB =cos(π2−θ)=sinθ=3√1010．[选修4-5：不等式选讲]【答案】(1)解：f(x)≤x +1，即|x −1|+|x −3|≤x +1， ①当x <1时，不等式可化为4−2x ≤x +1，x ≥1，又∵ x <1，∴ x ∈⌀；②当1≤x ≤3时，不等式可化为2≤x +1，x ≥1，又∵ 1≤x ≤3，∴ 1≤x ≤3；③当x >3时，不等式可化为2x −4≤x +1，x ≤5，又∵ x >3，∴ 3<x ≤5；综上所得，1≤x ≤3，或3<x ≤5，即1≤x ≤5， ∴ 原不等式的解集为[1, 5]．(2)证明：由绝对值不等式性质得，|x −1|+|x −3|≥|(1−x)+(x −3)|=2， ∴ c =2，即a +b =2. 令a +1=m ，b +1=n ，则m >1，n >1，a =m −1，b =n −1，m +n =4， a 2a +1+b 2b +1=(m −1)2m +(n −1)2n=4mn≥4(m+n2)2=1.∴原不等式得证．【考点】不等式的证明绝对值不等式的解法与证明【解析】(Ⅰ)f(x)≤x+1，即|x−1|+|x−3|≤x+(1)通过①当x<1时，②当1≤x≤3时，③当x>3时，去掉绝对值符号，求解即可．(Ⅱ)由绝对值不等式性质得，|x−1|+|x−3|≥|(1−x)+(x−3)|=2，推出a+b= (2)令a+1=m，b+1=n，利用基本不等式转化求解证明即可．【解答】(1)解：f(x)≤x+1，即|x−1|+|x−3|≤x+1，①当x<1时，不等式可化为4−2x≤x+1，x≥1，又∵x<1，∴x∈⌀；②当1≤x≤3时，不等式可化为2≤x+1，x≥1，又∵1≤x≤3，∴1≤x≤3；③当x>3时，不等式可化为2x−4≤x+1，x≤5，又∵x>3，∴3<x≤5；综上所得，1≤x≤3，或3<x≤5，即1≤x≤5，∴原不等式的解集为[1, 5]．(2)证明：由绝对值不等式性质得，|x−1|+|x−3|≥|(1−x)+(x−3)|=2，∴c=2，即a+b=2.令a+1=m，b+1=n，则m>1，n>1，a=m−1，b=n−1，m+n=4，a2 a+1+b2 b+1=(m−1)2m+(n−1)2n=m+n+1m+1n−4=4mn≥4(m+n2)2=1.∴原不等式得证．试卷第21页，总21页。

安徽省合肥市2018届高三数学三模试卷理科含解析

2018年安徽省合肥市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（每题5分）1．若集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}，集合N={0，4}，则M∪N=（）A．[0，4]B．[0，4）C．（0，4]D．（0，4）2．设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i3．在正项等比数列{a n}中，a1018•a1018=，则lga1+lga2+…+lga2018=（）A．2018 B．2018 C．﹣2018 D．﹣20184．已知双曲线﹣=1的焦距为10，一条渐近线的斜率为2，则双曲线的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=15．直线m：x+（a2﹣1）y+1=0，直线n：x+（2﹣2a）y﹣1=0，则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．执行如图的程序框图，若输入的m，n分别为218，85，则输出的m=（）A．2 B．7 C．34 D．857．若等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若∀n∈N*，都有S n≤S10，则（）A．∀n∈N*，都有a n＜a nB．a9•a10＞0﹣1C．S2＞S17D．S19≥08．设不等式组表示的平面区域为Ω，则当直线y=k（x﹣1）与区域Ω有公共点时，k的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，0]C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）9．（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是（）A．58 B．62 C．238 D．24210．某品牌饮料瓶可以近似看作是由一个半球和一个圆台组成，其三视图如图所示，该饮料瓶的表面积为（）A．81πB．125π C．（41+7）πD．（73+7）π11．甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率等于（）A．B．C．D．12．关于x的不等式（x2+2x+2）sin≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．[4，+∞）二、填空题（每题5分）13．已知=（1，t），=（t，4），若∥，则t=______．14．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______．15．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞2的解集是______．16．已知数列{a n }满足：a 1=2，（4a n +1﹣5）（4a n ﹣1）=﹣3，则+++…+=______．三、解答题17．如图，在△ABC 中，∠B=，AC=2．（1）若∠BAC=θ，求AB 和BC 的长．（结果用θ表示）；（2）当AB +BC=6时，试判断△ABC 的形状．；（Ⅱ）由频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z 服从正态分布N （μ，196），其中μ近似为样本平均数．①利用该正态分布．求P （Z ＞74）；②某班级共有20名同学参加此次学科知识比赛，记X 表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求EX ．附：若Z ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜Z ＜+σ）=0.6826，P （μ﹣2＜Z ＜μ+2σ）=0.9544．19．如图，直角三角形ABC 中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E 为线段BC 上一点，且BE=BC ，沿AC 边上的中线BD 将△ABD 折起到△PBD 的位置．（1）求证：PE ⊥BD ；（2）当平面PBD ⊥平面BCD 时，求二面角C ﹣PB ﹣D 的余弦值．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，过圆C：x2+y2=r2（0＜r＜b）上任意一点作圆C的切线与椭圆E交于A，B两点，O为坐标原点．（1）当r为何值时，OA⊥OB；（2）过椭圆E上任意一点P作（1）中所求圆的两条切线分别交椭圆于M，N，求△PMN 面积的取值范围．21．已知函数f（x）=+alnx有极值点，其中e为自然对数的底数．（1）求a的取值范围；（2）若a∈（0，]，求证：∀x∈（0，2]，都有f（x）＜．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上的一点，=，DE交AB于点F．（1）求证：PF•PO=PA•PB；（2）若PD=4，PB=2，DF=，求弦CD的弦心距．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C：（α为参数），直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程，直线l的普通方程；（2）点A在曲线C上，B点在直线l上，求A，B两点间距离|AB|的最小值．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．（1）当m=﹣1时，解不等式f（x）≤3；（2）若m∈（﹣1，0]，求函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值．2018年安徽省合肥市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．若集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}，集合N={0，4}，则M∪N=（）A．[0，4]B．[0，4）C．（0，4]D．