度量空间中的紧致性

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浅谈度量空间

分院名称：数学学院

学生学号：0607140726

长春师范学院

本科毕业论文（设计）

（理工类）

题目：浅谈度量空间

专业：数学与应用数学

作者姓名：吴丹

指导教师姓名：赵虹

指导教师职称：副教授

2010年 5 月

长春师范学院本科毕业论文（设计）作者承诺保证书

本人郑重承诺：本篇毕业论文（设计）的内容真实、可靠。如果存在弄虚作假、抄袭的情况，本人愿承担全部责任。

论文作者签名：

日期：年月日

长春师范学院本科毕业论文（设计）指导教师承诺保证书

本人郑重承诺：我已按有关规定对本篇毕业论文（设计）的选题与内容进行指导和审核，坚持一人一题制，确认由作者独立完成。如果存在学风问题，本人愿意承担指导教师的相关责任。

指导教师签名：

日期：年月日

承诺保证书……………………………………………………………………………… I

1 度量空间的定义 (1)

2 度量空间的一些例子 (2)

3 度量空间的一些简单性质 (5)

4 度量空间的紧致性与完备性 (8)

4.1 度量空间的紧致性 (9)

4.2 度量空间的完备性 (10)

参考文献 (13)

英文摘要 (14)

浅谈度量空间

吴丹

摘要：度量空间是一类特殊的拓扑空间，并且它是理解拓扑空间的一个重要过程. 因

此，本文通过度量空间的基本概念，力图给出度量空间的一些重要性质. 并且引入一些度量空间的其它性质.

关键词: 度量空间导集闭集

度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间.19世纪末叶，德国数学家G .康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础.20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念.

拓扑学第四章-紧致性

第四章紧致性

紧致性是数学分析中的重要概念。尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。

我们先回顾一下度量空间紧性（列紧性）概念（在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质）。

§4-1 度量空间(,)X d 中紧性（简单复习）

定义1 设A 是(,)X d 的一个子集。如果A 中任一无穷点列有子列收敛于X 中的一点，则称A 是相对列紧的；

如果A 中每个收敛子列的极限点都属于A ，则称A 是列紧的；

如果(,)X d 本身是列紧的，则称为列紧空间。

注释：这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。

●下面的结论是显然的（由于都是过去的知识，所以不加证明的给出）

（1）有限子集总是列紧的。

（2）列紧空间是完备的（但，完备空间未必是列紧的）。

（3）若A 是(,)X d 的列紧子集，则A 是(,)X d 的有界闭集。

（4）在一般度量空间中，（3）成立，反之未必；如果(,)X d 是列紧空间，则

A 列紧 ⇒ A 是闭集。

（5）列紧的度量空间必是可分的。

●进一步分析：列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。人们找出了一种非序列刻画的方式。

定义2 设A 是(,)X d 的一个子集。

是X 的一族开集，满足U U A ∈⊃，则称为A 在X

中的开覆盖；若中只有有限个子集，称为有限开覆盖；

若X 本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称X 为紧致空间（有的书成为紧空间） ★ 理论上可以证明：对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。即列紧空间⇔紧致空间（这在泛函分析书中都有介绍）。 §4-2 拓扑空间的紧性

