微分中值定理的多种证明方法
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它揭示了函数在某个区间内取得极值的一种方法。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理和高尔的中值定理两种形式，下面将分别介绍这两种定理。
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它表明如果函数满足一些条件，那么在某个区间内一定存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点处的斜率。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且a<b，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)这个定理的图像可以形象地理解为，曲线在某点的切线与连接两个端点的直线斜率相等。
高尔的中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，它是由高尔证明的。
高尔的中值定理的条件比拉格朗日中值定理更加宽松，它只要求函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且函数在区间的两个端点处的斜率相等，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)高尔的中值定理可以看做拉格朗日中值定理的推广，它更加灵活，适用范围更广。
微分中值定理的证明可以通过利用拉格朗日中值定理或高尔的中值定理的定义和一些基本的微积分知识进行推导。
证明的过程比较复杂，需要运用到数学分析中的一些技巧与方法。
微分中值定理在微积分的应用中有着广泛的应用。
它可以用来证明一些数学定理，比如费马最值定理、罗尔定理和拉格朗日多重中值定理等。
此外，微分中值定理还可以用来求函数的零点、证明函数的单调性和判断函数的极值等。
在实际问题中，微分中值定理常常被用来解决一些最优化问题，比如求函数的最值、最小二乘法中的参数估计等。
(整理)微分中值定理的证明与应用
微分中值定理的证明与应用B09030124 孙吉斌一 中值定理及证明：1. 极值的概念和可微极值点的必要条件:定理 ( Fermat ) 设函数f 在点0x 的某邻域内有定义，且在点0x 可导，若点0x 为f 的极值点，则必有 0)(0='x f 罗尔中值定理：若函数f 满足如下条件：（i ）f 在闭区间[a ，b]上连续；（ii ）f 在开区间（a ，b ）内可导；（iii ）)()(b f a f =，则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得f '（ξ）=0。
证明：因为f 在［a,b ］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况讨论：(i)若M = m , 则 f 在［a,b ］上必为常数，从而结论显然成立。
(ii)若m ＜ M ，则因 f (a)=f (b)，使得最大值M 与最小值m 至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点，由条件(ii) f 在点ξ处可导，故由费马定理推知)(ξf '=0.注1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。
注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立。
例如： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-<=2x 1,11x 2,01|x |,x F(x)x易见，F 在x=-1不连续，在x=±1不可导，F(-2)≠F （2）, 即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在（-2，2）内存在点 ξ, 满足 0)(='ξF注3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如：⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0x 0,0x ,sin x f(x)x 142在 [-1，1] 上满足罗尔定理的条件，显然⎪⎩⎪⎨⎧=-='0x 0,cos sin 2x sin 4x (x)f x 1x 1x 1232在（-1，1）内存在无限多个 n c =)(21z n n ∈π使得)(n c f '=0。
第一讲微分中值定理
第一讲微分中值定理教学目的使学生掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理,并能应用罗尔定理,拉格朗日中值定理及柯西中值定理证明和解决一些简单问题．教学重点使学生深刻理解微分中值定理的实质．教学难点拉格朗日中值定理的证明．教学学时 2学时教学过程上一章我们学习了导数的概念,并讨论了导数的计算方法．学习的目的在于应用,这一章我们来学习导数的应用,首先学习微分中值定理,他们是导数应用的理论基础．微分中值定理包括: 罗尔定理, 拉格朗日中值定理和柯西中值定理,简称微分中值三定理．一、罗尔定理我们首先来观察一个图形，见图1.设图1中曲线弧AB是函数)(x fax∈的图形．这(b[,y=])是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于X 轴的切线，即)(x f 在),(b a 内处处可导．且两端点处的纵坐标相等，即)()(b f a f =．可以发现在曲线弧AB 的最高点或最低点处，曲线都有水平的切线．如果记曲线弧AB的最高点C 的横坐标为ξ，则()0'=ξf ．若我们用分析的语言把这一几何现象描述出来，就得到了下面的罗尔（Ｒｏｌｌｅ）定理．罗尔定理 若函数满足(1) 在闭区间[]b a ,上连续；(2) 在开区间()b a ,内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等，即()()b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0'=ξf ．为了给出罗尔定理的严格证明，我们首先需要学习下面的引理，它称为费马()Fermat 定理．费马定理 设函数()x f 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任意的0()x U x ∈，有()()0x f x f ≤()()()0f x f x ≥或，则()00'=x f ．分析 为了利用函数值的大小关系得出导数的结论，显然应该考虑使用导数的定义．不妨设0()x U x ∈时，()()0x f x f ≤．于是，对于00()x x U x +∆∈，有()()00f x x f x +∆≤，从而当0>∆x 时，()()000≤∆-∆+x x f x x f ； 当0<∆x 时，()()000≥∆-∆+x x f x x f ．由于函数()x f 在0x 处可导，上述两式的左端当0→∆x 时极限皆存在，因此由极限的保号性知()()()()0lim 0000'0'≤∆-∆+==+→∆+x x f x x f x f x f x ，()()()()0lim 0000'0'≥∆-∆+==-→∆x x f x x f x f x f x ． 所以，()00'=x f ．类似地可证明0()x U x ∈时，()()0x f x f ≥的情形．通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点、临界点)．费马定理告诉我们，若函数在0x 点可导，且函数在0x 点处取得了局部的最大值或最小值，则函数在点0x 处的导数一定为零，即()00'=x f ．由图1知，函数()x f 在ξ处取得了局部的最大值．因此，根据费马定理不难证明罗尔定理．罗尔定理的证明 由于()x f 在[]b a ,上连续，所以()x f 在[]b a ,上必定取得它的最大值M 和最小值m ．这样，只有两种可能的情形：(1) m M =．此时对于任意的[]b a x ,∈，必有()M x f =．故对任意的()b a x ,∈，有()0'=x f ．因此，()b a ,内任一点皆可作为我们找的ξ．(2) m M >．因为()()b f a f =，所以M 和m 中至少有一个不等于()a f ．不妨设()a f M ≠，则在()b a ,内必有一点ξ，使得()M f =ξ．又因为对于任意的[]b a x ,∈，有()()ξf x f ≤，且()f ξ'存在．故由费马定理知，()0'=ξf ．类似可证()a f m ≠的情形．罗尔定理成立．例1 不求出函数()()()()321---=x x x x f 的导数，说明方程()'0f x =有几个实根，并指出它们所在的区间．分析 讨论方程()0'=x f 的根的问题，通常考虑用罗尔定理，因为由罗尔定量的结论知，ξ实际上是方程()0f x '=的根．而讨论这类问题的基本思路是，在函数()x f 可导的范围内，找出所有端点处函数值相等的区间．而由罗尔定理知，在每个这样的区间内至少存在一点ξ，使得()0'=ξf ．ξ即为方程()0'=x f 的一个实根，同时也得到了这个实根所在的范围．对于本问题来说，根据代数学基本定理，方程()0'=x f 至多有两个实根．而由函数()x f 的表达式知，()()()321f f f ==．因此，[]1,2和[]2,3就是我们所要找的区间，在这两个区间内各有方程()0'=x f 的一个实根． 解 因为()x f 在[]2,1和[]3,2上连续，在()2,1和()3,2内可导，且()()()1230f f f ===，所以由罗尔定理知，在()2,1内至少存在一点1ξ，使得()01'=ξf ，在()3,2内至少存在一点2ξ，使得()02'=ξf ．1ξ和2ξ都是方程()0f x =的实根．又由代数学基本定理知，方程()0'=x f 至多有两个实根，所以方程()0'=x f 必有且只有两个实根，它们分别位于()2,1和()3,2内．