高考对数学文化的考查教师用书 理
高考数学试题中的文化内涵及其教育意蕴
高考数学试题中的文化内涵及其教育意蕴体现在以下几个方面：
1. 知识之谐与文化之韵：高考数学试题通过融入数学史、数学哲学和数学美学等内容，使学生在解答试题的过程中，不仅学习数学知识，还能感受数学的历史发展、基本原理和思维方式，从而提高学生的数学素养和文化修养。
例如，试题中经常会涉及经典的数学问题和数学家的故事，学生可以借此了解数学的发展历程和数学家的贡献，激发对数学的兴趣和热爱。
2. 科学精神的培养：高考数学试题通过设置合理的难度和区分度，引导学生树立正确的成败观，培养他们勇于面对挑战、敢于克服困难的精神品质。
同时，试题注重对学生逻辑思维能力、分析解决问题的能力、创新能力的培养，使学生在学习数学的过程中，逐步形成科学的思维方式和价值观。
3. 学科联系与跨学科思维：高考数学试题常常与其他学科进行有机整合，考查学生的跨学科思维能力。
例如，与物理、化学等科目相结合，这类试题要求学生不仅能够运用数学知识，还要能理解和运用其他学科的知识，从而达到提高学生综合素质的目的。
4. 审美与多元文化：在高考数学试题中，也注重对学生的审美能力和多元文化意识的考查。
例如，试题中可能会出现一些具有美学意义的几何图形或数列，要求学生找出其中的规律或特点。
这种题型旨在培养学生的审美能力和对多元文化的理解，使他们能够欣赏数学的美，以及理解和尊重不同的文化传统。
总的来说，高考数学试题的文化内涵及其教育意蕴体现在对学生知识技能、思维能力、情感态度和价值观等多方面的培养上。
通过精心设计的试题，学生不仅能够在知识上得到提升，而且还能在情感、态度和价值观上得到升华。
高考(新课标)数学(理)一轮复习教师用书§12.3 合情推理与演绎推理 Word版含解析
§合情推理与演绎推理．两种基本的推理推理一般包括和两类．．合情推理()归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由到整体、由到一般的推理．()类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由到的推理．()合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行、，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．．演绎推理()演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由到的推理．()“”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．“三段论”可以表示为：大前提：是.小前提：是.结论：是.自查自纠．合情推理演绎推理．()部分个别()特殊特殊()归纳类比．()一般特殊()三段论关于归纳推理，下列说法正确的是( )．归纳推理是由一般到一般的推理．归纳推理是由一般到特殊的推理．归纳推理的结论一定是正确的．归纳推理的结论不一定正确解：归纳推理是由特殊到一般的推理，但结论未必正确．故选.下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的性质；②由等差数列的性质类比出等比数列的性质；③由三角形的面积公式类比出三棱锥的体积公式；④由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和为°，归纳出所有三角形的内角和都是°.．仅①②是．仅①②③是．仅①②④是．①②③④都是解：①②③是类比推理，④是归纳推理．它们都属于合情推理．故选.()命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )．使用了归纳推理．使用了类比推理．使用了“三段论”，但大前提错误．使用了“三段论”，但小前提错误解：三段论的大前提必须是全称命题，此推理过程是三段论，但大前提是特称命题．故选.()甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为．解：由题意可判断：甲没去过城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过，城市，而乙“没去过城市”，说明乙去过城市，由此可知，乙去过的城市为.故填.如图是年武汉东湖灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是．(填写对应图形的序号)解：由前三个图形呈现出来的规律可知，下一个图形可视作上一图形顺时针旋转°得到的，由第三个图形顺时针旋转°得到的图形应为①.故填①.类型一归纳推理根据下列条件，写出数列中的前项，并归纳猜想它的一个通项公式．()＝，＋＝＋；()＝，＋＝.解：()由已知有＝＝－，＝＋＝×＋＝＝－，。
2019版高考数学(理)一轮精选教师用书人教通用：第12章+3+第3讲 合情推理与演绎推理+Word版含答案
第3讲 合情推理与演绎推理1．推理(1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．(2)分类：推理⎩⎪⎨⎪⎧合情推理演绎推理2．合情推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． (3)模式：三段论⎩⎪⎨⎪⎧①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×(教材习题改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( ) A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝4n －3 C ．a n ＝n 2D ．a n ＝3n －1解析：选C.由a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n －1，则 a 2＝a 1＋2×2－1＝4；a 3＝a 2＋2×3－1＝9； a 4＝a 3＋2×4－1＝16，所以a n ＝n 2.(2017·高考全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D.依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选择D.推理“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③三角形不是矩形”中的小前提是________．解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提，②是小前提，③是结论． 答案：②在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 解析：V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝⎝⎛⎭⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶8归纳推理(高频考点)归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度稍大，属中高档题．高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度： (1)与数字(数列)有关的等式的推理； (2)与不等式(式子)有关的推理；(3)与图形变化有关的推理．[典例引领]角度一 与数字(数列)有关的等式的推理有一个奇数组成的数阵排列如下：1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … …则第30行从左到右第3个数是________．【解析】 观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝30×（2＋60）2－1＝929.又第n 行从左到右的第2个数比第1个数大2n ，第3个数比第2个数大2n ＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051. 【答案】 1 051角度二 与不等式(式子)有关的推理(2016·高考山东卷)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__________．【解析】 每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和．因此答案为43n (n ＋1)．【答案】 43n (n ＋1)角度三 与图形变化有关的推理我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示中的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式为()A．f(n)＝2n－1B．f(n)＝2n2C．f(n)＝2n2－2n D．f(n)＝2n2－2n＋1【解析】我们考虑f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，结合图形不难得到f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，累加得f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故f(n)＝2n2－2n＋1.【答案】 D归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与“数字”相关问题：主要是观察数字特点，找出等式左右两侧的规律．(2)与不等式有关的推理：观察所给几个不等式两边式子的特点，注意纵向看、找出隐含规律．(3)与图形有关推理：合理利用特殊图形归纳推理得出结论．[通关练习]1．观察三角数阵，记第n行的第m个数为a(n，m)，则下列关系正确的是()11 112 1133 11464 1…11045…4510 1A．a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n，m＋1)B．a(n＋1，m＋1)＝a(n－1，m－1)＋a(n，m)C．a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n＋1，m)D．a(n＋1，m＋1)＝a(n＋1，m)＋a(n，m＋1)解析：选A.观察分析得出三角数阵中的每一个数等于其“肩上”两个数之和．所以a(n＋1，m＝a(n，m)＋a(n，m＋1)．＋1)2．(2018·青岛模拟)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．n 级分形图中共有________条线段．解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段，二级分形图有9＝3×22－3条线段，三级分形图中有21＝3×23－3条线段，按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝3×2n －3(n ∈N *)． 答案：3×2n －3(n ∈N *)类比推理[典例引领]如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设a ，b ，c 分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．【解】 如题图所示，在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°.设a ，b ，c 分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类似地，在四面体P -DEF 中，∠PDF ＝∠PDE ＝∠EDF ＝90°.设S 1，S 2，S 3和S 分别表示△PDF ，△PDE ，△EDF 和△PEF 的面积，相应于直角三角形的2条直角边a ，b 和1条斜边c ，图中的四面体有3个“直角面”S 1，S 2，S 3和1个“斜面”S .于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S 2＝S 21＋S 22＋S 23成立．若本例条件“由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2”换成“cos 2 A ＋cos 2 B ＝1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想． 解：如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝⎛⎭⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎫a c 2＝a 2＋b 2c2＝1. 于是把结论类比到四面体P -A ′B ′C ′中，我们猜想，四面体P -A ′B ′C ′中，若三个侧面P A ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.[通关练习]1．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若z 1，z 2∈C ，则z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若z 1，z 2∈C ，则z 1－z 2>0⇒z 1>z 2”． 其中类比得到的结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C.由复数的减法运算可知①正确；因为a ，b ，c ，d 都是有理数，2是无理数，所以②正确；因为复数不能比较大小，所以③不正确．2．(2018·山东烟台五校联考)已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．△ABC 的顶点B 在椭圆上，顶点A ，C 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e ，则sin A ＋sin C sin B ＝1e ，现将该命题类比到双曲线中，△ABC 的顶点B 在双曲线上，顶点A ，C 分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，双曲线的离心率为e ，则有________________．解析：在双曲线中，设△ABC 的外接圆的半径为r ，则|AB |＝2r sin C ，|AC |＝2r sin B ，|BC |＝2r sin A ，则由双曲线的定义得||BA |－|BC ||＝2a ，|AC |＝2c ，则双曲线的离心率e ＝c a ＝|AC |||BA |－|BC ||＝sin B|sin A －sin C |，即|sin A －sin C |sin B ＝1e .答案：|sin A －sin C |sin B ＝1e演绎推理[典例引领]数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【证明】 (1)因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，所以(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列． (结论)(大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，所以S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．又因为a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1， 所以对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略；(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．证明：设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，所以x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，因为x1<x2，所以f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．所以y＝f(x)为R上的单调增函数．把握合情推理与演绎推理的三个特点(1)合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．(2)在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．(3)应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．易错防范(1)演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．(2)合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展的依据．1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C.因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确． 2．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B.(a ＋b )n ≠a n ＋b n (n ≠1，a ·b ≠0)，故①错误． sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立，如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝34，故②错误．由向量的运算公式知③正确．3．若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则等比数列{nT n }的公比为( ) A.q 2 B ．q 2 C.qD.n q解析：选C.由题意知，T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2·…·b 1q n －1＝b n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝b n1q （n －1）n2，所以nT n ＝b 1qn －12，所以等比数列{nT n }的公比为q ，故选C.4．(2018·陕西渭南模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n }，那么a 10的值为( ) A ．45 B ．55 C ．65D ．66解析：选B.第1个图中，小石子有1个， 第2个图中，小石子有3＝1＋2个， 第3个图中，小石子有6＝1＋2＋3个， 第4个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个， …故第10个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝10×112＝55个，即a 10＝55，故选B.5．(2018·安徽江淮十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝( )A.－5－12B.5－12C.1＋52D.1－52解析：选C.1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1－52舍，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C. 6．在平面几何中：△ABC 的∠ACB 内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AEBE .把这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中(如图)DEC 平分二面角A CD B且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________．解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACDS △BCD .答案：AE EB ＝S △ACDS △BCD7．(2018·陕西咸阳模拟)观察下列式子：1×2<2，1×2＋2×3<92，1×2＋2×3＋3×4<8，1×2＋2×3＋3×4＋4×5<252，…，根据以上规律，第n (n ∈N *)个不等式是____________________．解析：根据所给不等式可得第n 个不等式是1×2＋2×3＋…＋n ·（n ＋1）<（n ＋1）22.答案：1×2＋2×3＋…＋n ·（n ＋1）<（n ＋1）228．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________．解析：类比椭圆的切点弦方程可得双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的切点弦方程为x 0x a 2－y 0yb 2＝1.答案：x 0x a 2－y 0yb2＝19．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：因为△ABC 为锐角三角形， 所以A ＋B >π2，所以A >π2－B ，因为y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，同理可得sin B >cos C ，sin C >cos A ， 所以sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C . 10．给出下面的数表序列： 表1 表2 表3 1 1 3 1 3 5 4 4 8 12…其中表n (n ＝1，2，3，…)有n 行，第1行的n 个数是1，3，5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)． 解：表4为1 3 5 7 4 8 12 12 20 32它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．1．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解析：选A.设“黄金双曲线”的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则B (0，b )，F (－c ，0)，A (a ，0)． 在“黄金双曲线”中，因为FB →⊥AB →， 所以FB →·AB →＝0.又FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，所以b 2＝ac .而b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2＝ac . 在等号两边同除以a 2，得e 2－1＝e ， 解得e ＝5＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＝1－52舍去. 2．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ) A ．2人 B ．3人 C ．4人D ．5人解析：选B.利用推理以及逻辑知识求解．首先要证，没有任意两个同学的数学成绩是相同的．假设A ，B 两名同学的数学成绩一样，由题知他们的语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有一个人比另一个人高，相应地由题可知，语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此看得出，没有任意两个同学的数学成绩是相同的．因为数学成绩等级只有3种，因而同学数量最大为3.之后要验证3名同学能否满足条件．易证3名同学的成绩等级分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件，因此满足条件的最多人数是3. 3．考察等式：C 0m C r n －m ＋C 1m C r －1n －m ＋…＋C r m C 0n －m ＝C r n ，(*)其中n ，m ，r ∈N *，r ≤m <n 且r ≤n －m .某同学用概率论方法证明等式(*)如下：设一批产品共有n 件，其中m 件是次品，其余为正品．现从中随机取出r 件产品，记事件A k ＝{取到的r 件产品中恰有k 件次品}，则P (A k )＝C k m C r －k n －mC rn，k ＝0，1，…，r .显然A 0，A 1，…，A r 为互斥事件，且A 0∪A 1∪…∪A r ＝Ω(必然事件)，因此1＝P (Ω)＝P (A 0)＋P (A 1)＋…＋P (A r )＝C 0m C r n －m ＋C 1m C r －1n －m ＋…＋C r m C 0n －m C rn，所以C 0m C rn －m ＋C 1m C r －1n －m ＋…＋C r m C 0n －m ＝C rn ，即等式(*)成立．对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一．但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．现有以下四个判断： ①等式(*)成立；②等式(*)不成立；③证明正确；④证明不正确． 试写出所有正确判断的序号：____________．解析：显然公式C 0m C r n －m ＋C 1m C r －1n －m ＋…＋C r m C 0n －m ＝C rn 是正确的，该公式的证明过程利用了构造概率事件的方法，其列举了该事件发生的所有的互斥事件，且其和事件为必然事件，其概率之和为1，故其证明过程是正确的，正确判断的序号为①③. 答案：①③4．(2018·湖北八校联考模拟) 祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于______________．解析：椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V ＝2(V 圆柱－V 圆锥)＝2(π×b 2×a －13π×b 2a )＝43π×b 2a .答案：43π×b 2a5．已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长，分别交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABCS △ABC＝1. 请运用类比思想猜想，对于空间中的四面体V -BCD ，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．解：结论：在四面体V -BCD 中，任取一点O ，连接VO ，DO ，BO ，CO 并延长，分别交四个面于E ，F ，G ，H 点．则OE VE ＋OF DF ＋OG BG ＋OHCH＝1.证明如下：在四面体O -BCD 与V -BCD 中，设其高分别为h 1，h ， 则OE VE ＝h 1h ＝13S △BCD ·h113S △BCD·h ＝V O BCD V V BCD. 同理，OF DF ＝V O VBC V D VBC ；OG BG ＝V O VCD V B VCD ；OH CH ＝V O VBDV C VBD ，所以OE VE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH ＝V O BCD ＋V O VBC ＋V O VCD ＋V O VBDV V BCD＝V V BCDV V BCD＝1. 6．我们将具有下列性质的所有函数组成集合M ：函数y ＝f (x )(x ∈D )，对任意x ，y ，x ＋y2∈D 均满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2≥12[f (x )＋f (y )]，当且仅当x ＝y 时等号成立．(1)若定义在(0，＋∞)上的函数f (x )∈M ，试比较f (3)＋f (5)与2f (4)的大小； (2)设函数g (x )＝－x 2，求证：g (x )∈M . 解：(1)对于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2≥12[f (x )＋f (y )]， 令x ＝3，y ＝5得f (3)＋f (5)≤2f (4)． (2)证明：g ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－12[g (x 1)＋g (x 2)] ＝－（x 1＋x 2）24＋x 21＋x 222＝（x 1－x 2）24≥0，所以g ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≥12[g (x 1)＋g (x 2)]， 所以g (x )∈M .。
高考数学试题中的文化内涵及其教育意蕴
高考数学试题中的文化内涵及其教育意蕴随着教育的不断发展和进步，高考数学试题已经不仅仅局限于对数学知识的考察，而是更加注重数学与文化的结合，以及数学在教育中的深远意义。
本文将探讨高考数学试题中的文化内涵及其教育意蕴。
一、文化内涵1. 中华文化的融入近年来，高考数学试题中越来越多地融入了中华文化的元素。
例如，一些试题可能会以我国古代的数学问题或者历史事件为背景，要求学生运用数学知识进行解答。
这种方式不仅丰富了数学试题的内容，也有助于学生在解题过程中了解和传承中华文化。
2. 跨学科的文化融合除了中华文化，高考数学试题还注重与其他学科的结合。
例如，地理、物理、化学等学科的知识可能会与数学知识相结合，要求学生综合运用各学科知识解决问题。
这种跨学科的融合，有助于培养学生的综合素质和跨学科思考能力。
二、教育意蕴1. 培养学生的逻辑思维数学是一门强调逻辑思维的学科。
高考数学试题通过各种形式的问题，如证明题、应用题等，有助于培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
这种能力不仅在数学学习中重要，对学生的日常生活和工作也有很大的帮助。
2. 提高学生的问题解决能力高考数学试题往往以实际问题为背景，要求学生运用数学知识进行解决。
这种方式有助于提高学生的问题解决能力，使他们更好地理解和应对生活中的各种挑战。
3. 激发学生的创新精神在高考数学试题中，往往会有一些开放性问题，没有固定的答案，需要学生发挥创新精神，提出自己的解决方案。
这种问题设置有助于激发学生的创新精神，培养他们的创新能力。
4. 引导学生关注社会热点问题高考数学试题还会涉及一些社会热点问题，引导学生关注社会、思考问题。
这种方式有助于培养学生的社会责任感和公民意识。
高考数学试题中的文化内涵及其教育意蕴是十分丰富的。
通过融入中华文化和其他学科知识，以及注重逻辑思维、问题解决能力和创新精神的培养，高考数学试题不仅考察了学生的数学知识，更在教育上有着深远的意义。
数学文化在数学高考题中的渗透
数学文化在数学高考题中的渗透【摘要】数或者格式要求等。
数学文化在数学高考题中有着深远的影响。
历史地理文化题中融入了数学元素，让学生在解题过程中增进对数学文化的了解。
数学名人及其作品在高考题中体现，激发学生对数学的兴趣和探索欲。
艺术与数学的结合也在高考中展现，丰富了数学的文化内涵。
数学思想在语言文字题中的体现让学生理解数学思维与语言文字的关联。
数学文化不仅影响着高考命题的方向，也对学生的数学学习产生启发，提升他们对数学文化的理解和认识。
数学文化在高考中扮演着重要的角色，对学生数学学习的启发与指导将成为未来数学高考命题的发展趋势。
【关键词】数学文化、数学高考题、历史地理文化题、数学名人、艺术与数学、数学思想、语言文字题、高考命题、重要性、发展趋势、学生数学学习、启发1. 引言1.1 数学文化在数学高考题中的渗透数学文化在数学高考题中的渗透是一种重要的现象，它反映了数学在历史、地理、文化、艺术等方面的广泛影响。
数学不仅是一种抽象的学科，更是一种深刻的文化表达。
在高考中，我们经常可以发现一些与历史、地理、文化等领域密切相关的数学题目，这些题目不仅考察了学生对数学知识的掌握，更体现了数学与其他学科之间的紧密联系。
数学名人及其作品在高考题中的体现也是一种典型的数学文化渗透，通过这些题目，学生可以更深入地了解数学史上的一些重要人物和成就。
艺术与数学的结合是另一个重要的方面，数学在艺术领域中的应用不仅体现了数学的美学价值，更激发了学生对数学的兴趣和热爱。
数学思想在语言文字题中的体现也是数学文化在高考中的重要表现形式，这些题目不仅考察了学生的逻辑推理能力，更反映了数学与语言之间的微妙联系。
数学文化对高考命题的影响是全面的，它促使高考试卷更加丰富多样，更具有思想性和文化内涵。
数学文化的渗透对学生的数学学习有着重要的启发作用，它让学生更深入地了解数学的本质和意义，培养了他们对数学的热爱和兴趣。
数学文化在高考中的发展趋势是不可阻挡的，它将继续对高考命题产生积极的影响，促进学生素质的全面提升。
2019届高考数学大二轮复习教师用书(文理通用版)
专题强化突破专题一集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、推理与证明、不等式及线性规划第一讲集合与常用逻辑用语本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)紧紧抓住集合的代表元素的实际意义，掌握集合问题的常见解法，活用数学思想解决问题．(2)明确命题的条件和结论之间的关系，关注逻辑联结词和命题，明确命题的否定和否命题的区别．(3)掌握必要条件、充分条件与充要条件的概念及应用． 预测2019年命题热点为：(1)集合的基本性质以及集合之间的基本关系与运算，与不等式的解集、函数的定义域、值域、方程的解集等知识结合在一起考查．(2)与函数、数列、三角函数、不等式、立体几何、解析几何、概率统计等知识结合在一起考查．Z 知识整合hi shi zheng he1．集合的概念、关系及运算(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性. (2)集合与集合之间的关系：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ． (3)空集是任何集合的子集.(4)含有n 个元素的集合的子集有2n 个，真子集有2n －1个，非空真子集有2n －2个． (5)重要结论：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 2．充要条件设集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满中条件q }，则有A B B A3.简单的逻辑联结词(1)命题p ∨q ，只要p ，q 有一真，即为真；命题p ∧q ，只有p ，q 均为真，才为真；綈p 和p 为真假对立的命题．(2)命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q )；命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )． 4．全(特)称命题及其否定(1)全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )．它的否定綈p ：∃x 0∈M ，綈p (x 0).(2)特称命题p ：∃x 0∈M ，p (x )．它的否定綈p ：∀x ∈M ，綈p (x ).,Y 易错警示i cuo jing shi1．忽略集合元素互异性：在求解与集合有关的参数问题时，一定要注意集合元素的互异性，否则容易产生增根． 2．忽略空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在分类讨论时要注意“空集优先”的原则．3．混淆命题的否定与否命题：在求解命题的否定与否命题时，一定要注意命题的否定是只对命题的结论进行否定，而否命题既对命题的条件进行否定，又对命题的结论进行否定.1．(文)(2018·全国卷Ⅰ，1)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( A ) A ．{0,2} B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}[解析] A ∩B ＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}． 故选A ．(理)(2018·全国卷Ⅰ，2)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( B ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}[解析] ∵ x 2－x －2>0，∴ (x －2)(x ＋1)>0，∴ x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}． 故选B ．2．(文)(2018·全国卷Ⅲ，1)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( C ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}[解析] ∵ A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1}，∴ A ∩B ＝{1,2}． 故选C ．(理)(2018·全国卷Ⅱ，2)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( A )A ．9B ．8C ．5D ．4[解析] 将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A ．3．(文)(2018·天津卷，3)设x ∈R ，则“x 3>8”是“|x |>2”的( A ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由x 3>8⇒x >2⇒|x |>2，反之不成立， 故“x 3>8”是“|x |>2”的充分不必要条件． 故选A ．(理)(2018·天津卷，4)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( A ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”得0＜x ＜1，则0<x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”；由“x 3＜1”得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3＜1”/⇒“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”．所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件．故选A．4．(2018·浙江卷，6)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( A )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，则一定有m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A．5．(文)(2018·北京卷，4)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( B )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]a，b，c，d是非零实数，若a＜0，d＜0，b＞0，c＞0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．故选B．(理)(2018·北京卷，6)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( C ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.又a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，所以a·b＝0，能推出a⊥b.由a ⊥b 得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10， 能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件． 故选C ．6．(文)(2017·全国卷Ⅰ，1)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( A ) A ．A ∩B ＝{x |x <32}B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝{x |x <32}D ．A ∪B ＝R[解析] 由3－2x >0，得x <32，∴B ＝{x |x <32}，∴A ∩B ＝{x |x <2}∩{x |x <32}＝{x |x <32}，故选A ．(理)(2017·全国卷Ⅰ，1)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}，则( A ) A ．A ∩B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x >1} D ．A ∩B ＝∅ [解析] 由3x <1，得x <0， ∴B ＝{x |3x <1}＝{x |x <0}．∴A ∩B ＝{x |x <1}∩{x |x <0}＝{x |x <0}，故选A ．7．(2017·全国卷Ⅱ，2)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{1}，则B ＝( C )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5} [解析] ∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B ， ∴1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根， ∴1－4＋m ＝0，∴m ＝3.由x 2－4x ＋3＝0，得x 1＝1，x 2＝3， ∴B ＝{1,3}．8．(文)(2017·山东卷，5)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是( B )A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)[解析]∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，∴p为真命题，綈p为假命题．∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，∴q为假命题，綈q为真命题．根据真值表可知p∧(綈q)为真命题，p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B．(理)(2017·山东卷，3)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是( B )A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)[解析]∵x>0，∴x＋1>1，∴ln(x＋1)>ln 1＝0.∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2<b2，∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B．命题方向1集合的概念及运算例1 (1)(文)设集合M＝{x|x2＋x－6<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝( A ) A．[1,2)B．[1,2]C．(2,3] D．[2,3][解析]∵M＝{x|－3<x<2}，N＝{x|1≤x≤3}，∴M∩N＝{x|1≤x<2}，故选A．(理)已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x<2m}，且A⊆∁R B，那么m的值可以是( A )A．1 B．2C．3 D．4[解析]∵B＝{x|x<2m}，∴∁R B＝{x|x≥2m}，又∵A⊆∁R B，∴有2m≤2，即m≤1.由选项可知选A．(2)(文)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为( B )A．1 B．2C．3 D．4[解析]A∩B＝{1,2,3,4}∩{2,4,6,8}＝{2,4}，∴A∩B中共有2个元素，故选B．(理)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( B ) A．3 B．2C．1 D．0[解析]集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B．(3)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为( C ) A．77 B．49C．45 D．30[解析] 由题得A ＝{(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(0,1)，(0，－1)}，如下图所示：因为B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，由A ⊕B 的定义可得，A ⊕B 相当于将A 集合中各点上下平移或左右平移0,1,2个单位，如下图所示：所以A ⊕B 中的元素个数为7×7－4＝45. 