§3 逆矩阵
第三章 矩阵的逆
唯一性： 是可逆矩阵， 的逆矩阵唯一. 唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵唯一 是可逆矩阵 的逆矩阵唯一 证明： 证明： 设B、C都是 的逆矩阵，则 都是A的逆矩阵 、 都是 的逆矩阵，
AB = BA = E ,
AC = CA = E
⇒ B = EB = (CA) B = C ( AB) = CE = C.
逆矩阵的求法二： 逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
A11 ∗ A12 A = M A1n A21 A22 M A2 n L L M L An1 An 2 , M Ann
(1)
A
−1
1 ∗ = A , A
其中 A * 为A的伴随矩阵。 的伴随矩阵。 的伴随矩阵
2a + c 2b + d 1 0 ⇒ = − b 0 1 −a
a = 0, 2a + c = 1, b = −1, 2b + d = 0, ⇒ ⇒ c = 1, − a = 0, d = 2. − b = 1,
又因为
BA AB 2 1 0 − 1 0 − 1 2 1 1 0 , = = − 1 0 1 2 1 2 − 1 0 0 1
所以
0 − 1 A = . 1 2
−1
0 A 例： 设n阶矩阵 及s阶矩阵 都可逆，求 阶矩阵A及 阶矩阵 都可逆， 阶矩阵B都可逆 阶矩阵 . B O X 11 X 12 解：设所求逆矩阵为 , X 21 X 22
∴ A 存在
−1
A
−1
A∗ = A
0 0 0 0 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5 1⋅ 3⋅ 4⋅ 5 0 0 0 0 1 = 0 0 1⋅ 2⋅ 4⋅ 5 0 0 5! 0 0 1⋅ 2⋅ 3⋅ 5 0 0 0 0 0 0 1⋅ 2⋅ 3⋅ 4
第三节 逆矩阵
A21 A22 A2 n
An 1 An 2 * , 称 A 为 A 的伴随矩阵。 Ann
2012-6-16
定理2.3
A 0 A 可逆，且 A
1
A
*
A
其中
A 为 A 的伴随矩阵。
*
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证明
AA
1
A 显然 A 0， 有意义。 A
0 A 0 0 0 I A
AA
1
A 1 1 0 * AA A A 0
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定理2.4 定理2.5 定义2.13
若 若
2012-6-16
A可逆
A 0.
A不可逆 A 0 .
3 0 1 1 2 2 5 3
1
3 A 5
1 2
3 B 0 1
1 2 3
2 5 A A
*
1 ，从而 3
X BA
1
1 1 10 3 13
A 21 A A 22 A A 23 A
A 31 A A 32 A A 33 A
2012-6-16
8 5 1
29 18 3
A11 A 11 A 7 12 A 1 A13 A
* 1
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四、小结与思考
逆矩阵的概念及运算性质.
逆矩阵 A 1 存在 A 0 . 逆矩阵的计算方法
1 待定系数法 ;
2 利用公式 A 1
高等代数3-3矩阵的逆
... 0 A En ... A
A A
*
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
... An1 a11 ... An 2 a 21 ... Ann a n1
a12 a 22 an2
即矩阵A的逆矩阵是唯一的 .
B1 B1 E B1 ( AB2 ) ( B1 A )B2 EB2 B2
由于A的逆矩阵是唯一的，将A的唯一的逆矩阵记为 A1
则有
AA1 A1 A E
3. 单位矩阵E是可逆矩阵,且E 1 E .
4. 零矩阵O不是可逆矩阵.
a1 0 ... 0 0 a2 ... 0 例A 0 0 ... a n 其中 a1a2 ...an 0 a1 0 0 a2 0 0
可逆
1 0 3 0 1 A 1 2 3 1 2 3 3
1
1 3 A 2 6
A 0
不可逆
用公式法求二阶矩阵的 逆矩阵非常方便 .
a b 1 d d 1 若A , 且 A 0, 则 A . A c a c d
已知方阵A满足A3 A2 4 A 5 E O ,则( A 2 E )1 ________.
A2 A 2 E
1 2 0 已知AB B A , 其中B 2 1 0 ,则( A E )1 __________. 0 0 2
( A E )( B E ) E ( A E )1 B E
1 ( A 2E ) 2 1 例5 已知方阵A满足A A 4 E O ,则( A E ) __________. 2
线性代数-逆矩阵
=
6
2 0 0
0 4 0
0 1 0 −0 7 0
0 1 0
0 0 1
−1
=
6
1 0 0
0 3 0
0 −1
0 6
1 0 0−1 1 0 = 6 0 3 0 = 6 0 1 3
0 6 0 0 0 = 0 2 0.
0 0 6 0 0 1 6 0 0 1
1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
证明 由A2 − A − 2E = 0,
A−1
得A(A − E ) = 2E ⇒ A A − E = E
2 ⇒ A A − E = 1 ⇒ A ≠ 0, 故A可逆.
2
∴ A−1 = 1 (A − E ).
