合肥一中高二数学上学期期中试题 文 新人教A版
2022-2023学年人教A版高二上数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 直线与轴交于点，把 绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（ ）A.B.C.D.2. 下列直线与直线平行的是( )A.B.C.D.3. 在中，为线段的中点，点在边上，且，与交于点，则（ ）A.B.C.D.l :x −y +2=03–√x A l A 45∘m m αcos α=−+6–√2–√4−2–√6–√4+6–√2–√4−6–√2–√4x −2y +1=02x +y −1=0x +2y −1=02x −y −1=0x −2y −1=0△ABC D AC E BC =BE −→−13EC −→−AE BD O =AO −→−+25AB −→−45AC −→−AB +3515AC −→−+15AB −→−35AC −→−+25AB −→−25AC −→−4. （重庆南开中学二诊）已知为椭圆的一个焦点，且该椭圆的焦距为，若是过椭圆中心的弦，则面积的最大值是（ ）A.B.C.D.5. 在坐标平面内，过点且与点距离相等的直线方程是( )A.B.C.D.或6. 已知直线与单位圆相交于，两点，且圆心到的距离为，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.7. 如图，在长方体中，，，，为的中点，则直线与平面所成角的大小是( )A.B.F +=1(0<m <25)y 225x 2m 4AB △FAB 612421−−√221−−√P (−1,2)A (2,3),B (−4,5)x +3y −5=0x +3y −7=0x =−1x +3y −5=0x =−1l O A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2O l 3–√2|+|+|+|x 1y 1x 2y 2[,]6–√26–√[,]3–√6–√[,]6–√23–√[,]2–√3–√ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =2AD =1A =A 12–√E C 1D 1BE ABB 1A 1π6π4πC.D. 8. 已知、分别是双曲线：＝的左、右焦点，为轴上一点，为左支上一点，若（+）•＝，且周长最小值为实轴长的倍，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.9. 过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，若的焦点为，则( )A.B.C.D.10. 在平面直角坐标系中，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的最大值为( )A.B.C.D.11. 已知椭圆的焦距为，则 A.π3π2F 1F 2C 1(a >0,b >0)P y Q 0△P Q F 24C 2(−2，0)23C :=4x y 2M ，N C F ⋅=FM −→−FN −→−5678xOy y =kx −21C :+−8x +15=0x 2y 2k 34233243+=1(m >6)x 26y 2m2m =()37−−√B.C.D.12. 在直角坐标系中，定义两点，之间的“直角距离”为，现给出四个命题：①已知，，，则为定值；②用表示，两点间的“直线距离”，那么；③已知为直线上任一点，为坐标原点，则的最小值为；④已知，，三点不共线，则必有.(参考公式：) 则说法正确的是( )A.②③B.①④C.①②D.①②④卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知实数，，成等差数列，点在动直线（，不同时为零）上的射影点为，若点的坐标为，则线段长度的最大值是________．14. 设椭圆的焦点为 ，， 点在椭圆上，若 是直角三角形， 的面积为________．15. 在三棱柱中，底面，底面为正三角形，是的中点，若半径为的球与三棱柱的三个侧面以及上、下底面都相切，则________；若直线与球的球面交于两点，，则________．16. 已知点是椭圆 上的一点， 分别为椭圆的左、右焦点，已知 ，且 ，则椭圆的离心率为________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知椭圆的长轴长为，且经过点.求椭圆的标准方程.37749P(,)x 1y 1Q(,)x 2y 2d(P,Q)=|−|+|−|x 1x 2y 1y 2P(1,3)Q(x,x)sin 2cos 2x ∈R d(P,Q)|PQ |P Q |PQ |≥d(P,Q)2–√2P y =x +2O d(P,Q)2–√P Q R d(P,Q)+d(Q,R)>d(P,Q)+≥(a +b a 2b 212)2a b c P(−3,0)ax +by +c =0a b M N (2,3)MN +=1x 24y 23F 1F 2P △PF 1F 2△PF 1F 2ABC −A 1B 1C 1A ⊥A 1ABC ABC D BC 1O ABC −A 1B 1C 1BC =D A 1O M N MN =P +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2，F 1F 2∠P =F 1F 2120∘|P |=2|P |F 1F 2C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b24(1，)32(1)C (2)l :y =k(x −4)C A ，B A设动直线交椭圆于两点，点与点关于轴对称.问：直线是否经过轴上一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.18. 已知点在圆上．求该圆的圆心坐标及半径长；过点，斜率为的直线与圆相交于，两点，求弦的长．19. 双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求其方程.20. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的一点，且直线，的斜率之积为.求椭圆的标准方程；直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求.21. 已知正方形，，分别是，的中点，将沿折起，如图所示，记二面角的大小为．证明：平面；若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求角的正弦值．22. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为且双曲线过点求双曲线的方程；若点 在双曲线上，（其中 ，求 的值．(2)l :y =k(x −4)C A ，B A D x BD x (2,−3)C :+−8x +6y +m =0x 2y 2(1)(2)M (−1,1)−43l C A B AB +=1x 227y 236(,4)15−−√C :+=1(a >)x 2a 2y 233–√A 1A 2P C A 1A 2PA 1PA 2−34(1)C (2)l F 2C M N M N A 1l x +=−k M A 1k N A 1k MN |MN|ABCD E F AB CD △ADE DE A −DE −C θ(0<θ<π)(1)BF //ADE (2)△ACD A BCDE G EF θF 1F 22–√P(4,−)10−−√(1)(2)M (3,m)m <0)⋅MF 1−→−−MF 2−→−−参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】设的倾斜角为，则，∴由题意知∴故选：．2.【答案】D【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】分别求出各条直线的斜率，然后利用平行直线的斜率关系即可求解.【解答】解：由题意，直线的斜率为，直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故正确.所以与平行的是.故选.1θtan θ=3–√θ=60∘α=θ−=−45∘60∘45∘cos α=cos(−)=cos cos +sin sin sin 60∘45∘60∘45∘60∘45∘45∘=×+×=+122–√23–√22–√22–√44–√C x −2y +1=0122x +y −1=0−2A x +2y −1=0−12B 2x −y −1=02C x −2y −1=012D x −2y +1=0x −2y −1=0D3.【答案】B【考点】向量在几何中的应用【解析】设，，将分别用含有、的算式表示出来，根据向量相等得到关于、的方程组，解方程组得到、的值，即可表示出【解答】解：依题意，设，，则同理，所以 解得 所以．故选．4.【答案】D=λBO −→−OD −→−=μAO −→−AE −→−||AO −→−λμλμλμAO−→−=λBO −→−BD −→−=μAO −→−AE −→−=μ=μ(+)AO −→−AE −→−AB −→−BE −→−=μ(+)AB −→−14BC −→−=μ[+(−)]=+AB −→−14AC −→−AB −→−3μAB −→−4μ4AC −→−=+=+λAO −→−AB −→−BO −→−AB −→−BD −→−=+λ(−)=+λ(−)AB −→−AD −→−AB −→−AB −→−12AC −→−AB −→−=(1−λ)+AB −→−λ2AC −→− =1−λ,3μ4=,μ4λ2 λ=25μ=45=+AO −→−35AB −→−15AC −→−B椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】由已知得，所以椭圆方程为．设，的横坐标分别为，，则，即当点与点到轴的距离的和最大时，的面积取得最大值，所以当线段为椭圆短轴时，面积最大，此时最大值为，故选．【方法点拨方法点拨】求解本题的关键：一是会用待定系数法求出椭圆的标准方程；二是会转化，把所求的三角形面积的最值问题转化为两动点到轴距离的和的最值．本题考查椭圆的图象和性质、最值问题．5.【答案】D【考点】点到直线的距离公式【解析】当直线为时，满足条件，因此直线方程可以为；当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，可得，解出即可得出．【解答】解：①当所求直线方程为时，到点距离相等，∴所求直线方程为.②当所求直线的斜率存在时，设所求直线方程为：，整理得：，∴，整理得：，解得：，∴所求直线方程为：，即.综上，所求直线方程为：或．故选．6.c =2,m =25−=2122+=1y 225x 221A B x A x B =|OF|⋅(||+S △FAB 12x A ||)=||+||x B x A x B A B y △FAB AB △FAB |OF||AB|=×12122×2=221−−√21−−√D y l x =−1l x =−1l l y −2=k (x +1)=|2k −3+k +2|1+k 2−−−−−√|−4k −5+k +2|1+k 2−−−−−√x =−1A (2,3)，B (−4,5)x =−1y −2=k (x +1)kx −y +k +2=0=|2k −3+k +2|1+k 2−−−−−√|−4k −5+k +2|1+k2−−−−−√|3k −1|=|3k +3|k =−13y −2=−(x +1)13x +3y −5=0x +3y −5=0x =−1DA【考点】直线与圆相交的性质直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】17.【答案】A【考点】直线与平面所成的角【解析】取的中点，连接，，则为直线与平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的大小．【解答】解：如图，取的中点，连结，，则为直线与平面所成的角．由题意可得，，则，故.即直线与平面所成角的大小是．故选.8.【答案】BA 1B 1F EF BF ∠EBF BE ABB 1A 1BE ABB 1A 1A 1B 1F EF BF ∠EBF BE ABB 1A1EF =AD =1BF ==2+1−−−−√3–√tan ∠EBF ===EF BF 13–√3–√3∠EBF =π6BE ABB 1A 1π6A双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】D【考点】抛物线的性质数量积的坐标表达式直线的一般式方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，抛物线的焦点的坐标为，该条直线的方程为，联立得解得两点坐标分别为，所以.故选.10.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系F (1，0)y =x +2343y =x +，2343=4x ，y 2M ，N (1,2)，(4,4)⋅=8FM −→−FN −→−D圆化成标准方程，得圆心为且半径，根据题意可得到直线的距离小于或等于，利用点到直线的距离公式建立关于的不等式，解之得，即可得到的最大值．【解答】解：由题意，圆的方程为，整理，得，则圆心为，半径．又直线上至少存在一点，使以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，所以点到直线的距离小于或等于，即，化简，得，解得，故的最大值是．故选．11.【答案】C【考点】椭圆的应用椭圆的定义和性质【解析】【解答】解：依题意可得，则．故选.12.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用进行简单的合情推理两点间的距离公式C C(4,0)r =1C y =kx −22k 0≤k ≤43k C +−8x +15=0x 2y 2(x −4+=1)2y 2C(4,0)r =1y =kx −21C C y =kx −22≤2|4k −0−2|+1k 2−−−−−√3−4k ≤0k 20≤k ≤43k 43D =m −6=1c 2m =7C先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．【解答】解：①若，，则为定值，故①正确；②表示，两点间的“直线距离”，那么，即，故②正确；③已知为直线上任一点，设，，则，表示数轴上的到和的距离之和，其最小值为，故③不正确；④∵，，三点不共线，且，故，故④正确.故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】实数，，成等差数列，可得，于是动直线（，不同时为零）化为：，即，利用直线系可得：动直线过定点：．因此点在以为直径的圆上，利用中点坐标公式可得：圆心为线段的中点：，半径．则线段长度的最大值．【解答】解：∵实数，，成等差数列，∴，∴动直线（，不同时为零）化为：，变形为，令，解得．∴动直线过定点：．∴点在以为直径的圆上，圆心为线段的中点：，半径．∴线段长度的最大值．故答案为：．P(1,3)Q(x,x)(x ∈R)sin 2cos 2d(P,Q)=|1−x |+|3−x |=4−(x +x)=3sin 2cos 2cos 2sin 2|PQ |P Q |PQ =|−+|−≥(|−|+|−||2x 1x 2|2y 1y 2|212x 1x 2y 1y 2)2|PQ |≥d(P,Q)2–√2P y =x +2P(x,x +2)O(0,0)d(P,Q)=|−|+|−|=|x |+|x +2|x 1x 2y 1y 2x −202P Q R d(Q,R)>0d(P,Q)+d(Q,R)>d(P,Q)D 5+5–√a b c 2b =a +c l :ax +by +c =0a b ax +y +c =0a +c 2a(2x +y)+c(y +2)=0l Q(1,−2)M PQ PQ C(−1,−1)r MN =|CN |+r a b c 2b =a +c l :ax +by +c =0a b ax +y +c =0a +c 2a(2x +y)+c(y +2)=0{2x +y =0y +2=0{x =1y =−2l Q(1,−2)M PQ PQ C(−1,−1)r ==+122−−−−−√5–√MN =|CN |+r =+=5++3242−−−−−−√5–√5–√5+5–√14.【答案】【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】解：当点为椭圆的上顶点时， 最大，根据椭圆的标准方程可求得 ,∴ 不可能是直角；∴只能是 轴，或 轴； 带入椭圆的标准方程可得；．故答案为：．15.【答案】,【考点】点到直线的距离公式多面体的内切球问题【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，过作与垂直的平面与三棱柱的棱，，分别交于点，，，对应圆与相切于点，32P ∠P F 1F 2∠P =F 1F 260∘∠P F 1F 2P ⊥x F 1P ⊥x F 2x =1y =±32=×2×=S △PF 1F 21232323223–√439−−√13(1)O AA 1ABC −A 1B 1C 1AA 1BB 1CC 1A 2B 2C 2O A 2B 2Q在中，因为，，所以，从而；过和作平面与交于点，如图，以为原点，，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，则，，，的方程为，设的中点为，则，所以．故答案为：；．16.【答案】【考点】椭圆的离心率【解析】Rt △OQ A 2OQ =1∠O Q =A 230∘Q =A 23–√BC ==2A 2B 23–√AA 1D B 1C 1D 1(2)A AD AA 1x y (0,2)A 1D (3,0)O (2,1)D A 12x +3y −6=0MN G OG ==|2×2+3×1−6|13−−√113−−√MN =2MG =2=1−113−−−−−−√439−−√1323–√439−−√13此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：由题意得，所以.又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为设则由，得则.由题可得直线的方程为又所以直线的方程为令，得，即直线过轴上的定点.【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程(1)2a =4a =2C (1，)32+=11494b 2=3b 2C +=1.x 24y 23(2)A (,),B (,),x 1y 1x 2y 2D(，−)x 1y 1{y =k(x −4)3+4=12x 2y 2(3+4)−32x +64−k 2x 2k 2k 212=0,Δ>0,+=,=x 1x 232k 23+4k 2x 1x 264−12k 23+4k 2BD y +=(x −)，y 1+y 2y 1−x 2x 1x 1=k (−4),=k (−4),y 1x 1y 2x 2BD y +k (−4)=(x −).x 1k (−4)+k (−4)x 2x 1−x 2x 1x 1y =0x =+−4−+4x 1x 2x 2x 21x 1+−8x 1x 2x 1=2−4(+)x 1x 2x 1x 2+−8x 1x 2=2×−4×64−12k 23+4k 232k 23+4k 2−832k 23+4k 2==1−243+4k 232−24−32k 2k23+4k 2BD x (1，0)【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，所以.又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为设则由，得则.由题可得直线的方程为又所以直线的方程为令，得，即直线过轴上的定点.18.【答案】解：由题可知： ，解得，，所以圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径.由题意得，直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为：(1)2a =4a =2C (1，)32+=11494b 2=3b 2C +=1.x 24y 23(2)A (,),B (,),x 1y 1x 2y 2D(，−)x 1y 1{y =k(x −4)3+4=12x 2y 2(3+4)−32x +64−k 2x 2k 2k 212=0,Δ>0,+=,=x 1x 232k 23+4k 2x 1x 264−12k 23+4k 2BD y +=(x −)，y 1+y 2y 1−x 2x 1x 1=k (−4),=k (−4),y 1x 1y2x 2BDy +k (−4)=(x −).x 1k (−4)+k (−4)x 2x1−x 2x 1x 1y =0x =+−4−+4x 1x 2x 2x 21x 1+−8x 1x 2x 1=2−4(+)x 1x 2x 1x 2+−8x 1x 2=2×−4×64−12k 23+4k 232k 23+4k 2−832k 23+4k 2==1−243+4k 232−24−32k 2k 23+4k 2BD x (1，0)(1)+−8×2+6×(−3)+m =022(−3)2m =21C +=4(x −4)2(y +3)2C (4,−3)r =2(2)l y −1=(−)(x +1)434x +3y +1=0C l ==|4×4+3×(−3)+1|，所以弦长．【考点】圆的一般方程圆的标准方程直线和圆的方程的应用点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知： ，解得，，所以圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径.由题意得，直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为：，所以弦长．19.【答案】解：由题意得：，．∵，∴．∴椭圆的焦点，．设双曲线方程为，∵点在曲线上，代入双曲线的方程可得或（舍）．∴双曲线的方程为．【考点】椭圆的标准方程双曲线的标准方程d ==|4×4+3×(−3)+1|+4232−−−−−−√85|AB|=2=−r 2d 2−−−−−−√125(1)+−8×2+6×(−3)+m =022(−3)2m =21C +=4(x −4)2(y +3)2C (4,−3)r =2(2)l y −1=(−)(x +1)434x +3y +1=0C l d ==|4×4+3×(−3)+1|+4232−−−−−−√85|AB|=2=−r 2d 2−−−−−−√125=36a 2=27b 2=−=9c 2a 2b 2c =3(0,−3)F 1(0,3)F 2−=1y 2m x 29−m (，4)15−−√m =4m =36−=1y 24x 25【解析】【解答】解：由题意得：，．∵，∴．∴椭圆的焦点，．设双曲线方程为，∵点在曲线上，代入双曲线的方程可得或（舍）．∴双曲线的方程为．20.【答案】解：设，由题设知，，因为，所以，解得，所以椭圆的标准方程为．根据题意，设，，直线，由消去并整理，得，则，即，，因为，，所以，又，由，得，解得，所以，，=36a 2=27b 2=−=9c 2a 2b 2c =3(0,−3)F 1(0,3)F 2−=1y 2m x 29−m (，4)15−−√m =4m =36−=1y 24x 25(1)P(,)x 0y 0(−a,0)A 1(a,0)A 2⋅=⋅=k PA 1k PA 2y 0+a x 0y 0−a x 0y 20−x 20a 2==−3(1−)x 20a 2−x 20a 23a 2−=−3a 234=4a 2C +=1x 24y 23(2)M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2MN ：x =my +1(m ≠0) +=1,x 24y 23x =my +1,x (3+4)+6my −9=0m 2y 2Δ=36+36(3+4)>0m 2m 2+=−y 1y 26m 3+4m 2=−y 1y 293+4m 2=k M A 1y 1+2x 1=k N A 1y 2+2x 2+=k M A 1k N A 1(+2)+(+2)y 1x 2y 2x 1(+2)(+2)x 1x 2=(m +3)+(m +3)y 1y 2y 2y 1(m +3)(m +3)y 1y 2==−m 2m +3(+)y 1y 2y 1y 2+3m(+)+9m 2y 1y 2y 1y 2=k MN 1m +=−k M A 1k N A 1k MN −m =01m =1m 2|+|=y 1y 267=−y 1y 297MN|=|−|=⋅=24故．【考点】椭圆的标准方程斜率的计算公式圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】左侧图片未给出解析．左侧图片未给出解析．【解答】解：设，由题设知，，因为，所以，解得，所以椭圆的标准方程为．根据题意，设，，直线，由消去并整理，得，则，即，，因为，，所以，又，由，得，解得，所以，，故．21.|MN|=|−|=⋅=1+m 2−−−−−−√y 1y 22–√(+−4y 1y 2)2y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√247(1)P(,)x 0y 0(−a,0)A 1(a,0)A2⋅=⋅=k PA 1k PA 2y 0+a x 0y 0−a x 0y 20−x 20a 2==−3(1−)x 20a 2−x 20a 23a 2−=−3a 234=4a 2C +=1x 24y 23(2)M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2MN ：x =my +1(m ≠0) +=1,x 24y 23x =my +1,x (3+4)+6my −9=0m 2y 2Δ=36+36(3+4)>0m 2m2+=−y 1y 26m 3+4m 2=−y 1y 293+4m 2=k M A 1y 1+2x 1=k N A 1y 2+2x 2+=k M A 1k N A 1(+2)+(+2)y 1x 2y 2x 1(+2)(+2)x 1x 2=(m +3)+(m +3)y 1y 2y 2y 1(m +3)(m +3)y 1y 2==−m 2m +3(+)y 1y 2y 1y 2+3m(+)+9m 2y 1y 2y 1y 2=k MN 1m+=−k M A 1k N A 1k MN −m =01m =1m 2|+|=y 1y 267=−y 1y 297|MN|=|−|=⋅=1+m 2−−−−−−√y 1y 22–√(+−4y 1y 2)2y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√247【答案】证明：分别为正方形的边，的中点，∵，且，∴四边形为平行四边形．∴∵平面，而平面∴平面．解：如图，点在平面内的射影在直线上，过点作垂直于平面，垂足为，连接，．∵为正三角形，∴.∴.∵在的垂直平分线上，∴点在平面内的射影在直线上，过作垂直于于，连接，则，所以为二面角的平面角．即.设原正方体的边长为，连接.在折后图的中，，，即为直角三角形，.∴.在中，.∴.∴.．即.【考点】与二面角有关的立体几何综合题直线与平面平行的判定【解析】（1）根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面内找到与直线平行的直线就可以了，易证四边形为平行四边形；（2）判断点在平面内的射影是否在直线上，可以从两种角度去思考：方法一：过点作垂直于平面，垂足为，然后证明射影在直线上．方法二：连接，在平面内过点作，垂足为．然后再证明平面，即为在平面内的射影．二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．由前面“判断点在(1)E ，F ABCD AB CD EB //FD EB =FD EBFD BF //EDED ⊂AED BF ⊂AEDBF //ADE (2)A BCDE G EF A AG BCDE G GC GD △ACD AC =AD CG =GD G CD A BCDE G EF G GH ED H AH AH ⊥DE ∠AHG A −DE −C ∠AHG =θ2a AF △AEF AF =a 3–√EF =2AE =2a △AEF AG ⋅EF =AE ⋅AF AG =a 3–√2Rt △ADE AH ⋅DE =AE ⋅AD AH =a 25–√GH =a 25–√cos θ==GH AH 14sin θ=15−−√4ADE BF EBFD A BCDE G EF A AG BCDE G G EF AF AEF AG'⊥EF G'AG'⊥BCDE G'A BCDE G A BCDE G AG ⊥BCDE G GH平面内的射影是否在直线上”可知：平面，所以过作垂直于于，连接，则，所以为二面角的平面角．即【解答】证明：分别为正方形得边，的中点，∵，且，∴四边形为平行四边形．∴∵平面，而平面∴平面．解：如图，点在平面内的射影在直线上，过点作垂直于平面，垂足为，连接，．∵为正三角形，∴.∴.∵在的垂直平分线上，∴点在平面内的射影在直线上，过作垂直于于，连接，则，所以为二面角的平面角．即.设原正方体的边长为，连接.在折后图的中，，，即为直角三角形，.∴.在中，.∴.∴.．即.22.【答案】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，BCDE G EF AG ⊥BCDE G GH ED H AH AH ⊥DE ∠AHG A −DE −C ∠AHG =θ(1)EF ABCD AB CD EB //FD EB =FD EBFD BF //EDED ⊂AED BF ⊂AEDBF //ADE (2)A BCDE G EF A AG BCDE G GC GD △ACD AC =AD CG =GD G CD A BCDE G EF G GH ED H AH AH ⊥DE ∠AHG A −DE −C ∠AHG =θ2a AF △AEF AF =a 3–√EF =2AE =2a △AEF AG ⋅EF =AE ⋅AF AG =a 3–√2Rt △ADE AH ⋅DE =AE ⋅AD AH =a 25–√GH =a 25–√cos θ==GH AH 14sin θ=15−−√4(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=02即，∴．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴．−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−。
2020年安徽省合肥一中高二(上)期中数学试卷(文科)
高二（上）期中数学试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线x=1的倾斜角和斜率分别是()A. 45°，1B. 135°，−1C. 90°，不存在D. 180°，不存在2.下列说法中不正确的．．．．是()．A. 空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B. 同一平面的两条垂线一定共面C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直3.方程x2+y2+4mx−2y+5m=0表示圆，m的取值范围是()A. 14<m<1 B. m<14或m>1C. m<14D. m>14.若a，b是异面直线，且a//平面α，则b和α的位置关系是()A. 平行B. 相交C. b在α内D. 平行、相交或b在α内5.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是()A. 10π3B. 13π3C. 11π3D. 8π36.设l是直线，α，β是两个不同的平面()A. 若l//α，l//β，则α//βB. 若l//α，l⊥β，则α⊥βC. 若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD. 若α⊥β，l//α，则l⊥β7.若直线x−y+1=0与圆(x−a)2+y2=2有公共点，则实数a的取值范围是()A. [−3,−1]B. [−1,3]C. [−3,1]D. (−∞,−3]∪[1,+∞)8.圆x2+2x+y2+4y−3=0上到直线x+y+1=0的距离为√2的点共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为√2，则此球的体积为()A. √6πB. 4√3πC. 4√6πD. 6√3π10.直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. 110B. 25C. √3010D. √2211.已知点A(2,−3)，B(−3,−2)，直线m过P(1,1)，且与线段AB相交，求直线m的斜率k的取值范围为()A. k≥34或k≤−4 B. k≥34或k≤−14C. −4≤k≤34D. 34≤k≤412.如图，点P在正方体ABCD−A1B1C1D1的面对角线BC1上运动(P点异于B、C1点)，则下列四个结论：①三棱锥A−D1PC的体积不变：②A1P//平面ACD1：③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如果直线ax+2y+2=0与直线3x−y−2=0平行，那么系数a的值为______．14.已知点B与点A(1,2，3)关于M(0,−1,2)对称，则点B的坐标是______．15.圆(x+2)2+y2=4与圆(x−2)2+(y−1)2=9的位置关系为______．16.已知⊙M：x2+(y−2)2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，求动弦AB的中点P的轨迹方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知集合A={y|y=x2−32x+1,34≤x≤2},B={x|x+m2≥1}，p：x∈A，q：x∈B，并且p是q的充分条件，求m的取值范围．18.已知直线l1，l2的方程分别为2x−y=0，x−2y+3=0，且l1，l2的交点为P．(1)求P点坐标；(2)若直线l过点P，且与x，y轴正半轴围成的三角形面积为92，求直线l的方程．19.圆C经过点A(2,−1)，和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=−2x上．(1)求圆C的方程；(2)圆内有一点B(2,−52)，求以该点为中点的弦所在的直线的方程．20.如图，在底面是菱形的四棱锥P−ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=√2a，点E在PD上，且PE：ED=2：1．(1)求该四棱锥的体积；(2)若F为棱PC的中点，证明：BF//平面AEC．21.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．(1)求证：DE//平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．22. 已知过点A(−1,0)的动直线l 与圆C ：x 2+(y −3)2=4相交于P ，Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：x +3y +6=0相交于N ． (1)求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； (2)当PQ =2√3时，求直线l 的方程；(3)探索AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是否与直线l 的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90°，而斜率不存在，故选：C．利用直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90°，选出答案．本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及直线的图象特征与直线的倾斜角、斜率的关系．2.【答案】D【解析】【分析】根据证明平行四边形的条件判断A，由线面垂直的性质定理和定义判断B和C，利用实际例子判断D．本题考查了平面几何和立体几何中的定理和定义，只要抓住定理中的关键条件进行判断，可借助于符合条件的几何体进行说明，考查了空间想象能力和对定理的运用能力．【解答】解：A、一组对边平行且相等就决定了是平行四边形，故A不符合题意；B、由线面垂直的性质定理知，同一平面的两条垂线互相平行，因而共面，故B不符合题意；C、由线面垂直的定义知，这些直线都在同一个平面内即直线的垂面，故C不符合题意；D、由实际例子，如把书本打开，且把书脊垂直放在桌上，则由无数个平面满足题意，故D符合题意．故选：D．3.【答案】B【解析】【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，可以求得若方程x2+y2+4mx−2y+5m=0表示圆，必有16m2+4−20m>0，即可求出m的取值范围．本题考查二元二次方程表示圆的条件，若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆，则有D2+E2−4F>0．【解答】解：根据二元二次方程表示圆的条件，方程x2+y2+4mx−2y+5m=0表示圆，必有16m2+4−20m>0，解可得，m<14或m>1，故选：B．4.【答案】D【解析】解：如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，BB1的中点为E，CC1的中点为F，设D1C1=a，平面ABCD为α，则a//α．观察图形，知：a与AD为异在直线，AD⊂α；a与AA1为异面直线，AA1与α相交；a与EF是异面直线，EF//α．∴若a，b是异面直线，且a//平面α，则b和α的位置关系是平行、相交或b在α内．故选：D．作出正方体，借助正方体能够比较容易地得到结果．本题考查直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意平面的公理及其推论的灵活运用．5.【答案】B【解析】解：由几何体的三视图得，几何体是低下是一个圆柱，底面半径为1，圆柱体的高为3，上面是半径为1的一个球∴该几何体的体积为π×3+43π=133π故选：B．先由三视图判断出几何体的直观图的形状为上面是球，下面是圆柱；然后利用圆柱、球的体积公式求出该几何体的体积．解决由三视图求几何体的表面积、体积问题，一般先将三视图转化为几何体的直观图，再利用面积、体积公式求．6.【答案】B【解析】解：若l//α，l//β，则α//β或α，β相交，故A不正确；根据线面平行的性质可得：若l//α，经过l的直线与α的交线为m，则l//m，∵l⊥β，∴m⊥β，根据平面与平面垂直的判定定理，可得α⊥β，故B正确；若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l//β，故C错误；作出正方体ABCD−A′B′C′D′，设平面ABCD为α，ADD′A′为β，则α⊥β，观察正方体，得到：B′C′//α，且B′C′//β；A′D′//α，且A′D′⊂β；A′B′//α，且A′B′与β相交．∴面α、β及直线l满足：α⊥β，l//α，则一定有l//β或l⊂β或l与β相交，故D不正确．故选：B．对4个选项分别进行判断，即可得出结论．“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．7.【答案】C【解析】【分析】根据直线x−y+1=0与圆(x−a)2+y2=2有公共点，可得圆心到直线x−y+1=0的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数a取值范围．