小结 利用函数的性质讨论()0'=x f 的根(也称为()x f '的零点)，应用罗尔定理是一个常用方法．二、拉格朗日中值定理罗尔定理中()()b f a f =这个条件是相当特殊的，也是非常苛刻的．由于一般的函数很难具备这个条件，因此它使罗尔定理的应用受到了很大限制．我们可以设想一下，若把条件适当放宽，比如把()()b f a f =这个条件去掉，仅保留罗尔定理中的第一个和第二个条件，那么相应的结论会发生什么变化呢？为了更好地讨论这个问题，我们先从几何直观入手，见图2．设图2中曲线弧AB 是函数)(x f y =]),[(b a x ∈的图形，它是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，并且两端点处的纵坐标不相等，即()()f a f b ≠．不难发现在曲线弧AB 上至少有一点c ，使曲线在点ｃ处的切线平行于弦AB ．若记c 点的横坐标为ξ，则曲线在c 点处切线的斜率为()ξ'f ．而弦AB 的斜率为()()a b a f b f --．因此()()()ξ'f ab a f b f =--()()()()()a b f a f b f -=-ξ'或． 若我们用分析的语言把这一观察结果描述出来，就得到了下面的拉格朗日()Lagrange中值定理．拉格朗日中值定理若函数()x f满足(1)在闭区间[]b a,上连续；(2)在开区间()b a,内可导，则在()b a,内至少存在一点ξ，使得()()()()abfafbf-=-ξ'()()()⎪⎭⎫⎝⎛=--ξ'fabafbf或．（１）从图1可以看到，在罗尔定理中，由于()()b faf=，弦AB是平行于x轴的，因此点c处的切线不仅平行于x 轴，实质上也是平行于弦AB的．由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．下面我们来讨论拉格朗日中值定理的证明问题．由罗尔定理与拉格朗日中值定理的关系，使我们自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理．但在拉格朗日中值定理中，函数()x f不一定具备()()b faf=这个条件，为此我们设想构造一个与()x f有密切联系的函数()xϕ(称为辅助函数)，使()xϕ满足条件()()baϕϕ=及罗尔定理的另外两个条件，并对()xϕ应用罗尔定理，然后再把对()xϕ所得的结论转化到()x f上，从而使拉格朗日中值定理得到证明．这就是我们所设想的证明拉格朗日中值定理的思路，那么怎样去构造辅助函数()x ϕ呢？若记图2中弦AB 的方程为()x L y =，那么根据所构造的辅助函数()x ϕ需要满足的条件，通过对图2的观察，我们不难发现()()x L x f -这个函数很可能就是我们所需要的那个辅助函数．为什么呢？首先，若我们记()()()x L x f x -=ϕ，则函数()x ϕ与()x f 有着密切的联系；第二，由于曲线弧AB 与弦AB 在B A ,两点相交，因此，()()()0=-=a L a f a ϕ，()()()0=-=b L b f b ϕ，即()()b a ϕϕ=；第三，由于函数()x f y =和()x L y =在[]b a ,上都连续,在()b a ,内都可导，因此()x ϕ在[]b a ,上满足罗尔定理的条件．至于对()x ϕ在[]b a ,上应用罗尔定理后，能否得到我们所需要的结论，请看下面的证明．拉格朗日中值的证明 弦AB 的直线方程为()()()()()a x a b a f b f a f x L ---+=．因此，函数()()()()()()a b ab a f b f a f x f x -----=ϕ, (2)且()()()()a b a f b f x f x ---=''ϕ．对函数()x ϕ在[]b a ,上应用罗尔定理知，在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0'=ξϕ，即 ()()()0'=---a b a f b f f ξ，()()()ξ'f a b a f b f =--．定理得证．由上述证明可知，函数()x ϕ正是我们所需要的那个辅助函数．现在回过头来看一看辅助函数()()()x L x f x -=ϕ的几何意义是什么？在图2的闭区间[]b a ,上任取一点x ，并过x 作与纵轴平行的直线，交弧AB 于M ，交弦AB 于N ，则有向线段NM 的值恰好是我们所构造的辅助函数()()()x L x f x -=ϕ．其中()x f 为M 点的纵坐标，()x L 为N 点的纵坐标．几点说明：(1) 显然，公式()1对于a b <也成立，(1)式称做拉格朗日中值公式．(2) 设x 为区间[]b a ,上一点，x x ∆+为该区间内的另一点()00<∆>∆x x 或，则公式（１）可写成()()()x x x f x f x x f ∆⋅∆+=-∆+θ'()10<<θ． ()3(3) 若记()x f 为y ，则()()x f x x f y -∆+=∆，于是()3式又可写成()x x x f y ∆⋅∆+=∆θ'()10<<θ． ()4我们知道，若函数()x f y =在x 处可微，则()y dy o x ∆=+∆．这时可以用函数()x f y =的微分()x x f dy ∆='来近似地代替函数增量y ∆，并且所产生的误差()x dy y ∆=-∆ 是比x ∆高阶的无穷小．但我们却没有实现用微分精确表示函数的增量，而()4式给出了自变量取得有限增量x ∆()不一定很小x 时，函数增量的微分精确表达式．因此，拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理，()4式也称为有限增量公式．拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位，有时也称其为微分中值定理．利用它可实现用导数来研究函数的变化．作为拉格朗日中值定理的一个应用，我们看下面的问题．我们知道，如果函数()x f 在某一区间上是一个常数，则()x f 在该区间上的导数恒为零．那么它的逆命题是否成立呢？这就是下面的定理所要回答的问题．定理 若函数()x f 在区间I 上的导数恒为零，则()x f 在区间I 上是一个常数．证 在区间I 上任取两点21,x x ()21x x <，应用()1式即得()()()()12'12x x f x f x f -=-ξ()21x x <<ξ．由题设知()0'=ξf ，所以()()012=-x f x f ，即 ()()12x f x f =． 因为21,x x 是I 上任意两点，所以()x f 在区间I 上是一个常数．这个定理在以后我们要学习的积分学中将起到至关重要的作用．下面我们应用拉格朗日中值定理来证明不等式． 例2 证明当0>x 时， ()x x x x <+<+1ln 1．分析 拉格朗日中值公式的形式并不是不等式的形式，那么怎么能用拉格朗日中值定理去证明不等式呢？我们知道，在拉格朗日中值公式中()b a ,∈ξ，而不知道ξ具体等于多少？但根据ξ在b a ,之间的取值却可以估计出()ξ'f 的取值范围，或者说可以估计出()ξ'f 取值的上下界．分别用()ξ'f 取值的上下界去代换拉格朗日中值公式中的()ξ'f ，就可以得到不等式了，这就是用拉格朗日中值定理去证明不等式的思路．用拉格朗日中值定理去证明不等式，最重要的是去找函数()f x 和相应的区间[]b a ,．那么怎样去找函数()x f 和相应的区间[]b a ,呢？注意，拉格朗日中值公式()()()ξ'f a b a f b f =--的左端是很有特点的，它恰好是函数()x f 在区间[,]a b 上的增量与区间[]b a ,的长度之比．因此，只要我们通过不等式的变形，把其核心部分变形为()()a b a f b f --的形式，就不难确定函数()x f 和相应的区间[]b a ,了．对于本例来讲，首先我们可以做如下的变形：()11ln 11<+<+x x x ，()()1001ln 1ln 11<-+-+<+x x x ．由此变形结果，我们不难确定出所需要的函数()x f 为()x +1ln ，相应的区间为[]x ,0．如果我们对原不等式再做另外一种变形，即()11ln 11<+<+x x x ，()()1111ln 1ln 11<-+-+<+x x x ．则由此变形结果，我们不难确定出所需要的函数()x f 为x ln ，相应的区间为[]x +1,1．确定了所需要的函数()x f 及相应的区间[]b a ,后，接下来就是对函数()x f 在[]b a ,上应用拉格朗日中值定理，并估计拉格朗日中值公式中()ξ'f 取值的上下界了．证 方法一设()()x x f +=1ln ，显然()x f 在区间[]x ,0上满足拉格朗日中值定理的条件．拉格朗日中值定理得()()ξξ+==+111ln 'f x x x <<ξ0由于x <<ξ0，所以11111<+<+ξx ，即()11ln 11<+<+x x x ，()x x x x <+<+1ln 1．方法二设()x x f ln =，显然()x f 在区间[]x +1,1上满足拉格朗日中值定理的条件．对函数()x f 在区间[]x +1,1上应用拉格朗日中值定理，并对拉格朗日中值公式中()ξ'f 取值的上下界进行估计，即可证得本例中的不等式．具体证明过程请同学们课后完成．总结(1) 例2中的分析是用拉格朗日中值定理证明不等式的一般思路，同学们务必要掌握其要领．(2) 由例2的证明过程可见，用拉格朗日中值定理证明不等式时所选择的函数()x f 并不是唯一的，重要的是函数应与相应区间相匹配．三、柯西中值定理拉格朗日中值定理的几何意义是：如果在连续曲线()x f y =的弧AB 上，处端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，则在该弧上至少存在一点c ，使曲线在c 点处的切线平行于弦AB ．若我们不用()x f y =来表示连续的曲线弧AB ，而用参数方程来表示连续的曲线弧AB ，那么上述结论的表达形式会发生什么变化呢？设连续的曲线弧AB 由参数方程()()⎩⎨⎧==x f Y x F X ()b x a ≤≤表示，见图3 ，其中x 为参数．