初中数学与角有关的辅助线综合测试卷
七年级下册数学之与角有关的辅助线练习题及答案
与角有关的辅助线（讲义）知识过关1. 如图，∠AOB =130°，OC ⊥OB 于点O ，求∠AOC 的度数．解：如图， ∵OC ⊥OB （已知）∴____________（垂直的定义） ∵∠AOB =130°（已知） ∴∠AOC =______-______=______-______=______（等式性质）1. 为了解决几何问题，在原图基础之上另外添加的直线或线段称为辅助线．辅助线通常画成________．2. 辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立______和______之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况． 3. 辅助线的作用：①________________________________________________； ②________________________________________________． 4. 添加辅助线的注意事项：____________________________．➢ 精讲精练1. 如图，AB ∥CD ，∠E =27°，∠C =52°，则∠EAB 的度数为______________．2. 如图，∠BAF =46°，∠ACE =136°，CD ⊥CE ．求证：AB ∥CD ．3. 已知：如图，直线AB ∥CD ，∠EFG =130°，∠DGH =40°．BOACEDCB AF ABCD E NGHFEDCBA你认为EF ⊥AB 吗？请说明理由．4. 已知：如图，AB ∥CD ，E ，F 分别是AB ，CD 上的点．求证：∠EPF =∠AEP +∠CFP ．5. 如图，l 1∥l 2，∠1=105°，∠2=40°，则∠3=___________．6. 已知：如图，AB ∥EF ，∠B =25°，∠D =30°，∠E =10°，则∠BCD =________．7. 已知：如图，AB ∥ED ，α=∠A +∠E ，β=∠B +∠C +∠D ． 求证：β=2α．8. 已知：如图，CD ∥EF ，∠1+∠2=∠ABC ．求证：AB ∥GF ．9. 已知：如图，在四边形ABDC 中．求证：∠BDC =∠A +∠B +∠C ．、321l 2l 1PF E DCBAFEDCBAECDBA 21GFE DC BADCBA【参考答案】➢知识过关1.∠COB=90°∠AOB-∠COB130°-90°40°1.虚线；2.已知，未知3.①把分散的条件转为集中②把复杂的图形转化为基本图形4.明确目的，多次尝试➢精讲精练1.79°2.证明：如图，延长DC到点G．∵CD⊥CE（已知）∴∠ECG=90°（垂直的定义）∵∠ACE=136°（已知）∴∠ACG=∠ACE-∠ECG=136°-90°=46°（等式性质）∵∠BAF=46°（已知）∴∠ACG=∠BAF（等量代换）∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）3.解：EF⊥AB，理由如下：如图，延长EF交CD于点M．∵∠DGH=40°（已知）∠DGH=∠FGM（对顶角相等）∴∠FGM=40°（等量代换）∵∠EFG是△FGM的一个外角（外角的定义）∴∠EFG=∠FGM+∠FMG（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠EFG=130°（已知）∴∠FMG=∠EFG-∠FGM=130°-40°=90°（等式性质）∵AB∥CD（已知）∴∠BNE=∠FMG=90°（两直线平行，同位角相等）∴EF⊥AB（垂直的定义）FA BC DEMNGHN M4321PFED CB A4.证明：如图，过点P作MN∥AB．∵CD∥AB（已知）∴AB∥MN∥CD（平行于同一直线的两直线平行）∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠2+∠4=∠1+∠3（等式的性质）即∠EPF=∠AEP+∠CFP5.115°6.45°7.证明：如图，过点C作MN∥AB．∵AB∥ED（已知）∴MN∥AB∥ED（平行于同一直线的两直线平行）∴∠1+∠D=180°∠2+∠B=180°∠A+∠E=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D（已知）∴α=180°，β=360°（等式性质）∴β=2α（等式性质）8.证明：如图，延长CB交FG于点M，延长FE交CM于点N．∵CD∥EF（已知）∴∠2=∠FNM（两直线平行，同位角相等）∵∠BMG是△FMN的一个外角（外角的定义）∴∠BMG=∠1+∠FNM=∠1+∠2（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠ABC=∠1+∠2（已知）∴∠BMG=∠ABC（等量代换）∴AB∥GF（同位角相等，两直线平行）9.证明：如图，延长BD交AC于点E．∵∠BDC是△CDE的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠1+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠1是△ABE的一个外角（外角的定义）∴∠1=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠BDC=∠A+∠B+∠C（等量代换）21E DM C NA BNMABCDEF G121EABCD与角有关的辅助线（随堂测试）2. 已知：如图，AB ⊥EF 于点O ，BD 与MN 相交于点C ，∠1=35°，∠ABC =125°． 求证：EF ∥MN ．【参考答案】1. 解：EF ∥MN理由如下：如图，延长AB 交MN 于点G ．∵∠1=35°（已知）∴∠BCG =35°（对顶角相等）∵∠ABC 是△BCG 的一个外角（外角的定义）∴∠ABC =∠BGC +∠BCG （三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠ABC =125°（已知） ∴∠BGC =∠ABC -∠BCG =125°-35°=90°（等式的性质）∵AB ⊥EF （已知）∴∠AOF =90°（垂直的定义） ∴∠AOF =∠BGC （等量代换）∴EF ∥MN （同位角相等，两直线平行）与角有关的辅助线（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，∠BED =∠B +∠D ． 求证：AB ∥CD ．①读题标注：②梳理思路：要证AB ∥CD ，我们需要找相关的同位角、内错角或同旁内角．观察图形发现，AB ，CD 没有截线，故需要构造截线，然后证明．可尝试延长BE 交CD 于点G ．NM FA BC D E1O EDBA CED BACN MFEGO 1D C B A③过程书写：证明：如图，延长BE交CD于点G．∵∠BED是△DEG的一个外角∴∠BED=∠DGE +∠D∵∠BED=∠B+∠D∴∠DGE=∠B∴AB∥CD➢巩固练习3.已知：如图，a∥b，则∠1+∠2-∠3=_________．4.已知：如图，∠B+∠E+∠D=360°．求证：AB∥CD．5.已知：如图，AB∥CD，∠1=∠2．求证：∠3=∠4．6.已知：如图，AB∥CD．求证：∠1+∠3 ∠2=180°．7.已知：如图，∠3=∠1+∠2．求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°．CA BDEGCA BDE4F123C DEBAba132A BC D123EFGEDCBA321➢ 思考小结已知：如图，在四边形ABDC 中． 求证：∠BDC =∠A +∠B +∠C ．（1）请根据图下方的描述在图上作出辅助线，并进行证明（不需要写过程）；延长BD 交AC 于点E 延长CD 交AB 于点E连接AD 并延长AD 到点E 连接BC过点D 作EF ∥AB 交AC 于点E 过点D 作EF ∥AC 交AB 于点E （2）根据上面的证明方法可以总结出辅助线的作用： ①_____________________________________； ②_____________________________________．【参考答案】 ➢ 巩固练习1. 180°2. 证明：如图，过点E 作EF ∥AB ．∴∠B +∠BEF =180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠B +∠BED +∠D =360°（已知） ∴∠FED +∠D =180°（等式性质） ∴EF ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）∴AB ∥CD （平行于同一条直线的两条直线互相平行）C DA BC DABC DABCDABC DABC DABF E DBA C5G AB EDC 321F43. 证明：如图，延长BE 交CD 于点G ．∵AB ∥CD （已知）∴∠1=∠5（两直线平行，内错角相等） ∵∠1=∠2（已知） ∴∠2=∠5（等量代换）∴BG ∥CF （同位角相等，两直线平行） ∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等） 4. 证明：如图，延长EA 交CD 于点F ．∵AB ∥CD （已知）∴∠1=∠4（两直线平行，同位角相等） ∵∠4是△CEF 的一个外角（外角的定义）∴∠4=∠2+∠ECF （三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和）∵∠ECF =180°-∠3（平角的定义） ∴∠4=∠2+180°-∠3（等量代换） ∴∠4+∠3-∠2=180°（等式性质）∴∠1+∠3-∠2=180°（等量代换）（方法不只一种） 5. 证明：如图，延长EG 交CF 于点H ．∵∠3是△GFH 的一个外角（外角的定义）∴∠3=∠2+∠GHF （三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和）∵∠3=∠1+∠2（已知） ∴∠GHF =∠1（等式性质）∴BE ∥CF （内错角相等，两直线平行）∴∠BMD +∠MNC =180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠BMD 是△ABM 的一个外角（外角的定义）∴∠BMD =∠A +∠B （三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和）∵∠MNC 是△CDN 的一个外角（外角的定义）∴∠MNC =∠C +∠D （三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和）∴∠A +∠B +∠C +∠D =180°（等量代换）（方法不只一种）➢ 思考小结（1）作辅助线，略；（2）①把分散的条件转为集中；②把复杂的图形转化为基本图形．4F E 321D CBA。
初中数学几何辅助线专题试题+答案详解
初中几何辅助线专题试题——答案详解专题4-几何辅助线专题详解 (1)一、辅助线添加策略 (3)策略1按定义添辅助线 (3)策略2按基本模型添辅助线 (3)二、添加辅助线的方法及举例 (4)方法1求角思想及模型 (4)第一类：方程思想求角度 (4)第二类：转化思想求角度 (5)第三类：整体思想求角度 (7)第四类：数学模型—角平分线模型 (8)第五类：数学模型—对顶三角形模型 (9)第六类：分类讨论思想求角度 (9)方法2关于中点的辅助线 (10)第一类：已知中点 (10)第二类：证中点 (14)方法3截长补短法 (18)方法4作垂线构造全等求点的坐标 (20)方法5关于角平分线的辅助线 (22)第一类：角平分线上的点向两边作垂线 (22)第二类：过边上的点向两边作垂线 (24)第三类：过平分线上的点作一条边平行线构造等腰三角形 (27)第四类：利用角平分线的性质，在角两边截长补短 (28)方法6等腰三角形的辅助线 (29)第一类：分类讨论思想 (30)第二类：“三线合一”作辅助线 (33)第三类：构造等腰三角形 (35)方法7等边三角形的辅助线 (44)第一类：构造30°的直角三角形 (44)第二类：作平行线构造等边三角形 (47)第三类：共顶点的等边三角形 (50)一、辅助线添加策略三角形是基础几何图形，是一切几何图形证明的基础。
在求证几何图形时，往往需要添加辅助线构成新图形，进而形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为常规问题去解决，则是三角形证明中的常规策略。
添加辅助线有二种常见策略：按定义添加辅助线、按基本模型添加辅助线。
策略1按定义添辅助线（1）角平分线性质：角平分线上的点到两边的距离相等。
利用这个性质，常见辅助线为：取角平分线上一点，向角的两边作垂线。
（2）垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
利用这个性质，常见辅助线为：取垂直平分线上一点，连接该点与线段的两个端点。
全等三角形(4种模型2种添加辅助线方法)(学生版)--中考数学压轴题专项训练
全等三角形(4种模型2种添加辅助线方法)1.题型一：一线三等角模型2.题型二：手拉手模型3.题型三：半角模型4.题型四：旋转模型5.题型五：倍长中线法6.题型六：截长补短法题型一一线三等角模型过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。
过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等(AAS)常见的两种图形：题型二手拉手模型【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE(位置关系)且BD=AE(数量关系)；③FC平分∠BFE；12题型三半角模型过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
解题技巧：在图1中，△AEB 由△AND 旋转所得，可得△AEM ≌△AMN ，∴BM +DN =MN∠AMB =∠AMNAB =AH△CMN 的周长等于正方形周长的一半在图2中将△ABC 旋转至△BEF ，易得△BED ≌△BCD 同理得到边角之间的关系；总之：半角模型(题中出现角度之间的半角关系)利用旋转--证全等--得到相关结论.题型四旋转模型31一、奔驰模型旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。
我们不仅要掌握这类题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点:旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题2二、费马点模型费马点就是到三角形的三个顶点距离之和最小的点.最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所以掌握费马点等此类最值经典题是必不可少的.题型五倍长中线法三角形一边的中线(与中点有关的线段)，或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线(线段)造全等4在△ABC 中AD 是BC边中线延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E 连接BE延长MD 到N ，使DN =MD ，连接CD截长补短法截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a +b =c 时，用截长补短．1.补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2.截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解20 全等三角形的辅助线问题(解析版)
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题20全等三角形的辅助线问题【考点题型】考点题型一连接两点做辅助线典例1．把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC 交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．【解析】试题分析：要证明HG与HB是否相等，可以把线段放在两个三角形中证明这两个三角形全等，或放在一个三角形中证明这个三角形是等腰三角形，而图中没有这样的三角形，因此需要作辅助线，构造三角形．试题解析：HG=HB，证法1：连接AH，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴∠B=∠G=90°，由题意知AG=AB，又AH=AH，∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL），∴HG=HB．证法2：连接GB，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴∠ABC=∠AGF=90°，由题意知AB=AG，∴∠AGB=∠ABG，∴∠HGB=∠HBG，∴HG=HB．变式1-1．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形画出图形,写出结论不证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.【详解】解：（1）连结AD ,∵AB=AC ,∠BAC=90°,D为BC中点,∴AD⊥BC ,BD=AD ,∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,又∵BE=AF ,∴△BDE≌△ADF（SAS）,∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,∴△DEF为等腰直角三角形.（2）连结AD∵AB=AC ,∠BAC=90°,D 为BC 中点 , ∴AD=BD ,AD ⊥BC ,∴∠DAC=∠ABD=45°, ∴∠DAF=∠DBE=135°, 又∵AF=BE ,∴△DAF ≌△DBE （SAS ）,∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°. ∴△DEF 为等腰直角三角形.变式1-2．如图，以O 为直角顶点作两个等腰直角三角形Rt OAB 和Rt OCD △，且点C 在线段AB 上（A B 、除外），求证：222AC BC CD +=【答案】证明见解析【分析】连接BD ，证明△AOC ≌△BOD （SAS ），得到△CBD 为直角三角形，再由勾股定理即可证明．【详解】解：连接BD ，∵△AOB 与△COD 为等腰直角三角形，∴AO=BO ，CO=DO ，∠AOB=∠COD=90°，∠A=∠ABO=45°，∴∠AOC+∠BOC=∠BOD+∠BOC∴∠AOC=∠BOD ，在△AOC 与△BOD 中，AO BO AOC BOD CO DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD （SAS ）∴∠A=∠OBD=45°，AC=BD ，∴∠ABO+∠OBD=90°，即∠CBD=90°，∴在Rt △CBD 中，222BD BC CD +=即222AC BC CD +=．考点题型二全等三角形 -倍长中线模型典例2．已知，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点D 为边AB 的中点，AE CD ⊥分别交CD ，BC 于点F ，E ．（1）如图1，①若AB AC =，请直接写出EAC BCD ∠-∠=______；②连接DE ，若2AE DE =，求证：DEB AEC ∠=∠；（2）如图2，连接FB ，若FB AC =，试探究线段CF 和DF 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①45°；②见解析；（2）2CF DF =，理由见解析【分析】（1）①利用直角三角形两个锐角相加得90︒和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合题干已知即可解题．②延长ED 至点G ，使得DG DE =，连接AG ，从而可证明ADG ≌BDE （SAS ），再利用全等的性质，可知DGA DEB ∠=∠，即可知道//AG BC ，所以GAE AEC ∠=∠，根据题干又可得到AE EG =，所以DGA GAE ∠=∠，从而得出结论．（2）延长CD 至点H ，使得DH DF =，连接BH ，从而可证明HDB ≌FDA △（SAS ），再利用全等的性质，可知BH AF =，90H AFD AFC ∠=∠=∠=︒，根据题干即可证明Rt HBF △≌Rt FAC △（HL ），即得出结论．【详解】（1）①∵90EAC ACD ∠+∠=︒，90AEC BCD ∠+∠=︒∴EAC BCD AEC ACD ∠-∠=∠-∠∵90EAC BAE ∠+∠=︒∴ACD BAE ∠=∠又∵AEC B BAE ∠=∠+∠∴EAC BCD B BAE ACD ∠-∠=∠+∠-∠∴45EAC BCD B ∠-∠=∠=︒故答案为45︒．