人教新课标版数学高一- 必修4作业 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

课时目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．

1．倍角公式

(1)S 2α：sin 2α＝2sin αcos α，sin α2cos α2＝1

2sin α；

(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1 ＝1－2sin 2α；

(3)T 2α：tan 2α＝2tan α

1－tan 2α.

2．倍角公式常用变形

(1)sin 2α2sin α＝__________，sin 2α2cos α＝__________； (2)(sin α±cos α)2＝__________；

(3)sin 2α＝______________，cos 2α＝______________.

一、选择题

1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32 2．函数y ＝2cos 2(x －π

4)－1是( )

A ．最小正周期为π的奇函数

B ．最小正周期为π

2的奇函数

C ．最小正周期为π的偶函数

D ．最小正周期为π

2

的偶函数

3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π

3＋2α)的值为( )

A ．－13

B ．－79 C.13 D.7

9

4．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ

的值为( )

A ．3

B ．－3

C ．－2

D ．－12

5．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ

2的值是( )

A ．－

105 B.105 C ．－155 D.155

6．已知角α在第一象限且cos α＝3

5，则1＋2cos (2α－π

4)

sin (α＋π

2)

等于( )

A.25

B.75

C.145 D ．－25

二、填空题 7.

3－sin 70°

2－cos 210°

的值是________．

8．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋7

4的最大值是______．

9．已知tan θ

2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ

＝______.

10．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π

2)，则α＝________.

三、解答题

11．求证：3－4cos 2A ＋cos 4A

3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4 A .

12．若cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－45，5π4

x 1＋tan x 的值． 能力提升

13．求值：cos 20°cos 40°cos 80°.

14．求值：tan 70°·cos 10°·(3tan 20°－1)．

1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：

8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α

2n

＝

2·α

2

n ＋1 (n ∈N *)． 2．二倍角余弦公式的运用

在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式： ①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α

2

.

3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

答案

知识梳理

2．(1)cos α sin α (2)1±sin 2α (3)1－cos 2α2 1＋cos 2α

2

作业设计 1．B 2.A

3．B [cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π

6－α)]

＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－7

9.]

4．A [∵1－tan θ2＋tan θ

＝1，∴tan θ＝－1

2.

∴cos 2θ

1＋sin 2θ＝cos 2

θ－sin 2

θ(sin θ＋cos θ)2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝⎛⎭⎫－121＋⎝⎛⎭

⎫

－12＝3.] 5．C [∵5π2<θ<3π，|cos θ|＝1

5，

∴cos θ<0，cos θ＝－1

5.

∵5π4<θ2<32π，∴sin θ2<0. 由sin 2θ2＝1－cos θ2＝35，

∴sin θ2＝－155

.]

6．C [∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45.

∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－7

25，

sin 2α＝2sin αcos α＝24

25

，

原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π

4)cos α＝1＋cos 2α＋sin 2α

cos α＝14

5.]

7．2