第七章第7讲分层演练直击高考

第七章
立体几何
8．(2016· 高考全国卷甲)如图，菱形 ABCD 的 对角线 AC 与 BD 交于点 O， AB＝5， AC＝6， 5 点 E，F 分别在 AD，CD 上，AE＝CF＝ ， 4 EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置， OD′ ＝ 10. (1)证明：D′H⊥平面 ABCD； (2)求二面角 BD′AC 的正弦值．
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→ → (2)如图，以 H 为坐标原点，HF的方向为 x 轴正方向，HD的 → 方向为 y 轴正方向，HD′的方向为 z 轴正方向，建立空间直 角坐标系 Hxyz.则 H(0，0，0)，A(－3，－1，0)，B(0，－5， → → 0)，C(3，－1，0)，D′(0，0，3)，AB＝(3，－4，0)，AC＝ → (6，0，0)，AD′＝(3，1，3)．
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→ m· BC＝0， 设 m＝(x，y，z)是平面 BCF 的法向量，由 → BF＝0， m·
－2 3x－2 3y＝0， 可得 － 3y＋3z＝0.
3 可得平面 BCF 的一个法向量 m＝(－1，1， )． 3 因为平面 ABC 的一个法向量 n＝(0，0，1)， m· n 7 所以 cos〈m，n〉＝ ＝ . |m|· |n | 7 7 所以二面角 F BC A 的余弦值为 . 7
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[解 ]
(1)证明：以 D 为原点，建立如图所示
的空间直角坐标系 Dxyz， 设 AD＝a， 则 D(0， 0，0)，A(a，0，0)，B(a，1，0)，B1(a，1，
a 1)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)，E2，1，0， a → → 所以C1D＝(0，－1，－1)，D1E＝2，1，－1，
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[解 ]
(1)证明：设 FC 的中点为 I，连接 GI，HI，在△CEF
中，因为点 G 是 CE 的中点，所以 GI∥EF. 又 EF∥OB，所以 GI∥OB．
在△CFB 中，因为 H 是 FB 的中点，所以 HI∥BC． 又 HI∩GI＝I，所以平面 GHI∥平面 ABC． 因为 GH⊂平面 GHI， 所以 GH∥平面 ABC．
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7．(2017· 昆明市两区七校调研)如图，在长 方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB＝AA1＝1，E 为 BC 中点． (1)求证：C1D⊥D1E； (2)在棱 AA1 上是否存在一点 M，使得 BM∥平面 AD1E？若 AM 存在，求 的值；若不存在，说明理由； AA1 (3)若二面角 B1­AE­D1 的大小为 90°，求 AD 的长．
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(2)连接 OO′，则 OO′⊥平面 ABC． 又 AB＝BC，且 AC 是圆 O 的直径，所以 BO⊥AC． 以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz. 由题意得 B(0，2 3，0)，C(－2 3，0，0)． → 所以BC＝(－2 3，－2 3，0)， 过点 F 作 FM 垂直 OB 于点 M， 所以 FM＝ FB2－BM2＝3， → 可得 F(0， 3，3)．故BF＝(0，－ 3，3)．
6x2＝0， 3x2＋y2＋3z2＝0，
所以可取 n＝(0，－3，1)．
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－14 m· n 7 5 于是 cos〈m，n〉＝ ＝ ＝－ ， |m||n| 25 50× 10 2 95 sin〈m，n〉＝ . 25 2 95 因此二面角 BD′AC 的正弦值是 . 25
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[解] (1)证明：由已知得 AC⊥BD，AD＝CD． AE CF 又由 AE＝CF 得AD＝CD，故 AC∥EF. 因此 EF⊥HD，从而 EF⊥D′H. 由 AB＝5，AC＝6 得 DO＝BO＝ AB2－AO2＝4. OH AE 1 由 EF∥AC 得DO ＝AD＝ . 4 所以 OH＝1，D′H＝DH＝3. 于是 D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故 D′H⊥OH. 又 D′H⊥EF，而 OH∩EF＝H，所以 D′H⊥平面 ABCD．
a → → AE＝ －2，1，0 ，AB1＝(0，1，1)，
a → AE·m＝－2x′＋y′＝0， 则 → AB1·m＝y′＋z′＝0，
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Байду номын сангаас
所以平面 B1AE 的一个法向量为 m＝(2，a，－a)． 因为二面角 B1­AE­D1 的大小为 90°， 所以 m⊥n，所以 m· n＝4＋a2－2a2＝0， 因为 a＞0，所以 a＝2，即 AD＝2.