拓扑学中的完备空间与紧性

拓扑学是数学的一个分支，研究空间及其性质的学科。在拓扑学中，完备空间与紧性是两个非常重要的概念。本文将介绍完备空间和紧性

的定义、性质以及它们在拓扑学中的应用。

一、完备空间

完备空间是指具有某种度量的空间，在这个度量下，所有的柯西序

列都有极限。柯西序列是指一个序列，对于任意给定的正数ε，存在一

个正整数N，使得序列中所有下标大于N的项的距离都小于ε。完备空间可以用来描述序列的连续性和极限的存在性。

完备空间的定义可以扩展到一般的度量空间和赋范空间。对于度量

空间来说，完备性是指该空间中的任意柯西序列都收敛于该空间内的

某个点。对于赋范空间来说，完备性也是指该空间中的任意柯西序列

都收敛于该空间内的某个点。

完备空间的一个重要性质是，任何收敛序列在完备空间中都有极限。这个性质对于研究序列的极限和连续函数的性质非常有用。例如，在

实数轴上，任何收敛序列都有极限，所以实数轴是一个完备空间。

二、紧性

紧性是指给定一个拓扑空间，若其每个开覆盖都有有限子覆盖，那

么该拓扑空间是紧的。换句话说，紧性是一种性质，用于描述拓扑空

间中点集的紧凑性和有限性。

在拓扑学中，紧性是一种非常重要的概念，它与连续性、紧致性以

及有界性有密切的联系。紧性有许多等价的定义。其中一种定义是：

若拓扑空间的每个无穷开覆盖都存在有限子覆盖，则该空间是紧的。

紧性的一个重要性质是，闭子空间的紧性是继承于父空间的。也就

是说，若给定一个紧空间，其闭子空间也是紧的。这一性质使得紧性

在拓扑学的研究中非常有用。

三、完备空间与紧性的关系

在一些特定的情况下，完备空间与紧性之间存在一定的关联。例如，完备的度量空间上的闭子集一定是紧的。这个结论可以通过证明闭子

度量空间中关于紧致的几个性质

赵建红

【期刊名称】《通化师范学院学报》

【年(卷),期】2003(024)004

【摘要】给出了度量空间中关于紧致的两个性质,并进行了证明.

【总页数】2页(P11-12)

【作者】赵建红

【作者单位】通化师范学院数学系,吉林通化,134002

【正文语种】中文

【中图分类】D189

【相关文献】

1.紧致度量空间中一列映射的传递性和混沌性 [J], 吉飞宇;刘磊

2.紧致度量空间及其逆极限空间 [J], 缪克英;邓小琴

3.非紧L-凸度量空间中极大极小不等式的解集性质及其应用 [J], 文开庭;余廷忠;夏仁强

4.局部紧致度量空间的渐进稳定集 [J], 符子晴;霍展福;

5.在两个完备紧致度量空间上满足隐含关系映射的不动点定理[J], A·阿利欧谢;B·费瑟;海治（译）;张禄坤（校）

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紧度量空间定义

紧度量空间是一种重要的数学结构，它在数学分析、拓扑学、几何学等方面都具有广泛的应用。一个紧度量空间是指一个度量空间中，任意开覆盖都有有限子覆盖的空间。换句话说，如果一个紧度量空间被无限个开集覆盖，那么一定存在有限个开集，它们也能覆盖这个紧度量空间。

紧度量空间的定义是基于开覆盖的概念，因此我们需要先了解开集和开覆盖的概念。在一个度量空间中，如果一个集合包含它内部的所有点，那么它就是一个开集。一个开覆盖是指一个集合族，它的所有元素都是开集，且它们的并集覆盖了整个度量空间。

紧度量空间的定义有许多等价的表述方式，例如，可以用收敛子序列的概念来定义紧度量空间，即任何序列在紧度量空间中都有一个收敛的子序列。还可以用闭集和有限交的概念来定义紧度量空间，即任意闭集的有限交也是闭集。

紧度量空间的性质非常重要，它们可以用来证明许多基本的数学定理，例如，最小值定理、连通性定理、紧致性定理等。此外，紧度量空间还与测度论、函数分析、微积分学等领域密切相关。

- 1 -

7.3n维欧氏空间中的紧致子集

证明由于X紧致，故根据定理7.1.4可见 f（X）是实数空间R中的一个紧致子集．由于R是一个Hausdorff空间，所以f (X)是一个闭集．设m和M分别为集合f（X）的下，上确界，则 m，M ∈f(X)．因此存在x0，x1∈X使得f(x0)＝m和f(x1)=M．根据上，下确界的定义立即可见，对于任何x∈X . 有 f（x0）≤f (x) ≤ f (x1).
S m 是一个有界闭集，所以是紧由于m维单位球面
致的，n维欧氏空间 R n 不是紧致的，而紧致性又是一个拓扑不变性质，所以：定理7.3.5 设m，n∈Z+．则m维单位球面 S 与
m
n维欧氏空间 R n不同胚．这是通过拓扑不变性质区分不同胚的拓扑空间的又一个例子．
因此度量空间中的每一个紧致子集都是有界来自百度文库集．特别n维欧氏空间 R n的每一个紧致子集都是有界的．
引理 7.3.2 单位闭区间 [0,1] 是一个紧致空间．证明：（略）
•任何一个闭区间[a，b]（a＜b），由于它和单位闭区间［0，1］同胚，所以是紧致的．并且作为
紧致空间的积空间，可见n维欧氏空间 R n 中任何
n [a, b]（a＜b）也是紧致空间．一个闭方体
3.定理7.3.3 设A是n维欧氏空间 R n中的一个子集．则 A是一个紧致子集当且仅当A是一个有界闭集．证明设ρ是n维欧氏空间 R n的通常度量．

