陈省身微积分讲义
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
dx ∧ dy = −dy ∧ dx.
(1.5)
dx ∧ dy =
48 ·¢{I~ {R I, ÄI
dx =
∂ (x , y )
dx ∧ dy .
(1.6)
%ó~iÆ$Æ, dx ∧ dx = dy ∧ dy = 0. dx ∧ dy yÆR'éÁ {, ÄIR¦ÆIx = x(x , y ), y = y(x , y ) {Ä,§ , ÇnR Ä,§, RÇ IÄÄ{qïB, ÄI
1
èIäý½®
u, ,I(¡b¡Æ¡ø, ,I®, y$,Iztjñu. j¦§ R!êztjñu, Ri§{. ÄIILR~w4{54uÏ Äw4{u. èIuz ê,yèI4ÞLåu, ÇR§®Á è. 48²ÁÞ$Çu, w4uA0, Ç{ÁèõL, ˱ {ÁèõL, °{¯ RèI{ A, RèI§{ø{. y$, 4 Þ, èI{HóI£. èIh0$½{½f, èIÒRÇ ô3{9. w4ÄÂ{u$ÄF¦~4u¥£, 8z¥£{w 4 t ( { 0 { 0 , Ò Ç ô 3, Ò R Ç u { Á è. Ä I, Ó , èI{HóI£. ¥EÜǯ T§ø, bRÙ4§ ø:{·5. èIõRI{'ä®. §0, 48(p4Ë Ü4ÄÄu{Áè, Ü4, $ÇRs = a,$ÇRs = x, (§ ®Çu{Áè, RǽèI f (x)dx, (ÖBf (x)½èI,a → x). R h 5 t & û { n , Ç è I { n Ä ø, y è I R S D $ Ç, SD(sum). 4÷Áè$0s = a {4B0, $0Rc {x, (²x45Ä{, Òzt$Çx{`j, Ç`j, ·wÇA(x), ÒR·CÞ{Áè, RÇèI, ÄIÇR$Çjø, ¦x§, ÄIRx{` j. Ç`jËw40Çy = f (x)Ç`j·5§ø. 1·5{§ øÚiY\, 4pA(x) = f (x)dx{I, pÇ{Il, ÒR , ps = x, x + δx ÄÄ{Çfu{Áè. %óB(üδxø{, ·FiRñuê, Çô3ÒRf (x). ÄIiRñuA(x)Ç`j {IÒRf (x), y$
a
dA(x) = f (x). dx . A(x)
(1.1)
f (x)dx|b a =
b
f (x)dx
(1.2)
2
R`jób{b`jóa{, ǽèI(definite integral). ÄI ,ǧøw§pèI{, §p$Ç`j, Ç{IRF{,Ò Rf (x), ýIRF{. ÄIøIËèIËåuê. 5{, èI I{'ä®, êf (x), §s$Ç`j, Ç{If (x), RÇ'ä®. y$¡è I·5{§ ø.
∂ (x,y ) ∂ (x ,y )
∂x ∂x ∂y ∂y dx + dy , dy = dx + dy . ∂x ∂y ∂x ∂y
(1.7)
dx ∧ dy =
Ǧ(R·¢èI¦5j{$ǧø.·¢wèI§R¦5j{ , ÇÆÞÄ,§. ÄIÇXÒR, éèI{Integral, ýèI¥ {B¦, ²èI¿«, IntegralR$ÇIõIB, ÆR'éÁ{. ÄI 48õèI3, 4tn {8E, õèI{Integral,ÄRiS j{õIB, ¦5jÒ§léê. °>$É{0, y/ , ( § y Ò ¦ 5 j { Ú B { 0 , 4 ½ Ä , § R t {, l { , Æ Þ Ä ,§{ýé, 8ÇRt{. ÇR°¡É{ÀÜ, ÒR8EÇ
Y I¦èI
2001 10 11
5 Û
1
t è I,3 § { Ü Ç | R X î(Issac Newton, 1642-1727)Ë t & û(Gottpied Leibniz, 1646-1716), èIÒRÆ¢%{. §Xî, l {RÆAÇÓBRó¦©{0, §(¢{µj¤§f, Ç0, ÒR17E" Ç0, x³¦`i¸Q, x³êiõ|. ÆóAt$ L¦, y¦`{§ø, ¦h84ê, ÆÒÃ'ó'°A§èI{t ÓB. t&ûR$ÇÈ0ÁÑ:{|, j¦RÆ{l {$I, Æ{l ts¡FÈ0ÁÑ. Æ¢Ü|EpX, RypXx RèI{%. ÇpXRs{, 1cf. 4ÞRt& û>$ÇD§èIX©{|, Æ{X©ó16845D. XîAÇÓ B t&û, t&ûDX© Xî, XîêÇÓB D1{ÀÜ. t&ûbDêtÀÜ, 30¤~ê$t n, ·¢%ó¤ó~. uÜÇ|$ÇpX, LÑRËj¦ §ø{|ó °¥Ä{`Y, R$Ç1c{G`.
