高中数学论文“新定义”高考新题型的新宠儿

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新高考数学试卷分析论文

摘要：随着我国新高考改革的深入推进，数学试卷作为评价学生数学素养和能力的工具，其设计和命题也发生了显著变化。

本文以2024年高考数学全国卷为例，分析新高考数学试卷的特点、趋势和影响，探讨其对中学数学教学和高考改革的启示。

一、引言新高考改革旨在全面提高学生的综合素质，推动基础教育改革，培养学生的创新精神和实践能力。

数学作为基础学科之一，其试卷设计也发生了相应变化。

本文通过对2024年高考数学全国卷的分析，探讨新高考数学试卷的特点、趋势和影响。

二、新高考数学试卷特点1. 强化核心素养：新高考数学试卷更加注重考查学生的数学思维能力、创新意识和实践能力，引导学生关注现实问题和中华优秀传统文化。

2. 突出关键能力：试卷在考查基础知识的基础上，更加注重考查学生的逻辑推理、数学建模、数据分析、空间想象等关键能力。

3. 适度创新：试卷在题型设计、情境创设等方面进行适度创新，引导学生关注新情境、新问题，提高解题能力。

4. 优化题量与难度：试卷在保证题量充足的同时，适度调整题目难度，使考生在有限的时间内完成考试，减轻考试压力。

三、新高考数学试卷趋势1. 知识点覆盖面广：试卷涵盖《普通高中数学课程标准（2017年版）》中的必修课程和选择性必修课程内容，体现全面性。

2. 知识点综合性强：试卷注重考查学生综合运用知识解决问题的能力，引导学生关注数学知识的内在联系。

3. 题型多样化：试卷在题型设计上保持多样化，包括选择题、填空题、解答题等，使考生在考试中充分展示自己的数学素养。

4. 重视实际问题：试卷注重考查学生运用数学知识解决实际问题的能力，引导学生关注现实生活。

四、新高考数学试卷影响1. 对中学数学教学的影响：新高考数学试卷的特点和趋势促使中学数学教学更加注重培养学生的核心素养和关键能力，提高教学质量。

2. 对高考改革的影响：新高考数学试卷的设计和命题有助于推动高考改革，促进教育公平，提高学生综合素质。

五、结论新高考数学试卷在考查学生数学素养和能力的方面取得了显著成效。

高考“新”定义，创新“新”问题

在狋３时刻，甲、乙企业的污水排放量都在达标排放量下面，都已达标，③ 正确；
对于甲企业，在这三个时间段内，在［狋１，狋２］这段时间内，甲企业的污水排放量函数图像的切线的斜率最小，则其相反数最大，此时污水治理能力最强，④ 错误．
故填答案：①②③．
三、新概念
通过创新概念，以创新知识为问题背景，通过概念的形式联通常规数学知识，构造起相应的数学模型，进而借助相关知识的定义、性质、公式等来分析与解决相关问题．
教学参谋解法探究２０２１年３月
高考“新”定义，创新“新”问题
? 江苏省启东市汇龙中学施伟琛
历年高考数学试卷都坚持对“五种能力”和“两种意识”（应用意识与创新意识）的考查，经常借助新定义问题来突出呈现．此类新定义问题，类型众多，借助新定义一个数学问题（新公式、新图像、新概念、新模型、新方法、新性质与新运算等），实现考生所学的数学知识和方法的有效迁移，从而得以解决新问题，是应用意识与创新意识的一个突出表现，也是每年高考数学中的最“亮”点，备受命题者青睐．本文结合２０２０年高考数学中的新定义问题，结合典型高考真题阐述创新意识的应用，抛砖引玉，以期为高考复习与备考提供些许帮助．
Ａ．６０Ｂ．６３Ｃ．６６Ｄ．６９分析：结合创新公式，通过Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型的函数关系式的给出，结合相关数据代入处理，利用公式的恒等变形与转化来确定相应的参数值．解析：由题意可知，１＋ｅ－犓０．２３（狋－５３）＝０．９５犓，整理可得ｅ－０．２３（狋－５３）＝１１９，两边取自然对数，有－０．２３（狋－５３）＝－ｌｎ１９≈－３，解得狋≈６６．故选Ｃ．

数学教学论文：变换背景出新题――关于高考数学新题型特征的探索

变换背景出新题――关于高考数学新题型特征的探索近几年高考数学新题型中，有一类试题是通过变换问题的背景而得到的，背景的变换有三种形式：一是在传统的问题中，创设新背景；二是在传统的背景下，提出新问题；三是在新的背景中，提出新问题。

变换背景而得到的试题新颖、别致，突出考察了学生的综合素质和创新能力，是高考命题由“知识立意”向“能力立意”转化的产物。

为了使考生适应这种新题型，本文将分类进行解析，以供大家在复习备考中参考.一、在传统的问题中，创设新背景§1.1静态问题，创设动态背景【例1】（′04·浙江）点P从（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q的坐标为（）A．（－12，32）B．（－32，12）C．（－12，－32）D．（－32，-12）解析：本题创设了“点沿单位圆运动”这一动态背景，去求圆上点的坐标。

由Q点落在θ=23π的角终边上，得Q（cos23π，sin23π），即为Q（－12，32），故选A．【例2】（′03·北京春）如图1，在正三角形ABC中，图1D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．0°解析：求“三棱锥侧面上两条异面直线所的角”是一个静态问题，这里通过“展平与翻折”这一互动过程，图2更有效地考察了学生的空间想象能力。

比照翻折前后的图形（如图2），容易得到∠ADF为GH与IJ所成的角，而∠ADF=60°，故选 B.§1.2平面问题，创设空间背景【例3】（′04·天津）如图3，图3定点A和B都在平面α内，定点P��α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC.那么，动点C在平面α内的轨迹是（）A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点D．半圆，但要去掉两个点解析：本题是在空间背景中研究平面轨迹问题。

例谈近几年高考题中的新题型

例谈近几年高考题中的新题型江苏省泰州市民兴实验中学丁益民（225300）综观这两年各地高考数学试题便会发现几乎每份试卷,都有一定量的新定义题.这类题目的特点是命题者通过文字或图表等给出了中学数学内容中没有遇到过的新知识,这些新知识可以是新概念、新定义、新定理、新规则或新情境,并且这些解题的信息有可能不是直接给出的,要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移,即读懂新概念,理解新情境,获取有用的新信息,然后运用这些有用的信息进一步演算和推理,从而考察学生在新的情景下,独立获取和运用新信息的能力,综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力.就这两年高考题型的走势来看，高考新题型的结构形式大约有以下的7种。

