河南省洛阳市第二外国语学校高考数学闯关密练特训《9-5线面、面面垂直的判定与性质》试题新人教A版

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面面垂直的判定

面面垂直的判定面面垂直与线面垂直是高中数学学习的重点内容，面面垂直是指两条直线或两个平面垂直相交的情况，线面垂直是指一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

在解题中，已知面面垂直可推导出线面垂直。

面面垂直的判定1、在一个平面内做2条相交直线，另一个平面内有一条直线垂直于这两条相交直线，则面面垂直。

2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，则面面垂直。

3、如果一个平面经过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。

面面垂直的证明方法：1、定义法：如果两个平面所成的二面角为90°，那么这两个平面垂直。

2、判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

3、如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上，那么垂直。

4、如果N个互相平行的平面有一个垂直于一个平面，那么其余平面均垂直这个平面。

面面垂直怎么推出线面垂直面面垂直推线面垂直的方法：任选两个面中的一个，在其中做一条直线垂直于两面相交的直线，因为是同一个面内，所以一定能做出来，然后，因为线线垂直，相交线也在另一个面内，做的线在另一面外，所以线面垂直。

直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

推论1、如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

推论2、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

高中数学面面垂直解题技巧1、确定面面垂直的两个面或者直线。

2、利用垂直的性质，如垂直的两条直线斜率的积为-1，或者两个向量垂直的充要条件为它们的内积为0。

3、根据题目条件列方程，利用已知垂直的性质解方程，求解未知数。

4、注意题目中的单位和精度要求，最终结果要进行合理的约分和四舍五入。

面面垂直的性质定理是什么性质：若两平面垂直，则在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一平面；若两平面垂直，则与一个平面垂直的直线平行于另一平面或在另一平面内。

河南省洛阳市第二外国语学校高考数学闯关密练特训《53平面向量的数量积》试题新人教A版

1.对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中为真命题的是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c [答案] B[解析] a ·b ＝0⇒a ⊥b ，故A 错；a 2＝b 2⇔|a |＝|b |，得不出a ＝±b ，不要与实数x 、y满足|x |＝|y |⇔x ＝±y 混淆，故C 错；a ·b ＝a ·c ⇔a ·(b －c )＝0，同A 知D 错，故选B.2．(文)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( )A ．2 3 B.32C.33D. 3[答案] D[解析] ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋3BD →，∴AC →·AD →＝(AB →＋3BD →)·AD →＝AB →·AD →＋3BD →·AD →，又∵AB ⊥AD ，∴AB →·AD →＝0， ∴AC →·AD →＝3BD →·AD →＝3|BD →|·|AD →|·cos∠ADB ＝3|BD →|·cos∠ADB ＝3·|AD →|＝ 3.(理)(2012·新疆维吾尔自治区检测)已知A 、B 、C 是圆O ：x 2＋y 2＝r 2上三点，且OA →＋OB →＝OC →，则AB →·OC →等于( )A ．0B.12C.32 D ．－32[答案] A[解析] ∵A 、B 、C 是⊙O 上三点，∴|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝r (r >0)，∵OA →＋OB →＝OC →，∴AB →·OC →＝(OB →－OA →)·(OB →＋OA →)＝|OB →|2－|OA →|2＝0，故选A.3．(文)(2012·山西大同调研)设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a ，b 的夹角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°[答案] B[解析] 设|a |＝m (m >0)，a ，b 的夹角为θ，由题设知(a ＋b )2＝c 2，即2m 2＋2m 2cos θ＝m 2，得cos θ＝－12.又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a ，b 的夹角为120°，故选B.(理)(2011·郑州一测)若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，(a ＋b )·b ＝32，则向量a 、b 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] C[解析] ∵(a ＋b )·b ＝b 2＋a ·b ＝1＋a ·b ＝32，∴a ·b ＝12，即|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝12，∴cos 〈a ，b 〉＝12，∴〈a ，b 〉＝60°，故选C.4．(文)已知向量a ，b 满足|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的射影数量是( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B[解析] 向量b 在a 上的射影数量为l ＝b·a|a|＝|b|·cos60°＝1. (理)(2011·天津宝坻质量调查)已知点A 、B 、C 在圆x 2＋y 2＝1上，满足2OA →＋AB →＋AC →＝0(其中O 为坐标原点)，又|AB →|＝|OA →|，则向量BA →在向量BC →方向上的射影数量为( )A ．1B ．－1 C.12 D ．－12[答案] C[解析] 由2OA →＋AB →＋AC →＝(OA →＋AB →)＋(OA →＋AC →)＝OB →＋OC →＝0得，OB →＝－OC →，即O 、B 、C三点共线．又|AB →|＝|OA →|＝1，故向量BA →在向量BC →方向上的射影数量为|BA →|cos π3＝12.5．(2013·烟台市第一学期检测)已知向量a 、b ，其中|a |＝2，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是( )A.π4B.π2C.3π4D ．π[答案] A[解析] 由题意知(a －b )·a ＝a 2－a ·b ＝2－a ·b ＝0，∴a ·b ＝2.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝22，∴θ＝π4，故选A.6．(文)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B ，∠C 所对的边，设向量m ＝(b －c ，c －a )，n ＝(b ，c ＋a )，若m ⊥n ，则∠A 的大小为( )A.2π3B.π3C.π2D.π4[答案] B[解析] m ·n ＝b (b －c )＋c 2－a 2＝c 2＋b 2－a 2－bc ＝0，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(理)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，a 与b 的夹角为60°，直线x cos α－y sin α＝0与圆(x －cos β)2＋(y ＋sin β)2＝12的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．随α，β值的变化而变化[答案] B[解析] |a |＝1，|b |＝1，a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β ＝cos(α－β)， ∵〈a ，b 〉＝60°，∴cos60°＝a ·b |a |·|b |，∴cos(α－β)＝12，圆心(cos β，－sin β)到直线x cos α－y cos α＝0的距离d ＝|cos βcos α＋sin βsin α|cos 2α＋sin 2α＝|cos(α－β)|＝12<22，∴直线与圆相交．7．(2011·新课全国文)已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.[答案] 1[解析] 由a ＋b 与k a －b 垂直知(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k a 2－ab ＋k a ·b －b 2＝0，又由|a |＝|b |＝1知(k －1)(a ·b ＋1)＝0，若a ·b ＝－1，则a 与b 夹角180°，与a ，b 不共线矛盾，∴k －1＝0，∴k ＝1.8．(2011·江西文)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.[答案] －6[解析] ∵〈e 1，e 2〉＝π3，|e 1|＝1，|e 2|＝1，∴b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3|e 1|2－2e 1·e 2－8|e 1|2＝3－2cos π3－8＝－6.9．(2012·东北三校二模)已知M 、N 为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0.内的两个动点，向量a ＝(1,3)，则MN →·a 的最大值是________．[答案] 40[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图，由于a ＝(1,3)，直线AB ：3x －y －6＝0，显见a 是直线AB 的一个方向向量，由于M 、N 是△ABC 围成区域内的任意两个点，故当M 、N分别为A 、B 点时，MN →·a 取最大值，求得A (0，－6)，B (4,6)，∴MN →＝AB →＝(4,12)，∴MN →·a10．(文)设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝(－12，32)．(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．[解析] (1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－(14＋34)＝0，故a ＋b 与a －b 垂直．(2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得 3|a |2＋23a ·b ＋|b |2＝|a |2－23a ·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a ·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a ·b ＝0，则(－12)×cos α＋32×sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k ·180°＋90°，即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.(理)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1，0)． (1)求向量b ＋c 的长度的最大值；(2)设α＝π4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值．[分析] (1)由向量坐标运算定义可求b ＋c ，由模的定义得到关于α的三角函数关系式，化为一个角的一个三角函数，即可求得最值，或依据向量模的三角不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(2)∵α＝π4，∴a 已知，由a ⊥(b ＋c )⇔a ·(b ＋c )＝0可得到关于cos β的方程，解方程即可．[解析] (1)解法1：b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，则 |b ＋c |2＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2(1－cos β)． ∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b ＋c |2≤4，即0≤|b ＋c |≤2.当cos β＝－1时，有|b ＋c |＝2，所以向量b ＋c 的长度的最大值为2. 解法2：∵|b |＝1，|c |＝1，|b ＋c |≤|b |＋|c |＝2，当cos β＝－1时，有b ＋c ＝(－2,0)，即|b ＋c |＝2. 所以向量b ＋c 的长度的最大值为2.(2)解法1：由已知可得b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，a·(b ＋c )＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α＝cos(α－β)－cos α.∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos(α－β)＝cos α.由α＝π4，得cos(π4－β)＝cos π4，即β－π4＝2k π±π4(k ∈Z )，∴β＝2k π＋π2或β＝2k π，k ∈Z ，于是cos β＝0或cos β＝1.解法2：若α＝π4，则a ＝(22，22)．又由b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)得a·(b ＋c )＝(22，22)·(cos β－1，sin β)＝22cos β＋22sin β－22. ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos β＋sin β＝1. ∴sin β＝1－cos β，平方后化简得cos β(cos β－1)＝0，解得cos β＝0或cos β＝1.经检验，cos β＝0或cos β＝1即为所求.能力拓展提升11.(2013·辽宁省沈阳四校期中联考)已知两点A (1,0)为，B (1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝120°，设OC →＝－2OA →＋λOB →，(λ∈R )，则λ等于( )A ．－1B ．2C ．1D ．－2[答案] C[解析] 由条件知，OA →＝(1,0)，OB →＝(1，3)，OC →＝(λ－2，3λ)，∵∠AOC ＝120°，cos ∠AOC ＝OA →·OC→|OA →|·|OC →|＝λ－2λ－22＋3λ2，∴λ－2λ－22＋3λ2＝－12，解之得λ＝1，故选C. 12．(文)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点，则使MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＝0成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] B[解析] 设A 1A 2中点为P ，A 3A 4中点为Q ，则MA 1→＋MA 2→＝2MP →，MA 3→＋MA 4→＝2MQ →， ∴2MP →＋2MQ →＝0，即MP →＝－MQ →，∴M 为PQ 中点，所以有且只有一个点适合条件．(理)(2011·河北冀州期末)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝48，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝16x D ．y 2＝42x[答案] B[解析] 如图，△ABC 为直角三角形，由抛物线定义及条件知，|AC |＝|AF |＝|FB |＝12|AB |，∴∠ABC ＝π6，设|AC |＝t ，则|AB |＝2t ，∴|BC |＝3t ，∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos∠ABC ＝2t ·3t ·cos π6＝3t 2＝48，∴t ＝4，∴p ＝|DF |＝2， ∴抛物线方程为y 2＝4x ，故选B.13．(2011·日照二模)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →＝( ) A ．－32B ．－23C.23D.32[答案] D[解析] AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·co s ∠BAC ＝|AB →|·|AC →|·|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|22|AB →|·|AC →|＝32.14．(文)(2011·菏泽模拟)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A 、B 、C 三点共线，则k ＝________.[答案] －23[解析] ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线， ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)，∴－2(4－k )－(－7)·(－2k )＝0，∴k ＝－23.(理)若等边三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.[答案] －2[解析] 以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A ，B ，C 三点的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，(0,3)．设M 点的坐标为(x ，y )，则CM →＝(x ，y －3)，CB →＝(3，－3)，CA →＝(－3，－3)，又CM →＝16CB →＋23CA →，即(x ，y －3)＝(－32，－52)，可得M (－32，12)，所以MA →·MB →＝－2.15．(2011·宁波十校联考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α的值．[解析] (1)由|a －b |＝255得，|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2－2a ·b ＝45，∴a ·b ＝35，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝a ·b ＝35.(2)由0<α<π2，－π2<β<0得0<α－β<π，∴sin(α－β)＝45，由sin β＝－513得cos β＝1213，sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365. 16．(文)(2011·山东青岛二模)设角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，已知向量m ＝(sin A ＋sin C ，sin B －sin A )，n ＝(sin A －sin C ，sin B )，且m ⊥n .(1)求角C 的大小；(2)若向量s ＝(0，－1)，t ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos A ，2cos 2B 2，试求|s ＋t |的取值范围．[解析] (1)由题意得m ·n ＝(sin 2A －sin 2C )＋(sin 2B －sin A sin B )＝0，即sin 2C ＝sin 2A＋sin 2B －sin A sin B ，由正弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，再由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.因为0<C <π，所以C ＝π3.(2)因为s ＋t ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos A ，2cos 2B2－1＝(cos A ，cos B )，所以|s ＋t |2＝cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A ＋cos 2⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A＝1＋cos2A 2＋1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2A 2＝14cos2A －34sin2A ＋1＝－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＋1.因为0<A <2π3，所以－π6<2A －π6<7π6，则－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6≤1，所以－12≤－12sin(2A －π6)<14，所以12≤|s ＋t |2<54，故22≤|s ＋t |<52.(理)(2012·东北三校联考)已知向量m ＝(2，－1)，n ＝(sin A2，cos(B ＋C ))，A 、B 、C 为△ABC 的内角，其所对的边分别为a 、b 、c .(1)当m ·n 取得最大值时，求角A 的大小；(2)在(1)的条件下，当a ＝3时，求b 2＋c 2的取值范围．[解析] (1)m ·n ＝2sin A 2－cos(B ＋C )＝－2sin 2A 2＋2sin A 2＋1＝－2(sin A 2－12)2＋32， ∵0<A <π，∴0<A 2<π2，∴当sin A 2＝12，即A ＝π3时，m ·n 取得最大值．(2)由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3sinπ3＝2得，b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，∵C ＝π－A －B ＝2π3－B ，∴b 2＋c 2＝4sin 2B ＋4sin 2C ＝4＋2sin(2B －π6)，∵0<B <2π3，∴－π6<2B －π6<7π6，∴－12<sin(2B －π6)≤1，∴3<b 2＋c 2≤6，∴b 2＋c 2的取值范围为(3,6]．1．已知直线y ＝2x 上一点P 的横坐标为a ，有两个点：A (－1，1)，B (3,3)，那么使向量PA →与PB →夹角为钝角的一个充分但不必要的条件是( )A ．－1<a <2B ．0<a <1C ．－22<a <22D ．0<a <2[答案] B[解析] 由题意设P (a,2a )，由数量积的性质知，两向量的夹角为钝角的充要条件为：PA →·PB →＝(－1－a,1－2a )·(3－a,3－2a )＝5a 2－10a <0，且除去P ，A ，B 三点共线这种特殊情况，解得0<a <2且a ≠1.分析四个选项中a 的取值范围使得满足条件a 的取值构成的集合只需真包含在集合{a |0<a <2且a ≠1}中即可，只有B 选项符合．2．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →＝( )A.12 B ．－12C.14 D ．－14[答案] B[解析] 设AB 中点为P ， ∵|AB |＝3， ∴|AP |＝32，又|OA |＝1，∴∠AOP ＝π3，∴∠AOB ＝2π3，∴OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|· cos 2π3＝－12.3．(2011·安徽知名省级示范高中联考)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为θ，则下列命题不正确．．．的是( ) A ．e 1在e 2方向上的射影数量为cos θ B ．e 21＝e 22C ．(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)D ．e 1·e 2＝1[答案] D[解析] ∵|e 1|＝1，|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝θ， ∴e 1在e 2方向上的射影数量为|e 1|·cos θ＝cos θ， ∴A 正确；又e 21＝e 22＝1，∴B 正确；∵(e 1＋e 2)·(e 1－e 2)＝e 21－e 22＝0， ∴(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)，∴C 正确；e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝cos θ，故D 不成立．4．(2011·海南三亚一中月考)已知两点M (－2,0)，N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x[答案] B[解析] |MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝|MN →|·|MP →|＋|MN →|·|NP →|cos θ ＝|MN →|·(|MP →|＋|NP →|·cos θ)＝0(θ为MN →与NP →的夹角)， ∵|MN →|≠0，∴|MP →|＋|NP →|·cos θ＝0，∴|MP →|＝|NP →|·cos(π－θ)，∴|MP →|＝|PK →|，如下图，又∵|MO |＝2，∴方程为y 2＝－8x ，选B.5．设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.[解析](1)由a与b－2c垂直．a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2.(2)b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β最大值为32，∴|b＋c|的最大值为4 2.(3)由tanαtanβ＝16得sinαsinβ＝16c osαcosβ，即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，∴a∥b.。

