第二章连续信号的抽样
实验二 抽样定理
实验二抽样定理一、实验目的1. 了解电信号的采样方法与过程以及信号恢复的方法。
2．验证抽样定理。
二、原理说明1．离散时间信号可以从离散信号源获得，也可以从连续时间信号经抽样而获得。
抽样信号f S（t）可以看成是连续信号f（t）和一组开关函数s（t）的乘积。
即：f S（t）= f（t）×s（t）如图8-1所示。
T S为抽样周期，其倒数f S =1/T S称为抽样频率。
图2-1 对连续时间信号进行的抽样对抽样信号进行傅里叶分析可知，抽样信号的频谱包含了原连续信号以及无限多个经过平移的原信号频谱。
平移后的频率等于抽样频率f S及其各次谐波频率2 f S、3f S、4f S、5f S ……。
当抽样信号是周期性窄脉冲时，平移后的频谱幅度按sin()axS xx规律衰减。
抽样信号的频谱是原信号频谱周期性的延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。
2. 正如测得了足够的实验数据以后，我们可以在坐标纸上把一系列数据点连接起来，得到一条光滑的曲线一样，抽样信号在一定条件下也可以恢复到原信号。
只要用一截止频率等于原信号频谱中最高频率maxf的低通滤波器，滤除高频分量，经滤波后得到的信号包含了原信号频谱的全部内容，故在低通滤波器的输出可以得到恢复后的原信号。
(a)连续信号的频谱(b)高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）(c)低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠）图2-2冲激抽样信号的频谱图3. 信号得以恢复的条件是f S >2B,其中f S为抽样频率，B为原信号占有的频带宽度。
而f min =2B为最低的抽样频率，又称为“奈奎斯特抽样率”。
当f S <2B时，抽样信号的频谱会了生混叠，从发生混迭后的频谱中，我们无法用低通滤波器获胜者得原信号频谱的全部内容。
在实际使用中，仅包含有限频谱的信号是极少的，因此即使f S=2B，恢复后的信号失真还是难免的。
图2-2画出了当抽样频率f S>2B（不混迭时）及f S<2B（混迭时）两种情况下冲激抽样信号的频谱图。
抽样定理
抽样定理抽样的分类：（1） 根据信号是低通型的还是带通型的，抽样定理分低通抽样定理和带通抽样定理；（2） 用来抽样的脉冲序列是等间隔的还是非等同间隔的，又分为均匀抽样定理和非均匀抽样定理；（3） 抽样的脉冲序列是冲击序列还是非冲击序列，又分为理想抽样和实际抽样。
低通型连续信号抽样定理抽样定理是通信原理中十分重要的定理之一，是模拟信号数字化的理论基础。
低通型连续信号的抽样定理：一个频带限制在(0,)H f 赫内的时间连续信号()m t ，若以12H f 的间隔对他进行等间隔抽样，则()m t 将被所得到的抽样值完全确定。
说明：抽样过程中满足抽样定理时，PCM 系统应无失真。
这一点与量化过程有本质区别。
量化是有失真的，只不过失真的大小可以控制。
低通型连续抽样定理证明设()m t 的频带为(0,)H f ，图中将时间连续信号()m t 和周期性冲激序列()T t δ相乘，用()s m t 表示此抽样函数，即()()()s T m t m t t δ=假设()m t 、()T t δ、()s m t 的频谱分别为()M ω、()T δω、()s M ω。
按照频域卷积定理，1()[()()]2s T M M ωωδωπ=因为 2()()T S n n T πδωδωω∞=-∞=-∑ 2S Tπω=所以， 1()[()*()]s s n M M n T ωωδωω∞=-∞=-∑由卷积关系，上式可写成1()()s s n M M n T ωωω∞=-∞=-∑ 上式表明，已抽样信号()s m t 的频谱()s M ω是无穷多个间隔为s ω的()M ω相迭加而成。
这表明()s M ω包含()M ω迭全部信息。
带通型抽样定理。
连续时间信号的抽样及频谱分析-时域抽样信号的频谱__信号与系统课设
连续时间信号的抽样及频谱分析-时域抽样信号的频谱__信号与系统课设1 引言随着科学技术的迅猛发展，电子设备和技术向集成化、数字化和高速化方向发展，而在学校特别是大学中，要想紧跟技术的发展，就要不断更新教学和实验设备。
传统仪器下的高校实验教学，已严重滞后于信息时代和工程实际的需要。
仪器设备很大部分陈旧，而先进的数字仪器(如数字存储示波器)价格昂贵不可能大量采购，同时其功能较为单一，与此相对应的是大学学科分类越来越细，每一专业都需要专用的测量仪器，因此仪器设备不能实现资源共享，造成了浪费。
虚拟仪器正是解决这一矛盾的最佳方案。
基于PC 平台的虚拟仪器，可以充分利用学校的微机资源，完成多种仪器功能，可以组合成功能强大的专用测试系统，还可以通过软件进行升级。
