离散数学(11)

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离散数学--11.1-2初等数论

(n)
n/ln n
(n)
n/ln n
1.159 1.132 1.104
10
素数的分布(续)
定理11.3 当n≥67时,
ln n 3 2 n
( n)
(n)
ln n
1 2
推论(素数定理)
n
lim
1
n / ln n
11
素数测试
定理11.4 如果a是合数, 则a必有小于等于 a 的真因子. 证由性质11.1.6, a=bc, 其中1<b<a, 1<c<a. 显然, b和c中必有一个小于等于 a . 否则, bc>( a )2=a, 矛盾. 推论如果a是合数, 则a必有小于等于 a 的素因子. 证由定理, a有小于等于 a 的真因子b. 如果b是素数,
第11章
初等数论
1
第11章
• 11.1 素数
初等数论
• 11.2 最大公约数与最小公倍数
• 11.3 同余
• 11.4 一次同余方程与中国剩余定理 • 11.5 欧拉定理和费马小定理
2
11.1 素数
• 整除、倍数和因子 • 带余除法
• 素数与合数
• 算术基本定理 • 筛法
3
整除、倍数和因子
设a, b是两个整数，且b≠0. 如果存在整数c 使 a=bc，则称a 被b 整除，或 b 整除a，记作 b|a. 此时, 又称 a 是b 的倍数，b是a 的因子. 把 b 不整除 a 记作 b a. 例如, 6有8个因子±1, ±2, ±3和±6. 今后只考虑正整数的正因子. 平凡因子 : 1和自身真因子 : 除1和自身之外的因子例如, 2, 3 是 6 的真因子

contingent离散数学

contingent离散数学
“contingent离散数学”是指与离散数学相关的概念或内容。

离散数学（Discrete mathematics）是研究离散对象数学结构及其性质的有关数学分支的总称，以处理离散对象为特征，研究内容通常包括（但不限于）图论、集合论、组合数学、数理逻辑，以及各种代数结构等可以离散化或者枚举计数的数学对象。

在计算机科学与技术领域，离散数学具有广泛的应用，同时也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。

通过离散数学的学习，人们可以掌握处理离散结构的描述工具和方法。

离散数学11

（4）条件联结词
定义1-2.4 复合命题“如果P，则Q” 称为P与Q的
蕴涵式，记作P Q，即“如果P，则Q”，“若 P则Q”。并称P为前件，Q为后件，符号称为蕴涵联结词。
运算规则：属于双目运算符
P
Q P→Q
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
只有当P的真值为T， Q的真值为 F时， P Q 的真值为F，否则均为T。
作业：
P8 （3）（5） P12 （5）
1-1 命题及其表示方法
内容：命题重点：掌握命题概念
一.基本概念
命题：具有确定真值的陈述句。
or 真值客观存在且唯一 or 能区分真假可以看出：（1）一个命题，总是具有一个“值”，称为真值。命真真命题：真值为真(T，1)的命题。假命题：真值为假(F，0)的命题。
复合命题的真值，取决于原子命题的真值，与原子命题之间是否有关系无关，与复合命题本身内容、含义无关；
∧、∨、具有对称性， ┐、没有；联结词具有运算和操作性，从已知命题得到新命题。
1-3 命题公式与翻译
内容：
合式公式
命题翻译
重点难点：命题翻译
合式公式wff
命题公式：将命题变元用联结词和圆括号按一定的逻辑关系联结起来的有意义的符号串。
为什么研究数理逻辑程序=算法+数据算法=逻辑+控制
数理逻辑是用数学方法即通过引入表意符号研究推理的学问。因此，数理逻辑又名为符号逻辑。
第一章命题逻辑
命题的引入：
数理逻辑研究推理，而推理必须包含前提和结论，它们又都是由什么样的句子组成？
陈述句，所以陈述句就成了推理的基本要素。所有的陈述句都是推理的要素？数理逻辑中所要求的是能判断真假(对错)的陈

