三角形中位线定理的运用
专题 三角形中位线定理的运用(原卷版)
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》
专题 三角形中位线定理的运用
【例题1】（2022秋•长沙期中）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，F ，G 分别是AD ，AE 的中点，且FG ＝2cm ，则BC 的长度是（ ）
A ．4cm
B ．6cm
C ．8cm
D ．10cm
【变式1-1】（2022秋•海淀区期中）如图，BD 是△ABC 的中线，E ，F 分别是BD ，BC 的中点，连接EF ．若AD ＝4，则EF 的长为（ ）
A ．32
B ．2
C ．52
D ．4
【变式1-2】（2022秋•莲池区校级期末）如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，BD =√6，若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为（ ）
A ．√2
B ．√62
C ．√63
D ．√3
【变式1-3】（2022春•巨野县校级月考）如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，AE 平分∠CAD ，AE ⊥CD 于点E ，点F 是BC 的中点，若AB ＝10，AC ＝6，则EF 的长为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【变式1-4】（2022秋•南关区校级期末）如图，四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝12，AD ＝5，点M 、N 分别为线段BC 、AB 上的动点，点E 、F 分别为DM 、MN 的中点，则EF 长度的可能为（ ）
A ．2
B ．2.3
C ．4
D ．7
【变式1-5】如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB＝8，AD＝12，则四边形ENFM的周长为．
三角形中位线定理 知识讲解
三角形中位线定理
【学习目标】
1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．
2. 掌握中点四边形的形成规律.
【要点梳理】
要点一、三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个
小三角形的周长为原三角形周长的1
2
，每个小三角形的面积为原三角形
面积的1
4
.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.
【典型例题】
类型一、三角形的中位线
1、（优质试题•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
（1）求证：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．
【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．
三角形中位线定理是什么
三角形中位线定理是什么
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。中位线定理是，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
三角形中位线
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
定理：三角形的中位线平行且相等于第三边的一半。
逆定理：
1、在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
2、在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
梯形中位线
定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
说明
1、要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
2、梯形的中位线是连接两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。
3、两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时三角形的中位线就变成梯形的中位线。
4、三条中位线形成的三角形的面积是原三角形面积的四分之一。
5、三条中位线形成的三角形的周长是原三角形周长的二分之一。
三角形中位线定理的应用
三角形中位线定理的应用
三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好这部分内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习．它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系．就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系．我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用．
一、证明问题
1、证明角相等关系
例1、如图、四边ABCD 中，AB =CD ，M 、N 分别为AD 、BC 的中
点，EF ⊥MN 交AB 于E ，交CD 于F ，求证：∠AEF =∠DFE
分析：欲证：∠AEF =∠DFE ．由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN =∠Q ，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有
1
2
GM AB
∥，12
GN CD ∥，由于AB =CD ，进而有GM =GN ，∠GMN =∠GNM 然后再转化∠EPN =∠Q ，从而证出结论．
证明：延长BA ，CD 分别与NM 的延长线交于P 、Q 连结BD ，
取BD 的中点G ，连结GM 、GN ．∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、AD 的中点∴1
2
GM AB ∥．同理可证：1
2
GN AB
∥，又∵AB =CD ，∴GM =GN ，∴∠GMN =∠GNM ，∵GM //AB ，GN =CD ，∴∠GMN =∠EPN ，∠GNM =∠Q ，∴∠EPN =∠Q ，又 EF ⊥MN ，∴∠AEF =∠DFE （等角的余角相等）
三角形中位线定理的妙用
三角形中位线定理的妙用
三角形中位线定理是三角形相关章节中一个十分重要的定理,其特点是在同一个题设下,有两个结论:一个是表明位置的平行关系,另一个是表明数量的倍分关系。《数学课程标准》明确要求“探索并掌握三角形的中位线定理。”下面本文就三角形中位线定理的运用我谈一点自己的体会。
一、当题目中只有两边中点时,连接这两点或作第三边,构造三角形的中位线
例1:(如图1)
在四边形ABCD中,点E为AB边上的一点,⊿ADE和⊿BCE都是等边三角形,点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点.
求证:四边形MNPQ是菱形.
证明:连接AC、BD.
易证: ⊿AEC≌⊿DEB.
∴AC=BD.