在通用计算机平台上，根据测试任务的需要来定义和设计仪器的测试功能，充分利用计算机来实现和扩展传统仪器功能，开发结构简单、操作方便、费用低的虚拟实验仪器，包括数字示波器、频谱分析仪、函数发生器等，既可以减少实验设备资金的投入，又为学生做创新性实验、掌握现代仪器技术提供了条件。
信号的时域分析主要是测量测试信号经滤波处理后的特征值，这些特征值以一个数值表示信号的某些时域特征，是对测试信号最简单直观的时域描述。
将测试信号采集到计算机后，在测试VI 中进行信号特征值处理，并在测试VI 前面板上直观地表示出信号的特征值，可以给测试VI 的使用者提供一个了解测试信号变化的快速途径。
信号的特征值分为幅值特征值、时间特征值和相位特征值。
尽管测量时采集到的信号是一个时域波形，但是由于时域分析工具较少，所以往往把问题转换到频域来处理。
信号的频域分析就是根据信号的频域描述来估计和分析信号的组成和特征量。
频域分析包括频谱分析、功率谱分析、相干函数分析以及频率响应函数分析。
信号在时域被抽样后,他的频谱X(j )是连续信号频谱X(j )的形状以抽样频率为间隔周期重复而得到,在重复过程中幅度被p(t)的傅里叶级数Pn加权。
信号与系统中抽样的概念
信号与系统中抽样的概念抽样是信号与系统中一个重要的概念。
在信号处理中，抽样是指对连续时间信号进行离散化处理，将连续时间信号转换为离散时间信号的过程。
抽样的目的是为了将连续时间信号转换为数字信号，使得信号可以通过数字方式进行存储、传输和处理。
抽样过程可以看作是在连续时间域上对信号进行定时取样。
抽样过程中，我们使用采样定理（奈奎斯特定理）来保证抽样后的信号不失真。
采样定理指出，为了避免信号采样引起的混叠现象，抽样频率必须大于等于原始信号中最高频率的两倍，也就是满足奈奎斯特频率。
在实际应用中，我们通常采用理想脉冲序列作为采样信号。
理想脉冲序列是一个周期为T的序列，每个周期内有一个脉冲，其他时间点上为零。
理想脉冲序列的傅里叶变换是一个周期序列（频率为1/T）的线性组合。
对连续时间信号x(t)进行抽样，可以通过将x(t)与理想脉冲序列进行卷积来实现。
即将x(t)乘以理想脉冲序列，然后对乘积信号进行积分。
抽样后得到的信号为离散时间信号x[n]，其中n为整数，表示采样时刻。
离散时间信号x[n]可以看作是连续时间信号x(t)在采样时刻的取样值。
为了重构x(t)，可以通过将x[n]与插值函数进行卷积来实现。
插值函数可以看作是理想脉冲序列的反变换，即将理想脉冲序列的傅里叶变换除以周期序列的傅里叶变换。
抽样引入了两个重要的参数，即采样间隔和采样频率。
采样间隔为采样时刻之间的时间间隔，采样频率为采样时刻之间的倒数，即采样频率等于1/采样间隔。
采样频率越高，采样精度越高，重构信号的失真越小。
但是，采样频率过高也会导致计算和存储的需求增加。
抽样过程中，还存在一个概念叫做抽样定理。
抽样定理指出，在有限频带B内的连续时间信号，可以通过以准确率误差小于ε的方式进行采样和重构，只需要满足采样频率f_s大于等于2B。
这是由带限信号在频域中没有重叠而导致的。
如果信号的频域存在重叠，则需要进一步提高采样频率以避免混叠现象。
在实际应用中，我们使用的信号不一定是有限频带的信号，因此在抽样过程中，可能会引入混叠现象。
信号抽样原理
信号抽样原理
在信号处理中，抽样是指采集连续信号在一定时间间隔内的离散样本。
抽样原理基于奈奎斯特-香农采样定理，该定理表明
如果信号的最高频率为fmax，那么采样频率fs必须大于
2*fmax，才能保证采样后的离散信号能够完整还原原始信号。
抽样过程中，采样器将原始信号在不同时刻的幅度值进行测量，并将这些测量值进行离散化，得到离散信号序列。
这些样本点可以用来表示原始信号的近似形式，从而方便后续的处理和传输。
通常，采样过程可以用以下步骤描述：
1. 确定采样频率fs：根据信号的最高频率fmax，确定一个采
样频率fs，使得fs > 2*fmax。
这样做可以避免信号的频谱出
现混叠现象，即高频成分被错误地映射到低频区域。
2. 进行采样：在确定了采样频率后，采样器以固定时间间隔取样信号。
每个样本点对应于一个特定的时间，采集信号在该时刻的幅度值。
采样过程可以使用模拟-数字转换器(ADC)完成。
3. 离散化：将连续的采样信号转换为离散的信号序列。
这可以通过将每个采样点的幅度值用数字表示来实现。
离散化可以使用数字信号处理器(DSP)或其他离散化设备来完成。
4. 重构原始信号：通过插值或其他方法，使用离散信号序列重建原始信号。
重建后的信号能够以较高的精度近似原始信号，
使得后续的信号处理过程更加有效和准确。
通过抽样原理，连续信号可以被转换为离散信号进行处理和传输，从而在数字系统中实现各种信号处理算法和技术。
诸如音频、视频等多媒体数据的数字化处理都离不开抽样原理的应用。
信号抽样与抽样定理
解：信号在时域抽样、周期化过程中频谱的变化规律：
（1）信号在时域周期化，周期为 T ，则频谱离散化，
抽样间隔为 ω0＝2π/T。 （2）信号在时域抽样，抽样间隔为 TS ，则频谱周期化，
重复周期为 ωS＝2π/TS 。
信号与系统
四、频域抽样与频域抽样定理