②如图，延长ED 至点G ，使得DG DE =，连接AG ，∵点D 为AB 的中点，∴BD AD =，又∵ADG BDE ∠=∠，∴ADG ≌BDE ，∴DGA DEB ∠=∠，∴//AG BC ，∴GAE AEC ∠=∠，又∵2AE DE =，∴AE EG =，∴DGA GAE ∠=∠，∴DEB AEC ∠=∠．（2）2CF DF =．如图，延长CD 至点H ，使得DH DF =，连接BH ，∵AD BD =，ADF BDH ∠=∠，∴HDB ≌FDA △，∴BH AF =，90H AFD AFC ∠=∠=∠=︒，∵BF AC =．∴Rt HBF △≌Rt FAC △，∴2CF HF DF ==．变式2-1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．（探究与发现）（1）如图1，AD 是ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED AD =，连接BE ，证明：ACD EBD △≌△．（理解与应用）（2）如图2，EP 是DEF 的中线，若5EF =，3DE =，设EP x =，则x 的取值范围是________．（3）如图3，AD 是ABC 的中线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE DF ⊥，求证：BE CF EF +>．【答案】（1）见解析；（2）14x <<；（3）见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；（2）延长EP 至点Q ，使PQ PE =，连接FQ ，根据全等三角形的性质得到3FQ DE ==，根据三角形的三边关系即可得到结论；（3）延长FD 至G ，使得GD DF =，连接BG ，EG ，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可．【详解】（1）证明：CD BD =，ADC EDB ∠=∠，AD ED =，ACD EBD ∴≌，（2）14x <<；如图，延长EP 至点Q ，使PQ PE =，连接FQ ，在PDE ∆与PQF ∆中，PE PQ EPD QPF PD PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，PEP QFP ∴∆≅∆，3FQ DE ∴==，在EFQ ∆中，EF FQ QE EF FQ -<<+，即53253x -<<+， x 的取值范围是14x <<；故答案为：14x <<；（3）延长FD 至G ，使得GD DF =，连接BG ，EG ，在DFC △和DGB 中，DF DG =，CDF BDG ∠=∠，DC DB =，(SAS)DFC DGB ∴≌，BG CF ∴=，在EDF 和EDG △中，DF DG =，90FDE GDE ∠=∠=︒，DE DE =，(SAS)EDF EDG ∴≌，EF EG ∴=，在BEG 中，两边之和大于第三边，BG BE EG ∴+>，又EF EG =，BG CF =，BE CF EF ∴+>变式2-2．倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．（应用举例）如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD 到E ，使得DE AD =，连接CE ，易证ABD ECD ∆≅∆，得AB =，在ACE ∆中，AC CE +>，2AB AC AD +>．（问题解决）（1）如图（3），在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =．（2）如图（4），在ABC ∆中，90,A D ∠=︒是BC 边的中点，E F 、分别在边AB AC 、上，DE DF ⊥，若3,4BE CF ==，求EF 的长．（3）如图（5），AD 是ABC ∆的中线，,AB AE AC AF ==，且90BAE FAC ∠=∠=︒，请直接写出AD 与EF 的数量关系_及位置关系_．【答案】,CE AE ；（1）详见解析；（2）5；（3）2EF AD =，EF AD ⊥【应用举例】由全等的性质可得AB=EC ，由三角形三边关系可得AC+CE>AE ，即AB+AC>2AD ；故答案为EC ，AE ；【问题解决】（1）由题意不难得到,ACD GBD ∆≅∆所以∠BGD=∠BED=∠AEF=∠DAC ，∴有AF=EF ；（2）延长ED 到G ，使DG=ED ，连结CG 、FG ，不难得到EF=FG ，另同（1）有△BDE ≌△CDG ，所以∠FCG=∠FCD+∠GCD=∠FCD+∠EBD=90°，CG=BE=3，由勾股定理可得FG 即EF 的长；（3）由全等三角形的性质可以得到解答．【详解】【应用举例】,CE AE【问题解决】()1如图()1延长AD 到G ，使得,DG AD =连接,BG易证,ACD GBD ∆≅∆得,BG AC G DAC =∠=∠，,BE AC =,BE BG ∴=,G BEG ∴∠=∠,BEG AEF ∠=∠,AEF EAC ∴∠=∠AF EF ∴=．()2如图()2，延长ED 到G ，使得,DG ED =连接,CG FG 、易证,BDE CDG ∆≅∆得,,CG BE ED GD B DCG ==∠=∠，,DE DF ⊥DF ∴垂直平分,EG,FE FG ∴=90,A ∠=︒90,B ACB ∴∠+∠=︒90,DCG ACB ∴∠+∠=︒即90,FCG ∠=︒在Rt FCG ∆中，3,4CG BE CF ===，5,FG ∴=5,EF ∴=()32EF AD EF AD =⊥，，理由如下：如图3，延长AD 到G ，使AD=DG ，延长DA 交EF 于P ，连结BG ，则不难得到△BGD≌△CAD，∴BG=AC，∠GBD=∠ACD，∠DGB=∠DAC，又AF=AC，∴BG=AF，∴∠ABG=∠ABD+∠GBD=∠ABD+∠ACD=180°-∠BAC=∠EAF，∴在△ABG和△EAF中，AB AEABG EAF BG AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG≌△EAF，∴EF=AG=2AD，∠EFA=∠DGB=∠DAC，∵∠DAC+∠PAF=180°-∠FAC=180°-90°=90°，∴∠EFA+∠PAF=90°，∴∠APF=90°，∴EF⊥AD ．考点题型三全等三角形–旋转模型典例3．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D.(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；(2)如图2，若α=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.【答案】（1）15°；（2）证明见解析.【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得CA＝DA，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，再根据等腰三角形的性质求出∠ADC，从而计算出∠CDE的度数；（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF＝12AC，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝12AC，则BF＝BC，再根据旋转的性质得到∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD ，DE＝BC，从而得到DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，接着由△AFD≌△CBA得到DF＝BA，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．【详解】解：（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，∵CA＝DA，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°−30°）＝75°，∠ADE=90°-30°=60°，∴∠CDE＝75°−60°＝15°；（2）证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF＝12 AC，∵∠BAC＝30°，∴BC＝12 AC，∴BF＝BC，∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD，DE＝BC，∴DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，∴BE＝AB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△AFD≌△CBA，∴DF＝BA，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．变式3-1．给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．【答案】(1)正方形、矩形、直角梯形均可；(2)①证明见解析②证明见解析【分析】（1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形；（2）①首先证明△ABC≌△DBE，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE 为等边三角形；②利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．【详解】解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；（2）①∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，∵∠CBE=60°，∴△BCE是等边三角形；②∵△ABC≌△DBE，∴BE=BC，AC=ED；∴△BCE为等边三角形，∴BC=CE，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，在Rt △DCE 中，DC 2+CE 2=DE 2，∴DC 2+BC 2=AC 2．变式3-2．如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，E 为边BC 上的点，且AB AE =，D 为线段BE 的中点，过点E 作EF AE ⊥，过点A 作AF BC ，且AF 、EF 相交于点F .（1）求证：C BAD ∠=∠（2）求证：AC EF =【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD ⊥BC ，由余角的性质可得∠C=∠BAD ；（2）由“ASA”可证△ABC ≌△EAF ，可得AC=EF ．【详解】（1）如图∵AB AE =，∴ABE ∆是等腰三角形 又∵D 为BE 的中点， ∴AD BE ⊥（等腰三角形三线合一） 在Rt ABC ∆和Rt DBA ∆中， ∵B 为公共角，90BAC BDA ∠=∠=︒， ∴C BAD ∠=∠.另解：∵D 为BE 的中点， ∵BD ED =，又AB AE =，AD AD =， ∴ADB ADE ∆≅∆，∴ADB ADE ∠=∠，又180ADB ADE ∠+∠=︒， ∴90ADB ADE ∠=∠=︒ ∴AD BC ⊥，在Rt ABC ∆和Rt DBA ∆中， ∵B 为公共角，90BAC BDA ∠=∠=︒， ∴C BAD ∠=∠.（2）∵AF BC ，∴EAF AEB ∠=∠，∵AB AE =，∴ABE AEB ∠=∠，∴EAF ABC ∠=∠，又∵90BAC AEF ∠=∠=∠︒， ∴BAC AEF ∆≅∆，∴AC EF =.考点题型四全等三角形– 垂线模型典例4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：△ADC ≌△CEB ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，试问DE 、AD 、BE 的等量关系?并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）DE=AD-BE ，理由见解析【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE ，根据AAS 即可得到答案；（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC ，能推出△ADC ≌△CEB ，得到AD=CE ，CD=BE ，即可得到答案．【详解】解：（1）证明：如图1，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中， CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）结论：DE=AD-BE ．理由：如图2，∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=EC-CD=AD-BE ．变式4-1．在直角三角形ABC 中，90,30︒︒∠=∠=ACB BAC ，分别以AB 、AC 为边在ABC ∆外侧作等边ABE ∆和等边ACD ∆，DE 交AB 于点F ，求证：=EF FD .【答案】详见解析【分析】过点E 作EG AB ⊥于点G ，则有1122AG BG AE AB ===，再证 ()SAS ACB EGA ≅，得到EG AC =.从而得到90DAF DAC CAB ∠=∠+∠=︒，所以(AAS)ADF GEF ≅，即可完成证明。
初中数学几何辅助线经典100题
初中数学几何辅助线经典100题摘要：初中数学几何辅助线经典100题一、几何辅助线的概念和作用1.几何辅助线的定义2.几何辅助线在解题中的作用二、几何辅助线的常见类型及应用1.角平分线2.线段和差3.中点定理4.倍长中线5.相似三角形6.判定条件7.证明定理三、初中数学几何辅助线经典100题1.题目1-102.题目11-203.题目21-304.题目31-405.题目41-506.题目51-607.题目61-708.题目71-809.题目81-9010.题目91-100正文：初中数学几何辅助线经典100题一、几何辅助线的概念和作用几何辅助线是在解决几何问题时，通过在图形上添加一些特殊的线段，来帮助我们更好地理解和解题的一种工具。
它可以将复杂的几何问题简化为更简单的形式，使问题更容易解决。
几何辅助线在解题中的作用主要体现在以下几个方面：1.揭示图形中隐含的性质：通过添加辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的。
2.聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素相对集中、聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论。
3.化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，通过添加辅助线，将复杂图形转化为简单图形，从而简化问题，使解题更加顺利。
二、几何辅助线的常见类型及应用几何辅助线有很多种，这里我们列举几种常见的类型及其应用：1.角平分线：角平分线是将一个角平分成两个相等的角的线段。
在解题中，我们常常利用角平分线的性质来证明两个角相等或求解某个角的度数。
2.线段和差：线段和差是指通过两个线段的和与差来求解几何问题。
在解题过程中，我们通常利用线段和差的性质来证明线段相等或求解线段的长度。
3.中点定理：中点定理是指在一个线段上，如果有一个点是线段中点，那么这个点到线段两端的距离相等。
在解题中，我们常常利用中点定理来证明线段相等或求解线段的长度。
初二三角形常见辅助线做法总结及相关试题
初二三角形常见辅助线做法总结及相关试题数学专题——三角形中的常用辅助线课程解读一、学习目标：归纳、掌握三角形中的常见辅助线二、重点、难点：1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。
2、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。
三、考点分析：全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。
判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。
一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。
典型例题人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。
求证：ΔABC 是等腰三角形。
思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。
2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。
解答过程：证明：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。
又因为AD是BC边上的中线，∴BD=DC又∠BDE=∠CDAΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的平分线∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。
初中数学与角有关的辅助线综合测试卷含答案
初中数学与角有关的辅助线综合测试卷含答案初中数学与角有关的辅助线综合测试卷一、单选题(共6道，每道18分)1.已知:如图,AB∥CD,∠B=60°,∠D=20°,求∠BED的度数.解:如图,延长BE交CD于点F,∵AB∥DC ∴∠B= ∵∠B=60° ∴∠1= ∵∠BED是△EFD的一个外角∴∠BED= + ∵∠D=20° ∴∠BED=60°+20° =80°①∠BED;②∠1;③∠BFC;④60°;⑤120°;⑥∠D;⑦∠FED. 在横线上依次填写正确的顺序为( )A.②④②⑦B.①④②⑥C.②④②⑥D.①④⑥⑦答案：C试题难度：三颗星知识点：与角有关的辅助线2.已知:如图,AB∥CD,∠B=110°,∠E=90°,则∠D的度数( )A.155°B.160°C.165°D.170°答案：B试题难度：三颗星知识点：与角有关的辅助线3.如图,AB∥CD,∠E=27°,∠D=52°,则∠EBA的度数为( )A.79°B.80°C.89°D.75°答案：A试题难度：三颗星知识点：与角有关的辅助线4.已知:如图,AB∥EF,∠A=25°,∠CDE=45°,∠E=15°,则∠ACD的度数为( )A.60°B.50°C.45°D.55°答案：D试题难度：三颗星知识点：与角有关的辅助线5.已知:如图,CD∥AB,∠ACE=135°,CD⊥CE.则∠BAF的度数为( )A.35°B.55°C.45°D.50°答案：C试题难度：三颗星知识点：与角有关的辅助线6.已知:如图,在四边形ABDC 中,∠A=85°,∠B=25°,∠C=35°,求∠BDC的度数.解:如图,延长BD交AC于点E.∵∠1是的外角∴∠1= ∵∠A=85°,∠B=25° ∴∠1 =85°+25°=110° ∵∠BDC是的外角∴∠BDC= ∵∠C=35° ∴∠BDC=110°+35° =145°①△ABE;②∠BEA;③∠A+∠B;④∠A+∠BEA;⑤△EDC;⑥∠EDC;⑦∠1+∠C;⑧∠EDC+∠C. 在横线上依次填写正确的顺序为( )A.②③⑤⑧B.②③⑤⑦C.①③⑤⑦D.①③⑤⑧答案：C试题难度：三颗星知识点：与角有关的辅助线。
初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题
初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题初中数学：几何题型，辅助线的画法和典型例题1.倍长中线法已知在△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，需要判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明结论。
思路点拨：利用倍长中线法，倍长过中点的线段DF使DG＝DF，再证明△XXX≌△EDF，△FDC≌△GDB，将BE、CF与EF线段转化到△BEG中，利用两边之和大于第三边证明。
解析：连接BG、EG，因为D是BC中点，所以BD＝CD。
又因为DE⊥DF，在△XXX和△EDF中，ED＝ED，∠XXX∠EDF，DG＝DF，因此△XXX≌△EDF（SAS），所以EG＝EF。
在△XXX与△GDB中，CD＝BD，∠1＝∠2，DF＝DG，因此△FDC≌△GDB（SAS），所以CF＝BG。
因为BG＋BE＞EG，所以BE＋CF＞EF。
结论得证。
总结升华：有中点的时候作辅助线可以考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）。
变式：已知CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC，需要证明CD＝2CE。
解析：连接BF，延长CE至F使EF＝CE。
因为EC为中线，所以AE＝BE。
在△AEC与△BEF中，AE＝BE，∠AEC ＝∠BEF，CE＝EF，因此△AEC≌△BEF（SAS）。
所以AC ＝BF，∠A＝∠FBE。