本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径，建立不等式．【解答】解：∵直线x−y+1=0与圆(x−a)2+y2=2有公共点≤√2∴圆心到直线x−y+1=0的距离为|a+1|√2∴|a+1|≤2∴−3≤a≤1故选：C．8.【答案】C【解析】解：圆x2+2x+y2+4y−3=0的圆心(−1,−2)，半径是2√2，圆心到直线x+=√2，y+1=0的距离是√2故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为√2的共有3个．故选：C．先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和√2比较，可得结果．本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合的思想，是中档题．9.【答案】B【解析】【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为√2，求出球的半径，然后求解球的体积．本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为√2，所以球的半径为：√(√2)2+1=√3．(√3)3=4√3π.所以球的体积为：4π3故选B．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC的中点为O，连结ON，B1C1=OB，则MNOB是平行四边形，BM与AN所成角等于∠ANO，MN=//12∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=√5，AN=√5，MB=√B1M2+BB12=√(√2)2+22=√6，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO=AN 2+NO2−AO22AN⋅NO=2×√5×√6=√3010．故选：C．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查一元二次不等式组表示平面区域的问题，注意直线m与线段AB相交，即A、B在直线的两侧或直线上．根据题意，设直线m的方程为y−1=k(x−1)，分析可得若直线m与线段AB相交，即A、B在直线的两侧或直线上，则有[(−3)−2k+k−1][(−2)−(−3)k+k−1]≤0，解可得k的范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，直线m过P(1,1)，设直线m的方程为y−1=k(x−1)，即y−kx+k−1=0，若直线m与线段AB相交，即A、B在直线的两侧或直线上，则有[(−3)−2k+k−1][(−2)−(−3)k+k−1]≤0，解可得：k≥34或k≤−4；故选A．12.【答案】C【解析】解：对于①，由题意知AD1//BC1，从而BC1//平面AD1C，故BC 1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A−D1PC的体积不变，故①正确；对于②，连接A1B，A1C1，A1C1//AD1且相等，由于①知：AD1//BC1，所以面BA1C1//面ACD1，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC ⊥平面BCB 1C 1，所以DC ⊥BC 1，若DP ⊥BC 1，则BC 1⊥平面DCP ，BC 1⊥PC ，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接DB 1，由DB 1⊥AC 且DB 1⊥AD 1，可得DB 1⊥面ACD 1，从而由面面垂直的判定知，故④正确．故选：C ．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系，结合线线、线面、面面平行和垂直的判断与性质求解．本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等积法、线面平行、线线垂直的判定，要注意转化的思想的使用，是中档题．13.【答案】−6【解析】解：∵直线ax +2y +2=0与直线3x −y −2=0平行，∴它们的斜率相等，∴−a 2=3 ∴a =−6故答案为：−6根据它们的斜率相等，可得−a 2=3，解方程求a 的值．本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等． 14.【答案】(−1,−4,1)【解析】解：设点B 的坐标为(x,y ，z)，∵点B 与点A(1,2，3)关于M(0,−1,2)对称， ∴点M(0,−1,2)对为点A(1,2，3)和点B(x,y ，z)的中点，由中点坐标公式可得，{0=x+12−1=y+222=z+32，解得{x =−1y =−4z =1， ∴点B 的坐标是(−1,−4,1)．故答案为：(−1,−4,1)．根据点的对称性，将问题转化为两点的中点坐标问题，利用中点坐标公式列出方程组，求解即可得到点B 的坐标公式．本题考查了空间中的点的坐标．中点考查了中点坐标公式，解空间坐标问题时，要注意类比平面坐标，对于一些运算公式和法则两者是通用的．属于基础题．15.【答案】相交 【解析】解：圆C(x +2)2+y 2=4的圆心C(−2,0)，半径r =2；圆M(x −2)2+(y −1)2=9的圆心M(2,1)，半径R =3．∴|CM|=√(−2−2)2+1=√17，R −r =3−2=1，R +r =3+2=5．∴R −r <√17<R +r ．∴两圆相交．故答案为：相交．由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出． 本题考查了判断两圆的位置关系的方法，属于基础题．16.【答案】x 2+(y −74)2=116(32≤y <2)【解析】解：连接MB ，MQ ，设P(x,y)，Q(|a|,0)，点M 、P 、Q在一条直线上，得2−a =y−2x .①由射影定理，有|MB|2=|MP|⋅|MQ|，即√x 2+(y −2)2⋅√a 2+4=1.②由①及②消去a ，可得x 2+(y −74)2=116和x 2+(y −94)2=116．又由图形可知y <2，因此x 2+(y −94)2=116舍去．因此所求的轨迹方程为x 2+(y −74)2=116(32≤y <2)．故答案为：x 2+(y −74)2=116(32≤y <2)．连接MB ，MQ ，设P(x,y)，Q(|a|,0)，点M 、P 、Q 在一条直线上，利用斜率相等建立等式，进而利用射影定理|MB|2=|MP|⋅|MQ|，联立消去a ，求得x 和y 的关系式，根据图形可知y <2，进而可求得动弦AB 的中点P 的轨迹方程．本题主要考查了直线与圆的位置关系，求轨迹方程问题．解题过程中灵活利用了射影定理． 17.【答案】解：化简集合A ={y|y =x 2−32x +1,34≤x ≤2}，配方，得y =(x −34)2+716.因为x ∈[716,2]，∴y min =716,y max =2∴y ∈[716,2]∴A ={y|716≤y ≤2}，化简集合B ，由x +m 2≥1，得x ≥1−m 2，B ={x|x ≥1−m 2}，因为命p 题是命题q 的充分条件，∴A ⊆B ∴1−m 2≤716解得m ≥34或m ≤−34， 故实数的取值范围是(−∞,−34]∪[34．【解析】根据二次函数的性质求出A 的范围，化简集合B ，根据A ⊆B ，得到关于m 的不等式，解出即可．本题考查了二次函数的性质，考查集合的包含关系，是一道基础题．18.【答案】解：(1)由{2x −y =0x −2y +3=0得P(1,2)．(2)①当过点P(1,2)的直线与坐标轴平行时，不合题意；②当过点P(1,2)的直线与坐标轴不平行时，可设所求直线方程为y −2=k(x −1)， 当x =0时，y =2−k ；当y =0时，x =1−2k ．故三角形的面积s △=12|(1−2k )(2−k)|=92，由2−k >0，1−2k >0，解得k =−1或−4．故所求的直线方程为y −2=−1×(x −1)或y −2=−4×(x −1)，即x +y −3=0或4x +y −6=0；综上，所求直线方程为x +y −3=0或4x +y −6=0；【解析】(1)把2条直线的方程联立方程组，求出方程组的解，可得交点坐标．(2)用点斜式求直线的方程，并求出它在坐标轴上的截距，再根据直线与x ，y 轴正半轴围成的三角形面积为92，求出斜率的值，可得直线l 的方程．本题主要考查求直线的交点坐标，用点斜式求直线的方程，直线的截距，属于基础题． 19.【答案】解：(1)设圆心(m,−2m)，方程为：(x −m)2+(y +2m)2=r 2∵圆过A(2,−1)，∴有(2−m)2+(−1+2m)2=r 2 又√2=r ，解得m =1,r =√2，∴圆的方程为(x −1)2+(y +2)2=2．(2)由题意，(x −1)2+(y +2)2=2的圆心坐标为C(1,−2)，则k CB =−2+521−2=−12，∴以B(2,−52)为中点的弦所在的直线的斜率为2，∴所求直线方程为y+52=2(x−2)，即4x−2y−13=0．【解析】(1)设出圆心坐标，利用圆C经过点A(2,−1)，和直线x+y=1相切，建立方程组，可求圆C的方程；(2)求出以B(2,−52)为中点的弦所在的直线的斜率，利用点斜式可得方程．本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．20.【答案】(1)解：设AC∩BD=O，连接PO，则O既为AC的中点，也为BD的中点，∵∠ABC=60°，AC=a，∴BD=√3a，AO=12AC=12a，BO=12BD=√32a.∵PB=PD=√2a，∴PO⊥BD，PO2=PB2−BO2=54a2，∴PA2+AO2=PO2，即PA⊥AC．∵PO⊥BD，AC⊥BD，PO∩AC=O，PO、AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又BD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAC．∵平面ABCD∩平面PAC=AC，PA⊂平面PAC，∴PA⊥平面ABCD．∴四棱锥的体积V=13PA⋅S菱形ABCD=13PA⋅12AC⋅BD=13×a×12×a×√3a=√36a3．(2)证明：取PE的中点M，连结FM、BM，则FM//CE．由PE：ED=2：1，知E是MD的中点，∵O为BD的中点，∴BM//OE．∵FM∩BM=M，CE∩OE=E，FM、BM⊂平面BFM，CE、OE⊂平面AEC，∴平面BFM//平面AEC．又BF⊂平面BFM，∴BF//平面AEC．【解析】(1)设AC∩BD=O，连接PO，在菱形ABCD中，易求得BD=√3a，AO=12a，BO=√32a，由勾股定理可证明PA⊥AC；由PO⊥BD，AC⊥BD，可推出BD⊥平面PAC，PA⋅结合面面垂直的判定定理与性质定理可得PA⊥平面ABCD，故四棱锥的体积V=13S．菱形ABCD(2)取PE的中点M，连结FM、BM，则FM//CE，BM//OE，从而推出平面BFM//平面AEC，再由面面平行的性质定理即可得证．本题考查空间中线与面的位置关系、棱锥体积的求法，熟练掌握空间中线面、面面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE//BC，又DE⊄平面A1CB，∴DE//平面A1CB．(2)由已知得AC⊥BC且DE//BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ//BC．∵DE//BC，∴DE//PQ．∴平面DEQ即为平面DEP．由(Ⅱ)知DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C，又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．【解析】(1)D ，E 分别为AC ，AB 的中点，易证DE//平面A 1CB ；(2)由题意可证DE ⊥平面A 1DC ，从而有DE ⊥A 1F ，又A 1F ⊥CD ，可证A 1F ⊥平面BCDE ，问题解决；(3)取A 1C ，A 1B 的中点P ，Q ，则PQ//BC ，平面DEQ 即为平面DEP ，由DE ⊥平面，P 是等腰三角形DA 1C 底边A 1C 的中点，可证A 1C ⊥平面DEP ，从而A 1C ⊥平面DEQ ． 本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，考查学生的分析推理证明与逻辑思维能力，综合性强，属于难题．22.【答案】解：(1)∵l 与m 垂直，且k m =−13，∴k 1=3，故直线l 方程为y =3(x +1)，即3x −y +3=0.∵圆心坐标(0,3)满足直线l 方程， ∴当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ．(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x =−1符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =k(x +1)，即kx −y +k =0， ∵PQ =2√3，∴CM =√4−3=1，则由CM =√k 2+1=1，得k =43， ∴直线l ：4x −3y +4=0．故直线l 的方程为x =−1或4x −3y +4=0．(3)∵CM ⊥MN ，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ①当l 与x 轴垂直时，易得N(−1,−53)，则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−53)，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3)， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−5． ②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k(x +1)，则由{y =k(x +1)x +3y +6=0得N(−3k−61+3k ,−5k 1+3k )，则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−51+3k ,−5k 1+3k )． ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−51+3k +−15k 1+3k=−5． 综上所述，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值与直线l 的斜率无关，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−5．【解析】(1)根据l 与m 垂直，则两条直线的斜率之积为−1，进而根据直线过点A(−1,0)，我们可求出直线的方程，将圆的圆心坐标代入直线方程验证后，即可得到结论；(2)根据半弦长、弦心距、圆半径构造直角三角形，满足勾股定理，结合PQ =2√3，易得到弦心距，进而根据点到直线的距离公式，构造关于k 的方程，解方程即可得到k 值，进而得到直线l 的方程；(3)根据已知条件，我们可以求出两条直线的交点N 的坐标(含参数k)，然后根据向量数量积公式，即可求出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，进而得到结论．本题考查的知识点是直线与圆相交的性质及向量在几何中的应用，其中在处理圆的弦长问题时，根据半弦长、弦心距、圆半径构造直角三角形，满足勾股定理，进行弦长、弦心距、圆半径的知二求一，是解答此类问题的关键．。
安徽省合肥市2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题含解析
绝密★启用前合肥2023~2024学年度第一学期高二年级期中考试（学考模拟）数学（答案在最后）本试卷共4页.全卷满分100分，考试时间90分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题共54分)一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，满分54分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求，多选不给分)1.已知集合{}1,2A =，{}1,3B =，则A B ⋃=（）A.{}1 B.{}1,2 C.{}1,3 D.{}1,2,3【答案】D 【解析】【分析】利用并集运算求解.【详解】解：因为集合{}1,2A =，{}1,3B =，所以A B ⋃={}1,2,3，故选：D2.下列函数中，在其定义域上单调递减的是（）A.y x=- B.²y x = C.sin y x= D.cos y x=【答案】A 【解析】【分析】利用幂函数与正余弦函数的单调性一一判定即可.【详解】由幂函数的单调性可知y x =-在定义域上单调递减，故A 正确；²y x =在(),0∞-上单调递减，()0,∞+上单调递增，不符题意，sin y x =在()ππ2π,2πZ 22k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，不符题意，cos y x =在[]()π2π,2πZ k k k -+∈上单调递增，不符题意，即B 、C 、D 错误.故选：A3.在平面直角坐标系中，下列与角420o 终边相同的角是（）A.20B.60C.120D.150【答案】B 【解析】【分析】利用终边相同的角的定义计算即可.【详解】由题意可知42036060=+ ，所以60 与420o 终边相同.故选：B4.若12i z =+，则4i 1zz =-A.1 B.-1C.iD.-i【答案】C 【解析】【详解】试题分析：()()4i 4ii 112i 12i 1zz ==-+--，故选C ．【考点】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．5.下列函数为奇函数的是（）A.1y x=B.y x= C.2xy = D.y =log ₂x【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求求解.【详解】对于A 中，函数1y x=为奇函数，符合题意；对于B 中，函数y x =为偶函数，不符合题意；对于C 中，函数2x y =为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，函数2log y x =为非奇非偶函数，不符合题意.故选：A.6.已知函数()f x 对于任意实数x 满足()()2f x f x +=，若()13f -=，则()5f =（）A.-5B.-3C.3D.5【答案】C 【解析】【分析】首先判断函数的周期，利用周期求函数值.【详解】由R x ∀∈，()()2f x f x +=，可知，函数()f x 的周期2T =，()()()513213f f f =-+⨯=-=.故选：C7.已知a +b >0，b <0，那么a ，b ，-a ，-b 的大小关系是（）A.a >b >-a >-bB.a >b >．-b >-aC.a >-b >-a >bD.a >-b >b >-a【答案】D 【解析】【分析】根据题目信息，a +b >0，b <0，则可知0a >且a b >，在对内容排序即可【详解】因为a +b >0，b <0，则可知0a >且a b >，则a b b a >->>-，因此D 正确.故选：D.8.已知向量()(),1,1,2a b λλ=-=- ，若a b ⊥，则实数λ的值是（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据a b ⊥，由()()1120λλ⨯-+-⨯=求解.【详解】解：因为向量()(),1,1,2a b λλ=-=- ，且a b ⊥，所以()()1120λλ⨯-+-⨯=，解得2λ=，故选：D9.已知函数()()0,1xf x a a a =>≠的图象过点()2,9P ，则()1f -=（）A.3 B.-3C.13D.13-【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数的定义求底数，再计算函数值即可.【详解】由题意可知()()2293,3xf a a f x ==⇒==，所以()113f -=.故选：C10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ＝AD ＝2，13AA =，则四棱锥1D ABCD -的体积为（）A.3B.4C.6D.9【答案】B 【解析】【分析】根据长方体的特殊线面关系，结合棱锥体积公式求得结果.【详解】在长方体中，1DD ⊥底面ABCD ，则四棱锥1D ABCD -的体积为122343⨯⨯⨯=.故选：B11.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1sin 2a b A ===，则C =（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】B 【解析】【分析】根据正弦定理，即可求解.【详解】根据正弦定理sin sin a bA B =，即sin sin 1b A B a==，则π2B =，sin 2A =，a b <，则π4A =，所以π4C B A π=--=.故选：B12.若函数21y x kx =++的图象与x 轴没有交点，则k 的取值范围是（）A.()2,2- B.()2,+∞C.(),2-∞- D.()(),22,∞∞--⋃+【答案】A 【解析】【分析】利用二次函数的性质计算即可.【详解】由题意可知210y x kx =++=无解，即()2Δ402,2k k =-<⇒∈-.故答案为：A13.已知AB=(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅ =A.-3B.-2C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=- ，1BC == ，得3t =，则(1,0)BC = ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．14.在篮球选修课上，男、女生各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男、女生的投篮水平，则（）A.男生投篮水平比女生投篮水平高B.女生投篮水平比男生投篮水平高C.男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定D.男女同学投篮命中数的极差相同【答案】C 【解析】【分析】根据平均数和方差计算公式结合图表数据计算出x 男，x 女，2s 男，2s 女，然后进行比较即可求得结果.【详解】由图可知1(45286)55x =++++=男，1(53764)55x =++++=女，222222(45)(55)(25)(85)()14565s -+-+-⎡⎤==⎣++-⎦-男，2222221(55)(35)(75)(65)(45)25s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦女，所以x x =男女，22s s >男女，所以本次投篮练习中男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定，故选：C.15.向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分析容器的形状，结合匀速注水的条件可以直接得到答案.【详解】由于容器上粗下细，所以匀速注水的过程中，高度的增长会越来越慢，只有C 选项的图象符合条件，故选：C.16.函数()22log f x x =-零点所在的区间是（）A.()1,2 B.()2,4 C.()4,8 D.()8,16【答案】B 【解析】【分析】根据零点存在性定理，即可判断选项.【详解】函数()f x 在()0,∞+上单调递减，()120f =>，()2210f =->，()4220f =-<，()()240f f <，且函数单调递减，连续不断，所以函数的零点所在的区间是()2,4.故选：B17.从2名男生和2名女生中任选2人参加社区活动，那么互斥而不对立．．．．．．的两个事件是（）A.“恰有1名男生”与“全是男生”B.“至少有1名男生”与“全是女生”C.“至少有1名男生”与“全是男生”D.“至少有1名男生”与“至少有1名女生”【答案】A 【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念结合选项进行判断.【详解】对于A ，“恰有1名男生”与“全是男生”不能同时发生，但不一定必有其一发生，所以是互斥而不对立事件；对于B ，“至少有1名男生”与“全是女生”是对立事件；对于C ，“至少有1名男生”与“全是男生”能同时发生，所以不是互斥事件；对于D ，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”能同时发生，所以不是互斥事件；故选：A.18.如图，在长方形ABCD 中，6,4AB AD ==，点P 满足DP DC λ= ，其中20,3λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则PA PB+ 的取值范围是（）A.[]4,5B.[]8,10C.⎡⎣D.⎡⎤⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到()6,4P λ，20,3λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而求出PA PB +=，求出最值.【详解】以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,6,0,0,4,6,4A B D C ，设(),P s t ，因为DP DC λ=，所以()(),46,0s t λ-=，即6,4s t λ==，故()6,4P λ，20,3λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()6,466,4612,8PA PB λλλ+=--+--=--，则PA PB +=，因为20,3λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]6122,6λ-∈-，()[]26120,36λ-∈，故[]8,10PA PB +=.故选：B第Ⅱ卷(非选择题共46分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，满分16分，把答案填在题中的横线上)19.若a >0，则1a a+的最小值是___________.【答案】2【解析】【分析】利用基本不等式求解.【详解】解：∵a >0，∴12a a +≥=（当且仅当a =1时取“=”）.故答案为：220.某校高一年级有学生1000人，高二年级有学生800人，为制订学生课外活动方案，采用分层抽样的方法从两个年级分别抽取学生参加问卷调查，若从高一年级抽取学生50人，则应从高二年级抽取的学生人数是_______________.【答案】40【解析】【分析】根据分层抽样计算公式，即可求解.【详解】设高二年级抽取的学生人数为x ，则100050800x=，则40x =.故答案为：4021.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是___________.【答案】【解析】【分析】正方体外接球球心为其体对角线的中点，体对角线即为外接球的直径.【详解】设正方体棱长为a ，则2262442a a a =⇒=⇒=，根据正方体和球的对称性可知，正方体外接球球心为其体对角线的中点，其体对角线即为外接球的直径，设外接球半径为R ，则22(2)32R a R a =⇒==，∴外接球体积334433V R ππ==⋅=.故答案为：.22.在精准扶贫工作中，某单位帮助农户销售当地特色产品，该产品的成本是30元/千克，产品的日销售量P (千克)与销售单价x (元/千克)满足关系式()1623,30501122,5056x x P x x x -≤<⎧=⎨-≤≤⎩，要使农户获得日利润最大，则该产品销售单价x (元/千克)为_______________.【答案】42【解析】【分析】利用分段函数、二次函数的性质计算即可.【详解】由题意可知农户的日利润()()()()22342432,305030243338,5056x x W x P x x x ⎧--+≤<⎪=-⋅=⎨--+≤≤⎪⎩，由二次函数的单调性可知：若3050x ≤<，有42x =时，max 432W =；若5056x ≤≤，有50x =时，max 240432W =<；故42x =时，日利润取得最大值432.故答案为：42三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，满分30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)23.已知函数()sin 2f x x =.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）已知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2cos 2θ=，求()f θ的值.【答案】（1）π（2）1【解析】【分析】（1）根据周期公式求解即可；（2）先根据平方关系求得sin θ，进而结合二倍角的正弦公式求解即可.【小问1详解】函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.【小问2详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则212sin 1cos 122θθ=-=-=，所以()22sin 22sin cos 2122f θθθθ===⨯⨯=.24.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，ABC 为等边三角形，点D 为棱AB 的中点，3,2PA AB ==（1）求证:CD ⊥平面PAB ；（2）求三棱锥P BCD -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得PA CD ⊥，再根据线面垂直的判定定理即可得证；（2）根据棱锥的体积公式计算即可.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以PA CD ⊥，因为ABC 为等边三角形，点D 为棱AB 的中点，所以CD AB ⊥，又,,PA AB A PA AB ⋂=⊂平面PAB ，所以CD ⊥平面PAB ；【小问2详解】CD =13122BCD S =⨯= ，因为PA ⊥平面ABC ，所以1132P BCD BCD V PA S -=⋅=.25.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)0,0.1[)0.1,0.2[)0.2,0.3[)0.3,0.4[)0.4,0.5[)0.5,0.6[)0.6,0.7频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)0,0.1[)0.1,0.2[)0.2,0.3[)0.3,0.4[)0.4,0.5[)0.5,0.6频数151310165（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：0.35m的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于3（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）47.45m.【答案】（1）直方图见解析；（2）0.48；（3）3【解析】【分析】（1）根据题中所给的使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；（2）结合直方图，算出日用水量小于0.35的矩形的面积总和，即为所求的频率；（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得50天日用水量的平均值，作差乘以365天得到一年能节约用水m，从而求得结果.多少3【详解】（1）频率分布直方图如下图所示：（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=；因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48；（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m -⨯=．【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.。
2021-2022年高二数学上学期期中试题 文 新人教A版
2021年高二数学上学期期中试题文新人教A版一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )．A.x281＋y272＝1 B.x281＋y29＝1C.x281＋y245＝1 D.x281＋y236＝13．200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布图如图所示，则时速在的汽车大约有多少辆？（）A、 30B、 40C、 50D、 604．命题“存在实数，使”的否定是（）A．对任意实数，都有 B．不存在实数，使C．对任意实数，都有 D．存在实数，使5．一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字．若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是( )A、 B、34C、 D、586.下列说法错误的是（）A．如果命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题B．命题“若，则”的逆否命题是：“若，则”C．命题：存在，使，则：对任意的D．命题“存在，使”是真命题7. 双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．8．命题“（2x+1）（x-3）<0”的一个必要不充分条件是（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 9.曲线与曲线的（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等 10．在中，“B B A A sin cos sin cos +=+”是“”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则b 2＋13a的最小值为( )A.233B.33C ．2D ．112.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以710为概率的事件是 （ ）A ．恰有1件一等品B ．至少有一件一等品C ．至多有一件一等品D ．都不是一等品二、填空题：本大题共4小题, 每小题4分, 共16分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分。