一、情境新颖型新的立意，新的背景，新的表述，新的设问都能创设试题的新颖情境.【例1】（2020年全国卷Ⅲ）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9十六进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F十进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=【】A.6EB.72C.5FD.B0【点示】情境新颖有三：（1）数符新颖，除熟悉的0，1，…，9这10个数字之外，还有新数字A、B、C、D、E、F. （2）数制新颖，16进制. （3）数意新颖，16进制中的数11，如果说个位数上的1与10进制中的1“数意”相同的话，那么十位数上的1则是另外一种“数意”了；自然，F1这个数在10进制中已经不是两位数了.【解答】我们用符号［x］(10) ，［y］ (16) 分别表示10进制和16进制中的数. 依题意，有［16］(10)=［10］(16)则有A×B=［10×11］(10) =［110］(10)=［6×16+14］(10)=［6×10+E］(16) =6E.答案为A.二、研究学习型【例2】(2020年江苏卷)相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（A）1个（B）2个（C）3个（D）无穷多个【点示】研究有三：（1）正方体内接几何体的空间模型；（2）截面图形；（3）新课标要求的三视图.【解答】法一：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个.法二：通过计算，显然两个正四棱锥的高均为12，考查放入正方体后，面ABCD 所在的截面，显然其面积是不固定的，取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以该几何体的体积取值范围是11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案为D.三、开放探究型开放题在这几年高考中比较多见,有的有明确的条件而无明确的结论，甚至连结果存在与否还不知道，有的有明确结论而无明确的条件，甚至连条件是否存在还不知道.【例3】(2020年北京卷)在数列n a 中，若 a 1，a 2 是正整数，且12n n n a a a --=-,n =3，4，5，…，则称n a 为“绝对差数列”.（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（Ⅱ）若“绝对差数列”n a 中，203a =,210a =，数列n b 满足12n n n n b a a a ++=++ ,n =1，2，3，…，分虽判断当n →∞时, n a 与n b 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.【点示】开放有三：（1）答案不唯一，a 1、a 2可“任意”设置；（2）极限是否存在，不知道；（3）“任何”、“总会”、“无穷个0”都是开放词.【解答】（Ⅰ）解：12345673,1,2,1,1,0,1a a a a a a a =======,89101,0, 1.a a a === （答案不惟一）（Ⅱ）解：因为在绝对差数列{}n a 中203a =,210a =.所以自第 20 项开始，该数列是203a =,210a =,2222242526273,3,0,3,3,,a a a a a a o ======⋅⋅.⋅即自第 20 项开始.每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当n →∞时，n a 的极限不存在.当20n ≥时, 126n n n n b a a a ++=++=,所以lim 6n n b →∞= （Ⅲ）证明：根据定义，数列{}n a 必在有限项后出现零项.证明如下假设{}n a 中没有零项，由于12n n n a a a --=-,所以对于任意的n ，都有1n a ≥,从而当12n n a a -->时, 1211(3)n n n n a a a a n ---=-≤-≥;当 12n n a a --<时, 2121(3)n n n n a a a a n ---=-≤-≥即n a 的值要么比1n a -至少小1，要么比2n a -至少小1.令212122212(),(),n n n n n n n a a a C a a a --->⎧=⎨<⎩1,2,3,,n =⋅⋅⋅ 则101(2,3,4,).A n C C n -<≤-=⋅⋅⋅由于1C 是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 10C <，这与0n C >(1,2,3,,n =⋅⋅⋅) 矛盾. 从而{}n a 必有零项.若第一次出现的零项为第n 项，记1(0)n a A A -=≠，则自第n 项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，A , A , 即331320,,0,1,2,3,,,n k n k n k a a A k a A +++++=⎧⎪==⋅⋅⋅⎨⎪=⎩所以绝对差数列{}n a 中有无穷多个为零的项.四、时代信息型在应用题中, “时代信息题”就显得尤为鲜明：（1）反映生活；（2）联系生产；（3）服务实际；（4）展示科技等等。

数学新题型的定义

数学新题型的定义数学新题型是近年来出现的一种新型的数学考试题型，它与传统数学题型相比，更加注重考察学生的创新思维和解题能力。

本文将从题型背景、题型特点、题型内容、题型解法和题型评价五个方面，对数学新题型进行定义。

一、题型背景数学新题型是在数学考试中逐渐发展出来的一种新型题型，它的出现主要是为了适应当前教育改革和人才培养的需要。

与传统数学题型相比，数学新题型更加注重考察学生的创新思维和解题能力，同时也能够更好地评估学生的数学水平和综合素质。

二、题型特点数学新题型的特点主要表现在以下几个方面：1.创新性：数学新题型的设计通常具有创新性，它不会简单地重复传统题型的模式，而是通过设计新颖的问题情境和解题方式来考察学生的创新思维和解题能力。

2.实用性：数学新题型的设计通常与实际生活和实际问题密切相关，它能够让学生通过解题来了解数学在实际生活中的应用，同时也能够提高学生的应用意识和实践能力。

3.综合性：数学新题型的设计通常涉及多个知识点和解题方法，它能够全面地考察学生的数学水平和综合素质，同时也能够引导学生注重知识点的综合应用和系统性的思考。

4.探究性：数学新题型的设计通常具有一定的探究性，它能够引导学生通过观察、分析、猜想和验证等方法来进行探究式学习，同时也能够提高学生的探究能力和创新能力。

三、题型内容数学新题型的题型内容非常丰富，它可以包括代数、几何、概率、统计等多个方面，也可以结合当前科技发展和社会热点问题进行设计。

具体来说，数学新题型的题型内容可以分为以下几类：1.开放性问题：开放性问题是指那些答案不唯一的问题，它能够引导学生从多个角度来思考问题，从而培养学生的创新思维和解决问题的能力。

2.操作性问题：操作性问题是指那些需要学生进行实际操作的问题，它能够让学生通过动手操作来加深对知识点的理解和应用，同时也能够提高学生的实践能力和创新意识。

3.探究性问题：探究性问题是指那些需要学生进行探究式学习的问题，它能够引导学生通过观察、分析、猜想和验证等方法来进行探究式学习，同时也能够提高学生的探究能力和创新能力。

关于高考数学新题型特征的探索

关于高考数学新题型特征的探索研究（十堰市第一中学王欢）在高考中数学占很重要的地位，教师为了提高学生的数学成绩，使学生能够考上理想的大学，总是尽心尽力的上好每一节课，寻找各种新题型让学生做，推荐经典的复习资料让学生练习。

但是，每年考试结束后，许多学生感慨平时练习的都成了无用功，反观新课改实施以来的高考，好的创新试题层出不穷，高三复习最有效的方法是准确把握课程标准、吃透考试说明，以不变应万变。

本文通过对近几年全国各省的高考真题及模拟题的解析，探索高考数学新题型的特征，与大家共勉。

高考命题由“知识立意”向“能力立意”转化，数学高考题中，有几类新题型，一种是通过变换问题背景得到的，一种是变换问题结构得到的，还有一种是探索性问题。

1通过变换背景得到的新题型1.1以社会热点问题为背景高考中，通常会有此类题型，以目前的社会热点问题如环保、物价、工作报告等内容为背景进行出题，以2011年四川理科第18题为例，可以直观的表明这一点。

例：（2011年高考四川理科卷第18题）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。

某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。

有人独立来该租车点则车骑游。

各租一车一次。

设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11,42；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为11,24；两人租车时间都不会超过四小时。