第4讲度量空间的列紧性与紧性

西安电子科技大学理学院杨有龙
《线性与非线性泛函分析》
第四节度量空间的列紧性与紧性
4.1 度量空间的紧性 Compactness 在微积分中，闭区间上的连续函数具有最大值、最小值、一致连续等，这些性质的成立基
于一个重要的事实： R 的紧性，即有界数列必有收敛子列．但这一事实在度量空间中却未必成立．
⎞ ⎟ ⎠
2
=
π
所以{ fn (x)} 为有界点列．对于任意的 n, m ∈ N ，有
1
∫ ∫ d ( fn , fm ) = (
π
1
| sin nx − sin mx |2dx)2
−π
⎛ = ⎜⎜⎝
π −π
⎛ ⎜⎝
2
cos
m
+ 2
n
x
⋅
sin
n
− 2
m
x
⎞2 ⎟⎠
dx
⎞ ⎟⎟⎠
2
1
∫ =
⎛ ⎜⎝
π −π
得 d (x, x') < ε ，则称 B 是 A 的一个 ε 网．即 A ⊂ ∪ O(x,ε )
x∈B
(X,d) A
B
A
(X,d) A
ε εεε ε ε ε εB
ε εA ε ε
ε εεε
图 4.1 B 是 A 的一个 ε 网示意图例如：全体整数集是全体有理数的 0.6 网；平面上坐标为整数的点集是 R2 的 0.8 网．

14 度量空间的列紧性与紧性

1.4度量空间的列紧性与紧性

1.4.1度量空间的紧性Compactness

在微积分中，闭区间上的连续函数具有最大值、最小值、一致连续等，这些性质的成立基于一个重要的事实：R 的紧性，即有界数列必有收敛子列．但这一事实在度量空间中却未必成立．

例1.4.1设22[,]{|()|()|}X L f L f x dx ππ

ππ-=-=<∞⎰，对于,f g X ∈，定义 122

(,)(|()()|)d f g f x g x dx ππ-=-⎰，令{()}{sin }n f x nx =，那么{()}n f x 是有界的发散点列．

证明由于

所以{()}n f x 为有界点列．对于任意的,n m ∈N ，有

因此{()}n f x 不是基本列，当然不是收敛列．□

定义1.4.1列紧集、紧集与紧空间Sequentiallycompactset,Compactset,Compactspace

设X 是度量空间，A X ⊂．

(1)如果A 中任何点列都有收敛于X 的子列，则称A 为列紧集(或致密集、或相对紧集)；

(2)如果A 是列紧集，也是闭集，则称A 为紧集；

(3)如果X 本身是列紧集(必是闭集)，则称X 为紧空间．

注1：若A 是X 的列紧集，{}n X A ⊂且0()n x x n →→∞，那么0x A ∈？若A 是X 的紧集，0x A ∈？．定理1.4.1设(,)X d 是度量空间，下列各命题成立：

(1)X 的任何有限集必是紧集；

(2)列紧集的子集是列紧集；

(3)列紧集必是有界集，反之不真．

证明(1)、(2)易证．下面仅证(3)．

度量空间的列紧性与紧性

(2)必要性：设是的任一点列，取，，因为是全有界集，故存在有限网，记为．
以有限集的各点为中心，以为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了，从而覆盖了，于是至少有一个开球(记为 )中含有的一个子列．
同样以有限集的各点为中心，以为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了，于是至少有一个开球(记为 )中含有的一个子列．依次可得一系列点列：
注9：对于一般的度量空间：列紧集是全有界集；全有界集是有界集，有界集却不一定是全有界集，wenku.baidu.com有界集却不一定是列紧集．
例如：让表示上的有理数全体，在欧氏距离定义下，由于，所以不是完备的度量空间、不是列紧集．由于，存在正整数，使得，那么是的网，所以是全有界．
综上所述，紧集、列紧集、全有界集及有界集、可分集有如下的关系：
图4.1 是的一个网示意图
例如：全体整数集是全体有理数的0.6网；平面上坐标为整数的点集是的0.8网．
图4.2整数集是全体有理数的0.6网示意图
定义1.4.3全有界集
设是度量空间，，如果对于任给的，总存在有限的网,则称是中的全有界集．
注5：根据定义可知是中的全有界集等价于， ,使得，其中表示以中心，以为半径的开邻域．
证明(1)若为紧空间，那么本身为列紧集，而列紧集有界，故为有界空间．