2
又由A2 − A − 2E = 0
⇒ (A + 2E )(A − 3E ) + 4E = 0
1 5 − 11
123 1 2 3
解
A = 2 1 2= 0 −3 −4
133 0 1 0
12 3 = 0 − 3 − 4 = − 3 − 4 = 4≠ 0, 所以A可逆.
01 0 1 0
A11
=
1 3
2 = −3, 3
A12
=
−
2 1
2 = −4, 3
A13
=
2 1
1 = 5, 3
同理可求得 A21 = 3, A22 = 0, A23 = −1, A31 = 1, A32 = 4, A33 = −3.
1 1
−1 1
1 1 0X1
−1 1
1 4 0 = 0
2 −1
3 5
2 1 1 3 2 1 2 1 1
线性代数-逆矩阵
b 2 :
a m1
a m2
...
a mn
x n
b m
线性方程组 可记为AX=b.
A
Xb
对线性方程组AX=b, 若A为可逆方阵, 则方 程组有唯一解, 可得 X=A-1b.
例5 解线性方程组 解 写成矩阵形式
y 2z 1 x y 4z 1. 2x y 2
0 1 2 x 1 1 1 4 y 1. 2 1 0 z 2
练习 设方阵A满足A2–A–2E=0, 证明A, A+2E 都可逆, 并求其逆矩阵.
解: 由A2–A–2E=0A(A –E)=2E |A||A –E|0 A可逆, 且A-1= (A –E)/2.
由A可逆及A+2E=A2 A+2E可逆.
(A+2E)-1= (A –E)2/4或(3E –A)/4.
例4 设A为满秩方阵, 且AB=0. 证明: B=0.
证明 A是满秩矩阵即A是可逆矩阵, 这样
A-1(AB)=A-1•0=0.
另外 A-1(AB)=(A-1A)B=EB=B.
因此B=0.
在矩阵乘法之中我们知道若AB=0一般不能 得到A或B中至少有一个为零矩阵. 但当A, B 之中有一个为满秩方阵时, 由本例证明, 另 一个一定为零矩阵. 在以后的学习中我们还 会得到更一般的结论.
同理B-1 =A.
逆矩阵的性质
性质1 若A可逆，则A-1 可逆，且(A-1 )-1=A. 性质2 若A,B可逆, 则AB可逆,且(AB)-1=B-1 A-1. 性质3 若A可逆, 则 | A1 || A |1 1 .
| A| 性质4 若A可逆, 则(A-1)=(A)-1.
性质5 若A可逆, 数k0, 则 (kA)1 1 A1. k
矩阵的逆
证 由P41 例 9 可知
5. A 是可逆矩阵的充分必要条件是 是可逆矩阵的充分必要条件是|A|≠0 ． （充要） 充要） 6. 设 A 是 n 阶矩阵，如果 阶矩阵，如果|A|≠0 , 那么 称为非奇异矩阵 那么A称为非奇异矩阵 称为非奇异矩阵. A 是可逆矩阵的充分必要条件是 为非奇异的． 是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异的 为非奇异的． 例1 判断下列矩阵
也可逆， （3）设A ,B 为同阶可逆 则 AB 也可逆，且 ） 矩阵, 矩阵 ( AB ) −1 = B −1 A−1 .
− (4)若A可逆，则 AT 也可逆，且（AT）1 = ( A−1 )T . 证 2.设A可逆, 数λ ≠ 0. 因为
λ
(λA)(
1
可逆， 所以λ A可逆， （ λ A ) − 1 = 且
1 0 例1 设 A = −1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 −1 2 ,B = 1 0 2 1 0 1 0 1 −1 −1 0 0 ，求AB. 1 1
解 把 A，B 分块成
1 0 A= −1 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 = 0 1
0 0 1 1
0 0 2 4
的逆矩阵。 的逆矩阵。
. −1 A2
A T= 1
A 1 −1 ，所以 T −1 = A2
A1 = 2 1 5 3
A2 = 1 2 1 4
A1−1 = 3 − 1 − 5 2
1 2 3
所以A 为可逆矩阵， 是不可逆矩阵 是不可逆矩阵． 所以 为可逆矩阵，B是不可逆矩阵．
性质 7. 设 A, B 都为 n 阶矩阵 , 若 AB = E（或 B A = E）， （ ）， 为可逆矩阵， 则 A 为可逆矩阵，且 B = A - 1 . 因为|A||B|=|AB|=|E|=1, 所以 |A|≠0 ， 因而 A−1存在. 证 因为 于是 −1 −1 −1 = A −1 E = A . B = EB = ( A A) B = A （AB） 例2 所以 因为
二阶、三阶矩阵逆矩阵的口诀
求二、三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀1、问题的提出在各类理工科的课程中，往往有求解矩阵逆矩阵的问题，题目本身虽然简单，但是如果按照教材给出的方法计算的话，要费一些时间，更可怕的是计算过程难免有误，容易造成结果出错。
经过一些研究，我们发现，大部分求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三阶矩阵的逆。
针对此问题，给出学生相应的记忆口诀，帮助学生快速求解。