高中数学线面、面面垂直的判定与性质

线面、面面垂直的判定与性质知识回顾1．直线与平面垂直的判定（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α垂直，记作l ⊥α．（2）判定定理文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α． 2．直线与平面垂直的性质文字表述：垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒ a ∥b 3. 直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．4．平面与平面的垂直的判定（1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．（2）面面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥β⇒α⊥β． 5．平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β． 6．二面角二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．题型讲解题型一例1、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交答案：C例2、如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1答案：A例3、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．证明在平面B1BCC1中，∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1，∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．题型二例4、若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒M ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α．A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C例5、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC ．求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1． ∵A 1D∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ．又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1．(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ． ∴ON12CD 12AB ， ∴ON ∥AM ．又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM ．∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．题型三例6、直线a 与平面α所成的角为50°，直线b ∥a ，则直线b 与平面α所成的角等于( )A ．40°B ．50°C ．90°D ．150°答案：B例7、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，(1)直线A 1B 与平面ABCD 所成的角是________； (2)直线A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角是________； (3)直线A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角是________．答案：(1)45° (2)30° (3)90° 题型四例6、在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( ) A ．13 B ．12 C ．223 D ．32答案：B [如图所示，由二面角的定义知∠BOD 即为二面角的平面角． ∵DO ＝OB ＝BD ＝32， ∴∠BOD ＝60°．]例7、过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．答案：45° 题型五例8、下列命题中正确的是()A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β答案：C例9、如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．9．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．(2)解由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE．又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，则∠PBA＝60°．故二面角A—BE—P的大小是60°．题型六例10、平面α⊥平面β，直线a∥α，则()A．a⊥β B．a∥βC．a与β相交 D．以上都有可能答案：D例11、如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD 是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45．(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．11．(1)证明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥面PAD，又BD⊂面BDM，∴面MBD⊥面PAD．(2)解过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝23．在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四边形ABCD为梯形．在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高． ∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24． ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝163．跟踪训练1．正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于( )A ．33B ．22C ． 2D ． 3答案：C[解析] 设AC 、BD 交于O ，连A 1O ，∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，∴BD ⊥平面AA 1O ，∴BD ⊥A 1O ，∴∠A 1OA 为二面角的平面角． tan ∠A 1OA ＝A 1AAO＝2，∴选C.2．过两点与一个已知平面垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．有无数个 C ．有且只有一个或无数个 D ．可能不存在答案：C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段答案：A[解析] ∵DD 1⊥平面ABCD ， ∴D 1D ⊥AC ，又AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面BDD 1， ∴AC ⊥BD 1.同理BD 1⊥B 1C. 又∵B 1C ∩AC ＝C ， ∴BD 1⊥平面AB 1C.而AP ⊥BD 1，∴AP ⊂平面AB 1C.又P ∈平面BB 1C 1C ，∴P 点轨迹为平面AB 1C 与平面BB 1C 1C 的交线B 1C.故选A. 4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN ＝________．答案：90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN ．又∵MN ⊥B 1M ， ∴MN ⊥面C 1B 1M ， ∴MN ⊥C 1M ．∴∠C 1MN ＝90°．5．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A －A′BB′的体积V ＝________.答案： 4[解析] ∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′⊂α，AA′⊥A′B′， ∴AA′⊥β，∴V ＝13S △A′BB′·AA′＝13×(12A′B′×BB′)×AA′＝13×12×2×4×3＝4.6. 如图所示，已知PA 垂直于⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过点A 作AE ⊥PC 于点E .求证：AE ⊥平面PBC .证明 ∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC . 又∵AB 是⊙O 的直径，∴BC ⊥AC . 而PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC . 又∵AE ⊂平面PAC ，∴BC ⊥AE .又∵PC ⊥AE ，且PC ∩BC ＝C ，∴AE ⊥平面PBC .7．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：平面BCE ⊥平面CDE.证明取CE 的中点G ，连接FG ，BG ，AF. ∵F 为CD 的中点， ∴GF ∥DE ，且GF ＝12DE.∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE.则GF ∥AB. 又∵AB ＝12DE ，∴GF ＝AB.则四边形GFAB 为平行四边形．于是AF ∥BG. ∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD.∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF. 又∵CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDE ， ∴AF ⊥平面CDE.∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE.∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE.8．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面PAC⊥平面PBD；(3)二面角P－BC－D是45°的二面角．证明(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2.∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC.而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD.又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.(3)由(1)知PD⊥BC，又BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC.∴BC⊥PC.∴∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．在Rt△PDC中，PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°.∴二面角P－BC－D是45°的二面角．6．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AC，且BC1⊥A1C．(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)若D、E分别是A1C1和BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1.11解析： (1)∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ， ∴ACC 1A 1为正方形， ∴A 1C ⊥AC 1.又∵BC 1⊥A 1C ，AC 1∩BC 1＝C 1，∴A 1C ⊥平面ABC 1，又∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1， ∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC 1.(2)如图，取AA 1的中点F ，连接DF 、EF.∵D 、E 、F 分别为A 1C 1、BB 1、AA 1的中点， ∴DF ∥AC 1，EF ∥AB ，DF∩EF ＝F ， ∴平面DEF ∥平面ABC 1， ∴DE ∥平面ABC 1.。

高考数学三轮基础技能闯关夺分必备空间中的垂直关系(含解析)

空间中的垂直关系【考点导读】1．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明和解决有关问题。

2．线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，要理清楚它们之间的关系，学会互相转化，善于利用转化思想。

【基础练习】1．“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l α⊥”的必要条件。

2．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是平行或相交。

3．已知、αβ是两个平面，直线,.l l αβ⊄⊄若以①l α⊥，②//l β，③αβ⊥中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确命题的个数是 2 个。

4．在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 6 。

5．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是平行、相交或在另一个平面内。

6．在正方体1111ABCD A B C D -中，写出过顶点A 的一个平面__AB 1D 1_____，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。

【范例导析】例1．如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD , PD =DC ,E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F .（1）证明PA //平面EDB ；（2）证明PB ⊥平面EFD ；解析：本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力. 证明：（1）连结AC ,AC 交BD 于O ,连结EO .∵底面ABCD 是正方形,∴点O 是AC 的中点在PAC ∆中,EO 是中位线,∴PA // EO而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ,所以,PA // 平面EDB（2）∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ,∴DC PD ⊥∵PD =DC ,可知PDC ∆是等腰直角三角形,而DE 是斜边PC 的中线,∴PC DE ⊥. ①同样由PD ⊥底面ABCD ,得PD ⊥BC .∵底面ABCD 是正方形,有DC ⊥BC ,∴BC ⊥平面PDC .而⊂DE 平面PDC ,∴DE BC ⊥. ②由①和②推得⊥DE 平面PBC . 而⊂PB 平面PBC ,∴PB DE ⊥又PB EF ⊥且E EF DE =I ,所以PB ⊥平面EFD .例2．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；A BC D P E F（3）平面DEA ⊥平面ECA 。

面面垂直的判定习题详细答案推荐课件

所以VP-MAB∶VP-ABCD=1∶4.…………………………………12分
1.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( ) (A)m⊥n,m∥α,n∥β (B)m⊥n,α∩β=m,n⊂α (C)m∥n,n⊥β,m⊂α (D)m∥n,m⊥α,n⊥β
2.过空间一点的三条直线两两垂直，则由它们确定的平面中互相垂直的有( ) (A)0对 (B)1对 (C)2对 (D)3对
【规范解答】线面垂直的综合应用【典例】(12分)如图所示，已知三棱锥P-ABC，∠ACB=90°，CB=4， AB=20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC. (1)求证：平面PAC⊥平面ABC； (2)求二面角D-AP-C的正弦值； (3)若M为PB的中点，求三棱锥M-BCD的体积.
在Rt△BSC中，∵SB=SC=a，∴SD=2 a ，
2
BD=B C 2.在a Rt△ABD中，AD= 2 a ，
22
2
在△ADS中，∵SD2+AD2=SA2,∴∠ADS=90°，即二面角A-
BC-S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.
方法二：(利用判定定理) ∵SA=SB=SC，且∠BSA=∠CSA=60°,∴SA=AB=AC，∴点A 在平面SBC上的射影为△SBC的外心. ∵△SBC为直角三角形，∴点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，∴AD⊥平面SBC. 又∵AD⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.
5.如图所示，在Rt△AOB中，∠ABO= π ，斜边AB=4，Rt△AOC
6
可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是
直二面角，D是AB的中点.
求证：平面COD⊥平面AOB.
【证明】由题意知，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角 B-AO-C的平面角，又二面角B-AO-C是直二面角， ∴CO⊥BO.又∵AO∩BO=O,∴CO⊥平面AOB. ∵CO⊂平面COD，∴平面COD⊥平面AOB.