矩形单脉冲信号的频谱 F ( ) E Sa 0
1 s n
0 E
Ts
n0 Sa 2 m
( ns m0 )
信号与系统
四、频域抽样与频域抽样定理
f 0 t
E
2
E
F0 ( )
0
a
E
2
t
2
0
2
f1 t
b
F1
E 0
T
唯一地表示，抽样间隔为 s ，它必须满足条件 T
s
2tm ，其中 Ts
s 2
信号与系统
四、频域抽样与频域抽样定理
例： 大致画出图所示周期矩形信号冲激抽样后信号的频谱。
f1 (t )
E
T
0
2
T
2
t
f s (t )
E
T
0
2
T
2
t
信号与系统
四、频域抽样与频域抽样定理
2. 在什么条件下可从抽样信号 fs (t)中无失真地恢复原连
续信号 f (t) 。
信号与系统
一、信号抽样
假设原连续信号 f (t)的频谱为 F(ω)，即
f (t ) F ( )
抽样脉冲 p (t) 是一个周期信号，它的频谱为
抽样定理
抽样定理词义就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T抽取一个瞬时幅度值分类时域抽样定理、频域抽样定理基本定义所谓抽样，就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T 抽取一个瞬时幅度值（样值），抽样是由抽样门完成的。
在一个频带限制在（0，f h）内的时间连续信号f（t），如果以小于等于1/(2 f h)的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。
或者说，如果一个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过f h，这种信号必定是个周期性的信号，当抽样频率f S≥2 f h时，抽样后的信号就包含原连续信号的全部信息，而不会有信息丢失，当需要时，可以根据这些抽样信号的样本来还原原来的连续信号。
根据这一特性，可以完成信号的模-数转换和数-模转换过程。
意义介绍抽样定理指出，由样值序列无失真恢复原信号的条件是f S≥2 f h ，为了满足抽样定理，要求模拟信号的频谱限制在0～f h之内（fh为模拟信号的最高频率）。
为此，在抽样之前，先设置一个前置低通滤波器，将模拟信号的带宽限制在fh以下，如果前置低通滤波器特性不良或者抽样频率过低都会产生噪声。
例如，话音信号的最高频率限制在3400HZ，这时满足抽样定理的最低的抽样频率应为fS=6800HZ，为了留有一定的防卫带，CCITT规定话音信号的抽样率fS=8000HZ，这样就留出了8000-6800=1200HZ作为滤波器的防卫带。
应当指出，抽样频率fS不是越高越好，太高时，将会降低信道的利用率（因为随着fS升高，数据传输速率也增大，则数字信号的带宽变宽，导致信道利用率降低。
）所以只要能满足fS≥2f h,并有一定频带的防卫带即可。
以上讨论的抽样定理实际上是对低通信号的情况而言的，设模拟信号的频率范围为f0～fh，带宽B=fh - f0.如果f0<B，称之为低通型信号，例如，话音信号就是低通型信号的，弱f0>B，则称之为带通信号，载波12路群信号（频率范围为60～108KHZ）就属于带通型信号。
《数字信号处理》第二章 离散信号和抽样定理
信息。
重要结论
第三节 抽样定理
*带限信号抽样定理:
要想连续信号抽样后能够不失真的还原 出原信号，则抽样频率必须大于或等于两 倍原信号频谱的最高频率(2fm≤ fs)，这就是 奈奎斯特抽样定理。
第三节 抽样定理
二、如何从抽样信号恢复出带限信号x(t)
n
其中
1 g (t)
0
t
2
t
2
Ts
第二节 连续信号的离散化
xa (t)
抽样器
（电子开关） P(t)
T
xa (t)
xˆs (t)
fs
1 T
xˆs (t)
第二节 连续信号的离散化
理想抽样：当τ 趋于零的极限情况时，抽样脉冲
方波p(t)变成了冲激函数序列δT(t)，这些冲击函数 的强度准确地为采样瞬间的xa(t)幅值，这样的抽 样称为理想抽样。
余弦与正弦序列示意图如下：
第一节 离散时间信号
5、 用单位脉冲序列表示任意序列
任意序列x(n)都可用单位脉冲序列δ(n)表示成 加权和的形式，即
x(n) x(m) (n m) m
如:
a n x(n)
可表示为 0
10 n 10 其他
10
x(n) am (n m)
样品集合可以是本来就存在的，也可以是由模拟 信号通过采样得来的或者是用计算机产生的。
第一节 离散时间信号
离散时间信号的时域表示 1） 表示离散时间信号可采用枚举的方式。例如
{x(n)}={…，-1.5，-8.7，2.53，0.0，6，7.2， …}
2.3 连续信号的抽样-数字信号处理
X (e )
j
n
j n x ( nT ) e s
2.3 连续信号的抽样
则Xa ( j)
j
j X ( e ) 的关系式为 与
X(e )
a
( j jk s )