又因为∠ACB＝∠ABC，∠XXX∠ACB＋∠A，∠XXX∠ABC＋∠A，所以AC＝AB，∠XXX∠XXX。
因此AB＝BF，BC为△ADC的中线，所以AB＝BD，即BF＝BD。
在△FCB与△DCB中，∠XXX∠DBC，BC＝BC，因此△FCB≌△DCB（SAS），所以CF＝CD。
结论得证。
2.以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，需要证明XXX。
解析：在AB上截取AE＝AC，连接CE，作角ACE的平分线交AB于D，连接CD。
因为∠C＝2∠B，所以∠ACE＝∠XXX∠B，∠XXX∠A＝∠1＝∠2，所以△AED≌△ACD （SAS），因此ED＝CD。
初二数学三角形辅助线题型
初二数学三角形辅助线题型三角形是初中数学中重要的基础知识点，而在解决三角形相关题目时，辅助线是一种常用的解题方法之一。
本文将介绍三角形辅助线的常见题型及解法，帮助初二学生更好地理解和应用辅助线。
1. 垂直与角平分线首先介绍的是垂直与角平分线这一题型。
给定一个三角形ABC，我们需要证明某条辅助线垂直于角A的角平分线。
解题步骤如下：第一步，画出角A的角平分线，假设交点为D；第二部，延长辅助线使其与BC交于点E；第三步，证明∠ABD ≌∠CBD，即证明角A与角C的角平分线互相垂直。
2. 中线、高线及外心连线接下来是中线、高线及外心连线这一题型。
给定一个三角形ABC，我们需要证明某条辅助线是三角形的中线、高线或外心连线。
解题步骤如下：中线：连接AB的中点D与C，证明AD ≌ CD。
高线：从角A的对边BC上引垂线，假设垂足为D，证明角ADC 为直角。
外心连线：连接三角形ABC的外心O与顶点A、B、C，证明AO= BO = CO。
3. 重心连线重心连线是指连接三角形的顶点与其重心的线段。
给定一个三角形ABC，我们需要证明某条辅助线是三角形的重心连线。
解题步骤如下：首先，找到三角形的重心G，即三条中线的交点；连接顶点A与重心G，证明AG = 2/3 * GD；同样的，连接顶点B与重心G，证明BG = 2/3 * GE；连接顶点C与重心G，证明CG = 2/3 * GF。
通过上述三个题型的介绍，我们可以看到辅助线在解决三角形相关题目中起到了重要的作用。
在实际解题过程中，我们需要运用几何性质和定理，灵活使用辅助线来帮助我们证明或解决问题。
需要注意的是，解答题目时要注意清晰的步骤呈现，包括连线、角度证明、线段长度证明等。
同时，要用准确的语言描述每个步骤，并使用清晰的图示来支持解答过程。
总结：三角形辅助线题型是初中数学中的重要思维拓展题目。
通过运用辅助线，我们可以更好地理解和应用三角形的相关性质与定理。
在解题过程中，我们需要灵活运用相关知识，合理利用辅助线来推导证明结论。
初中数学三角形中的辅助线之倍长中线专项训练题(附答案详解)
初中数学三角形中的辅助线之倍长中线专项训练题（附答案详解）1．在ABC 中，∠C=90°，AC>BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点 D 作DF ⊥ DE ，交直线BC 于点F，连接EF．（1）如图1，当 E 是线段AC 的中点时，设AE a, BF b ，求EF 的长（用含a, b 的式子表示）；（2）当点 E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE ，EF，BF 之间的数量关系，并证明．2．阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ ADC ≌△ GDB，再利用AE＝EF 可以进一步证得∠ G＝∠ FAE＝∠ AFE＝∠ BFG，从而证明结论．思路二如图 ②，添加辅助线后并利用 AE ＝EF 可证得∠ G ＝∠ BFG ＝∠ AFE ＝∠ FAE ，再依据 AAS 可以进一步证得△ ADC ≌△ GDB ，从而证明结论．完成下面问题：1）①思路一的辅助线的作法是：② 思路二的辅助线的作法是：2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并 画出相应的图形，不需要写出证明过程）解决此问题可以用如下方法： 延长 AD 到点 E 使DE=AD ，再连接 BE （或将△ACD 绕着 点 D 逆时针旋转 180°得到△EBD ），把 AB ， AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三 边的关系即可判断． 中线 AD 的取值范围是 _______ ；（ 2）问题解决：如图②，在 △ABC 中， D 是BC 边上的中点， DE ⊥DF 于点 D ，DE 交AB 于点 E ，DF 交 AC 于点 F ，连接 EF ，求证： BE+CF > EF ；（ 3）问题拓展：如图③，在四边形 ABCD 中，∠ B+∠D=180°，CB=CD ，∠BCD=14°0 ，以 C为顶点作如图①，在 △ABC 中，若 AB=10 ， AC=6 ，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围． 3．阅读一个 70°角，角的两边分别交 AB ，AD 于 E ，F 两点，连接 EF ，探索线段 BE ， DF ， EF 之间的数量关系，并加以证明．4．问题提出( 1)如图， AD 是 ABC 的中线，则 AB AC ____________ 2 AD ；(填“ ”“ ”或 ( 2)如图，在矩形 ABCD 中， CD 3,BC 4，点 E 为 BC 的中点，点 F 为CD 上 任意一点，当 AEF 的周长最小时，求 CF 的长；问题解决( 3)如图，在矩形 ABCD 中，AC 4,BC 2，点O 为对角线 AC 的中点，点P 为 AB 使折线 OPQB 的长度最小？若存在， 请确定点 Q 的位置，并求出折线 OPQB 的最小长 度；若不存在，请说明理由．5．如图，正方形 ABCD 中，E 为 BC 边上任意点， AF 平分∠EAD ，交 CD 于点 F ．(1) 如图 1，若点 F 恰好为 CD 中点，求证： AE=BE+2CE ；CE(2) 在(1)的条件下，求 的值；BC(3) 如图 2，延长 AF 交 BC 的延长线于点 G ，延长 AE 交 DC 的延长线于点 H ，连接 HG ， 当 CG=DF 时，求证： HG ⊥ AG ．上任意一点，点 Q 为 AC 上任意一点，连接 PO 、 PQ 、 BQ ，是否存在这样的点 Q ，6．将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，OA OB, OC OD , AOB COD 90 ，连接AC ,BD ．1)如图1,若A、O、D三点在同一条直线上，则AC与BD的关系是2)如图2，若A、O、D三点不在同一条直线上, AC与BD相交于点E，连接OE,猜想AE、 BE、 OE 之间的数量关系，并给予证明；3) 如图3，在(2)的条件下作BC的中点F,连接OF ，直接写出AD与OF 之间的关系．7．如图，在△ABC中，AB=AC ，D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA ，BE ⊥AD 于点E，取BE 的中点F，连接AF ．(1) 若AC= 15 ，AE= 3，求BE的长；(2) 在( 1)的条件下，如果∠D=45°，求△ABD 的面积．(3) 若∠ BAC= ∠DAF ，求证：2AF=AD ；1）如图 1，若 AEF B ， AE AF ，求 B 的度数；AF2）如图 2 ，若E 是AB 的中点， EC EF ，求 AF 的值；AC3）如图 3，若 AEF B ，点 A 是线段CF 的中点，求证： AB EF9．如图 1， ABC ， AED 都是等腰直角三角形， ABC E 90 ， AE AB b ，且 a b ，点 D 在 AC 上，连接 BD ，BD c ．1）如果 c 5 a ；2①求 a 的值；b②若 a ，b 是关于 x 的方程 x 2 2）如图 2，将 ADE 绕点 A 逆时针旋转 90a ，1 2 2 3mx 215 m 2 25m 35 0的两根，求 m ；135 F 在 CA 的延长线上①在 BC 上方，与 A 、D 、E 同一平面内找一点 F ，使四边形 BCDE 的面积 S 四边形 BCDE 与四边形 BCFE 的面积 S 四边形BCFE 相等，并简要说明寻找点 F 的作法； ②若S 四边形BCDE S △ ABE 50 ，直接写出 BE 的长 10．阅读材料，解答下列问题．如图 1，已知△ ABC 中， AD 为中线．延长 AD 至点 E ，使 DE=AD ．在△ ADC 和△EDB 中，AD=DE ，∠ADC=∠EDB ，BD=CD ，所以，△ACD ≌△EBD ，进一步可得到 AC=BE ， AC//BE 等结论．在已知三角形的中线时， 我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形， 并进一 步解决一些相关的计算或证明题．解决问题：如图 2，在△ ABC 中， AD 是三角形的中线，点 F 为 AD 上一点，且 BF=AC ， 连结并延长 BF 交 AC 于点 E ，求证： AE=EF ．11．（问题情境） 学习《探索全等三角形条件》 后，老师提出了如下问题： 如图①， △ABC 中，若 AB=12 ， AC=8 ，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围．同学通过合作交流，得到 了如下的解决方法：延长 AD 到 E ，使 DE=AD ，连接 BE.根据 SAS 可证得到 △ADC ≌△EDB ，从而根据 “三角形的三边关系 ”可求得 AD 的取值范围是 ．解 后反思：题目中出现 “中点”中“线 ”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的 已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中 .直接运用）如图②， AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，AB=AC ，AD=AE ，AF 是ACD 的边CD 上 中线 .求证： BE=2AF.（灵活运用）如图③，在 △ABC 中，∠ C=90°，D 为AB 的中点， DE ⊥DF ，DE 交AC于点E，DF交AB于点F，连接EF，试判断以线段AE 、BF、EF为边的三角形形状，并证明你的结论.12．如图，分别以ABC 的边向外作正方形ABFG 和ACDE ，连接EG，若O 为EG 的2（2）AO BC ．13．如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．求证：∥ ．14 ．如图所示，，是的中点，，，求证．15 ．已知：如图所示，AD 平分，M 是BC 的中点，MF//AD ，分别交CA 延长线，AB 于F、E．求证：BE=CF ．16．已知：AD 是的中线，AE=EF ．求证：AC=BF ．探究倍延三角形的一条中线，我们可以发现一些有用的结论.已知，如图 1 所示，AD 为△ABC 的中线，延长AD 到E,使AD=DE, 连接BE、CE.（2）请再写出两条不同类型的结论.解决问题如图所示2，分别以△ABC 的边AB 和AC 为边，向三角形的外侧作两个等腰直角三角形，AB=AD,AC=AE, ∠BAD = ∠ CAE=90° ，点M 为BC 的中点，连接DE,AM, 试问线段AM 、DE 之间存在什么关系？并说明理由.18．如图1，在Rt ABC中，BAC 90 ，ABC 60 ，AB 4 3，M 是BC 边的中点，MN BC交AC 于点N .将直角PMQ 绕顶点M 旋转，使得边MP 与线段BA 交于点P ，边MQ与线段AC交于点Q.1）求证： PBM 与 QNM 相似；2）设 BP 的长为 x ，Rt APQ 的面积为 S ，求 S 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取 值范围；3）探究 BP 2、 PQ 2、 CQ 2三者之间的数量关系，并说明理由 ABC 中， AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点， EF ∥AD 交CA21．如图所示， ABC 中， D 为 BC 的中点， AB 6,AC 4，求 AD 的取值范围．22．如图所示， AD 为 ABC 的角平分线， E,F 分别在 BD,AD 上， DC DE ，若23．如图所示，在 ABC 中， AD 为中线， BAD 90 ,AB 2AD ，求 DAC的求证： AD 为 BAC 的平分线 . BF 交AD, AC 分别于 E,F ，如果19．如图所示，在BE AC ，求证： AF EF EF ∥AB度数．90 ，D为AB 的中点，E、F 分别在AC 、BC 上，且ED FD 于D .求证：AE2BF2EF2.25．如图，在ABC 中，BAC BCA AD是边BC上的中线，延长BC至E，使BC EC ，求证：AE 2AD .26．如图，AB AE ，AD AC ，BAE DAC 180 ，点F 为DE 的中点，的延长线于点F ，ABC的中线，AG HG .求证：BH AC.中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA 交AB 于点G ，若BG CF ，求证：BAC 2 BAD .参考答案1．（1）a2b2；（2）图见解析，EF2AE2BF2，证明见解析．【解析】分析】11）先根据中位线定理和线段中点定义可得DE //BC ，DE BC，CE AE a，再根据平行四边形的性质、2矩形的判定与性质可得DE CF ，从而可得CF BF b ，然后利用勾股定理即可得；（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得EAD GBD，DEA DGB ，再根据三角形全等的判定定理与性质可得ED GD ，AE BG ，然后根据垂直平分线的判定与性质可得EF FG ，最后在Rt BGF 中，利用勾股定理、等量代换即可得证．【详解】（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点∴ DE 为ABC 的中位线，且CE AE a1∴ DE //BC ，DE BC2∵ C 90∴ DEC 180 C 90∵ DF DE∴ EDF 90∴四边形DECF 为矩形∴ DE CF11CF BC （BF CF）22∴ CF BF b则在Rt CEF 中，EF CE2 CF2a2 b2；（2）过点B作AC 的平行线交ED 的延长线于点G，连接FG ∵ BG//AC∴ EAD GBD ，DEA DGB∵D是AB 的中点∴ AD BD∴ EAD GBD ( AAS)ED GD ， AE BG又∵ DF DE∴DF 是线段 EG 的垂直平分线∴ EF FG∵ C 90 ， BG// AC∴ GBF C 90在 Rt BGF中， 由勾股定理得： FG 2 BG 2 BF 222 ∴ EF 2 AE 2BF 2．【点睛】 本题考查了中位线定理、 矩形的判定与性质、 三角形全等的判定定理与性质、 垂直平分线的 判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（ 2），通过作辅助线，构造全等三角形和直角 三角形是解题关键．2．（1）①延长AD 至点G ，使DG ＝AD ，连接 BG ；②作BG ＝BF 交AD 的延长线于点 G ； （2）详见解析【解析】【分析】（1）①依据 SAS 可证得△ ADC ≌△ GDB ，再利用 AE ＝EF 可以进一步证得∠ G ＝∠ FAE ＝ ∠ AFE ＝∠ BFG ，从而证明结论．②作 BG ＝BF 交 AD 的延长线于点 G ．利用 AE ＝ EF 可证得∠ G ＝∠ BFG ＝∠ AFE ＝∠ 在 EAD 和 △ GBD 中，EAD GBD DEA DGB AD BDFAE，再依据AAS可以进一步证得△ ADC ≌△ GDB，从而证明结论．（2）作BG∥AC 交AD 的延长线于G，证明△ ADC≌△ GDB （AAS），得出AC＝BG，证出∠G＝∠ BFG，得出BG＝BF，即可得出结论．【详解】解：（1）①延长AD至点G，使DG ＝AD ，连接BG，如图① ，理由如下：∵AD 为△ABC 中线，∴BD＝CD，AD=DG在△ ADC 和△GDB 中，ADC＝ GDB ，CD BD∴△ ADC≌△ GDB （SAS），∴ AC ＝BG ，∵AE＝EF，∴∠ CAD＝∠ EFA，∵∠ BFG＝∠ G，∠ G＝∠ CAD，∴∠ G＝∠ BFG ，∴BG＝BF，∴AC＝BF．故答案为：延长AD至点G，使DG ＝AD ，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．理由如下：∵ BG ＝ BF ，∴∠ G ＝∠ BFG ， ∵AE ＝EF ，∴∠ EAF ＝∠ EFA ， ∵∠ EFA ＝∠ BFG ，∴∠ G ＝∠ EAF ，（2）作 BG ∥AC 交AD 的延长线于 G ，如图③所示：则∠ G ＝∠ CAD ，∵AD 为△ABC 中线，∴BD ＝CD ，CAD ＝ G在△ADC 和△GDB 中， ADC ＝ GDB ，CD BD∴△ ADC ≌△ GDB （ AAS ），∴ AC ＝ BG ，∵AE ＝EF ， ∴∠ CAD ＝∠ EFA ，∵∠ BFG ＝∠ EFA ，∠ G ＝∠ CAD ，∴∠ G ＝∠ BFG ，∴BG ＝BF ， 在△ ADC 和△ GDB 中， CAD ＝ GADC ＝ GDB ，CD BD∴△ ADC ≌△ GDB （ AAS ），∴ AC ＝ BG ，∴AC ＝BF ；故答案为：作 BG ＝BF 交 AD 的延长线于点 G ；∴AC＝BF．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有四个定理：AAS 、ASA 、SAS、SSS，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题．3．（1）2<AD<8；（2）证明见解析；（3）BE+DF=EF ；理由见解析.【解析】【分析】（1）延长AD 至E，使DE=AD ，由SAS证明△ACD ≌△ EBD ，得出BE=AC=6 ，在△ABE 中，由三角形的三边关系求出AE 的取值范围，即可得出AD 的取值范围；（2）延长FD 至点M，使DM=DF ，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△ CFD，得出BM=CF ，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF ，在△BME 中，由三角形的三边关系得出BE+BM > EM 即可得出结论；（3）延长AB 至点N，使BN=DF ，连接CN，证出∠NBC= ∠ D，由SAS 证明△NBC ≌△ FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，证出∠ECN=7°0 =∠ECF，再由SAS证明△NCE≌△ FCE，得出EN=EF ，即可得出结论．详解】（1）解：延长AD至E，使DE=AD ，连接BE，如图①所示：∵ AD 是BC 边上的中线，∴ BD=CD ，在△BDE和△CDA 中，BD=CD ，∠ BDE= ∠ CDA ，DE=AD ，∴△ BDE ≌△ CDA （SAS），∴ BE=AC=6 ，在△ABE 中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE<AE<AB+BE ，∴10﹣6<AE <10+6，即4<AE<16，∴2<AD <8；故答案为2<AD <8；（2）证明：延长FD至点M，使DM=DF ，连接BM 、EM ，如图②所示：同（1）得：△BMD ≌△ CFD （SAS），∴ BM=CF ，∵DE ⊥DF，DM=DF ，∴EM=EF ，在△BME 中，由三角形的三边关系得：BE+BM >EM ，∴ BE+CF >EF；（3）解：BE+DF=EF ；理由如下：延长AB 至点N，使BN=DF ，连接CN，如图3所示：∵∠ ABC+ ∠ D=180°，∠ NBC+ ∠ ABC=18°0 ，∴∠ NBC= ∠D，在△NBC和△FDC 中，BN=DF ，∠NBC = ∠D，BC=DC，∴△ NBC≌△ FDC （SAS），∴ CN=CF ，∠NCB= ∠FCD，∵∠ BCD=14°0 ，∠ ECF=70°，∴∠ BCE+∠ FCD=70° ，∴∠ ECN=7°0 =∠ ECF，在△NCE 和△FCE 中，CN=CF ， ∠ ECN= ∠ ECF ， CE=CE ， ∴△ NCE ≌△ FCE （SAS ），∴ EN=EF ，∵ BE+BN=EN ，∴ BE+DF=EF ．考点：全等三角形的判定和性质；三角形的三边关系定理 .4．（1）＞；（2）CF 1；（ 3）当点 Q 与AC 的中点 O 重合时，折线 OPQB 的长度最小， 最小长度为 4．【解析】【分析】（1）如图（见解析） ，先根据三角形全等的判定定理与性质得出 AB EC ，再根据三角形 的三边关系定理即可得；（2）如图（见解析） ，先根据矩形的性质得出 AB 3, B BCD 90 , AB//CD ，从而 可得 AE 的长， 再根据三角形的周长公式、 两点之间线段最短得出 AEF 的周长最小时， 点 F 的位置，然后利用相似三角形的判定与性质即可得；3）如图（见解析） ，先根据轴对称性质、两点之间线段最短得出折线 时， B ,Q,P,O 四点共线，再利用直角三角形的性质、矩形的性质得出BAC 30 ，AB 2 3， AO 2 ，然后利用轴对称的性质、角的和差可得 AB 2 3, AO 2，BAO 90 ，由此利用勾股定理可求出 B O 的长， 即折线 OPQB 的最小长度； 设 B O 交 AC 于点 Q ，根据等边三角形的判定与性质可得 AQ 2 ，从而可得 AQ AO ，由此 即可得折线 OPQB 的长度最小时，点 Q 的位置．