拓扑学中的连续性与紧致性

拓扑学是数学的一个分支，研究的是空间的性质和结构，其中连续

性和紧致性是拓扑学中的两个重要概念。本文将介绍拓扑学中连续性

和紧致性的概念及其性质，以及它们在数学和实际应用中的重要性。

1. 连续性

连续性是拓扑学中最基本的概念之一。在拓扑学中，我们将空间中

的点和点之间的关系看作是连续的，即如果两个点非常接近，它们之

间就存在连续的路径。具体来说，设X和Y是两个拓扑空间，如果对

于任意的y∈Y，当x→x0时，存在一个函数f:X→Y，使得f(x)→y成立，则称f是从X到Y的连续映射。如果一个函数f:X→Y在X的任意点上都连续，则称f是X到Y的连续函数。

连续性概念的重要性在于它可以帮助我们研究空间上的性质。例如，如果一个映射是连续的，那么在映射前后的空间中，原来紧密相连的

点在映射后仍然是紧密相连的。这种性质在实际应用中有很多用途，

比如地图上的路径规划、电路的设计等。

2. 紧致性

紧致性是拓扑学中另一个重要概念。一个拓扑空间称为紧致的，如

果对于任意的开覆盖，都存在一个有限子覆盖。即无论如何将整个空

间划分为开集的并集，总可以从中选取有限个开集，使得它们的并集

仍然覆盖整个空间。

紧致性是连续性的自然推广。事实上，连续函数将紧致空间映射到

紧致空间，而将连续空间映射到连续空间。紧致性还具有很多重要的

性质和应用。例如，紧致性与有界性概念相似，但对于非度量空间，

紧致性是一个更一般化的概念。此外，在微积分、几何学、动力系统

等领域都有广泛的应用。

3. 连续性与紧致性的关系

连续性和紧致性在拓扑学中有着密切的联系。一方面，紧致性是连

伪度量空间的紧致性分析

第３２卷
第２期
数学理论与应用
ＭＡＴＨＥＭＡＴＣＡＬＴＯＲＹＩＨＥＡＮＤＡＰＰＩＡＴ１ＬＣ０ＮＳ
Ｖ０．２Ｎｏ２１３．
２１０２年６月
Ｊｎ０１ｕ．２２
伪度量空间的紧致性分析
王小娟
（疆机电职业技术学院，新鸟鲁木齐，３０１８０１wk.baidu.com）
由［］ｄＡ，１，（）为的连续函数．
定子的径：（）ｆ，ｔ义集直为ｄＡ：０Ａ＝，ｐ
０≤ ｄ，）≤ ｄ，）＋ｄ，）＝０（（Ｙ（，，
于是是（ｄ上的等价关系．，）
依将分类，导可ｉ商空间Ｘ’＝ＸＲ记上的等价类为，／，定义
ｄ’ ’ Ｙ）＝ｄｘｙ则有：（，‘ （，），ｉ ‘ ’ Ｙ）＝０ ’＝Ｙ）ｄ（， ‘ ‘；
ＡｓｒｃＯｏｐｃｐｅｄｂｔａｔｎａｃｍａｔｓｕｏ— ｍｔｃｓａｅ（ｅｐｃＸ，ｄ，ｅｓｍｒｅｅｒｅａｔｏｃｓｎｆｔｏｐｃｉｒ）ｗｕｍａｚｄｔｅｖｎｎｌｉｓｏｅｃｍａｔｉｈｌｃｕｏｈ
则称ｄ为伪距离（ｓｕｏ— ｉａｃ）称（ｄｐｅｄｄｓｎｅ，Ｘ，）为伪度量空（ｓｕｏ—ｍｔｃｓａｅ，ａｘＹｔｐｅｄｅｉｐｃ）称（，）ｒ