离散数学第十一章群和环习题答案

习题十五
16
证明：每个阶数大于1的群必含有阶数大于1的交换子群. 证明：因为G的阶数大于1，必有周期大于1的元aG，构造H=(a)，即为所求。
习题十五
17
证明：循环群的子群必是循环群. 证明：设G的生成元为a, H为G的子群，并且H中具有最小正幂的元是 ak, G=(a), HG, H={e, ak, ak2, ak3,…}，设ak是H中具有最小正指数的元， amH，证明am=(ak)* ，H=(ak), 则 amH，令m=tk+r (0r<k), 则am=(ak)t ar, 由k的选择知，r=0, 即am=(合，试确定<A, +, >是否成环、整环或域。 (1)A={x|xZ且x 0}，无加法逆元，不是环 (2)A={a+b√3|a,bQ}，是域 (3)A={x|(y)[yZ且x=2y]}, 由偶数构成，是环，但无法幺元，不是整环，不是域。 (4)A={a/b|a,b为正整数，且(a,b)=1}，既约分数，但无0，不构成环。
习题十五 30
设<G, · >是群，a是G中一个固定元素，定义映射f:G → G使得对任何x G，f(x)=a· a-1. 求证：f是G的 x· 自同构映射。
证明：容易证明f是G的同态映射， f(x· =a· y· -1 =a· a-1· y· -1 y) x· a x· a· a =f(x) ·f(y) 再证明f是双射，证单射：f(x)=f(y), a· a-1 = a· a-1 x=y x· y· 证满射：令a· a-1 = y, x=a-1· a x· y·
c
c
c c
附加题：确定 2S，、 2S，、2S，各属于哪一个层次？
• 2S，：闭，结，幺= S，无逆元，故含幺半群。 • 2S，：闭，结，幺= ，无逆元，故含幺半群。 • 2S，：闭，结，幺= （ A=A, AA= ）A-1=A, 群。

离散数学11次序关系

定义设(A，≤)是偏序集，B是A的子集，a是子集B的上界，如果对于B中的任何上界x，都有a≤x，则称a为子集B的最小上界（或称上确界），记作sup(B) = a；同样，b是子集B的下界，如果对于B的任何下界y，都有y≤b，则称b为子集B的最大下界（或称下确界），记作inf(B) = b。例5:设A = {1，2，3，4，5，6，10，12 }，≤为整除关系。在子集{2，3，6}中，上确界为6，下确界为1。在子集{2，3，6，12}中，上确界为12，下确界为1。在子集{2，5，6}中，没有上确界，下确界为1。
7
画哈斯图的方法

用平面上的点代表集合中的元素，当b盖住a时，代表b的点应画在代表a的点的上方，并用直线段连接．否则不画线．上面例1:A = {1，2，3，4，5，6，8，10，12，16，24}，R是A上的整除关系，Ｒ的哈斯图如下：
24 12 16 8

6
3
4
2 1
10
5
8
哈斯图实例（续）
6
偏序关系的哈斯图表示

定义设R是集合A上的偏序关系，a和b是A中的元素，如果(a, b)∈ R，且在A中没有其他元素c，使得 (a, c)∈ R，(c, b)∈ R，则称元素b盖住a。例1:A = {1，2，3，4，5，6，8，10，12，16，24}， R是A上的整除关系，由“盖住”的定义可知，元素4盖住2；但元素8并不盖住2，因为有元素4，使得(2, 4)∈R和(4, 8)∈R，所以8不盖住2。利用元素间的盖住关系，能较方便地画出偏序关系的哈斯图(即关系图的简化)．
2

线性次序

定义设R是集合A上的偏序，如果对每个

离散数学(第二版)最全课后习题答案详解

27.设 A、B 都是含命题变量项 p1,p2,…,pn的公式,证明: 重言式.
是重言式当且仅当 A 和 B 都是
解：
A
B
0
0
0
1
1
0
1
1
由真值表可得，当且仅当 A 和 B 都是重言式时，
0 0 0 1 是重言式。
28. 设 A、B 都是含命题变量项 p1,p2,…,pn的公式,已知
，该式为重言式，所以论述为真。
18.在什么情况下,下面一段论述是真的:“说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的,而说如果小王会唱歌,小李就会跳舞是不正确的.” 解：p:小王会唱歌。q:小李会跳舞。
真值为 1.
真值为 0.可得，p 真值为 1，q 真值为 0.
所以，小王会唱歌，小李不会跳舞。
19.用真值表判断下列公式的类型:
（2）p: 是无理数.
（7）p:刘红与魏新是同学. （10）p:圆的面积等于半径的平方乘以 π. （13）p:2008 年元旦下大雪.
3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.
（1）5 是有理数.
答：否定式：5 是无理数. p：5 是有理数.q：5 是无理数.其否定式 q 的真值
5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2 或 3 是偶数. （2）2 或 4 是偶数. （3）3 或 5 是偶数. （4）3 不是偶数或 4 不是偶数. （5）3 不是素数或 4 不是偶数.
答: p：2 是偶数，q：3 是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数, t:5 是偶数 (1)符号化: p q∨ ，其真值为 1. (2)符号化：p r∨ ，其真值为 1. (3)符号化：r t∨ ，其真值为 0. (4)符号化：¬ ∨¬q s，其真值为 1. (5)符号化：¬ ∨¬r s，其真值为 0.