2022-2023学年人教A版高二上数学期中考试(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学期中考试学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知集合，，则( )A.B.C.D.2. 函数的定义域为A.B.C.D.3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B.A ={x ∈Z||x|<5}B ={x|≥4}2x A ∩B =(2,5)[2,5){2,3,4}{3,4,5}y =12+x −x 2−−−−−−−−−√lg(2x −2)()(1,)∪(,4]3232(1,4][−3,4][−3,)∪(,4]3232434C.D.4. 乔家大院是我省著名的旅游景点，在景点的一面墙上，雕刻着如图所示的浮雕，很好地展现了我省灿烂辉煌的“晋商文化”．某陶艺爱好者，模仿着烧制了一个如图的泥板作品，但在烧制的过程中发现，直径为的作品烧制成功后直径缩小到．若烧制作品的材质、烧制环境均不变，那么想烧制一个体积为的正四面体，烧制前的陶坯棱长应为（ ）A.B.C.D.5. 命题：，的否定是( )A.，B.，C.，D.，6. “”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 下列命题中，真命题是（ ）A.函数＝的周期为B.，223(1)(2)12cm 9cm 18c 2–√m 36cm7cm8cm9cm∃>0x 0−−2>0x 20x 0∀x ≤0−x −2≤0x 2∃≤0x 0−−2≤0x 20x 0∀x >0−x −2≤0x 2∃>0x 0−−2≤0x 20x 0x <2lg(x −1)<0y sin |x |2π∀x ∈R >2x x 2C.“＝”的充要条件是“”D.函数＝是奇函数 8. 在中，角，，所对的边是，，，若，且，则等于( )A.B.C.D.9. 等比数列中，若，，则其前项的积为( )A.B.C.D.10. 瑞士数学家欧拉（）年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心﹑重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是( )．A.B.C.D.11. ""是"方程 表示的曲线为椭圆"的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件a +b 0y ln△ABC A B C a b c c ⋅cos B =b ⋅cos C cos A =23sin B 6–√63–√2130−−√6{}a n +=a 1a 294+=18a 4a 556481192243LeonhardEuler 1765△ABC A (−4,0),B (0,4)x −y +2=0C (2,0)(0,2)(−2,0)(0,−2)n >m >0+=1x 2m y 2n()D.既不充分也不必要条件12. 在四棱锥中，已知平面平面, 是以为底边的等腰三角形，是矩形，且，则四棱锥的外接球的表面积为 （ A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知异面直线，的方向向量分别为，，若异面直线，所成角的余弦值为，则的值为________.14. 设为等差数列的前项和，，则________，若，则使得不等式成立的最小整数________．15. 已知平面向量， ， ，若，则________．16. 已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 在直角坐标系中，以原点为圆心的圆与直线相切．（1）求圆的方程；（2）若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．18. 已知向量．（1）求向量与的夹角；（2）若，求实数的值． 19. 在平面四边形中，，，，．P −ABCD ABCD ⊥PAD △PAD AD ABCD AB =AP =2AD =2P −ABCD O )π12415π3115π25615π6415m n =(2,−1,1)a →=(1,λ,1)b →m n 6–√6λS n {}a n n +a 6a 7=1S 12=<0a 7<0S n n==(2,λ)a →=(−3,6)b →=(4,2)c →//a →b →(−)⋅=a →c →b →△ABC B C +=1x 23y 2A BC △ABC xOy O x −y −4=03–√O P(3,2)P O θλABCD ∠BAD =∠BCD =90∘AB =5BC =8AC =7(1)∠ADC求的大小；求的长度．20. 已知两直线：，，当为何值时，与，（1）相交，（2）平行，（3）重合，（4）垂直． 21. 已知命题：函数且 在定义域上单调递增；命题：不等式对任意实数恒成立.若为真命题,求实数的取值范围；若为真命题,求实数的取值范围.22. 已知数列的前项和为，且，，成等差数列．求数列的通项公式；数列满足，求数列的前项和．(1)∠ADC (2)CD L 1(m +3)x +5y =5−3m:2x +(m +6)y =8L 2m L 1L 2p y =(x +1)(a >0，log a a ≠1)q (a −2)+2(a −2)x +1>0x 2x (1)q a (2)“p ∧(¬q)”a {}a n n S n 2a n S n (1){}a n (2){}b n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n {}1b n n Tn参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中考试一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】据题意，分析可得，，，进而求其交集可得答案．【解答】解：集合，，则．故选．2.【答案】A【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据条件可得解不等式可得结果．【解答】解：由已知可根据条件可得解不等式可得.故选.A ={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}B ={x|x ≥2}A ={x ∈Z||x|<5}={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}B ={x|≥4}={x|x ≥2}2x A ∩B ={2,3,4}C 12+x −≥0x 22x −2>02x −2≠112+x −≥0,x 22x −2>0,2x −2≠1,{x |1<x ≤4且x ≠}32A3.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知，该几何体为正四棱锥，再求体积即可.【解答】解：由已知中几何体的三视图，可得该几何体为正四棱锥，且底面正方形边长为，高为，所以该几何体的体积为.故选.4.【答案】C【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】设烧制后正四面体的边长为，由题意得到，，求出，再利用烧制前后边长的变化，即可得到答案.【解答】解：设烧制后正四面体的边长为，由题意得到，，解得.∵在烧制的过程中发现，直径为 的作品烧制成功后直径缩小到．那么烧制前正四面体陶坯棱长为.故选.5.【答案】C【考点】21V =×2×2×1=1343A acm ==18V 正四面体2–√12a 32–√a acm ==18V 正四面体2–√12a 32–√a =612cm 9cm 6×=8cm 129C命题的否定【解析】命题 ， 为特称量词命题，其否定为全称量词命题，写出其否定即可.【解答】解：命题，为特称量词命题，所以其否定为全称量词命题，其否定为，.故选.6.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由，可得，再利用集合之间的包含关系求充分必要条件即可.【解答】解：由，可得，解得，因为，所以“”是“”的必要不充分条件.故选.7.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】分析函数的周期性，可判断；举出反例＝，可判断；根据充要条件的定义，可判断；分析函数的奇偶性，可判断．【解答】函数＝不是周期函数，故是假命题；当＝时＝，故是假命题；“＝”的必要不充分条件是“”，故是假命题；∃>0x 0−−2>0x 20x 0∃>0x 0−−2>0x 20x 0∀x >0−x −2≤0x 2C lg(x −1)<00<x −1<1lg(x −1)<00<x −1<11<x <2{x|x <2} {x|1<x <2}x <2lg(x −1)<0B A x 2B C D y sin |x |A x 22x x 2B a +b 0C函数＝＝的定义域关于原点对称，且满足＝，故函数是奇函数，即是真命题．8.【答案】D【考点】正弦定理两角和与差的正弦公式诱导公式半角公式【解析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式整理后得到，用表示出，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：在中，，利用正弦定理化简得：,即，∴，即，则.故选．9.【答案】D【考点】等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，得，解得，又，y f(x)ln (−2,2)f(−x)−f(x)f(x)D B =C A B △ABC c cos B =b cos C sin C cos B =sin B cos C sin C cos B −sin B cos C =sin(C −B)=0C −B =0C =B sin B =sin =cos =π−A 2A 21+cos A 2−−−−−−−−√=30−−√6D ==8+a 4a 5+a 1a 2q 3q =2+=+2=a 1a 2a 1a 1943所以，所以.故选.10.【答案】A,D【考点】三角形五心【解析】此题暂无解析【解答】解：设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为与直线的交点为∴，①由重心为，代入欧拉线方程，得，②由①②可得或.故选.11.【答案】A【考点】椭圆的定义必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：若方程表示的曲线为椭圆，则 ，，且，故" "是“方程"表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件.=a 134==×=243a 1a 2a 3a 4a 5a 51q 10()345210D C (x,y),AB y =−x △ABC x −y +2=0y =−x M (−1,1),MC|=,∴+=1010−−√(x +1)2(y −1)2A (−4,0),B (0,4),△ABC (,)x −43y +43x −y +2=0x −y −z =0x =2,y =0x =0,y =−2AD +=1x 2m y 2n m >0n >0m ≠n n >m >0+=1x 2m y 2nA故选.12.【答案】A【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，将四棱锥补为一个三棱柱，∵是以为底边的等腰三角形，，∴的外接圆的半径为，∴球的半径的平方，∴球的表面积为.故选.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角A P −ABCD PAD −QBC △PAD AD AP =2AD =2△PAD 415−−√O =+1=R 216153115O S =4π=R 2124π15A 76【解析】此题暂无解析【解答】略14.【答案】,【考点】等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】根据题意，由等差数列的前项和公式和性质可得＝＝，代入数据可得第一空答案，同理可得，即可得第二空答案．【解答】解：因为，所以；因为，所以，所以为递减数列，又，，所以.故答案为：；.15.【答案】【考点】平面向量的坐标运算平面向量数量积的运算【解析】根据，求得 ，进而求得的坐标，然后利用数量积求解．【解答】解：因为向量， ，且，613n S 12<0S 13+=1a 6a 7=6(+)=6S 12a 6a 7<0a 7>0a 6{}a n =6>0S 12=13<0S 13a 7=13n min 613−30//a →b →λ−a →c →=(2,λ)a →=(−3,6)b →//a →b →所以，所以.故答案为：．16.【答案】【考点】椭圆的定义【解析】设另一个焦点为，根据椭圆的定义可知，最后把这四段线段相加求得的周长．【解答】解：椭圆中，．设另一个焦点为，则根据椭圆的定义可知，．∴三角形的周长为：．故答案为：．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：（1）设圆的方程为，由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故，∴圆的方程是．（2）∵，∴点在圆外．显然，斜率不存在时，直线与圆相离．故可设所求切线方程为，即．又圆心为，半径，而圆心到切线的距离，即，∴或，故所求切线方程为或．【考点】直线与圆相交的性质圆的切线方程−=(−2,−6)a →c →(−)⋅=−30a →c →b →−3043–√F |AB |+|BF |=2a|AC |+|FC |=2a △ABC +=1x 23y 2a =3–√F |AB |+|BF |=2a =23–√|AC |+|FC |=2a =23–√|AB |+|BF |+|AC |+|FC |=43–√43–√+=x 2y 2r 2r ==244–√+=4x 2y 2|OP |==>29+4−−−−√13−−√P y −2=k(x −3)kx −y +2−3k =0O(0,0)r =2d ==2|2−3k |+1k 2−−−−−√|3k −2|=2+1k 2−−−−−√k =125k =012x −5y −26=0y −2=0（1）根据半径即为圆心到切线的距离求得半径的值，可得所求的圆的方程．（2）由题意可得点在圆外，用点斜式设出切线的方程，再根据圆心到切线的距离等于半径，求得斜率的值，可得所求切线方程．【解答】解：（1）设圆的方程为，由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故，∴圆的方程是．（2）∵，∴点在圆外．显然，斜率不存在时，直线与圆相离．故可设所求切线方程为，即．又圆心为，半径，而圆心到切线的距离，即，∴或，故所求切线方程为或．18.【答案】∵向量，∵这两个向量的夹角为，，则＝＝＝，∴＝．若，则（+）-•-，∴＝．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】..r P k +=x 2y 2r 2r ==244–√+=4x 2y 2|OP |==>29+4−−−−√13−−√P y −2=k(x −3)kx −y +2−3k =0O(0,0)r =2d ==2|2−3k |+1k 2−−−−−√|3k −2|=2+1k 2−−−−−√k =125k =012x −5y −26=0y −2=0θθ∈[0cos θθ⋅(λ+(λ−7)λ余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】解：（1）当时，直线方程为，方程为，显然两直线相交；当时，由解得，，所以，时直线与相交．（2）由（1）知当时，直线与相交；当时，由得（舍去），或，所以时直线与平行．（3）由得，所以时直线与重合．（4）由 得，所以时直线与垂直．【考点】两条直线平行的判定两条直线垂直的判定【解析】（1）两直线与相交；（2）两直线与平行；（3）两直线与重合；（4）两直线与垂直．【解答】解：（1）当时，直线方程为，方程为，显然两直线相交；当时，由解得，，所以，时直线与相交．m =−6L 1−3x +5y =23L 2x =4m ≠−6≠m +325m +6m ≠−1m ≠−8m ≠−1m ≠−8L 1L 2m =−6L 1L 2m ≠−6=≠m +325m +65−3m 8m =−1m =−8m =−8L 1L 2==m +325m +65−3m 8m =−1m =−1L 1L 22(m +3)+5(m +6)=0m =−367m =−367L 1L 2ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔≠(m ≠0,n ≠0)a m b n ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔=≠(m ≠0,n ≠0,d ≠0)a m b n c d ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔==(m ≠0,n ≠0,d ≠0)a m b n c d ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔am +bn =0m =−6L 1−3x +5y =23L 2x =4m ≠−6≠m +325m +6m ≠−1m ≠−8m ≠−1m ≠−8L 1L 2当时，由得（舍去），或，所以时直线与平行．（3）由得，所以时直线与重合．（4）由 得，所以时直线与垂直．21.【答案】解:因为命题为真命题，所以或得，即实数的取值范团是.因为 " "为真命题，故真假.因为命题:函数 在定义域上单调递增，所以 ，因为命题为假,由可知， 或 ，所以 即，所以实数的取值范围为 .【考点】复合命题及其真假判断【解析】此题暂无解析【解答】解:因为命题为真命题，所以或得，即实数的取值范团是.因为 " "为真命题，故真假.因为命题:函数 在定义域上单调递增，所以 ，因为命题为假,由可知， 或 ，所以 即，所以实数的取值范围为 .22.【答案】解：，，成等差数列，可得，m ≠−6=≠m +325m +65−3m 8m =−1m =−8m =−8L 1L 2==m +325m +65−3m 8m =−1m =−1L 1L 22(m +3)+5(m +6)=0m =−367m =−367L 1L 2(1)q a =2{a −2>0，Δ=4(a −2−4(a −2)×1<0，)22≤a <3[2,3)(2)p ∧(¬q)p q p y =(x +1)log a a >1q (1)a <2a ≥3{a <2或a ≥3，a >1，a ∈(1,2)∪[3,+∞)a (1,2)∪[3,+∞)(1)q a =2{a −2>0，Δ=4(a −2−4(a −2)×1<0，)22≤a <3[2,3)(2)p ∧(¬q)p q p y =(x +1)log a a >1q (1)a <2a ≥3{a <2或a ≥3，a >1，a ∈(1,2)∪[3,+∞)a (1,2)∪[3,+∞)(1)2a n S n 2=a n 2+S n化为，可得数列为首项为，公比为的等比数列，即有，.，，，即数列的前项和．【考点】等差中项数列的求和等比数列的通项公式【解析】（1）由题意可得＝，运用数列的递推式：当＝时，＝，时，＝，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；（2）求得＝＝，，，由数列的裂项相消求和，化简整理，可得所求和．【解答】解：，，成等差数列，可得，当时，，解得，时，，化为，可得数列为首项为，公比为的等比数列，即有，.，，，即数列的前项和．n n n−1n n−1=a n 2a n−1{}a n 22=a n 2n n ∈N ∗(2)=log 2a n =log 22n n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n =1+2+⋯+n =n(n +1)12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1{}1b n n =T n 2(1−+−+⋯+−)1212131n 1n +1=2(1−)=1n +12n n +12a n 2+S n n 1a 1S 1n ≥2a n −S n S n−1log 2a n log 22n n =n(n +1)b n 12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1(1)2a n S n 2=a n 2+S n n =1=a 1=S 12−2a 1=a 12n ≥2=a n −=S n S n−12−2−2+2a n a n−1=a n 2a n−1{}a n 22=a n 2n n ∈N ∗(2)=log 2a n =log 22n n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n =1+2+⋯+n =n(n +1)12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1{}1b n n =T n 2(1−+−+⋯+−)1212131n 1n +1=2(1−)=1n +12n n +1。
2022-2023学年人教A版高二上数学期中考试含答案及解析064336.pdf)
2022-2023学年高中高二上数学期中考试学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：95 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO 1，OO 2，OO 3，OO 4分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线．α≈16∘．则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为( )A.0∘B.1∘C.2∘D.3∘2. 若命题p:∀x ∈R ， x 2−x >0，则命题p 的否定是( )A.∀x ∈R ，x 2−x ≤0B.∃x ∈R ，x 2−x >0C.∃x ∈R ， x 2−x ≤0D.∃x ∈R ， x 2−x <03. 已知F 是双曲线C:x 2−y 28=1的右焦点，P 是C 左支上一点，A(0,6√6)，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为( )A.2√6B.4√6C.12√6D.8√64. 设函数f(x)=x 3+ax 2+bx +2，且f(1+x)+f(1−x)=2，则ab =( )A.−1B.2C.−3D.45. 已知抛物线C:y 2＝x ，M 为x 轴负半轴上的动点，MA ，MB 为抛物线的切线，A ，B 分别为切点，则→MA ⋅→MB 的最小值为（ ）A.−14B.−18C.−116D.−126. “直线ax +2y −1=0和直线x +(a +1)y +4=0平行”是“a =1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 过点A(1,4)，且横、纵截距的绝对值相等的直线的条数为（ ）A.1B.2C.3D.48. 已知倾斜角为45∘的直线l 过椭圆x 24+y 2=1的右焦点，则l 被椭圆所截的弦长是（）A.25B.45C.65D.859. 已知△ABC 的周长为10，且顶点B(−2,0)，C(2,0)，则顶点A 的轨迹方程( )A.x 29+y 25=1(y ≠0)B.x 25+y 29=1(y ≠0)C.x 26+y 24=1(y ≠0)D.x 24+y 26=1(y ≠0)10. 已知方程x 24−n 2+y 24+n 2=1表示椭圆，且该椭圆两焦点间的距离为4，则离心率e =（ ）A.√66B.√63C.√33D.√3211. 设直线x +2020y −1＝0的斜率为k ，则k ＝（ ）A.2020B.−2020C.12020D.−1202012. 已知双曲线ω：(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线ω上的一点，若∠F 1PF 2＝120∘，且△F 1PF 2外接圆与内切圆的半径之比为8:1，则双曲线ω的离心率为（ ） A. B. C.D.2卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13. （5分） 设F 1，F 2是双曲线x 2−y 2=4的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，过F 1作∠F 1PF 2平分线的垂线，垂足为M ，则点M 到直线x +y −3√2=0的距离的最大值是________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，P 是椭圆C 上任意一点，且点P 到椭圆C 的一个焦点的最大距离等于√2+1(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若过点M(2,0)的直线与椭圆C 相交于不同两点A ，B ，设N 为椭圆上一点，是否存在整数t ，使得t ⋅→ON =→OA +→OB （其中O 为坐标原点）？若存在，试求整数t 的所有取值；若不存在，请说明理由．15. 如图，光线从点 A(−4,1) 出发经过x 轴反射后恰好过点 B(1,4).(1)求反射光线l 所在的直线方程；(2)若反射光线l 与两坐标轴交于C,D 两点，点P 在圆 x 2+y 2−2x =0 上运动，求△PCD 的面积的最大值. 16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(−2,1)，P 是动点，且k OP +k OA ＝k PA ．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过A 作斜率为1的直线与轨迹C 相交于点B ，点T(0,t)(t >0)，直线AT 与BT 分别交轨迹C 于点A 1、B 1，设直线A 1B 1的斜率为k ，是否存在常数λ，使得t ＝λk ，若存在，求出λ值，若不存在，请说明理由． 17. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为：y =±√3x ，右顶点为(1,0)．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线y =x +m 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且线段AB 的中点为M(x 0,y 0)．当x 0≠0时，求y 0x 0的值．18. 已知抛物线C:y 2=2px(p >0)经过点P (12,√2) .(1)求抛物线C 的标准方程；(2)经过点A(−1,0)的直线l 与抛物线C 相切于点B （点B 在第一象限），O 是坐标原点，圆O 与直线l 相切于点E ，设→AE =λ→AB ，求实数λ的值． 19. 已知F 是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点，点M 在椭圆上， MF ⊥x 轴，|MF|=√2，椭圆的短轴长等于4．(1)求椭圆的标准方程；(2)设P 为直线l:x =3√2上一点，Q 为椭圆C 上一点，且以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，求|OP|2−16|OQ|2的取值范围．参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中考试一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】【解答】解：过O 3作x 轴平行线O 3E ，则∠OO 3E =α≈16∘．由五角星的内角为36∘，可知∠BAO 3=18∘，所以直线AB 的倾斜角为18∘−16∘=2∘．故选C ．2.【答案】C【考点】命题的否定全称命题与特称命题【解析】由全称命题的否定为特称命题，即可得出答案.【解答】解：由全称命题的否定为特称命题可知，命题p:“∀x ∈R ，x 2−x >0"的否定为“∃x ∈R ，x 2−x ≤0”.故选C.3.【答案】C【考点】双曲线的标准方程双曲线的定义【解析】利用双曲线的定义，确定△MNF 周长最小时，N 的坐标，即可求出△MNF 周长最小时，该三角形的面积【解答】解：双曲线C:x 2−y 28=1，∴左焦点为F 1(−3,0)，右焦点为F(3,0)，△APF 周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+(|PF 1|+2a)=|AF|+|AP|+|PF 1|+2a≥|AF|+|AF 1|+2a ，当且仅当A ，P ，F 1三点共线时，三角形周长最小．此时直线AF 1的方程为y =2√6x +6√6，代入双曲线方程中，可求得的纵坐标为2√6（负值舍去），∴△APF 周长最小时，该三角形的面积为12×6×(6√6−2√6)=12√6．故选C.4.【答案】C【考点】函数的对称性【解析】无【解答】解：因为f(1+x)+f(1−x)=2，所以函数f(x)=x 3+ax 2+bx +2的图象关于点(1,1)对称，所以函数f(x)=(x −1)3+k(x −1)+1=x 3−3x 2+(3+k)x −k ，所以a =−3，b =3+k ，−k =2，解得，a =−3，b =1，所以ab =−3．故选C ．5.【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】设切线MA 的方程为x ＝ty +m ，代入抛物线方程得y 2−ty −m ＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t 2+4m ＝0，分别求出A ，B ，M 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【解答】设切线MA 的方程为x ＝ty +m ，代入抛物线方程得y 2−ty −m ＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t 2+4m ＝0，则A(t 24,t2)，B(t 24,−t2)，将点A 的坐标代入x ＝ty +m ，得m =−t 24，∴M(−t 24,0)，∴→MA ⋅→MB =(t 22,t2)⋅(t 22,−t2)=t 44−t 24=14(t 2−12)2−116，则当t 2=12，即t ＝±√22时，→MA ⋅→MB 的最小值为−1166.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】本题的关键是弄清两直线平行的等价条件，再结合充分必要条件的判断【解答】解：充分性： 若“直线 ax +2y −1=0与直线 x +(a +1)y +4=0平行”，那么a(a +1)=2×1，所以a =1或a =−2.必要性：若a =1，那么直线x +2y −1=0与直线 x +2y +4=0显然是平行的.故“直线ax +2y −1=0和直线x +(a +1)y +4=0平行”是“a =1”的必要不充分条件.故选B.7.【答案】C【考点】各直线方程式之间的转化直线的截距式方程【解析】当截距为0时，设y ＝kx ，待定系数法求k 值，即得所求的直线方程；当截距不为0时，设 xa +ya =1，或xa +y−a =1，待定系数法求a 值，即得所求的直线方程．【解答】当截距为0时，设y ＝kx ，把点A(1,4)代入，则得k ＝4，即y ＝4x ；当截距不为0时，设 xa +ya =1，或 xa +y−a =1，过点A(1,4)，则得a ＝5，或a ＝−3，即x +y −5＝0，或x −y +3＝0这样的直线有3条：y ＝4x ，x +y −5＝0，或x −y +3＝0．8.【答案】D【考点】椭圆的定义和性质与椭圆有关的中点弦及弦长问题【解析】求出椭圆的焦点坐标，根据点斜率式设直线方程，与椭圆方程消去y ，利用根与系数的关系，根据弦长公式即可算出弦长．【解答】解：椭圆x 24+y 2=1，a =2，b =1，c =√a 2−b 2=√3，则椭圆的右焦点 (√3,0)，直线倾斜角为45∘，即斜率为1，设直线方程为y =x +m ，代入椭圆右焦点(√3,0)，解得： m =−√3，则直线方程为y =x −√3.设直线与椭圆两交点分别为A (x 1，y 1),B(x 2，y 2)，则{x 24+y 2=1，y =x −√3，整理得：54x 2−2√3x +2=0，由韦达定理可知：x 1+x 2=8√35，x 1x 2=85，由弦长公式可知l 被椭圆所截的弦长为|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2⋅√(8√35)2−4×85=85，∴|AB|=85．故选D ．9.【答案】A【考点】椭圆的定义轨迹方程【解析】由椭圆的定义求出a ，b ，再结合当A 与C ，B 共线时，A ，B ，C 三点不能围成三角形，故轨迹不含x 轴上的两点，得到顶点A 的轨迹方程为x 29+y 25=1(y ≠0).【解答】解：由题意知，|BC =4|，所以|AC|+|AB|=10−|BC|=6>|BC|，故动点A 在以B ，C 为焦点的椭圆上，且2a =6，2c =4，所以a =3，c =2，即a 2=9，c 2=4，从而b 2=a 2−c 2=5，当A 与B ，C 共线时，A ，B ，C 三点不能围成三角形，故轨迹不含x 轴上的两点，所以顶点A 的轨迹方程为x 29+y 25=1(y ≠0).故选A ．10.【答案】B【考点】椭圆的定义和性质椭圆的标准方程椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：因为方程x 24−n 2+y 24+n 2=1表示椭圆，所以a 2=4+n 2，b 2=4−n 2，所以c 2=a 2−b 2=4+n 2−(4−n 2)=2n 2，所以c =√2|n|，因为焦距为4，所以2c =2√2|n|=4，解得|n|=√2，所以a =√6，c =2，所以e =ca =2√6=√63，故选B ．11.【答案】D【考点】直线的斜率【解析】将直线方程化为斜截式，可得它的斜率．【解答】将直线方程化为斜截式，y =−12020x +12020，斜率为−12020．12.【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13.【答案】5【考点】双曲线的应用点到直线的距离公式直线与双曲线结合的最值问题直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，延长PF 2与直线F 1M 交于N ，连接OM ，可得|PF 1|=|PN|，|MF 1|=|MN|.又|F 1O|=|OF 2|，所以OM//F 2N ，OM =12F 2N ，所以|OM|=12|F 2N|=12(|PN|−|PF 2|)=12(|PF 1|−|PF 2|)=12×2a =2，故点M 的轨迹为以O 为圆心，2为半径的圆，所以点M 的轨迹方程为x 2+y 2=4，则圆心O 到直线x +y −3√2=0的距离为：d =|−3√2|√1+1=3，所以圆上一点到直线x +y −3√2=0的距离的最大值为：3+2=5，即点M 到直线x +y −3√2=0的距离的最大值是5.故答案为：5.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14.【答案】（1）由题知离心率为√22，所以a 2＝2b 2．又因为点P 到椭圆C 的一个焦点的最大距离等于√2+1，所以a +c =√2+1，所以b 2＝1，a 2＝2．故C 的方程为x 22+y 2=1（2）由题意知直线直线AB 的斜率存在．设AB 方程为y ＝k(x −2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x,y)，由y ＝k(x −2)代入x 22+y 2=1，得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−2＝0．△＝64k 2−4(2k 2+1)(8k 2−2)>0，∴k 2<12． x 1+x 2=8k 21+2k 2，x 1x 2=8k 2−21+2k 2，∵t ⋅→ON =→OA +→OB ，∴(x 1+x 2,y 1+y 2)＝t(x,y)．∴x =8k 2t(1+2k 2)，y =−4kt(1+2k 2)．∵点N 在椭圆上，∴[8k 2t(1+2k 2)]2+2•[−4kt(1+2k 2)]＝2，∴16k 2＝t 2(1+2k 2)，∴t 2=161k 2+2<4，∴−2<t <2．∴整数t 值为−1，0，1．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的定义【解析】(Ⅰ)由离心率为√22，可得a 2＝2b 2，代入点(0,−1)，可求解a ，b 的值，则椭圆方程可求；(Ⅱ)设出直线方程，和椭圆联立后化为关于x 的一元二次方程，由判别式大于0求出k 的范围，利用根与系数关系得到A ，B 两点的横坐标的和与积，代入t ⋅→ON =→OA +→OB 后得到P 点的坐标，把P 点坐标代入椭圆方程后得到t 与k 的关系，由k 的范围确定t 的范围，可得结论．【解答】（1）由题知离心率为√22，所以a 2＝2b 2．又因为点P 到椭圆C 的一个焦点的最大距离等于√2+1，所以a +c =√2+1，所以b 2＝1，a 2＝2．故C 的方程为x 22+y 2=1（2）由题意知直线直线AB 的斜率存在．设AB 方程为y ＝k(x −2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x,y)，由y ＝k(x −2)代入x 22+y 2=1，得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−2＝0．△＝64k 2−4(2k 2+1)(8k 2−2)>0，∴k 2<12． x 1+x 2=8k 21+2k 2，x 1x 2=8k 2−21+2k 2，∵t ⋅→ON =→OA +→OB ，∴(x 1+x 2,y 1+y 2)＝t(x,y)．∴x =8k 2t(1+2k 2)，y =−4kt(1+2k 2)．∵点N 在椭圆上，∴[8k 2t(1+2k 2)]2+2•[−4kt(1+2k 2)]＝2，∴16k 2＝t 2(1+2k 2)，∴t 2=161k 2+2<4，∴−2<t <2．∴整数t 值为−1，0，1．15.【答案】解：(1)由题可知：点 A(−4,1) 关于x 轴的对称点为 A ′(−4,−1)，所以直线l 的斜率为 k =1，所以直线l 的方程为 x −y +3=0 ；(2)由(1)可知： C(−3,0),D(0,3),∴|CD|=3√2.将圆 x 2+y 2−2x =0 化为标准方程为 (x −1)2+y 2=1,故圆心 (1,0) 到直线l 的距离为 d =4√2=2√2,所以P 到直线l 的最大距离为 2√2+1,所以 △PCD 的面积的最大值为S =12×3√2×(2√2+1)=12+3√22.【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题可知：点 A(−4,1) 关于x 轴的对称点为 A ′(−4,−1)，所以直线l 的斜率为 k =1，所以直线l 的方程为 x −y +3=0 ；(2)由(1)可知： C(−3,0),D(0,3),∴|CD|=3√2.将圆 x 2+y 2−2x =0 化为标准方程为 (x −1)2+y 2=1,故圆心 (1,0) 到直线l 的距离为 d =4√2=2√2,所以P 到直线l 的最大距离为 2√2+1,所以 △PCD 的面积的最大值为S =12×3√2×(2√2+1)=12+3√22.16.【答案】设P(x,y)，由题意可得k OP ＝，k OA ＝，k PA ＝，而k OP +k OA ＝k PA ．所以-＝，整理可得：x 2＝4y ，所以动点P 的轨迹C 的方程为：x 2＝4y(x ≠0且x ≠−2)；由题意直线AB 的方程为：y −1＝x +2，即y ＝x +3，代入曲线C 中可得x 2−4x −12＝0，解得x ＝6或x ＝−2，所以可得B(6,9)，直线AT 的方程为：y ＝x +t ，代入抛物线的方程：x 2−2(t −1)x −t ＝0，所以−2⋅x ＝−t ，所以x ＝，所以y ＝，所以A 1（，），直线BT 的方程为：y ＝x +t ，与抛物线联立x 2+x −t ＝0，所以6⋅x ＝−t ，所以x ＝-，y ＝，所以B 1(−，），由题意可得k ＝＝，所以t ＝3k ，由题意t ＝λk ，所以λ＝3．所以存在λ＝3满足条件．【考点】轨迹方程【解析】（1）设P 的坐标，可得直线OA ，OP ，PA 的斜率，由题意可得P 的轨迹C 的方程；（2）由题意可得直线AB 的方程，与轨迹C 的方程联立求出B 的坐标，进而求出直线AT ，BT 的方程，分别与曲线C 联立求出A 1，B 1的坐标，求出直线A 1B 1的斜率k 的表达式可得k 与t 的关系，进而可得常数λ的值满足条件．【解答】设P(x,y)，由题意可得k OP ＝，k OA ＝，k PA ＝，而k OP +k OA ＝k PA ．所以-＝，整理可得：x 2＝4y ，所以动点P 的轨迹C 的方程为：x 2＝4y(x ≠0且x ≠−2)；由题意直线AB 的方程为：y −1＝x +2，即y ＝x +3，代入曲线C 中可得x 2−4x −12＝0，解得x ＝6或x ＝−2，所以可得B(6,9)，直线AT 的方程为：y ＝x +t ，代入抛物线的方程：x 2−2(t −1)x −t ＝0，所以−2⋅x ＝−t ，所以x ＝，所以y ＝，所以A 1（，），直线BT 的方程为：y ＝x +t ，与抛物线联立x 2+x −t ＝0，所以6⋅x ＝−t ，所以x ＝-，y ＝，所以B 1(−，），由题意可得k ＝＝，所以t ＝3k ，由题意t ＝λk ，所以λ＝3．所以存在λ＝3满足条件．17.【答案】解：（1）双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为：y =±ba x ，则由题意得，ba =√3，a =1，解得b =√3，则双曲线的方程为：x 2−y 23=1；（2）联立直线方程和双曲线方程，得到，{y =x +mx 2−y 23=1，消去y ，得2x 2−2mx −m 2−3=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则判别式△=4m 2+8(m 2+3)>0，x 1+x 2=m ，中点M 的x 0=m2，y 0=x 0+m =32m ，则有y 0x 0=3．【考点】圆锥曲线的综合问题双曲线的标准方程【解析】（1）由双曲线的渐近线方程为：y =±ba x ，得到ba =√3，又a =1，即可得到双曲线的方程；（2）联立直线方程和双曲线方程，消去y ，得到x 的方程，再由判别式大于0，运用韦达定理，以及中点坐标公式，得到中点的横坐标，再由直线方程得到纵坐标，进而得到答案．【解答】解：（1）双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为：y =±ba x ，则由题意得，ba =√3，a =1，解得b =√3，则双曲线的方程为：x 2−y 23=1；（2）联立直线方程和双曲线方程，得到，{y =x +mx 2−y 23=1，消去y ，得2x 2−2mx −m 2−3=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则判别式△=4m 2+8(m 2+3)>0，x 1+x 2=m ，中点M 的x 0=m2，y 0=x 0+m =32m ，则有y 0x 0=3．18.【答案】解：(1)由题意，得抛物线C:y 2=2px(p >0)经过点P (12,√2)，则2p ×12=2，解得p =2，故抛物线C 的标准方程为y 2=4x ．(2)由题意可知，直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y =k(x +1)，联立{y =k(x +1)，y 2=4x ，整理，得k 2x 2+(2k 2−4)x +k 2=0，又直线l 与抛物线C 相切于点B （点B 在第一象限），则Δ=(2k 2−4)2−4k =0，解得k =1或k =−1（不符合题意，舍去），当k =1时，x 2−2x +1=0，解得x =1，则点B 的坐标为B(1,2)，∴|AB|=2√2．如图，连接OE ，则OE ⊥AB ，且△AOE 为等腰直角三角形，|AE|=|OE|=√22，∴|AB|=4|AE|，∴λ=14．【考点】抛物线的标准方程抛物线的性质直线与抛物线的位置关系圆锥曲线的综合问题抛物线的求解【解析】无无【解答】解：(1)由题意，得抛物线C:y 2=2px(p >0)经过点P (12,√2)，则2p ×12=2，解得p =2，故抛物线C 的标准方程为y 2=4x ．(2)由题意可知，直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y =k(x +1)，联立{y =k(x +1)，y 2=4x ，整理，得k 2x 2+(2k 2−4)x +k 2=0，又直线l 与抛物线C 相切于点B （点B 在第一象限），则Δ=(2k 2−4)2−4k =0，解得k =1或k =−1（不符合题意，舍去），当k =1时，x 2−2x +1=0，解得x =1，则点B 的坐标为B(1,2)，∴|AB|=2√2．如图，连接OE ，则OE ⊥AB ，且△AOE 为等腰直角三角形，|AE|=|OE|=√22，∴|AB|=4|AE|，∴λ=14．19.【答案】解：(1)由题意设F(c,0)，则M(c,y 0)，将点M(c,y)带入椭圆方程，解得y 0=b 2a ，则|MF|=|y 0−0|=b 2a =√2，2b =4，解得b =2，a =2√2，故椭圆的标准方程为x 28+y 24=1．(2)设P (3√2,t )，Q (x 1,y 1)，∵以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，∴→OP ⋅→OQ =0，即3√2x 1+ty 1=0，联立{3√2x 1+ty 1=0,x21+2y 21=8,得x 21=8t 2t 2+36，y 21=144t 2+36，∴|OP|2−16|OQ|2=18+t 2−16(x 21+y 21)=18+t 2−16(8t 2+144t 2+36)=t 2+2304t 2+36−110=t 2+36+2304t 2+36−146≥96−146=−50，当且仅当t 2+36=2304t 2+36=48，即t =±2√3时等号成立.综上，|OP|2−16|OQ|2≥−50．【考点】椭圆的标准方程基本不等式在最值问题中的应用圆锥曲线的综合问题【解析】无无【解答】解：(1)由题意设F(c,0)，则M(c,y 0)，将点M(c,y)带入椭圆方程，解得y 0=b 2a ，则|MF|=|y 0−0|=b 2a =√2，2b =4，解得b =2，a =2√2，故椭圆的标准方程为x 28+y 24=1．(2)设P (3√2,t )，Q (x 1,y 1)，∵以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，∴→OP ⋅→OQ =0，即3√2x 1+ty 1=0，联立{3√2x 1+ty 1=0,x21+2y 21=8,得x 21=8t 2t 2+36，y 21=144t 2+36，∴|OP|2−16|OQ|2=18+t 2−16(x 21+y 21)=18+t 2−16(8t 2+144t 2+36)=t 2+2304t 2+36−110=t 2+36+2304t 2+36−146≥96−146=−50，当且仅当t 2+36=2304t 2+36=48，即t =±2√3时等号成立.综上，|OP|2−16|OQ|2≥−50．。