x = x(x , y ) y = y (x , y ) (1.4)
Ù¥, (x , y )R i$(CA. ·¢%$ÇG4,ó°{0,I{Æ , ·¢ Ädx ∧ dy, R$ÇÆ, ÆÚdx ∧ dyóèIÞR3 É{. 1wIÚ1RdxÚÇRhvêj¦'¡º5{G.
4
wenku.baidu.com
ÞÁêø$«§ø, ¤§ø¤Í§, ·¢°èI{0, $ǧ{½®RÂõ½®(Green’s Theorem). ÒR, 48(Çu, ó 0 Þ { I R , I 5 u Þ { I, R $ Ç $ è I è I { §ø, RÇ:§{§ø. §0×sq$ýf, tǧø, Æ R r Ç è I { ä ý ½ ®, · R 3 c {. ø { § ø % ó /  õ ½®{0, R ÄèI,
2
èI{åÍ: :î¦tYû
èIRj¦°>i§{0Á. 1RèIÚ·FI{% Ë %CA:§ø, y %CA, j¦Ì§{ø {ÒRÏÄ`j, ÏÄÜ(j{§ø, ««{§ø. ·¢w, `j« «, 4u{, :4u{, ®n`j««`j, §øÏÄ`j{ u? ·¢Ñw, `j,I~w4uDC, y = f (x) w4. ó w4{, BÇR,II{, ÇóÇ54. IÒR² Çw4~Ç{54uÏÄÇ{u. ÄIÇR²`j4u, 4
d(Adx + Bdy ) = dA ∧ dx + dB ∧ dy = Ay dy ∧ dx + Bx dx ∧ dy. (1.10)
∂B ∂A − )dxdy. ∂x ∂y
(1.9)
wiI(Exterior differential calculus). iIiY\, 4÷Adx + Bdy, Ç{IÒRIÇ{øj, ÒRI`j. A¦BRx, y{`j, ÄI Ò IA, B . A{ I Ò RA dx + A dy, B{ I Ò RB dx + B dy, , RA dx ∧ dx = 0 ÒztA dy ∧ dx, IÒzB dx ∧ dy. bRyÆR 'éÁ{, ÄIÒz(B − A ), RÂõ½®°>2èI{øj, ÄIÂõ ½®²\'èI5ÄÜ'èI, Ç{Integral4ÞRÇiI. ,Iñi
I= f (x, y )dxdy. (1.3)
õÃèI
ó2{0, ¤°{0, $ǧ{%TR, ·¢%ó2Ç5jx, y, ¦ 5 j ø Ú Ä I · % ó ¦ 5 j, ¦ 5 j h l R ó è I ° R i § { $ÇÍ, yiõ{¯ R({5jRd zUh, 0¦5j, ¯ ÒÁ/Y\ê, Ò,Iûê. %ó·¦5jÕ
3
ø½I{½fËľ1Rdx, Çif&, ,IAtiwc, D²Ç Vù§$½{0E. ÄI·jj$Çdx. ódx, dy«I E§yÁÆ∧. 1wdx ∧ dyÚǯ Í ìê, (Bdx, dyýü R1ÑVù, ÆêIR1ÀÜÍR$ÇiÉh{¯ . ó0 Á$ÇL{, ÒRiSjiI. 4½dx ∧ dyÇÆR'é Á, ǯ ÒVùY\ê. yÆBR'éÁ{,hldx ∧ dx = 0. G 4 Þ, y dx ∧ dx = −dx ∧ dx, Ä Idx ∧ dx = 0, ó ' é Á { Æ ¥, ²dx ∧ dyÄ5j, yÆR'éÁ{, dx = 0, ÄIÒ°'{ÀÜ ê. øzt{SjwAiSj. ÇSjiÉ{. $ÇÁ/{XÕ¦ 5 jÚB ∂ (x, y )
4
∂ (x, y ) dx ∧ dy . ∂ (x , y )
(1.8)
S(Orietation),(Ý{0, 2Ç5'Ý{0S. Ý{0, 48ê0S {, Ä,§R, y$·¢$ÇXRõèI{IntegralR$Çi SjõIB, Rdx, dy{õIB, ÆR'éÁ, ø¦5jq,Ié{, hl·Aê2{¾¦. °RiÒ#{, 3ø{.iÆRÉziþ, R Ì°'{, ÄI§vY\, ²0$¥,ÒR0.