故选C ． 『规律总结』(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．G 跟踪训练en zong xun lian1．(文)设集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( C ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6[解析] 由集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，易知A ∩Z ＝{－2，－1,0,1,2}，故选C ． (理)设集合M ＝{x |－2<x <3}，N ＝{x |2x ＋1≤1}则M ∩(∁R N )＝( D )A ．(3，＋∞)B ．(－2，－1]C ．[－1,3)D ．(－1,3)[解析] 集合N ＝{x |2x ＋1≤1}＝{x |x ＋1≤0}＝{x |x ≤－1}．故∁R N ＝{x |x >－1}，故M ∩∁R N ＝{x |－1<x <3}．故选D ．2．(文)已知集合U ＝R ，A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥2}，则集合∁U (A ∪B )＝( A ) A ．{x |1<x <2}B ．{x |1≤x ≤2}C ．{x |x ≤2}D ．{x |x ≥1}[解析] A ∪B ＝{x |x ≤1}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≤1或x ≥2}，所以∁U (A ∪B )＝{x |1<x <2}． (理)已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}，则A ∩B ＝( A ) A ．{－1,0} B ．{0,1} C ．{－1,0,1}D ．{0,1,2}[解析] 由题意知B ＝{x |－2<x <1}，所以A ∩B ＝{－1,0}，故选A ．3．(文)已知M ＝{a ||a |≥2}，A ＝{a |(a －2)(a 2－3)＝0，a ∈M }，则集合A 的子集共有( B ) A ．1个 B ．2个 C ．4个D ．8个[解析] |a |≥2⇒a ≥2或a ≤－2.又a ∈M ，(a －2)(a 2－3)＝0⇒a ＝2或a ＝±3(舍)，即A 中只有一个元素2，故A 的子集只有2个．(理)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |log 4x >12}，则( D )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∩∁R B ＝RD ．A ∩B ＝∅[解析] 因为x 2－3x ＋2<0， 所以1<x <2，又因为log 4x >12＝log 42，所以x >2， 所以A ∩B ＝∅.命题方向2 命题及逻辑联结词例2 (1)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( B )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 [解析] 若z 1＝a ＋b i ，则z 2＝a －b i. ∴|z 1|＝|z 2|，故原命题正确、逆否命题正确． 其逆命题为：若|z 1|＝|z 2|，则z 1，z 2互为共轭复数，若z 1＝a ＋b i ，z 2＝－a ＋b i ，则|z 1|＝|z 2|，而z 1，z 2不为共轭复数．∴逆命题为假，否命题也为假． (2)已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论： ①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧(綈q )”是假命题； ③命题“(綈p )∨q ”是真命题； ④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题． 其中正确的结论是( A ) A ．②③ B ．②④ C ．③④ D ．①②③[解析] ∵52>1，∴命题p 是假命题． ∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34>0，∴命题q 是真命题，由真值表可以判断“p ∧q ”为假，“p ∧(綈q )”为假，“(綈p )∨q ”为真，“(綈p )∨(綈q )”为真，所以只有②③正确，故选A ．『规律总结』(1)一般命题p 的真假由涉及的相关知识辨别．(2)四种命题真假的判断依据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无关．(3)形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定． (4)全称命题与特称(存在性)命题真假的判定：①全称命题：要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p (x )成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；②特称(存在性)命题：要判定一个特称(存在性)命题为真命题，只要在限定集合M 中至少能找到一个元素x 0，使得p (x 0)成立即可，否则，这一特称(存在性)命题就是假命题．G 跟踪训练en zong xun lian1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( A )A ．p ∨qB ．p ∧qC．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)[解析]由题意知命题p为假命题，命题q为真命题，所以p∨q为真命题．故选A．2．以下四个命题中，真命题的个数是( C )①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a，b，使得lg(a＋b)＝lg a＋lg b；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；④在△ABC中，A<B是sin A<sin B的充分不必要条件．A．0 B．1C．2 D．3[解析]对于①，原命题的逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，而a ＝2，b＝－2满足a，b中至少有一个不小于1，但此时a＋b＝0，故①是假命题；对于②，根据对数的运算性质，知当a＝b＝2时，lg(a＋b)＝lg a＋lg b，故②是真命题；对于③，易知“所有奇数都是素数”的否定就是“至少有一个奇数不是素数”，故③是真命题；对于④，根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知A<B⇔a<b(a，b为角A，B所对的边)⇔2R sin A<2R sin B(R为△ABC外接圆的半径)⇔sin A<sinB，故A<B是sin A<sin B的充要条件，故④是假命题，选C．3．(2018·北京卷，1)已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－2,0,1,2}，则A∩B＝( A )A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{－2,0,1,2} D．{－1,0,1,2}[解析]∵A＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}，∴A∩B＝{0,1}．故选A．命题方向3充要条件的判断例3 (1)设θ∈R，则“|θ－π12|<π12”是“sinθ<12”的( A )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]∵|θ－π12|<π12，∴－π12<θ－π12<π12，即0<θ<π6.显然0<θ<π6时，sin θ<12成立．但sin θ<12时，由周期函数的性质知0<θ<π6不一定成立．故0<θ<π6是sin θ<12的充分而不必要条件．故选A ．(2)若p 是q 的充分不必要条件，则下列判断正确的是( C ) A ．綈p 是q 的必要不充分条件 B ．綈q 是p 的必要不充分条件 C ．綈p 是綈q 的必要不充分条件 D ．綈q 是綈p 的必要不充分条件[解析] 由p 是q 的充分不必要条件可知p ⇒q ，q ⇒ / p ，由互为逆否命题的两命题等价可得綈q ⇒綈p ，綈p ⇒ / 綈q ，∴綈p 是綈q 的必要不充分条件，故选C ．(3)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( C )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 设数列的首项为a 1，则a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q 2n －1＝a 1q 2n －2(1＋q )<0，即q <－1，故q <0是q <－1的必要而不充分条件．故选C ．(4)已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( A ) A ．[2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1][解析] 由3x ＋1<1，可得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0，所以x <－1或x >2，因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2.『规律总结』1．判定充分条件与必要条件的3种方法(1)定义法：正、反方向推，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p⇒q ，且q ⇒/ p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)：若A ＝B ，则是B 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．2．提醒：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ，而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ．G 跟踪训练en zong xun lian1．(文)(2018·娄底二模)“a <－1”是“直线ax ＋y －3＝0的倾斜角大于π4”的( A )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 设直线ax ＋y －3＝0的倾斜角为θ，则tan θ＝－a ，若a <－1，得θ角大于π4，由倾斜角θ大于π4得－a >1，或－a <0即a <－1或a >0.(理)“a 2＝1”是“函数f (x )＝lg(21－x ＋a )为奇函数”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] a 2＝1⇒a ＝±1，f (x )＝lg(21－x ＋a )为奇函数等价于f (x )＋f (－x )＝0，即lg(21－x ＋a )＋lg(21＋x ＋a )＝0⇔(21－x ＋a )(21＋x ＋a )＝1化简得a ＝－1，故选B ． 2．(文)若集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－2<x <a }，则“A ∩B ≠∅”的充要条件是( C ) A ．a >－2 B ．a ≤－2 C ．a >－1D ．a ≥－1[解析] 由x 2－x －2<0知－1<x <2， 即A ＝{x |－1<x <2}．又B＝{x|－2<x<a}及A∩B≠∅知a>－1.(理)设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的( B ) A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[解析]由3a>3b>3，知a>b>1，所以log3a>log3b>0，所以1log3a<1log3b，即log a3<log b3，所以“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的充分条件；但是取a＝13，b＝3也满足log a3<log b3，不符合a>b>1.所以“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的充分不必要条件．A组1．(文)(2018·天津卷，1)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝( C )A．{－1,1}B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}[解析]∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．又C＝{x∈R|－1≤x<2}，∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．故选C．(理)(2018·天津卷，1)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝( B ) A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}[解析]全集为R，B＝{x|x≥1}，则∁R B＝{x|x<1}．∵集合A＝{x|0<x<2}，∴A∩(∁R B)＝{x|0＜x＜1}．故选B．2．(2018·蚌埠三模)设全集U＝{x|e x>1}，函数f(x)＝1x－1的定义域为A，则∁U A＝( A )A．(0,1] B．(0,1)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)[解析]全集U＝{x|x>0}，f(x)的定义域为{x|x>1}，所以∁U A＝{x|0<x≤1}．3．命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( C ) A ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0 B ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0 C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0 D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥0[解析] 全称命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是特称命题“∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0”．4．设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2；p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( B ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )． 对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题． 对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ， 则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇒/ a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题． 5．已知命题p ：在等差数列{a n }中，若a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有m ＋n ＝p ＋q ，命题q ：∃x 0>0,2－x 0＝e x 0，则下列命题是真命题的是( C )A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．p ∨qD ．p ∨綈q[解析] 命题p 是假命题，因为当等差数列{a n }是常数列时显然不成立，根据两个函数的图象可得命题q 是真命题，∴p ∨q 是真命题，故选C ．6．设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}，集合N ＝{x |(12)x ≤4}，则M ∪N ＝( A )A ．{x |x ≥－2}B ．{x |x >－1}C ．{x |x ≤－1}D ．{x |x ≤－2}[解析] 因为M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}＝{x |－2<x <－1}，N ＝[－2，＋∞)，所以M ∪N ＝[－2，＋∞)，故选A ．7．设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( D ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 取a ＝－b ≠0，则|a |＝|b |≠0，|a ＋b |＝|0|＝0，|a －b |＝|2a |≠0，所以|a ＋b |≠|a －b |，故由|a |＝|b |推不出|a ＋b |＝|a －b |.由|a ＋b |＝|a －b |，得|a ＋b |2＝|a －b |2，整理得a·b ＝0，所以a ⊥b ，不一定能得出|a |＝|b |，故由|a ＋b |＝|a －b |推不出|a |＝|b |.故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．故选D ．8．下列四个命题中正确命题的个数是( A )①对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1>0； ②m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件； ③已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则线性回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08；④若实数x ，y ∈[－1,1]，则满足x 2＋y 2≥1的概率为π4.A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ①错，应当是綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0；②错，当m ＝0时，两直线也垂直，所以m ＝3是两直线垂直的充分不必要条件；③正确，将样本点的中心的坐标代入，满足方程；④错，实数x ，y ∈[－1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x 2＋y 2<1所表示的平面区域的面积为π，所以满足x 2＋y 2≥1的概率为4－π4.9．(文)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0<x <9，x ∈R }和B ＝{x |－4<x <4，x ∈Z }关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所求集合中的元素共有( B )A ．3个B ．4个C ．5个D ．无穷多个[解析] 由Venn 图可知，阴影部分可表示为(∁U A )∩B ．由于∁U A ＝{x |x ≤0或x ≥9}，于是(∁U A )∩B ＝{x |－4<x ≤0，x ∈Z }＝{－3，－2，－1,0}，共有4个元素．(理)设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x －2)<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( B )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}[解析] 分别化简两集合可得A ＝{x |0<x <2}， B ＝{x |x <1}，故∁U B ＝{x |x ≥1}， 故阴影部分所示集合为{x |1≤x <2}． 10．下列命题的否定为假命题的是( D ) A ．∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0 B ．任意一个四边形的四顶点共圆 C ．所有能被3整除的整数都是奇数 D ．∀x ∈R ，sin 2x ＋cos 2x ＝1[解析] 设命题p ：∀x ∈R ，sin 2x ＋cos 2x ＝1，则綈p ：∃x ∈R ，sin 2x ＋cos 2x ≠1，显然綈p 是假命题．11．已知全集U ＝R ，设集合A ＝{x |y ＝ln(2x －1)}，集合B ＝{y |y ＝sin(x －1)}，则(∁U A )∩B 为( C )A ．(12，＋∞)B ．(0，12]C ．[－1，12]D ．∅[解析] 集合A ＝{x |x >12}，则∁U A ＝{x |x ≤12}，集合B ＝{y |－1≤y ≤1}，所以(∁U A )∩B ＝{x |x ≤12}∩{y |－1≤y ≤1}＝[－1，12]．12．给定命题p ：函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题q ：函数y ＝e x －1e x ＋1为偶函数，下列说法正确的是( B )A ．p ∨q 是假命题B ．(綈p )∧q 是假命题C ．p ∧q 是真命题D ．(綈p )∨q 是真命题[解析] 对于命题p ：y ＝f (x )＝ln[(1－x )(1＋x )]， 令(1－x )(1＋x )>0，得－1<x <1.所以函数f (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称， 因为f (－x )＝ln[(1＋x )(1－x )]＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以命题p 为真命题；对于命题q ：y ＝f (x )＝e x －1e x ＋1，函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝e －x －1e －x＋1＝1e x －11e x ＋1＝1－e x 1＋e x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，所以命题q 为假命题，所以(綈p )∧q 是假命题．13．已知命题p ：x ≥1，命题q ：1x <1，则綈p 是q 的既不充分也不必要条件．[解析] 由题意，得綈p 为x <1，由1x <1，得x >1或x <0，故q 为x >1或x <0，所以綈p是q 的既不充分也不必要条件．14．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x －x －a 有零点，则綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点.[解析]全称命题的否定为特称命题，綈p：∃a0>0，a0≠1，函数f(x)＝a x0－x－a0没有零点．15．已知集合A＝{x∈R||x－1|<2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于3.[解析]A＝{x∈R||x－1|<2}＝{x∈R|－1<x<3}，集合A中包含的整数有0,1,2，故A∩Z＝{0,1,2}．故A∩Z中所有元素之和为0＋1＋2＝3.16．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p 且q”是真命题，则实数a的取值范围为(－∞，－2].[解析]由已知条件可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤0，由命题q为真得a≤－2或a≥1，所以a≤－2.B组1．设集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈Z}，则A∩B＝( C )A．{－1} B．{0}C．{－1,0} D．{0,1}[解析]本题主要考查一元二次不等式的解法与集合的表示方法、集合间的基本运算．依题意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1，x∈Z}＝{－1,0}，选C．2．已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg(x－1)}，集合B＝{y|y＝x2＋2x＋5}，则A∩B＝( C )A．∅B．(1,2]C．[2，＋∞) D．(1，＋∞)[解析]由x－1>0，得x>1，故集合A＝(1，＋∞)，又y＝x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥4＝2，故集合B＝[2，＋∞)，所以A∩B＝[2，＋∞)，故选C．3．给出下列命题：①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；②若log2x＋log x2≥2，则x>1；③“若a>b>0且c<0，则ca>cb”的逆否命题；④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．其中真命题的是( A )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④[解析] ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋1log 2x ≥2，得x >1；③中由a >b >0，得1a <1b ，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p 且q 为假只能得出p ，q 中至少有一个为假，④不正确．4．设x 、y ∈R ，则“|x |≤4且|y |≤3”是“x 216＋y 29≤1”的( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] “|x |≤4且|y |≤3”表示的平面区域M 为矩形区域，“x 216＋y 29≤1”表示的平面区域N 为椭圆x 216＋y 29＝1及其内部，显然NM ，故选B ．5．(文)若集合A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |(x ＋2)(x －a )<0}，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 当a ＝1时，B ＝{x |－2<x <1}，∴A ∩B ＝∅，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分条件；当A ∩B ＝∅时，得a ≤2，则“a ＝1”不是“A ∩B ＝∅”的必要条件，故“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分不必要条件．(理)设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥1”是“x 2＋y 2≥2”的( D ) A ．既不充分又不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．充分不必要条件[解析] 当x ≥1，y ≥1时，x 2≥1，y 2≥1，所以x 2＋y 2≥2；而当x ＝－2，y ＝－4时，x 2＋y 2≥2仍成立，所以“x ≥1且y ≥1”是“x 2＋y 2≥2”的充分不必要条件，故选D ．6．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，则集合A ×B 中属于集合{(x ，y )|log x y ∈N }的元素个数是( B )A ．3B ．4C ．8D ．9[解析] 用列举法求解．由给出的定义得A ×B ＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)}．其中log 22＝1，log 24＝2，log 28＝3，log 44＝1，因此，一共有4个元素，故选B ．7．(2018·东北三省四市一模)已知命题p ：函数y ＝lg(1－x )在(－∞，1)内单调递减，命题q ：函数y ＝2cos x 是偶函数，则下列命题中为真命题的是( A )A ．p ∧qB ．(綈p )∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )[解析] 命题p ：函数y ＝lg(1－x )在(－∞，1)上单调递减，是真命题； 命题q ：函数y ＝2cos x 是偶函数，是真命题． 则p ∧q 是真命题．故选A ．8．已知条件p ：x 2－2x －3<0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( D )A ．a >3B ．a ≥3C ．a <－1D ．a ≤－1[解析] 由x 2－2x －3<0得－1<x <3，设A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x >a }，若p 是q 的充分不必要条件，则A B ，即a ≤－1. 9．若集合P ＝{x |3<x ≤22}，非空集合Q ＝{x |2a ＋1≤x <3a －5}，则能使Q ⊆(P ∩Q )成立的a 的取值范围为( D )A ．(1,9)B ．[1,9]C ．[6,9)D ．(6,9] [解析] 依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1<3a －5，2a ＋1>3，3a －5≤22，解得6<a ≤9，即实数a 的取值范围为(6,9]． 10．下列说法正确的是( D )A ．命题“存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋2 018>0”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋x ＋2 018<0”B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．函数f (x )＝1x在其定义域上是减函数D ．给定命题p ，q ，若“p 且q ”是真命题，则綈p 是假命题[解析] 对于A ，特称命题的否定为全称命题，所以命题“存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋2 018>0”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋x ＋2 018≤0”，故A 不正确．对于B ，两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；反之，不然．即两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，故B 不正确．对于C ，函数f (x )＝1x 在(－∞，0)，(0，＋∞)上分别是减函数，但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)内既不是增函数，也不是减函数，如取x 1＝－1，x 2＝1，有x 1<x 2，且f (x 1)＝－1，f (x 2)＝1，则f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )＝1x 在其定义域上不是减函数，故C 不正确．对于D ，因为“p 且q ”是真命题，则p ，q 都是真命题，所以綈p 是假命题，故D 正确．11．如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝{0,6}.[解析] 由题意可知，－2x ＝x 2＋x ， 所以x ＝0或x ＝－3，而当x ＝0时，不符合元素的互异性，舍去； 当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}．12．命题“∀x ∈[1,2]，使x 2－a ≥0”是真命题，则a 的取值范围是(－∞，1]. [解析] 命题p ：a ≤x 2在[1,2]上恒成立，y ＝x 2在[1,2]上的最小值为1， 所以a ≤1.13．设p ：(x －a )2>9，q ：(x ＋1)(2x －1)≥0，若綈p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[72，＋∞).[解析] 綈p ：(x －a )2≤9，所以a －3≤x ≤a ＋3，q ：x ≤－1或x ≥12，因为綈p 是q 的充分不必要条件， 所以a ＋3≤－1或a －3≥12，即a ≤－4或a ≥72.14．给出下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0；②“(x －3)(x －4)＝0”是“x －3＝0”的充分而不必要条件；③命题“若b ＝0，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，且a ≠0)是偶函数”的否命题是“若b ≠0，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，且a ≠0)是奇函数”；④若a >0，b >0，a ＋b ＝4，则1a ＋1b 的最小值为1.其中正确结论的序号为①④.[解析] 由特称命题的否定知①正确；(x －3)(x －4)＝0⇒x ＝3或x ＝4，x ＝3⇒(x －3)(x －4)＝0，所以“(x －3)·(x －4)＝0”是“x －3＝0”的必要而不充分条件，所以②错误；函数可能是偶函数，奇函数，也可能是非奇非偶的函数，结论③中“函数是偶函数”的否定应为“函数不是偶函数”，故③不正确；因为a >0，b >0，a ＋b ＝4，所以1a ＋1b ＝a ＋b 4·(1a ＋1b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥12＋2b 4a ·a4b＝1，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，所以④正确．第二讲向量运算与复数运算、算法、推理与证明本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)加强对向量加法、减法的平行四边形法则与三角形法则的理解、掌握两向量共线与垂直的条件，熟记平面向量的相关公式，掌握求模、夹角的方法．(2)掌握复数的基本概念及运算法则，在备考时注意将复数化为代数形式再进行求解，同时注意“分母实数化”的运用．(3)关注程序框图和基本算法语句的应用与判别，尤其是含循环结构的程序框图要高度重视．(4)掌握各种推理的特点和推理过程，同时要区分不同的推理形式，对归纳推理要做到归纳到位、准确；对类比推理要找到事物的相同点，做到类比合，对演绎推理要做到过程严密．预测2019年命题热点为：(1)利用平面向理的基本运算解决数量积、夹角、模或垂直、共线等问题，与三角函数、解析几何交汇命题．(2)单独考查复数的四则运算，与复数的相关概念、复数的几何意义等相互交汇考查． (3)程序框图主要是以循环结构为主的计算、输出、程序框图的补全，与函数求值、方程求解、不等式求解数列求和、统计量的计算等交汇在一起命题．(4)推理问题考查归纳推理和类比推理，主要与数列、立体几何、解析几何等结合在一起命题．Z 知识整合hi shi zheng he1．重要公式(1)两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则①a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0，λ∈R )⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (2)复数的四则运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i(a ，b ，c ，d ∈R )． (a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i(a ，b ，c ，d ∈R )． (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0)．2．重要性质及结论(1)若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.(2)已知OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.. (3)平面向量的三个性质①若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|③设θ为a 与b (a ≠0，b ≠0)的夹角，且a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝(4)复数运算中常用的结论：①(1±i)2＝±2i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i＝－i ；④－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；⑤i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，其中n ∈N *3．推理与证明 (1)归纳推理的思维过程实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论 (2)类比推理的思维过程实验、观察→联想、类推→猜测新的结论 (3)(理)数学归纳法证题的步骤①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n ＝n 0(n 0∈N *)时，命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题也成立． 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对于任何n ≥n 0的正整数都成立．Y 易错警示i cuo jing shi1．忽略复数的定义：在解决与复数概念有关的问题时，在运用复数的概念时忽略某一条件而致误． 2．不能准确把握循环次数解答循环结构的程序框图(流程图)问题，要注意循环次数，防止多一次或少一次的错误． 3．忽略特殊情况：两个向量夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价；两个向量夹角为钝角与向量的数量积小于0不等价．1．(2018·全国卷Ⅰ，1)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( C ) A ．0 B ．12C ．1D ． 2[解析] ∵ z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ，∴ |z |＝1. 故选C ．2．(2018·全国卷Ⅱ，1)1＋2i1－2i ＝( D )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i[解析] 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝1－4＋4i 1－(2i )2＝－3＋4i 5＝－35＋45i.故选D ．3．(2018·全国卷Ⅱ，4)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( B ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0[解析] a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b . ∵ |a |＝1，a ·b ＝－1，∴ 原式＝2×12＋1＝3. 故选B ．4．(2018·全国卷Ⅰ，6)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( A ) A ．34AB →－14AC →B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC →[解析] 作出示意图如图所示．EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 故选A ．5．(2018·北京卷，2)在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [解析]11－i ＝12＋i 2，其共轭复数为12－i2，对应点位于第四象限．故选D ．6．(2018·全国卷Ⅱ，7)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( B )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4[解析] 把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下.因为N ＝N ＋1i ，由上表知i 是1→3→5，…，所以i ＝i ＋2.故选B ．7．(2018·天津卷，3)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 输入N 的值为20，第一次执行条件语句，N ＝20，i ＝2，Ni ＝10是整数，∴ T ＝0＋1＝1，i ＝3<5；第二次执行条件语句，N ＝20，i ＝3，N i ＝203不是整数，∴ i ＝4<5；第三次执行条件语句，N ＝20，i ＝4，Ni ＝5是整数，∴ T ＝1＋1＝2，i ＝5，此时i ≥5成立，∴ 输出T ＝2. 故选B ．8．(2018·天津卷，9)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i ＝4－i.[解析]6＋7i 1＋2i ＝(6＋7i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝20－5i5＝4－i.9．(2018·北京卷，9)设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝－1. [解析] a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )，则m a －b ＝(m ＋1，－m )． 由a ⊥(m a －b )得a ·(m a －b )＝0， 即m ＋1＝0，得m ＝－1.10．(2018·全国卷Ⅲ，13)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝12.[解析] 2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.命题方向1 平面向量的运算例1 (1)如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝( B )A ．43B ．53C ．158D ．2[解析] 方法一：建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，M (2,1)，D (0,2)，所以AC →＝(2,2)，AM →＝(2,1)，BD →＝(－2,2)．由AC →＝λAM →＋μBD →，得(2,2)＝λ(2,1)＋μ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.故选B ．方法二：因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BA →＋AD →)＝λ(AB →＋12AD →)＋μ(－AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →＋(12λ＋μ)AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.故选B ．(2)在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μDB →，则λμ＝29.[解析] 由图形可得：AM →＝AB →＋12AD →①，DB →＝AB →－AD →②，①×2＋②得：2AM →＋DB →＝3AB →，即AB →＝23AM →＋13DB →，所以λ＝23，μ＝13，所以λμ＝29.『规律总结』1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向．G 跟踪训练en zong xun lian1．过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A ―→·PB ―→＝32.[解析] 圆心为O (0,0)，则3，∠OP A ＝∠OPB ＝π6，则∠APB ＝π3，所以cos ∠APB ＝3·3·cos π3＝32.2．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(0,2)，若a ⊥(b －c )，则实数x 的值为( A ) A ．43B ．34C ．－34D ．－43[解析] 因为b －c ＝(x ，－4)，又a ⊥(b －c )，所以a ·(b －c )＝3x －4＝0，所以x ＝43.命题方向2 复数的概念与运算例2 (1)已知复数z 1＝3＋i1－i的实部为a ，复数z 2＝i(2＋i)的虚部为b ，复数z ＝b＋a i 的共轭复数在复平面内的对应点在( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限。