2021-2022年高二数学上学期期中试题 文 新人教A版
2021-2022年高二数学上学期期中试题 文 新人教A 版（满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题（每小题5分，共60分） 1． 双曲线：的渐近线方程是（ ） A ． B ． C ． D ．2．抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝1，则实数a 的值为（ ）A 4BCD －4 3. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）A B C D4．设抛物线上一点P 到轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是（ ）A ．12B ．8C ．6D ．45． 若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等6. 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 15 C ．4 D. 177． 双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 28. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为4 3，则C 的方程为( )A. x 23＋y 22＝1B. x 23＋y 2＝1 C. x 212＋y 28＝1 D. x 212＋y 24＝19． 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A. x 25－y 220＝1B. x 220－y 25＝1C. 3x 225－3y 2100＝1D. 3x 2100－3y225＝110． 已知是抛物线上任意一点，则当点到直线的距离最小时，点与该抛物线的准线的距离是( )A ．2B ．1C ．D ．11．已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线线的方程为( )A ．B ．C ．D ．12．椭圆)320(112222<<=+b by x 与渐近线为的双曲线有相同的焦点,为它们的一个公共点,且,则椭圆的离心率为（ )A B C D 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 设双曲线C 的两个焦点为(－3,0)，(3,0)，一个顶点是(2，0)，则C 的方程为________． 14．与双曲线有共同的渐近线，且过点(－3,4)的双曲线方程是________.15．设抛物线C 1的方程为y ＝x 2，它的焦点F 关于原点的对称点为E ．若曲线C 2上的点到E 、F 的距离之差的绝对值等于6，则曲线C 2的标准方程为_______．16．已知椭圆+=1(a>b>0)与抛物线y 2=2px(p>0)有相同的焦点,P 、Q 是椭圆与抛物线的交点,若PQ 经过焦点F,则椭圆+=1(a>b>0)的离心率为 .三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．在等差数列中，.（1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和，求的值.18．在中，角所对的边分别为，且()()bc 3a c b a c b =++-+．（Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若成等比数列，试判断的形状． 19．（12）设焦点在轴上的双曲线渐近线方程为,且离心率为2，已知点A （） （1）求双曲线的标准方程；（2）过点A 的直线L 交双曲线于M,N 两点，点A 为线段MN 的中点，求直线L 方程。
安徽省合肥市重点中学2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题含解析
2023-2024学年第一学期安徽省合肥市重点中学期中联考试题高二数学（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.若直线l 的倾斜角α满足203πα<<，且2πα≠，则其斜率k 满足（）A.0k <<B.k >C.0k >或k <D.0k >或3k <-【答案】C 【解析】【分析】根据倾斜角和斜率关系可求斜率的范围.【详解】斜率tan k α=，因为203πα<<，且2πα≠，故tan 0α>或tan α<，即0k >或k <，故选：C.【点睛】本题考查倾斜角与斜率的关系，一般地，如果直线的倾斜角为θ，则当2πθ=时，直线的斜率不存在，当0,,22ππθπ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭时，斜率tan θk =.2.直线l 过点()1,2-且与直线2310x y -+=垂直，则l 的方程为（）A.3210x y +-=B.3270x y ++=C.2350x y -+=D.2380x y -+=【答案】A 【解析】【分析】求出直线l 的斜率，然后利用点斜式可写出直线l 的方程，化为一般式可得出答案.【详解】直线2310x y -+=的斜率为2233k =-=-，则直线l 的斜率为32-，因此，直线l 的方程为()3212y x -=-+，即3210x y +-=.故选：A.【点睛】本题考查垂线方程的求解，一般要求出直线的斜率，也可以利用垂直直线系方程来求解，考查计算能力，属于基础题.3.已知a ，b ，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）A.3a ，a b - ，2a b +B.2b ，2b a - ，2b a +C.a，2b ，b c- D.c ，a c + ，a c- 【答案】C 【解析】【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答.【详解】向量,,a b c是不共面的三个向量，对于A ，32()(2)a a b a b =-++ ，则向量3,,2a a b a b -+共面，A 不能构成空间基底；对于B ，2(2)(2)b b a b a =-++ ，则向量2,2,2b b a b a -+共面，B 不能构成空间基底；对于D ，2()()c a c a c =+-- ，则向量,,c a c a c +-共面，D 不能构成空间基底；对于C ，假定向量,2,a b b c -共面，则存在不全为0的实数12,λλ，使得122()a b b c λλ=+- ，整理得122(2)0a b c λλλ-++= ，而向量,,a b c 不共面，则有12210200λλλ=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，显然不成立，所以向量,2,a b b c -不共面，能构成空间的一个基底，C 能构成空间基底.故选：C4.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，向量11AB AD BD､､是（）A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量的概念和共面定理判断.【详解】如图所示：向量11AB AD BD､､显然不是有相同起点的向量，A 不正确；由该平行六面体不是正方体可知，这三个向量不是等长的向量，B 不正确.又因为1111AD AB B D BD -== ，所以11AB AD BD､､共面，C 正确，D 不正确.故选：C5.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为A .14米B.15米C.51 D.251米【答案】D 【解析】【详解】以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直直线为y 轴，建立直角坐标系，设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知可得：A （6，﹣2），设圆的半径为r ，则C （0，﹣r ），即圆的方程为x 2+（y +r ）2＝r 2，将A 的坐标代入圆的方程可得r ＝10，所以圆的方程是：x 2+（y +10）2＝100则当水面下降1米后可设A ′的坐标为（x 0，﹣3）（x 0＞0）代入圆的方程可得x 051=，所以当水面下降1米后，水面宽为251米．故选：D ．6.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且1AF AD mAB nAA =+-则m ，n 的值分别为()A.12，－12B.－12，－12C.－12，12D.12，12【答案】A 【解析】【分析】直接利用向量的线性运算化简得11122AF AD AB AA =++ ,比较系数得11,22m n ==-.【详解】由于11111()222AF AD DF AD DC DD AD AB AA =+=++=++，所以11,22m n ==-.故选：A【点睛】本题主要考查向量的线性运算和空间向量的基本定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7.四棱锥P ABCD -中，(2,1,3),(2,1,0),(3,1,4)AB AD AP =-=-=-，则这个四棱锥的高为（）A.55B.15C.25D.55【答案】A 【解析】【分析】求出平面ABCD 的法向量n ，计算法向量n与AP的夹角得出AP 与平面ABCD 的夹角，从而可求出P 到平面ABCD 的距离．【详解】解：设平面ABCD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则n AB n AD⎧⊥⎨⊥⎩，∴23020x y z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =可得2y =，0z =，即(1n =，2，0)，cos ,||||526n AP n AP n AP ∴<>==⨯，设AP 与平面ABCD 所成角为α，则sin α=，于是P 到平面ABCD的距离为||sin 5AP α= ，即四棱锥P ABCD -的高为5．故选：A ．【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题．8.已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）A.210x y --=B.210x y +-= C.210x y -+= D.210x y ++=【答案】D 【解析】【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据44PAM PM AB S PA ⋅== 可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d ==>，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.直线21y ax a =-+必过定点()21，B.直线3240x y -+=在y 轴上的截距为2-C.10y ++=的倾斜角为120D.若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为23-【答案】AC 【解析】【分析】直接利用直线的方程，直线的倾斜角和斜率之间的关系逐项判断即可得结论．【详解】对于A ：直线21y ax a =-+，整理得()12y a x -=-，所以该直线经过()2,1点，故A 正确；对于B ：直线3240x y -+=，令0x =，解得2y =，故直线在y 轴上的截距为2，故B 错误；对于C ：10y ++=，所以直线的斜率k =所以tan θ=，由于0180θ≤< 故120θ= ，故C 正确；对于D ：直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则()31v =-，，所以直线的斜率为13-，故D 不正确．故选：AC.10.已知()1,0,1a =r，()1,2,3b =-- ，()2,4,6c =- ，则下列结论正确的是（）A.a b⊥ B.b c∥C.,a c为钝角D.c 在a方向上的投影向量为()4,0,4【答案】BD 【解析】【分析】利用向量垂直，平行的坐标关系判断A ，B ，根据向量夹角公式判断C ，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D.【详解】因为()()11021340⨯-+⨯+⨯-=-≠，所以a ，b不垂直，A 错，因为2c b =- ，所以b c ∥，B 对，因为()1204168a c ⋅=⨯+⨯-+⨯=，所以cos ,0a c > ，所以,a c 不是钝角，C 错，因为c 在a方向上的投影向量()()28cos ,1,0,14,0,42a a c c a c a a a⋅⋅⋅===，D 对，故选：BD .11.圆C ：224630x y x y ++--=，直线:3470l x y --=，点P 在圆C 上，点Q 在直线l 上，则下列结论正确的是（）A.直线l 与圆C 相交B.||PQ 的最小值是1C.若P 到直线l 的距离为2，则点P 有2个D.从Q 点向圆C 引切线，则切线段的最小值是3【答案】BCD 【解析】【分析】对于A:求出圆心C 到直线l 的距离54d =>，即可判断直线与圆相离；对于B:利用几何法求出||PQ 的最小值，即可判断；对于C:设直线m 与l 平行，且m 到l 的距离为2.求出m 的方程，判断出直线m 与圆C 相交，有两个交点，即可判断；对于D:根据图形知,过Q 作QR 与圆C 相切于R ，连结CR .要使切线长最小，只需CQ 最小.利用几何法求出切线段的最小值，即可判断.【详解】对于A:由圆C ：224630x y x y ++--=，得圆C 的标准方程为()()222316x y +-=+，圆心()2,3C -到直线:3470l x y --=的距离54d==>，所以直线与圆相离.故A 错误；对于B:圆心()2,3C -到直线:3470l x y --=的距离5d =,所以||PQ 的最小值为541-=.故B 正确;对于C:设直线m 与l 平行，且m 到l 的距离为2.则可设:340m x y n -+=.()227234n +=+-，解得：3n =或17n =-.当3n =时，直线:3430m x y -+=，圆心()2,3C -到直线:3430m x y -+=()2261233434--+=<+-,所以直线m 与圆C 相交，有两个交点，且这两个点到直线l 的距离为1.当17n =-时，直线:34170m x y --=，圆心()2,3C -到直线:34170m x y --=的距离()22612177434---=>+-,所以直线m 与圆C 相离，不合题意.综上所述，圆上到直线l 的距离为1的点有且只有2个.故C 正确.对于D:根据图形知,过Q 作QR 与圆C 相切于R ，连结CR .则切线长22224QR CQ CR CQ =-=-要使切线长最小，只需CQ 最小.点Q 到圆心C 的最小值为圆心到直线的距离d =5,22543-=,故D 正确.故选：BCD12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中（）A.AC 与1BD 的夹角为60︒B.三棱锥11B ACD -外接球的体积为π2C.1AB 与平面1ACDD.点D 到平面1ACD 的距离为3【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法逐项判断即得．【详解】如图建立空间直角坐标系，则()()()()()111,0,0,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1,1,1A C B D B ，对于A ，()()11,1,0,1,1,1AC BD =-=--，则10AC BD ⋅= ，即1AC BD ⊥，所以AC 与1BD 的夹角为90︒，故A 错误；对于B ，三棱锥11B ACD -外接球与正方体1111ABCD A B C D -的外接球相同，又正方体1111ABCD A B C D -的外接球的直径等于体对角线的长，所以三棱锥11B ACD -外接球的半径为2，所以三棱锥11B ACD -外接球的体积为34π(π322V =⨯=，故B 正确；对于C ，设平面1ACD 的法向量为(),,m x y z = ，()()11,1,01,0,1AC AD =-=-，，所以100m AC x y m AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得到，1y z ==，则()1,1,1m = ，因为()10,1,1AB =，设1AB 与平面1ACD 所成角为α，则111sin cos ,AB m AB m AB m α⋅==3==，则3cos ,tan 3αα==，故C 正确；因为()1,0,0DA =，设点D 到平面1ACD 的距离为d ，则33DA m d m ⋅===，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0的最大值是____.【答案】＋3【解析】【详解】将方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0化为22(2)(1)9x y ++-=，表示以(2,1)-为圆心，半径为3的圆，=表示圆上的点与原点之间的距离，容易判断原点（0,0）在圆内，且原点与=，所以3+．点睛：本题主要考查圆内的点与圆上的点之间的距离最大值问题，属于中档题．本题注意数形结合，将代数问题转化为几何问题求解．14.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=︒，且13A A =，则1AC 的长为_________．【答案】5【解析】【详解】试题分析：因为，所以22221111A C A A AB AD 2A 22A AB A A AD AB AD =+++⋅+⋅+⋅，即，故．15.已知矩形ABCD ，1AB =，3BC =，沿对角线AC 将ABC 折起，若二面角B AC D --的大小为120︒，则B ，D 两点之间的距离为______.【答案】132【解析】【分析】过,B D 分别作,,BE AC DF AC ⊥⊥由题意可求得1,1,2AE CF EF ===由二面角B AC D --的大小为120︒，得到3·cos120,8EB FD EB FD ︒==- 再利用BD BE EF FD =++ 可求得结果.【详解】过,B D 分别作,,BE AC DF AC ⊥⊥1,3,2,AB BC AC ==∴=111···,222AB BC AC BE AC DF ==,2BE DF ∴==则1,1,2AE CF EF === 二面角B AC D --的大小为120︒,3·cos120,8EB FD EB FD ︒∴==-BD BE EF FD =++,22222()2·2·2·BD BE EF FD BE EF FD BE EF EF FD BE FD ∴=++=+++++ 3331314444=+++=,则2BD =,即,B D 两点间的距离为2.故答案为：2.16.瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC 的顶点()4,0-A ，()0,4B ，其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标可以是_________【答案】()2,0或()0,2-【解析】【分析】设(,)C x y ，依题意可确定ABC ∆的外心为(0,2)M ，可得出,x y 一个关系式，求出ABC ∆重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出,x y 另一个关系式，解方程组，即可得出结论.【详解】设(,),C x y AB 的垂直平分线为y x =-，ABC 的外心为欧拉线方程为20x y -+=与直线y x =-的交点为(1,1)M -，∴22||||(1)(1)10MC MA x y ==++-=①由()4,0-A ，()0,4B ，ABC 重心为44(,)33x y -+，代入欧拉线方程20x y -+=，得20x y --=②由①②可得2,0x y ==或0,2x y ==-.故答案为：()2,0或()0,2-.【点睛】本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形的外心与重心，考查逻辑思维能力和计算能力，属于较难题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知空间向量()2,4,2a =- ，()1,0,2b =- ，(),2,1c x =-．（1）若//a c，求c ；（2）若bc⊥，求cos ,a c 的值．【答案】（1；（2）66．【解析】【分析】（1）利用空间向量共线定理，列式求解x 的值，由向量模的坐标运算求解即可；（2）利用向量垂直的坐标表示，求出x 的值，从而得到()2,2,1c =--，由空间向量的夹角公式求解即可．【详解】解：（1）空间向量()2,4,2a =- ，()1,0,2b =- ，(),2,1c x =-，因为//a c ，所以存在实数k ，使得c ka =，所以22412x kk k =⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，解得1x =，则c ==．（2）因为bc⊥，则020b c x ⋅=-+-=，解得2x =-，所以()2,2,1c =--，故222412cos ,6a c a c a c -⨯+⨯+-⨯-⋅==．18.已知 ABC 的顶点()5,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 的边上的高BH 所在直线方程为250x y = --．（1）求顶点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程．【答案】（1）()4,3C（2）6590x y --=【解析】【分析】（1）设(),C m n ，利用点C 在AB 边上的中线CM 上和直线AC 与高线BH 垂直求解；（2）设(),B a b ，利用点B 在BH 上和AB 的中点M 在直线CM 上求解；【小问1详解】解：设(),C m n ，∵AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=．∴25011152m n n m --=⎧⎪-⎨⨯=-⎪-⎩，解得43m n =⎧⎨=⎩．∴()4,3C ．【小问2详解】设(),B a b ，则2505125022a b a b--=⎧⎪⎨++⨯--=⎪⎩，解得13a b =-⎧⎨=-⎩．∴()1,3B --．∴336415BC k +==+．∴直线BC 的方程为()6345y x -=-，即为6590x y --=．19.已知以点(1,1)C -为圆心的圆与直线:3440m x y ++=相切．（1）求圆C 的方程；（2）过点(2,3)P -的作圆C 的切线，求切线方程．【答案】（1）22(1)(1)1x y ++-=；（2）3460x y +-=和2x =-．【解析】【分析】（1）由点到直线距离公式得圆半径后可得圆方程；（2）分类讨论，检验斜率不存在的直线是否为切线，斜率存在时设出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径得结论．【小问1详解】由题意，圆半径不1r ==，所以圆方程为22(1)(1)1x y ++-=；【小问2详解】易知过P 点斜率不存在的直线2x =-是圆的切线，再设斜率存在的切线方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，1=，解得34k =-，直线方程为363044x y ---+=，即3460x y +-=．所以切线方程是3460x y +-=和2x =-．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =，E 为棱PD 的中点．（1）证明：AE CD ⊥；（2）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质与判定，证明CD ⊥平面PAD 即可；（2）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面夹角即可.【小问1详解】因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA CD ⊥.又ABCD 为正方形，故AD CD ⊥.又PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，故CD ⊥平面PAD .又AE ⊂平面PAD ，故AE CD ⊥.【小问2详解】以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立如图空间直角坐标系.设2AB AP ==，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()002P ,,，()0,1,1E .()0,1,1AE = ，()2,0,2BP =- ，()0,2,2DP =-.设平面PBD 的法向量(),,n x y z = ，则00n BP n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即220220x z y z -+=⎧⎨-+=⎩，设1x =则()1,1,1n = .设直线AE 与平面PBD 所成角为θ，则sin 3AE nAE nθ⋅==⋅uu u r ruu u r r.21.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，13DD =，2AD =，π3BCD ∠=，E 为棱1BB 上一点，1BE =，过A ，E ，1C 三点作平面α交1DD 于点G.（1）求点D 到平面1BC G 的距离；（2）求平面AEC 与平面BEC 夹角的余弦值.【答案】（1）5（2）4【解析】【分析】（1）如图所示建立空间直角坐标系，确定各点坐标，根据1AG AE AC λμ=+得到()0,0,2G ，确定平面1BC G 的法向量，再利用点到平面的距离公式计算得到答案.（2）确定平面AEC 与平面BEC 的法向量，再根据向量的夹角公式计算即可.【小问1详解】如图所示：取F 为AB 中点，ABCD 为菱形，π3BCD ∠=，则222π21221cos33DF =+-⨯⨯⨯=，故DF =，222DA DF AF =+，DF AB ⊥，以DF ，DC ，1DD 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则)1,0A-，)B，()0,2,0C，)E，()10,2,3C ，设()0,0,G a ，则1AG AE AC λμ=+，即()()()()0,2,1,32,3a λμμλμλ=+=++，故1323a μλμλ⎧=-⎪=+⎨⎪=+⎩，解得112a μλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故()0,0,2G ，设平面1BC G 的法向量为(),,n x y z =，则13020n BC y z n BG y z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1y =-，得到,1,23n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，点D 到平面1BC G 的距离为52303DB nn⋅==.【小问2详解】设平面AEC 的法向量为()1111,,n x y z ，则1111112030n AE y z n AC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11y =，得到)12n =-；设平面BEC 的法向量为()2222,,n x y z ，则2222200n BE z n BC y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取21x =，得到()2n =；平面AEC 与平面BEC夹角为锐角，余弦值为1212126cos ,4n n n n n n ⋅===⋅.22.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的圆心在直线x ＋y －3＝0上，圆C 经过点A (0，4)，且与直线3x －4y ＋16＝0相切．（1）求圆C 的方程；（2）设直线l 交圆C 于P ，Q 两点，若直线AP ，AQ 的斜率之积为2，求证：直线l 过一个定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）(x －3)2＋y 2＝25；（2）证明见解析，定点为(6,12)--.【解析】【分析】（1）由圆心在直线上，可设圆心坐标C (a ，3－a )，由圆心到切线的距离等于半径列方程解得a 后可得圆方程；（2）分类讨论，直线l 斜率不存在时，设()00,P x y ，()00,Q x y -，x 0≠0，由已知求出x 0，但此直线与圆无交点，不合题意；直线l 的斜率存在．设直线l 的方程y ＝kx ＋t (t ≠4)，()11,P x kx t +，()22,Q x kx t +，把已知2AP AQ k k ⋅=用坐标表示出来，记为①式，由直线与圆相交，直线方程与圆方程联立，消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入①式，得出,k t 的关系式，代入直线方程整理可得直线过定点的坐标．【详解】（1）因为圆心C 在直线x ＋y －3＝0上，所以设C (a ，3－a )，因为圆C 经过点A (0，4)，所以圆C 的半径r ＝AC，因为圆C 和直线3x －4y ＋16＝0相切，所以圆C 的半径r化简，得a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3．所以C (3，0)，半径r ＝5．所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝25．（2）若直线l 的斜率不存在，则可设()00,P x y ，()00,Q x y -，x 0≠0，所以(x 0－3)2＋y 02＝25，2000200044162AP AQy y y k k x x x ----⋅=⋅==，消去y 0得x 0＝－6，再代入(x 0－3)2＋y 02＝25，y 0不存在，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程y ＝kx ＋t (t ≠4)，()11,P x kx t +，()22,Q x kx t +，所以1212442AP AQ kx t kx t k k x x +-+-⋅=⋅=，整理得，()()()()2212122440k x x k t x x t -+-++-=①直线方程与圆C 方程联立，()22,325,y kx t x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩消去y 得()()222126160k x kt x t ++-+-=，所以122261kt x x k -+=-+，2122161t x x k -=+代入①得()()()()()()2222216426410k t k t kt t k -----+-+=，由于t ≠4，整理得6120k t --=，即612t k =-，所以直线l 的方程为612y kx k =+-，即()612y k x =+-，令60,12,x y +=⎧⎨=-⎩解得6,12,x y =-⎧⎨=-⎩--．所以直线l过一个定点，该定点坐标为(6,12)。
2023-2024学年合肥一中高二数学上学期期中考试卷附答案解析