《离散数学》第9—11章习题详解!

第三部分代数结构
第九章代数系统
９．１内容提要
1．二元运算与一元运算二元运算设 S 为集合，函数 f：S ×S→S 称为 S 上的二元运算．这时也称 S 对 f 是封闭的．一元运算设 S 为集合，函数 f：S→S 称为 S 上的一元运算．这时也称 S 对 f 是封闭的．二元与一元运算的算符，倡，· ，◇，Δ等二元与一元运算的表示法表达式或者运算表 2．二元运算的性质（１）涉及一个二元运算的算律
定理 9．3 如果｜S ｜＞１，则单位元不等于零元．定理 9．4 对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有惟一的逆元 x －１．
3．代数系统
代数系统非空集合 S 与 S 上的 k 个一元或二元运算 f１，f２，…，fk 组成的系统，记作＜S，f１，
f２，…，fk ＞．同类型的代数系统与同种的代数系统
称 V ＝＜A ×B，· 重要结果：
＜a１，b１＞· ＜a２，b２＞＝＜a１ a２，b１倡b２＞＞为 V１与 V２的积代数，记作 V１ ×V２．这时也称 V１和 V２为 V 的因子代数．
任何代数系统 V 都存在子代数，V 是 V 的平凡子代数．
V 的子代数与 V 不仅是同类型的，也是同种的．
９．２基本要求
１．会判断给定函数 f 是否为集合 S 上的二元或一元运算．２．会判断或者证明二元运算的性质．
第九章代数系统
177
３．会求二元运算的特异元素．４．掌握子代数的概念．５．掌握积代数的定义及其性质６．能够判断函数是否为同态并分析同态的性质．
９．３习题课
本章的习题主要有以下题型．题型一判断运算是否封闭（集合与运算是否构成代数系统），并对封闭的运算确定其性质及特异元素

离散数学第十一章树

解：这实际上是求 G 的生成树的边数问题。一般情况下，设连通图 G 有n个节点，m条边。由树的性质知，T有n个节点， n-1条树枝，m-n+1 条弦。在图11.2（a）中， n=5，则n-1=4 ，所以至少要修４条路才行。由图11.2可见，要在一个连通图中找到一棵生成树，只要不断地从的回路上删去一条边，最后所得无回路的子图就是的一棵生成树。于是有以下定理。
m 1 ) t t 1 即(
这个定理实质上可以用每局有m个选手参加的单淘汰制比赛来说明。t个叶表示t个参赛的选手，i则表示必须按排的总的比赛局数。每一局由m个参赛者中产生一个优胜者，最后决出一个冠军。
11.2 有向树及其应用
m叉树
例11.8 设有28盏电灯，拟公用一个电源插座，问需要多少块具有四插座的接线板？这个公用插座可以看成是正则四叉树的根，每个接线板看成是其它的分枝点，灯泡看成是叶，则问题就是求总的分枝点的数目，由定理11.4可 1 以算得 i (281 ) 9 。因此，至少需要9块接线板才能达到目的。 3
图11.6
11.2 有向树及其应用
定义11.10 设<D,W>是叶加权二叉树。如果对于一切叶加权二叉树
DW ', ' 只要对于任意正实数r，D和 D ' 中权等于r的叶的数目相同，就 ', ' 的叶加权路径长度，则称有<D,W>的叶加权路径长度不大于 DW
<D,W>为最优的。这样，我们把求某问题的最佳算法就归结为求最优二叉树的问题。
11.1 树与生成树
生成树与最小生成树
定理11.2 无向图为连通当且仅当有生成树。
证明：先采用反证法来证明必要性。若 G 不连通，则它的任何生成子图也不连通，因此不可能有生成树，与 G 有生成树矛盾，故 G 是连通图。再证充分性。设 G 连通，则 G 必有连通的生成子图，令 T 是 G 的含有边数最少的生成子图，于是 T 中必无回路（否则删去回路上的一条边不影响连通性，与 T 含边数最少矛盾），故 T 是一棵树，即生成树。