2、知识储备1.1对于n 阶方阵，如果同时存在一个n 阶方阵，使得AB=BA=E 则称A 阵可逆，并把方阵B 成为方阵A 的逆矩阵，记作A -11.2n 阶行列式A 的各个元素的代数余子式构成的矩阵，叫做A 的伴随矩阵，如下：1.3方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，当A 可逆时，*1A A A -= 3、二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：主对调，次换号，除以行列式推导：假设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,,,a b c d R ∈，且A 可逆，那么根据知识储备1.2*d b A c a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦所以呢，*1d b c a A A A A--⎡⎤⎢⎥-⎣⎦== 4、三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：除以行列式，别忘记。
去一行，得一列，二变号，余不变，2313121） 整体要除以行列式，不能忘记2） 去掉第一行，得到矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列3） 所求得的逆矩阵的第二列是按照231312规律得到数字加了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号对于三阶矩阵33,ab c A de f A R g h i ⨯⎡⎤⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且A 可逆 1()1()()ei hf bi hc bf ce A fg id cg ia cd af A dh ge ah gb ae hd -----⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（1） 先分析公式（1）的第一列，研究如下表格公式（1）矩阵的第一列是表1所有元素的组合，组合规律称为（231312规律）Step1:表格1第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列得到ei,fg,dhStep2：表格1中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列得到hf,id,geStep3：由step1得到的数据减去step2得到的数据，得到公式（1）的第一列。
1-3 逆矩阵
1
BA
1 2 2 1
1 . 2
1 1 0 0
0 , 1
所以
0 1
逆矩阵的运算性质
1 若 A 可逆 , 则 A 亦可逆 , 且 A
1 1 1
A.
2 若 A 可逆 , 数 0 , 则 A 可逆 , 且
0
A
k
A
1 k
.
k 为正整数
当 A 为可逆矩阵时
, , 为整数时 , 有
A A
A
,
A
A
.
四、小结
逆矩阵的概念及运算性质.
逆矩阵 A 1 存在 逆矩阵的计算方法
1 待定系数法 ;
2 利用公式
A
1
A 0 ( 后边会讲 ).
A
( 后边介绍 );
A
3 初等变换法 后边介绍 .
A
1
1
3 若 A , B 为同阶方阵且均可逆
AB 1 1 B 1 A
A
1
.
, 则 AB 亦可逆 , 且
证明
AB B 1 A 1 A BB 1 A 1
AEA
AB
1
1
AA
1
E,
B 1 A 1 .
一、概念的引入
在数的运算中，当数a 0 时， 有
aa
1
a a 1,
1
其中
a
1
1 a
为 a 的倒数， （或称 a 的逆）；
在矩阵的运算中， 单位阵 E相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A ， 如果存在一个矩阵A 1, 使得 则矩阵 A
第3节 可逆矩阵
1
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
求解矩阵方程时，一定要记住：先化简，再求解。
1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4
阵.
调换主对角元
A
d c
b a d b c a
次对角元调符号
用 |A| 去除
1 d b c a |A|
适 阵 用 对 于 二 阶 以 上 的 矩 阵 不 ,
注
此 法 仅 适 用 于 二 阶 矩
.
所以逆阵为
…,
1 0 0 2n ,
n
故
1 2 1 0 1 4 2 A 1 4 0 2 n 2 1 1 1 1 2 n 1 4 2 n2 1 2 1 1 2 1 4 2 n 1 2 n 1 2 n2 n2 2 4 2 2 2
0 2 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 4 0
0 0 0 求 A 1 . 0 5
解： 因 A 5! 0,
故A1存在.
A 由伴随矩阵法得 A1 , A
0 0 0 3 4 00 0 2 1 5 0 0 0 1 2 4 5 0 0 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 4 0 3 0 5 00 . 0 5! 0 0 0 0 0 1 41 2 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 1 2 3 4 0 0
逆矩阵
1 2 3 4
2, A11 4, A12 3, A21 2, A11 1
2 1 4 2 1 A 1 , A 3 3 1 2 2
§3
解法二
逆矩阵
a b 设 B 是A的逆矩阵, c d
(1)矩阵A的两个多项式φ(A) 和f (A)是可换的,即 φ(A) f (A) = f (A) φ(A) , (2)如果A =P∧P-1,则Ak =P∧kP-1,从而φ(A) = Pφ(∧)P-1,
§3
( ) a0 E a1
逆矩阵
am m n 1m am n m
所以A 的逆矩阵是唯一的.