（0，4）【考点】并集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}=（0，4），集合N={0，4}，则M∪N=[0，4]，故选：A．2．设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的共轭复数可求．【解答】解：z==，则=﹣1+3i．故选：C．3．在正项等比数列{a n}中，a1018•a1018=，则lga1+lga2+…+lga2018=（）A．2018 B．2018 C．﹣2018 D．﹣2018【考点】等比数列的通项公式．【分析】由正项等比数列{a n}的性质可得：a1•a2018=a2•a2018=…=a1018•a1018，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：由正项等比数列{a n}的性质可得：a1•a2018=a2•a2018=…=a1018•a1018=，则lga1+lga2+…+lga2018=lg（a1a2•…•a2018•a2018）==﹣2018．故选：D．4．已知双曲线﹣=1的焦距为10，一条渐近线的斜率为2，则双曲线的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由题意可得2c=10，即c=5，由一条渐近线的斜率为2，可得=2，可得a，b的方程组，解得a，b，即可得到所求双曲线的标准方程．【解答】解：由题意可得2c=10，即c=5，由一条渐近线的斜率为2，可得=2，又a2+b2=25，解得a=，b=2，即有双曲线的方程为﹣=1．故选：A．5．直线m：x+（a2﹣1）y+1=0，直线n：x+（2﹣2a）y﹣1=0，则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在直线m：x+（a2﹣1）y+1=0上任取点P（x，y），则点P关于原点对称的点Q（﹣x，﹣y）在直线n上，代入比较即可得出．【解答】解：在直线m：x+（a2﹣1）y+1=0上任取点P（x，y），则点P关于原点对称的点Q（﹣x，﹣y）在直线n上，∴﹣x+（2﹣2a）（﹣y）﹣1=0，化为x+（2﹣2a）y+1=0，与x+（a2﹣1）y+1=0比较，可得：a2﹣1=2﹣2a，解得a=﹣3或a=1．则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的充分不必要条件．故选：A．6．执行如图的程序框图，若输入的m，n分别为218，85，则输出的m=（）A．2 B．7 C．34 D．85【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，是利用辗转相除法求m，n的最大公约数，根据输入的m、n的值即可求出输出的值．【解答】解：执行如图的程序框图，是利用辗转相除法求m，n的最大公约数，当输入m=218，n=85时，输出的m=17．故选：B．7．若等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若∀n∈N*，都有S n≤S10，则（）B．a9•a10＞0A．∀n∈N*，都有a n＜a n﹣1C．S2＞S17D．S19≥0【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．【分析】由∀n∈N*，都有S n≤S10，a10≥0，a11≤0，再根据等差数列的性质即可判断．【解答】解：∵∀n∈N*，都有S n≤S10，∴a10≥0，a11≤0，∴a9+a11≥0，∴S2≥S17，S19≥0，故选：D．8．设不等式组表示的平面区域为Ω，则当直线y=k（x﹣1）与区域Ω有公共点时，k的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，0]C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出k的范围即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得B（2，0），显然y=k（x﹣1）恒过（1，0），k=0时，直线是AB，k＞0时，k→+∞，k＜0时，k的最大值是直线AC的斜率﹣2，故k∈（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞），故选：D．9．（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是（）A．58 B．62 C．238 D．242【考点】二项式系数的性质．==26﹣r．分别令=1，=3，【分析】（2+）6的展开式中，T r+1进而得出．==26﹣r．【解答】解：（2+）6的展开式中，T r+1分别令=1，=3，解得r=2或r=6．∴（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是×1﹣2×=238．故选；C．10．某品牌饮料瓶可以近似看作是由一个半球和一个圆台组成，其三视图如图所示，该饮料瓶的表面积为（）A．81πB．125π C．（41+7）πD．（73+7）π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个半球，下面是一个圆台．利用表面积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个半球，下面是一个圆台．该饮料瓶的表面积=++π×32=π．故选：C．11．甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率等于（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同包含的基本事件个数，由此能求出甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率．【解答】解：甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则基本事件总数n=4×4=16，甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同包含的基本事件个数：m=1×3+2×2=7，∴甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率p=．故选：D．12．关于x的不等式（x2+2x+2）sin≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．[4，+∞）【考点】其他不等式的解法．【分析】根据极限的思想=1，分离参数，即可得到a≥2×，即可求出答案．【解答】解：由于=1，∵x2+2x+2≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），∴a≥2×≥2，∴实数a的取值范围为[2，+∞），故选：B．二、填空题（每题5分）13．已知=（1，t），=（t，4），若∥，则t=±2．【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程即可求出结果．【解答】解：∵=（1，t），=（t，4），且∥，∴1×4﹣t2=0，解得t=±2．故答案为：±2．14．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据已知中函数的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，）代入解析式，结合，可求出ϕ值，进而求出函数的解析式．【解答】解：由图可得：函数函数y=Asin（ωx+ϕ）的最小值﹣|A|=﹣，令A＞0，则A=又∵，ω＞0∴T=π，ω=2∴y=sin（2x+ϕ）将（，）代入y=sin（2x+ϕ）得sin（+ϕ）=﹣1即+ϕ=+2kπ，k∈Z即ϕ=+2kπ，k∈Z∵∴∴故答案为：15．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞2的解集是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x≥1和x＜1，进行求解即可．【解答】解：若x≥1，由f（x）＞2得log2（x+1）＞2，得x+1＞4，即x＞3．若x＜1，则﹣x＞﹣1，2﹣x＞1，则由f（x）＞2得f（2﹣x）＞2，即log2（2﹣x+1）＞2，得log2（3﹣x）＞2，得3﹣x＞4，即x＜﹣1．综上不等式的解为x＞3或x＜﹣1，即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）16．