那么利用参数方程求导公式，曲线上点()Y X ,处切线的斜率为 ()()x F x f dx dy ''=， 弦AB的斜率为()()()()a F b F a f b f --．假定点c 对应于参数ξ=x ，那么曲线上点c 处的切线平行于弦AB 可表示为()()()()()()ξξ''F f a F b F a f b f =--．与这一结论的表达式相对应的就是下面的柯西()Cauchy 中值定理．柯西中值定理 若函数()f x 及()F x 满足(1) 在闭区间[]b a ,上连续；(2) 在开区间()b a ,内可导；(3) 对任一()b a x ,∈，()0'≠x F ，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()()()()()()ξξ''F f a F b F a f b f =--． ()5证 首先我们来证明在已给条件下()()0≠-a F b F ．显然函数()x F 在[]b a ,上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理应有()()()()a b F a F b F -=-η'()b a <<η．由于b a <<η，由假定知()0'≠ηF ，又0≠-a b ，所以 ()()0≠-a F b F ．类似于拉格朗日中值定理的证明，我们仍然用表示有向线段NM 的值的函数()x ϕ作为辅助函数，见图3 ．这里点M 的纵坐标为 ()x f Y =，点N 的纵坐标为()()()()()()()[]a F x F a F b F a f b f a f Y ---+=，于是 ()()()()()()()()()[]a F x F a F b F a f b f a f x f x -----=ϕ． 由假定知，函数()x ϕ在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且()()0==b a ϕϕ，()()()()()()()x F a F b F a f b f x f x '''---=ϕ．因此，()x ϕ在[]b a ,上满足罗尔定理的条件，故在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0'=ξϕ，即 ()()()()()()0''=---ξξF a F b F a f b f f ．由此得 ()()()()()()ξξ''F f a F b F a f b f =--，定理证毕．很明显，如果取()x x F =，那么()()()1,'=-=-x F a b a F b F ，因而公式()5就可以写成()()()ξ'f a b a f b f =--，这样就变成了拉格朗日中值定理．由此可见拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广．显然公式()5对于a b <也成立，()5式称做柯西中值公式．最后我们需要指出，不论是罗尔定理、拉格朗日中值定理，还是柯西中值定理，它们的本质都是：若在一条连续的曲线弧AB 上，除其端点外处处具有不垂直于横轴的切线，则在这段曲线弧上至少有一点c ，使曲线在c 处的切线平行于弦AB ．当弧AB 用()x f y =表示，且端点处的纵坐标相等时，我们就得到了罗尔定理；当弧AB 用()x f y =表示，且端点处的纵坐标不相等时，我们就得到了拉格朗日中值定理；当弧AB 用参数方程()()⎩⎨⎧==x f Y x F X , ()b x a ≤≤表示，我们就得到了柯西中值定理．罗尔定理．拉格朗日中值定理和柯西中值定理的关系如下： f ξ'=−−−−→ 推广 ()()f a f b =←−−−−特殊情形()()()f b f a f b a ξ-'=- 推广F x x =←−−−−−特殊情形()()()()()()f b f a f F b F a F ξξ'-='-。
微分中值定理
定理证明
总结词
柯西中值定理的证明涉及到了微分学中的一 些基本概念和性质，如导数的定义、导数的 几何意义等。
Hale Waihona Puke 详细描述证明柯西中值定理，首先需要理解导数的定 义和性质，然后利用拉格朗日中值定理，再 结合闭区间上连续函数的性质，逐步推导， 最终得出结论。
定理应用
总结词
柯西中值定理在微分学中有广泛的应用，它可以用于研 究函数的单调性、极值等问题，还可以用于求解一些复 杂的微分方程。
详细描述
柯西中值定理的应用主要体现在两个方面，一是利用该 定理研究函数的单调性和极值问题，二是利用该定理求 解一些复杂的微分方程。通过柯西中值定理的应用，我 们可以更好地理解函数的性质，并且能够求解一些复杂 的数学问题。
06
罗尔中值定理
定理内容
总结词
罗尔中值定理是微分学中的基本定理之一，它指出如 果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且 在区间的两端取值相等，那么在这个区间内至少存在 一点，使得函数在该点的导数为零。
定理应用
01
洛必达法则可以用于求极限，特别是当极限的形式为0/0或 者∞/∞时，可以通过洛必达法则求得极限值。
02
洛必达法则还可以用于判断函数的单调性，如果函数在某区间 的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0，则
函数在此区间单调递减。
03
此外，洛必达法则还可以用于求函数极值，如果函数在某 点的导数等于0，则该点可能是函数的极值点。
定理应用
总结词
罗尔中值定理在微分学中有广泛的应 用，它可以用于证明其他中值定理、 研究函数的单调性、解决一些微分方 程问题等。
2. 研究函数的单调性
通过罗尔中值定理可以推导出一些关 于函数单调性的结论，例如如果函数 在区间上单调增加或减少，那么其导 数在该区间上非负或非正。
用坐标变换证明微分中值定理
用坐标变换证明微分中值定理坐标变换定理是数学中的重要定理之一，也是利用坐标系变换来证明微分中值定理的一种方法。
坐标变换定理最早来源于拉格朗日的作品，他发现坐标系变换可以有效地概括几何变换中的关系。
坐标变换定理在微积分领域中被广泛应用，可以有效地将物理概念应用到数学当中。
微分中值定理也叫中值定理，它是常用来证明函数上某一点的极限运算的一种技术。
根据这个定理，如果在函数f(x)的一个开区间上，存在某一点y使得f(y)可以由函数f(x)某两点p和q的切线插值，那么在这个开区间上，f(x)对x在p和q之间满足中值定理。
坐标变换定理在这里就发挥作用了，根据这个定理，可以将微分中值定理转换成坐标变换形式。
明确函数f(x)，如果f(x)在开区间上存在某一点y，使得f(y)和f(x)在p、q节点上的切线插值相同，可将（x，y）坐标系转为（t，f(t)）坐标系，带入f(t)，得到微分中值定理式。
具体地，如果函数f(x)在开区间[a，b]上连续，满足二阶可导，设定点p、q在区间[a，b]上，定义新变量t=x-p，则f(x)可表示为：f(x)=f(p)+f(p)t+f(T)[T2/2]，其中T=t/(q-p)若存在一点y，使得该式对于p和q的切线插值相等，即：f(y)=f(p)+f(p)(y-p)+f(T)[T2/2]，则：f(p)(y-p)+f(T)[T2/2]=0，将变量t替换为T(t=(y-p)(q-p))，则：f(p)(y-p)+f(T)[T2/2]=0，以上实际上就是微分中值定理的证明，通过转换坐标系，可以得到原式。
综上所述，坐标变换定理可以作为证明微分中值定理的一种方法。
这一定理是数学中重要定理之一，可以有效地将物理原理应用到数学计算中，证明函数上某点极限的技术也经常应用它，并且可以在更深入的研究中得到应用。
微分中值定理的证明以及应用
微分中值定理的证明以及应用1 微分中值定理的基本内容微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联系的三个定理 ,它们分别是罗尔(R olle )中值定理 、拉格朗日(Lagrange )中值定理和柯西(Cauchy )中值定理 .具体内容如下 :1.1 罗尔中值定理[2]如果函数f 满足:(1)在闭区间[,]a b 上连续 ; (2)在开区间(,)a b 内可导 ;(3)在区间端点的函数值相等,即()f a f b （）=,那么在区间(,)a b 内至少有一点a b ξξ（<<）,使函数()y f x =在该点的导数等于零,即'()0f ξ=. 1.2 拉格朗日中值定理[2]如果函数f 满足： (1)在闭区间[,]a b 上连续;(2)在开区间,a b （）内可导.那么,在,a b （）内至少有一点a b ξξ（<<）,使等式()()()=f a f b f b aξ-'-成立.1.3 柯西中值定理[2]如果函数f 及g 满足: (1)在闭区间[,]a b 上都连续; (2)在开区间,a b （）内可导; (3)'()f x 和'()g x 不同时为零; (4)()()g a g b ≠则存在,a b ξ∈（）,使得 ()()()()g ()()f f b f ag b g a ξξ'-='-2 三定理的证明2.1 罗尔中值定理的证明[2]根据条件在闭区间[,]a b 上连续和闭区间上连续函数的最大值和最小值定理,若函数()f x 在闭区间上连续,则函数()f x 在闭区间[,]a b 上能取到最小值m 和最大值M ,即在闭区间[,]a b 上存在两点1x 和2x ,使12(),()f x m f x M==且对任意[,x a b ∈],有()m f x M ≤≤.下面分两种情况讨论:①如果m M =,则()f x 在[,]a b 上是常数,所以对(,)x a b ∀∈,有()=0f x '.即,a b （）内任意一点都可以作为c ,使()=0f c '. ②如果m M <,由条件()=()f a f b ,()f x 在[,]a b 上两个端点a 与b 的函数值()f a 与()f b ,不可能同时一个取最大值一个取最小值,即在开区间,a b （）内必定至少存在一点c ,函数()f x 在点c 取最大值或最小值,所以()f x 在点c必取局部极值,由费尔马定理,有'()=0f c .2.2 拉格朗日中值定理的证明[2]作辅助函数()()()()f b f a F x fx a b x f a a--=-（）-（-） 显然,()()(0)F a F b ==,且F 在[,]a b 满足罗尔定理的另两个条件.