可证MN=PQ= AC,MQ=NP= BD.
∴MN=NP=PQ=QM.
故四边形MNPQ是菱形.
点评:直接利用三角形的中位线定理证明.
练习1:如图2,⊿ABC的中线BE和CF相交于点O,点M、N分别是OB、OC 的中点.试判断四边形MNEF的形状.
二、当已知条件中只有一边中点时,可取另一边的中点,构造三角形的中位线
例2:(如图3)在⊿ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,BD=CE,点G、H分别是BE、CD的中点,直线GH交AB于M,交AC于N.
求证:AM=AN.
证明:取BC的中点P,连接PG、PH,则PG、PH分别是⊿BCE和⊿BCD的中位线.
∴PGCE, PHBD.
∴∠PGN=∠ANM, ∠PHM=∠AMN.
又∵BD=CE.
∴PH=PG.
∴∠PGN =∠PHM.
∴∠ANM =∠AMN.
故AM=AN.
点评:BC在这里起了桥梁的作用,构造了两条中位线.
三角形中位线的性质及应用教案
三角形中位线的性质及应用教案
一、教学目标
1、知识目标：
（1）了解三角形中位线的概念。
（2）明确三角形中位线的性质。
（3）掌握三角形中位线的应用技巧。
2、能力目标：
（1）理解和熟练应用中位线定理。
（2）培养解决数学问题的思维能力和创新意识。
3、情感目标：
（1）培养学生数学思维的兴趣，激发学习数学的热情。
（2）增强学生的团队合作精神和交流能力。
二、教学重难点
1、教学重点：
（1）阐述三角形中位线的概念和性质。
（2）掌握中位线的应用方法。
2、教学难点：
（1）理解和运用中位线的定理。
（2）熟练运用三角形中位线的属性解决问题。
三、教学方法
1、观察法：让学生通过对例题的观察和分析来深入理解中位线的定理。
2、案例法：让学生通过具体实例来掌握中位线的应用技巧。
3、归纳法：通过对不同例子中的公共特征进行归纳，在学生中形成“总结规律”的思维方式。
四、教学步骤
1、引入：通过给出一个有关三角形的问题，引发学生对中位线的思考。
2、概念讲解：讲解三角形中位线的概念，定义和性质。
3、定理讲解：讲解中位线定理及其证明过程。
4、中位线属性的讲解：
（1）重心与中心重合。
（2）中位线中点与三角形三顶点连线相等。
（3）中位线可以将三角形分为两个面积相等的三角形。
5、案例分析：
（1）三角形边长分别为3,4,5，求其中位线长度。
（2）在等边三角形ABC中，BE为中位线，取三角形FEB，此三角形上一个高为3，则等边三角形ABC面积是多少。
6、练习：
实际情景下进行相关练习。
7、总结：对本节课的中位线及其应用进行总结概括。
五、教学工具
三角形中位线八种证明方法
三角形中位线八种证明方法
一、定理：对任意三角形ABC，若∠A≡∠B≡∠C，三条边都相等，则三角形ABC的位线是平行的。
二、证明：
1、依据角平分线定理，若在三角形中两个角A、B相等，则AB上的角平分线交于边BC上的点M，于是构成ABM与ACM两个三角形，由于∠A≡∠B≡∠C，得AB等于AC，BM 等于CM，则ABM等于ACM，即ABM // ACM，故三角形ABC的位线是平行的。
2、假设三条边AB、AC、BC相等，则可将三角形ABC移动到某一位置（如半平面），使得三边都分别与某一已知直线平行，即三角形ABC的位线就是平行的。
3、由锐角三角形两边相乘减去两个角的平方的定理知，若ABC是一个锐角三角形，则有AB*AC*BC=2(AC*BC+BC*AB+AB*AC)，由此可知，对于等边三角形来说，有
AB*BC=(AC*BC+BC*AB+AB*AC)，即AB//BC；同理可得，AC//BC，由此证明位线是平行的。
4、由正三角形内角和为180°的边长比例定理可以得，对于正三角形ABC来说，有1336:a:b:c=1:1:1，由此可以得出结论：三边中任意两边之比等于三个顶点之比，故位线平行。
5、由正三角形外接圆半径的理论可得，当三角形ABC的三条边相等时，其外接圆必定是一个圆，因为，三条边相等，外接圆有唯一的半径，这说明，ABC和它的垂心圆O有四个公共点D、E、F、G，则DF // EG // AB // AC // BC，由此可知位线互相平行。
6、依据反三角形定理，若∠A≡∠B≡∠C，那么连接三边上中点之间这三条线互相平行，故位线互相平行。
三角形中位线定理的活用