将连续信号 Xa(t)经抽样变成x(nTs)后，X(nTs) 的频谱将变成周期的，变成周期的方法是 将 Xa ( j) 在频率轴上以Ω s为周期移位后再迭 加，并除以Ts，这种现象又称为频谱的周期延拓。
2.3 连续信号的抽样
抽 样 定 理 是 由 奈 奎 斯 特 （ Nyquist ） 和 香 农 （ shannon C.E. ）分别于 1928 年和 1949 年提出 的，所以又称奈奎斯特抽样定理，或香农抽样 定理。
2.3 连续信号的抽样
抗混叠滤波器：在实际对 x（t）作抽样时，首先 要了解x（t）的最高截止频率fc，以确定应选取 的抽样频率fs，若x（t）不是有限带宽的，在抽 样前应对 x （ t ）作模拟滤波，以去掉 f ＞ fc 的高 频成份，这种用以防混叠的模拟滤波器又称为抗 混叠滤波器，fs又称为奈奎斯特频率，使频谱不 发生混叠的最小抽样频率，即fs=2fc称为奈奎斯 特率，fs/2称为折叠频率。
2.3 连续信号的抽样
抽样定理（sampling theory）：若连续信号 x（t）是有限带宽的，其频谱的最高频率为fc ， 对 x（t）抽样时，若保证抽样频率
fs≥2fc （或Ω s≥2Ω c ，或Ts≤π /Ω c） 可由x（nTs）恢复出x（t），即x（nTs） 保留了x（t）的全部信息，
2.3 连续信号的抽样
将连续信号Xa（t）与冲激串函数P（t）相 乘，即可得到离散信号x（nTs） X(nTs)=Xa(t)|t= nTs= Xa（t）P（t）
连续信号的采样与恢复实验报告
实验六、连续信号得采样与恢复一、实验目得1.加深理解采样对信号得时域与频域特性得影响；2.加深对采样定理得理解与掌握,以及对信号恢复得必要性;3.掌握对连续信号在时域得采样与重构得方法。
二、实验原理(１)信号得采样ﻫ信号得采样原理图如下图所示,其数学模型表示为:＝ﻫ其中得f(ｔ）为原始信号,为理想得开关信号(冲激采样信号)δTs（t) ＝,fｓ（ｔ）为采样后得到得信号称为采样信号。
由此可见,采样信号在时域得表示为无穷多冲激函数得线性组合,其权值为原始信号在对应采样时刻得定义值。
ﻫ令原始信号f(t)得傅立叶变换为F(jw）＝FＴ(f(t）),则采样信号fs(t) 得傅立叶变换Fｓ(ｊw)=FＴ(ｆs（t）)=。
由此可见,采样信号fs（ｔ)得频谱就就是将原始信号f(t）得频谱在频率轴上以采样角频率ｗｓ为周期进行周期延拓后得结果(幅度为原频谱得1/Ｔs)。
如果原始信号为有限带宽得信号,即当|w｜>|wｍ｜时，有Ｆ(jw）=0，则有:如果取样频率wｓ≥2wm时,频谱不发生混叠;否则会出现频谱混叠。
(2）信号得重构ﻫ设信号f（t）被采样后形成得采样信号为fs（ｔ),信号得重构就是指由ｆs（t）经过内插处理后,恢复出原来得信号f(t）得过程。
因此又称为信号恢复。
ﻫ由前面得介绍可知,在采样频率w s≥２ｗｍ得条件下，采样信号得频谱Fｓ(jw)就是以w s为周期得谱线。
选择一个理想低通滤波器,使其频率特性H(ｊw)满足:Ｈ（j w)=式中得wｃ称为滤波器得截止频率，满足wｍ≤wc≤ｗs/2。
将采样信号通过该理想低通滤波器,输出信号得频谱将与原信号得频谱相同。
因此，经过理想滤波器还原得到得信号即为原信号本身。
信号重构得原理图见下图。
通过以上分析,得到如下得时域采样定理：一个带宽为w m得带限信号f(t),可唯一地由它得均匀取样信号fs(n Ｔs)确定,其中,取样间隔Ts＜π/ｗｍ,该取样间隔又称为奈奎斯特(Ｎｙｑuisｔ)间隔。
2-2 连续时间信号取样及取样定理
m(t)
抽样的原理图：
× ms(t)
δT(t)
时域上： 波形和冲激序列相乘，得到一系列时间上离散的抽样点。
x'(t) xa (t) p(t)
因为 p (t) (t nT ) n
所以
x'(t) xa (t) p(t) xa (t) (t nT ) n
(t
n
nT )
1 T
e
m
jm 2 .t T
它的频域表达式为：
P ( j) F[ p (t)]
p
(t)e jt dt
1 T
m
ms
频谱图：
接下来分析理想取样信号x‘（t）的频谱： 即x‘（t）的傅里叶变换：
xa (nt) (t nT ) n
频域上：先看冲激函数序列pδ(t)的时域表达式
pδ(t)的傅氏级数展开：
jm 2 .t
p (t) (t nT ) Cme T
n
m
其中fs=1/T为取样频率；Ωs=2π/T为取样角频率 由傅氏级数定义得：
3、抽样定理的证明
Xa(t)
× X’（t）…… X’（t） LPF
Xa(t)
pδ(t)
h（t） H(ω)
发端
收 端？
入端抽样的时、频域图形
X(f)xa(t)δT(t) t0Ts 2Ts 3Ts
x‘(t)
-fH δT(f)
0 fH
－fS
0
fS
X’(f)
t
0
取样定理
S
应为多少? (3) 分别画出在奈奎斯特频率及 S 谱图 (4) 在
4m 时的抽样信号的频
FS ( j )
。 情况下，若 y(t )
S 4 m
f (t ) ，则理想低通滤波器
截止频率应为多少?幅频特性应具有何种形式?
