盐城市2015届高三调研考试模拟数学试卷(含详细解答)

合集下载

江苏省南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试数学试题含解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.函数()sin cos f x x x =⋅的最小正周期为．【答案】考点：1。

三角函数的周期；2。

已知复数(2)(13)z i i =-+，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面上对应的点位于第象限．【答案】一考点：1。

复数的运算;2。

复数的几何表示；3.右图是一个算法流程图，如果输入x 的值是14，则输出的S 的值是．输入x开始 x > 1S ← x - 1S ← log 2 x输出S 结束（第3题图）N Y【答案】－2 【解析】试题分析：x =14时，114>不成立，所以21log 24S ==-;考点：1。

算法流程图；2。

判断结构;4。

某工厂为了了解一批产品的净重(单位:克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中,净重在区间[100,104)上的产品件数是．【答案】55考点：1。

频率分布直方图；5。

袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球，若摸出红球，得2分，摸出黑球,得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是．【答案】780.150 0.125 0.100 0.075 0.050（第4题图）频率/组距(克)考点：1.古典概型;2。

互斥事件与对立事件;6.如图，在平面四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点。

若BE BA BD λμ=+（,R λμ∈），则λμ+= ．【答案】34考点：1。

平面向量的运算；2.平面向量基本定理； 7.已知平面α，β,直线,m n .给出下列命题： ① 若mα,,nm nβ，则αβ； ② 若αβ，,mn αβ，则mn；③ 若,,m n m n αβ⊥⊥⊥,则αβ⊥； ④ 若αβ⊥，,m n αβ⊥⊥，则m n ⊥。

2015年5月份南京、盐城高三模拟数学

2015届高三模拟考试试卷(南京盐城)数学(满分160分，考试时间120分钟)2014．5 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝(x i －x －)2，其中x －＝.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 记函数f(x)＝3－x 的定义域为A ，函数g(x)＝lg(x －1)的定义域为B ，则A ∩B ＝____________．2. 已知复数z 满足(z ＋1)i ＝3＋5i ，其中i 为虚数单位，则|z|＝____________．3. 某算法的伪代码如图所示，若输出y 的值为3，则输入x 的值为____________．Read x If x ≤0 Then y ←x ＋2 Else y ←log 2x End If Print y(第3题)4. 上图是7位评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么这组数据的方差是____________．5. 已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝____________ .(第5题)6. 在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4，5的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是__________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(3，－1)，OB →＝(0，2)．若OC →·AB →＝0，AC →＝λOB →，则实数λ的值为__________．8. 已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面． ① 若m α，m ⊥β，则α⊥β； ② 若m α，α∩β＝n ，α⊥β，则m ⊥n ； ③ 若m α，n β，α∥β，则m ∥n; ④ 若m ∥α，m β，α∩β＝n ，则m ∥n. 上述命题中为真命题的是________．(填序号)9. 如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为____________．(第9题)10. 记定义在R 上的函数y ＝f(x)的导函数为f′(x)．如果存在x 0∈[a ，b]，使得f(b)－f(a)＝f′(x 0)(b －a)成立，则称x 0为函数f(x)在区间[a ，b]上的“中值点”，那么函数f(x)＝x 3－3x 在区间[－2，2]上“中值点”的个数为______________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，点F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过F作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，延长FA 与另一条渐近线交于点B.若FB →＝2FA →，则双曲线的离心率为____________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－(6－2m)x －4my ＋5m 2－6m ＝0，直线l 经过点(1，0)．若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线l 的方程为____________．13. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n ＋p ，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －5.设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，a n ≤b n ，b n ，a n ＞b n ，若在数列{c n }中，c 8＞c n (n ∈N *，n ≠8)，则实数p 的取值范围是__________． 14. 设点P 是曲线y ＝x 2上的一个动点，曲线y ＝x 2在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线y ＝x 2的另一交点为Q ，则PQ 的最小值为____________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知α、β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－7210.(1) 求cos2α的值； (2) 求2α－β的值．如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D 、E 、F 分别为线段AC 、A 1A 、C 1B 的中点．(1) 求证：EF ∥平面ABC ； (2) 求证：C 1E ⊥平面BDE.17. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝12m(x －1)2－2x ＋3＋lnx ，m ∈R .(1) 当m ＝0时，求函数f(x)的单调增区间；(2) 当m ＞0时，若曲线y ＝f(x)在点P(1，1)处的切线l 与曲线y ＝f(x)有且只有一个公共点，求实数m 的值．将一张长8 cm、宽6 cm的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两部分，面积分别为S1 cm2、S2 cm2，其中S1≤S2.记折痕长为l cm.(1) 若l＝4，求S1的最大值；(2) 若S1∶S2＝1∶2，求l的取值范围．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2m ＋y 28－m＝1.(1) 若椭圆C 的焦点在x 轴上，求实数m 的取值范围； (2) 若m ＝6，① P 是椭圆C 上的动点，M 点的坐标为(1，0)，求PM 的最小值及对应的点P 的坐标； ② 过椭圆C 的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB的垂直平分线l 交x 轴于点N ，求证ABFN是定值，并求出这个定值．记等差数列{a n }的前n 项和为S n .(1) 求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列；(2) 若a 1＝1，且对任意正整数n 、k(n ＞k)，都有S n ＋k ＋S n －k ＝2S n 成立，求数列{a n }的通项公式；(3) 记b n ＝aa n (a ＞0)，求证：b 1＋b 2＋…＋b n n ≤b 1＋b n2.2013届高三模拟考试试卷(七)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，PA 、PB 是圆O 的切线，切点分别为A 、B ，线段OP 交圆O 于点C.若PA ＝12，PC ＝6，求AB 的长．B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1对应的变换将点A(1，1)变为A′(0，2)，将曲线C ：xy ＝1变为曲线C′.(1) 求实数a 、b 的值； (2) 求曲线C′的方程．C. (选修44：坐标系与参数方程)已知圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π6，直线l 过点M ，且与圆C 相切，求l 的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲) 解不等式x|x －4|－3＜0.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在三棱锥PABC 中，已知PA ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，D 、E 分别为PB 、PC 的中点．(1) 若PA ＝2，求直线AE 与PB 所成角的余弦值； (2) 若平面ADE ⊥平面PBC ，求PA 的长．23.如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为13.刚开始时，棋子在上底面点A 处，若移了n 次后，棋子落在上底面顶点的概率记为p n .(1) 求p 1、p 2的值；(2) 求证：14p i －1＞n 2n ＋1.2013届高三模拟考试试卷(七)(南京、盐城)数学参考答案及评分标准1. (1，3]2. 53. 84.127 5. 23 6. 710 7. 2 8. ①④ 9. 56210. 2 11. 2 12. 2x ＋y －2＝0 13. (12，17) 14. 33215. 解：(1) 方法一：因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.(2分)又sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝45，cos 2＝15.(4分)所以cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－35.(6分)方法二：因为cos2α＝cos 2α－sin 2α(2分) ＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1，(4分) 又tan α＝2，所以cos2α＝1－2222＋1＝－35.(6分)(2) 方法一：因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.又cos2α＝－35＜0，故2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin2α＝45.(8分)由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.(10分)所以sin (2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×⎝⎛⎭⎫－7210－⎝⎛⎭⎫－35×210＝－22.(12分)又2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4.(14分)方法二：因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43.从而2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.(8分)由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，因为tan β＝－17，(10分)所以tan (2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝－43＋171＋⎝⎛⎭⎫－43×⎝⎛⎭⎫－17＝－1.(12分)又2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4.(14分)16. 证明：(1) 如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG .因为F 为C 1B 的中点，所以FG 綊12C 1C.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1A 綊C 1C ，且E 为A 1A 的中点，所以FG 綊EA. 所以四边形AEFG 是平行四边形．所以EF ∥AG.(4分)因为EF 平面ABC ，AG 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC.(6分)(2) 因为在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，BD 平面ABC ，所以A 1A ⊥BD.因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ⊥AC.因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A 平面A 1ACC 1，AC平面A 1ACC 1，所以BD ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E平面A 1ACC 1，所以BD ⊥C 1E.(9分)根据题意，可得EB ＝C 1E ＝62AB ，C 1B ＝3AB ，所以EB 2＋C 1E 2＝C 1B 2.从而∠C 1EB ＝90°，即C 1E ⊥EB.(12分)因为BD ∩EB ＝B ，BD 平面BDE ，EB 平面BDE ，所以C 1E ⊥平面BDE.(14分)17. 解：(1) 由题意知，f(x)＝－2x ＋3＋lnx ，所以f′(x)＝－2＋1x ＝－2x ＋1x(x ＞0)．(2分)由f′(x)＞0，得x ∈⎝⎛⎭⎫0，12. 所以函数f(x)的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，12.(4分) (2) 由f′(x)＝mx －m －2＋1x，得f′(1)＝－1，所以曲线y ＝f(x)在点P(1，1)处的切线l 的方程为y ＝－x ＋2.(6分) 由题意得，关于x 的方程f(x)＝－x ＋2有且只有一个解，即关于x 的方程12m(x －1)2－x ＋1＋lnx ＝0有且只有一个解．令g(x)＝12m(x －1)2－x ＋1＋lnx(x ＞0)．则g′(x)＝m(x －1)－1＋1x ＝mx 2－（m ＋1）x ＋1x ＝（x －1）（mx －1）x(x ＞0)．(8分)① 当0＜m ＜1时，由g′(x)＞0得0＜x ＜1或x ＞1m ，由g′(x)＜0得1＜x ＜1m ，所以函数g(x)在(0，1)上为增函数，在⎝⎛⎭⎫1，1m 上为减函数，在⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞上为增函数．又g(1)＝0，且当x →∞时，g(x)→∞，此时曲线y ＝g(x)与x 轴有两个交点．故0＜m ＜1不合题意．(10分)② 当m ＝1时，g ′(x)≥0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数，且g(1)＝0，故m ＝1符合题意．③ 当m ＞1时，由g′(x)＞0得0＜x ＜1m 或x ＞1，由g′(x)＜0得1m＜x ＜1，所以函数g(x)在⎝⎛⎭⎫0，1m 上为增函数，在⎝⎛⎭⎫1m ，1上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．又g(1)＝0，且当x →0时，g(x)→－∞，此时曲线y ＝g(x)与x 轴有两个交点．故m ＞1不合题意．综上所述，实数m 的值为m ＝1.(14分)18. 解：如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ，AB ＝8 cm ，AD ＝6 cm ，其中点A 在面积为S 1的部分内．折痕有下列三种情形：① 折痕的端点M ，N 分别在边AB ，AD 上； ② 折痕的端点M ，N 分别在边AB ，CD 上； ③ 折痕的端点M ，N 分别在边AD ，BC 上．(1) 在情形②、③中MN ≥6，故当l ＝4时，折痕必定是情形①. 设AM ＝x cm ，AN ＝y cm ，则x 2＋y 2＝16.(2分) 因为x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，所以S 1＝12xy ≤4，当且仅当x ＝y ＝22时取等号．即S 1的最大值为4.(5分)(2) 由题意知，长方形的面积为S ＝6×8＝48.因为S 1∶S 2＝1∶2，S 1≤S 2，所以S 1＝16，S 2＝32.当折痕是情形①时，设AM ＝x cm ，AN ＝y cm ，则12xy ＝16，即y ＝32x.由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤32x ≤6，得163≤x ≤8.所以l ＝x 2＋y 2＝x 2＋322x 2，163≤x ≤8.(8分)设f(x)＝x 2＋322x2，x ＞0，则f ′(x)＝2x －2×322x 3＝2（x 2＋32）（x ＋42）（x －42）x 3，x ＞0.故x 163 ⎝⎛⎭⎫163，42 4 2 (42，8) 8 f ′(x) －0 ＋f(x)64496480所以f(x)的取值范围为[64，80]，从而l 的范围是[8，45]；(11分)当折痕是情形②时，设AM ＝x cm ，DN ＝y cm ，则12(x ＋y)×6＝16，即y ＝163－x.由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤163－x ≤8，得0≤x ≤163.所以l ＝62＋（x －y ）2＝62＋4⎝⎛⎭⎫x －832，0≤x ≤163.所以l 的范围为⎣⎡⎦⎤6，21453；(13分)当折痕是情形③时，设BN ＝x cm ，AM ＝y cm ，则12(x ＋y)×8＝16，即y ＝4－x.由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤6，0≤4－x ≤6，得0≤x ≤4. 所以l ＝82＋（x －y ）2＝82＋4（x －2）2，0≤x ≤4.所以l 的取值范围为[8，45]．综上，l 的取值范围为[6，45]．(16分)19. 解：(1) 由题意得，m ＞8－m ＞0，解得4＜m ＜8. 即实数m 的取值范围是(4，8)．(2分)(2) 因为m ＝6，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.① 设点P 坐标为(x ，y)，则x 26＋y22＝1.因为点M 的坐标为(1，0)，所以PM 2＝(x －1)2＋y 2＝x 2－2x ＋1＋2－x 23＝2x 23－2x ＋3＝23⎝⎛⎭⎫x －322＋32，x ∈[－6，6]．(4分) 所以当x ＝32时，PM 的最小值为62，此时对应的点P 坐标为⎝⎛⎭⎫32，±52.(6分)② 由a 2＝6，b 2＝2，得c 2＝4，即c ＝2，从而椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2，0)，右准线方程为x ＝3，离心率e ＝63.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点H(x 0，y 0)，则 x 216＋y 212＝1，x 226＋y 222＝1，所以x 21－x 226＋y 21－y 222＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 03y 0.(9分)令k ＝k AB ，则线段AB 的垂直平分线l 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，则x N ＝ky 0＋x 0＝23x 0.因为F(2，0)，所以FN ＝|x N －2|＝23|x 0－3|.(12分)因为AB ＝AF ＋BF ＝e(3－x 1)＋e(3－x 2)＝263|x 0－3|.故AB FN ＝263×32＝ 6. 即ABFN为定值 6.(16分) 20. 解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，从而S nn ＝a 1＋n －12 d.所以当n ≥2时，S n n －S n －1n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋n －12d －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋n －22d ＝d 2. 即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．(2分)(2) 因为对任意正整数n ，k(n ＞k)，都有S n ＋1＋S n －k ＝2S n 成立，所以S n ＋1＋S n －1＝2S n ，即数列{S n }是等差数列．(4分)设数列{S n }的公差为d 1，则S n ＝S 1＋(n －1)d 1＝1＋(n －1)d 1，所以S n ＝[1＋(n －1)d 1]2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝[1＋(n －1)d 1]2－[1＋(n －2)d 1]2＝2d 21n －3d 21＋2d 1，因为{a n }是等差数列，所以a 2－a 1＝a 3－a 2，即(4d 21－3d 21＋2d 1)－1＝(6d 21－3d 21＋2d 1)－(4d 21－3d 21＋2d 1)，所以d 1＝1，即a n ＝2n －1.又当a n ＝2n －1时，S n ＝n 2，S n ＋k ＋S n －k ＝2S n 对任意正整数n ，k(n ＞k)都成立，因此a n ＝2n －1.(7分)(3) 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝aa n ，所以b nb n －1＝aa n －a n －1＝a d ，即数列{b n }是公比大于0，首项大于0的等比数列．(9分) 记公比为q(q ＞0)，以下证明：b 1＋b n ≥b p ＋b k ，其中p ，k 为正整数，且p ＋k ＝1＋n.因为(b 1＋b n )－(b p ＋b k )＝b 1＋b 1q n －1－b 1q p －1－b 1q k －1＝b 1(q p －1－1)(q k －1－1)．当q ＞1时，因为y ＝q x 为增函数，p －1≥0，k －1≥0，所以q p －1－1≥0，q k －1－1≥0，所以b 1＋b n ≥b p ＋b k . 当q ＝1时，b 1＋b n ＝b p ＋b k .当0＜q ＜1时，因为y ＝q x 为减函数，p －1≥0，k －1≥0，所以q p －1－1≤0，q k －1－1≤0，所以b 1＋b n ≥b p ＋b k .综上，b 1＋b n ≥b p ＋b k ，其中p ，k 为正整数，且p ＋k ＝1＋n.(14分) 所以n(b 1＋b n )＝(b 1＋b n )＋(b 1＋b n )＋…＋(b 1＋b n ) ≥(b 1＋b n )＋(b 2＋b n －1)＋(b 3＋b n －2)＋…＋(b n ＋b 1) ＝(b 1＋b 2＋…＋b n )＋(b n ＋b n －1＋…＋b 1)，即b 1＋b 2＋…＋b n n ≤b 1＋b n 2.(16分)2013届高三模拟考试试卷(七)(南京、盐城)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 选修41：几何证明选讲解：如图，延长PO 交圆O 于D ，连结AO 、BO.AB 交OP 于点E. 因为PA 与圆O 相切，所以PA 2＝PC·PD.设圆O 的半径为R ，因为PA ＝12，PC ＝6，所以122＝6(2R ＋6)，解得R ＝9.(4分)因为PA 、PB 与圆O 均相切，所以PA ＝PB.又OA ＝OB ，所以OP 是线段AB 的垂直平分线．(7分) 即AB ⊥OP ，且AB ＝2AE.在Rt △OAP 中，AE ＝OA·PA OP ＝365.所以AB ＝725.(10分)B. 选修42：矩阵与变换解：(1) 由题知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，b ＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(4分)(2) 设P′(x ，y)是曲线C′上任意一点，P ′由曲线C 上的点P(x 0，y 0)经矩阵M 所表示的变换得到，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝x ，x 0＋y 0＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ＋x 2，y 0＝y －x 2.(7分) 因为x 0y 0＝1，所以y ＋x 2·y －x 2＝1，即y 24－x 24＝1.即曲线C′的方程为y 24－x24＝1.(10分)C. 曲线44：坐标系与参数方程解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，则圆C 的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4，点M 的直角坐标为(33，3)．(3分) 当直线l 的斜率不存在时，不合题意．设直线l 的方程为y －3＝k(x －33)，由圆心C(3，1)到直线l 的距离等于半径2. 故|23k －2|k 2＋1＝2.(6分)解得k ＝0或k ＝ 3.所以所求的直线l 的直角坐标方程为y ＝3或3x －y －6＝0.(8分)所以所求直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝3或ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝3.(10分)D. 选修45：不等式选讲解：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x 2－4x －3＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜4，－x 2＋4x －3＜0.(5分)解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，2－7＜x ＜2＋7，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜4，x ＜1或x ＞3.即4≤x ＜2＋7或3＜x ＜4或x ＜1.综上，原不等式的解集为{x|x ＜1或3＜x ＜2＋7}．(10分)22. 解：(1) 如图，取AC 的中点F ，连结BF ，则BF ⊥AC.以A 为坐标原点，过A 且与FB 平行的直线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系．则A(0，0，0)，B(3，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)从而PB →＝(3，1，－2)，AE →＝(0，1，1)．设直线AE 与PB 所成角为θ，则cos θ＝|PB →·AE →|PB →|×|AE →||＝14.即直线AE 与PB 所成角的余弦值为14.(4分)(2) 设PA 的长为a ，则P(0，0，a)，从而PB →＝(3，1，－a)，PC →＝(0，2，－a)．设平面PBC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，则n 1·PB →＝0，n 1·PC →＝0，所以3x ＋y －az ＝0，2y －az ＝0.令z ＝2，则y ＝a ，x ＝33a.所以n 1＝⎝⎛⎭⎫33a ，a ，2是平面PBC 的一个法向量．因为D 、E 分别为PB 、PC 的中点，所以D ⎝⎛⎭⎫32，12，a2，E ⎝⎛⎭⎫0，1，a 2，则AD →＝⎝⎛⎭⎫32，12，a 2，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，a 2. 设平面ADE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z)，则n 2·AD →＝0，n 2·AE →＝0.所以32x ＋12y ＋a 2z ＝0，y ＋a2z ＝0.令z ＝2，则y ＝－a ，x ＝－33a. 所以n 2＝⎝⎛⎭⎫－33a ，－a ，2是平面ADE 的一个法向量．(8分) 因为平面ADE ⊥平面PBC ，所以n 1⊥n 2，即n 1·n 2＝⎝⎛⎭⎫33a ，a ，2·⎝⎛⎭⎫－33a ，－a ，2＝－13a 2－a 2＋4＝0，解得a ＝3，即PA 的长为 3.(10分)23. 解：(1) p 1＝23，p 2＝23×23＋13×⎝⎛⎭⎫1－23＝59.(2分) (2) 证明：因为移了n 次后棋子落在上底面顶点的概率为p n ，故落在下底面顶点的概率为1－p n .于是移了n ＋1次后棋子落在上底面顶点的概率为p n ＋1＝23p n ＋13(1－p n )＝13p n ＋13.(4分)从而p n ＋1－12＝13⎝⎛⎭⎫p n －12. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫p n －12是等比数列，其首项为16，公比为13.所以p n －12＝16×⎝⎛⎭⎫13n －1，即p n ＝12＋12×13n .(6分)用数学归纳法证明：① 当n ＝1时，左式＝14×23－1＝35，右式＝12，因为35＞12，所以不等式成立．当n ＝2时，左式＝14×23－1＋14×59－1＝7855，右式＝43，因为7855＞43，所以不等式成立．② 假设n ＝k(k ≥2)时，不等式成立，即14p i －1＞k 2k ＋1.则n ＝k ＋1时，左式＝14p i －1＋14p k ＋1－1＞k 2k ＋1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12×13k ＋1－1＝k 2k ＋1＋3k ＋13k ＋1＋2.要证k 2k ＋1＋3k ＋13k ＋1＋2≥（k ＋1）2k ＋2，只要证3k ＋13k ＋1＋2≥（k ＋1）2k ＋2－k 2k ＋1，只要证3k ＋13k ＋1＋2≥k 2＋3k ＋1k 2＋3k ＋2，只要证23k ＋1≤1k 2＋3k ＋1，只要证3k ＋1≥2k 2＋6k ＋2. 因为k ≥2，所以3k ＋1＝3(1＋2)k ≥3(1＋2k ＋4C 2k )＝6k 2＋3＝2k 2＋6k ＋2＋2k(2k －3)＋1＞2k 2＋6k ＋2，所以k 2k ＋1＋3k ＋13k ＋1＋2≥（k ＋1）2k ＋2.即n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，不等式14p i －1＞n 2n ＋1对任意的n ∈N *都成立．(10分)。