（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ；解析：（1）所付费用相同即为0,2,4元。

设付0元为1111428P =⋅=，付2元为2111248P =⋅=，付4元为31114416P =⋅= 则所付费用相同的概率为123516P P P P =++=(2)设甲，乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可为0,2,4,6,8()810==ζP ()165212141412=⋅+⋅==ζP ()1654121412141414=⋅+⋅+⋅==ζP ()163412141416=⋅+⋅==ζP ()16141418=⋅==ζP84822E ξ=+++= 1.2 以其它学科知识为背景近年来，高考题中以其他学科为载体考查数学知识的情况越来越多，以此题为例，虽然考查的知识相对简单，但也不容忽视。

浅析高考数学中的“新定义型”试题

浅析高考数学中的“新定义型”试题作者：谢玉龙来源：《新教育时代·教师版》2018年第24期摘要：高考数学考察的是学生分析问题，解决问题的能力，数值计算的能力以及空间想象的能力。

但是在新课改下，更加注重了学生的思维能力与创新能力。

要能够将所学的知识进行灵活的运用，将原来的知识意识转变为能力意识。

本文主要对高考数学中的“新定义型”的题型进行分析。

关键词：高考数学新题型高考数学在高考中占有很重要的地位，无论是文科还是理科，数学都是高考的必考科目，在高考分数中占有很大的比重，掌握高考数学讯息与动态对于高考取得优异的成绩是极其重要的，尤其是新课程改革下，许多省份已经统一更换试卷的类别，并且考试题型也有所变动，这对于应届的考生来说极其重要。

[1]一、高考数学的背景以及“新定义题型”的来源从高考的数学试题的题源来分析，我们高中的教材、课本是试题的主要来源，也是高考命题的主要依据。

所以我们要重视高中数学课本，以课本为出发点，制定有效的复习方案，课本是一切试题的基础，很多高考数学内容源于课本又超越课本，即使超越了课本他也是在课本的基础之上，所以我们要打好基础，必须重视基础，重视课本的内容，必须熟练课本定义、例题和习题等内容。

虽然我们要重视课本，但是在进行系统的复习时，不能照本宣科，完全依赖课本，数学毕竟是需要用题目来熟练课本的内容和规律，要把数学课本知识不断的进行整合，这样可以有效转化目前的一些知识。

例如，在做数学代数，证明相关不等式时，可以利用一些方法有效的把题目进行转化，例如可以用放缩法来求解不等式，也可以利用函数的相关性质来证明不等式，更可以利用三角函数，解析几何的方法来证明不等式，这些方法都是在进行系统复习时，可以有效的把知识进行归类和整合，让课本的作用最优化，也能积极的促进高中数学教育。