2024版高考数学总复习：等差数列教师用书
第二节等差数列考试要求：1．理解等差数列的概念和通项公式的意义．2．探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．一、教材概念·结论·性质重现1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．递推公式为：a n＋1－a n＝d(n∈N*)．注意定义中“从第2．等差数列的通项公式(1)首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的通项公式为a n＝a1＋(n－1)d．(2)若已知a k，公差是d，则这个等差数列的通项公式是a n＝a k＋(n－k)d．当d≠0时，等差数列通项公式可以看成关于3．等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广公式：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)⇔d＝��−���−�(n≠m)．(2)若{a n}为等差数列，且m＋n＝p＋q＝2w，则a m＋a n＝a p＋a q＝2a w(m，n，p，q，w∈N*)．(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)若{a n}，{b n}是等差数列，则{pa n＋qb n}也是等差数列．5．等差数列的前n项和公式及其性质(1)设等差数列{a n}的公差为d，其前n项和S n2na1.(2)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列．(4)n为奇数时，S n＝na中(a中＝��+12)，S奇＝�+12a中，S偶＝�−12a中，所以S奇－S偶＝a中．n为偶数时，S偶－S奇＝� 2.数列{a n }是等差数列⇔数列的前n 项和公式S n ＝2n 2＋�1−2n ⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)，所以当d ≠0时，等差数列前n 项和公式可以看成关于n 的二次函数，且常数项为0.1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．(√)(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．(×)(4)若{a n }是等差数列，公差为d ，则数列{a 3n }也是等差数列．(√)2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝()A．36B．72C．144D．288B 解析：因为a 8＋a 10＝2a 1＋16d ＝28，a 1＝2，所以d ＝32，所以S 9＝9×2＋9×82×32＝72.3．已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为()A．1B．2C．3D．4B 解析：公差d ＝�13−�313−3＝2.4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是()A．d ＞875B．d ＜325C．875＜d ＜325D．875＜d ≤325D解析：由题意可得�10＞1，�9≤1，即125+9 ＞1，125+8 ≤1，解得875＜d ≤325.5．已知等差数列5，427，347，…，则前n 项和Sn ＝________．514(15n －n 2)解析：由题知公差d ＝－57，所以S n ＝na 1＋��−1d ＝114(75n －5n 2)＝514(15n －n 2)．考点1等差数列的基本量运算——基础性1．(多选题)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则下列选项正确的是()A．a 2＋a 3＝0B．a n ＝2n －5C．S n ＝n (n －4)D．d ＝－2ABC解析：由题意可知，�4=4�1+4×32=0，�5=�1+4 =5，解得�1=−3， =2.故a n ＝2n －5，S n ＝n 2－4n .故选ABC．2．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝()A．－12B．－10C．10D．12B 解析：设等差数列{an }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得33�1＝2a 1＋4a 1，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.3．(2022·全国乙卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若2S 3＝3S 2＋6，则公差d ＝________．2解析：因为2S 3＝3S 2＋6，所以2(a 1＋a 2＋a 3)＝3(a 1＋a 2)＋6，因为{a n }为等差数列，所以6a 2＝3a 1＋3a 2＋6，所以3(a 2－a 1)＝3d ＝6，解得d ＝2.将条件用a 1使结果不对．考点2等差数列的判断与证明——综合性(2022·日照模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14��，b n ＝22��−1，其中n ∈N *.求证：数列{b n }是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式．证明：因为b n ＋1－b n ＝22��+1−1−22��−1＝2211−1−22��−1＝4��2��−1−22��−1＝2，所以数列{b n }是公差为2的等差数列．又b 1＝22�1−1＝2，所以b n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，所以2n ＝22��−1，解得a n ＝�+12�.(1)定义法：证明对任意正整数(2)等差中项法：证明对任意正整数已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明：因为a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，所以a n ＝－2S n ·S n －1.又a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1(n ≥2)．又S n ≠0，因此1��−1��−1＝2(n ≥2)．是以1�1＝1�1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)解：由(1)知1��＝1�1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12�.由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1又因为a 1＝12不适合上式，所以a n ＝12，�=1，−�≥2.考点3等差数列性质的应用——应用性考向1等差数列的项的性质(1)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝6，则3a 2＋a 16的值为()A．24B．18C．16D．12D解析：由题意知a 3＋a 8＝2a 1＋9d ，3a 2＋a 16＝4a 1＋18d ＝2(a 3＋a 8)＝12.故选D．(2)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若�5�3＝59，则�9�5＝()A．1B．－1C．2D．12A解析：方法一：�9�5＝9�1+�95�1+�5＝9�55�3，因为�5�3＝59，所以�9�5＝1.故选A．方法二：因为�5�3＝59⇒�1+4 �1+2＝59⇒2a 1＝－13d ，所以�9�5＝9�1+�95�1+�5＝92�1+8 52�1+4＝9−5 5−9＝1.等差数列中最常用的性质(1)d ＝��−���−�.(2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .一个正项等差数列{a n }的前n 项和为3，前3n 项和为21，则前2n 项和为()A．18B．12C．10D．6C 解析：因为{a n }是等差数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，即2(S 2n －S n )＝S n ＋(S 3n －S 2n )．因为S n ＝3，S 3n ＝21，所以2(S 2n －3)＝3＋21－S 2n ，解得S 2n ＝10.在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则(1)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m …成等差数列．(2)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)．(3)S 2n －1＝(2n －1)a n .1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 11＝a 9＋7，则S 25＝()A．1452B．145C．1752D．175D解析：因为2a 11＝a 9＋a 13＝a 9＋7，所以a 13＝7，所以S 25a 13＝175.故选D．2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝5，则S 40＝()A．7B．8C．9D．10B 解析：方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则10�1+10×92=1，30�1+30×292=5，解得 =1150，�1=7100，所以S 40＝7100×40＋40×392×1150＝8.故选B．方法二：设等差数列前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，由题意知100�+10�=1，900�+30�=5，解得�=1300，�=115.所以S n ＝�2300+�15，所以S 40＝8.故选B．方法三：由等差数列的性质知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等差数列，所以2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，所以S 20＝S 10＋�303＝1＋53＝83.所以d ＝(S 20－S10)－S 10＝23，所以S 40－5＝1＋3×23＝3，所以S 40＝8.故选B．所以�1010，�2020，�3030，�4040，即110，�2020，16，�4040成等差数列，所以�4040＝16+16−1102＝15，所以S 40＝8.故选B．考点4等差数列前n 项和的最值——综合性记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n ，并求S n 的最小值．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －9.(2)由(1)得S n ＝�1+��2·n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.1．等差数列{如果a 1＞0，如果a 1＜0，在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．−1，−解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得 ＜0，�8＞0，�9＜0，即 ＜0，7+7 ＞0，7+8 ＜0，解得－1＜d ＜－78.在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15.求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．[四字程序]读想算思n 取何值时，S n 取得最大值1．S n 的表达式．2．求最值的方法1．求通项公式a n .2．求前n 项和S n转化与化归等差数列，a 1＝20，S 10＝S 151．利用等差数列的项的符号．2．利用二次函数的性质1．a n ＝－53n ＋653.2．S n ＝－56n 2＋1256n 1．数列的单调性．2．二次函数的性质思路参考：先求出公差d ，再由a n 确定S n 取得最大值时n 的值．解：因为a 1＝20，S 10＝S 15，所以10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，所以d ＝－53.由a n ＝20＋(n －1)×−53＝－53n ＋653.因为a 1＝20>0，d ＝－53<0，所以数列{a n }是递减数列．由a n ＝－53n ＋653≤0，得n ≥13，即a 13＝0.当n ≤12时，a n ＞0；当n ≥14时，a n ＜0.所以当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×−53思路参考：先求出公差d ，再由S n 的表达式确定其最大值．解：因为a 1＝20，S 10＝S 15，所以10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，所以d ＝－53.S n ＝20n ＋��−1·53＝－56n 2＋1256n ＝－56�−252＋312524.因为n ∈N *，所以当n ＝12或13时，S n有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.思路参考：利用等差数列的性质求解．解：由S 10＝S 15得S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0，所以5a 13＝0，即a 13＝0.又d ＝�13−�113−1＝－53，所以当n ＝12或13时，S n 有最大值．所以S 12＝12×20＋12×112×−53思路参考：结合二次函数知识解答．解：因为等差数列{a n }的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，且S 10＝S 15，所以10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，所以d ＝－53.又10+152＝12.5，所以n ＝12或13时，S n 取得最大值．所以S 12＝12×20＋12×112×−531．基于课程标准，解答本题一般需要具备良好的数学阅读技能、运算求解能力、推理能力和表达能力．本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养，试题的解答过程展现了数学文化的魅力．2．基于高考数学评价体系，本题创设了数学探索创新情景，通过知识之间的联系和转化，将最值转化为熟悉的数学模型．本题的切入点十分开放，可以从不同的角度解答题目，体现了基础性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？解：(方法一)由S 3＝S 11，得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d ＝－213a 1.从而S n ＝2n 2＋�1−2＝－�113(n －7)2＋4913a 1.又a 1＞0，所以－�113＜0.故当n ＝7时，S n 最大．(方法二)由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象关于n ＝3+112＝7对称．由方法一可知二次项系数a ＝－�113＜0，故当n ＝7时，S n 最大．(方法三)由方法一可知，d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有��≥0，��+1≤0，即�1+�−1−213�1≥0，�1+�−213�1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大．(方法四)由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0.又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，S n最大．课时质量评价(四十)A组全考点巩固练1．在等差数列{a n}中，a1＋a8＋a6＝15，则此等差数列的前9项之和为()A．5B．27C．45D．90C解析：依题意a1＋a8＋a6＝15，即3a1＋12d＝15，即3a5＝15，所以a5＝5.(a1＋a9)＝9a5＝45.故选C．所以S9＝922．(2022·威海三模)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝4，S9＝18，则公差d＝() A．1B．－1C．2D．－2B解析：因为S9a5＝18，所以a5＝2，所以2d＝a5－a3＝2－4＝－2，解得d＝－1.3．一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，佛塔依山势自上而下，按1，3，3，5，5，7，9，11，13，15，17，19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2～4层为八角鼓腹锥顶状，5～6层呈葫芦状，7～12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108.则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为()一百零八塔全景A．第5行，呈葫芦状B．第6行，呈葫芦状C．第7行，呈宝瓶状D．第8行，呈宝瓶状C解析：因为1＋3＋3＋5＋5＋7＝24，故编号为26的佛塔在第7行，呈宝瓶状．故选C．4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，2S8＝S7＋S10，则S21＝()A．21B．11C．－21D．0D解析：由2S 8＝S 7＋S 10，得S 8－S 7＝S 10－S 8，所以a 8＝a 9＋a 10，则a 10＋a 9－a 8＝a 11＝0，所以S 21＝2·�11·212＝21a 11＝0.故选D．5．(2022·长春模拟)在等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时的n 的值为()A．6B．7C．8D．9C 解析：因为|a 6|＝|a 11|且公差d >0，所以a 6＝－a 11，所以a 6＋a 11＝a 8＋a 9＝0，且a 8<0，a 9>0，所以a 1<a 2<…<a 8<0<a 9<a 10<…，所以使S n 取最小值的n 的值为8.故选C．6．(多选题)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ＝1.若a 1＋3a 5＝S 7，则以下结论一定正确的是()A．a 5＝1B．S n 的最小值为S 3C．S 1＝S 6D．S n 存在最大值AC 解析：因为a 1＋3a 5＝S 7，所以a 1＋3(a 1＋4d )＝7a 1＋7×62d ，又因为d ＝1，解得a 1＝－3.对选项A，a 5＝a 1＋4d ＝1，故A 正确；对选项B，a n ＝－3＋n －1＝n －4，因为a 1＝－3<0，a 3＝－1<0，a 4＝0，a 5＝1>0，所以S n 的最小值为S 3或S 4，故B 错误；对选项C，S 6－S 1＝a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝5a 4，又因为a 4＝0，所以S 6－S 1＝0，即S 1＝S 6，故C 正确；对选项D，因为a 1＝－3<0，d ＝1>0，所以S n 无最大值，故D 错误．7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则�11�5＝______．225解析：�11�5＝2�1+�115�1+�5＝11�65�3＝225.8．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意正整数n 都有����＝2�−34�−3，则�9�5+�7+�3�8+�4的值为________．1941解析：因为{a n }，{b n }为等差数列，所以�9�5+�7+�3�8+�4＝�92�6+�32�6＝�9+�32�6＝�6�6.因为�11�11＝�1+�11�1+�11＝2�62�6＝2×11−34×11−3＝1941，所以�9�5+�7+�3�8+�4＝1941.9．已知等差数列{a n }的前三项的和为－9，前三项的积为－15.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若{a n }为递增数列，求数列{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)设公差为d ，则依题意得a 2＝－3，则a 1＝－3－d ，a 3＝－3＋d ，所以(－3－d )(－3)(－3＋d )＝－15，得d 2＝4，d ＝±2，所以a n ＝－2n ＋1或a n ＝2n －7.(2)由题意得a n ＝2n －7，所以|a n |＝7−2�，�≤3，2�−7，�≥4，①n ≤3时，Sn ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n ＝6n －n 2；②n ≥4时，S n ＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋…＋a n ＝−2(�1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋…＋a n )＝18－6n ＋n 2.综上，数列{|a n |}的前n 项和S n ＝−�2+6�，�≤3，�2−6�+18，�≥4.B 组新高考培优练10．(2022·广西模拟)将1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则a 12＝()A．130B．132C．142D．144C 解析：被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，这样的数构成首项为10，公差为12的等差数列，所以a n ＝10＋12(n －1)＝12n －2，故a 12＝10＋12(12－1)＝142.故选C．11．德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行1＋2＋3＋…＋100的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知某数列通项a n ＝2�−1002�−101，则a 1＋a 2＋…＋a 100＝()A．98B．99C．100D．101C 解析：由题意，a n ＋a 101－n ＝2�−1002�−101101−�＝2�−1002�−101+2�−1022�−101＝2，所以a 1＋a 100＝a 2＋a 99＝…＝a 50＋a 51，所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(a 1＋a 100)＋(a 2＋a 99)＋…＋(a 50＋a 51)＝50×2＝100.12．(多选题)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有()A．a 10＝0B．S 10最小C．S 7＝S 12D．S 20＝0AC 解析：根据题意，数列{a n }是等差数列，若a 1＋5a 3＝S 8，即a 1＋5a 1＋10d ＝8a 1＋28d ，变形可得a 1＝－9d .又由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －10)d ，则有a 10＝0，故A 一定正确；不能确定a 1和d 的符号，不能确定S 10最小，故B 不正确；又由S n ＝na 1nd ＝2×(n 2－19n )，则有S 7＝S 12，故C 一定正确；则S 20＝20a 1＋20×192d ＝－180d ＋190d ＝10d .因为d ≠0，所以S 20≠0，则D 不正确．故选AC．13．已知数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，且a n ＋2－a n ＝1+−1�，�∈�∗，则该数列的前9项之和为________．34解析：因为a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，n ∈N *，所以，当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，则数列{a 2n＋1}是常数列，a 2n ＋1＝a 1＝2，当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，则数列{a 2n }是以a 2＝3为首项，2为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＝(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)＋(a 2＋a 4＋a 6＋a 8)＝2×5＋3×4+4×32×2＝34.14．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x ＝0，过点P (1，2)的该圆的三条弦的长a 1，a 2，a3构成等差数列，则数列a 1，a 2，a 3的公差的最大值是________．2解析：如图，由x 2＋y 2－6x ＝0，得(x －3)2＋y 2＝9，所以圆心坐标C (3，0)，半径R ＝3.由圆的性质可知，过点P (1，2)的该圆的弦的最大值为圆的直径，等于6，最小值为过点P 且垂直于CP 的弦的弦长．因为|CP |＝3−12+0−22＝22，所以|AB |＝232−222＝2，即a 1＝2，a 3＝6.所以公差d 的最大值为�3−�12＝6−22＝2.15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1.数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1－2b n ＝8a n .(1)求数列{a n }的通项公式；b n }的通项公式．(1)解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝21－1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n -1－1)＝2n -1.当n ＝1时显然满足上式，所以a n ＝2n -1.(2)证明：因为b n ＋1－2b n ＝8a n ，所以b n ＋1－2b n ＝2n +2，即��+12�+1−��2�＝2.又�121＝1，1，公差为2的等差数列．所以��2�＝1＋2(n －1)＝2n －1.所以b n ＝(2n －1)×2n .16．在数列{a n }，{b n }中，设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，3b 1＋5b 2＋…＋(2n ＋1)b n ＝2n ·a n ＋1，n ∈N *.(1)求a n 和S n ；(2)当n ≥k 时，b n ≥8S n 恒成立，求整数k 的最小值．解：(1)因为a n ＋1＝a n ＋2，所以a n ＋1－a n ＝2，所以{a n }是等差数列．又a 1＝1，所以a n ＝2n －1，从而S n n 2.(2)因为a n ＝2n －1，所以3b 1＋5b 2＋7b 3＋…＋(2n ＋1)b n ＝2n ·(2n －1)＋1，①当n ≥2时，3b 1＋5b 2＋7b 3＋…＋(2n －1)b n －1＝2n -1·(2n －3)＋1.②①－②可得(2n ＋1)b n ＝2n -1·(2n ＋1)(n ≥2)，即b n ＝2n -1.而b 1＝1也满足上式，故b n ＝2n -1.令b n ≥8S n ，则2n -1≥8n 2，即2n -4≥n 2.又210-4＜102，211-4＞112，结合指数函数增长的性质，可知整数k 的最小值是11.。
北师大文科数学高考总复习教师用书：选修 含答案
第1讲绝对值不等式最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.知识梳理1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0 |x|<a (－a，a)∅∅|x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x －1|＋|x ＋2|＜2的解集为∅.( )(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a ＞b ＞0时等号成立．( ) (4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立．( ) (5)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8 解析 分类讨论：当a ≤2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1－a ，x <－1，－x ＋1－a ，－1≤x ≤－a2，3x ＋1＋a ，x >－a2，显然，x ＝－a 2时，f (x )min ＝a2＋1－a ＝3，∴a ＝－4，当a >2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1－a ，x <－a 2，x －1＋a ，－a 2≤x ≤－1，3x ＋1＋a ，x >－1，显然x ＝－a 2时，f (x )min ＝－a2－1＋a ＝3，∴a ＝8.答案 D3．(2015·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集为________． 解析 ①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x ≤1.②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2， ∴x <4，∴1<x <4，③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立． 综上，原不等式的解集为(－∞，4)． 答案 (－∞，4)4．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 解析 ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6. ∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2. 答案 25．若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________． 解析 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x ＜－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12，当x ＜－2时，y ＝－3x －1＞5； 当－2≤x ＜12时，5≥y ＝－x ＋3＞52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12考点一 含绝对值不等式的解法 【例1】 解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5.解 法一 如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A ，B ，则不等式的解就是数轴上到A ，B 两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A 向左移动一个单位到点A 1，此时A 1A ＋A 1B ＝1＋4＝5.把点B 向右移动一个单位到点B 1，此时B 1A ＋B 1B ＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．法二 原不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5⇔⎩⎨⎧x ≤－2，－(x －1)－(x ＋2)≥5或⎩⎨⎧－2＜x ＜1，－(x －1)＋x ＋2≥5 或⎩⎨⎧x ≥1，x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2或x ≤－3， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．法三 将原不等式转化为|x －1|＋|x ＋2|－5≥0. 令f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|－5，则f (x )＝⎩⎨⎧－2x －6，x ≤－2，－2，－2＜x ＜1，2x －4，x ≥1.作出函数的图像，如图所示．由图像可知，当x ∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y ≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).规律方法 形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体；(3)图像法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图像，结合图像求解． 【训练1】 (2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)在图中画出y ＝f (x )的图像； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．解(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由f (x )的表达式及图像，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧xx <13或}1<x <3或x >5.考点二 含参数的绝对值不等式问题【例2】 (1)对任意x ，y ∈R ，求|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值； (2)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －2y ＋1|的最大值． 解 (1)∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1， ∴|y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥1＋2＝3. ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.(2)|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.规律方法 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥|a |－|b |；(3)利用零点分区间法．【训练2】 (1)若关于x 的不等式|2 014－x |＋|2 015－x |≤d 有解，求实数d 的取值范围；(2)不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥|a －2|＋sin y 对一切非零实数x ，y 均成立，求实数a 的取值范围．解 (1)∵|2 014－x |＋|2 015－x |≥|2 014－x －2 015＋x |＝1， ∴关于x 的不等式|2 014－x |＋|2 015－x |≤d 有解时，d ≥1. (2)∵x ＋1x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ∈[2，＋∞)，其最小值为2. 又∵sin y 的最大值为1，故不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥|a －2|＋sin y 恒成立时，有|a －2|≤1，解得a ∈[1,3]. 考点三 含绝对值的不等式的应用【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解． 当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以实数a 的取值范围是[2，＋∞)．规律方法 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．【训练3】 (2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0， 解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2. 所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎨⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a＋1,0)，C (a ，a ＋1)， △ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以实数a 的取值范围为(2，＋∞)．[思想方法]1．绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法． 2．不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决． [易错防范]1．可以利用绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |求函数最值，要注意其中等号成立的条件．2．掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．(建议用时：60分钟)1．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)＞2；(2)求函数y＝f(x)的最小值．解(1)法一令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－12，x＝4. 原不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧x＜－12，－x－5＞2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x＜4，3x－3＞2或⎩⎨⎧x≥4，x＋5＞2.即⎩⎪⎨⎪⎧x＜－12，x＜－7或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x＜4，x＞53或⎩⎨⎧x≥4，x＞－3，∴x＜－7或x＞53.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪x＜－7或x＞53.法二f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x－5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x＜－123x－3 ⎝⎛⎭⎪⎫－12≤x＜4x＋5 (x≥4)画出f(x)的图像，如图所示．求得y＝2与f(x)图像的交点为(－7,2)，⎝⎛⎭⎪⎫53，2.由图像知f(x)＞2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪x＜－7或x＞53.(2)由(1)的法二图像知：当x＝－12时，知：f (x )min ＝－92.2．(2017·长沙一模)设α，β，γ均为实数．(1)证明：|cos(α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin(α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|； (2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1. 证明 (1)|cos(α＋β)|＝|cos αcos β－sin αsin β|≤ |cos αcos β|＋|sin αsin β|≤|cos α|＋|sin β|； |sin(α＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋ |cos αsin β|≤|cos α|＋|cos β|.(2)由(1)知，|cos[α＋(β＋γ)]|≤|cos α|＋|sin(β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|， 而α＋β＋γ＝0，故|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1. 3．(2016·镇江模拟)已知a 和b 是任意非零实数． (1)求|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值；(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，求实数x 的取值范围． 解 (1)∵|2a ＋b |＋(2a －b )|a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝|4a ||a |＝4，∴|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4.(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，即|2＋x |＋|2－x |≤|2a ＋b |＋|2a －b ||a |恒成立，故|2＋x |＋|2－x |≤⎝⎛⎭⎪⎫|2a ＋b |＋|2a －b ||a |min . 由(1)可知，|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4.∴x 的取值范围即为不等式|2＋x |＋|2－x |≤4的解集． 解不等式得－2≤x ≤2.故实数x 的取值范围为[－2,2]．4．(2017·广州二测)已知函数f (x )＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－a )． (1)当a ＝7时，求函数f (x )的定义域；(2)若关于x 的不等式f (x )≥3的解集是R ，求实数a 的最大值． 解 (1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|＞7，①当x ＞2时，得x ＋1＋x －2＞7，解得x ＞4. ②当－1≤x ≤2时，得x ＋1＋2－x ＞7，无解． ③当x ＜－1时，得－x －1－x ＋2＞7，解得x ＜－3. ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞)． (2)不等式f (x )≥3，即|x ＋1|＋|x －2|≥a ＋8， ∵当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 又不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a ＋8的解集是R ， ∴a ＋8≤3，即a ≤－5， ∴a 的最大值为－5.5．设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N . (1)求M ；(2)当x ∈(M ∩N )时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.(1)解 f (x )＝错误!当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1， 得x ≤43，故1≤x ≤43；当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1. 所以f (x )≤1的解集为M ＝{x |0≤x ≤43}．(2)证明 由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34.因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0≤x ≤34.当x ∈(M ∩N )时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14.6．(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2. (1)解不等式：|g (x )|＜5；(2)若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．