第二章连续信号的抽样
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信号，以 xˆa (t) 表示。抽样是模拟信号数字 化的第一环节，再经幅度量化编码后即得到
数字信号x(n)。
2007版
3
2、抽样器
厦门大学 通信工程系
抽样器：可以看成是一个电子开关。
开关每隔T秒闭合一次（对理想抽样，闭 合时间应无穷短，对实际抽样，闭合时间 是秒，但<<T）使输入信号得以抽样， 得到连续信号的抽样输出信号。
9
频谱推导
厦门大学 通信工程系
冲激函数序列T (t) (t mT ) m
由于是周期函数，可表示成傅里叶级数：
T
(t )
k
Ak e jkst ,
fs
1 T
, s
2
T
系数Ak
=
1 T
T /2
T / 2 T
(t )e
jkst dt
1 T
T /2
(t mT )e jkstdt
T
(t mT)
T
称为内插函数。
厦门大学 通信工程系
2007版
22
(m-2)T
xa (t)
厦门大学 通信工程系
sin[ (t mT)]
1
T
(t mT)
T
第一章第四节 连续时间信号的抽样
一、引言
厦门大学 通信工程系
作为数字信号处理的第一步，要将现 实中许多连续时间信号进行抽样保持。 即要将连续时间信号变成数字信号。
2007版
2
1、抽样
厦门大学 通信工程系
抽样：就是利用周期性抽样脉冲序列p(t),从
连续信号xa(t)中抽取一系列的离散值，得到 抽样信号（或称抽样数据信号）即离散时间
7
xa (t)
0 p(t) T (t)
1
0
xˆa (t)
0
2007版
T
理想抽样
厦门大学 通信工程系
t
t t
8
理想抽样输出为：
厦门大学 通信工程系
xˆa (t) xa (t) (t mT ) m
xa (mT) (t mT) m
利用时域相乘等于频域卷积，可求其理想抽 样信号的频谱。
2007版
2T
它如同一面镜子，当信号频谱超过它时， 就会被折叠回来，造成频谱的混叠。
即信号的最高频谱：
h s / 2
造成频谱混叠。
2007版
14
为避免混叠采取措施
厦门大学 通信工程系
在抽样器（A/D）前加入一个保护性的前置 低通滤波器，称之防混叠滤波器，其截止 频率为：
s
2
用来滤除高于此频率分量的信号。
2007版
6
二、理想抽样
厦门大学 通信工程系
当0的极限情况（当<<T时，就可近似 看成理想抽样），此时抽样脉冲序列p(t)变 成冲激函数序列T(t),
各冲激函数准确地出现在抽样瞬间上，面 积为1，抽样后输出理想抽样信号的面积 （即积分幅度）则准确地等于输入信号xa(t) 在抽样瞬间的幅度。
2007版
k
s
)
s
k
(
k
s
)
xˆa (t) xa (t) (t mT )
m
Xˆ a
(
j)
1
2
[T
(
j)
Xa
(
j)]
1
2
2
T
k
(
ks
)
X
a
(
j)
1 T
k
Xa[
j(
ks )]
2007版
11
理想抽样后信号频谱：
厦门大学 通信工程系
xˆa (
j)
1 T
xa (
k
j
jk
2
T
)
看出：一个连续时间信号经过理想抽样后， 其频谱将以抽样频率：
s
2
T
为间隔而重复，这就是频谱产生周期延拓。
2007版
12
奈奎斯特抽样定理
厦门大学 通信工程系
奈奎斯特抽样定理：要想抽样后能够不 失真的还原出原信号，则抽样频率必须 大于两倍信号谱的最高频率。
s 2h
或
fs 2 fh
2007版
13
折叠频率
厦门大学 通信工程系
折叠频率：抽样频率之半称之。
s
xa (t)
xˆa (t)
2007版
4
3、研究内容
厦门大学 通信工程系
（1）信号被抽样后其频谱将会有什么变化？
（2）在什么条件下，可从抽样数据信号xˆa (t) 中不失真地恢复出原来信号xa(t)?