解:
(1)画出 f(t)的频谱图.
m f 0 (t ) sa ( m t )
fs 2 fm
fs fm 5 MHZ 2
m sa ( m t ) 例4： 如图(a)所示系统。已知 f 0 ( t ) 系统 H 1 j 的频率特性如图(b)所示。H ( j ) 为一个理 2
想低通滤波器。
f (t )的频谱图。 (2) 若使 f s (t ) 包含 f (t ) 的全部信息， T (t ) 的最大间隔 TS
f (t) F(j) －m o F(j)
f (t)
o
t
带限信号及其频谱
m
（1）冲激抽样
抽样脉冲序列s(t)：冲激函数序列δTs(t) ，称为冲激抽样（理想抽 样）。时域分析： 此时： f s ( t ) f ( t ) T ( t ) f ( t ) ( t nTs )
表明： Fs(jω)， 是原信号频谱F(jω)以采样角频率Ω为间隔的周 期重复（幅度变化了）。因而抽样函数fs(t)就包含了原函数f(t)的 全部信息。
f (t) F(j) 讨论： ωs满足什么条件时， Fs(jω)相邻频移后的频谱不会发生 重叠？ 答： Ω ≥2ωm －m o (a)
o
t
×
m
=
-ω c o ωc
－ －m o
微型计算机控制技术第二章2
•
• 模拟信号可以具有无穷多的数值，而一组数码 是有限的，因此用数码来逼近模拟信号是近似 的，量化过程是一个类似四舍五入的过程。
• 量化单位 q 是指量化后二进制数的最低位所对 应的模拟量的值。设fmax和fmin为转换信号的最 大值和最小值，则量化单位为：
• 电流/电压转换电路是将电流信号成比例地 转换成电压。常用I/V变换的实现方法有无 源I/V变换和有源I/V变换。
•
一、无源I/V变换
• 无源I/V变换主要利用无源器件电阻来实现，并加 滤波和输出限幅等保护措施。
•对于0~10mA输入信号， •可取R1＝100Ω，R2＝500Ω， •且R2为精密电阻， •这样当输入的电流I为0~10mA时，
•式中，n=0，±1，±2，…，±∞；T为采样周期。 •这样，就可以以离散函数f *（t）来代替采样函数fs（t：）
•
2.3.2采样定理及频率的选择
• 在讨论采样信号时，所关心的问题是离散后的函 数f *（t）能否反映原模拟信号f（t）的全部信息 ，采样周期如何选择才能使f *（t）不失真地反映 f（t）的变化。
•该电路对应的输出电压为：•0~5 V
•
2.5 模拟开关及采样保持
• 2.5.1 多路模拟开关 • 2.5.2 采样保持器
•
2.5 模拟开关及采样保持
• 2.5.1 多路模拟开关 • 多路模拟开关又称多路转换器，是用来进行模拟
电压信号切换的关键元件。利用多路模拟开关可 将各个输入信号依次地或随机地连接到公用放大 器或A/D转换器上。 • 理想的多路开关开路电阻为无穷大，接通电阻为 零。此外，还希望切换速度快，噪音小、寿命长 、工作可靠。
信号处理第二章知识点
第二章 连续时间傅里叶变换1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS(1) 狄义赫利条件：在同一个周期1T 内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积∞<⎰dt t f T 1)(。
(2) 傅里叶级数：正交函数线性组合。
正交函数集可以是三角函数集}:sin ,cos ,1{11N n t n t n ∈ωω或复指数函数集}:{1Z n e t jn ∈ω，函数周期为T 1，角频率为11122T f π=π=ω。
(3) 任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。
(4) 三角形式的FS ：(i) 展开式：∑∞=ω+ω+=1110)sin ()(n n n t n b t con a a t f(ii) 系数计算公式：(a) 直流分量：⎰=1)(110Tdt t f T a (b) n 次谐波余弦分量：N n tdt n t f T a Tn ∈ω=⎰,cos )(2111(c) n 次谐波的正弦分量：N n tdt n t f T b Tn ∈ω=⎰1,sin )(211(iii) 系数n a 和n b 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。
(iv) 称11/1T f =为信号的基波、基频；1nf 为信号的n 次谐波。
(v) 合并同频率的正余弦项得：(a) ∑∞=ψ+ω+=110)cos()(n n n t n c c t f(b) ∑∞=θ+ω+=110)sin()(n n n t n d d t fn ψ和n θ分别对应合并后n 次谐波的余弦项和正弦项的初相位。
(vi) 傅里叶系数之间的关系：(a) 000d c a ==(b) n n n n n d c a θ=ψ=sin cos (c) n n n n n n d c b θ=ψ-=cos sin (d) 000a d c ==(e) 2222n n n n b a d c +==(f) nnn a b arctg -=ψ(g) nnn b a arctg=θ (5) 复指数形式的FS ：(i) 展开式：∑∞-∞=ω=n t jn n e F t f 1)((ii)系数计算：Z n dt e t f T F Tt jn n ∈=⎰ω-,)(1111(iii) 系数之间的关系：⎪⎩⎪⎨⎧≠-==0),(210,0n jb a n a F n n n **,nn n n F F F F ==--)0(,21212122≠+====-n b a d c F F n n n n n n)0(,≠==+-n d c F F n n nnn n n a F F =+- j b F F n n n /=--)0(4422222≠==+==-n F F F b a d c nn n n n n n(iv) n F 关于n 是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。