故存在,a b ξ∈（）,使 ()()''()f b f a F f b aξξ--（）=-=0移项即得()()'()=f b f a f b aξ--2.3 柯西中值定理的证明[2]作辅助函数()()()g()-g()()g(f b f a F x f x f a x a g b a --（）=-()-（））易见F 在[,]a b 上满足罗尔定理条件,故存在(,)a b ξ∈,使得()()''()g'()=0()g(f b f a F f g b a ξξξ--（）=-）因为g'()0ξ≠(否则由上式'()f ξ也为零）,所以把上式改写成()'()()()g ()()f f b f ag b g a ξξ-='-证毕3 三定理的几何解释和关系3.1 几何解释[1]罗尔中值定理在曲线()y f x=上存在这样的点,过该点的切线平行于过曲线两端点的弦(或x轴).拉格朗日中值定理在曲线()y f x=上存在这样的点,过该点的切线平行于过曲线两端点的弦.柯西中值定理在曲线()()f xyxg x=⎧⎨=⎩(其中x为参数,a x b<<)存在一点,使曲线过该点的切线平行于过曲线两端点((),()),((),())A f a g aB f b g b的弦.综上所述,这三个中值定理归纳起来,用几何解释为:在区间[,]a b上连续且除端点外每一点都存在不垂直于x轴的切线的曲线,它们有个共同的特征()y f x=在曲线上至少存在一点,过该点的切线平行于曲线端点的连线.3.2 三定理之间的关系[3]从这三个定理的内容不难看出它们之间具有一定的关系.利用推广和收缩的观点来看这三个定理.在拉格朗日中值定理中,如果()()f a f b=,则变成罗尔中值定理,在柯西中值定理中,如果()F x x=,则变成拉格朗日中值定理.因此,拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.反之,拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例.总的来说,这三个定理既单独存在,相互之间又存在着联系.从上面的讨论中可以总结得到,罗尔中值定理是这一块内容的基石,而拉格朗日中值定理则是这一块内容的核心,柯西中值定理则是这一块内容的推广应用.4 三定理的深层阐述4.1 罗尔中值定理4.1.1 罗尔中值定理结论[8](1) 符合罗尔中值定理条件的函数在开区间,a b （）内必存在最大值或最小值. (2) 在开区间,a b （）内使'()=0f x 的点不一定是极值点. 例如 函数3()(53)4xf x x =-在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理的三个条件, 由25'()3()4f x x x =- ,显然0x =,有'(0)=0f 成立,但0x =不是()f x 的极值点.如果加强条件, 可得如下定理:定理 1 若函数在闭区间,a b []上满足罗尔中值定理的三个条件,且在开区间,a b （）内只有唯一的一个点,使()=0f x '成立,则点x 必是()f x 的极值点.完全按照罗尔中值定理的证法,即可证得使()'=0f x 成立的唯一点x 就是()f x 在,a b （）内的最值点,当然是极值点. 4.1.2 逆命题不成立[3]罗尔中值定理的逆命题 设函数()y=f x 在闭区间,a b []上连续,在开区间,a b （）内可导,若在点x 在,a b （）处,有()=0f x ',则存在,[,]p q a b ∈,使得()()=fp f q .例 函数3y x =,[,](0)x a a a ∈->,显然3y x =在,a a [-]上连续,在a a (-,)内可导,()=0f x ',但是不存在,[,]p q a a ∈- ,p q <,使得()()=f p f q .但如果加强条件,下述定理成立:定理2 设函数y ()f x =在闭区间,a b []上连续,在开区间,a b （）内可导,且导函数()f x '是严格单调函数,则在点(,)x a b ∈处,有()=0f x '的充分必要条件是存在,[,]p q a b ∈,p q<,使得()()=f p f q .4.2 拉格朗日中值定理4.2.1 点x 不是任意的[7]拉格朗日中值定理结论中的点x 不是任意的. 请看下例:问题 若函数()f x 在(,)a +∞(a 为任意实数)上可导,且lim ()x f x c →+∞=(c 为常数),则lim ()0x f x →+∞=这一命题正确吗?证明 设x 为任意正数,由题设知()f x 在闭区间[,2]x x 上连续,在开区间(,2)x x 内可导,由拉格朗日中值定理知,至少存在一点(,2)x x ξ∈,使得()(2)()=f x f x f xξ-',又因为li m ()x f x c →+∞=,故(2)()limx f x f x x→+∞-=.由于ξ夹在x与2x 之间,当x +→∞时,ξ也趋于+∞,于是lim '()lim '()0x x f x f ξ→+∞→+∞==.上述证明是错误的,原因在于ξ是随着x 的变化而变化,即()g x ξ=,但当+x →∞时,()g x 未必连续地趋于+∞,可能以某种跳跃方式趋于+∞,而这时就不能由()f ξ'趋于0推出lim ()0x f x →+∞=了.例如 函数()2s i n =x f x x满足l i m ()0x f x→+∞=,且2221'()2cos sin f x x xx=-在+∞（0，）内存在,但2221lim '()lim [2cos sin ]x x f x x x x→+∞→+∞=-并不存在,当然li m '()0x f x →+∞=不会成立.4.2.2 条件补充[5]定理 3 若函数()f x 在(,)a +∞(a 为任意实数)上可导,且lim '()x f x →+∞存在,若lim '()x f x c→+∞=(c 为常数),则lim '()0x f x →+∞=.4.3 柯西中值定理柯西中值定理的弱逆定理[8]设()()f x g x ，在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,且'()'()f g ξξ严格单调,'()0g x ≠,则对于12,a b x x ξξ∀∈∃<<（）, ,使得2121'()'()=[()()][()()]f g f x f x g x g x ξξ--成立.证明:对,a b ξ∀∈（）,作辅助函数 '()'()F x f x f g x ξξ（）=()-()g().显然,()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,并且由()()f x g x ，严格单调易知'()F x 也严格单调.由拉格朗日定理知,对于12,a b x x ξξ∀∈∃<<（）,,使得 2121()()'()()F x F x F x x ξ-=-成立.而'()='()('()'())'()0F f f g g ξξξξξ-=所以有21()()0F x F x -=即2211['()('()'())'()]['()('()'())'()]0f x f g g x f x f g g x ξξξξ---=整理得2121'()'()[()()][()()]f g f x f x g x g x ξξ=--证毕.5 定理的应用三个定理的应用主要有讨论方程根的存在性、求极限、证明等式不等式、求近似值等.以下主要以例题的形式分别展示三个定理的应用.5.1 罗尔中值定理的应用例1 设(1,2,3,,)i a R i n ∈= 且满足1200231n a a a a n ++++=+ ,证明：方程2012++++0n n a a x a a x x = 在（0,1）内至少有一个实根. 证明: 作辅助函数23+1120231n n a a a F x a x x x xn +++++ （）=则=0(0F （）,=(1)F 0,Fx （）在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,故满足罗尔中值定理条件,因此存在(0,1)ξ∈,使'()0F ξ=,又2012'()++++0nn F x a a x a x a x==由此即知原方程在(0,1)内有一个实根.例2 设函数()f x 在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,且()()0f a f b ==.试证: 在[,]0a b a >（）内至少存在一点ξ,使得'()f f ξξ=（）. 证明：选取辅助函数()()x F x f x e -=,则F x （）在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,(a)()0F F b ==,由R olle 定理,至少存在一点,a b ξ∈（）,使'()'()e['()()]0F f f f f ξξξξξξξξ---=-=-=（）e e因 0e ξ-> 即'()()=0f f ξξ-或'()=()f f ξξ.例 3 设函数()f x 于有穷或无穷区间,a b （）中的任意一点有有限的导函数()f x ',且0lim ()lim ()x a x b f x f x →+→-=,证明:'()0f c =,其中c 为区间,a b （）中的某点.证明: 当,a b （）为有穷区间时,设()(,)(),f x x a b F x A x a b ∈⎧=⎨=⎩，当时，当与时，其中0lim ()lim ()x a x b A f x f x →+→-==.显然()F x 在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,且有()()F a F b =,故由R o l l e 定理可知,在,a b （）内至少存在一点c ,使'()=0F c .而在,a b （）内,'()'()F x f x =,所以'()=0F c .