已知数列{a n}满足：a1=2，（4a n+1﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，则+++…+=（3n﹣1）﹣2n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】化简可得[4（a n+1﹣1）﹣1][4（a n﹣1）+3]=﹣3，从而可得16+﹣=0，即+2=3（+2），从而求得数列{+2}是以3为首项，3为公比的等比数列，从而求和即可．【解答】解：∵（4a n+1﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，∴[4（a n+1﹣1）﹣1][4（a n﹣1）+3]=﹣3，∴16（a n+1﹣1）（a n﹣1）+12（a n+1﹣1）﹣4（a n﹣1）=0，∴16+﹣=0，∴+2=3（+2），又∵+2=3，∴数列{+2}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴+2=3n，故=3n﹣2；故+++…+=3﹣2+9﹣2+…+3n﹣2=﹣2n=（3n﹣1）﹣2n；故答案为：（3n﹣1）﹣2n．三、解答题17．如图，在△ABC中，∠B=，AC=2．（1）若∠BAC=θ，求AB和BC的长．（结果用θ表示）；（2）当AB+BC=6时，试判断△ABC的形状．【考点】三角形的形状判断．【分析】（1）根据正弦定理来求边AB、BC的长度；（2）由AB+BC=6得到：4sin（+θ）+4sinθ=6，结合和差化积公式得到θ的值，由此可以判定△ABC的形状为钝角三角形．【解答】解：（1）由正弦定理得：=，即=，所以BC=4sinθ．又∵∠C=π﹣﹣θ，∴sinC=sin（π﹣﹣θ）=sin（+θ）．∴=即=，∴AB=4sin（+θ）．（2）由AB+BC=6得到：4sin（+θ）+4sinθ=6，所以，8sin（+θ）×=6，整理，得sin（+θ）=．∵0＜+θ＜π，∴+θ=或+θ=，∴θ=，或θ=．∴△ABC是直角三角形．；（Ⅱ）由频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z服从正态分布N（μ，196），其中μ近似为样本平均数．①利用该正态分布．求P（Z＞74）；②某班级共有20名同学参加此次学科知识比赛，记X表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求EX．附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜+σ）=0.6826，P （μ﹣2＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）利用同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，即可求这50名同学成绩的样本平均数；（Ⅱ）①由（I）知，Z～N（60，196），从而P（60﹣14＜Z＜60+14）=0.6826，即可得出结论；②设依题意知X～B（20，0.1587），即可求得EX．【解答】解：（Ⅰ）由所得数据列成的频数分布表，得：样本平均数=×（35×3+45×10+55×12+65×15+75×6+85×2+95×2）=60；（Ⅱ）①由（I）知，Z～N（60，196），从而P（60﹣14＜Z＜60+14）=0.6826，∴P（Z＞74）=（1﹣0.6826）=0.1587，②由①知，成绩超过74分的概率为0.1587，依题意知X～B（20，0.1587），∴EX=20×0.1587=3.174．19．如图，直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E为线段BC上一点，且BE=BC，沿AC边上的中线BD将△ABD折起到△PBD的位置．（1）求证：PE⊥BD；（2）当平面PBD⊥平面BCD时，求二面角C﹣PB﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取BD中点O，连结OE，PO，推导出OE⊥BD，PO⊥BD，从而BD⊥平面POE，由此能证明PE⊥BD．（2）以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣PB﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）∵直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E为线段BC上一点，且BE=BC，∴DC=PD=PB=BD=2，BC=2，取BD中点O，连结OE，PO，∵OB=1，BE=，∴OE=，∴OE⊥BD，∵PB=PD，O为BD中点，∴PO⊥BD，又PO∩OE=O，∴BD⊥平面POE，∴PE⊥BD．解：（2）∵平面PBD⊥平面BCD，∴PO⊥平面BCD，如图，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，1，0），P（0，0，），C（），=（0，﹣1，），=（），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（3，），平面图PBD的法向量=（1，0，0），cos＜＞==，由图形知二面角C﹣PB﹣D的平面角是锐角，∴二面角C﹣PB﹣D的余弦值为．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，过圆C：x2+y2=r2（0＜r＜b）上任意一点作圆C的切线与椭圆E交于A，B两点，O为坐标原点．（1）当r为何值时，OA⊥OB；（2）过椭圆E上任意一点P作（1）中所求圆的两条切线分别交椭圆于M，N，求△PMN 面积的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆的离心率为，短轴长为2，列出方程组，求出a，b，从而求出椭圆E的方程，当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x=±r，得到当r=时，OA⊥OB；当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+n，由，得（1+4k2）x2+8knx+4n2﹣4=0，由此利用韦达定理、向量的数量积、直线与圆相切，结合已知条件能求出r的值．（2）OP⊥OM，OP⊥ON，OP⊥MN，且MN过原点O，当MN的斜率存在且不为0时，设MN：y=k1x，（k1≠0），由，得|MN|=2OM=4，同理，|OP|=，由此能求出△PMN面积的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆E的方程为．设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x=±r，即x1=x2=±r，代入椭圆方程，得，=x1x2+y1y2==r2﹣（1﹣）=，∵0＜r＜1．∴当r=时，，即OA⊥OB，当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+n，由，得（1+4k2）x2+8knx+4n2﹣4=0，则，，∴=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+n）（kx2+n）=（1+k2）x1x2+kn（x1+x2）+n2==，∵直线l与圆C相切，∴=r，即n2=r2（1+k2），∴=，∵0＜r＜1，∴当r=时，=0，即OA⊥OB，综上，r=．（2）由（1）知OP⊥OM，OP⊥ON，∴OP⊥MN，且MN过原点O，当MN的斜率存在且不为0时，设MN：y=k1x，（k1≠0），由，得，，∴|MN|=2OM=2=4，同理，|OP|=2=2，=|OP|•|MN|=4=4∈[，2），∴S△PMN=2，当MN与坐标轴垂直时，S△PMN∴△PMN面积的取值范围是[，2]．21．已知函数f（x）=+alnx有极值点，其中e为自然对数的底数．（1）求a的取值范围；（2）若a∈（0，]，求证：∀x∈（0，2]，都有f（x）＜．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，得到ae x﹣x2=0有解，显然a＞0，令m（x）=ae x﹣x2，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，令h（x）=ae x﹣x2，根据函数的单调性得到f（x）在（a，1）内有唯一极大值点x0，从而f（x）max≤max{f（1），f（x0）}，结合函数的单调性，证出结论即可．