2015盐城对口高考数学调研试卷

盐城市2015年普通高校单独招生第一次调研考试试卷数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（填充题.解答题）．两卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（共40分）注意事项：将第Ⅰ卷每小题的答案序号写在答题纸上一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．设全集}4,3,2,1{=U ,}3,2{=A ，}1{=B ，则A ∩B C U =（） A ． {2} B ．{3} C ． φ D ．{2,3}2. 已知y x >，则yx 11>的充要条件是（） A ．022≠+y x B ．0>x C ．0<y D ．0<xy3.已知53)sin(=+απ，则α2cos =（） A ．54 B ．54- C ．257 D ．257-4. 已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，x x x f -=2)(，那么1()2f 的值是（）A ．41B ．41-C ．43D ．43-5. 为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁-18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如图．根据图可得这100名学生中体重在〔56.5，64.5〕的学生人数是（）A ．20B ．30C ．40D ．50 6. 幂函数ax y =经过点(4 , 2 ) ，则函数|log |x y a =在),0(+∞上是（） A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增 7.已知圆锥的母线为8cm ，母线与底面所成角为60°，那么圆锥的表面积是( )A ．32πcm 2B ．48πcm 2C ．64πcm 2D ．80πcm 28. 已知函数f (x )=2sin (2x +3π)，则下列直线是函数f (x )的一条对称轴的是（） A .x =3π B . x =6π C . x =12π D . x =4π9.设双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，那么这个双曲线的离心率e 等于（） A ．43 B ．53C ．2D ． 3 10. 若直线220(0,0)ax by a b -+=>>经过圆222410x y x y ++-+=的圆心，则11a b+的最小值为（） A.2B.4C.12D.14第Ⅰ卷的答题纸第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上） 11.将二进制数1110101换算成十进制数，即（1110101）2=（___________）10.12.下图程序框图中是计算12＋14＋16＋…＋140的值的流程图，其中判断框内应填入的条件是__________．题13图题12图13. 上图反映了我国2008年三个年龄段人口数占全国总人口数的比例. 若2008年我国总人口数为132 802万人，则15-64岁的人数比65岁及以上的人数多______ ____万人（精确到0.1万人）． 14. 下图是某项工程的流程图（单位：天），则该工程的关键路径为__________．15. 设斜率为2的直线过抛物线p px y (22=＞0）的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若52=AF ,则抛物线的方程为_________ ____．三、解答题：（本大题共8题，共90分） 16．（本题满分8分）解不等式202≤-<x x .17．（本题满分10分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且bca B C -=3cos cos ，（1）求B sin 的值；（2）若24=b ，且c a =，求ABC ∆的面积．12 34 5 68792 1413A B E D G C 1 H1 F 2I 0J18．（本题满分10分）已知复数ω满足i )23(4ωω-=-（i 为虚单位）．（1）求复数ω；（2）求一个以复数ω为根的实系数一元二次方程． 19．（本题满分12分）已知甲盒中有大小相同的红球1只和白球2只，乙盒中也有大小相同的红球2只和白球2只．（1）从甲、乙两盒中各取2球，求恰好取到1只红球的概率；（2）从甲、乙两盒中各取1球，求两球颜色不同的概率．20．（本题满分12分）已知二次函数21249y x x =-+的图象交y 轴于点A ，它的对称轴为直线l ；指数函数)10(2≠>=a a a y x 且的图象交y 轴于点B ，且交l 于点C ． (1)求ABC ∆的面积；(2)若34AC BC ⋅>，求a 的取值范围.21．（本题满分12分）已知数列{}n a ，构造一个新数列121321,(),(),,(),n n a a a a a a a ---- 此数列是首项为1，公比为13的等比数列. （1）求2a 、3a 的值；（2）求数列{}n a 的通项；（3）求数列{}n a 的前n 项和.n S22．（本题满分12分）某企业生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨。

江苏省盐城市2015届高三年级第三次模拟考试数学试题(含详细答案)

江苏省盐城市2015届高三年级第三次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知集合{}210A x x =-=，集合[0,2]B =，则AB = ▲ .2.若复数()(1)z x i i =++是纯虚数，其中x 为实数，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z = ▲ .3.根据如图所示的伪代码，则输出的S 的值为 ▲ .4.若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ .5.某单位有840名职工, 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[61, 120]的人数为 ▲ ．6.某公司从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，若这四人被录用的机会均等，则甲与乙中至少有一人被录用的概率为 ▲ ．7.若,x y 满足约束条件+20020x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩, 则目标函数z 2x y =+的最大值为 ▲ ．8.已知正四棱锥P ABCD -的体积为43，底面边长为2，则侧棱PA 的长为 ▲ . 9.若角+4πα的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线12y x =上，则tan α的值为 ▲ .10.动直线(y k x =与曲线y A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB ∆的面积取得最大值时，k 的值为 ▲ .11.若函数()2()232x xf x k -=--⋅，则2k =是函数()f x 为奇函数的 ▲ 条件.(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) 12.在边长为1的菱形ABCD 中，23A π∠=，若点P 为对角线AC 上一点，则PB PD ⋅的S 0 I 041Pr int While I I I S S I End While S←←≤←+←+第3题最大值为 ▲ .13.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若数列{}n a 满足2n n a S An Bn C +=++且0A >，则1B C A+-的最小值为 ▲ ． 14.若函数2()ln 2f x x ax bx a b =-++--有两个极值点12,x x ，其中10,02a b -<<>，且221()f x x x =>，则方程22[()]()10a f x bf x +-=的实根个数为 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)已知(2sin ,sin cos )m x x x =-，(3cos ,sin cos )n x x x =+，记函数()f x m n =⋅. （1）求函数()f x 取最大值时x 的取值集合；（2）设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f C =，c =求ABC∆面积的最大值.16．(本小题满分14分)在直三棱柱111ABC A B C -中，A B A C =，1BB BC =，点,,P Q R 分别是棱111,,BC CC B C 的中点.（1）求证:1A R //平面APQ ；（2）求证:平面APQ ⊥平面1ABC .17．(本小题满分14分)某地拟建一座长为640米的大桥AB ，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A 、B 造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x 米时（其中64100x <<），A 1第16题万元，桥面每1米长的平均造价为(2640+万元. （1）试将桥的总造价表示为x 的函数()f x ；（2）为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间(两端桥墩A 、B 除外)应建多少个桥墩？18. (本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于A 、B 两点. 当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时，弦AB. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点E的坐标为(2，点AA 与原点O 的直线交椭圆C 于另一点P ，求PAB ∆的面积；（3）是否存在点E ，使得2211EA EB+该定值；若不存在，请说明理由.19．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()()(0)1m x n g x m x +=>+.（1）当1m =时，函数()y f x =与()y g x =在1x =处的切线互相垂直，求n 的值；（2）若函数()()y f x g x =-在定义域内不单调，求m n -的取值范围；第17题。

南京市、盐城市2015届高三第二模数学试题

BD 相交于点 M，直线 AD，BC 相交于点 N. （1）求 a , b 的值；（2）求证：直线 MN 的斜率为定值。
y M C D A N O B (第 18 题图) x
19、已知函数 f ( x) 1 ln x
k ( x 2) ，其中 k 为常数. x
(1)若 k 0 ,求曲线 y f ( x) 在点(1,f(1))处的切线方程. (2)若 k 5 ,求证： f ( x ) 有且仅有两个零点； (3)若 k 为整数，且当 x 2 时， f ( x) 0 恒成立，求 k 的最大值。
0
B 第8题图
D
C
8、如图，在 ABC 中， D 是 BC 上的一点。已知 B 60 ，
AD 2, AC 10,DC 2 ，则 AB=
2
。
9、在平面直角坐标系 xoy 中，已知抛物线 C： x 4 y 的焦点为 F，定点 A(2 2, 0)，若射线 FA 与
抛物线 C 相交于点 M，与抛物线 C 的准线相交于点 N，则 FM：MN= 10、记等差数列
23、（本小题满分 10 分）
已知 m, n N ，定义（1）记（2）记

f n ( m)
n(n 1)(n 2) (n m 1) m!
am f6 (m) ，求 a1 a2 a12 的值；
bm (1)m mfn (m) ，求 b1 b2 bn 所有可能值的集合。
南京市、盐城市 2015 届高三年级第二次模拟考试---数学
一、填空题 1、函数 f ( x) sin x cos x 的最小正周期为。
2、已知复数 z (2 i)(1 3i) ，其中 i 是虚数单位，则复数 z 在复平面上对应的点位于第象限。