A的逆阵记为A-1,即 AA-1=A-1A=E
§3
例
逆矩阵
1 A 1 2 2 , B 1 4 2 1 1 , 2
1 0 1 0 AB , BA 0 1 0 1
2 A1 1 2 1 , B 1 1 2 1 1 4 2
2 m
§3
逆矩阵
例 设方阵A满足方程A2 - A -2E=0,证明A, A+2E 都可逆,并求它们的逆矩阵. 解 (1) 可得 A2 - A -2E=0 A(A - E)=2E
1 A ( A E ) E, 2 因此A可逆。
§3
(2)
逆矩阵
A2 - A -2E=0
可得(A+ 2E)(A -3E)+4E =0
(3)如果∧=diag (λ1, λ2 , ∙ ∙ ∙ λn )为对角矩阵,则∧k=diag (λ1k, λ2k , ∙ ∙ ∙ λnk),
2-3逆矩阵
v 逆矩阵的概念第三节逆矩阵v 逆矩阵的性质v逆矩阵的求法,111==--a a aa ,11E A A AA ==--则矩阵称为的可逆矩阵或逆阵.A 1-A 在数的运算中，当数时，0¹a 有aa 11=-a 其中为的倒数，a （或称的逆）；在矩阵的运算中，E 单位阵相当于数的乘法运算中的1，A 所以，对于方阵，1-A 如果存在一个矩阵,使得概念的引入一、逆矩阵的概念定义对于n 阶矩阵A ,如果存在一个n 阶矩阵B ,使得AB =BA =E , 则称矩阵A 是可逆的，并把矩阵B 定理若A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是唯一的.称为矩阵A 的逆矩阵. A 的逆矩阵记为A －1.证明：设B, C 都是A 的逆矩阵，则AB =BA =E ，AC =CA =E ，B =BE =B(AC)=(BA)C =EC =C()()1111,,A A A ---=若可逆则亦可逆且二、逆矩阵的运算性质()2,0,,A λλA ¹若可逆数则可逆且()3,,,A B AB 若为同阶方阵且均可逆则亦可逆且()=-1AB B 1-1-A ()1λA -=().1212--=A A L L 推广1A m A 1-m A 1-1A ()()().,,4A AA A T =且亦可逆则可逆若T T1-1-.A 11.A λ-行列式|A| 的各个元素的代数余子式A ij 所÷÷÷÷÷øöçççççèæ=*nn n nn n A A A A A A A A A A L L L L L L L 212221212111称为矩阵A的伴随矩阵.三、逆矩阵的计算0,.A A ¹当时称为非奇异矩阵定义构成的如下矩阵定义0,,A A =当时称为奇异矩阵.A A *其中为矩阵的伴随矩阵,11*-=A AA 0¹A Û且().,1-===A B E BA E AB 则或若推论或者说A 为可逆阵等价于A 为非奇异阵推论说明：证明B 是A 的逆矩阵时只需验证其中一个等式定理矩阵A 可逆例1设,a b A c d æö=ç÷èø问a , b , c , d 满足什么条件时，A 可逆？当A 可逆时，求1-A 解,ad bc =-1A -=且A A*1ad bc=-æöç÷èød c -b -a a bA c d=0ad bc -¹时，A 可逆\0A ¹当即121, 0 , in a a A a A a -æöç÷ç÷=¹=ç÷ç÷èøO 若则1211 .1n a a a æöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøO 121, 0 , i n a a A a A a -æöç÷ç÷=¹=ç÷ç÷èøN 若则211 .11n a a a æöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøN 思考1.为矩阵的伴随矩阵A A *思考2 矩阵A 可逆，1?A-=?=A *例2==´*44 , 2 , A A A 则(). 23 , 21, *133A A A A -=-´求8214=-如解()11*123123----=-A A A A A 1113231----=-=A A A 27163213-=÷øöçèæ-=-A 若A ，B 都可逆，则矩阵方程AX C =X =的解1A C-XB C =X =的解1CB -AXB C =X =的解11A CB--注意左乘右乘0AB AC BA CA A ==¹或且1.AB AC BA CA A B C -===或且存在,则;B C Þ=思考3例3解矩阵方程022*********X éùéùéù=êúêúêú--ëûëûëû解：X =10212-éùêú-ëû1101éùêú-ëû12011-éùêúëû221210-éù=êúëû101212éùêú-ëû1101éùêú-ëû122.102éù-êú=êúêúêúëû证明,022=--E A A 由()E E A A 2=-得,2A E AE -Þ=.,2,:,022并求它们的逆矩阵都可逆证明满足方程设方阵E A A E A A A +=--例41-A ().211E A A -=\-,A A E --=220又由即()2A E +()3A E -4E=-()2A E +34E A -,E =()12A E -\+.43AE -=A A A E E+--=-22364。
线性代数2_3逆矩阵
又因为
0 −1 B= 1 2
AB
BA
2 1 0 − 1 0 − 1 2 1 1 0 , = = − 1 0 1 2 1 2 − 1 0 0 1
所以
0 − 1 A = . 1 2
《线性代数》
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结束
2. 可逆矩阵的定义 定义1 对于n阶矩阵 阶矩阵A，如果存在n阶矩阵 阶矩阵B， 定义 对于 阶矩阵 ，如果存在 阶矩阵 ，使得 AB=BA=E， = = ， 那么矩阵A称为可逆矩阵， 称为可逆矩阵 称为A的逆矩阵 那么矩阵 称为可逆矩阵，而B称为 的逆矩阵. 称为 的逆矩阵. 定理1 如果矩阵A可逆 可逆， 的逆矩阵是唯一的. 定理 如果矩阵 可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 的逆矩阵是唯一的 即若AB= = = A的逆矩阵记为 −1 . 即若 =BA=E ，则B=A−1 . 的逆矩阵记为A 的逆矩阵记为 由于A， 位置对称 位置对称， 互逆， 由于 ，B位置对称，故A，B互逆，即B=A−1， A=B−1. 如 ， 互逆 = ， =
2a + c = 1, 2b + d = 0, ⇒ − a = 0, − b = 1,
《线性代数》
a = 0, b = −1, ⇒ c = 1, d = 2.