【解答】解：（1）f（x）=+alnx，f′（x）=，若函数f（x）=+alnx有极值点，则ae x﹣x2=0有解，显然a＞0，令m（x）=ae x﹣x2，（a＞0），则m′（x）=ae x﹣2x，m″（x）=ae x﹣2，令m″（x）＞0，解得：x＞ln，令m″（x）＜0，解得：x＜ln，∴m′（x）在（﹣∞，ln）递减，在（ln，+∞）递增，∴m′（x）min=m′（ln）=2﹣2ln＜0，解得：a＜，故0＜a＜；（2）f（x）=+alnx，f′（x）=，令h（x）=ae x﹣x2，则h′（x）=ae x﹣2x，0＜x≤1时，h′（x）≤ae﹣2＜0，由于h（a）=a（e a﹣a）＞0，h（1）=ae﹣1≤0，∴f（x）在（a，1）内有唯一极大值点x0，当a=时，f（x）有极大值点x=1，∴x∈（0，2]时，f（x）max≤max{f（1），f（x0）}，f（x0）=（a＜x0＜1），令ω（x）=，（a＜x＜1），则ω′（x）=﹣e﹣x（x﹣2）xlnx＜0，∴ω（x）＜ω（a）=＜，又f（1）=，∴max{f（1），f（x0）}＜．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上的一点，=，DE交AB于点F．（1）求证：PF•PO=PA•PB；（2）若PD=4，PB=2，DF=，求弦CD的弦心距．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）先证明△PDF∽△POC，再利用割线定理，即可证得结论；（2）设圆的半径为r，由△PDF∽△POC，可得半径为5，由切割线定理可得，PD•PC=PB•PA•解得CD=2，再由垂径定理和勾股定理，计算可得弦CD的弦心距．【解答】解：（1）证明：连接OC、OE，则∠COE=2∠CDE，∵=，∴∠AOC=∠AOE，∴∠AOC=∠CDE，∴∠COP=∠PDF，∵∠P=∠P，∴△PDF∽△POC∴=，∴PF•PO=PD•PC，由割线定理可得PC•PD=PA•PB，∴PF•PO=PA•PB．（2）设圆的半径为r，PD=4，PB=2，DF=，由△PDF∽△POC，可得=，即有PD•OC=PO•DF，即4r=（2+r），解得r=5．由切割线定理可得，PD•PC=PB•PA•即为4（4+CD）=2（2+2r），即有CD=r﹣3=5﹣3=2，则弦CD的弦心距为OH===2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C：（α为参数），直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程，直线l的普通方程；（2）点A在曲线C上，B点在直线l上，求A，B两点间距离|AB|的最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C：（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得直角坐标方程，．利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2）利用点到直线的距离公式圆心C（0，2）到直线l的距离d．可得A，B两点间距离|AB|的最小值=d﹣r．【解答】解：（1）曲线C：（α为参数），可得直角坐标方程：x2+（y﹣2）2=4，展开可得：x2+y2﹣4y=0，可得极坐标方程：ρ2﹣4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：x﹣y﹣3=0．（2）圆心C（0，2）到直线l的距离d==．∴A，B两点间距离|AB|的最小值为﹣2．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．（1）当m=﹣1时，解不等式f（x）≤3；（2）若m∈（﹣1，0]，求函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，分类讨论解不等式f（x）≤3；（2）由题意，m=0时，函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值．【解答】解：（1）当m=﹣1时，不等式f（x）≤3，可化为|x﹣1|+|2x+1|≤3，x时，﹣x+1﹣2x﹣1≤3，∴x≥﹣1，∴﹣1≤x；﹣时，﹣x+1+2x+1≤3，∴x≤1，∴﹣；x≥1时，x﹣1+2x+1≤3，∴x≤1，∴x=1；综上所述，﹣1≤x≤1；（2）由题意，m=0时，函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值．图象最低点的坐标是（﹣，），f（x）=1时，x=0或﹣，f（x）=3时，x=﹣或，∴函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值为=．2018年10月4日。

(完整word)安徽省合肥市2018届高三三模数学(理科)试题

合肥市2018年高三第三次教学质量检测数学试题（理科）（考试时间：120分钟满分：150分）第i 卷、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.所示为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4,高为2,则该刍童的表面积为A. 12 5B.40C. 16 12 3D. 16 12 5 12.已知函数f x x 2 x a 2有零点x b x 2，函数g xx 2 (a 1)x 2有零点X 3, x 4，且X 3洛 X 4 X 2，则实数a 的取2i1. 已知复数z 丄1 iA.3B.22. 已知集合A x（i 为虚数单位），则z = A. B.3.已知椭圆C.R x 21 2 2x b 72x 01(C. 4.已知D. 2x R 2x 2D.0）经过点A-5,0 , B0, ，贝U C R A I B，则椭圆E 的离心率为5 - 9D4一9G-5-3B31,2, A.-1，1,3,2 B. 1 ,3，若为奇函数，且在 0,上单调递增，则实数的值是5. 若l , m 为两条不同的直线,“ m l ”的A.充分不必要条件C.充要条件6. 已知 1 2x nn 的二项式系数之和为A.64B.327. 已知非零实数a,1, 3 D. 1 , 3 3 为平面，且I ，则“ m// C.-11 2”是B. D. 展开式中C. b 满足a a3.32.2A. a bB. a b必要不充分条件既不充分也不必要条件x 3的系数为80，则展开式中所有项 1bb ， D. 1则下列不等式一定成立的是C. D.log 1 ,alog Jb2 28. 运行如图所示的程序框图，若输出的 A. k 3? 9. 若正项等比数列A. 2B.B. k 4? 满足a .a n160 C. 122C.2s 值为10，则判断框内的条件应该是 k5? D. k 6? ，则a 6 a 5的值是16 2D.要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有A.24B.48C.96D.12011.我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍童•如图10.如图，给7条线段的5个端点涂色,V7 £ 3值范围是9 9A. 9, 2B. 9,0C.(-2 , 0)D. 1,4 4第U卷本卷包括必考题和选考题两部分•第(13)题一第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22) 题、第(23)题为选考题，考生根据要求作答•二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡相应的位置•x y 1 0(13) 若实数x, y满足条件x y 1 0 ，则z 2x y的最大值为•x 3y 3 0Lur _ uur uuu uur uuu(14) 已知OA 2^3 0，OB 0，2 ，AC tAB, t R，当OC 最小时，t= .(15) 在ABC 中，内角A, B, C 所对的边分别为a, b，c.若A 45°，2bs in B cs inC 2asi nA，且ABC的面积等于3，贝U b = •(16) 设等差数列a n的公差为d，前n项的和为S n，若数列S n n也是公差为d的等差数列，则三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17) (本小题满分12分)1 已知函数f x T3sinxcosx - cos 2x —•2 3(I )求函数f x图象的对称轴方程；(n)将函数f x图象向右平移一个单位，所得图象对应的函数为g x •当x o,—时，求函数4 2g x的值域.