[2]高中数学课本的一些基本问题与内容本身为“新定义题型”提供了很多的想法与思路，为能够有效的考查学生数学能力的高考数学提供了很多的题源。

高中数学论文：高考题中的新“主角”—导数

高考题中的新“主角”—导数导数是高中数学新课程中的新增内容，它是微积分的初步知识，是研究函数、解决实际问题的有力工具．从近几年高考来看，对导数这部分内容的考查力度逐年加强，是新增内容的主要得分点．命题的热点主要是：①考查导数的几何意义；②考查利用导数解决有关函数的单调性问题；③考查利用导数解决有关函数的极值问题；④考查利用导数解决有关函数的最值问题；⑤考查导数在实际问题中的应用；⑥考查导数与其它知识相融合的综合问题．基于以上认识，下文通过例题加以详述．一、考查导数的几何意义【例1】（05·北京卷·理12）过原点作曲线x e y =的切线，则切点的坐标为；切线的斜率为．解：设切点为),(00x e x ，则切线的斜率为00x x x e y k ='==，切线方程是)(000x x e e y x x -=- ∵切线过原点，∴ )0(0000x e e x x -=- ∴10=x ，从而切点为),1(e ，切线斜率是e ．点评：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率，切线方程是))((000x x x f y y -'=-．注意：切点既在．．切线上，又在．．曲线上．二、考查利用导数解决有关函数的单调性问题【例2】（05·福建·19）已知函数bx ax x f +-=26)(的图象在点))1(,1(--f M 处的切线方程为 052=++y x . (1)求函数)(x f y =的解析式；(2)求函数)(x f y =的单调区间.解：(1)略解．由点M 在切线上可得 2)1(-=-f ∴ 216-=+--ba ① 又∵ 222)()6(2)()(b x ax x b x a x f +--+=' 且21)1(-=-'f ∴ 21)1()6(2)1(2-=++-+b a b a ② 由①②得2=a ，3=b ，所以所求的函数解析式为 362)(2+-=x x x f ．(2) 222)3(6122)(+++-='x x x x f 由0)(>'x f 得，323323+<<-x ；由0)(<'x f 得，323-<x 或323+>x ． ∴ 函数)(x f 的递增区间是)323,323(+- 递减区间是)323,(--∞和),323(+∞+．【例3】（05·湖南卷·理21）已知函数x x f ln )(=，bx ax x g +=221)(，0≠a ． (1)若2=b ，且函数)()()(x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围．解：当2=b 时，x ax x x h 221ln )(2--= )0(>x ，则 xx ax x h 12)(2-+-='． ∵ 函数)(x h 存在单调递减区间 ∴ 0)(<'x h 有解又∵ 0>x ，则0122>-+x ax 有0>x 的解．①当0>a 时，122-+=x ax y 为开口向上的抛物线，0122>-+x ax 总有0>x 的解； ②当0<a 时，122-+=x ax y 为开口向下的抛物线，而0122>-+x ax 有0>x 的解，则044>+=∆a ，且方程0122=-+x ax 至少有一正根．此时，01<<-a ．综上述，a 的取值范围为),0()0,1(+∞⋃-．点评：导数的引进为解决某些复杂函数．．．．的单调性问题提供了有效途径．对于区间D 内的可导函数)(x f ，(1)若D x ∈时，都有0)(>'x f ，则)(x f 在D 内是增函数；若D x ∈时，都有0)(<'x f ，则)(x f 在D 内是减函数．(2)若函数)(x f 在D 内是增函数，则D x ∈时，恒有0)(≥'x f ；若)(x f 在D 内是减函数，则D x ∈时，恒有0)(≤'x f ．(注意此结论成立的前提条件是：在区间D 的任何子区间内)(x f '不恒为．．．零) 三、考查利用导数解决有关函数的极值问题【例3】（05·重庆卷·理19）已知R a ∈，讨论函数)1()(2+++=a ax x e x f x 的极值点的个数．解：)]12()2([)(2++++='a x a x e x f x ，令0)(='x f ，得 012)2(2=++++a x a x ①当0)4(4)12(4)2(22>-=-=+-+=∆a a a a a a ，即0<a 或4>a 时，方程0)(='x f 有两个不同的实数根1x 、2x ．不妨设21x x <．因为当1x x <时，0)(>'x f ；当21x x x <<时，0)(<'x f ；当2x x >时，0)(>'x f ∴ 函数)(x f 有两个极值点．②当0=∆即0=a 或4=a 时，方程0)(='x f 有两个相同的实数根21x x =，于是21)()(x x e x f x -='，故当1x x <时，0)(>'x f ；当2x x >时，0)(>'x f ，因此函数)(x f 无极值．③当0<∆，即40<<a 时，恒有0)(>'x f ，故函数)(x f 为增函数，此时)(x f 无极值．综上述，当0<a 或4>a 时，函数)(x f 有两个极值点；当40≤≤a 时，函数)(x f 无极值．点评：对于可导函数)(x f ，把满足0)(='x f 的点称为函数)(x f 的驻点．切记两个结论：(1)可导函数．．．．的极值点一定是它的驻点；(2)可导函数的驻点不一定．．．是极值点．求可导函数)(x f 的极值法则：先求函数的驻点，再判断函数驻点左右两侧)(x f '的符号，若)(x f '的符号相反，则驻点是极值点；若)(x f '的符号相同，则驻点不是极值点.四、考查利用导数解决有关函数的最值问题【例4】（05·全国卷Ⅱ·理22）已知0≥a ，函数x e ax x x f )2()(2-=．(1)当x 为何值时，)(x f 取得最小值？证明你的结论．解：]2)1(2[)(2a x a x e x f x --+=' 令0)(='x f ，则02)1(22=--+a x a x ，解得1121+--=a a x ，1122++-=a a x ，从而有下表∴ )(x f 在1x 处取得极大值，2x 处取得极小值∵ 0≥a ∴ 11-<x ，02≥x ，当0<x 时，0)2()(>-=x e a x x x f而当0=x 时，0)(=x f ，且)(x f 在),(21x x 为减函数，在),(2+∞x 为增函数．∴ 当211a a x ++-=时，)(x f 取最小值．点评：连续函数)(x f 在闭区间],[b a 上必有最值．求函数)(x f y =在闭区间],[b a 上的最值可分两步进行：(1)求)(x f y =在),(b a 内的极值；(2)将极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注意：利用导数求函数在开区间．．．上的最值时，一定要根据函数单调性、连续性以及函数值的符号来判断，一般最值在极值点取得．(如本题)五、考查导数在实际问题中的应用【例5】（04·福建·理16）如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图2）．当这个正六棱柱容器的底面边长为时，其容积最大．图1 图2解：设正六棱柱的底面边长为x ，则容器高为)1(23x h -= 容积 2324949)1(23233x x x x sh V +-=-== )10(<<x 由029427)(2=+-='x x x V ，得 32=x 当320<<x 时，0>'V ，32>x 时，0<'V 由实际问题的意义可知，当32=x 时，V 取最大值为31．点评：解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数．把实际问题译为数学语言，抽象成数学问题，选择合适的数学方法求解，尤其要注意使用导数解决最优化的问题及即时速度、边际成本问题，可使复杂问题简单化．注意：在实际问题．．．．中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使0)(='x f 的情形，如果函数在这点有极值，那么极值就是最值．六、考查导数与其它知识相融合的综合问题【例6】（01·北京春季）在1与2之间插入n 个正数1a ，2a ，…，n a ，使这2+n 个数成等比数列；又在1与2之间插入n 个正数1b ，2b ，…，n b ，使这2+n 个数成等差数列．记n n a a a A 21=，n n b b b B +++= 21．(1)求数列}{n A 和}{n B 的通项；(2)当7≥n 时，比较}{n A 和}{n B 的大小，并证明你的结论．解：(1)略解.n n n n n a a a a a a A 2)())((11212=⋅⋅=- ∴22n n A =n b b n B n n 232)(1=+= (2)构造函数x x f x232)(2-= (7≥x )，则 02212)7(27>-=f ．又∵ 0)32(21)3ln 2(21)32ln 2(21)(25272>-=->-='e x f x ∴ )(x f 在),7[+∞上单调递增 ∴ 0)7()(>≥f x f∴ 0)(>n f 即n n2322>，也就是 n n B A >(7≥n )．点评：导数的引进为不等式的证明提供了新途径，本题的关键在于构建函数．另外，数列作为一种特殊函数，也经常可以通过导数来解决相关的问题，主要在于构造一个合理的函数，再根据函数的性质来研究数列问题．导数还可以与解析几何融合，体现了代数与几何的完美结合．注意：欲用导数，先构造函数．．．．．小结：导数作为一类特殊函数，为研究函数的单调性、极值、最值、图象、曲线的切线等问题开辟了新的途径，成为勾通函数与数列、不等式、圆锥曲线等问题的一座桥梁；其重要性不言而喻，在近几年高考中，也得以充分体现．由导数引出的各类综合题必将会是今后高考的重点内容，在平时教学中应给予足够重视．。

高中数学：新定义题型新高考新结构

大题新定义题型继2024年九省联考的第19题考查了新定义问题，已有部分地区考试采用了该结构考试。

2024年的新高考试卷第19题极大可能也会考查新定义问题，难度较大。

新定义题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“规定”等字眼，题目一般使用抽象的语言给出新定义、运算或符号，没有过多的解释说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义要求后马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。

题型一：集合的新定义问题题型二：函数与导数的新定义问题题型三：复数与不等式的新定义问题题型四：三角函数的新定义问题题型五：平面向量的新定义问题题型六：数列的新定义问题题型七：立体几何的新定义问题题型八：平面解析几何的新定义问题题型九：概率统计的新定义问题题型十：高等数学背景下的新定义问题题型一：集合的新定义问题1(2024·广东·惠州一中校联考模拟预测)已知集合A中含有三个元素x,y,z，同时满足①x<y<z；②x+y>z；③x+y+z为偶数，那么称集合A具有性质P.已知集合S n=1,2,3,⋯,2n(n∈N*,n≥4)，对于集合S n的非空子集B，若S n中存在三个互不相同的元素a,b,c，使得a+b,b+c,c+a均属于B，则称集合B是集合S n的“期待子集”.(1)试判断集合A=1,2,3,5,7,9是否具有性质P，并说明理由；(2)若集合B=3,4,a具有性质P，证明：集合B是集合S4的“期待子集”；(3)证明：集合M具有性质P的充要条件是集合M是集合S n的“期待子集”.集合新定义问题的方法和技巧：(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.1(2023·北京·北京四中校考模拟预测)已知集合M =1,2,3,⋯,n n ∈N * ，若集合A =a 1,a 2,⋯,a m ⊆M m ∈N * ，且对任意的b ∈M ，存在a i ，a j ∈A 1≤i ≤j ≤m ，使得b =λ1a i +λ2a j (其中λ1,λ2∈-1,0,1 )，则称集合A 为集合M 的一个m 元基底．(1)分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由；①A =1,5 ，M =1,2,3,4,5 ；②A =2,3 ，M =1,2,3,4,5,6 ．(2)若集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：m m +1 ≥n ；(3)若集合A 为集合M =1,2,3,⋯,19 的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A ．2(2024·北京海淀·高三人大附中校考开学考试)设m 为正整数，集合A ⊆α∣α=t 1,t 2,⋯,t m ,t j ∈-1,1 ,j =1,2,⋯,m . 任取集合A 中的2n +1n ∈N *个元素(可以重复)α1=α1.1,α1.2,⋅⋅⋅,α1.m ，α2=α2.1,α2.2,⋅⋅⋅,α2.m ,⋅⋅⋅，α2n +1=α2n +1.1,α2n +1.2,⋅⋅⋅,α2n +1.m ，M α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1 =y 1,y 2,⋅⋅⋅,y m ，其中y j =α1.j +α2.j +⋅⋅⋅+α2n +1.jα1.j +α2.j +⋅⋅⋅+α2n +1.jj =1,2,⋅⋅⋅,m .(1)若α1=1,-1,-1,-1 ,α2=-1,1,1,-1 ,α3=-1,-1,-1,1 ,α4=1,1,-1,1 ，α5=-1,-1,-1,1 ，直接写出M α1,α2,α3 ,M α1,α2,α3,α4,α5 ；(2)对于α，β，γ∈A ，证明：M α,⋯,αk 个 ,β,⋯,βk 个,γ=M α,β,γ ；(3)对于某个正整数n ，若集合A 满足：对于A 中任意2n +1个元素α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1，都有M α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1 ∈A ，则称集合A 具有性质P n . 证明：若∃n 0∈N *，集合A 具有性质P n 0 ，则∀n ∈N *，集合A 都具有性质P n .题型二：函数与导数的新定义问题1(2024·陕西安康·高三校联考阶段练习)记函数f x 的导函数为f x ，f x 的导函数为f x ，设D 是f x 的定义域的子集，若在区间D 上f x ≤0，则称f x 在D 上是“凸函数”.已知函数f x =a sin x -x 2.(1)若f x 在0,π2上为“凸函数”，求a 的取值范围；(2)若a =2，判断g x =f x +1在区间0,π 上的零点个数.函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，且存在知识点交叉，会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决。

