广东省广州市高山文化培训学校2015届高考数学二模试卷文(含解析) (1)
2015年广州二模文科数学试题参考答案
2
3 ．…………………………………………6 分 2
由正弦定理
a …………………………………………………………………………………7 分 = 2R ， sin A
数学（文科）试题 A 第 1 页 共 9 页
得 a = 2 R sin A = 2 ´ 14 ´
数学（文科）试题 A 第 2 页 共 9 页
18． （本小题满分14分） （1）证明：连接 A1 B ， 在四边形 A1 BCD1 中， A1 D1 P BC 且 A1 D1 = BC ， 所以四边形 A1 BCD1 是平行四边形． 所以 A1 B P D1C ．…………………………………………2分 在△ ABA1 中， AM = AN = 1 ， AA1 = AB = 3 ， 所以 M D C N B A1 D1 C1 B1
( a2 , b2 ) ， ( a3 , b1 ) ， ( a3 , b2 ) ， ( a4 , b1 ) ， ( a4 , b2 ) ， ( b1 , b2 ) 共 9 种.……………………………………11 分
故所求的概率为
9 3 = . ………………………………………………………………………………12 分 15 5
1 æ1 1 9 9ö 13 ´ç + ´ + ÷ ´ 3 = ，………………………………………………11分 ç ÷ 3 è2 2 2 2ø 2
13 41 = ，…………………………………………………13分 2 2
从而 V2 = VABCD - A1B1C1D1 - VAMN - DD1C = 27 所以
b 2 + c 2 - a 2 ( 5k ) + ( 3k ) - ( 7 k ) cos A = = …………………………………………………………3 分 2bc 2 ´ 5k ´ 3k
高中毕业班综合测试(二)数学文试题.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2015.4本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 台体的体积公式()11223hV S S S S =++，其中1S ，2S 分别是台体的上，下底面积，h 是台体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 240的值为A ．32 B ．12 C ．12- D ．32-2．已知函数()3x f x =()x ∈R 的反函数为()g x ，则12g ⎛⎫=⎪⎝⎭A ．3log 2-B ．3log 2C ．2log 3-D ．2log 33．已知双曲线C ：22214x y b-=经过点()4,3，则双曲线C 的离心率为 A ．12B ．32C ．72D ．1324．执行如图1所示的程序框图，则输出的z 的值是A ．21B ．32C ．34D ．645．已知命题p ：x ∀∈R ，20x >，命题q ：,αβ∃∈R ，使()tan tan tan αβαβ+=+，则下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝6．设集合{}22A x a x a =-<<+，{}2450B x x x =--<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为A ．[]1,3B ．()1,3C ．[]3,1--D ．()3,1--7．已知数列{}n a 满足13a =，且143n n a a +=+()*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为A ．2121n -+ B ．2121n -- C ．221n +D ．221n-8．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为 A ．425 B ．12 C ．23D ．1Vx=1, y=2z=xy是z<20? x =yy =z输出z结束否开始图19．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 A ．13 B ．7C ．433 D ．33210．设函数()3233f x x ax bx =++有两个极值点12x x 、，且[]11,0x ∈-，[]21,2x ∈，则点(),a b 在aOb平面上所构成区域的面积为 A ．14 B ．12 C ．34D ．1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则z = ． 12．已知向量(),1x =a ，()2,y =b ，若()1,1=-a +b ，则x y += ．13．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y ()km 与刹车时的速度x ()km /h 的关系可以用2y ax =来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km/h 时，紧急刹车后滑行的距离为b ()km ．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b ()km ，则这辆车的行驶速度为 km/h ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；BA CD FG 图3（2）若△ABC 外接圆的半径为14，求△ABC 的面积． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如下面的图表所示． 年龄 分组 抽取份数 答对全卷 的人数 答对全卷的人数 占本组的概率 [20,30) 40 28 0.7 [30,40) n 27 0.9 [40,50) 10 4 b [50,60]20a0.1（1）分别求出n ，a ，b ，c 的值；（2）从年龄在[]40,60答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率． 18．（本小题满分14分）如图4，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，M ，N 分别是 棱1AA ，AB 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，C ，1D 四点共面；（2）平面1MNCD 将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比．19．（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}na 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若(),,n n a n f n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，，是否存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x ax x =++()a ∈R ．C 1 ABA 1B 1D 1C DMN图4年龄频率/组距 20 30 40 50 600.01c 0.04 0.03 0（1）若函数()f x 在1x =处的切线平行于x 轴，求实数a 的值，并求此时函数()f x 的极值； （2）求函数()f x 的单调区间．21．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B C A D B B D二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．题号 1112131415答案2 3- 603 43116．（本小题满分12分）解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k =，5b k =，3c k =()0k >，…………………………………………………………2分由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯…………………………………………………………3分12=-．………………………………………………………………………………………………4分（2）由（1）知，1cos 2A =-， 因为A 是△ABC的内角，所以23sin 1cos 2A A =-=．…………………………………………6分 由正弦定理2si na R A =，…………………………………………………………………………………7分 得32sin 2141432a R A ==⨯⨯=．…………………………………………………………………8分 由（1）设7a k =，即23k =，所以5103b k ==，363c k ==．………………………………………………………………10分所以1sin 2ABC S bc A ∆=131036322=⨯⨯⨯……………………………………………………11分453=．所以△ABC 的面积为453．…………………………………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以()10040102030n =-++=．………………………………1分年龄在[)40,50中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以4100.4b =÷=．……………2分年龄在[]50,60中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1，所以200.1a ÷=，解得2a =．…………………………………………………………………………3分根据频率直方分布图，得()0.040.030.01101c +++⨯=， 解得c =．……………………………………………………………………………………………4分（2）因为年龄在[)40,50与[]50,60中答对全卷的人数分别为4人与2人．年龄在[)40,50中答对全卷的4人记为1a ，2a ，3a ，4a ，年龄在[]50,60中答对全卷的2人记为1b ，2b ，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()24,a a ， ()21,a b ，()22,a b ，()34,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共15种．…………………………………………………………………………………8分其中所抽取年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共9种.……………………………………11分故所求的概率为53159=. ………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分） （1）证明：连接1A B ，在四边形11A BCD 中，11A D BC 且11A D BC =，所以四边形11A BCD 是平行四边形． 所以11A BD C ．…………………………………………2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AA AB ==，所以1AM ANAA AB=， C 1 ABA 1B 1D 1C DMN所以1M N ．…………………………………………………………………………………………4分 所以1MND C ．所以M ，N ，C ，1D 四点共面．………………………………………………………………………6分（2）解法一：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ，连接1D A ，1D N ，DN ，则几何体1D AMN -，1D ADN -，1D CDN -均为三棱锥， 所以1111D AMN D ADN D CDN V V V V ---=++1111111333A M N A D N C D N S D A S D D S D D ∆∆∆=++………9分 111319333323232=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 132=．……………………………………………………………………………………………11分从而11212722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分 所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分解法二：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ， 因为平面11ABB A 平面11DCC D ，所以平面AMN平面1DD C ．延长CN 与DA 相交于点P ， 因为AN DC ，所以AN PA DC PD =，即133PA PA =+，解得32PA =． C 1 A B A 1B 1D 1C D M N延长1D M 与DA 相交于点Q ，同理可得32QA =． 所以点P 与点Q 重合．所以1D M ，DA ，CN 三线相交于一点．所以几何体1AMN DD C -是一个三棱台．……………………………………………………………9分所以1111332AMV V -⎛⎫==⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，………………………………………………11分 从而11212722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分 所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分19．（本小题满分14分）解：（1）因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1，所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分因为数列{}n a 是公差为1的等差数列， 所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上， 所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分（2）因为()1,32,n n f n n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，，假设存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立．………………………………………………………7分①当k 为奇数时，3k +为偶数， 则有()()33241k k +-=-，解得11k =，符合题意．………………………………………………………………………………10分②当k 为偶数时，3k +为奇数，则有()()31432k k +-=-， 解得1011k =，不合题意．………………………………………………………………………………13分综上可知，存在11k =符合条件．………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，……………………………………………………………………1分因为()2ln f x x ax x =++，所以()121f x ax x'=++，………………………………………………………………………………2分 依题意有()10f '=，即1210a ++=，解得1a =-．………………………………………………3分此时()()()212121x x x x f x x x--+-++'==，所以当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，………………………………………5分所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为0．………………………………………………6分（2）因为()121f x ax x'=++221ax x x ++=，（ⅰ）当0a ≥时，………………………………………………………………………………………7分因为()0,x ∈+∞，所以()f x '2210ax x x++=>， 此时函数()f x 在()0,+∞是增函数．……………………………………………………………………9分（ⅱ）当0a <时，令()0f x '=，则2210ax x ++=．因为180a ∆=->，此时()f x '()()212221a x x x x ax x x x--++==，其中11184a x a --=-，21184a x a+-=-．因为0a <，所以20x >，又因为12102x x a=<，所以10x <．……………………………………11分所以当20x x <<时，()0f x '>，当2x x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()20,x 上是增函数，在()2,x +∞上是减函数．…………………………………13分综上可知，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是1180,4a a ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间是118,4a a ⎛⎫+--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．……………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）方法一：设圆C 的方程为：()222x a y r-+=()0r >，………………………………………1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-， 所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分解得1a =-，1r =．所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分因为直线l 的方程为1122y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分所以圆心C 的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，PB 的方程为：()020y y k x x -=-， 则点A 的坐标为()0100,y k x -，点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k 满足00211k y kx k -+-=+，即1k ，2k 是方程()()2220022110xxk yxk y +-++-=的两根，………………………………7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以12A B =-()()220000220000412122y y x x x x x x -+⎡⎤=-⎢⎥++⎣⎦……………………………………………9分 因为()220044y x =--， 所以()02056222x AB x -=+．…………………………………………………………………………10分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．………………………………………………………………………………11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分所以()0max 2225564fx f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB 的取值范围为522,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．…………………………………………………………………14分方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ， 则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分设点()0,A a ，()0,B b ， 则直线PA ：00y ay a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=， 因为直线PA 与圆C 相切，所以()0022001a y ax y a x -+=-+，化简得()2000220x a y a x +--=． ① 同理得()2000220x b y b x +--=， ②由①②知a ，b 为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…………………………………………7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以()24AB a b a b ab =-=+-200002422y x x x ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭()()2000204422y x x x ++=+．……………………………………………………………………9分因为()220044y x =--，所以()02056222x AB x -=+……………………………………………………………………………10分()2001652222x x =-+++．………………………………………………………………11分令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以222165AB t t =-+252522163264t ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，………………………………………12分当532t =时，max 524AB =，当14t =时，min 2AB =． 所以AB 的取值范围为522,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．…………………………………………………………………14分。
[精品]广东省广州市2015高中毕业班综合测试(二)高中数学文科试题和答案
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试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2015.4本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．台体的体积公式()123hV S S =+，其中1S ，2S 分别是台体的上，下底面积，h 是台体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 240 的值为A．12 C ．12- D．2．已知函数()3x f x =()x ∈R 的反函数为()g x ，则12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．3log 2-B ．3log 2C ．2log 3-D ．2log 33．已知双曲线C ：22214x y b-=经过点()4,3，则双曲线C 的离心率为A ．12 BD4．执行如图1所示的程序框图，则输出的z 的值是A ．21B ．32C ．34D ．64 5．已知命题p ：x ∀∈R ，20x >，命题q ：,αβ∃∈R ，使()tan tan tan αβαβ+=+，则下列命 题为真命题的是A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝ 6．设集合{}22A x a x a =-<<+，{}2450B x x x =--<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为A ．[]1,3B ．()1,3C ．[]3,1--D ．()3,1-- 7．已知数列{}n a 满足13a =，且143n n a a +=+()*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为 A ．2121n -+ B ．2121n -- C ．221n + D ．221n - 8．已知函数()，若在区间[]上任取一个实数，则使()成立的概率为 A ．425B ．12C ．23 D ．19．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 ABCD10．设函数()3233f x x ax bx =++有两个极值点12x x 、，且[]11,0x ∈-，[]21,2x ∈，则点(),a b 在aOb平面上所构成区域的面积为A ．14B ．12C ．34D ．1 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则z = ． 12．已知向量(),1x =a ，()2,y =b ，若()1,1=-a +b ，则x y += ．13．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y ()km 与刹车时的速度x ()km/h 的关14．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，AE 与BC 的延长线交于点F，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）图3在在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 外接圆的半径为14，求△ABC 的面积． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如下面的图表所示．（n a b c （2）从年龄在[]40,60答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[]50,60的人中至少有人被授予“环保之星”的概率．18．（本小题满分14分）如图4，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为3，M ，N分别是棱1AA ，AB 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，C ，1D 四点共面；（2）平面1MNCD 将此正方体分为两部分，求这两部分的体积 之比．19．（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若(),,n n a n f n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，，是否存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．C 1ABA 1B 1D 1C DMN图420．（本小题满分14分）已知函数()2a∈R．=++()lnf x x ax x（1）若函数()f x在1f xx=处的切线平行于x轴，求实数a的值，并求此时函数()的极值；（2）求函数()f x的单调区间．21．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小16．（本小题满分12分） 解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k=，5b k=，3c k =()0k >， (2)分由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯…………………………………………………………3分12=-．………………………………………………………………………………………………4分 （2）由（1）知，1cos 2A =-，因为A是△ABC的内角，所以s ic o s A ==6分 由正弦定理2si na R A =，…………………………………………………………………………………7分得2sin 214a R A ==⨯=由（1）设7a k =，即k =，所以51b k ==，3c k ==10分所以1s i2ABC S bc A ∆=12=⨯……………………………………………………11分=所以△ABC的面积为45312分17．（本小题满分12分）解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以()10040102030n =-++=．………………………………1分 年龄在[)40,50中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以4100.4b =÷=．……………2分年龄在[]50,60中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1， 所以2a ÷=，解得2a =．…………………………………………………………………………3分根据频率直方分布图，得()0.040.030.01101c +++⨯=， 解得0.02c =．……………………………………………………………………………………………4分（2）因为年龄在[)40,50与[]50,60中答对全卷的人数分别为4人与2人．年龄在[)40,50中答对全卷的4人记为1a ，2a ，3a ，4a ，年龄在[]50,60中答对全卷的2人记为1b ，2b ，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有()22,a b ，()34,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ， ()12,b b 共15种．…………………………………………………………………………………8分其中所抽取年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共9种.……………………………………11分故所求的概率为53159=. ………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分） （1）证明：连接1A B ，在四边形11A BCD 中，11A D BC 且11A D BC =， 所以四边形11A BCD 是平行四边形．所以11A B D C ．…………………………………………2分 在△1ABA 中，1AM AN ==，13AA AB ==， 所以1AM ANAA AB=， 所以1M N．…………………………………………………………………………………………4分所以1MN DC ． 所以M，N，C，1D 四点共面．………………………………………………………………………6分 （2）解法一：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ，连接1D A ，1D N ，DN ，C 1 ABA 1B 1D 1C DMNC 1 A 1B 1D 1DM则几何体1D AMN -，1D ADN -，1D CDN -均为三棱锥， 所以1111D AMN D ADN D CDN V V V V ---=++1111111333AMN ADN CDN S D A S D D S D D ∆∆∆=++ ………9分 111319333323232=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯132=．……………………………………………………………………………………………11分从而11212722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分解法二：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ，因为平面11ABB A 平面11DCC D ，所以平面AMN 平面1DDC ． 延长CN 与DA 相交于点P ， 因为AN DC ， 所以AN PA DC PD =，即133PA PA =+，解得32PA =． 延长1D M 与DA 相交于点Q ，同理可得32QA =．所以点P 与点Q 重合．所以1D M ，DA ，CN 三线相交于一点． 所以几何体1AMND D C -是一个三棱台．……………………………………………………………9分所以1111332AMV V -⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭，………………………………………………11分从而11212722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分19．