拓扑向量锥度量空间的紧致性

拓扑性质（分离性，可数性，紧致性），证明了度量空间中的一些经典定理在拓扑向量锥度量空间中的推广．
关键词：拓扑向量锥度量空间；开球；开集；邻域；紧致性
中图分类号：Ｏ１７７．３文献标识码：Ａｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３－０９５Ｘ．２０１３．０５．０１４
Ｙ∈Ｅ， ≤，
一 ∈Ｐ．
若 ≤ｙ且 ≠Ｙ，则记为＜．若Ｙ— ∈ｉｎｔＰ（表示Ｐ的内部），则记为《），．
第２９卷
第５期
天
津
理
工
大
学
学
报
ＶｏＩ．２９Ｎｏ．５
２０１３年ｌ０月
ＪｏＵＲＮＡＬｏＦＴＩＡＮＪＩＮＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＯＦＴＥＣＨＮｏＬＯＧＹ
０Ｃｔ．２０１３
文章编号：１６７３．０９５Ｘ（２０１３）０５．００６１．０４
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｓｏｆｎｅｉｇｈｂｏｒｈｏｏｄ，ｏｐｅｎｓｅｔａｎｄｔｏｐｏｌｏｇｉｃｌａｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓｉｎＴＶＳ — ｖａｌｕｅｄｃｏｎｅｍｅｔｉｒｃｓｐａｃｅ，ｔｈｅｎｓｏｍｅｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆＴＶＳ — ｖａｌｕｅｄｃｏｎｅｍｅｔｉｒｃｓｐａｃｅ，ｓｕｃｈａｓｃｏｍｐａｃｔｎｅｓｓ，ｓｅｐａｒａｔｉｏｎａｎｄｃｏｕｎｔ —

空间几何的紧性

在数学中，空间几何是一门重要的学科。其中，空间的性质是经常被研究的一个问题。在这些性质中，紧性是最为重要的特征之一。

紧性是指空间中每一种可能的序列都有可能趋于一个有限的极限值。因此，我们可以把紧性理解为空间的有限性质。紧性在很多领域中都有应用，如物理学、工程学和经济学等。

为了更好地掌握空间几何的紧性，我们首先应该了解什么是紧空间。

一、什么是紧空间

紧空间是指空间中每一种可能的序列都有可能趋于一个有限的极限值。可以用数学语言描述：如果X是一个紧致度量空间，那么它必须满足以下三条性质：

（1）X是一个 Hausdorff 空间，即存在一个满足下列性质的拓扑结构：对于X中的任意分离点x、y，都存在它们的开邻域U、V，使得U和V是不交的。

（2）X是完全可列的，即X可以表示成一个可列的闭集的并集。

（3）X中的每一点都存在一个紧集K，K包含于X的某个开集内。

易证：一个紧空间的闭子集和开子集都是紧的。

二、紧空间的基本性质

紧性是空间理论中的一个基本性质，它有很多重要的性质和定理。这里仅列举几个基本的定理，供读者参考：

（1）如果X是一个紧致的Hausdorff空间，那么X一定是有限的。

（2）如果X是一个紧致的Hausdorff空间，那么它一定是完全有界的。

（3）如果X是一个紧致的Hausdorff空间，那么它一定是完全连通的。

（4）一个紧致Hausdorff空间的闭子集和开子集都是紧致的。

三、紧几何和流形

由于紧性在几何学中有很多的应用，因此我们可以很容易地将其与流形联系起来。流形是一种具有局部欧几里德空间性质的几何对象，它可以用“相似”的方式来描述。

度量空间中的紧致性

定义7.5.1

定理7.5.2

作业

§7.5度量空间中的紧致性

本节重点:掌握度量空间中的紧致空间、可数紧致空间、序列紧致空间、列紧空间之间的关系．

由于度量空间满足第一可数性公理，同时也是空间，所以上一节中的讨论（参见表7.2）因此我们，一个度量空间是可数紧致空间当且仅当它是列紧空间，也当且仅当它是序列紧致空间．但由于度量空间不一定就是Lindeloff空间，因此从定理7.4.2并不能断定列紧的度量空间是否一定就是紧致空间．本节研究这个问题并给出肯定的回答．

定义7.5.1 设A是度量空间（X，ρ）中的一个非空子集．集合A的直径diam（A）定义为

diam(A)=sup{ρ(x,y)|x,y∈A}若A是有界的

diam(A)=∞ 若A是无界的

定义7.5.2 设（X，ρ）是一个度量空间，A是X的一个开覆盖．实数λ＞0称为开覆盖A的一个Lebesgue数，如果对于X中的任何一个子集A，只要diam（A）＜λ，则 A包含于开覆盖A的某一个元素之中．