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0 −1 ∴B = 1 2
结束
例1
设
2 A= −1
1 , 求 A 的逆阵 . 0
逆矩阵(inverse matrix) 第3节 逆矩阵
3.1 逆矩阵的定义 3.2 方矩阵可逆的充分必要条件 3.3 可逆矩阵的性质 3.4 用逆矩阵求解线性方程组 3.5 用逆矩阵求解矩阵方程 3.6 伴随矩阵的常用性质
三阶矩阵的转置 逆矩阵行列式
三阶矩阵的转置逆矩阵行列式1.引言1.1 概述概述部分将介绍本篇文章的主题和主要内容。
本篇文章将探讨关于三阶矩阵的转置，逆矩阵和行列式的相关知识。
在线性代数中，矩阵是一个重要的概念，被广泛应用于各个领域。
其中，三阶矩阵是最简单且常见的一种矩阵类型。
转置、逆矩阵和行列式是三阶矩阵的重要性质和计算方法，对于矩阵的运算和分析起着关键作用。
在本文的第一部分，我们将探讨三阶矩阵的转置。
转置是矩阵运算中常见的一种操作，可以通过交换矩阵的行和列来得到新的矩阵。
我们将介绍转置的定义和性质，并提供三阶矩阵转置的具体计算方法。
在第二部分，我们将研究三阶矩阵的逆矩阵。
逆矩阵是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得A与B的乘积等于单位矩阵。
我们将介绍逆矩阵的定义和性质，并提供三阶矩阵逆矩阵的计算方法。
最后，在第三部分，我们将研究三阶矩阵的行列式。
行列式是一个与矩阵相关的重要概念，用于计算矩阵的特征值和特征向量。
我们将介绍行列式的定义和性质，并提供三阶矩阵行列式的具体计算方法。
通过全面了解三阶矩阵的转置、逆矩阵和行列式，我们可以更好地理解和应用矩阵运算。
本文旨在为读者提供一个清晰的概念和计算方法，并帮助读者在实际问题中运用到这些知识。
希望读者通过阅读本文能够对三阶矩阵的转置、逆矩阵和行列式有更深入的理解。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：在文章结构部分，我们将介绍本文的组织结构，以帮助读者更好地理解和阅读本文。
本文主要分为两个部分：正文和结论。
正文部分将围绕三阶矩阵的转置、逆矩阵和行列式展开讨论。
首先，我们将介绍三阶矩阵的转置，包括其定义和性质。
然后，我们将详细介绍三阶矩阵转置的计算方法。
接下来，我们将转向三阶矩阵的逆矩阵，在这一部分中，我们将讨论逆矩阵的定义和性质，并探讨三阶矩阵逆矩阵的计算方法。
最后，我们将进入三阶矩阵的行列式部分，包括行列式的定义和性质，以及三阶矩阵行列式的计算方法。
在结论部分，我们将简要总结本文的内容，并提出一些结论和观点。
3逆矩阵
(3) 可逆矩阵A的转置矩阵 AT 也可逆，且
( AT )1 ( A1 )T
(4) 非零常数 与可逆矩阵A的乘积A也可逆，且
(A)
1
1
A1
6
第一章
四、矩阵可逆的充要条件
1、伴随矩阵 定义2.9 设 A (aij ) nn , 令Aij 是A的行列式 A中
的元素 a ij 的代数余子式，将这 n 2 个数排成
1
其中A 为矩阵A的伴随矩阵 .
定理 若AB I 或BA I , 则B A1.