高考新定义题型探究

高考新定义题型探究近年来，中国大陆高考里加入了新的定义题型，以有利于考生把握范围广泛的思维能力。

这种新型的定义题型被称为“定义型题”，其特点是强调考生对概念的理解，要求考生把握一切相关知识，以达到题目要求。

由于这种新型定义题型的到来，有了让考生和教师面对新挑战，给准备高考参加考试的考生和教师带来了新的考验。

一、定义型题的特点定义型题的定义是：考察考生对概念的理解，要求考生把握一切相关知识，以达到题目要求。

这一题型的特点在于：首先该类题目多为重点知识点的测试，更能考察考生知识的厚度和广度；其次是考生要在一定的范围内牢牢把握重要知识点、理解概念，归纳出准确的定义；最重要的是，考生要依据题目要求，把定义和示例融汇贯通，形成解题思路，以表达准确的定义。

二、定义型题的优势定义型题的出现，旨在提高考生知识结构化能力，培养考生能够在文字表达中精准把握知识细节的能力。

它的优势主要体现在以下几点：（1）促进考生对知识的理解定义型题的出现，使考生不仅要求知识的熟练掌握，更要求考生把知识点连接起来，进而理解知识的本质，更深层次的理解知识，从而获得更直观的学习效果。

（2）拓宽考生视野定义型题的出现，也使考生在广泛的学习范围内理解知识，拓展考生思维边界，使考生进一步更新知识和理解问题，从而拓宽考生的学习视野。

（3）激发考生研究兴趣定义型题的出现，可以激发考生的研究兴趣，让考生在完成题目的过程中，更能系统学习，积极投入思考，不断挖掘更新的知识点，从而提高考生解决问题的能力。

三、定义型题的缺点定义型题也有一定的缺点，主要表现在以下几个方面：（1）考生容易偏向熟悉的知识点定义型题的出现，考生在定义时，会偏向熟悉的知识点，而忽略其他比较模糊的概念，从而影响到答题的准确性。

（2）对考生知识点的理解要求较高定义型题的出现，也会进一步提高对考生的知识点的理解要求，在一定程度上增加了考生的压力，容易导致考生出现心理压力，考试效果不尽如人意。

关于高考数学新题型的讨论

关于高考数学新题型的讨论关于高考数学新题型的争论所谓新题型，就是一些高考数学压轴题的创新题型，其没有常规思路，完全靠同学自己分析题意，查找解题方法，意义在于培育同学的创新力气，以及发觉问题，查找方法的能，创新题没有常规解法，但是，有常规解题思路。

并且是只有一种思路。

下面，就给考生们介绍这一常规思路：1. 猜想法猜想法广泛应用于创新题的解题过程中，面对一道创新题，首先要做的就是观看，查找特殊值，通过特殊值查找规律，就如最终一道压轴大题一般，往往通过猜想，证明出第一问。

2. 查找数学关系这个是解创新题的最为关键的步骤，通过对特殊值的观看，查找出这些特殊值的关系，可以画出图像的题确定要画出图像。

3. 大胆猜想，当心论证这些数学关系往往超出我们常规的想象，我们尽量的大胆进行猜想，然后进行当心的论证，要有一种数学的直觉。

4. 归纳与总结总结出这些特殊值的规律，通过规律以及题设条件，将这些规律抽象化，公式化。

5. 总结出一般性的规律，进而用于解题。

总而言之，言而总之，创新题的思路在于由特殊到一般，关键是在于找出这些特殊值的'数学关系。

下面以去年一模试题为例。

作为一道创新提，我们依据以上步骤进行解答。

1.猜想，查找特殊值我们可以看到f(0)=0所以f(1)=1当然，这个是最显而易见的。

当发觉f(1)=1时，通过其次个式子不难看出f(1/5)=1/2。

然后还有什么特殊值呢?我们还能发觉一个比较隐蔽的东西，那就是f(1/2)=1/2。

于是，基本全部的特殊值都找全了。

2.查找特殊值的关系很有意思，我们可以发觉f(1/5)=1/2与f(1/2)=1/2，他俩是相等的，看到这里，我们是不是灵机一动呢?由于这个函数是一个非严格单调递增函数。

那为什么f(1/5)=1/2与f(1/2)=1/2会相等呢?这就是特殊值之间的数学关系。

3.大胆猜想，当心论证。

既然f(1/5)与f(1/2)是相等的，并且函数是非严格单调递增的，所以，f(1/5)与f(1/2)之间的全部值确定等于1/2!4.归纳与总结既然f(1/5)与f(1/2)之间的全部值等于1/2，那么通过其次个式子不难看出f(1/25)与f(1/10)的关系，他俩都等于1/4，于是，我们是不是可以归纳总结出：这么递推下去，是不是确定能有两个数把1/2021夹在其中呢?【关于高考数学新题型的争论】。