2023-2024学年合肥一中高二数学上学期期中考试卷（试卷满分150分．考试用时120分钟）2023.11本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第一章、第二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若0AB <，0BC >，则直线0Ax By C --=不经过的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若点()1,1P 在圆22:20C x y x y k +---=的外部，则实数k 的取值范围是（）A ．(),1-∞-B ．5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．41,5⎛⎫-- ⎪⎝⎭3．已知O ，A ，B ，C 为空间中不共面的四点，且()1,3OP OA OB OC λμλμ=++∈R，若P ，A ，B ，C 四点共面，则函数()()[]()2311,2f x x x x λμ=-+-∈-的最小值是（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-4．已知()1,2,1A 是平面α内一点，()1,1,1n =--是平面α的法向量，若点()2,0,3P 是平面α外一点，则点P 到平面α的距离为（）A ．3B ．233C 3D ．235．已知点()1,3A -，()3,1B ，直线:20l mx y ++=与线段AB 有公共点，则实数m 的取值范围为（）A ．(][)1,5,∞-⋃-+∞B ．[]5,1-C ．(][),15,-∞-⋃+∞D ．[]1,5-6．已知圆22:8120C x y x +-+=，点P 在圆C 上，点()6,0A ，M 为AP 的中点，O 为坐标原点，则tan MOA∠的最大值为（）A ．612B ．7C ．64D ．637．如图，在四面体ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，CA CB ⊥，CA CB AD ==，E 为AB 的中点，F 为DB 上靠近B 的三等分点，则直线DE 与CF 所成角的余弦值为（）A ．32B ．2C ．15D ．168．已知圆()()22:349C x y -+-=和两点(),0A t ，()(),00B t t ->，若圆C 上至少存在一点P ，使得0PA PB ⋅<，则实数t 的取值范围是（）A ．()2,8B ．()2,+∞C ．()3,+∞D ．()1,3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如图，在四棱锥P ABCD -中，AP a = ，AB b = ，AD c = ，若PE ED = ，2CF FP =，则（）A ．1122BE a b c=-+ B ．221333BF a b c =-+ C ．212333DF a b c =+- D ．111636EF a b c=-+10．已知直线1:30l ax y a +-=，直线()2:2160l x a y +--=，则（）A ．当3a =时，1l与2l 的交点为()3,0B ．直线1l 恒过点()3,0C ．若12l l ⊥，则13a =D ．存在a ∈R ，使12l l ∥11．已知x 、y 满足226210x y x y +-++=，则（）A ．22x y +103-B ．1yx +的最大值为6247C ．2x y +的最小值为135-D ()()()2222313x y x y -+++-512．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为3，2AB =，空间中一点P 满足[]()1,0,1AP xAB y AA x y =+∈，则（）A ．若12x =，则三棱锥1P AAC -的体积为定值B ．若12y =，则点P 的轨迹长度为3C ．若1x y +=，则1PB的最小值为61313D ．若x y =，则点P 到BC 的距离的最小值为32三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l 过点()1,2，且在y 轴上的截距为在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程是.14．已知点()0,5A ，()1,2B -，()3,4C --，()2,D a 四点共圆，则=a .15．如图，已知二面角l αβ--的大小为60，A α∈，B β∈，,C D l ∈，,AC l BD l ⊥⊥且2==AC BD ，4CD =，则AB =.16．在ABC 中，顶点()2,3A ，点B 在直线:310l x y -+=上，点C 在x 轴上，则ABC 周长的最小值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知ABC 的三个顶点是()1,2A -，()2,2B -，()3,5C .(1)求边AC 上的高所在直线的方程；(2)求BAC ∠的角平分线所在直线的方程.18．已知圆()()22:119C x y -+-=.(1)直线1l 过点()2,0A -，且与圆C 相切，求直线1l的方程；(2)设直线2:3420l x y +-=与圆C 相交于E ，F 两点，点P 为圆C 上的一动点，求PEF !的面积S 的最大值.19．不同材质的楔形零配件广泛应用于生产生活中，例如，制作桌凳时，利用楔形木块可以防止松动，使构件更牢固.如图是从棱长为3的正方体木块中截出的一个楔形体ABCD MNPQ -，将正方体的上底面平均分成九个小正方形，其中,,,M N P Q 是中间的小正方形的顶点.(1)求楔形体的表面积；(2)求平面APQ 与平面BNQ 的夹角的余弦值.20．已知圆C 过()1,3M -，()1,1N 两点，且圆心C 在直线250x y +-=上.(1)求圆C 的方程；(2)设直线3y kx =+与圆C 交于A ，B 两点，在直线3y =上是否存在定点D ，使得直线AD ，BD 的倾斜角互补？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 为等边三角形，顶点P 在底面上的射影在正方形ABCD 外部，设点E ，F 分别为PA ，BC 的中点，连接BE ，PF .(1)证明：//BE 平面PDF ；(2)若四棱锥P ABCD -的体积为42，设点G 为棱PB 上的一个动点（不含端点），求直线AG 与平面PCD所成角的正弦值的最大值.22．已知点()4,0E -，()1,0F -，动点P 满足2PEPF=，设动点P 的轨迹为曲线C ，过曲线C 与x 轴的负半轴的交点D 作两条直线分别交曲线C 于点,A B （异于D ），且直线AD ，BD 的斜率之积为13-.(1)求曲线C 的方程；(2)证明：直线AB 过定点.1．A【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及纵截距，再判断正负即可得解.【详解】由0Ax By C --=，得A C y x B B =-，又0AB <，0BC >，则直线的斜率0A B <，在y 轴上的截距0CB -<，所以直线0Ax By C --=经过第二、三、四象限，不经过第一象限.故选：A 2．B【分析】由方程表示圆可得54k >-，再由点在圆外即可得1k <-，求得实数k 的取值范围是5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【详解】易知圆C 可化为()2215124x y k ⎛⎫-+-=+⎪⎝⎭，可得504k +>，即54k >-；又()1,1P 在圆C 外部，可得11120k +--->，解得1k <-；可得514k -<<-.故选：B.3．D【分析】根据点共面可得系数和为1，即可结合二次函数的性质求解最值.【详解】因为P ，A ，B ，C 四点共面，所以存在,R x y ∈，使得AP xAB yAC =+，故()()OP O x OB OA A Ay OC O --=-+ ,整理得()1OP OA x y OA xOB yOC-=--++ ，又()1,3OP OA OB OC λμλμ=++∈R，所以113x yx y λμ+=+⎧⎪⎨--=⎪⎩，所以23λμ+=，所以()()222112f x x x x =--=--，当1x =时，函数取最小值，且最小值为2-.故选:D.4．C【分析】根据点到平面的距离公式即可求出.【详解】由题意得()1,2,2AP =-，故点P 到平面α的距离333n AP d n⋅== ，故选：C.5．C【分析】先求出直线l 的定点，再求出,PA PBk k ，数形结合，得出结果.【详解】如图由题意知直线l 过定点()0,2P -，易求PA 的斜率()32510PA k --==---，PB 的斜率()12130PB k --==-，直线l 的斜率l k m=-，所以1m -≥或5m -≤-，即1m ≤-或5m ≥故选：C.6．A【分析】根据中点坐标公式结合相关点法可得M 的轨迹方程为()2251x y -+=，即可根据相切求解最值.【详解】由题意知圆C 的方程为()2244x y -+=，设()00,P x y ，(),M x y ，则006,20,2x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,所以0026,2,x x y y =-⎧⎨=⎩,又P 在圆C 上，所以()220044x y -+=，即()()2221024x y -+=，即M 的轨迹方程为()2251x y -+=.如图所示，当OM 与圆()2251x y -+=相切时，tan MOA ∠取得最大值，此时25126OM =-=，6tan 1226MOA ∠==，所以tan MOA ∠的最大值为612.故选:A7．D【分析】以A 为坐标原点，AC 为y 轴，AD 为z 轴，过A 垂直于平面CAD 的直线为x 轴建立空间直角坐标系（如图所示），设1CA =，求得11,,122DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，211,,333CF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据线线角的向量公式即可求解.【详解】以A 为坐标原点，AC 为y 轴，AD 为z 轴，过A 垂直于平面CAD 的直线为x 轴建立空间直角坐标系（如图所示），设1CA =，则()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1D ，11,,022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,,122DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()1,1,1BD =--，()1,0,0CB = ，所以1211,,3333CF CB BF CB ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭ .设直线DE 与CF 所成角的大小为θ，则1cos cos ,6DE CF DE CF DE CF θ⋅===.故选：D.8．B【分析】根据题意可知，圆C 与圆()2220:O x y t t +=>的位置关系为相交、内切或内含，利用圆心距和两圆半径之间的关系即可求得2t >.【详解】圆()()22:349C x y -+-=的圆心()3,4C ，半径为3r =，因为圆C 上至少存在一点P ，使得0PA PB ⋅<，则90APB ∠>︒，所以圆C 与圆()2220:O x y t t +=>的位置关系为相交、内切或内含，所以可得3OC t<+，又因为22345OC =+，所以53t <+，即2t >.即实数t 的取值范围是()2,+∞.故选：B.9．BC【分析】利用空间向量的基本定理可得出BE 、BF 、DE 、EF 关于{},,a b c的表达式.【详解】对于A 选项，()()1122BE PE PB PD PB AD AP AB AP=-=-=--- 11112222AP AB AD a b c =-+=-+，故A 错误；对于B 选项，()2233BF BC CF AD CP AD AP AC=+=+=+- ()22212213333333AD AP AB AD AP AB AD a b c=+--=-+=-+，故B 正确；对于C 选项，()()221212333333DF BF BD BF AD AB a b c c b a b c=-=--=-+--=+- ，故C 正确；对于D 选项，2211111133322636EF BF BE a b c a b c a b c⎛⎫⎛⎫=-=-+--+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故D 错误.故选：BC.10．ABC【分析】将3a =代入解得两直线交点坐标为()3,0可判断A ；令30,0,x y -=⎧⎨=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩可判断B ，由直线垂直的条件可判断C ，由直线平行的条件可判断D.【详解】对于A ，当3a =时，直线1:390l x y +-=，直线2:2260l x y +-=，联立390,2260,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩所以两直线的交点为()3,0，故A 正确；对于B ，直线()1:30l x a y -+=，令30,0,x y -=⎧⎨=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩即直线1l 恒过点()3,0，故B 正确；对于C ：若12l l ⊥，则()2110a a ⨯+⨯-=，解得13a =，故C 正确；对于D ，假设存在a ∈R ，使12l l ∥，则()120a a ⨯--=，解得2a =或1a =-，当2a =时，1:260l x y +-=，2:260l x y +-=，两直线重合，舍去，当1a =-时，直线1:30l x y --=，直线2:2260l x y --=，两直线重合，舍去，所以不存在a ∈R ，使12l l ∥，故D 错误.故选：ABC.11．BCD【分析】利用距离的几何意义结合圆的几何性质可判断AD 选项；设1yk x =+，可知直线0kx y k -+=与圆C 有公共点，利用直线与圆的位置关系求出k 的取值范围，可判断B 选项；设2x y t +=，可知直线20x y t +-=与圆C 有公共点，利用直线与圆的位置关系求出t 的取值范围，可判断C 选项.【详解】方程226210x y x y +-++=可变形为()()22319x y -++=，则方程226210x y x y +-++=表示的曲线是以()3,1C -为圆心，以3为半径的圆，对于A 选项，设点(),P x y ，则22x y +表示圆C 上的点P 到原点O 的距离的平方，因为()()2203019-++>，则原点O 在圆C 外，所以，()22min 3313103OP OC =-=+-=，当且仅当P 为线段OC与圆C 的交点时，OP取最小值，所以，22x y +的最小值为)210319610=-A 错误；对于B 选项，设1yk x =+，则0kx y k -+=，由题意知直线0kx y k -+=与圆C 有公共点，23131k kk ++≤+，即27880k k +-≤，解得46246277k ---+≤≤，即1yx +的最大值为6247，故B 正确；对于C 选项，设2x y t +=，即20x y t +-=，由题意知直线20x y t +-=与圆C 有公共点，3235t--≤，解得135135t -≤≤+，故2x y +的最小值为135-，故C 正确；因为()()22319x y -++=，()()()()22222231333x y x y x y -+++-=+-()223x y +-表示点P 到点()0,3M 的距离，因为()()2203319-++>，所以，()()22min 303313532MP MC =-=-++=-=，当且仅当点P 为线段MC 与圆C 的交点时，MP取最小值，()()()2222313x y x y -+++-325+=，故D 正确.故选：BCD.12．ACD【分析】A ：做出图像，由已知和选项找到点P 的位置，判断P 到平面1AA C的距离为定值，又1AA C△的面积为定值可求出；B ：作图找到点P 位置，判断轨迹长度即可；C ：由向量共线得到P 的位置，再点到直线的距离求1PB 最小值；D ：建系，用空间向量关系求出P 到BC 的距离，再用二次函数的性质求出最值.【详解】对A ，若12x =，分别作棱AB ，11A B 的中点D ，E ，连接DE ，则P 在线段DE 上，易知DE ∥平面1AA C ，故点P 到平面1AA C的距离为定值，又1AA C△的面积为定值，所以三棱锥1P AAC -的体积为定值，故A正确；若12y =，分别作1AA ，1BB 的中点M ，N ，则点P 的轨迹为线段MN ，易知2MN AB ==，故B 错误；若1x y +=，则1A ，P ，B 三点共线，即点P 在线段1A B 上，易求点1B 到1A B 的距离为1313，故1PB的最小值为61313，故C 正确；若x y =，则点P 在线段1AB上，易证DB ，DC ，DE 两两垂直，以D 为坐标原点，DB ，DC ，DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A -，()1,0,0B ，()3,0C ，()11,0,3A -，()11,0,3B ，所以()2,0,0AB =，()3,0AC =，()3,0BC =-，()10,0,3AA =，()()12,0,3AP x AB AA x x =+=，所以()22,0,3BP AP AB x x =-=-，所以1cos ,x BP BC BP-=，所以点P 到BC 的距离()222221191112631244x d BP x x x x BP ⎛⎫-⎛⎫ ⎪=-=--=-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以当14x =时，min 32d =，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：本体考查平面向量关系和空间立体几何的位置关系判定和体积，距离的求法，利用点到直线的距离和二次函数和建立空间直角坐标系解答，计算量大，属于比较难的试题.13．2y x =或240x y +-=【分析】当纵截距为0时，设直线方程为y kx =，代入点()1,2求得k 的值，当纵截距不为0时，设直线的截距式方程，代入点()1,2求解.【详解】①当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为y kx =，因为直线过点()1,2，所以2k =，所以直线l 的方程为2y x =；②当直线l 在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线l 在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为2a ，则直线l 的方程为12x y a a +=，又因为直线l 过点()1,2，所以1212a a +=，解得：2a =，所以直线l 的方程为124x y +=，即240x y +-=，综上所述：直线l 的方程为2y x =或240x y +-=，故答案为：2y x =或240x y +-=．14．1【分析】设出圆的一般方程，带入A ，B ，C 坐标，求出圆的方程，再带入点()2,D a 求出答案.【详解】设过A ，B ，C 的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，()2240D E F +->，则255052025340E F D E F D E F ++=⎧⎪+-+=⎨⎪--+=⎩，解得6215D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以过A ，B ，C 的圆的方程为2262150x y x y ++--=，又点D 在此圆上，所以24122150a a ++--=，即2210a a -+=，所以1a =，故答案为：115．25【分析】根据题意，得到AB AC CD DB =++ ，利用()22AB AC CD DB=++，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】因为二面角l αβ--的大小为60 ，所以AC 与DB 的夹角为120，又因为AB AC CD DB =++，所以()22222222AB AC CD DBAC CD DB AC CD CD DB DB AC=++=+++⋅+⋅+⋅ 1416400222202⎛⎫=+++++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以5AB = 故答案为：516．213【分析】拆线段之和最值问题，利用对称，将直线:310l x y -+=同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知.【详解】设A 关于直线l 的对称点为P ，关于x 轴的对称点为Q ，PQ 与l 的交点即为B ，与x 轴的交点即为C .如图，,P Q 两点之间线段最短可知，PQ 的长即为ABC 周长的最小值.设(),P x y ，则331,223310,22y x x y -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪⨯-+=⎪⎩解得2,519,5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即219,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，A 关于x 轴的对称点为()2,3Q -，故ABC 周长的最小值为222192321355PQ ⎛⎫⎛⎫=--++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：1317．(1)4320x y +-=(2)7130x y +-=【分析】（1）根据垂直满足的斜率关系，即可由点斜式求解直线方程，（2）根据两点距离可得三角形为等腰三角形，进而得中点坐标，根据两点斜率公式即可求解斜率.【详解】（1）设AC 边上的高所在直线的斜率为k ，直线AC 的斜率()523314AC k -==--，所以1AC k k ⋅=-，所以43k =-，故所求直线方程为()4223y x +=--，即4320x y +-=.（2）由题意得()22345AB =-+=，22435AC =+，所以5AB AC ==，则ABC 为等腰三角形，BC 的中点为53,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()32125712ADk -==---，由等腰三角形的性质知，AD 为BAC ∠的平分线，故所求直线方程为()1217y x -=-+，即7130x y +-=.18．(1)2x =-或4380x y ++=(2)82【分析】（1）分类讨论直线1l的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解；（2）根据垂径定理求弦长，结合圆的性质求面积最大值.【详解】（1）由题意得()1,1C ，圆C 的半径3r =，当直线1l 的斜率存在时，设直线1l的方程为()2y k x =+，即20kx y k -+=，由直线1l与圆C 21231k kk -+=+，解得43k =-，所以直线1l的方程为4380x y ++=；当直线1l 的斜率不存在时，直线1l的方程为2x =-，显然与圆C 相切；综上，直线1l的方程为2x =-或4380x y ++=.（2）由题意得圆心C 到直线2l 的距离22342134d +-=+，所以222312EF =-点P 到直线2l 的距离的最大值为314r d +=+=，则PEF !的面积的最大值()max 114248222S EF r d =⨯⨯+=⨯=.19．(1)10810+32626【分析】（1）由题意可知求出楔形体侧面等腰梯形的高即可求出表面积为10810+（2）以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量即可求出平面APQ 与平面BNQ的夹角的余弦值为32626.【详解】（1）易得该楔形体的上底面为边长为1的正方形，下底面是边长为3的正方形，侧面是等腰梯形，其上底面边长为1，下底面边长为3()223211 +=10，所以该楔形体的表面积为()1 113341310108102⨯+⨯+⨯+=+（2）以点D为坐标原点，分别以DA，DC，1DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()3,0,0A，()3,3,0B，()1,2,3P，()1,1,3Q，()2,2,3N，则()2,2,3AP=-，()2,1,3AQ=-，()1,1,3BN=--，()2,2,3BQ=--.设平面APQ的法向量为()1111,,n x y z=，平面BNQ的法向量为()2222,,n x y z=，则111111112230230AP n x y zAQ n x y z⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，解得1y=，令12z=，则13x=，，所以平面APQ的一个法向量为()13,0,2n=，同理得22221222302230BN n x y zBQ n x y z⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，解得2z=，令21x=，则21y=-；即平面BNQ的一个法向量为()21,1,0n=-.设平面APQ与平面BNQ的夹角为θ，则12123326cos26132n nn nθ⋅==⨯，所以平面APQ与平面BNQ的夹角的余弦值为32626.20．(1)()()22134x y -+-=(2)存在定点()3,3D -满足条件【分析】（1）先求MN 的中垂线所在直线方程，根据圆的性质求圆心和半径，即可得结果；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据题意可得()121220kx x kt x x -+=，联立方程，利用韦达定理运算求解.【详解】（1）由题意得MN 的中点E 的坐标为()0,2，直线MN 的斜率为1-，因为CE MN ⊥，所以直线CE 的斜率为1，所以直线CE 的方程为2y x -=，即2y x =+，解方程组2250y x x y =+⎧⎨+-=⎩得13x y =⎧⎨=⎩，故()1,3C ，所以圆C 的半径()()2211332r CM ==++-=，所以圆C 的方程为()()22134x y -+-=.（2）由()()223134y kx x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩消去y 整理得()221230k x x +--=，可得()241210k ∆=++>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12221x x k +=+，12231x x k =-+.（*）设(),3D t ，则113AD y k x t -=-，223BD y k x t -=-（AD k ，BD k 分别为直线AD ，BD 的斜率）.因为直线AD ，BD 的倾斜角互补，所以0AD BDk k +=，即121233y y x t x t--+=--，即()()()()1221330y x t y x t --+--=，即()121220kx x kt x x -+=，将（*）式代入得2262011k ktk k --=++，整理得()2301k t k +=+对任意实数k 恒成立，故30t +=，解得3t =-，故点D 的坐标为()3,3-.所以在直线3y =上存在定点()3,3D -满足条件..21．(1)证明见解析；(2)223.【分析】（1）取AD 的中点M ，利用线面平行的判定、面面平行的判定、性质推理即得.（2）利用给定体积求出锥体的高，以点M 为坐标原点建立空间直角坐标系，再利用线面角的向量求法求解即得.【详解】（1）取AD 的中点M ，连接EM ，BM ，如图，由E 为PA 的中点，得//EM PD ，而EM ⊄平面PDF ，PD ⊂平面PDF ，则//EM 平面PDF ，又//MD BF ，且MD BF =，即四边形BMDF 为平行四边形，则//MB DF ，又MB ⊄平面PDF ，DF ⊂平面PDF ，于是//MB 平面PDF ，显然MB EM M = ，,MB EM ⊂平面BEM ，因此平面//BEM 平面PDF ，又BE ⊂平面BEM ，所以//BE 平面PDF .（2）连接MF ，设该四棱锥的高为h ，则体积为2142233h ⨯⨯=，2h 连接PM ，则,PM AD FM AD ⊥⊥，,,FM PM M FM PM ⋂=⊂平面PMF ，于是AD ⊥平面PMF ，而AD ⊂平面ABCD ，则平面PMF ⊥平面ABCD ，在平面PMF 内过M 作Mz FM ⊥，而平面PMF 平面ABCD FM =，从而Mz ⊥平面ABCD ，显然,,MA MF Mz 两两垂直，以点M 为坐标原点，直线,,MA MF Mz 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系Mxyz ，则3PM =(0,2P -，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,2,0C -，()1,0,0D -，则(1,3,2PB =- ，(1,3,2PC =- ，()0,2,0DC = ，设()01PG PB λλ=<< ，则(),3,2PG λλλ=，点)(),321G λλλ--，)()1,321AG λλλ=---，设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z = ，则32020n PC x y z n DC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1z =，得()2,0,1n =- ，设直线AG 与平面PCD 所成的角为θ，则222222(1)61sin cos ,33(1)(31)2(1)331n AG n AG n AG θλλλλλ⋅=〈〉===⋅⋅-+-+--+令1t λ-=，则1t λ=-，且01t <<，因此222666sin 333311333313()24t t t t t θ===-+-+-+所以当23t =，即13λ=时，sin θ取得最大值，且最大值为223.22．(1)224x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据2PEPF=设点代入即可得到曲线C 的方程；（2）先考虑斜率存在的情况，设直线联立，得到AB 方程，进而得到AB 过定点，再考虑斜率不存在的情况，也得到AB 过该定点即可.【详解】（1）设(),P x y ，由2PEPF=，得2PE PF=()()2222421x y x y ++=++两边平方并化简，得曲线C 的方程为224x y +=.（2）由（1）得()2,0D -，设直线AD 、BD 的斜率分别为1k ，()212k k k >，如图所示，当AB 不垂直于x 轴时，设()1:2AD y k x =+，联立()22142x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，整理得()222211114440k x k x k +++-=，解得2x =-（舍）或2121221k x k -+=+，当2121221k x k -+=+时，21112211224211k k y k k k ⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭，所以2112211224,11k k A k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理得2222222224,11k k B k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，所以AB 的斜率()()()()()()122222122112222222121221221244414111222221121111ABk k k k k k k k k k k k k k k k k -+-+++==---+--+-++()()()()1221122121124414k k k k k k k k k k k k ---==+-+，因为1213k k =-，代入可得()1243AB k k k =-+，故AB 的方程为()2112211214224131k k y x k k k k ⎛⎫--=-- ⎪+++⎝⎭，即()()()()()()()2211112222121121211218148412443133131k k k k k y x x k k k k k k k k k k k -++=-++=-++++++++，()()()()1212124441,333x x k k k k k k =-+=--+++故AB 过定点()1,0；当AB x ⊥轴时，设()00,A x y ，则()00,B x y -，所以0012001223y y k k x x -=⋅=-++，即()220032y x =+，又因为2222000044x y y x +=⇒=-，代入可得20020x x +-=，解得01x =或02x =-（舍），所以((3,1,3A B -（或((1,3,3A B ），所以AB 的方程为1x =，过点()1,0.综上，直线AB 过定点()1,0T。
安徽省合肥一中高二数学上学期期中试卷 文(含解析)-人教版高二全册数学试题
2015-2016学年某某省某某一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中只有一个选项正确，请将正确的选项填入答题卡中，答错或不答不得分）1．下列结论中正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线2．已知A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为( )A．（﹣3，0，0） B．（0，﹣3，0） C．（0，0，﹣3） D．（0，0，3）3．直线2x﹣y+k=0与4x﹣2y+1=0的位置关系是( )A．平行 B．不平行C．平行或重合D．既不平行也不重合4．一个正方体内接于半径为R的球，则该正方体的体积是( )A．2R3B．πR3C．R3D．R35．圆心为C（6，5），且过点B（3，6）的圆的方程为( )A．（x﹣6）2+（y﹣5）2=10 B．（x﹣6）2+（y+5）2=10 C．（x﹣5）2+（y﹣6）2=10 D．（x﹣5）2+（y+6）2=106．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l7．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设圆中过点（2，5）的最长弦与最短弦为分别为AB、CD，则直线AB与CD的斜率之和为( )A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣28．已知不等式组表示的平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为( )A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=8 C．（x﹣4）2+（y﹣1）2=6 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=59．如图是一个几何体的三视图（侧试图中的弧线是半圆），则该几何体的体积是( )A．8+2πB．8+π C．8+πD．8+π10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A﹣BCD．则在三棱锥A﹣BCD中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC11．若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值X围是( )A． D．（﹣∞，﹣1]12．点P（x0，y0）在圆x2+y2=r2内，则直线和已知圆的公共点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．不能确定二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将每小题对的答案填在答题卡中，答错或不答不得分）13．设直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为α，则sinα=__________．14．若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心，则+的最小值是__________．15．在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2．将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为__________．16．已知正四面体ABCD的棱长为9，点P是三角形ABC内（含边界）的一个动点满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，则点P到面DCA的距离最大值为__________．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18-22，每题12分，共70分.请写出详细地解答步骤或证明过程）17．该试题已被管理员删除18．已知两直线x﹣2y+4=0和x+y﹣2=0的交点为P，直线l过点P且与直线5x+3y﹣6=0垂直．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求直线l关于原点对称的直线方程．19．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1；（3）求三棱锥D﹣PAC的体积．20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1﹣QC1D的体积．（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高）21．已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）某某数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．22．已知曲线C的方程为x2+y2﹣3x=0（＜x≤3）．（1）曲线C所在圆的圆心坐标；（2）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值X围；若不存在，说明理由．2015-2016学年某某省某某一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中只有一个选项正确，请将正确的选项填入答题卡中，答错或不答不得分）1．下列结论中正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；数学模型法；空间位置关系与距离；简易逻辑；立体几何．【分析】根据棱锥，圆锥的几何特征，逐一分析四个答案的真假，可得结论．【解答】解：正八面体的各个面都是三角形，但不是三棱锥，故A错误；以锐角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是两个圆锥形成的组合体，故B错误；正六棱锥圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母棱锥的侧棱长一定大于底面多边形的边长，故C错误；圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线，故D正确；故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了棱锥和圆锥的几何特征，熟练掌握棱锥和圆锥的几何特征，是解答的关键．2．已知A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为( )A．（﹣3，0，0） B．（0，﹣3，0） C．（0，0，﹣3） D．（0，0，3）【考点】两点间的距离公式．【专题】计算题．【分析】点M（0，0，z），利用A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M到A、B两点的距离相等，建立方程，即可求出M点坐标【解答】解：设点M（0，0，z），则∵A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M到A、B两点的距离相等，∴∴z=﹣3∴M点坐标为（0，0，﹣3）故选C．【点评】本题考查空间两点间的距离，正确运用空间两点间的距离公式是解题的关键．3．直线2x﹣y+k=0与4x﹣2y+1=0的位置关系是( )A．平行 B．不平行C．平行或重合D．既不平行也不重合【考点】方程组解的个数与两直线的位置关系．【专题】计算题．【分析】化简方程组得到2k﹣1=0，根据k值确定方程组解的个数，由方程组解得个数判断两条直线的位置关系．【解答】解：∵由方程组，得2k﹣1=0，当k=时，方程组由无穷多个解，两条直线重合，当k≠时，方程组无解，两条直线平行，综上，两条直线平行或重合，故选 C．【点评】本题考查方程组解得个数与两条直线的位置关系，方程有唯一解时，两直线相交，方程组有无穷解时，两直线重合，方程组无解时，两直线平行．4．一个正方体内接于半径为R的球，则该正方体的体积是( )A．2R3B．πR3C．R3D．R3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【专题】计算题；数形结合；函数思想；空间位置关系与距离．【分析】利用已知条件求出正方体的棱长，然后求解正方体的体积．【解答】解：一个正方体内接于半径为R的球，可知正方体的对角线的长度就是球的直径，设正方体的棱长为：a，可得=2R，解得a=．该正方体的体积是：a3=．故选：C．【点评】本题考查球的内接体，几何体的体积的体积的求法，正方体的对角线的长度就是球的直径是解题的关键．5．圆心为C（6，5），且过点B（3，6）的圆的方程为( )A．（x﹣6）2+（y﹣5）2=10 B．（x﹣6）2+（y+5）2=10 C．（x﹣5）2+（y﹣6）2=10 D．（x﹣5）2+（y+6）2=10【考点】圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】要求圆的方程，因为已知圆心坐标，只需求出半径即可，所以利用两点间的距离公式求出|BC|的长度即为圆的半径，然后根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：因为|BC|==，所以圆的半径r=，又圆心C（6，5），则圆C的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣5）2=10．故选A．【点评】此题考查学生灵活运用两点间的距离公式化简求值，会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程，是一道综合题．