OPQB 的长度最小详解】(1) 如图，延长AD ，使得DE AD，连接CE AD 是ABC 的中线BD CDAD ED在△ ABD 和ECD 中，ADB EDCBD CDABD ECD (SAS)AB EC在△ ACE 中，由三角形的三边关系定理得：EC AC AE ，即EC AC AD AB ACDE 2AD故答案为：；（2）如图，作点E关于CD 的对称点G ，连接FG，则CE CG四边形ABCD 是矩形，CD 3,BC 4AB CD 3, B BCD 90 , AB //CDDC 垂直平分EGEF FG点 E 是BC 的中点12BE CE BC2CE2，BG BC CG 6AE AB2 BE213，CG则AEF 的周长为AE EF AF13EF AF13FG AF要使AEF 的周长最小，只需FG AF由两点之间线段最短可知，当点A, F,G 共线时，FG AF 取得最小值AGAB//CD∴ FCG ABGFC CG FC 2∴，即AB BG 3 6解得CF 1；3）如图，作点B关于AC的对称点B ，作点O关于AB的对称点O，连接AB,QB,AO,PO,BO ，则QB QB,OP OP∴折线OPQB 的长度为OP PQ QB O P PQ QB由两点之间线段最短可知，OP PQ QB BO ，当且仅当点B,Q,P,O 四点共线时，折线OPQB 取得最小长度为B O∵在矩形ABCD中，AC 4, BC 2, ABC 90BAC 30 ，AB AC2 BC 2 2 3∵点O为AC 的中点1∴ AO AC 2 2∵点 B 与点B′关于AC对称，点O与点O 关于AB 对称B AC BAC 30，AB AB 2 3O AB BAC 30 ，AO AO 2BAO BAC BAC O AB 90B O AB 2 AO 2 (2 3)2 22 4设BO交AC于点Q在Rt ABO 中，AO 2,B O 4AB O 30AOB 90 ABO 60 ，即 AO Q 60又∵ O AQ BAC O AB 60∴ △ AO'Q' 是等边三角形∴ AQ AO 2∵ AO 2AQ AO∴点 Q 与 AC 的中点 O 重合综上，当点 Q 与AC 的中点 O 重合时，折线 OPQB 的长度最小，最小长度为 4．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、 轴对称的性质、 相似三角形的判定与性质、 等边 三角形的判定与性质等知识点， 较难的是题( 3)，利用轴对称的性质正确找出折线 OPQB 的 最小长度是解题关键．15． (1)见解析； (2) ； (3)见解析 4【解析】分析】1)延长 BC 交 AF 的延长线于点 G ，利用“ AAS ”证△ ADF ≌△ GCF 得AD ＝CG ，据此 知 CG ＝BC ＝BE ＋CE ，根据 EG ＝ BE ＋CE ＋CE ＝BE ＋2CE ＝AE 即可得证；(2) 设 CE ＝a ，BE ＝b ，则 AE ＝ 2a ＋ b ，AB ＝ a ＋ b ，在 Rt △ ABE 中，由 AB 2＋BE 2＝AE 2 可得 b ＝ 3a ，据此可得答案； 结合∠ AFD ＝∠ HFG ，知△ ADF ∽△ HGF ，从而得出∠ ADF ＝∠ FGH ，根据∠ ADF ＝90°即 可得证．【详解】3）连接 DG ，证△ ADF ≌△ DCG 得∠ CDG ＝∠ DAF ，再证△ AFH ∽△ DFG 得 AF FH DF FG解：(1)如图1，延长BC交AF 的延长线于点G，∴∠ DAF=∠ G，又∵AF平分∠DAE，∴∠ DAF=∠ EAF，∴∠ G=∠ EAF，∴EA=EG，∵点F为CD 的中点，∴CF=DF，又∵∠ DFA=∠ CFG，∠FAD=∠G，∴△ ADF≌△ GCF (AAS)，∴AD=CG，∴CG=BC=BE+CE，∴EG=BE+CE+CE=BE=2CE=AE；(2)设CE=a，BE=b，则AE=2a+b，AB=a+b，在Rt△ABE 中，AB2+BE2=AE2，即(a+b)2+b2=(2a+b)2，解得b=3 a，b=﹣a(舍)，CE a 1∴BC a b 4(3) 如图2，连接DG，∴△ ADF≌△ DCG （SAS），∴∠ CDG=∠ DAF ，∴∠ HAF =∠ FDG ，又∵∠ AFH=∠DFG ，∴△ AFH∽△ DFG，∴AF FH ，DF FG ，又∵∠ AFD=∠HFG ，∴△ ADF∽△ HGF，∴∠ ADF =∠ FGH ，∵∠ ADF =90°，∴∠ FGH =90°，∴AG⊥GH．【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识点．6．（1）AC BD且AC BD；（2）AE BE 2OE ；证明见解析；（3）AD 2OF 且AD OF ．【解析】【分析】（1）根据题意利用全等三角形的判定与性质以及延长AC交BD于点C'进行角的等量代换进行分析即可；（2）根据题意在AE 上截取AM BE ,连接OM ，并全等三角形的判定证明BOCAOCBOD 和 AMO BEO ，进而利用勾股定理得出 OM 2 OE 2 ME 2进行分析求解即可； （3）过点B 作BM ∥OC ，交OF 的延长线于点 M ，延长 FO 交AD 于点 N ，证明?BFM?? CFO ， ? AOD ?? OBM ，进而即可得到结论．【详解】∴ AOC BOD (SAS), AC BD ，延长 AC 交 BD 于点 C '，如下图：故答案为： AC BD 且 AC BD ；2 AE BE 2OEAOC BOD 在 AOC 和 BOD 中 解： 1 ∵ OA OB,OC OD , AOBCOD 90 ，∵ AOC BOD , ACO BCC ，ACO CAO BCC CBC90 , BC C 90 ， 即 AC BD ，综上 AC BD 且 ACBD， 证明:在 AE 上截取 AM BE ,连接 OMAOB BOC CODAO BOAOC BODOC ODAOC BOD SASCAO DBO 在AMO 和BEO 中AM BEMAO EBOAO BOAMO BEO SASOM OE, AOM BOEAOM MOB 90BOE BOM 90OM 2 OE2 ME 2 即2OE2 ME22OE MEME MA AE2OE BE AE ；3 AD 2OF 且AD OF ，理由如下：过点B作BM ∥OC，交OF的延长线于点M，延长FO交AD 于点N，∵BM ∥OC，∴∠ M= ∠FOC，∵∠ BFM= ∠ CFO，BF=CF,∴?BFM ?? CFO（AAS ），∴ OF=MF ，BM=CO ，∵ DO=CO ，∴ DO=BM ，∵BM ∥OC，∴∠ OBM+ ∠ BOC=180 °，∵∠ BOC+ ∠AOD=360 °-90°-90°=180°，∴∠ OBM= ∠AOD ，又∵ AO=BO ，∴? AOD ?? OBM （SAS），∴ AD=OM=2OF ，∠ BOM= ∠OAD ，∵∠ BOM+ ∠AON=180 ° -90° =90°，∴∠ OAD+ ∠AON=90 °，即OF⊥ AD ．∴ AD 2OF 且AD OF ．点睛】本题考查等腰直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键.7．（1）2 3 ；（2）9；（3）见详解解析】分析】1）在Rt△AEB 中，利用勾股定理即可解决问题；2）由∠ D ＝45°可证得BE＝DE ，再利用三角的面积公式计算即可；3）如图，延长AF 至M 点，使AF＝MF，连接BM ，首先证明△ AEF≌△ MFB，再证明△ABM ≌△ACD 即可．∴∠ EAB+∠ABM ＝180详解】1）解：∵ AB ＝AC ，AC ＝ 15 ， ∴AB ＝ 15 ，∵BE ⊥AD ，AE ＝ 3，∴EF ＝BF ，在△ AEF 和△ MBF 中，AF FMAFE BFMEF BF∴△ AEF ≌△ MBF (SAS )，∴∠ FAE ＝∠ FMB ，∴AE ∥MB ，∴在 Rt △ AEB 中， BE AB 2 AE 2 ( 15) 2 ( 3)22）解：∵ BE ⊥AD ， ∠ D ＝ 45°，∴∠ EBD ＝∠ D ＝45°，∴BE ＝DE ＝ 2 3，∴ AD ＝ AE+DE ＝ 3∴S ABD 12AD BE 2 12 3 3 2 39；AF 至 M 点，使 AF ＝MF，连接 BM ，3）证明：如图，延长∴∠ ABM＝180°﹣∠ BAD，又∵ AB＝AC，DB＝DA ，∴∠ ABC＝∠ ACB＝∠ BAD ，∴∠ ACD ＝180°﹣∠ ACB，∴∠ ABM＝∠ ACD ．又∵∠ BAC＝∠ DAF ，∴∠ BAC﹣∠ MAC ＝∠ DAF ﹣∠ MAC ，∴∠ 1＝∠ 2．在△ ABM 和△ ACD 中，12AB AC ，ABM ACD∴△ ABM≌△ ACD （ASA），∴AM＝AD，又∵ AM＝AF+MF＝2AF，∴2AF＝AD．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是中线延长一倍，作出正确的辅助线构造全等三角形，属于常考题型．AF 18．（1）B 36 ；（2）；（3）证明见解析．AC 2【解析】【分析】（1）设B x，则AEF D B x ，则由题意可得BAC ACB 2x，利用三角形内角和定理即可求解；（2）过E作EG / / BC ，交AC于G点，可利用全等三角形的性质判定可得FEA≌CEG 即可求解；（3）延长BA至G，使得AG AB，连结GF，可利用全等三角形的性质判定可得AGF ≌ABC 则G B，FG BC从而得出G AEF即可证明AB EF ．详解】解：（1）设B x ，则AEF D B x ，AE AF ，BAC ACB 2x ，在ABC 中，2x 2x x 180 ，x 36 ，即B 36 ；（2）如图1，过E作EG//BC，交AC于G点，则AG GC ，E是AB的中点，EG//BC，11AE AB BC EG ，22EAG EGA，EF EC ，EFC ECF ，FEA CEG ，在FEA 和CEG 中，EF ECFEA CEGAE EGFEA ≌CEG（SAS），FA GC ，即FA AG GC ，AF 1；AC 2；（3）证明：如图2，延长BA至G，使得AG AB，连结GF，点A为CF 的中点，AF AC ，在AGF 和ABC 中，AF ACFAG CAB ，AG ABAGF ≌ABC（SAS），G B，FG BC ，AEF B ，G AEF EF FG ，即EF BC AB ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质和全等三角形的判定．作辅助线构造三角形全等是解题关键．a29．（1）①；② m 1；（2）①说明寻找点F的作法见解析；② BE 10．b3【解析】【分析】（1）①延长ED 交BC 于F ，根据勾股定理建立等式即可求出答案；a2②由根与系数的关系求出a+b 及ab，利用①即可用m 分别表示 a 与b，再整理求出mb3即可得到答案；（2）①取CD的中点O ，连接EO并延长EO至F ，连接CE 、DF 、BF 、CF ，则四边形ECFD为平行四边形，CF DE且CF∥DE，CE DF 且CE∥DF，根据平行四边形的性质得到S CDE S CFE ，即可证得结论；②利用平行四边形的性质根据SAS证明△EAB≌△ FCB ，得到BEF 为等腰直角三角形，根据S四边形BCDE S△ABE 50，求出S△BEF 50即可求出答案25详解】1）解：①如图 1，延长 ED 交BC 于F ，∴ m 1符合题意，∴ m 1；DF b a ， BF a ，2 2 2在 Rt △DHB 中由勾股定理得， a 2 (b a)2 c 2 ，又∵ c 5a∴ (a 2b)(3a 2b) 0 ， 又∵ a b ，∴ a 2∴ b 3；②由根与系数的关系ab m 由 a ba 2 m ，b3， 解得 a 2 3m b m ， 5 562 1 2 2 3 ∴m m m 25 255 5 整理得， 2m 2m 30解得 m 1 3， m 2 1， ∵ a b m 0，1 2 2 3 m m ， 25 5 5 当 m 1时，方程为 x 2 x0 ，这个方程有两个不相等的正根， ∴ a 2b 或 3a 2b ， ∴ m 1，50，2）解：①如图 2，取 CD 的中点 O ，连接 EO 并延长 EO 至 F ，使 OE=OF ，连接 CE 、DF 、 BF 、 CF ，则四边形 ECFD 为平行四边形， CF DE 且 CF ∥DE ， CE DF 且 CE ∥DF ，②∵ CE ∥DF ，∴∠ EFC=∠DEF=90° ，∵∠ ABC=90° ， ∴∠ BCF+ ∠ BAF= ∠ BAF+ ∠ BAE=180° ， ∴∠ BCF= ∠ BAE ， ∵ CF=DE=AE ， BC=BA ， ∴ △EAB ≌△ FCB (SAS) ， ∴ EB=FB ，∠ ABE= ∠CBF, ∴∠ EBF=90°，∴ BEF 为等腰直角三角形，∴ S △BEF 50 ，1∴ BE BF 50 ．2∴ BE BF 10 ．【点睛】S 四边形BCDE S △BCE S △ CDE S △ BCE S △CFE S 四边形 BCFE ；S 四边形BCDE S △ ABE ∴ S CDE S CFE此题考查勾股定理，一元二次方程根与系数的关系，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，解题中注意综合解题方法的应用，正确掌握各部分知识是解题的关键.10．详见解析【解析】【分析】延长AD 到M，使DM=AD ，连接BM，根据SAS 推出△BDM ≌△ CDA ，根据全等三角形的性质得出BM=AC ，∠ CAD= ∠M，根据BF=AC 可得BF=BM ，推出∠ BFM= ∠M，求出∠ AFE= ∠ EAF 即可．【详解】如图，延长AD 至点M ，使得MD AD ，并连结BM ，∵ AD 是三角形的中线，∴ BD CD ，在△MDB 和△ADC 中，BD CD,BDM CDA,DM DA,∴ △MDB≌△ ADC ，∴ AC MB ，BMD CAD ，∵ BF AC ，∴ BF BM ，∴ BMD BFD ，BFD EFA ，BMD CAD ，EFA EAF ，即AE EF ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形．11．（1）2<AD <10；（2）见解析（3）为直角三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据△ ADC ≌△ EDB ，得到BE=AC=8 ，再根据三角形的构成三角形得到AE 的取值，再根据 D 为AE 中点得到AD 的取值；（2）延长AF 到H，使AF=HF ，故△ADF≌△HCF，AH=2AF ，由AB ⊥AC，AD ⊥ AE ，得到∠ BAE+ ∠CAD=180 °，又∠ ACH+ ∠CAH+ ∠AHC=18°0 ，根据∠ D= ∠ FCH，∠ DAF= ∠CHF ，得到∠ ACH+ ∠ CAD=18°0 ，故∠ BAE= ACH ，再根据AB=AC ，AD=AE 即可利用SAS证明△ BAE ≌△ ACH ，故BE=AH,故可证明BE=2AF.（3）延长FD到点G，使DG=FD ，连结GA ，GE ，证明△ DBF≌△ DAG ，故得到FD=GD ，BF=AG ,由DE⊥DF，得到EF=EG,再求出∠ EAG=90°，利用勾股定理即可求解.【详解】（1）∵ △ADC ≌△EDB，∴ BE=AC=8 ，∵ AB=12 ，∴12-8<AE<12+8，即4<AE <20，∵ D 为AE 中点∴2<AD <10；（2）延长AF到H，使AF=HF ，由题意得△ADF ≌△ HCF ，故AH=2AF ，∵AB ⊥AC，AD ⊥AE，∴∠ BAE+ ∠ CAD=180 °，又∠ ACH+ ∠ CAH+ ∠ AHC=18°0 ，∵∠ D=∠FCH ，∠ DAF= ∠CHF，∴∠ ACH+ ∠ CAD=18°0 ，故∠ BAE= ACH ，又AB=AC ，AD=AE∴△ BAE ≌△ACH （SAS），故BE=AH, 又AH=2AF∴BE= 2AF.（3）以线段AE、BF、EF 为边的三角形为直角三角形，理由如下：延长FD 到点G，使DG=FD ，连结GA，GE，由题意得△ DBF≌△ ADG，∴ FD=GD ，BF=AG ,∵DE⊥DF，∴ DE 垂直平分GF,∴ EF=EG,∵∠ C=90°，∴∠ B+∠ CAB=90° ，又∠ B=∠ DAG ，∴∠ DAG + ∠ CAB=90°∴∠ EAG=9°0 ，故EG2=AE 2+AG2，∵ EF=EG, BF=AG∴ EF2=AE 2+BF2，则以线段AE、BF、EF 为边的三角形为直角三角形此题主要考查全等三角形的判定与性质， 解题的关键是根据题意作出辅助线， 根据垂直平分 线与勾股定理进行求解 .12．（1）证明见详解； （2）证明见详解【解析】 【分析】（1）如图，延长 AO 到 M ，使 OM=AO ，连接 GM ，延长 OA 交 BC 于点 H ．根据全等三角 形的性质得到 AE=MG ，∠MGO=∠AEO ，根据三角形的内角和得到∠ MGA+ ∠GAE=180 °， 根据正方形的性质得到 AG=AB ，AE=AC ，∠ BAG= ∠ CAE=90 °，根据全等三角形的性质 得到 AM=BC ，等量代换即可得到结论；（ 2）根据全等三角形的性质得到∠ M= ∠EAO ，∠M=∠ACB ，等量代换得到∠ EAO= ∠ ACB ， 求得∠ AHC=90 °，根据垂直的定义即可得到结论．【详解】OM=AO ，连接 GM ，延长 OA 交 BC 于点 H ．∴ OG=OE ，∴△ AOE ≌△ MOG （SAS ）， ∴ AE=MG ，∠ MGO= ∠AEO ，∴∠ MGA+ ∠ GAE=180∵四边形 ABFG 和四边形 ACDE 是正方形，∴ AG=AB ，AE=AC ，∠ BAG= ∠ CAE=90 °，∴ AC=GM ，∠ GAE+ ∠BAC=180 °，解：（1）如图，延长 AO 到 M ，使在△ AOE 与△ MOG 中， AO OMAOEOE MOG ， OG点睛】∵O 为EG 的中点，∴∠ BAC= ∠ AGM ，AG AB在△ AGM 与△ ABC 中，AGM BAC，GM AC∴△ AGM ≌△ ABC （SAS ），∴ AM=BC ，∵ AM=2AO ，1∴ AO BC ；2（2）由（1）知，△ AOE ≌△ MOG ，△ AGM ≌△ ABC ，∴∠ M= ∠ EAO ，∠ M= ∠ACB，∴∠ EAO= ∠ACB，∵∠ CAE=90 °，∴∠ OAE= ∠ CAH=90 °，∴∠ ACB+ ∠ CAH=90 °，∴∠ AHC=90 °，∴AH ⊥BC．即AO BC .【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．见解析【解析】【分析】延长到，使，连结，易证≌，可得，，然后根据及可得，问题得证.【详解】延长到，使，连结，利用易证≌，∴，．又，∴，∴，∴，∵ 平分，∴，∴，∴∥．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定定理，通过作辅助线构造全等三角形是解题关键.14．见解析【解析】【分析】延长AM 到F，使MF＝AM ，交CD 于点N，构造平行四边形，利用条件证明△ABF ≌△ CAD，可得出∠ BAF ＝∠ ACD ，再结合条件可得到∠ ANC ＝90°，可证得结论．【详解】证明：延长AM 到F，使MF＝AM ，交CD于点N，∵BM ＝EM，∴四边形ABFE 是平行四边形，∴BF＝AE，∠ ABF＋∠ BAE ＝180°，∵∠ BAC＝∠ DAE ＝90°，∴∠ CAD ＋∠ BAE ＝180°，∴∠ ABF ＝∠ CAD ，∵BF＝AE，AD ＝AE，∴BF＝AD，在△ABF 和△CAD 中，∴△ ABF ≌△ CAD （SAS），∴∠ BAF ＝∠ ACD ，∵∠ BAC ＝90°，∴∠ BAF＋∠ CAF ＝90°，∴∠ ACD＋∠ CAF ＝90°，∴∠ ANC ＝90°，∴AM ⊥CD ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，通过辅助线构造平行四边形证明三角形全等得到∠ BAF＝∠ ACD 是解题的关键．15．见解析.【解析】【分析】过B作BN ∥AC交EM延长线于N点，易证△BMN≌△CMF，可得CF＝BN，然后由MF//AD ，AD 平分∠ BAC 可得∠ F＝∠ DAC= ∠BAD ＝∠ BEM ，∠ BEM ＝∠ N，所以BE ＝BN＝CF. 【详解】证明：过 B 作BN∥AC 交EM 延长线于N 点，∵BN∥AC，BM ＝CM，∴∠ BMN ＝∠ CMF ，∠ N＝∠ F，∴△BMN ≌△CMF ，∴CF＝BN，又∵ MF//AD ，AD 平分∠ BAC ，∴∠ F＝∠ DAC= ∠BAD ＝∠ BEM ，∴∠ BEM＝∠ N，∴BE＝BN ＝CF.【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．16．见解析.【解析】【分析】延长AD 到M，使AD＝DM ，连接BM，根据SAS证△ADC ≌△ MDB ，推出BM ＝AC，∠CAD ＝∠ M，根据AE ＝EF，推出∠ CAD ＝∠ AFE ＝∠ BFD ，求出∠ BFD ＝∠ M ，再根据等腰三角形的性质证明即可．