解(1)由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5，所以－7＜|x－1|＜3，解不等式得－2＜x＜4，所以原不等式的解集是{x|－2＜x＜4}．(2)因为对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}，又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|2x－a－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，所以实数a的取值范围是{a|a≥－1或a≤－5}.第2讲不等式的证明最新考纲通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．知识梳理1．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．(1)比较法①求差比较法知道a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明a－b>0即可，这种方法称为求差比较法．②求商比较法由a>b>0⇔ab>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明ab>1即可，这种方法称为求商比较法.(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式相反的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．2．几个常用基本不等式(1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，等号成立)．②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．③柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(x2－x3)2＋(y2－y3)2≥(x1－x3)2＋(y1－y3)2.④柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当且仅当b i＝0(i ＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(2)算术—几何平均不等式若a1，a2，…，a n为正数，则a1＋a2＋…＋a nn≥na1a2…a n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时假设为“a，b，c全不为0”．()(2)若实数x，y适合不等式xy＞1，x＋y＞－2，则x＞0，y＞0.()答案(1)×(2)√2．(2017·泰安模拟)若a＞b＞1，x＝a＋1a，y＝b＋1b，则x与y的大小关系是()A ．x ＞yB ．x ＜yC ．x ≥yD ．x ≤y解析 x －y ＝a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝(a －b )(ab －1)ab .由a ＞b ＞1得ab ＞1，a－b ＞0，所以(a －b )(ab －1)ab ＞0，即x －y ＞0，所以x ＞y .答案 A3．(2017·聊城模拟)下列四个不等式：①log x 10＋lg x ≥2(x ＞1)；②|a －b |＜|a |＋|b |；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 log x 10＋lg x ＝1lg x ＋lg x ≥2(x ＞1)，①正确． ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确； 因为ab ≠0，b a 与ab 同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确；由|x －1|＋|x －2|的几何意义知， |x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确， 综上①③④正确． 答案 C4．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________． 解析 由柯西不等式得(ma ＋nb )2≤(m 2＋n 2)(a 2＋b 2)，即m 2＋n 2≥5，∴m 2＋n 2≥5，∴所求最小值为 5. 答案55．(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.(1)解 f (x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1；当－12<x <12时，f (x )<2成立；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1. 所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明 由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1， 从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0， 即(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.考点一 用分析法证明不等式 【例1】 设a ，b ，c ＞0，且ab ＋bc ＋ca ＝1. 求证：(1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a bc ＋b ac ＋cab ≥ 3(a ＋b ＋c )．证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥ 3， 由于a ，b ，c ＞0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )． 即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得． ∴原不等式成立．(2)a bc ＋b ac ＋c ab ＝a ＋b ＋c abc .由于(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3. 因此要证原不等式成立， 只需证明1abc≥ a ＋b ＋c . 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .规律方法 当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆． 【训练1】 (2016·宜昌一中月考)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (x －1)＋f (x ＋3)≥6；(2)若|a |＜1，|b |＜1，且a ≠0，求证：f (ab )＞|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a .解 (1)由题意，知原不等式等价为|x －2|＋|x ＋2|≥6， 令g (x )＝|x －2|＋|x ＋2|，则g (x )＝⎩⎨⎧－2x ，x ≤－2，4，－2＜x ＜2，2x ，x ≥2.当x ≤－2时，由－2x ≥6，得x ≤－3； 当－2＜x ＜2时，4≥6不成立，此时无解； 当x ≥2时，由2x ≥6，得x ≥3.综上，不等式的解集是(－∞，－3]∪[3，＋∞)． (2)证明 要证f (ab )＞|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，只需证|ab －1|＞|b －a |， 只需证(ab －1)2＞(b －a )2.而(ab －1)2－(b －a )2＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)·(b 2－1)＞0，从而原不等式成立． 考点二 用综合法证明不等式【例2】 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 证明 (1)∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b a ＋a ＋b b ＝2⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋4≥4 b a ×ab ＋4＝8.∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． (2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab ＋1，由(1)知1a ＋1b ＋1ab ≥8. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 规律方法 (1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键． (2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．【训练2】 (2017·重庆适应性测试)设a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝1. (1)求证：2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12； (2)求证：a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥2.证明 (1)因为1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2，所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22＝12(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)≤12. (2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bca ，所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b ＋ab c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ab c ＋bc a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋c a＋c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a ≥2a ＋2b ＋2c ＝2. 考点三 柯西不等式的应用 【例3】 已知x ，y ，z 均为实数．(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．(1)证明 因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27.所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3. 当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号．(2)解 因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9， 所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时， x 2＋y 2＋z 2有最小值187.规律方法 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边常数且应注意等号成立的条件.【训练3】 已知大于1的正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝3 3.求证：x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y≥32.证明 由柯西不等式及题意得，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ·[(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )]≥(x ＋y ＋z )2＝27.又(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )＝6(x＋y＋z)＝183，∴x2x＋2y＋3z ＋y2y＋2z＋3x＋z2z＋2x＋3y≥27183＝32，当且仅当x＝y＝z＝3时，等号成立．[思想方法]证明不等式的方法和技巧：(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的在本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．[易错防范]1．在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立．2．柯西不等式使用的关键是出现其结构形式，也要注意等号成立的条件.(建议用时：60分钟)1．设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1.所以M＝{x|0＜x＜1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.2．已知a ，b ，c 均为正实数，且互不相等，且abc ＝1，求证：a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c .证明 法一 ∵a ，b ，c 均为正实数，且互不相等，且abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝1bc ＋1ca ＋1ab ＜1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c .∴a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c . 法二 ∵1a ＋1b ≥21ab ＝2c ；1b ＋1c ≥21bc ＝2a ；1c ＋1a ≥21ac ＝2b .∴以上三式相加，得1a ＋1b ＋1c ≥ a ＋b ＋c . 又∵a ，b ，c 互不相等，∴1a ＋1b ＋1c ＞a ＋b ＋c . 法三 ∵a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab ＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc 2＞abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b ＋c .∴a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c .3．(2017·衡阳二联)已知函数f (x )＝|x －3|.(1)若不等式f (x －1)＋f (x )＜a 的解集为空集，求实数a 的取值范围； (2)若|a |＜1，|b |＜3，且a ≠0，判断f (ab )|a |与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 的大小，并说明理由．解 (1)因为f (x －1)＋f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|x －4＋3－x |＝1， 不等式f (x －1)＋f (x )＜a 的解集为空集， 则1≥a 即可，所以实数a 的取值范围是(－∞，1]． (2)f (ab )|a |＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a .证明：要证f (ab )|a |＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，只需证|ab －3|＞|b －3a |， 即证(ab －3)2＞(b －3a )2，又(ab －3)2－(b －3a )2＝a 2b 2－9a 2－b 2＋9＝(a 2－1)(b 2－9)． 因为|a |＜1，|b |＜3，所以(ab －3)2＞(b －3a )2成立， 所以原不等式成立．4．(2015·陕西卷)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值．解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ， 则⎩⎨⎧ －b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[(3)2＋12][((4－t ))2＋(t )2] ＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.5．(2015·全国Ⅱ卷)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2.因此a ＋b ＞c ＋d . (2)①若|a －b |＜|c －d |， 则(a －b )2＜(c －d )2,即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd . 由(1)得a ＋b ＞c ＋d .②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |＜|c －d |. 综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．6．已知a ，b ，c 均为正实数．求证：(1)(a ＋b )(ab ＋c 2)≥4abc ；(2)若a ＋b ＋c ＝3，则a ＋1＋b ＋1＋c ＋1≤3 2.证明 (1)要证(a ＋b )(ab ＋c 2)≥4abc ，可证a 2b ＋ac 2＋ab 2＋bc 2－4abc ≥0，需证b (a 2＋c 2－2ac )＋a (c 2＋b 2－2bc )≥0，即证b (a －c )2＋a (c －b )2≥0，当且仅当a ＝b ＝c 时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式(a ＋b )(ab ＋c 2)≥4abc 成立．(2)因为a ，b ，c 均为正实数，由不等式的性质知a ＋1·2≤a ＋1＋22＝a ＋32，当且仅当a ＋1＝2时，取等号，b ＋1·2≤b ＋1＋22＝b ＋32，当且仅当b ＋1＝2时，取等号，c ＋1·2≤c ＋1＋22＝c ＋32，当且仅当c ＋1＝2时，取等号， 以上三式相加，得2(a ＋1＋b ＋1＋c ＋1)≤a ＋b ＋c ＋92＝6， 所以a ＋1＋b ＋1＋c ＋1≤32，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，取等号．。
北师大文科数学高考总复习教师用书：综合法 含答案
第2讲综合法、分析法、反证法最新考纲 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点．知识梳理1．直接证明内容综合法分析法定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法.从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．实质由因导果执果索因框图表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Q n⇒QQ⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件文字语言因为……所以……或由……得……要证……只需证……即证……间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．(1)反证法的定义：在假定命题结论反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法． (2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( ) (2)用反证法证明结论“a >b ”时，应假设“a <b ”．( ) (3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( )(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( )解析 (1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件． (2)应假设“a ≤b ”． (3)反证法只否定结论．答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0解析 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0. 答案 D3．若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2<bc 2 B ．a 2>ab >b 2 C.1a <1b D.b a >a b解析 a 2－ab ＝a (a －b )，∵a <b <0，∴a －b <0，∴a 2－ab >0，∴a 2>ab .① 又ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，② 由①②得a 2>ab >b 2.答案 B4．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．答案 A5．(教材改编)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为________．解析由题意2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝π3，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∴A＝C，∴A＝B＝C＝π3，∴△ABC为等边三角形．答案等边三角形考点一综合法的应用【例1】(2017·东北三省三校模拟)已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：(1)a＋b＋c≤3；(2)13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥32.证明(1)∵(a＋b＋c)2＝(a＋b＋c)＋2ab＋2bc＋2ca≤(a＋b＋c)＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3，∴a＋b＋c≤ 3.(2)∵a＞0，∴3a＋1＞0，∴43a＋1＋(3a＋1)≥243a＋1(3a＋1)＝4，∴43a ＋1≥3－3a ，同理得43b ＋1≥3－3b ，43c ＋1≥3－3c ， 以上三式相加得4⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥9－3(a ＋b ＋c )＝6， ∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32. 规律方法 用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围： (1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性、求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱． 【训练1】 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得 a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设知(a ＋b ＋c )2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1. 考点二 分析法的应用 【例2】 已知a ＞0，证明：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.证明 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2)．因为a ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2)＞0，所以只需证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 22≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2)2， 即2(2－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≥8－42，只需证a ＋1a ≥2.因为a ＞0，a ＋1a ≥2显然成立⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝1a ＝1时等号成立，所以要证的不等式成立．规律方法 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.【训练2】 △ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c .证明 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3也就是c a ＋b ＋a b ＋c ＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°， 由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2a cos 60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac ， 故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立． 于是原等式成立． 考点三 反证法的应用【例3】 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N ＋)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． (1)解 由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，解得d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明 由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N ＋，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r .即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)．∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0. ∵p ，q ，r ∈N ＋，∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0.∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾． ∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．规律方法 (1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等． (2)用反证法证明不等式要把握三点：①必须否定结论；②必须从否定结论进行推理；③推导出的矛盾必须是明显的．【训练3】 (2017·郑州一中月考)已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4>100，求证：a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25.证明 假设a 1，a 2，a 3，a 4均不大于25，即a 1≤25，a 2≤25，a 3≤25，a 4≤25，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4≤25＋25＋25＋25＝100， 这与已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4>100矛盾，故假设错误． 所以a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25.[思想方法]分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来． [易错防范]1．用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论．2．在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等.基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1．若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( ) A ．lg(1＋a 2)>0 B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1) C ．a 2＋3ab >2b 2D.a b <a ＋1b ＋1解析 在B 中，∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立． 答案 B2．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( ) A ．三个内角都不大于60° B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60° 答案 B3．已知m >1，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，则以下结论正确的是( ) A ．a >b B ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定解析 ∵a ＝m ＋1－m ＝1m ＋1＋m ，b ＝m －m －1＝1m ＋m －1.而m＋1＋m>m＋m－1＞0(m＞1)，∴1m＋1＋m<1m＋m－1，即a<b.答案 B4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac＜3a”索的因应是()A．a－b＞0 B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0解析由题意知b2－ac＜3a⇐b2－ac＜3a2⇐(a＋c)2－ac＜3a2⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0⇐－2a2＋ac＋c2＜0⇐2a2－ac－c2＞0⇐(a－c)(2a＋c)＞0⇐(a－c)(a－b)＞0.答案 C5．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下正确的是()A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确．答案 D二、填空题6.6＋7与22＋5的大小关系为________．解析要比较6＋7与22＋5的大小，只需比较(6＋7)2与(22＋5)2的大小，只需比较6＋7＋242与8＋5＋410的大小，只需比较42与210的大小，只需比较42与40的大小，∵42>40，∴6＋7>22＋ 5. 答案6＋7>22＋ 57．用反证法证明命题“a ，b ∈R ，ab 可以被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是__________________． 答案 都不能被5整除8．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b ≥2成立的条件的序号是________．解析 要使b a ＋a b ≥2，只需ba >0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④能使b a ＋ab ≥2成立． 答案 ①③④ 三、解答题9．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证： lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c . 证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c2≥ac ＞0. 又上述三个不等式中等号不能同时成立． ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc 成立． 上式两边同时取常用对数， 得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg abc ，∴lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c .10．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？(1)证明 假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1·(1＋q ＋q 2)， 因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2， 即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾， 所以数列{S n }不是等比数列．(2)解 当q ＝1时，S n ＝na 1，故{S n }是等差数列； 当q ≠1时，{S n }不是等差数列， 否则2S 2＝S 1＋S 3，即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)， 得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．综上，当q ＝1时，数列{S n }是等差数列；当q ≠1时，数列{S n }不是等差数列．能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( ) A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤A D ．C ≤B ≤A解析 ∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b . 答案 A12．设a ，b ，c 均为正实数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( ) A ．都大于2 B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 解析 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案 D13．如果a a＋b b>a b＋b a，则a，b应满足的条件是________．解析∵a a＋b b－(a b＋b a)＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b)＝(a－b)2(a＋b)．∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(a－b)2(a＋b)>0.∴a a＋b b>a b＋b a成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.答案a≥0，b≥0且a≠b14．设x≥1，y≥1，证明x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy.证明由于x≥1，y≥1，所以要证明x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy，只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立.。
高考大二轮数学专题教师用书【468页全】
高中数学题分客观题与主观题两大类，而客观题分为选择题与填空题，选择题属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地利用题干和选项两方面的条件所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解．而填空题是不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”．解答此类题目的方法一般有直接法、特例法、数形结合法、构造法、排除法等．,技法一直接法女生入选，则不同的选法共有________种；(用数字填写答案)(2)(2018·北京卷)若双曲线x2a2－y24＝1(a>0)的离心率为52，则a＝________.解析：(1)按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C12C24种，有2位女生参加有C22C14种．故共有C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种)．(2)由e＝ca＝a2＋b2a2知a2＋4a2＝⎝⎛⎭⎫522＝54，∴a2＝16.∵a>0，∴a＝4.答案：(1)16(2)4[方法点津] 直接法解决计算型客观题的关键 (1)要根据题目的要求准确转化为相关基本量的运算．(2)注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果． ◎ 变式训练1．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析： 法一：设公差为d ，则a 4＋a 5＝a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝2a 1＋7d ＝24，S 6＝6a 1＋6×52×d ＝6a 1＋15d ＝48.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋7d ＝24，6a 1＋15d ＝48.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝4.法二：因为S 6＝6(a 1＋a 6)2＝3(a 3＋a 4)＝48，即a 3＋a 4＝16，则(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)＝24－16＝8，即a 5－a 3＝2d ＝8，可得d ＝4.答案： C2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析： 在△ABC 中，由cos A ＝－14可得sin A ＝154，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 12bc ×154＝315，b －c ＝2，a 2＝b 2＋c 2－2bc ×⎝⎛⎭⎫－14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6，c ＝4.答案： 8 技法二 排除法(1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x 2的图象大致为( )(2)(2016·浙江卷)已知实数a ，b ，c ，( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 解析： (1)∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数， ∴f (x )＝e x －e －x x 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e >0，排除D 选项．又e>2，∴1e <12，∴e －1e >1，排除C 选项．故选B.(2)取a ＝10，b ＝10，c ＝－110，可排除选项A ；取a ＝10，b ＝－100，c ＝0，可排除选项B ；取a ＝10，b ＝－10，c ＝0，可排除选项C.答案： (1)B (2)D[方法点津] 排除法的使用技巧(1)当题目中的条件不唯一时，先根据某些条件找出明显与之矛盾的选项予以否定． (2)再根据另一些条件在缩小的范围内找出矛盾，这样逐步排除，直至得到正确的选择． ◎ 变式训练3．方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( ) A ．0<a ≤1B ．a <1C ．a ≤1D ．0<a ≤1或a <0解析： 当a ＝0时，x ＝－12，故排除A 、D.当a ＝1时，x ＝－1，排除B. 答案： C4．已知a ，b 为实数，且a ≠b ，a <0，则( ) A ．a >2b －b 2aB ．a <2b －b 2aC ．a ≥2b －b 2aD ．a ≤2b －b 2a解析： 法一：a ＝－1，b ＝1，则2b －b 2a＝2＋1＝3，法二：因为a ，b 为实数，且a ≠b ，a <0，所以a －⎝⎛⎭⎫2b －b 2a ＝(a －b )2a <0，所以a <2b －b 2a.答案： B 技法三 特例法111C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( ) A ．3∶1 B ．2∶1 C ．4∶1D.3∶1(2)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析： (1)将P ，Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有VC －AA 1B ＝VA 1－ABC ＝VABC －A 1B 1C 13，故过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成的两部分的体积之比为2∶1.(2)如图，不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，则AB 的中点为F 1，故|DF 1|＝52，|DF 2|＝32，根据双曲线的定义知2a ＝1，又2c ＝2，所以该双曲线的离心率为2c2a＝2.答案： (1)B (2)2[方法点津] 特值法解选择题注意两点第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．◎ 变式训练5．计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析： 取α＝π12，则原式＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋π12cos π62cos 2⎝⎛⎭⎫π4－π12＝3×322×34＝1.答案： D6．如图所示，在▱ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为点P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.解析： 把▱ABCD 看成正方形，则点P 为对角线的交点，AC ＝6，则AP →·AC →＝18. 答案： 18技法四 图解法(数形结合法)有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0，2]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)(2)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)解析：(1)①当0<m ≤1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝(mx －1)2与y ＝x ＋m 的图象，如图．易知此时两函数图象在x ∈[0,1]上有且只有一个交点；②当m >1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝(mx －1)2与y ＝x ＋m 的图象，如图．要满足题意，则(m －1)2≥1＋m ，解得m ≥3或m ≤0(舍去)， ∴m ≥3.综上，正实数m 的取值范围为(0,1]∪[3，＋∞)．(2)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时， 函数f (x )为减函数，故 f (x ＋1)<f (2x )转化为x ＋1>2x . 此时x ≤－1.当2x <0且x ＋1>0时，f (2x )>1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)<f (2x )． 此时－1<x <0.综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)． 故选D.答案： (1)B (2)D[方法点津] 平面几何图形、Venn 图、三角函数线、函数的图象等，都是常用的图形．