连续信号的采样与重构实验报告
信号与系统上机实验报告学院：电子信息学院班级：08011202姓名：王喜成学号：2012301794上机实验 5 连续信号的采样与重构一、实验目的（1）验证采样定理；（2）熟悉信号的抽样与恢复过程；（3）通过实验观察欠采样时信号频域的混迭现象；（4）掌握采样前后信号频域的变化，加深对采样定理的理解；（5）掌握采样频域的确定方法。
二、实验内容和原理信号的采样与恢复示意图如图2.5-1所示图2.5-1 信号的抽样与恢复示意图抽样定理指出：一个有限频宽的连续时间信号)(t f ，其最高频率为m ω，经过等间隔抽样后，只要抽样频率s ω不小于信号最高频率m ω的二倍，即满足m s ωω2≥，就能从抽样信号)(t f s 中恢复原信号，得到)(0t f 。
)(0t f 与)(t f 相比没有失真，只有幅度和相位的差异。
一般把最低的抽样频率m s ωω2min =称为奈奎斯特抽样频率。
当m s ωω2<时，)(t f s 的频谱将产生混迭现象，此时将无法恢复原信号。
f （t ）的幅度频谱为)(ωF ；开关信号)(t s 为周期矩形脉冲，其脉宽τ相对于周期s T 非常小，故将其视为冲激序列，所以)(t s 的幅度频谱)(ωS 亦为冲激序列；抽样信号)(t f s 的幅度频谱为)(ωs F ；)(0t f 的幅度频谱为)(0ωF 。
观察抽样信号的频谱)(ωs F ，可以发现利用低通滤波器（其截止频率满足m s c m ωωωω-<<）就能恢复原信号。
信号抽样与恢复的原理框图如图2.5-2所示。
图2.5-2 信号抽样与恢复的原理框图由原理框图不难看出，A/D转换环节实现抽样、量化、编码过程；数字信号处理环节对得到的数字信号进行必要的处理；D/A转换环节实现数/模转换，得到连续时间信号；低通滤波器的作f。
用是滤除截止频率以外的信号，恢复出与原信号相比无失真的信号)(0t三、涉及的MATLAB函数subplot(2,1,1)xlabel('时间, msec');ylabel('幅值');title('连续时间信号x_{a}(t)');axis([0 1 -1.2 1.2])stem(k,xs);grid;linspace(-0.5,1.5,500)';ones(size(n)freqs(2,[1 2 1],wa);plot(wa/(2*pi),abs(ha)buttord(Wp, Ws, 0.5, 30,'s');[Yz, w] = freqz(y, 1, 512);M= input('欠采样因子= ');length(nn1)y = interp(x,L)[b,a] = butter(N, Wn, 's');get(gfp,'units');set(gfp,'position',[100 100 400 300]);fx1=fft(xs1)abs(fx2(n2+1))如有帮助，欢迎下载支持。
信号的抽样
n
(t nT )
n
(1.4.1)
x a (t ) xa (t ) P (t )
xa (t ) (t nT )
•
上式中 δ(t) 是单位冲激信号，在上 式中只有当 t=nT 时，才可能有非零值，因 此写成下式：
x a (t )
n
(1.4.5)
•
上式表明采样信号的频谱是原模 拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角 频率 Ωs 重复出现一次，或者说采样信号 的频谱是原模拟信号的频谱以 Ωs 为周期， 进行周期性延拓而成的。 • 在图1.4.3中，设xa(t)是带限信号， 最高截止频率为 Ωc ，其频谱 Xa(jΩ) 如图 1.4.3(a)所示。
•
(1)对连续信号进行等间隔采样形成采 样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱 以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的， 用公式(1.4.5)表示。 • (2) 设连续信号 xa(t) 属带限信号，最高 截止频率为 Ωc ，如果采样角频率Ωs≥2Ωc ，那 么让采样信号x^a(t) 通过一个增益为T，截止频 率为Ωs/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复 出原连续信号xa(t)。否则Ωs<2Ωc会造成采样信 号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原 连续信号。
实际抽样时，抽样信号的频谱：
ˆ ( j) X a
k
C X
k
a
( j j s )
实际信号的频谱和理想抽样一样，抽样信号的 频谱时连续信号频谱的周期延拓，只要满奈奎 斯特抽样定理，不会产生频谱的混叠失真。 不同在于：实际抽样的频谱分量的幅度有变化， 其包络是随频率增加而逐渐下降的。