6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l【考点】平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．【解答】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．7．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设圆中过点（2，5）的最长弦与最短弦为分别为AB、CD，则直线AB与CD的斜率之和为( )A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率．【专题】计算题．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由（2，5）在圆内，故过此点最长的弦为直径，最短弦为与这条直径垂直的弦，所以由圆心坐标和（2，5）求出直线AB的斜率，再根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线CD的斜率，进而求出两直线的斜率和．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∴圆心坐标为（3，4），∴过（2，5）的最长弦AB所在直线的斜率为=﹣1，又最长弦所在的直线与最短弦所在的直线垂直，∴过（2，5）最短弦CD所在的直线斜率为1，则直线AB与CD的斜率之和为﹣1+1=0．故选A【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，直线斜率的计算方法，以及两直线垂直时斜率满足的关系，其中得出过点（2，5）最长的弦为直径，最短弦为与这条直径垂直的弦是解本题的关键．8．已知不等式组表示的平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为( )A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=8 C．（x﹣4）2+（y﹣1）2=6 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；圆的标准方程．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得【解答】解：由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：D【点评】本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了数形结合的思想，转化和化归的思想．9．如图是一个几何体的三视图（侧试图中的弧线是半圆），则该几何体的体积是( )A．8+2πB．8+π C．8+πD．8+π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体上半部分是正方体，下半部分是圆柱的一半，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图得，该几何体的上半部分是棱长为2的正方体，下半部分是半径为1，高为2的圆柱的一半，∴该几何体的体积为V=23+×π×12×2=8+π．故选：B．【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题．10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A﹣BCD．则在三棱锥A﹣BCD中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC【考点】平面与平面垂直的判定．【专题】证明题．【分析】由题意推出CD⊥AB，AD⊥AB，推出AB⊥平面ADC，可得平面ABC⊥平面ADC．【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°∴BD⊥CD又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC．故选D．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查逻辑思维能力，是中档题．11．若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值X围是( )A． D．（﹣∞，﹣1]【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；数形结合．【分析】将曲线方程变形判断出曲线是上半圆；将直线方程变形据直线方程的点斜式判断出直线过定点；画出图形，数形结合求出满足题意的k的X围．【解答】解：曲线即x2+y2=4，（y≥0）表示一个以（0，0）为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示：直线y=kx+4+2k即y=k（x+2）+4表示恒过点（﹣2，4）斜率为k的直线结合图形可得，∵解得∴要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值X围是故选B【点评】解决直线与二次曲线的交点问题，常先化简曲线的方程，一定要注意做到同解变形，数形结合解决参数的X围问题12．点P（x0，y0）在圆x2+y2=r2内，则直线和已知圆的公共点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．不能确定【考点】点与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】先利用点到直线的距离，求得圆心到直线x0x+y0y=r2的距离，根据P在圆内，判断出x02+y02＜r2，进而可知d＞r，故可知直线和圆相离．【解答】解：圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=r2的距离为d=∵点M（x0，y0）在圆内，∴x02+y02＜r2，则有d＞r，故直线和圆相离，直线与圆的公共点为0个故选A．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．考查了数形结合的思想，直线与圆的位置关系的判定．解题的关键是看圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将每小题对的答案填在答题卡中，答错或不答不得分）13．设直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为α，则sinα=．【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；函数思想；直线与圆．【分析】求出倾斜角的正切函数值，利用同角三角函数的基本关系式求解即可．【解答】解：直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为α，可得tanα=，α是锐角．即：=，又sin2α+cos2α=1，解得sinα=．故答案为：．【点评】本题考查直线的倾斜角与同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．14．若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心，则+的最小值是．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆的位置关系．【专题】不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程，得到ab关系式，然后通过”1“的代换利用基本不等式求解即可．【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2），所以直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆心，可得：a+b=1，+=（+）（a+b）=2+，当且仅当a=b=．+的最小值是：2．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，基本不等式求解函数的最值，考查转化思想以及计算能力．15．在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2．将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆锥，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：=．故答案为：．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键．16．已知正四面体ABCD的棱长为9，点P是三角形ABC内（含边界）的一个动点满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，则点P到面DCA的距离最大值为2．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】设动点P到面DAB、面DBC、面DCA的距离分别为h1，h2，h3，由正四面体ABCD的棱长为9，求出每个面面积S=，高h=3，由正四面体ABCD的体积得到h1+h2+h3=3，再由满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，能求出点P到面DCA的距离最大值．【解答】解：设动点P到面DAB、面DBC、面DCA的距离分别为h1，h2，h3，∵正四面体ABCD的棱长为9，每个面面积为S==，取BC中点E，连结AE．过S作SO⊥面ABC，垂足为O，则AO==3，∴高h=SO==3，∴正四面体ABCD的体积V==S（h1+h2+h3），∴h1+h2+h3=3，∵满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，∴h1+h2+h3=3h2=3，∴，h2+h3=2，∴点P到面DCA的距离最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查点到平面的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、正四面体性质等知识点的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18-22，每题12分，共70分.请写出详细地解答步骤或证明过程）17．该试题已被管理员删除18．已知两直线x﹣2y+4=0和x+y﹣2=0的交点为P，直线l过点P且与直线5x+3y﹣6=0垂直．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求直线l关于原点对称的直线方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；待定系数法求直线方程．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）联立方程组可得交点P的坐标，由垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可；（Ⅱ）由题意和对称性可得（0，﹣2）在要求的直线上，斜率为，同（Ⅰ）可得．【解答】解：（Ⅰ）联立方程组，解得，∴直线x﹣2y+4=0和x+y﹣2=0的交点P（0，2），又∵直线5x+3y﹣6=0的斜率为，∴直线l的斜率为，∴直线l的方程为y﹣2=（x﹣0），化为一般式可得3x﹣5y+10=0；（Ⅱ）由题意和对称性可得直线l上的点P（0，2）关于原点的对称点（0，﹣2）在要求的直线上，由对称可得要求的直线与l平行，故斜率也为，∴直线l关于原点对称的直线方程为y+2=x，化为一般式可得3x﹣5y﹣10=0【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及直线的对称性，属中档题．19．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1；（3）求三棱锥D﹣PAC的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）连接AC，BD，设AC∩BD=O，易证PO∥BD1，由线面平行的判定定理即可证得直线BD1∥平面PAC；（2）由于四边形ABCD为正方形，BD⊥AC，易证AC⊥平面BDD1，由面面垂直的判定定理即可证得平面PAC⊥平面BDD1；（3）由V D﹣PAC=V A﹣PDC即可求得三棱锥D﹣PAC的体积．【解答】解：（1）设AC∩BD=O，连接OP，∵O，P分别为BD，D1D中点，∴BD1∥OP…3′∵OP⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，∴BD1∥平面PAC…5′（2）∵D1D⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC…7′又AC⊥BD，D1D∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1…9′∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD1…10′（3）∵PD⊥平面ADC，∴V D﹣PAC=…14′【点评】本题考查直线与平面平行的判定与平面与平面垂直的判定，熟练掌握这些判定定理是解决问题的关键，考查学生转化与空间想象的能力，属于中档题．20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1﹣QC1D的体积．（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高）【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，根据直线和平面平行的判定定理可得直线l与平面A1BC平行．等腰三角形ABC中，根据等腰三角形中线的性质可得AD⊥BC，故l⊥AD．再由AA1⊥底面ABC，可得 AA1⊥l．再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l⊥平面ADD1A1 ．（Ⅱ）过点D作DE⊥AC，证明DE⊥平面AA1C1C．直角三角形ACD中，求出AD的值，可得 DE 的值，从而求得=的值，再根据三棱锥A1﹣QC1D的体积==••DE，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，由于直线l不在平面A1BC内，而BC在平面A1BC内，故直线l与平面A1BC平行．三角形ABC中，∵AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，∴AD⊥BC，∴l⊥AD．再由AA1⊥底面ABC，可得 AA1⊥l．而AA1∩AD=A，∴直线l⊥平面ADD1A1 ．（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，过点D作DE⊥AC，∵侧棱AA1⊥底面ABC，故三棱柱ABC﹣A1B1C为直三棱柱，故DE⊥平面AA1C1C．直角三角形ACD中，∵AC=2，∠CAD=60°，∴AD=AC•cos60°=1，∴DE=AD•sin60°=．∵===1，∴三棱锥A1﹣QC1D的体积==••DE=×1×=．【点评】本题主要考查直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．21．已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）某某数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．【专题】压轴题；直线与圆．【分析】（1）由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2，化简可得a，b间满足的等量关系．（2）由于 PQ==，利用二次函数的性质求出它的最小值．（3）设⊙P 的半径为R，可得|R﹣1|≤PO≤R+1．利用二次函数的性质求得OP=的最小值为，此时，求得b=﹣2a+3=，R取得最小值为﹣1，从而得到圆的标准方程．【解答】解：（1）连接OQ，∵切点为Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2．由已知PQ=PA，可得 PQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2．化简可得 2a+b﹣3=0．（2）∵PQ====，故当a=时，线段PQ取得最小值为．（3）若以P为圆心所作的⊙P 的半径为R，由于⊙O的半径为1，∴|R﹣1|≤PO≤R+1．而OP===，故当a=时，PO取得最小值为，此时，b=﹣2a+3=，R取得最小值为﹣1．故半径最小时⊙P 的方程为+=．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，圆的切线的性质，两点间的距离公式以及二次函数的性质应用，属于中档题．22．已知曲线C的方程为x2+y2﹣3x=0（＜x≤3）．（1）曲线C所在圆的圆心坐标；（2）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值X围；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）曲线C的方程为x2+y2﹣3x=0，整理得其标准方程，即可求出曲线C所在圆的圆心坐标；（2）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】解：（1）∵曲线C的方程为x2+y2﹣3x=0，整理得其标准方程为：（x﹣）2+y2=，∴圆C的圆心坐标为（，0）．（2）结论：当k∈∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：直线代入圆的方程，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值X围为∪{﹣，}．【点评】本题考查圆的方程、直线与曲线的位置关系问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2022-2023学年人教A版高二上数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 直线的倾斜角的取值范围是 A.B.C.D.2. 下列直线与直线平行的是( )A.B.C.D.3. 在中，为线段的中点，点在边上，且，与交于点，则（ ）A.B.C.D.x +(+1)y +1=0(a ∈R)a 2()[0,]π4[,π)3π4[0,]∪(,π)π4π2[,)∪[,π)π4π23π4x −2y +1=02x +y −1=0x +2y −1=02x −y −1=0x −2y −1=0△ABC D AC E BC =BE −→−13EC −→−AE BD O =AO −→−+25AB −→−45AC −→−AB +3515AC −→−+15AB −→−35AC −→−+25AB −→−25AC −→−:+=124. 已知为椭圆的左、右焦点，点在上，，则等于（ ）A.B.C.D.5. 垂直于直线且与圆相切于第三象限的直线方程是（ ）A.B.C.D.6. 已知直线与单位圆相交于，两点，且圆心到的距离为，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.7. 如图，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，且，点是的中点，则直线与侧面所成角的正切值的最小值是( )A.,F 1F 2C :+=1x 24y 2P C ∠P =F 1F 260∘⋅PF 1−→−PF 2−→−243234y =x −2+=1x 2y 2x +y +=02–√x +y −=02–√x +y +1=0x +y −1=0l O A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2O l 3–√2|+|+|+|x 1y 1x 2y 2[,]6–√26–√[,]3–√6–√[,]6–√23–√[,]2–√3–√ABC −A 1B 1C 1a b a ≥b D BC 1AD ABB 1A 1130−−−√13–√B.C.D.8. 如图，已知是双曲线的左、右交点，若直线与双曲线交于两点，且四边形是矩形，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.9. 到直线的距离为的直线方程是（ ）A.B.或C.D.或10. 已知圆：，则过点的圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )A.B.C.D.6–√33–√339−−√13，F 1F 2C ：−=1(a >0，b >0)x 2a 2y 2b 2y =x 3–√C P ，Q P O F 1F 25−25–√5+25–√+13–√−13–√3x −4y −1=023x −4y −11=03x −4y −11=03x −4y +9=03x −4y +9=03x −4y +11=03x −4y −9=0C (x −1+=25)2y 2P(2,−1)C 1031−−√1023−−√921−−√911−−√=1(m >6)2211. 已知椭圆的焦距为，则 A.B.C.D. 12. 能说明命题“若为无理数，则也是无理数”是假命题的反例是（ ）A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若直线和直线互相垂直，则的值为________.14. 椭圆的离心率是________．15. 已知点是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和．若圆心到直线的距离的最大值为，则实数________ .16. 已知，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆动时，的内心的轨迹方程为________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 17. 已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率．求椭圆的方程；一条不与坐标轴平行的直线与椭圆交于不同的两点，，且线段的中点的横坐标为，求直线的斜率的取值范围．18. 已知点在圆上．+=1(m >6)x 26y 2m2m =()37−−√37749x x 2x =−12–√x =+12–√x =32–√x =−3–√2–√ax +y +1=0x +a (a +1)y +1=0a +=1x 29y 24P l :y =x +m(m >0)P O :+=4x 2y 2A B O AB 2–√m =F 1F 2C :+=1x 24y 23P C △PF 1F 2I (0,−2)F 12–√(0,2)F 22–√e =22–√3(1)(2)l M N MN −12l (2,−3)C :+−8x +6y +m =0x 2y 2(1)求该圆的圆心坐标及半径长；过点，斜率为的直线与圆相交于，两点，求弦的长．19. 双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求其方程.20. 已知椭圆 经过一点，左、右焦点分别为，，是椭圆上一动点，当垂直于轴时，．求椭圆的标准方程；过点，斜率为的直线交椭圆于，两点，且为钝角（为坐标原点），求的取值范围． 21. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，平面平面，点、分别为、的中点．（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，并求出的值；若不存在，说明理由．22. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为且双曲线过点求双曲线的方程；若点 在双曲线上，（其中 ，求 的值．(1)(2)M (−1,1)−43l C A B AB +=1x 227y 236(,4)15−−√C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2(1,)3–√2F 1F 2P PF 2x |P |=F 212(1)C (2)F 1k l A B ∠AOB O k P −ABCD ABCD PA =PD PAD ⊥ABCD M N BC PA MN//PCD BD Q MNQ ⊥ABCD BQ DQ F 1F 22–√P(4,−)10−−√(1)(2)M (3,m)m <0)⋅MF 1−→−−MF 2−→−−参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】B【考点】直线的倾斜角【解析】由直线的方程得 斜率等于，由于 ，设倾斜角为 ，则 ，，求得倾斜角 的取值范围．【解答】解：直线的斜率等于，由于 ，设倾斜角为 ，则 ，，∴.故选．2.【答案】D【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】分别求出各条直线的斜率，然后利用平行直线的斜率关系即可求解.【解答】解：由题意，直线的斜率为，−1+1a 20>−≥−11+1a 2α0≤α<π−1≤tan α<0αx +(+1)y +1=0(a ∈R)a 2−1+1a 20>−≥−11+1a 2α0≤α<π−1≤tan α<0≤α<π3π4B x −2y +1=012A直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故正确.所以与平行的是.故选.3.【答案】B【考点】向量在几何中的应用【解析】设，，将分别用含有、的算式表示出来，根据向量相等得到关于、的方程组，解方程组得到、的值，即可表示出【解答】解：依题意，设，，则同理，所以 解得 2x +y −1=0−2A x +2y −1=0−12B 2x −y −1=02C x −2y −1=012D x −2y +1=0x −2y −1=0D =λBO −→−OD −→−=μAO −→−AE −→−||AO −→−λμλμλμAO−→−=λBO −→−BD −→−=μAO −→−AE −→−=μ=μ(+)AO −→−AE −→−AB −→−BE −→−=μ(+)AB −→−14BC −→−=μ[+(−)]=+AB −→−14AC −→−AB −→−3μAB −→−4μ4AC −→−=+=+λAO −→−AB −→−BO −→−AB −→−BD −→−=+λ(−)=+λ(−)AB −→−AD −→−AB −→−AB −→−12AC −→−AB −→−=(1−λ)+AB −→−λ2AC −→− =1−λ,3μ4=,μ4λ2 λ=25μ=45+−→−3−→−1−→−所以．故选．4.【答案】C【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】设点在椭圆上，则，在中，由余弦定理知，即，又，∴.．5.【答案】A【考点】点到直线的距离公式【解析】【解答】解：设所求方程为，圆心到直线的距离为，所以．故选．6.【答案】A【考点】直线与圆相交的性质=+AO −→−35AB −→−15AC −→−B P C |P |+|P |=4F 1F 2△PF 1F 24=|P +|P c 2F 1|2F 2|2−2|P |⋅|P |cos F 1F 260∘|P +|P −|P |⋅F 1|2F 2|2F 1|P |=12F 2|P +|P −|P |⋅|P |=F 1|2F 2|2F 1F 2(|P |+|P |−3|P |⋅|P |=12F 1F 2)2F 1F 2|P |F 1|P |=,⋅=F 243PF 1−→−PF 2−→−23y =−x +m(m <0)r ==1|m|2–√m =−2–√A直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】17.【答案】D【考点】直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，取中点，连接．过作于点，过点作交平面于点，连接.易知是的中位线，∴.平面平面，平面平面，平面，∴平面，则是直线与侧面所成的平面角.，平面，平面，∴平面.平面平面，∴∴四边形是平行四边形，，，BC E DE E EF ⊥AB F D DG //EF ABB 1A 1G AG,FG,AE DE △BCC 1DE//C //B C 1B 1∵AB ⊥B 1A 1ABC AB ∩B 1A 1ABC =AB EF ⊥AB ，∴EF ⊥AB .B 1A 1∵DG//EF DG ⊥ABB 1A 1∠DAG AD ABB 1A 1∵DE//BB 1DE ⊂ABB 1A 1B ⊂B 1ABB 1A 1DE//ABB 1A 1∵DEFG∩AB =FG B 1A 1DE//FG,DEFG ∴GD =EF =×BC =a 3–√2123–√4FB =×BC =a 121214F =a 3∴ .又，∴ .在中，．∴，得.∴，当且仅当时取等号.故直线与侧面所成角的正切值的最小值是.故选.8.【答案】C【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】B【考点】直线的一般式方程两条平行直线间的距离AF =a 34FG =DE =C =b 12C 112AG ==A +F F 2G 2−−−−−−−−−−√+(a)342(b)122−−−−−−−−−−−−−−√=+916a 214b 2−−−−−−−−−−√Rt △DAG tan ∠DAG =GD AG =a 3–√4+916a 214b 2−−−−−−−−−−√=a 3–√9+4a 2b 2−−−−−−−−√==3a 29+4a 2b 2−−−−−−−−√39+4b 2a 2−−−−−−− ∵a ≥b,≤b 2a 20<≤1b 2a 2tan ∠DAG =≥=39+4b2a 2−−−−−−− 39+4×1−−−−−−−−√39−−√13a =b AD ABB 1A 139−−√13D【解析】设到直线的距离为的直线方程是，由两平行线间的距离公式得，解方程求出值，即得所求的直线的方程．【解答】解：设到直线的距离为的直线方程是，由两平行线间的距离公式得，，或．∴到直线的距离为的直线方程是，或 ，故选．10.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据题意，为经过点的圆的直径，而是与垂直的弦．因此算出的长，利用垂直于弦的直径的性质算出长，根据四边形的面积公式即可算出四边形的面积．【解答】解：∵圆的方程为：，∴圆心坐标为，半径．∵是该圆内一点，∴经过点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．结合题意，得是经过点的直径，是与垂直的弦．∵，∴由垂径定理，得．因此，四边形的面积是．故选．11.【答案】C3x −4y −1=023x −4y +c =0=2|c +1|5c 3x −4y −1=023x −4y +c =0=2|c +1|5c =−11c =93x −4y −1=023x −4y −11=03x −4y +9=0B AC P BD AC PM BD ABCD (x −1+=25)2y 2M(1,0)r =5P(2,−1)P AC P BD AC |PM |=2–√|BD |=2=225−2−−−−−√23−−√ABCD S =|AC |⋅|BD |12=×10×2=101223−−√23−−√B椭圆的定义和性质【解析】【解答】解：依题意可得，则．故选.12.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用命题的否定四种命题间的逆否关系【解析】此题暂无解析【解答】解：、 ，是无理数，不符合题意；、 ，是无理数，不符合题意；、 ，是有理数，符合题意；、 ，是无理数，不符合题意；故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】或【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】=m −6=1c 2m =7C A ==3−2x 2(−1)2–√22–√B ==3+2x 2(+1)2–√22–√C ==18x 2(3)2–√2D ==5−2x 2(−)3–√2–√26–√C −20【解答】解：因为直线与直线互相垂直，所以，解得或．故答案为：或．14.【答案】【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】由题意得，所以，所以，则椭圆的离心率．【易错点拨易错点拨】在椭圆中有，在双曲线中有，注意区分记忆．本题考查椭圆的概念．15.【答案】【考点】直线与圆的位置关系圆的切线方程点到直线的距离公式【解析】【解答】解：连接，，，，如图，ax +y +1=0x +a (a +1)y +1=0a ×1+a (a +1)=0a =0a =−2−205–√3=9,=4a 2b 2=−=5c 2a 2b 2a =3,c =5–√e ==c a 5–√3=−c 2a 2b 2=+c 2a 2b 24OA OB OP AB设与相交于点，则被垂直平分，∵为圆的切线，∴，圆心到直线的距离为，在中，有，即，∴圆心到直线的距离最大时，最小，的最小值为 .又∵的最小值为圆心到直线的距离，∴，解得 . ∵，∴ .故答案为：.16.【答案】＝【考点】椭圆的离心率【解析】求得椭圆的，，，延长交轴于，设，，，设＝，＝，运用内角平分线定理和椭圆的定义，由代入法即可得到所求轨迹方程．【解答】椭圆的＝，，＝，延长交轴于，设，，，连接，，设＝，＝，则＝＝，＝，＝，由内角平分线定理可得，，可得，，由椭圆的焦半径公式可得：AB OP E AB OP AP O OA ⊥AP O AB OE Rt △OAP |OA =|OE|⋅|OP||2|OE|⋅|OP|==4r 2O AB OE OP |OP|22–√|OP|O y =x +m =2|m|2–√2–√|m|=4m >0m =44+3x 2y 21(y ≠0)a b c PI x M P(,)x 0y 0I(x,y)M(m,0)PF 1s PF 2t C :+=1x 24y 23a 2b =3–√c 1PI x M P(,)x 0y 0I(x,y)M(m,0)IF 1IF 2PF 1s PF 2t s +t 2a 4MF 1m +1MF 21−m =s t m +11−m ====2PI IM s m +1t 1−m s +t 2x =+2m x 01+2y ==y 01+2y 03，即，可得＝，＝，代入椭圆可得，即有＝，三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：根据题意，设椭圆的标准方程为，，，∵∴，，∴椭圆的标准方程为：．设直线的方程为，联立方程组整理，得，∴，化简，得，，，∵的中点的横坐标，∴，∴，可得，两边平方并整理得，，∴，又，∴，解得或（舍去），∴或，∴的取值范围为．【考点】=m +11−m 2+12x 02−12x 0m =14x 0x 02x y 03y +=14x 249y 23+3x 2y 21(y ≠0)(1)+=1y 2a 2x 2b 2(a >b >0)c ==2,−a 2b 2−−−−−−√2–√e ==,c a 22–√3a =3b =1+=1y 29x 2(2)l y =kx +b y =kx +b,+=1,y 29x 2(9+)+2kbx +−9=0k 2x 2b 2Δ=(2kb −4(9+)(−9)>0)2k 2b 2−+9>0k 2b 2+=−x 1x 22kb 9+k 2⋅=x 1x 2−9b 29+k 2MN −12(+)=−12x 1x 212+=−1x 1x29+=2kb k 2(9+=4k 2)2k 2b 2=b 2(9+k 2)24k 2−+9>0k 2b 2−+9>0k 2(9+k 2)24k 2>3k 2<−9k 2k <−3–√k >3–√k (−∞,−)∪(,+∞)3–√3–√椭圆的标准方程【解析】（1）首先，根据椭圆的焦点位置，设出其标准方程，然后，结合离心率求解其中参数，从而确定其标准方程；（2）设直线的方程，然后，联立方程组，消去一个未知量，转化成一元二次方程的思想求解．【解答】解：根据题意，设椭圆的标准方程为，，，∵∴，，∴椭圆的标准方程为：．设直线的方程为，联立方程组整理，得，∴，化简，得，，，∵的中点的横坐标，∴，∴，可得，两边平方并整理得，，∴，又，∴，解得或（舍去），∴或，∴的取值范围为．18.【答案】解：由题可知： ，解得，，所以圆的标准方程为，(1)+=1y 2a 2x 2b 2(a >b >0)c ==2,−a 2b 2−−−−−−√2–√e ==,c a 22–√3a =3b =1+=1y 29x 2(2)l y =kx +b y =kx +b,+=1,y 29x 2(9+)+2kbx +−9=0k 2x 2b 2Δ=(2kb −4(9+)(−9)>0)2k 2b 2−+9>0k 2b 2+=−x 1x 22kb9+k 2⋅=x 1x 2−9b 29+k 2MN −12(+)=−12x 1x 212+=−1x 1x 29+=2kb k 2(9+=4k 2)2k 2b 2=b 2(9+k 2)24k 2−+9>0k 2b 2−+9>0k 2(9+k 2)24k 2>3k 2<−9k 2k <−3–√k >3–√k (−∞,−)∪(,+∞)3–√3–√(1)+−8×2+6×(−3)+m =022(−3)2m =21C +=4(x −4)2(y +3)2即，则圆心到直线的距离为：，所以弦长．【考点】圆的一般方程圆的标准方程直线和圆的方程的应用点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知： ，解得，，所以圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径.由题意得，直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为：，所以弦长．19.【答案】解：由题意得：，．∵，∴．∴椭圆的焦点，．设双曲线方程为，∵点在曲线上，代入双曲线的方程可得或（舍）．∴双曲线的方程为．4x +3y +1=0C l d ==|4×4+3×(−3)+1|+4232−−−−−−√85|AB|=2=−r 2d 2−−−−−−√125(1)+−8×2+6×(−3)+m =022(−3)2m =21C +=4(x −4)2(y +3)2C (4,−3)r =2(2)l y −1=(−)(x +1)434x +3y +1=0C l d ==|4×4+3×(−3)+1|+4232−−−−−−√85|AB|=2=−r 2d 2−−−−−−√125=36a 2=27b 2=−=9c 2a 2b 2c =3(0,−3)F 1(0,3)F 2−=1y 2m x 29−m(，4)15−−√m =4m =36−=1y 24x 25双曲线的标准方程【解析】【解答】解：由题意得：，．∵，∴．∴椭圆的焦点，．设双曲线方程为，∵点在曲线上，代入双曲线的方程可得或（舍）．∴双曲线的方程为．20.【答案】解：∵椭圆 经过一点，∴①，又当垂直于轴时，，∴②，联立①②，解得，，故椭圆的标准方程为.由可知，椭圆的标准方程为，∴，∴，当直线斜率时，显然，不符合题意；当时，设直线，且，，则整理，得，∴，，∴.又为钝角，=36a 2=27b 2=−=9c 2a 2b 2c =3(0,−3)F 1(0,3)F 2−=1y 2m x 29−m (，4)15−−√m =4m =36−=1y 24x 25(1)C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2(1,)3–√2+=11a 234b 2PF 2x |P |=F 212=b 2a 12a =2b =1C +=1x 24y 2(2)(1)C +=1x 24y 2c =3–√(−,0)F 13–√k =0∠AOB =180∘k ≠0l :y =k (x +)3–√A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2 +=1，x 24y 2y =k (x +)，3–√(1+4)+8x +12−4=0k 2x 23–√k 2k 2+=−x 1x 283–√k 21+4k 2=x 1x 212−4k 21+4k 2=k (+)⋅k (+)y 1y 2x 13–√x 23–√=[+(+)+3]k 2x 1x 23–√x 1x 2=−k 21+4k 2∠AOB综上所述，的取值范围为．【考点】椭圆的定义和性质椭圆的标准方程椭圆的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：∵椭圆 经过一点，∴①，又当垂直于轴时，，∴②，联立①②，解得，，故椭圆的标准方程为.由可知，椭圆的标准方程为，∴，∴，当直线斜率时，显然，不符合题意；当时，设直线，且，，则整理，得，∴，，∴.又为钝角，k (−,0)∪(0,)211−−√11211−−√11(1)C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2(1,)3–√2+=11a 234b 2PF 2x |P |=F 212=b 2a 12a =2b =1C +=1x 24y 2(2)(1)C +=1x 24y 2c =3–√(−,0)F 13–√k =0∠AOB =180∘k ≠0l :y =k (x +)3–√A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2 +=1，x 24y 2y =k (x +)，3–√(1+4)+8x +12−4=0k 2x 23–√k 2k 2+=−x 1x 283–√k 21+4k 2=x 1x 212−4k 21+4k 2=k (+)⋅k (+)y 1y 2x 13–√x 23–√=[+(+)+3]k 2x 1x 23–√x 1x 2=−k 21+4k 2∠AOB综上所述，的取值范围为．21.【答案】【考点】与二面角有关的立体几何综合题直线与平面平行的判定【解析】【解答】22.【答案】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题双曲线的标准方程k (−,0)∪(0,)211−−√11211−−√11(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−此题暂无解析【解答】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴．(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−。