离散数学刘任任版第11章答案

2018/10/15 3
( p, q) 是有向图, 4. 设D p p 明： d D (ui ) q d D (ui )
i 1 i 1
证
证明：因为有向图中的每条弧对应一个顶点（尾）的出度和另一个顶点（头）的入度计数.故
d ( u ) d D i D (ui ) q i 1 i 1 p p
2018/10/15
9
12．用归纳法证明书上第164页第12
题
（1） n 3 时，由条件，竞赛图必为三个顶点分别为甲、乙、丙（2）假设对 k n 的所有情况满足题意而 D 是个选手的竞赛图. n 4 ，任取 u V (0) . D u中必存在满（a）若 D u 中各点仍满足题意，则由为纳假设，足要求的甲、乙、丙三人，从而 D 中也存在三个人. （b）若 D u 中有一个人全胜，设为甲，由条件可知，必有胜 D u 中必有一点乙满足乙胜甲，令为丙，又由不全胜知，丙，故存在满足要求的甲、乙，由归纳法原理知，结论成立.
• (转)
2018/10/15 8
max{ , } (2)不失一般性,可以假定
(用到第二节的内容 )10 ．若有向完 D
全图中有一条有向回路，则中有一个 D 三角形的有向回路。
显然，有向回路至少含三个顶点,将有向回路以外的顶点去掉，得有向完全图 D ，且任何顶点 u 满足 d (u) 0 , 满足题12的条件 .故结论成立.
2018/10/15
4
D( p, q) 5．基础图是完全图的有向图 p p 满足 (d D (ui ))2 (d (ui ))2
证明.由D 的假设知，对任何 ui
i 1 i 1

离散数学-11半群与群-2(课件模板)

子群实例—中心
例11.13 设G为群，令C是与G中所有的元素都可交换的元素构成的集合，即 C＝{a|a∈G∧x∈G(ax＝xa)} 则C是G的子群，称为G的中心。证明：由e与G中所有元素的交换性可知，e∈C。C是G的非空子集。任取a,b∈C，为证明ab-1∈C，只需证明ab-1与G中所有的元素都可交换。x∈G，有 (ab-1)x ＝ab-1x ＝ab-1(x-1)-1 ＝a(x-1b)-1 ＝a(bx-1)-1 ＝a(xb-1) ＝(ax)b-1 ＝(xa)b-1 ＝x(ab-1) 由判定定理二可知，C≤G。
同时有
Hf5＝{f1f5,f2f5}＝{f5,f3}
可以看出 f3∈Hf5，所以 Hf3＝Hf5。 f3f5-1＝f3f6＝f2∈H
定理11.10
定理11.10 设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：a,b∈G， <a,b>∈R ab-1∈H
则R是G上的等价关系，且[a]R＝Ha。
h∈H∧hK
这就推出 hkH。
并且
k∈K∧kH
若不然，由h-1∈H可得 k＝h-1(hk)∈H，与假设矛盾。
同理可证，hkK。
从而得到 hkH∪K。这与H∪K是子群矛盾。
如何找到有限群的全部子群
第0层：{e}是G的平凡子群，也是最小的子群，放在第0层。第1层：任取aG，ae，则<a>是a由生成的子群。
陪集的基本性质
定理11.8 设H是群G的子群，则
(1) He＝H。
(2) a∈G有 a∈Ha。证明： (1) He ＝{he|h∈H} ＝{h|h∈H} ＝H (2) 任取a∈G，由a＝ea和ea∈Ha 得a∈Ha。
定理11.9
定理11.9 设H是群G的子群，则a,b∈G 有 a∈Hb ab-1∈H Ha＝Hb 证明：先证 a∈Hb ab-1∈H。 a∈Hb h(h∈H∧a＝hb) h(h∈H∧ab-1＝h) ab-1∈H

离散数学答案解析屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案解析

离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案
第一章部Байду номын сангаас课后习题参考答案
16 设 p、q 的真值为 0；r、s 的真值为 1，求下列各命题公式的真值。（1）p∨(q∧r) 0∨(0∧1) 0 （2）（p↔r）∧(﹁q∨s) （0↔1）∧(1∨1) 0∧1 0. （3）（ p∧ q∧r）↔(p∧q∧﹁r) （1∧1∧1） ↔ (0∧0∧0) 0 (4)（ r∧s）→(p∧ q) （0∧1）→(1∧0) 0→0 1
13. 给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。
(1) (F(x)
(2) x(F(x) G(x) H(x))
可编辑范本
解:(1)个体域:本班同学 F(x)：x 会吃饭, G(x)：x 会睡觉.成真解释 F(x)：x 是泰安人,G(x)：x 是济南人.（2）成假解释
(2)个体域:泰山学院的学生 F(x)：x 出生在山东,G(x):x 出生在北京,H(x):x 出生在江苏,成假解释. F(x)：x 会吃饭,G(x)：x 会睡觉,H(x)：x 会呼吸. 成真解释.
(1)在两个个体域中都解释为 xF(x) ，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为 xG(x) ，在（a）(b)中均为真命题。 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化:
可编辑范本
(1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x 能表示成分数
17．判断下面一段论述是否为真：“ 是无理数。并且，如果 3 是无理数，则 2 也是无理数。另外 6 能被 2 整除，6 才能被 4 整除。”
答：p: 是无理数 1 q: 3 是无理数 0
r: 2 是无理数 1