因为Ωs=2πfs=2π/T，因此g(t)也可以用下式表示：
-离散时间信号与连续时间信号的联系
22
2）选fs 200Hz
则采样间隔为：T 1/ fs 0.005s
xa (nT ) sin(2 f0nT /8) sin(2 f0n / fs /8)
sin(2 50 n /8) sin( 1 n /8)
200
2
xˆa (t) xa (nT ) (t nT ) n
sin( 1 n ) (t
n
)
n
2
8
200
2019/11/2
sin( 1 n )
28
2 2 4 N
0 1/ 2
k
N 4为最小正整数
x(n)的周期为N 4
2019/11/2
24
正弦信号的抽样
7
1、抽样信号及其频谱
求理想抽样的频谱Xˆ a ( j)
Xˆ a
(
j)
DTFT [ xˆa
(t)]
1
2
[Xa
(
j)
*
T
(
j)]
1
2
Xa(
j )T
(
j
j
)d
1
2
[
X
a
(
j
)
2
T
( ks
k
)d ]
1 T k
h
s 2
，
s 为折叠频率 2
则延拓分量产生频谱混叠
2019/11/2
10
2、时域采样定理 奈奎斯特抽样定理： 要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样 频率必须大于两倍信号谱的最高频率
信号抽样的名词解释
信号抽样的名词解释信号抽样是一种在信号处理中常用的技术，它是指在连续时间下对信号进行离散化处理的过程。
通过把连续时域信号转化为离散时域信号，我们可以更方便地对信号进行分析和处理。
信号抽样常用于各种领域，包括通信、音频处理、图像处理等等。
一、信号抽样的概念信号抽样是指在连续的时间范围内以一定的时间间隔取样信号。
在这个过程中，我们以一定频率记录信号的值，并存储为离散的数据点。
在进行信号抽样时，我们需要确定两个重要参数：采样率和采样深度。
采样率是指单位时间内的采样数量，通常以赫兹（Hz）来表示。
采取适当的采样率可以保证对信号的准确记录，同时避免信号失真。
采样深度是指用于表示每个数据点的二进制位数。
较大的采样深度可以提供较高的信号分辨率，但同时也占用更大的存储空间。
二、信号抽样的原理信号抽样是利用采样定理的基本原理来进行的。
采样定理表明，在一定条件下，连续时间信号可以由离散时间信号完全重构。
这个条件是采样频率大于被采样信号频率的两倍。
信号抽样的步骤可以简单地概括为以下几个步骤：1. 确定采样率和采样深度。
2. 根据采样率和采样深度的要求，选择合适的采样设备和格式。
3. 在连续时间信号中，以一定时间间隔采样信号，记录数据点。
4. 将采样得到的数据点存储为离散时间信号。
三、信号抽样的应用信号抽样在各种领域中广泛应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 通信在通信领域，信号抽样被用于将模拟信号转换为数字信号，以便在数字通信系统中传输和处理。
通过信号抽样，我们可以使信号更易于传输、存储和处理。
2. 音频处理在音频处理中，信号抽样常被用于将模拟音频信号转化为数字音频信号。
通过对音频信号进行采样，我们可以进行各种音频处理，包括音频编码、降噪等。
3. 图像处理在数字图像处理中，信号抽样被用于将连续的图像信号转换为数字图像信号。
通过采样和量化，我们可以对图像进行处理，如图像压缩、增强、滤波等。
4. 传感器技术在传感器技术中，信号抽样用于对传感器信号进行采集和处理。
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2007版
15
抽样的恢复
厦门大学 通信工程系
抽样频率在满足奈奎斯特抽样定理， 即信号频谱的最高频率小于折叠频率，则抽 样后的信号不会产生频谱混叠。
其抽样后的信号的频谱为：
xˆa ()
1 T
k
xa (
ks )
s 2
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厦门大学 通信工程系
将抽样后的信号通过理想低通滤波器：
T H ( j)
1 T
X a ( j) T
Xa(
j)
所以输出端即为原模拟信号。
ya (t) xa (t)
理想低通滤波器虽不可实现，但是在一 定精度范围内，可用一个可实现的滤波 器来逼近它。
2007版
18
厦门大学 通信工程系
理想低通滤波器的冲激响应为：
h(t) 1 H ( j)e jtd
2
T
2
s / 2 e jt d T e jt
7
xa (t)
0 p(t) T (t)
1
0
xˆa (t)
0
2007版
T
理想抽样
厦门大学 通信工程系
t
t t
8
理想抽样输出为：
厦门大学 通信工程系
xˆa (t) xa (t) (t mT ) m
xa (mT) (t mT) m
利用时域相乘等于频域卷积，可求其理想抽 样信号的频谱。
2007版
信号，以 xˆa (t) 表示。抽样是模拟信号数字 化的第一环节，再经幅度量化编码后即得到
数字信号x(n)。
2007版
3
2、抽样器
厦门大学 通信工程系
抽样器：可以看成是一个电子开关。
开关每隔T秒闭合一次（对理想抽样，闭 合时间应无穷短，对实际抽样，闭合时间 是秒，但<<T）使输入信号得以抽样， 得到连续信号的抽样输出信号。
2007版
6
二、理想抽样
厦门大学 通信工程系
当0的极限情况（当<<T时，就可近似 看成理想抽样），此时抽样脉冲序列p(t)变 成冲激函数序列T(t),