河南省洛阳市第二外国语学校高考数学闯关密练特训《52平面向量基本定理及向量的坐标表示》试题新人教

1.(文)(2011·重庆文)已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D[解析] ∵a ＝(1，k )，b ＝(2,2)， ∴a ＋b ＝(3，k ＋2)， ∵(a ＋b )∥a ，∴1·(k ＋2)＝3k ，∴k ＝1，∴a ＝(1,1)， ∴a ·b ＝2＋2＝4.(理)(2012·沈阳质检)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12 B.13 C.14 D ．1[答案] A[解析] 本题考查向量的线性运算．据已知N 为AM 的中点，可得AN →＝12AM →＝λAB →＋μAC →，整理得AM →＝2λAB →＋2μAC →，由于点M 在直线BC 上，故有2λ＋2μ＝1，即λ＋μ＝12.2．(文)(2011·蚌埠二中质检)已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[解析] AB →＝(2,3)，∵AB →⊥a ， ∴2(2k －1)＋3×2＝0， ∴k ＝－1，∴选B.(理)(2012·昆明一中检测)已知向量a ＝(x,1)，b ＝(2,1)，c ＝(1，y )，若a ⊥(b －c )，则y －x 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－1 [答案] B[解析] ∵b ＝(2,1)，c ＝(1，y )，∴b －c ＝(1,1－y )，∵a ⊥(b －c )，a ＝(x,1)，∴a ·(b －c )＝x ＋(1－y )＝0，∴y －x ＝1.3．(2011·嘉兴模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1[答案] D[解析] ∵AB →与AC →共线，a 与b 不共线， ∴λμ－1＝0，故选D.4．(2012·湖北省孝感模拟)在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形[答案] C[解析] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →， ∴四边形ABCD 为梯形．5．(2011·山东高考调研)已知平行四边形ABCD ，点P 为四边形内部或者边界上任意一点，向量AP →＝xAB →＋yAD →，则“0≤x ≤12，0≤y ≤23”的概率是( )A.13 B.23 C.14D.12[解析]根据平面向量基本定理，点P 只要在如图所示的区域AB 1C 1D 1内即可，这个区域的面积是整个四边形面积的12×23＝13，故所求的概率是13.6．如图，△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12 [答案] C[解析] 设CF →＝λCD →，∵E 、D 分别为AC 、AB 的中点， ∴BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋12b ，BF →＝BC →＋CF →＝(b －a )＋λ(12a －b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1a ＋(1－λ)b ，∵BE →与BF →共线，∴12λ－1－1＝1－λ12，∴λ＝23，∴AF →＝AC →＋CF →＝b ＋23CD →＝b ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b ＝13a ＋13b ，故x ＝13，y ＝13. 7．(文)(2011·杭州模拟)已知向量a ＝(sin x,1)，b ＝(cos x ，－3)，且a ∥b ，则tan x ＝________.[答案] －13[解析] ∵a ∥b ，∴sin x cos x ＝1－3，∴tan x ＝－13.(理)已知a ＝(2，－3)，b ＝(sin α，cos 2α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，若a ∥b ，则tan α＝________.[答案] －33[解析] ∵a ∥b ，∴sin α2＝cos 2α－3，∴2cos 2α＝－3sin α，∴2sin 2α－3sin α－2＝0， ∵|sin α|≤1，∴sin α＝－12，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴cos α＝32，∴tan α＝－33. 8．(文)(2012·西安五校第二次联考)梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b .若MN →＝m a ＋n b ，则nm＝________.[答案] －4[解析] MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－14a －b ＋12a ＝14a －b ，∴m ＝14，n ＝－1，∴nm ＝－4.(理)已知e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，点P 的坐标(x ，y )满足方程x 24－y 2＝1，若OP →＝a e 1＋b e 2(a ，b ∈R ，O 为坐标原点)，则a 、b 满足的一个等式是________．[答案] 4ab ＝1[解析] 因为e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，所以OP →＝a e 1＋b e 2＝a (2,1)＋b (2，－1)＝(2a ，a )＋(2b ，－b )＝(2a ＋2b ，a －b )．因为点P 的坐标为(x ，y )，所以OP →＝(x ，y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋2b y ＝a －b .因为x ，y 满足方程x 24－y 2＝1，所以2a ＋2b 24－(a －b )2＝1，化简可得4ab ＝1，此即为a 、b 满足的一个等式．9．(文)(2011·北京朝阳区模拟)如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，F 为AB 上一点，且AB →＝4AF →，若AD →＝xAF →＋yAE →，则x ＝________，y ＝________.[答案] 2 1 [解析](如图)因为AD →＝AE →＋ED →＝AE →＋12AB →＝AE →＋12×4AF →＝AE →＋2AF →. 所以x ＝2，y ＝1.(理)(2011·江苏徐州市质检)在△ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交AB 、AC 于M 、N 两点，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则4x ＋y 的最小值为________．[答案] 94[解析]如图所示，由题意知AD →＝12(AB →＋AC →)，AE →＝12AD →，又M ，E ，N 三点共线，所以AE →＝λAM →＋(1－λ)AN →(其中0<λ<1)，又AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，所以14(AB →＋AC →)＝λx AB →＋(1－λ)yAC →，因此有⎩⎪⎨⎪⎧4λx ＝1，41－λy ＝1，解得x ＝14λ，y ＝141－λ，令1λ＝t ，∴t >1，则4x ＋y ＝1λ＋141－λ＝t ＋t4t －1＝(t －1)＋14t －1＋54≥94，当且仅当t ＝32，即λ＝23时取得等号．10．(文)已知O (0,0)、A (2，－1)、B (1,3)、OP →＝OA →＋tOB →，求 (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第四象限？ (2)四点O 、A 、B 、P 能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由．[解析] (1)OP →＝OA →＋tOB →＝(t ＋2,3t －1)．若点P 在x 轴上，则3t －1＝0，∴t ＝13；若点P 在y 轴上，则t ＋2＝0，∴t ＝－2；若点P 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＋2>03t －1<0，∴－2<t <13.(2)OA →＝(2，－1)，PB →＝(－t －1，－3t ＋4)．若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →.∴⎩⎪⎨⎪⎧－t －1＝2－3t ＋4＝－1无解．∴ 四边形OABP 不可能为平行四边形．同理可知，当t ＝1时，四边形OAPB 为平行四边形，当t ＝－1时，四边形OPAB 为平行四边形．(理)(2011·杭州市质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)，设m ＝a ＋t b (t 为实数)．(1)若α＝π4，求当|m |取最小值时实数t 的值；(2)若a ⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a －b 和向量m 的夹角为π4，若存在，请求出t ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵α＝π4，∴b ＝(22，22)，a ·b ＝322，∴|m |＝a ＋t b2＝5＋t 2＋2t a ·b＝t 2＋32t ＋5＝t ＋3222＋12， ∴当t ＝－322时，|m |取到最小值，最小值为22.(2)由条件得cos π4＝a －b ·a ＋t b|a －b ||a ＋t b |，∵|a －b |＝a －b 2＝6，|a ＋t b |＝a ＋t b2＝5＋t 2，(a －b )·(a ＋t b )＝5－t ，∴5－t 65＋t2＝22，且t <5， ∴t 2＋5t －5＝0，∴存在t ＝－5±352满足条件. 能力拓展提升11.(2011·湖南十二校第二次联考)平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，满足(AB →－BC →)·(AD →－CD →)＝0，则三角形ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形[答案] B[解析] (AB →－BC →)·(AD →－CD →)＝(AB →－BC →)·(AD →＋DC →)＝(AB →－BC →)·AC →＝(AB →－BC →)·(AB →＋BC →) ＝|AB →|2－|BC →|2＝0，故|AB →|＝|BC →|，即△ABC 是等腰三角形．12．(2011·青岛模拟)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD＝135°，记向量AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.2a－(1＋22)bB．－2a＋(1＋22)bC．－2a＋(1－22)bD.2a＋(1－22)b[答案] B[解析]根据题意可得△ABC为等腰直角三角形，由∠BCD＝135°，得∠ACD＝135°－45°＝90°，以B为原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE⊥y轴于点E，则△CDE也为等腰直角三角形，由CD＝1，得CE＝ED＝22，则A(1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D(22，1＋22)，∴AB→＝(－1,0)，AC→＝(－1,1)，AD→＝(22－1,1＋22)，令AD→＝λAB→＋μAC →，则有⎩⎪⎨⎪⎧－λ－μ＝22－1，μ＝1＋22，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝1＋22.∴AD →＝－2a ＋(1＋22)b . 13.(2012·江西八校联考)如图所示，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且AP →＝25AB →＋15AC →，AQ →＝23AB→＋14AC →，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为________． [答案] 45[分析] 因三角形的面积与底和高有关，所以可利用“同底三角形面积比等于高之比”的结论计算待求三角形的面积比．题设条件中用AB →和AC →给出了点P 和点Q ，故可利用AP →和AQ →构造平行四边形将面积比转化为向量长度的比解决．[解析] 根据题意，设AM →＝25AB →，AN →＝15AC →，则由平行四边形法则，得AP →＝AM →＋AN →，且四边形AMPN 为平行四边形，于是NP ∥AB ，所以S △ABP S △ABC ＝|AN →||AC →|＝15，同理，可得S △ABQ S △ABC ＝14.故S △ABP S △ABQ ＝45. 14．设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知c ＝2b ，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ，32，n ＝(1，sin A ＋3cos A )，且m 与n 共线．(1)求角A 的大小； (2)求a c的值．[解析] (1)∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1. ∵A ∈(0，π)，∴2A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，11π6.∴2A －π6＝π2.∴A ＝π3.(2)由余弦定理及c ＝2b 、A ＝π3得，a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋c 2－2·c 2·c cos π3，a 2＝34c 2，∴a c ＝32.15．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及定点A (1,1)，M 为圆C 上任意一点，点N 在MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求动点N 的轨迹方程．[解析] 设N (x ，y )，M (x 0，y 0)，则由MA →＝2AN →得，(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2x －2，1－y 0＝2y －2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y .代入(x －3)2＋(y －3)2＝4，得x 2＋y 2＝1. 16．设a 、b 是不共线的两个非零向量，(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线； (2)若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，求实数k 的值；(3)设OM →＝m a ，ON →＝n b ，OP →＝αa ＋βb ，其中m 、n 、α、β均为实数，m ≠0，n ≠0，若M 、P 、N 三点共线，求证：αm ＋βn＝1.[解析] (1)∵AB →＝(3a ＋b )－(2a －b )＝a ＋2b . 而BC →＝(a －3b )－(3a ＋b )＝－2a －4b ＝－2AB →，∴AB →与BC →共线，且有公共端点B ，∴A 、B 、C 三点共线．(2)∵8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，∴存在实数λ使得 (8a ＋k b )＝λ(k a ＋2b )⇒(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0， ∵a 与b不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0.⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，∴k ＝2λ＝±4.(3)证法1：∵M 、P 、N 三点共线，∴存在实数λ，使得MP →＝λPN →，∴OP →＝OM →＋λON →1＋λ＝m1＋λa ＋λn1＋λb ， ∵a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＝m 1＋λ，β＝λn1＋λ∴αm ＋βn ＝11＋λ＋λ1＋λ＝1. 证法2：∵M 、P 、N 三点共线，∴OP →＝xOM →＋yON →且x ＋y ＝1，由已知可得：xm a ＋yn b ＝αa ＋βb ， ∴x ＝αm ，y ＝βn ，∴αm ＋βn＝1.1．(2012·江西七校联考)已知两不共线向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，则下列说法不正确的是( )A ．(a ＋b )⊥(a －b )B ．a 与b 的夹角等于α－βC ．|a ＋b |＋|a －b |>2D ．a 与b 在a ＋b 方向上的投影相等 [答案] B[解析] 注意到|a |＝|b |＝1，因此(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0，所以(a ＋b )⊥(a －b )；注意到α－β未必属于(0，π)，因此a ，b 的夹角未必等于α－β；由三角形法则可知，|a ＋b |＋|a －b |2>1，于是有|a ＋b |＋|a －b |>2；结合三角形法则及一个向量在另一个向量上的投影的意义可知，a ，b 在a ＋b 方向上的投影相等．综上所述，其中不正确的说法是B ，选B.2．(2011·深圳模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是( )[答案] A[解析] OC →＝λa ＋μb ＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，令OC →＝(x ，y )，则x －y ＝(3λ＋μ)－(λ＋3μ) ＝2(λ－μ)≤0，∴点C 对应区域在直线y ＝x 的上方，故选A.3．(2012·北京文)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________，DE →·DC →的最大值为________．[答案] 1 1[解析] 本题考查平面向量的数量积，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (x 0,0)，则CB →＝(0，－1)，DC →＝(1,0)，DE →＝(x 0，－1)，∴DE →·CB →＝(x 0，－1)(0，－1)＝1， ∴DE →·DC →＝x 0，而0≤x 0≤1， ∴DE →·DC →的最大值为1.[点评] 将问题转化为坐标运算使问题迎刃而解．4．已知G 是△ABC 的重心，直线EF 过点G 且与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，AE →＝αAB →，AF →＝βAC →，则1α＋1β＝________.[答案] 3[解析] 连结AG 并延长交BC 于D ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，设EG →＝λGF →，∴AG →－AE →＝λ(AF →－AG →)，∴AG →＝11＋λAE →＋λ1＋λAF →，∴13AB →＋13AC →＝α1＋λAB →＋λβ1＋λAC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧α1＋λ＝13，λβ1＋λ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧1α＝31＋λ，1β＝3λ1＋λ，∴1α＋1β＝3.5．(2011·衡阳期末)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(3)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . [解析] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.(3)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x －4－2y －1＝0x －42＋y －12＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝3，∴d ＝(3，－1)或d ＝(5,3)．6．若a ，b 是两个不共线的向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？[解析] 设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a .要使A 、B 、C 三点共线，只需AC →＝λAB →.即－23a ＋13b ＝λt b －λa .∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上．。

线面垂直、面面垂直知识点总结、经典例题及解析、高考题练习及答案

考纲说明】1、能够认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。

2、能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。

知识梳理】一、直线与平面垂直的判定与性质1、直线与平面垂直（1）定义：如果直线 l 与平面 α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 α互相垂直，记作 l ⊥α，直线 l叫做平面 α的垂线，平面 α叫做直线 l 的垂面。

如图，直线与平面垂直时 ,它们唯一公共点 P 叫做垂足。

（ 2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作 . a/ /b b a 3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

即 a ,b a / /b由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。

2、直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。

直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是 00 的角。

3、二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，的面。

如果记棱为 l ，那么两个面分别为、的二面角记作 l .在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。

其作用是衡量二面角的大小；范围： 001800.二、平面与平面垂直的判定与性质 1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直 .l2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