离散数学屈婉玲版课后答案

离散数学屈婉玲版课后答案【篇一：离散数学第四版课后答案】xt>第1章习题解答1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。

分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。

本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。

其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。

又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。

（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。

这里的“且”为“合取”联结词。

在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然??，但是??”、“不仅??，而且??”、“一面??，一面??”、“??和??”、“??与??”等。

但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。

例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。

1．2 （1）p: 2是无理数，p为真命题。

（2）p:5能被2整除，p为假命题。

（6）p→q。

其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。

由于p与q都是真命题，因而p→q为假命题。

（7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。

由于p为假命题，q为真命题，因而p→q为假命题。

（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月 13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。

（9）p：太阳系外的星球上的生物。

它的真值情况而定，是确定的。

离散数学课后习题答案

第1章习题解答1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。

分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。

本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。

其次，（4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。

又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。

这里的“且”为“合取”联结词。

在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是… … ”、“不仅……，而且… … ”、“一面……，一面… … ”、“……和… … ”、“……与……”等。

但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。

1．2 （1）p : 2是无理数，p 为真命题。

（2）p : 5能被2 整除，p 为假命题。

（6）p →q 。

其中，p : 2是素数，q：三角形有三条边。

由于p 与q 都是真命题，因而p →q 为假命题。

（7）p →q ，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。

由于p 为假命题，q 为真命题，因而p →q 为假命题。

（8）p : 2000年10 月1 日天气晴好，今日（1999 年2 月13 日）我们还不知道p 的真假，但p 的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。

（9）p：太阳系外的星球上的生物。

它的真值情况而定，是确定的。

离散数学及其应用第2版课件第11章形式语言与自动机简介

第11章形式语言与自动机简介
第11章形式语言与自动机简介
11.1 语言及其表示 11.2 正规语言与有限自动机 11.3 上下文无关语言与下推自动机 11.4 图灵机 11.5 线性界限自动机
2021/4/1
第11章形式语言与自动机简介
11.1 语言及其表示
11.1.1语言语言是一个非常抽象的概念，概括地说，一种语言
2021/4/1
第11章形式语言与自动机简介
定义11.3 设G＝(V，∑ ，P，S)是一个文法，则 (1)S是句型； (2)若αβγ是句型，且β→δ是P的一个元素，则αδγ也是句型。
(3)不含非终结符的句型是语言L(G)的一个句子。
下面，我们通过一些例子来说明文法的概念以及由文法产生语言的过程。例3 设G＝({A，S}，{0，1}，P，S)，其中P＝{S→0A1，0A→00A1，A→ε}。从这个文法可以推导出下面的一些句子： S→0A1→01；S→0A1→00A11→0011；S→0A1→00A11→000A111→000111。例4 设G＝({S}，{a，b}，P，S)，其中P＝{S→bSS，S→a}。从这个文法中可以推导出下面的句子： S→bSS→baS→baa； S→bSS→bbSSSS→bbSaSS→bbbSSaSS→bbbaaabSSSS→bbbaaabaaaa。
第11章形式语言与自动机简介
上节指出的四类文法所分别产生的四种类型的语言，即正规语言、上下文无关语言、上下文有关语言和0型语言，都存在着对应的识别器类。它们分别为有限自动机、下推自动机、线性界限自动机和图灵机。
研究四类文法及其产生的四类语言性质的学科称为形式语言理论，研究对应的四类识别器的学科称为自动机理论。可见，自动机理论和形式语言理论有着非常密切的关系。