（本小题满分14分）解：（1）因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1， 所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分因为数列{}n a 是公差为1的等差数列， 所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分（2）因为()1,32,n n f n n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，，假设存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立．………………………………………………………7分①当k 为奇数时，3k +为偶数， 则有()()33241k k +-=-， 解得11k =，符合题意．………………………………………………………………………………10分②当k 为偶数时，3k +为奇数， 则有()()31432k k +-=-， 解得1011k =，不合题意．………………………………………………………………………………13分综上可知，存在11k =符合条件．………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分） 解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，……………………………………………………………………1分因为()2ln f x x ax x =++， 所以()121f x ax x'=++，………………………………………………………………………………2分依题意有()10f '=，即12a ++=，解得1a =-．………………………………………………3分此时()()()212121x x x x f x x x--+-++'==，所以当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，………………………………………5分所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为0．………………………………………………6分（2）因为()121f x ax x '=++221ax x x++=，（ⅰ）当a ≥时，………………………………………………………………………………………7分因为()0,x ∈+∞，所以()f x '2210ax x x++=>， 此时函数()f x 在()0,+∞是增函数．……………………………………………………………………9分（ⅱ）当0a <时，令()0f x '=，则2210ax x ++=． 因为180a ∆=->，此时()f x '()()212221a x x x x ax x x x--++==，其中114x a -=-，214x a=-． 因为0a <，所以20x >，又因为12102x x a=<，所以10x <．……………………………………11分所以当20x x <<时，()0f x '>，当2x x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()20,x 上是增函数，在()2,x +∞上是减函数．…………………………………13分综上可知，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是0,⎛ ⎝⎭，单调递减区间是14a ⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．……………………………………14分21．（本小题满分14分） 解：（1）方法一：设圆C的方程为：()222x a y r -+=()0r >，………………………………………1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-， 所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分解得1a =-，1r =． 所以圆C的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分因为直线l的方程为1122y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分所以圆心C的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分所以圆C的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，PB 的方程为：()020y y k x x -=-， 则点A 的坐标为()0100,y k x -，点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k1=，即1k ，2k 是方程()()2220000022110xx k y x k y +-++-=的两根，………………………………7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以12A B =-x =9分因为()220044y x =--，所以AB =………10分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．………………………………………………………………………………11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分所以()0max2225564f x f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分 方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分设点()0,A a ，()0,B b ， 则直线PA ：00y ay a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=，因为直线PA 与圆C1=，化简得()2000220x a y a x +--=． ① 同理得()2000220x b y b x +--=， ② 由①②知a，b为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…………………………………………7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以AB a b =-===…9分因为()220044y x =--， 所以AB =………10分=．………………………………………………………………11分令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以AB ==， (12)分当532t =时，max AB =， 当14t =时，min AB = 所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分。
广东省广州市2015届高考二模试卷(数学文)解析版
广东省广州市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）sin240°的值为（）A．B．C．﹣D．﹣2．（5分）已知函数f（x）=3x（x∈R）的反函数为g（x），则g（）=（）A．﹣log32 B．l og32 C．﹣log23 D．log233．（5分）已知双曲线C：﹣=1经过点（4，3），则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的z的值是（）A．21 B．32 C．34 D．645．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2＞0，命题q：∃α，β∈R，使tan（α+β）=tanα+tanβ，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）6．（5分）设集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x2﹣4x﹣5＜0}，若A⊆B，则实数a的取值范围为（）A．[1，3]B．（1，3）C．[﹣3，﹣1]D．（﹣3，﹣1）7．（5分）已知数列{a n}满足a1=3，且a n+1=4a n+3（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．22n﹣1+1 B．22n﹣1﹣1 C．22n+1 D．22n﹣18．（5分）已知函数f（x）=﹣x2+2x+3，若在区间[﹣4，4]上任取一个实数x0，则使f（x0）≥0成立的概率为（）A．B．C．D．19．（5分）如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长V A=3，点C在母线长VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）A．B．C．D．10．（5分）设函数f（x）=x3+3ax2+3bx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]，则点（a，b）在aOb平面上所构成区域的面积为（）A．B．C．D．1二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）已知i为虚数单位，复数z=，则|z|=．12．（5分）已知向量=（x，1），=（2，y），若+=（1，﹣1），则x+y=．13．（5分）某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y（km）与刹车时的速度x（km/h）的关系可以用y=ax2来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为b（km）．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b（km），则这辆车的行驶速度为km/h．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(广东卷)(含答案全解析) (1)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上,用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015广东,文1)若集合M={-1,1},N={-2,1,0},则M∩N=()A.{0,-1}B.{1}C.{0}D.{-1,1}答案:B解析:因为M,N的公共元素只有1,所以M∩N={1}.2.(2015广东,文2)已知i是虚数单位,则复数(1+i)2=()A.2iB.-2iC.2D.-2答案:A解析:(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.3.(2015广东,文3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=x+sin 2xB.y=x2-cos xC.y=2x+D.y=x2+sin x答案:D解析:A为奇函数,B和C为偶函数,D既不是奇函数,也不是偶函数.4.(2015广东,文4)若变量x,y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为()A.2B.5C.8D.10答案:B解析:约束条件表示的可行域如图阴影部分所示,而z=2x+3y可变形为y=-x+表示直线y=-x在y轴上的截距,由图可知当直线经过点A(4,-1)时z取最大值,最大值为z=2×4+3×(-1)=5.5.(2015广东,文5)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=且b<c,则b=()A.3B.2C.2D.答案:C解析:由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得4=b2+12-2·b·2,即b2-6b+8=0,解得b=2或4.又因为b<c,所以b=2.6.(2015广东,文6)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交答案:D解析:l1与l在平面α内,l2与l在平面β内,若l1,l2与l都不相交,则l1∥l,l2∥l,根据直线平行的传递性,则l1∥l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.7.(2015广东,文7)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为() A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1答案:B解析:设正品分别为A1,A2,A3,次品分别为B1,B2,从中任取2件产品,基本事件共有10种,分别为{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},而其中恰有一件次品的基本事件有6种,由古典概型概率公式,得P==0.6.8.(2015广东,文8)已知椭圆=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=()A.2B.3C.4D.9答案:B解析:由已知a2=25,b2=m2,c=4,又由a2=b2+c2,可得m2=9.因为m>0,所以m=3.9.(2015广东,文9)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则=()A.5B.4C.3D.2答案:A解析:=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),所以=(2,1)·(3,-1)=2×3+1×(-1)=5.10.(2015广东,文10)若集合E={(p,q,r,s)|0≤p<s≤4,0≤q<s≤4,0≤r<s≤4且p,q,r,s∈N},F={(t,u,v,w)|0≤t<u≤4,0≤v<w≤4且t,u,v,w∈N},用card(X)表示集合X中的元素个数,则card(E)+card(F)=()A.200B.150C.100D.50答案:A解析:E中有序数组的要求为s均大于p,q,r,当s取4时,p可取0,1,2,3,q也可取0,1,2,3,r也可取0,1,2,3,此时不同数组有4×4×4=64个;同理当s取3时,p,q,r均可从0,1,2中任取1个,此时不同数组有3×3×3=27个;当s取2时,p,q,r可从0,1中任取1个,不同数组有2×2×2=8个;当s取1时,p,q,r只能都取0,不同数组有1个,因此E中不同元素共有64+27+8+1=100个.F中元素要求为t<u,v<w,当u取4时,t可取0,1,2,3;当u取3时,t可取0,1,2;当u取2时,t可取0,1;当u取1时,t取0,所以t,u的不同组合为10种.同理,v,w不同组合也有10种,故F中元素个数为10×10=100,所以card(E)+card(F)=200.二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.(一)必做题(11~13题)11.(2015广东,文11)不等式-x2-3x+4>0的解集为.(用区间表示)答案:(-4,1)解析:不等式可化为x2+3x-4<0,即(x-1)(x+4)<0,解得-4<x<1.12.(2015广东,文12)已知样本数据x1,x2,…,x n的均值=5,则样本数据2x1+1,2x2+1,…,2x n+1的均值为.答案:11解析:由题意,y i=2x i+1(i=1,2,…,n),则=2+1=2×5+1=11.13.(2015广东,文13)若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+2,c=5-2,则b=.答案:1解析:因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac,即b2=(5+2)(5-2)=1.又b是正数,所以b=1.(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(2015广东,文14)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲线C2的参数方程为(t为参数),则C1与C2交点的直角坐标为.答案:(2,-4)解析:∵ρ(cos θ+sin θ)=-2,∴曲线C1的直角坐标方程为x+y=-2.由已知得曲线C2的普通方程为y2=8x.由-得y2+8y+16=0,解得y=-4,x=2.所以C1与C2交点的直角坐标为(2,-4).15.(2015广东,文15)(几何证明选讲选做题)如图,AB为圆O的直径,E为AB延长线上一点,过E作圆O的切线,切点为C,过A作直线EC的垂线,垂足为D.若AB=4,CE=2则AD=.答案:3解析:由切割线定理得EC2=EB·EA,即12=EB·(EB+4),可求得EB=2.连接OC,则OC⊥DE,所以OC∥AD,所以,即,所以AD=3.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015广东,文16)已知tan α=2.(1)求tan的值;(2)求--的值.解:(1)tan-=--=-3.(2)--=---=-=-=-=1.17.(本小题满分12分)(2015广东,文17)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?解:(1)由(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)×20=1,得x=0.007 5,所以直方图中x的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是=230.因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a,由(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(a-220)=0.5,得a=224,所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100=25(户),月平均用电量在[240,260)的用户有0.007 5×20×100=15(户),月平均用电量在[260,280)的用户有0.005×20×100=10(户),月平均用电量在[280,300]的用户有0.002 5×20×100=5(户),抽取比例为,所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×=5(户).18.(本小题满分14分)(2015广东,文18)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA;(2)证明:BC⊥PD;(3)求点C到平面PDA的距离.(1)证明:因为四边形ABCD是长方形,所以BC∥AD.因为BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,所以BC∥平面PDA.(2)证明:因为四边形ABCD是长方形,所以BC⊥CD.因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面PDC.因为PD⊂平面PDC,所以BC⊥PD.(3)解:取CD的中点E,连接AE和PE.因为PD=PC,所以PE⊥CD.在Rt△PED中,PE=--.因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,PE⊂平面PDC,所以PE⊥平面ABCD.由(2)知BC⊥平面PDC.由(1)知BC∥AD.所以AD⊥平面PDC.因为PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD.设点C到平面PDA的距离为h,因为V三棱锥C-PDA=V三棱锥P-ACD,所以S△PDA·h=S△ACD·PE,即h=△△,所以点C到平面PDA的距离是.19.(本小题满分14分)(2015广东,文19)设数列{a n}的前n项和为S n,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=,且当n≥2时,4S n+2+5S n=8S n+1+S n-1.(1)求a4的值;(2)证明:-为等比数列;(3)求数列{a n}的通项公式.(1)解:当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,即4+5=8+1,解得a4=.(2)证明:因为4S n+2+5S n=8S n+1+S n-1(n≥2),所以4S n+2-4S n+1+S n-S n-1=4S n+1-4S n(n≥2),即4a n+2+a n=4a n+1(n≥2).因为4a3+a1=4×+1=6=4a2,所以4a n+2+a n=4a n+1(n∈N*).因为-------=--,所以数列-是以a2-a1=1为首项,公比为的等比数列. (3)解:由(2)知数列-是以a2-a1=1为首项,公比为的等比数列,所以a n+1-a n=-,即=4,所以数列是以=2为首项,公差为4的等差数列, 所以=2+(n-1)×4=4n-2,即a n=(4n-2)×=(2n-1)×-.所以数列{a n}的通项公式是a n=(2n-1)×-.20.(本小题满分14分)(2015广东,文20)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1)圆C1:x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)设线段AB的中点M(x,y),由弦的性质可知C1M⊥AB,即C1M⊥OM.故点M的轨迹是以OC1为直径的圆,该圆的圆心为C,半径r=|OC1|=×3=,其方程为-+y2=,即x2+y2-3x=0.又因为点M为线段AB的中点,所以点M在圆C1内,所以-<2.又x2+y2-3x=0,所以可得x>.易知x≤3,所以<x≤3.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为x2+y2-3x=0.(3)由题意知直线L表示过定点T(4,0),斜率为k的直线.结合图形,-表示的是一段关于x轴对称,起点为F-按逆时针方向运动到E的圆弧(不含端点).根据对称性,只需讨论在x轴下方的圆弧.由F-,则k FT=-,而当直线L与轨迹C相切时,-,解得k=±.在这里暂取k=,因为,所以k FT<k.结合图形,可得对于x轴下方的圆弧,当0≤k≤或k=时,直线L与x轴下方的圆弧有且只有一个交点.根据对称性可知当-≤k<0或k=-时,直线L与x轴上方的圆弧有且只有一个交点.综上所述,当-≤k≤或k=±时,直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.21.(本小题满分14分)(2015广东,文21)设a为实数,函数f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a-1).(1)若f(0)≤1,求a的取值范围;(2)讨论f(x)的单调性;(3)当a≥2时,讨论f(x)+在区间(0,+∞)内的零点个数.解:(1)f(0)=a2+|a|-a2+a=|a|+a.因为f(0)≤1,所以|a|+a≤1.当a≤0时,0≤1,显然成立;当a>0时,则有2a≤1,所以a≤.所以0<a≤.综上所述,a的取值范围是a≤.(2)f(x)=---对于u1=x2-(2a-1)x,其图象的对称轴为x=-=a-<a,开口向上,所以f(x)在[a,+∞)上单调递增;对于u2=x2-(2a+1)x+2a,其图象的对称轴为x==a+>a,开口向上, 所以f(x)在(-∞,a)上单调递减.综上,f(x)在[a,+∞)上单调递增,在(-∞,a)上单调递减.(3)由(2)得f(x)在[a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,所以f(x)min=f(a)=a-a2.①当a=2时,f(x)min=f(2)=-2,f(x)=--令f(x)+=0,即f(x)=-(x>0).因为f(x)在(0,2)上单调递减,所以f(x)>f(2)=-2,而y=-在(0,2)上单调递增,y<f(2)=-2,所以y=f(x)与y=-在(0,2)上无交点.当x≥2时,令f(x)=x2-3x=-,即x3-3x2+4=0,所以x3-2x2-x2+4=0.所以(x-2)2(x+1)=0.因为x≥2,所以x=2,即当a=2时,f(x)+有一个零点x=2.②当a>2时,f(x)min=f(a)=a-a2,当x∈(0,a)时,f(0)=2a>4,f(a)=a-a2,而y=-在x∈(0,a)上单调递增, 当x=a时,y=-.下面比较f(a)=a-a2与-的大小.因为a-a2-----=--<0,所以f(a)=a-a2<-.结合图象不难得当a>2时,y=f(x)与y=-有两个交点.综上,当a=2时,f(x)+有一个零点x=2;当a>2时,y=f(x)与y=-有两个零点.。
2015年广东省高考数学试卷(文科),附答案,最详尽答案
2015年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）1．（5分）（2015•广东）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（）A．{0．﹣1} B．{0} C．{1} D．{﹣1，1}2．（5分）（2015•广东）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣23．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+sin2x B．y=x2﹣cosx C．y=2x+D．y=x2+sinx4．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A．2 B．5 C．8 D．105．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．3 B．2C．2 D．6．（5分）（2015•广东）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交7．（5分）（2015•广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．18．（5分）（2015•广东）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A．2 B．3 C．4 D．99．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（）A．5 B．4 C．3 D．210．（5分）（2015•广东）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则card（E）+card（F）=（）A．200 B．150 C．100 D．50二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）11．（5分）（2015•广东）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为．（用区间表示）12．（5分）（2015•广东）已知样本数据x1，x2，…，x n的均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为．13．（5分）（2015•广东）若三个正数a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则b=．坐标系与参数方程选做题14．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为．几何证明选讲选做题15．（2015•广东）如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则AD=．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）（2015•广东）已知tanα=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．17．（12分）（2015•广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220.240）的用户中应抽取多少户？18．（14分）（2015•广东）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA的距离．19．（14分）（2015•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且当n≥2时，4S n+2+5S n=8S n+1+S n．﹣1（1）求a4的值；（2）证明：{a n+1﹣a n}为等比数列；（3）求数列{a n}的通项公式．20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）（2015•广东）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．2015年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）1．（5分）（2015•广东）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（）A．{0．﹣1} B．{0} C．{1} D．{﹣1，1}【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：M∩N={﹣1，1}∩{﹣2，1，0}={1}．故选：C．2．（5分）（2015•广东）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2【分析】利用完全平方式展开化简即可．【解答】解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i；故选：A．3．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+sin2x B．y=x2﹣cosx C．y=2x+D．y=x2+sinx【分析】利用函数奇偶性的判断方法对选项分别分析选择．【解答】解：四个选项中，函数的定义域都是R，对于A，﹣x+sin（﹣2x）=﹣（x+sin2x）；是奇函数；对于B，（﹣x）2﹣cos（﹣x）=x2﹣cosx；是偶函数；对于C，，是偶函数；对于D，（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx≠x2+sinx，x2﹣sinx≠﹣（x2+sinx）；所以是非奇非偶的函数；故选：D．4．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A．2 B．5 C．8 D．10【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，﹣1）．此时z的最大值为z=2×4+3×（﹣1）=8﹣3=5，故选：B．5．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．3 B．2C．2 D．【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，即有4=b2+12﹣4×b，解得b=2或4，由b＜c，可得b=2．故选：C．6．（5分）（2015•广东）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交【分析】可以画出图形来说明l与l1，l2的位置关系，从而可判断出A，B，C是错误的，而对于D，可假设不正确，这样l便和l1，l2都不相交，这样可退出和l1，l2异面矛盾，这样便说明D正确．【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选D．7．（5分）（2015•广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1【分析】首先判断这是一个古典概型，而基本事件总数就是从5件产品任取2件的取法，取到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．