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2．在三棱锥 PABC 中，PA⊥平面 ABC，∠BAC＝90°，D， E，F 分别是棱 AB，BC，CP 的中点，AB＝AC＝1，PA＝2， 则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为( 1 A． 5 5 C． 5 2 5 B． 5 2 D． 5 )
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C
[解析] 以 A 为原点，AB，AC，AP
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4． 如图， P­ABCD 是正四棱锥， ABCD­A1B1C1D1 是正方体， 其中 AB＝2， PA＝ 6， 则 B1 到平面 PAD 的距离为________．
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[解析] 以 A1B1 所在直线为 x 轴，A1D1 所在直 线为 y 轴，A1A 所在直线为 z 轴建立空间直角 → → 坐标系，则AD＝(0，2，0)，AP＝(1，1，2)， 设平面 PAD 的法向量是 m＝(x，y，z)，所以由 → m · AD＝0， → AP＝0， m·
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6．(2016· 高考山东卷)在如图所示的圆台中， AC 是下底面圆 O 的直径， EF 是上底面圆 O′ 的直径，FB 是圆台的一条母线． (1)已知 G， H 分别为 EC， FB 的中点， 求证： GH∥平面 ABC； 1 (2)已知 EF＝FB＝ AC＝2 3，AB＝BC， 2 求二面角 F BC A 的余弦值．
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设平面 DFE 的法向量为 n＝(x，y，z)， → n· DE＝0， y＝0， 则由 得 → －x＋y＋2z＝0. DF＝0， n· 取 z＝1，则 n＝(2，0，1)，设直线 PA 与平面 DEF 所成的角 → |PA·n| 5 为 θ， 则 sin θ＝ ＝ ， 所以直线 PA 与平面 DEF 所成 5 → |PA||n| 5 角的正弦值为 . 5
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→ → 因为 BM∥平面 AD1E， 所以BM⊥n， 即BM· n＝2ah－a＝0， 1 所以 h＝ .即在 AA1 上存在点 M，使得 BM∥平面 AD1E，此 2 AM 1 时 ＝ . AA1 2 (3)连接 AB1， B1E， 设平面 B1AE 的法向量为 m＝(x′， y′， z′)，
1 （1，0，0）· ，－1，1 2 1 → → ＝ |cos 〈 BA ， FA 〉 | ＝ ＝ ，所以 12 3 2 2 1× ＋（－1） ＋1 2
2 2 cos θ＝ . 3 2 2 即 AF 与平面 BEB1 所成角的余弦值为 . 3
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→ 所以BA1＝(0，1，1)， → AC1＝(－1，0，1)， → → 所以 cos〈BA1，AC1〉 → → BA1·AC1 1 1 ＝ ＝ ＝ ， → → 2× 2 2 |BA1|·|AC1| → → 所以〈BA1，AC1〉＝60°， 所以异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于 60°.