三角形中位线定理的活用
三角形中位线定理是一种算术定理，它将三角形的一边长于两外边
之和这一定理推广到三条边的总长上：在三角形的任何一边上，到另
外两边的中点的距离相等。这个定理可以用来解决各种问题。
1. 求出某边的一般位置：首先，在三角形的三条边上分别找出第三边
的两个中点，然后连接两个中点，其中所得的线段就是第三边对应的
一般位置；
2. 求出某边到另外两边中点的距离：以某边为基准，将其分隔成等份，计算出每一等分时距离中点的距离就可以得到。
3. 验证某个三角形是否符合三角形中位线定理：将每一条边分隔成两半，分别计算出部分到另外两顶点的距离，如果计算出的距离都相等，则可以证明该三角形符合三角形中位线定理。
三角形中位线的定理
三角形中位线的定理
三角形中位线的定理
引言
三角形是初中数学学习中的重要内容，而在三角形的研究中，中位线是一个重要的概念。本文将介绍三角形中位线的定理，包括定义、性质和证明等方面。
第一部分：定义
1. 什么是中位线？
在三角形ABC中，连接AB的中点D和连接AC的中点E所组成的线段DE叫做三角形ABC的中位线。
2. 中位线有哪些基本性质？
（1）一个三角形有三条中位线；
（2）每条中位线都平分对边；
（3）每条中位线与对边垂直。
第二部分：定理及证明
3. 什么是三角形中位线定理？
在任意一种平面几何图形当中，如果两个向量之和等于另一个向量，那么这两个向量所对应的两个边平行。
4. 证明：
（1）首先，连接BD和CE，则由定义可知BD和CE都是ABC的半径。
（2）因为BD = AD 和 CE = AE, 所以 BD = CE.
（3）作DE交BC于F，则由割圆法可知DF = FB 和 EF = FC.
（4）因为DF + EF = DE, 所以 FB + FC = BC.
（5）由（4）可知，FB和FC所对应的两个边平行，即BD || CE.
（6）同理可证出其他两条中位线所对应的两个边也平行。
5. 总结
三角形中位线定理是初中数学学习中的重要内容，通过本文的介绍，我们了解了中位线的定义、性质和定理，并且掌握了证明方法。在实际问题中，我们可以利用这一定理来解决一些与三角形相关的问题。
三角形中位线定理
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
运用这个定理，可以证明线与线的平行关系；证明线段之间的相等或倍分关系；还可将分散的已知条件集中起来发挥作用。
例1：如图P3-3，已知△ABC中，D是AB中点，O是CD中点，BO延长后交AC于E．
证明：取AE中点F，连结DF．
∵D是AB中点，
∵O是CD中点，
例2：已知：如图P3-4，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、DC的中点，延长AD、MN交于E，延长BC、MN交于F．
求证：∠AEM=∠BFM．
证明：连BD，取中点O，连ON、OM，在△ABD与△BDC中，M、O为AB、BD边中点；N、O为DB、DC
边中点．
∵AD=BC．
∴OM＝ON．
∴∠1＝∠2．
而∠1=∠BFM，∠2=∠AEM，
∴∠AEM＝∠BFM．
例3：选择题：
(1)一个三角形三个内角度数的比为1∶2∶3，则这个三角形是 [ ]
(A)锐角三角形 (B)钝角三角形
(C)直角三角形 (D)无法确定
解：(C)．设三个内角的度数分别为k、2k、3k，24
根据三角形内角和定理，有
k+2k+3k＝180°
解得 k=30°．
∴三角形的三个内角分别为30°、60°、90°．
故选(C)．
(2)如果等腰三角形的顶角为40°，那么其中一个底角的度数为[ ]
(A)50° (B)70°
(C)100° (D)140°
解：(B)．
(3)钝角三角形的三条高 [ ]
(A)相交于三角形内部的一点
(B)相交于大边上的一点
(C)相交于三角形外部的一点
(D)不能相交于一点
解：(C)．
(4)在△ABC中，AB＞BC＞CA，那么在①∠C=60°，②∠B=60°，③∠A=60°中，可能成立的是 [ ]
三角形的中线及中位线性质的运用举例
直角三角形斜边上中线性质的运用
在直角三角形中有这样一个十分重要而又运用广泛的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.下面就这一性质的应用举例说明.
