度量空间中的紧致性

定义7.5.1
定理7.5.2
作业
§7.5度量空间中的紧致性
本节重点:掌握度量空间中的紧致空间、可数紧致空间、序列紧致空间、列紧空间之间的关系．
由于度量空间满足第一可数性公理，同时也是空间，所以上一节中的讨论（参见表7.2）因此我们，一个度量空间是可数紧致空间当且仅当它是列紧空间，也当且仅当它是序列紧致空间．但由于度量空间不一定就是Lindeloff空间，因此从定理7.4.2并不能断定列紧的度量空间是否一定就是紧致空间．本节研究这个问题并给出肯定的回答．
定义7.5.1 设A是度量空间（X，ρ）中的一个非空子集．集合A的直径diam（A）定义为
diam(A)=sup{ρ(x,y)|x,y∈A}若A是有界的
diam(A)=∞ 若A是无界的
定义7.5.2 设（X，ρ）是一个度量空间，A是X的一个开覆盖．实数λ＞0称为开覆盖A的一个Lebesgue数，如果对于X中的任何一个子集A，只要diam（A）＜λ，则 A包含于开覆盖A的某一个元素之中．
Lebesgue数不一定存在．例如考虑实数空间R的开覆盖
{(-∞,1)}∪{(n-1/n,n+1+1/n) |n∈Z+}
则任何一个正实数都不是它的Lebesgue数．（请读者自补证明．）
定理7.5.1[Lebesgue数定理] 序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有一个Lebesgue数．
证明设X是一个序列紧致的度量空间，A是X的一个开覆盖．假若开覆盖A没有Lebesgue 数,则对于任何i∈Z+,实数1/i不是A的Lebesgue数，所以X有一个子集E,使得diam（E）＜1/i并且Ei不包含于A的任何元素之中．
在每一个之中任意选取一个点,由于X是一个序列紧致空间，所以序列有一个收敛的子序列．由于A是X的一个开覆盖，故存在A∈A使得y∈A，
并且存在实数ε＞0使得球形邻域B（y，ε）A．由于，所以存在整数M
＞0使得当i>M时．令k为任意一个整数，使得k＞M+2/ε,则对于任何
有
ρ（x，y）≤ρ（x，）＋ρ（，y）＜ε
这证明
A
与的选取矛盾．
定理7.5.2 每一个序列紧致的度量空间都是紧致空间．
证明设X是一个序列紧致的度量空间，A是X的一个开覆盖．根据定理7.5.1，X的开覆盖A有一个Lebesgue数，设为λ＞0．
令B={B(x,λ/3)}．它是X的一个开覆盖．我们先来证明B有一个有限子覆盖．
假设B没有有限子覆盖．任意选取一点∈X．对于i＞1，假定点已经取定，由于
不是X的覆盖,选取．按照归纳原则，序列已经取定．易
见对于任何i,j∈Z+,i≠j，有ρ()>λ/3．序列没有任何收敛的子序列．（因为任何y∈X的球形邻域B(y,λ/6)中最多只能包含这个序列中的一个点．）这与X是序列紧致空间相矛盾．
现在设{}是开覆盖B的一个有限子覆盖．由于其中每一个元素的直径都小于λ，所以对于每一个i=1,2,…,n存在使得B(,λ/3)．于是{}是A的一个子覆盖．
因此，根据定理7.5.2以及前一节中的讨论可见：
定理7.5.3 设X是一个度量空间．则下列条件等价：
（1）X是一个紧致空间；
（2）X是一个列紧空间；
（3）X是一个序列紧致空间；
（4）X是一个可数紧致空间．
我们将定理7.5.3的结论列为图表7.3以示强调．
作业:
P205 1．
本章总结：
（1）重点是紧致性、紧致性与分离性的关系．
（2）度量空间（特别是）中的紧致性性质要掌握．
（3）紧致性是否是连续映射所能保持的、可积的、可遗传的？证明时牵涉到的闭集要注意是哪个空间的闭集．。