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3．(2017· 云南省第一次检测)在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB ＝1，点 D 在棱 BB1 上，若 BD＝1，则 AD 与平面 AA1C1C 所成角的正切值为________．
[解析] 如图，设 AD 与平面 AA1C1C 所成的角 为 α，E 为 AC 的中点，连接 BE，则 BE⊥AC， → → → 所以 BE⊥平面 AA1C1C，可得AD·EB＝(AB＋ 3 3 3 3 → → → → BD)· EB＝AB· EB＝1× × ＝ ＝ 2× × 2 2 4 2 6 → → cos θ(θ 为AD与EB的夹角)， 所以 cos θ＝ ＝sin 4 cos θ 15 α，所以所求角的正切值为 tan α＝ ＝ . sin θ 5 15 [答案] 5
所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如 图所示的空间直角坐标系，由 AB＝AC＝ 1，PA＝2，得 A(0，0，0)，B(1，0，0)，
1 C(0 ， 1， 0)， P(0， 0， 2) ， D2，0，0， 1 1 1 1 → → E2，2，0， F0，2，1.所以PA＝(0， 0， －2)， DE＝0，2，0， 1 1 → DF＝－2，2，1.
→ → 所以C1D·D1E＝0，所以 C1D⊥D1E.
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AM → (2)设 ＝h， 则 M(a， 0， h)， 连接 BM， 所以BM＝(0， －1， AA1
a → → h)，AE＝ －2，1，0 ，AD1＝(－a，0，1)，
设平面 AD1E 的法向量为 n＝(x，y，z)， a → AE·n＝－2x＋y＝0 则 ， → AD1·n＝－ax＋z＝0 所以平面 AD1E 的一个法向量为 n＝(2，a，2a)，
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设 m＝(x1，y1，z1)是平面 ABD′的法向量，则 → m · AB＝0， 3x1－4y1＝0， 即 → 3x1＋y1＋3z1＝0， AD′＝0， m· 所以可取 m＝(4，3，－5)． → n· AC＝0， 设 n＝(x2，y2，z2)是平面 ACD′的法向量，则 即 → n · AD ′ ＝ 0，
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2y＝0， 可得 x＋y＋2z＝0.
→ 取 z＝1，得 m＝(－2，0，1)，因为B1A＝(－2，0，2)， → |B1A·m| 6 所以 B1 到平面 PAD 的距离 d＝ ＝ 5. |m| 5
6 [答案] 5 5
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5．已知单位正方体 ABCDA1B1C1D1，E，F 分别是棱 B1C1， C1D1 的中点．试求： (1)AD1 与 EF 所成角的大小； (2)AF 与平面 BEB1 所成角的余弦值．
→ → 所以 cos〈AD1，EF〉＝
2 2× 2
1 ＝ ， 2
即 AD1 与 EF 所成的角为 60°.
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1 → → (2)FA＝ 2，－1，1 ，由图可得，BA＝(1，0，0)为平面 BEB1
的一个法向量，设 AF 与平面 BEB1 所成的角为 θ，则 sin θ
[解 ]
建立如图所示的空间直角坐标系， 得
A(1， 0， 1)， B(0， 0， 1) ， D1(1， 1， 0) ，
1 1 E0，2，0，F2，1，0.
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1 1 → → (1)因为AD1＝(0，1，－1)，EF＝2，2，0， 1 1 ， ，0 （0，1，－1）· 2 2
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1．在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，若∠BAC＝90°，AB＝AC ＝AA1，则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于( A．30° C．60° B．45° D．90° )
C
[解析] 不妨设 AB＝AC＝AA1＝1，建立空间直角坐标系
如图所示，则 B(0，－1，0)，A1(0，0，1)，A(0，0，0)，C1(－ 1，0，1)，
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9． (2016· 高考天津卷)如图， 正方形 ABCD 的 中 心 为 O ， 四 边 形 OBEF 为 矩 形 ， 平面 OBEF⊥平面 ABCD，点 G 为 AB 的中点， AB＝BE＝2. (1)求证：EG∥平面 ADF； (2)求二面角 O EF C 的正弦值； 2 (3)设 H 为线段 AF 上的点，且 AH＝ HF，求直线 BH 和平 3 面 CEF 所成角的正弦值．