x a x a
Ò R I 3 è I { ä ý { § ø Ç § ø R $ Ç è I, p Ç { I {0, Òzf (x). Ç$Ä, wAèI{äý½®. ·,£ó¨ 9 è I { 0 , A ª à 1 R $ Ç è I { ä ý ½ ®, y $ Ä ² ǧøB Ä oç. 80èIRǽèI(indefinite integral), ½èIRÇ`j, 8B
3
Þ Á { R $ Ç 5 j { è I. ¥ Á ° { , § õ 5 j {. õ 5 j { , {%T, R1ø{Ú·Féõ5j{, ·¢G{, Ü Ç 5 j { ` o, x Ëy , · ¢ w Ç 0 I { 9 { M R I, xËyI pI. èI{9MRèI. èI(double integral) Ró2{`o, ó°{`oRõ{. 2, 2{`oÒêu, ·¢wÇ∆, Ç{0wÇγ. ÄIèI{$ǧlMR$Ç2èI, Ê/èI²xIÄfã, lfãòÆÞÇ`j, p$Ç. ó2èI {0, 0R²uIÄfL, l$fL{Áè, óÙÞ`j Æ Þ Ç { Á è, l p Ç { . i z ê {, 4 8 ` j { , à X ( ({u,ô3R$ø{, ÄIô3ÒR2èI
Adx + bdy = (
γ
iI
B$ǯ , 0(,IIntegral, §ÙÇ, IntegralÒR ²$Ç$'IB5Ü'IB, 5ÚÚB½®Rø¦: ·Ò $ÇiI, ·¢¦dx ∧ dy R$ÇõIB, R$ÇiSj{$Ç B ¦, Ò T · ¢ Ê / õ I B $ ø, b $, é ø { B ¦, · ¢ ¤ , I ½ fÇ$ ÇI,
dx ∧ dy = −dy ∧ dx.
(1.5)
dx ∧ dy =
48 ·¢{I~ {R I, ÄI
dx =
∂ (x , y )
dx ∧ dy .
(1.6)
%ó~iÆ$Æ, dx ∧ dx = dy ∧ dy = 0. dx ∧ dy yÆR'éÁ {, ÄIR¦ÆIx = x(x , y ), y = y(x , y ) {Ä,§ , ÇnR Ä,§, RÇ IÄÄ{qïB, ÄI
1
èIäý½®
u, ,I(¡b¡Æ¡ø, ,I®, y$,Iztjñu. j¦§ R!êztjñu, Ri§{. ÄIILR~w4{54uÏ Äw4{u. èIuz ê,yèI4ÞLåu, ÇR§®Á è. 48²ÁÞ$Çu, w4uA0, Ç{ÁèõL, ˱ {ÁèõL, °{¯ RèI{ A, RèI§{ø{. y$, 4 Þ, èI{HóI£. èIh0$½{½f, èIÒRÇ ô3{9. w4ÄÂ{u$ÄF¦~4u¥£, 8z¥£{w 4 t ( { 0 { 0 , Ò Ç ô 3, Ò R Ç u { Á è. Ä I, Ó , èI{HóI£. ¥EÜǯ T§ø, bRÙ4§ ø:{·5. èIõRI{'ä®. §0, 48(p4Ë Ü4ÄÄu{Áè, Ü4, $ÇRs = a,$ÇRs = x, (§ ®Çu{Áè, RǽèI f (x)dx, (ÖBf (x)½èI,a → x). R h 5 t & û { n , Ç è I { n Ä ø, y è I R S D $ Ç, SD(sum). 4÷Áè$0s = a {4B0, $0Rc {x, (²x45Ä{, Òzt$Çx{`j, Ç`j, ·wÇA(x), ÒR·CÞ{Áè, RÇèI, ÄIÇR$Çjø, ¦x§, ÄIRx{` j. Ç`jËw40Çy = f (x)Ç`j·5§ø. 1·5{§ øÚiY\, 4pA(x) = f (x)dx{I, pÇ{Il, ÒR , ps = x, x + δx ÄÄ{Çfu{Áè. %óB(üδxø{, ·FiRñuê, Çô3ÒRf (x). ÄIiRñuA(x)Ç`j {IÒRf (x), y$
a
dA(x) = f (x). dx . A(x)
(1.1)
f (x)dx|b a =
b
f (x)dx
(1.2)
2
R`jób{b`jóa{, ǽèI(definite integral). ÄI ,ǧøw§pèI{, §p$Ç`j, Ç{IRF{,Ò Rf (x), ýIRF{. ÄIøIËèIËåuê. 5{, èI I{'ä®, êf (x), §s$Ç`j, Ç{If (x), RÇ'ä®. y$¡è I·5{§ ø.