2015届南京市盐城市一模数学解析+试卷原终稿对比

南京市､盐城市2015届高三年级第一次模拟考试一､填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分．1．设集合M＝{2，0，x}，集合N＝{0，1}，若N M，则x＝答案:1a＋i▲．2．若复数z＝i (其中i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a＝▲．答案:－13．在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9，10，9，7，10，则该组数据的方差是．▲6答案:54．甲､乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲､乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为答案:0.3解读:为了体现新的《考试说明》，此题选择了互斥事件，选材于课本中的习题．▲．5．若双曲线x －y ＝a (a＞0)的右焦点与抛物线y ＝4x 的焦点重合，则a＝2▲．i←12答案:6．运行如图所示的程序后，输出的结果为▲．答案:42解读:此题的答案容易错为22．2x－y ≤0x－2y＋3 ≥07．若变量x，y 满足x ≥0 ，则2x＋y的最大值为答案:8▲．S←0While i＜8i←i+3S←2´i+SEnd WhilePrint S第6 题图8．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2 倍，则该圆锥的体积为3π3答案:ππ▲．9．若函数f(x)＝sin(ωx ＋6)(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，且该函数图象关于点(x0，0)成π中心对称，x0∈[0，2]，则x0＝▲．5π答案:12x2＋y210．若实数x，y 满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则x－y的最小值为▲．答案:4111．设向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，则“a//b”是“tanθ＝2”成立的高三数学答案第1 页共12 页▲条件(选填“充分不必要”2 2 2 2{)END､“必要不充分”､“充要”､“既不充分也不必要”) ．答案:必要不充分12．在平面直角坐标系 xOy 中，设直线 y ＝－x ＋2 与圆 x ＋y ＝r (r ＞0)交于 A ，B 两点，O 为坐标原点，若 5 3 OC OA OB圆上一点 C 满足＝4 ＋4 ，则 r ＝答案: ▲．解读:方法 1:(平面向量数量积入手) → OC2 ＝( 5 43 25 5 3 9 OA OB OA OA OB OB ＋4 )2＝16 2＋2·4 ·4 ＋16 2，即:251593r 2＝16r 2＋ 8 r 2cos ∠AOB ＋16r 2，整理化简得:cos ∠AOB ＝－5，过点 O 作 AB 的垂线交 AB 于 D ，则 312cos ∠AOB ＝2cos 2∠AOD －1＝－5，得 cos 2∠AOD ＝5，又圆心到直线的距离为 OD ＝ 2＝ 2，所以1 OD2 2cos 2∠AOD ＝5＝ r 2 ＝r 2，所以 r 2＝10，r ＝ 10．方法 2:(平面向量坐标化入手)设 A (x 1，y 1 )，B (x 2，y 25 3 OC OA OB)，C (x ，y )，由＝4 ＋4 得 5 3 5 3x ＝4x 1＋4x 2，y ＝4y 1＋4y 2 ， 535 3252515252515则 x ＋y ＝(4x 1＋4x 2) 2 ＋(4y 1＋4y 2) 2 ＝ 16x 1 2＋ 16 y 1 2 ＋ 8 x 1y 1＋16x 2 2 ＋ 16 y 22 ＋ 8 x 2y 2252515由题意得，r 2＝16 可解得:r＝．r 2 ＋ 16 r 2 ＋ 8 (x 1y 1＋x 2y 2)，联立直线 y ＝－x ＋2 与圆 x ＋y ＝r 2 (r ＞0)的方程，由韦达定理5 3 1 5 3OC OA OB OC OA OB方法 3:(平面向量共线定理入手)由＝4 ＋4 得2 ＝8 ＋8 ，设 OC 与 AB 交于点 M ，则 AMB 三4 点共线．由∠AMO 与∠BMO 互补结合余弦定理可求得AB ＝ r ，过点 O 作 AB 的垂线交 AB 于 D ，根据圆心22到直线的距离为 OD ＝＝，得( r ) ＋( ) ＝r ，解得 r ＝10，r ＝．3 4OC OA OB讨论时，有老师提出将题中的向量等式改为＝5 ＋5 ，这样可降低运算量，但因为此题已是第 12 题，故未采纳．13．已知 f ( x ) 是定义在 [ － 2 ， 2 ] 上的奇函数，当 x ∈ ( 0 ， 2 ] 时， f ( x ) ＝ 2 x － 1 ，函数 g ( x )＝ x － 2 x ＋ m ．如果对于x 1 ∈[－2，2]，x 2 ∈[－2，2]，使得g (x 2)＝f (x 1 )，则实数 m 的取值范围是 ▲．答案:[－5，－2] 解读:初稿是:已知 f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，且当 x ∈[0，2]时，f (x )＝2 －1，函数 g (x )＝a 2 x －2a 2 x ＋2a ，且对x 1∈[－2，2]，x 2∈[－2，2]，使得 f (x 2)＝g (x 1)，则实数 a 的取值范围是 ▲ 3 1．答案:[－4，2]2 2 2 → → →10→ → → → → → → → → 22 102 2 → → → → → →5 2 2 5 2 2 2 2 2 10 → → → 2 x22 2 2 2 n*讨论时，有老师提出该题的运算量偏大，且g(x)＝a x －2a x＋2a 这个函数不美观，且两个不等式有一个解在求交集时未起到作用，所以换成了g(x)＝x －2x＋m，并将题意作了相应修改．14．已知数列{a n}满足a1＝－1，a2＞a1，|a n＋1－a n|＝2 (n∈N)，若数列{a2n－1}单调递减，数列{a2n}单高三数学答案第2 页共12 页调递增，则数列{a n}的通项公式为a n＝▲．(－2)n－1答案: 3 ( 说明:本答案也可以写成－2n－132n－13 ))解读:|a n＋1－a n|＝2 (n∈N )这种模型2011 年的北京卷用过，2014 年的湖南卷上又用了．方法一:先采用列举法得a1＝－1，a 2＝1，a3＝－3，a4＝5，a5＝－11，a4＝21，···，然后从数字的变化上找规律，得a n＋1－a n＝(－1) 2 ，再利用累加法即可；方法二:因为a2n＋1－a2n＝±2，a2n－a2n－1＝±22n－1，所以两式相加，得a2n＋1－a2n－1＝±22n±22n－1，而{a2n－1}递减，所以a2n＋1－a2n－1＜0，故a2n＋1－a2n＝－22n；同理，由{a2n}递增，得a2n－a2n－1＝22n－1；又a2＞a1，所以a n＋1－a n＝(－1) 2 ，以下同上．初稿是:已知数列{a n}满足a1＝1，a 2＜a1，|an＋1－a n|＝2 (n∈N )，若数列{a2n－1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{a n}的通项公式为a n＝▲1，n＝1(－2)n－7．答案: 3)讨论时，有老师提出这样太为难学生了，得分率会很低，所以又作了修改，从而造成了本题的不足是与2014年的湖南卷的相似度偏大．二､解答题:15．在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(x1，y1)，将π射线OP绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2后与单位圆交于点Q(x2，y2)．记f(α)＝y1＋y2．(1)求函数f(α)的值域；(2)设ΔABC的角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若f(C)＝，且a＝，c＝1，求b．π2)＝cosα，………4分解:(1)由题意，得y1＝sinα，y2＝sin(α＋QyOαPxπ第15 题图所以f(α)＝sinα＋cosα＝2sin(α＋4)，………………6分πππ3π因为α∈(0，2)，所以α＋4∈(4，4 )，故f(α)∈(1，2]．πππ………………8分(2)因为f(C)＝sin(4＋C)＝2，又C∈(0，2)，所以C＝4，………………10分2{，n，nn *n＋1 n2nn＋1 nn *{，n ≥ 2 2 222 2 2 2 2在ΔABC中，由余弦定理得c ＝a ＋b －2ab cos C，即1＝2＋b －2 ×2b，解得b＝1．………………14分高三数学答案第3 页共12 页(说明:第(2)小题用正弦定理处理的，类似给分)解读:选择此题背景的意图是引导老师们要强化概念的教学，不能整天只是让学生做题．初稿是:在平面直角坐标系 xOy 中，设角 α 的始边与 x 轴的非负半轴重合，5πy 终边与单位圆交于点 A (x 1，y 1)，将射线 OA 按顺时针方向旋转 6 后与单位圆交于点 B (x 2，y 2)．记 f (α)＝x 1＋y 2，其中角 α 为锐角． (1)求函数 f (α)的值域；O αA x (2)设 ΔABC 的角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 f (C)＝0，且 a ＝，c ＝1，求 b ． 5πB第 15 题图答案:(1)由题意，得 x 1＝cos α，y 2＝sin(α－ ………………2 分5π16 3)， π所以 f (α)＝cos α＋sin(α－ 6 )＝ 2cos α－ 2 sin α＝cos(α＋3 )，………………6 分ππ π 5π 3 1 因为 α∈(0，2)，所以 α＋3∈(3， 6 )，故 f (α)∈(－ 2 ，2)．………………8 分π ππ (2)因为 f (C)＝cos( 3 ＋C )＝0，又 C ∈(0， 2)，所以 C ＝6 ， ………………10 分3在 ΔABC 中，由余弦定理得 c ＝a ＋b －2ab cos C ，即 1＝3＋b －2 3× 2 b ，解得 b ＝1 或 b ＝2．讨论时，有老师提出作为第 15 题，该题的运算量偏大，而且第(2)小题还有两结果，得分率会偏低． 16．(本小题满分 14 分)1C1如图，在正方体 ABCD －A 1 B 1 C 1 D 1 中，O ，E 分别为 B 1D ，AB 的中点． (1)求证:OE //平面 BCC 1B 1；(2)求证:平面 B 1DC ⊥平面 B 1DE ．证明(1):连接 BC 1，设 BC 1∩B 1C ＝F ，连接 OF ， ………2 分A 11C因为 O ，F 分别是 B 1D 与 B 1C 的中点，所以 OF //DC ，且 OF ＝ 2 DC，又 E 为 AB 中点，所以 EB //DC ，且 d 1＝1，AEB3从而 d 2＝d 3＝2，即四边形 OEBF 是平行四边形，所以 OE //BF ， ……………6 分A 1第 16 题图1C 1又 OE 面 BCC 1B 1，BF 面 BCC 1B 1，所以 OE //面BB 1DOFB 1DOD 1 B 1D3 2 2 22BCC 1B 1． (2)因为 DC ⊥面 BCC 1B 1，BC 1面 BCC 1 B 1， ……………8 分 C所以 BC 1⊥DC ，又 BC 1⊥B 1C ，且 DC ，B 1C 面 B 1DC ，DC ∩B 1 所以 BC 1⊥面 B 1DC ，…………12 分………… 10 分 C ＝C ， A EC 1而 BC 1//OE ，所以 OE ⊥面 B 1DC ，又 OE 面 B 1 所以面 B 1DC ⊥面 B 1DE ． ………14 分DE ， A 1解读:初稿是:如图，在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，E 为 AB 的中点．高三数学答案第 4 页共 12 页 CAEB 第 16 题图(1)求证:BC 1 //面 B 1D E ； (2)求证:面 B 1DC ⊥面 B 1DE ．讨论时，有老师提出第(1)小题偏难了，所以作了修改．x 2 y 217．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C :a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的右准线方程为 x ＝4，右顶点为 A ，上顶点为 B ，右焦点为 F ，斜率为 22 5的直线 l 经过点 A ，且点 F 到直线 l 的距离为 (1)求椭圆 C 的标准方程；5 ．(2)将直线 l 绕点 A 旋转，它与椭圆 C 相交于另一点 P ，当 B ，F ，P 三点共线时，试确定直线 l 的斜率．解:(1)由题意知，直线 l 的方程为 y ＝2(x －a )，即 2x －y －2a ＝0，第 17 题图 (2)分∴右焦点 F 到直线 l 的距离为|2c －2a | 5 a 22 5＝ 5 ，∴a －c ＝1，a 2……………4 分又椭圆 C 的右准线为 x ＝4，即 c ＝4，所以 c ＝ 4 ，将此代入上式解得 a ＝2，c ＝1，∴b 2＝3，x 2 y 2 ∴椭圆 C 的方程为 4 ＋ 3 ＝1； (2)由(1)知 B (0， )，F (1，0)， ∴直线 BF 的方程为 y ＝－ (x －1)， (6)分 ……………8 分联立方程组{4 ＋ 3 ＝1)，解得{y ＝5)或0－(－\s \do 1(\f (3\r (,3),5)))x ＝0y ＝ 3)(舍)，即 P (85 ，－3 3 5 )， …………12 分 ∴直线 l 的斜率 k ＝2－ 8 5 ＝ 3 3 2 ． ……………14 分其他方法:方法二: 由(1)知 B (0， 33率存在，设直线 l 的方程为 y ＝k (x －2)，联立方程组y ＝－ 3(x －1)y ＝k (x －2) )，解得 2k ＋ 3 x ＝k ＋ 3 － 3k y ＝ k ＋ 3)，代入椭圆解得:k ＝3 3 3－ 3k3 32 或 k ＝－ 2 ，又由题意知，y ＝＞0 得 k ＞0 或 k ＜－，所以 k ＝ 2 ．方法三:由题 A (2，0)，显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y ＝k (x －2)，联立方程组得(4k 2＋3 3 8 x ＝5 y ＝－ 3(x －1) 3 3 x 2 y 2{)，F (1，0)， ∴直线 BF 的方程为 y ＝－ (x －1)，由题 A (2，0)，显然直线 l 的斜{{k ＋ 33{x 2 y 23)x2－16k2x＋16k2－12＝0，x A＋x P＝4k2＋3，y＝k(x－2)＋＝14 3)，16k28k2－6－12k所以x P＝4k2＋3－2＝4k2＋3，y P＝4k2＋3，当B，F，P 三点共线时有，k BP＝k BF，高三数学答案第5 页共12 页－12k 4k 2＋3 － 3 8k 2－6 － 33 33－ 3k即 3 3 k ＝ 2 ．4k 2＋3 ＝ 1 ，解得 k ＝ 2 或 k ＝－ 2 ，又由题意知，y ＝k ＋ 3＞0 得 k ＞0 或 k ＜－ 3，所以x2 y2解读:初稿是:在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C :a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的右准线 l :x ＝4 与 x 轴交于点 H ，动直线 m 过椭圆 C 的右顶点 A ，且与 l 相交于点 M ，设点 M 的纵坐标 t ＝λAH (λ＞0)，其中当 λ＝2 时，椭圆yM2 5B ml的右焦点 F 到直线 m 的距离为 5 ．(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设椭圆 C 的上顶点为 B ，右焦点为 F ，直线 m 与椭圆 C 相交于点P ，当 P ，F ，B 三点共线时，试确定 λ 的值．答案同上．O · FA H P第 17 题图 x 讨论时，有老师认为，虽然此题没有科学性错误，但题目的条件比较别扭，会不会引起学生的疑问，即做第(2)小题时，用不用第(1)小题得到的椭圆方程?所以，后来把题目作了修改，使得题意更加简洁明了．此时的不足是第(2)小题的运算量偏小些，学生可避免字母运算． 18．某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示:曲线AB 是以点 E 为圆心的圆的一部分，其中E (0，t )(0＜t ≤25，单位:米)；曲线 BC 是抛物线 y ＝－ax ＋50(a ＞0)的一部分；CD ⊥AD ，且 CD 恰好等于圆 E 的半径．假定拟建体育馆的高 OB ＝50 米． (1)若要求 CD ＝30 米，AD ＝24 米，求 t F y B · A O C D x与 a 的值； (2)若要求体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 米，求 a 的取值范围；1(3)若 a ＝25，求 AD 的最大值．11 a －x(参考公式:若 f (x )＝，则 f '(x )＝－第 18 题-甲第 18 题-乙解:(1)因为 CD ＝50－t ＝30，解得 t ＝20． …………… 2 分此时圆 E :x ＋(y －20) ＝30 ，令 y ＝0，得 AO ＝10 ，所以 OD ＝AD －AO ＝24 －10 ＝14 ，将点 C (14 ，30)代入 y ＝－ax ＋50(a ＞0)中，1解得 a ＝49．………… 4 分 t (2)因为圆 E 的半径为 50－t ，所以 CD ＝50－t ，在 y ＝－ax 2 ＋50 中令 y ＝50－t ，得 OD ＝，t 则由题意知 FD ＝50－t ＋ ≤75 对 t ∈(0，25]恒成立，………… 8 分1 252525所以 ≤ ＋恒成立，而当＝，即 t ＝25 时，＋取最小值 10，2 5 a －x )2 2 2 55 5 5 5 2 aaat t t t t t E高三数学答案第6 页共12 页11故≤10，解得a≥100．