利用函数图象或某些数学知识的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，再辅以简单计算，确定正确答案，从而有效地降低这类客观题的错误率．◎ 变式训练7．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A.π6 B ．π3C.2π3D ．5π6解析： 在直角三角形中，如果直角边为斜边的一半，则该直角边所对的角为π6，如图，所求的夹角为2π3，故选C.答案： C8．不等式⎝⎛⎭⎫|x |－π2·sin x <0，x ∈[－π，2π]的解集为________．解析： 在同一坐标系中分别作出y ＝|x |－π2与y ＝sin x 的图象：根据图象可得不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2∪(π，2π)． 答案： ⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2∪(π，2π) 技法五 构造法(1)已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2<ln mn ，则( )A ．m >nB ．m <nC ．m >2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定(2)点P 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1内任意一点，AP 与棱AA 1，AB ，AD 的夹角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝________.解析： (1)由不等式可得1n 2－1m2<ln m －ln n ，即1n 2＋ln n <1m 2＋ln m . 设f (x )＝1x2＋ln x (x ∈(2，e))，则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.因为x ∈(2，e)，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增． 因为f (n )<f (m )，所以n <m .故选A.(2)如图，过点P 作平面PQQ ′P ′与平面PRR ′P ′，使它们分别与平面B 1C 1CB 和平面C 1D 1DC 平行，则构成一个长方体AQ ′P ′R ′-A 1QPR ，故cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.答案： (1)A (2)1[方法点津] 破解此类题的关键：一是“取特殊模型”，即构造长方体或正方体模型，把不规则的空间几何体(空间线、面)放置其中去研究；二是“用公式(用定理)”，即利用柱体、锥体的表面积与体积公式(空间线、面平行与垂直的判定定理、性质定理)，即可求其表面积与体积(判断空间线、面平行与垂直关系)．◎ 变式训练9．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.解析： ∵a n ＋1＝2S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫S n ＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1，∴S 5＋12＝⎝⎛⎭⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121. 答案： 1 12110.如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．解析： 如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.答案：6π专题一集合、常用逻辑用语、不等式、平面向量、算法、复数、推理与证明第1课时集合与常用逻辑用语高考对本部分考查主要从以下方面进行：(1)对于集合，历年的高考以考查运算为主，往往与映射、函数、不等式、方程等知识融合在一起，体现出集合运算的工具性作用．(2)对于常用逻辑用语的考查，主要有两个命题重点，一是以其他数学知识为载体，考查充分条件、必要条件；二是利用命题的真假来确定参数．题型一集合的概念及运算集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.1．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9 B．8C．5 D．4解析：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.答案： A2．(2018·天津卷)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝() A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}解析：全集为R，B＝{x|x≥1}，则∁R B＝{x|x<1}．∵集合A＝{x|0<x<2}，∴A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}．故选B.答案： B3．(2018·惠州市第二次调研)已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是()A．a<1 B．a≤1C．a>2 D．a≥2解析：集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，由A∩B＝B可得B⊆A，所以a≥2.故选D.答案： D1．集合运算中的常用方法(1)数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴法求解．(2)图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解．(3)Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn图法求解．2．[警示]忽视空集的讨论，若遇到A⊆B，A∩B＝A时，要考虑A为空集的可能性．题型二命题真假的判断与否定1．四种命题的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2．全(特)称命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)．它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．1．下列命题中为真命题的是()A．命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为∀n∈N，n2>2nB．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若tan x＝3，则x＝π3”的逆否命题解析：对于选项A，p的綈p为∀n∈N，n2≤2n，故选项A为假命题；对于选项B，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知选项B 为真命题；对于选项C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x＝－2时，x 2＋x －2＝0，故选项C 为假命题；对于选项D ，命题“若tan x ＝3，则x ＝π3”的逆否命题为“若x ≠π3，则tan x ≠3”，易知当x ＝4π3时，tan x ＝3，故选项D 为假命题．综上可知，选B.答案： B2．(2018·太原市模拟试题(一))已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≥0；命题q ：若a <b ，则1a >1b，则下列为真命题的是( ) A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈q解析： 对于命题p ，当x 0＝0时，1≥0成立，所以命题p 为真命题，命题綈p 为假命题；对于命题q ，当a ＝－1，b ＝1时，1a <1b，所以命题q 为假命题，命题綈q 为真命题，所以p ∧綈q 为真命题，故选B.答案： B3．(2018·北京卷)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．解析： 设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )>f (0)＝sin 0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．答案： f (x )＝sin x ，x ∈[0,2](答案不唯一)1．含逻辑联结词的命题真假的等价关系(1)p ∨q 真⇔p ，q 至少一个真⇔(綈p )∧(綈q )假．(2)p ∨q 假⇔p ，q 均假⇔(綈p )∧(綈q )真．(3)p ∧q 真⇔p ，q 均真⇔(綈p )∨(綈q )假．(4)p ∧q 假⇔p ，q 至少一个假⇔(綈p )∨(綈q )真．(5)綈p 真⇔p 假；綈p 假⇔p 真．2．[警示] “否命题”是对原命题“若p ，则q ”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p 的否定”即：非p ，只是否定命题p 的结论．题型三 充要条件的判断若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p ，q 互为充要条件．1．(2018·天津卷)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 由“⎪⎪⎪⎪x －12<12”得0<x <1，则0<x 3<1，即“⎪⎪⎪⎪x －12<12”⇒“x 3<1”；由“x 3<1”得x <1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3<1”⇒/ “⎪⎪⎪⎪x －12<12”．所以“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件．答案： A2．(2018·北京卷)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 由|a －3b |＝|3a ＋b |，得(a －3b )2＝(3a ＋b )2，即a 2＋9b 2－6a·b ＝9a 2＋b 2＋6a·b .又a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1，所以a·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b 得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10，能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．故选C.答案： C3．甲：x ≠2或y ≠3；乙：x ＋y ≠5，则( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：“甲⇒乙”，即“x≠2或y≠3”⇒“x＋y≠5”，其逆否命题为：“x＋y＝5”⇒“x＝2且y＝3”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以甲是乙的必要不充分条件．答案： B1．充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．2．[警示]“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B 的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.【课时作业】(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝()A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：∵x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．x|－1≤x≤2.由图可得∁R A＝{}故选B.答案： B2．(2018·天津卷)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩CA ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}解析： ∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，∴A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}．又C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，∴(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}．答案： C3．(2018·安徽皖南八校3月联考)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＝4y }，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 的真子集个数为( )A ．1B ．3C ．5D ．7解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝4y ，y ＝x 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即A ∩B ＝{(0,0)，(4,4)}，∴A ∩B 的真子集个数为22－1＝3.故选B.答案： B4．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )<0，则( ) A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0 B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0 C ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0 D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )>0 解析： 因为f ′(x )＝3cos x －π，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，即对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )<f (0)＝0恒成立，所以p 是真命题．又全称命题的否定是特称命题，所以綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0. 答案： C5．(2018·北京卷)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d 不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．故选B.答案： B6．(2018·洛阳市第一统考)设全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{x|x2＋x－2≥0}，则A∩∁U B＝()A．(0,1] B．(－2,2]C．(0,1) D．[－2,2]解析：不等式log2x≤1即log2x≤log22，由y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，得不等式的解集为(0,2]，即A＝(0,2]．由x2＋x－2≥0，得(x＋2)(x－1)≥0，得B＝{x|x≤－2或x≥1}，所以∁U B＝(－2,1)，从而A∩∁U B＝(0,1)．故选C.答案： C7．设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x2>9，x∈N}，B＝{0,2,4}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|x>2，x∈N} B．{x|x≤2，x∈N}C．{0,2} D．{1,2}解析：由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩(∁U A)，∁U A＝{x|x2≤9，x∈N}＝{x|－3≤x≤3，x∈N}＝{0,1,2,3}，因为B＝{0,2,4}，所以B∩(∁U A)＝{0,2}．答案： C8．下列结论错误的是()A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B．命题“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0” 解析： C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C. 答案： C9．(2018·陕西省质量检测(一))已知命题p ：对任意的x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．p ∧綈q解析： 由指数函数的性质知命题p 为真命题．易知x >1是x >2的必要不充分条件，所以命题q 是假命题．由复合命题真值表可知p ∧綈q 是真命题，故选D.答案： D10．(2018·辽宁省五校协作体联考)已知命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0,4]C ．[4，＋∞)D ．(0,4)解析： 因为命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4，故选D. 答案： D11．(2018·山东泰安3月联考)下列命题正确的是( )A ．命题“∃x 0∈[0,1]，使x 20－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1]，都有x 2－1≤0”B ．若命题p 为假命题，命题q 是真命题，则(綈p )∨(綈q )为假命题C ．命题“若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0”及它的逆命题均为真命题D ．命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0”解析： 对于选项A ，命题“∃x 0∈[0,1]，使x 20－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1]，都有x2－1<0”，故A 项错误；对于选项B ，p 为假命题，则綈p 为真命题，q 为真命题，则綈q 为假命题，所以(綈p )∨(綈q )为真命题，故B 项错误；对于选项C ，原命题为真命题，若a·b >0，则a 与b 的夹角可能为锐角或零角，所以原命题的逆命题为假命题，故C 项错误；对于选项D ，命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0”，故选项D 正确．因此选D.答案： D12．(2018·广东汕头一模)已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根；命题q ：∀x >0,2x －a >0.若“綈p ”和“p ∧q ”都是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－2,1]C ．(1,2)D ．(1，＋∞)解析： 方程x 2＋ax ＋1＝0无实根等价于Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2.∀x >0,2x －a >0等价于a <2x 在(0，＋∞)上恒成立，即a ≤1.因“綈p ”是假命题，则p 是真命题，又因“p ∧q ”是假命题，则q 是假命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a >1，得1<a <2，所以实数a 的取值范围是(1,2)，故选C. 答案： C13．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x －x －a 有零点，则綈p ：____________________. 解析： 全称命题的否定为特称命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点．答案： ∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点14．若⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ，则a 2 017＋b 2 017的值为________． 解析： 因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝0，a 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝0，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0(舍去)，则a 2 017＋b 2 017＝－1.答案： －115．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪P )＝________.解析： 集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}，所以M∪P＝{(x，y)|x∈R，y∈R，且x≠2，y≠3}．则∁U(M∪P)＝{(2,3)}．答案：{(2,3)}16．a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c不是年龄最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄由小到大依次是________．解析：显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它们的逆否命题来看．由命题A可知，当b不是最大时，则a是最小，所以c最大，即c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“若a的年龄不是最小，则b的年龄是最大”为真，即b>a>c.同理，由命题B为真可得a>c>b或b>a>c.故由A与B均为真可知b>a>c，所以a，b，c三人的年龄大小顺序是：b最大，a次之，c最小．答案：c，a，b第2课时不等式高考对本部分考查主要从以下方面进行：(1)对于解不等式，主要涉及一元二次不等式、分式不等式、对数和指数不等式，并且以一元二次不等式为主．不等式的解法是基本功，它渗透在很多题型中．(2)对于线性规划知识的考查主要通过图示的方法获得最优解或已知最优解求参数，此类题型有时需要借助一个实际背景．其中以考查线性目标函数的最值为重点，常结合其代数式的几何意义(如斜率、截距、距离、面积等)来求解．(3)对于基本不等式重在考查对代数式的转化过程及适用条件、等号成立条件的检验，在求最值或不等式恒成立问题中常用基本不等式．题型一 不等式的解法 1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．2．简单分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 1．如果关于x 的不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，那么b a 等于( ) A ．－81 B ．81 C ．－64D ．64解析： 因为不等式x 2<ax ＋b 可化为x 2－ax －b <0，其解集是{x |1<x <3}，所以x ＝1和x ＝3是关于x 的一元二次方程x 2－ax －b ＝0的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3＝a ，1×3＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3.所以b a ＝(－3)4＝81.故选B.答案： B2．若集合A ＝{x |x －x 2>0}，B ＝{x |(x ＋1)(m －x )>0}，则“m >1”是“A ∩B ≠∅”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： A ＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |(x ＋1)(m －x )>0}＝{x |(x ＋1)(x －m )<0}．当m >1时，B ＝(－1，m )，此时A ⊆B ，必有A ∩B ≠∅.当A ∩B ≠∅时，有m >0.所以“m >1”是“A ∩B ≠∅”的充分而不必要条件．故选A.答案： A3．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________． 解析： 当a ＝2时，不等式化为－4<0，恒成立；当a ≠2时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，解得－2<a <2.综上所述，a 的取值范围是(－2,2]．答案： (－2,2]4．(2018·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．解析： 设x <0，则－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x )． 又f (0)＝0，于是不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x 2－2x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－2x >x ，解得x >3或－3<x <0.故不等式的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)． 答案： (－3,0)∪(3，＋∞)1．不等式的求解技巧(1)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． (3)有函数背景的不等式：灵活利用函数的性质(单调性、奇偶性、对称性等)与图象求解． 2．[警示] 解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论．题型二 简单的线性规划问题 1．平面区域的确定方法平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的区域的交集．2．线性目标函数z ＝ax ＋by 最值的确定方法线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b ，可知zb 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．1．(2018·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45解析： 画出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x ＋5y 得y ＝－35x＋z 5. 设直线l 0为y ＝－35x ，平移直线l 0，当直线y ＝－35x ＋z5过点P (2,3)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋5×3＝21.答案：C2．(2018·开封市高三定位考试)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，x ≤1，则z ＝⎝⎛⎭⎫12x －2y的最大值是( ) A.132 B ．116C ．32D ．64解析： 法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u ＝x －2y ，由图知，当u ＝x －2y 经过点A (1,3)时取得最小值，即u min ＝1－2×3＝－5，此时z ＝⎝⎛⎭⎫12x －2y取得最大值，即z max＝⎝⎛⎭⎫12－5＝32，故选C.法二：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知z ＝⎝⎛⎭⎫12x －2y的最大值在区域的顶点处取得，只需求出顶点A ，B ，C 的坐标分别代入z ＝⎝⎛⎭⎫12x －2y，即可求得最大值．联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x －y ＋2＝0，解得A (1,3)，代入可得z ＝32；联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋2y ＋2＝0，解得B ⎝⎛⎭⎫1，－32，代入可得z ＝116；联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋2y ＋2＝0，解得C (－2,0)，代入可得z ＝4.通过比较可知，在点A (1,3)处，z ＝⎝⎛⎭⎫12x －2y取得最大值32，故选C. 答案： C3．(2018·广东肇庆二模)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b ＝( )A.94 B ．32C ．1D ．34解析： 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ， 平移直线y ＝－2x ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋z 的截距最小，此时z 最小，为3，即2x ＋y ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，y ＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝34，y ＝32，即A ⎝⎛⎭⎫34，32，又点A 也在直线y ＝－x ＋b 上，即32＝－34＋b ，∴b ＝94.故选A. 答案： A4．(2018·石家庄市质量检测(二))设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0，x ＋y ≥3，y －2≤0则y ＋1x的最大值为________．解析： 作出可行域，如图中阴影部分所示，而y ＋1x 表示区域内的动点(x ，y )与定点(0，－1)连线的斜率的取值范围，由图可知，当直线过点C (1,2)时，斜率最大，为2－(－1)1－0＝3.答案： 35．(2018·合肥市第一次教学质量检测)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为________千元．解析： 设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润为z 千元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，x ，y ∈N *，z＝2x ＋y ，作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，x >0，y >0的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150,60)时，z 取得最大值，为360.答案：3601．线性规划中的参数问题及其求解思路(1)线性规划中的参数问题，就是已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题．(2)求解策略：解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值．2．[警示] 解决线性规划问题应把握三点(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．(3)对目标函数z ＝Ax ＋By 中B 的符号，一定要注意B 的正负与z 的最值的对应，要结合图形分析．题型三 基本不等式 基本不等式：a ＋b2≥ab(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值解析： 由基本不等式的三个前提条件“一正、二定、三相等”来判断，A 中不能保证lg x 为正；C 中取等的条件不具备；D 中无法用基本不等式，x －1x 是单调增函数，有最大值，故选B.答案： B2．(2018·河南洛阳一模)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为________．解析： 依题意知a >0，b >0，则1a ＋2b≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立．因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab，即ab ≥22，所以ab 的最小值为2 2.答案： 2 23．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值是________．解析： y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2－2＝0.当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．答案： 04．(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．解析： ∵a －3b ＋6＝0，∴a －3b ＝－6，∴2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b ＝22－6＝2×2－3＝14，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0时等号成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时取到等号． 答案： 141．利用不等式求最值的解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值．2．[警示] 利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可．【课时作业】(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1．已知集合M ＝{x |x 2－4x >0}，N ＝{x |m <x <8}，若M ∩N ＝{x |6<x <n }，则m ＋n ＝( ) A ．10 B ．12 C ．14D ．16解析： M ＝{x |x 2－4x >0}＝{x |x >4或x <0}，N ＝{x |m <x <8}，由于M ∩N ＝{x |6<x <n }，∴m ＝6，n ＝8，∴m ＋n ＝14，故选C.答案： C2．若a <b <0，则下列不等式错误的是( )A.1a >1b B ．1a －b >1aC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析： 因为a <b <0，所以1a >1b ，故A 对．因为a <b <0，所以0<－b ，a <a －b <0， 所以1a >1a －b，故B 错．因为a <b <0，所以－a >－b >0，即|－a |>|－b |， 所以|a |>|b |，故C 对． 因为a <b <0，所以－a >－b >0， 所以(－a )2>(－b )2，即a 2>b 2，故D 对． 答案： B3．已知a ∈R ，不等式x －3x ＋a ≥1的解集为p ，且－2∉p ，则a 的取值范围为( )A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析： ∵－2∉p ，∴－2－3－2＋a <1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.答案： D4．(2018·北京卷)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2,1)∈A B ．对任意实数a ，(2,1)∉A C ．当且仅当a <0时，(2,1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2,1)∉A解析： 若点(2,1)∈A ，则不等式x －y ≥1显然成立，且同时要满足⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>4，2－a ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧a >32，a ≥0，解得a >32.即点(2,1)∈A ⇒a >32，其等价命题为a ≤32⇒点(2,1)∉A 成立．故选D.答案： D5．(2018·广东清远清城一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析： 关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求解集是(－1,3)．故选C.答案： C6．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －4≤0，－2≤x <2，y ≤1，若z ＝2x －y ，则z 的取值范围是( )A ．[－5,6)B ．[－5,6]C ．(2,9)D ．[－5,9]解析： 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，并平移，可知当该直线经过点A (－2,1)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－2)－1＝－5，当该直线经过点B (2，－2)时，z ＝2×2＋2＝6，由于点B 不在可行域内，故选A.答案： A7．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3解析： 如图，阴影部分即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的区域，而ax －y ＋1＝0的直。
高考中数学文化的考查研究
高考中数学文化的考查研究随着社会的进步和科技的发展，对于人才的需求也在不断变化。
高考作为我国最重要的人才选拔机制，其考试内容的改革与创新对于考查学生的综合素质与创新能力具有至关重要的意义。
高考数学作为一门基础学科，其创新性考查要求也日益受到。
本文旨在探讨高考数学创新性考查要求的落实路径，以期为推进高考数学考试改革提供参考。
近年来，高考数学考试大纲不断进行调整，注重考查学生的创新能力和应用实践能力。
相关研究表明，高考数学试题中创新性试题的比例逐年增加，考查形式也日趋多样化。
然而，针对高考数学创新性考查要求的具体落实路径仍需进一步探讨。
本文主要研究高考数学创新性考查要求的落实路径，探究其具体实施方法和效果。
假设高考数学创新性考查要求能够有效提升学生的创新能力和数学应用能力。
本研究采用文献资料法和实证研究法。
首先通过分析高考数学考试大纲，梳理出现行考查要求及其实施方式。
结合实际教学情况和学生表现，设计针对创新性考查要求的教学方案。
通过对比实验组和对照组的差异，评估教学方案的有效性。
经过对研究数据的描述性统计和因果关系分析，发现高考数学创新性考查要求的落实路径主要包括以下几个方面：增加创新性试题的比例：通过在试题中增加创新性试题的比例，引导学生重视创新思维的培养。
创设实际问题情境：将实际问题引入试题，让学生在解决实际问题的过程中锻炼应用实践能力。
开展探究式教学：通过引导学生进行自主探究、小组合作等方式，培养学生的创新精神和团队协作能力。
数学文化教育：加强数学文化的教育，提升学生对数学学科的整体认知和数学素养。
本研究发现，高考数学创新性考查要求的落实路径具有积极意义。
增加创新性试题的比例和创设实际问题情境能够有效提高学生的创新能力和应用实践能力。
同时，开展探究式教学和数学文化教育对于培养学生的综合素质具有积极作用。
这些发现为进一步推进高考数学考试改革提供了重要依据。
然而，本研究仍存在一定局限性。
实验时间较短，可能无法全面反映教学方案的长效性。
新教材适用2024版高考数学二轮总复习第3篇方法技巧引领必考小题练透第3讲创新情境与数学文化教师用书