下设,a b （）为无穷区间,若,a b =-∞=+∞,可设tan ()22x t t ππ=-<<,则对由函数()f x 与tan x t=组成的复合函数g()(tan )t f t =在有穷区间()22ππ-，内仿前讨论可知:至少存在一点0t (,)22ππ∈-,使20g '()'()sec 0t f c t =⋅=,其中t a n c t =,由于20s e c 0t ≠,故'()=0f c .若a 为有限数,b =+∞,则可取0m a x {,0}b a >,而令00()b a t x b t-=-.所以,对复合函数00()g()()b a t t f b t-=-在有穷区间0,a b （）上仿前讨论,可知存在00t ,a b ∈（）使000200()g '()'()=0)b b a t fc b t -=⋅-（,其中0000()b a t c b t -=-,显然a c <<+∞由于00200())b b a b t ->-（,故'()=0fc .对于a =-∞,b 为有限数的情形,可类似地进行讨论.5.2 拉格朗日中值定理的应用例 4 证明0x >时,ln(1)1x x x x<+<+证明： 设()ln(1)f x x =+ , 则()f x 在[0,]x 上满足Lagrange 中值定理1ln(1)ln(10)ln(1)'(),(0,)10x x f x x xξξξ+-++===∈+-又因为111x ξ<+<+所以1111+1xξ<<+所以1ln(1)11+x xx+<<即ln(1)1x x xx<+<+例 5 已知()()()11112na n n n n n n n =++++++ ,试求lim n x na →.解： 令()2f x x=,则对于函数()f x 在()(),1n n k n n k +++⎡⎤⎣⎦上满足L a g r a n g e定理可得： ()()()()21211n n k n n k n n k n n k ξ++-+=++-+ ,()()()(),1n n k n n k ξ∈+++所以()()111221n k n k nnn n k n n k +++<-<+++当0,1,,1k n =- 时,把得到的上述n 个不等式相加得：()()()()211111222121n n n n n n n n n n+++<-<+++++ ()()11221n n n n ++++-即112222n n a a n n<-<+-故11022212n a n ⎛⎫<--<- ⎪⎝⎭所以lim 222n n a →∞=-例 6 求0.97的近似值. 解： 0.97是()f x x=在0.97x =处的值, 令001,0.97x x x x ==+∆=,则0.03x ∆=-, 由Lagrange 中值定理,存在一点0.97,1ξ∈（）(1)(0.97)'()0.03f f f ξ-=可取1ξ≈近似计算,得110.971+)'(0.03)1(0.03)0.9852x x =≈⋅-=+-=（5.3 柯西中值定理的应用例 7 设0x >,对01α<<的情况,求证1xx ααα-≤-.证明：当1x =时结论显然成立,当1x≠时,取[],1x 或[]1,x ,在该区间设()f x xα=,()F x x α=由Canchy 定理得：()()()()()()11f x f f F x F F ξξ'-='- (),1x ξ∈或()1,x ξ∈ 即111x x ααααξξααα---==-当1x >时,(),1x ξ∈,11αξ->即11x x ααα->-又()10x x ααα-=-<故1x x ααα->-即11x αα-<-当1x >时,()1,x ξ∈,11αξ-<则()10x x ααα-=->故1x x ααα->-即11x αα-<-证毕例 8 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导,a b ≤≤（0）,()()f a f b ≠ ,试证 ,a b ξη∃∈，（）,使得'()'()2a b f f ξηξ+= .证明： 在等式'()'()2a b f f ξηξ+=两边同乘b a -,则等价于22'()'()()2f f b a b a ηξξ-=-（）,要证明此题, 只需要证明上式即可.在[,]a b 上,取()()F x f x =,G x x （）=,当,a b ξ∈（）时,应用Cauchy 中值定理()()'()()()'()f b f a f G b G a G ξξ-=-即()()'()1f b f a f b aξ-=-在[,]a b 上,再取()()F x f x =,2G x x （）= ,当,a b η∈（）时,应用C a u c h y 中值定理()()'()()()'()f b f a f G b G a G ηη-=-即22()()'()2f b f a f b aηη-=-即22'()'()()()2f f b a b a ηξξ-=-即'()'()2a b f f ξηξ+=例 9 设函数f 在[,]0a b a >（）上连续,在(,)a b 上可导.试证:存在(,)a b ξ∈使得()()'()lnb f b f a f aξξ-=证明： 设()ln g x x =,显然它在[,]a b 上与()f x 一起满足柯西中值定理条件,所以存在,a b ξ∈（）,使得 ()()'()1ln ln f b f a f b aξξ-=-整理后即得()()'()lnb f b f a f aξξ-=6 定理的应用总结 6.1 三定理的应用关系一般来说, 能用R o l l e 定理证得的也可用Lagrange 定理或C a u c h y 定理证得,因此,在解题的过程中根据问题本身的特点能选取合适的中值定理,以取得事半功倍的效果.如上面例9 利用R olle 中值定理.令()[()()]ln ()(ln ln )F x f b f a x f x b a =---,则()()F a F b -,所以存在,a b ξ∈（）使得'()0F x =, 即()()'()lnf b f a b f aξξ--=整理后即得所欲证明.上面的这个例子还不难看出在利用R olle 中值定理和Cauchy 中值定理证明的同一个不等式中,用R olle 中值定理时辅助函数的构造显然需要更多的观察和技术.相比之下,用Cauchy 中值定理则要简单得多.6.2 定理的应用方法技巧从定理应用的例题中不难发现,微分中值定理大多都是通过构造辅助函数来完成证明的.有的可以从函数本身出发构造辅助函数,有的需要利用指数、对数、三角函数等初等函数来构造辅助函数,还有的要根据需要证明的目标出发适当构造辅助函数.可见,在微分中值定理的应用中,广泛地使用辅助函数是做证明题的关键,在学习时应该掌握一些常用的构造辅助函数方法.在做证明题时一般先从要证的结论出发,观察目标式的特征,分析目标式可能要用的辅助函数,然后对目标式作相应的变形,这是构造辅助函数的关键.有了辅助函数就可以直接对辅助函数应用微分中值定理得到结论.7 结束语本课题的研究成果是通过大学阶段的有关数学分析知识的学习,和一些相关学科内容知识的学习,并结合一些相关的参考图书资料,以及通过网络收集期刊、报刊和杂志上的相关内容,其中还包括自己对这些内容的理解,还通过多方面的了解和研究,且在和老师及同学们的一起探讨下,了解到微分中值定理的内在联系,也对微分中值定理深层进行了探讨,还对微分中值定理的应用做了归纳总结.本课题主要是以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理三个微分中值定理,感受到了定理来解决数学问题的方便快捷,学以致用得到充分体现.微分中值定理是微分学的基本定理,而且它是微分学的理论核心,有着广泛的应用.本课题主要是对微分中值定理证明等式不等式,方程根的存在性,求极限以及求近似值等的应用.应用微分中值定理证明命题的关键是构造辅助函数,构造满足某个微分中值定理的条件而得到要证明的结论.而构造辅助函数技巧性强,构造合适的辅助函数往往是困难的.因此,在构造辅助函数上本文没有深入系统论述,有待于研究.9 参考文献[1] 党艳霞. 浅谈微分中值定理及其应用[J]. 廊坊师范学院学报(自然科学版).2010,(1): 28-31.[2] 陈传璋. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社. 2007.[3] 刘玉琏, 傅沛仁. 数学分析讲义[M]. 北京：高等教育出版社. 1982.[4] 林源渠, 方企勤等. 数学分析习题集[M]. 北京：高等教育出版社. 1986.[5] 赵香兰. 巧用微分中值定理[J]. 大同职业技术学院学报. 2004,（2）：64-66.[6] 刘章辉. 微分中值定理及其应用[J]. 山西大同大学学报（自然科学版）.2007.23(2): 12-15.[7] 何志敏. 微分中值定理的普遍推广[J]. 零陵学院学报. 1985. 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中值定理 证明 解微分方程
中值定理证明解微分方程
中值定理是微积分中的一个重要定理，可以用来证明解微分方程的存在和唯一性。
该定理指出，对于一个在闭区间上连续的实函数，存在一个点使得该点的导数等于函数在该区间上的平均变化率。
这个点就是中值定理所述的中间点。
利用中值定理证明解微分方程的存在性，通常先将微分方程化为形如dy/dx=f(x,y)的一阶常微分方程。
然后，将该方程表示为
y'=g(x,y)，其中g(x,y)=f(x,y)/√(1+f(x,y)^2)。
由于g(x,y)在整个平面上的偏导数都是连续的，因此根据偏导数的连续性定理，可以得到g(x,y)在平面上是局部利普希茨连续的。
接下来，对于给定的初始条件y(x0)=y0，可以构造一条以(x0,y0)为起点，斜率为g(x0,y0)的直线。
根据中值定理，该直线与y=f(x)在(x0,x0+1)的某一点处相切。
将该点的横纵坐标记作x1和y1，可以得到y1=y0+g(x0,y0)(x1-x0)。
然后，以(x1,y1)为起点，斜率为g(x1,y1)的直线与y=f(x)在(x1,x1+1)的某一点处相切，构造出新的点(x2,y2)。
如此重复进行下去，可以得到一条光滑的曲线y=y(x)，满足y(x0)=y0，
y'(x)=g(x,y(x))。
由于g(x,y)是局部利普希茨连续的，因此可以证明y(x)在一定范围内是存在且唯一的。
此外，由于y'(x)是连续的，因此y(x)也是连续的。