8
第一章
a b 是A的逆矩阵, 解法一： 利用待定系数法 设B c d
2 1 a b 1 0 则 AB 5 3 c d 0 1 2b d 1 0 2a c 5 a 3c 5b 3d 0 1
1 A 2 I A 3 I I 4
第一章
故 A 2 I 可逆, 且 A 2I 1 1 A 3I
4
15
1 * 例5 设A为一个三阶方阵， A , A 为A的伴随矩阵， 2
求 (3 A)1 2 A* 解
( A1 )1 A
小结
逆矩阵性质： ( AB)1 B1 A1;
( AT )1 ( A1 )T ;
1 1 (λ A) A λ 判断矩阵 A 可逆方法：A 0
1
若AB=I (BA=I)，则 B A1
求逆矩阵的方法
A
17
1
1 A A
第一章
思 考 题
若A可 逆 则 矩 阵 方 程 B是 否 有 唯 一 解 A1 B ? , AX X 矩 阵 方 程 B 是 否 有 唯 一 解 BA1 ? YA Y
第二章§3 逆矩阵
注意排列
伴随矩阵，简称伴随阵， 伴随矩阵，简称伴随阵，记作 A 有结论: 对于 A∗ 有结论 A∗ A = AA∗ = A E
A = A
∗ n −1
(教材 教材P48 例4) 教材
3.2 矩阵可逆的条件
定理 2.2
为可逆阵， 且如果 A 为可逆阵，则有
−1
给出求A 给出求 -1的方法
矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A ≠ 0 ,
∗
a22 L a2 n 0 A21 L MAn1 = M M An 2 L ann n 2 0 L A a 22
a12 L a1n A 0 L 0 A 的各元素的代数余子式 Aij
A L M
0 M 0 L A 称为方阵A的 称为方阵 的
−1
= A
−1
Proof Go on
当 A ≠0
可定义 A0 = E，A- k=(A-1)k k ∈ N ，
3.3 可逆矩阵的性质
Note： 1、若 A 可逆 ，则 AB = AC 、
−1 −1
⇒
B=C
−1
2、 A、B 可逆，A+B 未必可逆；即使 A+B 、 可逆， 未必可逆； 可逆， 可逆，一般
Q A = 2 ≠ 0, ∴ A 可逆
解:
A11 = 1，A12 = 0，A13 = −1， A21 = −2，A22 = 2，A23 = 2
A31 = 1，A32 = −2，A33 = 1
1 −2 1 ∗ 1 −1 A = 0 2 ∴ A = A 2 −1 2
3 2 1 1 ( A∗ )−1 = 1 A = 1 1 1 1 2 A 1 0 1 −2
2.3逆矩阵
统计软件分析与应用
线性代数A
2.3 逆矩阵
思考题3: 已知 A, B, A+B 都为可逆矩阵, 证明
−1
.
此外, 当 n 阶矩阵A 可逆时, 可定义 A 的
( A)− k = ( A−1 )k , 同时规定 A0 =E ; 负整数次方幂:
于是当 A ≠ 0, k , l 为整数时
Ak Al = Ak + l , ( Ak ) l = Ak l .
统计软件分析与应用
线性代数A
2.3 逆矩阵
⎛ 1 2 −1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 3 −2 1 ⎟ 的逆矩阵 . 例: 求 ⎜ 1 −1 −1 ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 −1
两边右乘 A−1 ⇒ ( A−1 − E ) B = 6 E , ⇒ B = 6( A −1 − E ) −1
⎡⎛ 2 0 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎤ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 6 0 0⎞ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ = 6 ⎜ 0 3 0 ⎟ = ⎜ 0 2 0 ⎟ = 6 ⎢⎜ 0 4 0 ⎟ − ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎥ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 6⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎢⎜ 0 0 7 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎥ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣⎝
3 −2 ⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 2 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 而 ⎜ 2 2 1 ⎟ 可逆 , 且 ⎜ 2 2 1 ⎟ = ⎜ − 3/ 2 − 3 5/ 2⎟ , ⎜ 3 4 3⎟ ⎜ 1 ⎜ 3 4 3⎟ 1 −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 − 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 故 ⎜ x2 ⎟ = ⎜ − 3 / 2 − 3 5 / 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 7 / 2 ⎟ ⎜x ⎟ ⎜ 1 − 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ −1 ⎟ 1 ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝
2-3矩阵求逆
1 2
1 0
0
12 2
3 5
1 2
2 10 10
1 4. 4
例5 设方阵A满足方程A2 A 2E 0,证明:
A, A 2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
证明 由A2 A 2E 0,
得AA E 2E A A E E
2
A A E 1 A 0, 故A可逆.
An1
An2 M
.
Ann
矩阵
A11
A12
M
A1n
A21 L A22 L M A2n L
An1
An
2
M
Ann
称为A的伴随矩阵，记为A*.显然有
(1) AA*=A*A=|A|I;
(2) A*=|A|A-1，(A*)-1= A ； | A|
(3) |A*|=|A|n-1；(4) (A*)*=|A*|(A*)-1=|A|n-2A.
故- a A2 - b A=I，即(- a A- b I )A=I，
cc
cc
由定义可知，A可逆，且A-1 =- a A- b I . cc
例4
设
A
1 2
3
2 2 4
3 1, 3
B
2 5
1 , 3
C
1 2 3
3 0, 1
求矩阵X使满足 AXB C.
1
解 A2
2 2
3
2
1 2 0, B
思考题解答
答 是的. 这是由于A1的唯一性决定的.
4
2
1 1
3
x2
2
1
4
0
4
1
2
0
2
,
x3 1 2 4 1 3 1 1 1 2
第三节 逆矩阵
a11
N a21
an1
矩阵多项式 ( ) 书本第15页
设A是n阶方阵, f (x) an xn an1xn1 L a1x a0 是多项式，f ( A) an An an1An1 L a1A a0En
性质： f (A)g(A) g(A) f (A).
