内蒙古包头市第九中学高三数学上学期期中试题 理

包头九中2015—2016学年度第一学期期中考试高三年级数学（理科）试题一、选择题（每小题5分，满分60分）1．设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为( )A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2}2．已知复数z满足（1﹣i）=2，则z5=( )A．16 B．﹣4+4i C．﹣16 D．﹣16i3．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k值是（）A．5 B．6 C．7 D．84．已知函数()sin3cos()f x x x x R=+∈，函数()f xϕ+的图象关于直线0x=对称，那么ϕ的值可以是（）A．2πB．3πC．4πD．6π5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A.22B.62C.52D.36．等差数列{}na的前n项和是nS，若15160,0S S><，那么11Sa，22Sa，315315,,S Sa aL中，值最大的是（）A ．1515S a B ．88S a C ．99S a D ．11Sa7．若610a <<，22ab a ≤≤，c a b =+，那么c 的取值范围是（ ） A ．918c ≤≤ B ．1530c << C ．930c ≤≤ D ．930c <<8．函数1||,(0)()0,(0)x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不等的实数根的充分必要条件是（ ）A ．2b <-且0c >B ．2b >-且0c <C ．2b <-且0c =D ．2b ≥-且0c = 9．若,[,]22x y ππ∈-，且sin sin 0x x y y ->，那么下面关系正确的是（ ）A ．x y >B ．0x y +>C ．x y <D ．22x y >10.已知⎰-=20)cos (πdx x a ，则912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为（ ） A ．638 B ．6316 C ．221- D ．638-11．在平面直角坐标系中，若两点,P Q 满足条件：①,P Q 两点都在函数()y f x =的图象上；②,P Q 两点关于坐标原点对称。