…………10分1(3)当a＝25时，OD＝5 t，又圆E 的方程为x2＋(y－t)2＝(50－t)2，令y＝0，得x＝±10 25－t，所以AO＝1025－t，从而AD＝f(t)＝10 ＋5 (0＜t≤25)，…………12分215(\r(,25－t)－2\r(,t))又因为f'(t)＝5(－＋)＝25－t·t，令f'(t)＝0，得t＝5，…………14分当t∈(0，5)时，f'(t)＞0，f(t)单调递增；当t∈(5，25)时，f'(t)＜0，f(t)单调递减，从而当t＝5 时，f(t)取最大值为25 ．答:当t＝5 米时，AD的最大值为25 米．…………16分(说明:本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法解决，类似给分)解读:此题取材于射阳中学新建体育馆的模型，是一道原创题，初稿中只有(2)(3)两小题，讨论中有老师认为此题的起点偏高，还要给中等偏下的学生送点分，所以又设计了第(1)小题．π(3)方法二:令t＝25cos2α，α∈[0，2)，则AD＝10 25－t＋5 t＝10×5sinα＋5×5cosα105sin55cos255)，其中是锐角，且tan，2从而当时，AD 取得最大值为25 米．2方法三:令x＝，y＝，则题意相当于:已知x ＋y ＝25(x≥0，y≥0)，求z＝AD＝5×(2x＋y)的最大值．根据线性规划知识，当直线y＝－2x＋z 与圆弧x ＋y ＝25(x≥0，y≥0)相切时，z 取得最大值为255米．19．设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为S n，若a1a5＝64，S5－S3＝48．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对于正整数k，m，l(k＜m＜l)，求证:“m＝k＋1 且l＝k＋3”是“5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；(3)设数列{b n}满足:对任意的正整数n，都有a1b n＋a2b n－1＋a3b n－2＋…＋a n b1bn＝3·2n＋1－4n－6，且集合M＝{n|an≥λ，n∈N*}中有且仅有3 个元素，试求λ的取值范围．解:(1)∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a1a5＝a32＝64，∴a3＝8，又∵S5－S3＝48，∴a4＋a5＝8q 2＋8q＝48，∴q＝2，∴a n＝8·2n－3＝2n；…………4分(2)(ⅰ)必要性:设5a k，a m，al这三项经适当排序后能构成等差数列，①若2·5a k＝a m＋a l，则10·2 ＝2 2m－k－1＝1 m＝k＋12l －k－1＝4 l＝k＋3＋2，∴10＝2＋2，∴5＝2m－k－1＋2l－k－1，…………6分②若2a m＝5a k＋a l，则2·2 ＝5·2 ＋2，∴2－2 ＝5，左边为偶数，等式不成立，③若2a l＝5a k＋a m，同理也不成立，综合①②③，得m＝k＋1，l＝k＋3，所以必要性成立．(ⅱ)充分性:设m＝k＋1，l＝k＋3，…………8分则5a k，a m，al这三项为5ak，ak＋1，a k＋3，即5a k，2ak，8a k，调整顺序后易知2a k，5ak，8ak成等差数列，a25－t t25－t t551525－t t 2 22 2k m{){)，∴．∴l m－k l－km k l m＋1－k l－k123n－1n2 3 4 n所以充分性也成立．综合(ⅰ)(ⅱ)，原命题成立．…………10分(3)因为a 1b n＋a2b n－1＋a3b n－2＋…＋a n b1＝3·2n＋1－4n－6，即21b n＋22b n－1＋23b n－2＋…＋2n b1＝3·2n＋1－4n－6，(*)∴当n≥2时，2 b n－1＋2 b n－2＋2 b n－3＋…＋2b1＝3·2 －4n－2，(**)则(**)式两边同乘以2，得2b n－1＋2 b n－2＋2 b n－3＋…＋2 b1＝3·2n＋1－8n－4，(***)高三数学答案第7 页共12 页∴(*)－(***)，得2b n＝4n－2，即bn＝2n－1(n≥2)，又当n＝1 时，2b1＝3·2 －10＝2，即b1＝1，适合b n＝2n－1(n≥2)，∴b n＝2n－1．………14 分bn2n－1bn bn－12n－12n－35－2n∴an＝2n，∴an－an－1＝2n－2n－1＝2n，bn bn－1b2b1∴n＝2时，an－an－1＞0，即a2＞a1；bn bn－1bn∴n≥3时，an－an－1＜0，此时{an}单调递减，b1 1 b2 3 b3 5 b4771又a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，∴16＜λ≤2．……………16分解读:第(2)小题本来是探求“5a k，a m，a l”这三项能否构成等差数列的，但考虑到学生的答案可能有多种形式，所以将它改成了充要条件的证明题．1本题的初稿是:设数列{a n}的前n 项和为S n，若存在实数λ∈(1，＋∞)，使得λa n≤a n＋1≤λa n与1λSn ≤S n＋1≤λSn对任意n∈N 都成立，则称{an}是“可控”数列．(1)已知数列{a n}的通项公式为an＝r(r 是不为0的常数)，试判断{a n}是否是“可控”数列，并说明理由；(2)已知等比数列{a n}的公比q≠1，若当λ＝4时，{a n}是“可控”数列，求公比q 的取值范围；(3)已知等差数列{a n}的公差d≠0，若{an}是“可控”数列，求λ的取值范围．讨论时，大家认为此题的形式很美，但题目较难，特别是第(3)小题超难，而且考查的知识与江苏高考不太吻合，所以只能忍痛不用．第二稿是:设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a 2＝4，a1a4＝32，数列{bn}满足:对任意的正整数n，都有a1b1＋a2b2＋…＋a n b n＝(n－1)·2n＋1＋2．(1)求数列{a n}与{bn}的通项公式；bnbn＋1(2)若集合M＝{n|an≥λ，n∈N }中元素的个数为4，试求实数λ的取值范围；(3)将数列{a n}与{bn}按a1，b1，a2，b2，a3，b3，…，an，b n，…的顺序排好后，再删去其中小于2015 的项，剩下的项按原来的顺序构成一个新数列{c n}，试求数列{c n}的前n 项和T n．更换后，第(1)(2)问还不错，第(3)小题也有创意，但第(3)小题的运算太繁琐，批阅起来麻烦，所以临时又换成了一道现在这个较为常规的题目．20．已知函数f(x)＝e ，g(x)＝mx＋n．(1)设h(x)＝f(x)－g(x)．①若函数h(x)在x＝0处的切线过点(1，0)，求m＋n 的值；②当n＝0 时，若函数h(x)在(－1，＋∞)上没有零点，求m 的取值范围；1nx(2)设函数r(x)＝f(x)＋g(x)，且n＝4m(m＞0)，求证:当x≥0 时，r(x)≥1．解:(1)由题意，得h'(x)＝(f(x)－g(x))'＝(e －mx－n)'＝e －m，所以函数h(x)在x＝0 处的切线斜率k＝1－m，又h(0)＝1－n，所以函数h(x)在x＝0 处的切线方程y－(1－n)＝(1－m)x，将点(1，0)代入，得m＋n＝2．1……………2分……………4分2**xx x(2)方法一:当n＝0，可得h'(x)＝(e－mx)'＝e－m，因为x＞－1，所以e＞xx x x e，1①当m≤e时，h'(x)＝e －m＞0，函数h(x)在(－1，＋∞)上单调递增，而h(0)＝1，高三数学答案第8 页共12 页11 1 1所以只需 h (－1)＝e ＋m ≥0，解得 m ≥－e ，从而－e ≤m ≤e ． 1……………6 分②当 m ＞ e 时，由 h '(x )＝e －m ＝0，解得 x ＝ln m ∈(－1，＋∞)，当 x ∈(－1，ln m )时，h '(x )＜0，h (x )单调递减；当 x ∈(ln m ，＋∞)时，h '(x )＞0，h (x )单调递增．所以函数 h (x )在(－1，＋∞)上有最小值为 h (ln m )＝m －m ln m ，1令 m －m ln m ＞0，解得 m ＜e ，所以 1e ＜m ＜e ．综上所述，m ∈[－e ，e )．方法二:当 n ＝0，e ＝mx ①当x ＝0 时，显然不成立；……………10 分exex exx －ex ex (x －1)②当 x ＞－1 且 x ≠0 时，m ＝ x ，令 y ＝ x ，则 y '＝ x 2 ＝ x 2 ，当－1＜x ＜0 时，y '＜0，函数 y ＝ exexexx 单调递减，0＜x ＜1 时，y '＜0，函数 y ＝ x 单调递减，当 x ＞1 时，y '＞0，函数 y ＝ x 单调递增，又 11y | x ＝－1＝－e ，y | x ＝1 ＝e ，由题意知 m ∈[－e ，e )．n m1 nx1 n 1 4x(3)由题意，r (x )＝f (x )＋g (x )＝ex ＋ m ＝ex ＋x ＋4，14x而 r (x )＝ex ＋x ＋4≥1 等价于 e x (3x －4)＋x ＋4≥0，令 F (x )＝e (3x －4)＋x ＋4，则 F (0)＝0，且 F '(x )＝e (3x －1)＋1，F '(0)＝0，……………12 分令 G (x )＝F '(x )，则 G '(x )＝e (3x ＋2)，因 x ≥0，所以 G '(x )＞0，所以导数 F '(x )在[0，＋∞)上单调递增，于是 F '(x )≥F '(0)＝0，从而函数 F (x )在[0，＋∞)上单调递增，即 F (x )≥F (0)＝0． ……………14 分……………16 分解读:此题的初稿是:已知函数 f (x )＝e ，g (x )＝mx ＋n (其中 e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…)． (1)若函数 y ＝f (x )－g (x )在 x ＝0 处的切线过点(1，0)，求 mn 的最大值；1(2)当 n ＝0 时，若函数 y ＝f (x )－g (x )在(－1，＋∞)总有意义，求 m 的取值范围； 1nxm(3)设 m ＞0，n ＞0，若函数 y ＝ f (x ) ＋g (x ) x 在区间[0，＋∞)上的最小值为 1，求 n 的最大值．解答:(3)由题意，r (x )＝ 1 f (x ) ＋ nx g (x ) 1 ＝ex ＋m nx ＋1 ，令 t ＝ m n ＞0，1 x 则 r (x )＝ex ＋tx ＋1，因 r (0)＝1，所以题意等价于 r (x )≥1 对 x ∈(0，＋∞)上恒成立， ………12 分1xx x x x ＋ x x x x x而r(x)＝ex ＋tx＋1≥1 等价于e [(t－1)x＋1]－tx－1≤0，高三数学答案第9 页共12 页令 F (x )＝e [(t －1)x ＋1]－tx －1，则 F (0)＝0，所以存在 x 0＞0，使得函数 F (x )在(0，x 0)上单调递减，即导数 F '(x )＝e [(t －1)x ＋t ]－t ≤0 在(0，x 0)上恒成立，而 F '(0)＝0，所以存在 x 1∈(0，x 0)，导数 F '(x )在(0，x 1)上单调递减．令 G (x )＝F '(x )，即导数 G '(x )≤0 在(0，x 1)上恒成立，又可求得 G '(x )＝e [(t －1)x ＋2t －1]，由 G '(0)≤0， 1解得 t ≤2 ，……………14 分1反过来，当 t ≤2时，G '(x )≤0 在[0，＋∞)上恒成立，所以导数 F '(x )在(0，＋∞)上单调递减，即导数 F '(x )≤0 在(0，＋∞)上恒成立，即函数 F (x )在(0，＋∞)上单调递减，即最大值 F (0)＝0．m1综上所述， n 的最大值为2． ……………16 分讨论时将第(1)(2)小问作了合并，使得题目更简洁些，但大家都对第(3)小问提出了异议，原因是平时学习的常规方法都行不通，这样不仅会成为一道废题，而且还会误导学生，所以又将它改为上述的常规题．附加题答案21． A ､(选修 4—1:几何证明选讲)如图，已知点 P 为 RtΔABC 的斜边 AB 的延长线上一点，且 PC 与 RtΔABC 的外接圆相切，过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 D ，若 PA ＝18，PC ＝6，求线段 CD 的长．ACDB P解:由切割线定理，得 PC ＝PA ·PB ，解得 PB ＝2，所以 AB ＝16，即 Rt ΔABC 的外接圆半径 r ＝8，……5 分记 RtΔABC 外接圆的圆心为 O ，连 OC ，则 OC ⊥PC ，24第 21-A 题图在 RtΔPOC 中，由面积法得 OC ·PC ＝PO ·CD ，解得 CD ＝5 ． ………………10 分 B ､(选修 4—2:矩阵与变换) 求直线 x －y －1＝0 在矩阵 M ＝[2 2 ]的变换下所得曲线的方程．解:设 P (x ，y )是所求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为 Q (x '，y ')，则 { 2 2 2 2 x ' x ' －＋ 2 2 2 2 y' y '＝y )，解得{y '＝＝ 222 2 (x ＋y ) (y －x ))，………………5 分22代入 x '－y '－1＝0 中，得 2 (x ＋y )－ 2 (y －x )－1＝0，2化简可得所求曲线方程为 x ＝ 2 ．xx x 2 2 2－2 22 2＝x x '22C､(选修4—4:坐标系与参数方程)π………………10分在极坐标系中，求圆ρ＝2cosθ的圆心到直线2ρsin(θ＋3)＝1 的距离．解:将圆ρ＝2cosθ化为普通方程为x ＋y －2x＝0，圆心为(1，0)，………………4分高三数学答案第10 页共12 页π 1 3又 2ρsin(θ＋3)＝1，即 2ρ(2sin θ＋ 2 cos θ)＝1，所以直线的普通方程为 x＋y －1＝0， 3－1………………8 分故所求的圆心到直线的距离 d ＝ 2 ．………………10 分 D ､解不等式|x ＋1|＋|x －2|＜4．3解:当 x ＜－1 时，不等式化为－x －1＋2－x ＜4，解得－2＜x ＜－1；当－1≤x ≤2 时，不等式化为 x ＋1＋2－x ＜4，解得－1≤x ≤2；5当 x ＞2 时，不等式化为 x ＋1＋x －2＜4，解得 2＜x ＜2；3 5所以原不等式的解集为(－2，2)． (3)分 ………………6 分………………9 分………………10 分22．(本小题满分 10 分)如图，在直三棱柱 ABC －A1 B 1 C 1 中，AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝4，动点 P 满 A 1 C1 → →CP CC 1 足＝λ (λ＞0)，当 λ＝2时，AB1⊥BP ．B 1P(1)求棱 CC 1 的长；(2)若二面角 B 1 π－AB －P 的大小为3，求 λ 的值．AC解:(1)以点 A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1 分别为 x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设 CC 1＝m ，则 B 1(3，0，m )，B (3，0，0)，P (0，4，λm )，→ → → AB 1 PB AB所以＝(3，0，m )，＝(3，－4，－λm )，＝(3，0，0)， ………………2 分B第 22 题图→ → AB 1 PB当 λ＝2时，有 · ＝(3，0，m )·(3，－4，－2 2 1 2 m )＝0………………4 分(2)设平面 PAB 的一个法向量为 n 1＝(x ，y ，z )， → → AB ， ·n 1＝0→ →3x ＝0 x ＝0 则由，得 3x －4y －3 2λz ＝0 ，即 4y ＋3 2λz ＝0 ， 3 2λ3 2λ令 z ＝1，则 y ＝－ 4 ，所以平面 PAB 的一个法向量为 n1＝(0，－ 4 ，1)，………………6 分又平面 ABB1 与 y 轴垂直，所以平面 ABB 1 的一个法向量为 n2 ＝(0，1，0)， π 因二面角 B 1－AB －P 的平面角的大小为3 ，所以 cos n 1, n 22 (3 24 3 2 2 43 11 解得 m ＝3 ，即棱 CC 的长为 3 ． 1{ ) {) { )PB ·n 1＝0 1)*126，结合λ＞0，解得λ＝9 ．………………1分23．设集合S＝{1，2，3，…，n}(n∈N，n≥2)，A，B是S 的两个非空子集，且满足集合A 中的最大数小于集高三数学答案第11 页共12 页合 B 中的最小数，记满足条件的集合对(A ，B )的个数为 P n (1)求 P 2，P 3 的值；．(2)求 P n 的表达式．解:(1)当 n ＝2 时，即 S ＝{1，2}，此时 A ＝{1}，B ＝{2}，所以 P 2＝1， ………………2 分当 n ＝3 时，即 S ＝{1，2，3}，若 A ＝{1}，则 B ＝{2}，或 B ＝{3}，或 B ＝{2，3}；若 A ＝{2}或 A ＝{1，2}，则 B ＝{3}；所以 P 3＝5． ………………4 分 (2)当集合 A 中的最大元素为“k ”时，集合 A 的其余元素可在 1，2，…，k －1 中任取若干个(包含不取)，所以0 1 2 k －1 集合 A 共有 C ＋C ＋C ＋...＋C ＝2 种情况， (6)分n －k 此时，集合 B 的元素只能在 k ＋1，k ＋2，…，n 中任取若干个(至少取 1 个)，所以集合 B 共有 C ＋C 2 3 n －k ＋C ＋…＋C ＝2 －1 种情况，所以，当集合 A 中的最大元素为“k ”时，k －1 n －k n －1 k －1 对， ………………8 分当 k 依次取 1，2，3，…，n －1 时，可分别得到集合对(A ，B )的个数，求和可得 P n ＝(n －1)·2 －(2 ＋2 ＋2 ＋…＋2 )＝(n －2)·2 n －1 ＋1． ………………10 分高三数学答案第 12 页共 12 页 k 1 k 1 k 1 k 1 －－－－ k －1 1 n k n k n k －－－ n －k 集合对(A ，B )共有 2 (2 －1)＝2 －2n －1 0 1 2 n －2。