简述为 “线面垂直，则面面垂直 ”，记作 .l直线平面垂直的判定与性质一条直线垂直于平面，该这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角经典例题】【例 1】（2012浙江文）设l 是直线 ,a, β是两个不同的平面（）A ．若l ∥a,l ∥β则, a ∥βB ．若 l ∥a,l ⊥β则,a ⊥βC ．若 a ⊥ βl ,⊥ a,则 l ⊥βD ．若 a ⊥β, l ∥a,则l ⊥β 【答案】 B【解析】利用排除法可得选项 B 是正确的 ,∵l ∥a,l ⊥β则, a ⊥β如.选项 A:l ∥a,l ∥β时, a ⊥β或 a ∥ β选;项 C:若 a ⊥βl ,⊥a,l ∥ β或 l;选项 D:若若 a ⊥β, l ⊥a,l ∥β或l ⊥β.【例 2】（2012 四川文）下列命题正确的是（）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等 ,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 ,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面 ,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面 ,则这两个平面平行【答案】 C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等 ,这两条直线可能平行 ,也可能为异面直线 ,也可能相交 ,所以 A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等 ,则这两个平面平行 ,故 B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行 ,也可以垂直 ;故 D 错;故选项 C 正确.【例 3】（2012 山东）已知直线 m 、n 及平面α，其中 m ∥n ，那么在平面 α内到两条直线 m 、n 距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是（）A ．①②③B ．①④C ．①②④D ．②④ 【答案】 C【解析】如图 1，当直线 m 或直线 n 在平面α内时有可能没有符合题意的点；如图 2，直线 m 、n 到已知平面α的距离相等且所在平面与已知平面 α垂直，则已知平面 α为符合题意的点；如图 3，直线 m 、n 所在平面与已知平面 α平行，则符合题意的点为一条直线，从而选 C.如图，在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中，M 、中点，则异面直线 A 1M 与 DN 所成的角的大小是 ______________________________________________________ 答案】 90o3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作lm mlm.例 4】（ 2012 四川理） N 分别是 CD 、CC 1的 AB解析】方法一 :连接 D 1M,易得 DN ⊥A 1D 1 ,DN ⊥D 1M, 所以,DN ⊥平面 A 1MD 1,又 A 1M 平面 A 1MD 1,所以 ,DN ⊥A 1D 1,故夹角为 90o方法二 :以 D 为原点 ,分别以 DA, DC, DD 1 为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系 D —xyz.设正方体边长为 2,则 D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A 1(2,0,2) 故,DN (0,2,1)，MA 1 (2， 1,2)所以,cos< DN ，MA 1 |D D N N ||M M A A 11 | = 0,故 DN ⊥D 1M,所以夹角为 90o例 5】(2012 大纲理)三棱柱 ABC A 1B 1C 1中,底面边长和侧棱长都相等 , BAA 1 CAA 1 60 ,则异面直线 AB 1与 BC 1 所成角的余弦值为 ____________ . 答案】 66答案】 2解析】 ∵EF ∥面 AB 1C ，∴ EF ∥AC.又 E 是 AD 的中点，∴ F 是 DC 的中点．解析】设该三棱柱的边长为则|AB 1 |2 (AB AA 1)2|BC 1 |2 (AC AA 1 AB) 1,依题意有 AB 1 AB AA 1,BC 1 AC AA 1 AB ,2AB 2AB AA 1 AA 1 2 2cos60 322AA 1 AB 2AC AA 1 2AC AB 2AA 1 AB 22 AC 2而 AB 1 BC 1 (AB AA 1) (AC AA 1 AB)AB AC AB AA 1 AB AB AA 1 AC AA 1 AA 1 AA 1 AB 11111112 2 2 2cos AB 1, BC 1BC 6 |AB 1 ||BC 1 | 2 3 6例 6】(2011·福建) 如图，正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上，若 EF ∥平面 AB 1C ，则线段 EF 的长度等于．∴ EF＝21AC＝ 2.例 7】（2012年山东文）如图,几何体 E ABCD 是四棱锥 ,△ABD为正三角形 ,CB CD,EC BD. （ 1）求证 : BE DE ;（ 2）若∠ BCD 120 ,M 为线段 AE 的中点 , 求证 :DM ∥平面 BEC .解析】（ 1）设BD中点为 O,连接 OC,OE,则由 BC CD知CO BD , 又已知 CEBD ,所以BD 平面 OCE.所以 BD OE ,即 OE 是 BD 的垂直平分线 ,所以BE DE .（2）取 AB中点 N,连接MN,DN ,∵M 是AE的中点 ,∴MN ∥ BE,∵△ABD是等边三角形 ,∴ DN AB.由∠BCD=120°知,∠CBD=30°, 所以∠ABC=60°+30°=90°,即 BC AB,所以 ND∥BC,所以平面 MND ∥平面 BEC,又 DM 平面 MND,故 DM∥平面 BEC.另证:延长AD,BC 相交于点F ,连接 EF.因为 CB=CD, ABC 900.因为△ABD为正三角形 ,所以BAD 600, ABC 900,则AFB 300,1 所以AB 1AF ,又AB AD ,2 所以 D 是线段 AF 的中点 ,连接 DM, 又由点 M 是线段 AE 的中点知DM //EF ,而DM 平面 BEC, EF 平面 BEC,故 DM ∥平面 BEC.例 8】（2011天津）如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形∠ ADC＝45°，AD＝AC＝1，O 为AC 的中点， PO⊥平面 ABCD ，PO＝2，M为 PD 的中点．1）证明： PB∥平面 ACM ；2）证明： AD ⊥平面 PAC；3）求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值．【解析】（1）证明：连接 BD ，MO ，在平行四边形 ABCD 中，因为 O 为AC的中点，所以 O为 BD的中点．又 M 为 PD 的中点，所以 PB∥MO.因为 PB? 平面 ACM ，MO? 平面 ACM ，所以 PB∥平面 ACM.（ 2）证明：因为∠ ADC＝45°，且 AD＝AC＝1，所以∠ DAC ＝90°，即 AD⊥AC，又 PO⊥平面 ABCD，AD? 平面 ABCD，所以 PO⊥AD.而 AC ∩PO＝O，所以 AD⊥平面 PAC.1（3）取 DO 中点 N，连接 MN，AN.因为 M 为 PD 的中点，所以 MN∥PO，且 MN＝2PO＝ 1.由 PO⊥平面ABCD，1得 MN ⊥平面 ABCD ，所以∠ MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角，在 Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝2，所以 DOP-ABCD 中,PA ⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 是等腰梯形 ,AD ∥BC,AC⊥BD.1）证明 :BD ⊥PC;2）若 AD=4,BC=2, 直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30°,求四棱锥 P-ABCD 的体积 .解析】（1）因为 PA 平面 ABCD,BD 平面ABCD,所以PA BD.又 AC BD , PA, AC 是平面 PAC 内的两条相较直线 ,所以 BD 平面 PAC, 而 PC 平面 PAC, 所以 BD PC . （2）设 AC 和 BD 相交于点 O,连接 PO,由（Ⅰ）知,BD 平面 PAC, 所以 DPO 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角 ,从而 DPO 30 .由 BD 平面 PAC, PO 平面 PAC,知 BD PO . 在 Rt POD 中 ,由 DPO 30 ,得 PD=2OD.因为四边形 ABCD 为等腰梯形 ,AC BD ,所以 AOD, BOC 均为等腰直角三角形111从而梯形 ABCD 的高为 AD BC （4 2） 3, 于是梯形 ABCD 面积2221S （4 2） 3 9.2在等腰三角形 AOD 中,OD2,AD 2 2,＝ 25，从而 AN ＝21DO ＝ 45.在Rt △ANMMN 1 4 5 tan ∠ MAN ＝ AN ＝ 5＝ 5 ，即直线4中，AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为 45 5 例 9】（ 2012 湖南文）如图，在四棱锥21所以PD 2OD 4 2,PA PD2 AD2 4.11故四棱锥P ABCD的体积为V S PA 9 4 12.331例 10】（2012 新课标理）如图 ,直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中, AC BC 2（ 1）证明 : DC 1 BC（ 2）求二面角 A 1 BD C 1的大小 . 解析】（1）在 Rt DAC 中,AD AC 得 : ADC 45同理 : A 1DC 1 45 CDC 1 90得:DC 1 DC , DC 1 BD DC 1 面 BCD DC 1 BC（2）DC 1 BC, CC 1 BC BC 面 ACC 1A 1 BC AC取A 1B 1的中点 O ,过点 O 作OH BD 于点 H ,连接C 1O,C 1HA 1C 1B 1C 1 C 1O A 1B 1 ,面 A 1B 1C 1 面 A 1BD C 1O 面 A 1BD OH BD C 1H BD 得 :点 H 与点 D 重合且C 1DO 是二面角 A 1 BD C 1 的平面角设 AC a ,则C 1O2a,C 1D 2a 2C 1O C 1DO 302 1 1 1既二面角 A 1 BD C 1 的大小为 30课堂练习】1．（2012浙江理）已知矩形 ABCD ,AB=1,BC= 2.将 ABD 沿矩形的对角线中A ．存在某个位置 ,使得直线 AC 与直线 BD 垂直B ．存在某个位置 ,使得直线 AB 与直线 CD 垂直C ．存在某个位置 ,使得直线 AD 与直线 BC 垂直D ．对任意位置 ,三直线“AC 与BD ” ,A “B 与 CD ” ,A “D 与 BC ”均不垂直 2．（2012 四川理）下列命题正确的是A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等 ,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 ,则这两个平面平行AA 1 , D 是棱 AA 1的中点 ,DC 1 BDBD 所在的直线进行翻着，在翻着过程11. （2010江西理）过正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点 A 作直线 L ，使 L 与棱 AB ，AD ， AA 1所成的角都相等，这样的直线 L 可以作（） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4 条12.（ 2012 大纲）已知正方形 ABCD A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别为 BB 1 , CC 1的中点 ,那么异面直线 AE 与D 1F 所成角的余弦值为 ___ _.13.（2010上海文）已知四棱椎 P ABCD 的底面是边长为 6 的正方形，侧棱 PA 底面 ABCD ，且 PA 8，则该四棱椎的体积是 .A ． 2 3B ． 3 3 2C ． 3D ． 6 3 9.（ 2010 全国Ⅱ卷理）已知正四棱锥 S ABCD 中， S A 2 3 ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（） A ．1 B ． 3 C ．2 D ．3 10.（ 2010 全国Ⅰ卷）已知在半径为 2 的球面上有 A ． B ． C ．D 四点，若 AB=CD=2 ，则四面体 ABCD 的体积的最大值为（）A ． 2 3B ． 4 3C ． 2 3D ． 8 3 3 33正方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1中，B B 1与平面 AC D 1所成角的余弦值为（ 8.（ 2010 全国卷））3． 4． 5．6． 7. C ．若一条直线平行于两个相交平面 ,则这条直线与这两个平面的交线平行 D ．若两个平面都垂直于第三个平面 ,则这两个平面平行（2011 重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（） A ．只有 1 个 B ．恰有 3 个 C ．恰有 4 个 D ．有无穷多个（2012上海）已知空间三条直线 l ，m ，n 若 l 与 m 异面,且 l 与 n 异面,则 A ． m 与 n 异面 . B ． C ．m 与 n 平行 . D ． 2011烟台）已知 m ，n 是两条不同的直线， α，则 α⊥β；②若 m ∥α， n ∥β， m ⊥ n ，则 α∥β；则 m ⊥ n. 其中正确命题的个数为（）A ．1C ．3 （2011潍坊）已知 m 、n 是两条不同的直线， γ∥β ? β，则 α∥β n ∥α α∥β A 若 α⊥ γα⊥，则 B ．若 m ∥ n ， m? α， C ．若 m ∥ n ， m ∥ α，D 若 n ⊥ αn ⊥β，则m 与 n 相交. m 与 n 异面、相交、平行均有可能 . β为两个不同的平面，有下列四个命题： ③若 m ⊥α，n ∥β， m ⊥n ，则 ①若 m ⊥ α，n ⊥ β，m ⊥ n ， n ∥β， α∥ β， B ． D ． β、γ是三个不同的平面，则下列命题正2010 全国卷文）直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，若 BAC 90 ， AB AC AA 1 ，则异面直线BA 1 与 AC 1所成的角等于（)B ．45°C ．60°D ．90°19.（ 2012 课标文）如图 ,三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1中,侧棱垂直底面 AA 1,D 是棱 AA 1 的中点 . （1）证明 :平面 BDC 1 ⊥平面 BDC 12）平面 BDC 1 分此棱柱为两部分 ,求这两部分体积的比14.（ 2010 四川卷）如图，二面角l 的大小是 60°，线段 AB .B l ， AB 与 l 所成的角为 30 °.则 AB与平面所成的角的正弦值是 15.（江西卷文）长方体 ABCD A 1B 1C 1D1 的顶点均在同一个球面上， AB A 1A 1 ，BC 2 ，则 A ， B两点间的球面距离为 16.（2010 湖南理）如图所示，在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1中， E 是棱 DD 1的中点。