第3讲 创新情境与数学文化1. (2022·全国新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA ′，BB ′，CC ′，DD ′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD 1，CC 1，BB 1，AA 1是举，OD 1，DC 1，CB 1，BA 1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD 1OD 1＝0.5，CC 1DC 1＝k 1，BB 1CB 1＝k 2，AA 1BA 1＝k 3.已知k 1，k 2，k 3成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则k 3＝( D )A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9【解析】 设OD 1＝DC 1＝CB 1＝BA 1＝1，则CC 1＝k 1，BB 1＝k 2，AA 1＝k 3，由题意得k 1＝k 3－0.2，k 2＝k 3－0.1，且DD 1＋CC 1＋BB 1＋AA 1OD 1＋DC 1＋CB 1＋BA 1＝0.725，解得k 3＝0.9，故选D.2. (2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( C )A ．5－14 B ．5－12 C ．5＋14D ．5＋12【解析】 如图，取CD 的中点E ，设CD ＝a ，PE ＝b ，则PO ＝PE 2－OE 2＝b 2－a 24，由题意PO 2＝12ab ，即b 2－a 24＝12ab ，化简得4⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2·b a －1＝0，解得b a ＝1＋54(负值舍去)．故选C ．3. (2020·全国Ⅱ卷)如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12.若k －j ＝3且j －i ＝4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k －j ＝4且j －i ＝3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为( C )A ．5B ．8C ．10D ．15【解析】 根据题意可知，原位大三和弦满足：k －j ＝3，j －i ＝4.∴i ＝1，j ＝5，k ＝8；i ＝2，j ＝6，k ＝9；i ＝3，j ＝7，k ＝10；i ＝4，j ＝8，k ＝11；i ＝5，j ＝9，k ＝12.原位小三和弦满足：k －j ＝4，j －i ＝3.∴i ＝1，j ＝4，k ＝8；i ＝2，j ＝5，k ＝9；i ＝3，j ＝6，k ＝10；i ＝4，j ＝7，k ＝11；i ＝5，j ＝8，k ＝12.故个数之和为10.故选C ．4. (2019·全国Ⅰ卷)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( A )A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【解析】 所有重卦共有26＝64种可能，其中满足恰有3个阳爻的有C 36＝20种，故概率为2064＝516.故选A ．5. (2019·全国Ⅱ卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1R ＋r2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3.设α＝r R，由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α51＋α2≈3α3，则r 的近似值为( D ) A ．M 2M 1R B ．M 22M 1R C ．33M 2M 1RD ．3M 23M 1R【解析】 由α＝r R，得r ＝αR ，因为M 1R ＋r2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R3，所以M 1R 21＋α2＋M 2α2R 2＝(1＋α)M 1R 2，即M 2M 1＝α2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋α－11＋α2＝α5＋3α4＋3α31＋α2≈3α3，解得α＝3M 23M 1，所以r ＝αR ＝3M 23M 1R .故选D.6. (2019·全国Ⅱ卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有_26__个面，其棱长为2－1 .【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18＋8＝26个面．如图，设该半正多面体的棱长为x，则AB＝BE＝x，延长CB与FE交于点G，延长BC交正方体棱于H，由半正多面体对称性可知，△BGE为等腰直角三角形，∴BG＝GE＝CH＝22x，∴GH＝2×22x＋x＝(2＋1)x＝1，∴x＝12＋1＝2－1，即该半正多面体棱长为2－1.1．创新型数学问题从形式上看很“新”，其提供的观察材料和需要思考的问题异于常规试题，需要考生具有灵活、创新的思维能力，善于进行发散性、求异性思考，寻找对材料内涵的解释和解决问题的办法．此类问题考查的内容都在考纲要求的范围之内，即使再新，也是在考生“力所能及”的范围内．只要拥有扎实的数学基础知识，以良好的心态坦然面对新情境，便可轻松破解！2．数学文化题一般是从中华优秀传统文化中挖掘素材，将数学文化与高中数学知识有机结合，要求考生对试题所提供的数学文化信息材料进行整理和分析，在试题营造的数学文化氛围中，感受数学的思维方式，体验数学的理性精神．考法一集合与逻辑用语典例1 在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”“卡普雷卡尔黑洞”“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合B＝{x|－3<x <4，x ∈Z }，则A ∩B 的子集个数为( D )A ．3B ．4C ．7D ．8【解析】 依题意，A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，B ＝{－2，－1,0,1,2,3}，故A ∩B ＝{1,2,3}，故A ∩B 的子集个数为8.故选D.典例 2 (2023·云南曲靖)杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神．”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的( C )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛．因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件．故选C ．考法二 三角函数与解三角形典例 3 (2023·湖南怀化)明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术——“过洋牵星术”．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米(称一指)，木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米(称十二指)．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则tan 2α＝( A )A ．1235B ．16C ．1237D ．13【解析】 设等差数列为{a n }，则a 1＝2厘米，a 12＝24厘米，所以公差d ＝a 12－a 112－1＝24－211＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋10＝12厘米，则tan α＝1272＝16，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×161－136＝1235.故选A ． 典例 4 (2022·全国高三校联考阶段练习)秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中提出了已知三角形的三边求面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”以上文字用公式表示就是S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222，其中a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，S 是△ABC 的面积，在△ABC 中，若a ＝3，b ＝5，c ＝6，则△ABC 的内切圆的面积为( C )A ．7π2B ．4147πC ．8π7D ．9π7【解析】 因为a ＝3，b ＝5，c ＝6，所以S △ABC ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222＝1262×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫62＋32－5222＝214.△ABC 的周长l ＝3＋5＋6＝14，设△ABC 的内切圆半径为r ，由S △ABC ＝12lr ，解得r ＝2147.所以△ABC 的内切圆的面积为πr 2＝8π7.故选C ．考法三 数列典例5 (2023·道里区校级四模)南宋杨辉在他1275年所著的《续古摘奇算法》中，对河图洛书的数学问题进行了详尽的研究，其中对3阶幻方的排列找出了一种奇妙的规律：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足．”即将1,2,3，…，9填入了3×3的方格内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15，如图．一般地，将连续的正整数1,2,3，…，n 2填入n ×n 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n 阶幻方．设n 阶幻方的数的和(即方格内所有数的和)为S n ，则S 6＝( D )4923 5 7 816A ．666B ．91C ．576D ．111【解析】 根据题意，幻方的每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，S n ＝1n×[1＋2＋3＋…＋(n 2－1)＋n 2]＝1n×1＋n2·n22＝1＋n 2n2，故S 6＝1＋36×62＝111.故选D.典例 6 (2023·四川宜宾统考模拟预测)南宋数学家杨辉给出了著名的三角垛公式：1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋…＋(1＋2＋3＋…＋n )＝16n (n ＋1)(n ＋2)，则数列{n 2－n }的前n 项和为( A )A ．13(n －1)n (n ＋1) B ．13(n －1)n (2n ＋1) C ．16n (n ＋1)(n ＋2) D ．16(2n ＋1)n (n ＋1) 【解析】 ∵1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，由题意可得：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫nn ＋12的前n 项和为16n (n ＋1)(n ＋2)，又∵n 2－n ＝2×n n ＋12－2n ，∴数列{}n 2－n 的前n 项和S n ＝2×1×22－2×1＋2×2×32－2×2＋…＋2×nn ＋12－2n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×22＋2×32＋…＋n n ＋12－2(1＋2＋…＋n )＝2×16n (n ＋1)(n ＋2)－2×n n ＋12＝13(n －1)n (n ＋1)．故选A ． 考法四 平面向量典例7 (2023·云南高三云南师大附中校考阶段练习)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图．已知正八边形ABCDEFGH 的边长为22，M 是正八边形ABCDEFGH 边上任意一点，则MA →·MB →的最大值为( D )A ．30＋4 2B ．28＋8 2C ．26＋16 2D ．24＋16 2【解析】 如图，取AB 的中点O ，连接MO ，连接BE ，OE ，分别过点C ，点D 作BE 的垂线，垂足分别为I ，J ，所以MA →·MB →＝(MO →＋OA →)·(MO →＋OB →)＝(MO →＋OA →)·(MO →－OA →)＝MO →2－OA →2＝MO →2－2，当点M 与点F 或点E 重合时，|MO →|取得最大值，易得四边形CDJI 为矩形，△BCI ，△DEJ 为等腰直角三角形，则IJ ＝22，BI ＝EJ ＝2，则BE ＝4＋22，BO ＝2，MO →2取得最大值为BO 2＋BE 2＝(2)2＋(4＋22)2＝26＋162，所以MA →·MB →的最大值为24＋162，故选D.典例8 (2022·全国高三校联考阶段练习)黄金分割(Golden Section)是一种数学上的比例关系．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0.618，就像圆周率在应用时取3.14一样．高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹．人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处．艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美．黄金矩形(Golden Rectangle)的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边1.618倍．黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它．希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，达·芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形．《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局.2 000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为5－12≈0.618.其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽没有古希腊的早，但它是我国数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，BF ⊥AC ，DH ⊥AC ，AE ⊥BD ，CG ⊥BD ，BE →＝5－12BO →，则BF →＝( D )A ．3－52BA →＋5＋510BG →B ．3－52BA →＋5－510BG →C ．5－12BA →＋5－510BG →D ．3－52BA →＋55BG →【解析】 ∵BE →＝5－12BO →，显然BE ＝DG ，BO ＝OD ＝12BD ，所以BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－5－12BO →＝5－52BO →，∴BO →＝25－5BG →＝5＋510BG →，∵BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋5－12AO →＝BA →＋5－12(BO →－BA →)＝3－52BA →＋5－12BO →，∴BF →＝3－52BA →＋55BG →，故选D. 考法五 空间几何典例9 (2023·吉林四平)“阿基米德多面体”也称为半正多面体，半正多面体是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体．如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的．若被截正方体的棱长为40 cm ，则该阿基米德多面体的表面积为( A )A ．(4 800＋1 6003)cm 2B ．(4 800＋4 8003)cm 2C ．(3 600＋3 6003)cm2D ．(3 600＋1 2003)cm 2【解析】 由题意知，阿基米德多面体是由六个全等的正方形和八个全等的等边三角形构成，其中正方形边长和等边三角形的边长均为202＋202＝202；∴阿基米德多面体的表面积S ＝6×(202)2＋8×12×202×202×32＝4 800＋1 6003(cm 2)．故选A ．典例10 (2022·海南省直辖县级单位高三嘉积中学校考阶段练习)图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为5，底面任意两顶点之间的距离为10，则其侧面积为( B )A ．100πB ．50πC ．200πD ．300π【解析】 S ＝16×2π×10×3×5＝50π.故选B.典例11 (2023·全国高三专题练习)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型．如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖(如图2)．已知这个牟合方盖与正方体内切球的体积之比为4∶π，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为( C )A ．8－4π3B ．8－π23C ．83D ．163【解析】 正方体的体积为23＝8，其内切球的体积为4π3，由条件可知牟合方盖的体积为4π3×4π＝163，故正方体除去牟合方盖后剩余的部分体积为8－163＝83.故选C ． 考法六 函数与导数典例12 (2022·北京海淀高三北大附中校考阶段练习)成书于约两千多年前的我国古代数学典籍《九章算术》中记载了通过加减消元求解n 元一次方程组的算法，直到拥有超强算力计算机的今天，这仍然是一种效率极高的算法．按照这种算法，求解n 元一次方程组大约需要对实系数进行C ·n 3(C 为给定常数)次计算.1949年，经济学家莱昂提夫为研究“投入产出模型”(该工作后来获得1973年诺贝尔经济学奖)，利用当时的计算机求解一个42元一次方程组，花了约56机时．事实上，他的原始模型包含500个未知数，受限于机器算力而不得不进行化简以减少未知数．如果不进行化简，根据未知数个数估计所需机时，结果最接近于( C )A ．103机时 B ．104机时 C ．105机时D ．106机时【解析】 设1机时能进行a 次计算，则由题意得C ·423≈56a ，原始模型包含500个未知数，如果不进行化简，设所需机时为t ，则C ·5003≈ta ，故t ≈5003423×56＝53×10633×72＝1 2501 323×105≈0.94×105，故结果最接近于105机时，故选C ．典例13 (多选)(2023·江苏盐城)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也称为取整函数，例如：[－1.5]＝－2，[2.3]＝2，下列函数中，满足函数y ＝[f (x )]的值域中有且仅有两个元素的是( ACD )A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤01－2－x，x >0B ．f (x )＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2C ．f (x )＝|log 2x |，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2 D ．f (x )＝2x－12x ＋1【解析】 当x ≤0时，f (x )∈(－1,0]，[f (x )]∈{－1,0}；当x >0时，f (x )∈(0,1)，[f (x )]∈{0}，故y ＝[f (x )]的值域为{－1,0}，A 满足题意；f (x )＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1单调递减，在(1,2)单调递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (2)＝52，f (1)＝2，故f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52，则y ＝[f (x )]∈{2}，即y ＝[f (x )]的值域为{2}，不满足题意；下证f (x )＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1单调递减：在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上任取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2，因为12<x 1<x 2<1，故x 1－x 2<0,1－1x 1x 2<0，则f (x 1)>f (x 2)，故f (x )＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，同理f (x )在(1,2)单调递增，B 不满足题意；y ＝log 2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2，则log 2x ∈(－log 23,1)，故f (x )∈[0，log 23)，又1<log 23<2，故[f (x )]∈{0,1}，即y ＝[f (x )]的值域为{0,1}，C 满足题意；f (x )＝2x－12x ＋1＝1－22x ＋1，又2x >0，则2x＋1>1，22x ＋1∈(0,2)，1－22x ＋1∈(－1,1)，即y ＝f (x )的值域为(－1,1)，[f (x )]∈{－1,0}，则y ＝[f (x )]的值域为{0,1}，D 满足题意．故选ACD.考法七 统计概率典例14 (2023·辽宁葫芦岛高一统考期末)张益唐是当代著名华人数学家，他在数论研究方面取得了巨大成就，曾经在《数学年刊》发表《质数间的有界间隔》，证明了存在无穷多对质数间隙都小于7 000万.2013年张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述，存在无穷多个素数p ，使得p ＋2是素数，素数对(p ，p ＋2)称为孪生素数，在不超过12的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成孪生素数的概率是( B )A ．14B ．15C ．110D ．120【解析】 不超过12的素数有2、3、5、7、11共5个，在其中任取两个数的基本事件为(2,3)、(2,5)、(2,7)、(2,11)、(3,5)、(3,7)、(3,11)、(5,7)、(5,11)、(7,11)共10个，其中是孪生素数的基本事件为(3,5)、(5,7)共2个，所以在不超过12的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成孪生素数的概率为210＝15.故选B.典例15 (2023·全国高三专题练习)我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法：筹算．筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的．据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当．即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，如图所示，例如：表示62，表示26，现有5根算筹，据此表示方式表示两位数(算筹不剩余且个位不为0)，则这个两位数大于40的概率为( B )A ．13B ．12C ．23D ．35【解析】 根据题意可知：一共5根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为4＋1,3＋2,2＋3,1＋4共四类情况；第一类：4＋1，即十位用4根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是4或者8，个位为1，则两位数为41或者81；第二类：3＋2，即十位用3根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是3或者7，个位可能为2或者6，故两位数可能32,36,72,76；第三类：2＋3，即十位用2根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是2或者6，个位可能为3或者7，故两位数可能是23,27,63,67；第四类：1＋4，即十位用1根算筹，个位用4根算筹，那么十位为1，个位可能为4或者8，则该两位数为14或者18，综上可知：所有的两位数有14,18,23,27,32,36,41,63,67,72,76,81共计12个，其中大于40的有41,63,67,72,76,81共计6个，故这个两位数大于40的概率为612＝12，故选B.考法八 复数典例16 (2023·全国高三专题练习)人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等.16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了i 2＝－1,17世纪法国数学家笛卡儿把i 称为“虚数”，用a ＋b i(a 、b ∈R )表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z 满足方程z 2＋2z ＋5＝0，则z ＝( C )A ．－1＋2iB ．－2－iC ．－1±2iD ．－2±i【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，因z 2＋2z ＋5＝0，则(a ＋b i)2＋2(a ＋b i)＋5＝0，即(a 2－b 2＋2a ＋5)＋2b (a ＋1)i ＝0，而a ，b ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＋2a ＋5＝0，2b a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝±2，所以z ＝－1±2i.故选C ．典例17 (2023·全国高三专题练习)欧拉公式e i x＝cos x ＋isin x (其中i 是虚数单位，e 是自然对数的底数)是数学中的一个神奇公式．根据欧拉公式，复数z ＝e i在复平面上所对应的点在( A )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 由欧拉公式，z ＝e i＝cos 1＋isin 1在复平面内对应点(cos 1，sin 1)在第一象限．故选A ．考法九 不等式典例18 《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，可以直接通过比较线段OF 与线段CF 的长度完成的无字证明为( C )A ．a 2＋b 2≥2ab (a ＞0，b ＞0) B ．a ＋b2>ab (a >0，b >0) C ．a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)D ．2aba ＋b≤ab (a ＞0，b ＞0) 【解析】 由图形可知，OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝12(a ＋b )－b ＝12(a －b )，在Rt △OCF中，由勾股定理可得，CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝a 2＋b 22，∵CF ≥OF ，∴a 2＋b 22≥12(a＋b )，故选C ．典例19 (2023·四川成都)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( D )A ．若a ＜b ，则1a >1bB ．若a ＞b ＞0，则b ＋1a ＋1<baC ．若a ＞b ，则ac 2>bc 2D ．若ac 2>bc 2，则a ＞b【解析】 当a <0<b 时，1a <1b ，选项A 错误；b ＋1a ＋1－b a ＝a －b a a ＋1>0，所以b ＋1a ＋1>ba ，所以选项B 错误；c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以选项C 错误；ac 2>bc 2时，a >b ，所以选项D 正确．故选D.考法十 解析几何典例20 (多选)(2023·全国高三专题练习)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，A (－1,0)，B (2,0)，点P 满足|PA ||PB |＝22.点P 的轨迹为曲线C ，下列结论正确的是( AB )A ．曲线C 的方程为(x ＋4)2＋y 2＝18 B ．曲线C 被y 轴截得的弦长为2 2 C ．直线x ＋y －4＝0与曲线C 相切D ．P 是曲线C 上任意一点，当△ABP 的面积最大时点P 的坐标为(－2，±32) 【解析】 设P (x ，y )，由A (－1,0)，B (2,0)，|PA ||PB |＝22可得2|PA |＝|PB |，所以2·x ＋12＋y 2＝x －22＋y 2，整理可得x 2＋y 2＋8x －2＝0，即(x ＋4)2＋y 2＝18，故选项A 正确；因为(x ＋4)2＋y 2＝18，令x ＝0得y ＝±2，曲线C 被y 轴截得的弦长为22，故选项B 正确；因为(x ＋4)2＋y 2＝18，所以圆心C (－4,0)，半径r ＝32，所以圆心C (－4,0)到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|－4－4|2＝42>32，所以直线x ＋y －4＝0与曲线C 相离，故选项C 错误；因为P 是曲线C 上任意一点，要使△ABP 的面积最大，则曲线C 上的点到x 轴的距离最大，即△ABP 的边AB 上的高等于圆的半径32时，△ABP 的面积最大，此时点P 的坐标为(－4，±32)，故选项D 错误．故选AB.典例21 (2023·全国高三专题练习)第24届冬季奥林匹克运动会，已于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例(如图)：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O 1，O 2，O 3，O 4，O 5，若双曲线C 以O 1，O 3为焦点、以直线O 2O 4为一条渐近线，则C 的离心率为( B )A ．29011B ．29013C ．1311D ．125【解析】 依题意，以点O 2为原点，直线O 1O 3为x 轴建立平面直角坐标系，如图，点O 4(－13，－11)，设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其渐近线为y ＝±bax ，因直线O 2O 4为一条渐近线，则有b a ＝1113，双曲线C 的离心率为e ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11132＝29013.故选B.1. (2023·天津)荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 由题意可得：“积跬步”未必能“至千里”，但要“至千里”必须“积跬步”，故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件．故选B.2. (2022·内蒙古赤峰高三统考阶段练习)材料一：已知三角形三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积为S ＝p p －a p －bp －c ，其中p ＝a ＋b ＋c2.这个公式被称为海伦一秦九韶公式．材料二：阿波罗尼奥斯(Apollonius)在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知△ABC 中，BC ＝6，AB ＋AC ＝10，则△ABC 面积的最大值为( C )A ．6B ．10C ．12D ．20【解析】 令AB ＝x ，则AC ＝10－x 且BC ＝6，故x ∈(2,8)，而p ＝a ＋b ＋c2＝8，所以△ABC 面积S ＝168－xx －2＝－16x －52＋144，当x ＝5时，S max ＝12.故选C ．3. (2022·河南高三校联考阶段练习)在计算机尚未普及的年代，人们在计算三角函数时常常需要查表得到正弦和余弦值，三角函数表的制作最早可追测到古希腊数学家托勒密．下面给出了正弦表的一部分，例如，通过查表可知2°12′的正弦值为0.038 4,30°54′的正弦值为0.513 5，等等．则根据该表，416.5°的余弦值为( B )0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′0° 0.000 00 017 0 035 0 052 0 070 0 087 0 105 0 122 0 140 0 157 0 1751° 0 175 0 192 0 209 0 227 0 244 0 262 0 279 0 297 0 314 0 332 0 349 2°0 349 0 366 0 384 0 401 0 419 0 436 0 454 0 471 0 488 0 506 0 523…30°0.500 05 015 5 030 5 045 5 060 5 075 5 090 5 105 5 120 5 135 5 15031° 5 150 5 165 5 180 5 195 5 210 5 225 5 240 5 255 5 270 5 284 5 299 32° 5 299 5 314 5 329 5 344 5 358 5 373 5 388 5 402 5 417 5 432 5 446 33° 5 446 5 461 5 476 5 490 5 505 5 519 5 534 5 548 5 563 5 577 5 592 34° 5 592 5 606 5 621 5 635 5 650 5 664 5 678 5 693 5 707 5 721 5 736…A ．0.546 1B ．0.551 9C ．0.550 5D ．0.573 6【解析】 由题意，cos 416.5°＝cos 56.5°＝sin 33.5°＝sin 33°30′，查表可知sin 33°30′＝0.551 9.故选B.4. (2022·浙江校联考模拟预测)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l 与太阳天顶距θ(0°≤θ<180°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l ＝h tan θ.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且tan(α－β)＝12，则第二次的“晷影长”是“表高”的( A )A ．1倍B ．23倍C ．52倍 D ．72倍 【解析】 由第一次的“晷影长”是“表高”的3倍得，tan α＝3，又tan(α－β)＝12，所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan α－β1＋tan αtan α－β＝3－121＋3×12＝1，故第二次的“晷影长”是“表高”的1倍．故选A ．5. (2022·云南高三校联考阶段练习)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图(如图1)．某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O 是正八边形的中心，MN 是圆O 的一条直径，且正八边形ABCDEFGH 内切圆的半径为22＋2，|AB |＝|MN |＝4.若点P 是正八边形ABCDEFGH 边上的一点，则PM →·PN →的取值范围是( D )A ．[23，4]B ．[22，23]C ．[12＋82，16＋82]D ．[8＋82，12＋82]【解析】 如图，连接PO .因为PM →＝PO →＋OM →，PN →＝PO →＋ON →＝PO →－OM →，所以PM →·PN →＝(PO →＋OM →)·(PO →－OM →)＝PO →2－OM →2.因为正八边形ABCDEFGH 内切圆的半径为22＋2，|AB →|＝4，所以22＋2≤|PO →|≤16＋8 2.因为|MN |＝4，所以|OM →|＝2，所以8＋82≤PO →2－OM →2≤12＋82，即PM →·PN →的取值范围是[8＋82，12＋82]．故选D.6. (2022·北京)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x 2＋y 2＝a 2＋b 2上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．该图由法国数学家G-Monge(1746—1818)最先发现．若椭圆C 的离心率为e ，左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆C 上一动点，过P 和原点作直线l 与蒙日圆Γ相交于M ，N ，则|PM |·|PN ||PF 1|·|PF 2|＝( B )A ．1e2B ．1C ．e 2D ．以上答案均不正确【解析】 令|PF 1|·|PF 2|＝m ，因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，所以PF 21＋PF 22＝4a 2－2m ，由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1→＋PF 2→＝2PO →，PF 1→－PF 2→＝F 2F 1→，所以PF 1→2＋PF 2→2＋2PF 1→·PF 2→＝4PO →2①，PF 1→2＋PF 2→2－2PF 1→·PF 2→＝F 2F 1→2②则①＋②可得8a 2－4m ＝4PO →2＋4c 2，解得PO→2＝2a 2－c 2－m ，所以|PM |·|PN |＝(r －|PO |)(r ＋|PO |)＝r 2－|PO |2＝a 2＋b 2－(2a 2－c 2－m )＝m ，故|PM |·|PN ||PF 1|·|PF 2|＝1，故选B.7. (2022·全国高三专题练习)2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中OM →·ON →的值为( A )A ．24B ．6C ．6 3D ．6 2【解析】 在图③中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，|OM →|＝4，OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4cos π3，4sin π3＝(2,23)，|MP →|＝83，即MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，0，|PN →|＝23，由分形知PN ∥OM ，所以PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，33，所以ON →＝OM →＋MP →＋PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5，733，所以OM →·ON →＝2×5＋23×733＝24.故选A ．8. (2022·广东深圳)享有“数学王子”称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一，y ＝[x ]被称为“高斯函数”，其中x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[2.1]。
高中数学教资用书
高中数学教师资格证考试用书包括《综合素质》、《教育知识与能力》和《高中数学学科知识与教学能力》三门科目。
这些书籍可以在网上购买，或者借阅高中数学的课本进行备考。
《综合素质》科目主要考查教育理念、教育法律法规、教师职业道德规范、文化素养以及阅读理解、语言表达、逻辑推理、信息处理等基本能力。
《教育知识与能力》科目主要考查教育学、心理学、教育心理学、学生发展心理、德育、课程、教学、教育途径与方法、教育时事政策等。
《高中数学学科知识与教学能力》科目主要考查高中数学学科知识、课程知识、教学知识、教学技能等。
在备考过程中，建议考生注重对基本概念和理论的理解和掌握，同时也要注重实践能力的培养和提高。
此外，考生还可以参加一些培训课程或在线学习资源，以获取更全面和系统的知识和技能。
2024版高考数学总复习：计数原理概率随机变量及其分布思维深化微课堂数学文化与概率教师用书
思维深化微课堂数学文化与概率类型一以古代文化为载体十二生肖是十二地支的形象化代表，即子(鼠)、丑(牛)、寅(虎)、卯(兔)、辰(龙)、巳(蛇)、午(马)、未(羊)、申(猴)、酉(鸡)、戌(狗)、亥(猪)，每一个人的出生年份对应了十二种动物中的一种，即自己的属相．现有印着十二生肖图案的毛绒娃娃各一个，小张同学的属相为马，小李同学的属相为羊，现在这两位同学从这十二个毛绒娃娃中各随机取一个(不放回)，则这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率是()A．1144B．1132C．166D．133[思维架桥]易求样本点总数和满足要求的样本点数，只需要利用古典概型的概率公式即可求得答案．B解析：小张、小李同学各取一个毛绒娃娃，共有12×11种取法，这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃有1种取法，故所求概率p ＝1×112×11＝1132．故选B．数学的发展与社会的进步有着密切的联系，社会政治、经济、文化等诸多因素的影响；另一方面，数学的发展又反过来对人类社会的进步起着推动作用．投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳．因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”．每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭、投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分．现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为13，投中壶耳的概率为15，四支箭投完，以得分多者赢．请问乙赢得这局比赛的概率为()A．1375B．375C．815D．875A解析：根据题意，分2种情况讨论：①乙的第三支箭投中壶口，第四支箭必须投中壶耳，其概率p 1＝13×15＝115，②乙的第三支箭投中壶耳，第四支箭投中壶口、壶耳均可，其概率p2＝15×＝875，则乙获胜的概率p＝p1＋p2＝115＋875＝1375．类型二以数学著作为载体意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子．假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，这就是著名的斐波那契数项，它的递推公式是a n＝a n－1＋a n－2(n≥3，n∈N*)，其中，a1＝1，a2＝1．若从该数列的前120项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为()A．13B．23C．12D．34[思维架桥]易知每三个数中有一个偶数，所以前120项中有40个偶数，易得答案．A解析：因为奇数加奇数结果是偶数，奇数加偶数结果是奇数，偶数加奇数结果是奇数，所以数列中任意相邻的三项，其中一项为偶数，两项为奇数，所以前120项中偶数有40项，所以这个数是偶数的概率为40120＝13．[应用体验]如果两个正整数a和b，a的所有真因数(即不是自身的因数)之和等于b，b的所有真因数之和等于a，则称a和b是一对“亲和数”．约2500年前，古希腊数学家毕达哥拉斯发现第一对亲和数：284和220．历史中不少数学家们都曾参与寻找亲和数，其中包括笛卡尔、费马、欧拉等．1774年，欧拉向全世界宣布找到30对亲和数，并以为2620和2924是最小的第二对亲和数，可到了1867年，意大利的16岁中学生白格黑尼，竟然发现了数学大师欧拉的疏漏——在284和2620之间还有一对较小的亲和数1184和1210．我们知道220的所有真因数之和为：1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110＝284，284的所有真因数之和为：1＋2＋4＋71＋142＝220，若从284的所有真因数中随机抽取一个数，则该数为奇数的概率为()A．13B．25C．411D．35B解析：基本事件总数n＝5，随机抽取一个数，则该数为奇数包含的基本事件个数m＝2，则随机抽取一个数，则该数为奇数的概率p＝��＝25．故选B．类型三以新时代气息为背景小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工．若某节假日每位员工的休假概率均为13，且是否休假互不影响．若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业．则两家店铺该节假日能正常开业的概率为()A．19B．49C．59D．89[思维架桥]4名员工都休假的概率为C，3名员工休假的概率为C ×23，利用对立事件的概率公式可求两家店铺都能正常开业的概率．D解析：设两家店铺都不能正常营业为事件A，＝181，有三个人休假的概率为C＝881，所以两家店铺都不能正常营业的概率为P (A )＝181＋881＝19，所以两家店铺该节假日能正常开业的概率为1－P (A )＝89．故选D．[应用体验]某大学选拔新生补充进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m ，13，n ．已知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m ＞n ，则m ＋n ＝()A．12B．23C．34D．512C 解析：因为新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，由题意得13��=124，1−1−�11−�=34，�＞�，解得mn ＝18，m ＋n ＝34．。
高考数学(理)总复习教师用书：第十六单元 Word版含解析