江苏省南京市、盐城市2015届高三第一次模拟考试数学含答案

江苏省南京市、盐城市2015届高三第一次模拟考试数学含答案南京市和盐城市的2015届高三年级第一次模拟考试包含了14个填空题，每个小题5分，共计70分。

1.设集合M={2,0,x}，集合N={0,1}，若N是M的子集，则x=1.2.如果复数z=-1，则z^2+2z的值为0.3.在一次射箭比赛中，某运动员的5次射箭的环数分别是9.10.9.7.10，则该组数据的方差是4.8.4.如果a+i（其中i为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数a=0.5.如果双曲线x^2-y^2=a^2（a>0）的右焦点与抛物线y^2=4x的焦点重合，则a=2.6.运行如下程序后，输出的结果为42：i←1S←0While i<8i←i+3S←2×i+SEndWhilePrint S7.如果x-2y+3≤0且x+y≥0，则2的最大值为3.8.如果一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为3π。

9.如果函数f(x)=sin(ωx+π/6)（ω>0）的图像中，相邻的两条对称轴之间的距离为π/2，且该函数的图像关于点(x,0)成中心对称，其中x∈[0,5π/12]，则x=5π/12.10.如果实数x,y满足x>y>0且log2x+log2y=1，则x-y的最小值为4.11.设向量a=(sin^2θ,cosθ)，b=(cosθ,1)，则“a//b”是“tanθ=1/2”成立的必要不充分条件。

12.在平面直角坐标系xOy中，设直线y=-x+2与圆x^2+y^2=r^2（r>0）交于A,B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足OC=10，则r=√26.13.已知f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数，当x∈(0,2]时，f(x)=x^2-1.如果对于任意x∈[-2,2]，存在x2∈[-2,2]，使得g(x2)=f(x1)，则实数m的值为1.14.该文章中没有第14题，可能是因为该模拟考试只包含了13个填空题。

江苏省盐城市届高三三模数学试卷

盐城市2015届高三数学三模试卷试题Ⅰ注意事项一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知集合{}210A x x =-=，集合[0,2]B =，则A B =I ▲ .2.若复数()(1)z x i i =++是纯虚数，其中x 为实数，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z = ▲ .3.根据如图所示的伪代码，则输出的S 的值为 ▲ .4.若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ .5.某单位有840名职工, 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号,则抽取的42人中, 编号落入区间[61, 120]的人数为 ▲ ．6.某公司从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，若这四人被录用的机会均等，则甲与乙中至少有一人被录用的概率为 ▲ ．7.若,x y 满足约束条件+20020x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩, 则目标函数z 2x y =+的最大值为 ▲ ．8.已知正四棱锥P ABCD -的体积为43，底面边长为2，则侧棱PA 的长为 ▲ .S 0 I 041Pr int While I I I S S I End While S←←≤←+←+第3题9.若角+4πα的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线12y x =上，则tan α的值为 ▲ .10.动直线(y k x =-与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB ∆的面积取得最大值时，k 的值为 ▲ .11.若函数()2()232x x f x k -=--⋅，则2k =是函数()f x 为奇函数的 ▲ 条件. (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) 12.在边长为1的菱形ABCD 中，23A π∠=，若点P 为对角线AC 上一点，则PB PD ⋅u u u r u u u r 的最大值为 ▲ .13.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若数列{}n a 满足2n n a S An Bn C +=++且0A >，则1B C A+-的最小值为 ▲ ．14.若函数2()ln 2f x x ax bx a b =-++--有两个极值点12,x x ，其中10,02a b -<<>，且221()f x x x =>，则方程22[()]()10a f x bf x +-=的实根个数为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)已知(2sin ,sin cos )m x x x =-u r ，,sin cos )n x x x =+r ，记函数()f x m n =⋅u r r .（1）求函数()f x 取最大值时x 的取值集合；（2）设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f C =，c =ABC ∆面积的最大值.16．(本小题满分14分)在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，1BB BC =，点,,P Q R 分别是棱111,,BC CC B C 的中点. （1）求证:1A R APQ APQ ⊥1AB C17．(本小题满分14分)某地拟建一座长为640米的大桥AB ，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A 、B 造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x 米时（其中64100x <<），中间每个桥墩的平均第16题1米长的平均造价为(2+万元. （1）试将桥的总造价表示为x 的函数()f x ；（2）为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间(两端桥墩A 、B 除外)应建多少个桥墩？18. (本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于A 、B 两点. 当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时，弦AB 的长为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点E的坐标为，点A，连结点A 与原点O 的直线交椭圆C 于另一点P ，求PAB ∆的面积；（3）是否存在点E ，使得2211EA EB +为定值？若存在，请指出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.19．(本小题满分16分)第18题第17题设函数()ln f x x =，()()(0)1m x n g x m x +=>+.（1）当1m =时，函数()y f x =与()y g x =在1x =处的切线互相垂直，求n 的值；（2）若函数()()y f x g x =-在定义域内不单调，求m n -的取值范围；（3）是否存在实数a ,使得2()()()02ax a xf f e f x a⋅+≤对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由.20．(本小题满分16分)设函数21()1+f x px qx=+（其中220p q +≠），且存在无穷数列{}n a ，使得函数在其定义域内还可以表示为212()1nn f x a x a x a x =+++++L L .（1）求2a （用,p q 表示）；（2）当1,1p q =-=-时，令12n n n n a b a a ++=，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：32n S <；（3）若数列{}n a 是公差不为零的等差数列，求{}n a 的通项公式.盐城市2015届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修4—1：几何证明选讲）在ABC ∆中，已知CM 是ACB ∠的平分线，AMC ∆的外接圆交BC 于点N .若2AB AC =，AM =BN 的长.B.（选修4—2：矩阵与变换）若矩阵21a c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 属于特征值3的一个特征向量为11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求矩阵M 的逆矩阵1-M .C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=-，以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1314x t y t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），试判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知,,a b c 为正实数，求证：221188ab a b ++≥，并求等号成立的条件.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线,AC BD 交于点O ，4OA =，3OB =，4OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足(0)PM MC λλ=>u u u u r u u u u r.（1）当12λ=时，求直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值；（2）若二面角M AB C --的大小为4π，求λ的值.23．（本小题满分10分）设123*12341()(1)(2,)n n n n n n n F n a a C a C a C a C n n N +=-+-++-≥∈L .（1）若数列{}n a 的各项均为1，求证：()0F n =；（2）若对任意大于等于2的正整数n ，都有()0F n =恒成立，试证明数列{}n a 是等差数列.盐城市2015届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. {}12. 2i -3. 154. 15. 36. 567. 69. 13- 10. -充分不必要 12. 12- 13.二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1）由题意，得()2cos 22sin(2)6f x m n x x x π=⋅=-=-u r r ，当()f x 取最大值时，即sin(2)16x π-=，此时22()62x k k Z πππ-=+∈，所以x 的取值集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.……………………………………7分（2）因()2f C =，由（1）得sin(2)16C π-=，又0C π<<，即112666C πππ-<-<，所以262C ππ-=，解得3C π=，在ABC ∆中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得223a b ab ab =+-≥，所以1sin 2ABC S ab C ∆=≤，所以ABC ∆面积的的最大值为.…14分16. 证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C 且11BC B C =，因点,P R 分别是棱11,BC B C 的中点，所以1//BP B R 且1BP B R =，所以四边形1BPRB 是平行四边形，即1//PR BB 且1PR BB =，又11//AA BB 且11AA BB =，所以1//PR AA 且1PR AA =，即四边形1APRA 是平行四边形，所以1//AP A R ，又1A R ⊄平面APQ ，所以1//A R 平面APQ .………………7分（2）因1BB BC =，所以四边形11BCC B 是菱形，所以11B C BC ⊥，又点,P Q 分别是棱11,BC C C 的中点，即1//PQ BC ，所以1B C PQ ⊥. 因为AB AC =，点P 是棱BC 的中点，所以AP BC ⊥，由直三棱柱111ABC A B C -，知1BB ⊥底面ABC ，即1BB AP ⊥，所以AP ⊥平面11BCC B ，则1AP B C ⊥，所以1B C ⊥平面APQ ，又1B C ⊂平面1AB C ，所以平面APQ ⊥平面1AB C …………………………………………14分17．解：（1）由桥的总长为640米，相邻两个桥墩的距离为x 米，知中间共有640(1)x-个桥墩，于是桥的总造价640()640(2(1)100f x x=+-+，即3112226408080()138033f x x x x -⨯=+-+ 3112225120080=138033x x x -+-+（64100x <<）………………………………7分（表达式写成()=1380f x 同样给分）（2）由（1）可求13122236404040()233f x x x x --⨯'=--，整理得3221()(98064080)6f x x x x -'=--⨯，由()0f x '=，解得180x =，26409x =-（舍），又当(64,80)x ∈时，()0f x '<；当(80,100)x ∈ 时，()0f x '>，所以当80x =，桥的总造价最低，此时桥墩数为6401=780- (14)分18．解：（1）由3c a =，设3(0)a k k =>，则c =，223b k =，所以椭圆C 的方程为2222193x y k k +=，因直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点，即A B x x ==，代入椭圆方程，解得y k =±，于是2k =k =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=………………………………5分（2）将x =22162x y +=，解得1y =±，因点A在第一象限，从而A ，由点E的坐标为，所以AB k =PA的方程为2y x =-，联立直线PA 与椭圆C的方程，解得7()5B -，又PA 过原点O，于是(1)P -，4PA =，所以直线PA的方程为0x -=，所以点B 到直线PA的距离h ==，142PAB S ∆=⋅=分（3）假设存在点E ，使得2211EA EB+为定值，设0(,0)E x ，当直线AB 与x轴重合时，有202222012211(6)x EA EB x ++==-，当直线AB 与x 轴垂直时，222200112662(1)6x EA EB x +==--，由20222001226(6)6x x x +=--，解得0x =，20626x =-，所以若存在点E ，此时(E ，2211EA EB+为定值2. …………………………………………12分根据对称性，只需考虑直线AB过点E ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，又设直线AB的方程为x my =+C 联立方程组，化简得22(3)30m y ++-=，所以1223y y m -+=+，12233y y m -=+，又222222111111(1)EA m y y m y ===++，所以212122222222221212()21111(1)(1)(1)y y y y EA EB m y m y m y y +-+=+=+++，将上述关系代入，化简可得22112EA EB +=.综上所述，存在点(E ，使得2211EA EB+为定值2……………16分 19．解：（1）当1m =时，21()(1)n g x x -'=+，∴()y g x =在1x =处的切线斜率14nk -=，由1()f x x '=，∴()y f x =在1x =处的切线斜率1k =，∴1114n-⋅=-，∴5n =.……………4分（2）易知函数()()y f x g x =-的定义域为(0,)+∞，又[]222212(1)2(1)11(1)()()(1)(1)(1)x m n x m n x m n x y f x g x x x x x x +--++--+-'''=-=-==+++，由题意，得12(1)x m n x+--+的最小值为负，∴(1)4m n ->（注：结合函数[]22(1)1y x m n x =+--+图象同样可以得到），∴2((1))(1)44m n m n +-≥->，∴(1)4m n +->，∴3m n ->（注：结合消元利用基本不等式也可）.……………………9分（3）令()x θ2=()()()ln 2ln ln ln 22ax a xf f e f ax a ax x x a x a⋅+=⋅-⋅+-，其中0,0x a >> 则()x θ'=1ln 2ln a a a x a x ⋅--+，设1()ln 2ln x a a a x a xδ=⋅--+2211()0a ax x x x xδ+'=--=-<∴()x δ在(0,)+∞单调递减，()0x δ=在区间(0,)+∞必存在实根，不妨设0()0x δ=即0001()ln 2ln 0x a a a x a x δ=⋅--+=，可得001ln ln 21x a ax =+-（*） ()x θ在区间0(0,)x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减，所以max 0()()x x θθ=， 0000()(1)ln 2(1)ln x ax a ax x θ=-⋅--⋅，代入（*）式得0001()2x ax ax θ=+- 根据题意0001()20x ax ax θ=+-≤恒成立. 又根据基本不等式,0012ax ax +≥,当且仅当001ax ax =时,等式成立所以0012ax ax +=,01ax =01x a ∴=.代入（*）式得,1ln ln 2a a =,即12,a a=2a =………………16分(以下解法供参考，请酌情给分)解法2：()x θln 2ln ln ln 2(1)(ln 2ln )ax a ax x x a ax a x =⋅-⋅+-=--，其中0,0x a >> 根据条件2()()()02ax a xf f e f x a⋅+≤对任意正数x 恒成立即(1)(ln 2ln )0ax a x --≤对任意正数x 恒成立∴10ln 2ln 00ax a x a -≥⎧⎪-≤⎨⎪>⎩且10ln 2ln 00ax a x a -≤⎧⎪-≥⎨⎪>⎩，解得12x a a ≤≤且12a x a ≤≤，即12x a a==时上述条件成立此时2a =. 解法3：()x θln 2ln ln ln 2(1)(ln 2ln )ax a ax x x a ax a x =⋅-⋅+-=--，其中0,0x a >> 要使得(1)(ln 2ln )0ax a x --≤对任意正数x 恒成立，等价于(1)(2)0ax a x --≤对任意正数x 恒成立，即1()(2)0x x a a--≥对任意正数x 恒成立，设函数1()()(2)x x x a aϕ=--，则()x ϕ的函数图像为开口向上，与x 正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x 轴有一个交点，即12a a=，所以2a =. 20．解:（1）由题意，得2212(1)(1)1nn px qx a x a x a x +++++++=L L ，显然2,x x 的系数为0，所以121+0++0a p a a p q =⎧⎨=⎩，从而1a p =-，22a p q =-.………………………4分（2）由1,1p q =-=-，考虑(3)nx n ≥的系数，则有120n n n a pa qa --++=，得1212120(3)n n n a a a a a n --=⎧⎪=⎨⎪--=≥⎩，即21n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 单调递增，且22211n n n n n n n a a b a a a a +++-==-，所以132435211111111()()()()n n n S a a a a a a a a +=-+-+-++-L ，当2n ≥时，12+12+121111311322n n n n n S a a a a a a ++=+--=--<.…………………………10分（3）由（2）120n n n a pa qa --++=，因数列{}n a 是等差数列，所以1220n n n a a a ---+=，所以12(2+)(1)n n p a q a --=-对一切3n ≥都成立，若0n a =，则0p q ==，与220p q +≠矛盾，若数列{}n a 是等比数列，又据题意{}n a 是等差数列，则{}n a 是常数列，这与数列{}n a 的公差不为零矛盾，所以210p q +=-=，即2,1p q =-=，由（1）知12a =，23a =，所以1n a n =+.………16分（其他方法：根据题意可以用p 、q 表示出1a ，2a ，3a ，4a ，由数列{}n a 为等差数列，利用2132a a a =+，3242a a a =+解方程组也可求得.）解法2：由（1）可知1a p =-，22a p q =-，因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d221d a a p q p =-=-+，2322a p q p =-+，24332a p q p =-+.又由（2）120n n n a pa qa --++=，所以3210,a pa qa ++=得2(1)2(1)0p p q p +-+=，若10,p +=即1,p =-时，11a =，21a =，0d =与条件公差不为零相矛盾，因此1,p ≠-则(1)2p p q +=.由4320a pa qa ++=,可得 222332(22)()0p q p p p q p q p q -++-++-=,整理可得 22(23)()20p q p q p p ++-++=代入(1)2p p q +=,21(2)(1)04p p p ++=,0p =或2p =- 若0p =,则0p q ==，与220p q +≠矛盾，若2p =-,则1q =,满足题意, 所以1n a n =+附加题答案B ．解：由题意，得2113111a c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得12a c =⎧⎨=⎩，所以1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M . 设1xy zw -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，则112102101x y zw -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦MM ，解得1221,,,3333x y z w =-===-，即112332133-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦M .…………………………10分C ．解：将直线l 与曲线C 的方程化为普通方程，得直线l ：4310x y -+=，曲线C ：22220x y x y +--=，所以曲线C 是以(1,1)的圆，所以圆心到直线l的距离25d =<，因此，直线l 与曲线C 相交. (10)分22. 解：（1）以O 为坐标原点，建立坐标系O ABP -，则(4,0,0)A ，(0,3,0)B ，(4,0,0)C -，(0,3,0)D -，(0,0,4)P ，所以(4,0,4)PA =-u u u r ，(0,6,0)DB =u u u r ，(4,3,0)AB =-u u u r .当12λ=时，得48(,0,)33M -，所以48(,3,)33MB =-u u u r ，设平面BDM 的法向量(,,)n x y z =r ，则60483033y x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，得0y =，令2x =，则1z =，所以平面BDM 的一个法向量(2,0,1)n =r，所以cos ,10PA n ==u u u r r，即直线PA 与平面BDM所成角的正弦值10.………………5分（2）易知平面ABC 的一个法向量1(0,0,1)n =u r.设(,0,)M a b ，代入PM MC λ=u u u u r u u u u r，得(,0,4)(4,0,)a b a b λ-=---，解得4141a b λλλ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即44(,0,)11M λλλ-++，所以44(,3,)11MB λλλ-=++u u u r ，设平面BDM 的法向量2(,,)n x y z =u u r ，则430443011x y x y z λλλ-+=⎧⎪⎨+-=⎪++⎩，消去y ，得(21)x z λ+=，令1x =，则21z λ=+，43y =，所以平面BDM 的一个法向量24(1,,21)3n λ=+u u r ，所以2=13λ=或43-，因为0λ>，所以13λ=.……………10分23. 证：（1）因数列{}n a 满足各项为1，即0123()(1)n nn n n n n F n C C C C C =-+-++-L ，由012233(1)n n nn n n n n x C C x C x C x C x +=+++++L ，令1x =-，则01230(1)n nn n n n n C C C C C =-+-++-L ，即()0F n =..………………………3分（2）当2n =时，1212232(2)0F a a C a C =-+=，即2132a a a =+，所以数列{}n a 的前3项成等差数列. 假设当n k =时，由1231234+1()(1)0k kk k k k k F k a a C a C a C a C =-+-++-=L ，可得数列{}n a 的前+1k 项成等差数列，………………………………………………………………………5分因对任意大于等于2的正整数n ，都有()0F n =恒成立，所以(+1)0F k =成立，所以1231234+1123+1+112+13+14+12+1(1)0(1)0k kk k k k k k k k k k k k a a C a C a C a C a a C a C a C a C +⎧-+-++-=⎪⎨-+-++-=⎪⎩L L ，两式相减得，1122+1+12+13+1+1+1+2+1()()(1)()(1)0k k k k k k k k k k k k k k a C C a C C a C C a C --+-++--+-=L ，因111m m mn n n C C C +++=+，所以0121+1234+12(1)(1)0k k k kk k k k k k k a C a C a C a C a C -+-+-++-+-=L ，即01211234+12(1)(1)0k k k kk k k k k k k a C a C a C a C a C --+-+++-+-=L ，由假设可知234+12,,,,,k k a a a a a +L 也成等差数列，从而数列{}n a 的前2k +项成等差数列.综上所述，若()0F n =对任意3n ≥恒成立，则数列{}n a 是等差数列. …………………10分。