例1 如图1，已知，△ABC 中，CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D ，BM ＝CM .求证：ME ＝MD .
分析 要证明ME ＝MD 首先想到的要证明两个角相等，可没有足够的条件，但有中点和垂线，于是想到通过辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质证明.
证明 延长DM 与CE 交于N .因为CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D ， 所以CE ∥BD ，即∠NCM ＝∠DBM ，
又∠CMN ＝∠BMD ，BM ＝CM ，所以△CMN ≌△BMD ， 所以NM ＝DM ，即M 为ND 中点.
因为CE ⊥AD 于E ，所以△NED 为直角三角形，
所以ME ＝1
2
ND ，所以ME ＝MD .
例2 如图2，BD 、CE 是高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点，求证：FG ⊥DE .
分析 有三角形高就会想到直角三角形，有中点当然会联想到直角三角形斜边上的中点性质和等腰三角形的性质，于是，连结DG 、EG ，可得DG 、EG 分别是Rt △BDC 和Rt △BEC 的中线，可知△GDE 是等腰三角形，进而由F 是DE 的中点，即FG ⊥DE .
证明 因为BD 、CE 是高，所以∠BDC ＝∠BEC ＝90°， 即△BDC 和△BEC 都是直角三角形. 又因为G 是BC 的中点，所以DG ＝EG ＝
1
2
BC ，即△GDE 是等腰三角形. 因为F 是DE 的中点，所以GF 是等腰三角形GDE 的底边DE 上的中线， 所以由等腰三角形的“三线合一”，得GF 也是底边DE 上的高线，
三角形中位线定理的作用
三角形中位线定理的作用
三角形中位线定理是三角形几何中的一个重要定理，它描述了三
角形中位线的性质和关系。这个定理在解决三角形相关问题时具有重
要的作用，可以帮助我们更好地理解和分析三角形的性质。
首先，让我们来了解一下什么是中位线。在一个三角形中，中位
线是连接每个顶点与对边中点的线段。一个三角形有三条中位线，它
们互相交于同一个点，这个点被称为重心。
根据中位线定理，三角形的每条中位线长度等于对边的长度的一半。也就是说，如果我们将三个中位线分别记作m1、m2和m3，三角形对应的边分别为a、b和c，那么我们有以下的关系式：m1 = 0.5a，m2 = 0.5b，m3 = 0.5c。
中位线定理的一个重要性质是，三角形的重心是三条中位线的交点。重心是三角形的一个特殊点，它将三角形分成六个小三角形，每
个小三角形都有相同的面积。这个性质对于计算三角形的面积非常有用，我们可以通过计算其中一个小三角形的面积并乘以6来得到整个
三角形的面积。
通过应用中位线定理，我们可以解决一些与三角形有关的问题。
例如，我们可以利用中位线定理计算三角形的面积、判断一个点是否
在三角形内部、证明三角形的相似性等等。中位线定理是用来辅助证
明其他定理的重要工具，通过应用中位线定理，我们可以更好地理解
和应用其他几何定理。
除了在解决具体问题时的指导作用，中位线定理还有一些直接的实际应用。例如，在建筑工程中，我们需要确定三角形的重心以便在建造支撑结构时找到合适的平衡点。此外，中位线定理还可以应用于计算机图形学、地理学等领域。
总之，三角形中位线定理是一个在解决三角形相关问题时非常有用的定理。它帮助我们理解了三角形中位线的性质和关系，并可以用于解决一系列与三角形有关的问题。通过应用中位线定理，我们能够更好地分析和理解三角形的性质，推导出其他重要的几何定理，以及在实际应用中应用相关概念和方法。
三角形中位线的性质及其应用探析
数学篇
数苑纵横
三角形中位线的性质是平面几何中的一个重要定理.该定理的结论既包含两线段所在直线的位置关系，又包含两线段之间的数量关系，在解答平面几何问题中有着广泛的应用．在运用三角形中位线的性质解题时，有时需要运用平行关系，有时需要运用倍分关系，可以根据具体情况，按需选用.下面结合例题予以说明.