∂ (x,y ) ∂ (x ,y )
∂x ∂x ∂y ∂y dx + dy , dy = dx + dy . ∂x ∂y ∂x ∂y
(1.7)
dx ∧ dy =
Ǧ(R·¢èI¦5j{$ǧø.·¢wèI§R¦5j{ , ÇÆÞÄ,§. ÄIÇXÒR, éèI{Integral, ýèI¥ {B¦, ²èI¿«, IntegralR$ÇIõIB, ÆR'éÁ{. ÄI 48õèI3, 4tn {8E, õèI{Integral,ÄRiS j{õIB, ¦5jÒ§léê. °>$É{0, y/ , ( § y Ò ¦ 5 j { Ú B { 0 , 4 ½ Ä , § R t {, l { , Æ Þ Ä ,§{ýé, 8ÇRt{. ÇR°¡É{ÀÜ, ÒR8EÇ
Y I¦èI
2001 10 11
5 Û
1
t è I,3 § { Ü Ç | R X î(Issac Newton, 1642-1727)Ë t & û(Gottpied Leibniz, 1646-1716), èIÒRÆ¢%{. §Xî, l {RÆAÇÓBRó¦©{0, §(¢{µj¤§f, Ç0, ÒR17E" Ç0, x³¦`i¸Q, x³êiõ|. ÆóAt$ L¦, y¦`{§ø, ¦h84ê, ÆÒÃ'ó'°A§èI{t ÓB. t&ûR$ÇÈ0ÁÑ:{|, j¦RÆ{l {$I, Æ{l ts¡FÈ0ÁÑ. Æ¢Ü|EpX, RypXx RèI{%. ÇpXRs{, 1cf. 4ÞRt& û>$ÇD§èIX©{|, Æ{X©ó16845D. XîAÇÓ B t&û, t&ûDX© Xî, XîêÇÓB D1{ÀÜ. t&ûbDêtÀÜ, 30¤~ê$t n, ·¢%ó¤ó~. uÜÇ|$ÇpX, LÑRËj¦ §ø{|ó °¥Ä{`Y, R$Ç1c{G`.
x = x(x , y ) y = y (x , y ) (1.4)
Ù¥, (x , y )R i$(CA. ·¢%$ÇG4,ó°{0,I{Æ , ·¢ Ädx ∧ dy, R$ÇÆ, ÆÚdx ∧ dyóèIÞR3 É{. 1wIÚ1RdxÚÇRhvêj¦'¡º5{G.