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训5-1平面向量的概念与线性运算试题

1.(文)(2011·广西六校联考、北京石景山检测)已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →[答案] A[解析] ∵OB →＋OC →＝2OD →， ∴2OA →＋2OD →＝0，∴AO →＝OD →.(理)(2012·珠海调研)已知△ABC 及其平面内点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] B[解析] 解法1：由已知条件MB →＋MC →＝－MA →.如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点．延长BM 交AC 于E ，延长CM 交AB 于F ，则E 、F 分别为AC 、AB 的中点，即M 为△ABC 的重心．AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，则m ＝3.解法2：∵AB →＋AC →＝MB →－MA →＋MC →－MA →＝MB →＋MC →－2MA →＝mAM →，∴MB →＋MC →＝(m －2)AM →， ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴(m －2)AM →＝AM →，∴m ＝3.2．(2011·广东江门市模拟)若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A ．直角梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形[答案] B[解析] 由AB →＋CD →＝0知，AB →＝DC →，即AB ＝CD ，AB ∥CD .∴四边形ABCD 是平行四边形．又(AB →－AD →)·AC →＝0，∴DB →·AC →＝0，即AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 是菱形，故选B.3．(文)如图所示，在△ABC 中，BD →＝12DC →，AE →＝3ED →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则BE →等于 ( )A.13a ＋13b B ．－12a ＋14bC.12a ＋14b D ．－13a ＋13b[答案] B[解析] ∵AE →＝3ED →，∴ED →＝14AD →，∵BD →＝12DC →，∴BD →＝13BC →，∴BE →＝BD →－ED →＝BD →－14AD →＝BD →－14(AB →＋BD →)＝34BD →－14AB →＝14BC →－14AB → ＝14AC →－12AB →＝14b －12a . (理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b [答案] D[解析] 由条件易知，DF →＝13DC →，∴AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .故选D.4．(2011·广东文)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14 B.12 C ．1 D ．2[答案] B[解析] a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，因为(a ＋λb )∥c ，所以4＋4λ－6＝0，所以λ＝12.5．(文)( 2011·惠州模拟)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝λCA →＋μCB →，则μλ的值为( )A ．1 B.12 C ．2 D.13[答案] C[解析] CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，∴λ＝13，μ＝23，∴μλ＝2.(理)(2011·厦门模拟)已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM →＝xOA →＋12OB →＋13OC →，则x 的值为( ) A ．0 B.13 C.12 D.16[答案] D[解析] ∵x ＋12＋13＝1，∴x ＝16.6．设OA →＝e 1，OB →＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|AP | |PB |＝4，如图所示，则OP →＝( )A.15e 1－25e 2B.25e 1＋15e 2C.15e 1＋45e 2D.25e 1－15e 2 [答案] C[解析] AP →＝4PB →，∴AB →＝AP →＋PB →＝5PB →， OP →＝OB →＋BP →＝OB →－15AB →＝OB →－15(OB →－OA →)＝45OB →＋15OA →＝15e 1＋45e 2.7．(文)(2011·山东济南市调研)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________． [答案]311[解析] (如图)因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →) ＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k4AC →，所以1－k ＝m ，且k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.(理)(2011·聊城模拟)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中， λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.[答案] 43[解析]如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，且E 、F 分别为CD 、BC 中点． ∴AC →＝AD →＋AB → ＝(AE →－DE →)＋(AF →－BF →)＝(AE →＋AF →)－12(DC →＋BC →)＝(AE →＋AF →)－12AC →，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，∴λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.8．(文)(2011·合肥模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|＝________. [答案] 13[解析] ∵OC →＝23OA →＋13OB →，23＋13＝1，∴A 、B 、C 三点共线，∵AC →＝OC →－OA →＝13OB →－13OA →＝13AB →，∴|AC →||AB →|＝13. (理)(2012·四川文)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．|a |＝|b |且a ∥bB ．a ＝－bC ．a ∥bD ．a ＝2b[答案] D[解析] 对于A ，|a |＝|b |，且a ∥b ，可知a 与b 共线，若反向，则不能满足结论a|a |＝b|b |，对于B 选项，两向量反向，而C 选项a ∥b ，同样若反向不能满足．而D 项显然满足，故选D.[点评] 注意到a |a |是与a 同向的单位向量，b |b |是与b 同向的单位向量，故a |a |＝b|b |⇔a 与b 同向．9．(2012·东北三省四市联考)在△ABC 中，AB ＝2AC ＝2，AB →·AC →＝－1，若AO →＝x 1AB →＋x 2AC →(O 是△ABC 的外心)，则x 1＋x 2的值为________．[答案]136[解析] O 为△ABC 的外心，AO →＝x 1AB →＋x 2AC →，AO →·AB →＝x 1AB →·AB →＋x 2AC →·AB →，由向量数量积的几何意义，AO →·AB →＝12|AB →|2＝2，∴4x 1－x 2＝2，①又AO →·AC →＝x 1AB →·AC →＋x 2AC →·AC →，∴－x 1＋x 2＝12，②联立①②，解得x 1＝56，x 2＝43，∴x 1＋x 2＝136.10．(文)如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c 、d 表示AB →、AD →.[解析] 解法一：AD →＝AM →－DM →＝c －12AB →，①AB →＝AN →－BN →＝d －12AD →，②由①②得AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．解法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，因为M 、N 分别为CD 、BC 的中点，所以BN →＝12b ，DM →＝12a ，于是有：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b ＋12a ，d ＝a ＋12b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝232d －c ，b ＝232c －d ，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．(理)如图，在△ABC 中，AM AB ＝1 3，AN AC ＝1 4，BN 与CM 交于P 点，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.[分析] 由已知条件可求AM →、AN →，∵BN 与CM 相交于点P ，∴B 、P 、N 共线，C 、P 、M 共线，因此，可以设PN →＝λBN →，PM →＝μCM →，利用同一向量的两种a ，b 的线性表示及a 、b 不共线求解；也可以设BP →＝λBN →，用a 、b ，λ来表示CP →与CM →，利用CP →与CM →共线及a 、b 不共线求解．解题方法很多，但无论什么方法，都要抓住“共线”来作文章．[解析] 由题意知：AM →＝13AB →＝13a ，AN →＝14AC →＝14b ，BN →＝AN →－AB →＝14b －a ，CM →＝AM →－AC →＝13a －b .设PN →＝λBN →，PM →＝μCM →，则PN →＝λ4b －λa ，PM →＝μ3a －μb .∴AP →＝AN →－PN →＝14b －(λ4b －λa )＝λa ＋1－λ4b ，AP →＝AM →－PM →＝13a －(μ3a －μb )＝1－μ3a ＋μb ，∴λa ＋1－λ4b ＝1－μ3a ＋μb ，而a ，b 不共线．∴λ＝1－μ3且1－λ4＝μ.∴λ＝311.因此AP →＝311a ＋211b .能力拓展提升11.(2011·山东青岛质检)在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋a (n ∈N *，a 为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量OA →，OB →，OC →满足OC →＝a 1OA →＋a 2010OB →，三点A 、B 、C 共线且该直线不过O 点，则S 2010等于( )A ．1005B ．1006C ．2010D ．2012[答案] A[解析] 由题意知，a 1＋a 2010＝1，又数列{a n }为等差数列，所以S 2010＝a 1＋a 20102×2010＝1005，故选A.12．(文)(2011·安徽安庆模拟)已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，设△ABC 的面积为S ，则△PAC 的面积为( )A.34SB.23SC.12SD.25S [答案] C [分析]由系数3＋2＝5，可将条件式变形为3(PA →＋PB →)＋2(PB →＋PC →)＝0，故可先构造出PA →＋PB →与PB →＋PC →，假设P 为P ′点，取AB 、BC 中点M 、N ，则PM →＝12(PA →＋PB →)，PN →＝12(PB →＋PC →)，条件式即转化为PM →与PN →的关系．[解析] 设AB ，BC 的中点分别为M ，N ，则PM →＝12(PA →＋PB →)，PN →＝12(PB →＋PC →)，∵3PA →＋5PB →＋2PC →＝0， ∴3(PA →＋PB →)＝－2(PB →＋PC →)，∴3PM →＝－2 PN →，即点P 在中位线MN 上， ∴△PAC 的面积为△ABC 面积的一半，故选C.(理)(2011·东北三校联考)在△ABC 中，点P 是AB 上的一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为( )A. 12 B.23 C.34 D.45[答案] C[解析] ∵CP →＝23CA →＋13CB →，∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →，∴2AP →＝PB →，因此P 为AB 的一个三等分点，如图所示． ∵A ，M ，Q 三点共线， ∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x2CB →＋(x －1)AC →(0<x <1)， ∵CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x2AB →＋(x2－1)AC →.∵CP →＝CA →－PA →＝－AC →＋13AB →，且CM →＝tCP →(0<t <1)，∴x 2AB →＋(x2－1)AC →＝t (－AC →＋13AB →)， ∴x 2＝t 3且x 2－1＝－t ，解得t ＝34，故选C. 13．已知点A (2,3)，C (0,1)，且AB →＝－2BC →，则点B 的坐标为________．[答案] (－2，－1)[解析] 设点B 的坐标为(x ，y )，则有AB →＝(x －2，y －3)，BC →＝(－x,1－y )，因为AB →＝－2BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝2x ，y －3＝－21－y ，解得x ＝－2，y ＝－1.14．已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．[答案] －2[解析] 如图，∵D 是BC 中点，将△ABC 补成平行四边形ABQC ，则Q 在AD 的延长线上，且|AQ |＝2|AD |＝2|DP |，∵PA →＋BP →＋CP →＝BA →＋CP →＝0，∴BA →＝PC →，又BA →＝QC →，∴P 与Q 重合，又∵AP →＝λPD →＝－2PD →，∴λ＝－2.15．(文)已知四点A (x,0)、B (2x,1)、C (2，x )、D (6,2x )．(1)求实数x ，使两向量AB →、CD →共线．(2)当两向量AB →与CD →共线时，A 、B 、C 、D 四点是否在同一条直线上？ [解析] (1)AB →＝(x,1)，CD →＝(4，x )．∵AB →∥CD →，∴x 2－4＝0，即x ＝±2.(2)当x ＝±2时，AB →∥CD →.当x ＝－2时，BC →＝(6，－3)，AB →＝(－2,1)，∴AB →∥BC →.此时A 、B 、C 三点共线，从而，当x ＝－2时，A 、B 、C 、D 四点在同一条直线上．但x ＝2时，A 、B 、C 、D 四点不共线．(理)(2011·济南模拟)已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，对于平面ABC 上任意一点O ，动点P 满足OP →＝OA →＋λa ＋λb ，则动点P 的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．[解析] 依题意，由OP →＝OA →＋λa ＋λb ，得OP →－OA →＝λ(a ＋b )，即AP →＝λ(AB →＋AC →)．如图，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，对角线交于O ，则AP →＝λAD →， ∴A 、P 、D 三点共线，即P 点的轨迹是AD 所在的直线，由图可知P 点轨迹必过△ABC 边BC 的中点(或△ABC 的重心)．16．已知a ＝(2x －y ＋1，x ＋y －2)，b ＝(2，－2)． (1)当x 、y 为何值时，a 与b 共线？(2)是否存在实数x 、y ，使得a ⊥b ，且|a |＝|b |？若存在，求出xy 的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)∵a 与b 共线， ∴存在非零实数λ使得a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝2λ，x ＋y －2＝－2λ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ∈R .(2)由a ⊥b ⇒(2x －y ＋1)×2＋(x ＋y －2)×(－2)＝0⇒x －2y ＋3＝0.① 由|a |＝|b |⇒(2x －y ＋1)2＋(x ＋y －2)2＝8.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝73.∴xy ＝－1或xy ＝359.1．设平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形 [答案] D[解析] 解法一：设AC 的中点为G ，则OB →＋OD →＝b ＋d ＝a ＋c ＝OA →＋OC →＝2OG →，∴G 为BD 的中点，∴四边形ABCD 的两对角线互相平分，∴四边形ABCD 为平行四边形．解法二：AB →＝OB →－OA →＝b －a ，CD →＝OD →－OC →＝d －c ＝－(b －a )＝－AB →，∴AB 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．2．(2011·银川模拟)已知a 、b 是两个不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件是( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1[答案] D[解析] ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线， ∴存在t ∈R ，使AB →＝tAC →， ∴λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋t μb ，∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝t μ，即λμ＝1.3．设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解析] (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.4．已知点O (0,0)、A (1,2)、B (4,5)，向量OP →＝OA →＋tAB →.(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？ (2)t 为何值时，点P 在第二象限？(3)四边形ABPO 能否为平行四边形？若能，求出t 的值；若不能，说明理由； (4)求点P 的轨迹方程．[解析] ∵OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )， ∴P (1＋3t,2＋3t )．(1)∵P 在x 轴上，∴2＋3t ＝0即t ＝－23.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13.(3)∵AB →＝(3,3)，OP →＝(1＋3t,2＋3t )．若四边形ABPO 为平行四边形，则AB →＝OP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3，而上述方程组无解，∴四边形ABPO 不可能为平行四边形．(4)∵OP →＝(1＋3t,2＋3t )，设OP →＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋3t ，∴x－y＋1＝0为所求点P的轨迹方程．。

第五讲线面、面面垂直的判定与性质常见题型与方法归纳

2 第五讲线面、面面垂直的判定与性质常见题型与方法归纳考点一直线与平面垂直的判定与性质一．直线与平面垂直定义1.（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直；（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；2．直线、平面垂直的判定方法：（1）利用判定定理；（2）如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．（3）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．（4）利用面面垂直的性质。

二．直线与平面垂直判定题型讲解题型一概念巩固【例1-1】设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）（A ）若，，则（B ）若，，则（C ）若，，则（D ）若，，则题型二线面垂直的判定【例1-2】如图，P 为△ABC 所在平面外一点，P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F .求证： (1)BC ⊥平面P AB ；(2)AE ⊥平面PBC ；(3)PC ⊥平面AEF ．图1-2 图1-3 图1-3【例1-3】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是AC 的中点，S 是△ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ．(1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC ．【例1-4】如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点．(1) 求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；(2)求直线AC 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．三直线与平面垂直的性质性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

题型一利用线面垂直的性质证明平行问题【总结】当题中垂直条件很多，但又需证两直线平行关系时，考虑线面垂直的性质定理【例1-5】如图，正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，EF 与异面直线AC 、A 1D 都垂直相交．求证：EF ∥BD 1．图1-5 练习1【练习1】如图，已知平面α∩平面β＝l ，EA ⊥α，垂足为A ，EB ⊥β，B 为垂足，直线a ⊂β，a ⊥AB .求证：a ∥l ．题型二利用线面垂直的性质证明垂直问题方法：线面垂直性质判定线线垂直．【例1-6】已知α∩β＝AB ，PQ ⊥α于Q ，PO ⊥β于O ，OR ⊥α于R ．求证：QR ⊥AB ．l m αl m ⊥m α⊂l α⊥l α⊥l m //m α⊥l α//m α⊂l m //l α//m α//l m //2题型三等体积法在垂直中的应用【例1-7】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°.(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)E 是棱CC 1上的一点，若三棱锥E －ABC 的体积为312，求线段CE 的长. 1-7图考点二．直线和平面所成的角一．直线和平面所成的角概念（1）斜线在平面上的射影（2）直线与平面所成角范围 02πθ≤≤方法：关键是求斜线在平面内的射影，最终转化为找面的垂线二典型例题题型（一）概念理解【例2-1】（1）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个（2）从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是（）（A ）0条或（B ）0条或无数条（C ）1条或2条（D ）0条或1条或无数条（3）若P 为⊿ABC 所在平面外一点，且PA =PB =PC ，求证P 在⊿ABC 所在平面内的射影是⊿ABC 的心题型（二）求直线和平面所成的角方法一：利用定义。