【解答】解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为；∴基本事件总数为10；设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A，则A包含的基本事件个数为=6；∴P（A）==0.6．故选：B．8．（5分）（2015•广东）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A．2 B．3 C．4 D．9【分析】利用椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m．【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，故选：B．9．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】由向量加法的平行四边形法则可求=的坐标，然后代入向量数量积的坐标表示可求【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可得，==（3，﹣1）．∴=3×2+（﹣1）×1=5．故选：A．10．（5分）（2015•广东）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则card（E）+card（F）=（）A．200 B．150 C．100 D．50【分析】对于集合E，s=4时，p，q，r从0，1，2，3任取一数都有4种取法，从而构成的元素（p，q，r，s）有4×4×4=64个，再讨论s=3，2，1的情况，求法一样，把每种情况下元素个数相加即可得到集合E的元素个数，而对于集合F，需讨论两个数：u，w，方法类似，最后把求得的集合E，F元素个数相加即可．【解答】解：（1）s=4时，p，q，r的取值的排列情况有4×4×4=64种；s=3时，p，q，r的取值的排列情况有3×3×3=27种；s=2时，有2×2×2=8种；s=1时，有1×1×1=1种；∴card（E）=64+27+8+1=100；（2）u=4时：若w=4，t，v的取值的排列情况有4×4=16种；若w=3，t，v的取值的排列情况有4×3=12种；若w=2，有4×2=8种；若w=1，有4×1=4种；u=3时：若w=4，t，v的取值的排列情况有3×4=12种；若w=3，t，v的取值的排列情况有3×3=9种；若w=2，有3×2=6种；若w=1，有3×1=3种；u=2时：若w=4，t，v的取值的排列情况有2×4=8种；若w=3，有2×3=6种；若w=2，有2×2=4种；若w=1，有2×1=2种；u=1时：若w=4，t，v的取值的排列情况有1×4=4种；若w=3，有1×3=3种；若w=2，有1×2=2种；若w=1，有1×1=1种；∴card（F）=100；∴card（E）+card（F）=200．故选A．二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）11．（5分）（2015•广东）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为（﹣4，1）．（用区间表示）【分析】首先将二次项系数化为正数，然后利用因式分解法解之．【解答】解：原不等式等价于x2+3x﹣4＜0，所以（x+4）（x﹣1）＜0，所以﹣4＜x＜1；所以不等式的解集为（﹣4，1）；故答案为：（﹣4，1）．12．（5分）（2015•广东）已知样本数据x1，x2，…，x n的均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为11．【分析】利用平均数计算公式求解【解答】解：∵数据x1，x2，…，x n的平均数为均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为：=5×2+1=11；故答案为：11．13．（5分）（2015•广东）若三个正数a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则b=1．【分析】由已知可得，b2=ac，代入已知条件即可求解b【解答】解：∵三个正数a，b，c 成等比数列，∴b2=ac，∵a=5+2，c=5﹣2，∴=1，故答案为：1．坐标系与参数方程选做题14．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为（2，﹣4）．【分析】曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，把代入可得直角坐标方程．曲线C2的参数方程为（t为参数），化为普通方程：y2=8x．联立解出即可．【解答】解：曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，化为直角坐标方程：x+y+2=0．曲线C2的参数方程为（t为参数），化为普通方程：y2=8x．联立，解得，则C1与C2交点的直角坐标为（2﹣，4）．故答案为：（2，﹣4）．几何证明选讲选做题15．（2015•广东）如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则AD=3．【分析】连接OC，则OC⊥DE，可得，由切割线定理可得CE2=BE•AE，求出BE，即可得出结论．【解答】解：连接OC，则OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴由切割线定理可得CE2=BE•AE，∴12=BE•（BE+4），∴BE=2，∴OE=4，∴，∴AD=3故答案为：3．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）（2015•广东）已知tanα=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．【分析】（1）直接利用两角和的正切函数求值即可．（2）利用二倍角公式化简求解即可．【解答】解：tanα=2．（1）tan（α+）===﹣3；（2）====1．17．（12分）（2015•广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220.240）的用户中应抽取多少户？【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户18．（14分）（2015•广东）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA的距离．【分析】（1）利用四边形ABCD是长方形，可得BC∥AD，根据线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）利用平面与平面垂直的性质定理得出BC⊥平面PDC，即可证明BC⊥PD；（3）利用等体积法，求点C到平面PDA的距离．【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA；（2）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC⊂面ABCD，所以BC⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD；（3）解：取CD的中点E，连接AE和PE，因为PD=PC，所以PE⊥CD，在Rt△PED中，PE===．因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PDC，所以PE⊥平面ABCD．由（2）知：BC⊥平面PDC，由（1）知：BC∥AD，所以AD⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．设点C到平面PDA的距离为h．因为V C﹣PDA=V P﹣ACD，所以，所以h==，所以点C到平面PDA的距离是．19．（14分）（2015•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且当n≥2时，4S n+2+5S n=8S n+1+S n．﹣1（1）求a4的值；（2）证明：{a n+1﹣a n}为等比数列；（3）求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）直接在数列递推式中取n=2，求得；（2）由4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1（n≥2），变形得到4a n+2+a n=4a n+1（n≥2），进一步得到，由此可得数列{}是以为首项，公比为的等比数列；（3）由{}是以为首项，公比为的等比数列，可得．进一步得到，说明{}是以为首项，4为公差的等差数列，由此可得数列{a n}的通项公式．【解答】（1）解：当n=2时，4S4+5S2=8S3+S1，即，解得：；（2）证明：∵4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1（n≥2），∴4S n+2﹣4S n+1+S n﹣S n﹣1=4S n+1﹣4S n（n≥2），即4a n+2+a n=4a n+1（n≥2），∵，∴4a n+2+a n=4a n+1．∵=．∴数列{}是以=1为首项，公比为的等比数列；（3）解：由（2）知，{}是以为首项，公比为的等比数列，∴．即，∴{}是以为首项，4为公差的等差数列，∴，即，∴数列{a n}的通项公式是．20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈[﹣，]∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为[﹣，]∪{﹣，}．21．（14分）（2015•广东）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．【分析】（1）利用f（0）≤1，得到|a|+a﹣1≤0，对a分类讨论求解不等式的解集即可．（2）化简函数f（x）的解析式，通过当x＜a时，当x≥a时，利用二次函数f（x）的对称轴求解函数的单调区间即可．（3）化简F（x）=f（x）+，求出函数的导数，利用导函数的符号，通过a的讨论判断函数的单调性，然后讨论函数的零点的个数．【解答】解：（1）若f（0）≤1，即：a2+|a|﹣a（a﹣1）≤1．可得|a|+a﹣1≤0，当a≥0时，a，可得a∈[0，]．当a＜0时，|a|+a﹣1≤0，恒成立．综上a．∴a的取值范围：；（2）函数f（x）==，当x＜a时，函数f（x）的对称轴为：x==a+＞a，y=f（x）在（﹣∞，a）时是减函数，当x≥a时，函数f（x）的对称轴为：x==a﹣＜a，y=f（x）在（a，+∞）时是增函数，（3）F（x）=f（x）+=，，当x＜a时，=，所以，函数F（x）在（0，a）上是减函数．当x≥a时，因为a≥2，所以，F′（x）=═，所以，函数F（x）在（a，+∞）上是增函数．F（a）=a﹣a2+．当a=2时，F（2）=0，此时F（x）有一个零点，当a＞2时，F（a）=a﹣a2+，F′（a）=1﹣2a==．所以F（ah）在（2，+∞）上是减函数，所以F（a）＜，即F（a）＜0，当x＞0且x→0时，F（x）→+∞；当x→+∞时，F（x）→+∞，所以函数F（x）有两个零点．综上所述，当a=2时，F（x）有一个零点，a＞2时F（x）有两个零点．。
2015年广东省高考数学试卷(文科)附详细解析
2015年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）24．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）5．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）6．（5分）（2015•广东）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是7．（5分）（2015•广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任8．（5分）（2015•广东）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）9．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（）10．（5分）（2015•广东）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）11．（5分）（2015•广东）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为．（用区间表示）12．（5分）（2015•广东）已知样本数据x1，x2，…，x n的均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为．13．（5分）（2015•广东）若三个正数a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则b=．坐标系与参数方程选做题14．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为．几何证明选讲选做题15．（2015•广东）如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则AD=．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）（2015•广东）已知tanα=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．17．（12分）（2015•广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，200），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220.240）的用户中应抽取多少户？18．（14分）（2015•广东）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA的距离．19．（14分）（2015•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且当a≥2时，4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1．（1）求a4的值；（2）证明：{a n+1﹣a n}为等比数列；（3）求数列{a n}的通项公式．20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）（2015•广东）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．2015年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）2，是偶函数；4．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）y=y=，解得，5．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（），cosA=×6．（5分）（2015•广东）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是7．（5分）（2015•广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任件的取法为8．（5分）（2015•广东）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）利用椭圆+椭圆=19．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（）==∴10．（5分）（2015•广东）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）11．（5分）（2015•广东）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为（﹣4，1）．（用区间表示）12．（5分）（2015•广东）已知样本数据x1，x2，…，x n的均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为11．的平均数为均值的均值为：13．（5分）（2015•广东）若三个正数a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则b=1．，2∴坐标系与参数方程选做题14．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为（2，﹣4）．，把的参数方程为，解得，几何证明选讲选做题15．（2015•广东）如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则AD=3．，可得∴∴三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）（2015•广东）已知tanα=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．+===117．（12分）（2015•广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，200），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220.240）的用户中应抽取多少户？）月平均用电量的众数是=×18．（14分）（2015•广东）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA的距离．PE==．h==的距离是．19．（14分）（2015•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且当a≥2时，4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1．（1）求a4的值；（2）证明：{a n+1﹣a n}为等比数列；（3）求数列{a n}的通项公式．，求得，由此可得数列{}是以为首项，公比为的{为首项，公比为{为首项，∵∵{是以为首项，公比为的等比数列；{是以为首项，公比为的等比数列，∴为首项，∴，即的通项公式是20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．联立方程组，，其中﹣＜）=，其中＜，﹣，联立方程组，±，的端点（，±±的取值范围为（﹣，}21．（14分）（2015•广东）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．+a，a．，x==a+=a﹣=时，=═，．当，=．，即参与本试卷答题和审题的老师有：wkl197822；changq；maths；双曲线；刘长柏；吕静；孙佑中；qiss；lincy；sxs123；cst（排名不分先后）菁优网2015年7月20日。
2015年广东省高考数学试卷及解析(文科)
2015年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）1、（5分）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（）A、{0、﹣1}B、{0}C、{1}D、{﹣1，1}2、（5分）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A、2iB、﹣2iC、2D、﹣23、（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A、y=x+sin2xB、y=x2﹣cosxC、y=2x+D、y=x2+sinx4、（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A、2B、5C、8D、105、（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c、若a=2，c=2，cosA=、且b＜c，则b=（）A、B、2 C、2 D、36、（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A、l与l1，l2都不相交B、l与l1，l2都相交C、l至多与l1，l2中的一条相交D、l至少与l1，l2中的一条相交7、（5分）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品、现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A、0.4B、0.6C、0.8D、18、（5分）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A、2B、3C、4D、99、（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（）A、5B、4C、3D、210、（5分）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则card（E）+card（F）=（）A、200 B、150 C、100 D、50二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）11、（5分）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为、（用区间表示）12、（5分）已知样本数据x1，x2，…，x n的均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为、13、（5分）若三个正数a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则b=、坐标系与参数方程选做题14、（5分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系、曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为、几何证明选讲选做题15、如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D、若AB=4、CE=2，则AD=、三、解答题（共6小题，满分80分）16、（12分）已知tanα=2、（1）求tan（α+）的值；（2）求的值、17、（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图、（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？18、（14分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3、（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA的距离、19、（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*、已知a1=1，a2=，a3=，且当n≥2时，4S n+5S n=8S n+1+S n﹣1、+2（1）求a4的值；（2）证明：{a n﹣a n}为等比数列；+1（3）求数列{a n}的通项公式、20、（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B、（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由、21、（14分）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）、（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数、参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）1、（5分）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（）A、{0、﹣1}B、{0}C、{1}D、{﹣1，1}题目分析：进行交集的运算即可、试题解答解：M∩N={﹣1，1}∩{﹣2，1，0}={1}、故选：C、点评：考查列举法表示集合，交集的概念及运算、2、（5分）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A、2iB、﹣2iC、2D、﹣2题目分析：利用完全平方式展开化简即可、试题解答解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i；故选：A、点评：本题考查了复数的运算；注意i2=﹣1、3、（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A、y=x+sin2xB、y=x2﹣cosxC、y=2x+D、y=x2+sinx题目分析：利用函数奇偶性的判断方法对选项分别分析选择、试题解答解：四个选项中，函数的定义域都是R，对于A，﹣x+sin（﹣2x）=﹣（x+sin2x）；是奇函数；对于B，（﹣x）2﹣cos（﹣x）=x2﹣cosx；是偶函数；对于C，，是偶函数；对于D，（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx≠x2+sinx，x2﹣sinx≠﹣（x2+sinx）；所以是非奇非偶的函数；故选：D、点评：本题考查了函数奇偶性的判断，在定义域关于原点对称的前提下，判断f（﹣x）与f（x）的关系，相等就是偶函数，相反就是奇函数、4、（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A、2B、5C、8D、10题目分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值、试题解答解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大、由，解得，即B（4，﹣1）、此时z的最大值为z=2×4+3×（﹣1）=8﹣3=5，故选：B、点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法、5、（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c、若a=2，c=2，cosA=、且b＜c，则b=（）A、B、2 C、2 D、3题目分析：运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2、试题解答解：a=2，c=2，cosA=、且b＜c，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，即有4=b2+12﹣4×b，解得b=2或4，由b＜c，可得b=2、故选：B、点评：本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题、6、（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A、l与l1，l2都不相交B、l与l1，l2都相交C、l至多与l1，l2中的一条相交D、l至少与l1，l2中的一条相交题目分析：可以画出图形来说明l与l1，l2的位置关系，从而可判断出A，B，C 是错误的，而对于D，可假设不正确，这样l便和l1，l2都不相交，这样可推出和l1，l2异面矛盾，这样便说明D正确、试题解答解：A、l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B、l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C、l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D、“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确、故选：D、点评：考查异面直线的概念，在直接说明一个命题正确困难的时候，可说明它的反面不正确、7、（5分）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品、现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A、0.4B、0.6C、0.8D、1题目分析：首先判断这是一个古典概型，而基本事件总数就是从5件产品任取2件的取法，取到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可、试题解答解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为；∴基本事件总数为10；设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A，则A包含的基本事件个数为=6；∴P（A）==0.6、故选：B、点评：考查古典概型的概念，以及古典概型的概率求法，明白基本事件和基本事件总数的概念，掌握组合数公式，分步计数原理、8、（5分）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A、2B、3C、4D、9题目分析：利用椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m、试题解答解：∵椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，故选：B、点评：本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础、9、（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（）A、5B、4C、3D、2题目分析：由向量加法的平行四边形法则可求=的坐标，然后代入向量数量积的坐标表示可求试题解答解：由向量加法的平行四边形法则可得，==（3，﹣1）、∴=3×2+（﹣1）×1=5、故选：A、点评：本题主要考查了向量加法的平行四边形法则及向量数量积的坐标表示，属于基础试题、10、（5分）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则card（E）+card（F）=（）A、200 B、150 C、100 D、50题目分析：对于集合E，s=4时，p，q，r从0，1，2，3任取一数都有4种取法，从而构成的元素（p，q，r，s）有4×4×4=64个，再讨论s=3，2，1的情况，求法一样，把每种情况下元素个数相加即可得到集合E的元素个数，而对于集合F，需讨论两个数：u，w，方法类似，最后把求得的集合E，F元素个数相加即可、试题解答解：（1）s=4时，p，q，r的取值的排列情况有4×4×4=64种；s=3时，p，q，r的取值的排列情况有3×3×3=27种；s=2时，有2×2×2=8种；s=1时，有1×1×1=1种；∴card（E）=64+27+8+1=100；（2）u=4时：若w=4，t，v的取值的排列情况有4×4=16种；若w=3，t，v的取值的排列情况有4×3=12种；若w=2，有4×2=8种；若w=1，有4×1=4种；u=3时：若w=4，t，v的取值的排列情况有3×4=12种；若w=3，t，v的取值的排列情况有3×3=9种；若w=2，有3×2=6种；若w=1，有3×1=3种；u=2时：若w=4，t，v的取值的排列情况有2×4=8种；若w=3，有2×3=6种；若w=2，有2×2=4种；若w=1，有2×1=2种；u=1时：若w=4，t，v的取值的排列情况有1×4=4种；若w=3，有1×3=3种；若w=2，有1×2=2种；若w=1，有1×1=1种；∴card（F）=100；∴card（E）+card（F）=200、故选：A、点评：考查描述法表示集合，分布计数原理的应用，注意要弄清讨论谁，做到不重不漏、二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）11、（5分）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为（﹣4，1）、（用区间表示）题目分析：首先将二次项系数化为正数，然后利用因式分解法解之、试题解答解：原不等式等价于x2+3x﹣4＜0，所以（x+4）（x﹣1）＜0，所以﹣4＜x＜1；所以不等式的解集为（﹣4，1）；故答案为：（﹣4，1）、点评：本题考查了一元二次不等式的解法；一般的首先将二次项系数化为正数，然后选择适当的方法解之；属于基础题、12、（5分）已知样本数据x1，x2，…，x n的均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为11、题目分析：利用平均数计算公式求解试题解答解：∵数据x1，x2，…，x n的平均数为均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为：=5×2+1=11；故答案为：11、点评：本题考查数据的平均数的求法，是基础题、13、（5分）若三个正数a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则b= 1、题目分析：由已知可得，b2=ac，代入已知条件即可求解b试题解答解：∵三个正数a，b，c 成等比数列，∴b2=ac，∵a=5+2，c=5﹣2，∴=1，故答案为：1、点评：本题主要考查了等比数列的性质，属于基础试题坐标系与参数方程选做题14、（5分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系、曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为（2，﹣4）、题目分析：曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，把代入可得直角坐标方程、曲线C2的参数方程为（t为参数），化为普通方程：y2=8x、联立解出即可、试题解答解：曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，化为直角坐标方程：x+y+2=0、曲线C2的参数方程为（t为参数），化为普通方程：y2=8x、联立，解得，则C1与C2交点的直角坐标为（2，﹣4）、故答案为：（2，﹣4）、点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题、几何证明选讲选做题15、如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D、若AB=4、CE=2，则AD=3、题目分析：连接OC，则OC⊥DE，可得，由切割线定理可得CE2=BE•AE，求出BE，即可得出结论、试题解答解：连接OC，则OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴由切割线定理可得CE2=B E•AE，∴12=BE•（BE+4），∴BE=2，∴OE=4，∴，∴AD=3故答案为：3、点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础、三、解答题（共6小题，满分80分）16、（12分）已知tanα=2、（1）求tan（α+）的值；（2）求的值、题目分析：（1）直接利用两角和的正切函数求值即可、（2）利用二倍角公式化简求解即可、试题解答解：tanα=2、（1）tan（α+）===﹣3；（2）== ==1、点评：本题考查两角和的正切函数的应用，三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，考查计算能力、17、（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图、（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？