因此，该曲线就是微分方程的解。
- 1 -。
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法微分中值定理是微积分中最重要的定理之一，它可以用来构造辅助函数。
在这里，我将介绍三种常见的方法。
方法一：构造辅助函数来证明微分中值定理我们首先回顾微分中值定理的陈述：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
为了证明这一定理，我们可以构造一个辅助函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)。
我们可以计算g(a)和g(b)：g(a)=f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(a-a)=f(a)g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(b-a)=f(b)由于g(x)是f(x)的线性函数，我们可以得出g(a)=f(a)和g(b)=f(b)。
根据罗尔定理，存在c∈(a,b)，使得g'(c)=0。
将g(x)展开得到：g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)当x=c时：0=g'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)因此，存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
方法二：构造辅助函数来确定函数的最大值和最小值微分中值定理的一个重要应用是确定函数的最大值和最小值。
我们可以利用此定理构造辅助函数来确定函数在给定闭区间上的最大和最小值。
假设我们要确定函数f在闭区间[a,b]上的最大值和最小值。
我们可以构造辅助函数h(x)=f(x)-M(x-a)，其中M是一个足够大的常数。
我们可以选择一个足够大的M，使得h(x)在[a,b]上永远不小于0。
当x=a时，h(a)=f(a)-M(a-a)=f(a)>=0当x=b时，h(b)=f(b)-M(b-a)=f(b)-M(b-a)<=0根据微分中值定理，存在c∈(a,b)，使得h'(c)=0。
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用微分中值定理是微分学中的重要定理之一，用于描述函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
本文将介绍微分中值定理的概念、表述形式以及其在实际问题中的应用。
一、微分中值定理的概念微分中值定理是由法国数学家拉格朗日于18世纪提出的，它是微分学的基石之一。
该定理基于连续函数的性质，揭示了连续函数在区间内的某个点存在瞬时变化率等于平均变化率的情况。
二、微分中值定理的表述形式微分中值定理有三种常见的表述形式，它们分别是拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
下面将分别对这三个定理进行详细介绍。
1. 拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)上存在一个点c，使得f'(c)等于函数f(x)在[a, b]上的平均变化率，即：f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)2. 柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）设函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，且g'(x)不为0，则在(a, b)上存在一个点c，使得：[f'(c)]/[g'(c)] = [f(b) - f(a)]/[g(b) - g(a)]3. 罗尔中值定理（Rolle's Mean Value Theorem）设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，且f(a)等于f(b)，则在(a, b)上存在一个点c，使得f'(c)等于0。
三、微分中值定理的应用微分中值定理在实际问题中具有重要的应用价值。
下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 判断函数的增减性通过微分中值定理，可以判断函数在某个区间内的增减性。
如果在该区间内的导数恒为正（负），则函数在该区间上单调递增（递减）。
微分中值定理有关证明
☆例1 设)(x f 在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f .试证：必存在)3,0(∈ξ，使()0f ξ'=证：∵ )(x f 在[0，3]上连续，∴ )(x f 在[0，2]上连续，且有最大值和最小值.于是M f m ≤≤)0(；M f m ≤≤)1(；M f m ≤≤)2(，故M f f f m ≤++≤)]2()1()0([31. 由连续函数介值定理可知，至少存在一点[0,2]c ∈使得1)]2()1()0([31)(=++=f f f c f ，因此)3()(f c f =，且)(x f 在[，3]上连续，（，3）内可导，由罗尔定理得出必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ使得()0f ξ'=。
☆例2 设)(x f 在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且⎰=132)0()(3f dx x f求证：存在)1,0(∈ξ使0)('=ξf证：由积分中值定理可知，存在2[,1]3c ∈，使得⎰-=132)321)(()(c f dx x f得到 ⎰==132)0()(3)(f dx x f c f对)(x f 在[0，c]上用罗尔定理，（三个条件都满足） 故存在)1,0(),0(⊂∈c ξ，使()0f ξ'=☆例3 设)(x f 在[0,1]上连续，(0，1)内可导，对任意1>k ，有⎰-=k x dx x f xe k f 11)()1(，求证存在)1,0(∈ξ使1()(1)()f f ξξξ-'=-证：由积分中值定理可知存在1[0,]c k∈使得)01)(()(1101-=--⎰k c f ce dx x f xe ck x令)()(1x f xex F x-=，可知)1()1(f F =这样1110(1)(1)()()()x c k F f kxe f x dx ce f c F c --====⎰，对)(x F 在]1,[c 上用罗尔定理（三个条件都满足）存在)1,0()1,(⊂∈c ξ，使()0F ξ'= 而111()()()()xx x F x ef x xe f x xe f x ---''=-+∴ 11()[()(1)()]0F ef f ξξξξξξ-''=--=又01≠-ξξe，则1()(1)()f f ξξξ'=-在例3的条件和结论中可以看出不可能对)(x f 用罗尔定理，否则结论只是()0f ξ'=，而且条件也不满足。
中值定理 证明 微分方程
中值定理证明微分方程中值定理是微积分中的一个重要定理，它可以被用于证明微分方程的一些性质。
本文将分步骤阐述中值定理在证明微分方程中的运用。
1. 中值定理的基本概念中值定理是微积分中的一个基本定理，它的公式是f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)，其中a和b是函数f(x)的定义域上的两个点，c是a 和b之间的某个点。
这个公式的意义是，如果函数在a和b两点之间连续并且可微，那么在这两点之间一定存在一个点c，使得斜率等于函数在这个区间的平均斜率。
2. 中值定理在微分方程中的运用中值定理在微分方程中的运用是通过证明一些定理来完成的。
其中最常见的是微分方程初值问题的解在一定情况下的存在唯一性定理。
首先，我们可以考虑微分方程y‘(t) = f(y(t))，其中f(y(t))是一个连续函数。
假设在t1时刻，y(t1) = y0，那么根据中值定理，可以得到f(y(t1)) - f(y0) = f'(c)(y(t1) - y0)，其中c是y(t1)和y0之间的某个点。
因此，我们可以得到y(t1) = y0 + f'(c)(t1 -t0)。
这个公式的意义是，如果我们知道了y的初值y0和y在t1时刻的斜率f(y(t1))，那么我们就可以通过中值定理来计算y在t1时刻的值。
接着，考虑一个更加一般的微分方程y‘(t) = f(t,y(t))，其中f(t,y(t))是一个连续函数。
假设在t1时刻，y(t1) = y0，那么可以将微分方程离散化为y(t1) ≈ y(t0) + f(t0,y(t0))(t1 - t0)，再次应用中值定理，可以得到y(t1) ≈ y(t0) + f(c,y(c))(t1 - t0)，其中c是t0和t1之间的某个点。
因此，我们可以通过不断迭代中值定理，计算y在任意时刻的值，从而得到微分方程的解。
3. 一个例子考虑微分方程y‘(t) = e^y(t)，其中y(0) = 0。
第四章 微积分中值定理与证明
．
若 ，我们取 或 ，结论显然成立．若 ，则
根据零点定理， 有 ，所以有 ．
（方法2：利用介值定理）由于 在 上连续，所以 在 上可以达到最
大值和最小值， 使得 ，当然 ，所以
，
故
，
从而有
，
根据介值定理， 有
，
所以有
．
例2设 在 上连续， ，证明： ，使得 ．
证明引入辅助函数 ，则
4．设 ， 在 上连续，在 可导，证明：在 内至少存在一
点 ，使得 ．
（提示：对两个函数 和 在 上应用柯西中值定理）
5．设 在 上连续，在 可导，且 ，证明：在 ，使得 ．
（提示：引入辅助函数 ，在 上满足罗尔定理条件）
6．设 在 上可导，且 ，证明：
（1） ，使得 ．
（2）在 上存在 ，使得 ．
所以
整理得到
．
例12设 在 上连续，且 ，证明：存在 满足
．
分析解方程 ，即 ，所以辅助函数为
．
例13和例14对数三考生不做要求：
例13若 在 上有三阶导数，且 ，设 ，证明：
在 内至少存在一个 使得 .