(18) (本小题满分12分)2018年2月9-25日第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行•为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：(I )根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？(n )现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加2022 年北京冬奥会志愿者宣传活动•(i )问男、女学生各选取了多少人？(ii)若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的3人中女生人数为X，写出X的分布列，并求E X •附:2n ad bc ,K2，其中n a b cd.a b c d a c b d(19) (本小题满分12分) (20) (本小题满分12 分)已知抛物线C:y 2 2px ( p 0)的焦点为F ，以抛物线上一动点M 为圆心的圆经过点F.若圆M 的面积最小值为•(I )求p 的值；(n )当点M 的横坐标为1且位于第一象限时，过 M 作抛物线的两条弦 MA, MB ，且满足 AMF BMF •若直线AB 恰好与圆M 相切，求直线AB 的方程.(21) (本小题满分12分)1已知函数f xe x ?x 2 ax 有两个极值点x , X 2 ( e 为自然对数的底数).(I )求实数a 的取值范围； (n )求证：f 人 f x 22.请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答•注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑• (22) (本小题满分10分)选修4—4 :坐标系与参数方程x在平面直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程为y2 2x 2 y 1 5 •以原点C 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系•(I )求直线I 及圆C 的极坐标方程；(n )若直线I 与圆C 交于A B 两点，求cos AOB 的值•(23) (本小题满分10分)选修4-5 :不等式选讲已知函数f X x 1 x 3 .(I )解不等式f X x 1 ；2 (n )设函数f x 的最小值为c ,实数a , b 满足a 0 , b 0 , a b c ，求证：—如图，在多面体ABCDE 中，平面ABD 丄平面ABC , AB (I )求AB 勺长；(n )已知2 AC 4，求点E 到平面BC 的距离的最大值.1AC ，AE BD ，DE^_ AC AD=BD=1.2-Jt2 (t 为参数)，圆C 的方程为 2b 2ABC合肥市2018年高三第三次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准、填空题：本大题共4小题，每小题5分. (13)4(14)3(15)3(16)a n1 或 a n -n5424三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程1或演算步骤.(17)(本小题满分12分)(I ) f x3 sin xcosx1cos 2x —3 . o sin 2x1cos2x 1sin 2x .2 3 442 6令2x -k ,k Z ，解得x -k623 2•函数f x 图象的对称轴 |方程为x -k k Z..................5分3 2(n )易知 g x sin 2x y22 百.••• x 0, .门222 3 …2x —,…sin 2x1 ,2 33 ' 332二 g x 1c 2 sin 2x 1 .32 324即当x0,—时，函数 g x 的值域为 1 3 —5 ■.................... 12分22 4(18) (本小题满分12分)2120 60 20 20 2080 40 80 40所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关.44所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人. ................. 8分(ii)由题意可知，X 的可能取值有0, 1, 2, 3.(I )因为K 27.5 6.635,(n )( i )根据分层抽样方法得，男生-12 9人，女生-12 3人,C ；C 0 £84云，PXC ；C C 2CgC 3 108 2201 220• •• X 的分布列是:业1竺2竺3丄3 220220 220 220 4C13212分(I) 依题意得，点M 的坐标为(1 , 2),圆M 的半径为2.由 F (1 , 0)知，MF x 轴.由AMF BMF 知，弦MA , MB 所在直线的倾斜角互补，• k MA k MB 0. 、r1设 k MA k( k 0),贝 V 直线 MA 的方程为 y k x 1 2, • x - y 21,K 代入抛物线的方程得，y 2 4 1 y 2 1 , • y 2 4 y 8 4 0 ,k k k4 4 •- y A 2, y A 2.k k将k 换成k ,得y B 42 , k• y A y B y A y B44 一…k AB221.X A X B 和 yy A y 444设直线AB 的方程为y x m ,即x y m 0.由直线AB 与圆M 相切得，里凹2，解得m 3 2^2 .(19) (本小题满分12分)(I 厂••平面ABDL 平面ABC 且交线为AB 而ACL AB /• ACL 平面\BD. 又••• DE// AC ••• DEL 平面ABD 从而 DEL BD 注意至U BDLAE 且 DEH AE=E •- BDL 平面DE 于是,BDL AD 而AD=BD=1 • AB 2 . 5分 (II) • AD=BD 取AB 的中点为 O •- DOL AB 又••平面ABD_平面ABC •- DOL 平面ABC.过O 作直线OY// AC ,以点O 为坐标原点，直线OB OY OD 分别为 x ,y , z 轴，建立空间直角坐标系O xyz ,如图所示.记 AC 2a ，则 1 a-1,0, 0, B 2C — , 2a , 0 ,D 0 , 0,2_22E 0,mu BC uuu.2, 2a, 0 , BD令平面BC ［的一个法向量为.2x 2ay 2 2 —x2uuu r BC n 田 uuu r BD n uuLr又•••X ,y , z0, a,0 ,.••点E 到平面BCD 勺距离duur r DE n • 1 a 2，•当a 2时，d 取得最大值，d max1 4 ] 12.17 17 .|n| 4 4=12分(20) (本小题满分12分)(I )由抛物线的性质知，当圆心M 位于抛物线的顶点时，圆M 的面积最小,此时圆的半径为OF P P 2，解得P 2 .经检验m 3 2 2不符合要求，故m 3 2 2舍去. •••所求直线AB的方程为y x 32 2 .(21) (本小题满分12分)(I) f X X e122x ax，• f X X e x a .设g X X e Xa，则g X X e 1.令g X Xe1，解得X0.••X,0时,g X0 ；当x0,时，g x 0 .•g X min g1a.当a 1时，gXf x 0，•函数 f X单调递增,没有极值点；当a 1时，g1 a 0，且当X时，g X；当X时，g X.•a1时，gX f X e x x a［有两个零点片，x2.不妨设X i X2，则X 0 X2 .•当函数f X有两个极值点时，a的取值范围为1, . .........................5分(n )由(I)知，为，X2为g X 0的两个实数根，X! 0 X2 , g X在，0上单调递减.卜面先证X X20, 只需证g X2g X! 0.••• g X2e X2X2a0，得a X2 e. X2 X2 X2 -x2，…g x2 e x2 a e e2x设h X e X X e2x,x 0 ,则h X1X e20 ,• h X在0, 上单调递减，e• h X h00,…h x2X20 , • x x20.•••函数f X在X1, 0上也单调递减，•• f X1 f X2 .•要证 f X1 f X2 2，只需证 f X2 f X2 2，即证e X2 e X2x； 2 0 .