北京市海淀区2020-2021学年高二第二学期期中练习数学(理)试题

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17.已知曲线 在点 处的切线为 ,其中 .
(Ⅰ)求直线 的方程;
(Ⅱ)求证:直线 和曲线 一定有两个不同的公共点.
18.已知函数 ,其中常数 .
(Ⅰ)若函数 为单调函数,求实数 的最大值;
(Ⅱ)如果函数 只有一个零点,求实数 的取值范围.
参考答案
1.A
【解析】
对于A, ,为实数,满足题意;对于B, ,不满足题意;对于C, ,不满足题意;对于D, ,不满足题意.
当 时, ;当 时, .
故选C.
点睛:本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质,属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势,利用排除法,将不合题意的选项一一排除
5.A
【解析】
对于①,当直线方程为 时,满足曲线与直线有且仅有一个公共点,但是它们相交,故错误;对于②,已知 表示的是圆,根据圆的性质,若圆与直线有且仅有一个公共点,则该点必为切点,故正确;对于③,当直线方程为 时,满足曲线与直线有且仅有一个公共点,但是它们相交,故错误;对于④, 表示的是双曲线,当直线方程与双曲线的渐近线平行时,满足曲线与直线有且仅有一个公共点,但是它们相交,故错误.
故选A.
6.D
【解析】
利用隔板法,10道题中间有9个空格,若1天做完,有 种;若2天做完,从9个空格中插入一个板,分成2天,则有 种;若3天做完,则有 种;以此类推,若9天做完,则有 种;若10天做完,则有 种;故总数为 .
故选D.
7.C
【解析】
∵函数
∴函数 的定义域为
∴ ,即函数 在定义域内奇函数.
∵ ,
∴ ,
∴ , ,即 , 是方程 的两根.
∴ ,
∴直线 的斜率 .
故答案为2.
点睛:本题主要考查利用导数求切线斜率,属于中档题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率,主要体现在以下几个方面:(1)已知切点 求斜率 ,即求该点处的导数 ;(2)己知斜率 求切点 即解方程 ;(3)巳知切线过某点 (不是切点)求切点,设出切点 利用 求解.
四、解答题
15.如图,曲边三角形中,线段 是直线 的一部分,曲线段 是抛物线 的一部分.矩形 的顶点分别在线段 ,曲线段 和 轴上.设点 ,记矩形 的面积为 .
(Ⅰ)求函数 的解析式并指明定义域;
(Ⅱ)求函数 的最大值.
16.在各项均为正数的数列 中, 且 .
来自百度文库(Ⅰ)当 时,求 的值;
(Ⅱ)求证:当 时, .
故选D.
9.四,
【解析】
∵复数
∴复数 在复平面上对应的点位于第四象限,且 .
故答案为(1)四;(2)2.
10.2
【解析】
∵曲线 在点 处的切线与 平行

故答案为 .
11.
【解析】
; ;
根据计算结果,猜想 .
故答案为(1) ;(2) ;(3) .
12.
【解析】
∵函数

∵函数 在区间 上存在极值
∴ ,即 .
15.(Ⅰ) 定义域为 ;(Ⅱ) 在 时, 取得最大值 .
【解析】
试题分析:( I )根据点 在直线 上, 在抛物线 上,结合图形,可得点 ,从而可得函数 的解析式,联立直线与抛物线的方程,即可求得定义域;(II)对函数 求导,利用导数研究函数的单调性,从而可求得函数 的最大值.
A. B.
C. D.
3.若函数 , , 在 上的平均变化率分别记为 ,则下面结论正确的是( )
A. B.
C. D.
4.
A.1B. C. D.10
5.已知曲线:① ② ③ ④ .上述四条曲线中,满足:“若曲线与直线有且仅有一个公共点,则他们必相切”的曲线条数是
A.1B.2C.3D.4
6.数学老师给小明布置了10道数学题,要求小明按照序号从小到大的顺序,每天至少完成一道,如果时间允许,也可以多做,甚至在一天全部做完,则小明不同的完成方法种数为
二、双空题
9.复数 在复平面上对应的点位于第____象限,且 ____.
三、填空题
10.曲线 在点 处的切线与 平行,则 ____.
11.计算 ____, ____,请你根据上面的计算结果,猜想 ____.
12.函数 在区间 上存在极值,则 的取值范围是
13.不等式 的解集为____.
14.已知函数 和点 ,过点 作曲线 的两条切线 , ,切点分别为 , ,则直线 的斜率等于____.
故答案为 .
13.
【解析】

∴ ,即 .
令 ,则 .
∴当 时, ,即函数 在 上为增函数;
当 时, ,即函数 在 上为减函数.

∴当 时, , ,满足题意;
当 时, , ,不满足题意
∴不等式 的解集为
故答案为 .
14.2
【解析】
设 , .
∵函数

∵过点 作曲线 的两条切线 ,
∴ ,
∴直线 的方程为 ,直线 的方程为 .
A.55B.90C.425D.512
7.函数 的部分图像可能是
A. B. C. D.
8.函数 , ,其中 为常数.则下面结论中错误的
A.当函数 只有一个零点时, 函数也只有一个零点
B.当函数 有两个不同的极值点时, 一定有两个不同的零点
C. ,使得函数 的零点也是函数 的零点
D. ,使得函数 的极值点也是函数 的极值点
8.D
【解析】
∵函数 ,

对于A,当函数 只有一个零点时,则 ,解得 或 ,当 时,函数 只有一个零点;当 时,函数
,函数 只有一个零点,故A正确;对于B,因为 ,根据极值点的定义,当函数 有两个不同的极值点时, 一定有两个不同的零点,故B正确;对于C,当 时,函数 , ,两个函数的零点都为0,故C正确;对于D, ,令 ,可得 ,若函数 的极值点是函数 的极值点,则 ,解得 或 ,当 时,函数 不存在极值点,当 时, ,则函数 不存在极值点,故D错误.
【全国区级联考】北京市海淀区2020-2021学年高二第二学期期中练习数学(理)试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.下列复数中,与 的乘积为实数的是
A. B. C. D.
2.已知函数 ,则下面各式中正确的是 ( )
故选A.
2.B
【解析】
∵函数

故选B.
3.A
【解析】
函数 在 的平均变化率为: ;
函数 在 的平均变化率为: ;
函数 在 的平均变化率为: ;

故选A.
4.C
【解析】
.
故选C.
点睛:本题主要考查了微积分基本定理的应用,其中解答中根据题意列出积分式,确定被积函数的原函数是解得关键,同时熟记基本初等函数的导数公式是解答的基础.
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