必修二立体几何线面垂直、面线垂直、线面平行判定及性质练习

必修二立体几何线面垂直、面线垂直、线面平行判定及性质练习
1. 线面垂直的判定及性质
线段与平面垂直的条件有两种：
- 条件1：线段的两个端点一定在平面上。

- 条件2：线段的方向向量与平面的法向量垂直。

性质：
- 垂直于同一个平面的所有线段都平行。

- 如果一条线段与平面垂直，在平面上的投影就是这条线段的两个端点。

2. 面线垂直的判定及性质
面与线段垂直的条件有两种：
- 条件1：线段在平面上。

- 条件2：线段的方向向量与平面的法向量垂直。

性质：
- 如果面与一条线段垂直，那么这条线段与面的交点是线段的中点。

3. 线面平行的判定及性质
线段与平面平行的条件有两种：
- 条件1：线段的方向向量与平面的法向量平行。

- 条件2：线段的方向向量在平面上。

性质：
- 平行于同一个平面的所有线段都平行。

- 如果一条线段与平面平行，在平面上的投影与线段重合。

以上是关于立体几何中线面垂直、面线垂直、线面平行的判定条件及性质的练内容。

总结了垂直和平行的判定条件和性质，有助于理解立体几何中线面关系的特性和规律。

通过练，我们可以加深对几何概念的理解并提高解题能力。

希望这份练习对你有所帮助！。

线面垂直、面面垂直过关检测

线面垂直、面面垂直过关检测1、若直线l 上有两点P 、Q 到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是( )A 、平行B 、相交C 、平行或相交D 、平行、相交或在平面α内2、如果直线l ⊥平面α，①若直线m ⊥l,则m∥α；②若m⊥α,则m∥l ；③若m∥α,则m⊥l ；④若m∥l,则m⊥α,上述判断正确的是（）A 、①②③B 、②③④C 、①③④D 、②④3、如图,设P 是正方形ABCD 外一点,且PA ⊥平面ABCD,则平面PAB 与平面PBC 、平面PAD 的位置关系是( )A.平面PAB 与平面PBC 、平面PAD 都垂直B.它们两两都垂直C.平面PAB 与平面PBC 垂直、与平面PAD 不垂直D.平面PAB 与平面PBC 、平面PAD 都不垂直4、线段AB 的长等于它在平面α内射影长的2倍，则AB 所在直线与平面α所成的角为（）A.30°B.45°C.60°D.120°5、如图2.3.1-2，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有( )A 、AH⊥△EFH 所在平面B 、AD⊥△EFH 所在平面C 、HF⊥△AEF 所在平面D 、HD⊥△AEF 所在平面6、如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB=1，D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则α=（）A 、3πB 、4π C 、410arcsin D 、46arcsin7、正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角后，AB 与CD 所成的角等于__________8、.设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α，其中真命题．．．的序号是 ( )A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④9、已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点。

高考数学总复习 95 线面、面面垂直的判定及性质课后作业 A 试题

卜人入州八九几市潮王学校"【走向高考】2021年高考数学总复习9-5线面、面面垂直的断定及性质课后作业教A"1.(文)(2021·海淀区期末)m，n是两条不同的直线，α，β)A．假设m∥α，α∩β＝n，那么m∥nB．假设m∥n，m⊥α，那么n⊥αC．假设m⊥α，m⊥β，那么α∥βD．假设m⊥α，m⊂β，那么α⊥β[答案]A[解析]选项A中，直线m与直线n也可能异面，因此A不正确．(理)(2021·十二中)两条不同的直线m、n，两个不同的平面α、β)A．假设m⊥α，n⊥β，α⊥β，那么m⊥nB．假设m∥α，n∥β，α∥β，那么m∥nC．假设m⊥α，n∥β，α⊥β，那么m⊥nD．假设m∥α，n⊥β，α⊥β，那么m∥n[答案]A[解析]⇒m⊥n，故A正确；如图(1)，m⊥α，n⊥α满足n∥β，但m∥n，故C错；如图(2)知B错；如图(3)正方体中，m∥α，n⊥β，α⊥β，知D错．2．(文)(2021·模拟)假设l为一条直线，α、β、γ①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.)A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]C[解析]①中α与β可能平行，故①错，②③正确．(理)(2021·区模拟)设α，β，γ是三个不重合的平面，l①假设α⊥β，β⊥γ，那么α⊥γ；②假设l上两点到α的间隔相等，那么l∥α；③假设l⊥α，l∥β，那么α⊥β；④假设α∥β，l⊄β，且l∥α，那么l∥β.)A．①②B．②③C．②④D．③④[答案]D[解析]对于①：假设α⊥β，β⊥γ，那么可能α⊥γ，也可能α∥γ.对于②：假设l上两点到α的间隔相等，那么l∥α，显然错误．当l⊥α，l∩α＝A时，l上到A间隔相等的两点到α的间隔相等．③④显然正确．3．(2021·皖南八校联考)设l，m是两条不同的直线，α)A．假设l⊥m，m⊂α，那么l⊥αB．假设l⊥α，m⊂α，那么l⊥mC．假设l∥α，l∥m，那么m∥αD．假设l∥α，m∥α，那么l∥m[答案]B[解析]直线垂直于平面中两条相交直线，才能垂直于平面，故A错；C中m可能包含在平面α中；D 中两条直线可能平行、相交或者异面．4.(2021·高三调研)如以下列图，在立体图形D－ABC中，假设AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，那么以下结论正确的选项是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE[答案]C[解析]要判断两个平面的垂直关系，就需找一个平面内的一条直线与另一个平面垂直．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.所以选C.5．定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC.那么，动点C在平面α内的轨迹是()A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点D．半圆，但要去掉两个点[答案]B[解析]连接BC，∵PB⊥α，∴AC⊥PB.又∵PC⊥AC，∴AC⊥BC.∴C在以AB为直径的圆上．应选B.6．(2021·三模)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，假设AB＝2，AA1＝1，那么点A到平面A1BC的间隔为()A. B.C. D.[答案]B[解析]解法1：取BC中点E，连接AE、A1E，过点A作AF⊥A1E，垂足为F.∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥BC，∵AB＝AC.∴AE⊥BC.∴BC⊥平面AEA1.∴BC⊥AF，又AF⊥A1E，∴AF⊥平面A1BC.∴AF的长即为所求点A到平面A1BC的间隔．∵AA1＝1，AE＝，∴AF＝.解法2：V A1－ABC＝S△ABC·AA1＝××1＝.又∵A1B＝A1C＝，在△A1BE中，A1E＝＝2.∴S△A1BC＝×2×2＝2.∴V A－A1BC＝×S△A1BC·h＝h.∴h＝，∴h＝.∴点A到平面A1BC间隔为.7．(2021·)如以下列图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∠ADC＝90°，且AA1＝AD＝DC＝2，M∈平面ABCD，当D1M⊥平面A1C1D时，DM＝________.[答案]2[解析]∵DA＝DC＝DD1且DA、DC、DD1两两垂直，故当点M使四边形ADCM为正方形时，D1M⊥平面A1C1D，∴DM＝2.8．(2021·质检)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别是AB，BC，B1C1①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形；②P在直线FG上运动时，AP⊥DE；③Q在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1QC的体积不变；④M是正方体的面A1B1C1D1内到点D和C1间隔相等的点，那么M点的轨迹是一条线段．[答案]②③④[解析]三棱锥A1－ABC的四个面都是Rt△，故①错；F在FG上运动时，PF⊥平面ABCD，∴PF⊥DE，又在正方体ABCD中，E、F为AB、BC中点，∴AF⊥DE，∴DE⊥平面PAF，∴DE⊥PA，故②真；V A－D1QC＝V Q－AD1C，∵BC1∥AD1，∴BC1∥平面AD1C，∴无论点Q在BC1上怎样运动，Q到平面AD1C间隔都相等，故③真；到点D和C1间隔相等的点在经过线段C1D的中点与DC1垂直的平面α上，故点M为平面α与正方体的面A1B1C1D1相交线段上的点，这条线段即A1D1.1.(2021·海淀检测)假设正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，那么A1C1到底面ABCD的间隔为()A. B．1C. D.[答案]D[解析]依题可知∠B1AB＝60°，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴B1B即为所求间隔，在△ABB1中得，B1B＝.应选D.2．(2021·一模)l，m是不同的两条直线，α，β)A．假设l⊥α，α⊥β，那么l∥βB．假设l∥α，α⊥β，那么l∥βC．假设l⊥m，α∥β，m⊂β，那么l⊥αD．假设l⊥α，α∥β，m⊂β，那么l⊥m[答案]D[解析]⇒l⊥m.3．(文)如以下列图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，A1D与BC1所成的角为，那么BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A. B.C. D.[答案]B[解析]连接B1C，∴B1C∥A1D，∵A1D与BC1所成的角为，∴B1C⊥BC1，∴长方体ABCD－A1B1C1D1为正方体，取B1D1的中点M，连接C1M，BM，∴C1M⊥平面BB1D1D，∴∠C1BM为BC1与平面BB1D1D所成的角，∵AB＝BC＝2，∴C1M＝，BC1＝2，∴sin∠C1BM＝＝，应选B.(理)(2021·质检)如以下列图，在棱长均为1的三棱锥S－ABC中，E为棱SA的中点，F为△ABC的中心，那么直线EF与平面ABC所成角的正切值是()A．2 B．1C. D.[答案]C[解析]∵F为正三棱锥底面中心，∴SF⊥平面ABC，∴平面SAF⊥平面ABC，∴∠EFA为EF与平面ABC 所成的角，易知AE＝，AF＝，又EF＝SA＝，∴cos∠FAE＝＝，∴sin∠FAE＝＝，∴tan∠FAE＝.由于Rt△SAF中E为SA的中点，∴∠FAE＝∠EFA，故tan∠EFA＝.4．过正方形ABCD之顶点A作PA⊥平面ABCD，假设PA＝AB，那么平面ABP与平面CDP所成二面角的度数为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]B[解析]过P作直线l∥AB，那么l为二面角的棱，易证∠APD即为所求．∵AP＝AD，∠PAD＝90°，∴∠APD＝45°.5．如以下列图，AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且F是CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.[解析](1)取CE中点P，连接FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP＝DE.又AB∥DE，且AB＝DE，∴AB∥FP，且AB＝FP，∴四边形ABPF为平行四边形，∴AF∥BP.又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD.∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又AF⊥CD，CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE.又∵BP⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.6．(文)如以下列图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥DAB∥DC，DC＝DD1＝2AD＝2AB＝2.(1)求证：DB⊥平面B1BCC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E∥平面A1BD，并说明理由．[解析](1)证明：∵AB∥DC，AD⊥DC，∴AB⊥AD，在Rt△ABD中，AB＝AD＝1，∴BD＝，易求BC＝，又∵CD＝2，∴BD⊥BC.又BD⊥BB1，B1B∩BC＝B，∴BD⊥平面B1BCC1.(2)DC的中点即为E点．∵DE∥AB，DE＝AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD綊BE.又AD綊A1D1，∴BE綊A1D1，∴四边形A1D1EB是平行四边形．∴D1E∥A1B.∵D1E⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，∴D1E∥平面A1BD.(理)(2021·文，17)如以下列图，在四面体PABC中，PC⊥AB、PA⊥BC，点D、E、F、G分别是棱AP、AC、BC、PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的间隔相等？说明理由．[解析](1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC，又因为DE⊄平面BCP，PC⊂平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四边形DEFG 为平行四边形，又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四边形DEFG为矩形．(3)存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝EG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝EG，所以EG的中点Q为满足条件的点．7．(2021·模拟)如以下列图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB ＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．(1)求证：BM∥平面ADEF；(2)求证：平面BDE⊥平面BEC.[解析](1)证明：延长DA与CB相交于P，∵AB＝AD＝2，CD＝4，AB∥CD，∴B为PC的中点，又M为CE的中点，∴BM∥EP，∵BM⊄平面ADEF，EP⊂平面ADEF，∴BM∥平面ADEF.(2)证明：由(1)知，BC＝PC＝＝2，又BD＝＝2，∴BD2＋BC2＝CD2，∴BD⊥BC.又平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊥AD，∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BC，∵ED∩BD＝D，∴BC⊥平面BDE，又BC⊂平面BEC，∴平面BDE⊥平面BEC.1．(2021·调研)设α、β、γ为平面，l、m、n为直线，那么m⊥β的一个充分条件为()A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．n⊥α，n⊥β，m⊥αC．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γD．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α[答案]B[解析]如图①知A错；如图②知C错；如图③在正方体中，两侧面α与β相交于l，都与底面γ垂直，γ内的直线m⊥α，但m与β不垂直，故D错．⇒m⊥β，故B正确．2.(2021·十二校联考)如以下列图所示，四棱锥P－ABCD的底面是梯形，且BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝2AB.PA ⊥底面ABCD，E为PC的中点．PA＝AD＝AB＝1.(1)证明：EB∥平面PAD；(2)求直线BD与平面PDC所成角的大小．[解析](1)证明：取PD的中点Q，连接EQ，AQ，那么QE∥CD∥AB，且QE＝CD＝AB，故四边形ABEQ是平行四边形．故EB∥AQ.又AQ⊂平面PAD，EB⊄平面PAD，故EB∥平面PAD.(2)解：∵CD⊥AD，PA⊥CD，∴CD⊥平面PAD.∵AQ⊂平面PA，∴AQ⊥CD.又可得AQ⊥PD，故AQ⊥平面PCD.又BE∥AQ，故BE⊥平面PDC.所以∠BDE为所求角的平面角．易得∠BDE＝30°.3．(2021·高三年级调研测试)如以下列图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，BD＝2AD＝4，AB＝2DC＝2.(1)求证：BD⊥平面PAD；(2)求三棱锥A－PCD的体积．[解析](1)证明：在△ABD中，由于AD＝2，BD＝4，AB＝2，∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.(2)解：过P作PO⊥AD交AD于O.又平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD.∵△PAD是边长为2的等边三角形，∴PO＝.由(1)知，AD⊥BD，在Rt△ABD中，斜边AB边上的高为h＝＝.∵AB∥DC，∴S△ACD＝CD×h＝××＝2.∴V A－PCD＝V P－ACD＝S△ACD×PO＝×2×＝.4．如以下列图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，F是PB的中点．求证：(1)DF⊥AP.(2)在线段AD上是否存在点G，使GF⊥平面PBC？假设存在，说明G点的位置，并证明你的结论；假设不存在，说明理由．解析：(1)取AB的中点E，那么PA∥EF.设PD＝DC＝a，易求得DE＝a，FE＝PA＝a，DF＝PB＝a.由于DE2＝EF2＋DF2，故DF⊥EF，又EF∥PA，∴DF⊥PA.(2)在线段AD上存在点G，使GF⊥平面PBC，且G点是AD的中点．取AD的中点G，连结PG、BG，那么PG＝BG.又F为AB的中点，故GF⊥PB.∵F为PB中点，∴F点在底面ABCD上的射影为正方形ABCD的中心O，∴GO为GF在平面ABCD上的射影，∵GO⊥BC，∴GF⊥BC，∵BC、PB是平面PBC内的两条相交直线，∴GF⊥平面PBC.。