2007版
5
4、抽样方式
厦门大学 通信工程系
抽样方式有：理想抽样、实际抽样。
抽样过程：可以看成脉冲调幅，xa(t)为调 制信号，被调脉冲载波是周期为T的周期性 脉冲串。当脉冲宽度为时，可得实际抽样， 当脉冲宽度为0时，得到的是理想抽样。
T / 2 m
1ຫໍສະໝຸດ Baidu
= T
T / 2 (t)e jkst dt 1 e jkst
T / 2
T
1 t0 T
2007版
10
厦门大学 通信工程系
T
(t)
1 T
e jkst
k
根据周期信号的傅立叶变换:
F () 2 Ak ( ks ) k
可知：
T
(t
)的傅立叶变换：T
()
2
k
1 T
(
2007版
15
抽样的恢复
厦门大学 通信工程系
抽样频率在满足奈奎斯特抽样定理， 即信号频谱的最高频率小于折叠频率，则抽 样后的信号不会产生频谱混叠。
其抽样后的信号的频谱为：
xˆa ()
1 T
k
xa (
ks )
s 2
2007版
16
厦门大学 通信工程系
将抽样后的信号通过理想低通滤波器：
T H ( j)
1 T
X a ( j) T
Xa(
j)
所以输出端即为原模拟信号。
ya (t) xa (t)
理想低通滤波器虽不可实现，但是在一 定精度范围内，可用一个可实现的滤波 器来逼近它。
2007版
18
厦门大学 通信工程系
理想低通滤波器的冲激响应为：
h(t) 1 H ( j)e jtd
2
T
2
s / 2 e jt d T e jt
0
H ( j)
s 2
s 2
T
xˆa (t)
s / 2 0 s / 2 Xˆ a ( j)
理想低通滤波器特性
2007版
h(t )
ya (t) xa (t)
H ( j)
X a ( j)
抽样的恢复
17
就可得到原信号的频谱：
厦门大学 通信工程系
Ya ( j) Xˆ a ( j)H ( j)
sin[ (t mT
T
(t mT)
)]
T
2007版
20
抽样内插公式
厦门大学 通信工程系
ya
(t)
m
xa
(mT
)
sin[ (t mT
T
(t mT)
)]
xa
(t)
T
即由信号的抽样值xa(mT)经此公式而得到连 续信号xa(t).
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21
内插函数
函数：
sin[ (t mT)]
s / 2
2 jt
s / 2 s / 2
T
t
e e j 2 t / 2T
j 2 t / 2T
2j
sin[ t]
T
t
T
2007版
19
理想低通滤波器的输出：
厦门大学 通信工程系
ya (t) xa (t) xˆa ( )h(t )d
xa (mT)h(t mT)
m
m
xa
(mT
)
数字信号x(n)。
2007版
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2、抽样器
厦门大学 通信工程系
抽样器：可以看成是一个电子开关。
开关每隔T秒闭合一次（对理想抽样，闭 合时间应无穷短，对实际抽样，闭合时间 是秒，但<<T）使输入信号得以抽样， 得到连续信号的抽样输出信号。
9
频谱推导
厦门大学 通信工程系
冲激函数序列T (t) (t mT ) m
由于是周期函数，可表示成傅里叶级数：
T
(t )
k
Ak e jkst ,
fs
1 T
, s
2
T
系数Ak
=
1 T
T /2
T / 2 T
(t )e
jkst dt
1 T
T /2
(t mT )e jkstdt
T
(t mT)
T
称为内插函数。
厦门大学 通信工程系
2007版
22
(m-2)T
xa (t)
厦门大学 通信工程系
sin[ (t mT)]
1
T
(t mT)
T
第一章第四节 连续时间信号的抽样
一、引言
厦门大学 通信工程系
作为数字信号处理的第一步，要将现 实中许多连续时间信号进行抽样保持。 即要将连续时间信号变成数字信号。
2007版
2
1、抽样
厦门大学 通信工程系
抽样：就是利用周期性抽样脉冲序列p(t),从
连续信号xa(t)中抽取一系列的离散值，得到 抽样信号（或称抽样数据信号）即离散时间
7
xa (t)
0 p(t) T (t)
1
0
xˆa (t)
0
2007版
T
理想抽样
厦门大学 通信工程系
t
t t
8
理想抽样输出为：
厦门大学 通信工程系
xˆa (t) xa (t) (t mT ) m
xa (mT) (t mT) m
利用时域相乘等于频域卷积，可求其理想抽 样信号的频谱。
2007版
2T