一、三角形中位线的定义和性质
三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形有三条边，所以三角形的中位线应该有三条，如
图1所示：如果点D 、
E 、
F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，那么线段DE 、EF 、FD 都是三角形的中位线.
三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.由此不难得到三角形的中位线与第三边的关系：(1)位置关系：三角形的中位线与第三边互相平行，如在图1中，有DF ∥BC ；(2)数量关系：三角形的中位线等于第三边的一半，如在图1
中，有DF =1
2
BC
.
图1
二、三角形中位线的性质在解题中的应用中位线的性质在解三角形问题时通常有以下三种用途：第一种是用于三角形的线段长度的计算；第二种是证明线段间的位置关系或由位置关系得出角之间的关系；第三种是求解三角形内线段间的和、差、倍分关系．
1.利用三角形中位线的性质证明角相等由于三角形的中位线与三角形第三边之间存在平行的位置关系，因此，在证明两个角相等的时候，就可以借助或构造三角形的中位线，利用两直线平行，同位角及内错角相等来证明.这样既快捷，又简便.
例1如图2，
四边形ABCD 中，AB =CD ，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，GH ⊥EF 交于点P .延长BA ，FE 相交于点Q ，延长CD 交FE 的延长线于点K ，求证：∠AGH =∠DHG
三角形中位线定理的运用
教学案例:《三角形中位线定理教学设计》
⒈创设问题情境,诱导学生发现结论
⑴怎样测算操场中被一障碍物隔开的两点A、B的距离?小明测量的方法是:在AB外选一点C,连结AC、BC,取AC、BC的中点M、N。连结MN,量出MN=20m,这样能算出AB的长吗?AB与MN有何关系?经观察,你猜测
AB与MN的关系是:①②。
⑵MN这条线段既特殊又重要,我们把它叫做△ABC的
中位线。即连结三角形两边点的线段叫三角
形的。
⑶一个三角形有条中位线,画出图4的三角形的所有中位线,观察、测量发现:
( )∥( ),( )=( )；( )∥( ),( )= ( )；( )∥( ),( )=
( )。用语言叙述上述结论:三角形的中位
线并且 .
⑷再画出图2的△ABC的三条中线,它与中位线有何区别?
说明:⑴以上内容让学生按印发的学习提纲在课前完成。⑵三角形中位线定义的引入、定理的结论课本是直接给出的,这不符合过程性原则.我们①以“应用性问题”导入,揭示了数学知识在生产、生活中的广泛应用,强化学习动机,变“要我学”为“我要学”;②让学生通过实验操作、观察比较、估计猜测,自己发现结论,
这可培养学生对数学的内在兴趣,让学生认识到数学不是少数天才创造的,而是经过努力一般人都可以发现的,数学来源于现实世界,而又是解决实际问题的有力工具,符合从“感性到理性”的认识规律。
⒉创设思维情境,启导学生发现证明结论的思路和方法
⑴检查课前自学情况。教师提问有关问题,学生回答,并用多媒体展示答案。
⑵教师指出:同学们观察发现的这些结论是否正确,还需严格证明。教师板书,学生在提纲上写已知、求证。
三角形中位线定理应用
谢谢
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三角形中位线
星月组
2、如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交 于点O，OE∥BC交CD于E，若OE=3cm，则AD的长为 （）
A、3cm B、6cm C、9cm D、12cm
三角形中位线
恬轩组
3、如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中 点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC， ∠PEF=18°，则∠PFE的度数是 ＿＿＿
三角形中位线
猎鹰组
4、如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是 AB，CD，AC，BD的中点，并且点E，F，G，H不在同 一条直线上，求证：EF和GH互相平分
三角形中位线 曙光组
5、如图，在△ABC中，E为AB的中点，CD平分 ∠ACB，AD⊥CD于点D。
求证：（1）DE∥BC；（2）DE=（12 BC—AC）
D
E
∴ DE∥BC; 位置关系
DE= 1 BC. 数量关系
B
C
2
三角形中位线定理推论
过三角形的一边中点，作另一边的平行线，必
平分第三边。 A
用符号语言表示 ∵AD=DB DE∥BC
D
E
∴ AE=EC; 数量关系
DE= 1 BC. 数量关系
B
C
2
三角形中位线
东方组
三角形中位线定理的运用(绝对经典)
三角中位线定理的应用
中位线的性质：平行与第三边，并且等于第三边的一半。三角形有三条中位线，最终将三角形分成四个全等三角形。能够造出三个平行四边形，
其中平行四边形的周长恰好等于三角形长两边之和。
中位线与第三边上的中线互相平分。利用的是平行四边形的对角线互相平分。三角形的中位线围成的三角形跟原三角形形状一样，周长是原来的一半，面积是原来的1/4，中位线的应用测距，
中位线的定义，经过三角形两边中点的连线。中线指的是一顶点与对边中点的连线。
中线性质，中线将三角形分成面积相等的两部分
（等底同高面积相等）
知识要点：三角形的中位线平行于三角形第三边，并且等于第三边的一半.1.三角形三条中位线围成的三角形与原三角形在某些数量上的关系（形状一样/相似）
⑴.周长关系三角形的三条中位线围成的三角形的周长是原三角形的周长的一半.⑵.三角形的三条中位线围成的三角形的面积是原三角形的面积的
4
1
.2.