【详解】证明：延长AD 到M，使AD ＝DM ，连接BM，∵ AD 是△ABC 中线，∴CD＝BD，∵在△ADC 和△MDB 中，∴△ ADC ≌△ MDB （SAS），∴BM ＝AC ，∠ CAD ＝∠M，∵AE ＝EF，∴∠ CAD＝∠ AFE，∵∠ AFE＝∠ BFD，∴∠ BFD ＝∠ CAD ＝∠ M ，∴BF＝BM ＝AC，即AC＝BF．【点睛】本题考查了三角形的中线，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．17．探究（1）见解析；（2）见解析；解决问题：ED=2AM，AM⊥ ED；证明见解析.【解析】【分析】探究（1）先证明四边形BEAC 是平行四边形，即可完成；（2）根据（1）所得的平行四边形，写两条性质即可；解决问题：ED=2AM ，AM⊥ED.延长AM 到G，使MG=AM ，连BG，则ABGC 是平行四边形，再结合已知条件可以证明△DAE ≌△ ABG ，根据全等三角形的性质可以得到DE=2AM ，∠BAG=∠EDA，再延长MG 交DE于H，因为∠ B4G+ ∠DAH=90 °，所以∠ HDA+ ∠DAH=90 °这样就证明了AMLED ；【详解】解：探究（1）∵ AD 为△ABC 的中线，∴BD=DC 又∵AD=DE∴四边形ABEC是平行四边形∴AB ∥CE（2）∵四边形ABEC是平行四边形∴ BE=AC,BE ∥AC，∠BAC=∠BEC 等写两个即可解决问题：ED=2AM，AM⊥ED证明：延长AM到G，使MG=A，M 连BG，则ABGC是平行四边形，再延长M4交DE于H. ∴AC=BG，∠ABG+∠BAC=18°0又∵∠ DAE+∠BAC=18°0 ，∴∠ABG=∠DAE.∴△DAE≌△ABG ∴DE=2AM，∠BAG=∠EDA.延长MA交DE于H，∵∠ BAG+∠DAH=9°0 ，∴∠ HDA+∠DAH=9°0 .AM⊥ED.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定以及全等三角形的应用；做出辅助线，证得平行四边形和全等三角形是解答本题的关键.解析】分析】3）利用M 是BC 边的中点构造三角形全等，再由勾股定理探究BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系【详解】（1）PBM QNM .证明：∵MQ MP ，MN BC ，∴PMB PMN90，QMN PMN90 ，PMB QMN. ∵ PBM C 90 ，QNM C90 ，PBM QNM，∴ PBM QNM .（2）在Rt ABC中，BAC 90 ，ABC 60，AB4 3 ，∴ C 30，BC83 ，AC12.∵M是BC边的中点，∴BM CM 4 3 . 在Rt NMC 中，NMC90 ，C30，CM 4 3 ，∴ MN4，CN 8，∴ AN AC CN 4.又∵BPx，AP 4 3 x.由（1）得PBM QNM ；∴BP BM，即x43 NQMN，NQ4NQ3，∴x ，∴AQ AN NQ43，x，33S 1AP AQ143x43x3x 2 x830x 4 3 223618．（1）PBM QNM 2）S 3 x28 3 0 x6 4 3 （3）BP2 CQ2 PQ21）由同角的余角相等证得PMB QMN 及PBM QNM 即可得出结论；（2）先由特殊角的三角函数值求出AC、BC ，再由相似比求出NQ ，并进一步得出AQ ，最后由面积公式得出S 与x 的函数关系式；2 2 2（3）BP2 CQ2 PQ2.理由如下：如图2，延长PM ，使P'M PM .∴M 是BC的中点，∴ BM CM .∵ PMB P'MC，∴ BMP CMP '，∴ BP CP' ，B MCP'. ∵ B ACB 90 ，∴ MCP' ACB 90 ，∴CP'2 CQ2 P'Q2，则BP2 CQ2 P'Q2.∵P'M PM ，QM PM ，∴ PQ P'Q ，∴ BP2 CQ2 PQ2.【点睛】本题以直角三角形为载体，以旋转变换为切入点考查相似三角形的判定与性质、三角形全等的判断与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等核心知识，渗透数形结合、运动变化、函数方程等数学思想，检测探究、推理、运算等能力.19．见解析【解析】【分析】延长FE，截取EH=EG，连接CH，可证△ BEG≌△ CEH，即可求得∠ F=∠FGA，即可求得∠ CAD =∠BAD ，即可解题．【详解】证明：延长FE，截取EH=EG，连接CH，∵E是BC中点，∴BE=CE，∴∠ BEG=∠ CEH，在△BEG和△CEH 中，BE＝CEBEG＝CEH ，GE＝EH∴△ BEG≌△ CEH（SAS），∴∠ BGE=∠ H，∴∠ BGE=∠ FGA=∠H，。
初中数学几何辅助线作法大全及专题训练(含答案)
图1 2 C
（法二：）如图 1-2， 延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G，
在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有： AB＋AF＞ BD＋DG＋GF （三角形两边之和大于第三边）（1） GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………………………（2） DG＋GE＞DE（同上）……………………………………（3） 由（1）＋（2）＋（3）得： AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。
DF DF(公共边)
∴△EDF≌△MDF （SAS） ∴EF＝MF （全等三角形对应边相等） ∵在△CMF 中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边） ∴BE＋CF＞EF 注：上题也可加倍 FD，证法同上。 注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形， 使题中分散的条件集中。
五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。
例如：如图 5-1：AD 为 △ABC 的中线，求证：AB＋AC＞2AD。
A
分析：要证 AB＋AC＞2AD，由图想到： AB＋BD＞AD,AC＋CD ＞AD，所以有 AB＋AC＋ BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左边比要证
B
D
C
E
结论多 BD＋CD，故不能直接证出此题，而由 2AD 想到要构造 2AD，即加倍中线，把所要证的 线段转移到同一个三角形中去。
证法一：延长 BD 交 AC 于点 E，这时∠BDC 是△EDC 的外角，
A
G
E
D
∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC 证法二：连接 AD，并延长交 BC 于 F
B
F
(必考题)初中数学九年级数学下册第一单元《直角三角形的边角关系》测试卷(包含答案解析)(3)
一、选择题1．如图，在Rt ABC 中，90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，将ABC 绕直角边AC 的中点O 旋转，得到DEF ，连接AD ，若DE 恰好经过点C ，且DE 交AB 于点G ，则tan DAG ∠的值为（ ）A ．524B ．513C ．512D ．7242．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，设A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，则下面四个等式一定成立的是（ ）A ．sin c bB =⋅ B ．cos a c B =⋅C ．tan a b B =⋅D ．tan b c B =⋅ 3．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（ ）A ．34B ．43 C ．35D ．45 4．在Rt ABC 中，90,3,2C BC AC ∠=︒==，则sin A 的值为（ ）A ．32B ．23C ．21313D ．31313 5．在Rt ABC 中，90,2,6C AC AB ∠=︒==，则下列结论正确的是（ ） A ．1sin 3A = B ．2cos 4B = C ．tan 22A = D ．22tan 3B = 6．如图，边长为23的等边三角形AOB 的顶点B 在x 轴的正半轴上，点C 为AOB 的中心，将AOB 绕点O 以每秒60︒的速度逆时针旋转，则第2021秒，AOB 的中心C 的对应点2021C 的坐标为（ ）A ．()0,2-B ．()3,1-C ．()1,3D ．()1,3- 7．Rt ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，sin A =（ ）A ．5B ．2C ．3D ．128．如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使得BD=2DC ，连接AC ，如果5tanB 3=，则tan CAD ∠的值是（ ）A 3B 3C ．13D ．15 9．在ABC 中，90C ∠=︒，tan 2A =，则sin A 的值是（ ） A ．23 B ．13 C 25 D 5 10．如图，在44⨯的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点都在格点上，则BAC ∠的正弦值是（ ）A ．12B ．55C ．255D ．无法确定 11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若1cos 2B =，则sin A 的值为（ ） A ．1 B ．12 C ．32 D ．3312．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，若5AC =，BC=2，则sin ∠A 的值为（ ）A ．5B ．5C ．23D ．25 二、填空题13．江堤的横断面如图，堤高BC 10=米，迎水坡AB 的坡比是1:3，则堤脚AC 的长是______．14．如图，在平面直角坐标系中，点B 在第一象限，BA x ⊥轴于点A ，反比例函数()0k y x x=>的图象与线段AB 相交于点C ，且C 是线段AB 的中点，点C 关于直线y x =的对称点'C 的坐标为()()1,1n n ≠，若OAB 的面积为4．则下列结论：①2n =；②4k =；③不等式k x x <的解集是2x >；④tan 2ABO ，其中正确结论的序号是________．15．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，BD 是AC 边上的中线，则tan ADB ∠的值是______．16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝9，AC ＝6，则cos ∠DCB ＝________________ ．17．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，BC ＝6cm ，则AB 的长为_____．18．如图，在菱形ABCD 中，4AB =，45ABC ∠=︒，菱形ABCD 的对角线交于点O ，则ABO 的面积为__________．19．在菱形ABCD 中，AB=4cm ，AB=BD ，则菱形ABCD 的面积是______．20．2sin30°+tan60°×tan30°＝_____．三、解答题21．如图，在河流的右岸边有一高楼AB ，左岸边有一坡度1:2i =的山坡CF ，点C 与点B 在同一水平面上，CF 与AB 在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB 的高度，在坡底C 处测得楼顶A 的仰角为45︒，然后沿坡面CF 上行了205米（即205CD =米）到达点D 处，此时在D 处测得楼顶A 的仰角为26.7︒．（参考数据：sin26.70.45︒≈，cos26.70.89︒≈，tan26.70.50︒≈）（1）求点C 到点D 的水平距离CE 的长；（2）求楼AB 的高度． 22．如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点,,A D G 在同一直线上，且5,3AD DE ==，连接,,AC CG AE ，并延长AE 交CG 于点H ．（1）求sin EAC ∠的值．（2）求线段AH 的长．23．如图，建设“五化东安”，打造“绿色发展样板城市”．在数学课外实践活动中，小薇在紫水河北岸的自行车绿化道AC 上，在A 处测得对岸的吴公塔D 位于南偏东60°方向，往东走300米到达B 处，测得对岸的吴公塔D 位于南偏东30°方向．（1）求吴公塔D 到紫水河北岸AC 的距离约为多少米？（精确到13≈1.73）（2）小薇继续向东走到轮船码头C 处，测得对岸的吴公塔D 位于西南方向．已知小薇的平均速度为每小时5千米，小薇从B 处到轮船码头大约几分钟？（精确到1分钟） 24．某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB 是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB 上方150米的点C 处悬停，此时测得桥两端,A B 两点的俯角分别为65°和45°，求桥AB 的长度．（参考数据：sin650.91︒≈，cos650.42︒≈，tan65 2.14︒≈；结果精确到0.1米）25．如图，在东西方向的海岸线l 上有长为300米的码头海岸AB ，在码头的最西端A 处测得轮船M 在它的北偏东45︒方向上；同一时刻，在A 处正东方向距离A 处50米的C 处测得轮船M 在北偏东37︒方向上．（1）求轮船M 到海岸线l 的距离；（结果保留整数米）（2）如果轮船M 沿着南偏东22︒的方向就行，那么该轮船能否行至码头海岸AB 靠岸？请说明理由．（参考数据：sin370.60︒≈，tan370.75︒≈，sin 220.37︒≈，tan220.40︒≈）26．（1）计算：230360245sin tan cos ︒+-︒．（2）已知32a b =，求22a b a b -+的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】连接OG ，由勾股定理求出AB=5，由直角三角形的性质求出CG ，CD ，AD 的长，由锐角三角函数的定义可得出答案．【详解】解：连接OG ，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴222243AC BC+=+，∵点O是AC边的中点，∴OC=OA=OD=12AC=2，∴∠GCO=∠ODC=∠BAC，∠ADC=90°，∴AG=CG，∴OG⊥AC，在Rt△ABC中，sin∠BAC=35BCAB=，cos∠BAC=45ACAB=，∴sin∠OCG=35，cos∠OCG=45，在Rt△OCG中，CG=5 cos2OCOCG=∠，在Rt△ACD中，CD=AC•cos∠OCG=165，AD=AC•sin∠OCG=125，∴DG=CD-CG=165-52=710，∴tan∠DAG=771012245DGAD==．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．2．B解析：B【分析】根据∠B的正弦、余弦、正切的定义列式，根据等式的性质变形，判断即可．【详解】解：在△ABC 中，∠C=90°，∵sinB=b c ， ∴c=sin b B，A 选项等式不成立； ∵cosB=a c ， ∴a=c•cosB ，B 选项等式成立；∵tanB=b a ， ∴a=tan b B，C 选项等式不成立； ∵tanB=b a ， ∴b=a•tanB ，D 选项等式不成立；故选：B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角是三个三角函数的定义是解题的关键． 3．C解析：C【分析】将α∠转换成β∠去计算正弦值．【详解】解：如图，βα∠=∠，4AB =，3BC =，∴5AC =，则3sin sin 5BC AC αβ===． 故选：C ．【点睛】本题考查正弦值的求解，解题的关键是掌握网格图中三角函数值的求解．4．D解析：D【分析】根据勾股定理求出斜边AB ，再根据锐角三角函数的意义求出结果即可；【详解】在Rt ABC 中，由勾股定理可得，AB ==∴sinBC A AB === 故答案选D ．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确计算是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据勾股定理求出BC =【详解】∵在Rt ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，6AB =， ∴BC =∴sin 63BC A AB ===，故A 错误；cos sin B A ==，故B 错误；tan ===BC A AC C 正确；tan===AC B BC ，故D 错误； 故选：C ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，结合勾股定理进行计算是解题的关键．6．B解析：B【分析】通过计算画出第2021秒，AOB 的位置，过C′作C′D ⊥x 轴于点D ，连接OC′，BC′，求出DC′的长，即可求解．【详解】∵360°÷60°=6，∴AOB 的位置6秒一循环，而2021=6×336+5，∴第2021秒，AOB 的位置如图所示，设点C 的对应点C′，过C′作C′D ⊥x 轴于点D ，连接OC′，BC′，则∠DOC′=30°，OD=DB=3， ∴DC′=OD∙tan ∠DOC′=3×tan30°=3×33=1， ∴C′()3,1-． 故选B ．【点睛】本题主要考查图形于=与坐标，等边三角形的性质，锐角三角函数，找到图形的变化规律，画出图形，是解题的关键．7．A解析：A【分析】求出斜边AB ，再求∠A 的正弦值． 【详解】解：∵90C ∠=︒，2AC =，1BC =，∴2222215AB AC BC +=+= 5sin 5BC A AB ===， 故选：A ． 【点睛】 本题考查了勾股定理和锐角的正弦函数值的求法，解题关键是求出斜边长，熟知正弦的意义．8．D解析：D【分析】延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，由5tanB 3=，即53AD AB =，设AD ＝5x ，则AB ＝3x ，利用相似三角形的判定可证△CDE ∽△BDA ，由相似三角形的性质可得：12CE DE CD AB AD BD ===，进而可得CE ＝32x ，DE ＝52x ，从而可求得tan ∠CAD 的值．解：如图，延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，∵5tanB 3=，即53AD AB =， ∴设AD ＝5x ，则AB ＝3x ， ∵∠CDE ＝∠BDA ，∠CED ＝∠BAD ，∴△CDE ∽△BDA ， ∴12CE DE CD AB AD BD ===， ∴CE ＝32x ，DE ＝52x ， ∴AE ＝152x ， ∴tan ∠CAD ＝15CE AE =． 故选：D ．【点睛】 本题考查了锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD 放在直角三角形中．9．C解析：C【分析】由tanA=BC AC=2，设BC=2x ，可得AC=x ，Rt △ABC 中利用勾股定理算出5x ，然后利用三角函数在直角三角形中的定义，可算出sinA 的值．【详解】解：由tanA=BC AC=2，设BC=2x ，则AC=x ， ∵Rt △ABC 中，∠C=90°，∴根据勾股定理，得()222225BC AC x x x +=+=， 因此，sinA=255BC AB x== 故选：C ．本题已知正切值，求同角的正弦值．着重考查了勾股定理、三角函数的定义等知识，属于基础题．10．B解析：B【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出ABC 的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：2223425AB =+=，2222420AC =+=，222125BC =+=，222AC BC AB ∴+=，ABC ∴为直角三角形，且90ACB ∠=︒，则sin BC BAC AB ∠==， 故选：B ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键． 11．B解析：B【分析】根据互余角的三角函数间的关系：sin （90°-α）=cosα，cos （90°-α）=sinα解答即可．【详解】解：解：∵在△ABC 中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴sinA= cosB=12， 故选：B ．【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系式，掌握当∠A+∠B=90°时， sinA= cosB 是解题的关键． 12．C解析：C【分析】先利用勾股定理求出AB 的长，然后再求sin ∠A 的大小．