则对称点[,]P Q 是函数()y f x =的一对“友好点对”。

点[,]P Q 和[,]Q P 看作是同一对“友好点对”。

那么函数22log ,(0)()4(0)x x f x x x x >⎧⎪=⎨--≤⎪⎩的“友好点对”有（ ）.A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对 12．在下面四个图中，有一个是函数f （x ）=（a ∈R ，a ≠0）的导函数f ′（x ）的图象，则f （﹣1）等于（ ）A ．B ．C ．D ．或二、填空题（每小题5分，满分20分）13．在ABC ∆中，点H 是边BC 上异于端点,B C 的一点，M 是AH 的中点，AM AB AC λμ=+u u u u ru u u ru u u r，那么λμ+=____________；14．函数()m f x x ax =+的导函数()21f x x '=+，那么数列*1{},()n N f n ∈的前n 项和是____________；15.若关于x 的函数()2222sin tx x t xf x x t+++=+（0t >）的最大值为M ，最小值为 N ，且4M +N =，则实数t 的值为 ．16．给出下列四个命题： ①命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题为假命题；②命题p ：∀x ∈R ，sinx ≤1．则￢p ：∃x 0∈R ，使sinx 0＞1； ③“φ=+k π（k ∈Z ）”是“函数y=sin （2x+φ）为偶函数”的充要条件；④命题p ：“∃x 0∈R ，使sinx 0+cosx 0=”；命题q ：“若sin α＞sin β，则α＞β”，那么（￢p ）∧q 为真命题．其中正确的序号是 ．三、解答题（满分60分）17．（满分12分）渔船甲位于岛屿A 的南偏西60︒方向B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用了2小时追赶上渔船乙.（Ⅰ）求渔船甲的速度； （Ⅱ）求sin α的值.18．（满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若ccosB ，acosA ，bcosC成等差数列 （Ⅰ）求∠A ； （Ⅱ）若a=1，cosB+cosC=，求△ABC 的面积．19．（满分12分）已知数列{a n }满足a 1=1，且a n =2a n ﹣1+2n （n ≥2且n ∈N *）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n ； （Ⅲ）设b n =，试求数列{b n }的最大项．ACα 北南20．（满分12分）已知数列{}na的首项11a=，前n项和nS满足221n nnS an=-（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）将数列{}na的项按上小下大，左小右大的原则排列成一个如图所示的三角形数阵，那么2015是否在该数阵中，若在，排在了第几行第几列？21．（满分12分）已知函数21()(21)2ln()2f x ax a x x a R=-++∈.(Ⅰ)若曲线()y f x=在1x=和3x=处的切线互相平行，求a的值；(Ⅱ)求()y f x=的单调区间；(Ⅲ)设2()2g x x x=-，若对任意1(0,2]x∈，均存在2(0,2]x∈，使得12()()f xg x<，求a的取值范围.请在下面的三个题中任选一题作答【选修4-1】几何证明选讲（本小题满分10分）22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．23、选修4-4：坐标系与参数方程,（本小题满分10分）已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为⎩⎨⎧=-=tytx33，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为03cos42=+-θρρ（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围.【选修4-5】不等式选讲（本小题满分10分）24．设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．17．（Ⅰ）由题意，120BAC∠=︒，12,21020AB AC==⨯=，BCAα∠=在ABC∆中，根据余弦定理得2222cos784BC AB AC AB AC BAC=+-⋅∠=1a2a3a4a5a6aL L L那么28BC =，所以渔船甲的速度是28214÷=里/小时. （Ⅱ）BCA α∠=，在ABC ∆中，根据正弦定理得sin sin AB BCBCA BAC=∠∠，那么 sin 33sin AB BAC BCA BC ⋅∠∠==，即33sin α=. 18.解：（Ⅰ）∵ccosB ，acosA ，bcosC 成等差数列，∴2acosA=ccosB+bcosC由正弦定理知：a=2RsinA ，c=2RsinC ，b=2RsinB代入上式得：2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC ，即2sinAcosA=sin （B+C ）． 又B+C=π﹣A ，所以有2sinAcosA=sin （π﹣A ），即2sinAcosA=sinA ． 而sinA ≠0，所以，由及0＜A ＜π，得A=． （Ⅱ） 由，得，得．由，知．于是，或．所以，或．若，则．在直角△ABC 中，，面积为．若，在直角△ABC 中，，面积为总之有面积为．19.解：（Ⅰ）由a n =2a n ﹣1+2n（n ≥2且n ∈N *）． 得，即{}是首项为，公差d=1的等差数列，则=，数列{a n }的通项公式a n =（2n ﹣1）•2n ﹣1； （Ⅱ）设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n ；∵a n =（2n ﹣1）•2n ﹣1；∴S n =1•20+3•21+5•22+…+（2n ﹣1）•2n ﹣1；2S n =1•21+3•22+…+（2n ﹣1）•2n； 两式相减得﹣S n =1+2（21+22+…+2n ﹣1﹣（2n ﹣1）•2n=1+=﹣3+（3﹣2n ）•2n；∴S n =（2n ﹣3）•2n+3（Ⅲ）∵b n =，∴b n ═（2n ﹣3）•（）n，由，即，解得，即n=4，即数列{b n }的最大项为．20．解：（Ⅰ）221n n n S a n =-，则21(1)(2)23n n S n n --=≥-，两式相减整理得121(2)23n n a n n a n --=≥- 依次得122325n n a n a n ---=-，2325,27n n a n a n ---=-L L 325,3a a =，上面2n -个等式相乘得2213n a n a -=，而23a =，那么21,(2)n a n n =-≥，11a =也满足该式，则21n a n =-.（Ⅱ）212015n a n =-=，则1008n =，前44行共123444990+++++=L ，前45行共1234451035+++++=L ，那么2015应在第45行，第100899018-=列.21．解：2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >. （Ⅰ）(1)(3)f f ''=，解得23a =. （Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >.①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ②当102a <<时，12a >，在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a .③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.④当12a >时，102a<<， 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a 上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a.（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <. 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知， ①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤. ②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减， 故max 11()()22ln 2f x f a a a==---.由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， 综上所述，ln 21a >-.22.解答：（1）证明：连结OA ，在△ADE 中，AE⊥CD 于点E ，∴∠DAE+∠ADE=90° ∵DA 平分∠BDC． ∴∠ADE=∠BDA ∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD ∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90° 即：AE 是⊙O 的切线（2）在△ADE 和△BDA 中， ∵BD 是⊙O 的直径 ∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD 又∵∠BAD=∠AED∵AB=2求得：BD=4，AD=2∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2故答案为：（1）略（2）CD=223.解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=+=•+≤•=3，当且仅当=，即 x=4时，取等号，故实数M=3．（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，∴|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，故不等式的解集为[﹣2，1]．。