2.4 线性方程组的逆矩阵解法
第三节 逆矩阵
一、背景
1、数 在数的运算中，当数α≠０时，有
aa1 a1a 1,
则 a1 称1为 的a倒数， （或称为 a的逆）；
a
2、矩阵 在矩阵的运算中，单位阵Ｅ相当于数的
乘法运算中的１。 那么，对于矩阵Ａ，如果存在另
一个矩阵 B, 使得 AB BA E,
则矩阵Ａ称为的可逆矩阵， B 称为A的逆阵.
c
2a
即
x
d 2b ad-bc
y
c 2a ad-bc
3、逆矩阵的运算规 （设 A 均B 是 阶律n可逆方阵）
1 若A可逆,则A1亦可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
3 若A, B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且
AB 1 B1 A 1
证明 若设 B和 是C 可A逆矩阵， 则有
AB BA E, AC CA E, 于是 B EB (CA)B C( AB) CE C 所以 A的逆矩阵是唯一的,即 B C A1 .
例1
设
A
2 1
1
0
,求
A的逆.
解
设
a
B
c
b
d
AB BA E
B
0 1
1 2
则
2
1
1a
证明 AB B1A1 A BB1 A1 AEA1 AA1 E,
矩阵的逆及分块
在上述分块对角矩阵中 如果A可逆则
A11 A2 1 A1 1 As
5 0 0 例 2 设 A 0 3 1 求 A1 0 2 1
解 解
5 0 0 A O A 0 3 1 1 0 2 1 O A2 A1 (5) A11 1 A2 3 2 5
(4)若A可逆 则AT也可逆 且(AT )1(A1)T
§3 矩阵分块法
对于行数和列数较高的矩阵A 运算时常采用分块法 使 大矩阵的运算化成小矩阵的运算 将矩阵A用若干条纵线和横 线分成许多个小矩阵 每一个小矩阵称为A的子块 以子块为 元素的形式上的矩阵称为分块矩阵
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三、解矩阵方程
解矩阵方程 (1) AX = C , ( 2) XA = B , ( 3) AXB = C , 其中 A、B 均为可逆矩阵 .
矩阵方程
AX = B XA = B
AXB = C
解
X = A−1 B
X = BA−1
X = A−1 C B −1
3 2 1 − 5 例5 解矩阵方程 (1) ; X = 1 4 −1 4
−1 −1 −1
1 − 1 1 1 2 − 3 (2 ) X 1 1 0 = 2 0 4 2 1 1 0 − 1 5
1 −1 1 1 1 0 =1≠ 0 2 1 1
给方程两端右乘矩阵
1 − 1 1 1 1 0 , 2 1 1
解
d − b A = ad − bc ≠ 0, A = − c a .
*
1 d − b ∴A = . ad − bc − c a
−1
二阶矩阵的逆可以直接“看出来”
1 2 3 例3 (1) 求方阵 A = 2 2 1 的逆矩阵. 3 4 3 1 2 3 −1 ∴ A 存在. 解 A = 2 2 1 = 2 ≠ 0, 3 4 3
−1 T
(5 ) 若A可逆 ,则有 A = A .
−1 −1
另外, 当 A ≠ 0时
定义
A =E
0
A
−k
= ( A ) , k为整数
−1 k
当 A ≠ 0, λ , µ为整数时 , 有 A A =A
λ µ λ +µ
,
(A )
λ µ
= Aλµ .
二、逆矩阵的求法
a b 例 2 求A = c d (ad − bc ≠ 0)的逆矩阵 .
则称 ϕ ( A) 及运算性质. 逆矩阵 A−1 存在⇔ A ≠ 0. 逆矩阵的计算方法
∗ A −1 ( ) (1)待定系数法; 2 利用公式 A = ; A
(3)初等变换法 (下一章介绍 ).
思考题
若A可逆 , 那么矩阵方程 AX = B是否有唯一解 X = A−1 B ? 矩阵方程 YA = B 是否有唯一解 Y = BA−1 ?
( ai ≠ 0)
−1
A = diag (a1 , a2 ,, an )
例4
1 2 设 AP = PΛ , 其中 P = 1 4 , 1 0 n Λ= , 求 : A 0 2
练习题
设矩阵 A，B , A + B , 都可逆，证明 A−1 + B −1 也可逆，并求其逆阵。
故A + 2 E可逆 ,
且 ( A + 2E )
−1
3E − A 1 . = − ( A − 3E ) = 4 4
例8
设三阶矩阵 A, B满足关系 :
1 1 0 求B . B = AB − E , 且A = 1 0 0 , 0 1 2 1 1 0 −1 B = ( A − E ) = 1 0 0 , − 1 0 1
由此可得 A是可逆阵的充要条件是 A为非奇异矩阵 .
5.推论 设A、B均为n阶方阵 ,
−1 ( ) 若AB = E 或BA = E , 则B = A .
若要证明 A−1 = B , 只需证明 AB = E 或 BA = E 即可 .
6.逆矩阵的运算性质
(1) 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且(A
1 3 − 2 − 5 2
−2 − 1 = 10 2 − 10
1 − 4 . 4
例7
设方阵 A满足方程 A2 − A − 2 E = 0, 证明 :
A, A + 2 E都可逆 , 并求它们的逆矩阵 .