高考新数学试卷分析论文

摘要：本文以2024年高考数学全国卷为例，从试卷结构、题型题量、考查内容、能力要求等方面进行分析，旨在探讨高考数学试卷改革的方向和趋势，为高中数学教学提供参考。

一、引言近年来，我国高考改革不断深入，高考数学试卷也在不断调整和优化。

2024年高考数学全国卷在保持稳定性的基础上，更加注重考查学生的数学核心素养和创新能力。

本文将从试卷结构、题型题量、考查内容、能力要求等方面对2024年高考数学全国卷进行分析。

二、试卷结构分析1. 题型题量：2024年高考数学全国卷题型题量保持稳定，共25题，其中选择题10题，填空题5题，解答题10题。

2. 难度分布：试卷难度适中，既有基础题，也有具有一定难度的题目。

选择题和填空题难度较低，主要考查学生的基本知识和基本技能；解答题难度较高，考查学生的综合运用能力。

三、考查内容分析1. 知识点覆盖：试卷涵盖了高中数学课程标准规定的所有知识点，包括集合、函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何等。

2. 突出核心知识：试卷在考查基础知识的同时，更加注重考查学生的核心知识，如函数与导数、三角函数、数列等。

3. 注重实际应用：试卷中的情境设计引导学生关注现实问题和中华优秀传统文化，注重基础知识和技能的考查，同时也考查了学生的数学基本思想方法。

四、能力要求分析1. 思维能力：试卷注重考查学生的逻辑思维、抽象思维和创新能力，通过设置具有一定难度的题目，引导学生运用数学知识解决实际问题。

2. 解决问题的能力：试卷中的情境设计引导学生关注现实问题和中华优秀传统文化，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 综合运用能力：试卷要求学生在解题过程中，综合运用多个知识点，解决综合性问题。

五、结论2024年高考数学全国卷在保持稳定性的基础上，更加注重考查学生的数学核心素养和创新能力。

试卷结构合理，题型题量适中，考查内容全面，能力要求较高。

这对高中数学教学提出了更高的要求，教师应注重培养学生的数学思维能力、解决问题的能力和综合运用能力，为学生的全面发展奠定基础。

北京高考数学新定义

北京高考数学新定义《北京高考数学新定义，一场独特的思维之旅》嘿，同学们！咱今儿来聊聊北京高考数学的新定义。

这可真是个新奇又有趣的玩意儿啊！你说数学，那可不就是数字和符号的奇妙组合嘛。

但这新定义，就像是在这奇妙组合里突然加入了一些特别的调料，让整个味道都不一样了。

就好像你一直吃着白米饭，突然有一天给你加上了一勺香喷喷的肉酱，那感觉，绝了！新定义题啊，有时候就像个小怪兽，看着怪吓人的，但你只要鼓起勇气去接近它，嘿，说不定就发现它其实也没那么可怕。

它可能会出一些你从来没见过的概念，让你一下子懵了。

但别怕呀，咱就静下心来，好好琢磨琢磨。

我记得我当年遇到一道新定义题，那题目里说的一个什么“奇异数”，我当时就想，这啥呀，从来没听说过。

可我没慌，我就仔细看题目给的条件，一点一点分析。

慢慢地，我好像有点明白了，就像在黑暗中找到了一丝亮光。

然后顺着那亮光走啊走，嘿，还真就走出来了。

做新定义题，你得有想象力。

别被那些固定的思维框住了，要大胆地去想。

就像画画一样，你不能只在那小小的画框里涂颜色，得把整个画布都利用起来。

比如有个新定义说什么“梦幻图形”，那你就放开了去想，什么样的图形能叫梦幻呀，是五彩斑斓的，还是奇形怪状的。

还有啊，新定义题也是锻炼你耐心的好机会。

有时候可能半天都找不到头绪，但你可不能着急上火。

就像钓鱼一样，你得有耐心等鱼儿上钩。

也许一开始没动静，但说不定下一秒就有惊喜呢。

其实，北京高考数学的新定义不仅仅是一道题，它更是一次对我们思维的挑战和拓展。

它让我们看到数学不仅仅是那些死记硬背的公式和定理，还有那么多新奇的、好玩的东西等着我们去发现。

它就像一把钥匙，打开了我们思维的另一扇门，让我们看到了更广阔的世界。

所以啊，同学们，别害怕新定义题。

勇敢地去迎接它，和它来一场有趣的思维之旅吧！让我们在数学的海洋里尽情遨游，去探索那些未知的奇妙世界！。

的高考数学命题有哪些革新

的高考数学命题有哪些革新随着时代发展和教育改革的推进，高考数学命题也在不断进行着革新。

本文将围绕着高考数学命题的革新，从题型、考点、思维等多方面进行探讨。

一、题型上的革新传统的高考数学题型主要包括选择题和解答题，但在近年来，更多的新题型被引入，如填空题、判断题、应用题等，这些新题型的引入既能考查学生的基本数学素养，又能考查他们的综合能力及解决实际问题的能力。

其中，填空题的出现最让人感到惊讶，它挑战了高考评测方式的格局，考察能力更为全面的考生。

在这种题型中考生不仅需要知道计算方法，还要掌握填空的技巧。

填空题的出现让高考数学命题更富有挑战性。

二、考点上的革新高考数学的考点是随着时代和社会发展而不断发生变化的。

在现代社会，信息意识成为了一种热门的考点。

教育部门也重视学生信息素养的培养，将信息素养纳入考试内容中，传达出将数字内容与技能结合得到重视的信号。

另外，与以往不同的是，现在高考数学充分考虑了人文社会学科的内涵。

体现对国家法律法规精神的全面贯彻，增强现代公民应有的社会责任感，探索实现数学与人文科学的有机结合。

三、思维方式上的革新高考数学考察的不仅是学生的计算能力，更是学生的思维能力。

传统的考试方式强调计算过程，因此在题目设定和命题方式上缺乏灵活性。

现代考试倾向于发展创新性思维。

对于考察能力的设计更加充分的考虑到了沟通能力、创造意识、批判性思维以及信息处理能力等方面。

总的来说，高考数学命题的革新旨在打破传统的定式，多角度地考查学生的能力。

随着新媒体的普及和网络技术的发展，数学知识已成为信息时代的基石，这也使得各种各样的数学知识和集成数学技能得到了更加广泛的应用，而高等教育也已经从过去的单一的计算器转向了现在的计划机。

为此，高考数学的传统命题方式，已不能够完全适应现代教育的需求。

幸运的是，随着新题型的出现，数学教育又有了一个新的转型。

未来的高考数学命题也将继续以这种趋势向新的高峰方向发展。

新高考新宠儿

新高考新宠儿作者：薛钧来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2009年第12期1 新高考对解析几何的考查带来新变化第2小题难从上表中我们可以清晰看出,自从江苏省04年独立自主命题以来对圆的考查可以分为两个明显的阶段:(1)04至07年,即新高考开始前;(2)08、09两年,即新高考开始后到现在。

两个阶段相对照,变化比较明显:首先,所占的分值变重了(07年没考,但08年占19分,09年占16分都远超过前面几年);其次,考查的难度增加了,较之以前更灵活了,当然根本的原因是在新课标下考纲对这一部分的要求提高了。