中点四边
顺次连结四边形四边中点所构成的四边形，我们把它简称为中点四边形.
中点四边形的特殊性主要是看原四边形的对角线的特征，分为下面几种情况：
任意四边形的中点四边形是平行四边形。
对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；
对角线垂直的四边形的中点四边形的是矩形；
对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形。
中位线与第三边上的中线互相平分。利用的是平行四边形的对角线互相平分。1、已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形， 再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（）
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教学案例:《三角形中位线定理教学设计》
⒈创设问题情境,诱导学生发现结论
⑴怎样测算操场中被一障碍物隔开的两点A、B的距离?小明测量的方法是:在AB外选一点C,连结AC、BC,取AC、BC的中点M、N。连结MN,量出MN=20m,这样能算出AB的长吗?AB与MN有何关系?经观察,你猜测
AB与MN的关系是:①②。
⑵MN这条线段既特殊又重要,我们把它叫做△ABC的
中位线。即连结三角形两边点的线段叫三角
形的。
⑶一个三角形有条中位线,画出图4的三角形的所有中位线,观察、测量发现:
( )∥( ),( )=( )；( )∥( ),( )= ( )；( )∥( ),( )=
( )。用语言叙述上述结论:三角形的中位
线并且 .
⑷再画出图2的△ABC的三条中线,它与中位线有何区别?
说明:⑴以上内容让学生按印发的学习提纲在课前完成。⑵三角形中位线定义的引入、定理的结论课本是直接给出的,这不符合过程性原则.我们①以“应用性问题”导入,揭示了数学知识在生产、生活中的广泛应用,强化学习动机,变“要我学”为“我要学”;②让学生通过实验操作、观察比较、估计猜测,自己发现结论,
这可培养学生对数学的内在兴趣,让学生认识到数学不是少数天才创造的,而是经过努力一般人都可以发现的,数学来源于现实世界,而又是解决实际问题的有力工具,符合从“感性到理性”的认识规律。
⒉创设思维情境,启导学生发现证明结论的思路和方法
⑴检查课前自学情况。教师提问有关问题,学生回答,并用多媒体展示答案。
⑵教师指出:同学们观察发现的这些结论是否正确,还需严格证明。教师板书,学生在提纲上写已知、求证。
⑶启导全班学生思考、讨论证法,教师巡视与学生一起研究,收集信息,了解情况。
①本题与以前学过的哪些知识、方法有关?是什么关系?学生进行联想,回答。△ADE与△ABC有何关系?若过D作平行于BC的直线,发现什么(用多媒体演示)?②怎样证一条线段等于另一条的一半?学生回答:截(把长的平分)与补(把短的加倍)。经过探讨,学生不难发现以下三种证法:(过程略)
证法㈠:利用相似三角形证法㈡: 证法㈢:
说明:定理的证明,不拿现成的方法给学生,而是创设思维情境,启导学生“联想”到学过的有关知识和方法,使新旧知识得到顺利同化,并引导学生展开讨
论,实现思维交锋,智力杂交,这大大激发了学生的求知兴趣,让他们体验到成功的喜就应让学生独立完成,加大学生的参与度,对提高学生的独立表达能力大有好处。
⒋精讲总结,理性归纳
⑴教师引导学生分析定理的特点:题设:两个“中点”;结论:“平行”,“一半”。