题目分析：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数、试题解答解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户、点评：本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题、18、（14分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3、（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA的距离、题目分析：（1）利用四边形ABCD是长方形，可得BC∥AD，根据线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）利用平面与平面垂直的性质定理得出BC⊥平面PDC，即可证明BC⊥PD；（3）利用等体积法，求点C到平面PDA的距离、试题解答（1）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA；（2）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC⊂面ABCD，所以BC⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD；（3）解：取CD的中点E，连接AE和PE，因为PD=PC，所以PE⊥CD，在Rt△PED中，PE===、因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PDC，所以PE⊥平面ABCD、由（2）知：BC⊥平面PDC，由（1）知：BC∥AD，所以AD⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD、设点C到平面PDA的距离为h、因为V C=V P﹣ACD，﹣PDA所以，所以h==，所以点C到平面PDA的距离是、点评：本题考查平面与平面垂直的性质，线面垂直与线线垂直的判定，考查三棱锥体积等知识，注意解题方法的积累，属于中档题、19、（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*、已知a1=1，a2=，a3=，且+5S n=8S n+1+S n﹣1、当n≥2时，4S n+2（1）求a4的值；﹣a n}为等比数列；（2）证明：{a n+1（3）求数列{a n}的通项公式、题目分析：（1）直接在数列递推式中取n=2，求得；+5S n=8S n+1+S n﹣1（n≥2），变形得到4a n+2+a n=4a n+1（n≥2），进一步得（2）由4S n+2到，由此可得数列{}是以为首项，公比为的等比数列；（3）由{}是以为首项，公比为的等比数列，可得、进一步得到，说明{}是以为首项，4为公差的等差数列，由此可得数列{a n}的通项公式、试题解答（1）解：当n=2时，4S4+5S2=8S3+S1，即，解得：；+5S n=8S n+1+S n﹣1（n≥2），∴4S n+2﹣4S n+1+S n﹣S n﹣1=4S n+1﹣4S n （2）证明：∵4S n+2（n≥2），即4a n+a n=4a n+1（n≥2），+2∵，∴4a n+a n=4a n+1、+2∵=、∴数列{}是以=1为首项，公比为的等比数列；（3）解：由（2）知，{}是以为首项，公比为的等比数列，∴、即，∴{}是以为首项，4为公差的等差数列，∴，即，∴数列{a n}的通项公式是、点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，关键是灵活变形能力，是中档题、20、（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B、（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由、题目分析：（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论、试题解答解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点、理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为[﹣，]∪{﹣，}、点评：本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题、21、（14分）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）、（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数、题目分析：（1）利用f（0）≤1，得到|a|+a﹣1≤0，对a分类讨论求解不等式的解集即可、（2）化简函数f（x）的解析式，通过当x＜a时，当x≥a时，利用二次函数f （x）的对称轴求解函数的单调区间即可、（3）化简F（x）=f（x）+，求出函数的导数，利用导函数的符号，通过a的讨论判断函数的单调性，然后讨论函数的零点的个数、试题解答解：（1）若f（0）≤1，即：a2+|a|﹣a（a﹣1）≤1、可得|a|+a﹣1≤0，当a≥0时，a，可得a∈[0，]、当a＜0时，|a|+a﹣1≤0，恒成立、综上a、∴a的取值范围：；（2）函数f（x）==，当x＜a时，函数f（x）的对称轴为：x==a+＞a，y=f（x）在（﹣∞，a）时是减函数，当x≥a时，函数f（x）的对称轴为：x==a﹣＜a，y=f（x）在（a，+∞）时是增函数，（3）F（x）=f（x）+=，，当x＜a 时，=，所以，函数F（x）在（0，a）上是减函数、当x≥a时，因为a≥2，所以，F′（x）=═，所以，函数F（x）在（a，+∞）上是增函数、F（a）=a﹣a2+、当a=2时，F（2）=0，此时F（x）有一个零点，当a＞2时，F（a）=a﹣a2+，F′（a）=1﹣2a ==、所以F（ah）在（2，+∞）上是减函数，所以F（a ）＜，即F（a）＜0，当x＞0且x→0时，F（x）→+∞；当x→+∞时，F（x）→+∞，所以函数F（x）有两个零点综上所述，当a=2时，F（x）有一个零点，a＞2时F（x）有两个零点点评：本题考查的知识点比较多，包括绝对值不等式的解法，函数的零点，函数的导数以及导数与函数的单调性的关系，考查分类讨论思想的应用，函数与方程的思想，转化思想的应用，也考查化归思想的应用21/ 21。
00 2015年广州市高考模拟考试数学(文科)参考答案
„„„„„„„„„„„„„„„„2 分
„„„„„„„„„5 分
由（*）得 1 4k
2
2
州
x
2
8kmx 4m2 4 0 ．
2
从而 8km 4 1 4k
4m
2
4 0 ,化简得 m2 1 4k 2 ．①
an
gz
„„„„„„„„„„„„„„6 分 „„„„„„„7 分
∵
∴ 2 sin
. 2 5
广
∴ cos
3 10 . 10
∵
∴ sin sin cos cos sin
:/ /
∴ sin 1 cos
ww w
0, ， 2
2
.g u
10 . 10
ht tp
得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
研
一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分． 题号 答案 1 B 2 B 3 C
xM
广
8km 4km 4k 2 m m ， . „„„„„9 分 y kx m m M M 2 2 2 1 4k 1 4k 1 4k 2 2 1 4k
∴ 点 M 的坐标为
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广东省广州市高考数学二模试卷 文(含解析)
广东省广州市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）sin240°的值为（）A ．B ．C ． ﹣D ． ﹣2．（5分）已知函数f （x ）=3x （x ∈R ）的反函数为g （x ），则g （）=（）A ． ﹣log 32B ． log 32C ． ﹣log 23D ． log 23 3．（5分）已知双曲线C ：﹣=1经过点（4，3），则双曲线C 的离心率为（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的z 的值是（）A ． 21B ． 32C ． 34D ． 645．（5分）已知命题p ：∀x ∈R ，x 2＞0，命题q ：∃α，β∈R ，使tan （α+β）=tan α+tan β，则下列命题为真命题的是（）A ． p ∧qB ． p∨（￢q ）C ． （￢p ）∧qD ． p ∧（￢q ）6．（5分）设集合A={x|a ﹣2＜x ＜a+2}，B={x|x 2﹣4x ﹣5＜0}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围为（）A ． [1，3]B ． （1，3）C ． [﹣3，﹣1]D ． （﹣3，﹣1）7．（5分）已知数列{a n }满足a 1=3，且a n+1=4a n +3（n ∈N *），则数列{a n }的通项公式为（）A ． 22n ﹣1+1B ． 22n ﹣1﹣1C ． 22n +1D ． 22n ﹣18．（5分）已知函数f （x ）=﹣x 2+2x+3，若在区间[﹣4，4]上任取一个实数x 0，则使f （x 0）≥0成立的概率为（）A ．B ．C ．D ． 19．（5分）如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长VA=3，点C在母线长VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）A．B．C．D．10．（5分）设函数f（x）=x3+3ax2+3bx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]，则点（a，b）在aOb平面上所构成区域的面积为（）A．B．C．D．1二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）已知i为虚数单位，复数z=，则|z|=．12．（5分）已知向量=（x，1），=（2，y），若+=（1，﹣1），则x+y=．13．（5分）某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y（km）与刹车时的速度x（km/h）的关系可以用y=ax2来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为b （km）．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b（km），则这辆车的行驶速度为km/h．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，点E为边DC的中点，AE与BC的延长线交于点F，且AE平分∠BAD，作DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AF的长为．（坐标系与参数方程选做题）15．在平面直角坐标系中，已知曲线C1和C2的方程分别为（t为参数）和（t为参数），则曲线C1和C2的交点有个．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a：b：c=7：5：3．（1）求cosA的值；（2）若△ABC外接圆的半径为14，求△ABC的面积．17．（12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如图表所示．年龄分组抽取份数答对全卷的人数答对全卷的人数占本组的概率[20，30）40 28 0.7[30，40）n 27 0.9[40，50）10 4 b[50，60] 20 a 0.1（1）分别求出n，a，b，c的值；（2）从年龄在[40，60]答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[50，60]的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率．18．（14分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AM=AN=1．（1）证明：M，N，C，D1四点共面；（2）平面MNCD1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比．19．（14分）已知点P n（a n，b n）（n∈N*）在直线l：y=3x+1上，P1是直线l与y轴的交点，数列{a n}是公差为1的等差数列．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若f（n）=是否存在k∈N*，使f（k+3）=4f（k）成立？若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．20．（14分）已知函数f（x）=lnx+ax2+x（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=1处的切线平行于x轴，求实数a的值，并求此时函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）的单调区间．21．（14分）已知圆心在x轴上的圆C过点（0，0）和（﹣1，1），圆D的方程为（x﹣4）2+y2=4 （1）求圆C的方程；（2）由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A，B两点，求|AB|的取值范围．广东省广州市2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）sin240°的值为（）A．B．C．﹣D．﹣考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣，故选：D．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．（5分）已知函数f（x）=3x（x∈R）的反函数为g（x），则g（）=（）A．﹣log32 B．log32 C．﹣log23 D．log23考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用反函数的定义，求解即可．解答：解：函数f（x）=3x（x∈R）的反函数为g（x），可知，=3x，解得x=﹣log32．故选：A．点评：本题考查反函数与原函数的关系，考查计算能力．3．（5分）已知双曲线C：﹣=1经过点（4，3），则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的方程，然后求解离心率．解答：解：双曲线C：﹣=1经过点（4，3），可得，解得b2=3，双曲线C：﹣=1，可得a=2，c=，e=．故选：C．点评：本题考查双曲线方程的求法，离心率的求法，考查计算能力．4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的z的值是（）A．21 B．32 C．34 D．64考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，z的值，当z=32时，不满足条件z＜20，退出循环，输出z的值为32．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=1，y=2，z=2满足条件z＜20，x=2，y=2，z=4满足条件z＜20，x=2，y=4，z=8满足条件z＜20，x=4，y=8，z=32不满足条件z＜20，退出循环，输出z的值为32．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的x，y，z的值是解题的关键，属于基础题．5．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2＞0，命题q：∃α，β∈R，使tan（α+β）=tanα+tanβ，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：分别判断命题p，q的真假，然后利用复合命题与简单命题真假之间的关系进行判断．解答：解：命题p：∀x∈R，x2＞0，为假命题，故￢p为真命题；命题q：∃α，β∈R，使tan（α+β）=tanα+tanβ，当α=﹣β成立，所以命题q为真命题，￢q为假命题，则p∧q为假命题，p∨（￢q）为假命题，￢p∧q为真命题，p∧￢q为假命题，故选：C．点评：本题主要考查复合命题的真假判断，要求熟练掌握复合命题与简单命题真假之间的关系6．（5分）设集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x2﹣4x﹣5＜0}，若A⊆B，则实数a的取值范围为（）A．[1，3] B．（1，3）C．[﹣3，﹣1] D．（﹣3，﹣1）考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：先解出集合B={x|﹣1＜x＜5}，而集合A显然不是空集，从而由A⊆B便得到，解该不等式组即得实数a的取值范围．解答：解：B={x|﹣1＜x＜5}，A={x|a﹣2＜x＜a+2}；若A⊆B，则：；∴1≤a≤3；∴实数a的取值范围为[1，3]．故选A．点评：考查一元二次不等式的解法，描述法表示集合，空集的概念，以及子集的概念，也可借助数轴．7．（5分）已知数列{a n}满足a1=3，且a n+1=4a n+3（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．22n﹣1+1 B．22n﹣1﹣1 C．22n+1 D．22n﹣1考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列递推式构造等比数列{a n+1}，求其通项公式后可得数列{a n}的通项公式．解答：解：由a n+1=4a n+3（n∈N*），得a n+1+1=4（a n+1），∵a1=3，∴a1+1=3+1=4≠0，则数列{a n+1}是以4为首项，以4为公比的等比数列，∴，则．故选：D．点评：本题考查了数列递推式，考查了构造等比数列求数列的通项公式，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=﹣x2+2x+3，若在区间[﹣4，4]上任取一个实数x0，则使f（x0）≥0成立的概率为（）A．B．C．D．1考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意，本题符合几何概型的特点，只要求出区间长度，由公式解答．解答：解：已知区间[﹣4，4]长度为8，满足f（x0）≥0，f（x）=﹣x02+2x0+3≥0，解得﹣1≤x0≤3，对应区间长度为4，由几何概型公式可得，使f（x0）≥0成立的概率是=．故选：B．点评：本题考查了几何概型的运用；根据是明确几何测度，是利用区域的长度、面积函数体积表示，然后利用公式解答．9．（5分）如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长VA=3，点C在母线长VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）A．B．C．D．考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解答：解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为α，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π=3α，解得：α=，∴∠AOA′=，则∠1=，过C作CF⊥OA，∵C为OB的三等分点，BO=3，∴OC=1，∵∠1=60°，∴∠OCF=30°，∴FO=，∴CF2=CO2﹣OF2=，∵AO=3，FO=，∴AF=，在Rt△AFC中，利用勾股定理得：AC2=AF2+FC2=7，则AC=．故选：B．点评：考查了平面展开﹣最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．10．（5分）设函数f（x）=x3+3ax2+3bx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]，则点（a，b）在aOb平面上所构成区域的面积为（）A．B．C．D．1考点：利用导数研究函数的极值；简单线性规划．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域，求解面积即可；解答：解：函数f（x）=x3+3ax2+3bx，可得f′（x）=3x2+6ax+3b，依题意知，方程f′（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f′（﹣1）≥0，f′（0）≤0，f′（1）≤0，f′（2）≥0．由此得b，c满足的约束条件为，满足这些条件的点（a，b）的区域为图中阴影部分．阴影部分的面积为：=1．故选：D．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域，是中档题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）已知i为虚数单位，复数z=，则|z|=．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的求模运算法则，求解即可．解答：解：i为虚数单位，复数z=，则|z|===．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．12．（5分）已知向量=（x，1），=（2，y），若+=（1，﹣1），则x+y=﹣3．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的坐标运算及其相等即可得出．解答：解：∵+=（x，1）+（2，y）=（x+2，1+y）=（1，﹣1），∴x+2=1，1+y=﹣1，∴x=﹣1，y=﹣2．∴x+y=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了向量的坐标运算及其相等，属于基础题．13．（5分）某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y（km）与刹车时的速度x（km/h）的关系可以用y=ax2来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为b （km）．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b（km），则这辆车的行驶速度为60km/h．考点：根据实际问题选择函数类型．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：由题意，b=3600a，利用一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b（km），可得3b=ax2，代入即可得出结论．解答：解：由题意，b=3600a，∵一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b（km），∴3b=ax2，∴3×3600a=ax2，∴x=60．故答案为：60．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，点E为边DC的中点，AE与BC的延长线交于点F，且AE平分∠BAD，作DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AF的长为4．考点：三角形中的几何计算．专题：证明题．分析：由AE为角平分线，得到一对角相等，再由四边形ABCD为平行四边形，得到AD∥BF，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DE，由F为DC 中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出△ADE为等腰三角形，根据“三线合一”得到G为AE 中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AE的长，再由△ADE≌△FCE得出AE=FE，即可求出AF的长．解答：解：∵AE为∠DAB的平分线，∴∠DAF=∠BAF，∵DC∥AB，∴∠BAF=∠DEA，∴∠DAF=∠DEA，∴AD=ED，又E为DC的中点，∴DE=CE，∴AD=DE=DC=AB=2，在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，则AE=2AG=2，∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AE=FE，则AF=2AE=4．故答案是：4．点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．（坐标系与参数方程选做题）15．在平面直角坐标系中，已知曲线C1和C2的方程分别为（t为参数）和（t为参数），则曲线C1和C2的交点有1个．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把参数方程转化为直角坐标方程，进一步建立方程组转化成一元二次方程，最后利用判别式求出曲线的交点的个数．解答：1解：已知曲线C1方程（t为参数）转化为直角坐标方程为：x﹣y﹣2=0．曲线C2的方程（t为参数），转化为直角坐标方程为：x2=8y所以：，整理得：x2﹣8x+16=0所以：△=64﹣64=0则：曲线C1和C2的交点有1个．故答案为：1点评：本题考查的知识要点：参数方程与直角坐标方程的互化，方程组的应用，利用一元二次方程的判别式求方程的根的个数．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a：b：c=7：5：3．（1）求cosA的值；（2）若△ABC外接圆的半径为14，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）设a=7t，b=5t，c=3t，由余弦定理即可求cosA的值．（2）由（1）可得sinA的值，利用已知及正弦定理求出sinA与sinB及sinC的值，再由正弦定理可求a，b的值，利用三角形面积公式即可求出△ABC的面积．解答：解：（1）由题意可设：a=7t，b=5t，c=3t，则由余弦定理可得：cosA===﹣．（2）由（1）可得：sinA==，由正弦定理可得：a：b：c=sinA：sinB：sinC=7：5：3．从而可得：sinB==，sinC==，由正弦定理=2R，以及R=14，得a=2RsinA=14，b=2RsinB=10，∴S△ABC=absinC==45．点评：本题2015届中考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理等知识的综合应用，属于基本知识的考查．17．（12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如图表所示．年龄分组抽取份数答对全卷的人数答对全卷的人数占本组的概率[20，30）40 28 0.7[30，40）n 27 0.9[40，50）10 4 b[50，60] 20 a 0.1（1）分别求出n，a，b，c的值；（2）从年龄在[40，60]答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[50，60]的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率直方分布图，通过概率的和为1，求求出n，a，b，c的值，（2）年龄在[40，50）中答对全卷的4人记为A，B，C，D，年龄在[50，60]中答对全卷的2人记为a，b，分别列举出所有的基本事件，根据概率公式计算即可．解答：解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以n=100﹣（40+10+20）=30．年龄在[40，50）中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以b=4÷10=0.4．年龄在[50，60]中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1，所以a÷20=0.1，解得a=2．根据频率直方分布图，得（0.04+0.03+c+0.01）×10=1，解得c=0.02．（2）因为年龄在[40，50）与[50，60]中答对全卷的人数分别为4人与2人．年龄在[40，50）中答对全卷的4人记为A，B，C，D，年龄在[50，60]中答对全卷的2人记为a，b，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共15种．其中所抽取年龄在[50，60）的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，ab共9种．