2015年江苏省盐城市、南京市高考一模数学试卷【解析版】

2015年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷一.填空题：本大题共20小题，每小题5分，计70分.1．（5分）设集合M＝{2，0，x}，集合N＝{0，1}，若N⊆M，则x＝．2．（5分）若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a ＝．3．（5分）在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9，10，9，7，10，则该组数据的方差是．4．（5分）甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为．5．（5分）若双曲线x2﹣y2＝a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则a＝．6．（5分）运行如图所示的程序后，输出的结果为．7．（5分）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为．8．（5分）若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为．9．（5分）若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x0，0）成中心对称，，则x0＝．10．（5分）若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x+log2y＝1，则的最小值为．11．（5分）设向量＝（sin2θ，cosθ），＝（cosθ，1），则“∥”是“tanθ＝”成立的条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝﹣x+2与圆x2+y2＝r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足＝+则r＝．13．（5分）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣1，函数g（x）＝x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）＝f（x1），则实数m的取值范围是．14．（5分）已知数列{a n}满足a1＝﹣1，a2＞a1，|a n+1﹣a n|＝2n（n∈N*），若数列{a2n﹣1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{a n}的通项公式为a n＝．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x1，y1），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（x2，y2）记f（α）＝y1+y2（1）求函数f（α）的值域；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）＝，且a ＝，c＝1，求b．16．（15分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．（1）求证：OE∥平面BCC1B1；（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右准线方程为x＝4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．18．（5分）某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t ≤25，单位：米）；曲线BC是抛物线y＝﹣ax2+50（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB＝50米．（1）若要求CD＝30米，AD＝米，求t与a的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围；（3）若，求AD的最大值．（参考公式：若，则）19．（5分）设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S n，若a1a5＝64，S5﹣S3＝48．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m＝k+1且l＝k+3”是“5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{b n}满足：对任意的正整数n，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1＝3•2n+1﹣4n﹣6，且集合中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．20．（5分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝mx+n．（1）设h（x）＝f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x＝0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n＝0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）＝+，且n＝4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．A、（选修4-1：几何证明选讲）21．（5分）如图，已知点P为Rt△ABC的斜边AB的延长线上一点，且PC与Rt△ABC的外接圆相切，过点C作AB的垂线，垂足为D，若P A＝18，PC＝6，求线段CD的长．B、（选修4-2：矩阵与变换）22．求直线x﹣y﹣1＝0在矩阵的变换下所得曲线的方程．三.C、（选修4-4：坐标系与参数方程）23．在极坐标系中，求圆ρ＝2cosθ的圆心到直线2ρsin（θ+）＝1的距离．24．（8分）解不等式|x+1|+|x﹣2|＜4．25．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，动点P满足（λ＞0），当λ＝时，AB1⊥BP．（1）求棱CC1的长；（2）若二面角B1﹣AB﹣P的大小为，求λ的值．26．（10分）设集合S＝{1，2，3，…，n}（n∈N*，n≥2），A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数小于集合B中的最小数，记满足条件的集合对（A，B）的个数为P n．（1）求P2，P3的值；（2）求P n的表达式．2015年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大题共20小题，每小题5分，计70分.1．（5分）设集合M＝{2，0，x}，集合N＝{0，1}，若N⊆M，则x＝1．【解答】解：∵集合M＝{2，0，x}，N＝{0，1}，∴若N⊆M，则集合N中元素均在集合M中，∴x＝1．故答案为：1．2．（5分）若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a＝﹣1．【解答】解：复数＝＝﹣ai+1，∵Z的实部与虚部相等，∴﹣a＝1，解得a＝﹣1．故答案为：﹣1．3．（5分）在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9，10，9，7，10，则该组数据的方差是．【解答】解：数据9，10，9，7，10的平均数是＝（9+10+9+7+10）＝9，∴它的方差是s2＝[（9﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（7﹣9）2+（10﹣9）2]＝．故答案为：．4．（5分）甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为0.3．【解答】解：∵“乙获胜”与“甲获胜”及“甲、乙下和棋”是互斥事件．且与“乙获胜”与“甲获胜与甲、乙下和棋的并事件”是互斥事件．∵甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，∴乙获胜的概率P＝1﹣（0.2+0.5）＝0.3．故答案为：0.35．（5分）若双曲线x2﹣y2＝a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则a＝．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），故双曲线x2﹣y2＝a2（a＞0）的右焦点坐标为（1，0），故c＝1，由双曲线x2﹣y2＝a2的标准方程为：，故2a2＝1，又由a＞0，∴a＝．故答案为：6．（5分）运行如图所示的程序后，输出的结果为42．【解答】解：模拟执行程序，有i＝1，s＝0，满足条件i＜8，i＝4，s＝8，满足条件i＜8，i＝7，s＝22，满足条件i＜8，i＝10，s＝42，不满足条件i＜8，退出循环，输出s的值为42．故答案为：42．7．（5分）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为8．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z＝x+y，则y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入z＝x+y得z＝1+2＝3．即z＝x+y最大值为3，∴2x+y的最大值为23＝8．故答案为：8．8．（5分）若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为．【解答】解：∵圆锥的底面半径r＝1，侧面积是底面积的2倍，∴圆锥的母线长l＝2，故圆锥的高h＝＝，故圆锥的体积V＝＝＝，故答案为：．9．（5分）若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x0，0）成中心对称，，则x0＝．【解答】解：∵函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，∴＝π，∴ω＝2∴f（x）＝sin（2x+）．∵f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，∴f（x0）＝0，即sin（2x0+）＝0，∴2x0+＝kπ，∴x0＝﹣，k∈Z，∵x0∈[0，]，∴x0＝．故答案为：．10．（5分）若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x+log2y＝1，则的最小值为4．【解答】解：∵log2x+log2y＝1，∴log2xy＝1＝log22，∴xy＝2，∴＝＝（x﹣y）+≥2＝4，但且仅当x＝1+，y＝﹣1时取等号，故的最小值为4，故答案为：4．11．（5分）设向量＝（sin2θ，cosθ），＝（cosθ，1），则“∥”是“tanθ＝”成立的必要不充分条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．【解答】解：若∥，则sin2θ﹣cosθcosθ＝0，即2sinθcosθ﹣cosθcosθ＝0，即cosθ（2sinθ﹣cosθ）＝0，则cosθ＝0或tanθ＝，故∥”是“tanθ＝”成立必要不充分条件，故答案为：必要不充分．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝﹣x+2与圆x2+y2＝r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足＝+则r＝．【解答】解：由题意可得，＝r设，θ∈[0，π]则＝＝r2cosθ∵＝+两边同时平方可得，＝即×∴cosθ＝∵，∴且cos∴＝设圆心O到直线x+y﹣2＝0的距离为d，则d＝r cos＝即∴r＝故答案为：．13．（5分）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣1，函数g（x）＝x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）＝f（x1），则实数m的取值范围是[﹣5，﹣2]．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴f（0）＝0，当x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣1∈（0，3]，则当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣3，3]，若对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）＝f（x1），则等价为g（x）max≥3且g（x）min≤﹣3，∵g（x）＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2+m﹣1，x∈[﹣2，2]，∴g（x）max＝g（﹣2）＝8+m，g（x）min＝g（1）＝m﹣1，则满足8+m≥3且m﹣1≤﹣3，解得m≥﹣5且m≤﹣2，故﹣5≤m≤﹣2，故答案为：[﹣5，﹣2]14．（5分）已知数列{a n}满足a1＝﹣1，a2＞a1，|a n+1﹣a n|＝2n（n∈N*），若数列{a2n﹣1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{a n}的通项公式为a n＝．【解答】解：方法一：先采用列举法得a1＝﹣1，a2＝1，a3＝﹣3，a4＝5，a5＝﹣11，a6＝21，…，然后从数字的变化上找规律，得，∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝（﹣1）n•2n﹣1+（﹣1）n﹣1•2n﹣2+…﹣22+2﹣1＝＝．方法二：∵，，∴，而{a2n﹣1}递减，∴a2n+1﹣a2n﹣1＜0，故；同理，由{a2n}递增，得；又a2＞a1，∴，以下同上．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x1，y1），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（x2，y2）记f（α）＝y1+y2（1）求函数f（α）的值域；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）＝，且a ＝，c＝1，求b．【解答】解：（Ⅰ）由三角函数定义知，y1＝sinα，y2＝sin（α+）＝cosα，f（α）＝y1+y2＝cosα+sinα＝sin（α+），∵角α为锐角，∴＜α+＜，∴＜sin（α+）≤1，∴1＜sin（α+）≤，则f（α）的取值范围是（1，]；（Ⅱ）若f（C）＝，且a＝，c＝1，则f（C）═sin（C+）＝，即sin（C+）＝1，则C＝，由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，即1＝2+b2﹣2×b，则b2﹣2b+1＝0，即（b﹣1）2＝0，解得b＝1．16．（15分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．（1）求证：OE∥平面BCC1B1；（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．【解答】证明：（1）：连接BC1，设BC1∩B1C＝F，连接OF，…2分因为O，F分别是B1D与B1C的中点，所以OF∥DC，且，又E为AB中点，所以EB∥DC，且d1＝1，从而，即四边形OEBF是平行四边形，所以OE∥BF，…6分又OE⊄面BCC1B1，BF⊂面BCC1B1，所以OE∥面BCC1B1．…8分（2）因为DC⊥面BCC1B1，BC1⊂面BCC1B1，所以BC1⊥DC，…10分又BC1⊥B1C，且DC，B1C⊂面B1DC，DC∩B1C＝C，所以BC1⊥面B1DC，…12分而BC1∥OE，所以OE⊥面B1DC，又OE⊂面B1DE，所以面B1DC⊥面B1DE．…14分17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右准线方程为x＝4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．【解答】解：（1）由题意知，直线l的方程为y＝2（x﹣a），即2x﹣y﹣2a＝0，∴右焦点F到直线l的距离为，∴a﹣c＝1，又椭圆C的右准线为x＝4，即，∴，将此代入上式解得a＝2，c＝1，∴b2＝3，∴椭圆C的方程为．（2）方法一：由（1）知，F（1，0），∴直线BF的方程为，联立方程组，解得或（舍），即，∴直线l的斜率．方法二：由（1）知，F（1，0），∴直线BF的方程为，由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），联立方程组，解得，代入椭圆解得：或，又由题意知，＜0得k＞0或，∴．方法三：由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），联立方程组，得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，，∴，，当B，F，P三点共线时有，k BP＝k BF，即，解得或，又由题意知，＜0得k＞0或，∴．18．（5分）某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t ≤25，单位：米）；曲线BC是抛物线y＝﹣ax2+50（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB＝50米．（1）若要求CD＝30米，AD＝米，求t与a的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围；（3）若，求AD的最大值．（参考公式：若，则）【解答】解：（1）∵CD＝50﹣t＝30，解得t＝20．此时圆E：x2+（y﹣20）2＝302，令y＝0，得，∴，将点代入y＝﹣ax2+50（a＞0）中，解得．（2）∵圆E的半径为50﹣t，∴CD＝50﹣t，在y＝﹣ax2+50中，令y＝50﹣t，得，则由题意知对t∈（0，25]恒成立，∴恒成立，而当，即t＝25时，取最小值10，故，解得．（3）当时，，又圆E的方程为x2+（y﹣t）2＝（50﹣t）2，令y＝0，得，∴，从而，又∵f′（t）＝5＝，令f'（t）＝0，得t＝5，当t∈（0，5）时，f'（t）＞0，f（t）单调递增；当t∈（5，25）时，f'（t）＜0，f（t）单调递减，从而当t＝5时，f（t）取最大值为25．答：当t＝5米时，AD的最大值为25米．（3）方法二：（三角换元）令，则＝，其中ϕ是锐角，且，从而当时，AD取得最大值为25米．方法三：令，则题意相当于：已知x2+y2＝25（x≥0，y≥0），求z＝AD＝5×（2x+y）的最大值．根据线性规划知识，当直线y＝﹣2x+与圆弧x2+y2＝25（x≥0，y≥0）相切时，z取得最大值为25米．19．（5分）设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S n，若a1a5＝64，S5﹣S3＝48．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m＝k+1且l＝k+3”是“5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{b n}满足：对任意的正整数n，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1＝3•2n+1﹣4n﹣6，且集合中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比是q，∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴，解得a3＝8，又∵S5﹣S3＝48，∴，解得q＝2，∴；…4分（2）（ⅰ）必要性：设5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列，①若2•5a k＝a m+a l，则10•2k＝2m+2l，∴10＝2m﹣k+2l﹣k，∴5＝2m﹣k﹣1+2l﹣k﹣1，∴，∴．…6分②若2a m＝5a k+a l，则2•2m＝5•2k+2l，∴2m+1﹣k﹣2l﹣k＝5，左边为偶数，等式不成立，③若2a l＝5a k+a m，同理也不成立，综合①②③，得m＝k+1，l＝k+3，所以必要性成立．…8分（ⅱ）充分性：设m＝k+1，l＝k+3，则5a k，a m，a l这三项为5a k，a k+1，a k+3，即5a k，2a k，8a k，调整顺序后易知2a k，5a k，8a k成等差数列，所以充分性也成立．综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立．…10分（3）因为，即，①∴当n≥2时，，②则②式两边同乘以2，得，③∴①﹣③，得2b n＝4n﹣2，即b n＝2n﹣1（n≥2），又当n＝1时，，即b1＝1，适合b n＝2n﹣1（n≥2），∴b n＝2n﹣1．…14分∴，∴，∴n＝2时，，即；∴n≥3时，，此时单调递减，又，，，，∴．…16分20．（5分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝mx+n．（1）设h（x）＝f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x＝0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n＝0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）＝+，且n＝4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．【解答】解：（1）①h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e x﹣mx﹣n．则h（0）＝1﹣n，函数的导数h′（x）＝e x﹣m，则h′（0）＝1﹣m，则函数在x＝0处的切线方程为y﹣（1﹣n）＝（1﹣m）x，∵切线过点（1，0），∴﹣（1﹣n）＝1﹣m，即m+n＝2．②当n＝0时，h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e x﹣mx．若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，即e x﹣mx＝0在（﹣1，+∞）上无解，若x＝0，则方程无解，满足条件，若x≠0，则方程等价为m＝，设g（x）＝，则函数的导数g′（x）＝，若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）＝﹣e ﹣1，若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x＝1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）＝e，综上g（x）≥e或g（x）＜﹣e﹣1，若方程m＝无解，则﹣e﹣1≤m＜e．（2）∵n＝4m（m＞0），∴函数r（x）＝+＝+＝+，则函数的导数r′（x）＝﹣+＝，设h（x）＝16e x﹣（x+4）2，则h′（x）＝16e x﹣2（x+4）＝16e x﹣2x﹣8，[h′（x）]′＝16e x﹣2，当x≥0时，[h′（x）]′＝16e x﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）＝16﹣8＝8＞0，即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）＝16﹣16＝0，即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，故r（x）≥r（0）＝，故当x≥0时，r（x）≥1成立．A、（选修4-1：几何证明选讲）21．（5分）如图，已知点P为Rt△ABC的斜边AB的延长线上一点，且PC与Rt△ABC的外接圆相切，过点C作AB的垂线，垂足为D，若P A＝18，PC＝6，求线段CD的长．【解答】解：由切割线定理，得PC2＝P A•PB，解得PB＝2，所以AB＝16，即Rt△ABC的外接圆半径r＝8，…5分记Rt△ABC外接圆的圆心为O，连OC，则OC⊥PC，在Rt△POC中，由面积法得OC•PC＝PO•CD，解得．…10分．B、（选修4-2：矩阵与变换）22．求直线x﹣y﹣1＝0在矩阵的变换下所得曲线的方程．【解答】解：设P（x，y）是所求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为Q（x'，y'），∵＝，∴，解得，代入x'﹣y'﹣1＝0中，得：，化简可得所求曲线方程为．三.C、（选修4-4：坐标系与参数方程）23．在极坐标系中，求圆ρ＝2cosθ的圆心到直线2ρsin（θ+）＝1的距离．【解答】解：将圆ρ＝2cosθ化为ρ2＝2ρcosθ，普通方程为x2+y2﹣2x＝0，圆心为（1，0），又，即，∴直线的普通方程为，故所求的圆心到直线的距离．24．（8分）解不等式|x+1|+|x﹣2|＜4．【解答】解：当x＜﹣1时，不等式化为﹣x﹣1+2﹣x＜4，解得；当﹣1≤x≤2时，不等式化为x+1+2﹣x＜4，解得﹣1≤x≤2；当x＞2时，不等式化为x+1+x﹣2＜4，解得；所以原不等式的解集为．25．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，动点P满足（λ＞0），当λ＝时，AB1⊥BP．（1）求棱CC1的长；（2）若二面角B1﹣AB﹣P的大小为，求λ的值．【解答】解：（1）以点A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设CC1＝m，则B1（3，0，m），B（3，0，0），P（0，4，λm），所以，，，…2分当时，有解得，即棱CC1的长为．…4分（2）设平面P AB的一个法向量为＝（x，y，z），则由，得，即，令z＝1，则，所以平面P AB的一个法向量为，…6分又平面ABB1与y轴垂直，所以平面ABB1的一个法向量为，因二面角B1﹣AB﹣P的平面角的大小为，所以|cos＜＞|＝＝||，结合λ＞0，解得．…10分．26．（10分）设集合S＝{1，2，3，…，n}（n∈N*，n≥2），A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数小于集合B中的最小数，记满足条件的集合对（A，B）的个数为P n．（1）求P2，P3的值；（2）求P n的表达式．【解答】解：（1）当n＝2时，即S＝{1，2}，此时A＝{1}，B＝{2}，所以P2＝1，…2分当n＝3时，即S＝{1，2，3}，若A＝{1}，则B＝{2}，或B＝{3}，或B＝{2，3}；若A＝{2}或A＝{1，2}，则B＝{3}；所以P3＝5．…4分（2）当集合A中的最大元素为“k”时，集合A的其余元素可在1，2，…，k ﹣1中任取若干个（包含不取），所以集合A共有种情况，…6分此时，集合B的元素只能在k+1，k+2，…，n中任取若干个（至少取1个），所以集合B共有种情况，所以，当集合A中的最大元素为“k”时，集合对（A，B）共有2k﹣1（2n﹣k﹣1）＝2n﹣1﹣2k﹣1对，…8分当k依次取1，2，3，…，n﹣1时，可分别得到集合对（A，B）的个数，求和可得．…12分。