离散数学习题的答案解析

离散数学习题答案之羊若含玉创作习题一及答案：（P14-15） 14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的成果是p （6）王强与刘威都学过法语解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的成果是p q ∧（9）只有天下大雨，他才乘班车上班解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的成果是q p → （11）下雪路滑，他迟到了解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的成果是()p q r ∧→15、设p ：2+3=5. q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值：（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→ 解：p=1，q=1，r=0，()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔，19、用真值表断定下列公式的类型：（2）()p p q →⌝→⌝解：列出公式的真值表，如下所示：由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可知足式. 20、求下列公式的成真赋值：（4）()p q q ⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先剖析它的成假赋值，成假赋值的条件是：所以公式的成真赋值有：01，10，11. 习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011，111.*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式，所以成假赋值为100.7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：（1）()p q r ∧∨解：原式()(()())p q r r p p q q r ⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧13567m m m m m ⇔∨∨∨∨，此即主析取范式.主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ⇔∧∧. 9、用真值表法求下面公式的主析取范式：（1）()()p q p r ∨∨⌝∧ 解：公式的真值表如下：由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式1234567m m m m m m m ⇔∨∨∨∨∨∨ 习题三及答案：（P52-54）11、填充下面推理证明中没有写出的推理规矩. 前提：,,,p q q r r s p ⌝∨⌝∨→ 结论：s 证明：① p 前提引入 ②p q ⌝∨ 前提引入 ③ q ①②析取三段论 ④q r ⌝∨ 前提引入⑤ r ③④析取三段论⑥r s→前提引入⑦ s ⑤⑥假言推理15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理：（2）前提：()(),()∨→∧∨→p q r s s t u结论：p u→证明：用附加前提证明法.① p 附加前提引入②p q∨①附加③()()∨→∧前提引入p q r s④r s∧②③假言推理⑤s④化简⑥s t∨⑤附加⑦()∨→前提引入s t u⑧ u ⑥⑦假言推理故推理正确.16、在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理：（1）前提：p q∧⌝⌝∨，r s→⌝，r q结论：p⌝证明：用归谬法① p 结论的否认引入②p q→⌝前提引入④r q⌝∨前提引入⑤r⌝③④析取三段论⑥r s∧⌝前提引入⑦ r ⑥化简⑧r r∧⌝⑤⑦合取由于0∧⌝⇒，所以推理正确.r r17、在自然推理系统P中结构下面推理的证明：只要A曾到过受害者房间并且11点以前没分开，A就是谋杀嫌犯.A曾到过受害者房间.如果A在11点以前分开，看门人会看见他.看门人没有看见他.所以，A是谋杀嫌犯.解：设p：A到过受害者房间，q：A在11点以前分开，r：A是谋杀嫌犯，s：看门人看见过A.则前提：()∧⌝→，p，q sp q r→，s⌝结论：r证明：①q s→前提引入②s⌝前提引入③q⌝①②拒取式④p前提引入⑤p q∧⌝③④合取引入⑥()∧⌝→前提引入p q r习题四及答案：（P65-67）5、在一阶逻辑中将下列命题符号化：（2）有的火车比有的汽车快.解：设F(x)：x 是火车，G(y)：y 是汽车，H(x,y)：x 比y 快；则命题符号化的成果是：（3）不存在比所有火车都快的汽车. 解：办法一：设F(x)：x 是汽车，G(y)：y 是火车，H(x,y)：x 比y 快；则命题符号化的成果是：(()(()(,)))x F x y G y H x y ⌝∃∧∀→或(()(()(,)))x F x y G y H x y ∀→∃∧⌝办法二：设F(x)：x 是火车，G(y)：y 是汽车，H(x,y)：x 比y 快；则命题符号化的成果是：(()(()(,)))x G x y F y H x y ⌝∃∧∀→或(()(()(,)))x y G x F y H x y ⌝∃∀∧→9、给定说明I 如下： (a) 个别域为实数聚集R. (b) 特定元素0a -=.(c) 函数(,),,f x y x y x y R -=-∈.(d) 谓词(,):,(,):,,F x y x y G x y x y x y R --=<∈.给出以下公式在I 下的说明，并指出它们的真值：（2）(((,),)(,))x y F f x y a G x y ∀∀→解：说明是：(0)x y x y x y ∀∀-=→<，寄义是：对于任意的实数x ，y ，若x-y=0则x<y.该公式在I 说明下的真值为假.14、证明下面公式既不是永真式也不是抵触式：（1）(()(()(,)))x F x y G y H x y ∀→∃∧解：取说明I 如下：个别域为全总个别域，()F x ：x是兔子，()G y ：y 是乌龟，(,)H x y ：x 比y 跑得快，则该公式在说明I 下真值是1；取说明'I 如下：(,)H x y ：x 比y 跑得慢，其它同上，则该公式在说明'I 下真值是0；故公式（1）既不是永真式也不是抵触式.此题答案不唯一，只要证明公式既不是永真式也不是抵触式的每个说明合理即可.