设函数k x x x 2e e x 2, x0,，则k x X Xe e 2x.设X k X e x e x 2x，则X X Xe e 2 0 ,X在0,上单调递增，•X0 0, 即k x 0 .• k X在0,上单调递增，•k x k 0•当X0,时，e x e x x2 2 0, 则e X2X2X2 2 0 ,• f X2f X2 2 , • f X1 f X2 2 . ...... .. (12)分x cos将代入并化简得y sin.•.圆C的极坐标方程为4cos 2sin .(n )将直线l : sin cos 2，与圆C : 4cos 2sin 联立，得4cos12分(22)(本小题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程2得，其普通方程为y x 2，2cos 2.21 5，(I )由直线I 的参数方程•直线I 的极坐标方程为又•••圆C 的方程为x2sin 24cos 2sin2sin sin cos 2，3/10sin10(23)(本小题满分10分)选修4-5 :不等式选讲(I ) f x x 1，即 x 1 x 3 x 1 .(1) 当x 1时，不等式可化为4 2x x 1, x 1. 又x 1，二 x ； (2) 当1 x 3时，不等式可化为2 x 1, x 1.又••• 1 x 3 ,••• 1 x 3.(3) 当x 3时，不等式可化为2x 4 x 又x 3 , • 3 x 5 .综上所得，1 x 3，或3 x 5，即1 •原不等式的解集为1 ,5 .(n )由绝对值不等式性质得，x 1 x • c 2，即 a b 2.令 a 1 m, b 1 n ，则 m 1, n 1,2a b 2 2m 1 2n 1 m na 1b 1mn原不等式得证. 1, x 5. x 35.-5分1 x x 32 ,a m 1, b n1 ,m n 4 ,1 14441m nm nm n210分整理得 sin cos 3cos 2 , —，或 tan2不妨记点A 对应的极角为—，点B 对应的极角为2，且 tan =3.疋，cos AOB cos - 210分。

2018合肥三模试题-理科和答案

合肥市2018年高三第三次教学质量检测数学试题(理科)(考试时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数2i1iz =+(i 为虚数单位)，则z =2.已知集合{220A x R x x =∈-≥，{}2210B x R x x =∈--=，则()C R A B =I A.∅ B.12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C.{}1 D. 1 12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，3.已知椭圆2222:1y x E a b+=(0a b >>)经过点A )，()0 3B ，，则椭圆E 的离心率为A.23 C.49 D.594.已知111 2 3 23α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，，，，，若()f x x α=为奇函数，且在()0 +∞，上单调递增，则实数α的值是A.-1，3B.13，3C.-1，13，3D. 13，12，35.若l m ，为两条不同的直线，α为平面，且l α⊥，则“//m α”是“m l ⊥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知()()*12nx n N -∈展开式中3x 的系数为80-，则展开式中所有项的二项式系数之和为A.64B.32C.1D.1-7.已知非零实数a b ，满足a a b b >，则下列不等式一定成立的是A.33a b >B.22a b >C.11a b < D.1122log log a b <8.运行如图所示的程序框图，若输出的s 值为10-，则判断框内的条件应该是A.3?k <B.4?k <C.5?k <D.6?k < 9.若正项等比数列{}n a 满足()2*12n n n a a n N +=∈，则65a a -的值是-10.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有A.24B.48C.96D.12011.我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图所示为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为A.16+ D.16+12.已知函数()22f x x x a =---有零点12x x ，，函数()2(1)2g x x a x =-+-有零点34x x ，，且3142x x x x <<<，则实数a 的取值范围是A.924⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B.9 04⎛⎫- ⎪⎝⎭， C.(-2，0) D.()1 +∞，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题—第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡相应的位置.(13)若实数x y ，满足条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最大值为 .(14)已知()OA =uu r，()0 2OB =u u u r ，，AC t AB t R =∈u u u r u u u r ，，当OC uuu r 最小时，t = . (15)在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，.若45A =，2sin sin 2sin b B c C a A -=，且ABC ∆的面积等于3，则b = .(16)设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项的和为n S，若数列也是公差为d 的等差数列，则=n a .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)已知函数()1in c o s c o s 223f x x x x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求函数()f x 图象的对称轴方程；(Ⅱ)将函数()f x 图象向右平移4π个单位，所得图象对应的函数为()g x .当0 2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数()g x 的值域.(18)(本小题满分12分)2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：(Ⅰ)根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.(ⅰ)问男、女学生各选取了多少人？(ⅱ)若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的3人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求()E X .附：()()()()()22n a d b cK a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.(19)(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDE 中，平面ABD ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，AE BD ⊥，DE 12AC ，AD=BD=1. (Ⅰ)求AB 的长；(Ⅱ)已知24AC ≤≤，求点E 到平面BCD 的距离的最大值.(20)(本小题满分12分)已知抛物线2:2C y px =(0p >)的焦点为F ，以抛物线上一动点M 为圆心的圆经过点F.若圆M 的面积最小值为π.(Ⅰ)求p 的值；(Ⅱ)当点M 的横坐标为1且位于第一象限时，过M 作抛物线的两条弦M A M B ，，且满足AM F BM F ∠=∠.若直线AB 恰好与圆M 相切，求直线AB 的方程.(21)(本小题满分12分)已知函数()212x f x e x a x =--有两个极值点12x x ，(e 为自然对数的底数).(Ⅰ)求实数a 的取值范围； (Ⅱ)求证：()()122f x f x +>.