故所求的概率为=．点评：本题考查频率分布直方图，古典概型得概率问题，关键是不重不漏得列举基本事件，属于基础题．18．（14分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AM=AN=1．（1）证明：M，N，C，D1四点共面；（2）平面MNCD1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连接A1B，由正方体可得四边形A1BCD1是平行四边形．得到A1B∥D1C．在△ABA1中，AM=AN=1，AA1=AB=3，可得MN∥A1B．MN∥D1C．即可证明．（2）由平面MNCD1四点共面；将正方体分成两部分的下部分体积为V1，上部分体积为V2，AMN ﹣DCD1为三棱台．利用体积计算公式即可得出．解答：（1）证明：连接A1B，在四边形A 1BCD1中，，∴四边形A1BCD1是平行四边形．∴A1B∥D1C．在△ABA1中，AM=AN=1，AA1=AB=3，∴，∴MN∥A1B．∴MN∥D1C．∴M，N，C，D1四点共面；（2）由平面MNCD1四点共面；将正方体分成两部分的下部分体积为V1，上部分体积为V2，AMN﹣DCD1为三棱台．∵S△AMN====S1，===S2．∴V1===，﹣V1==．∴=．点评：本题考查了线面平行的判定定理、正方体的性质、三棱台的体积计算公式，考查了推理能力与体积计算公式，属于中档题．19．（14分）已知点P n（a n，b n）（n∈N*）在直线l：y=3x+1上，P1是直线l与y轴的交点，数列{a n}是公差为1的等差数列．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若f（n）=是否存在k∈N*，使f（k+3）=4f（k）成立？若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．考点：数列与函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用已知条件求出a1=0，b1=1，然后求出a n，通过点P n（a n，b n）在直线l：y=3x+1上，求出b n．（2）化简f（x）=，假设存在k∈N*，使f（k+3）=4f（k）成立，通过①当k为奇数时，②当k为偶数分别求解k即可．解答：（本小题满分14分）解：（1）因为P1（a1，b1）是直线l：y=3x+1与y轴的交点（0，1），所以a1=0，b1=1．…（2分）因为数列{a n}是公差为1的等差数列，所以a n=n﹣1．…（4分）因为点P n（a n，b n）（n∈N*）在直线l：y=3x+1上，所以b n=3a n+1=3n﹣2．所以数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=n﹣1，b n=3n﹣2k∈N*．…（6分）（2）因为f（x）=假设存在k∈N*，使f（k+3）=4f（k）成立．…（7分）①当k为奇数时，k+3为偶数，则有3（k+3）﹣2=4（k﹣1），解得k=11，符合题意．…（10分）②当k为偶数时，k+3为奇数，则有（k+3）﹣1=4（3k﹣2），解得k=，不合题意．…（13分）综上可知，存在k=11符合条件．…（14分）点评：本题考查数列与函数相结合，数列的通项公式的求法，分类讨论思想的应用，考查计算能力．20．（14分）已知函数f（x）=lnx+ax2+x（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=1处的切线平行于x轴，求实数a的值，并求此时函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）的单调区间．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由条件求得f′（x），再根据有f′（1）=0，求得a的值．（2）由条件求得f′（x），分类讨论、利用导数的符号求粗函数的单调区间．解答：解：（1）函数f（x）=lnx+ax2+x的定义域为（0，+∞），f′（x）=+2ax+1，依题意有f′（1）=1+2a+1=0，解得a=﹣1．此时，f′（x）=，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，∴当x=1时，函数f（x）取得极大值，极大值为0．（2）因为f′（x）=，（ⅰ）当a≥0时，因为x∈（0，+∞），所以f′（x）=＞0，此时函数f（x）在（0+∞）是增函数．（ⅱ）当a＜0时，令f′（x）=0，则2ax2+x=1=0．因为△=1﹣8a＞0，此时，f′（x）==，其中，x1=﹣，x2=﹣．因为a＜0，所以 x2＞0，又因为 x1•x2=＜0，所以x1＜0．∴当0＜x1＜x2时，f′（x）＞0，当x1＞x2时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，x2）上是增函数，在（x2，+∞）上是减函数．综上可知，当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，﹣），单调递减区间是（﹣，+∞）．点评：本题主要考查求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（14分）已知圆心在x轴上的圆C过点（0，0）和（﹣1，1），圆D的方程为（x﹣4）2+y2=4 （1）求圆C的方程；（2）由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A，B两点，求|AB|的取值范围．考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：（1）求出A（0，0）和B（﹣1，1）的垂直平分线方程，得到其与x轴的交点坐标，即圆C的圆心坐标，进一步求得半径，代入圆的标准方程得答案；（2）设出P点坐标，然后求出切线方程，得到切线在y轴上的截距，利用换元法和配方法求得|AB|的取值范围．解答：解：（1）过两点A（0，0）和B（﹣1，1）的直线的斜率为﹣1，则线段AB的中垂线方程为：，整理得：y=x+1．取y=0，得x=﹣1．∴圆C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1，∴圆C的方程为：（x+1）2+y2=1；（2）设P（x0，y0），A（0，a），B（0，b），则直线PA方程为，整理得：（y0﹣a）x﹣x0y+ax0=0．∵直线PA与圆C相切，可得，化简得；同理可得PB方程，因而a，b为的两根，∴丨AB丨=|a﹣b|=，令t=x0+2∈[4，8]，则，配方可求得．故答案为：[]．点评：本题考查了圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，考查了数学转化、化归等思想方法，是中档题．。
2015年广东高考(文科)数学试卷及答案-解析版【1】汇编
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.若集合{1,1}M =-，{2,1,0}N =-,则M N ⋂=A.{0,1}-B.{1}C.{0}D.{1,1}-【答案】B【解析】}1{=⋂N M 2.已知i 是虚数单位，则复数2(1)i +=A.2iB.2i -C.2D.2-【答案】A 【解析】()()i i i i 221122=++=+3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A.sin 2y x x =+2B.cos y x x =- 1C.22x x y =+ 2D.sin y x x =+【答案】D 【解析】A 为奇函数，B 和C 为偶函数，D 为非奇非偶函数4. 若变量,x y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为A.2B.5C.8D.10【答案】B【解析】由题意可做出如图所示阴影部分可行域，则目标函数 23z x y =+过点（4，-1）时z 取得最大值为max 243(1)5z =⨯+⨯-=5. 设ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若=b c <，则b =A.3B. C.2 D.【答案】C 【解析】由余弦定理得，23344122cos 2222=-+=-+=bb bc a c b A ，化简得0862=+-b b ，解得42或=b ，因为b c <，2b =所以，6. 若直线1l 与2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是12A.,l l l 与都不相交 12B.,l l l 与都相交12C.,l l l 至多与中的一条相交12D.,l l l 至少与中的一条相交 【答案】D7. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为A.0.4B.0.6C.0.8D.1【答案】B 【解析】设5件产品中2件次品分别标记为A ，B ，剩余的3件合格品分别设为a ，b ，c. 则从5件产品中任取2件，共有10种情况，分别为（A ，a ）、(A ，b)、（A ，c ）、（B ，a ）、（B ，b ）、（B ，c ）、（a ，b ）、（a ，c ）、（b ，c ）、（A ，B ）其中，恰有一件次品的情况有6种，分别是（A ，a ）、(A ，b)、（A ，c ）、（B ，a ）、（B ，b ）、（B ，c ），则其概率为0.6106= 8. 已知椭圆2221025x y m m +=>（）的左焦点为1-F （4,0），则=m A.2B.3C.4D.9【答案】B【解析】因为椭圆的左焦点为（-4，0），则有4=c ，且椭圆的焦点在x 轴上，所以有916252522=-=-=c m ，因为,0>m 所以3=m9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，(1,2),(2,1)AB AD 则AD ACA.5B.4C.3D.2【答案】A【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以)1,3()1,2()2,1(-=+-=+=AD AB AC ，则5)1(132=-⨯+⨯=⋅AC AD10. 若集合{}(,,,)|04,04,04,,,E p q r s p s q s r s p q r s N =≤<≤≤<≤≤<≤∈且，{}(,,,)|04,04,,,,F t u v w t u v w t u v w N =≤<≤≤<≤∈且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card E card F +=A.200B.150C.100D.50 【答案】A【解析】当4s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有44464⨯⨯=种；当3s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有33327⨯⨯=种；当2s =时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2228⨯⨯=种；当1s =时，p ，q ，r 都取0，有1种，所以()card 642781100E =+++=.当0t =时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种；当1t =时，u 取2，3，4中的一个，有3种；当2t =时，u 取3，4中的一个，有2种；当3t =时，u 取4，有1种，所以t 、u 的取值有123410+++=种同理，v 、w 的取值也有10种，所以()card F 1010100=⨯=所以()()card card F 100100200E +=+=二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11-13题）11. 不等式2340x x --+>的解集为 .（用区间表示）【答案】（-4,1）【解析】解不等式2340x x --+> 得14<<-x ，所以不等式的解集为（-4，1）12. 已知样本数据12,,,n x x x 的均值5x =，则样本1221,21,,21n x x x +++的均值为 .【答案】10【解析】由题意知，当样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =时，样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为2125111x +=⨯+=13. 若三个正数a,b,c 成等比例，其中526,526a c =+=-，则b = .【答案】1【解析】由等比中项性质可得，1)62(5)625)(625(222=-=-+==ac b ，由于b 为正数，所以b=1（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程(cos sin )2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）. 则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．【答案】（2，-4）【解析】曲线1C 的直角坐标系方程为2-=+y x ，曲线2C 的直角坐标方程为x y 82=.联立方程⎩⎨⎧=-=+x y y x 822，解得⎩⎨⎧-==42y x ，所以1C 与2C 交点的直角坐标为（2，-4） 15. (几何证明选讲选做题)如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 延长线上一点，过点E 作圆O 的切线，切点为C 过点A 作直线EC 的垂线，垂足为D ，若4,23AB CE ==，则AD = .【答案】3【解析】由切割线定理得：2CE =BE AE ，所以，BE BE （+4）=12解得：BE=2BE 或=-6(舍去)连结OC ，则OC DE AD DE OC//AD ∴⊥，⊥，OC OE 26=,3AD AE 4OC AE AD OE ⨯∴∴===图1三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16.（本小题满分12分）已知tan 2.（1）求tan()4的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos21的值. 【解析】（1） tan tan 4tan()41tan tan 4tan 11tan παπαπααα++=-+=-∵ tan 2α= ∴21tan()34121πα++==-- （2） 222222222sin sin cos cos21sin 1sin cos (cos sin )cos sin cos cos sin sin cos 2cos sin αααααααααααααααααα+--=-+--=-+-+=-+∵sin22sin cos ααα= ∴22222sin cos sin cos -2cos sin 2tan =tan 2tan 221222ααααααααα=+-+⨯==-+原式 17.（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160,180，180,200，200,220，220,240，240,260，260,280，280,300分组的频率分布直方图如图2，（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为220,240，240,260，260,280，280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220,240的用户中应抽取多少户？【解析】（1）（0.002+0.0025+0.005+x +0.0095+0.011+0.0125）⨯20=1∴0.0075x =（2）众数：230中位数：取频率直方图的面积平分线0.0020.00950.0110.0225110.0252020.0250.02250.00250.0025202202240.0125++=⨯=∴-=⨯+= （3）[220,240):0.01252010025⨯⨯=[240,260):0.00752010015⨯⨯=[260,280):0.0052010010⨯⨯=[280,300):0.0025201005⨯⨯=共计：55户∴[220,240)抽取：2511555⨯=户 18.（本小题满分14分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD=PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.（1）证明：BC ∥平面PDA ；（2）证明：BC ⊥PD ；（3）求点C 到平面PDA 的距离.【解析】（1）∵ 四边形ABCD 为长方形∴BC AD∵BC PDA AD PDA ⊄⊂平面，平面∴BC PDA 平面（2）取DC 中点E ，连接PE∵PC=PD∴ PE ⊥CD∵ 面PCD ⊥面ABCD ，面PCD ⋂面ABCD=CDPE ⊂面PCD ，PE ⊥CD∴ PE ⊥面ABCD而BC ⊂面ABCD∴ BC ⊥PE∵ BC ⊥CD ，CD ⋂PE=E∴ BC ⊥面PCDPD ⊂面PCD∴ BC ⊥PD（3）由（2）得：PE 为面ABCD 的垂线∴P-ADC ΔACD 1V PE S 3=⨯⨯ 在等腰三角形PCD 中，PE=7，ACD 11S AD DC 36922∆=⨯⨯=⨯⨯= ∴P-ADC 1V 79373=⨯⨯= 设点C 到平面PDA 距离为h∴C-PDA PDA 1V S 3h ∆=⨯⨯ 而PDA 11S AD PD 34622∆=⨯⨯=⨯⨯= ∴13763h =⨯⨯∴h =，即：点C 到平面PDA19.（本小题满分14分） 设数列n a 的前n 项和为*,n S n N ，已知123351,,,24a a a 且当2n 时，211458n n n n S S S S . （1）求4a 的值；（2）证明：112n n a a 为等比数列；（3）求数列n a 的通项公式. 【解析】 （1）令n=2,则：43123123112124444348535151244135122155481542374237837371578848S S S S S a a a S a S a a S S S a S =+-=++=++====+=+=∴=⨯+-⨯==∴=-=-=（2）211112211211121321212112114584584584444{44}5344=4-4+1=04244=042=2-42=12-n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n nS S S S S S S S a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++-+--++-+++-+++++++++++=+⎧⎨+=+⎩∴+=+∴-+=-+∴-+-+⨯⨯∴-+∴--∴为常数列211211114-2=112-21-12=12-21{-}2n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++++∴∴∴（）（）为等比数列 （3）由（2）得：11{-}2n n a a +是首相为：2113-=22a a ，公比为12的等边数列 111411()()22{}2,411()22=2+41()2121()()221n n n nn nn n n n n a a a a a n n n a n ++∴-=∴=∴-∴==-为首相公差为的等差数列（+1）=4-24-2 20．（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x 相交于不同的两点A ，B. （1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L yk x 与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】（1） 2222650,34x y x x y +-+=-+=∴配方得：（）圆心坐标为（3,0）（2）由题意得：直线l 的斜率一定存在，设直线l 的斜率为k ，则l :y kx =设1122(,),(,),(,)A x y B x y M x y（3）曲线C ：22530(,3]3x x y x -+=∈2221233()()220354303543x y k k k -+=-==--==-的两个极限值：12122222222122212222222222222650650(1)650661161313131()30(1)6500,,364(1)5011x x x y y y y kxx y x x k x x k x x x x k k ky y k x k ky k x yx x x y k x x k k +⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩=⎧⎨+-+=⎩∴+-+=∴+-+=-∴+=-=++∴+=+⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩∴=+∴-+=+-+=∴∆>-+>∴≤+<有解即2229535(,3]13530(,3]3x k x x y x ∴=∈+∴-+=∈轨迹方程：3|04|323433[{,}44k k k k --∴=±∴∈⋃-相切时： 21.（本小题满分14分）设a 为实数，函数2()()(1)f x x a x a a a .（1）若(0)1f ，求a 的取值范围；（2）讨论()f x 的单调性；（3）当2a 时，讨论4()f x x 在区间0,内的零点个数.【解析】（1） 222(0)||(1)||||f a a a a a a a a a a=+--=+-+=+10,21,21020,1,012a a a a a a a a R a a ≥≤≤∴≤≤<+≤∈∴<≤若即：若即：-综上所述：（2）22()()(1)()()()()(1)()x a x a a a x a f x x a x a a a x a ⎧-+---≥⎪=⎨-----<⎪⎩22(12)()()(12)2()x a x x a f x x a x a x a ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩ 对称轴分别为：12122a x a a +==+> ∴(,)a -∞在区间上单调递减，,a +∞在区间（）上单调递增（3）由（2）得()f x 在(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，所以2min ()()f x f a a a ==-.①当2a =时，-22()(m in==）f x f ，⎩⎨⎧<+-≥-=24523)(22x x x x x x x f ，， 当04)(=+x x f 时，即)0(4)(>-=x xx f . 因为()f x 在(0,2)上单调递减，所以()(2)2f x f >=- 令xx g 4)(-=，则)(x g 为单调递增函数，所以在区间（0，2）上，2)2()(-=<g x g ， 所以函数)(x f 与)(x g 在（0，2）无交点.当2x ≥时，令xx x x f 43)(2-=-=，化简得32340x x -+=，即()()0122=+-x x ，则解得2=x 综上所述，当2a =时，xx f 4(+）在区间()+∞,0有一个零点x=2. ②当2a >时，2min ()()f x f a a a ==-，当(0,)x a ∈时，(0)24f a => ，0)(2<-=a a a f ， 而x x g 4)(-=为单调递增函数，且当),0(a x ∈时，04)(<-=xx g 故判断函数)()(x g x f 与是否有交点，需判断2)(a a a f -=与a a g 4)(-=的大小. 因为0)2)(2()4()4(2232<++--=---=---a a a a a a a a a a 所以24()f a a a a=-<-,即）a g a f ()(< 所以，当),0(a x ∈时，)()(x g x f 与有一个交点；当),(+∞∈a x 时，)(x f 与)(x g 均为单调递增函数，而04)(<-=xx g 恒成立 而令a x 2=时，02)1()2(2>=--+=a a a a a a f ，则此时，有)2()2(a g a f >，所以当),(+∞∈a x 时，)()(x g x f 与有一个交点；故当2>a 时，()y f x =与x x g 4)(-=有两个交点. 综上，当2a =时，4()f x x +有一个零点2x =； 当2>a ，4()f x x+有两个零点.。
2015广东省广州市高考数学二模试卷(文科)(含解析)
2015年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．sin 240︒的值为（）．AB ．12C ．12-D． 【答案】D【解析】解：sin 240sin(18060)sin 60︒=︒+︒=-︒=． 故选D ．2．已知函数()3()x f x x =∈R 的反函数为()g x ，则12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）．A ．3log 2-B ．3log 2C ．2log 3-D ．2log 3【答案】A【解析】解：函数()3()x f x x =∈R 的反函数为()g x ，可知，132x ，解得3log 2x =-．故选A ．3．已知双曲线222:14x y C b-=经过点(4,3)，则双曲线C 的离心率为（）．A ．12BCD【答案】C 【解析】解：双曲线222:14x y C b-=经过点(4,3)，可得2224314b-=，解得23b =，双曲线22:143x y C -=，可得2a =，ce =故选C ．4．执行如图所示的程序框图，则输出的z 的值是（）．【答案】BA ．21B ．32C ．34D ．64【解析】解：模拟执行程序框图，可得 1x =，2y =，2z =，满足条件20z <，2x =，2y =，4z =， 满足条件20z <，2x =，4y =，8z =， 满足条件20z <，4x =，8y =，32z =， 不满足条件20z <，退出循环，输出z 的值为32． 故选B ．5．已知命题:p x ∀∈R ，20x >，命题:q α∃，β∈R ，使tan()tan tan αβαβ+=+，则下列命题为真命题的是（）．A ． p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝【答案】C【解析】解：命题:p x ∀∈R ，20x >，为假命题，故p ⌝为真命题， 命题:q α∃，β∈R ，使tan()tan tan αβαβ+=+，当αβ=-成立， 所以命题q 为真命题，q ⌝为假命题，则p q ∧为假命题，()p q ∨⌝为假命题，p q ⌝∧为真命题，p q ∧⌝为假命题． 故选C ．6．设集合{}22|A x a x a =-<<+，{}245|0B x x x =--<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为（）．A ．[1,3]B ．(1,3)C ．[3,1]--D ．(3,1)--【答案】A【解析】解：{}1|5B x x -=<<，{}22|A x a x a =-<<+，若A B ⊆，则：2125a a --⎧⎨+⎩≥≤，∴13a ≤≤，∴实数a 的取值范围为[1,3]． 故选A ．7．已知数列{}n a 满足13a =，且143(*)n n a a n +=+∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（）．A ．2121n -+B ．2121n --C ．221n +D ．221n -【答案】D【解析】解：由143(*)n n a a n +=+∈N ，得114(1)n n a a ++=+， ∵13a =，∴113140a +=+=≠，则数列{}+1n a 是以4为首项，以4为公比的等比数列， ∴1214442n n n n a -+=+==，则221n n a =-． 故选D ．8．已知函数2()23f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使0()0f x ≥成立的概率为（）．A ．425B ．12C ．23D ．1【答案】B 【解析】解：已知区间[]4,4-长度为8，满足0()0f x ≥，200()230f x x x =-++≥，解得013x -≤≤，对应区间长度为4，由几何概型公式可得，使0()0f x ≥成立的概率是41=82．故选B ．9．如图，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线长VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）．ABCD【答案】B【解析】解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π， 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为α，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π3α=，解得：2π3α=， ∴2π3AOA '∠=，则π13∠=，过C 作CF OA ⊥，∵C 为OB 的三等分点，3BO =， ∴1OC =， ∵160∠=︒， ∴30OCF ∠=︒，VABC∴12FO =，∴22234CF CO OF =-=，∵3AO =，12FO =，∴52AF =，在Rt AFC △中，利用勾股定理得：2227AC AF FC =+=，则AC 故选B ．10．设函数32()33f x x ax bx =++有两个极值点1x 、2x ，且10[]1,x -∈，22[]1,x ∈，则点(,)a b 在aOb 平面上所构成区域的面积为（）．A ．14B ．12C ．34D ．1【答案】D【解析】解：函数32()33f x x ax bx =++，可得2()363f x x ax b '=++， 依题意知，方程()0f x '=有两个根1x 、2x ，且10[]1,x -∈，22[]1,x ∈， 等价于(1)0f '-≥，(0)0f '≤，(1)0f '≤，(2)0f '≥， 由此得b ，c 满足的约束条件为212144b a b b a b a -⎧⎪⎪⎨--⎪⎪--⎩≥≤0≤≥，满足这些条件的点(,)a b 的区域为图中阴影部分， 阴影部分的面积为：1111112211=122222+⨯-⨯⨯-⨯⨯． 故选D ．A'1F CBAO二、填空题：（本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分） （一）必做题（11～13题） 11．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则||z =__________．【解析】解：i 为虚数单位，复数1iiz -=，则1i ||1i|i |i||z --===．12．已知向量(,1)a x =，(2,)b y = ，若(1,1)a b +=- ，则x y +=__________． 【答案】3-【解析】解：∵(,1)(2,)(2,1)(1,1)a b x y x y +=+=++=-，∴21x +=，11y +=-， ∴1x =-，2y =-， ∴3x y +=-．故答案为3-．13．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离(km)y 与刹车时的速度(km/h)x 的关系可以用2y ax =来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km/h 时，紧急刹车后滑行的距离为(km)b ．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3(km)b ，则这辆车的行驶速度为__________km/h ．【答案】【解析】解：由题意，3600b a =，∵一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3(km)b ， ∴23b ax =， ∴233600a ax ⨯=，∴x =故答案为（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG A E ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为__________．