习题五及答案：（P79-81） 5、给定说明I 如下： (a) 个别域D={3,4}(b) ():(3)4,(4)3f x f f ---==(c) (,):(3,3)(4,4)0,(3,4)(4,3)1F x y F F F F -----==== 试求下列公式在I 下的真值： (1) (,)x yF x y ∀∃解：办法一：先消去存在量词15、在自然推理系统N ξ中，结构下面推理的证明：（3）前提：(()())⌝∃xG xx F x G x∀∨，()结论：()∃xF x证明：①()⌝∃前提引入xG x②()∀⌝①置换x G x③()⌝②UI规矩G c④(()())∀∨前提引入x F x G x⑤()()F cG c∨④UI规矩⑥()F c③⑤析取三段论⑦()∃⑥EG规矩xF x*22、在自然推理系统N中，结构下面推理的证明：ξ（2）凡大学生都是勤奋的.王晓山不勤奋.所以王晓山不是大学生.解：设F(x)：x为大学生，G(x)：x是勤奋的，c：王晓山则前提：(()())⌝G cx F x G x∀→，()结论：()⌝F c证明：①(()())∀→前提引入x F x G x②()()→①UI规矩F cG c③()⌝前提引入G c④()⌝②③拒取式F c25、在自然推理系统N中，结构下面推理的证明：ξ每个科学工作者都是耐劳钻研的，每个耐劳钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功.王大海是科学工作者，并且是聪明的.所以，王大海在他的事业中将获得成功.（个别域为人类聚集）解：设F(x)：x 是科学工作者，G(x)：x 是耐劳钻研的，H(x)：x 是聪明的，I(x)：x 在他的事业中获得成功，c ：王大海则前提：(()())x F x G x ∀→，(()()())x G x H x I x ∀∧→，()()F c H c ∧ 结论：()I c 证明：①()()F c H c ∧前提引入 ②()F c ①化简 ③()H c ①化简④(()())x F x G x ∀→前提引入 ⑤()()F c G c →④UI 规矩 ⑥()G c ②⑤假言推理 ⑦()()G c H c ∧③⑥合取引入 ⑧(()()())x G x H x I x ∀∧→ 前提引入 ⑨()()()G c H c I c ∧→⑧UI 规矩 ⑩()I c ⑦⑨假言推理习题六及答案（P99-100） 28、化简下述聚集公式：（3）(())(())(())(())A B C A B C A B C A B C --⋃-⋂⋃⋂-⋂⋂ 解：(())(())(())(())A B C A B C A B C A B C --⋃-⋂⋃⋂-⋂⋂30、设A,B,C 代表任意聚集，试断定下面命题的真假.如果为真，给出证明；如果为假，给出反例. （6）()A B A B ⋃-=解：该命题为假，()A B A B A ⋃-=-，如果B A ⋂=∅，则B A B -=，不然B A B -≠，故B A B -=为假.举反例如下：{1,2},{1,3},A B ==则(){3}A B A B ⋃-=≠. （8）A B A C B C ⋃=⋃⇒=解：该命题为假，举反例如下：如果B ，C 都是A 的子集，则A B A C ⋃=⋃一定成立，但B C =不一定成立，例如：{1,2}A =，{1}B =,{2}C =，则A B A C A ⋃=⋃=，但B C ≠.33、证明聚集恒等式：（1）()A B A B A ⋂⋃=⋂证明：()A B A ⋂⋃A B =⋂B A =⋂习题七及答案：（P132-135）26 设{}1,2,3,4,5,6A =，R 为A 上的关系，R 的关系图如图7.13所示：（1）求23,R R 的聚集表达式；（2）求r(R), s(R), t(R)的聚集表达式. 解：（1）由R 的关系图可得{}1,5,2,5,,3,3,4,5R =所以{}23,1,3,3,R R R =︒=，{323,1,3,3,3,5RR R =︒=，可得{}3,1,3,3,,n>=2n R =当；（2）{A r(R)=RI 1,5,2,5,3,1,3,3,4,5,1,1,2,2,4,4,5,5,6,6=，41、设A={1，2，3，4}，R 为A A⨯上的二元关系，,,,a b c d A A ∀<><>∈⨯，,,a b R c d a b c d <><>⇔+=+（1）证明R 为等价关系；（2）求R 导出的划分.（1）只需证明R 具有自反性、对称性和传递性即可，证明进程如下：（a ）任取,a b A A ∀<>∈⨯，有a b a b +=+，,,a b R a b ∴<><>，所以R 具有自反性；（b ）任取,,,a b c d A A ∀<><>∈⨯，若,,a b R c d <><>，则有a b c d +=+，c d a b ∴+=+，,,c d R a b ∴<><>，所以R 具有对称性；（c ）任取,,,,,a b c d e f A A ∀<><><>∈⨯，若,,a b R c d <><>且,,c d R e f <><>，则有a b c d +=+且c d e f +=+，a b e f ∴+=+，,,a b R e f ∴<><>，所以R 具有传递性，综合（a ）（b ）（c ）可知：R 为聚集A A ⨯上的等价关系；（2）先求出聚集A A ⨯的成果：再分离求聚集A A ⨯各元素的等价类，成果如下：[4,4]{4,4}R <>=<>.等价关系R 导出的划分就是聚集A 关于R 的商集/A R ，而聚集A 关于R 的商集/A R 是由R 的所有等价类作为元素组成的聚集，所以等价关系R 导出的划分是：46、分离画出下列各偏序集,A R ≤的哈斯图，并找出A 的极大元、极小元、最大元和最小元.（1）{A ,,,,,,,,,,,,,I R a d a c a b a e b e c e d e ≤=解：哈斯图如下：A 的极大元为e 、f ，极小元为a 、f ；A 的最大元和最小元都不存在.*22、给定{}1,2,3,4A =，A 上的关系{}1,3,1,4,2,3,2,4,3,4R =，试（1）画出R 的关系图；（2）说明R 的性质.解：（1●●●●（2R 是反自反的，不是自反的；R 的关系图中任意两个极点如果有边的都是单向边，故R 是否决称的，不是对称的；R 的关系图中没有产生极点x 到极点y 有边、极点y 到极点z 有边，但极点x 到极点z 没有边的情况，故R 是传递的.*48、设,B,S A R 和为偏序集，在聚集A B ⨯上界说关系T 如下：证明T 为A B ⨯上的偏序关系.证明：（1）自反性：（2）否决称性：（3）传递性：综合（1）（2）（3）知T 具有自反性、否决称性和传递性，故T 为A B ⨯上的偏序关系.习题九及答案：（P179-180）8、（1）S *运算在上是否可交换、可结合？是否为幂等的？（2）S *运算是否有单位元、零元？如果有，请指出，并求出中所有可逆元素的逆元. 解：（1）（2）11、{}S 12S ?=***设，，...,10，问下面的运算能否与构成代数系统，如果能构成代数系统则说明运算是否满足交换律、结合律，并求运算的单位元和零元。