请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，圆C 的方程为()()22215x y -+-=.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求直线l 及圆C 的极坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与圆C 交于A B ，两点，求c o s A O B ∠的值.(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()13f x x x =-+-． (Ⅰ)解不等式()1f x x ≤+；(Ⅱ)设函数()f x 的最小值为c ，实数a b ，满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +≥++.EDCBA合肥市2018年高三第二次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)4 (14)34(15)3 (16)1na=-或1524na n=-三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)(Ⅰ)()11cos cos22cos2234f x x x x x xπ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭1sin226xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭.令262x k k Zπππ-=+∈，，解得32kxππ=+.∴函数()f x图象的对称轴方程为32kx k Zππ=+∈，. …………………………5分(Ⅱ)易知()12sin223g x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭.∵2xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴222333xπππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，∴2sin213xπ⎡⎛⎫-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，∴()121sin2232g x xπ⎡⎛⎫=-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，即当02xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()g x的值域为12⎡-⎢⎣⎦. …………………………12分(18)(本小题满分12分)(Ⅰ)因为()22120602020207.5 6.63580408040K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关. ………………………5分(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生31294⨯=人，女生11234⨯=人，所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人. ………………………8分(ⅱ)由题意可知，X的可能取值有0，1，2，3.()()302193933312128410801220220C C C CP X P XC C======，，()()1203939333121227123220220C C C CP X P XC C======，，∴X∴()01232202202202204E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………12分(19)(本小题满分12分)(Ⅰ)∵平面ABD ⊥平面ABC ，且交线为AB ，而AC⊥AB，∴AC⊥平面ABD. 又∵DE∥AC，∴DE⊥平面ABD ，从而DE⊥BD .注意到BD⊥AE，且DE∩AE=E，∴BD⊥平面ADE ，于是，BD⊥AD . 而AD=BD=1，∴AB =. ………………………5分 (Ⅱ)∵AD=BD，取AB 的中点为O，∴DO⊥AB . 又∵平面ABD ⊥平面ABC ，∴DO⊥平面ABC.过O 作直线OY∥AC，以点O 为坐标原点，直线OB ，OY ，OD 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.记2AC a =，则12a ≤≤， 0 0 0 0A B ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，2 00 0C aD ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，，，0E a ⎛- ⎝⎭，，()0BC a =，， 0BD ⎛=-⎝⎭.令平面BCD 的一个法向量为()n x y z =，，.由00BC n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得200ay ⎧+=⎪⎨=⎪⎩.令x =12 n a ⎛= ，. 又∵()0 0D E a =-，，，∴点E 到平面BCD的距离||DE n d n ⋅==.∵12a ≤≤，∴当2a =时，d 取得最大值，max d .………………………12分(20)(本小题满分12分)(Ⅰ)由抛物线的性质知，当圆心M 位于抛物线的顶点时，圆M 的面积最小，此时圆的半径为2p OF =，∴24P ππ=，解得2p =. ……………………4分(Ⅱ)依题意得，点M 的坐标为(1，2)，圆M 的半径为2. 由F (1，0)知，M F x ⊥轴.由AM F BM F ∠=∠知，弦MA ，MB 所在直线的倾斜角互补，∴0MA MB k k +=.设MA k k =(0k ≠)，则直线MA 的方程为()12y k x =-+，∴()121x y k=-+，代入抛物线的方程得，()21421y y k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴24840y y k k -+-=，∴4422A A y y k k+==-，.将k 换成k -，得42B y k=--，∴22441444A B A B AB A B A B A B y y y y k x x y y y y --=====--+--.设直线AB 的方程为y x m =-+，即0x y m +-=. 由直线AB 与圆M2=，解得3m =±经检验3m =+3m =+.∴所求直线AB的方程为3y x =-+-……………………12分(21)(本小题满分12分)(Ⅰ)∵()212x f x e x ax =--，∴()x f x e x a '=--.设()xg x e x a =--，则()1x g x e '=-.令()10x g x e '=-=，解得0x =.∴当() 0x ∈-∞，时，()0g x '<；当()0x ∈+∞，时，()0g x '>. ∴()()min 01g x g a ==-.当1a ≤时，()()0g x f x '=≥，∴函数()f x 单调递增，没有极值点；当1a >时，()010g a =-<，且当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞. ∴当1a >时，()()x g x f x e x a '==--有两个零点12x x ，. 不妨设12x x <，则120x x <<.∴当函数()f x 有两个极值点时，a 的取值范围为()1 +∞，. …………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，12x x ，为()0g x =的两个实数根，120x x <<，()g x 在() 0-∞，上单调递减. 下面先证120x x <-<，只需证()()210g x g x -<=.∵()2220x g x e x a =--=，得22x a e x =-，∴()2222222x x x g x e x a eex ---=+-=-+.设()2x x h x e e x -=-+，0x >，则()120x xh x e e'=--+<，∴()h x 在()0 +∞，上单调递减， ∴()()00h x h <=，∴()()220h x g x =-<，∴120x x <-<.∵函数()f x 在()1 0x ，上也单调递减，∴()()12f x f x >-.