2022-2023学年人教A版高二上数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知集合，，则等于( )A.B.C.D.2. 中，点、、分别为、、的中点，则 A.B.C.D.3. 吃开河鱼，是北京人迎接春天的仪式．开河鱼又叫“活人参”，随着冰雪的消融，这个时间打捞上来的鱼，肉质极为鲜美滑嫩，并且营养价值极高．从河里打捞上来的条开河鱼的重量（单位：千克）分别为，，，，，则这组数据的中位数是________.A.B.C.D.4. 设，，则“”是“”的( )A.充要条件A ={x|<4}2xB ={x|y =}x −1−−−−−√A ∩B (2,+∞)[1,+∞)(1,2)[1,2)△ABC D E F AB BC CA −=(AF −→−DB −→−)FD−→−FC−→−FE−→−BE−→−61.58 1.43 1.63 1.85 1.71 1.67.1.631.671.641.65x >0y ∈R x >y x >|y |B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5. 从装有个红球和个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与至少有一个红球C.恰有一个黑球与恰有两个黑球D.至少有一个黑球与都是红球6. （理）在正方体中，点在上，且，则（ ）A.B.C.D.7. 定义在上的偶函数满足，且在区间上是增函数，若，是锐角三角形的两个内角，则( )A.B.C.D.8. 以和为端点的线段的中垂线方程是（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）22ABCD −A 1B 1C 1D 1E A 1C 1|E |=||A 114A 1C 1=x +y +z AE −→−AA 1−→−AB −→−AD −→−x =1,y =，z =1212x =，y =1，z =1212x =1,y =，z =1312x =1,y =，z =1414R f (x)f (x +2)=f (−x)[−3,−2]A B f (sin A)>f (cos B)f (sin A)<f (cos B)f (sin A)>f (sin B)f (cos A)>f (cos B)A(1,3)B(−5,1)AB 3x −y +8=0x −3y +8=03x +y +8=03x +y +4=09. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是 A.目标恰好被命中一次的概率为B.目标恰好被命中两次的概率为C.目标被命中的概率为D.目标被命中的概率为10. 已知函数 若，且，则下列结论正确的是( )A.B.C.D.11. 已知是边长为的等边三角形，，分别是， 上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是( )A.B.C.D.在方向上的投影为12. 已知动点在双曲线上，双曲线的左、右焦点分别为，，下列结论正确的是( )A.的离心率为B.的渐近线方程为1213()+1213×1213×+×122312131−×1223f(x)={−−2x ，x ≤0，x 2|x|，x >0，log 2<<<x 1x 2x 3x 4f()=f()=f()=f()x 1x 2x 3x 4+=−1x 1x 2=1x 3x 41<<2x 40<<1x 1x 2x 3x 4△ABC 2D E AC AB =AE −→−EB −→−=2AD −→−DC −→−BD CE O ⋅=−1AB −→−CE −→−+=OE −→−OC −→−0→|++|=OA −→−OB −→−OC −→−3–√2ED −→−BC −→−76P C:−=1x 2y 23C F 1F 2C 2C y =±x 3–√3C.动点到两条渐近线的距离之积为定值D.当动点在双曲线的左支上时，的最大值为卷II（非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 如图，已知正方形边长为，点，分别为线段，上一点，且，，为内一点（含边界），设（，为实数），则的最大值为________．14. 已知直线，直线．若直线的倾斜角为，则________；若，则两平行直线间的距离为________．15. 已知函数的图像恒过定点，若点在一次函数的图像上，其中，则的最小值是________．16. 已知棱长为的正方体的各顶点都在同一个球面上，则该球的体积为________四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 已知两直线与，求与间的距离．18. 已知甲袋中装有只白球，只黑球；乙袋中装有只白球，只黑球．在甲袋中任取球，求取出的两球颜色不同的概率；若在甲、乙两袋中各取一球，求取出的两球颜色相同的概率．19. 已知函数图象的对称中心到对称轴的最短距离为．将的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，其中点是函数图象的一个对称中心．求的解析式；若，且，求的值．20. 如图，在长方体中，底面是边长为的正方形．PP C|P|F1|PF2|214OABC3M N BC AB2BM=MC AN=NB P△BNM=λ+μOP−→−OA−→−OC−→−λμλ−μ13:ax+y−1=0l1:x−y−3=0l2l1π3a= //l1l2A A2:6x−8y−3=0l1:3x−4y+6=0l2l1l22423(1)2(2)f(x)=sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)π8f(x)2π3g(x)(,0)π12g(x)(1)g(x)(2)g(A)=6–√3<A<5π243π4cos2AABCD−A1B1C1D1ABCD2证明：平面；求异面直线与所成角的大小．21. 某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答．竞答分为必答题（共题）和选答题（共题）两部分．每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响．已知甲同学答对每道必答题的概率为，答对每道选答题的概率为.求甲恰好答对道必答题的概率；在选答阶段，若选择回答且答对奖励分，答错扣分，选择放弃回答得分．已知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为，试求甲同学在选答题阶段，得分的分布列． 22. 如图，在四棱锥中，，，且，，，和分别是棱和的中点．求证：；求直线与平面所成的角的正弦值．(1)//A 1C 1ACD 1(2)CD AD 1524525(1)4(2)52012X P −ABCD ∠PAB =90°AB //CD PB =BC =BD =6–√CD =2AB =22–√∠PAD =120∘E F CD PC (1)CD ⊥BF (2)PB PCD参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合，，然后进行交集的运算即可．【解答】解：，，所以．故选．2.【答案】D【考点】向量的减法及其几何意义【解析】本题考查的知识点是向量的减法及其几何意义，由、、分别为、、的中点，我们易得，然后根据图形分析答案中的四个变量，易求出与相等的向量，即可求出答案．【解答】解：如下图所示：A B A ={x|<4}={x|x <2}2x B ={x|y =}={x|x ≥1}x −1−−−−−√A ∩B ={x|1≤x <2}=[1,2)D D E F AB BC CA −==AF −→−DB −→−12BC −→−DF −→−DF −→−中，点、、分别为、、的中点则．故选．3.【答案】D【考点】众数、中位数、平均数、百分位数【解析】此题暂无解析【解答】解：将条开河鱼的重量按照从小到大的顺序排列为，，，，，1.，则中位数为.故答案为：.4.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】直接根据必要性和充分判断即可．【解答】解：设，，△ABC D E F AB BC CA−AF −→−DB −→−=−12AC −→−12AB−→−=(−)12AC −→−AB −→−===12BC −→−DF −→−BE −→−D 6 1.43 1.581.63 1.67 1.7185(1.63+1.67)=1.65121.65x >0y ∈R x >|y |当，时，满足，但不满足，故“”推不出“”，充分性不成立；而“”“”，必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件.故选.5.【答案】C【考点】互斥事件与对立事件【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【解答】对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴不正确对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴不正确对于：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴正确对于：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴不正确6.【答案】D【考点】空间向量的基本定理及其意义【解析】利用向量的加减运算，借助于空间向量的基本定理，空间任意一个向量都可用不共面的基向量唯一表示可求．【解答】解：由题意，，故选．7.【答案】x =1y =−1x >y x >|y |x >y x >|y |x >|y |⇒x >y x >y x >|y |C A A B B C C D D =+=+=+(+)AE −→−AA 1−→−E A 1−→−AA 1−→−14A 1C 1−→−−AA 1−→−14AB −→−AD −→−DB【考点】函数的周期性运用诱导公式化简求值函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】【解答】解：因为偶函数满足，所以，即函数是周期为的函数，又在区间上是增函数，所以在区间上是增函数，因为偶函数关于轴对称，所以在区间上是减函数；又，是锐角三角形的两个内角，所以即，因此，即，所以 .故选．8.【答案】D【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系直线的一般式方程【解析】先求出线段的中垂线的斜率，再求出线段的中点的坐标，点斜式写出的中垂线得方程，并化为一般式．f (x)f (x +2)=f (−x)f (x +2)=f (−x)=f (x)f (x)2f (x)[−3,−2]f (x)[−1,0]y f (x)[0,1]A BA +B >，π20<A <，π20<B <，π20<−B <A <π2π20<sin(−B)<sin A <1π20<cos B <sin A <1f (sin A)<f (cos B)B AB AB AB【解答】解：直线的斜率为，所以线段的中垂线得斜率，又线段的中点为，所以线段的中垂线得方程为即，故选：．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,D【考点】相互独立事件【解析】①目标恰好被命中一次即是：甲中而乙不中，乙中而甲不中，再依据结论：若，相互独立，则，即可得到正确结论；②目标恰好被命中两次表示甲中并且乙中，再依据结论，即可得到正确结论；③目标被命中包括恰好被命中一次，恰好被命中两次，再依据结论，即可；④结合题意，目标没命中为目标被命中的对立事件，依据结论：若，相互对立，则，即可得到正确结论．【解答】解：由题意知，甲、乙两人射击是否命中目标相互独立．目标恰好被命中一次的概率为，故错误；由于目标恰好被命中两次，则两人全部命中，其概率为，故正确；由于目标被命中包括恰好被命中一次，恰好被命中两次，则其概率为，故错误；由于目标没命中的概率是，则目标被命中的概率为，故正确．故答案为．10.【答案】B,C,D【考点】分段函数的应用函数的图象AB =1−3−5−113AB k =−3AB (−2,2)AB y −2=−3(x +2)3x +y +4=0D A B P(AB)=P(A)⋅P(B)A B P(A)=1−P(B)×(1−)+×(1−)12131312×1213×(1−)+×(1−)+×121313121213(1−)×(1−)=×121312231−×1223BD【解析】此题暂无解析【解答】解：画出函数的大致图象如下图，得出，，故错误，正确；由图可知，故正确；因为，，所以，故正确．故选．11.【答案】B,C,D【考点】向量的模向量的加法及其几何意义平面向量数量积向量的投影【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知，为中点，则，如图，以为原点，，分别为轴， 轴正方向建立平面直角坐标系．f(x)+=−2x 1x 2=1x 3x 4A B 1<<2x 4C −2<<−1x 1=(−2−)x 1x 2x 1x 1=−−2=−(+1+1∈(0,1)x 21x 1x 1)2=∈(0,1)x 1x 2x 3x 4x 1x 2D BCD E AB CE ⊥AB E EA EC x y所以，，，，.设，，因为，，而，所以 ，解得，所以，所以是的中点.选项， ，所以，故选项错误；选项，因为是的中点，所以，故选项正确；选项， ，所以，故选项正确；选项， ，，所以在方向上的投影为：，故选项正确．故选．12.【答案】A,C【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率基本不等式在最值问题中的应用点到直线的距离公式E (0,0)A (1,0)B (−1,0)C (0,)3–√D (,)1323–√3O (0,y)y ∈(0,)3–√=(1,y)BO −→−=(−,y −)DO −→−1323–√3//BO −→−DO −→−y −=−y 23–√213y =3–√2O(0,)3–√2O CE A ⊥AB −→−CE −→−⋅=0AB −→−CE −→−A B O CE +=OE −→−OC −→−0→B C ++=2+=OA −→−OB −→−OC −→−OE −→−OC −→−OE −→−|++|=||=OA −→−OB −→−OC −→−OE −→−3–√2C D =(,)ED −→−1323–√3=(1,)BC −→−3–√ED −→−BC −→−==⋅ED −→−BC −→−|BC|+213276D BCD【解析】此题暂无解析【解答】解：对于双曲线 ，，，，∴双曲线的离心率为，渐近线方程为，故选项正确，选项错误；设点的坐标为，则，双曲线的两条渐近线方程分别为：和，则点到两条渐近线的距离之积为： ，故选项正确；当动点在双曲线的左支上时， ，，，当且仅当时，等号成立，所以，的最大值为，故选项错误．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】向量在几何中的应用【解析】如图，以为轴，以为轴，建立直角坐标系，表示各点的坐标，根据向量的坐标运算得到，构造目标函数，利用可行域即可求出最值．【解答】C :−=1x 2y 23a =1b =3–√c =2C e ==2cay =±x 3–√A B P (,)x 0y 0−=1x 20y 203C x −y =03–√3x +y =03–√3P |−||+|x 03√3y 0x 03√3y 01+()3√32−−−−−−−−−√1+(−)3√32−−−−−−−−−−√==|−|x 20y 2034334C P C |P |≥c −a =1F 1|P |=2a +|P |=|P |+2F 2F 1F 1|P |F 1|PF 2|2=|P |F 1(|P |+2)F 12=|P |F 1|P +4+4|P |F 1|2F 1=1|P |++4F 14|P |F 1≤=12+4|P |⋅F 14|P |F 1−−−−−−−−−−√18|P |=2F 1|P |F 1|PF 2|218D AC 56OA x OC y λ−μ=−=(3x −y)13x 3y 919OA OC解：如图，以为轴，以为轴，建立直角坐标系，则，，，，∵，，∴，，设，∵（，为实数），∴，∴，即，∴，令，即，由，，得到直线的方程为，则，满足的区域为，如图所示，当目标函数，过点时，最大，则，∴故答案为：14.【答案】,【考点】两条平行直线间的距离直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，对于直线，变形可得，若其倾斜角为，则其斜率，则有，即．对于直线，直线，若，则有，解得，则的方程可以变形为．OA x OC y O(0,0)A(3,0)C(0.3)B(3,3)2BM =MC AN =NB M(1,3)N(3,)32P(x,y)=λ+μOP −→−OA −→−OC −→−λμ=λ(3,0)+μ(0,3)=(3λ,3μ)OP −→−{x =3λy =3μλ=x 3μ=y3λ−μ=−=(3x −y)13x 3y 919z =3x −y y =3x −z M(1,3)N(3,)32MN 3x +4x −15=0x y1≤x ≤3≤y ≤3323x +4y −15≥0z =3x −y N(3,)32Z =3×3−=9−=z max 3232152(λ−μ)max =×=13191525656−3–√22–√:ax +y −1=0l 1y =−ax +1π3k =tan =π33–√−a =3–√a =−3–√:ax +y −1=0l 1:x −y −3=0l 2//l 1l 2a ×(−1)+1×1=0a =−1l 1x −y +1=0==2|1−(−3)|则两平行直线间的距离．故答案为：；．15.【答案】【考点】函数的概念及其构成要素空间两点间的距离公式【解析】可得定点，代入一次函数得，利用展开由基本不等式求解．【解答】由可得当时，，故点在一次函数的图像上，，即．当且仅当，即时等号成立，故的最小值是故答案为：16.【答案】【考点】球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）d ==2|1−(−3)|+(−112)2−−−−−−−−−√2–√−3–√22–√8A (4,1)2m +n =1+=(+)(2m +n)1m 2n 1m 2ny =(x −3)+1(a >0,a ≠1)log a x =4y =1A (4,1)A y =x +n m 21=×4+n m22m +n =1m >0,n >0+=(+)(2m +n)=++4≥2+4=81m 2n 1m 2n n m 4m n ⋅n m 4m n−−−−−−−√=n m 4m n m =,n =1412+1m 2n 8.8.【答案】解：，，把的方程化为，与间的距离．【考点】两条平行直线间的距离【解析】【解答】解：，，把的方程化为，与间的距离．18.【答案】解：设甲袋中白球为，，黑球为，，，，从中抽取球，可能抽取的情况如下：，，，，，，，，，，，，，，共种情况，两球颜色不同共有种，所以．在甲袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为；在乙袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为，设在甲、乙两袋中各取一球，取出的两球颜色相同为事件，∴．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率古典概型及其概率计算公式【解析】∵=≠63−8−4−36∴//l 1l 2l 26x −8y +12=0l 1l 2d ===|12+3|+6282−−−−−−√151032∵=≠63−8−4−36∴//l 1l 2l 26x −8y +12=0l 1l 2d ===|12+3|+6282−−−−−−√151032(1)a 1a 2b 1b 2b 3b 42(,)a 1a 2(,)a 1b 1(,)a 1b 2(,)a 1b 3(,)a 1b 4(,)a 2b 1(,)a 2b 2(,)a 2b 3(,)a 2b 4(,)b 1b 2(,)b 1b 3(,)b 1b 4(,)b 2b 4(,)b 2b 4(,)b 3b 4158P =815(2)13232535A P (A)=×+×=13252335815无【解答】解：设甲袋中白球为，，黑球为，，，，从中抽取球，可能抽取的情况如下：，，，，，，，，，，，，，，共种情况，两球颜色不同共有种，所以．在甲袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为；在乙袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为，设在甲、乙两袋中各取一球，取出的两球颜色相同为事件，∴．19.【答案】解：，由题意可知，所以．于是，，．因为点是函数图象的一个对称中心，所以，，即，．因为，所以．故函数的解析式为．由，得，因为，所以 ，因为，所以．所以 ．【考点】正弦函数的周期性两角和与差的余弦公式函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性(1)a 1a 2b 1b 2b 3b 42(,)a 1a 2(,)a 1b 1(,)a 1b 2(,)a 1b 3(,)a 1b 4(,)a 2b 1(,)a 2b 2(,)a 2b 3(,)a 2b 4(,)b 1b 2(,)b 1b 3(,)b 1b 4(,)b 2b 4(,)b 2b 4(,)b 3b 4158P =815(2)13232535A P (A)=×+×=13252335815(1)f(x)=sin(ωx +φ)−cos(ωx +φ)=sin(ωx +φ−)2–√π4T =×4=π8π2ω==42ππ2f (x)=sin(4x +φ−)2–√π4g(x)=sin(2x +φ−)2–√11π12(,0)π12g(x)2×+φ−=kππ1211π12k ∈Z φ=kπ+3π4k ∈Z 0<φ<πφ=3π4g(x)g(x)=sin(2x −)2–√π6(2)g(A)=sin(2A −)=2–√π66–√3sin(2A −)=π63–√3<A <5π243π4<2A −<π4π64π3<3–√32–√2cos(2A −)=−π66–√3cos 2A =cos[(2A −)+]π6π6=−×−×6–√33–√23–√312=−3+2–√3–√6同角三角函数间的基本关系函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）答案未提供解析．【解答】解：，由题意可知，所以．于是，，．因为点是函数图象的一个对称中心，所以，，即，．因为，所以．故函数的解析式为．由，得，因为，所以 ，因为，所以．所以 ．20.【答案】（1）证明：在长方体中，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵不在平面内，平面，∴平面．（2）异面直线与所成角为．【考点】二面角的平面角及求法异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析(1)f(x)=sin(ωx +φ)−cos(ωx +φ)=sin(ωx +φ−)2–√π4T =×4=π8π2ω==42ππ2f (x)=sin(4x +φ−)2–√π4g(x)=sin(2x +φ−)2–√11π12(,0)π12g(x)2×+φ−=kππ1211π12k ∈Z φ=kπ+3π4k ∈Z 0<φ<πφ=3π4g(x)g(x)=sin(2x −)2–√π6(2)g(A)=sin(2A −)=2–√π66–√3sin(2A −)=π63–√3<A <5π243π4<2A −<π4π64π3<3–√32–√2cos(2A −)=−π66–√3cos 2A =cos[(2A −)+]π6π6=−×−×6–√33–√23–√312=−3+2–√3–√6A =C A 1C 1A//C A 1C 1AC A 1C 1//AC A 1C 1A 1C 1ACD 1AC ⊂ACD 1//A 1C 1ACD 1CD AD 190∘【解答】解：（1）证明：在长方体中，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵不在平面内，平面，∴平面．（2）解：∵平面，平面，∴，∴异面直线与所成角为．21.【答案】解：甲恰好答对道必答题的概率为依题意，每道题选择回答并答对的概率为，选择回答且答错的概率为，选择放弃回答的概率为．甲得分的可能性为分，分，分，分，分和分．所以，，，，，．所以的分布列为【考点】相互独立事件的概率乘法公式离散型随机变量及其分布列【解析】【解答】解：甲恰好答对道必答题的概率为A =C A 1C 1A//C A 1C 1AC A 1C 1//AC A 1C 1A 1C 1ACD 1AC ⊂ACD 1//A 1C 1ACD 1CD ⊥ADD 1A 1A ⊂D 1ADD 1A 1CD ⊥AD 1CD AD 190∘(1)4P =()=.C 45()45415256625(2)×=122515×=123531012−4−203510P(X =−4)=9100P(X =−2)=××()=C 12121235310P(X =0)=×=121214P(X =3)=××()×()=C 1212122535325P(X =5)=××()=C 1212122515P(X =10)=××(=121225)2125X (1)4P =()=.C 45()45415256625=121依题意，每道题选择回答并答对的概率为，选择回答且答错的概率为，选择放弃回答的概率为．甲得分的可能性为分，分，分，分，分和分．所以，，，，，．所以的分布列为22.【答案】证明：∵，为中点，∴，∵，，∴，且，∴四边形为矩形，∴，，，而，又，∴平面，∴平面，又∵平面，平面，∴，且，又∵在平面中，，于是，∵，平面，平面，又，∴平面，∵平面，∴．解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，∵，，且，，∵，，(2)×=122515×=123531012−4−203510P(X =−4)=9100P(X =−2)=××()=C 12121235310P(X =0)=×=121214P(X =3)=××()×()=C 1212122535325P(X =5)=××()=C 1212122515P(X =10)=××(=121225)2125X (1)BC =BD E CD BE ⊥CD AB //CD CD =2AB AB //DE AB =DE ABED BE //AD BE =AD AB ⊥AD AB ⊥PA PA ∩AD =A AB ⊥PAD CD ⊥PAD PD ⊂PAD AD ⊂PAD CD ⊥PD CD ⊥AD PCD EF //PD CD ⊥EF EF ∩BE =E FE ⊂BEF BE ⊂BEF CD ⊥BE CD ⊥BEF BF ⊂BEF CD ⊥BF (2)A AB x AD y A ABCD z AB ⊥PA AB //CD PB =BC =BD =6–√CD =2AB =22–√∠PAD =120∘AB ⊥AD PA ==26−2−−−−√AD ==26−2−−−−√∴，，，，，，设平面的一个法向量，则令，则.设直线与平面所成的角为，又，∴.∴直线与平面所成的角的正弦值为.【考点】用空间向量求直线与平面的夹角两条直线垂直的判定【解析】（1）推导出四边形为矩形，从而平面，进而平面，由此能证明．（2）以为原点，为轴，为轴，过作平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成的角的正弦值．【解答】证明：∵，为中点，∴，∵，，∴，且，∴四边形为矩形，∴，，，而，又，∴平面，∴平面，又∵平面，平面，∴，且，又∵在平面中，，于是，∵，平面，平面，又，∴平面，∵平面，∴．解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，PA ==26−2−−−−√AD ==26−2−−−−√P(0,−1,)3–√C(2,2,0)2–√B(,0,0)2–√D(0,2,0)PCD =(x,y,z)n → ⋅=0，n →PD −→−⋅=0，n →CD −→−y =1=(0，1，)n →3–√PB PCD θ=(,1,−)PB −→−2–√3–√sin θ=|cos , |=n →PB −→−|⋅|n →PB −→−||⋅||n →PB −→−==2⋅2+1+3−−−−−−−√1+3−−−−√6–√6PB PDC 6–√6ABED AB ⊥PAD CD ⊥BEF CD ⊥BF A AB x AD y A ABCD z PD PBC (1)BC =BD E CD BE ⊥CD AB //CD CD =2AB AB //DE AB =DE ABED BE //AD BE =AD AB ⊥AD AB ⊥PA PA ∩AD =A AB ⊥PAD CD ⊥PAD PD ⊂PAD AD ⊂PAD CD ⊥PD CD ⊥AD PCD EF //PD CD ⊥EF EF ∩BE =E FE ⊂BEF BE ⊂BEF CD ⊥BE CD ⊥BEF BF ⊂BEF CD ⊥BF (2)A AB x AD y A ABCD z∵，，且，，∵，，∴，，，，，，设平面的一个法向量，则令，则.设直线与平面所成的角为，又，∴.∴直线与平面所成的角的正弦值为.AB ⊥PA AB //CD PB =BC =BD =6–√CD =2AB =22–√∠PAD =120∘AB ⊥AD PA ==26−2−−−−√AD ==26−2−−−−√P(0,−1,)3–√C(2,2,0)2–√B(,0,0)2–√D(0,2,0)PCD =(x,y,z)n →⋅=0，n →PD −→−⋅=0，n →CD −→−y =1=(0，1，)n →3–√PB PCD θ=(,1,−)PB −→−2–√3–√sin θ=|cos , |=n →PB −→−|⋅|n →PB −→−||⋅||n →PB −→−==2⋅2+1+3−−−−−−−√1+3−−−−√6–√6PB PDC 6–√6。
2021年高二数学上学期期中联考试题 文 新人教A版
2021年高二数学上学期期中联考试题文新人教A版注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分。
考生首先阅读答题卷上的文字信息, 然后在机读卡上作答第Ⅰ卷、答题卷上作答第Ⅱ卷，在试题卷上作答无效。
交卷时只交机读卡和答题卷。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、数列23,45，67,89……的第10项是A．1617B．1819C．2021D．22232、在△ABC中, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a＝2,c＝4,B＝60°,则b等于A．28 B．27 C．12 D．2 33、不等式x－2y＋6<0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方4、对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列5、已知f(x)＝x＋1x－2(x<0)，则f(x)有A．最大值为－4 B．最大值为0 C．最小值为0 D．最小值为－46、数列满足:其前项积为，则=（）A. B. C. D.7、推理过程a b ac bc a bac bdc d bc bd d c>>⎫⎫⇒⇒>⇒>⎬⎬>>⎭⎭共有三个推理步骤,其中错误步骤的个数为A．0 B．1 C．2 D．38、在数列中，（c为非零常数,）且前n项和，则实数k等于A.1B.1C.0D.29、△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若，则△ABC为A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定10、已知，给出下列四个结论：①;②;③;④其中正确结论的序号是A．①②B．②④C．②③D．③④11、如图所示，为了测量某湖泊两侧间的距离，李宁同学首先选定了与不共线的一点，然后给出了三种测量方案：（的角所对的边分别记为）：① 测量;② 测量;③测量则一定能确定间距离的所有方案的序号为A. ②③B. ①③C. ①②D. ①②③12、将正偶数,,,,按如表所示的方式进行排列，记表示第行和第列的数,若,则的值为A. B.C. D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2019-2020学年安徽省合肥市第一中学高二上学期期中数学(文)试题(含答案解析)