⑵再指出:凡是与“中点”、“平行”、“线段倍分”有关的问题可考虑使用此定理。
说明:帮助学生揭示定理的本质特征,为灵活运用定理作准备。
⒌精心设计练习,进行变式训练
悦,数学思维能力在这一过程中得到了有效的发展。
⒊释疑解惑,引导学生独立完成证明
⑴要求A组同学选做一种证法,B组同学任选两种证法,C组同学三种证法都做,尖子生能发现新的证法或问题;⑵两人板演;⑶教师巡视,注意帮助学困生,并收集有关信息。
说明:传统教学的证明过程都是由教师完成,这不符合了主体性原则。既然学生已经知道怎样解,⑴引导学生观察图8,问:可发现哪些新的结论?让学生抢答,注意简单的结论先让A组或B组同学回答,不明显的结论让C组同学补充,给各类学生提供表现才能的机会,并及时给予表扬与鼓励。结论有:3个平行四边形;4个小三角形全等;小三角形的周长为原三角形的一半,面积为原三角形
的四分之一。这些结论很重要,若学生没全部找出,可稍加提
示。
⑵这个问题能否进行推广?若把△ABC改为四边形ABCD,
又发现什么结论(见图9)。让学生抢答,原则同上。结论有:EFGH为平行四边行;EG与FH互相平分;EFGH的面积为ABCD的一半等。
⑶学生思考如何证明四边形EFGH为平行四边形?(另两个结论是否进行证明根据实际情况而定)
教师启导:①由条件“4边的中点”,可联想到什么知识?是否有三角形的中
位线?
②EF是哪个三角形的中位线?FG、GH、HF呢?学生马上意识到要连“对角线”。
⑷抢答:让三个学生先后口述证明(证法不同)过程,教师板书或用多媒体演示。
⑸教师指出:三角形中位线定理的两个结论可选用一个或两个都用。
⑹变式训练:①若四边形ABCD是平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形,则四边形EFGH分别
是、、、、 ;
②为使四边形EFGH为平行四边形、矩形、菱形、正方形,则原四边形ABCD 必须满足什么条件?教师用《几何画板》在计算机上拖动一个顶点让四边形进行变化,学生观察发现结论,教师问其理由;
③引导学生总结规律:四边形EFGH的形状是由什么决定的?(AC与BD,而与四边形ABCD的形状并没有直接联系)。
说明:①把课本练习3与例1两个孤立的问题结合在一起,体现了数学知识之间的联系,用联系、运动、变化的观点去研究各问题之间的转化,展示给学生一个动态的知识“生长”过程,促进学生新认知结构的形成与发展;②把它们改编成开放性问题,让学生有更广阔的思维空间,提供一个有利于群体交流的活动环境,让师生思维双向暴露,符合活动性原则;③再次体验研究数学的思想方法。
⒍课堂小结(以问题形式进行)
⑴教师引导:三角形中位线定理能否进行拓广?
⑵若把“中点”改为“三等分点”,如图10,D、
F与E、G分别是△ABC边AB、AC的三等分点即
AD=DF=FB,AE=EG=GC,则DE、FG、BC之间有何关系?
⑶若把三角形改为四边形,是否也有中位线?哪些四边形有中位线?有什么性质?
⑷请同学看提纲的作业补充思考题⑵(如图11),让学生思考,教师作启导:
①教师:M为BC的中点可联想到哪些知识?
学生:三角形中位线、直角三角形斜边上的中线等;
②教师:有没有符合三角形中位线定理的条件?学生:没有,欠一个中点;
③教师:怎么办?学生:再取一个中点;
④教师:另一中点可取在哪一边上?学生:AB或AC上。
说明:采用两个思考题进行小结,打破传统小结方法。这是因为:⑴三角形中位线定理不难记,难的是如何创造性地应用;⑵把定理进行引伸,让学生余味未尽,带着问题回家,并为下节课研究“梯形中位线”做好铺垫,一举两得。