江苏省南京市、盐城市2015届高三第一次模拟考试数学试卷

2015届高三模拟考试试卷(一)数学(满分160分，考试时间120分钟)2015．1 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2，其中x －＝1n ∑i ＝1nx i .锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面面积，h 为锥体的高．圆锥的侧面积公式：S ＝πrl ，其中r 为圆锥的底面半径，l 为圆锥的母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设集合M ＝{2，0，x}，集合N ＝{0，1}，若N M ，则实数x 的值为__________．2. 若复数z ＝a ＋ii (其中i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a 的值为__________．3. 在一次射箭比赛中，某运动员5次射中的环数依次是9，10，9，7，10，则该组数据的方差是__________．i ←1 S ←0While i ＜8 i ←i ＋3 S ←2×i ＋S End While Print S(第6题)4. 甲、乙两位同学下象棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为__________．5. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2＝a 2(a ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则实数a 的值为__________．6. 运行如图所示的伪代码表示的算法，其输出值为________．7. 已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为__________．8. 已知一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为____________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，若函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0，0)成中心对称，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0的值为__________．10. 若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则x 2＋y 2x －y的最小值为__________．11. 设向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，则“a ∥b ”是“tan θ＝12”成立的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．12. 在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足OC →＝54OA →＋34OB →，则r 的值为________．13. 已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x ∈(0，2]时，f(x)＝2x －1.又已知函数g(x)＝x 2－2x ＋m ，且如果对于任意的x 1∈[－2，2]，都存在x 2∈[－2，2]，使得g(x 2)＝f(x 1)，则实数m 的取值范围是______________．14. 已知数列{a n }满足a 1＝－1，a 2＞a 1，|a n ＋1－a n |＝2n (n ∈N *)．若数列{a 2n －1}单调递减，数列{a 2n }单调递增，则数列{a n }的通项公式为a n ＝____________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知锐角α的始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆交于点P(x 1，y 1)．将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转π2后，与单位圆交于点Q(x 2，y 2)．记f(α)＝y 1＋y 2.(1) 求函数f(α)的值域；(2) 记△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若f(C)＝2，且a ＝2，c ＝1，求b.16.(本小题满分14分)如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，O 、E 分别为B 1D 、AB 的中点．求证： (1) OE ∥平面BCC 1B 1； (2) 平面B 1DC ⊥平面B 1DE.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右准线为直线x ＝4，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F.已知斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为255.(1) 求a ，b 的值；(2) 将直线l 绕点A 旋转，与椭圆C 相交于另一点P ，当B ，F ，P 三点共线时，求直线l 的斜率．某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，设计方案中，体育馆侧面的外轮廓线为如图乙所示的封闭曲线ABCD.曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中E(0，t)(0＜t ≤25，单位：m)，曲线BC 是抛物线y ＝－ax 2＋50(a ＞0)的一部分，CD ⊥AD ，且CD 恰好等于圆E 的半径．假定拟建体育馆的高OB ＝50 m.甲乙(1) 若要求CD ＝30 m ，AD ＝24 5 m ，求实数t 与a 的值；(2) 若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75 m ，求实数a 的取值范围； (3) 若a ＝125，求AD 的最大值．⎝⎛⎭⎪⎫参考公式：若f （x ）＝a －x ，则f′（x ）＝－12a －x设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 1a 5＝64，S 5－S 3＝48. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 对于正整数k ，m ，l(k ＜m ＜l)，求证：“m ＝k ＋1且l ＝k ＋3”是“5a k ，a m ，a l 经适当排序后能构成等差数列”的充要条件；(3) 设数列{b n }满足：对任意的正整数n ，都有a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1＝3·2n ＋1－4n －6，且集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫n|b n a n≥λ，n ∈N *中有且仅有3个元素，求实数λ的取值范围．20. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝e x ，g(x)＝mx ＋n ，其中e 是自然对数的底数，m ，n ∈R . (1) 设h(x)＝f(x)－g(x)．① 若函数h(x)的图象在x ＝0处的切线过点(1，0)，求m ＋n 的值；② 当n ＝0时，若函数h(x)在(－1，＋∞)上没有零点，求m 的取值范围．(2) 设函数r(x)＝1f （x ）＋nxg （x ），且n ＝4m(m ＞0)，求证：当x ≥0时，r(x)≥1. (这是边文，请据需要手工删加)2015届高三模拟考试试卷(一) 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，已知点P 为Rt △ABC 的斜边AB 的延长线上一点，且PC 与Rt △ABC 的外接圆相切，过点C 作AB 的垂线，垂足为D.若PA ＝18，PC ＝6，求线段CD 的长．B. (选修42：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy 中，求直线x －y －1＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －2222 22表示的变换作用下所得曲线的方程．C. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ的圆心到直线2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1的距离．D. (选修45：不等式选讲) 解不等式：|x ＋1|＋|x －2|＜4.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝4，动点P 满足CP →＝λCC 1→(λ＞0)，且当λ＝12时，AB 1⊥BP.(1) 求棱CC 1的长；(2) 若二面角B 1ABP 的大小为π3，求λ的值．23.设集合S ＝{1，2，3…，n}(n ∈N *，n ≥2)，A ，B 是S 的两个非空子集，且满足集合A 中的最大数小于集合B 中的最小数．记满足条件的集合对(A ，B)的个数为P n .(1) 求P 2，P 3的值； (2) 求P n 的表达式．2015届高三模拟考试试卷(一)(盐城、南京)数学参考答案及评分标准1. 12. －13. 654. 0.35. 22 6. 42 7. 8 8. 3π3 9. 5π12 10.4 11. 必要不充分 12. 10 13. [－5，－2] 14. （－2）n －1315. 解：(1) 由题意，得y 1＝sin α，y 2＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α，(4分)所以f(α)＝sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4.(6分)因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，故f(α)∈(1，2]．(8分)(2) 因为f(C)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ＝2，又C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以C ＝π4.(10分)在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，即1＝2＋b 2－22×22b ，解得b ＝1.(14分)(说明：第(2)小题用正弦定理处理的，类似给分)16. 证明：(1) 连结BC 1，设BC 1∩B 1C ＝F ，连结OF ，(2分) 因为O 、F 分别是B 1D 与B 1C 的中点，所以OF ∥DC ，且OF ＝12DC.又E 为AB 中点，所以EB ∥DC ，且EB ＝12DC ，从而OF ∥EB ，OF ＝EB ，即四边形OEBF 是平行四边形，所以OE ∥BF.(6分) 又OE Ë平面BCC 1B 1，BF Ì平面BCC 1B 1，所以OE ∥平面BCC 1B 1.(8分)(2) 因为DC ⊥平面BCC 1B 1，BC 1Ì平面BCC 1B 1，所以BC 1⊥DC.(10分)又BC 1⊥B 1C ，且DC ，B 1C Ì平面B 1DC ，DC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1DC.(12分) 而BC 1∥OE ，所以OE ⊥平面B 1DC.又OE Ì平面B 1DE ，所以平面B 1DC ⊥平面B 1DE.(14分)17. 解：(1) 由题意知，直线l 的方程为y ＝2(x －a)，即2x －y －2a ＝0，(2分) ∴ 右焦点F 到直线l 的距离为|2c －2a|5＝255，∴ a －c ＝1.(4分)又椭圆C 的右准线为x ＝4，即a 2c ＝4，∴ c ＝a 24，将此代入上式解得a ＝2，c ＝1，∴ b 2＝3，b ＝ 3.∴ 椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2) 由(1)知B(0，3)，F(1，0)，∴ 直线BF 的方程为y ＝－3(x －1)，(8分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －1），x 24＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x ＝85，y ＝－335或⎩⎨⎧x ＝0y ＝3(舍)，即P ⎝⎛⎭⎫85，－335，(12分)∴ 直线l 的斜率k ＝0－⎝⎛⎭⎫－3352－85＝332.(14分)18. 解：(1) 因为CD ＝50－t ＝30，解得t ＝20.(2分)此时圆E ：x 2＋(y －20)2＝302，令y ＝0，得AO ＝105，所以OD ＝AD －AO ＝245－105＝145，将点C(145，30)代入y ＝－ax 2＋50(a>0)中，解得a ＝149.(4分)(2) 因为圆E 的半径为50－t ，所以CD ＝50－t ，在y ＝－ax 2＋50中令y ＝50－t ，得OD ＝ta ，则由题意知FD ＝50－t ＋ta≤75对t ∈(0，25]恒成立，(8分) 所以1a ≤t ＋25t 恒成立，而当t ＝25t ，即t ＝25时，t ＋25t 取最小值10，故1a ≤10，解得a ≥1100.(10分) (3) 当a ＝125时，OD ＝5t ，又圆E 的方程为x 2＋(y －t)2＝(50－t)2，令y ＝0，得x ＝±1025－t ，所以AO ＝1025－t.从而AD ＝f(t)＝1025－t ＋5t(0<t ≤25)．(12分)因为f′(t)＝5⎝⎛⎭⎪⎫－125－t ＋12t ＝5（25－t －2t ）225－t·t，令f′(t)＝0，得t ＝5，(14分) 当t ∈(0，5)时，f ′(t)>0，f(t)单调递增；当t ∈(5，25)时，f ′(t)<0，f(t)单调递减，从而当t ＝5时，f(t)取最大值为25 5.答：当t ＝5 m 时，AD 的最大值为25 5 m ．(16分)(说明：本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法来解决，类似给分)19. 解：(1) ∵ 数列{a n }是各项均为正数的等比数列，∴ a 1a 5＝a 23＝64，∴ a 3＝8.∵ S 5－S 3＝48，∴ a 4＋a 5＝8q 2＋8q ＝48，∴ q ＝2，∴ a n ＝8·2n －3＝2n .(4分) (2) (ⅰ)必要性：设5a k ，a m ，a l 这三项经适当排序后能构成等差数列，① 若2·5a k ＝a m ＋a l ，则10·2k ＝2m ＋2l ，∴ 10＝2m －k ＋2l －k ，∴ 5＝2m －k －1＋2l －k －1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2m －k －1＝1，2l －k －1＝4，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝k ＋1，l ＝k ＋3.(6分) ② 若2a m ＝5a k ＋a l ，则2·2m ＝5·2k ＋2l ，∴ 2m ＋1－k －2l －k ＝5，左边为偶数，等式不成立． ③ 若2a l ＝5a k ＋a m ，同理也不成立．综合①②③，得m ＝k ＋1，l ＝k ＋3，∴ 必要性成立．(8分) (ⅱ) 充分性：设m ＝k ＋1，l ＝k ＋3，则5a k ，a m ，a l 这三项为5a k ，a k ＋1，a k ＋3，即5a k ，2a k ，8a k ，调整顺序后易知2a k ，5a k ，8a k 成等差数列，所以充分性也成立．综合(ⅰ)(ⅱ)，原命题成立．(10分)(3) 因为a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1＝3·2n ＋1－4n －6，即21b n ＋22b n －1＋23b n －2＋…＋2n b 1＝3·2n ＋1－4n －6，(*)∴ 当n ≥2时，21b n －1＋22b n －2＋23b n －3＋…＋2n －1b 1＝3·2n －4n －2，(**)则(**)式两边同乘以2，得22b n －1＋23b n －2＋24b n －3＋…＋2n b 1＝3·2n ＋1－8n －4，(***) (*)－(***)，得2b n ＝4n －2，即b n ＝2n －1(n ≥2)．又当n ＝1时，2b 1＝3·22－10＝2，即b 1＝1，适合b n ＝2n －1(n ≥2)，∴ b n ＝2n －1.(14分)∴b n a n ＝2n －12n ，∴ b n a n －b n －1a n －1＝2n －12n －2n －32n －1＝5－2n 2n ， ∴ n ＝2时，b n a n －b n －1a n －1>0，即b 2a 2>b 1a 1；∴ n ≥3时，b n a n －b n －1a n －1<0，此时⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 单调递减，又b 1a 1＝12，b 2a 2＝34，b 3a 3＝58，b 4a 4＝716，∴ 716<λ≤12.(16分) 20. (1) 解：① 由题意，得h′(x)＝(f(x)－g(x))′＝(e x －mx －n)′＝e x －m ，所以函数h(x)在x ＝0处的切线斜率k ＝1－m.(2分)又h(0)＝1－n ，所以函数h(x)在x ＝0处的切线方程y －(1－n)＝(1－m)x ，将点(1，0)代入，得m ＋n ＝2.(4分)② 当n ＝0，可得h′(x)＝(e x －mx)′＝e x －m ，因为x>－1，所以e x >1e，当m ≤1e 时，h ′(x)＝e x －m>0，函数h(x)在(－1，＋∞)上单调递增，而h(0)＝1，所以只需h(－1)＝1e ＋m ≥0，解得m ≥－1e ，从而－1e ≤m ≤1e .(6分)当m>1e时，由h′(x)＝e x －m ＝0，解得x ＝lnm ∈(－1，＋∞)，当x ∈(－1，lnm)时，h ′(x)<0，h(x)单调递减；当x ∈(lnm ，＋∞)时，h ′(x)>0，h(x)单调递增．所以函数h(x)在(－1，＋∞)上有最小值为h(lnm)＝m －mlnm ，令m －mlnm>0，解得m<e ，所以1e <m<e.综上所述，m ∈⎣⎡⎭⎫－1e ，e .(10分)(2) 证明：由题意，r(x)＝1f （x ）＋nx g （x ）＝1e x ＋n m x x ＋n m＝1e x ＋4x x ＋4，而r(x)＝1e x ＋4xx ＋4≥1等价于e x (3x －4)＋x ＋4≥0，令F(x)＝e x (3x －4)＋x ＋4，(12分)则F(0)＝0，且F′(x)＝e x (3x －1)＋1，F ′(0)＝0，令G(x)＝F′(x)，则G′(x)＝e x (3x ＋2)，因为x ≥0，所以G′(x)>0，所以导数F′(x)在[0，＋∞)上单调递增，于是F′(x)≥F′(0)＝0，(14分)从而函数F(x)在[0，＋∞)上单调递增，即F(x)≥F(0)＝0.从而，当x ≥0时，r(x)≥1.(16分)2015届高三模拟考试试卷(一)(盐城、南京)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：由切割线定理，得PC 2＝PA·PB ，解得PB ＝2，所以AB ＝16，即Rt △ABC 的外接圆半径r ＝8，记Rt △ABC 外接圆的圆心为O ，连OC ，则OC ⊥PC ，在Rt △POC 中，由面积法得OC·PC ＝PO·CD ，解得CD ＝245.(10分) B. 解：设P(x ，y)是所求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为Q(x′，y ′)，则⎩⎨⎧22x′－22y′＝x ，22x ′＋22y′＝y ，解得⎩⎨⎧x′＝22（x ＋y ），y ′＝22（y －x ），(5分) 代入x′－y′－1＝0中，得22(x ＋y)－22(y －x)－1＝0，化简可得所求曲线方程为x ＝22.(10分) C. 解：将圆ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，圆心为(1，0)，(4分)又2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1，即2ρ⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ＝1，所以直线的普通方程为3x ＋y －1＝0，(8分)故所求的圆心到直线的距离d ＝3－12.(10分) D. 解：当x<－1时，不等式化为－x －1＋2－x<4，解得－32<x<－1；(3分) 当－1≤x ≤2时，不等式化为x ＋1＋2－x<4，解得－1≤x ≤2；(6分)当x>2时，不等式化为x ＋1＋x －2<4，解得2<x<52.(9分) 所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－32，52.(10分) 22. 解：(1) 以点A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，设CC 1＝m ，则B 1(3，0，m)，B(3，0，0)，P(0，4，λm)，所以AB 1→＝(3，0，m)，PB →＝(3，－4，－λm )，AB →＝(3，0，0)，(2分)当λ＝12时，有AB 1→·PB →＝(3，0，m)·⎝⎛⎭⎫3，－4，－12m ＝0，解得m ＝32，即棱CC 1的长为3 2.(4分)(2) 设平面PAB 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z)，则由⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n 1＝0，PB →·n 1＝0，得⎩⎨⎧3x ＝0，3x －4y －32λz ＝0，即⎩⎨⎧x ＝0，4y ＋32λz ＝0，令z ＝1，则y ＝－32λ4，所以平面PAB 的一个法向量为n 1＝⎝⎛⎭⎫0，－32λ4，1.(6分) 又平面ABB 1与y 轴垂直，所以平面ABB 1的一个法向量为n 2＝(0，1，0)．因为二面角B 1ABP 的平面角的大小为π3，所以||cos 〈n 1，n 2〉＝12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－32λ4⎝⎛⎭⎫32λ42＋1，结合λ>0，解得λ＝269.(10分) 23. 解：(1) 当n ＝2时，即S ＝{1，2}，此时A ＝{1}，B ＝{2}，所以P 2＝1，(2分) 当n ＝3时，即S ＝{1，2，3}，若A ＝{1}，则B ＝{2}，或B ＝{3}，或B ＝{2，3}；若A ＝{2}或A ＝{1，2}，则B ＝{3}；所以P 3＝5.(4分)(2) 当集合A 中的最大元素为“k”时，集合A 的其余元素可在1，2，…，k －1中任取若干个(包含不取)，所以集合A 共有C 0k －1＋C 1k －1＋C 2k －1＋…＋C k －1k －1＝2k －1种情况，(6分) 此时，集合B 的元素只能在k ＋1，k ＋2，…，n 中任取若干个(至少取1个)，所以集合B 共有C 1n －k ＋C 2n －k ＋C 3n －k ＋…＋C n －k n －k ＝2n －k －1种情况，所以，当集合A 中的最大元素为“k”时，集合对(A ，B)共有2k －1(2n －k －1)＝2n －1－2k －1对，(8分)当k 依次取1，2，3，…，n －1时，可分别得到集合对(A ，B)的个数，求和可得P n ＝(n －1)·2n －1－(20＋21＋22＋…＋2n －2)＝(n －2)·2n －1＋1.(10分)。