【答案】【解析】解：∵AE 为DAB ∠的平分线， ∴DAF BAF ∠=∠， ∵DC AB ∥， ∴BAF DEA ∠=∠， ∴DAF DEA ∠=∠， ∴AD ED =， 又E 为DC 的中点， ∴DE CE =，∴21221AD DE DC AB ====，在Rt ADG △中，根据勾股定理得：AG =则2AE AG == ∵平行四边形ABCD ， ∴AD BC ∥，∴DAE F ∠=∠，ADE FCE ∠=∠， 在ADE △和FCE △中，DAE FADE FCE DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE △≌(AAS)FCE △， ∴AE FE =，则2AF AE ==故答案是FCBAGDDGACEF（坐标系与参数方程选做题）15．在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为3212x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和242x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有__________个． 【答案】1【解析】解：已知曲线1C 方程3212x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）转化为直角坐标方程为：20x y --=．曲线2C 的方程242x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数），转化为直角坐标方程为：28x y =， 所以：2820x yx y ⎧=⎨--=⎩，整理得：28160x x -+=， 所以：64640∆=-=， 则：曲线1C 和2C 的交点有1个． 故答案为1．三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16．（12分）已知ABC △的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值．（2）若ABC △外接圆的半径为14，求ABC △的面积． 【答案】见解析．【解析】解：（1）由题意可设：7a t =，5b t =，3c t =，则由余弦定理可得：2222222259491cos 2302b c a t t t A bc t +-+-===-．（2）由（1）可得：sin A =， 由正弦定理可得:sin :sin :sin 7:5:3a b c A B C ==:，从而可得：5sin sin 7A B ==，3sin sin 7A C =，由正弦定理2sin sin a b R A B==，以及14R =，得2sin a R A ==2sin b R B ==∴11sin 22ABC S ab C ==⨯=△． 17．（12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份），现从回收的年龄在2060 岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如图表所示．（1）分别求出n （2）从年龄在[40,60]答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[50,60]的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率．【解答】解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以100(401020)30n =-++=， 年龄在[40,50)中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以4100.4b =÷=， 年龄在[50,60]中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1， 所以200.1a ÷=，解得2a =，根据频率直方分布图，得(0.040.030.01)101c +++⨯=， 解得0.02c =．（2）因为年龄在[40,50)与[50,60]中答对全卷的人数分别为4人与2人，年龄在[40,50)中答对全卷的4人记为A ，B ，C ，D ，年龄在[50,60]中答对全卷的2人记为a ，b ，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab 共15种，其中所抽取年龄在[50,60)的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab 共9种．故所求的概率为93155=．18．（14分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，M ，N 分别是棱1AA ，AB 上的点，且1AM AN ==．（1）证明：M ，N ，C ，1D 四点共面．（2）平面1MNCD 将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比．【解答】（1）证明：连接1A B ， 在四边形11A BCD 中，11A D BC ∥， ∴四边形11A BCD 是平行四边形． ∴11A B D C ∥．在1ABA △中，1AM AN ==，13AA AB ==， ∴1AM ANAA AB=， ∴1MN A B ∥， ∴1MN D C ∥，∴M ，N ，C ，1D 四点共面．（2）由平面1MNCD 四点共面，将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ， 1AMN DCD -为三棱台．∵111111222AMN S AM AN S =⋅=⨯⨯==△，12221193222DCD S DC S ==⨯==△．∴112111913()333222V AD S S ⎛⎫=⋅=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 13211341322AC V V V =-=-=正方体，【注意有文字】 ∴121341V V ⎧=⎨⎩19．（14分）已知点(,)(*)n n n P a b n ∈N 在直线:31l y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列D ABCNM D 1A 1B 1C 1C 1B 1A 1D 1M NCBAD{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）若,(),n n a n f n b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数是否存在*k ∈N ，使(3)4()f k f k +=成立？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．【注意有文字】 【解答】（本小题满分14分）解：（1）因为111(,)P a b 是直线:31l y x =+与y 轴的交点(0,1)， 所以10a =，11b =．因为数列{}n a 是公差为1的等差数列， 所以1n a n =-．因为点(,)(*)n n n P a b n ∈N 在直线:31l y x =+上， 所以3132n n b a n =+=-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32*n b n k =-∈N ． （2）因为1,()32,n n f x n n -⎧=⎨-⎩为偶数为奇数，【注意有文字】假设存在*k ∈N ，使(3)4()f k f k +=成立． ①当k 为奇数时，3k +为偶数， 则有3(3)24(1)k k +-=-， 解得11k =，符合题意． ②当k 为偶数时，3k +为奇数， 则有(3)14(32)k k +-=-，解得1011k =，不合题意， 综上可知，存在11k =符合条件． 20．（14分）已知函数2()ln ()f x x ax x a =++∈R ．（1）若函数()f x 在1x =处的切线平行于x 轴，求实数a 的值，并求此时函数()f x 的极值． （2）求函数()f x 的单调区间．【解答】解：（1）函数2()ln f x x ax x =++的定义域为(0,)+∞，1()21f x ax x '=++，依题意有(1)1210f a '=++=，解得1a =-．此时，(1)(2+1)()x x f x x--'=，∴当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<， ∴函数()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数， ∴当1x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为0．（2）因为221()ax x f x x++'=，①当0a ≥时，因为,()0x ∈+∞，所以221()0ax x f x x++'=>，此时函数()f x 在(0,)+∞是增函数．②当0a <时，令()0f x '=，则2210ax x +==．因为180a ∆=->， 此时，212212()()()ax x a x x x x f x x x++--'==，其中，1x =，2x =， 因为0a <，所以20x >，又因为12102x x a ⋅=<，所以10x <． ∴当120x x <<时，()0f x '>，当12x x >时，()0f x '<，∴函数()f x 在2(0,)x 上是增函数，在2,)x +∞（上是减函数， 综上可知，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是0,⎛ ⎝⎭，单调递减区间是⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．21．（14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点(0,0)和(1,1)-，圆D 的方程为22(4)4x y -+=． （1）求圆C 的方程． （2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求||AB 的取值范围．【解答】解：（1）过两点(0,0)A 和(1,1)B -的直线的斜率为1-， 则线段AB 的中垂线方程为：11122y x ⎛⎫-=⨯+ ⎪⎝⎭，整理得：1y x =+． 取0y =，得1x =-． ∴圆C 的圆心坐标为(1,0)-，半径为1， ∴圆C 的方程为：22(1)1x y ++=． （2）设00(,)P x y ，(0,)A a ，(0,)B b ， 则直线PA 方程为00y a x y a x -=-， 整理得：000()0y a x x y ax --+=． ∵直线PA 与圆C1=，化简得2000(2)20x a y a x +--=； 同理可得PB 方程2000(2)20x b y b x +--=， 因而a ，b 为2000(2)20x x y x x +--=的两根，∴||AB a b =-=||令02[,8]4t x =+∈，则||AB =，配方可求得min ||AB max ||AB ．故答案为⎦．。
2015广东省广州市高考数学二模试卷(理科)(含解析)
2015年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“若2x =，则2320x x +=-”的逆否命题是（ ）．A ．若2x ≠，则2320x x +≠-B ．若2320x x +=-，则2x =C ．若2320x x +≠-，则2x ≠D ．若2x ≠，则2320x x +=-【答案】C【解答】解：命题“若2x =，则2320x x +=-”的逆否命题是 “若2320x x +≠-，则2x ≠”．故选C ． 2．（5分）已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是（ ）．A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b <D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解答】解：选项A 错误，比如取πa =，π2b =，显然满足0a b >>，但不满足sin sin a b >； 选项B 错误，由函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增可得22log log a b >； 选项C错误，由函数12y x ==[0,)+∞上单调递增可得1122a b >； 选项D 正确，由函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减可得1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选D ．3．（5分）已知函数40()1,0x f x x x x ⎧⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩≥，则)[](2f f =（ ）． A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A【解答】解：函数40()1,0x f x x x x ⎧⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩≥，则(2)f =441[(2)](4f f f ⎛⎛==== ⎝⎝．故选A ．4．（5分）函数sin()(0,0,0π)y A x A ωϕωϕ=+>><<的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为（ ）．A ．ππ3sin 44y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．π3π3sin 44y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．ππ3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．π3π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A【解答】解：根据函数的图象，得知：3A =， 2(51)8T =-=，所以：2ππ84ω==，当1x =时，(1)3f =，0πϕ<<， 解得：π4ϕ=， 所以函数的解析式：ππ()3sin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故选A ．5．（5分）已知函数2()23f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使0)(0f x ≥成立的概率为（ ）．A ．425B ．12C ．23D ．1【答案】B【解答】解：已知区间[]4,4-长度为8，满足0)(0f x ≥，200()230f x x x =-++≥，解得013x -≤≤，对应区间长度为4， 由几何概型公式可得，使0)(0f x ≥成立的概率是4182=． 故选B ． 6．（5分）如图，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线长VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）．VCBAABC D 【答案】B【解答】解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π， 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为α，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π3α=，解得：2π3α=， ∴2π2AOA '∠=，则π13∠=，过C 作CF OA ⊥， ∵C 为OB 的三等分点，3BO =， ∴1OC =， ∵160∠=︒， ∴30OCF ∠=︒，∴12FO =，∴22234CF CO OF -==，∵3AO =，12FO =，∴52AF =， 在Rt AFC △中，利用勾股定理得：2227AC AF FC =+=，则AC = 故选B ．1FCBAO A'7．（5分）已知两定点(1,0)A -，(1,0)B ，若直线l 上存在点M ，使得||||3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”，给出下列直线：①2x =；②3y x =+；③21y x =--；④1y =；⑤23y x =+．其中是“M 型直线”的条数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解答】解：由题意可知，点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，其方程是2219544x y +=，①把2x =代入2219544x y +=，无解，∴2x =不是“M 型直线”；②把3y x =+代入2219544x y +=，无解，∴3y x =+不是“M 型直线”；③把21y x =--代入22144x y +=，有解，∴21y x =--是“M 型直线”；④把1y =代入22144x y +=，有解，∴1y =是“M 型直线”； ⑤23y x =+代入2219544x y +=，有解，∴23y x =+是“M 型直线”． 故选C ．8．（5分）设(,)P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量5(1,(2))a x =-r ，(1,2)b y x =-r，且满足a b r r ∥，数列{}n a 是公差不为0的等差数列，若129))(((6)3f a f a f a +++=L ，则129a a a +++=L （ ）．A ．0B ．9C ．18D ．36【答案】C【解答】解：∵向量5(1,(2))a x =-r ，(1,2)b y x =-r ，且a b r r ∥，∴52(2)0y x x ---=， 即5(2)2y x x =-+， ∴5()(2)2f x x x =-+； 令5()(2)42g x f x x x =+-=+，则函数()g x 为奇函数，且是定义域内的增函数， 由129))(((6)3f a f a f a +++=L ， 得129(2)(2)(2)0g a g a g a +++---=L ， 又数列{}n a 是公差不为0的等差数列， ∴5(2)0g a -=，即520a -=，52a =， ∴129599218a a a a +++==⨯=L ．故选C ．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题） 9．（5分）已知i 为虚数单位，复数1i1iz -=+，则||z =__________． 【答案】1【解答】解：i 为虚数单位，复数1i1i z -=+，则1i |1i|||11i |1i |z --====++． 故答案为：1． 10．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为__________．【答案】10【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出 22221234S -=-++的值∵2222123410S -=-++=． 故答案为：10．11．（5分）已知π()sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若3πcos 052αα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则π12f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【解答】解：∵3cos 5α=，且π02α<<，∴4sin 5，又∵π()sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴πππsin 12126f αα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 4α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos )αα+=，． 12．（5分）5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有__________种（用数字作答）． 【答案】30【解答】解：先从5人中任取4人，共有45C 种不同的取法．再把4人分成两部分，每部分2人，共有224222C C A 种分法．最后排在周六和周日两天，有22A 种排法，∴2242425222C C C A 30A ⨯⨯=种．故答案为：30．13．（5分）在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a u u r ，2a u u r ，3a u u r；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c u r ，2c u u r ，3c u u r．若m 为()()i j s t a a c c +⋅+u u r u u r u u r u r 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m =__________．【答案】5-【解答】解：不妨记以A 为起点，其余顶点为终点的向量为1a u u r ，2a u u r ，3a u u r分别为AB u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，以C为起点，其余顶点为终点的向量为1c u r ，2c u u r，分别为CD u u u r ，CA u u u r ，CB u u u r ．如图建立坐标系．（1）当1i =，2j =，1s =，2t =时，则()()[1,0)(1,1)][1,0)(1,1)5(((]i j s t a a c c +⋅+=+=-⋅+---u u r u u r u u r u r；（2）当1i =，2j =，1s =，3t =时，则()()[1,0)(1,1)][1,0)(0,1)]3(((i j s t a a c c +⋅+=+⋅+-=--u u r u u r u u r u r；（3）当1i =，2j =，2s =，3t =时，则()()[1,0)(1,1)][1,1)(0,1)4(((]i j s t a a c c +⋅+=++-⋅--=-u u r u u r u u r u r；（4）当1i =，3j =，1s =，2t =时，则()()[1,0)(0,1)][1,0)(1,1)3(((]i j s t a a c c +⋅+=+=-⋅+---u u r u u r u u r u r；同样地，当i ，j ，s ，t 取其它值时，()()5i j s t a a c c +⋅+=-u u r u u r u u r u r，4-或3-．则()()i j s t a a c c +⋅+u u r u u r u u r u r的最小值是5-．故答案为：5-．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为__________．FCBAGD【答案】【解答】解：∵AE 为DAB ∠的平分线， ∴DAF BAF ∠=∠， ∵DC AB ∥， ∴BAF DEA ∠=∠， ∴DAF DEA ∠=∠， ∴AD ED =， 又E 为DC 的中点， ∴DE CE =，∴11222AD DE DC AB ====，在Rt ADG △中，根据勾股定理得：AG则2AE AG == ∵平行四边形ABCD ， ∴AD BC ∥，∴DAE F ∠=∠，ADE FCE ∠=∠， 在ADE △和FCE △中，DAE FADE FCE DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE △≌()FCE AAS △， ∴AE FE =，则2AF AE ==．故答案是：．E DGABCF（坐标系与参数方程选做题）15．在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为3212x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和242x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有__________个． 【答案】1【解答】1解：已知曲线1C 方程3212x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）转化为直角坐标方程为：20x y --=．曲线2C 的方程242x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），转化为直角坐标方程为：28x y = 所以：2820x yx y ⎧=⎨--=⎩，整理得：28160x x +=-， 所以：64640∆=-=， 则：曲线1C 和2C 的交点有1个．故答案为：1．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）已知ABC △的三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值．（2）若ABC △的面积为ABC △的外接圆半径的大小． 【答案】见解析．【解答】解：（1）根据题意设7a k =，5b k =，3c k =，∴2222222259491cos 2302b c a k k k A bc k +-+-===-， 则2π3A =．（2）∵1sin 2ABC S bc A ==△∴21152k ⋅=k =，∴7a k == 由正弦定理2sin aR A =，得：142sin a R A ==． 17．（12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在2060:岁的问卷中随机抽取了n 份，统计结果如图表所示．（1）分别求出a ，b ，c （2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X 为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．年龄【答案】见解析．【解答】（本小题满分12分）解：（1）根据频率直方分布图，得(0.0100.0250.035)101c +++⨯=， 解得0.03c =．第3组人数为50.510÷=，所以100.1100n =÷=． 第1组人数为1000.3535⨯=，所以28350.8b =÷=． 第4组人数为1000.2525⨯=，所以250.410a =⨯=． （2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5:101:2=， 所以第3，4组应依次抽取2人，4人． 依题意X 的取值为0，1，2．002426C C 2(0)C 5P X ===， 112426C C 8(1)5C 1P X ===， 202426C C 1(2)5C 1P X ===， 所以X 的分布列为：所以2812012515153EX =⨯+⨯+⨯=．18．（14分）如图，已知六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧棱垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M ，N 分别是棱AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==．（1）证明：M ，N ，1E ，D 四点共面． （2）求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值．F 1E 1C 1D 1A 1B 1N F ECB A D【答案】见解析．【解答】（1）证明：连接1A B ，11D B ，BD ，11A E ， 在四边形1111A B D E 中，1111A E B D =，且1111A E B D ∥， 在四边形11BB D D 中，11BD B D ∥，且11BD B D =， 所以：11A E BD ∥，且11A E BD =， 则四边形11A BDE 是平行四边形． 所以11A B E D ∥．在1ABA △中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以：1AM ANAB AA = 则：1MN BA ∥， 且：1MN DE ∥，所以：M ，N ，1E ，D 四点共面；D A B CEFN B 1A 1D 1C 1E 1F 1（2）解：以点E 坐标原点，EA ，ED ，1EE 线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则B，9,,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,3,0)D ，10,(0,3)E，M ．3,,02BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，1(0,3,3)DE =-u u u u r，2,0)DM =-u u u u r ， 设平面1MNE D 的法向量为：(,,)m x y z =u r ，则：100m DE m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u r u r u u u u r ，即：33020y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：m =，设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin ||||m BC m BC θ⋅=u r u u u r u r u u u r ， 故直线BC 与平面1MNE DFF19．（14分）已知点*(,)()n n n P a b n ∈N 在直线:31l y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）求证：2221213111111||||||6n PP PP PP ++++<L ． 【答案】见解析．【解答】（1）解：∵点*(,)()n n n P a b n ∈N 在直线:31l y x =+上，∴31n n b a =+，直线l 与y 轴的交点为(0,1)，∴10a =，11b =．∵数列{}n a 是公差为1的等差数列，∴1n a n =-．∴3(1)132n b n n =-+=-．∴数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为：1n a n =-，32n b n =-．（2）证明：∵1)(0,1P ，1,3(2)n P n n --，∴1,31()n P n n ++．∴222211||(3)10n PP n n n +=+=， ∴1221111111111||1010521214n PP n n n n +⎛⎫=<⋅=- ⎪-+⎝⎭-． ∴当2n ≥时，22212131111111111111||||||10535572121n PP PP PP n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111111110532110156n ⎛⎫=+-<+< ⎪+⎝⎭． 又当1n =时，212111||106PP =<． ∴2221213111111||||||6n PP PP PP ++++<L ． 20．（14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点(0,0)和(1,1)-，圆D 的方程为22(4)4x y -+=． （1）求圆C 的方程．（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求||AB 的取值范围．【答案】见解析．【解答】解：（1）过两点(0,0)A 和(1,1)B -的直线的斜率为1-， 则线段AB 的中垂线方程为：11122y x ⎛⎫-=⨯+ ⎪⎝⎭，整理得：1y x =+． 取0y =，得1x =-．∴圆C 的圆心坐标为(1,0)-，半径为1，∴圆C 的方程为：22(1)1x y ++=；（2）设00)(,P x y ，(0,)A a ，(0,)B b ，则直线PA 方程为00y a x y a x -=-，整理得：000()0y a x x y ax -+=-．∵直线PA 与圆C1=，化简得2000(2)20x a y a x +--=；同理可得PB 方程2000(2)20x b y b x +--=， 因而a ，b 为2000(2)20x x y x x +--=的两根，∴||||AB a b =-== 令02[,8]4t x =+∈，则||AB =，配方可求得min ||AB，max ||AB =．故答案为：⎦21．（14分）已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+，()e x g x =（其中e 为自然对数的底数）． （1）若函数()f x 在区间(0,1)内是增函数，求实数a 的取值范围； （2）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点(e ),b P b 、(,)e b Q b --，过点P 、Q 作图象C 的切线分别记为1l 、2l ，设1l 与2l 的交点为00)(,M x y ，证明：00x >．【答案】见解析．【解答】解：（1）∵2()ln 11f x a x x =+-+， ∴22(1)2()(1)a x x f x x x +-'=+， 若函数()f x 在区间(0,1)内是增函数， 则2(1)20a x x -+≥，∴2222(1)4x a x =++≥， ∴12a ≥． （2）∵()e x g x '=，∴()()e b g b g b '==，∴1:(e )e b b l y x b =-+…①，()()e b g b g b -'-=-=，∴2:(e )e b b l y x b --=++…②，由①②得：e )e e ()e (b b b b x b x b ---+=++，两边同乘以e b 得：22e )e (1b b x b x b -+=++，∴222(e 1)e e 1b b b x b b =-+-⋅+，∴2202e e 1e 1b b b b b x -++=-， 分母2e 10b ->， 令22()e e 1b b h b b b -=++， ∴22()2e e 1b b h b b -'=+， ∴2()4e 10b h b b ''=+>， ∴min ()(0)0h b h +''→→，∴min ()(0)0h b h b →→>， ∴00x >．。