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，AC =BC=2∴3=∴sin ∠A=23BC AB = 故选：C ．【点睛】 本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．米【分析】在Rt △ABC 中已知了坡面AB 的坡比是铅直高度BC 和水平宽度AC 的比值据此即可求解【详解】解：根据题意得：BC ：AC=1：解得：AC=BC=10（米）故答案为：10米【点睛】本题考查了解直解析：【分析】在Rt △ABC 中，已知了坡面AB 的坡比是铅直高度BC 和水平宽度AC 的比值，据此即可求解．【详解】解：根据题意得：BC ：AC=1解得：故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，理解坡度坡角定义是关键． 14．②④【分析】根据对称性求出C 点坐标进而得OA 与AB 的长度再根据已知三角形的面积列出n 的方程求得n 进而用待定系数法求得k 再利用相关性质即可判断【详解】解：∵点C 关于直线y=x 的对称点C 的坐标为（1n ） 解析：②④【分析】根据对称性求出C 点坐标，进而得OA 与AB 的长度，再根据已知三角形的面积列出n 的方程求得n ，进而用待定系数法求得k ，再利用相关性质即可判断．【详解】解：∵点C 关于直线y=x 的对称点C'的坐标为（1，n ）（n≠1），∴C （n ，1），∴OA=n ，AC=1，∴AB=2AC=2，∵△OAB 的面积为4，2解得，n=4，故①不正确；∴C（4，1），B（4，1），∴k=4×1=4，故②正确；解方程组4y xyx=⎧⎪⎨=⎪⎩，得：22xy=⎧⎨=⎩(负值已舍)，∴直线y=x反比例函数(0)ky xx=>的图象的交点为（2，2），观察图象，不等式kxx<的解集是02x<<，故③不正确；∵B（4，1），∴OA=4，AB=2，∴tan ABO2OAAB∠==，故④正确；故答案为：②④．【点睛】本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，对称性质，正切函数等，关键是根据对称求得C点坐标及由三角形的面积列出方程．15．2【分析】由题意得到则结合角的正切值即可得到答案【详解】解：∵是边上的中线∴∴∵∴∵在中∴；故答案为：2【点睛】本题考查了求角的正切值三角形中线的性质解题的关键是掌握三角形中线的性质正确得到解析：2【分析】由题意，得到12AD AC=，则2ACAD=，结合角的正切值tanABADBAD∠=，即可得到答案．【详解】解：∵BD是AC边上的中线，∴12AD AC=，AD∵AB AC =， ∴2AB AD=， ∵在Rt ABD 中，90A ∠=︒， ∴tan 2AB ADB AD ∠==； 故答案为：2．【点睛】本题考查了求角的正切值，三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质，正确得到2AB AD=． 16．【分析】首先利用等角的余角得到∠A=∠DCB 然后根据余弦的定义求出cosA 即可【详解】解：在Rt △ABC 中∵CD ⊥AB ∴∠DCB+∠B=90°∵∠ACB ＝90°∴∠A+∠B=90°∴∠A=∠DCB 而 解析：23【分析】首先利用等角的余角得到∠A=∠DCB ，然后根据余弦的定义求出cosA 即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∵CD ⊥AB ，∴∠DCB+∠B=90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠DCB ，而cosA=AC AB ＝69=23， ∴cos ∠DCB=23． 故答案为：23． 【点睛】 本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边a 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ．17．【分析】根据题意过点C 作CD ⊥AB 根据∠B ＝45°得CD ＝BD 根据勾股定理和BC ＝得出BD 再根据∠A ＝30°得出AD 进而分析计算得出AB 即可【详解】解；过点C 作CD ⊥AB 交AB 于D ∵∠B ＝45°∴C 解析：33+【分析】根据题意过点C 作CD ⊥AB ，根据∠B ＝45°，得CD ＝BD ，根据勾股定理和BC ＝6得出BD ，再根据∠A ＝30°，得出AD ，进而分析计算得出AB 即可．【详解】解；过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于D ．∵∠B ＝45°，∴CD ＝BD ，∵BC 6，∴BD 3∵∠A ＝30°， ∴tan30°＝CD AD， ∴AD ＝30CD tan ︒33＝3， ∴AB ＝AD+BD ＝33．故答案为：33．【点睛】本题考查解直角三角形，熟练应用三角函数的定义是解题的关键．18．【分析】过A 作AE ⊥BC 于点E 则由题意可得AE 的值进一步可求得△ABO 的面积【详解】解：如图过A 作AE ⊥BC 于点E ∵AB=4∠ABC=45°∴AE=AB=∴故答案为【点睛】本题考查菱形性质和解直角三解析：2【分析】过A 作AE ⊥BC 于点E ，则由题意可得AE 的值，进一步可求得△ABO 的面积．【详解】解：如图，过A 作AE ⊥BC 于点E ，∵AB=4，∠ABC=45°，∴AE=AB sin 45︒=24222⨯= ∴1111·422222224ABO ABC S S BC AE ==⨯=⨯⨯= 故答案为22 ．【点睛】 本题考查菱形性质和解直角三角形的综合应用，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 19．【分析】根据菱形的性质结合AB=BD 得到△ABD 是等边三角形再利用锐角三角函数关系得出BE 的长即可得出菱形的面积【详解】∵在菱形ABCD 中AB=BD ∴AB=AD=BD=4(cm)∴△ABD 是等边三角解析：283cm【分析】根据菱形的性质结合AB=BD ，得到△ABD 是等边三角形，再利用锐角三角函数关系得出BE 的长，即可得出菱形的面积．．【详解】∵在菱形ABCD 中，AB=BD ，∴AB=AD=BD=4(cm)，∴△ABD 是等边三角形，∴∠A=60°，过点B 作BE ⊥AD 于E ，∴BE=AB•sin60°=433=， ∴菱形ABCD 的面积S=AD×BE 42383=⨯=(2cm )，故答案为：283cm【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，得出BE 的长是解题关键．20．2【分析】特殊值：sin30°=tan60°=tan30°=本题是特殊角将特殊角的三角函数值代入求解【详解】解：2sin30°+tan60°×tan30°=2×+×=1+1=2【点睛】本题考查了特殊解析：2【分析】特殊值：sin 30° =12，ta n 60°ta n 30°本题是特殊角，将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】解：2sin30°+ta n60°×ta n30°=2×123=1+1=2【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．三、解答题21．（1）40米；（2）楼AB 的高度为80米．【分析】（1）由CF 的坡度1:2i =，,DE CE ⊥可得1,2DE CE = 设,DE x = 则2,CE x = 由勾股定理可得,CD == = 解方程可得答案； （2）如图，过D 作DH AB ⊥于,H 先证明四边形DEBH 是矩形，可得2040,BH DE DH BE CE BC BC ====+=+， 设,AB m = 证明,BC AB m == 可得20,40,AH m DH m =-=+ 由26.7,ADH ∠=︒ 建立方程，再解方程检验即可得到答案．【详解】解：（1） CF 的坡度1:2i =，,DE CE ⊥1,2DE CE ∴= 设,DE x = 则2,CE x =,CD ∴===20,x ∴=240.CE x ∴==（2）如图，过D 作DH AB ⊥于,H,,DE BE AB BE ⊥⊥∴ 四边形DEBH 是矩形，2040,BH DE DH BE CE BC BC ∴====+=+，设,AB m =45,ACB AB BE ∠=︒⊥，45,ACB BAC ∴∠=∠=︒,BC AB m ∴==20,40,AH m DH m ∴=-=+由26.7,ADH ∠=︒tan 26.7,AH DH ∴︒=200.5,40m m -∴=+ 解得：80.m =经检验：80m =符合题意，所以：建筑物AB 的高为：80米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，坡度的含义，掌握利用解直角三角形测量建筑物的高是解题的关键．22．（1）1717；（2）3417【分析】 （1）作EM AC ⊥于M ，根据sin EM EAM AE∠=求出EM 、AE 即可解决问题． （2）先证明GDC EDA ∆≅∆，得GCD EAD ∠=∠，推出AH GC ⊥，再根据1122AGC S AG DC GC AH ∆=⋅⋅=⋅⋅，即可解决问题． 【详解】解：（1）作EM AC ⊥于M ．四边形ABCD 是正方形，90ADC ∴∠=︒，5AD DC ，45DCA ∠=︒，∴在RT ADE ∆中，90ADE ∠=︒，5AD =，3DE =， 2234AE AD DE∴=+=，在RT EMC ∆中，90EMC ∠=︒，45ECM ∠=︒，2EC =，2EM CM ∴==， ∴在RT AEM ∆中，217sin 34EM EAC AE ∠===．（2）在GDC ∆和EDA ∆中，DG DE GDC EDA DC DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，GDC EDA ∴∆≅∆， GCD EAD ∴∠=∠，34GC AE =90DAE AED ∠+∠=︒，DEA CEH ∠=∠，90DCG HEC ∴∠+∠=︒，90EHC ∴∠=︒，AH GC ∴⊥，1122AGC S AG DC GC AH ∆=⋅⋅=⋅⋅， ∴11853422AH ⨯⨯=， 2034AH ∴=【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形面积等知识，添加常用辅助线是解决问题的关键，学会用面积法求线段，属于中考常考题型．23．（1）260，（2）5；【分析】（1）如图，过点D 作DH ⊥AC 于点H ．设DH=x 米，通过解直角三角形列方程，得到DH 的长度．（2）求出BC 长，再求时间即可．【详解】解：过点D 作DH ⊥AC 于点H ．由题意可知，∠HBD＝60°，∠DAC＝30°，AB＝300，设DH=x米，在直角△BHD中，tan60°＝DH BH，BH= 3x，tan30°＝DH AH，AH=3x，300=3x-3x，解得，x=1503，∴DH＝1503≈150×1.73≈260．答：求吴公塔D到紫水河北岸AC的距离约为260米．（2）由（1）可知，BH=150米，小薇继续向东走到轮船码头C处，测得对岸的吴公塔D位于西南方向，可知DH=HC=260米，BC=150+260=410（米），410米=0.41千米，小薇从B处到轮船码头的时间为0.410.0825（小时），0.082×60=4.92≈5（分钟），小薇从B处到轮船码头的时间为5分钟．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题关键是构造直角三角形，熟练运用解直角三角形的知识进行计算．24．1米【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据在C处测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，可得∠CAD=∠MCA=65°，∠CBD=∠NCB=45°，利用角的三角函数求解即可．【详解】解：如图，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，由题意得65MCA A ∠=∠=︒，45NCB B ∠=∠=︒，150CD =（米），在Rt ACD ∆中，015070.1tan 65 2.14CD AD ==≈（米）， 在Rt BCD ∆中，45CBD ∠=︒， ∴150BD CD ==（米）∴70.1150220.1AB AD BD =+=+=（米）答：桥AB 的长度约为220.1米．【点睛】本题考查了三角函数的运算，构造直角三角形，利用解直角三角形求边是解题的关键． 25．（1）轮船M 到海岸线l 的距离为200米；（2）该轮船能行至码头海岸AB 靠岸【分析】（1）过点M 作MD ⊥AC 交AC 的延长线于D ，设DM=x ，解直角三角形即可得到结论； （2）作∠DMF=22°，交l 于点F ．解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）过点M 作MD ⊥AC 交AC 的延长线于D ，设DM=x ，∵在Rt △CDM 中，CD=DM•tan ∠CMD=x•tan37°，又∵在Rt △ADM 中，∠MAC=45°，∴AD=DM ，∵AD=AC+CD=50+x•tan37°，∴50+x•tan37°=x ，∴50502001tan 3710.75x ︒=≈=--， 答：轮船M 到海岸线l 的距离约为200米；（2）作∠DMF=22°，交l 于点F ，在Rt △DMF 中，DF=DM•tan ∠FMD=DM•tan22°≈200×0.40=80（米），∴AF=AC+CD+DF=DM+DF≈200+80=280＜300，所以该轮船能行至码头AB 靠岸．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，读懂题目信息并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．26．（1）3；（2）47【分析】（1）将这些特殊角的三角函数值代入求解即可；（2）将比例式转换为等积式后得到a 、b 之间的关系，然后求得两个的比值即可．【详解】（1）23060245sin cos ︒+-︒1222=⨯+ 131=+-3=；（2）设32a x b x ==，，则26242347a b x x a b x x --==++. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，比例的基本性质以及实数的运算，解题的关键是熟记这些特殊角的三角函数值．。
初中数学复习几何模型专题讲解3---和角平分线有关的辅助线
初中数学复习几何模型专题讲解专题03 和角平分线有关的辅助线一、单选题1．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE；④BA+BC=2BF．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④【答案】D【分析】根据SAS证△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，结合∠BCD＝∠BDC可得①②正确；根据角的和差以及三角形外角的性质可得∠DCE＝∠DAE，即AE＝EC，由AD＝EC，即可得③正确；过E作EG⊥BC于G点，证明Rt△BEG≌Rt△BEF和Rt△CEG≌Rt△AEF，得到BG＝BF和AF＝CG，利用线段和差即可得到④正确．【详解】解：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∴在△ABD和△EBC中，BD BCABD CBD BE BA⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD≌△EBC（SAS），①正确；②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，∴∠BCE＋∠BCD＝∠BDA＋∠BDC＝180°，②正确；③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∠BDA＝∠DAE＋∠BEA，∠BCD ＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝AE．③正确；④过E作EG⊥BC于G点，∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，且EF⊥AB，∴EF＝EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等），∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，BE BE EF EG=⎧⎨=⎩，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG＝BF，∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，AE CE EF EG=⎧⎨=⎩，∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），∴AF＝CG，∴BA＋BC＝BF＋FA＋BG−CG＝BF＋BG＝2BF，④正确．故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的对应边、对应角相等的性质，等腰三角形的判定与性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等的性质是解题的关键．2．如图，ABC ∆中，135ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ，若6AD =，20BD =，则CD 的长为（ ）A ．B ．C ．72D ．4【答案】D【分析】 做,ACD BCD ∆∆分别关于,AC BC 的对称图形,ACE BCF ∆∆延长,AE BF 交于点G ，连接CG ,构造正方形，再根据等量关系用勾股定理计算．【详解】做,ACD BCD ∆∆分别关于,AC BC 的轴对称图形,ACE BCF ∆∆延长,AE BF 交于点G ，连接CG ，如图：∵,ACE BCF ∆∆是,ACD BCD ∆∆的对称三角形∴6,20,AE AD BF BD CE CD CF ======,,,AEC ADC BFC BDC ACE ACD BCF BCD ∠=∠∠=∠=∠∠=∠∵CD AB ⊥∴90ADC BDC AEC BFC ∠=∠=∠=∠=︒又∵135ACB ∠=︒∴135ACE BCF ∠+∠=︒∴36013513590ECF ∠=︒-︒-︒=︒∴四边形CEGF 是正方形设CD CF GF CE GE x =====，在Rt GAB ∆ 中：222AG +BG AB =即：()()22262026x x +++= 解得：124,30x x ==-（舍）∴CD 的长为4．【点睛】本题是一道综合性较强的题目，整体图形的对称构造正方形是解决本题的关键．3．如图，Rt ACB 中，90ACB ︒∠=，ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P ，过P 作PF AD ⊥交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ，则下列结论：①135APB ︒∠=；②PF PA =；③AH BD AB +=；④S 四边形23ABDE S ABP =，其中正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】 根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可．【详解】解：∵在△ABC 中，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°∵AD 、BE 分别平分∠BAC 、∠ABC ，∴∠BAD=12CAB ∠，∠ABE=12ABC ∠ ∴∠BAD+∠ABE=111+=()45222CAB ABC CAB ABC ∠∠∠+∠=︒ ∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE ）=135°，故①正确；∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°∴∠APB=∠FPB又∵∠ABP=∠FBPBP=BP∴△ABP≌△FBP（ASA）∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正确；在△APH与△FPD中∵∠APH=∠FPD=90°∠PAH=∠BAP=∠BFPPA=PF∴△APH≌△FPD（ASA），∴AH=FD，又∵AB=FB∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正确；连接HD，ED，∵△APH ≌△FPD ，△ABP ≌△FBP∴APH FPD S S =，ABP FBP S S =，PH=PD ，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD∴HD ∥EP ，∴EPH EPD S S =∵ABP BDP AEP EPDABDE S S S S S =+++四边形 ()ABP AEP EPH PBD S S S S =+++ABP APH PBD S S S =++ABP FPD PBD S S S =++ABP FBP S S =+2ABP S =故④错误，∴正确的有①②③，故答案为：B．