南京市、盐城市2015届高三第一次模拟考试数学试题-含答案

i ←1 S ←0 While i ＜8 i ←i + 3 S ←2´i + S End While Print S第6题图南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)参考公式:样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 圆锥的侧面积公式：rl s π=，其中是圆锥的r 底面半径，l 为母线长一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。

不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置。

1．设集合{}2,0,M x =，集合{}0,1N =，若N M ⊆，则x = ▲ . 2．若复数a iz i+=（其中i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a = ▲ . 3．在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9,10,9,7,10，则该组数据的方差是 ▲ .4．甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为 ▲ . 5．若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 6．运行如图所示的程序后，输出的结果为 ▲ .7．若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为 ▲ .8．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 ▲ . 9．若函数()sin()(0)6f x x πωω=+>图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点0(,0)x 成中心对称，0[0,]2x π∈，则0x = ▲ .10．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为 ▲ .11．设向量(sin 2,cos )θθ=a ，(cos ,1)θ=b ，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的 ▲ 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) .12．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，则r = ▲ .13．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21xf x =-，函数2()2g x x x m =-+. 如果对于1[2,2]x ∀∈-，2[2,2]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数m 的取值范围是 ▲ .14．已知数列{}n a 满足11a =-，21a a >，*1||2()n n n a a n N +-=∈，若数列{}21n a -单调递减，数列{}2n a 单调递增，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并把答案写在答题纸的指定区域内）15．在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+. （1）求函数()f α的值域；（2）设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f C =2a =1c =，求b .16．(本小题满分14分)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,O E 分别为1,B D AB 的中点. （1）求证：//OE 平面11BCC B ；（2）求证：平面1B DC ⊥平面1B DE .xy PQOα 第15题图BACDB 1A 1C 1D 1E第16题图O17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右准线方程为4x =，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为25.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当,,B F P 三点共线时，试确定直线l 的斜率.18．某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t （025t <≤，单位：米）；曲线BC 是抛物线250(0)y ax a =-+>的一部分；CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径. 假定拟建体育馆的高50OB =米.（1）若要求30CD =米，AD =245米，求t 与a 的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围；（3）若125a =，求AD 的最大值.（参考公式：若()f x a x =-，则()2f x a x'=--）FPOxAly B第17题图·第18题-甲 xy O ABCD 第18题-乙E ·F19．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数,,k m l （k m l <<），求证：“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有121321n n n n a b a b a b a b --++++L13246n n +=⋅--，且集合*|,n n b M n n N a λ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围.20．已知函数()xf x e =，()g x mx n =+.（1）设()()()h x f x g x =-.① 若函数()h x 在0x =处的切线过点(1,0)，求m n +的值；② 当0n =时，若函数()h x 在(1,)-+∞上没有零点，求m 的取值范围；（2）设函数1()()()nx r x f x g x =+，且4(0)n m m =>，求证：当0x ≥时，()1r x ≥.南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. 1 2．－1 3． 654． 0.3 5．2 6． 42 7． 889． 512π10． 4 11．要不充分 1213. [5,2]-- 14. (2)13n --（说明：本答案也可以写成21,321,3n nn n ⎧--⎪⎪⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数12解读：方法1：（平面向量数量积入手）22225325539244164416OC OA OB OA OA OB OB⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ，即：222225159+cos 16816r r r AOB r =∠+，整理化简得：3cos 5AOB ∠=-，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则23cos 2cos 15AOB AOD ∠=∠-=-，得21cos 5AOD ∠=，又圆心到直线的距离为OD ==所以222212cos 5OD AOD r r ∠===，所以210r =，r =.方法2：（平面向量坐标化入手）设()11,A x y ，()22,B x y ,(),C x y ,由5344OC OA OB=+u u u r u u u r u u u r得125344x x x =+，125344y y y =+，则22222222121211112222535325251525251544441616816168x y x x y y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由题意得，()222112225251516168r r r x y x y =+++，联立直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>的方程，由韦达定理可解得：r =.方法3：（平面向量共线定理入手）由5344OC OA OB =+u u u r u u u r 得153288OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，设OC与AB 交于点M ，则A M B 、、三点共线。

江苏省盐城市时杨中学2015届高三数学12月月考调研试题理

江苏省盐城市时杨中学2015届高三数学12月月考调研试题理一、填空题：本大题共14小题，每一小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸．．．上． 1．假设{Z |2216},{3,4,5}x A x B =∈≤≤=，如此AB =. 2．函数()sin cos f x x x =的最大值是3．幂函数y=f (x )的图象过点〔2，2〕，如此=)16(f .4．假设()f x 是定义在R 上的函数，如此“(0)0f =〞是“函数()f x 为奇函数〞的条件〔从“充分不必要〞、“必要不充分〞、“充要〞、“既不充分也不必要〞中选一个〕． 5．4sin()25πθ+=，(0,)θπ∈,如此5cos()6πθ-=. 6．设函数1221()1log 1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，如此满足()2f x ≤的x 的取值范围是.7．设a R ∈，函数()x x a f x e e=+是偶函数，假设曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，如此切点的横坐标为____ __．8．给出如下四个命题，其中不正确命题的序号是。

①假设Z k k ∈=-=,2,cos cos πβαβα则；②函数)32cos(2π+=x y 的图象关于x=12π对称； ③函数))(cos(sin R x x y ∈=为偶函数；④函数||sin x y =是周期函数，且周期为2π。

9．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0ω>，02)ϕ≤<π在R 上的局部图像如下列图，如此(2014)f =．10．函数2()1f x x ax a =-+-在区间(0,1)上有两个零点，如此实数a 的取值范围为．11．在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，sin sin sin sin cos21A B B C B ++=，假设23C π=，如此a b=. 12．定义在(－1,1)上的函数f(x)＝-3x ＋sinx ，如果f(1－a)＋f(1－2a )>0，如此实数a 的取值范围为．13．假设函数1()sin()4f x x π=与函数3()g x x bx c =++的定义域为[0,2]，它们在同一点有一样的最小值，如此b c +=．14．函数2211,2()31ln(),22x x x f x x x +⎧<-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩≥-，2()44g x x x =--.假设存在a R ∈使得()()0f a g b +=，如此实数b 的取值范围是________________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．函数]4,161[,log )(4∈=x x x f 的值域为集合A ，关于x 的不等式)(2)21(3R a x a x ∈>+的解集为B ，集合}015|{≥+-=x x x C ,集合}121|{-<≤+=m x m x D )0(>m ．〔1〕假设B B A = ,求实数a 的取值范围；〔2〕假设C D ⊆,求实数m 的取值范围．16．在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，455cos ,A b c ==，〔1〕求sin C 的值;〔2〕假设三角形ABC 的面积152sin sin S B C =，求a 的值.17．命题:p 指数函数()(26)x f x a =-在R 上单调递减，命题:q 关于x 的方程23x ax -2210a ++=的两个实根均大于3.假设“p 或q 〞为真,“p 且q 〞为假,求实数a 的取值范围.18．函数22()sin cos sin cos f x x x a x a x b =+-+，(,)a b ∈R ．〔1〕假设0a >，求函数()f x 的单调增区间；〔2〕假设[,]44x ππ∈-时，函数()f x 的最大值为3，最小值为1-,a b 的值．19．如下列图，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD ，设梯形部件ABCD 的面积为y 平方米．(1)按如下要求写出函数关系式：①设2CD x =(米)，将y 表示成x 的函数关系式；②设()BOC rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式．(2)试选择适当的函数表达式，求梯形部件ABCD 面积y 的最大值．20．设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x-=)(，其中a 为实数．〔1〕假设)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的取值范围；〔2〕假设)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论．。