广东省广州市高山文化培训学校2015届高三上学期模拟测试化学试题 (二) word版
广东省广州市高山文化培训学校2015届高三上学期模拟测试化学试题(二)相对原子质量：H = 1 C = 12 O = 16 Na = 23 Mg=24 Cl = 35.5Ca = 40第Ⅰ卷选择题部分（共63分）一、选择题(本题包括9小题，每小题3分，共27分。
每小题只有一个选项符合题意。
) 1．我国年初遭遇了特大雪灾，我国科学家用氯化钙、尿素、葡萄糖酸钠等为原料成功研制出一种新型复合融雪除冰剂。
下列说法正确的是 ( )A．传统的氯化钠融雪剂通过升高水的凝固点实现雪融化B．尿素通过CO2与NH3发生化合反应制得C．融雪除冰剂在溶于水时具有较高的溶解热，极强的吸湿性，能降低水的熔点D．近来美国科技人员研制出一种新型的融雪除冰剂——醋酸镁钙，是一种混合物，溶于水时导致溶液呈酸性2．2007年1月1日，我国科学家在全球率先成功发现了有效治疗Ⅱ型糖尿病的神奇分子——非肽类分子激动剂（代号为Boc5，化学式为C54H52N4O16S2），它的神奇之处在于能模拟人体内的某些大分子，促进人体的胰岛素分泌，发挥对血糖的调节作用，这一发现将为千百万Ⅱ型糖尿病患者解除病痛。
则下列说法正确的是 ( )A．Boc5中一定不含B．葡萄糖、麦芽糖、蔗糖均能与新制氢氧化铜反应生成Cu2OC．Boc5是高分子化合物 D．糖类的通式均满足 (CH2O)n3．下列有关溶液性质的叙述，正确的是( ) A．室温时饱和的二氧化碳水溶液，冷却到0℃时会放出一些二氧化碳气体B．室温时，将两份等质量的饱和石灰水，一份加入少量生石灰，恢复至室温时得到溶液①；另一份升温到50℃，得到溶液②。
溶液①与溶液②相比溶解度：①＜②C．强电解质在水溶液中溶解度一定大于弱电解质D．相同温度下把水表面上的空气换成相同压力的纯氧，100g水中溶入氧气的质量增加4．某溶液中含有大量的Al3+、NH4+、Ag+、Fe2+四种离子。
向该溶液中加入足量的 Na2O2，微热并充分搅拌后，过滤，在滤液中加入过量稀硝酸，此时溶液中可能大量存在的阳离子是 ( )A．Na+、NH4+、Fe2+、H+ B．Fe2+、Al3+、Na+、H+C．Ag+、Al3+、Na+、H+ D．Na+、Fe3+、Al3+、H+5．用N A表示阿伏加德罗常数的值，下列说法正确是 ( )A．1molFeS2在沸腾炉中完全燃烧生成Fe2O3和SO2，转移44N A个电子B．100℃时，在1 L pH=6纯水中，含H+数目为10-6N A，则此溶液呈酸性C．5.6g铁粉在2.24L（标准状态）氯气中充分燃烧，失去的电子数为0.3N AD．标准状况下B2H6和C2H4的混合气体22.4L，所含电子数为16N A6。
2015年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析
2015年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）2，是偶函数；4．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）y=y=，解得，5．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（），cosA=×6．（5分）（2015•广东）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是7．（5分）（2015•广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任件的取法为8．（5分）（2015•广东）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）利用椭圆+椭圆=19．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（）==∴10．（5分）（2015•广东）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）11．（5分）（2015•广东）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为（﹣4，1）．（用区间表示）12．（5分）（2015•广东）已知样本数据x1，x2，…，x n的均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为11．的平均数为均值的均值为：13．（5分）（2015•广东）若三个正数a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则b=1．，2∴坐标系与参数方程选做题14．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为（2，﹣4）．，把的参数方程为，解得，几何证明选讲选做题15．（2015•广东）如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则AD=3．，可得∴∴三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）（2015•广东）已知tanα=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．+=====117．（12分）（2015•广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，200），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220.240）的用户中应抽取多少户？）月平均用电量的众数是=×18．（14分）（2015•广东）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA的距离．PE==．h==的距离是．19．（14分）（2015•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且当a≥2时，4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1．（1）求a4的值；（2）证明：{a n+1﹣a n}为等比数列；（3）求数列{a n}的通项公式．，求得为首项，公比为{为首项，公比为{为首项，，∵∵{是以为首项，公比为的等比数列；{是以为首项，公比为的等比数列，∴为首项，∴，即的通项公式是20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．联立方程组，，其中﹣＜）=，其中＜，﹣，联立方程组，±，的端点（，±±的取值范围为（﹣，}21．（14分）（2015•广东）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．+a，a．，x==a+=a﹣=时，=═，．当，=．，即。
广东省广州市高山文化培训学校2015届高三模拟(二)数学
广东省广州市高山文化培训学校2015届高三模拟题(二)理科数学试卷第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则集合＝（）A． B． C． D．2．圆与直线没有公共点的充要条件是（）A． B．C． D．3．复数的虚部是（）A． B． C． D．4．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线斜率的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（）A． B． C． D．5．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A． B． C． D．6．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则（） A． B． C． D．7．已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A． B． C． D．8．设是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足的所有x之和为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．注意：答案不完整不给分)9．设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，4；（1，2，3，4）.则 .10、函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为11、已知函数图像上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数的取值范围是；12．已知，且在区间有最小值，无最大值，则＝__________．13．(坐标系与参数方程选做题)点是椭圆上的一个动点，则的最大值为** ．14．(不等式选讲选做题)在三角形中，所对的边长分别为，其外接圆的半径，则的最小值为*** 。
15.(几何证明选讲选做题)如右图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于P，连结AD，BD。
已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长为*** ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）已知向量，，（1）若⊥, 且－＜＜．求；（2）求函数的单调增区间和函数图像的对称轴方程．17．（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量 2 3 4频数20 50 30（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望．18.（本小题满分14分）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面底面，且为等腰直角三角形，，为的中点．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求证：平面；(Ⅲ)求二面角的正切值．19．(本小题满分14分)已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。
广东省广州市高山文化培训学校高考数学二模试卷 理(含解析)
广东省广州市高山文化培训学校2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M=x={x|﹣3＜x＜1}，N={x|x≤3}，则集合{x|x≤﹣3或x≥1}=( ) A．M∩N B．M∪N C．∁M（M∩N）D．∁M（M∪N）2．圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是( )A．B．C．D．3．复数（﹣2﹣i）+的虚部是( )A．i B．C．﹣i D．﹣4．设P为曲线C：y=x2﹣x+3上的点，且曲线C在点P处切线斜率的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为( )A． B． C． D．5．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A．B．C．D．6．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则等于( ) A．B．C．D．7．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A． B．3 C．D．8．设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数，则满足的所有x之和为( )A．﹣3 B．3 C．﹣8 D．8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．注意：答案不完整不给分）9．设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4；P（ξ=k）=αk（k=1，2，3，4），则α=__________．10．函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为__________．11．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+b（a，b∈R）图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是__________．12．已知f（x）=sin（ω＞0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω=__________．（坐标系与参数方程选做题）13．点P（x，y）是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点，则x+2y的最大值为__________．（不等式选讲选做题）14．在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，其外接圆的半径R=1，则（4a2+9b2+c2）（++）的最小值为__________．（几何证明选讲选做题）15．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于P，连结AD，BD．已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长为__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知向量，（1）若．且．求θ；（2）求函数的单调增区间和函数图象的对称轴方程．17．某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量 2 3 4频数20 50 30（1）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元），若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PA⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求证：DM∥平面PCB；（Ⅲ）求二面角A﹣BC﹣P的正切值．19．已知椭圆+y2=1的左焦点为F，O为坐标原点．（1）求过点O、F，并且与直线l：x=﹣2相切的圆的方程；（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．20．在数列{a n}，{b n}中，a1=2，b1=4，且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3，a4和b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）证明你的结论；（Ⅲ）证明：++…+＜．21．已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：在（x1，x2）恒有实数解（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x0，使得．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：当0＜a＜b时，（可不用证明函数的连续性和可导性）．广东省广州市高山文化培训学校2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M=x={x|﹣3＜x＜1}，N={x|x≤3}，则集合{x|x≤﹣3或x≥1}=( ) A．M∩N B．M∪N C．∁M（M∩N）D．∁M（M∪N）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据题意和交、并、补集的运算，分别求出M∩N、M∪N、∁M（M∩N）、∁M（M∪N），即可得答案．解答：解：因为集合M={x|﹣3＜x＜1}，N={x|x≤3}，所以M∩N={x|﹣3＜x＜1}，M∪N={x|x≤3}，则∁M（M∩N）={x|x≤﹣3或x≥1}，∁M（M∪N）={x|x＞3}，故选：C．点评：本题考查交、并、补集的混合运算，属于基础题．2．圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是( )A．B．C．D．考点：直线与圆相交的性质．分析：当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆没有公共点，这是充要条件．解答：解：依题圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点故选C．点评：本小题主要考查直线和圆的位置关系；也可以用联立方程组，△＜0来解；是基础题．3．复数（﹣2﹣i）+的虚部是( )A．i B．C．﹣i D．﹣考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：（﹣2﹣i）+=+==．∴复数（﹣2﹣i）+的虚部是．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．设P为曲线C：y=x2﹣x+3上的点，且曲线C在点P处切线斜率的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为( )A． B． C． D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由题意求导y′=2x﹣1，从而可得0≤2x﹣1≤1；从而解得．解答：解：由题意，y′=2x﹣1；则由曲线C在点P处切线斜率的取值范围为知，0≤2x﹣1≤1；故≤x≤1；故点P横坐标的取值范围为．故选D．点评：本题考查了导数的求法及其几何意义的应用，属于基础题．5．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，由此能求出取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率．解答：解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．故选：C．点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件的概率计算公式的合理运用．6．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则等于( ) A．B．C．D．考点：向量加减混合运算及其几何意义．分析：本小题主要考查平面向量的基本定理，把一个向量用平面上的两个不共线的向量来表示，这两个不共线的向量作为一组基底参与向量的运算，注意题目给的等式的应用解答：解：∵依题∴故选A点评：本题是向量之间的运算，运算过程简单，但应用广泛，向量具有代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．7．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A． B．3 C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．解答：解：依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，则，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和．故选A．点评：本小题主要考查抛物线的定义解题．8．设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数，则满足的所有x之和为( )A．﹣3 B．3 C．﹣8 D．8考点：偶函数．专题：压轴题．分析：f（x）为偶函数⇒f（﹣x）=f（x），x＞0时f（x）是单调函数⇒f（x）不是周期函数．所以若f（a）=f（b）则a=b或a=﹣b解答：解：∵f（x）为偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数∴若时，必有或，整理得x2+3x﹣3=0或x2+5x+3=0，所以x1+x2=﹣3或x3+x4=﹣5．∴满足的所有x之和为﹣3+（﹣5）=﹣8，故选C．点评：本题属于函数性质的综合应用，解决此类题型要注意：（1）变换自变量与函数值的关系：①奇偶性：f（﹣x）=f（x）②增函数x1＜x2⇔f（x1）＜f（x2）；减函数x1＜x2⇔f（x1）＞f（x2）．（2）培养数形结合的思想方法．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．注意：答案不完整不给分）9．设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4；P（ξ=k）=αk（k=1，2，3，4），则α=．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：由已知得α（1+2+3+4）=1，由此能求出α的值．解答：解：∵离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4，P（ξ=k）=αk（k=1，2，3，4），∴α（1+2+3+4）=1，解得α=．故答案为：点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题．10．函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为．考点：二项式系数的性质；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：分别在上、上求得函数f（x）与x轴所围成的封闭图形的面积，再把这两个值相加，即得所求．解答：解：在上，函数f（x）=x+1与x轴所围成的封闭图形的面积为×1×1=，在上，函数f（x）=cosx与x轴所围成的封闭图形的面积为cosxdx=sinx=1，∴函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为+1=，故答案为：．点评：本题主要考查分段函数的应用，定积分的意义，求定积分，属于基础题．11．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+b（a，b∈R）图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是．考点：导数的几何意义；导数的运算；直线的斜率．专题：计算题；转化思想；综合法．分析：函数f（x）=﹣x3+ax2+b（a，b∈R）图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，可得出函数的导数的最大值小于1．解答：解：由题意f′（x）=﹣3x2+2ax，当x=时，f′（x）取到最大值，是．∴，解得．故答案为：．点评：本题考查导数的几何意义，解题的关键是理解导数的几何意义，能根据其几何意义将题设中的条件任意一点处的切线的斜率都小于1转化为导数的最大值小于1．正确的转化基于对概念的正确理解与领会，学习时要注意领会揣摸概念的含义．12．已知f（x）=sin（ω＞0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω=．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；作图题；压轴题．分析：根据f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，确定最小值时的x值，然后确定ω的表达式，进而推出ω的值．解答：解：如图所示，∵f（x）=sin，且f（）=f（），又f（x）在区间内只有最小值、无最大值，∴f（x）在处取得最小值．∴ω+=2kπ﹣（k∈Z）．∴ω=8k﹣（k∈Z）．∵ω＞0，∴当k=1时，ω=8﹣=；当k=2时，ω=16﹣=，此时在区间内已存在最大值．故ω=．故答案为：点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查逻辑思维能力，分析判断能力，是基础题．（坐标系与参数方程选做题）13．点P（x，y）是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点，则x+2y的最大值为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先把椭圆2x2+3y2=12化为标准方程，得，由此得到这个椭圆的参数方程为：（θ为参数），再由三角函数知识求x+2y的最大值．解答：解：把椭圆2x2+3y2=12化为标准方程，得，∴这个椭圆的参数方程为：，（θ为参数）∴x+2y=，∴．故答案为：．点评：本题考查椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．（不等式选讲选做题）14．在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，其外接圆的半径R=1，则（4a2+9b2+c2）（++）的最小值为144．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由正弦定理求出、、，代入式子化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．解答：解：因为外接圆的半径R=1，所以===2，则、、，所以（4a2+9b2+c2）（++）=（4a2+9b2+c2）（++）=16++++36++++4=56+（+）+（+）+（+）≥56+2+2+2=56+48+16+24=144，（当且仅当c=a=b时取等号），故所求的最小值是144，故答案为：144．点评：本题考查正弦定理，以及基本不等式的应用，注意等号成立的条件的验证，属于中档题．（几何证明选讲选做题）15．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于P，连结AD，BD．已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长为8．考点：与圆有关的比例线段．专题：推理和证明；立体几何．分析：根据AD=BD=4，=，∠DAB=∠DBA，确定出∠DAB=∠ACD，∠CDA=∠ADP，判断△APD∽△CA D，运用对应边成比例即可判断求解．解答：解：连接AC，DP=x，CD=6+x∵AD=BD=4，∴=，∠DAB=∠DBA，∴∠ACD=∠DAB，即∠DAB=∠ACD，∵∠CDA=∠ADP，∴△APD∽△CAD，对应边成比例，∴=，=，化简计算得出：x2+6x﹣16=0，求解得出：x=2，x=﹣8（舍去）∴x+6=2+6=8，故答案为：8点评：本题考查了圆周角，弦长问题，判断有关的角相等问题，得出相似三角形，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知向量，（1）若．且．求θ；（2）求函数的单调增区间和函数图象的对称轴方程．考点：正弦函数的对称性；数量积判断两个平面向量的垂直关系；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）利用两个向量垂直的性质可得sinθ+cosθ=0，再根据θ的范围，求得θ的值．（2）化简函数的解析式为y=，由得求函数的单调增区间，由求得对称轴方程．解答：解（1），∴sinθ+cosθ=0．∵．（2）===．由得求函数的单调增区间是：．由．得对称轴方程是：．点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，同角三角函数的基本关系，正弦函数的单调性和对称性．化简函数的解析式，是解题的关键．17．某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量 2 3 4频数20 50 30（1）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元），若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布表．专题：计算题．分析：（1）因为样本容量是100，根据表格可知周销售量为2吨，3吨和4吨的频数，根据所给的频数除以100，得到要求的频率．（2）ξ表示该种商品两周销售利润的和，且各周的销售量相互独立，根据表格得到变量ξ的可能取值，对应变量的事件，根据相互独立事件同时发生的概率做出分布列和期望．解答：解：（1）根据表格可知周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为=0.2，=0.5和=0.3．（2）ξ的可能值为8，10，12，14，16，且P（ξ=8）=0.22=0.04，P（ξ=10）=2×0.2×0.5=0.2，P（ξ=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37，P（ξ=14）=2×0.5×0.3=0.3，P（ξ=16）=0.32=0.09．∴ξ的分布列为ξ8 10 12 14 16P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09∴Eξ=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）点评：本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，考查相互独立事件同时发生的概率，是一个综合题目．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PA⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求证：DM∥平面PCB；（Ⅲ）求二面角A﹣BC﹣P的正切值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）取AD的中点G，连结PG、GB、BD，由已知得PG⊥AD，△ABD是正三角形，BG⊥AD，从而AD⊥平面PGB，由此能证明AD⊥PB．（Ⅱ）取PB的中点F，联结MF、CF，由已知得四边形CDFM是平行四边形，由此能证明DM∥平面PCB．