它如同一面镜子，当信号频谱超过它时， 就会被折叠回来，造成频谱的混叠。
即信号的最高频谱：
h s / 2
造成频谱混叠。
2007版
14
为避免混叠采取措施
厦门大学 通信工程系
在抽样器（A/D）前加入一个保护性的前置 低通滤波器，称之防混叠滤波器，其截止 频率为：
s
2
用来滤除高于此频率分量的信号。
2007版
6
二、理想抽样
厦门大学 通信工程系
当0的极限情况（当<<T时，就可近似 看成理想抽样），此时抽样脉冲序列p(t)变 成冲激函数序列T(t),
各冲激函数准确地出现在抽样瞬间上，面 积为1，抽样后输出理想抽样信号的面积 （即积分幅度）则准确地等于输入信号xa(t) 在抽样瞬间的幅度。
2007版
k
s
)
s
k
(
k
s
)
xˆa (t) xa (t) (t mT )
m
Xˆ a
(
j)
1
2
[T
(
j)
Xa
(
j)]
1
2
2
T
k
(
ks
)
X
a
(
j)
1 T
k
Xa[
j(
ks )]
2007版
11
理想抽样后信号频谱：
厦门大学 通信工程系
xˆa (
j)
1 T
xa (
k
j
jk
2
T
)
看出：一个连续时间信号经过理想抽样后， 其频谱将以抽样频率：
s
2
T
为间隔而重复，这就是频谱产生周期延拓。
2007版
12
奈奎斯特抽样定理
厦门大学 通信工程系
奈奎斯特抽样定理：要想抽样后能够不 失真的还原出原信号，则抽样频率必须 大于两倍信号谱的最高频率。
s 2h
或
fs 2 fh
2007版
13
折叠频率
厦门大学 通信工程系
折叠频率：抽样频率之半称之。
s
xa (t)
xˆa (t)
2007版
4
3、研究内容
厦门大学 通信工程系
（1）信号被抽样后其频谱将会有什么变化？
（2）在什么条件下，可从抽样数据信号xˆa (t) 中不失真地恢复出原来信号xa(t)?
2007版
5
4、抽样方式
厦门大学 通信工程系
抽样方式有：理想抽样、实际抽样。
抽样过程：可以看成脉冲调幅，xa(t)为调 制信号，被调脉冲载波是周期为T的周期性 脉冲串。当脉冲宽度为时，可得实际抽样， 当脉冲宽度为0时，得到的是理想抽样。
T / 2 m
1ຫໍສະໝຸດ Baidu
= T
T / 2 (t)e jkst dt 1 e jkst
T / 2
T
1 t0 T
2007版
10
厦门大学 通信工程系
T
(t)
1 T
e jkst
k
根据周期信号的傅立叶变换:
F () 2 Ak ( ks ) k
可知：
T
(t
)的傅立叶变换：T
()
2
k
1 T
(
2007版
15
抽样的恢复
厦门大学 通信工程系
抽样频率在满足奈奎斯特抽样定理， 即信号频谱的最高频率小于折叠频率，则抽 样后的信号不会产生频谱混叠。
其抽样后的信号的频谱为：
xˆa ()
1 T
k
xa (
ks )
s 2
2007版
16
厦门大学 通信工程系
将抽样后的信号通过理想低通滤波器：
T H ( j)
1 T
X a ( j) T
Xa(
j)
所以输出端即为原模拟信号。
ya (t) xa (t)
理想低通滤波器虽不可实现，但是在一 定精度范围内，可用一个可实现的滤波 器来逼近它。
2007版
18
厦门大学 通信工程系
理想低通滤波器的冲激响应为：
h(t) 1 H ( j)e jtd
2
T
2
s / 2 e jt d T e jt
0
H ( j)
s 2
s 2
T
xˆa (t)
s / 2 0 s / 2 Xˆ a ( j)
理想低通滤波器特性
2007版
h(t )
ya (t) xa (t)
H ( j)
X a ( j)
抽样的恢复
17
就可得到原信号的频谱：
厦门大学 通信工程系
Ya ( j) Xˆ a ( j)H ( j)
sin[ (t mT
T
(t mT)
)]
T
2007版
20
抽样内插公式
厦门大学 通信工程系
ya
(t)
m
xa
(mT
)
sin[ (t mT
T
(t mT)
)]
xa
(t)
T
即由信号的抽样值xa(mT)经此公式而得到连 续信号xa(t).
2007版
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内插函数
函数：
sin[ (t mT)]
s / 2
2 jt
s / 2 s / 2
T
t
e e j 2 t / 2T
j 2 t / 2T
2j
sin[ t]
T
t
T
2007版
19
理想低通滤波器的输出：
厦门大学 通信工程系
ya (t) xa (t) xˆa ( )h(t )d
xa (mT)h(t mT)
m
m
xa
(mT
)