4
wenku.baidu.com
ÞÁêø$«§ø, ¤§ø¤Í§, ·¢°èI{0, $ǧ{½®RÂõ½®(Green’s Theorem). ÒR, 48(Çu, ó 0 Þ { I R , I 5 u Þ { I, R $ Ç $ è I è I { §ø, RÇ:§{§ø. §0×sq$ýf, tǧø, Æ R r Ç è I { ä ý ½ ®, · R 3 c {. ø { § ø % ó /  õ ½®{0, R ÄèI,
2
èI{åÍ: :î¦tYû
èIRj¦°>i§{0Á. 1RèIÚ·FI{% Ë %CA:§ø, y %CA, j¦Ì§{ø {ÒRÏÄ`j, ÏÄÜ(j{§ø, ««{§ø. ·¢w, `j« «, 4u{, :4u{, ®n`j««`j, §øÏÄ`j{ u? ·¢Ñw, `j,I~w4uDC, y = f (x) w4. ó w4{, BÇR,II{, ÇóÇ54. IÒR² Çw4~Ç{54uÏÄÇ{u. ÄIÇR²`j4u, 4
d(Adx + Bdy ) = dA ∧ dx + dB ∧ dy = Ay dy ∧ dx + Bx dx ∧ dy. (1.10)
∂B ∂A − )dxdy. ∂x ∂y
(1.9)
wiI(Exterior differential calculus). iIiY\, 4÷Adx + Bdy, Ç{IÒRIÇ{øj, ÒRI`j. A¦BRx, y{`j, ÄI Ò IA, B . A{ I Ò RA dx + A dy, B{ I Ò RB dx + B dy, , RA dx ∧ dx = 0 ÒztA dy ∧ dx, IÒzB dx ∧ dy. bRyÆR 'éÁ{, ÄIÒz(B − A ), RÂõ½®°>2èI{øj, ÄIÂõ ½®²\'èI5ÄÜ'èI, Ç{Integral4ÞRÇiI. ,Iñi
I= f (x, y )dxdy. (1.3)
õÃèI
ó2{0, ¤°{0, $ǧ{%TR, ·¢%ó2Ç5jx, y, ¦ 5 j ø Ú Ä I · % ó ¦ 5 j, ¦ 5 j h l R ó è I ° R i § { $ÇÍ, yiõ{¯ R({5jRd zUh, 0¦5j, ¯ ÒÁ/Y\ê, Ò,Iûê. %ó·¦5jÕ
3
ø½I{½fËľ1Rdx, Çif&, ,IAtiwc, D²Ç Vù§$½{0E. ÄI·jj$Çdx. ódx, dy«I E§yÁÆ∧. 1wdx ∧ dyÚǯ Í ìê, (Bdx, dyýü R1ÑVù, ÆêIR1ÀÜÍR$ÇiÉh{¯ . ó0 Á$ÇL{, ÒRiSjiI. 4½dx ∧ dyÇÆR'é Á, ǯ ÒVùY\ê. yÆBR'éÁ{,hldx ∧ dx = 0. G 4 Þ, y dx ∧ dx = −dx ∧ dx, Ä Idx ∧ dx = 0, ó ' é Á { Æ ¥, ²dx ∧ dyÄ5j, yÆR'éÁ{, dx = 0, ÄIÒ°'{ÀÜ ê. øzt{SjwAiSj. ÇSjiÉ{. $ÇÁ/{XÕ¦ 5 jÚB ∂ (x, y )
4
∂ (x, y ) dx ∧ dy . ∂ (x , y )
(1.8)
S(Orietation),(Ý{0, 2Ç5'Ý{0S. Ý{0, 48ê0S {, Ä,§R, y$·¢$ÇXRõèI{IntegralR$Çi SjõIB, Rdx, dy{õIB, ÆR'éÁ, ø¦5jq,Ié{, hl·Aê2{¾¦. °RiÒ#{, 3ø{.iÆRÉziþ, R Ì°'{, ÄI§vY\, ²0$¥,ÒR0.
x a x a
Ò R I 3 è I { ä ý { § ø Ç § ø R $ Ç è I, p Ç { I {0, Òzf (x). Ç$Ä, wAèI{äý½®. ·,£ó¨ 9 è I { 0 , A ª à 1 R $ Ç è I { ä ý ½ ®, y $ Ä ² ǧøB Ä oç. 80èIRǽèI(indefinite integral), ½èIRÇ`j, 8B
3
Þ Á { R $ Ç 5 j { è I. ¥ Á ° { , § õ 5 j {. õ 5 j { , {%T, R1ø{Ú·Féõ5j{, ·¢G{, Ü Ç 5 j { ` o, x Ëy , · ¢ w Ç 0 I { 9 { M R I, xËyI pI. èI{9MRèI. èI(double integral) Ró2{`o, ó°{`oRõ{. 2, 2{`oÒêu, ·¢wÇ∆, Ç{0wÇγ. ÄIèI{$ǧlMR$Ç2èI, Ê/èI²xIÄfã, lfãòÆÞÇ`j, p$Ç. ó2èI {0, 0R²uIÄfL, l$fL{Áè, óÙÞ`j Æ Þ Ç { Á è, l p Ç { . i z ê {, 4 8 ` j { , à X ( ({u,ô3R$ø{, ÄIô3ÒR2èI
Adx + bdy = (
γ
iI
B$ǯ , 0(,IIntegral, §ÙÇ, IntegralÒR ²$Ç$'IB5Ü'IB, 5ÚÚB½®Rø¦: ·Ò $ÇiI, ·¢¦dx ∧ dy R$ÇõIB, R$ÇiSj{$Ç B ¦, Ò T · ¢ Ê / õ I B $ ø, b $, é ø { B ¦, · ¢ ¤ , I ½ fÇ$ ÇI,