第十六单元 ⎪⎪⎪统计与统计案例教材复习课“统计与统计案例”相关基础知识一课过[过双基]三种抽样方法[小题速通]1．从一个容量为N 的总体中抽取一个容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2<p 3B ．p 2＝p 3<p 1C ．p 1＝p 3<p 2D ．p 1＝p 2＝p 3解析：选D 根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，所以p 1＝p 2＝p 3，故选D.2．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是( )A ．10B ．11C ．12D ．16解析：选D 从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13，所以样本中还有一个学生的学号是16，选D.3．为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三所中学抽取60名教师进行调查，已知A ，B ，C 三所学校中分别有180,270,90名教师，则从C 学校中应抽取的人数为( )A ．10B ．12C ．18D ．24解析：选A 根据分层抽样的特征，从C 学校中应抽取的人数为90180＋270＋90×60＝10.[清易错]单随机抽样法从2 017名学生中剔除17名学生，剩下的2 000名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率( )A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为502 017D ．都相等，且为140解析：选C 从N 个个体中抽取M 个个体，则每个个体被抽到的概率都等于MN . 2．从300名学生(其中男生180人，女生120人)中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛，则应该抽取男生人数为( )A ．27B ．30C ．33D ．36解析：选B 因为男生与女生的比例为180∶120＝3∶2， 所以应该抽取男生人数为50×33＋2＝30.1．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)； (2)决定组距与组数； (3)将数据分组； (4)列频率分布表； (5)画频率分布直方图．2．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．3．茎叶图的优点茎叶图的优点是可以保留原始数据，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．[小题速通]1．在样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他6个小长方形的面积的和的14，且样本容量为80，则中间一组的频数为( )A ．0.25B ．0.5C ．20D ．16解析：选D 设中间一组的频数为x ， 依题意有x 80＝14⎝⎛⎭⎫1－x 80，解得x ＝16. 2．(2017·唐山统考)某品牌空调在春节期间举行促销活动，下面的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量的情况(单位：台)，则销售量的中位数是( )A ．13B ．14C ．15D ．16解析：选C 由茎叶图可知这些数分别为5,8,10,14,16,16,20,23，∴中位数为14＋162＝15，故选C.[清易错]1．易把直方图与条形图混淆两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频数或频率，直方图是连续随机变量，连续随机变量在某一点上是没有频率的．2．易忽视频率分布直方图中纵轴表示的应为频率组距.3．在绘制茎叶图时，易遗漏重复出现的数据，重复出现的数据要重复记录，同时不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．1．某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中a 的值为 ( )A ．0.006B ．0.005C ．0.004 5D ．0.002 5解析：选B 由题意知，a ＝1－(0.02＋0.03＋0.04)×102×10＝0.005，故选B.2.(2017·郑州二检)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m ，n 的比值mn ＝________.解析：由茎叶图可知甲的数据为27,30＋m,39，乙的数据为20＋n,32,34,38.由此可知乙的中位数是33，所以甲的中位数也是33，所以m ＝3.由此可以得出甲的平均数为33，所以乙的平均数也是33，所以有20＋n ＋32＋34＋384＝33，所以n ＝8，所以m n ＝38.答案：38样本的数字特征1．众数、中位数、平均数 数字特征 定义与求法优点与缺点众数一组数据中重复出现次数最众数通常用于描述变量的值出现次数最2．标准差、方差(1)标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，s ＝ 1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]. (2)方差：标准差的平方s 2s 2＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，其中x i (i ＝1,2,3，…，n )是样本数据，n 是样本容量，x －是样本平均数．[小题速通]1．对于一组数据x i (i ＝1,2,3，…，n )，如果将它们改变为x i ＋C (i ＝1,2,3，…，n )，其中C ≠0，则下列结论正确的是( )A ．平均数与方差均不变B ．平均数变，方差保持不变C ．平均数不变，方差变D ．平均数与方差均发生变化 解析：选B 依题意，记原数据的平均数为x －，方差为s 2，则新数据的平均数为(x 1＋C )＋(x 2＋C )＋…＋(x n ＋C )n ＝x －＋C ，即新数据的平均数改变；新数据的方差为1n [(x 1＋C )－(x －＋C )]2＋[(x 2＋C )－(x －＋C )]2＋…＋[(x n ＋C )－(x －＋C )]2＝s 2，即新数据的方差不变．2．(2016·邢台摸底)样本中共有五个个体，其值分别为0,1,2,3，m .若该样本的平均值为1，则其方差为( )A.105 B.305C.2D ．2解析：选D 依题意得m ＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s 2＝15(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即所求的样本方差为2.3．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班67679若以上两组数据的方差中较小的一个为s 2，则s 2＝________.解析：由数据表可得出乙班的数据波动性较大，则其方差较大，甲班的数据波动性较小，其方差较小，其平均值为7，方差s 2＝15(1＋0＋0＋1＋0)＝25.答案：25[清易错]1．众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量． 2．平均数反映的是样本个体的平均水平，众数和中位数则反映样本中个体的“重心”． 10名工人某天生产同一零件，生产的零件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a解析：选D 依题意，这些数据由小到大依次是10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，因此a <15，b ＝15，c ＝17，c >b >a .变量间的相关关系 统计案例 1．变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．2．两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1n x 2i －n x －2， a ^＝y －－b ^x －. (3)通过求Q ＝i ＝1n (y i －bx i －a )2的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．(4)相关系数：当r ＞0时，表明两个变量正相关； 当r ＜0时，表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．3．独立性检验假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)．[小题速通]1．如图是根据x ，y 的观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)得到的散点图，可以判断变量x ，y 具有线性相关关系的图是( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④解析：选D 若变量x ，y 具有线性相关关系，那么散点就在某条直线附近，从左上到右下，或从左下到右上，故选D.2．已知x ，y 取值如表：画散点图分析可知：y 与x 线性相关，且求得回归方程为y ＝x ＋1，则m 的值(精确到0.1)为( )A ．1.5B ．1.6C ．1.7D ．1.8解析：选C 由题意知，x ＝3.2代入回归方程y ^＝x ＋1可得y ＝4.2，则4m ＝6.7，解得m ＝1.675，则准确到0.1后m 的值为1.7.故选C.3．随机询问某幼儿园的100名孩子是否爱吃零食，得到如下的列联表：由K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得K 2＝100×(10×30－20×40)250×50×30×70≈4.762.则得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C ．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”D ．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”解析：选A ∵K 2≈4.762＞3.841，∴在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”．故选A.[清易错]1．易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．2．回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(x －，y －)点，可能所有的样本数据点都不在直线上．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1和l 2，已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值都是s ，对变量y 的观测数据的平均值都是t ，那么下列说法正确的是( )A ．l 1和l 2必定平行B ．l 1与l 2必定重合C ．l 1和l 2一定有公共点(s ，t )D ．l 1与l 2相交，但交点不一定是(s ，t )解析：选C 注意到回归直线必经过样本中心点． [双基过关检测] 一、选择题1．(2017·邯郸摸底)某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为13，则n ＝( )A ．660B ．720C ．780D ．800解析：选B 由已知条件，抽样比为13780＝160，从而35600＋780＋n ＝160，解得n ＝720.2．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )A.y ^＝0.4x ＋2.3B.y ^＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5 D.y ^＝－0.3x ＋4.4解析：选A 依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C ，D.且直线必过点(3,3.5)，代入A ，B 得A 正确．3．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15解析：选C 由题意知应将960人分成32组，每组30人．设每组选出的人的号码为30k ＋9(k ＝0,1，…，31)．由451≤30k ＋9≤750，解得44230≤k ≤74130，又k ∈N ，故k ＝15,16，…，24，共10人．4．根据如下样本数据得到的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则( )A.a ^>0，b ^>0B.a ^>0，b ^<0C.a ^<0，b ^>0D.a ^<0，b ^<0解析：选B 把样本数据中的x ，y 分别当作点的横、纵坐标，在平面直角坐标系xOy 中作出散点图(图略)，由图可知b ^<0，a ^>0.故选B.5.如图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )7 98 4 4 6 4 793A ．84,4.84B ．84,1.6C ．85,1.6D ．85,4解析：选C 依题意，所剩数据的平均数是80＋15×(4×3＋6＋7)＝85，所剩数据的方差是15×[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6. 6.如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)、[35,40)、[40,45]的网民人数成递减的等差数列，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为( )A ．0.04B ．0.06C ．0.2D ．0.3解析：选C 由题意得，年龄在[20,25)的网民出现的频率为0.01×5＝0.05，[25,30)的网民出现的频率为0.07×5＝0.35，又[30,35)、[35,40)、[40,45]的网民人数成递减的等差数列，则其频率也成等差数列，又[30,45]的频率为1－0.05－0.35＝0.6，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为0.2.7．通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如表所示的2×2列联表：由K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，算得K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：参照附表，得到的正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关” 解析：选A 由K 2≈7.8，得P (K 2≥6.635)＝0.01＝1－99%，∴有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”．8．(2017·长沙一模)下面的茎叶图是某班学生在一次数学测试时的成绩：根据茎叶图，得出该班男、女生数学成绩的四个统计结论，其中错误的一项是( ) A ．15名女生成绩的平均分为78 B ．17名男生成绩的平均分为77C ．女生成绩和男生成绩的中位数分别为82,80D ．男生中的高分段和低分段均比女生多，相比较男生两极分化比较严重解析：选C 对于A,15名女生成绩的平均分为115×(90＋93＋80＋80＋82＋82＋83＋83＋85＋70＋71＋73＋75＋66＋57)＝78，A 正确；对于B,17名男生成绩的平均分为117×(93＋93＋96＋80＋82＋83＋86＋86＋88＋71＋74＋75＋62＋62＋68＋53＋57)＝77，故B 正确；对于D ，观察茎叶图，对男生、女生成绩进行比较，可知男生两极分化比较严重，D 正确；对于C ，根据女生和男生成绩数据分析可得，两组数据的中位数均为80，C 错误．二、填空题9．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是________．解析：间隔数k ＝80050＝16，即每16人抽取一个人．由于39＝2×16＋7，所以第1小组中抽取的数为7.答案：710．(2017·南昌一模)若1,2,3,4，m 这五个数的平均数为3，则这五个数的方差为________． 解析：由1＋2＋3＋4＋m 5＝3得m ＝5，所以这五个数的方差为15[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2.答案：211．(2016·抚顺模拟)某学院的A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取学生________名．解析：抽样比为1201 200＝110，∴A，B专业共抽取38＋42＝80名，故C专业抽取120－80＝40名．答案：4012．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.解析：K2≈3.918≥3.841，而P(K2≥3.814)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．答案：①三、解答题13．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y＝b x＋a；(2)利用(1)中所求出的回归直线方程预测该地2016年的粮食需求量．解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得，x＝0，y＝3.2，b ^＝(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29－5×0×3.2(－4)2＋(－2)2＋22＋42－5×02＝26040＝6.5，a ^＝y －b ^x ＝3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为 y ^－257＝b ^(x －2010)＋a ^＝6.5(x －2010)＋3.2， 即y ^＝6.5(x －2010)＋260.2.(*)(2)利用回归直线方程(*)，可预测2016年的粮食需求量为 6.5(2016－2010)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．14．(2017·唐山统考)为了调查某校学生体质健康达标情况，现采用随机抽样的方法从该校抽取了m 名学生进行体育测试．根据体育测试得到了这m 名学生的各项平均成绩(满足100分)，按照以下区间分为七组：[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并得到频率分布直方图(如图)．已知测试平均成绩在区间[30,60)内有20人．(1)求m 的值及中位数n ；(2)若该校学生测试平均成绩小于n ，则学校应适当增加体育活动时间．根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加体育活动时间？解：(1)由频率分布直方图知第1组，第2组和第3组的频率分别是0.02,0.02和0.06， 则m ×(0.02＋0.02＋0.06)＝20，解得m ＝200.由直方图可知，中位数n 位于[70,80)内，则0.02＋0.02＋0.06＋0.22＋0.04(n －70)＝0.5，解得n ＝74.5.(2)设第i (i ＝1,2,3,4,5,6,7)组的频率和频数分别为p i 和x i ，由图知，p 1＝0.02，p 2＝0.02，p 3＝0.06，p 4＝0.22，p 5＝0.40，p 6＝0.18，p 7＝0.10，则由x i ＝200×p i ，可得x 1＝4，x 2＝4，x 3＝12，x 4＝44，x 5＝80，x 6＝36，x 7＝20， 故该校学生测试平均成绩是x ＝35x 1＋45x 2＋55x 3＋65x 4＋75x 5＋85x 6＋95x 7200＝74＜74.5，所以学校应该适当增加体育活动时间．高考研究课(一) 随机抽样———————————————————————[全国卷5年命题分析][典例] (2017·，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )A ．26,16,8B ．25,17,8C ．25,16,9D ．24,17,9[解析] 由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300，得k ≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495，得1034<k ≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17；第Ⅲ营区被抽中的人数为50－25－17＝8.[答案] B[方法技巧]解决系统抽样问题的2个关键步骤(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．[即时演练]1．某学校教务处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体1 000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1 000名学生从1到1 000进行编号，求得间隔数k ＝20，即分50组，每组20人．在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应抽取的号码是( )A ．117B ．157C ．417D ．367解析：选B 根据系统抽样法的特点，可知抽取出的号码成首项为17，公差为20的等差数列，所以第8组应抽取的号码是17＋(8－1)×20＝157，故选B.2．已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________．解析：由405＝8，故可分为8组，又第一组抽出的号码为2，则抽出的所有号码组成以2为首项，8为公差的等差数列，故抽出的号码为2,10,18,26,34.答案：2,10,18,26,34.分层抽样分层抽样是历年高考的重要考点之一高考中常把分层抽样、频率分布、概率综合起来进行考查，反映了当前高考的命题方向.这类试题难度不大，但考查的知识面较为宽广在解题中要注意准确使用所学知识，不然在一个点上的错误就会导致整体失误.,常见的命题角度有：(1)与频率分布相结合问题； (2)与概率相结合问题1．从某学校所有高一学生某次计算机笔试成绩中选出40名学生的成绩(单位：分)，成绩分组区间为[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]，由此绘制成如图所示的频率分布直方图，规定成绩低于90分为不及格，成绩不低于90分为及格．(1)求频率分布直方图中m 的值； (2)求这40名学生中不及格的学生人数；(3)从不及格的学生中按成绩用分层抽样的方法任选5人，再从这5人中任选2人，求这2人的成绩均在[70,90)内的概率．解：(1)由题中频率分布直方图知，组距为20， 由⎝⎛⎭⎫m ＋32m ＋72m ＋3m ＋m ×20＝1，解得m ＝0.005. (2)这40名学生中不及格的学生人数为 52×0.005×20×40＝10. (3)按成绩分层抽样，则从成绩在[50,70)，[70,90)的学生中应选取的人数分别为25×5＝2，35×5＝3，记成绩在[50,70)内的2人分别为A 1，A 2，成绩在[70,90)内的3人分别为B 1，B 2，B 3，“2人的成绩均在[70,90)内”为事件A ，则从这5人中任选2人的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个．其中这2人的成绩都在[70,90)内的基本事件有(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共3个． 故所求概率P (A )＝310.角度二 与概率相结合问题2．由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高，然而也有部分公众对该活动的实际效果与影响提出了疑问．对此，某新闻媒体进行了网上调查，在所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：年龄20岁以下 800 450 200 20岁以上(含20岁)100150300(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从持“支持”态度的人中抽取了45人，求n 的值；(2)在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人年龄在20岁以下的概率．解：(1)由题意得45800＋100＝n 800＋450＋200＋100＋150＋300，求得n ＝100.(2)设所抽取的人中，有n 人年龄在20岁以下， 则200200＋300＝m5，解得m ＝2.即20岁以下抽取了2人，分别记作A 1，A 2；20岁以上(含20岁)抽取了3人，分别记作B 1，B 2，B 3，则从中任取2人的所有基本事件为(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 1，A 2)，(B 1，B 2)，(B 2，B 3)，(B 1，B 3)，共10个．其中至少有1人年龄在20岁以下的基本事件为(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 1，A 2)，共7个，所以从中任意抽取2人，至少有1人年龄在20岁以下的概率为710.[方法技巧]进行分层抽样的相关计算时，常用到的2个关系(1)样本容量n总体的个数N ＝该层抽取的个体数该层的个体数； (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．1．(2013·全国卷Ⅰ)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是() A．简单随机抽样 B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样解析：选C由于该地区的中小学生人数比较多，不能采用简单随机抽样，排除选项A；由于小学、初中、高中三个学段的学生视力差异性比较大，可采取按照学段进行分层抽样，而男女生视力情况差异性不大，不能按照性别进行分层抽样，排除B和D.故选C.2．(2015·北京高考)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为()A.90 BC．180 D．300解析：选C设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得x900＝3201 600，故x＝180.3．(2015·湖南高考)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是()A．3 B．4C．5 D．6解析：选B35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139,151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4人．4．(2015·福建高考)某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．解析：设男生抽取x人，则有45900＝x900－400，解得x＝25.答案：25[高考达标检测]一、选择题1．(2017·珠海摸底)为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为()A．9B．8C．10 D．7解析：选A由系统抽样方法知，72人分成8组，故分段间隔为72÷8＝9.2．(2017·河北冀州中学期末)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150,120,180,150个销售点．公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是() A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法解析：选B一般甲、乙、丙、丁四个地区会存在差异，采用分层抽样法较好．在丙地区中抽取的样本个数较少，易采用简单随机抽样法．3．(2016·石家庄模拟)某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1,2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是()A．1,2,3,4,5,6 B．6,16,26,36,46,56C．1,2,4,8,16,32 D．3,9,13,27,36,54解析：选B由系统抽样知识知，所取学生编号之间的间距相等且为10，所以应选B.4．某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为()A．40 B．36C ．30D ．20解析：选C 利用分层抽样的比例关系， 设从乙社区抽取n 户，则270360＋270＋180＝n 90.解得n ＝30.5．(2017·江西八校联考)从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为( )A ．480B ．481C ．482D ．483解析：选C 根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a 1＝7，a 2＝32，则d ＝25，所以7＋25(n －1)≤500，所以n ≤20，最大编号为7＋25×19＝482.6．哈六中2016届有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选B 使用系统抽样方法，从840名学生中抽取42人，即从20人中抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取48020＝24(人)，接着从编号481～720共240人中抽取24020＝12人．7．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现分层抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为( )A ．15,10,20B ．10,5,30C ．15,15,15D ．15,5,25解析：选A 因为抽取了45人的样本，所以三个年级抽取的人数分别为300900×45＝15，200900×45＝10，400900×45＝20.故选A. 8．(2016·淄博模拟)某市A ，B ，C ，D 四所中学报名参加某高校2016年自主招生考试的学生人数如下表所示：。
2022北师大版文科数学高考总复习教师用书：11-1归纳与类比 Word版含答案
第1讲归纳与类比最新考纲 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简洁的推理，了解合情推理在数学发觉中的作用；2.了解演绎推理的重要性，把握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简洁推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．知识梳理1．归纳推理：依据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．归纳推理的基本模式：a，b，c∈M且a，b，c具有某属性，结论：任意d∈M，d也具有某属性．2．类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，依据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性：a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相像或相同)3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不肯定正确．4．演绎推理(1)定义：从一般性的原理动身，推出某个特殊状况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所争辩的特殊状况；③结论——依据一般原理，对特殊状况作出的推断．诊断自测1．推断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT呈现(1)归纳推理得到的结论不肯定正确，类比推理得到的结论肯定正确．()(2)由平面三角形的性质推想空间四周体的性质，这是一种合情推理．()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就肯定正确．()解析(1)类比推理的结论不肯定正确．(3)平面中的三角形与空间中的四周体作为类比对象较为合适．(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论肯定正确．答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28 B．32 C．33 D．27解析5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，推出x－20＝12，所以x＝32.答案 B3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确解析f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．答案 C4．(2021·陕西卷)观看下列等式1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16……据此规律，第n个等式可为________．解析第n个等式左边共有2n项且等式左边分母分别为1,2，…，2n，分子为1，正负交替消灭，即为1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n；等式右边共有n项且分母分别为n＋1，n＋2，…，2n，分子为1，即为1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.所以第n个等式可为1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1 n＋2＋…＋12n.答案1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n5．(教材改编)在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n ∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则b1b2b3…b n＝________.答案b1b2b3…b17－n(n＜17，n∈N＋)考点一 归纳推理 【例1】 (1)(2022·山东卷)观看下列等式： ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2 ＝43×3×4；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5；……照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. (2)(2021·西安模拟)观看下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……，依据上述规律，第n 个不等式应当为________．解析 (1)观看前4个等式，由归纳推理可知⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝43×n ×(n ＋1)＝4n (n ＋1)3.(2)依据规律，知不等式的左边是n ＋1个自然数的平方的倒数的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第n 个不等式应当为1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1.答案 (1)4n (n ＋1)3(2)1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1规律方法 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观看数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2)与不等式有关的推理．观看每个不等式的特点，留意是纵向看，找到规律后可解． (3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，接受不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．【训练1】 (1)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，依据下面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________．(2)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家争辩过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ， 正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ……可以推想N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________.解析 (1)由题意知：图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2＋6，∴第n 条小鱼需要(2＋6n )根． (2)三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ＝n 2＋n 2， 正方形数 N (n,4)＝n 2＝2n 2－0·n2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ＝3n 2－n 2， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ＝4n 2－2n2，k 边形数 N (n ，k )＝(k －2)n 2－(k －4)n2，所以N (10,24)＝22×102－20×102＝2 200－2002＝1 000.答案 (1)2＋6n (2)1 000 考点二 类比推理【例2】 (1)若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n n B ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n (2)(2021·南昌二中月考)如图(1)所示，点O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，并延长交对边于A 1，B 1，C 1，则OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＝1，类比猜想：点O 是空间四周体V －BCD 内的任意一点，如图(2)所示，连接VO ，BO ，CO ，DO 并延长分别交面BCD ，VCD ，VBD ，VBC 于点V 1，B 1，C 1，D 1，则有________________．解析 (1)法一 从商类比开方，从和类比积，则算术平均数可以类比几何平均数，故d n 的表达式为d n ＝nc 1·c 2·…·c n .法二 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n1·，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·，即{d n }为等比数列，故选D.(2)利用类比推理，猜想应有OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1.用“体积法”证明如下：OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝V O －BCD V V －BCD ＋V O －VCD V B －VCD ＋V O －VBD V C －VBD ＋V O －VBC V D －VBC ＝V V －BCDV V －BCD ＝1. 答案 (1)D (2)OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1规律方法 (1)进行类比推理，应从具体问题动身，通过观看、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.【训练2】 (2021·安徽江淮十校三联)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不行割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定出来x ＝2，类似地不难得到1＋11＋11＋…＝( )A.－5－12B.5－12C.1＋52 D.1－52解析 1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52(x ＝1－52舍)，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C.答案 C考点三 演绎推理【例3】 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N ＋)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)规律方法 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，假如前提是明显的，则可以省略．【训练3】 (2022·全国Ⅱ卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”． 答案 1和3[思想方法]1．合情推理的过程概括为从具体问题动身→观看、分析、比较、联想→ 归纳、类比→提出猜想2．演绎推理是从一般的原理动身，推出某个特殊状况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行． [易错防范]1．合情推理是从已知的结论推想未知的结论，发觉与猜想的结论都要经过进一步严格证明． 2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，留意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.基础巩固题组(建议用时：30分钟) 一、选择题1．(2022·西安八校联考)观看一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1，1⊗3，2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第( )A ．22项B ．23项C ．24项D ．25项解析 两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项，故选C. 答案 C2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的缘由是( ) A ．使用了归纳推理 B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但推理形式错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误解析 由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误缘由是推理形式错误．答案 C3．观看(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( ) A ．f (x ) B ．－f (x ) C ．g (x ) D ．－g (x )解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g (－x )＝－g (x )． 答案 D4．观看下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于()A．28 B．76 C．123 D．199解析观看规律，归纳推理．从给出的式子特点观看可推知，等式右端的值，从第三项开头，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.答案 C5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“acbc＝ab”类比得到“a·cb·c＝ab”．以上式子中，类比得到的结论正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析①②正确；③④⑤⑥错误．答案 B6．(2021·宜春一中月考)老师带甲、乙、丙、丁四名同学去参与自主招生考试，考试结束后老师向四名同学了解考试状况，四名同学回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名同学中有两人说对了，则四名同学中说对的两人是()A．甲，丙B．乙，丁C．丙，丁D．乙，丙解析甲与乙的关系是对立大事，二人说话冲突，必有一对一错，假如丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为D.答案 D7．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为() A．n＋1 B．2nC.n2＋n＋22D．n2＋n＋1解析1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋n(n＋1)2＝n2＋n＋22个区域，选C.答案 C8．如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，假如一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为()A．6 B．7 C．8 D．9解析由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N＋)层的点数为6(n－1)．设一个点阵有n(n≥2，n∈N＋)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋6＋6(n－1)2×(n－1)＝3n2－3n＋1，由题意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层．答案 C二、填空题9．认真观看下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此规律连续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．解析进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝n(n＋3)2，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.答案1410．观看下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，……，依据上述规律，第n 个等式为________．解析 观看所给等式左右两边的构成易得第n 个等式为13＋23＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22＝n 2(n ＋1)24.答案 13＋23＋…＋n 3＝n 2(n ＋1)2411．(2021·重庆模拟)在等差数列{a n }中，若公差为d ，且a 1＝d ，那么有a m ＋a n ＝a m ＋n ，类比上述性质，写出在等比数列{a n }中类似的性质：___________________________.解析 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n .” 答案 在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n12．已知点A (x 1，ax 1)，B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x (a ＞1)的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论ax 1＋ax 22＞a x 1＋x 22成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图像上任意不同两点，则类似地有________成立．解析 对于函数y ＝a x (a ＞1)的图像上任意不同两点A ，B ，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论ax 1＋ax 22＞a x 1＋x 22成立；对于函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图像上任意不同的两点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的下方， 类比可知应有sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22成立．答案sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22力量提升题组 (建议用时：15分钟)13．(2021·湖北八校二联)有6名选手参与演讲竞赛，观众甲猜想：4号或5号选手得第一名；观众乙猜想：3号选手不行能得第一名；观众丙猜想：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜想：4,5,6号选手都不行能获得第一名．竞赛后发觉没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对竞赛结果，此人是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁解析 依据题意，6名选手竞赛结果甲、乙、丙、丁猜想如下表：1号 2号 3号 4号 5号 6号 甲 不行能 不行能 不行能 可能 可能 不行能 乙 可能 可能 不行能 可能 可能 可能 丙 可能 可能 不行能 不行能 不行能 可能 丁可能可能可能不行能不行能不行能由表知，只有丁猜对了竞赛结果，故选D.答案 D14．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种外形来争辩数． 比如：他们争辩过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A ．289 B ．1 024 C ．1 225 D ．1 378解析 观看三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3， …a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )⇒a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，观看正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{b n }，则b n ＝n 2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有1 225. 答案 C15．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0y b 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________．解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1，P 2的切线方程分别是x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2yb 2＝1. 由于P 0(x 0，y 0)在这两条切线上， 故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b 2＝1，这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0yb 2＝1上， 故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0yb 2＝1. 答案 x 0x a 2－y 0yb 2＝116．(2022·济南模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下： 1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … …则第30行从左到右第3个数是________．解析 先求第30行的第1个数，再求第30行的第3个数．观看每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋ (60)30×(2＋60)2－1＝929.又第n 行从左到右的第2个数比第1个数大2n ，第3个数比第2个数大2n ＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051. 答案 1 051。