证明 (1) 由A2 − A − 2 E = 0 ,
3 − 2 6 − 4 1 2 1 ∗ 1 −1 A = A = − 3 − 6 5 = − 3 2 − 3 5 2 . A 2 1 − 1 1 2 − 2 2
( 2)
则
A = diag (a1 , a2 ,, an )
−1 −1 −1
A11 =
2 1 4 3
= 2,
A12 = −
2 1 3 3
= −3, A13 =
2 2 3 4
= 2,
2 1 A11 = = 2, 4 3 A12 = − 2 1 3 3
A21 = −
2 3 4 3
= 6,
2 3 A31 = = − 4, 2 1 1 3 A32 = − = 5, 2 1 A33 = 1 2 2 2 = − 2,
1 − 1 1 1 2 − 3 (2) X 1 1 0 = 2 0 4 ; 2 1 1 0 − 1 5
解
(1)
1 − 5 3 2 X = −1 4 1 4
−1
1 − 5 给方程两端左乘矩阵 , 1 4 − E 1 − 5 3 2 1 − 5 1 − 5 得 X = − 1 4 1 4 −1 4 −1 4 1 − 5 3 2 − 4 − 5 3 2 − 17 − 28 ⇒ X = = = . − 1 4 1 4 − 1 − 1 1 4 − 4 − 6
−1
得
1 X = 2 0
2 0 −1
− 3 1 4 1 2 5
−1 1 1
1 0 1
−1
1 = 2 0
2 0 −1
− 3 1 4 −1 −1 5
2 −1 −3
− 1 1 2
9 − 5 2 = − 2 − 8 6 . − 4 − 14 9
∴ A−1 , B −1都存在.
3 − 2 1 −1 且 A = − 3 2 − 3 5 2 , 1 1 1 −
B
−1
3 − 1 = , − 5 2
于是 X = A−1CB −1
1 = − 3 2 1 1 = 0 0 3 −3 1 − 2 1 5 2 2 3 −1 3 3 0 − 5 1 − 1 2
得A( A − E ) = 2 E A−1
A− E ⇒A =E 2 1 故A可逆 , 且有 A = ( A − E ). 2
−1
( 2) 由A 2 − A − 2 E = 0 ,
⇒ ( A + 2 E )( A − 3 E ) + 4 E = 0
1 ⇒ ( A + 2 E ) − ( A − 3 E ) = E 4 −1 ( A + 2E )
2 1 , 求A的逆阵 . 设 A= − 1 0
设
a b B= 是 A 的逆矩阵, c d
2 1 a b 1 0 AB = = − 1 0 c d 0 1 2a + c 2b + d 1 0 ⇒ = − b 0 1 −a
= −3, A22 =
1 3 3 3
= − 6,
2 2 A13 = = 2, 3 4
1 2 A23 = − = 2, 3 4
6 − 4 6 − 4 2 2 1 ∗ −1 ∗ 1 得 A = − 3 − 6 5 , A = A = − 3 − 6 5 2 A 2 − 2 2 2 2 − 2
所以
0 − 1 A = . 1 2
−1
待定系数法
3.定理1 矩阵 A 可逆的充要条件是 A ≠ 0 ， 1 ∗ −1 且A 可逆时 A = A , A
其中 A∗为矩阵 A的伴随矩阵 .
4.奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
当 A = 0时, A称为奇异矩阵 ,当 A ≠ 0时, A称为 非奇异矩阵 .
−1 −1 −1
)
= A.
(2) 若A可逆, 数λ ≠ 0, 则λA可逆, 且
(λ A ) = A − 1 .
−1
1
λ
(3) 若A, B为同阶方阵且均可逆 , 则AB亦可逆 , 且
−1 −1 −1 A A ( B) = B
(4) 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 (A
T
T −1
) = (A ) .
例9
1 A 为3阶方阵 , 已知 | A |= , 求 8
1 * A － 8 A . 3
−1
四、方阵多项式
设 记
ϕ ( x ) = a0 + a1 x + + am x m ,
为 x 的 m 次多项式 , A为 n 阶方阵 ,
ϕ ( A) = a0 E + a1 A + + am Am ,
§3 逆 矩 阵
一、逆矩阵的概念和性质 二、逆矩阵的求法 三、解矩阵方程 四、方阵多项式
一、逆矩阵的概念和性质
1.引例 在数的运算中，当数a ≠ 0 时， 有
aa −1 = a −1a = 1,
其中 a −1 = 1 为 a 的倒数， （或称 a 的逆）； a
什么样的矩阵有类似于 非零数 a那样的 性质呢？
2、定义 对于 n 阶矩阵 A ，如果有一个 n 阶矩阵
B ,使得
AB = BA = E ,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵. 说明 (1) 可逆矩阵只可能在方阵中产生. (2) 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
A的逆矩阵记作 A−1 , 即B = A−1 .
例1 解 则
2a + c = 1, 2b + d = 0, ⇒ − a = 0, − b = 1,