2019-2020学年安徽省合肥市第一中学高二上学期期中数学（文）试题一、单选题 1．直线的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．045,1B ．0135,1-C ．090，不存在D ．0180，不存在【答案】C【解析】解：∵直线x=1垂直于x 轴，倾斜角为90°，而斜率不存在， 故选 C ．2．下列说法不正确的．．．．是（ ） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B ．同一平面的两条垂线一定共面；C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 【答案】D【解析】一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面； 这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了 3．方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的充要条件是（ ）A ．114m << B ．114mm 或 C ．14m <D ．1m >【答案】B【解析】由圆的方程化化为222(2)(1)451x m y m m ++-=-+，得出24510m m -+>，即可求解，得到答案.【详解】由题意，圆224250x y mx y m ++-+=，可化为222(2)(1)451x m y m m ++-=-+， 则24510m m -+>，即(41)(1)0m m -->，解得14m <或1m >，故选B. 【点睛】本题主要考查了圆的一般方程与标准方程的应用，其中熟练把圆的一般方程化为标准方程，得到24510m m -+>是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4．若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是( )A．b∥αB．相交C．b⊂αD．b⊂α、相交或平行【答案】D【解析】三种情况如图(1),(2),(3).【考点】直线与平面的位置关系.5．如图是某几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是( )A．4πB．133πC．143πD．5π【答案】B【解析】根据视图判断该几何体为组合体，分别求出两部分体积再求和即可得解.【详解】根据三视图可知该几何体是由一个底面直径为2、高为3的圆柱和一个直径为2的球组合而成，所以该组合体的体积为2324213+=3+=2323V V Vπππ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭圆柱球.故选：B.【点睛】本题考查了三视图的还原和几何体体积的计算，属于基础题. 6．设l是直线，α，β是两个不同的平面( )A ．若//l α，l β//，则//αβB ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】B【解析】根据空间中线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可. 【详解】由l 是直线，α，β是两个不同的平面，可知：A 选项中，若//l α，l β//，则α，β可能平行也可能相交，错误；B 选项中，若//l α，l β⊥，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定可知αβ⊥，正确；C 选项中，若αβ⊥，l α⊥，由面面垂直、线面垂直的性质可知l β//或l β⊂，错误；D 选项中，若αβ⊥，//l α，则l ，β可能平行也可能相交，错误. 故选：B. 【点睛】本题考查了线面、面面间的位置关系的判断，考查了空间思维能力，属于基础题. 7．若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3,1]-- B ．[1,3]-C ．[3,1]-D ．(,3][1,)∞-+∞U【答案】C【解析】由题意得圆心为(,0)a ．圆心到直线的距离为d =，由直线与圆有公共点可得≤12a +≤，解得31a -≤≤．∴实数a 取值范围是[3,1]-． 选C ．8．圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解. 【详解】圆222430x x y y +++-=可变为()()22128x y +++=，∴圆心为()1,2--，半径为22， ∴圆心到直线10x y ++=的距离12122d --+==，∴圆上到直线的距离为2的点共有3个.故选：C. 【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.9．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 A ．6π B ．43πC ．46πD ．63π【答案】B 【解析】球半径，所以球的体积为，选B.10．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A ．110B ．25C ．3010D ．22【答案】C【解析】以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线1CC 为z 轴，则设CA=CB=1，则(0,1,0)B ，11(,,1)22M ，A （1，0，0），1(,0,1)2N ，故11(,,1)22BM =-u u u u r ，1(,0,1)2AN u u u r =-，所以cos ,BM AN BM AN BM AN ⋅〈〉==⋅u u u u r u u u ru u u u r u u u r u u u u r u u u r 3465=⋅30 C.【考点】本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力.11．已知点()()2,3,3,2A B ---，直线l 过点()1,1P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 满足( ) A ．34k ≥或4k ≤- B ．34k ≥或1k ≤- C ．344k -≤≤ D ．344k ≤≤ 【答案】A【解析】画出,,A B P 三点的图像，根据,PA PB 的斜率，求得直线l 斜率k 的取值范围. 【详解】如图所示，过点P 作直线PC x ⊥轴交线段AB 于点C ，作由直线,PA PB ①直线l 与线段AB 的交点在线段AC (除去点C )上时，直线l 的倾斜角为钝角，斜率k 的范围是PA k k ≤.②直线l 与线段AB 的交点在线段BC (除去点C )上时，直线l 的倾斜角为锐角，斜率k 的范围是PB k k ≥.因为31421PA k --==--，213314PB k --==--，所以直线l 的斜率k 满足34k ≥或4k ≤-. 故选:A.【点睛】本小题主要考查两点求斜率的公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.12．如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；1//A P ②平面1ACD ； 1DP BC ⊥③；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解． 【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确； 对于②，连接1A B ，11A C ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ， 所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确； 对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥， 若1DP BC ⊥，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．二、填空题13．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则a 的值为_______ 【答案】－6.【解析】根据它们的斜率相等，可得﹣2a=3，解方程求a 的值 【详解】∵直线ax+2y+2=0与直线3x ﹣y=0平行， ∴它们的斜率相等，∴﹣2a=3，∴a=﹣6． 故答案为：-6． 【点睛】本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．14．已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______． 【答案】()1,4,1--【解析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果. 【详解】设B (),,x y z ,则1230,1,2222x y z+++=-==，所以1,4,1x y z =-=-=，所以B 的坐标为()1,4,1--． 【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 15．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________． 【答案】相交【解析】由题意知，两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，两圆的半径之差为1，半径之和为5，而，所以两圆的位置关系为相交． 16．已知圆22:(2)1M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点，则动弦AB 的中点P 的轨迹方程为__________.【答案】2271416x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭(2)y < 【解析】转化条件点P 、M 、Q 三点共线、2MQ PM BM ⋅=即可得到点P 满足的条件，化简即可得解. 【详解】由圆的方程可知圆心()0,2，半径为1.设点(),P x y ，(),0Q a ，点P 、M 、Q 三点共线， 可得22y x a-=-， 由相似可得2MQ PM BM ⋅=即()222421a x y ++-=，联立消去a 并由图可知2y <，可得()2271()2416x y y +-=<.故答案为：()2271()2416x y y +-=<【点睛】本题考查了圆的性质和轨迹方程的求法，考查了转化能力和运算能力，属于中档题.三、解答题17．已知集合A ＝233|1,,224y y x x x ⎧⎫⎡⎤=-+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，B ＝{x|x ＋m 2≥1}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围. 【答案】34m ≥或34m ≤-.【解析】【分析】试题分析：首先将集合,A B 进行化简，再根据命题p 是命题q 的充分条件知道A B ⊆，利用集合之间的关系，就可以求出实数m 的取值范围. 【详解】化简集合A ，由2312y x x =-+，配方，得237416y x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭. 3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，min 716y ∴=，max 2y =.7,216y ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，7|216A y y ⎧⎫∴=≤≤⎨⎬⎩⎭化简集合B ，由21x m +≥，21x m -≥，{}2|1B x m=≥-Q 命题p 是命题q 的充分条件，A B ∴⊆.27116m ∴-≤， 解得34m ≥，或34m ≤-.∴实数m 的取值范围是33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U .18．已知直线1l ，2l 的方程分别为20x y -=，230x y -+=，且1l ，2l 的交点为P . (1)求P 点坐标；(2)若直线l 过点P ，且与x ，y 轴正半轴围成的三角形面积为92，求直线l 的方程. 【答案】(1)()1,2P ；(2)30x y +-=或460x y +-=. 【解析】（1）联立方程组即可求解；（2）利用点斜式设出直线方程表示出直线与坐标轴的交点后即可得解. 【详解】 （1）由20230x y x y -=⎧⎨-+=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩，所以点P 坐标为()1,2.（2）①当过点()1,2P 的直线与坐标轴平行时，不合题意；②当过点()1,2P 的直线与坐标轴不平行时，可设所求直线方程为2(1)y k x -=-， 当0x =时，2y k =-；当0y =时，21x k=-；故： 1291(2)22S k k ∆⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，由20k ->，210k ->，解得1k =-或4-故所求的直线方程为21(1)y x -=-⨯-或24(1)y x -=-⨯-， 即30x y +-=或460x y +-=；综上，所求直线方程为30x y +-=或460x y +-= 【点睛】本题考查了直线交点的求法、待定系数法求直线方程，考查了方程思想，在设直线方程时要注意每种形式的适用范围，属于基础题.19．圆C 经过点()2,1A -，和直线1x y +=相切，且圆心在直线2y x =-上. (1)求圆C 的方程； (2)圆内有一点52,2B ⎛⎫-⎪⎝⎭，求以该点为中点的弦所在的直线的方程. 【答案】(1)22(1)(2)2x y -++=；(2)42130x y --=.【解析】（1）设出圆的圆心和半径，根据已知列出方程即可得解； （2）利用垂径定理可知CB EF ⊥，求出弦所在直线的斜率即可得解. 【详解】（1）圆心在直线2y x =-上，设圆心(),2m m -，半径为r ，则圆的方程为：222()(2)x m y m r -++=，Q 圆过()2,1A -，∴222(2)(12)m m r -+-+=，又 圆和直线1x y +=相切，∴r =，解得1m =，r = ∴圆C 的方程为22(1)(2)2x y -++=．（2）点B 为弦EF 的中点，由垂径定理得：CB EF ⊥，由（1）知点C ()1,2-，∴5212122BCk ⎛⎫--- ⎪⎝⎭==--，∴12EF BC k k ==-， ∴()5:222EF y x +=-即42130x y --=， ∴以点B 为中点的弦的方程为：42130x y --=.【点睛】本题考查了圆的方程的确定、圆的性质，考查了方程思想和条件转化的能力，属于基础题.20．如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -，60ABC ∠=︒，PA AC a ==，2PB PD a ==，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =.(1)求该四棱锥的体积； (2)若F 为棱PC 的中点，证明：//BF 平面AEC .【答案】(1)336a ；(2)证明见解析. 【解析】（1）先证明PA ⊥面ABCD ，再求出菱形ABCD 的面积即可得解； （2）通过辅助线证明面面平行后即可得出结论.【详解】（1）Q 四边形ABCD 是菱形，PA AC a ==，2PB PD a ==，∴90PAB PAD ∠=∠=o ,∴PA ⊥面ABCD ,又 60ABC ∠=︒，∴233ABCD a a S a == ∴23113333P ABCD ABCD a a V S PA a -=⋅== （2）取PE 的中点M ，连结FM ，则//FM CE ，由线面平行的判定定理可得//FM 面AEC ，由:2:1PE ED =可知E 是MD 的中点，连结BM 、BD ，设BD AC O ⋂=，由菱形的性质可得O 为BD 的中点， ∴//BM OE ，由线面平行的判定定理可得//BM 面AEC ，又BM FM M ⋂=， ∴平面//BFM 平面AEC又BF ⊂平面BFM ，∴//BF 平面AEC ．【点睛】本题考查了立体图形体积的求法以及线面、面面位置关系的性质和判定，属于中档题. 21．如图1所示，在Rt ABC ∆中，90,,C D E ο∠=分别为,AC AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1,A F CD ⊥如图2所示.（1）求证：DE //平面1A CB ；（2）求证：1A F BE ⊥； （3）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？请说明理由.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】（1）∵DE ∥BC ，由线面平行的判定定理得出（2）可以先证1DE A DC ⊥平面，得出1DE A F ⊥，∵1A F CD ⊥∴1A F BCDE ⊥底面∴1A F BE ⊥(3)Q 为1A B 的中点，由上问1DE A DC ⊥平面，易知1DE A C ⊥,取1A C 中点P ，连接DP 和QP ，不难证出1PQ A C ⊥，1PD A C ⊥∴1A C PQD ⊥平面∴1A C PQ ⊥,又∵1DE A C ⊥∴1A C PQE ⊥平面22．已知过点()1,0A -的动直线l 与圆22:(3)4C x y +-=相交于P ，Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线:360m x y ++=相交于N .(1)当l 与m 垂直时，求l 的方程；(2)当PQ =l 的方程；(3)探究AM AN ⋅u u u u r u u u r 是否与直线l 的倾斜角有关？若无关，求出其值；若有关，请说明理由.【答案】(1)330x y -+=；(2)1x =-或4340x y -+=；(3)无关，5-.【解析】（1）利用垂直时1m l k k ⋅=-求出l k ，利用点斜式即可得解；（2）讨论直线l 斜率是否存在，当斜率存在时，利用点斜式设出方程，再根据1CM =即可得解；（3）先转化AM AN AC AN ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r ，根据直线斜率是否存在分别求出点N 点坐标，计算后即可得解.【详解】（1）Q 直线l 与直线m 垂直，且13m k =-，∴13l m k k =-=. 故直线l 方程为3(1)y x =+，即330x y -+=.（2）①当直线l 与x 轴垂直时，易知1x =-符合题意；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=，Q PQ =M 是PQ 中点，圆C 圆心为()0,3，半径为2，∴1CM ==，则由1CM ==，得43k =， ∴直线:4340l x y -+=. 故直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=.(3)Q CM NA ⊥，∴()AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC AN ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r uu u r u u u r. ①当l 与x 轴垂直时，易得51,3N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则50,3AN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，又(1,3)AC =u u u r ， ∴5AM AN AC AN ⋅=⋅=-u u u u r u u u r u u u r u u u r .②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =+，则由(1)360y k x x y =+⎧⎨++=⎩得365,1313k k N k k ---⎛⎫ ⎪++⎝⎭ 则55,1313k AN k k --⎛⎫= ⎪++⎝⎭u u u r . ∴51551313k AM AN AC AN k k--⋅=⋅=+=-++u u u u v u u u v u u u v u u u v . 综上所述，AM AN ⋅u u u u r u u u r 与直线l 的斜率无关，且5AM AN ⋅=-u u u u r u u u r .【点睛】本题考查了直线解析式的求法、直线与圆的位置关系和向量数量积的坐标表示，考查了分类讨论思想和方程思想，属于中档题.。
2021年高二数学上学期期中试题 新人教A版
2021年高二数学上学期期中试题 新人教A 版【解析】试题分析：这个是斐波那契数列，满足的规律的从第三项开始，后面的每一项都等于与它相邻的前两项之和，所以得x=5+8=13．故选C ．考点：归纳推理思想．2．若9-x 2＜0，则 （ )A ．0＜x ＜3B ．-3＜x ＜0C ．-3＜x ＜3D ．x ＜-3或x>3【答案】D【解析】试题分析：本题是一元二次不等式的求解，由9-x 2＜0，得x 2>9，解得x ＜-3或x>3，故选D ．考点：一元二次不等式．3．等差数列-3，1，5，…的第15项的值是（ ）A ．40B ．53C ．63D ．76【答案】B【解析】试题分析：根据数列，可得首项是=-3，公差是d=4，则=+14d=53．故选B ．考点：等差数列．4．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：若A 为△ABC 的内角，则，所以可知，只有>0．故选A ．考点：三角函数值的象限符号．5．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：根据等差中项，，代入，可得，所以()()()1946999913999222a a a a S +++====，故选B ． 考点：等差数列的性质．6．等比数列中，则的前项和为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：根据得，解得=3，q=3，所以的前项和，故选B．考点：等比数列．7．在等比数列中，，则项数n为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】试题分析：由1131192122,83333n nnna a q---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得，得n=4，故选B．考点：等比数列．8．若a>b，c>d，则下列不等关系中不一定成立的是（）A．a-b>d-c B．a+d>b+c C．a-c>b-c D．a-c＜a-d【答案】B【解析】试题分析：由a>b，c>d，得a+c>b+d，移项得，a-b>d-c，A正确；由a>b得a-c>b-c，C正确；由c>d得-c＜-d，所以a-c＜a-d，D正确；而C中，取值检验，当a=1，b=3，c=2，d=3，此时a+d＜b+c，则B不一定成立．故选B．考点：不等式的性质．9．在△中，若，则等于（）A． B．C． D．【答案】D【解析】试题分析：由b=2asinB，运用正弦定理，得sinB=2sinAsinB，因为sinB≠0，得sinA=，所以A=．故选D．考点：正弦定理．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）10．在△ABC 中，若，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：在△ABC 中，由C=90°，B=30°，得A=60°，又a=6，得64cos cos602 3.sin sin 60a cbc A A ====⋅== 则=，故选C ．考点：直角三角形的边角关系．11．不等式（x+1）（2-x)＜0的解集为【答案】x>2 或x ＜-1 【解析】试题分析：由（x+1）（2-x)＜0，得（x+1）（x-2)>0，所以得不等式的解集为x>2 或x ＜-1． 考点：解一元二次不等式．12．等差数列中， 则的公差为 ．【答案】8【解析】试题分析：根据等差数列，得．考点：等差数列的性质．13．在△ABC 中，若 ．【答案】A=120°【解析】试题分析：已知，得，所以得A=120°．考点：余弦定理．14．已知数列｛2n-11｝，那么的最小值是 ．【答案】-25【解析】试题分析：设=2n-11，可得所以得n=5时，最小，为=-25．考点：等差数列性质．三、解答题（题型注释）15．求x -2x-3>0的解集．【答案】x>3或x ＜-1【解析】试题分析：本题主要考查的一元二次不等式的求解，先对代数式因式分解得（x+1)（x-3)>0，然后可以得到解集的端点值为-1，3，最后根据不等式的解集．试题解析：由x2-2x-3>0，得x+1)（x-3)>0，所以，得x>3 或x＜-1即：x2-2x-3>0的解集x>3 或x＜-1．考点：一元二次不等式的解法．16．在等差数列中，a1=1，a3=3，求的值【答案】100【解析】试题分析：本题是根据等差数列的性质来解答的，先运用通项公式，由a1=1，a3=3，求出公差d和a20，对整理，运用等差中项，可得= 5a20，即可得出结果．．试题解析：已知在等差数列中，a1=1，a3=3，得d=1，a20=20，所以 =5a20=100．考点：等差中项，等差数列的通项公式．17．在等比数列{a n}中，若a1=1，a4=27，求：（1）a3（2）数列通项公式a n．（3）数列{a n}的前5项的和S5．【答案】（1）=9；（2）；（3）．【解析】试题分析：本题主要是根据等比数列的知识来解答的，根据a1=1，a4=27，可计算出公比q，然后根据等比数列的通项公式及求和公式，可计算出，，．试题解析：设等比数列的公比是q，根据a1=1，a4=27，得，解得q=3，所以，，．考点：等比数列的通项公式，以及求和公式．18．叙述并证明余弦定理。
2021-2022年高二数学上学期期中试题A卷 文
2021-2022年高二数学上学期期中试题A 卷 文一 选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.命题“存在实数,，使”的否定是（ ）A ．对任意实数, 都有B ．不存在实数，使C ．存在实数，使D ．对任意实数, 都有2．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式是( )A.n2n ＋1B.n 2n －1 C.n2n －3D.n2n ＋33．已知△ABC 中，∶∶＝1∶1∶3，则此三 角形的最大内角的度数是( ) A ．60° B ．120° C． 90° D ．135°4．在等差数列中，，则=（ ）A ．20B ．38C ． 64D ．765．上边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为14，18，则输出的为（）A 0B 2C 4D 14 6．设集合，，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为( )A．63.6万元B．65.5万元 C．67.7万元D．72.0万元8.已知数列中，，，，…..，则数列的前项的和=（）A. B. C. D.9. 在中，若，则的形状一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形10. 某学校有教职工400名，从中选出40名教职工组成教工代表大会，每位教职工当选的概率是110，其中正确的是( )A．10个教职工中，必有1人当选 B．每位教职工当选的可能性是110C．数学教研组共有50人，该组当选教工代表的人数一定是5 D．以上说法都不正确11. 对于向量、、和实数λ，下列命题中真命题是( )A．若·＝0，则＝或＝ B．若λ＝，则λ＝0或＝C．若2＝2，则＝或＝－ D．若·＝·，则＝12. 若函数是（-2，4）上的增函数，且，则实数m的取值范围是（）A.( 1，＋∞)B. (－∞，1)C. (－1，1 )D. (－2，3 )二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且边a =4，c=6，则△ABC的面积等于_____________14．若命题“”是假命题，则实数m的取值范围是________．15．递减等差数列的前n项和满足：，欲使最大，则n= .16. 100个个体分成10组，编号后分别为第1组：00，01，02，…，09；第2组：10，11，12，…，19；…；第10组：90，91，92，…，99．现在从第组中抽取其号码的个位数与的个位数相同的个体，其中m 是第1组随机抽取的号码的个位数，则当m=4时，从第7组中抽取 的号码是________三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分）命题p ：实数x 满足x ﹣4ax+3a ＜0，其中a ＜0；命题q ：实数x 满足x ﹣x ﹣6≤0或x+2x ﹣8＞0；若￢p 是￢q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．18. （本小题满分12分） 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0≤φ≤π2在x ∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x ＝π时，y max ＝3；当x ＝6π时，y min ＝－3. （1）求此函数的解析式； （2）求此函数的单调递增区间．19（本小题满分12分）设各项均为正数的等比数列{}中，，. 设(1)求数列{}的通项公式；频率组距(2)若，，求证：；20. （本小题满分12分）下表是关于某设备的使用年限（年）和所需要的维修费用y (万元)的几组统计数据：2 3 4 5 62.23.85.56.57.0（1）请在给出的坐标系中画出上表数据的散点图； （2）请根据散点图，判断y 与x 之间是否有较强线性相关性，若有求线性回归直线方程；（3）估计使用年限为10年时，维修费用为多少？ （参考数值： ）（参考公式：∑∑∑∑====--=---=n1i 22i n1i i i n1i 2i n 1i i i x n x yx n y x )x x ()y y )(x x (bˆ ； ；）21、（本小题满分12分）已知函数 （1）求证：在上是增函数；22. （本小题满分12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，…后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（3）从成绩是40～50分及90～100分的学生中选两人，记他们的成绩为x，y，求满足“”的概率.xx上学期期中考试高二文科数学答案一选择题A卷DBBDB ABCCB BCB卷CCADD BBADB AA二 填空题13. 6 14．__ m>1 _. 15. 7或8 . 16. 60 三解答题17.解：x 2﹣4ax+3a 2=0对应的根为a ，3a ；由于a ＜0，则x 2﹣4ax+3a 2＜0的解集为（3a ，a ），故命题p 成立有x∈（3a ，a ）；…3分 由x 2﹣x ﹣6≤0得x∈[-2,3]，由x 2+2x ﹣8＞0得x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）， 故命题q 成立有x∈（﹣∞，﹣4）∪[-2, +∞)……6分若￢p 是￢q 的必要不充分条件 所以 3a-2或a ≤-4,即a -或a ≤-4….10分 18. 解 (1)由题意得A ＝3，12T ＝5π，…...2分∴T＝10π，∴ω＝2πT ＝15………..4分∴y＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋φ.∵点(π，3)在此函数图象上，∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＋φ＝3.∴π5＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z.∵0≤φ≤π2，∴φ＝3π10…………..6分 ∴y＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋3π10. (2)当－π2＋2k π≤15x ＋3π10≤π2＋2k π，即－4π＋10k π≤x ≤π＋10k π时，………9分函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋3π10单调递增， 所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10k π，π＋10k π](k ∈Z)．…………12分19解：(1)设数列{a n }的公比为q(q ＞0)，由题意有， ∴，………2分∴， ………3分 ∴b n ＝n.………..4分 (2)∵c 1＝1＜3，c n ＋1－c n ＝n2n ， …………….5分当n≥2时，c n ＝(c n －c n －1)＋(c n －1－c n －2)＋…＋(c 2－c 1)＋c 1＝1＋12＋222＋…＋n －12n －1，…7分 ∴12c n ＝12＋122＋223＋…＋n －12n . 相减整理得：c n ＝1＋1＋12＋…＋12n －2－n －12n －1＝3－n ＋12n －1＜3，…….11分综上所述 c n ＜3………..12分20. 解：（1）散点图如下： (4)分.（2）从散点图可知，变量y 与x 之间有较强的线性相关性。
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第4题图
合肥一中2013—2014第一学期段二考试
高二数学（文）试题
考试时长：120分钟 分值：150分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）
（A ）045,1 （B ）0135,1- （C ）090，不存在 （D ）0180，不存在 2. 利用斜二测画法可以得到以下结论，其中正确的是（ ） （A ）等边三角形的直观图是等边三角形；（B ）平行四边形的直观图是平行四边形； （C ）正方形的直观图是正方形； （D ）菱形的直观图是菱形． 3 若b a ,是异面直线，且a ∥平面α，则b 和α的位置关系是（ ）
（A ）平行 （B ）相交 （C ）b 在α内 （D ）平行、相交或b 在α内 4．右图是某几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的体积是（ ） （A ）4π （B ）
133π （C ）143
π
（D ）5π
5．设l 是直线，α，β是两个不同的平面（ ） （A ） 若l ∥α，l ∥β，则α∥β （B ） 若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β （C ）若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β （D ）若α⊥β, l ∥α，则l ⊥β
6. 若直线01-+-y x 与圆2)(22=+-y a x 有公共点，则实数a 取值范围是（ ）
（A ）[3,1]-- （B ）[1,3]- （C ）[3,1]- （D ）(,3]
[1,)-∞-+∞
7． 圆034222=-+++y y x x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有（ ）
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
8．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（ ）
（A ）π6 （B ）π34 （C ）π64 （D ）π36 9．已知点)3,2(-A 、)2,3(--B ,直线l 过点)1,1(P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 （ ）
（A ）34k ≥
或4k ≤- （B ）34k ≥或14k ≤- （C ）434≤≤-k （D ）44
3
≤≤k 10．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a 且长为a
则a 的取值范围是（ ）
（A
） （B
） （C
） （D
）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。
11．如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 平行，那么系数a 为_________. 12. 已知点B 与点)3,2,1(A 关于)2,1,0(-M 对称，则点B 的坐标是_______. 13．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为________．
14．设,m n R ∈,若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A ,与y 轴相交于B ，且l 与圆
224x y +=相交所得弦长为2，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为 __.
15．点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，
则下列四个命题：
①三棱锥A －D 1PC 的体积不变； ②A 1P ∥平面ACD 1； ③DP ⊥BC 1；
④平面PDB 1⊥平面ACD 1.
其中正确命题的序号是________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．(12分)已知直线21,l l 方程分别为,032,02=+-=-y x y x 且21,l l 的交点为P . （1）求P 点坐标；
（2）若直线l 过点P ，且到坐标原点的距离为1，求直线l 的方程 ．
17．(12分)如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知
∠BAC ＝
2
π
，2AB =，AC =2PA =，求：
（1）三棱锥P ABC -的体积
（2）异面直线BC 与AD 所成的角的余弦值．
18．(12分)圆C 经过点)1,2(-A ，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上． （1）求圆C 的方程； （2）圆内有一点B 5(2,)2
-，求以该点为中点的弦所在的直线的方程．
19．(12分)如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，
PC AC ⊥．
（1）求证：PC AB ⊥；
（2）求点C 到平面APB 的距离．
20．(13分)如图1，在Rt △ABC 中，∠C 090=，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD
上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2． （1）求证：DE ∥平面A 1CB ； （2）求证：A 1F ⊥BE ；
（3）线段A 1B 上是否存在点Q ，
使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由．
21．(14分)已知过点(1,0)A -的动直线l 与圆22:(3)4C x y +-=相交于,P Q 两点，M 是
PQ 中点，l 与直线:360m x y ++=相交于N ． （1）当l 与m 垂直时，求l 的方程; （2
）当PQ =l 的方程;
（3）探究⋅是否与直线l 的倾斜角有关?若无关，求出其值；
若有关，请说明理由．
合肥一中2013—2014第一学期段二考试高二数学（文）试题答案 一．选择题. CBDBB CCBAA 二．填空题.
A C
B P
11.-6 12.)1,4,1(-- 13.相交 14.3 15. ①②④ 三．解答题.
16．解：（1）由⎩
⎨⎧=+-=-0320
2y x y x 得)2,1(P .
（2）①当过点)2,1(P 的直线与x 轴垂直时，则点)2,1(A 到原点的距离为1，所以1=x 为所求直线方程.
②当过点)2,1(A 且与x 轴不垂直时，可设所求直线方程为)1(2-=-x k y ， 即：02=+--k y kx ，由题意有
11
|2|2=++-k k ，解得4
3
=
k ， 故所求的直线方程为)1(4
3
2-=
-x y ，即0543=+-y x . 综上，所求直线方程为1=x 或0543=+-y x .
17.
18. 设圆心(m ，-2m)，方程为：2
2
2
)2()(r m y m x =++-
圆过A(2，-1)，故有2
2
2
)21()2(r m m =+-+- 又
r m m =--2
|
12|解得2,1==r m ，圆的方程为2)2()1(22=++-y x .
（2）4x-2y-13=0 19. 解：（1）取AB 中点D ，连结PD CD ，．
A
B
D
P
AP BP =， PD AB ∴⊥． AC BC =， CD AB ∴⊥．
PD CD D =，AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂平面PCD ，PC AB ∴⊥． （2）由（1）知AB ⊥平面PCD ， ∴平面APB ⊥平面PCD ．
过C 作CH PD ⊥，垂足为H ．
平面APB 平面PCD PD =， CH ∴⊥平面APB ． CH ∴的长即为点C 到平面APB 的距离．
由（1）知PC AB ⊥，又PC AC ⊥，且AB AC A =， PC ∴⊥平面ABC ．
CD ⊂平面ABC ， PC CD ∴⊥．
在Rt PCD △
中，12CD AB ==
2
PD PB ==
2PC ∴=．3
3
2=⨯=
PD CD PC CH ． ∴点C 到平面APB
的距离为3
．
20.
A B
D
P
H
21. 解：(1)
l 与m 垂直，且11
,3,3
m k k =-∴=
故直线l 方程为3(1),y x =+即330.x y -+=
(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知1x =-符合题意．
②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为(1),y k x =+即0kx y k -+=，
21PQ CM =∴=
=，则由1CM ==，得4
3k =， ∴直线:4340.l x y -+=
故直线l 的方程为1x =-或4340.x y -+=
(3),().CM MN AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC AN ⊥∴⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅
①当l 与x 轴垂直时，易得5(1,),3N -- 则5
(0,),3
AN =-又(1,3)AC =，
5AM AN AC AN ∴⋅=⋅=-．
②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1),y k x =+
则由(1),360,y k x x y =+⎧⎨++=⎩
得365(
,),1313k k N k k ---++ 则55(,).1313k
AN k k --=++ 515 5.1313k
AM AN AC AN k k
--∴⋅=⋅=+=-++
综上所述，AM AN ⋅与直线l 的斜率无关，且5AM AN ⋅=-．。