∴要证()()122f x f x +>，只需证()()222f x f x -+>，即证222220x x e e x -+-->. 设函数()()220x x k x e e x x -=+--∈+∞，，，则()2x x k x e e x -'=--. 设()()2x x x k x e e x ϕ-'==--，则()20x x x e e ϕ-'=+->， ∴()x ϕ在()0+∞，上单调递增，∴()()00x ϕϕ>=，即()0k x '>. ∴()k x 在()0+∞，上单调递增，∴()()00k x k >=. ∴当()0x ∈+∞，时，220x x e e x -+-->，则222220x x e e x -+-->， ∴()()222f x f x -+>，∴()()122f x f x +>. ………………………12分(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程(Ⅰ)由直线l的参数方程11x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得，其普通方程为2y x =+，∴直线l 的极坐标方程为sin cos 2ρθρθ=+.又∵圆C 的方程为()()22215x y -+-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得4cos 2sin ρθθ=+，∴圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+. ……………………5分 (Ⅱ)将直线l ：sin cos 2ρθρθ=+，与圆C ：4cos 2sin ρθθ=+联立，得()()4cos 2sin sin cos 2θθθθ+-=，整理得2sin c os 3c os θθθ=，∴tan 32πθθ==，或.不妨记点A 对应的极角为2π，点B 对应的极角为θ，且t a n =3θ.于是，cos cos sin 2AOB πθθ⎛⎫∠=-== ⎪⎝⎭. ……………………10分(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲(Ⅰ)()1f x x ≤+，即131x x x -+-≤+.(1)当1x <时，不等式可化为4211x x x -≤+≥，. 又∵1x <，∴x ∈∅；(2)当13x ≤≤时，不等式可化为211x x ≤+≥，. 又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤.(3)当3x >时，不等式可化为2415x x x -≤+≤，. 又∵3x >，∴35x <≤.综上所得，13x ≤≤，或35x <≤，即15x ≤≤. ∴原不等式的解集为[]1 5，. …………………5分(Ⅱ)由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=， ∴2c =，即2a b +=.令11a m b n +=+=，，则11m n >>，，114a m b n m n =-=-+=，，，()()2222211114441112m n a b m n a b m n m n mn m n --+=+=+++-=≥=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭，原不等式得证. …………………10分。

2018届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测理科数学试题及答案

安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测数学（理）试题一、选择题（本大题10小题，每小题5分，共50分） 1、复数2(i z i i+=为虚数单位）的虚部为A 、2B 、2-C 、1D 、1- 2、已知集合2{|12},{|10}A x x B x x =≤≤=-≤，则A B = A 、{|11}x x -<< B 、{|12}x x -<< C 、{1} D 、∅3、函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的解析式可以为A 、()3sin(2)4f x x π=-B 、()3sin(2)4f x x π=+ C 、13()3sin()24f x x π=- D 、13()3sin()24f x x π=+4、圆2222x y x y +=+上到直线10x y ++=A 、1B 、2C 、3D 、45、已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，则该几何体的侧视图可能是正视图俯视图6、641)1)的展开式中x 的系数是A 、3-B 、3C 、4-D 、4 7、实数,x y 满足0||1xy x y ≥⎧⎨+≤⎩，使z ax y =+取得最大值的最优解有两个，则1z ax y =++的最小值为A 、0B 、2-C 、1D 、1-8、已知椭圆221,43x y F +=为右焦点，A为长轴的左端点，P 点为该椭圆上的动点，则能够使0PA PF ∙=的P 点的个数为A 、4B 、3C 、2D 、19、“1a ≤-”是“函数1()ln f x x ax x=++在[1,)+∞上是单调函数”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件10、已知平行四边形ABCD ，点123,,M M M ，…，1n M -和123,,N N N ，…， 1n N -分别将线段BC 和DC n 等分（(,2)n Nn *∈≥，如图，12AM AM ++ …112n AM AN AN -++++ …145n AN AC -+= ，则n =A 、29B 、30C 、31D 、32二、填空题（本大题共5小题，每小题511按分层抽样从中抽取2000.2，则该校高三年级的总人数为_________A 2N 1N BCD 1M2M …n i M -n i N - …12、已知函数1()(0)()2(4)0)xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩（，则(2015)f =______13、右边的程序框图，输出的结果为__________ 14、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，若,23B A b a π=+=，则B =_____15、已知8个非零实数123,,a a a ，…，8a ，向量112(,)OA a a =，234356478(,),(,),(,)OA a a OA a a OA a a ===，对于下列命题：①123,,a a a ，…，8a 为等差数列，则存在,(1,8,,,)i j i j i j i j N *≤≤≠∈，使41k k OA =∑与向量(,)i j n a a =共线；②若123,,a a a ，…，8a 为公差不为0的等差数列，(,)i j n a a = (,,,1,8)i j i j N i j *≠∈≤≤，(1,1),{|}q M y y n q ===∙ ，则集合M 中元素有13个；③若123,,a a a ，…，8a 为等比数列，则对任意,(14,,)i j i j i j N *≤<≤∈，都有//i j OA OA；④若123,,a a a ，…，8a 为等比数列，则存在,(14,,)i j i j i j N *≤<≤∈，使i j OA OA ∙< ；⑤若i j m OA OA =∙ ,(14,,)i j i j i j N *≤<≤∈，则m 的值中至少有一个不小于0，上述命题正确的是______（填上所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分）16、已知函数1()sin()cos()(01)362f x x x ππωωω=+--<<的图像关于直线3x π=对称（1）求ω的值；（2）若12(),(,)633f ππαα=∈-，求cos α的值17、一家医药研究所，从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H 病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为11,23，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”，（1）求一个试用组为“甲类组”的概率；（2）观察3个试用组，用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求η的分布列和数学期望。