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定两个三角形全等．二、解答题4．如图，ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2【分析】=，（1）连接BP、CP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP CP根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP EP=，然后利用“HL”证明Rt BDP∆和Rt CEP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；=，（2）利用“HL”证明Rt ADP∆和Rt AEP全等，根据全等三角形对应边相等可得AD AE 再根据AB、AC的长度表示出AD、CE，然后解方程即可．【详解】（1）证明：连接BP、CP，点P在BC的垂直平分线上，BP CP∴=，∠的平分线，AP是DACDP EP，在Rt BDP∆和Rt CEP中，BP CP，DP EPRt BDP Rt CEP(HL)，∴=；BD CE（2）解：在Rt ADP∆和Rt AEP中，AP AP，DP EPRt ADP Rt AEP(HL)，∴=，AD AE6AB cm =，10AC cm =，610AD AE ，即610AD AD ，解得AD 2cm =．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．5．（特例感知）（1）如图（1），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为直径，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，3CD =，4BD =，求点D 到直线AB 的距离．（类比迁移）（2）如图（2），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为O 的弦，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，探索线段AB ，BE ，BC 之间的数量关系，并说明理由．（问题解决）（3）如图（3），四边形ABCD 为O 的内接四边形，90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，BD =，6AB =，求ABC 的内心与外心之间的距离．【答案】（1）125；（2）2AB BC BE +=，理由见解析；（3 【分析】 （1）如图①中，作DF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．理由面积法求出DE ，再利用角平分线的性质定理可得DF DE =解决问题；（2）如图②中，结论：2AB BC BE +=．只要证明()DFA DEC ASA ∆≅∆，推出AF CE =，Rt BDF Rt BDE(HL)∆≅∆，推出AF BE =即可解决问题；（3）如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由（1）（2）可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．由切线长定理可知：610842AN +-==，推出541ON =-=，由面积法可知内切圆半径为2，在Rt OMN ∆中，理由勾股定理即可解决问题；【详解】解：（1）如图①中，作DF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．图① BD 平分ABC ∠，DF AB ⊥，DE BC ⊥，DF DE ∴=， BC 是直径，90BDC ∴∠=︒，5BC ∴===，1122BC DE BD DC =， 125DE ∴=， 125DF DE =∴=． 故答案为125 （2）如图②中，结论：2AB BC BE +=．图②理由：作DF BA ⊥于F ，连接AD ，DC ． BD 平分ABC ∠，DE BC ⊥，DF BA ⊥，DF DE ∴=，90DFB DEB ∠=∠=︒，180ABC ADC ∠+∠=︒，180ABC EDF ∠+∠=︒，ADC EDF ∴∠=∠，FDA CDE ∴∠=∠，90DFA DEC ∠=∠=︒，()DFA DEC ASA ∴∆≅∆，AF CE ∴=，BD BD =，DF DE =，Rt BDF Rt BDE(HL)∴∆≅∆，BF BE ∴=，2AB BC BF AF BE CE BE ∴+=-++=．（3）如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由（1）（2）可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．图③7BD =，∴正方形BEDF 的边长为7，由（2）可知：28BC BE AB =-=，10AC ∴==，由切线长定理可知：610842AN +-==， 541ON ∴=-=，设内切圆的半径为r ， 则11111068682222r r r ⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯ 解得2r ，即2MN =，在Rt OMN ∆中，OM ==【点睛】本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．6．在平面直角坐标系中，点()5,0A -，()0,5B ，点C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为（3，0），试求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：OD 平分ADC ∠（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当2OCB DAO ∠=∠时，试探索线段AD 、OC 、DC 的数量关系，并证明．【答案】（1）（0，3）；（2）详见解析；（3）AD=OC+CD【分析】（1）先根据AAS判定△AOE≌△BOC，得出OE=OC，再根据点C的坐标为（3，0），得到OC=2=OE，进而得到点E的坐标；（2）先过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，根据△AOE≌△BOC，得到S△AOE=S△BOC，且AE=BC，再根据OM⊥AE，ON⊥BC，得出OM=ON，进而得到OD 平分∠ADC；（3）在DA上截取DP=DC，连接OP，根据三角形内角和定理，求得∠PAO=30°，进而得到∠OCB=60°，根据SAS判定△OPD≌△OCD，得OC=OP，∠OPD=∠OCD=60°，再根据三角形外角性质得PA=PO=OC，故AD=PA+PD=OC+CD．【详解】（1）如图①，∵AD⊥BC，BO⊥AO，∴∠AOE=∠BDE，又∵∠AEO=∠BED，∴∠OAE=∠OBC，∵A（-5，0），B（0，5），∴OA=OB=5，∴△AOE≌△BOC，∴OE=OC，又∵点C的坐标为（3，0），∴OC=3=OE，∴点E的坐标为（0，3）；（2）如图②，过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，∵△AOE≌△BOC，∴S△AOE=S△BOC，且AE=BC，∵OM⊥AE，ON⊥BC，∴OM=ON，∴OD平分∠ADC；（3）如所示，在DA上截取DP=DC，连接OP，∵2OCB DAO ∠=∠，∠ADC=90°∴∠PAO+∠OCD=90°，∴∠DAC=903︒=30°，∠DCA=2903⨯︒=60° ∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，∴△OPD ≌△OCD ，∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD=60°，∴∠POA=∠PAO=30°∴PA=PO=OC∴AD=PA+PD=OC+CD即：AD=OC+CD ．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．7．如图，在ABC 中，AB AC =，100A ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD 至点E ，DE AD =，试求ECA ∠的度数．【答案】40°【分析】在BC 上截取BF AB =，连接DF ，通过证明()ABD FBD SAS ≌，可得18080DFC A ︒∠=-∠=︒，再通过证明()DCE DCF SAS ≌，即可求得40ECA DCB ∠=∠=︒【详解】解：如图，在BC 上截取BF AB =，连接DF ， BD 是ABC ∠的平分线，ABD FBD ∴∠=∠，在ABD △和FBD 中，,,,AB FB ABD FBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD FBD SAS ∴△≌△，BFD A ∴∠=∠，AD DF =，∴DE=DF ，18080DFC A ∴∠=︒-∠=︒，又40ABC ACB ∠=∠=︒，60FDC ∴∠=︒，18060EDC ADB ABD A ∠=∠=︒-∠-∠=︒，EDC FDC ∴∠=∠，在DCE 和DCF 中，,,,DE DF EDC FDC DC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()DCE DCF SAS ∴△≌△，故40ECA DCB ∠=∠=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．8．如图，∠D ＝∠C ＝90°，点E 是DC 的中点，AE 平分∠DAB ，∠DEA ＝28°，求∠ABE 的大小．【答案】28°【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F，∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，∴DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°-∠AED=62°，∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，∴∠ABE=28°．【点睛】考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线．9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．【答案】见解析【分析】在AB 上找到F 使得AF ＝AD ，易证△AEF ≌△AED ，可得AF ＝AD ，∠AFE ＝∠D ，根据平行线性质可证∠C ＝∠BFE ，即可证明△BEC ≌△BEF ，可得BF ＝BC ，即可解题．【详解】证明：在AB 上找到F 使得AF ＝AD ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠EAD ＝∠EAF ，∵在△AEF 和△AED 中，AD AFEAD EAF AE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AED ，（SAS ）∴AF ＝AD ，∠AFE ＝∠D ，∵AD ∥BC ，∴∠D ＋∠C ＝180°，∵∠AFE ＋∠BFE ＝180°∴∠C ＝∠BFE ，∵BE 平分∠BAD ，∴∠FBE ＝∠C ，∵在△BEC 和△BEF 中，BFE C FBE CBE BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△BEF ，（AAS ）∴BF ＝BC ，∵AB ＝AF ＋BF ，∴AB ＝AD ＋BC ，即AD ＝AB ﹣BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AED 和△BEC ≌△BEF 是解题的关键．10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长BD 至E ，使DE ＝AD ，求证：∠ECA ＝40°．【答案】见解析【分析】在BC 上截取BF ＝AB ，连DF ，根据SAS 可证明△ABD ≌△FBD ，得出DF ＝DA ＝DE ，证明△DCE ≌△DCF ，故∠ECA ＝∠DCB ＝40°．【详解】证明：在BC 上截取BF ＝AB ，连DF ，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠FBD ，在△ABD 和△ＦBD 中，AB FB ABD FBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△FBD （SAS ），∴DF ＝DA ＝DE ，又∵∠ACB ＝∠ABC ＝40°，∠DFC ＝180°﹣∠A ＝80°，∴∠FDC ＝60°，∴∠EDC ＝∠ADB ＝180°﹣∠ABD ﹣∠A＝180°﹣20°﹣100°＝60°，在△DCE 和△DCF 中，DF DE FDC EDC DC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCE ≌△DCF （SAS ），∴∠ECA ＝∠DCB ＝40°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．11．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AC +CD ．【答案】见解析【分析】在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．则只需证明CD ＝CE 即可．结合角度证明∠CDE ＝∠CED ．【详解】证明：在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD 12=∠ABC ． 在△ABD 和△EBD 中，BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△EBD ．（SAS ）∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB．又∵AB＝AC，∠A＝108°，∠ACB＝∠ABC12=⨯（180°﹣108°）＝36°，∴∠ABD＝∠EBD＝18°．∴∠ADB＝∠EDB＝180°﹣18°﹣108°＝54°．∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．∴∠DEC＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．∴∠CDE＝∠DEC．∴CD＝CE．∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键．12．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD 交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．【答案】见解析【分析】作BF的中点E，连接AE、AD，根据直角三角形得到性质就可以得出AE＝BE＝EF，由BD平分∠ABC就可以得出∠ABE＝∠DBC＝22.5°，从而可以得出∠BAE＝∠BAE＝∠ACD＝22.5°，∠AEF＝45°，由∠BAC＝90°，∠BDC＝90°就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出AD＝DC，证△ADC≌△AEB推出BE＝CD，从而得到结论．【详解】解：取BF的中点E，连接AE，AD，∵∠BAC＝90°，∴AE＝BE＝EF，∴∠ABD＝∠BAE，∵CD ⊥BD ，∴A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠DAC ＝∠DBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ，∴∠DAC ＝∠BAE ，∴∠EAD ＝90°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝∠DBC ＝22.5°，∴∠AED ＝45°，∴AE ＝AD ，在△ABE 与△ADC 中，ABE DACBAE ACD AE AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADC ，∴BE ＝CD ，∴BF ＝2CD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．如图1，点A 是直线MN 上一点，点B 是直线PQ 上一点，且MN//PQ ．NAB ∠和ABQ ∠的平分线交于点C ．（1）求证：BC AC ⊥；（2）过点C 作直线交MN 于点D （不与点A 重合），交PQ 于点E,①若点D 在点A 的右侧，如图2，求证：AD BE AB +=；②若点D 在点A 的左侧，则线段AD 、BE 、AB 有何数量关系？直接写出结论，不说理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BE AD AB =+【分析】(1) 由平行线性质可得∠NAB+∠ABQ=180°,再由角平分线定义可得11,22∠=∠∠=∠BAC NAB CBA ABQ ,再利用三角形内角和定理即可得∠C=90°,即可证明BC ⊥AC;(2) ①延长AC 交PQ 点F ，先证明AC=FC,再证明△ACD ≌△FCE,即可得AD+BE=AB; ②方法与①相同．【详解】解：（1）∵MN ∥PQ∴∠NAB+∠ABQ=180°∵AC 平分∠NAB ，BC 平分∠ABQ ∴11,22∠=∠∠=∠BAC NAB CBA ABQ ∴∠BAC+∠ABC=12180⨯︒=90° 在△ABC 中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°∴∠C=180°- (∠BAC+∠ABC) =180°-90°=90°∴BC ⊥AC;（2）①延长AC 交PQ 于点F∵BC ⊥AC∴∠ACB=∠FCB=90°∵BC 平分∠ABF∴∠ABC=∠FBC∴BC=BC∴△ABC≌△FBC∴AC=CF，AB=BF∵MN∥BQ∴∠DAC=∠EFC∵∠ACD=∠FCE∴△ACD≌△FCE∴AD=EF∴AB=BF=BE+EF=BE+AD 即：AB=AD+BE②线段AD，BE，AB数量关系是：AD+AB=BE 如图3，延长AC交PQ点F,∵MN//PQ ．∴∠AFB=∠FAN，∠DAC=∠EFC∵AC平分∠NAB∴∠BAF=∠FAN∴∠BAF=∠AFB∴AB=FB∵BC⊥AC∴C是AF的中点∴AC=FC在△ACD与△FCE中DAC EFC AC FCACD FCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ACD FCE ASA ≅∴AD=EF∵AB=FB=BE-EF∴AD+AB=BE【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形性质判定，等腰三角形性质等，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形．14．在平面直角坐标中，等腰Rt △ABC 中，AB=AC ，∠CAB=90°，A （0，a ），B （b ，0）．（1）如图1+（a-2）2=0，求△ABO 的面积；（2）如图2，AC与x轴交于D点，BC与y轴交于E点，连接DE，AD=CD，求证：∠ADB=∠CDE；（3）如图3，在（1）的条件下，若以P（0，-6）为直角顶点，PC为腰作等腰Rt△PQC，连接BQ，求证：AP∥BQ．【答案】（1）△ABO的面积=4；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性求出a，b，根据三角形的面积公式计算；（2）作AF平分∠BAC交BD于F点，分别证明△ACE≌△BAF，△CED≌△AFD，根据全等三角形的性质证明；（3）过C点作CM⊥y轴于M点，过D点作DN⊥y轴于N点，证明△ACM≌△BAO，根据全等三角形的性质得到CM=AO=2，AM=BO=4，证明四边形ONQB为平行四边形，得到答案．