Lebesgue数不一定存在．例如考虑实数空间R的开覆盖

{(-∞,1)}∪{(n-1/n,n+1+1/n) |n∈Z+}

则任何一个正实数都不是它的Lebesgue数．（请读者自补证明．）

定理7.5.1[Lebesgue数定理] 序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有一个Lebesgue数．

证明设X是一个序列紧致的度量空间，A是X的一个开覆盖．假若开覆盖A没有Lebesgue 数,则对于任何i∈Z+,实数1/i不是A的Lebesgue数，所以X有一个子集E,使得diam（E）＜1/i并且Ei不包含于A的任何元素之中．

度量拓扑和乘积拓扑

度量拓扑和乘积拓扑是两种不同的拓扑空间定义方式。

度量拓扑是基于欧几里得距离的度量空间，其中每个点周围的开集都可以表示为一个半径小于等于某个常数的圆的集合。度量拓扑的基本性质包括连续性、紧性、连通性等，这些性质可以通过度量空间中的距离函数来定义。度量拓扑在分析学、几何学、拓扑学等领域中得到广泛应用。

乘积拓扑是指将多个拓扑空间中的每个点周围的开集都看作一个开集，然后将这些开集乘起来得到一个新的开集。乘积拓扑的基本性质包括连续性、紧致性、连通性等，这些性质可以通过乘积拓扑中的基本性质来定义。乘积拓扑在代数拓扑学、微分拓扑学、代数几何等领域中得到广泛应用。

度量拓扑和乘积拓扑在某些情况下可以相互转化。例如，对于有限个拓扑空间，可以通过度量空间的定义来构造乘积拓扑空间，反之亦然。此外，乘积拓扑也可以通过度量空间的定义来构造。

arzelaascoli定理内容

Arzelà-Ascoli定理是泛函分析中的一个重要定理，它主要是关于一致有界性和等度连续性的命题。该定理是由意大利数学家Giuseppe Arzelà和Cesare Arzelà在19世纪末提出，后来由意大利数学家Giulio Ascoli进一步完善和推广，因此得名为Arzelà-Ascoli定理。

Arzelà-Ascoli定理主要用于研究一族定义在紧致度量空间上的函数序列的性质。在数学中，一个度量空间被称为紧致的，如果它满足海登

定理中的等价条件之一。简单来说，紧致空间是一种在拓扑上比较好

的空间，它具有很多良好的性质。

Arzelà-Ascoli定理的内容可以分为以下几点来阐述：

1. 一致有界性：Arzelà-Ascoli定理首先要求定义在紧致度量空间上的函数序列具有一致有界性。这意味着对于该函数序列中的每一个函数，它们在整个度量空间上的取值都是有界的，且这个界对于整个序列是

一致的。也就是说，存在一个常数M，对于序列中的每一个函数f，都有|f(x)|≤M，其中x为度量空间中的任意点。这是Arzelà-Ascoli定理中非常重要的一个条件，一致有界性保证了函数序列的一致性和收敛性，为后续的推论提供了重要基础。

2. 等度连续性：除了一致有界性，Arzelà-Ascoli定理还要求函数序列具有一定的等度连续性。等度连续性是指对于给定的ε>0，存在一个δ>0，使得对于度量空间中任意两点x和y，只要它们的距离小于δ，

那么函数序列中的每个函数f在这两点上的取值之差都小于ε，即

|f(x)−f(y)|<ε。等度连续性是连续性的一种弱化形式，它要求函数在距离较小的点上具有较小的变化量，从而保证了函数序列的紧致性和一

度量空间中的紧致性

浅谈度量空间

拓扑学第四章-紧致性

拓扑学中的完备空间与紧性

度量空间中关于紧致的几个性质

紧度量空间定义

7.3n维欧氏空间中的紧致子集

第4讲 度量空间的列紧性与紧性

14 度量空间的列紧性与紧性

度量空间的列紧性与紧性

拓扑学中的连续性与紧致性

伪度量空间的紧致性分析

拓扑向量锥度量空间的紧致性

空间几何的紧性

度量空间中的紧致性

度量拓扑和乘积拓扑

arzelaascoli定理内容

第4讲度量空间的列紧性与紧性