08年前,一直在解析几何“界”中“呼风唤雨”的是椭圆(当然还有双曲线、抛物线),为什么新高考开始后它们就集体“失宠”,而且双曲线甚至已经到被遗弃的边缘呢?究其原因,在新课程理念指导下的命题理念的变化是一个重要原因。

现在的高考命题越来越趋向于以下几个共同的认识:(1)在知识的交汇处命题;(2)减少题量,降低难度,增加学生的分析思考的时间(多考一点想,少考一点算);(3)试题切入容易深入难;(4)避免死记硬背的内容和繁琐的运算。

而这些恰恰是圆所具备的(而有些恰是圆锥曲线所不具备的)!2 新高考对圆的考查带来新气象2.1 新气象一:形更新由于圆有优美的平面几何性质,以及直线与圆有灵活的位置关系,因此常常能对圆命出形式新颖的考题来.2.1.1 非圆而是圆例1 (08江苏13)若AB=2,AC=2BC,则SΔABC的最大值 .解法1:设BC=x,AC=2x,从而AB2=x2+2x2+22x2cos C=4,即cos C=4-3x222x 2.而S2ΔABC=12x4sin2C=12x4(1-cos2C)=12x4(1-(4-3x2)28x4)=-x4+24x2-1616,又(2+1)x>22+x>2得x∈(2(2-1),2(2+1)),故当x=23时SΔABC最大为22.解法2:由已知得,C到A的距离与到B距离之比为2,以AB直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,设C(x,y)则(x+1)2+y2=2(x-1)2+y2,化简得x2-6x+y2+1=0,故,当x=3时,SΔABC最大为22.本题貌似考查解三角形,实考圆的知识.若同学们在审题后就题论题,从解三角形角度着手,很容易身陷泥潭.这种指东打西,明修栈道暗度陈仓的考题需要我们具备较强的解题、审题能力!下面,我们再来欣赏一道上海高考题的变式.2.1.2 似圆又非圆例2 (改编自09年上海高考第14题)将函数y=4+6x-x2-2(x∈[0,6])的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0≤θ≤α),得到曲线C.若对于每一个旋转角θ,曲线c都是一个函数的图像,则tanα的最大值为 .解:由y=4+6x-x2-2得:(x-3)2+(y+2)2=13(x∈0,6),它的图象是以(3,-2)为圆心,13为半径的一段圆弧,设过原点且与曲线C相切的直线为y=kx,当θ=0时,k=-1k OC=32,此时直线的倾斜角为β,即tanβ=32,当切线与y轴重合时,曲线上的点满足函数的定义,即是一个函数的图象,再逆时针旋转时,曲线不再是一个函数的图象,旋转角为90°-β,则tan(90°-β)=32,即tanα=23.本考题的出发点很小,貌似考查图形(也就是圆弧)的旋转,但其中涉及到函数的定义、圆的标准方程、圆的切线、直线的斜率、直线的倾斜角、诱导公式等等,它在甄别概念,弄清联系等方面是一道很好的考题.2.2 新气象二:质更优自从新高考调整了对圆的要求后,在解答题上也出现了综合性较强、思维容量较大的综合题,已经取代了椭圆(包括双曲线、抛物线)在高考中的霸主地位,不仅分值的比重加大,难度质量与以前也大不相同.我们以05和09这两年江苏高考解答题中出现的关于圆的综合题为例进行比较.例3 (05江苏19)如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1与圆O2的切线PM、PN(M,N分别为切点),使得PM=2PN,试建立适当的直角坐标系求出动点P的轨迹方程.(占分12分)解:以O1O2所在的直线为x轴,以它们的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.设P(x,y),则由题意得:(x+2)2+y2=2((x-2)2+y2)化简得x2-8x+y2+4=0.例4 (09江苏18)在平面直角坐标系xoy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为23,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.(占分16分)解:(1)y=0或y=-724(x-4)(过程略);(2)设点P(a,b)满足条件,不妨设直线l1:y-b=k(x-a),k≠0,则直线l2:y-b=-1k(x-a).因为圆C1和圆C2的半径相等以及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆心C2到直线l2的距离相等,即1-k(-3-a)-b1+k2=5+1k(4-a)-b1+1k2,整理得1+3k+ak-b=5k+4-a-bk,从而(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5,因为k的取值有无穷多个,所以a+b-2=0b-a+3=0或a+b-5=0b-a-8=0,解得a=52b=-12或a=-32b=132, 这样的P点只可能是(-32,132)或(52,-12).经检验,上述两点均满足题意.从上述两题的解题过程我们可以清晰的看到,05年的第19题(也是解答题的第一题)主要还是侧重于基础知识的考查,而09年的第18题(也是全卷的倒数第三题)不仅考查基础知识(第一小题),更侧重于能力(包括代数推理与代数运算能力)的考查(第二小题),不仅是分值变多了,更重要的是质量也变重了!3 结束语课程理念的变化带来高考命题的变化,高考命题的变化又带来我们高中教学和复习迎考的变化,紧扣课标、紧扣考纲是我们复习迎考避免走弯路、走错路的重要法宝!。