【详解】解：（1）+（a-2）2=0，∴2a-b=0，a-2=0，解得，a=2，b=4，∴A（0，2），B（4，0），∴OA=2，OB=4，∴△ABO 的面积=12×2×4=4；（2）作AF 平分∠BAC 交BD 于F 点，∵AB=AC ，∠CAB=90°，∴∠C=∠ABC=∠DAF=∠BAF=45°，∵∠CAE+∠BAO=∠ABF+∠BAO=90°，∴∠CAE=∠ABF ，在△ACE 和△BAF 中，CAE ABF AC ABACE BAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ACE ≌△BAF （ASA ），∴CE=AF ，在△CED 和△AFD 中，CD AD C DAF CE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CED ≌△AFD （SAS ）∴∠CDE=∠ADB ；（3）过C 点作CM ⊥y 轴于M 点，过D 点作DN ⊥y 轴于N 点，则∠AMC=∠BOA=90°，∵∠CAM+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CAM=∠ABO ，在△ACM 和△BAO 中，CAM ABO CMA AOB AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACM ≌△BAO （AAS ），∴CM=AO=2，AM=BO=4，∵A （0，2），P （0，-6），∴AP=8，∴PM=AP-AM=4，在△PCM 和△QPN 中，CPM PQN PMC QNP PC PQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△PCM ≌△QPN （AAS ），∴NQ=PM=4，∴四边形ONQB 为平行四边形，∴AP ∥BQ ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，非负数的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．15．如图，已知 B (-1, 0) ， C (1, 0) ， A 为 y 轴正半轴上一点， AB = AC ，点 D 为第二象限一动点，E 在 BD 的延长线上， CD 交 AB 于 F ，且∠BDC = ∠BAC . （1）求证： ∠ABD = ∠ACD ；（2）求证：AD 平分∠CDE ；（3）若在D 点运动的过程中，始终有DC =DA +DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BAC的度数不变化．∠BAC=60°．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理等量代换可得结论；（2）作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE 于点N，证明△ACM≌△ABN即可；（3）用截长补短法在CD上截取CP=BD，连接AP，证明△ABD≌△ACP，由全等性质可知△ADP是等边三角形，易知∠BAC 的度数. 【详解】（1）∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠ABD=∠ACD；（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．则∠AMC=∠ANB=90°．∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，∵∠ABD=∠ACD，∴△ACM≌△ABN （AAS）∴AM=AN．∴AD平分∠CDE．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（3）∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP=BD，连接AP．∵CD=AD+BD，∴AD=PD．∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，∴△ABD≌△ACP．∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】本题考查了三角形的综合，主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的证明和性质，等腰等边三角形的性质和判定，采用合适的方法添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.16．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD。
初中七年级下册平面几何证明之全等三角形之辅助线习题(含答案发))
学霸数学全等三角形之辅助线（导学案）知识过关1.为了解决几何问题，在原图的基础上另外添加的直线或线段称为辅助线．辅助线通常画成辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立________ 和之间的桥梁把问题转化成自己已经会解的情况．辅助线的作用：①__________________________________________ ；_②__________________________________________ ．_添加辅助线的注意事项：明确目的，多次尝试．2.要证明边相等（或角相等），可以考虑证明它们所在的三角形；要证全等，需要找_组条件．精讲精练1.已知：如图，AB=CD，AC与BD 相交于点O，且AC=BD．求证：∠ ABO=∠DCO．2.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：AB=CD且AD=BC．3. 已知：如图， AB=AE ，BC=ED ，∠B=∠E ，F 是 CD 的中点． 求证： AF ⊥CD ．4. 已知：在 △ABC 中，∠ B=∠C ．求证： AB=AC ．5. 已知：如图，在 △ABC 中，点 D ，E 在 AC 上，∠ ABD=∠ CBE ，∠A=∠C ．求证： BD=BE ．6. 已知：如图，在 △ABD中， F ．求证： AF ⊥BD ．7. 已知：如图， BD ，CE 是△ABC 的高，点 P 在BD 的延长线上， BP=AC ，点Q 在CE上，CQ=AB ．判 断线段 AP 和 AQ的数量和位置关系，并加以证明．E延长 AE 交 BDADEQ【参考答案】知识过关1. 虚线已知；未知① 把分散的条件转为集中；② 把复杂的图形转化为基本图形．2. 全等； 3? 精讲精练1. 证明：如图，连接AD在△ ABD和△ DCA中AB DC（已知）BD CA（已知）AD DA（公共边）∴△ABD≌△DCA（SSS）∴∠ABO=∠DCO（全等三角形对应角相等）2. 证明：如图，连接AC∵AB∥CD ∴∠CAB=∠ACD∵AD∥BC∴∠DAC=∠BCA 在△ABC和△CDA中CAB ACD（已证）AC CA（公共边）BCA DAC（已证）∴△ ABC≌△ CDA（ASA）∴AB=CD，BC=DA（全等三角形对应边相等）3.证明：如图，连接AC，AD在△ABC和△AED中，AB AE（已知）B E（已知）BC ED（已知）∴△ ABC≌△ AED（SAS）∴AC=AD（全等三角形对应边相等）∵F是CD的中点∴CF=DF 在△ACF和△ADF中，AC AD（已证）AF AF（公共边）CF DF（已证）∴△ ACF≌△ ADF（SSS）∴∠CFA=∠DFA（全等三角形对应角相等）∵∠CFA+∠DFA=180°∴∠CFA=90°∴AF⊥CD4.证明：如图，过点A作AD⊥BC于点 D∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC=90°在△ ADB和△ ADC中，B C（已知）ADB ADC（已证）AD AD（公共边）∴△ADB≌△ADC（AAS）∴AB=AC（全等三角形对应边相等）5.证明：如图，过点B作BF⊥AC于点 F∵BF⊥AC∴∠BFA=∠BFC=90°在△ABF和△CBF中，A C（已知）BFA BFC（已证）C BF BF（公共边）∴△ ABF≌△ CBF（AAS）∴AB=CB（全等三角形对应边相等）学霸数学在△ ABD和△ CBE中，AA C（已知）AB CB（已证）ABD CBE（已知）∴△ABD≌△CBE（ASA）∴BD=BE（全等三角形对应边相等）6.证明：如图，∵BC⊥AD∴∠ACE=∠BCD=90°在Rt△ ACE和Rt△BCD中AE BD （已知）CE CD （已知）∴Rt△ACE≌Rt△BCD（HL）∴∠CAE=∠CBD（全等三角形对应角相等）∵∠ACE=90°∴∠CAE+∠AEC=90° ∵∠AEC=∠BEF∴∠CBD+∠BEF=90° ∴∠BFE=90° ∴AF⊥BD7.解：AP=AQ且AP⊥AQ，理由如下：P如图，5 D ∵BD⊥AC，CE⊥AB∴∠ BEQ=∠BDC=∠ADP=90°E 3 4∴∠ 1+∠3=90° 1 Q2∠2+∠4=90° B C∵∠3=∠4∴∠1=∠2 在△ABP和△QCA中AB QC （已知）1 2 （已证）BP CA （已知）∴△ ABP≌△ QCA（SAS）∴AP=AQ（全等三角形对应边相等）∠P=∠5（全等三角形对应角相等）∵∠ADP=90°∴∠P+∠PAD=90°∴∠5+∠PAD=90°学霸数学即∠QAP=90° ∴AP=AQ 且AP⊥AQ1．已知：如图，∠ B=∠ D，求证：全等三角形之辅助线（随堂测试）AB=CD，AD∥BC，E，F 分别是AD，BC 的中过程规划：【参考答案】1. 证明：如图，连接AC∵AD∥BC∴∠DAC=∠BCA 在△ABC和△CDA 中，BCA DAC（已证）B D（已知）AB CD（公共边）∴△ ABC≌△ CDA（AAS ）∴BC=DA（全等三角形对应边相等）11∴ BF BC， DE AD22 ∴BF=DE 在△ABF和△ CDE 中，过程规划：1．描述辅助线：连接AC 2．为第一次全等准备条件：∠ DAC =∠BCA 证明：△ ABC ≌△ CDA 3．根据全等三角形的性质得：BC=DA 4．利用中点为第二次全等准备条件：BF=DE 第二次全等：△ ABF≌△ CDE 5．根据全等三角形的性质得：AF=CEAB CD （已知） B D （已知）BF DE （公共边） ∴△ABF ≌△CDE （SAS ） ∴AF=CE （全等三角形对应边相等）全等三角形之辅助线（习题）? 例题示范例 1：已知：如图，在△ ABC 中，∠ C=90°，D 是 AB 边上 点 E ． 求证： CE=DE ． 【思路分析】 ① 读题标注：② 梳理思路：要证 CE=DE ，考虑把这两条线段放在两个三角形中证全等，利用全等三角形对应边相等来证明． 观察图形，发现不存在全等的三角形．结合条件， AC=AD ，∠C=∠ADE=90°，考虑连接 AE ，证明△ ACE ≌△ ADE ． 【过程书写】 证明：如图，连接 AE ∵ DE ⊥ AB ∴∠ ADE=90°∵∠ C=90°∴∠ C=∠ ADE在 Rt △ ACE 和 Rt △ADE 中 AE AE （公共边）AC AD （已知） ∴Rt △ACE ≌Rt △ADE （HL ） ∴CE=DE （全等三角形对应边相等）过程规划：1．描述辅助线：连接 AE 2．准备条件：∠C=∠ADE=90° 3．证明△ ACE ≌△ ADE 4．由全等性质得， CE=DE? 巩固练习1. 已知：如图， B ，C ，F ，E 在同一条直线上， AB ，DE 相交于点 G ，且 BC=EF ，GB=GE ，∠A=∠D ．求 证：DC=AF ．3. 已知：如图， AB ∥CD ，AD ∥BC ，E ，F 分别是 AD ，BC 的中点．求证： BE=DF ．2. 过程规划：已知：如图，∠ C=∠ F ，AB=DE ， 求证： AB ∥DE ．DC=AF ，BC=EF ．过程规划：学霸数学4. 已知：如图，在正方形 ABCD 中，AD=AB ，∠DAB=∠ B=90°，点 E ，F 分别在 AB ，BC上，且 AE=BF ， AF 交 DE 于点 G ． 求证： DE ⊥AF ．5. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC 与 BD 相交于点 O ，过 O 作EF 交AD 于 点 E ，交 BC 于点 F ，则图中的全等三角形共有（ ）A ．5 对B ．6对C ．7对D ．8 对6. 如图，C 为线段 AB 上一点，△MAC 和△NBC 均是等边三角形，连接AN ，交CM 于点E ，连接 BM ， 交 CN 于点F ．有下列结论：①∠ AMB=∠ANB ；②△ ACE ≌△ MCF ；③ CE=CF ；④ EN=FB ．其中正确 结论的序号是 ．?思考小结般三角形全等判定：直角三角形全等判定：判定1. 根据本章知识结构图回答下列问题：（1）补全知识结构图．（2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑它们所在的三角形____ ；如果所在的三角形不全等或者不在三角形中，则可以把一条边转移或者重新整合条件去构造全等三角形．（3）要证明两个三角形全等需要准备组条件，这三组条件里面必须有__ ；然后依据判定进行证明，其中AAA，SSA不能证明两个三角形全等，请举出对应的反例．（4）由全等三角形的性质可知：全等三角形_ 相等，___________ 相等，所以全等关系是转移边和角的有力工具【参考答案】? 巩固练习1. 证明：如图，过点G 作GH⊥BE于点H∵GH⊥BE∴∠GHB=∠GHE=90°在Rt△ GHB和Rt△ GHE中，GB GE（已知）GH GH（公共边）∴Rt△GHB≌Rt△GHE（HL）∴∠B=∠E（全等三角形对应角相等）∵BC=EF∴BC+CF=EF+CF即BF=EC 在△ABF和△DEC中，A D（已知）B E（已证）BF EC（已证）∴△ ABF≌△ DEC（AAS）∴DC=AF2.证明：如图，连接BE ED∴△ AEF≌△ DBC（SAS）∴AE=DB（全等三角形对应边相等）在△ABE和△DEB中，AB在△AEF和△DBC中，AF DC（已知）F C（已知）EF BC（已知）AE DB（已证）AB DE（已知）EB BE（公共边）∴△ ABE≌△ DEB（SSS）∴∠ABE=∠DEB（全等三角形对应角相等）∴AB∥DE3.证明：如图，连接BD AEDBFC∵AB∥CD，AD∥BC ∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD 在△ ABD和△ CDB中，ABD CDB（已证）BD DB（公共边）ADB CBD（已证）∴△ABD≌△CDB（ASA）∴AD=CB（全等三角形对应边相等）∵E，F 分别是AD，BC的中点∴DE=BF 在△BED和△DFB中，DE BF（已证）ADB CBD（已证）BD DB（公共边）∴△ BED≌△ DFB（SAS）∴BE=DF（全等三角形对应边相等）4.证明：如图，A D在△DAE第和7△题图ABF中AD BA （已知）∠DAE ∠ B （已知）AE BF （已知）∴△ DAE≌△ ABF（SAS）∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）∵∠DAB=90°∴∠2+∠3=90°∴∠1+∠3=90°∴∠AGD=90°∴DE⊥AF5. B6.②③④? 思考小结1. （1）SAS，SSS，ASA，AAS SAS，SSS，ASA，AAS，HL 相等；相等．学霸数学（2）全等（3）3，边；AAA反例：大小三角板；SSA反例：作图略（4）对应边，对应角．。
初中数学巧添辅助线解证几何题
巧添辅助线 解证几何题[引出问题] 在几何证明或计算问题中，常常需要添加必要的辅助线，它的目的能够归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的彼此关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。
值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。
下面咱们别离举例加以说明。
[例题解析]一、倍角问题 例1：如图1，在△ABC 中，AB=AC,BD ⊥AC 于D 。
求证：∠DBC=12∠BAC. 分析：∠DBC 、∠BAC 所在的两个三角形有公共角∠C ，可利用三角形内角和来沟通∠DBC 、∠BAC 和∠C 的关系。
证法一：∵在△ABC 中，AB=AC ，∴∠ABC=∠C=12（180°-∠BAC ）=90°-12∠BAC 。
∵BD ⊥AC 于D ∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°-12∠BAC)= 12∠BAC 即∠DBC=12∠BAC 分析二：∠DBC 、∠BAC 别离在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“∠DBC= ½∠BAC ”中含有角的倍、半关系，因此，能够做∠A 的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把½∠A 放在直角三角形中求解；也能够把∠DBC 沿BD 翻折构造2∠DBC 求解。
证法二：如图2，作AE ⊥BC 于E ，那么∠EAC+∠C=90°∵AB=AC ∴∠EAG=12∠BAC ∵BD ⊥AC 于D∴∠DBC+∠C=90°∴∠EAC=∠DBC （同角的余角相等）即∠DBC=12∠BAC 。
证法三：如图3，在AD 上取一点E ，使DE=CD 连接BE ∵BD ⊥AC∴BD 是线段CE 的垂直平分线 ∴BC=BE ∴∠BEC=∠C∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C∴∠BAC=180°-2∠C ∴∠EBC=∠BAC ∴∠DBC=12∠BAC 说明：例1也能够取BC 中点为E ，连接DE ，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质求解。
初中数学全等三角形添加辅助线的方法习题
初一数学全等三角形中辅助线的添加方法小结一、题目中涉及角平分线,通常以角平分线为公共边来构造全等三角形.1、如图,在ΔABC中,∠C=900,AD平分∠BAC,BC=40,线段DC与DB的长度的比为3∶5,求D点到AB的距离.2、如图,ΔABC中,∠C=900,CA=CB,AD平分∠BAC.试问:能否在AB上确定一点E,使ΔBDE的周长等于AB请说明理由.3、如图,ΔABC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB.求证:∠ACD=900.4、如图,ΔABC中,∠1=∠2, 且AB=AC+CD.求证:∠C=2∠B.5、如图,ΔABD中,DA=DB,∠D=900,BC平分∠ABD,AC⊥BE于C.求证:BE=2AC.二、已知三角形的中线,通常把中线延长一倍,构造全等三角形.在几何中要证明线段的倍分关系，常用“折半法”或“加倍法”，在题中有中线的情况下，常选用“加倍法”构造全等的条件．7、如图,ΔABC中,AD是中线,AD也是角平分线。
求证：ΔABC是等腰三角形.8、如图,CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE 是ΔABD 的中线.求证:AC=2AE.9、已知:如图,AD 是ΔABC 的中线.求证:AB+AC>2AD.三、证明形如“c b a =+”的问题要证明形如“a+b=c ”这种两条线段的和等于第三条线段的问题，是我们经常会遇到的问题，解决这类问题的方法一般是“截长与补短”，即可以在c 上截取一段等于a ，再证剩下的一段等于b ；也可以在线段a 的延长线上补上线段b ，再证延长后所得的线段等于c ．10、已知如图所示，AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C ＝90°， 求证：AB ＝AC ＋CD ．（两种方法）11、如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，∠BAC 的平分线交BC 于D 。
求证：AB+BD=AC独立思考题：（常规题）如图，D 、E 分别为等边△ABC 的AB 、AC 边上的点，且AD=CE ，CD 和BE 交于点P ，则∠BPD 的度数是多少ABCDABCDADBCE P。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中数学与角有关的辅助线综合测试卷
初中数学与角有关的辅助线综合测试卷
一、单选题(共6道，每道18分)
1.已知:如图,AB∥CD,∠B=60°,∠D=20°,求
∠BED的度数.
解:如图,延长BE交CD于点F,
∵AB∥DC ∴∠B= ∵∠B=60° ∴∠1= ∵∠BED是△EFD
的一个外角∴∠BED= + ∵∠D=20° ∴∠BED=60°+20° =80°
①∠BED;②∠1;③∠BFC;④60°;⑤120°;⑥∠
D;⑦∠FED. 在横线上依次填写正确的顺序为
( )
A.②④②⑦
B.①④②⑥
C.②④②⑥
D.①④⑥⑦
2.已知:如图,AB∥CD,∠B=110°,∠E=90°,则∠D的度数( )
A.155°
B.160°
C.165°
D.170°
3.如图,AB∥CD,∠E=27°,∠D=52°,则∠EBA的度数为( )
A.79°
B.80°
C.89°
D.75°
4.已知:如图,AB∥EF,∠A=25°,∠CDE=45°,∠E=15°,则∠ACD的度数为( )
A.60°
B.50°
C.45°
D.55°
5.已知:如图,CD∥AB,∠ACE=135°,CD⊥CE.则∠BAF的度数为( )
A.35°
B.55°
C.45°
D.50°
6.已知:如图,在四边形ABDC 中,∠A=85°,∠B=25°,∠C=35°,求∠BDC的度数.
解:如图,延长BD交AC于点E.
∵∠1是的外角∴∠1= ∵∠A=85°,∠B=25° ∴∠1 =85°+25°=110° ∵∠BDC是的外角∴∠BDC= ∵∠C=35° ∴∠BDC=110°+35° =145° ①△ABE;②∠BEA;③∠A+∠B;④∠A+∠BEA;⑤
△EDC;⑥∠EDC;⑦∠1+∠C;⑧∠EDC+∠C. 在横线上依次填写正确的顺序为( )
A.②③⑤⑧
B.②③⑤⑦
C.①③⑤⑦
D.①③⑤⑧。