证明由于 具有三阶导数，于是
由于
，
所以 ，故
，
因为 ，所以 ，即存在一个 使得 .
例14设 在区间 上具有三阶连续导数，且 ， ，
柯西中值定理，有
， ；
， ．
将上面两式相除，整理得到
．
4.1练习
1．试证方程 ，其中 至少有一个正根并且不超过 ．
（提示：只需证明函数 在 至少有一个根）
2．试证方程 恰有两个实根．
（提示：函数 是偶函数，关于 轴对称）
微分中值定理的总结及体会
, ，
由于 三点共线,故
，
即
再考察函数 ，其在 上满足洛尔定理的条件，由洛尔定理知至少存在一点 ，使 .
2.（2007）设函数 在 上连续，在 内具有二阶导数且存在相等的最大值， ,证明：存在 ，使得
【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令 ，则问题转化为证明 ,只需对 用罗尔定理，关键是找到 的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0,若能再找一点 ，使得 ，则在区间 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对 用罗尔定理即可.
于是
【评注】中值定理的证明问题是历年出题频率最高的部分，而将中值定理与介值定理或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式.
4.设函数 在 内连续,在 内可导,且 ，证明：存在
使 .
证明:设 ， ，由柯西中值定理可得，至少存在 ,使得
，即 ，
设 ，由拉格郞日中值定理可得，至少存在 ，使得
，即 ，
从而 ，即 .
,
又 ，得 ,
即存在 ,使
(Ⅱ)因 ，即 ,又 在闭区间 上连续,由介值定理知，至少存在一点 ,使得
.
因此 在区间 , 上都满足罗尔中值定理条件,于是至少存在点 , ,有
,
由 在 上连续,在 内二阶可导,知 在 上连续,在 可导,用罗尔中值定理,至少存在一点 ,使得 .
【评注】一般地有如下结论：设 在 上连续，
由洛尔定理知,存在 使
而
于是有
即有
亦即
考点四:微分中值定理和积分中值定理相结合
1.设 在 内可导，且 ，证明：在 内方程 有根。
微分中值定理的基本结论与证明方法
f ( 0 ) + f (1) + f ( 2 )
é ë f ( a ) ¹ f ( b ) , m ¹ f ( a ) , m ¹ f ( b )ù û 任一值，则必
$ x Î ( a, b ) Þ f (x ) = m 。
● 其推论是： 当m £ m £ M ， 则必 $ x Î [ a, b ] Þ f (x ) = m 。x Î [ a, b ] 。 注意 x Î [ a, b ] 是闭区间。 ● 介值定理的本质是：在连续函数的的值域内任意取个值，总能找到一个函数值与它相等。 ● 导数的介值定理（达布定理） ：设 f ( x ) 在 [ a, b ] 上可导（只有在闭区间的端点有单侧导数定义） ，且
g (a + d ) - g (a) < 0 Þ g (a) > g (a + d ) d 根据导数定义和极限的保号性 g ¢ ( b ) = f ¢ ( b ) - c > 0 ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ ®
g (b - d ) - g (b) > 0 Þ g (b - d ) < g (b ) -d 可见连续函数 g ( x ) 在区间 [ a, b ] 上的最大值和最小值不在端点取得， 故存在 x Î ( a, b ) ， 使得 g ( x ) $d > 0满足a < a + d < b - d < b Þ
f +¢ ( a ) ¹ f -¢ ( b ) ， 则 对 满 足 f +¢ ( a ) < c < f -¢ ( b ) 或 f +¢ ( a ) > c > f -¢ ( b ) 的 任 意 实 数 c ， 均 存 在
微分中值定理相关证明方法分类小结
揖Keywords铱Differential Mean Value; Proof Method; Higher Mathematics
揖中图分类号铱O13
揖文献标识码铱A
揖文章编号铱2095-3089渊2018冤04-0100-02
引言
微分中值定理是微分学理论的重要组成部分袁在导数应 用中起着桥梁作用袁也是研究函数变化形态的纽带袁因而在微
分学中占有很重要的地位遥 利用微分中值定理不仅可以推出 后面有关导数的各种应用方法袁而且利用它们还可以求解尧证
明许多问题遥但是这些问题往往是数学分析尧高等数学中的重
点尧难点问题袁也是考研问题中的考查重点袁牵涉类型较为复
杂袁本文拟就微分中值定理渊包括罗尔定理尧拉格朗日中值定 理尧柯西中值定理和泰勒中值定理冤的相关求解尧证明问题加
derivative of a function have the properties (local properties) to infer the nature of the function itself should have (overall nature) is
extremely important.It is important to test sites,so master problem鄄solving methods and techniques in this regard is very important.
原式=lim x寅0
7 12
x4+o渊x4冤 x4
=
7 12
小结院求极限常用的两种方法遥
窑100窑
渊1冤选择适当的函数和区间利用拉格朗日中值定理或柯
西中值定理并结合导函数的特点及极限的迫敛性求得最终结
中值定理证明方法总结
ba 辅助函数
同样, 柯西中值定理要证
g f((b b)) g f((a a))g f(()), (a,b)
即证 f()f(b)f(a)g()0
g(b)g(a) 设 F(x)f(x)f(b)f(a)g(x)
g(b)g(a) 原函数法
F(x)f(x)f(b)f(a)g(x) g(b)g(a)
内可导, 证明至少存在一点 (a,b), 使
f (a) f (b) f() g(a) g(b) g() 0 h(a) h(b) h()
说明 若取 h ( x ) 1 ,g ( x ) x ,f( a ) f( b ) ,即为罗尔定理;
若取 h(x)1,g(x)x, 即为拉格朗日中值定理;
若取 h (x) 1 ,g(x)0,即为柯西中值定理;
gf ((aa())a,bgf)((,bb使))
h(a) h(b)
Fghf((((f))))(a)0,ghf即(((aab)))
ghf((bb()))f ()
F()hfgh((a((aaa)))) hfgh((b(b(bb))))g(gh)(())gf((aa0))
f(b) g(b)
h()
设 f(x),g(x),h(x)都在 (a ,b) 上连续 , 且在[a , b]
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例2.