高考数学考前查缺补漏系列热点02 新问题新情景,如何面对高考中新定义问题？

新问题新情景，如何面对高考中新定义问题？在近几年全国、各省的高考数学命题中,“新定义”问题越来越受到关注和重视.所谓“新定义”问题,是相对于高中教材而言,指在高中教材中不曾出现过的概念、定义.它的一般形式是:由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则,或者给出一个抽象函数的性质等,然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题.“新定义”问题总的来说题型较为新颖,所包含的信息丰富,能较好地考查学生分析问题、解决问题的能力.掌握好下列几种解题的思路与方法,为我们在宏观上把握这类题型提供了思维方向. 一．以集合为背景的新问题已知集合{(,)|,,A x y x n yn a b n ===+∈Z ,{(,)|,B x y x m ==2312,y m =+m ∈Z }.若存在实数,a b 使得AB ≠∅成立,称点(,)a b 为“￡”点，则“￡”点在平面区域22{(,)|108}C x y x y =+≤内的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个【答案】A2222222222222+108108,1441210812,12360,(6)0, 6.10872,12144,72,72,a b a b a b b b b b b b a b a b a a a ≤∴≤-∴≤+≤-+∴-+≤∴-≤∴=∴≤-=+≥∴≥∴=∴=±，代入（1）可得方程无整数解，故满足条件的点不存在，选A.例2 [2011·福建卷] 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论： ①2011∈[1]； ②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中，正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C二．以函数为背景考查新定义例3[2011·天津卷] 对实数a和b ，定义运算“⊗”；a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞) B．(－2，－ 1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1]则f (x )的图象如图，∵函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，∴函数y ＝f (x )与y ＝c 的图象有两个交点，由图象可得－2<c ≤－1，或1<c ≤2.例4【山东省青岛市2012届高三期末检测】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()f x 的图象恰好通过*(N )n n ∈个整点，则称函数()f x 为n 阶整点函数.有下列函数①1()f x x x =+(0)x > ② 3()g x x = ③1()()3x h x = ④()ln x x ϕ=，其中是一阶整点函数的是 A ．①②③④B ．①③④C ．④D ．①④【答案】D三、以向量为背景的新定义例5 【2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)】已知i 、j 、k 为两两垂直的单位向量，非零向量)R ,,(321321∈++=a a a k a j a i a a ，若向量a 与向量i 、j 、k 的夹角分别为α、β、γ，则=++γβα222cos cos cos ．【答案】1【解析】设i 、j 、k 为长方体的共顶点的三条棱的方向向量，因非零向量)R ,,(321321∈++=a a a k a j a i a a ，故a 可为长方体体对角线的方向向量，则α、β、γ分别为,,,E A B C A E D A E ∠∠∠则有cos ,cos ,cos ,AB AC ADEAB CAE DAE AE AE AE∠=∠=∠= =++γβα222cos cos cos 2222221.AB AC AD AE AE AE++==解：由“线性相关”的定义，知存在不全为零的实数k 1，k 2，k 3，使得1122330k a k a k a ++=．即k 1(1，0)＋k 2(－1，1)＋k 3(2，2)＝(0，0)．不妨取k 3＝1，则k 2＝2，k 1＝－4． ∴ k 1，k 2，k 3依次可取－4，2，1．ABCDE分析2：根据线性相关的定义和向量加法的运算法则，我们可以得该题的一般解法．解法2：设存在3个不全为零的实数k 1，k 2，k 3，使得122230ka k a k a ++=．则12323020k k k k k ++=⎧⎨-+=⎩，不妨设k 3≠0，于是解得132342k k k k =-⎧⎨=⎩．故存在三个非零实数－4k 3，2k 3，k 3使得313233420k a k a k a -++=，于是123,,a a a 线性相关，特殊地，取k 3＝1．四．以数列为背景的新定义例7【湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考】当n 为正整数时，定义函数()N n 表示n 的最大奇因数．如(3)3,(10)5N N ==，…．记()(1)(2)(3)(2)n S n N N N N =++++．则（1）(4)S = ．（2）()S n = ．【答案】86；423n +（2）()[135(21)][(2)(4)(6)(2)],n n S n N N N N =++++-+++++11()4(1)(1),(1)1n S n S n n S N -∴=+-≥==又，12142()444413n n n S n --+∴=+++++=．例8 [2011·北京卷] 若数列A n ：a 1，a 2，…，a n (n ≥2)满足|a k ＋1－a k |＝1(k ＝1,2，…，n －1)充分性：由于a 2000－a 1999≤1.a 1999－a 1998≤1. ……a 2－a 1≤1.所以a 2000－a 1≤1999，即a 2000≤a 1＋1999. 又因为a 1＝12，a 2000＝2011. 所以a 2000＝a 1＋1999.故a k ＋1－a k ＝1>0(k ＝1,2，…，1999)，即E 数列A n 是递增数列．综上，结论得证．(3)对首项为4的E 数列A n ，由于 a 2≥a 1－1＝3， a 3≥a 2－1≥2， ……a 8≥a 7－1≥－3， ……所以a 1＋a 2＋…＋a k >0(k ＝2,3，…，8)．所以对任意的首项为4的E 数列A n ，若S (A n )＝0，则必有n ≥9.又a 1＝4的E 数列A 9：4,3,2,1,0，－1，－2，－3，－4满足S (A 9)＝0，所以n 的最小值是9.【最新模拟试题训练】【答案】A【解析】 T 全部是偶数，V 全部是奇数，那么T ，V 对乘法是封闭的，但如果T 是全部偶数和1,3，那么此时T ，V 都符合题目要求，但是在V 里面，任意取的数是－1和－3，那么相乘等于3，而V 里面没有3，所以V 对乘法不封闭．排除B 、C 、D 选项，所以“至少一个”是对的．2.【2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)】对向量12(,)a a a =，12(,)b b b =定义一种运算“⊗”．12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗=，已知动点P 、Q 分别在曲线sin y x =和()y f x =上运动，且OQ m OP n =⊗+(其中O 为坐标原点)，若1(,3),(,0)26m n π==，则()y f x =的最大值为A ．12B ．2C ．3D 【答案】C 【解析】设又11sin ,sin(2),3sin(2),333y y x x y x ππ=∴=-∴=-显然当sin(2)13x π-=时，取得最大值为3.3.【北京市石景山区2011—2012学年高三第一学期期末考试】对于使M x x ≤+-22成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若+∈R b a 、，且1=+b a ，则122a b--的上确界为（） A ．92B ．92-C ．41 D ．-4【答案】B4.【山东省日照市2012届高三12月月】若数列{}()为常数满足d N n d a a a nn n ,111*+∈=-，则称数列{}n a 为“调和数列”.已知正项数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为“调和数列”，且90921=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++b b b ，则64b b ⋅的最大值是A.10B.100C.200D.400【答案】B【解析】由已知得{}n b 为等差数列，且，＞b b b n 0,2064又=+所以.100226464=⎪⎭⎫⎝⎛+≤⋅b b b b6.【宁夏银川2012年高三教学质量检测】若直线坐标系平面内的两点P,Q 满足条件：（1）P,Q 都在函数()y f x =的图像上；（2）P 、O 关于原点对称。

高考新定义题型探究

高考新定义题型探究随着我国经济社会的发展，高考考试已经从专注传统学科知识转化为考查学生综合素质的过程，考试题型也逐渐从传统的客观题转向更为复杂的新型题型。

如何提高学生的题型解答能力，进一步贯彻高考取向，以扩大高考的视野，提高考试的公平性，已成为高考改革的重要内容之一。

首先，要在考试中引入新题型。

新定义题型可以采用多题组合的形式，如连环题、排序题、综述题、抉择题等。

多题组合更具有综合性，可检验学生的多维度知识分析能力，是符合发展理念的考试方法。

另外，要把新题型与学科知识相结合，考查学生考虑知识和处理问题的能力，深入探讨问题的本质，让学生体会到学习的乐趣所在。

其次，要实施小组式学习，促进学生参与。

小组式学习可以帮助学生发现问题、探究解决方案，在这种学习模式下，学生可以互相帮助，彼此研讨题型，增强理解能力和分析能力，进而提高新定义题型的解答能力。

此外，要更加关注学生在实践及综合活动中的表现。

比如在社会实践、模拟考试、评比活动中，对学生的综合学习水平有较高的考量，并以此来激励学生努力学习，及时发现学生的知识盲点，纠正解题方法，更加充分地发挥学生的潜能。

最后，要加强多学科教育的结合。

多学科教育能促进学生多方位地思考分析问题，学习新定义题型时，可以从不同学科的角度，更全面、深入地把握新题型，辅助学生认知问题本质，并利用这种框架解决实践中遇到的问题。

综上所述，新定义题型的探究有助于开发学生更复杂的思维能力，加强学生的多元选择综合能力。

新定义题型的设置，在考查学生的知识水平和能力水平的同时也要及时给出考核标准，明确考试要求，保证客观公正的考试环境，才能把握新定义题型的深度和广度，从而真正提高高考的考查水平，推进教育公平发展和改革。

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