高考对数学文化的考查教师用书_理
【三维设计】〔通用版〕2021届高三数学二轮复习 第二局部 考前30天 策略三 重视高考对数学文化的考察教师用书 理2021年?考试大纲?修订内容中增加了数学文化的要求，其主要目的是注重传统文化在现实中的创造性转化和创新性开展，从而实现考试的社会意义和现实目的．其实，近几年高考数学试卷早已出现以数学文化为背景的新颖命题，将数学知识、方法、文化融为一体，有效考察学生在新情境下对知识的理解及迁移运用能力．只不过前几年考纲未做明确要求，未引起广阔师生的重视.2021年考纲作出明确要求后，相信以后的高考关于数学文化的命题会加大，应引起师生们的重点关注．高考将会从以下几个角度实现数学知识与数学文化的有效“嫁接〞．[典例1] (2021·XX 高考)如下图，“嫦娥一号〞探 月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月 飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，假设用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出以下式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2＞a 1c 2；④c 1a 1＜c 2a 2.其中正确式子的序号是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④[解析] ①由题图知2a 1＞2a 2，2c 1＞2c 2；即a 1＞a 2，c 1＞c 2， ∴a 1＋c 1＞a 2＋c 2，∴①不正确． ②∵a 1－c 1＝|PF |，a 2－c 2＝|PF |， ∴a 1－c 1＝a 2－c 2，∴②正确．③∵a 1＞a 2＞0，c 1＞c 2＞0.∴a 21＞a 22，c 21＞c 22，又∵a 1－c 1＝a 2－c 2.即a 1＋c 2＝a 2＋c 1， 即a 21＋c 22＋2a 1c 2＝a 22＋c 21＋2a 2c 1.∴a 21－c 21＋c 22－a 22＋2a 1c 2＝2a 2c 1，即(a 1－c 1)(a 1＋c 1)－(a 2－c 2)(a 2＋c 2)＋2a 1c 2＝2a 2c 1， 整理得(a 1－c 1)(a 1－a 2＋c 1－c 2)＋2a 1c 2＝2a 2c 1.∵a 1＞c 1，a 1＞a 2，c 1＞c 2，∴2a 1c 2＜2a 2c 1. 即c 1a 2＞a 1c 2，∴③正确． ④∵c 1a 2＞a 1c 2，a 1＞0，a 2＞0，∴c 1a 2a 1a 2＞a 1c 2a 1a 2. 即c 1a 1＞c 2a 2，∴④不正确． [答案]B [精彩赏析]本例以“嫦娥一号〞卫星为背景，抽象出一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆间的几何性质，并采用数形结合的方式构筑成题，题中所给的有关椭圆根本量的四个式子，形式上采用加、减、乘、除四那么运算，并结合相等与不等关系组合而成，搭配对称和谐，富有数学美感，该题对于引导中学数学教育，理论联系实际，关注科普知识、重视数学文化有着非常重要的导向作用．[类题尝试]1.(2007·高考)2002年在召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为根底设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ.那么cos 2θ的值等于________．解析：∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25.∴每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，那么⎩⎨⎧a 2＋b 2＝25，12ab ＝6，∴两条直角边的长分别为3，4， 又∵直角三角形中较小的锐角为θ， ∴cos θ＝45，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝725.答案：725[典例2] (1)(2021·XX 高考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现XX 省安岳县)人，他在所著的?数书九章?中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比拟先进的算法．如下图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．假设输入n ，x 的值分别为3，2，那么输出v 的值为( )A ．9B ．18C ．20D ．35(2)(2021 ·全国卷Ⅰ)?九章算术?是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？〞其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？〞1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛(3)(2021·XX 高考)?算数书?竹简于上世纪八十年代在XX 省江陵县X 家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖〞的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.355113(4)(2021·XX 高考)我国古代数学名著?数书九章?中有“天池盆测雨〞题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．假设盆中积水深九寸，那么平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) [解析] (1)由程序框图知，初始值：n ＝3，x ＝2，v ＝1，i ＝2，第一次循环：v ＝4，i ＝1； 第二次循环：v ＝9，i ＝0； 第三次循环：v ＝18，i ＝－1.完毕循环，输出当前v 的值18.应选B.(2)设米堆的底面半径为r 尺，那么π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V ＝14×13π×r 2×5＝π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)．应选B. (3)由题意知275L 2h ≈13πr 2h ⇒275L 2≈13πr 2，而L ≈2πr ，代入得π≈258.(4)以我国数学名著?数书九章?为题材，考察台体的体积．圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为V ＝13πh (r 2中＋r 2下＋r 中r 下)＝π3×9×(102＋62＋10×6)＝588π(立方寸)，降雨量为V142π＝588π196π＝3(寸)．[答案] (1)B (2)B (3)B (4)3 [精彩赏析]本例(1)～(4)是以?九章算术?、?数书九章?和?算数书?为背景，相应考察算法、圆锥的体积公式和圆台的体积公式等数学知识．?九章算术?大约成书于公元1世纪，是中国古代最著名的传世数学著作，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系；?数书九章?成书于1247年9月，是对?九章算术?的继承和开展，它概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，标志着中国古代数学的顶峰；?算数书?成书于公元前186年以前，是目前最早的中国数学著作，它不仅系统地总结了秦和先秦的数学成就，为中国古代数学的开展奠定了根底，同时对后世的?九章算术?的产生也有一定的影响，而且开创了我国古代数学重应用的特色，标志着我国古代数学理论体系开场初步形成．以上高考试题，介绍了三部数学名著，让学生更加了解?九章算术??数书九章?和?算数书?等数学名著，从这个意义上讲，这些试题的价值实际上已远远超出了试题本身．[类题尝试]2．(2021·全国丙卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，假设输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2，2，5，那么输出的s＝( )A．7 B．12C．17 D．34解析：选C 第一次运算：s＝0×2＋2＝2，k＝1；第二次运算：s＝2×2＋2＝6，k＝2；第三次运算：s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，完毕循环，s＝17.3．(2021 ·全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著?九章算术?中的“更相减损术〞．执行该程序框图，假设输入的a，b分别为14，18，那么输出的a＝( )A．0 B．2C．4 D．14解析：选B a＝14，b＝18.第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2，应选B.[典例3] (2021·XX高考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如下图的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________．(用k 表示)[解析] 由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n 〔n ＋1〕2，n ∈N *，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15，由上述规律可知：b 2k ＝a 5k ＝5k 〔5k ＋1〕2(k 为正整数)， b 2k －1＝a 5k －1＝〔5k －1〕〔5k －1＋1〕2＝5k 〔5k －1〕2，故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项． [答案] (1)5 030 (2)5k 〔5k －1〕2[精彩赏析]此题是以形为载体，考察数列的通项公式等根底知识，考察特殊与一般的数学思想方法，考察归纳与猜测、推理与计算的能力，试题既合理引用了经典史料，又不刻意增加难度，同时对学生的数感进展了有效地考察，让学生在数学史的背景中，体验数学的理性精神．在数学史上，古希腊数学家毕达哥拉斯最早把正整数和几何图形联系在一起，把数描绘成沙滩上的小石子，又按小石子所能排列的形状，把正整数与正三角形、正方形等图形联系起来，得数分为三角形数、正方形数，这样一来，抽象的正整数就有了生动的形象，寻找它们之间的规律也就容易多了．毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在?算术引论?中将多边形数推广到多面体数，公元前6世纪，还没有纸，用小石子研究数的性质，既方便又直观，这真是古希腊人的一种创造，也是认识数的一种有趣方法，英语中的“calculation 〞一词来源于拉丁文“calculus 〞，就是小石子的意思．[类题尝试]4．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n 〔n ＋1〕2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以以下出了局部k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n ，4)＝n 2，五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ，……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝__________． 解析：由N (n ，4)＝n 2，N (n ，6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1n 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－2n ，于是N (n ，24)＝11n 2－10n ，故N (10，24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 000 [即时体会领悟][致同学] 数学文化只是一种命题载体，没必要引起广阔师生的紧X 和恐慌．只要平时多积累和了解一些这方面的常识，解题中注意审题，实现载体与考点的有效转化，透过表象看本质，问题便可迎刃而解．一、选择题1．?九章算术?是人类科学史上应用数学的最早巅峰，在研究比率方面的应用十分丰富，其中有“米谷粒分〞问题：粮仓开仓收粮，粮农送来1 534石，验其米内杂谷，随机取米一把，数得254粒内夹谷28粒，那么这批米内夹谷约( )A ．134石B ．169石C ．268石D ．338石 解析：选B 设这批米内夹谷约为x 石， 根据随机抽样事件的概率得x1 534＝28254，得x ≈169. 应选B.2．我国古代数学名著?九章算术?中“开立圆术〞曰：置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术〞相当于给出了球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈3169V .人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，以下近似公式中最准确的一个是( )A ．d ≈3169VB ．d ≈32VC ．d ≈3300157VD ．d ≈32111V解析：选D 由球体积公式得d ＝36πV ≈31.909 860 93V . 因为169≈1.777 777 78，300157≈1.910 828 03，2111≈1.909 090 91.而2111最接近于6π，所以选D. 3．我国古代数学名著?九章算术?中，有长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 第一步：构造数列1，12，13，14， (1).第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n . 那么a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n 等于( ) A ．n 2B ．(n －1)2C ．n (n －1)D ．n (n ＋1) 解析：选C a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n＝n 1·n 2＋n 2·n 3＋…＋nn －1·nn＝n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11·2＋12·3＋…＋1〔n －1〕n＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝n 2·n －1n＝n (n －1)． 4．?九章算术?是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？〞其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材局部镶嵌在墙体中，截面图如下图(阴影局部为镶嵌在墙体内的局部)．弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( ) ⎝⎛⎭⎪⎫注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸 解析：选D 连接OA ，OB ，OD ，设⊙O 的半径为R ，那么(R －1)2＋52＝R 2，∴R ＝13.sin ∠AOD ＝AD AO ＝513. ∴∠AOD ≈22.5°，即∠AOB ≈45°. 故∠AOB ≈π4.∴S 弓形ACB ＝S 扇形OACB －S △OAB＝12×π4×132－12×10×12≈6.33平方寸． ∴该木材镶嵌在墙中的体积为V ＝S 弓形ACB ×100≈633立方寸．选D.二、填空题5．?九章算术?“竹九节〞问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，那么第5节的容积为________升．解析：设该数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋7d ＝43，d ＝766，那么a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋7d －3d ＝43－2166＝6766.答案：67666．中国古代数学名著?九章算术?中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如下图(单位：寸)假设π取3，其体积为12.6(立方寸)，那么图中的x 的值为________．解析：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：(5.4－x )×3×1＋π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＝12.6.解得x ＝1.6. 答案：1.67．我国古代数学名著?九章算术?中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，那么与圆周合体而无所失矣．〞其表达的是一种无限与有限的转化过程，比方在 2＋2＋2＋…中“…〞即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x＝x 确定x ＝2，那么1＋11＋11＋…＝________．解析：由题意，可令1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1－52舍，故1＋11＋11＋…＝1＋52. 答案：1＋52三、解答题8.中国古代数学名著?九章算术?中的“引葭赴岸〞是一道名题，其内容为：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与齐，问水深葭长各几何〞意为：今有边长为1丈的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的局部为1尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接，问水深芦苇的长度各是多少？将该问题拓展如图，记正方形水池的剖面图为ABCD ，芦苇根部O 为AB 的中点，顶端为P (注芦苇与水面垂直)，在牵引顶端P 向水岸边点D 的过程中，当芦苇经过DF 的中点E 时，问芦苇的顶端离水面的距离为多少？(注：1丈＝10尺，601≈24.5)解：设水深为x 尺，那么x 2＋52＝(x ＋1)2， 解得，x ＝12.∴水深为12尺，芦苇长为13尺，以AB 所在的直线为x 轴，芦苇所在的直线为y 轴，建立直角坐标系，在牵引过程中，P 的轨迹是以O 为圆心，半径为13的圆，其方程为x 2＋y 2＝169(－5≤x ≤5，12≤y ≤13)，① E 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，12. ∴OE 所在的直线方程为y ＝－245x ，② 由①②联立解得y ＝ 169×576601≈13×2424.5＝62449. 那么此时芦苇的顶端离水面的距离为62449－12＝3649尺． 9．(2021 ·XX 高考)?九章算术?中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE .(1)证明：PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，假设是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；假设不是，说明理由．(2)假设面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC BC的值．解：(1)证明：如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD ＝DC ＝1，BC ＝λ(λ＞0)，那么D (0，0，0)，P (0，0，1)，B (λ，1，0)，C (0，1，0)，＝(λ，1，－1)，因为点E 是棱PC 的中点，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12， 于是＝0，所以PB ⊥DE .又EF ⊥PB ，而DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF .因为＝(0，1，－1)，所以＝0，所以DE ⊥PC ，而PB ∩PC ＝P ，所以DE ⊥平面PBC .由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB .(2)由PD ⊥平面ABCD ，所以＝(0，0，1)是平面ABCD 的一个法向量．由(1)知，PB ⊥平面DEF ，所以＝(－λ，－1，1)是平面DEF 的一个法向量．假设面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，结合λ＞0，解得λ＝2，所以DC BC ＝1λ＝22. 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC ＝22.。
高中数学教师用书
高中数学教师用书是针对高中数学教师编写的教学用书，主要包括以下几个方面的内容：
1. 课程内容和教学要求：教师用书会详细介绍高中数学课程的知识点、教学大纲和教学要求，帮助教师明确教学目标和教学内容。
2. 教学方法和技巧：教师用书会提供一些实用的教学方法和技巧，帮助教师更好地组织课堂教学，提高教学质量和效果。
3. 教学评估和反馈：教师用书会提供一些评估和反馈的方法，帮助教师对学生的学习情况进行评估，及时调整教学策略，提高教学效果。
4. 教学资源和参考书目：教师用书会提供一些教学资源和参考书目，帮助教师获取更多的教学资源和参考资料，更好地备课和教学。
总之，高中数学教师用书是高中数学教师必备的教学用书之一，可以帮助教师更好地备课、教学和评估学生的学习情况，提高教学质量和效果。
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【三维设计】（通用版）2017届高三数学二轮复习 第二部分 考前30天 策略三 重视高考对数学文化的考查教师用书 理2017年《考试大纲》修订内容中增加了数学文化的要求，其主要目的是注重传统文化在现实中的创造性转化和创新性发展，从而实现考试的社会意义和现实目的．其实，近几年高考数学试卷早已出现以数学文化为背景的新颖命题，将数学知识、方法、文化融为一体，有效考查学生在新情境下对知识的理解及迁移运用能力．只不过前几年考纲未做明确要求，未引起广大师生的重视.2017年考纲作出明确要求后，相信以后的高考关于数学文化的命题会加大，应引起师生们的重点关注．高考将会从以下几个角度实现数学知识与数学文化的有效“嫁接”．[典例1] (2008·湖北高考)如图所示，“嫦娥一号”探 月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月 飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2； ③c 1a 2＞a 1c 2；④c 1a 1＜c 2a 2. 其中正确式子的序号是( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④[解析] ①由题图知2a 1＞2a 2，2c 1＞2c 2；即a 1＞a 2，c 1＞c 2， ∴a 1＋c 1＞a 2＋c 2，∴①不正确． ②∵a 1－c 1＝|PF |，a 2－c 2＝|PF |， ∴a 1－c 1＝a 2－c 2，∴②正确．③∵a 1＞a 2＞0，c 1＞c 2＞0.∴a 21＞a 22，c 21＞c 22， 又∵a 1－c 1＝a 2－c 2.即a 1＋c 2＝a 2＋c 1， 即a 21＋c 22＋2a 1c 2＝a 22＋c 21＋2a 2c 1. ∴a 21－c 21＋c 22－a 22＋2a 1c 2＝2a 2c 1，即(a 1－c 1)(a 1＋c 1)－(a 2－c 2)(a 2＋c 2)＋2a 1c 2＝2a 2c 1， 整理得(a 1－c 1)(a 1－a 2＋c 1－c 2)＋2a 1c 2＝2a 2c 1. ∵a 1＞c 1，a 1＞a 2，c 1＞c 2，∴2a 1c 2＜2a 2c 1. 即c 1a 2＞a 1c 2，∴③正确． ④∵c 1a 2＞a 1c 2，a 1＞0，a 2＞0，∴c 1a 2a 1a 2＞a 1c 2a 1a 2.即c 1a 1＞c 2a 2，∴④不正确． [答案] B [精彩赏析]本例以“嫦娥一号”卫星为背景，抽象出一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆间的几何性质，并采用数形结合的方式构筑成题，题中所给的有关椭圆基本量的四个式子，形式上采用加、减、乘、除四则运算，并结合相等与不等关系组合而成，搭配对称和谐，富有数学美感，该题对于引导中学数学教育，理论联系实际，关注科普知识、重视数学文化有着非常重要的导向作用．[类题尝试]1.(2007·北京高考)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ.那么cos 2θ的值等于________．解析：∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25.∴每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝25，12ab ＝6，∴两条直角边的长分别为3，4， 又∵直角三角形中较小的锐角为θ， ∴cos θ＝45，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝725.答案：725[典例2] (1)(2016·四川高考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为( )A ．9B ．18C ．20D ．35(2)(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛(3)(2014·湖北高考)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750 D.355113(4)(2013·湖北高考)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) [解析] (1)由程序框图知，初始值：n ＝3，x ＝2，v ＝1，i ＝2，第一次循环：v ＝4，i ＝1； 第二次循环：v ＝9，i ＝0； 第三次循环：v ＝18，i ＝－1. 结束循环，输出当前v 的值18.故选B.(2)设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V ＝14×13π×r2×5＝π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)．故选B.(3)由题意知275L 2h ≈13πr 2h ⇒275L 2≈13πr 2，而L ≈2πr ，代入得π≈258.(4)以我国数学名著《数书九章》为题材，考查台体的体积．圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为V ＝13πh (r 2中＋r 2下＋r 中r 下)＝π3×9×(102＋62＋10×6)＝588π(立方寸)，降雨量为V142π＝588π196π＝3(寸)． [答案] (1)B (2)B (3)B (4)3 [精彩赏析]本例(1)～(4)是以《九章算术》、《数书九章》和《算数书》为背景，相应考查算法、圆锥的体积公式和圆台的体积公式等数学知识．《九章算术》大约成书于公元1世纪，是中国古代最著名的传世数学著作，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系；《数书九章》成书于1247年9月，是对《九章算术》的继承和发展，它概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，标志着中国古代数学的高峰；《算数书》成书于公元前186年以前，是目前已知最早的中国数学著作，它不仅系统地总结了秦和先秦的数学成就，为中国古代数学的发展奠定了基础，同时对后世的《九章算术》的产生也有一定的影响，而且开创了我国古代数学重应用的特色，标志着我国古代数学理论体系开始初步形成．以上高考试题，介绍了三部数学名著，让学生更加了解《九章算术》《数书九章》和《算数书》等数学名著，从这个意义上讲，这些试题的价值实际上已远远超出了试题本身．[类题尝试]2．(2016·全国丙卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x ＝2，n ＝2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s ＝( )A．7 B．12C．17 D．34解析：选C 第一次运算：s＝0×2＋2＝2，k＝1；第二次运算：s＝2×2＋2＝6，k＝2；第三次运算：s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，结束循环，s＝17.3．(2015·全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝( )A．0 B．2C．4 D．14解析：选B a＝14，b＝18.第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2，故选B.[典例3] (2012·湖北高考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}．可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________．(用k 表示)[解析] 由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，n ∈N *，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15，由上述规律可知：b 2k ＝a 5k ＝5k （5k ＋1）2(k 为正整数)， b 2k －1＝a 5k －1＝（5k －1）（5k －1＋1）2＝5k （5k －1）2，故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项． [答案] (1)5 030 (2)5k （5k －1）2[精彩赏析]此题是以形为载体，考查数列的通项公式等基础知识，考查特殊与一般的数学思想方法，考查归纳与猜想、推理与计算的能力，试题既合理引用了经典史料，又不刻意增加难度，同时对学生的数感进行了有效地考查，让学生在数学史的背景中，体验数学的理性精神．在数学史上，古希腊数学家毕达哥拉斯最早把正整数和几何图形联系在一起，把数描绘成沙滩上的小石子，又按小石子所能排列的形状，把正整数与正三角形、正方形等图形联系起来，得数分为三角形数、正方形数，这样一来，抽象的正整数就有了生动的形象，寻找它们之间的规律也就容易多了．毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在《算术引论》中将多边形数推广到多面体数，公元前6世纪，还没有纸，用小石子研究数的性质，既方便又直观，这真是古希腊人的一种创造，也是认识数的一种有趣方法，英语中的“calculation ”一词来源于拉丁文“calculus ”，就是小石子的意思．[类题尝试]4．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n ，4)＝n 2， 五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝__________． 解析：由N (n ，4)＝n 2，N (n ，6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1n 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k2－2n ，于是N (n ，24)＝11n 2－10n ，故N (10，24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 000 [即时体会领悟][致同学] 数学文化只是一种命题载体，没必要引起广大师生的紧张和恐慌．只要平时多积累和了解一些这方面的常识，解题中注意审题，实现载体与考点的有效转化，透过表象看本质，问题便可迎刃而解．一、选择题1．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，在研究比率方面的应用十分丰富，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来1 534石，验其米内杂谷，随机取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约( )A ．134石B ．169石C ．268石D ．338石 解析：选B 设这批米内夹谷约为x 石， 根据随机抽样事件的概率得x1 534＝28254，得x ≈169. 故选B.2．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈3169V .人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )A ．d ≈ 3169VB ．d ≈32VC ．d ≈ 3300157VD ．d ≈ 32111V解析：选D 由球体积公式得d ＝36πV ≈31.909 860 93V .因为169≈1.777 777 78，300157≈1.910 828 03，2111≈1.909 090 91.而2111最接近于6π，所以选D. 3．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n.第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n . 则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n 等于( ) A ．n 2B ．(n －1)2C ．n (n －1)D ．n (n ＋1) 解析：选C a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝n 1·n 2＋n 2·n 3＋…＋n n －1·nn ＝n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11·2＋12·3＋…＋1（n －1）n＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 2·n －1n＝n (n －1)． 4．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )⎝ ⎛⎭⎪⎫注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513 A ．600立方寸 B ．610立方寸 C ．620立方寸 D ．633立方寸 解析：选D 连接OA ，OB ，OD ，设⊙O 的半径为R ，则(R －1)2＋52＝R 2，∴R ＝13.sin ∠AOD ＝AD AO ＝513.∴∠AOD ≈22.5°，即∠AOB ≈45°. 故∠AOB ≈π4.∴S 弓形ACB ＝S 扇形OACB －S △OAB＝12×π4×132－12×10×12≈6.33平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为V ＝S 弓形ACB ×100≈633立方寸．选D.二、填空题5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析：设该数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4， 即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋7d ＝43，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋7d －3d ＝43－2166＝6766.答案：67666．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 的值为________．解析：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：(5.4－x )×3×1＋π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＝12.6. 解得x ＝1.6. 答案：1.67．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝________．解析：由题意，可令1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1－52舍，故1＋11＋11＋…＝1＋52. 答案：1＋52三、解答题8.中国古代数学名著《九章算术》中的“引葭赴岸”是一道名题，其内容为：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与齐，问水深葭长各几何”意为：今有边长为1丈的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分为1尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接，问水深芦苇的长度各是多少？将该问题拓展如图，记正方形水池的剖面图为ABCD ，芦苇根部O 为AB 的中点，顶端为P (注芦苇与水面垂直)，在牵引顶端P 向水岸边点D 的过程中，当芦苇经过DF 的中点E 时，问芦苇的顶端离水面的距离为多少？(注：1丈＝10尺，601≈24.5)解：设水深为x 尺，则x 2＋52＝(x ＋1)2， 解得，x ＝12.∴水深为12尺，芦苇长为13尺， 以AB 所在的直线为x 轴，芦苇所在的直线为y 轴，建立直角坐标系，在牵引过程中，P 的轨迹是以O 为圆心，半径为13的圆， 其方程为x 2＋y 2＝169(－5≤x ≤5，12≤y ≤13)，①E 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－52，12.∴OE 所在的直线方程为y ＝－245x ，②由①②联立解得y ＝169×576601≈13×2424.5＝62449. 则此时芦苇的顶端离水面的距离为62449－12＝3649尺．9．(2015·湖北高考)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE .(1)证明：PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由．(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC BC的值． 解：(1)证明：如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD ＝DC ＝1，BC ＝λ(λ＞0)，则D (0，0，0)，P (0，0，1)，B (λ，1，0)，C (0，1，0)，＝(λ，1，－1)，因为点E 是棱PC 的中点，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12， 于是＝0，所以PB ⊥DE .又已知EF ⊥PB ，而DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF . 因为＝(0，1，－1)，所以＝0，所以DE ⊥PC ，而PB ∩PC ＝P ，所以DE ⊥平面PBC .由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB .(2)由PD ⊥平面ABCD ， 所以＝(0，0，1)是平面ABCD 的一个法向量．由(1)知，PB ⊥平面DEF ， 所以＝(－λ，－1，1)是平面DEF 的一个法向量．若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，结合λ＞0，解得λ＝2，所以DC BC ＝1λ＝22. 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC ＝22.。