各冲激函数准确地出现在抽样瞬间上，面 积为1，抽样后输出理想抽样信号的面积 （即积分幅度）则准确地等于输入信号xa(t) 在抽样瞬间的幅度。
2007版
T / 2 m
1
= T
T / 2 (t)e jkst dt 1 e jkst
T / 2
T
1 t0 T
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厦门大学 通信工程系
T
(t)
1 T
e jkst
k
根据周期信号的傅立叶变换:
F () 2 Ak ( ks ) k
可知：
T
(t
)的傅立叶变换：T
()
2
k
1 T
(
s
2
T
为间隔而重复，这就是频谱产生周期延拓。
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奈奎斯特抽样定理
厦门大学 通信工程系
奈奎斯特抽样定理：要想抽样后能够不 失真的还原出原信号，则抽样频率必须 大于两倍信号谱的最高频率。
s 2h
或
fs 2 fh
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折叠频率
厦门大学 通信工程系
折叠频率：抽样频率之半称之。
s
xa (t)
xˆa (t)
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4
3、研究内容
厦门大学 通信工程系
（1）信号被抽样后其频谱将会有什么变化？
（2）在什么条件下，可从抽样数据信号xˆa (t) 中不失真地恢复出原来信号xa(t)?
2007版
5
4、抽样方式
厦门大学 通信工程系
抽样方式有：理想抽样、实际抽样。
抽样过程：可以看成脉冲调幅，xa(t)为调 制信号，被调脉冲载波是周期为T的周期性 脉冲串。当脉冲宽度为时，可得实际抽样， 当脉冲宽度为0时，得到的是理想抽样。
T
(t mT)
T
称为内插函数。
厦门大学 通信工程系
2007版
22
(m-2)T
xa (t)
厦门大学 通信工程系
sin[ (t mT)]
1
T
(t mT)
T
k
s
)
s
k
(
k
s
)
xˆa (t) xa (t) (t mT )
m
Xˆ a
(
j)
1
2
[T
(
j)
Xa
(
j)]
1
2
2
T
k
(
ks
)
X
a
(
j)
1 T
k
Xa[
j(
ks )]
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理想抽样后信号频谱：
厦门大学 通信工程系
xˆa (
j)
1 T
xa (
k
j
jk
2
T
)
看出：一个连续时间信号经过理想抽样后， 其频谱将以抽样频率：
0
H ( j)
s 2
s 2
T
xˆa (t)
s / 2 0 s / 2 Xˆ a ( j)
理想低通滤波器特性
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Hale Waihona Puke h(t )ya (t) xa (t)
H ( j)
X a ( j)
抽样的恢复
17
就可得到原信号的频谱：
厦门大学 通信工程系
Ya ( j) Xˆ a ( j)H ( j)
sin[ (t mT
T
(t mT)
)]
T
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抽样内插公式
厦门大学 通信工程系
ya
(t)
m
xa
(mT
)
sin[ (t mT
T
(t mT)
)]
xa
(t)
T
即由信号的抽样值xa(mT)经此公式而得到连 续信号xa(t).
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21
内插函数
函数：
sin[ (t mT)]
s / 2
2 jt
s / 2 s / 2
T
t
e e j 2 t / 2T
j 2 t / 2T
2j
sin[ t]
T
t
T
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理想低通滤波器的输出：
厦门大学 通信工程系
ya (t) xa (t) xˆa ( )h(t )d
xa (mT)h(t mT)
m
m
xa
(mT
)
第一章第四节 连续时间信号的抽样
一、引言
厦门大学 通信工程系
作为数字信号处理的第一步，要将现 实中许多连续时间信号进行抽样保持。 即要将连续时间信号变成数字信号。
2007版
2
1、抽样
厦门大学 通信工程系
抽样：就是利用周期性抽样脉冲序列p(t),从
连续信号xa(t)中抽取一系列的离散值，得到 抽样信号（或称抽样数据信号）即离散时间
2T
它如同一面镜子，当信号频谱超过它时， 就会被折叠回来，造成频谱的混叠。
即信号的最高频谱：
h s / 2
造成频谱混叠。
2007版
14
为避免混叠采取措施
厦门大学 通信工程系
在抽样器（A/D）前加入一个保护性的前置 低通滤波器，称之防混叠滤波器，其截止 频率为：
s
2
用来滤除高于此频率分量的信号。
9
频谱推导
厦门大学 通信工程系
冲激函数序列T (t) (t mT ) m
由于是周期函数，可表示成傅里叶级数：
T
(t )
k
Ak e jkst ,
fs
1 T
, s
2
T
系数Ak
=
1 T
T /2
T / 2 T
(t )e
jkst dt
1 T
T /2
(t mT )e jkstdt