（Ⅲ）取BC的中点E，联结PE、GE，则∠PEC是二面角A﹣BC﹣P的平面角，由此能求出二面角A﹣BC﹣P的正切值．解答：（Ⅰ）证明：取AD的中点G，连结PG、GB、BD．…∵PA=PD，∴PG⊥AD．…∵AB=AD，且∠DAB=60°，∴△ABD是正三角形，BG⊥AD．…∴AD⊥平面PGB，∴AD⊥PB．…（Ⅱ）证明：取PB的中点F，联结MF、CF，∵M、F分别为PA、PB的中点，∴MF∥AB，且MF=．…∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，且AB=2CD，∴MF∥CD，且MF=CD．…∴四边形CDFM是平行四边形，∴DM∥CF．…∵CF⊂平面PCB，∴DM∥平面PCB．…（Ⅲ）解：取BC的中点E，联结PE、GE，∵四边形ABCD是直角梯形，且AB∥CD，∴GE∥AB，GE⊥BC，∴BC⊥平面PEC，∴BC⊥PE，∴∠PEC是二面角A﹣BC﹣P的平面角．…设DC=a，则AB=AD=2a，∵G、E分别为AD、BC中点，∴GE=．∵G是等腰直角三角形PAD斜边的中点，∴PG=．…∴tan∠PEG=，∴二面角A﹣BC﹣P的正切值为．…点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．已知椭圆+y2=1的左焦点为F，O为坐标原点．（1）求过点O、F，并且与直线l：x=﹣2相切的圆的方程；（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由a2=2，b2=1，可得c=1，F（﹣1，0），由于圆过点O、F，可得圆心M在直线x=﹣上，设M，则圆半径r==，由|OM|=r，得=，解得t即可得出．（2）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，由于直线AB过椭圆的左焦点F，可得方程有两个不等实根．设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点N（x0，y0）．利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系可得AB的垂直平分线NG的方程为，令y=0，得x G=﹣+，即可得出．解答：解：（1）∵a2=2，b2=1，∴c=1，F（﹣1，0），∵圆过点O、F，∴圆心M在直线x=﹣上，设M，则圆半径 r==，由|OM|=r，得=，解得t=．∴所求圆的方程为=．（2）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），代入，整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，∵直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程有两个不等实根．记A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点N（x0，y0）．∴x1+x2=﹣，∴AB的垂直平分线NG的方程为，=，y0=k（x0+1）=．令y=0，得x G=x0+ky0=﹣+=﹣=﹣+，∵k≠0，∴＜x G＜0．∴点G横坐标的取值范围为．点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、线段的垂直平分线，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．在数列{a n}，{b n}中，a1=2，b1=4，且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3，a4和b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）证明你的结论；（Ⅲ）证明：++…+＜．考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列与不等式的综合；数学归纳法．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列得关系式2b n=a n+a n+1，a n+12=b n•b n+1把a1=2，b1=4循环代入上面两个式子可求a2，a3，a4和b2，b3，b4，并由此猜测出{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）利用数学归纳法加以证明；（Ⅲ）当n=1时直接验证，当n大于等于2时放缩后利用裂项相消法证明．解答：（Ⅰ）解：由已知得2b n=a n+a n+1，a n+12=b n•b n+1．又a1=2，b1=4，由此可得a2=6，a3=12，a4=20，b2=9，b3=16，b4=25．猜测a n=n（n+1），b n=（n+1）2．（Ⅱ）用数学归纳法证明：①当n=1时，由（Ⅰ）可得结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即a k=k（k+1），b k=（k+1）2．那么当n=k+1时，a k+1=2b k﹣a k=2（k+1）2﹣k（k+1）=（k+1）（k+2），b k+1==（k+2）2．所以当n=k+1时，结论也成立．由①②可知a n=n（n+1），b n=（n+1）2对一切正整数都成立．（Ⅲ）证明：=＜．n≥2时，由（Ⅰ）知a n+b n=（n+1）（2n+1）＞2（n+1）n．故++…+＜+=+（﹣+﹣+…+﹣）=+（﹣）＜+=．综上，原不等式成立．点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，是数列与不等式的综合题，考查了数学归纳法，训练了放缩法及列项相消法证明不等式，是中档题．21．已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：在（x1，x2）恒有实数解（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x0，使得．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：当0＜a＜b时，（可不用证明函数的连续性和可导性）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．专题：新定义．分析：（1）先对函数f（x）进行求导，又根据f'（2）=0可得到关于m的代数式．再将m的代数式n代入函数f（x）中消去n，可得f'（x）=3mx2﹣6mx，当f'（x）＞0时x的取值区间为所求．（2）由于=m（x12+x22+x1x2﹣3x1﹣3x2）从而，可化为3x2﹣6x﹣x12﹣x22﹣x1x2+3x1+3x2=0，令h（x）=3x2﹣6x﹣x12﹣x22﹣x1x2+3x1+3x2，计算则h（x1）h（x2）＜0，根据零点存在定理得h（x）=0在区间（x1，x2）内必有解，从而得到证明；（3）令g（x）=lnx，x∈（a，b），则g（x）符合拉格朗日中值定理的条件，即存在x0∈（a，b），使，由于函数g′（x）=的性质即可证得结果．解答：解：（1）因为f'（x）=3mx2+2nx，﹣﹣﹣﹣﹣﹣由已知有f'（2）=0，所以3m+n=0即n=﹣3m﹣﹣﹣﹣﹣﹣即f'（x）=3mx2﹣6mx，由f'（x）＞0知mx（x﹣2）＞0．当m＞0时得x＜0或x＞2，f（x）的减区间为（0，2）；﹣﹣﹣﹣﹣当m＜0时得：0＜x＜2，f（x）的减区间为（﹣∞，0）和（2，+∞）；﹣﹣﹣﹣﹣综上所述：当m＞0时，f（x）的减区间为（0，2）；当m＜0时，f（x）的减区间为（﹣∞，0）和（2，+∞）；﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵=m（x12+x22+x1x2﹣3x1﹣3x2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴，可化为3x2﹣6x﹣x12﹣x22﹣x1x2+3x1+3x2=0，令h（x）=3x2﹣6x﹣x12﹣x22﹣x1x2+3x1+3x2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则h（x1）=（x1﹣x2）（2x1+x2﹣3），h（x2）=（x2﹣x1）（x1+2x2﹣3），即h（x1）h（x2）=﹣（x1﹣x2）2（2x1+x2﹣3）（x1+2x2﹣3）又因为0＜x1＜x2＜1，所以（2x1+x2﹣3）＜0，（x1+2x2﹣3）＜0，即h（x1）h（x2）＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故h（x）=0在区间（x1，x2）内必有解，即关于x的方程在（x1，x2）恒有实数解﹣﹣﹣﹣﹣（3）令g（x）=lnx，x∈（a，b），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则g（x）符合拉格朗日中值定理的条件，即存在x0∈（a，b），使﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为g′（x）=，由x∈（a，b），0＜a＜b可知g′（x）∈（），b﹣a＞0﹣﹣﹣﹣﹣即，∴﹣﹣﹣﹣﹣点评：本小题主要考查导数的运算、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法\拉格朗日中值定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．。
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广东省广州市高山文化培训学校 2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M={x|﹣3＜x＜1}，N={x|x≤﹣3}，则M∪N( )A．∅B．{x|x≥﹣3} C．{x|x≥1} D．{x|x＜1}2．若函数y=（x+1）（x﹣a）为偶函数，则a=( )A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．23．圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是( )A．B．C．D．4．已知0＜a＜1，x=log a+log a，y=log a5，z=log a﹣log a，则( ) A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．y＞x＞z D．z＞x＞y5．设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是( )A．B． C． D．6．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A．B．C．D．7．将函数y=2x+1的图象按向量平移得到函数y=2x+1的图象，则等于( ) A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．（1，1）D．（﹣1，1）8．已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为( ) A．4 B．2 C．1 D．﹣49．已知双曲线9y2﹣m2x2=1（m＞0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=( ) A．1 B．2 C．3 D．410．如图，动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是( )A．B．C．D．二、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，满分15分．其中14～15题是选做题，考生只能选做其中的一题，两题全答的，只计算14两题得分）．11．函数的定义域是__________．12．如图是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图，则此几何体共由__________块木块堆成．13．如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：①+=2；②=2+2；③•=；④（•）=（•）．其中真命题的代号是__________．__________（写出所有真命题的代号）．（坐标系与参数方程选做题）14．点P（x，y）是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点，则x+2y的最大值为__________．（几何证明选讲选做题）15．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于P，连结AD，BD．已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长为__________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．17．假设数学测验的成绩都是正整数，甲、乙两人某次数学测验成绩都是两位正整数，且十位数字都是8，求甲、乙两人此次数学成绩的差的绝对值不超过2的概率．（画图解答）18．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G 分别为PC、PD、BC的中点．（1）求证：GC⊥平面PEF；（2）求证：PA∥平面EFG；（3）求三棱锥P﹣EFG的体积．19．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=kS n+2，且a1=2，a2=1．（1）求k的值；（2）求S n；（3）是否存在正整数m，n，使成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，说明理由．20．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时⊥？此时的值是多少？．21．设函数f（x）=ax3+bx2﹣3a2x+1（a，b∈R）在x=x1，x=x2处取得极值，且|x1﹣x2|=2．（Ⅰ）若a=1，求b的值，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞0，求b的取值范围．广东省广州市高山文化培训学校2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M={x|﹣3＜x＜1}，N={x|x≤﹣3}，则M∪N( )A．∅B．{x|x≥﹣3} C．{x|x≥1} D．{x|x＜1}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意和并集的运算直接求出M∪N．解答：解：因为集合M={x|﹣3＜x＜1}，N={x|x≤﹣3}，所以M∪N={x|x＜1}，故选：D．点评：本题考查并集及其运算，属于基础题．2．若函数y=（x+1）（x﹣a）为偶函数，则a=( )A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2考点：偶函数．分析：本小题主要考查函数的奇偶性的定义：f（x）的定义域为I，∀x∈I都有，f（﹣x）=f（x）．根据定义列出方程，即可求解．解答：解：f（1）=2（1﹣a），f（﹣1）=0∵f（x）是偶函数∴2（1﹣a）=0，∴a=1，故选C．点评：本题主要考查偶函数的定义，对于函数的奇偶性问题要注意恰当的使用特殊值法．3．圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是( )A．B．C．D．考点：直线与圆相交的性质．分析：当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆没有公共点，这是充要条件．解答：解：依题圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点故选C．点评：本小题主要考查直线和圆的位置关系；也可以用联立方程组，△＜0来解；是基础题．4．已知0＜a＜1，x=log a+log a，y=log a5，z=log a﹣log a，则( ) A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．y＞x＞z D．z＞x＞y考点：对数值大小的比较．分析：先化简x、y、z然后利用对数函数的单调性，比较大小即可．解答：解：x=log a+log a=log a，y=log a5=log a，z=log a﹣log a=log a，∵0＜a＜1，又＜＜，∴log a＞log a＞log a，即y＞x＞z．故选 C．点评：本题考查对数函数的性质，对数的化简，是基础题．5．设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是( )A．B． C． D．考点：导数的几何意义．专题：压轴题．分析：根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围．解答：解：设点P的横坐标为x0，∵y=x2+2x+3，∴y′=2x 0+2，利用导数的几何意义得2x0+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），又∵，∴0≤2x0+2≤1，∴．故选：A．点评：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题．6．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，由此能求出取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率．解答：解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．故选：C．点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件的概率计算公式的合理运用．7．将函数y=2x+1的图象按向量平移得到函数y=2x+1的图象，则等于( ) A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．（1，1）D．（﹣1，1）考点：函数的图象与图象变化．分析：本小题主要考查函数图象的平移与向量的关系问题．依题由函数y=2x+1的图象得到函数y=2x+1的图象，需将函数y=2x+1的图象向左平移1个单位，向下平移1个单位；故．解答：解：设=（h，k）则函数y=2x+1的图象平移向量后所得图象的解析式为y=2x﹣h+1+k∴∴∴=（﹣1，﹣1）故选A点评：求平移向量多采用待定系数法，先将平移向量设出来，平移后再根据已知条件列出方程，解方程即可求出平移向量．8．已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为( ) A．4 B．2 C．1 D．﹣4考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．解答：解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为（0，1），（1，0），（﹣1，﹣2），验证知在点（1，0）时取得最大值2当直线z=2x+y过点A（1，0）时，z最大是2，故选B．点评：本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．9．已知双曲线9y2﹣m2x2=1（m＞0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=( ) A．1 B．2 C．3 D．4考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：由双曲线9y2﹣m2x2=1（m＞0）可得，顶点，一条渐近线为mx﹣3y=0，再由点到直线的距离公式根据一个顶点到它的一条渐近线的距离为可以求出m．解答：解：，取顶点，一条渐近线为mx﹣3y=0，∵故选D．点评：本小题主要考查双曲线的知识，解题时要注意恰当选取取公式．10．如图，动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是( )A．B．C．D．考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：压轴题．分析：只有当P移动到正方体中心O时，MN有唯一的最大值，则淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，则淘汰选项D．解答：解：设正方体的棱长为1，显然，当P移动到对角线BD1的中点O时，函数取得唯一最大值，所以排除A、C；当P在BO上时，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为M1、N1、P1，则y=MN=M1N1=2BP1=2•xcos∠D1BD=2•是一次函数，所以排除D．故选B．点评：本题考查直线与截面的位置关系、空间想象力及观察能力，同时考查特殊点法、排除法．二、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，满分15分．其中14～15题是选做题，考生只能选做其中的一题，两题全答的，只计算14两题得分）．11．函数的定义域是13．如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：①+=2；②=2+2；③•=；④（•）=（•）．其中真命题的代号是①②．④（写出所有真命题的代号）．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则及正六边形的边、对角线的关系判断出各个命题的正误．解答：解：①+==2，故①正确；②取AD 的中点O，有=2=2（+）=2+2，故②正确；③∵•﹣•=（+）•﹣•=•≠0，故③错误；④∵=2，∴（•）•=2（•）•=2•（•），故④正确；故答案为：①②④．点评：本题考查向量的运算法则：平行四边形法则，三角形法则、考查正六边形的边，对角线的关系．（坐标系与参数方程选做题）14．点P（x，y）是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点，则x+2y的最大值为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先把椭圆2x2+3y2=12化为标准方程，得，由此得到这个椭圆的参数方程为：（θ为参数），再由三角函数知识求x+2y的最大值．解答：解：把椭圆2x2+3y2=12化为标准方程，得，∴这个椭圆的参数方程为：，（θ为参数）∴x+2y=，∴．故答案为：．点评：本题考查椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．（几何证明选讲选做题）15．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于P，连结AD，BD．已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长为8．考点：与圆有关的比例线段．专题：推理和证明；立体几何．分析：根据AD=BD=4，=，∠DAB=∠DBA，确定出∠DAB=∠ACD，∠CDA=∠ADP，判断△APD∽△CAD，运用对应边成比例即可判断求解．解答：解：连接AC，DP=x，CD=6+x∵AD=BD=4，∴=，∠DAB=∠DBA，∴∠ACD=∠DAB，即∠DAB=∠ACD，∵∠CDA=∠ADP，∴△APD∽△CAD，对应边成比例，∴=，=，化简计算得出：x2+6x﹣16=0，求解得出：x=2，x=﹣8（舍去）∴x+6=2+6=8，故答案为：8点评：本题考查了圆周角，弦长问题，判断有关的角相等问题，得出相似三角形，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．考点：解三角形；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）由c及cosC的值，利用余弦定理列出关于a与b的关系式a2+b2﹣ab=4，再由已知三角形的面积及sinC的值，利用三角形的面积公式得出ab的值，与a2+b2﹣ab=4联立组成方程组，求出方程组的解即可求出a与b的值；（2）利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，与（1）得出的a2+b2﹣ab=4联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：（1）∵c=2，cosC=，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：a2+b2﹣ab=4，又△ABC的面积等于，sinC=，∴，整理得：ab=4，联立方程组，解得a=2，b=2；（2）由正弦定理，把sinB=2sinA化为b=2a，联立方程组，解得：，，又sinC=，则△ABC的面积．点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．假设数学测验的成绩都是正整数，甲、乙两人某次数学测验成绩都是两位正整数，且十位数字都是8，求甲、乙两人此次数学成绩的差的绝对值不超过2的概率．（画图解答）考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：设甲的成绩为x，乙的成绩为y，则（x，y）对应如图所示的正方形ABCD及其内部的整数点，其中满足|x﹣y|≤2的（x，y）对应的点如图阴影部分（含边界）的整数点，问题得以解决解答：解：设甲的成绩为x，乙的成绩为y，x，y∈{80，81，82，••，89}，则（x，y）对应如图所示的正方形ABCD及其内部的整数点，共有10×10=100，其中满足|x﹣y|≤2的（x，y）对应的点如图阴影部分（含边界）的整数点，共有100﹣7×8=44，故所求概率为P==，点评：本题考查了概率公式的计算，关键是画出图象，属于中档题18．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G 分别为PC、PD、BC的中点．（1）求证：GC⊥平面PEF；（2）求证：PA∥平面EFG；（3）求三棱锥P﹣EFG的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：证明题；综合题．分析：（1）：因为PD⊥平面ABCD，GC⊂平面ABCD，所以GC⊥PD．因为GC⊥CD且PD∩CD=D所以GC⊥平面PCD．（2）因为EF∥CD且EF∥GH所以E，F，H，G四点共面．又因为F，H分别为DP，DA的中点所以PA∥FH因为PA⊄平面EFG，FH⊂平面EFG，所以PA∥平面EFG．（3）先求出底面的面积，由题意得所以三棱锥的体积为．解答：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，GC⊂平面ABCD，∴GC⊥PD．∵ABCD为正方形，∴GC⊥CD．∵PD∩CD=D，∴GC⊥平面PCD．（2）证明：如图，取AD的中点H，连接GH，FH，∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD．∵G，H分别为BC，AD的中点，∴GH∥CD．∴EF∥GH．∴E，F，H，G四点共面．∵F，H分别为DP，DA的中点，∴PA∥FH．∵PA⊄平面EFG，FH⊂平面EFG，∴PA∥平面EFG．（3）解：∵，，∴．∵，∴．点评：证明线面垂直关键是证明直线与面内的两条相交直线垂直；证明线面平行关键是证明已知直线与面内一条直线平行即可；求三棱锥的体积时有时需要换一个底面积与高都好求的顶点，在利用体积公式求出体积即可．19．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=kS n+2，且a1=2，a2=1．（1）求k的值；（2）求S n；（3）是否存在正整数m，n，使成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，说明理由．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由S2=kS1+2，得a1+a2=ka1+2，代入数值可求k；（2）由（1）知①，当n≥2时，②，两式相减可得递推式，由递推式可判断该数列为等比数列，从而可求S n；（3）表示出不等式，可化为2＜2n（4﹣m）＜6，假设存在正整数m，n使得上面的不等式成立，则只能是2n（4﹣m）=4，从而可得m，n的方程组，解出即可作出判断；解答：解：（1）∵S2=kS1+2，∴a1+a2=ka1+2，又a1=2，a2=1，∴2+1=2k+2，解得．（2）由（1）知①，当n≥2时，②，①﹣②，得，又，易见，∴，于是{a n}是等比数列，公比为，首项为2，所以=4（1﹣）；（3）不等式，即，整理可得．可得即2＜2n（4﹣m）＜6，假设存在正整数m，n使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，4﹣m为整数，则只能是2n（4﹣m）=4，∴，因此，存在正整数．点评：本题考查数列求和、数列与不等式的综合，考查学生解决问题的能力，本题运算量较大．20．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时⊥？此时的值是多少？．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是椭圆．从而写出其方程即可；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系及向量垂直的条件，求出k值即可，最后通牒利用弦长公式即可求得此时的值，从而解决问题．解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足消去y并整理得（k2+4）x2+2kx﹣3=0，故．，即x1x2+y1y2=0．而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，于是．所以时，x1x2+y1y2=0，故．当时，，．，而（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1x2=，所以．点评：本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．21．设函数f（x）=ax3+bx2﹣3a2x+1（a，b∈R）在x=x1，x=x2处取得极值，且|x1﹣x2|=2．（Ⅰ）若a=1，求b的值，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞0，求b的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：压轴题．分析：（Ⅰ）由题意f（x）=ax3+bx2﹣3a2x+1=x3+bx2﹣3x+1，求出其导数f'（x）=3x2+2bx﹣3，令f′（x）=0，求出极值点x=x1，x=x2利用|x1﹣x2|=2求出b值，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）不知a值，只知a＞0，由题意知x1，x2为方程3x2+2bx﹣3a2=0的两根，得=2，求出a的范围，因g（a）=9a2﹣9a3，求出g（a）的单调区间，从而求出a与b的关系，最后根据a的范围确定b的范围．解答：解：f'（x）=3ax2+2bx﹣3a2．①（Ⅰ）当a=1时，f'（x）=3x2+2bx﹣3；由题意知x1，x2为方程3x2+2bx﹣3=0的两根，所以．由|x1﹣x2|=2，得b=0．从而f（x）=x2﹣3x+1，f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．当x∈（﹣1，1）时，f'（x）＜0；当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，f'（x）＞0．故f（x）在（﹣1，1）单调递减，在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）单调递增．（Ⅱ）由①式及题意知x1，x2为方程3x2+2bx﹣3a2=0的两根，所以．从而|x1﹣x2|=2⇔b2=9a2（1﹣a），由上式及题设知0＜a≤1．考虑g（a）=9a2﹣9a3，．故g（a）在单调递增，在单调递减，从而g（a）在（0，1]的极大值为．又g（a）在（0，1]上只有一个极值，所以为g（a）在（0，1]上的最大值，且最小值为g（1）=0．所以，即b的取值范围为．点评：本小题主要考查函数的导数，单调性、极值，最值等基础知识，考查综合利用导数研究函数的有关性质的能力．。