设 f ( x) 在 [0,1] 连续，(0 ,1) 可导，且 f(1)0,
求证存在 (0,1),使 nf() f()0 .
证：设辅助函数 (x)xnf(x)
辅助函数 如何想出来的？
显然 (x) 在 [ 0 ,1] 上满足罗尔定理条件,
因此至少存在 (0,1), 使得
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与 ｘ的线性组合和ＦＯ与 ｇ ） ） ｌ 的线性组合。 注意到 了这一点 ，就消除了这 两个表面看 来构思别致的辅助函数的神秘 感，得到构 造这 类 辅 助 函数 的 一 般 方法 。
，
此 时也可能出现两种情况 ：
ｌ ｂ） 厂（ ，
（ ＝ ｆ（０） ｂ） １ ，则 函数 Ｆ ，
其思路就是从命题得结论入手 来分析 结论得形式特点 ，从 中得到启发，进而 构 造 出与 已知命题相符得辅 助函数 ，使命题
一
下 ｊ ｙ
：
一
） ） ． ：／ 一
一
）
，
，
得以证明。
构造两个辅 助函数的 出发点都是使之 满 足 罗尔 定 理的 条 件 （ ） ３ ，设 ：Ｒ 一
使 得 ／（） ： 号 。
辅 助 函 数 ， 有 罗 尔 定 理 可 证 ／ ） ： ， ‘ ∈ （ ｂ） ａ， 。
ＩＩ３叠加函数待定系数法 拉 氏中值 ．． 定理 与罗尔中值定理有相同的条件（）（） １ ２， 但缺 条件 （ ，设 想 厂 （ ）叠加 一 个 ３） Ｘ 适当的 函数 构成辅助 函数 审 （ ，使之 ８） 满足 罗尔 定理 的三 条 ，且 使拉 氏定理 得 证 ，经试 用叠加线性 函数 ｋ ｘ为宜 ，即令 审 （８） ＝ 厂（ Ｘ）４ｋＸ （ 中 ｋ 是定 － 其 待 系 数 ）有 审 （ ｃ ｃ ）＝ 审 （ ） ｂ ，得
罗尔定理 ，则在 （ ｂ）内至少存在一点 ａ， ＜，使得 Ｆ ＜ ＝ｆ’ ＜ 十 ’＜ ＝． （ ）｝ （） （ ） （ ） 厂’ ＜
（ ｂ３ ，显 然 易 ａ， ）
维普资讯
卑雷科技谯 慧
毒镰 １ 毫 觏 ｜
ｓ ￡
｜
舳
魄｜
＋ ＝ ￣— ＝＿ （ ） ｃ ０ Ｉ ｃ ／’‘ Ｉ
孙彩贤 王 小平
微分 中值定理的多种证明方法 （ 得。：ｊ① ｃ ， ① 【 ） －
ｆ（ｃ ｃ）得 。＋ ｄ ｄｆｂ ａ ：（
个 辅 助 函数
Ｆ
．
于 是 ）
） 一
满 足 罗 尔定 理 全 部 条 件 ，利 用 其 结 论 使 拉 氏定 理得 证 。 若令 审 （ Ｘ） ＝． （ 厂 Ｘ）４ｋＦ （ － Ｘ） （ 为待定 系数 ） Ｋ ，令 审 （ 【 ｃ）＝ 审 （ ｂ）
是 Ｋ 类似可证 柯西 中值定理 。 从 结论得分析来设法构造辅助 函数是 微 分学 中用 来证 明定 理或 命题 得方 法之
ｄ ＋ｄ
由 审 （【 ｃ）＝ 一ｆ （ ， （ ｂ） 审 ｂ）
河南工业 大学理 学院 许 昌学 院数 学 系
解此方程组得
推出下式 ： ／（ 二 ’） ｛
般务 强 定理 是蒿 每数 峰的 攘 ・ 电蓉 之一
拳文 从不蒋的 方 面对 此 定理加 以证明 ，使得 抽 的 定理 炙治 化 而 史弱理 解 。
假 设 是 ） ／ 卜 ：’ ” 。经验 证 Ｆ 。
（） Ｆ ｃ） ｘ＝ （ｃ，即上式所确定的 Ｆ ｘ为所需 的 （）
微 分 学 中 值 定 理 ：若 函数 ｙ ＝ ｆ
（ Ｘ）满足条件 ： ｉ ｆ （ （） Ｘ）在【 【 ｂ 上连 ｃ， 】 续 ； ｉ ）， （ （ｉ ’ Ｘ）在 （【 ｂ）上可导 ；则 ｃ， 在 （ 【ｂ）内至少存在一点 ｅ∈ （ ｂ ， ｃ， ａ， ）
一
，
１辅 助 函数证明 法
１１ １构造辅助函数分析 在各种教材 ．． 中，证 明拉格朗 日中值定理和柯西 中值定 理是 在 证 明 了 罗尔 定理 的基 础 上 ， 引 入 各 种辅助 函数进而证 明了后两个定理 ，引入 辅 助 函数 的 基 本 点是 要 使 之 满 足 罗尔 定 理 的条件。众所 周知 罗尔定理是 ：设 函数 ｆ （ ．（ ）ｆＸ） ａ， 】 ｘ） １ （ 在【 ｂ 上连续 ；（ ）ｆＸ ２ （） 在 （ ｂ）可导 ， （ ａ， ３）ｆ （ ａ）＝ｆ ｂ） （ ， 则在 （ ｂ）内至少存在 一点 ‘∈ （ ａ， ａ， ｂ） ，使得 ｆ ＜） 。在拉格朗 日中值定 （ ＝０ 理和柯西 中值 定理的证明 中分别引进了两
： ）或 ． ／ ＿
由 ① ， ② 得 Ｉ ） （＝ 毛
＿（） 厂 丛 为 ， ） ’一
＝ ０上式在没有 求导 之前应 ： Ｘ Ｃｃ为任意常数） ＋（ 如果想
中值 定理 辅助 函数 ｛ 区间套； 闭 旋转坐 标轴 ＿
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
象中的辅助 函数 Ｆ ｘ 确实存在的话 ，可以 （）
１１２演绎推理法 假设辅助函数ＦＧ ．． ）
已给出 ，它符 合罗尔定理的全部 条件 ，故 必有 ｅ∈ （ ， ） ａ ｂ ，使得 Ｆ （ ＝０上式能 ｅ）
（ ）＝ ｆ （ ） ＋ ｘ ｘ （ ）＝ 一 厂 （ ） ｊ ｘ ｘ ＋ ｘ＋ ｃ ｄ在【【ｂ 上连续 ，在 （ ， 。，】 ａ ｂ）上可 导 ，且 Ｆ 。） （ ） ，（ 【＝ｆ （ （ 【：Ｆ ｂ ＝＿ 。） ‘ ｂ）根 据
一
１ １ ４ 代数方法 分析 ：函数 ｆ（ ．． ｘ） 在 ｘ ＝０和 ｘ—ｂ点的值之差 为ｆ （ １ ， ｘ） ，（ ｂ）只要能找 到一个线 性 函数 ，使得 在 ｘ ＝０和 ｘ ＝ｂ点的值之差为 ，（ １ ， ｘ）一 ｆ （ ） 则 两 函 数 之 和 一 定 满 足 罗 尔 定 ｂ ， 理 的 条件 。
证 明 ：设 函数 （ ＝ Ｃ ｘ） ｘ＋ｄ （ ， ｃ ｄ 为待 定常 数 ）满 足条 件 （ １ ＝ 一 ０） ，
Ｄ
ｆ一日 ）
，
…
若 出现 （ ） … １ ，则 … …
Ｏ 一 ａ
Ｌ
＝
一
Ｄ ， 譬 一 ｌ Ｊ ａ
’
有 ： ） 厂（ Ｆ ． ＝ ｘ）＋ＲＸ ， ，） 厂 （ Ｆ ｔ 一 Ｘ） ＋ Ｌ （ ，可 见 Ｆ ， ： Ｆ，） 别 是 （ ｇ ｘ） 和 ， ） 分 ｘ）