2019年高考数学总复习 9-5 线面、面面垂直的判定与性质单元测试新人教B版

2019年高考数学总复习 9-5 线面、面面垂直的判定与性质但因为测试新人教B 版1.(20181·北京西城模拟)已知两条不同的直线a ，b 和两个不同的平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么α⊥β是a⊥b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫[解析] α⊥βa⊥α⇒a∥β或a ⊂β b⊥β⇒a⊥b；⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αa⊥b ⇒b∥α或b ⊂α b⊥β⇒α⊥β. 2．(文)(2018·唐山模拟)已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线a ，在平面α内一定存在一条直线b ，使得a 与b( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直[答案] D[解析] 当a 与α相交时，平面内不存在直线与a 平行；当a∥α时，平面内不存在直线与a 相交；当a ⊂平面α时，平面α内不存在直线与a 异面；无论a 在何位置，a 在平面α内总有射影a′，当b ⊂α，b⊥a′时，有b⊥a，故选D.(理)(2018·青岛模拟)设两个平面α，β，直线l ，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个 A ．3B ．2C ．1D ．0 [答案] C [解析]⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl∥β⇒α⊥β；⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊥α⇒/ l∥β，此时可能l ⊂β，⎭⎪⎬⎪⎫l∥βα⊥β⇒/ l⊥α，此时l 与α还可能平行、斜交，故选C.3．(文)(2018·东莞模拟)若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个 ①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.其中的真A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] C[解析] ①中α与β可能平行，故①错，②③正确．(理)(2018·北京市朝阳区模拟)设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β.其中正确的A．①② B．②③C．②④ D．③④[答案] D[解析] 对于①：若α⊥β，β⊥γ，则可能α⊥γ，也可能α∥γ.对于②：若l上两点到α的距离相等，则l∥α，显然错误．当l⊥α，l∩α＝A时，l上到A距离相等的两点到α的距离相等．③④显然正确．4．(2018·安徽省皖南八校联考)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，m⊂α，则l⊥mC．若l∥α，l∥m，则m∥αD．若l∥α，m∥α，则l∥m[答案] B[解析] 直线垂直于平面中两条相交直线，才能垂直于平面，故A错；C中m可能包含在平面α中；D中两条直线可能平行、相交或异面．5.(2018·广东省深圳市高三调研)如下图，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是( )A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE[答案] C[解析] 要判断两个平面的垂直关系，就需找一个平面内的一条直线与另一个平面垂直．因为AB＝CB，且E是AC 的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC 在平面ABC 内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD⊥平面BDE.所以选C.6．(文)(2018·济宁三模)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为( ) A.34 B.32C.334D. 3[答案] B[解析] 解法1：取BC 中点E ，连接AE 、A 1E ，过点A 作AF⊥A 1E ，垂足为F.∵A 1A⊥平面ABC ，∴A 1A⊥BC， ∵AB＝AC.∴AE⊥BC. ∴BC⊥平面AEA 1. ∴BC⊥AF，又AF⊥A 1E ， ∴AF⊥平面A 1BC.∴AF 的长即为所求点A 到平面A 1BC 的距离． ∵AA 1＝1，AE ＝3，∴AF＝32. 解法2：VA 1－ABC ＝13S △ABC ·AA 1＝13×3×1＝33.又∵A 1B ＝A 1C ＝5，在△A 1BE 中，A 1E ＝A 1B 2－BE 2＝2. ∴S△A 1BC ＝12×2×2＝2.∴VA－A 1BC ＝13×S△A 1BC·h＝23h.∴23h ＝33，∴h＝32.∴点A 到平面A 1BC 距离为32. (理)(2018·海淀检测)若正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( )A.33B ．1 C. 2 D. 3[答案] D[解析] 依题可知∠B 1AB ＝60°，平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴B 1B 即为所求距离，在△ABB 1中得， B 1B ＝ 3.故选D.7．(文)(2018·扬州模拟)已知直线l ，m ，n ，平面α，m ⊂α，n ⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m 且l⊥n”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)[答案] 充分不必要[解析] 若l⊥α，则l 垂直于平面α内的任意直线，故l⊥m 且l⊥n，但若l⊥m 且l⊥n，不能得出l⊥α. (理)(2018·揭阳模拟)设x 、y 、z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y 、z 均为直线；②x、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x、y 、z 均为平面，其中使“x⊥z 且y⊥z ⇒x∥y”为真 [答案] ②③[解析] 当x 、y 为直线，z 为平面时，有x⊥z，y⊥z ⇒x∥y；当x 、y 为平面，z 为直线时，有x⊥z，y⊥z ⇒x∥y，故②③正确．[点评] 由正方体交于同一个顶点的三条棱和三个面知①④均使8．(2018·苏州模拟)已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个 ①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； ③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； ④若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n. 其中正确的 [答案] ①④⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫[解析] ①m⊥α m⊥n ⇒n ⊂α或n∥α n⊥β⇒α⊥β； ②如下图，m 为B 1C 1，n 为A 1B 1，α为平面ADD 1A 1，β为平面ABCD ，满足②的条件，故②错；③在上图中，将A 1B 1、B 1C 1改为m 、n ，满足m⊥α，n⊥β，m⊥n，故③错；⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫④n⊥β α⊥β⇒n∥α或n ⊂α m⊥α⇒m⊥n. 9．如下图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)[答案] DM⊥PC[解析] ∵ABCD 为正方形，∴BD⊥AC， ∵PA⊥平面ABCD ，∴BD⊥PA，∵PA∩AC＝A ，∴BD⊥平面PAC ，∴BD⊥PC，故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD ，从而有平面PCD⊥平面MBD.10．(文)(2018·山东临沂)在直平行六面体AC 1中，四边形ABCD 是菱形，∠DAB＝60°，AC∩BD＝O ，AB ＝AA 1.(1)求证：C1O∥平面AB1D1；(2)求证：平面AB1D1⊥平面ACC1A1.[证明] (1)连接A1C1交B1D1于O1，连接AO1.在平行四边形AA1C1C中，C1O1∥AO，C1O1＝AO，∴四边形AOC1O1为平行四边形，∴C1O∥AO1.∵C1O⊄平面AB1D1，AO1⊂平面AB1D1，∴C1O∥平面AB1D1.(2)在直平行六面体AC1中，A1A⊥平面A1B1C1D1，∴A1A⊥B1D1.∵四边形A1B1C1D1为菱形，∴B1D1⊥A1C1.∵A1C1∩AA1＝A1，A1C1⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，∴B1D1⊥平面ACC1A1.∵B1D1⊂平面AB1D1，∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1.(理)(2018·广东省广州市调研)如下图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝4，AB＝2DC＝2 5.(1)求证：BD⊥平面PAD ； (2)求三棱锥A －PCD 的体积．[解析] (1)证明：在△ABD 中，由于AD ＝2，BD ＝4，AB ＝25，∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD⊥BD. 又平面PAD⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD⊥平面PAD. (2)解：过P 作PO⊥AD 交AD 于O.又平面PAD⊥平面ABCD ，∴PO⊥平面ABCD.∵△PAD 是边长为2的等边三角形，∴PO＝ 3. 由(1)知，AD⊥BD，在Rt△ABD 中，斜边AB 边上的高为h ＝AD×BD AB ＝455.∵AB∥DC ，∴S △ACD ＝12CD×h＝12×5×455＝2.∴V A －PCD ＝V P －ACD ＝13S △ACD ×PO＝13×2×3＝233.11.(2018·广东广州一模)已知l ，m 是不同的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列 A ．若l⊥α，α⊥β，则l ∥βB ．若l ∥α，α⊥β，则l ∥βC ．若l⊥m，α∥β，m ⊂β，则l⊥αD ．若l⊥α，α∥β，m ⊂β，则l⊥m[答案] D[解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αα∥β⇒l⊥β m ⊂β⇒l⊥m. 12．(文)设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，考察下列 A ．m⊥α，n ⊂β，m⊥n ⇒α⊥βB ．α∥β，m⊥α，n ∥β⇒m⊥nC ．α⊥β，m⊥α，n ∥β⇒m⊥nD ．α⊥β，α∩β＝m ，n⊥m ⇒n⊥β [答案] B[解析] 如下图(1)满足m⊥α，n ⊂β，m⊥n，但β∥α，故A 错；⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm⊥α⇒m⊥β n∥β⇒m⊥n，故B 对；如图(2)满足α⊥β，m⊥α，n ∥β，但m ∥n ，故C 错；如图(3)α⊥β，α∩β＝m ，AB⊥m 于B ，BC⊥m 于B ，直线AC 为直线n ，显然满足D 的条件，但不能得出n ⊥β.故D 错．∴选B. (理)如下图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，A 1D 与BC 1所成的角为π2，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.12C.155D.32[答案] B[解析] 连接B 1C ，∴B 1C ∥A 1D ， ∵A 1D 与BC 1所成的角为π2，∴B 1C⊥BC 1，∴长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，取B 1D 1的中点M ，连接C 1M ，BM ，∴C 1M⊥平面BB 1D 1D ，∴∠C 1BM 为BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角，∵AB＝BC ＝2，∴C 1M ＝2，BC 1＝22， ∴sin∠C 1BM ＝C 1M C 1B ＝12，故选B.13．(文)(2018·河北唐山)如下图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∠ADC＝90°，且AA 1＝AD ＝DC ＝2，M∈平面ABCD ，当D 1M⊥平面A 1C 1D 时，DM ＝________.[答案] 2 2[解析] ∵DA＝DC ＝DD 1且DA 、DC 、DD 1两两垂直，故当点M 使四边形ADCM 为正方形时，D 1M⊥平面A 1C 1D ，∴DM ＝2 2.(理)(2018·西安模拟)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是________．[答案] 60° [解析]如上图，取BC 中点E ，连结DE 、AE 、AD ，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB 1C 1C ，故∠ADE 为AD 与平面BB 1C 1C 所成的角．设各棱长为1，则AE ＝32，DE ＝12， tan∠ADE＝AE DE ＝3212＝3，∴∠ADE＝60°.14．(文)如下图，已知在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD⊥DC，AB ∥DC ，DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ＝2.(1)求证：DB⊥平面B1BCC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E∥平面A1BD，并说明理由．[解析] (1)证明：∵AB∥DC，AD⊥DC，∴AB⊥AD，在Rt△ABD中，AB＝AD＝1，∴BD＝2，易求BC＝2，又∵CD＝2，∴BD⊥BC.又BD⊥BB1，B1B∩BC＝B，∴BD⊥平面B1BCC1.(2)DC的中点即为E点．∵DE∥AB，DE＝AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD綊BE.又AD綊A1D1，∴BE綊A1D1，∴四边形A1D1EB是平行四边形．∴D1E∥A1B.∵D1E⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，∴D1E∥平面A1BD.(理)(2018·北京模拟)如下图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．(1)求证：BM∥平面ADEF；(2)求证：平面BDE⊥平面BEC.[解析] (1)证明：延长DA 与CB 相交于P ， ∵AB＝AD ＝2，CD ＝4，AB ∥CD ， ∴B 为PC 的中点，又M 为CE 的中点，∴BM∥EP ， ∵BM ⊄平面ADEF ，EP ⊂平面ADEF ， ∴BM∥平面ADEF.(2)证明：由(1)知，BC ＝12PC ＝12PD 2＋CD 2＝22，又BD ＝AD 2＋AB 2＝22， ∴BD 2＋BC 2＝CD 2，∴BD⊥BC. 又平面ADEF⊥平面ABCD ，ED⊥AD， ∴ED⊥平面ABCD ，∴ED⊥BC， ∵ED∩BD＝D ，∴BC⊥平面BDE ，又BC ⊂平面BEC ， ∴平面BDE⊥平面BEC.15．(文)(2018·北京文，17)如下图，在四面体PABC 中，PC⊥AB、PA⊥BC，点D 、E 、F 、G 分别是棱AP 、AC 、BC 、PB 的中点．(1)求证：DE ∥平面BCP ； (2)求证：四边形DEFG 为矩形；(3)是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由． [解析] (1)因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，所以DE ∥PC ，又因为DE ⊄平面BCP ，PC ⊂平面BCP ，所以DE ∥平面BCP.(2)因为D ，E ，F ，G 分别为AP ，AC ，BC ，PB 的中点，所以DE ∥PC ∥FG ，DG ∥AB ∥EF ，所以四边形DEFG 为平行四边形，又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四边形DEFG 为矩形． (3)存在点Q 满足条件，理由如下：连接DF ，EG ，设Q 为EG 的中点，由(2)知，DF∩EG＝Q ，且QD ＝QE ＝QF ＝QG ＝12EG ，分别取PC ，AB 的中点M ，N ，连接ME ，EN ，NG ，MG ，MN.与(2)同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线交点为EG 的中点Q ，且QM ＝QN ＝12EG ，所以Q 为满足条件的点．(理)(2018·北京石景山测试)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱BB 1，DD 1和CC 1的中点．(1)求证：C 1F ∥平面DEG ； (2)求三棱锥D 1－A 1AE 的体积；(3)试在棱CD 上求一点M ，使D 1M⊥平面DEG.[解析] (1)证明：∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F ，G 分别为棱DD 1和CC 1的中点， ∴DF∥GC 1，且DF ＝GC 1.∴四边形DGC 1F 是平行四边形．∴C 1F ∥DG. 又C 1F ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ， ∴C 1F ∥平面DEG.(2)解：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有A 1D 1⊥平面AA 1E.∴A 1D 1是三棱锥D 1－A 1AE 的高，A 1D 1＝1. ∴VD 1－A 1AE ＝13·S△A 1AE·D 1A 1＝13×12×1×1×1＝16. (3)解：当M 为棱CD 的中点时，有D 1M⊥平面DEG. 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有BC⊥平面CDD 1C 1，又∵D 1M ⊂平面CDD 1C 1，BC ∥EG ， ∴EG⊥D 1M.又∵tan∠GDC＝tan∠MD 1D ＝12，∴∠GDC＝∠MD 1D ，∴∠MD 1D ＋∠D 1DG ＝∠GDC＋∠D 1DG ＝90°，∴D 1M⊥DG. 又DG∩EG＝G ，∴D 1M⊥平面DEG.1．定点A 和B 都在平面α内，定点P ∉α，PB⊥α，C 是α内异于A 和B 的动点，且PC⊥AC.那么，动点C 在平面α内的轨迹是( )A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点 [答案] B[解析] 连接BC ，∵PB⊥α，∴AC⊥PB. 又∵PC⊥AC，∴AC⊥BC.∴C 在以AB 为直径的圆上．故选B.2．(2018·芜湖十二中)已知两条不同的直线m 、n ，两个不同的平面α、β，则下列 A ．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nB ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥nC ．若m⊥α，n ∥β，α⊥β，则m⊥nD ．若m ∥α，n⊥β，α⊥β，则m ∥n [答案] A [解析]⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αα⊥β⇒m∥β或m ⊂β n⊥β⇒m⊥n，故A 正确；如图(1)，m⊥α，n⊥α满足n ∥β，但m ∥n ，故C 错；如图(2)知B 错；如图(3)正方体中，m ∥α，n⊥β，α⊥β，知D 错．3．(2018·北京海淀区期末)已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列 A ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥nB ．若m ∥n ，m⊥α，则n⊥αC ．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD ．若m⊥α，m ⊂β，则α⊥β [答案] A[解析] 选项A 中，直线m 与直线n 也可能异面，因此A 不正确． 4．(2018·郑州二检)已知α，β，γ是三个不同的平面， A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个[答案] C[解析] 依题意得，5.(2018·盘锦月考)如下图所示，△ABC 为正三角形，EC⊥平面ABC ，BD ∥CE ，EC ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点．求证：(1)DE ＝DA ；(2)平面BDM⊥平面ECA.[证明] (1)如下图所示，取EC 中点F ，连接DF. ∵EC⊥平面ABC ，BD ∥EC ，∴BD⊥平面ABC ，∴BD⊥AB， ∵BD∥EC ，BD ＝12EC ＝FC ，∴EC⊥BC.∴四边形FCBD 是矩形，∴DF⊥EC. 又BA ＝BC ＝DF ，∴Rt△DEF≌Rt△ADB，∴DE＝DA.(2)如图所示，取AC 中点N ，连接MN 、NB ， ∵M 是EA 的中点，∴MN 綊12EC.由BD 綊12EC ，且BD⊥平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形，于是DM⊥MN.∵DE＝DA ，M 是EA 的中点，∴DM⊥EA. 又EA∩MN＝M ，∴DM⊥平面ECA ，而DM ⊂平面BDM ，∴平面ECA⊥平面BDM.6．(2018·辽宁文，18)如下图，四边形ABCD 为正方形，QA⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD.(1)证明：PQ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值． [解析] (1)由条件知PDAQ 为直角梯形．因为QA⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ⊥平面ABCD ，交线为AD. 又四边形ABCD 为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ ，可得PQ⊥DC. 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ⊥QD.所以PQ⊥平面DCQ. (2)设AB ＝a.由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高，所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13a 3，由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高，而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2，所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13a 3. 故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1.7.已知点P 是菱形ABCD 外一点，∠DAB＝60°，其边长为a ，侧面PAD 是正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，G 为AD 的中点．(1)求证：AD⊥PB；(2)若E 为BC 边中点，能否在棱PC 上找一点F ，使平面DEF⊥平面ABCD.并证明你的结论．[分析] (1)要证AD⊥PB，∵△PAD 为正三角形，G 为AD 中点，∴AD⊥PG，故只需证明AD⊥平面PBG 即可．(2)假设存在点F使平面DEF⊥平面ABCD，则平面DEF必过平面ABCD的垂线，由于PG⊥平面ABCD，而PG不可能在平面DEF内，故需过直线DE作平面PBG的平行平面，由此可得点F的位置．[解析] (1)证明：连接BG，PG.∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°.∴BG⊥AD.又△PAD为正三角形，且G是AD中点，∴PG⊥AD.∵PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PBG.又PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.(2)解：当F是PC中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF.在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，BG∥DE.∴平面DEF∥平面PGB.∵平面PAD⊥平面ABCD，PG⊥AD.∴PG⊥平面ABCD.又PG⊂平面PGB.∴平面PGB⊥平面ABCD.∴平面DEF⊥平面ABCD.。