离散数学公式

离散数学公式(总11页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除基本等值式1.双重否定律 A ┐┐A2.幂等律 A A∨A, A A∧A3.交换律A∨B B∨A，A∧B B∧A4.结合律(A∨B)∨C A∨(B∨C) (A∧B)∧C A ∧(B∧C)5.分配律A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律）A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）6.德·摩根律┐(A∨B) ┐A∧┐B ┐(A∧B) ┐A ∨┐B7.吸收律A∨(A∧B) A，A∧(A∨B) A8.零律A∨1 1,A∧0 09.同一律A∨0 A，A∧1 A10.排中律A∨┐A 111.矛盾律A∧┐A 012.蕴涵等值式A→B ┐A∨B13.等价等值式A B (A→B)∧(B→A)14.假言易位A→B ┐B→┐A15.等价否定等值式A B ┐A┐B16.归谬论(A→B)∧(A→┐B) ┐A求给定公式范式的步骤(1)消去联结词→、(若存在)。

(2)否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩根律)。

(3)利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式，∨对∧的分配律求合取范式。

推理定律--重言蕴含式(1) A (A∨B)附加律(2) (A∧B) A化简律(3) (A→B)∧AB假言推理(4) (A→B)∧┐B ┐A拒取式(5) (A∨B)∧┐BA 析取三段论(6) (A→B) ∧ (B→C) (A→C)假言三段论(7) (A B) ∧ (B C) (A C) 等价三段论(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) (B∨D) 构造性二难(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) B 构造性二难(特殊形式)(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D) (┐A∨┐C) 破坏性二难设个体域为有限集D={a1,a2,…,an},则有（1）xA(x) A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)（2）xA(x) A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则（1）┐xA(x) x┐A(x)（2）┐xA(x) x┐A(x)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，B中不含x的出现，则（1）x(A(x)∨B) xA(x)∨Bx(A(x)∧B) xA(x)∧Bx(A(x)→B) xA(x)→Bx(B→A(x)) B→xA(x)（2）x(A(x)∨B) xA(x)∨Bx(A(x)∧B) xA(x)∧Bx(A(x)→B) xA(x)→Bx(B →A(x)) B →xA(x)设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x 的公式，则（1）x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x) （2）x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨ xB(x)全称量词“”对“∨”无分配律。