高考数学总复习 9-5线面、面面垂直的判定与性质课件新人教B版

点评：本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判定，利用勾股定理求线段的长等基础知识和基本技能，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.
面面垂直的判定与性质 [例 3] 已知正三棱柱 ABC－A1B1C1，若过 AB1 与 BC1 平行的平面交上底面 A1B1C1 的边 A1C1 于点 D.
分析：(1)要证 BD⊥EC1，因为 BD⊥AA1，而 AA1 与 EC1 相交确定平面 ACC1A1，故可通过证明 BD⊥平面 ACC1A1 来证 BD⊥EC1.(2)设出 AA1 的长，在 Rt△EA1C1，Rt△OCC1 中分别应用勾股定理，列方程求解．
解析：(1)证明：连接 AC，A1C1. 由底面是正方形知，BD⊥AC. 因为 AA1⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，所以 AA1⊥BD. 又由 AA1∩AC＝A，所以 BD⊥平面 AA1C1C. 再由 EC1⊂平面 AA1C1C 知，BD⊥EC1.
疑难误区点拨警示
1．不要将 ab⊥⊥αα⇒a∥b、 aa⊥⊥αβ⇒α∥β、 aa∥ ∥bc⇒b∥c，及 αα∥∥βγ ⇒β∥γ，错误迁移到 αα⊥⊥βγ ⇒β∥γ、 ab∥∥αα⇒a∥b、
aa⊥ ⊥bc⇒b⊥c、 aa⊥ ⊥bc⇒b∥c 及 αα⊥⊥βγ ⇒β⊥γ 致误．
2．不要将“经过一点有且仅有一条直线与平面垂直”； “经过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直”；“经过平面外一点有无数条直线与已知平面平行，这无数条直线在同一个平面内，即经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行”；“经过直线外一点有且仅有一条直线 l 与已知直线平行，有无数个平面与已知直线平行，这无数个平面的交线为 l”弄混错用．
(2)如图，作 DE⊥PB，垂足为 E，已知 PD⊥底面 ABCD，则 PD⊥BC.

高考数学复习点拨点击面面垂直的判定与性质试题

智才艺州攀枝花市创界学校点击面面垂直的断定与性质一、面面垂直的断定与性质1.两个平面垂直的定义：假设两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.2.两个平面垂直的断定定理：假设一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.3.两个平面垂直的性质定理：假设两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直.二、证明面面垂直的根本方法有：〔1〕利用定义证明，即利用两平面相交成直二面角来证明；⊂，那么α⊥β〔2〕利用面面垂直的断定定理证明，即假设a⊥β，aα“线线垂直〞“线面垂直〞“面面垂直〞间的转化条件和转化应用.三、典例选析例1．如以下图，过S引三条长度相等但不一共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC.剖析：此题是面面垂直的证明问题.一条是从定义出发的思路，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.但图中似乎没有现成的这样的直线，故作辅助线.根据条件的特点，取BC的中点O，连结AO、SO，既可证明AO⊥平面BSC，又可证明SO⊥平面ABC.另一条是从定义出发的思路，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，注意到∠AOS是二面角A—BC—S的平面角，转化为证明∠AOS是直角.证法一：取BC的中点O，连结AO、SO.∵AS=BS=CS，SO⊥BC，Array又∵∠ASB=∠ASC=60°，∴AB=AC，从而AO⊥BC.设AS=a ，又∠BSC=90°，那么SO=22a.又AO=22BO AB -=2221a a -=22a ， ∴AS 2=AO 2+SO 2，故AO ⊥OS.从而AO ⊥平面BSC ，又AO ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC. 证法二：同证法一证得AO ⊥BC ，SO ⊥BC ，∴∠AOS 就是二面角A —BC —SAO ⊥OS ，即∠AOS=90°. ∴平面ABC ⊥平面BSC.点评：此题提醒的是证面面垂直常用的两种方法.此外，此题中证明∠AOS=90°的方法较为特殊，即通过“算〞，定量地证得直角，而不是通过位置关系定性地推理出直角，这也是立体几何中证明垂直的一种重要方法.例3．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，假设过面对角线AB 1与另一面对角线BC 1平行的平面交上底面A 1B 1C 1的一边A 1C 1于点D .〔1〕确定D 的位置，并证明你的结论；〔2〕证明：平面AB 1D ⊥平面AA 1D ；〔3〕假设AB ∶AA 1=2，求平面AB 1D 与平面AB 1A 1所成角的大小.分析：此题的结论是“开放性〞的，点D 位置确实定假设仅凭条件推理难以得出.由于AB 1与BC 1这两条面对角线是相邻二侧面上的异面直线，于是可考虑将BC 1沿BA 平行挪动，BC 1取AE 1位置，那么平面AB 1E 1一定平行BC 1，问题可以解决.〔1〕解：如以下图，将正三棱柱ABC —A 1B 1C 1补成一直平行六面体ABCE —A 1B 1C 1E 1，由AE 1∥BC 1，AE 1⊂平面AB 1E 1，知BC 1∥平面AB 1E 1，故平面AB 1E 1应为所求平面，此时平面AB 1E 1交A 1C 1于点D ，由平行四边形对角线互相平行性质知，D 为A 1C 1的中点.〔2〕证明：连结AD ，从直平行六面体定义知AA 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，且从A 1B 1C 1E 1是菱形知，B 1E 1⊥A 1C 1，据三垂线定理知，B 1E 1⊥AD .1又AD ∩A 1C 1=D ，所以B 1E 1⊥平面AA 1D ，又B 1E 1⊂平面AB 1D ，所以平面AB 1D ⊥平面AA 1D . 〔3〕解：因为平面AB 1D ∩平面AA 1D =AD ，所以过A 1作A 1H ⊥AD 于点H .作HF ⊥AB 1于点F ，连结A 1F ，从三垂线定理知A 1F ⊥AB 1.故∠A 1FH 是二面角A 1—AB 1—D 的平面角.设侧棱AA 1=1，侧棱AB =2.于是AB 1=22)2(1+=3.在Rt △AB 1A 1中，A 1F =1111AB B A AA ⨯=321⋅=36，在Rt △AA 1D 中，AA 1=1，A 1D =21A 1C 1=22，AD =2121D A AA +=26.那么A 1H =AD D A AA 11⨯=33. 在Rt △A 1FH 中，sin ∠A 1FH =F A H A 11=22，所以∠A 1FH =45°. 因此可知平面AB 1D 与平面AB 1A 1所成角为45°或者135°.—证—算三步.“画〞是画图，添加必要的辅助线，或者画出所要求的几何量，或者进展必要的转化；“证〞是证明，用三段论的方法证明你所画的几何量即为所求，然后进展最后一步计算.这三步之间严密相连，环环相扣，互相制约，形成理解决立体几何计算题的思维程序，是综合考察学科才能的集中表达.例3．如以下图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F分别为棱AB 、BC 的中点，EF ∩BD=G.〔1〕求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B ；〔2〕求点D 1到平面B 1EF 的间隔d ；〔3〕求三棱锥B 1—EFD 1的体积V.〔1〕证法一：如以下图，连结AC. ∵正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是正方形， ∴AC ⊥BD.又AC ⊥D 1D ，故AC ⊥平面BDD 1B 1. ∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点，故EF ∥AC. ∴EF ⊥平面BDD 1B 1.∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.证法二：∵BE=BF ，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF ⊥BD. 又EF ⊥D 1D ，∴EF ⊥平面BDD 1B 1. ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.〔2〕解：在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H. ∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1，且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G ， ∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H.∴点D 1到平面B 1EF 的间隔d=D 1H. 在Rt △D 1HB 1中，D 1H=D 1B 1·sin ∠D 1B 1H.∵D 1B 1=2A 1B 1=2·22=4，sin ∠D 1B 1H=sin ∠B 1GB=11GB B B =22144+=174，∴d=D 1H=4·174=171716. 〔3〕解：V=V 11EFD B -=V EF B D 11-=31·d ·S EF B 1∆=31·1716·21·2·17=316. 点评：近几年立体几何的解答题一般都是一题多问，环环相扣.如此题的三小问便是如此.此题主要考察正四棱柱等根本知识，考察逻辑推理才能及空间思维才能.。

河南省洛阳市第二外国语学校高考数学 闯关密练特训《9-5线面、面面垂直的判定与性质》试题 新人教A版

面面垂直 的 判定

河南省洛阳市第二外国语学校高考数学 闯关密练特训《53平面向量的数量积》试题 新人教A版